Bab4_Integrasi & Diferensiasi Numerik

FisikaKomputasi £i-FST Undana

136

DIFERENSIASI & INTEGRASI NUMERIK

Pada bab ini dibahas konsep dasar diferensiasi dan integrasi numerik, meliputi teknik pendekatan atau penghampiran, metode komputasi numerik berkaitan

dengan model diferensial dan integral, serta penggunaannya dalam beberapa kasus fisika.

Science is built up with facts, as a house is with stones. But a collection of facts is

no more a science than a heap of stones is a house (H. Poincare, La Science et l’Hypothese)

Tasks begun well, likely have good finishes

(Sophocles, 496 - 406 B)

Sebuah HSF (Heat Sink Fan)bernama ThermalRock Silent Rock ini menggu-nakan bahan dasar tembaga pada semua permukaan heatsinknya, kecuali pada bracket fannya yang menggunakan bahan aluminium. Untuk mentransfer panas dari base HSF-nya, Silent Rock mengandalkan dua buah heatpipe tembaga. Pelepasan panas dialirkan melalui kedua buah heatpipe-nya, mengandalkan 80 sirip tipis yang ditiup oleh sebuah fan 9 cm yang dapat menghasilkan 52,33 CFM, tetapi tidak bising pada saat operasional-nya. (<25dBA). (CHIP, 2005). Sapuan putar sebuah sirip fan tersebut bisa menggambarkan konsep integrasi sebagai benda putar.


137

4.1 Pendekatan Diferensial Mengkaji model diferensial berarti berurusan dengan gradien-gradien garis

singgung kurva yang lebih lanjut ditafsirkan sebagai laju perubahan, seperti laju perubahan jarak terhadap waktu, laju perubahan kecepatan terhadap waktu, laju perubahan temperatur, laju perubahan muatan listrik terhadap waktu dan sebagainya.

Diferensiasi numerik adalah penentuan nilai pendekatan atau hampiran untuk turunan suatu fungsi f yang umumnya diberikan dalam bentuk tabel. ---------------------------------------------------------------------------------------------------- Misalnya kita ingin menghitung: 2

2lim xx

Dapat dibentuk tabel nilai limit arah kiri dan tabel nilai limit arah kanan.

atau menggunakan perintah sederhana sabagai berikut: Limit[x^2, x2] 4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------- Diferensiasi numerik harus dihindari bilamana mungkin karena umumnya nilai pendekatan diferensial akan kurang teliti dibandingkan nilai fungsi yang merupakan asal nilai-nilai tersebut diturunkan. Sebenarnya, turunan adalah limit dari hasilbagi dan dalam hal ini ada proses pengurangan dua besaran bernilai besar dan membagi dengan besaran kecil. Lebih lanjut jika fungsi f dihampiri menggunakan suatu polinom p, selisih dalam nilai-nilai fungsi boleh jadi kecil tetapi turunan-turunannya mungkin sangat berbeda. Karenanya masuk akal bahwa diferensiasi numerik adalah runyam, berlawanan dengan integrasi numerik, yang


138

tidak banyak dipengaruhi oleh ketidaktelitian nilai-nilai fungsi, karena integrasi pada dasarnya adalah suatu proses yang mulus.

Hubungan yang erat antara diferensiasi dan integrasi bisa ditinjau pada suatu fungsi y(t) yang merupakan posisi benda sebagai fungsi waktu, bentuk diferensialnya tertuju pada kecepatan,

)()( tydtdtv (4.1)

Sebaliknya, dari konsep kecepatan sebagai fungsi waktu, integrasinya akan menghasilkan suatu besaran posisi,

t

dttvty0

)()( (4.2)

Berikut ini akan dibahas beberapa teknik atau metode pendekatan yang pada bab selanjutnya menjadi penting dan bermanfaat dalam menyelesaikan persamaan-persamaan diferensial secara komputasi numerik. 4.2 Formula Beda Pusat (Central Difference)

Tinjau diferensial suatu fungsi f(x) pada x=0, f’(0). f berada pada kisi-kisi ruang berjarak sama terhadap nilai x, dengan generalisasi:

nhxxff nnn );( ( ,...2,1,0 n ) (4.3)

Dengan deret Taylor berusaha dihitung nilai pendekatan dari f’(0) dalam bentuk fn, dengan cara menguraikan f disekitar sumbu x=0,

...'''!3

"!2

')(32

0 fxfxxffxf

semua turunan dievaluasi pada x=0, didapatkan bentuk persamaan

)('''6

"2

')(1 432

0 hOfhfhhffhxff (4.4)

)('''3

4"2'2)2(2 43

20 hOfhfhhffhxff (4.5)

dimana O(h4) merupakan pendekatan kesalahan dalam orde 4 atau lebih tinggi. Subtraksi f-1 dari f1 pada persamaan (4.4) memberikan bentuk diferensial,

)('''62

' 42

11 hOfhhfff

(4.6)

bentuk f’’’ akan tereduksi ketika h diperkecil dan kesalahan dominan berkaitan dengan estimasi beda batas, sehingga didapatkan bentuk pertama:

hfff

2' 11 (4.7)


139

yang merupakan formula beda pusat (central difference) dengan 3 titik, yang lebih dikenal sebagai “3 point” formula atau formula 3 titik. Formula ini menjadi eksak jika f adalah polinomial orde dua di dalam interval 3 titik [-h,+h]. Esensi dari persamaan (4.7) adalah asumsi bahwa interpolasi polinomial quadratik terhadap f melalui 3 titik valid, x=±h,0 dan merupakan hasil yang alami, karena formula digunakan sebagai definisi derivatif dalam kalkulus dasar.

Gambar 4.1. Nilai f pada kisi ruang berjarak sama. Garis putus menunjukkan interpolasi linear

Kesalahan secara prinsip bisa dibuat sekecil mungkin dengan mengambil nilai h yang lebih kecil. Berdasarkan perbedaan simetri pada x=0, formula (4.7) ini lebih akurat (oleh pangkat 1h) dibandingkan dengan formula beda maju (forward difference) atau beda mundur (backward difference) ,

h

fff 01'

+ O(h) (4.8)

h

fff 10' +O(h) (4.9)

Formula ini dikenal sebagai “2 point” formula atau formula 2 titik, yang didasarkan pada asumsi bahwa f didekati oleh sebuah fungsi linear yang melalui interval antara x=0 dan x=±h. Berikut disajikan pilihan populer formula beda pusat pada orde kesalahan O(h2) dan O(h4) dengan konvensi )( 0 hkxffk untuk k=±3, ±2, ±1,0. Formula beda pusat orde O(h2)

hffxf

2)(' 11

0

; formula 3 titik

f-3 f-2 f-1 f0 f1 f2 f3

x-3=-3h x-1=-h x1=h x3=3h x-2=-2h x0=0 x2=2h


140

2101

02

)(''h

fffxf (4.10)

32112

0 222

)('''h

ffffxf

(4.10)

421012

0464

)(''''h

fffffxf

Formula beda pusat orde O(h4)

hffffxf

1288

)(' 21120

; formula 5 titik

221012

0 12163016

)(''h

fffffxf (4.11)

(4.11)

3321123

0 8813138

)('''h

ffffffxf

43210123

0 61239563912

)(''''h

fffffffxf

Contoh 4a Andaikan f(x)=cos x [a] Gunakan formula pendekatan f’’(x) dengan h=0,1; 0,01; dan 0,001 dan cari pendekatan untuk f’’(0,8). Gunakan 9 digit desimal dalam semua perhitungan. [b] Bandingkan dengan nilai benar f’’(0,8)=-cos(0,8) Solusi [a] Perhitungan untuk h=0,01 adalah

2101

02

)(''h

fffxf

0001,0

)79,0()80,0(2)81,0()8,0('' ffff

696690000,00001,0

703845316,0)696706709,0(2689498433,0

[b] Kesalahan pendekatan adalah 0,000016709 Perhitungan pendekatan komputasi numerik terhadap f’’(x) selengkapnya disajikan dalam tabel berikut:


141

h pendekatan Kesalahan 0,1 0,01 0,001

-0,696126300 -0,696669000 -0,696000000

-0,000508409 -0,000016709 -0,000706709

Contoh 4b Buatlah program sederhana untuk menghitung f’(x=1) dari fungsi f(x)=sin x, dengan menggunakan formula 3 titik. Jawaban eksak, cos 1=0,540302. Bandingkan hasilnya dengan formula beda maju/mundur dan formula 5 titik.

Solusi Dengan program BASIC diujikan persamaan pendekatan komputasi numerik (4.7) , yaitu

hfff

2' 11

hhxfhxfxf

2)()()('

sebagai input adalah nilai h 10 X=1; EXACT=cos(X) 20 INPUT “masukkan nilai h (lebar langkah)”;H 30 IF H<=0 THEN STOP 40 FPRIME=(sin(X+H)-sin(X-H))/(2*H) 50 DIFF=EXACT-FPRIME 60 PRINT USING “h=#.#####, Kesalahan=+#.#####”;H,DIFF 70 GOTO 20 Plot[{Sin[x],Cos[x],-Sin[x]},{x,0,1.5}, GridLinesAutomatic,FrameTrue, AxesLabel{x,y}]

Gambar 4.2 Ploting fungsi f(x), f’(x) dan f’’(x)


142

Formula 3 titik, diimplementasikan pada line 40, dinyatakan dengan

deklarasi FPRIME=(sin(X+H)-sin(X-H))/(2*H). program ditujukan untuk menampilkan data kesalahan pada proses iterasinya. Pada tabel di halaman berikutnya disajikan data selengkapnya evaluasi kesalahan untuk formula 3 titik. Disamping itu disajikan perbandingannya dengan perhitungan menggunakan formula 2 titik dan formula 5 titik.

H Simetri 3 titik

2 titik (Maju)

2 titik ( mundur)

Simetri 5 titik

0,50000 0,20000 0,10000 0,05000

… …

0,00010 0,00005 0,00002 0,00001

0,022233 0,003595 0,000899 0,000225

… …

-0,000312 0,000284 0,000880 0,000880

0,228254 0,087461 0,042938 0,021258

… …

-0,000312 0,001476 0,000880 0,003860

-0,183789 -0,080272 -0,041139 -0,020808

… …

-0,000312 -0,000908 0,000880

-0,002100

0,001092 0,000028 0,000001

0,00000 … …

-0,000411 0,000681 0,000873 0,000880

Ketika h=10-6 maka f1=sin(1,000001)=0,841472; f-1=sin(0,999999)=0,841470, dan f1-f-1=0,000002 pada 6 digit angka signifikan. Hasil dari program secara umum, formula 3 titik memiliki hasil evaluasi

yang hampir sama dibanding dengan formula 2 titik. Jawaban cukup terarah ketika nilai h diperkecil, tetapi hanya sampai pada satu titik tertentu, dan setelah itu yang terjadi adalah cukup buruk. Hal ini karena aritmetika pada komputer dibentuk hanya sampai presisi terbatas ( variabel presisi tunggal BASIC memiliki 5-6 digit desimal), sehingga ketika h cukup kecil dan beda f1 dengan f–1 sangat kecil, maka terjadi round off error.

Ketika disubtitusikan pada formula 3 titik, maka f’≈1,000000, hasil yang sangat buruk. Jika menggunakan aritmetika 10 digit signifikan, maka f1= 0,8414715251; sementara f-1=0,8414704445, yang memberikan hasil yang cukup dapat dipertanggungjawabkan f’≈0,540300. Jadi seperti pada penjelasan diawal, bahwa diferensiasi numerik secara intrinsik prosesnya tidak stabil ( no well-defined limit as h0), sehingga harus diselesaikan dengan hati-hati. Dari formula 5 titik, derivatif dihitung dengan cara mengambil asumsi bahwa f didekati dengan polinomial orde 4 melalui interval 5 titik [-2h,2h]. Walaupun membutuhkan komputasi yang lebih, pendekatan ini lebih akurat seperti terlihat pada perbandingan komputasi diatas.


143

Contoh 4c Buatlah program untuk mencari turunan pertama berdasarkan formula beda pusat 3 titik, dan dipakai untuk menghitung percepatan penerjun pada t = 10 detik, ketika diketahui laju penerjun selama melayang di udara memenuhi persamaan:

tmcec

gmtv )/(1)( ( Lihat persamaan 1.7 Bab 1)

Dimana g=9,8 m/s2, m=68,1 kg, dan c=12,5 kg/s. Solusi Program Turunan1_BedaPusat; Uses wincrt; Const eps = 1e-3; Type Deret = Array[1..2] of Real; Var fx, del, dx, zz, x, y, h : Real; i, n : Integer; z : Deret; Begin

Clrscr; Writeln; Write(“:5,’x:’); Readln(y) ; Writeln; h := 1; n := 0; zz :=0; del :=10;

While Abs (del) >= eps Do Begin n := n+1; For i := 1 To 2 Do Begin Case i of 1: x :=y+h; 2: x :=y – h; End;

{ -dapat berubah sesuai bentuk fungsi -} fx := 9.8*68.1*(1 – exp( - 12.5*x/68.1)); fx := fx/12.5; {-------------------------------------} z[i]:=fx; End;

dx := (z[1] – z[2])/(2*h) ;


144

del := zz – dx ; Writeln (‘’:5, h:10, ‘’:5, dx:10,’’:5, del:10) ; zz := dx; h := h/10; End; Writeln; Writeln(‘’:5,‘Turunan Pertama f’(x) :’,dx:10) ; Gotoxy(60,5); Write(‘Tekan <Esc>’) ; Repeat Until Readkey = #27; End. Contoh 4d Buatlah program untuk menghitung turunan kedua suatu fungsi jarak yang ditempuh penerjun payung :

]1[)( )/( tmce

cmx

cgmxf

berdasarkan formula beda pusat 3 titik pada t = 10 detik. Solusi Program Turunan2_BedaPusat; Uses wincrt; Const eps = 1e-3; Type Deret = Array[1..3] of Real; Var fx, del, dx, zz, x, y, h : Real; i, n : Integer; z : Deret; Begin


While Abs (del) >= eps Do Begin n := n+1; For i := 1 To 3 Do Begin x := y – (i – 2)*h ;

{----dapat berubah sesuai bentuk fungsi ---}


145

fx := x + 68.1/12.5*( exp( - 12.5*x/68.1) - 1); fx := fx* 9.8* 68.1/12.5; {------------------------------------------} z[i]:=fx; End;

dx := (z[1] – 2*z[2] + z[3])/sqr(h) ; del := zz – dx ; Writeln (‘’:5, h:10, ‘’:5, dx:10,’’:5, del:10) ; zz := dx; h := h/10; End; Writeln; Writeln(‘’:5,‘Turunan Kedua dari f(x) :’,dx:10) ; Gotoxy(60,5); Write(‘Tekan <Esc>’) ; Repeat Until Readkey = #27; End. 4.3 Formula Beda Maju/Mundur Jika fungsi tidak dapat dihitung pada absis-absis yang terletak pada kedua sisi x, maka rumus beda pusat tidak dapat dipakai untuk menghampiri derivatif. Bilamana fungsi dapat dihitung pada absis-absis berjarak sama yang terletak ke kanan ( kiri) dari x, maka dapat digunakan formula beda maju (mundur). Formula tersebut dapat diturunkan memakai metode-metode yang berlainan, pembuktiannya dapat bersandar pada deret Taylor, polinom pengintegralan Lagrangre, atau polinom interpolasi Newton. Beberapa formula beda maju/mundur berorde O(h2), sebagai berikut: Formula beda maju (forward difference)

hfffxf

243

)(' 210 =

hhxfhxfxf

2)2()(4)(3

23210 452

)(''h

ffffxf (4.12)

(4.12)

343210

231424185

)('''h

fffffxf

4543210 2112426143

)(''''h

ffffffxf

Formula beda mundur (backward difference)


146

hfffxf

243

)(' 210

23210 452

)(''h

ffffxf (4.13)

343210

231424185

)('''h

fffffxf

4543210 2112426143

)(''''h

ffffffxf

Contoh 4e Buatlah program untuk kasus soal 4c berdasarkan formula beda maju Solusi Program Turunan1_BedaMaju; Uses crt; Const eps = 1e-3; Type Deret = Array[1..3] of Real; Var fx, del, dx, zz, x, y, h : Real; i, n : Integer; z : Deret; Begin


While Abs (del) >= eps Do Begin n := n+1; For i := 1 To 3 Do Begin x := y + (i – 1)*h ;

{---dapat berubah sesuai bentuk fungsi ----} fx := 9.8*68.1*(1 – exp( - 12.5*x/68.1)); fx := fx/12.5; {------------------------------------------}


147

z[i]:=fx; End;

dx := ( - 3*z[1] + 4*z[2] – z[3])/(2*h) ; del := zz – dx ; Writeln (‘’:5, h:10, ‘’:5, dx:10,’’:5, del:10) ; zz := dx; h := h/10; End; Writeln; Writeln(‘’:5, ‘ Turunan Pertama dari f(x) :’, dx:10) ; Gotoxy(60,5); Write(‘Tekan <Esc>’) ; Repeat Until Readkey = #27; End. Pada contoh-contoh program di atas semuanya dipakai untuk menghitung percepatan penerjun payung pada waktu t = 10 detik. Untuk program turunan pertama, percepatan dihitung dari persamaan kecepatan dan untuk program turunan kedua, percepatan dihitung dari persamaan posisi. Hasilnya adalah sama 1,563 m/s2. Contoh tampilan list program dan hasil running contoh 4d dan 4e menggunakan Turbo Pascal For Windows 1.5, terlihat pada gambar 4.3.

(a) turunan pertama dari model kecepatan

(b) turunan kedua dari model posisi

Gambar 4.3. Hasil Running Contoh 4d & 4e


148

4.4 Integrasi Numerik Integrasi numerik adalah piranti utama yang dipakai ilmuwan dalam mencari pendekatan jawaban untuk integral tentu yang tidak bisa diselesaikan secara analitik. Dalam termodinamik atau fisika statistik, model Debye untuk menghitung kapasitas panas dari benda memenuhi fungsi:

x

t dte

tx0

3

1)( (4.14)

saat tidak ada pernyataan analitik untuk Ф(x), integrasi numerik harus digunakan untuk mencari nilai pendekatannya. Sebagai contoh, nilai Ф(5) adalah area dibawah kurva y=f(t)=t3/(et - 1) untuk 0≤ t≤5 (lihat gambar 4.4). Plot[t^3/(Exp[t]-1),{t,0,10},GridLines->Automatic,Frame->True,AxesLabel->{t,}]

Gambar 4.4. Area dibawah kurva y=f(t) untuk 0≤ t≤5 & nilai Ф(x)

Nilai pendekatan untuk Ф(5) adalah

5

0

3

8998922,41

)5( dte

tt

setiap penambahan nilai Ф(x) harus ditentukan oleh integrasi numerik yang lain. --------------------------------------------------------------------------------------------------- Integrate[t^3/(Exp[t]-1),t]

t4

4 t3Log1 t 3t2PolyLog2, t

6tPolyLog3, t 6PolyLog4, t Integrate[t^3/(Exp[t]-1),{t,0,5}]

6254

15 125Log1 5 75PolyLog2, 1

5

30PolyLog3, 15

6PolyLog4, 15


149

NIntegrate[t^3/(Exp[t]-1),{t,0,5}] 4.89989 --------------------------------------------------------------------------------------------------- Tujuan dari pembahasan materi ini adalah untuk memahami prinsip-prinsip dasar integrasi numerik. Sasaran dasarnya adalah pendekatan integral tentu f(x) pada selang a≤ x≤b dengan sejumlah titik-titik sampel (sample nodes), (x0,f0), (x1,f1), (x2,f2),…., (xM,fM) dengan fk=f(xk). Rumus pendekatan berbentuk:

b

aMM fffdxxf ...)( 1100 (4.15)

nilai-nilai ω0, ω1,…, ωM berupa konstanta atau bobot. Tergantung pada penerapan yang diinginkan, simpul-simpul xk dipilih dalam berbagai cara. Untuk aturan Trapesium, Simpson, dan aturan Boole, simpul-simpul xk=a+hk dipilih berjarak sama. Untuk integrasi Gauss-Legendre simpul-simpul dipilih berupa titik-titik nol dari polinom-polinom Legendre tertentu. Bilamana formula integrasi dipakai menurunkan suatu algoritma eksplisit untuk memecahkan persamaan diferensial, simpul-simpul semuanya dipilih lebih kecil dari b. Beberapa formula umum yang berdasarkan pada interpolasi polinom disebut formula integrasi Newton Cotes. Ketika titik sample x0=0 dan xM=b digunakan dalam formula, formula tersebut dinamakan formula Newton Cotes tertutup. Berikut ini adalah beberapa metode integrasi numerik yang populer digunakan,

a. Trapezoidal Rule (Aturan Trapesium) Simplicity, Optimal for improrer integrals, Needs a large number of sub intervals for good accuracy

1

010 )(

2)(

x

x

ffhdxxf

b. Simpson’s 1/3 Rule Simplicity. Higher accuracy than trapezoidal rule, Even number of interval only

2

0210 )4(

3)(

x

x

fffhdxxf

c. Multiple-application Simpson’s 1/3 Rule d. Simpson’s 3/8 Rule e. Newton Cotes f. Romberg Integration g. Gauss Quadrature


150

Yang akan ditelaah dan diimplementasikan di dalam menangani kasus-kasus yang berkaitan dengan integrasi numerik pada sub bahasan ini adalah aturan Trapesium dan aturan Simpson 1/3, dengan alasan utama kesederhanaannya. Selebihnya metode lainnya adalah metode alternatif yang lebih baik. 4.5 Aturan Trapesium (Trapezoidal Rule) Aturan Trapesium adalah metode integrasi numerik yang didapatkan dengan mengintegrasikan formula interpolasi linear, dituliskan:

EbfafabdxxfIb

a

)]()([2

)( (4.16)

Sebagaimana gambar 4.5, area yang diblok adalah integral yang dihitung oleh aturan trapesium, sedangkan dibawah kurva, f(x) adalah nilai eksak. Faktor koreksi, E diperlihatkan oleh adanya area dibawah kurva f(x) yang tidak terblok, sekaligus ada area diatas kurva yang terblok..

Persamaan (4.16) bisa diperluas untuk banyak interval. Untuk N interval dengan jarak langkah h, perluasan aturan trapesium:

EbfjhafafhdxxfIN

j

b

a

)]()()([2

)(1

1

(4.17)

Gambar 4.5 Area integral pendekatan metode trapesium

dimana h=(b-a)/N. Persamaan bisa dituliskan dalam ekivalensinya, yaitu:

EfffffhI NN )2...22(2 1210

(4.18)

dimana f0=f(a), f1=f(a+h), dan fi=f(a+ih)

Contoh 4f Sebuah benda putar, diperlihatkan pada gambar 4.6, dibentuk dengan memutar kurva y=1+(x/2)2, 0<=x<= 2, disekitar sumbu x. Hitunglah volume menggunakan perluasan aturan trapesium dengan N=2,4,8,16,32,64 dan 128. Nilai benar adalah I=11,7286. Evaluasi kesalahan pada setiap N.


151

Solusi

Volume diberikan oleh persamaan: 2

0

)( dxxfI

dimana

22

21)(

xxf

Gambar 4.6 Benda Putar dari kurva y=1+(x/2)2, 0<=x<= 2 Kalkulasi untuk N=2 dan 4 ditunjukkan sebagai berikut: N=2:

h=2/2=1

7627,12]4)5625,1(21[5,0)]2()1(2)0([21

fffI

N=4: h=2/4=0,5

9895,11)]2()5,1(2)1(2)5,0(2)0([25,0

fffffI

Integrasi dengan N yang lain memberikan hasil sebagai berikut:

N h Ih eh 2 4 8

16 32 64

128

1 0,5 0,25 0,125 0,0625 0,03125 0,015625

12,7627 11,9895 11,7940 11,7449 11,7326 11,7296 11,7288

-1,0341 -0,2609 -0,0654 -0,0163 -0,0040 -0,0010 -0,0002

Hasil ini memberikan data bahwa kesalahan berkurang sebanding dengan h2.


152

-------------------------------------------------------------------------------------------------- Integrate[Pi (1+(x/2)^2)^2,x]

x

x3

6 x5

80 Integrate[Pi (1+(x/2)^2)^2,{x,0,2}]

5615

NIntegrate[Pi (1+(x/2)^2)^2,{x,0,2}] 11.7286 ------------------------------------------------------------------------------------------------- Kesalahan pada perluasan aturan trapesium didefinisikan sebagai:

)]()([2

)( bfafabdxxfEb

a

(4.19)

dimana bentuk pertama adalah integral eksak, dan bentuk kedua adalah bentuk dari aturan trapesium. Kesalahan ini adalah penjumlahan kesalahan untuk seluruh interval. Ketika perluasan aturan trapesium digunakan pada interval [a,b], yang mana dibagi ke dalam N interval dengan N+1 titik x0, x1,…,xN, dengan x0=a dan xN=b. Sehingga kesalahan perluasan aturan trapesium menjadi:

N

iixf

NabE

13

3

)('')(121

(4.20)

Algoritma Aturan Trapesium (a) Segmen Tunggal FUNCTION Trap(h,f0,f1) Trap=h*(fo+f1)/2 END Trap (b) Segmen Banyak FUNCTION Trapm (h,n,f) Sum=f0 DO i=1,n-1 Sum=sum+2*fi END DO Sum=sum + fn Trap=h*sum/2 END Trapm


153

Contoh 4g Kecepatan sebuah kapal selam yang berada dibawah kepingan es kutub diberikan dalam tabel.

Waktu,t (jam)

Kecepatan, v(t) (km/jam)

Pendekatan jarak tempuh selama selang [0,t] (km)

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00

6,0 7,5 8,0 9,0 8,5

10,5 9,5 7,0 6,0

0,0000 1,6875 3,6250 5,7500 7,9375

10,3125 12,8125 14,8750 16,5000

Nilai-nilai pendekatan jarak tempuh semuanya diperoleh memakai aturan trapesium. Periksa kebenaran bahwa hampiran untuk jarak total yang ditempuh selama selang waktu [0,2] adalah 16,5 km. Solusi

Jarak tempuh didefinisikan sebagai 2

0

)( dttvjarak .

Gunakan aturan trapesium, dengan N=8, h=0,25, sehingga

kmhvtempuhjarak 5,16)75,95,105,8985,7(25,0)66(225,0),(_

4.6 Aturan Simpson 1/3 Adalah aturan yang cukup populer dari sekian banyak metode integrasi, didasarkan pada interpolasi polinomial orde dua. Dirumuskan sebagai formula aturan Simpson 1/3 dengan persamaan:

EbfxfafhdxxfIb

a

)]()(4)([3

)( (4.21)

dimana 2

)( abh dan

2)( bax

Persamaan (4.21) dapat dituliskan sebagai

EfffhI i ]4[3 20 (4.22)


154

dimana )()( ihafxff ii , dengan kesalahan sebesar: )(490

5

xfhE

Gambaran pendekatan simpson dapat dilihat pada Gambar 4.7 berikut ini

Gambar 4.7 Area integral pendekatan metode simpson 1/3

Aturan Simpson 1/3 juga bisa diadaptasi untuk N genap interval, yang

formulanya dituliskan sebagai berikut;

EbfihafihafafhIN

genapi

N

ganjili

)]()(2)(4)([3

2

)(2

1

)(1

atau dituliskan

EfNfNfNfffffhI ]1422...423422140[3

Contoh 4h Hitunglah volume sebuah benda putar, pada contoh 4c menggunakan perluasan aturan Simpson 1/3 dengan N=2,4,8,16,32,64. Nilai benar adalah I=11,7286. Evaluasi kesalahan pada setiap N. Solusi Kalkulasi untuk N=2 dan 4 ditunjukkan sebagai berikut: N=2:

h=2/2=1

7809,11]4)5625,1(41)[3/()]2()1(4)0([3

fffhI

N=4: h=2/4=0,5

7318,11)]2()5,1(4)1(2)5,0(4)0([35,0

fffffI


155

Integrasi dengan N yang lain memberikan hasil sebagai berikut:

N h Ih eh 2 4 8

16 32 64

1 0,5 0,25 0,125 0,0625 0,03125

11,7809 11,7318 11,7288 11,7286 11,7286 11,7286

-0,0523 -0,0032 -0,0002 0,0000 0,0000 0,0000

Kalau dibandingkan hasilnya dengan contoh 4.3, dapat dijelaskan bahwa

perluasan aturan Simpson 1/3 secara signifikan lebih akurat daripada kaidah trapesium pada jumlah interval yang sama. Akurasi kaidah trapesium menggunakan interval 32 ekivalen dengan Simpson yang hanya interval 4. Kesimpulannya pada kasus ini, aturan Simpson leebih cepat mendekati solusi eksak ketika h diperkecil, dan lebih akurat dua tingkat dibanding trapesium. Algoritma Aturan Simpson (a) Simpson 1/3 FUNCTION Simp13(h,f0,f1,f2) Simp13=2*h*(fo+4*f1+f2)/6 END Simp13 (b) Perluasan Simpson 1/3 FUNCTION Simp13p (h,n,f) Sum=f0 DO i=1,n-2,2 Sum=sum+4*fi+ 2*fi+1 END DO Sum=sum + 4*fn-1 +fn Simp13p=h*sum/3 END Simp13p Contoh 4i Buatlah program untuk menghitung kesalahan komputasi dari

1

0

718282,11edxe x

dengan menggunakan perluasan aturan Simpson 1/3. Cek perbandingannya dengan perluasan aturan trapesium !


156

Solusi Program BASIC dengan input N 5 DEF FNF(X)=EXP(X) 10 EXACT=EXP(1)-1 15 INPUT “masukkan N (jumlah iterasi)”;N% 20 IF N%<=0 THEN STOP 25 ‘ 30 H=1/N% 35 SUM=FNF(0) 40 FAC=2 45 ‘ 50 FOR I%=1 TO N%-1 55 IF FAC=2 THEN FAC=4 ELSE FAC=2 60 X=I%*H 65 SUM=SUM+FNF(X)*FAC 70 NEXT I% 75 ‘ 80 SUM=SUM+FNF(1) 85 INTEGRAL=H*SUM/3 90 DIFF=EXACT-INTEGRAL 95 PRINT USING “N=####, Kesalahan=#.#####”;N%,DIFF 100 GOTO 15 Hasil program memberikan realitas bahwa pada kasus ini perluasan aturan Simpson konvergensinya cukup cepat, yaitu pada N=16, seperti tercantum pada tabel berikut.

N h e Simpson

e Trapesium

4 8

16 32 64

128

0,2500000 0,1250000 0,0625000 0,0312500 0,0156250 0,0078125

-0,000037 0,000002 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

-0,008940 -0,002237 -0,000559 -0,000140 -0,000035 -0,000008

Sebagai pembanding adalah perluasan aturan Trapesium dengan hasil kolom paling kanan, sekaligus bukti bahwa simpson 1/3 disamping sederhana memiliki konvergensi yang cepat.


157

Contoh 4j Buatlah program untuk mencari jarak yang ditempuh penerjun payung dengan

menggunakan hubungan: t

dttvh0

)( . Gunakan persamaan laju penerjun selama

melayang di udara pada contoh 4c

Solusi Program Simpson; Uses wincrt; Const max = 100;

eps = 1e-3; Type indeks = 1..max;

Luas = Array[indeks] of Real; Var simp : Luas;

x, x1, x2, delt, delx, pita, fx : Real; i, j : Integer; Begin Clrscr; Write('':5,'Batas bawah:'); Readln(x1) ; Write('':5,'Batas atas:'); Readln(x2) ; Writeln; Writeln; i :=0; delt :=100; Repeat Begin i:=i+1; j:=0; simp[i]:=0; x:=x1; pita:=2*exp((i-1)*Ln(2)); delx:=(x2-x1)/pita; While x<x2 Do Begin {-------dapat berubah sesuai bentuk fungsi -----} fx := 1 - exp(- 12.5*x/68.1); {-----------------------------------------------} j:=j+1; If (x=x1) Or (x=x2) Then simp[i]:=simp[i]+fx Else Begin If(x>x1) And (x<x2) And (j mod 2=0) Then simp[i]:=simp[i]+4*fx;


158

If (x>x1) And (x<x2) And (j mod 2=1) Then simp[i]:=simp[i]+2*fx; End; x:=x+delx; End; simp[i]:=simp[i]*delx/3; If i=1 Then Writeln('':5, pita:5:0,'':5,simp[i]:15) Else Begin delt:=simp[i]-simp[i-1]; Writeln('':5,pita:5:0,'':5,simp[i]:15,'':10, delt:15); End; End; Until Abs(delt)<eps; Writeln('':5, 'Harga Integrasi :' ,simp[i]:15) ; Gotoxy(60,5); Write('Tekan <Esc>') ; Repeat Until Readkey = #27; End.

Bentuk fungsi yang dihitung dalam program diatas adalah

1,68/5,121)( xexf . Dengan batas integrasi 0 dan 10 maka hasilnya 5,421 seperti terlihat pada gambar 4.8

Gambar 4.8 Hasil running program simpson untuk contoh 4j


159

Sehingga jarak yang ditanyakan menjadi:

mxxh 43,289421,55,12

1,688,9

::: Studi Kasus Fisika 06:::

Fluks Magnetik Di Sekitar Kawat Berarus Listrik Di dalam mengkaji masalah medan elektromagnetik kita tidak terlupa

dengan beberapa ilmuwan plus pemikirannya, diantaranya: Oersted (‘di sekitar kawat berarus listrik terdapat medan magnet’), Faraday (‘gerak magnet di dalam kumparan, menimbulkan arus listrik’), dan Maxwell (‘menggabungkan gejala kelistrikan dan kemagnetan dalam suatu kerangka matematis terpadu’). Selain itu ada Biot-Savart, Ampere, Lorentz dan lainnya.

Kekuatan dan arah dari medan magnetik di sekitar arus listrik dinyatakan dengan besaran induksi magnetik ( lambang B) atau dengan nama lain: rapat fluks magnetik, kuat medan magnetik, dan intensitas medan magnetik. Kita telah dapat menentukan arah induksi magnetik B dengan menggunakan kaidah tangan kanan seperti pada gambar 4.9.

Gambar 4.9 Kaidah tangan kanan untuk menentukan arah B Bagaimanakah kita menentukan besar induksi magnetik B pada jarak r di

sekitar kawat penghantar panjang yang dialiri arus i ? Kita bisa menggunakan hukum Biot- Savart:

2sinr

idlkdB ,

dimana 4

ok dan o = permeabilitas udara/vakum ( 4x10–7 Wb/(Am))

atau dengan menggunakan hukum Ampere:

c

oidlB .

Yang keduanya memberikan induksi magnetik sebesar:

i

B


160

riB o

2

(4.23)

Pada studi kasus ini kita akan mencari besar fluks magnet yang menembus suatu persegi panjang yang sisi panjangnya sejajar dan sisi pendeknya tegak lurus dengan kawat yang sangat panjang dialiri arus listrik 30 ampere. seperti pada gambar 4.10.

Gambar 4.10. Permukaan persegi panjang di dekat kawat berarus i

Induksi magnetik B menyatakan ukuran medan magnetik pada suatu titik, sedangkan fluks magnetik adalah ukuran total medan magnetik yang memotong suatu bidang A, yang dirumuskan: AB Untuk menyelesaikan bentuk integrasi yang dijumpai dalam kasus ini dengan menggunakan metode Simpson 1/3, langkah pertama adalah ambil suatu pita sejajar kawat berarus yang panjangnya L=30 cm dan lebarnya dr. Maka luas pita dA = L dr. Fluks magnet yang menembus pita ini adalah:

BLdrdABd . (4.24)

Dengan subtitusi persamaan (4.23) untuk induksi magnetik B, maka persamaan (4.24) menjadi:

rdriLd o

2

Dengan memasukkan parameter yang telah diketahui, fluks magnetik:

09,0

01,06108,1

rdrx (4.25)

Untuk menghitung nilai integral pada persamaan (4.25) dapat digunakan program simpson pada contoh 4.9, setelah dilakukan modifikasi pada bagian fungsi. sebagai berikut:


161

{ --dapat berubah sesuai dengan bentuk fungsi ---} fx := 1/x ; {------------------------------------------------} Maka didapatkan harga integrasi seperti pada gambar 4.11

Gambar 4.11 Hasil runing progam integrasi untuk studi kasus fluks magnetik

Dengan demikian maka fluks magnetik yang dicari adalah

66 1096,3197,2108,1 xxx Weber.

4.7 SOAL-SOAL

(1) Tegangan E= E(t) dalam rangkaian listrik memenuhi persamaan E(t)=L(dI/dt) + R I(t), dengan R hambatan dan L induktansi. Gunakan L=0,05 dan R=2 dan nilai-nilai untuk I ada dalam tabel berikut:

t I(t) 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4

8,2277 7,2428 5,9908 4,5260 2,9122

[a] Carilah I’(1,2) menggunakan diferensiasi numerik, dan gunakan hasilnya untuk menghitung E(1,2) [b] Bandingkan jawaban [a] dengan I(t)=10 exp(-t/10)sin(2t)


162

(2) Distribusi kecepatan fluida dekat permukaan datar diberikan oleh

i yi(m) Ui(m/s) 0 1 2 3

0.0 0.001 0.003 0.006

0.0 0.4171 0.9080 1.6180

Dimana y adalah jarak dari permukaan dan u adalah kecepatan. Asumsikan bahwa aliran adalah laminar dan viskositas = 0.001 Ns/m2, hitung shear stress (tekanan potong) pada y = 0 dengan menggunakan data point i = 0 dan 1, berdasarkan hukum Newton yang diformulasikan sebagai: u

dyd

(3) Diketahui panas jenis suatu zat X sebagai berikut:

t(oC) C(kkal/(kg.oC) -100

-50 0

50 100 150 200

0,11904 0,12486 0,13200 0,14046 0,15024 0,16134 0,17376

(4) Andaikan f(x)=ln x, carilah pendekatan komputasi numerik untuk f”(5) dengan

menggunakan: [a] formula orde O(h2) dengan h=0,05 dan 0,01 [b] formula orde O(h4) dengan h=0,01

(5) Buatlah program untuk soal (4.1) (6) Gunakan aturan Trapesium dan Simpson dengan N=2,4,8,16 dan h=0,25

untuk menghitung integral berikut:

[a]

3

121 x

xdx [b] 223 23 xxx

(5) Sebuah mobil bermassa M=5400 kg bergerak dengan kecepatan 30 m/s. Mesin dilepas secara tiba-tiba pada t= 0 detik. Asumsikan bahwa persamaan gerak setelah t=0 diberikan oleh:

2000276,85400 2 vdxdvv

Hitunglah panas yang diperlukan untuk memanasi 1 kg zat tersebut dari – 100oC hingga 200oC menggunakan metode trapesium !


163

Dimana v=v(t) adalah kecepatan (m/s) mobil pada saat t. Persamaan sisi kiri menyatakan Mv(dv/dx). Suku pertama sisi kanan adalah aerodynamic drag, dan suku kedua adalah resistansi putaran ban. Hitunglah seberapa jauh mobil berjalan sampai kecepatannya berkurang menjadi 15m/s! Evaluasi menggunakan aturan Simpson.

Petunjuk: persamaan gerak dalam integrasi:

xdxv

vdvs30

15 2 2000276,85400

DAFTAR PUSTAKA Chapra, S.C., and Canale, R.P., Numerical Methods for Engineers, McGraw-Hill,

1998 James, M.L., G.M. Smith, and J.C. Wolford, Applied Numerical Methods for

Digital Computations, 3rd ed. Harper & Row, 1985 Koonin, S.E., Computational Physics, Addison-Wesley Inc, 1986 Mathews, J.H., Numerical Methods for Mathematics, Science and Engineering,

Prentice-Hall Inc., 1992 McCracken, D. D., Computing for Engineers and Scientists with Fortran 77,

Wiley, 1984 Morris,J.L., Computational Methods in Elementary Numerical Analysis, Wiley,

1983 Nakamura, S., Applied Numerical Methods in C, Prentice-Hall Inc. 1993 Soegeng, R., Komputasi Numerik dengan Turbo Pascal, Andi Offset, Yogyakarta,

1996 Sutrisno, Dasar-dasar Metode Numerik, MIPA-LPTK ITB, 1992 Wark, K. Jr., Thermodynamics, McGraw-Hill, 1998 Yakowitz, S., and F. Szidarovszky, An Introduction to Numerical Computations,

Macmillan, 1986

Documents

Bab4_Integrasi & Diferensiasi Numerik