ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

—————————

NGÔ THỊ THO

PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN

BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

—————————

NGÔ THỊ THO

PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN

BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH

Chuyên ngành: Toán ứng dụng.Mã số: 60460112.

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU

Hà Nội - 2015

Mục lục

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Chương 1. Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.1. Hội tụ mạnh và yếu trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2. Toán tử chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.3. Tính liên tục của hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.4. Đạo hàm và dưới vi phân của hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2. Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.1. Các khái niệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.2. Các ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.3. Sự tồn tại nghiệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Chương 2. Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơnđiệu mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1. Phương pháp chiếu dưới đạo hàm tăng cường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2. Phương pháp chiếu cơ bản cải biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Tài liệu tham khảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn GS.TSKH Lê Dũng Mưu. Thầy là ngườiđã hướng dẫn khóa luận tốt nghiệp và nay là hướng dẫn luận văn thạc sĩ cho em. Haichặng đường đã qua, thầy luôn tận tình hướng dẫn và chỉ bảo nghiêm khắc, thầy cũngcung cấp nhiều tài liệu quan trọng cũng như giành nhiều thời gian giải đáp nhữngthắc mắc trong suốt quá trình làm việc cùng thầy.

Em xin gửi tới các thầy, cô trong Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học KhoaHọc Tự Nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã giảng dạy lớp Caohọc Toán khóa 2013 - 2015, lời cảm ơn chân thành đối với công lao dạy dỗ của cácthầy, các cô trong hai năm qua. Đặc biệt, em muốn gửi lời cảm ơn tới các thầy dạychuyên ngành nhóm Toán Ứng Dụng. Mặc dù nhóm chỉ có tám thành viên nhưng cácthầy luôn lên lớp với cả nhiệt huyết và những chuyên đề hay, sâu sắc.

Cuối cùng em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, các bạn, các anh, các chị của lớpcao học Toán khóa 2013 - 2015 và giành riêng lời cảm ơn cho gia đình Toán ỨngDụng. Là em út của nhóm, nên luôn được mọi người quan tâm nhiều hơn. Thời gianhọc cùng các anh chị đã cho em những kỷ niệm đẹp, được học những điều hay cũngnhư những kiến thức thú vị.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi những thiếu sót.Em mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy, cô và bạn đọc để luận văn đượchoàn thiện hơn.

Hà Nội, ngày 3 tháng 10 năm 2015Học viên

Ngô Thị Tho

2

LỜI MỞ ĐẦU

Năm 1966, Hatman và Stampacchia đã công bố những nghiên cứu đầu tiên củamình về bài toán bất đẳng thức biên phân, liên quan tới việc giải các bài toán biếnphân, bài toán điều kiển tối ưu và các bài toán biên có dạng của phương trình đạohàm riêng. Năm 1980, Kinderlehrer và Stampacchia cho xuất bản cuốn sách "AnIntroduction to Variational Inequalities and Their Applications", giới thiệu bài toánbiến phân trong không gian vô hạn chiều và ứng dụng của nó. Năm 1984, cuốnsách "Variational and Quasivariational Inequalities: Applications to Free BoundaryProblems" của C. Baiocci và A. Capelo đã áp dụng bất đẳng thức biến phân và tựabiến phân để giải các bài toán không có biên.

Hiện nay bài toán bất đẳng thức biến phân đã phát triển thành nhiều dạng khácnhau,như là: bất đẳng thức biến phân vectơ, tựa bất đẳng thức biến phân, giả bất đẳngthức biến phân, bất đẳng thức biến phân ẩn, bất đẳng thức biến phân suy rộng.... Bàitoán này đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Vì mô hình của nóchứa nhiều bài toán quan trọng của một số lĩnh vực trong toán học cũng như thực tếnhư tối ưu hóa, bài toán bù, lý thuyết trò chơi, cân bằng Nash, cân bằng mạng giaothông, cân bằng di trú....

Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của bất đẳng thức biến phân làviệc xây dựng các phương pháp giải. Dựa trên tính chất của kiểu đơn điệu G. Cohenđã nghiên cứu phương pháp nguyên lý bài toán phụ. Ngoài ra còn có phương pháphiệu chỉnh Tikhonov, phương pháp chiếu, phương pháp điểm trong. Những phươngpháp này khá hiệu quả, dễ thực hiện trên máy tính nhưng sự hội tụ của chúng chỉđược đảm bảo trên cơ sở các giả thiết khác về tính chất đơn điệu.

Có nhiều phương pháp chiếu khác nhau, như là: phương pháp chiếu cơ bản,phương pháp chiếu dưới đạo hàm, và phương pháp chiếu siêu phẳng. Mỗi phươngpháp giải quyết một lớp các bài toán bất đẳng thức biến phân nhất định. Do đó sự hộitụ của thuật toán được đảm bảo.

Luận văn trình bày phương pháp chiếu dưới đạo hàm tăng cường và chiếu cơ bảncải biên để giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh. Các phươngpháp này tạo ra một dãy hội tụ của các điểm lặp dễ dàng tính được. Chúng đều hội tụ

3

tới nghiệm duy nhất của bài toán.Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Bài toán bất đẳng thức biến phân, được

chia làm hai phần:

• Phần 1: Nhắc lại một số kiến thức trong Giải tích hàm và Giải tích lồi, như là:hội tụ mạnh và yếu trong không gian Hilbert, toán tử chiếu, tính liên tục củahàm lồi, đạo hàm và dưới vi phân của hàm lồi.

• Phần 2: Phát biểu bài toán, trình bày một số khái niệm và mô hình minh họacho bài toán. Sau đó, chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bàitoán.

Chương 2: Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệumạnh.Nội dung chính của chương là trình bày hai thuật toán chiếu dưới đạo hàm tăng cườngvà thuật toán chiếu cơ bản cải biên để giải bài toán V I(K,F). Phát biểu và chứng minhcác định lý về sự hội tụ của dãy lặp tạo bởi các thuật toán đó. Đưa ra một số ví dụchứng minh rằng các điều kiện của định lý tồn tại nghiệm là cần thiết. Nếu bỏ đi mộttrong các điều kiện đó, dãy lặp sẽ không hội tụ tới nghiệm duy nhất của bài toán.

4

Chương 1

Bài toán bất đẳng thức biếnphân

Trong chương này, chúng ta sẽ nhắc lại một số kết quả của Giải tích hàm có liênquan tới sự hội tụ mạnh và hội tụ yếu của một dãy số. Nhắc lại một số khái niệm vàđịnh lý cơ bản của Giải tích lồi, như là: định nghĩa và tính chất của toán tử chiếu, tínhliên tục, đạo hàm và dưới vi phân của một hàm lồi, Định lý tách, Định lý Moreau-Rockafellar. Phần sau ta sẽ giới thiệu bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) và nhấnmạnh bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh. Chỉ ra các ví dụ về bàitoán bất đẳng thức biến phân thường gặp trong thực tế cũng như trong các mô hìnhtoán học. Cuối chương phát biểu và chứng minh định lý về sự tồn tại và tính duy nhấtnghiệm của bài toán. Nội dung chủ yếu được trích dẫn từ tài liệu [1], [2], [3], [6],[10].

Trong luận văn này, chúng ta sẽ làm việc trên không gian Hilbert thực trang bịmột tô pô yếu, với tích vô hướng

⟨., .⟩

và chuẩn tương ứng của nó là ||.||.

5

1.1. Kiến thức chuẩn bị

1.1.1. Hội tụ mạnh và yếu trong không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.1. Giả sử H là không gian tuyến tính thực, với mọi x ∈ H xác địnhmột số gọi là chuẩn của x ( kí hiệu ||x||) thỏa mãn ba tiên đề sau:

1. Xác định dương: ∀x ∈ H ||x|| ≥ 0; ||x||= 0⇔ x = 0.

2. Thuần nhất dương: ∀x ∈ H;∀λ ∈ R ||λx||= |λ | ||x||.

3. Bất đẳng thức tam giác: ∀x,y ∈ H ||x+ y|| ≤ ||x||+ ||y||.

Định nghĩa 1.1.2. Giả sử H là không gian tuyến tính thực, cặp (H,⟨,⟩) với⟨

,⟩

: H×H→ R

(x,y) 7→⟨x,y⟩

thỏa mãn các điều kiện:

1. Xác định dương:⟨x,x⟩≥ 0 ∀x ∈ H;

⟨x,x⟩= 0⇔ x = 0.

2. Đối xứng:⟨x,y⟩=⟨y,x⟩∀x,y ∈ H.

3. Song tuyến tính:⟨αx+βy,z

⟩= α

⟨x,z⟩+β

⟨y,z⟩∀α, β ∈ R,

∀x,y,z ∈ H.

được gọi là không gian tiền Hilbert.Không gian tiền Hilbert, đầy đủ được gọi là không gian Hilbert, kí hiệu là H.

Ví dụ 1.1.1.

1. H = Rn;x = (x1,x2, · · · ,xn);y = (y1,y2, · · · ,yn) ∈ H tích vô hướng và chuẩntrên Rn được xác định bởi

⟨x,y⟩=

n

∑i=1

xiyi,

||x||=

√n

∑i=1

x2i .

6

2. H = C[a,b] là không gian các hàm liên tục. Khi đó với mọi x,y ∈ H tích vôhướng chuẩn được xác định bởi

⟨x,y⟩=∫ b

ax(t)y(t)dt,

||x||=

√∫ b

a|x(t)|2dt.

Giả sử H là không gian Hilbert thực, H∗ là không gian đối ngẫu của H và f ∈H∗.Kí hiệu ϕ f : H→ R là các phiếm hàm tuyến tính ϕ f (x) = f (x). Khi f chạy khắp H∗

ta có một họ ánh xạ (ϕ f ) f∈H∗ .

Định nghĩa 1.1.3. Tô pô yếu trên H được định nghĩa bởi tô pô sinh bởi họ ánh xạ(ϕ f ) f∈H∗ . Kí hiệu σ(H, H∗).

Như vậy tô pô yếu σ(H, H∗) là tô pô yếu nhất trên H đảm bảo cho tất cả cácphiếm hàm f ∈ H∗ đều liên tục.

Định nghĩa 1.1.4. 1) Ta nói dãy {xk} hội tụ mạnh đến x ( kí hiệu xk→ x) nếu

limk→∞||xk− x||= 0.

2) Dãy {xk} hội tụ yếu đến x ( kí hiệu xk ⇀ x) nếu {xk} hội tụ về x theo tô pô yếu σ

tức là∀ f ∈ H∗ f (xk)→ f (x).

Mệnh đề 1.1.1. Giả sử {xk} ⊂ H và { fk} ⊂ H∗. Khi đó

a) xk ⇀ x⇔⟨xk,y

⟩→⟨x,y⟩, ∀y ∈ H.

b) Nếu xk→ x thì xk ⇀ x.

c) Nếu xk ⇀ x thì {xk} bị chặn và ||x|| ≤ limk→∞||xk||.

d) Nếu xk ⇀ x và limk→∞||xk|| ≤ ||x|| thì xk→ x.

e) Nếu xk ⇀ x và fk→ f thì fk(xk)→ f (x).

Khi H là không gian hữu hạn chiều thì tô pô yếu và tô pô thông thường trên Htrùng nhau. Đặc biệt, một dãy hội tụ mạnh khi và chỉ khi nó hội tụ yếu.

7

1.1.2. Toán tử chiếu

Định nghĩa 1.1.5. Cho H là một không gian Hilbert thực, tập C ⊆ H được gọi là

• tập lồi nếu: ∀x,y ∈C,λ ∈ [0,1]⇒ λx+(1−λ )y ∈C,

• nón nếu: ∀λ > 0,∀x ∈C⇒ λx ∈C,

• nón lồi nếu nó vừa là một nón vừa là một tập lồi.

Hình 1.1: tập lồi, nón, nón lồi

Mệnh đề 1.1.2. Giả sử A, B là các tập lồi trong không gian Hilbert thực H, thì cáctập sau là tập lồi:

A∩B :={x | x ∈ A, x ∈ B},

αA+βB :={x | x = αa+βb, a ∈ A, b ∈ B,α,β ∈ R},

A×B :={x | x = (a,b), a ∈ A, b ∈ B}.

Định nghĩa 1.1.6. Siêu phẳng trong không gian Hilbert thực H là một tập hợp cácđiểm có dạng

{x ∈ H | a(x) = α},

trong đó a ∈ H∗ là một phiếm hàm tuyến tính và α ∈ R.

Một siêu phẳng sẽ chia không gian ra hai nửa không gian. Nửa không gian đượcđịnh nghĩa như sau:

8

Định nghĩa 1.1.7. Cho a ∈ H là một phiếm hàm tuyến tính và α ∈ R. Tập

{x | a(x)≥ α},

được gọi là nửa không gian đóng và tập

{x | a(x)> α},

gọi là nửa không gian mở.

Định nghĩa 1.1.8. Cho hai tập C và D khác rỗng, ta nói siêu phẳng a(x) = α táchC và D nếu

a(x)≤ α ≤ a(y), ∀x ∈C, y ∈ D.

Ta nói siêu phẳng a(x) = α tách chặt C và D nếu

a(x)< α < a(y), ∀x ∈C, y ∈ D.

Ta nói siêu phẳng a(x) = α tách mạnh C và D nếu

supx∈C

a(x)< α < infy∈D

a(y).

Định lý 1.1.1. (Định lý tách 1) Cho C và D là hai tập lồi khác rỗng trong khônggian Hilbert thực H sao cho C∩D = /0. Khi đó có một siêu phẳng tách C và D.

Định lý 1.1.2. (Định lý tách 2) Cho C và D là hai tập lồi đóng khác rỗng trongkhông gian Hilbert thực H sao cho C∩D = /0. Giả sử có một tập compăc. Khi đó haitập C và D có thể tách mạnh bởi một siêu phẳng.

Định nghĩa 1.1.9. Giả sử C là một tập lồi, khác rỗng trong không gian Hilbert thựcH và x0 ∈C.

1. Nón pháp tuyến (ngoài) của C tại x0 kí hiệu là NC(x0) được định nghĩa bởi:

NC(x0) := {ω ∈ H| ωT (x− x0)≤ 0 ∀x ∈C}.

Tập −NC(x0) được gọi là nón pháp tuyến (trong) của C tại x0 .

2. Nón pháp tuyến ε của C tại x0 được định nghĩa bởi:

NεC(x

0) := {ω ∈ H| ωT (x− x0)≤ ε ∀x ∈C}.

9

Hiển nhiên 0 ∈ NC(x0) và từ định nghĩa trên ta thấy NC(x0) là một nón lồi đóng.

Định nghĩa 1.1.10. Giả sử C 6= /0 (không nhất thiết lồi) là một tập con của khônggian Hilbert H và y là một véc-tơ bất kỳ, khoảng cách từ y đến C được định nghĩa bởi

dC(y) := infx∈C||x− y||.

Nếu tồn tại π ∈C sao cho dC(y) := ||π−y||, thì ta nói π là hình chiếu (khoảng cách)của y trên C, kí hiệu π = pC(y).

Hình 1.2: Hình chiếu khoảng cách

Theo định nghĩa, ta thấy rằng hình chiếu pC(y) của y trên C sẽ là nghiệm của bàitoán tối ưu

minx

{12||x− y||2| x ∈C

}.

Nói cách khác, việc tìm hình chiếu khoảng cách của y trên C có thể đưa về việc tìmcực tiểu của hàm toàn phương ||x− y||2 trên C. Chú ý rằng, nếu C 6= /0, thì dC(y) hữuhạn, vì 0≤ dC(y)≤ ||x− y||, ∀x ∈C.

Mệnh đề 1.1.3. Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng. Khi đó:

1. Với mọi y ∈ H,π ∈C hai tính chất sau là tương đương:a) π = pC(y),b) y−π ∈ NC(π).

2. Với mọi y ∈ H, hình chiếu pC(y) của y trên C luôn tồn tại và duy nhất.

10

3. Nếu y /∈C, thì⟨

pC(y)− y,x− pC(y)⟩= 0 là siêu phẳng tựa của C tại pC(y)

và tách hẳn y khỏi C, tức là⟨pC(y)− y,x− pC(y)

⟩≥ 0 ∀x ∈C,

và ⟨pC(y)− y,y− pC(y)

⟩< 0.

4. Ánh xạ y 7→ pC(y) có các tính chất sau:a) ||pC(x)− pC(y)|| ≤ ||x− y|| ∀x,∀y. (tính không giãn),b)⟨

pC(x)− pC(y),x− y⟩≥ ||pC(x)− pC(y)||2, (tính đồng bức).

Chứng minh.

1. giả sử π = pC(y). Lấy x ∈C và λ ∈ (0,1). Đặt

xλ := λx+(1−λ )π.

Do x,π ∈ C và C lồi, nên xλ ∈ C. Hơn nữa do π là hình chiếu của y nên||π− y|| ≤ ||y− xλ ||. Hay

||π− y||2 ≤ ||(π− y)+λ (x−π)||2.

Khai triển vế phải, ước lược và chia hai vế cho λ > 0, ta có

λ ||x−π||2 +2⟨π− y,x−π

⟩≥ 0.

Điều này đúng với mọi x ∈C và λ ∈ (0,1). Do đó khi cho λ → 0, ta được⟨π− y,x−π

⟩≥ 0,∀x ∈C.

Vậy y−π ∈ NC(π).

Giả sử ngược lại y−π ∈ NC(π). Với mọi x ∈C, có

0≥ (y−π)T (x−π) = (y−π)T (x− y+ y−π)

= ||y−π||2 +(y−π)T (x− y).

Dùng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz ta có:

||y−π||2 ≤ (y−π)T (y− x)≤ ||y−π||.||y− x||.

Suy ra ||y−π|| ≤ ||y− x|| ∀x ∈C, và do đó π = pC(y.)

11

2. Sự tồn tại. Do dC(y) := infx∈C ||x−y||, nên theo định nghĩa của cận dưới đúng,tồn tại một dãy xk ∈C sao cho

limk||xk− y||= dC(y)<+∞.

Vậy dãy {xk} bị chặn, do đó nó có một dãy con {xk j} hội tụ yếu đến một điểmπ nào đó. Do C lồi, đóng, nên π ∈C. Vậy

||π− y||= limj||xk j− y||= lim

k||xk− y||= dC(y).

Chứng tỏ π là hình chiếu của y trên C.

Tính duy nhất. Giả sử π và π1 là hình chiếu của y trên C, thì

y−π ∈ NC(π),y−π1 ∈ NC(π

1).

Tức là ⟨π− y,π1−π

⟩≥ 0,⟨

π1− y,π−π

1⟩≥ 0.

Cộng hai vế của đẳng thức này ta suy ra ||π−π1||2 ≤ 0, và do đó π = π1.

3. Do y−π ∈ NC(π), nên ⟨π− y,x−π

⟩≥ 0 ∀x ∈C.

Vậy⟨π−y,x

⟩=⟨π−y,π

⟩là một siêu phẳng tựa của C tại π . Siêu phẳng này

tách y khỏi C vì y 6= π , nên⟨π− y,y−π

⟩=−||π− y||2 < 0.

4. Theo phần (2) ánh xạ x 7→ pC(y) xác định khắp nơi. Do z− pC(z)∈NC(pC(z))với mọi z, nên áp dụng với z = x và z = y, ta có:⟨

x− pC(x), pC(y)− pC(x)⟩≤ 0⟨

y− pC(y), pC(x)− pC(y)⟩≤ 0.

Cộng hai bất đẳng thức lại ta được⟨pC(y)− pC(x), pC(y)− pC(x)+ x− y

⟩≤ 0.

12

Theo bất đẳng thức Cauchy- Schwarz ta suy ra

||pC(x)− pC(y)|| ≤ ||x− y||.

Để chứng minh tính đồng bức, áp dụng tính chất (b) của (1), lần lượt với pC(x)và pC(y), ta có: ⟨

pC(x)− x, pC(x)− pC(y)⟩≤ 0,⟨

y− pC(y), pC(x)− pC(y)⟩≤ 0.

Cộng hai bất đẳng thức ta được

⟨pC(x)− pC(y)+ y− x, pC(x)− pC(y)

⟩=⟨

pC(x)− pC(y),y− x⟩+ ||pC(x)− pC(y)||2 ≤ 0.

Chuyển vế ta có⟨pC(x)− pC(y),x− y

⟩≥ ||pC(x)− pC(y)||2.

Suy ra điều phải chứng minh. �

Hệ quả 1.1.1. Cho C ⊂ H là một tập lồi, đóng. Với x ∈ H và y ∈C bất kỳ,

||y−PC(x)||2 ≤ ||x− y||2−||x−PC(x)||2.

Chứng minh. Cho x ∈ H và y ∈C, ta có

||x− y||2 =||(x−PC(x))− (y−PC(x))||2

=||x−PC(x)||2 + ||y−PC(x)||2−2⟨x−PC(x),y−PC(x)

⟩.

Do⟨x−PC(x),y−PC(x)

⟩≤ 0, suy ra

||x− y||2 ≥ ||x−PC(x)||2 + ||y−PC(x)||2.

Hệ quả được chứng minh. �

Toán tử chiếu là một công cụ hữu hiệu nhằm giải bài toán cân bằng và các trườnghợp đặc biệt của nó như: Bài toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, điểm bất động,bài toán điểm yên ngựa.... Trong luận văn này, ta sẽ vận dụng giải quyết bài toán bấtđẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh.

13

1.1.3. Tính liên tục của hàm lồi

Cho C ⊆ H là tập lồi và f : C→ R∪{+∞}, ta sẽ kí hiệu:

dom f := {x ∈C : f (x)<+∞}.

Tập dom f được gọi là miền hữu dụng của tập f. Tập

epi f := {(x,µ) ∈C×R : f (x)≤ µ},

được gọi là trên đồ thị của hàm f.Hàm f gọi là chính thường nếu dom f 6= /0 và f (x)>−∞ với mọi x ∈ dom f .

Định nghĩa 1.1.11. Hàm f được gọi là lồi nếu epi f là một tập lồi. Hàm f là hàm lõmnếu − f là hàm lồi. Nếu f vừa lồi vừa lõm thì ta nói f là hàm afin.

Hình 1.3: Hàm lồi

Tính chất 1.1.1. Cho C⊂H là một tập lồi, khác rỗng. Hàm f : H→R∪{+∞} đượcgọi là

i) lồi trên C nếu:

f (λx+(1−λ )y)≤ λ f (x)+(1−λ ) f (y), ∀x,y ∈C,λ ∈ [0,1],

ii) lồi thực sự (chặt) trên C nếu:

f (λx+(1−λ )y)< λ f (x)+(1−λ ) f (y), ∀x,y ∈C,x 6= y,λ ∈ (0,1),

14

iii) lồi mạnh trên C nếu:

f (λx+(1−λ )y)≤ λ f (x)+(1−λ ) f (y)− 12

βλ (1−λ )||x− y||2

với hệ số β > 0, nếu ∀x,y ∈C,λ ∈ [0,1].

Mệnh đề 1.1.4. Cho C là một tập lồi trong không gian Hilbert thực H. Khi đó:

1. Nếu f và g là các hàm lồi trên C thì f +g cũng là hàm lồi trên C. Nếu f hoặcg là hàm lồi thực sự thì f +g cũng là hàm lồi thực sự.

2. Nếu f là hàm lồi (lồi thực sự) trên C, λ là một số thực dương thì λ f là mộthàm lồi (lồi thực sự) trên C.

3. Nếu f là hàm lồi (lồi thực sự) trên C, B là tập con lồi của C thì hạn chế f |Bcủa hàm f trên C cũng là một hàm lồi (lồi thực sự) trên C.

Định nghĩa 1.1.12. Một điểm x ∈C được gọi là điểm trong tương đối của C nếu nólà điểm trong của C theo tô-pô cảm sinh bởi aff(C) (tập afin nhỏ nhất chứa C). Tậphợp các điểm trong tương đối của C ký hiệu là riC.

Định nghĩa 1.1.13. Cho f : H → R, hàm f được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 ∈ Hnếu

∀{xk} ⊂ H : xk→ x0⇒ limk→∞ f (xk)≥ f (x0).

Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên D ⊆ H nếu nó liên tục dưới tại mọi x ∈ D.Hàm f là nửa liên tục trên nếu − f là nửa liên tục dưới. Nếu hàm f vừa liên tục trênvừa liên tục dưới thì nó liên tục.

Định nghĩa 1.1.14. Một hàm số thực f được gọi là tựa lồi trên tập lồi C nếu mọi sốthực β tập mức dưới

{x ∈C | f (x)≤ β}

lồi. Tương tự, hàm f là tựa lõm trên C nếu − f là hàm tựa lồi trên C.

Nếu f tựa lồi trên C thì ∀x,y ∈C và λ ∈ [0,1] ta có

f (λx+(1−λ )y)≤max( f (x), f (y)).

Tương tự, nếu f tựa lõm trên C thì ∀x,y ∈C và λ ∈ [0,1] ta có

f (λx+(1−λ )y)≥min( f (x), f (y)).

15

Định lý 1.1.3. Giả sử f là hàm lồi chính thường trên H và x0 ∈H. Khi đó, các khẳngđịnh sau là tương đương:

a) f liên tục tại điểm x0.

b) f bị chặn trên trong một lân cận của x0.

c) int(epi f ) 6= /0.

d) int(dom f ) 6= /0. và f liên tục trong int(dom f ).

trong đó intC là kí hiệu phần trong của tập C.

1.1.4. Đạo hàm và dưới vi phân của hàm lồi

Tính khả vi của hàm lồi đóng vai trò quan trọng trong các phương pháp tối ưuhóa. Lớp các hàm lồi có những tính chất rất đẹp mà các lớp hàm khác không có. Giảsử f : H→ R là hàm lồi. Ta có các khái niệm sau

Định nghĩa 1.1.15. Vectơ ω ∈ H∗ được gọi là dưới đạo hàm của f tại x0 ∈ H nếu:⟨ω,x− x0⟩≤ f (x)− f (x0), ∀x ∈ H.

Tập hợp tất cả các dưới đạo hàm của hàm f tại x0 được gọi là dưới vi phân của hàmf tại x0, kí hiệu là

∂ f (x0) := {ω ∈ H∗ :⟨ω,x− x0⟩≤ f (x)− f (x0), ∀x ∈ H}.

Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x0 nếu ∂ f (x0) 6= /0.

Định nghĩa 1.1.16. Cho ε > 0, một vectơ ω ∈ H∗ được gọi là ε-dưới đạo hàm củaf tại x0 ∈ H nếu: ⟨

ω,x− x0⟩≤ f (x)− f (x0)+ ε, ∀x ∈ H.

Tập hợp tất cả các ε-dưới đạo hàm của hàm f tại x0 được gọi là ε-dưới vi phân củahàm f tại x0, kí hiệu là

∂ε f (x0) := {ω ∈ H∗ :⟨ω,x− x0⟩≤ f (x)− f (x0)+ ε, ∀x ∈ H}.

Hàm f được gọi là ε-khả dưới vi phân tại x0 nếu ∂ε f (x0) 6= /0.

16

Mệnh đề 1.1.5. 1. ∀α ≥ 0 ta có ∂ (α f )(x) = α∂ f (x).

2. Giả sử f là một hàm lồi, h(x) = f (Ax+b). Khi đó

∂h(x) = AT∂ f (Ax+b).

Mệnh đề 1.1.6. (Định lý Moreau-Rockafellar). Cho fi, i = 1,2, · · · ,n là các hàm lồichính thường trên H. Khi đó

n

∑i=1

∂ fi(x)⊆ ∂ (n

∑i=1

fi(x)), ∀x ∈ H.

Nếu ∩ri(dom fi) 6= /0 thìn

∑i=1

∂ fi(x) = ∂ (n

∑i=1

fi(x)), ∀x ∈ H.

Định nghĩa 1.1.17. Giả sử x ∈ H,d ∈ H\{0}, hàm f được gọi là:

a) Khả vi Frechet tại x0 nếu tồn tại ω ∈ H∗ sao cho

limx→x0

f (x)− f (x0)−⟨ω,x− x0

⟩||x− x0||

= 0, ∀x ∈ H.

Một điểm ω như thế nếu tồn tại, sẽ duy nhất và được gọi là đạo hàm của f tạix0, kí hiệu là f ′(x0) hoặc ∇ f (x0).

b) Có đạo hàm theo hướng d tại x0 nếu tồn tại giới hạn

limt→0+

f (x0 + td)− f (x0)

t.

ta gọi giới hạn đó là đạo hàm theo hướng d của f tại x0, kí hiệu là f ′(x0,d).

Định lý 1.1.4. Giả sử f là hàm lồi chính thường trên H và x ∈ dom f . Khi đó

a) f có đạo hàm theo mọi hướng tại x và

f ′(x,d) = infλ>0

f (x+λd)− f (x)λ

.

b) x∗ ∈ ∂ f (x)⇔ f ′(x,d)≥⟨x∗,d

⟩, ∀d ∈ H.

c) ∂ f (x) 6= /0⇔ f nửa liên tục dưới tại 0.

d) Nếu f khả vi tại x ∈ H thì ∂ f (x) = f ′(x).

Nói chung một hàm lồi không nhất thiết khả vi tại mọi điểm. Dưới vi phân là mộtkhái niệm mở rộng của đạo hàm trong trường hợp hàm không khả vi. Trong trườnghợp ∂ f (x∗) chỉ gồm duy nhất một điểm thì f khả vi tại x∗.

17

1.2. Bài toán bất đẳng thức biến phân

1.2.1. Các khái niệm

Định nghĩa 1.2.1. Cho K ⊂H là một tập đóng, khác rỗng, F : K→H là một ánh xạđơn trị. Bài toán bất đẳng thức biên phân (đơn trị) là bài toán

Tìm x∗ ∈ K sao cho⟨F(x∗),y− x∗

⟩≥ 0, ∀y ∈ K. (VIP)

Tập nghiệm của bài toán kí hiệu là S(K, F).

Định nghĩa 1.2.2. Giả sử K ⊂H là một tập lồi đóng, khác rỗng và toán tử F : K→Hđược gọi là

a) đơn điệu mạnh trên K nếu tồn tại γ > 0 sao cho⟨F(x)−F(y),x− y

⟩≥ γ||x− y||2 ∀x,y ∈ K,

b) đơn điệu trên K nếu ⟨F(x)−F(y),x− y

⟩≥ 0 ∀x,y ∈ K,

c) giả đơn điệu mạnh trên K nếu tồn tại γ > 0 sao cho⟨F(x),y− x

⟩≥ 0⇒

⟨F(y),y− x

⟩≥ γ||y− x||2 ∀x,y ∈ K,

d) giả đơn điệu trên K nếu⟨F(x),y− x

⟩≥ 0⇒

⟨F(y),y− x

⟩≥ 0 ∀x,y ∈ K.

Theo định nghĩa trên các kéo theo (a)⇒ (b),(a)⇒ (c),(c)⇒ (d),(b)⇒ (d), làhiển nhiên.

Chú ý rằng một toán tử giả đơn điệu mạnh có thể không đơn điệu.

Ví dụ 1.2.1.

Cho 0 < r < R, đặt K = B(r) := {x ∈ H : ||x|| ≤ r} và F được cho bởi⟨F(x),y− x

⟩:=⟨K(x),y− x

⟩+(R−||x||)

⟨G(x),y− x

⟩.

Trong đó K và G thỏa mãn các điều sau:

18

i)⟨K(x),y− x

⟩≤ 0, ∀x,y ∈ K và G là β−đơn điệu mạnh trên K,

ii)

∃ y0 ∈ K :

⟨K(0),y0

⟩+⟨K(y0),−y0

⟩= 0

R⟨G(0),y0

⟩+(R−||y0||)

⟨G(y0),−y0

⟩> 0

Giả sử⟨F(x),y− x

⟩≥ 0, do

⟨K(x),y− x

⟩≤ 0 nên ta có:

⟨G(x),y− x

⟩≥ 0. Suy ra⟨

G(y),x−y⟩≤−β ||y−x||2 (do G là đơn điệu mạnh). Theo định nghĩa của

⟨F(x),y−

x⟩

ta có: ∀x,y ∈ K,⟨F(y),x− y

⟩=⟨K(y),x− y

⟩+(R−||y||)

⟨G(y),x− y

⟩≤−(R− r)β ||y− x||2.

Suy ra F giả đơn điệu mạnh trên K. Hơn nữa theo (ii) ta có:

⟨F(0),y0⟩+⟨F(y0),−y0⟩= ⟨K(0),y0⟩+R

⟨G(0),y0⟩+

+⟨K(y0),−y0⟩+(R−||y0||)

⟨G(y0),−y0⟩> 0.

Do đó F không đơn điệu.

Định nghĩa 1.2.3. Giả sử toán tử F là toán tử giả đơn điệu mạnh thì bài toán bấtđẳng thức biến phân (VIP) trở thành bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệumạnh. Kí hiệu là VI(K, F).

Mệnh đề 1.2.1. Cho K ⊂ H là một tập lồi đóng và toán tử F : K→ H liên tục.

a) Nếu F giả đơn điệu mạnh thì VI(K, F) nếu có thì có duy nhất một nghiệm.

b) Nếu F giả đơn điệu thì S(K, F) là một tập lồi.

Chứng minh. Giả sử F là toán tử giả đơn điệu mạnh và u∗,v∗ ∈ S(K,F), thì⟨F(v∗),u∗− v∗

⟩≥ 0 và

⟨F(v∗),v∗− u∗

⟩≥ γ||v∗− u∗||2. Cộng từng vế của hai bất

đẳng thức ta được γ||v∗−u∗||2 ≤ 0. Suy ra u∗ = v∗.Cho F liên tục và giả đơn điệu. Để chứng minh S(K,F) là một tập lồi ta chỉ cần

chứng minh rằng

S(K,F) =⋂

u∈K

{u∗ ∈ K :⟨F(u),u−u∗

⟩≥ 0}.

Thật vậy, nếu u∗ ∈ S(K,F) thì⟨F(u∗),u−u∗

⟩≥ 0 với mọi u ∈ K. Do hàm F giả đơn

điệu nên⟨F(u),u− u∗

⟩≥ 0 với mọi u ∈ K. Do vậy u∗ thuộc vế phải của đẳng thức

19

trên. Ngược lại, giả sử u∗ ∈⋂

u∈K{u∗ ∈ K :

⟨F(u),u−u∗

⟩≥ 0}. Cho u ∈ K tùy ý, vectơ

u = τu∗+(1− τ)v ∈ K với mọi τ ∈ (0,1),u∗,v ∈ K. Do đó, ta có:⟨F(τu∗+(1− τ)v),u−u∗

⟩≥ 0, ∀τ ∈ (0,1).

Cho τ → 1 thì⟨F(u∗),u− u∗

⟩≥ 0. Do đó, u∗ ∈ S(K,F). Vì với mỗi u ∈ K, tập

{u∗ ∈ K :⟨F(u),u−u∗

⟩≥ 0} là lồi và giao của các tập lồi là một tập lồi nên S(K,F)

là một tập lồi. Mệnh đề được chứng minh. �

Định nghĩa 1.2.4. Ánh xạ F được gọi là liên tục Lipschitz trên K nếu tồn tại hằng sốL > 0 sao cho:

||F(u)−F(v)|| ≤ L||u− v||, ∀u,v ∈ K.

PK(.) là một ánh xạ liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz L=1.

1.2.2. Các ví dụ minh họa

Nhiều bài toán trong tối ưu hóa, phương trình vật lý toán và nhiều vấn đề trongkinh tế, kỹ thuật, cân bằng giao thông đô thị... đều có thể mô tả dưới dạng bài toánbất đẳng thức biến phân.

Ví dụ 1.2.2. (Bài toán cân bằng giao thông đô thị)

Xét một mạng giao thông được cho bởi một luồng mạng hữu hạn. Gọi+ I là tập hợp các phương tiện giao thông,+ P là tập hợp các điểm nút giao thông,+ E là tập hợp các cạnh (tuyến đường). Giả sử A ⊆ P và B ⊆ P, sao cho A∩B 6= /0.Mỗi phần tử thuộc A gọi là một điểm nguồn. Mỗi phần tử thuộc B gọi là một điểmđích. Mỗi điểm nguồn và điểm đích được nối với nhau bởi một tập hợp liên tiếp cáccạnh (tuyến đường). Kí hiệu:+ f i

e là mật độ giao thông của phương tiện i trên đoạn đường e ∈ E. Đặt f là vectơ cócác thành phần là f i

e với i ∈ I, và e ∈ E.+ ci

e là chi phí sử dụng phương tiện giao thông i trên đoạn đường E. Đặt c là vectơ cócác thành phần là ci

e với i ∈ I, và e ∈ E.+ di

ω là nhu cầu sử dụng loại phương tiện i trên tuyến đường ω = (A,B).Đặt d làvectơ có các thành phần là di

ω với i ∈ I, và ω ∈ A×B.Giả sử chi phí giao thông phụ thuộc vào lưu lượng, tức là c = c( f ) là một hàm

của f .

20

+ λ iω là mức độ chi phí trên tuyến đường ω của phương tiện giao thông i.

+ xiω : là mật độ giao thông của phương tiện i ∈ I trên tuyến đường ω = (A,B)Giả sử trong mạng trên, phương trình cân bằng sau được thỏa mãn:

diω = ∑

p∈Pω

xip, ∀i ∈ I,ω ∈ A×B. (1.1)

Trong đó, Pω kí hiệu là tập các tuyến đường của ω = (A,B) (nối điểm nguồn Avà điểm đích B). Theo phương trình (1.1), thì nhu cầu sử dụng loại phương tiện i trêntuyến đường ω đúng bằng mật độ giao thông của phương tiện đó trên tuyến đườngnối điểm nguồn và điểm đích của tuyến đường đó. Khi đó ta có:

f ie = ∑

p∈Pω

xipδep, ∀i ∈ I,ω ∈ A×B. (1.2)

Trong đó:

δep =

1 khi e ∈ P

0 khi e /∈ P.

Với mỗi tuyến đường p nối một điểm nguồn và một điểm đích, đặt

cip = ∑

e∈Eci

eδep.

Như vậy, cip là chi phí sử dụng phương tiện i trên tuyến đường p. Mỗi cặp (d∗, f ∗)

thỏa mãn (1.1) và (1.2) được gọi là điểm cân bằng mạng giao thông nếu:

cip =

= λω i(d∗) khi xip > 0

> λω i(d∗) khi xip = 0.

Với mỗi i ∈ I và mỗi tuyến đường P. Theo định nghĩa này, tại điểm cân bằng đốivới một loại phương tiện giao thông và mọi tuyến đường, chi phí sẽ thấp nhất khi cólưu lượng giao thông trên tuyến đó. Ngược lại, chi phí sẽ không phải là thấp nhất.

Đặt K = {( f ,d) | ∃ x≥ 0 sao cho (1.1) và (1.2) đúng }.Khi đó, ta có định lý sau:

Định lý 1.2.1. Mỗi cặp vectơ ( f ∗,d∗) ∈ K là một điểm cân bằng của mạng giaothông khi và chỉ khi nó là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân sau

Tìm ( f ∗,d∗) ∈ K :⟨(

c( f ∗),λ (d∗)),( f ,d)− ( f ∗,d∗)

⟩≥ 0, ∀( f ,d) ∈ K.

21

Ví dụ 1.2.3. (Bài toán cân bằng di trú)

Bài toán cân bằng di trú bao gồm một tập hữu hạn các điểm X. Với mỗi i, j ∈ X ,

gọi+ bi là mật độ cố định tại vị trí i,+ hi j là trọng số của dòng di trú từ vị trí đầu i đến đích j,+ xi là mật độ hiện tại tại vị trí i,+ ui là tiện ích di trú,+ ci j là chi phí di trú.

Đặt x = {xi | i ∈ X} và h = {hi j | i, j ∈ X, i 6= j}, ta định nghĩa

X =

{(x,h)

∣∣∣∣ h > 0, ∑i 6= j

hi j ≤ bi,

xi = bi +∑i 6= j

h ji−∑i 6= j

hi j, ∀i ∈ X}. (1.3)

Từ ràng buộch > 0, ∑

i 6= jhi j ≤ bi,

những luồng h là bị chặn . Do đó, mật độ

xi = bi +∑i6= j

h ji−∑i 6= j

hi j, i ∈ X ,

là bị chặn nên X bị chặn.Quy luật trong (1.3) phản ánh sự bảo toàn của dòng và ngăn cản dòng di trú. Rõ

ràng, các dòng di trú là không âm.Điều kiện không âm cho mô hình di trú vô hướng là phức tạp hơn mô hình cân

bằng mạng. Giả sử rằng tính tiện ích phụ thuộc mật độ, nghĩa là ui = ui(x), và chiphí di trú phụ thuộc và dòng di trú, nghĩa là ci j = ci j(h). Chúng ta nói rằng cặp(x∗,h∗) ∈ X là cân bằng nếu

ui(x∗)−u j(x∗)+ ci j(h∗)+µi

= 0 nếu h∗i j > 0,

≥ 0 nếu h∗i j = 0, ∀i, j ∈ N;(1.4)

Trong đó

µ j

≥ 0 nếu ∑

s 6=ih∗is = bi,

= 0 nếu ∑s 6=i

h∗is < bi, với mỗi i ∈ N.(1.5)

22

Tập các điều kiện cân bằng (1.4), (1.5) có thể được viết lại tương đương với bấtđẳng thức biến phân. Tìm một cặp (x∗,h∗) sao cho

∑i∈N

(x∗i − xi)ui(x∗)+ ∑i, j∈N,i 6= j

(hi j−h∗i j)ci j(h∗)≥ 0, ∀(x,h) ∈ H.

Ngoài những vấn đề thực tế, như hai bài toán trên được đưa về bài toán bất đẳngthức biến phân thì ta còn có nhiều bài toán điển hình khác cũng được đưa về bài toánnày.

Ví dụ 1.2.4. Bài toán điểm bất động Brouwer

Cho K là một tập lồi, đóng, khác rỗng, compăc yếu trong H và ánh xạ T : K→ Klà ánh xạ liên tục. Bài toán điểm bất động được phát biểu như sau

Tìm x∗ ∈ K : x∗ = T (x∗).

Bài toán điểm bất động được đưa về bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) thôngqua mệnh đề sau

Mệnh đề 1.2.2. Giả sử ánh xạ F được xác định bởi

F(x) = x−T (x), ∀x ∈ K.

Khi đó, nghiệm của bài toán điểm bất động trùng với nghiệm của bài toán bất đẳngthức biến phân (VIP). Tức là bài toán bất đẳng thức biến phân tương đương với bàitoán điểm bất động.

Chứng minh. Giả sử x∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) vàF(x) = x−T (x), với mọi x ∈ K, tức là⟨

F(x∗),x− x∗⟩≥ 0, ∀x ∈ K.

Do F(x∗) = x∗−T (x∗), ∀x ∈ K. Suy ra⟨x∗−T (x∗),x− x∗

⟩≥ 0, ∀x ∈ K.

Do T (x∗) ∈ K nên thay x ở trên bởi T (x∗) thì⟨x∗−T (x∗),T (x∗)− x∗

⟩≥ 0.

23

Hay −||x∗−T (x∗)|| ≥ 0. Từ đó, ta được x∗ = T (x∗).Ngược lại, giả sử x∗ là nghiệm của bài toán điểm bất động. Khi đó

x∗ = T (x∗).

Suy raF(x∗) = x∗−T (x∗) = 0.

Hay ⟨F(x∗),x− x∗

⟩= 0

Suy ra điều phải chứng minh. �

Ví dụ 1.2.5. Bài toán bù phi tuyến

Trước khi phát biểu bài toán, ta sẽ trình bày mối quan hệ giữa bài toán (VIP) vànón pháp tuyến của một tập lồi.

Mệnh đề 1.2.3. Cho K ⊂H là một tập lồi, đóng, khác rỗng và ánh xạ F : K→H, x∗

là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) khi và chỉ khi −F(x∗) thuộcnón pháp tuyến của K tại x∗, tức là

x∗ ∈ S(K,F)⇔−F(x∗) ∈ NK(x∗).

Nói cách khác, x∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân khi và chỉ khi

0 ∈ F(x∗)+NK(x∗).

Chứng minh. Theo định nghĩa ta có

x∗ ∈ S(K,F)⇔⟨F(x∗),x− x∗

⟩≥ 0, ∀x ∈ K

⇔⟨−F(x∗),x− x∗

⟩≤ 0, ∀x ∈ K

⇔−F(x∗) ∈ NK(x∗).

Suy ra điều phải chứng minh. �

Định nghĩa 1.2.5. Cho K ⊂ H là một tập lồi, đóng, khác rỗng, nón đối ngẫu của K,kí hiệu là K∗, là một tập được định nghĩa bởi

K∗ = {y :⟨y,x⟩≥ 0, ∀x ∈ K}.

24

Về mặt hình học, K∗ là tập hợp bao gồm tất cả các vectơ y ∈H tạo thành một góckhông tù với mọi vectơ x∈K. Sau đây, chúng ta sẽ đi phát biểu bài toán bù phi tuyến:Cho K ⊂ H là một tập lồi, đóng, khác rỗng và K∗ là nón đối ngẫu của K, ánh xạF : K→ H. Bài toán bù phi tuyến là bài toán

Tìm x∗ ∈ K : F(x∗) ∈ K∗;⟨x∗,F(x∗)

⟩= 0. (NCP)

Tập các nghiệm của bài toán (NCP) kí hiệu là S∗(K,F).Mối quan hệ giữa bài toán (VIP) và bài toán (NCP) được thể hiện qua mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.2.4. Nếu K là một nón lồi, đóng trong H thì tập nghiệm của bài toán(NCP) và bài toán (VIP) là trùng nhau, tức là: S∗(K,F) = S(K,F).

Chứng minh. Giả sử x∗ ∈ S(K,F). Theo định nghĩa, ta có:

∃x∗ ∈ K :⟨F(x∗),x− x∗

⟩≥ 0, ∀x ∈ K.

Bằng cách lấy x = 0 ∈ K, suy ra ⟨F(x∗),−x∗

⟩≥ 0.

Bằng cách lấy x = 2x∗ ∈ K, suy ra⟨F(x∗),x∗

⟩≥ 0.

Từ đó, ta thu được ⟨F(x∗),x∗

⟩= 0.

Mặt khác, từ định nghĩa ta có:

0≤⟨F(x∗),x− x∗

⟩=⟨F(x∗),x

⟩−⟨F(x∗),x∗

⟩=⟨F(x∗),x

⟩, ∀x ∈ K.

Vậy F(x∗) ∈ K∗. Suy ra x∗ ∈ S∗(K,F). Hay S(K,F)⊂ S∗(K,F).Ngược lại, giả sử x∗ ∈ S∗(K,F). Theo định nghĩa, ta có:

F(x∗) ∈ K∗ :⟨F(x∗),x∗

⟩= 0.

Mặt khác, vì F(x∗) ∈ K∗, nên với mọi x ∈ K ta có:⟨F(x∗),x− x∗

⟩=⟨F(x∗),x

⟩−⟨F(x∗),x∗

⟩=⟨F(x∗),x

⟩≥ 0.

Suy ra x∗ ∈ S(K,F). Hay S∗(K,F)⊂ S(K,F). Vậy S∗(K,F) = S(K,F).Suy ra điều phải chứng minh. �

25

1.2.3. Sự tồn tại nghiệm

Trong phần này, trình bày chứng minh theo tài liệu [9] rằng bài toán bất đẳng thứcbiến phân giả đơn điệu mạnh luôn tồn tại một nghiệm và đó là nghiệm duy nhấtcủabái toán.

Bổ đề 1.2.1. Giả sử K là một tập lồi đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert H.Cho F : K → H là một toán tử sao cho

⟨F(∗),y−∗

⟩là nửa liên tục trên với mỗi

y ∈ K . Giả sử

∃ tập compăc W : ∀x ∈ K\W, ∃y ∈ K :⟨F(x),y− x

⟩< 0.

Thì bài toán bất đẳng thức biến phân (VI) có một nghiệm.

Mệnh đề 1.2.5. Giả sử F là β− giả đơn điệu mạnh trên K. Nếu⟨F(∗),y−∗

⟩là nửa

liên tục trên với mỗi y ∈ K thì bài toán bất đẳng thức biến phân (VI) có một nghiệmduy nhất.

Chứng minh. Giả sử K không bị chặn. Theo Bổ đề (1.2.1) ta có:

∃ hình cầu đóng B : ∀x ∈ K\B, ∃y ∈ K∩B :⟨F(x),y− x

⟩< 0. (1.6)

Thật vậy, nếu không, với mọi hình cầu đóng Br tâm O, bán kính r, tồn tại xr ∈ K\Br

sao cho⟨F(xr),y0− x

⟩≥ 0, ∀y ∈ K∩Br.

Cố định r0 > 0, thì với mọi r > r0, tồn tại xr ∈ K\Br sao cho⟨F(xr),y0− xr

⟩≥

0, với y0 ∈ K∩Br0 . Do đó, vì F là β−giả đơn điệu mạnh, ta có:⟨F(y0),xr− y0⟩+β ||xr− y0||2 ≤ 0 ∀r. (1.7)

Mặt khác, do tập K lồi và⟨F(y0),∗− y0

⟩lồi trên K, với εr :=

1r

tồn tại x0 ∈ K sao

cho ∂εr2

⟨F(y0),x0− y0

⟩6= /0, trong đó ∂

εr2

⟨F(y0),x0− y0

⟩là viết tắt của εr-khả dưới

vi phân của hàm lồi⟨F(y0),∗− y0

⟩tại x0. Lấy w∗ ∈ ∂

εr2

⟨F(y0),x0− y0

⟩, theo định

nghĩa của εr-khả dưới vi phân ta có:⟨F(y0),x− y0⟩+ 1

r≥⟨w∗,x− x0⟩+⟨F(y0),x0− y0⟩ ∀x.

Thay x = xr ta thu được

⟨F(y0),xr− y0⟩+β ||xr− y0||2 + 1

r≥⟨F(y0),x0− y0⟩+⟨w∗,xr− x0⟩+β ||xr− y0||2

≥⟨F(y0),x0− y0⟩−||w∗|| ||xr− x0||+β ||xr− y0||2.

26

Cho r→ ∞, từ đó ||xr|| → ∞, suy ra⟨F(y0),xr− y0

⟩+β ||xr− y0||2→ ∞ mâu thuẫn

với (1.7). Do đó, điều kiện bức (1.6) phải đúng. Theo Bổ để 1.2.1, bài toán bất đẳngthức biến phân (VI) thừa nhận một nghiệm.

Trong trường hợp K bị chặn, mệnh đề là một hệ quả của Định lý Ky Fan.[5]Tính duy nhất nghiệm được suy luận trực tiếp từ Mệnh đề 1.2.1.

Mệnh đề được chứng minh. �

27

Chương 2

Phương pháp chiếu giải bàitoán bất đẳng thức biến phângiả đơn điệu mạnh

Chương này, trình bày các thuật toán chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phângiả đơn điệu mạnh V I(K,F). Phần đầu, trình bày thuật toán chiếu dưới đạo hàm tăngcường (mỗi bước lặp có hai lần chiếu) với độ dài bước được lấy từ một khoảng đóngcủa các số thực dương, không yêu cầu phụ thuộc vào hằng số Lipschitz. Dãy lặp tổngquát thu được từ thuật toán này hội tụ tới nghiệm duy nhất của bài toán.

Phần sau, trình bày thuật toán chiếu cơ bản cải biên (mỗi bước lặp chỉ có mộtlần chiếu) với độ dài bước được lấy tùy ý từ một khoảng đóng cố định của các sốthực dương. Trình bày chứng minh dãy lặp tổng quát thu được từ thuật toán này hộitụ tuyến tính tới nghiệm duy nhất của bài toán. Phương pháp này đòi hỏi hằng sốLipschitz và môđun của giả đơn điệu mạnh trong việc lựa chọn khoảng đóng cố địnhchứa độ dài bước. Nội dung chủ yếu của chương được trích dẫn từ tài liệu [7], [8].

28

Đề tiện cho việc theo dõi, em xin phát biểu lại bài toán bất đẳng thức biến phângiả đơn điệu manh như sau:

Định nghĩa 2.0.6. Cho K ⊂H là một tập đóng, khác rỗng, F : K→H là toán tử giảđơn điệu mạnh trên K. Bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh là bàitoán

Tìm x∗ ∈ K sao cho⟨F(x∗),y− x∗

⟩≥ 0, ∀y ∈ K. (VI)

Tập nghiệm của bài toán được ký hiệu là VI(K, F).

2.1. Phương pháp chiếu dưới đạo hàm tăng cường

Thuật toán 2.1.1 Chọn một điểm đầu u0 ∈ K và một dãy các độ dài bước{λk}∞

k=0 ⊂ R+ với∞

∑k=0

λk =+∞, limk→∞

λk = 0.

Bước 1: Đặt k=0.

Bước 2: Tínhuk = PK(uk−λkF(uk)),

uk+1 = PK(uk−λkF(uk)).

Bước 3: Nếu uk = uk thì dừng lại. Ngược lại thì đặt k+1 = k và quay lại bước 2.

Nếu thuật toán dừng ở bước thứ k, thì ta đặt uk′ = uk với mọi k′ ≥ k+ 1. Vì thế,Thuật toán 2.1.1 tạo ra một dãy lặp vô hạn.

Định lý 2.1.1. Cho K là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert thựcH. Giả sử F : K→ H là liên tục Lipschitz và giả đơn điệu mạnh trên K, thì dãy lặp{uk} được tạo bởi Thuật toán 2.1.1 hội tụ mạnh tới nghiệm u∗ của bài toán. Hơn nữa,tồn tại một chỉ số k0 ∈ N sao cho γλk < 1 với mọi k ≥ k0 và

||uk+1−u∗|| ≤

√√√√ k

∏j=k0

(1− γλ j)||uk0 −u∗||,

trong đó γ > 0 là hằng số giả đơn điệu mạnh của F. Ngoài ra,

limk→∞

√√√√ k

∏j=k0

(1− γλ j) = 0.

29

Chứng minh. Do F liên tục Lipschitz nên tồn tại L > 0 sao cho

||F(u)−F(v)|| ≤ L||u− v||, ∀u,v ∈ K.

Theo Hệ quả 1.1.1 ta có:

||v−PK(u)||2 ≤ ||u− v||2−||u−PK(u)||2, ∀v ∈ K,u ∈ H.

Thay v = u∗ ∈ K,u = uk−λkF(uk) và uk+1 = PK(uk−λkF(uk)) vào bất đẳng thứctrên ta được

||u∗−uk+1||2 ≤ ||uk−λkF(uk)−u∗||2−||uk−λkF(uk)−uk+1||2

= ||(uk−u∗)−λkF(uk)||2−||(uk−uk+1)−λkF(uk)||2

= ||uk−u∗||2−||uk−uk+1||2 +2λk⟨F(uk),u∗−uk+1⟩.

Vì u∗ ∈ S(K,F), nên⟨F(u∗),u−u∗

⟩≥ 0, với mọi u ∈ K. Theo tính chất giả đơn điệu

mạnh của F ta có⟨F(u),u− u∗

⟩≥ γ||u− u∗||2 với mọi u ∈ K. Cho u = uk ∈ K, ta

được bất đẳng thức mới⟨F(uk),u∗−uk

⟩≤−γ||uk−u∗||2. Do đó⟨

F(uk),u∗−uk+1⟩= ⟨F(uk),u∗−uk⟩+⟨F(uk),uk−uk+1⟩≤−γ||uk−u∗||2 +

⟨F(uk),uk−uk+1⟩.

Suy ra

||uk+1−u∗||2

≤ ||uk−u∗||2−||uk−uk+1||2−2γλk||uk−u∗||2 +2λk⟨F(uk),uk−uk+1⟩

= ||uk−u∗||2−||uk−uk||2−||uk−uk+1||2−2⟨uk−uk,uk−uk+1⟩

−2γλk||uk−u∗||2 +2λk⟨F(uk),uk−uk+1⟩

= ||uk−u∗||2−||uk−uk||2−||uk−uk+1||2−2γλk||uk−u∗||2

+2⟨uk−uk−λkF(uk),uk+1−uk⟩.

Mặt khác⟨uk−uk−λkF(uk),uk+1−uk⟩= ⟨uk−uk−λkF(uk),uk+1−uk⟩

+⟨λkF(uk)−λkF(uk),uk+1−uk⟩

≤ λk⟨F(uk)−F(uk),uk+1−uk⟩>

≤ λk||F(uk)−F(uk)|| ||uk+1−uk||

≤ λkL||uk−uk|| ||uk+1−uk||.

30

Suy ra

||uk+1−u∗||2 ≤ ||uk−u∗||2−||uk−uk||2−||uk−uk+1||2

+2λkL||uk−uk|| ||uk+1−uk||−2γλk||uk−u∗||2.

Hơn nữa

2λkL||uk−uk|| ||uk+1−uk|| ≤ λ2k L2||uk−uk||2 + ||uk+1−uk||2,

nên ta thu được

||uk+1−u∗||2 ≤ ||uk−u∗||2−||uk−uk||2 +λ2k L2||uk−uk||2−2γλk||uk−u∗||2

≤ ||uk−u∗||2− (1−λ2k L2)||uk−uk||2−2γλk||uk−u∗||2.

Cho λk → 0, khi đó tồn tại k0 ∈ N sao cho 2γλk ≤ 1−λ 2k L2 với mọi k ≥ k0. Do đó

với k ≥ k0, ta có γλk ≤12− 1

2λ 2

k L2 < 1 và

||uk+1−u∗||2 ≤ ||uk−u∗||2−2γλk(||uk−uk||2 + ||uk−u∗||2)

≤ ||uk−u∗||2− γλk(||uk−uk||+ ||uk−u∗||)2

≤ ||uk−u∗||2− γλk||uk−u∗||2.

Lấy tổng của các bất đẳng thức ||uk+1−u∗||2 ≤ ||uk−u∗||2−γλk||uk−u∗||2 từ k0 tớin. Ta được

||un+1−u∗||2 ≤ ||uk0 −u∗||2−n

∑k=k0

γλk||uk−u∗||2.

Vì thến

∑k=k0

γλk||uk−u∗||2 ≤ ||uk0 −u∗||2−||un+1−u∗||2.

Vì ||uk+1−u∗||2 ≤ ||uk−u∗||2− γλk||uk−u∗||2 ≤ ||uk−u∗||2 với k ≥ k0. Do vậy

γ

(n

∑k=k0

λk

)||un−u∗||2 ≤

n

∑k=k0

γλk||uk−u∗||2

≤ ||uk0 −u∗||2−||un+1−u∗||2

≤ ||uk0 −u∗||2.

Vì∞

∑k=0

λk = +∞ và γ > 0 nên limn→∞||un−u∗|| = 0. Do đó dãy {uk} hội tụ theo chuẩn

tới u∗.

31

Tiếp theo ta sẽ chứng minh tồn tại k0 ∈ N sao cho γλk < 1 với mọi k ≥ k0 và||uk+1−u∗|| ≥

√∏

kj=k0

(1− γλ j)||uk0 −u∗||. Với k ≥ k0

||uk+1−u∗||2 ≤ (1− γλk)||uk−u∗||2

≤ (1− γλk)(1− γλk−1)||uk−1−u∗||2

...

≤k

∏j=k0

(1− γλ j)||uk0 −u∗||2.

Suy ra

||uk+1−u∗|| ≤

√√√√ k

∏j=k0

(1− γλ j)||uk0 −u∗||.

Mặt khác, ta thấy rằng

1− γλ j ≤1

1+ γλ j∀ j ≥ k0,

do đók

∏j=k0

(1− γλ j)≤1

k∏

j=k0

(1+ γλ j)

≤ 1

1+ γk∑

j=k0

λ j

−→ 0

khi k −→ ∞. Định lý được chứng minh. �

Trong phần tiếp theo, ta sẽ chứng minh giả thiết hàm F là giả đơn điệu mạnh và

hai điều kiện∞

∑k=0

λk =+∞, limk→∞

λk = 0 là cần thiết cho khẳng định của Định lý 2.1.1.

Ví dụ 2.1.1. Cho K =R và F(u) = u. Dễ thấy, F là liên tục Lipschitz, đơn điệu mạnhtrên K và S(K,F) = {0}. Chọn u0 = 1 ∈ K và định nghĩa dãy {λk} bằng cách đặt

λk =1

(k+1)2 ∀k ∈ N.

Từ đó∞

∑k=0

λk <+∞, và dãy lặp {uk} được tạo bởi Thuật toán 2.1.1 được cho bởi

uk+1 = PK(uk−λkF(PK(uk−λkF(uk))))

= uk−λkF(uk−λkF(uk))

= uk−λk(uk−λkuk)

= (1−λk +λ2k )u

k.

32

Vì u0 = 1, ta có

uk+1 =k

∏j=0

(1−λ j +λ2j ) =

k

∏j=0

(1− 1

( j+1)2 +1

( j+1)4

)

≥k

∏j=1

(1− 1

( j+1)2

)=

k

∏j=1

j( j+2)( j+1)2

=k+2

2(k+1)∀k ∈ N.

Do đó, {uk} là dãy giảm và bị chặn dưới nên nó hội tụ.

limk→∞

uk ≥ limk→∞

k+22(k+1)

=12.

Ta được limk→∞

uk = u∗ với u∗ ≥ 12

.Do vậy, dãy {uk} không hội tụ tới nghiệm duy nhất

của bài toán VI(K,F).Ví dụ 2.1.2. Cho K,F,u0 như trong Ví dụ 2.1.1 và λk = 1 với mọi k ∈ N. Do đó

∞

∑k=0

λk = +∞. Tuy nhiên như đã tính toán ở trên uk =k−1∏j=0

(1−λ j +λ 2j ) = 1 với mọi

k ∈ N. Do vậy limk→∞

uk = 1 không hội tụ tới nghiệm duy nhất của bài toán.

Ví dụ 2.1.3. Cho K =R2 và F(u) = (−u2,u1) với mọi u = (u1,u2)∈K. Dễ thấy hàmF liên tục Lipschitz và đơn điệu trên K, và nghiệm của bài toán VI(K,F) là (0,0)T .Cho u0 = (u0

1,u02)

T ∈ K\{(0,0)T} bất kỳ và {λk} được cho bởi

λk =1

k+1∀k ∈ N.

Khi đó∞

∑k=0

λk =+∞, limk→∞

λk = 0. Để chứng minh F không giả đơn điệu mạnh trên K,

ta chỉ cần chọn u = (1,0)T ,v = (2,0)T , khi đó⟨F(u),v−u

⟩= 0 và

⟨F(v),v−u

⟩= 0.

Dãy lặp {uk} được tạo bởi Thuật toán 2.1.1 được cho bởiu0 = (u0

1,u02)

T

uk+11 =

(1− 1

(k+1)2

)uk

1 +1

k+1uk

2

uk+12 =

(1− 1

(k+1)2

)uk

2−1

k+1uk

1

33

Ta có

||uk+1|| =

√(uk+1

1 )2 +(uk+12 )2

=√(uk

1)2 +(uk

2)2

√1− 1

(k+1)2 +1

(k+1)4

=||uk||

√1− 1

(k+1)2 +1

(k+1)4

=||u0||

√√√√ k

∏j=0

(1− 1

( j+1)2 +1

( j+1)4

).

Khi đó

limk→∞||uk||= ||u0|| lim

k→∞

√√√√ k

∏j=0

(1− 1

( j+1)2 +1

( j+1)4

)

≥ ||u0|| limk→∞

√k+2

2(k+1)

≥√

22||u0||

= µ||u0|| (µ ≥√

22

).

Do đó, {uk} không hội tụ đến nghiệm duy nhất của bài toán VI(K,F). Ta sẽ chứngminh tập hợp các điểm tụ của dãy {uk} là đường tròn

S := {u ∈ R2 : ||u||= µ||u0||}.

Với mỗi k ∈ N, cho zk = uk1 + iuk

2 là số phức được tạo bởi uk. Để chứng minh tập hợpcác điểm tụ của {uk} là đường tròn ta chỉ cần chứng minh tập các điểm tụ của {zk}là đường tròn.

S := {z ∈ C : |z|= µ|z0|}

trong mặt phẳng phức. Ta có

uk+11 + iuk+1

2 =

(1− i

k+1− 1

(k+1)2

)uk

1 +

(i+

1k+1

− i(k+1)2

)uk

2

=

(1− i

k+1− 1

(k+1)2

)uk

1 + i(

1− ik+1

− 1(k+1)2

)uk

2

=

(1− i

k+1− 1

(k+1)2

)(uk

1 + iuk2).

34

Đặt ak = 1− ik+1

− 1(k+1)2 , ta có zk+1 = akzk =

(k∏j=0

a j

)z0. Với mỗi k≥ 1 ta viết

ak dưới dạng hàm mũ ak = rkeiθk , trong đó

rk = |ak|=

√1− 1

(k+1)2 +1

(k+1)4 ,

θk = arctan(−(k+1)−1

1− (k+1)−2

)∈(−π

2,0).

Thì

zk+1 = a0

(k

∏j=1

r j

)eωkiz0 = a0

(k

∏j=1

r j

)|z0|eωkieθ i,

trong đó a0 =−i,ωk =k∑j=1

θ j và θ ∈ (−π,π] là argument chính của z0. Vì

θk = arctan(−(k+1)−1

1− (k+1)−2

)=− 1

k+2+O

(1k2

),

nên limk→∞

θk = 0 và limk→∞

ωk =−∞.

Cho z = a0µ|z0|eiθ là một điểm tùy ý trên S. Với mọi m ∈ N, tồn tại duy nhấtkm ∈ N sao cho ωkm ≤ θ −θ −2mπ < ωkm−1. Do đó

|ωkm − (θ −θ −2mπ)| ≤ |ωkm −ωkm−1|= |θkm |.

Vì θkm → 0, ta có ωkm − (θ − θ − 2mπ)→ 0 khi m→ ∞. Nghĩa là ωkm + 2mπ →θ −θ khi m→ ∞. Do vậy

limm→∞

eωkm i = limm→∞

e(ωkm+2mπ)i = e(θ−θ)i.

Hơn nữa

limm→∞

(k

∏j=1

r j

)= lim

m→∞

√√√√ k

∏j=0

(1− 1

( j+1)2 +1

( j+1)4

)= µ.

Vậy ta đượclim

m→∞zkm+1 = a0µe(θ−θ)ieθ i := z.

Ta đã chứng minh được tập tất cả các điểm tới hạn của {zk} là đường tròn S.Qua các ví dụ trên ta thấy rằng, nếu bỏ đi bất kỳ một trong ba đều kiện trên thì

dãy lặp {uk} đều không hội tụ tới nghiệm duy nhất của bài toán VI(F,K).

35

2.2. Phương pháp chiếu cơ bản cải biên

Thuật toán 2.2.1. Cho trước u0 ∈ K và {λk} ⊂ (0,+∞).

Bước 1: Đặt k=0.

Bước 2: Tính u′k = PK(uk − λkF(uk)), nếu u′k = uk thì dừng lại. Nếu không thìchuyển sang bước tiếp theo.

Bước 3: Đặt uk+1 = u′k, sau đó quay lại bước 2.

Nếu thuật toán chấm dứt ở bước thứ k, thì ta đặt uk′ = uk với mọi k′ ≥ k+1. Nhưvậy, đối với một dãy các độ dài bước thay đổi {λk} ⊂ (0,+∞), Thuật toán 2.2.1 tạora cho mỗi điểm ban đầu u0 ∈ K một dãy lặp vô hạn {uk}.

Mệnh đề 2.2.1. Cho K là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbertthực H và ánh xạ F : K → H là giả đơn điệu mạnh trên K với mô-đun γ và liên tụcLipschitz trên K với hằng số L. Cho {uk} là dãy lặp được tạo ra bởi Thuật toán 2.2.1và u∗ là nghiệm duy nhất của bài toán VI(K, F) thì

[1+λk(2γ−λkL2)] ||uk+1−u∗||2 ≤ ||uk−u∗||2, ∀k ∈ N.

Chứng minh. Ta có uk+1 = PK(uk−λkF(uk)), theo Mệnh đề 1.1.3(3)⟨uk−λkF(uk)−uk+1,u−uk+1⟩≤ 0, ∀u ∈ K.

Thay u = u∗ ∈ K ta thu được bất đắng thức⟨uk−λkF(uk)−uk+1,u∗−uk+1⟩≤ 0,

hoặc tương đương

2⟨uk−uk+1,u∗−uk+1⟩≤ 2λk

⟨F(uk),u∗−uk+1⟩. (2.1)

Từ đó u∗ ∈ S(K,F), suy ra⟨F(u∗),u−u∗

⟩≥ 0, với mọi u ∈ K. Do tính chất giả đơn

điệu mạnh của F ta có⟨F(u),u−u∗

⟩≥ γ||u−u∗||2 với mọi u ∈ K. Do đó, theo bất

đẳng thức Cauchy-Schwarz và tính liên tục Lipschitz của F ,

2λk⟨F(uk),u∗−uk+1⟩=−2λk

⟨F(uk+1),uk+1−u∗

⟩+2λk

⟨F(uk)−F(uk+1),u∗−uk+1⟩

36

≤−2λkγ||uk+1−u∗||2 +2λk||F(uk)−F(uk+1)|| ||uk+1−u∗||

≤ −2λkγ||uk+1−u∗||2 +2λkL||uk−uk+1|| ||uk+1−u∗||.

Mặt khác ta có:

2λkL||uk−uk+1|| ||uk+1−u∗|| ≤ ||uk−uk+1||2 +(λkL)2||uk+1−u∗||2,

ta thu được

2λk⟨F(uk),u∗−uk+1⟩≤−2λkγ||uk+1−u∗||2 + ||uk−uk+1||2

+(λkL)2||uk+1−u∗||2. (2.2)

Mặt khác

2⟨uk−uk+1,u∗−uk+1⟩= ||uk−uk+1||2 + ||u∗−uk+1||2

−||(uk−uk+1)− (u∗−uk+1)||2

= ||uk−uk+1||2 + ||uk+1−u∗||2−||uk−u∗||2. (2.3)

Kết hợp (2.1) với (2.2) và (2.3) ta được

||uk−uk+1||2 + ||uk+1−u∗||2−||uk−u∗||2

≤−2λkγ||uk+1−u∗||2 + ||uk−uk+1||2 +(λkL)2||uk+1−u∗||2.

Suy ra[1+λk(2γ−λkL2)] ||uk+1−u∗||2 ≤ ||uk−u∗||2, ∀k ∈ N.

Suy ra định lý được chứng minh. �

Bài toán VI(K,F) luôn có duy nhất một nghiệm, và dãy lặp được tạo bởi Thuậttoán 2.2.1, với độ dài bước được chọn từ một khoảng đóng của các số thực dương,hội tụ tuyến tính tới nghiệm duy nhất đó. Cụ thể, ta có định lý sau:

Định lý 2.2.1. Cho K là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert thựcH, F : K→ H là ánh xạ giả đơn điệu mạnh trên K với môđun γ và liên tục Lipschitztrên K với hằng số L. Giả sử rằng

0 < a≤ λk ≤ b <2γ

L2 , ∀k ∈ N, (2.4)

37

trong đó a, b là các hằng số dương. Cho {uk} là dãy lặp tạo ra bởi Thuật toán 2.2.1.Khi đó, dãy {uk} hội tụ tuyến tính tới nghiệm duy nhất u∗ của bài toán. Hơn nữa, cácsai số tiên nghiệm và hậu nghiệm là

||uk+1−u∗|| ≤ µk+1

1−µ||u1−u0||,

và

||uk+1−u∗|| ≤ µ

1−µ||uk+1−uk||,

đúng với mọi k ∈ N. Ở đây

µ =1√

1+a(2γ−bL2)∈ (0,1).

Chứng minh. Vì 0 < a≤ λk ≤ b <2γ

L2 , ∀k ∈ N, nên

[1+λk(2γ−λkL2)]≥ [1+a(2γ−bL2)]> 1, ∀k ∈ N.

Theo Mệnh đề 2.2.1 ta có

[1+λk(2γ−λkL2)] ||uk+1−u∗||2 ≤ ||uk−u∗||2, ∀k ∈ N.

Suy ra[1+a(2γ−bL2)] ||uk+1−u∗||2 ≤ ||uk−u∗||2, ∀k ∈ N.

Do đó

||uk+1−u∗||2 ≤ 11+a(2γ−bL2)

||uk−u∗||2

≤ µ2||uk−u∗||2,

(µ =

1√1+a(2γ−bL2)

).

Suy ra

||uk+1−u∗|| ≤ µ||uk−u∗||, ∀k ∈ N.

≤ µ2||uk−1−u∗||

· · ·

≤ µk+1||u0−u∗||.

38

Ta có µ ∈ (0,1) nên µk+1 −→ 0. Suy ra ||uk+1−u∗|| −→ 0.Điều này chứng tỏ {uk}hội tụ tuyến tính tới u∗.Mặt khác

||uk−u∗|| ≤ ||uk−uk+1||+ ||uk+1−u∗|| ≤ ||uk−uk+1||+µ||uk−u∗||.

Suy ra

||uk−u∗|| ≤ 11−µ

||uk−uk+1||, ∀k ∈ N.

Do đó

||uk+1−u∗|| ≤ µk+1||u0−u∗|| ≤ µk+1

1−µ||u0−u1||,

||uk+1−u∗|| ≤ µ||uk−u∗|| ≤ µ

1−µ||uk−uk+1||.

Suy ra định lý được chứng minh. �

Chú ý 2.2.1 Khi a = b = λ , độ dài bước là cố định. Do đó phương pháp chiếu cơbản cải biên trở thành phương pháp chiếu cơ bản và µ trở thành

µ =1√

1+λ (2γ−λL2).

Ta có λ ∈(

0,2γ

L2

). Các ước tính sai số là chặt chẽ khi µ là nhỏ nhất. Xét

µ như một hàm của λ ∈(

0,2γ

L2

), ta tìm được giá trị nhỏ nhất của µ là

µ∗ :=L√

L2 + γ2tại điểm λ∗ :=

γ

L2 .

Chú ý 2.2.2 Ngoài ra giá trị µ có thể được xem như một hàm µ = µ(a,b) của biến(a,b) thuộc miền {

(a,b) ∈ R2 : 0 < a≤ b <2γ

L2

}.

Đặt b = ta, với t ∈ [1, +∞) cố định, tương tự như trên ta tính được hàm

µ(a,b) = µ(a, ta) đạt giá trị nhỏ nhất là1√

1+γ2

tL2

tại a =γ

tL2 . Từ đó

min

1√

1+γ2

tL2

: 1≤ t <+∞

=L√

L2 + γ2.

39

Vậy suy ra

min{

µ(a,b) : 0 < a≤ b <2γ

L2

}=

L√L2 + γ2

.

Do đó, giá trị nhỏ nhất của µ là µ∗ =L√

L2 + γ2đạt được tại điểm duy nhất

(a∗,b∗) = (γ

L2 ,γ

L2 ).

Chú ý 2.2.3 Ước lượng sai số trong Định lý 2.2.1 là hữu ích trong việc áp dụng Thuậttoán 2.2.1 để giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh.Ví dụ,

công thức ||uk+1−u∗|| ≤ µk+1

1−µ||u1−u0|| cho phép chúng ta ước tính số lượng

bước lặp cần để đạt được một độ chính xác nhất định. Cụ thể, với ε > 0 bất

kỳ, nếuµk+1

1−µ||u1−u0|| ≤ ε thì ta có ||uk+1−u∗|| ≤ ε .

Hệ quả 2.2.1. Trong các kí hiệu của Định lý 2.2.1, nếu F là đơn điệu mạnh và liêntục Lipschitz trên K thì dãy {uk} tạo ra bởi Thuật toán 2.2.1 hội tụ tuyến tính tớinghiệm duy nhất của bài toán VI(K,F) và các ước tính sai số nêu trên được thỏa mãn.

Ví dụ 2.2.1 Cho H = l2 là không gian Hilbert thực mà các thành phần là các dãybình phương khả tổng của các vô hướng thực. Ví dụ H = {u = (u1,u2, · · · ,ui, · · ·) :

∞

∑i=1|ui|2 <+∞}. Định nghĩa

⟨u,v⟩=

∞

∑i=1

uivi và ||u||=√⟨

u,u⟩

là tích vô hướng và

chuẩn của hai vectơ u,v trên H, với u=(u1,u2, · · · ,ui, · · ·),v=(v1,v2, · · · ,vi, · · ·)∈H

bất kỳ. Cho α,β ∈ R sao cho β > α >β

2> 0. Đặt

Kα = {u ∈ H : ||u|| ≤ α}, Fβ (u) = (β −||u||)u,

trong đó α,β là các tham số. Dễ thấy S(Kα ,Fβ ) = {0}. Hàm Fβ là liên tục Lipschitzvà giả đơn điệu mạnh trên Kα . Thật vậy, với u,v ∈ Kα bất kỳ,

||Fβ (u)−Fβ (v)||= ||(β −||u||)u− (β −||v||)v||

= ||β (u− v)−||u||(u− v)− (||u||− ||v||)v||

≤ β ||u− v||+ ||u|| ||u− v||+ | ||u||− ||v|| | ||v||

≤ β ||u− v||+α ||u− v||+α||u− v||

= (β +2α)||u− v||.

40

Do đó Fβ là liên tục Lipschitz trên Kα với hằng số Lipschitz L := β +2α . Cho u,v ∈Kα sao cho

⟨Fβ (u),v− u

⟩≥ 0. Theo giả thiết ||u|| ≤ α < β . Suy ra

⟨u,v− u

⟩≥ 0.

Do đó ⟨Fβ (v),v−u

⟩= (β −||v||)

⟨v,v−u

⟩≥ (β −||v||)

(⟨v,v−u

⟩−⟨u,v−u

⟩)≥ (β −α)||u− v||2

= γ||u− v||2,

ở đây γ := β −α > 0. Suy ra Fβ là giả đơn điệu mạnh trên Kα . Hơn nữa Fβ không thể

đơn điệu mạnh cũng không thể đơn điệu trên Kα . Thật vậy, ta chọn u=(

β

2,0, · · · ,0, · · ·

),v=

(α,0, · · · ,0, · · ·) ∈ Kα . Ta có

⟨Fβ (u)−Fβ (v),u− v

⟩=

(β

2−α

)3

< 0.

Lấy u0 ∈ Kα bất kỳ, và λ ∈(

0,2γ

L2

)=

(0,

2(β −α)

(β +2α)2

)tùy ý, đặt λk = λ với mọi

k ∈ N. Theo Định lý 2.2.1, dãy {uk} được tạo bởi Thuật toán 2.2.1 hội tụ tuyến tínhtới 0. Hơn nữa,

||uk+1−0|| ≤ µk+1

1−µ||u1−u0|| và ||uk+1−0|| ≤ µ

1−µ||uk+1−uk||

với mọi k ∈ N, trong đó

µ =1√

1+λ [2(β −α)−λ (β +2α)2].

Theo Chú ý 2.2.1 giá trị nhỏ nhất của µ là µ∗ =β +2α√

(β −α)2 +(β +2α)2]tại điểm

λ = λ∗ =β −α

(β +2α)2 .

Nếu các độ dài bước tạo thành một dãy không khả tổng của các số thực dương thìThuật toán 2.2.1 cũng tạo ra một dãy lặp hội mạnh tới nghiệm duy nhất của bài toán.Ta có:

Định lý 2.2.2. Cho K là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thựcH và F : K → H là một ánh xạ giả đơn điệu mạnh trên K với mô-đun γ và liên tục

41

Lipschitz trên K với hằng số L. Giả sử {λk} là một dãy các vô hướng dương với

∞

∑k=0

λk =+∞, limk→∞

λk = 0. (2.5)

Dãy lặp {uk} được tạo thành từ Thuật toán 2.2.1 sẽ hội tụ mạnh tới u∗ là nghiệmduy nhất của bài toán VI(K, F). Hơn nữa, tồn tại một chỉ số k0 ∈ N sao cho với mỗik ≥ k0,λk(2γ−λkL2)> 0, và

||uk+1−u∗|| ≤ 1√∏

ki=k0

[1+λi(2γ−λiL2]||uk0 −u∗||.

Chứng minh. Vì λk → 0, nên tồn tại k0 ∈ N sao cho λkL2 < λ với mọi k ≥ k0.Do đó

λk(2γ−λkL2)> λk(2γ− γ) = γλk > 0,

với mọi k ≥ k0. Vì thế, từ [1+λk(2γ−λkL2)] ||uk+1−u∗||2 ≤ ||uk−u∗||2, suy ra

||uk+1−u∗||2 ≤ 11+λk(2γ−λkL2)

||uk−u∗||2

≤ 1[1+λk(2γ−λkL2)]

1[1+λk−1(2γ−λk−1L2)]

||uk−1−u∗||2

...

≤ 1

∏ki=k0

[1+λi(2γ−λiL2)]||uk0 −u∗||2.

Vậy

||uk+1−u∗|| ≤ 1√∏

ki=k0

[1+λi(2γ−λiL2)]||uk0 −u∗||. (2.6)

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh dãy {uk} hội tụ theo chuẩn tới u∗. Với mỗi k ∈N, đặt

αk = λk(2γ−λkL2)

và viết lại công thức (2.6), ta được

||uk+1−u∗|| ≤ 1√∏

ki=k0

(1+αi)||uk0 −u∗||.

42

Vì αk = λk(2γ−λkL2)> γλk với mỗi k ≥ k0, nên∞

∑k=k0

αk =+∞. Do đó

1

∏ki=k0

(1+αi)≤ 1

1+∑ki=k0

αi−→ 0

khi k→ ∞. Vì thế, ||uk+1−u∗|| → 0, hay dãy {uk} hội tụ theo chuẩn tới u∗.Định lý được chứng minh. �

Hệ quả 2.2.2. Cho {λk} như trong Định lý 2.2.2. Cho F là đơn điệu mạnh trên K vớimô-đun γ và liên tục Lipschitz trên K với một hằng số L. Thì dãy {uk} bất kỳ đượctạo ra từ Thuật toán 2.2.1 hội tụ theo chuẩn tới nghiệm duy nhất của bài toán VI(K,F) và tồn tại một chỉ số k0 ∈ N sao cho

||uk+1−u∗|| ≤ 1√∏

ki=k0

[1+λi(2γ−λiL2]||uk0 −u∗||,

đúng với mỗi k ≥ k0.

Ví dụ 2.2.2. Cho H = l2,α,β ∈ R sao cho β > α >β

2> 0. Đặt

Kα = {u ∈ H : ||u|| ≤ α}, Fβ (u) = (β −||u||)u,

trong đó α,β là các tham số, và λk =1

k+1,∀k ∈N. Khi đó

∞

∑k=0

λk =+∞, limk→∞

λk = 0.

Cho {uk} là một dãy lặp được tạo bởi Thuật toán 2.2.1. Suy ra dãy {uk} hội tụ

mạnh tới 0 là nghiệm duy nhất của bài toán VI(Kα ,Fβ ). Đặt k0 =(β +2α)2

2(β −α), thì

λk(2γ−λkL2)> 0, với mọi k ≥ k0. Ta có

||uk+1−0|| ≤ 1√∏

ki=k0

[1+(

2(β −α)

i+1− (β +2α)2

(i+1)2

)] ||uk0 −0||, ∀k ≥ k0.

Chúng ta sẽ xét xem điều gì sẽ xảy ra nếu bỏ điều kiện (2.4) và (2.5) lần lượt đượcđưa ra ở Định lý 2.2.1 và Định lý 2.2.2 thông qua ví dụ sau:Ví dụ 2.2.3. Đặt K = R và F(u) = u. Rõ ràng F liên tục Lipschitz, đơn điệu mạnhtrên K và S(K,F) = 0. Chọn u0 = 1 ∈ K và

λk =1

(k+2)2 , ∀k ∈ N.

43

Từ đó limk→∞

λk = 0 và∞

∑k=0

λk <+∞, cả hai điều kiện (2.4) và (2.5) đều bị lược bỏ. Dãy

lặp uk được tạo bởi Thuật toán 2.2.1 với u0 = 1 được cho bởi

uk+1 = PK(uk−λkF(uk)) = uk−λkuk = (1−λk)uk.

Do đó,

uk+1 =k

∏i=0

(1−λi) =k

∏i=0

(1− 1

(i+2)2

)=

k

∏i=0

(i+1)(i+3)(i+2)2 =

k+32(k+2)

, ∀k ∈ N.

Vậy limk→∞

uk =12

. Nghĩa là {uk} không hội tụ đến nghiệm duy nhất của bài toán

VI(K,F). Vậy các điều kiện (2.4) và (2.5) không thể bỏ đi, nếu không dãy lặp sẽkhông hội tụ tới nghiệm của bài toán cần tìm.Ví dụ 2.2.4. Cho K = R và F(u) = u, và u0 ∈ R\{0}. Cho λk ⊂ (0,+∞) thỏa mãn

điều kiện∞

∑k=0

λk =+∞, limk→∞

λk = 0 và λk 6= 1,∀k ∈ N. Khi đó dãy lặp {uk} trở thành

uk+1 = PK(uk−λkF(uk)) = uk−λkuk = (1−λk)uk.

Để chứng minh {uk} hội tụ tuyến tính đến 0, ta cần chứng minh:

limk→∞

||uk+1−0||||uk−0||

= µ, với µ ∈ (0,1).

Vì limk→∞

λk = 0 và uk 6= 0 với mọi k ∈ N, ta có

limk→∞

||uk+1−0||||uk−0||

= limk→∞|1−λk|= 1.

Vậy {uk} không hội tụ tuyến tính tới nghiệm duy nhất của bài toán VI(K,F).Ví dụ trên cho thấy rằng dãy {uk} được xét trong Định lý 2.2.2 có thể không hội

tụ tuyến tính tới nghiệm duy nhất của bài toán VI(K,F). Mặt khác, trong một so sánhvới dãy lặp được tạo Định lý 2.2.1, công thức lặp trong Định lý 2.2.2 có tốc độ hộitụ chậm hơn. Như vậy, bên cạnh những ưu điểm nêu trên, thì phương pháp chiếu cảibiên không có hằng số tiên nghiệm cũng có những nhược điểm về tốc độ hội tụ.

44

KẾT LUẬN

Sau khi được Hatman và Stampacchia giới thiệu lần đầu vào năm 1966, trải qua50 năm phát triển không ngừng, bài toán bất đẳng thức biến phân đã trở thành mộtcông cụ hữu hiệu, để nghiên cứu và giải các bài toán cân bằng trong kinh tế tài chính,vận tải, lý thuyết trò chơi và trong nhiều bài toán khác. Gần đây, các bài toán bất đẳngthức biến phân đã được nhiều nhà toán học quan tâm, và có được nhiều kết quả quantrọng. Người ta đã tìm ra nhiều phương pháp để giải bài toán này.

Bản luận văn này nhằm mục đích giới thiệu bài toán bất đẳng thức biến phân giảđơn điệu mạnh. Cụ thể là, sau khi tổng hợp lại một số kiến thức cơ bản về Giải tíchhàm và Giải tích lồi, trình bày về bài toán bất đẳng thức biến phân với các ví dụ minhhọa. Sau đó, luận văn trình bày về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán. Tiếpđến, luận văn giới thiệu hai thuật toán chiếu để giải lớp bài toán này, đồng thời xétđến sự hội tụ của các thuật toán trong không gian Hilbert.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1. Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học Quốc giaHà Nội.

2. Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, Nguyễn Hữu Điển (2015), Giải tích lồi ứngdụng, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.

3. Phạm Kỳ Anh, Trần Đức Long (2001), Hàm thực và giải tích hàm, Nhà xuất bảnĐại học Quốc gia Hà Nội.Tiếng Anh

4. D. Kinderlehrer and G. Stampacchia (1980), An Introduction to Variational In-equalities and Their Applications, Academic Press, New York.

5. Fan Ky (1972), A minimax inequalities and applications. In: Shisha O. (Ed): In-equalities, Academic Press, New York.

6. Igor Konnov (2001), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities,Springer.

7. Pham Duy Khanh (2012), ”A new extragradient method for strongly pseudomono-tone variational inequalities”, Submitted.

8. Pham Duy Khanh, Phan Tu Vuong (2014), ”Modified projection method for stronglypseudomonotone variational inequalities”, Journal of Global Optimization,58,no 2, 341 - 350.

9. Phung M. Duc, Le D. Muu, and Nguyen V. Quy (2014), ”Solution - existence andalgorithms with their convergence rate for strongly pseudomonotone equilib-rium problems”, Pracific Journal Mathematics, Pacific J. Mathematics, Toappear.

46