pdtsaudaihoc.qnu.edu.vnpdtsaudaihoc.qnu.edu.vn/Resources/Docs/SubDomain... · Líi c£m ìn Luªn ¡n y n ÷ñ c ho n th nh trong qu¡ tr¼nh hå c tªp v nghi¶n cùu t¤i Khoa o¡n,

BË GI�O DÖC V� ��O T�O

TR×ÍNG ��I HÅC QUY NHÌN

�A THÙC MA TR�N: SÜ PH�N BÈ GI� TRÀ

RI�NG, C�C �ÀNH LÞ BI�U DI�N D×ÌNG V�

MËT SÈ V�N �� LI�N QUAN

LU�N �N TI�N S� TO�N HÅC

B�NH �ÀNH - N�M 2018

BË GI�O DÖC V� ��O T�O

TR×ÍNG ��I HÅC QUY NHÌN

�A THÙC MA TR�N: SÜ PH�N BÈ GI� TRÀ

RI�NG, C�C �ÀNH LÞ BI�U DI�N D×ÌNG V�

MËT SÈ V�N �� LI�N QUAN

Chuy¶n ng nh: �¤i Sè v Lþ thuy¸t sè

M¢ sè: 9460104

Ph£n bi»n 1: PGS. TS. Ph¤m Ti¸n Sìn

Tr÷íng �¤i hå � L¤t

Ph£n bi»n 2: TS. Hç Minh To n

Vi»n To¡n hå - Vi»n H n l¥m Khoa hå v Cæng ngh» Vi»t Nam

Ph£n bi»n 3: TS. L¶ �ù Thoang

Tr÷íng �¤i hå Phó Y¶n

B�NH �ÀNH - N�M 2018

Líi am �oan

Luªn ¡n n y �÷ñ ho n th nh t¤i Tr÷íng �¤i hå Quy Nhìn d÷îi sü h÷îng d¨n õa

TS. L¶ Cæng Tr¼nh v TS. �inh Trung Háa. Tæi xin am �oan �¥y l æng tr¼nh nghi¶n

ùu õa tæi. C¡ k¸t qu£ trong Luªn ¡n l trung thü , �÷ñ ¡ �çng t¡ gi£ ho ph²p sû

döng v h÷a tøng �÷ñ ai æng bè tr÷î �â.

TM. Tªp thº h÷îng d¨n T¡ gi£

TS. L¶ Cæng Tr¼nh D÷ Thà Háa B¼nh

Líi £m ìn

Luªn ¡n n y �÷ñ ho n th nh trong qu¡ tr¼nh hå tªp v nghi¶n ùu t¤i Khoa To¡n,

Tr÷íng �¤i hå Quy Nhìn d÷îi sü h÷îng d¨n õa Ti¸n s¾ L¶ Cæng Tr¼nh v Ti¸n s¾ �inh

Trung Háa. Tr÷î ti¶n, tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s �¸n Ti¸n s¾ L¶ Cæng Tr¼nh.

Th�y �¢ h¿ b£o tªn t¼nh v h÷îng d¨n tæi tø nhúng b÷î ��u l m nghi¶n ùu. Th�y t¤o

ho tæi mët mæi tr÷íng hå tªp v nghi¶n ùu ði mð, th¥n thi»n nh÷ng �ng r§t nghi¶m

tó . Th�y luæn �ëng vi¶n, gióp �ï �º tæi tøng b÷î ti¸n bë trong nghi¶n ùu khoa hå .

�÷ñ hå tªp, l m vi» vîi th�y l �i·u may mn v h¤nh phó �èi vîi tæi.

Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s �¸n Ti¸n s¾ �inh Trung Háa. Th�y luæn �ëng vi¶n,

kh½ h l», gióp �ï v theo s¡t qu¡ tr¼nh nghi¶n ùu õa tæi. M° dò th�y khæng ð trong

n÷î , nh÷ng th�y v¨n th÷íng xuy¶n trao �êi khoa hå vîi tæi. C¡ hëi th£o do th�y tê

hù �¢ gióp tæi tr÷ðng th nh r§t nhi·u £ v· khoa hå l¨n uë sèng.

Tæi xin £m ìn Ti¸n s¾ Hç Minh To n. C£m ìn anh v¼ nhúng buêi th£o luªn r§t húu

½ h v· ¡ v§n �· li¶n quan �¸n �ành lþ biºu di¹n d÷ìng v B i to¡n mæmen.

Tæi xin gûi líi £m ìn h¥n th nh �¸n Ban Gi¡m hi»u Tr÷íng �¤i hå Quy Nhìn,

Pháng � o t¤o sau �¤i hå �¢ t¤o �i·u ki»n tèt nh§t �º tæi hå tªp t¤i tr÷íng. �° bi»t,

tæi xin gûi líi £m ìn �¸n Ban Chõ nhi»m Khoa To¡n òng ¡ th�y gi¡o, æ gi¡o trong

Khoa �¢ t¤o ra mët mæi tr÷íng hå tªp th¥n thi»n, ði mð v r§t huy¶n nghi»p. �i·u

n y gióp tæi â �ëng lü �º ph¡t triºn b£n th¥n.

Tæi xin gûi líi £m ìn �¸n Ban Gi¡m hi»u Tr÷íng Cao �¯ng S÷ ph¤m H T¥y, Pháng

Tê hù ¡n bë �¢ t¤o �i·u ki»n tèt nh§t ho tæi �i hå . Tæi �ng xin gûi líi £m ìn �¸n

Ban Chõ nhi»m Khoa Tü nhi¶n v ¡ b¤n b± �çng nghi»p �¢ luæn õng hë, �ëng vi¶n,

hia s´ ¡ æng vi» �º tæi â thíi gian tªp trung nghi¶n ùu t¤i Tr÷íng �¤i hå Quy

Nhìn.

Tæi xin £m ìn ¡ b¤n nghi¶n ùu sinh t¤i Tr÷íng �¤i hå Quy Nhìn �¢ luæn �ëng

vi¶n, hia s´ gióp �ï tæi trong qu¡ tr¼nh hå tªp v nghi¶n ùu.

Tæi xin gûi líi bi¸t ìn �¸n gia �¼nh hai b¶n nëi ngo¤i. Nhúng ng÷íi th¥n �¢ luæn õng

hë, �ëng vi¶n tæi. Hå l hé düa tinh th�n vúng h �º tæi y¶n t¥m hå tªp v nghi¶n

ùu khi xa nh . �° bi»t, tæi xin gûi líi bi¸t ìn s¥u s �¸n ng÷íi mµ th¥n y¶u õa m¼nh.

C£m ìn sü hy sinh ao £ �ng nh÷ t¼nh y¶u væ h¤n õa mµ d nh ho on. T¼nh th÷ìng

bao la õa mµ luæn õ §m tr¡i tim on.

i

Cuèi òng, tæi xin d nh t¼nh £m �° bi»t �¸n hçng v hai on th¥n y¶u õa m¼nh.

C£m ìn anh v hai on �¢ �¸n b¶n �íi em, gióp �ï, �ëng vi¶n em. Gia �¼nh luæn l nìi

b¼nh y¶n õa em.

Mö lö

Danh mö ¡ kþ hi»u iii

Mð ��u 1

1 Mët sè k¸t qu£ hu©n bà 12

1.1 Sü ph¥n bè nghi»m õa ¡ �a thù mët bi¸n . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 B i to¡n thù 17 õa Hilbert v mët sè �ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho �a thù 18

1.2.1 B i to¡n thù 17 õa Hilbert v �ành lþ Artin . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.2 Mët sè �ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho �a thù . . . . . . . . . . . . . 19

1.3 B i to¡n tèi ÷u �a thù v b i to¡n mæmen . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3.1 B i to¡n tèi ÷u �a thù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3.2 B i to¡n mæmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4 H¼nh hå �¤i sè thü ho �a thù ma trªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.5 T½nh x¡ �ành d÷ìng õa ¡ �a thù ma trªn v thu�n nh§t hâa õa hóng 32

1.6 Chu©n ma trªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2 Sü ph¥n bè gi¡ trà ri¶ng õa �a thù ma trªn 38

2.1 D¤ng ma trªn õa �ành lþ Enestr�om-Kakeya . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2 C¡ �ành lþ d¤ng Cau hy ho �a thù ma trªn . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3 So s¡nh ¡ h°n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

i

3 C¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho �a thù ma trªn 58

3.1 D¤ng ma trªn õa �ành lþ Putinar-Vasiles u . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2 D¤ng ma trªn õa �ành lþ Di kinson-Povh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3 D¤ng ma trªn õa �ành lþ Handelman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.3.1 D¤ng ma trªn õa �ành lþ Handelman tr¶n n-�ìn h¼nh . . . . . . . 63

3.3.2 D¤ng ma trªn õa �ành lþ Handelman tr¶n ¡ �a di»n lçi, ompa t 66

3.3.3 Mët thuªt to¡n t¼m biºu di¹n d÷ìng ho �a thù ma trªn d÷ìng

tr¶n mët �a di»n lçi ompa t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

K�T LU�N 75

Danh mö ¡ æng tr¼nh õa t¡ gi£ li¶n quan �¸n Luªn ¡n 77

T i li»u tham kh£o 78

ii

Danh mö ¡ kþ hi»u

R: Tr÷íng ¡ sè thü

R+ : Tªp hñp ¡ sè thü khæng ¥m

C: Tr÷íng ¡ sè phù

N: Tªp ¡ sè tü nhi¶n

K: R ho° C

Rn: Khæng gian thü n hi·u

Cn: Khæng gian phù n hi·u

Mt(R) : V nh ¡ ma trªn vuæng §p t vîi ¡ ph�n tû tr¶n R

Mt(C) : V nh ¡ ma trªn vuæng §p t vîi ¡ ph�n tû tr¶n C

St(R) : V nh ¡ ma trªn �èi xùng §p t trong Mt(R)

X: bë n bi¸n (X1, ..., Xn)

Xα: Xα1

1 ...Xαnn , α = (α1, ..., αn) ∈ Nn

C[z]: V nh �a thù mët bi¸n z vîi h» sè phù

R[X ]: V nh �a thù n bi¸n X = (X1, ..., Xn) vîi h» sè thü

R(X): Tr÷íng ¡ th÷ìng õa v nh �a thù R[X ]

Mt(R[X ]): V nh ¡ ma trªn §p t vîi ¡ ph�n tû tr¶n R[X ]

St(R[X ]): V nh ¡ ma trªn �èi xùng §p t trong Mt(R[X ])

AT

: Ma trªn huyºn và õa ma trªn A ∈ Mt(R[X ])

A < 0: Ma trªn A nûa x¡ �ành d÷ìng

A ≻ 0: Ma trªn A x¡ �ành d÷ìng

||A||: Chu©n to¡n tû õa ma trªn A

∑A2 : Tªp hñp t§t £ ¡ têng b¼nh ph÷ìng õa húu h¤n

ph�n tû trong mët v nh giao ho¡n A

iii

Mð ��u

Kþ hi»u K[X ] := K[X1, · · · , Xn] l v nh ¡ �a thù n bi¸n X1, · · · , Xn vîi h» sè trong

K. Kþ hi»u Mt(K),Mt(K[X ]) l�n l÷ñt l v nh ¡ ma trªn vuæng §p t vîi ¡ ph�n tû

trong K v K[X ]. Méi ma trªn A ∈ Mt(K[X ]) �÷ñ gåi l mët ma trªn �a thù ho° mët

�a thù ma trªn, bði v¼ nâ â thº biºu di¹n d÷îi d¤ng mët �a thù n ©n X1, · · · , Xn vîi

h» sè tr¶n Mt(K) nh÷ sau:

A =d∑

|α|=0

AαXα,

trong �â, α = (α1, · · · , αn) ∈ Nn, |α| := α1 + · · ·+ αn, X

α := Xα1

1 · · ·Xαnn , Aα ∈ Mt(K),

d l bª ao nh§t õa ¡ �ìn thù trong A. Do �â, �º thèng nh§t ¡ h gåi trong to n

Luªn ¡n, méi ma trªn trong Mt(K[X ]) �÷ñ gåi l mët �a thù ma trªn.

�èi t÷ñng nghi¶n ùu h½nh õa Luªn ¡n l ¡ �a thù ma trªn, v �èi vîi méi tr÷íng

hñp õa sè bi¸n, hóng tæi quan t¥m �¸n ¡ b i to¡n kh¡ nhau. Do �â, �º thuªn ti»n

ho ng÷íi �å , hóng tæi t¡ h v tr¼nh b y ¡ b i to¡n li¶n quan trong hai ph�n ri¶ng

bi»t nh÷ sau.

1. C¡ �a thù ma trªn mët bi¸n

Trong ph�n n y hóng tæi tr¼nh b y mët sè v§n �· li¶n quan �¸n ¡ �a thù ma trªn mët

bi¸n, tù l x²t ¡ �a thù ma trªn â d¤ng

P (z) = Adzd + · · ·+ A1z + A0,

trong �â, z l bi¸n sè v Ai ∈ Mt(C), ∀i = 0, ..., d. C¡ �a thù ma trªn mët bi¸n l sü

mð rëng tü nhi¶n õa �a thù �° tr÷ng λIt − A õa mët ma trªn A ∈ Mt(C), trong �â

It l ma trªn �ìn và trong Mt(C).

N¸u Ad 6= 0, th¼ P (z) �÷ñ gåi l mët �a thù ma trªn bª d. Khi Ad = It, P (z) �÷ñ

gåi l mët �a thù ma trªn moni .

N¸u tçn t¤i mët v² tì kh¡ khæng x ∈ Ctv λ ∈ C sao ho P (λ)x = 0, th¼ λ �÷ñ gåi

l mët gi¡ trà ri¶ng õa P (z), v khi �â x �÷ñ gåi l mët v² tì ri¶ng õa P (z) t÷ìng ùng

vîi gi¡ trà ri¶ng λ.

Nh÷ vªy, méi gi¡ trà ri¶ng õa P (z) l mët nghi»m õa �a thù �° tr÷ng det(P (z)).

Tªp hñp ¡ gi¡ trà ri¶ng õa P (z) �÷ñ kþ hi»u bði σ(P (z)) v �÷ñ gåi l phê õa �a

thù ma trªn P (z).

1

Chó þ th¶m r¬ng trong tr÷íng hñp P (z) = zIt − A, �a thù �° tr÷ng õa ma trªn

A ∈ Mt(C), th¼ méi gi¡ trà ri¶ng õa �a thù ma trªn P (z) l mët gi¡ trà ri¶ng õa ma

trªn A. Do �â â thº nâi gi¡ trà ri¶ng õa �a thù ma trªn l mët kh¡i ni»m mð rëng õa

gi¡ trà ri¶ng õa mët ma trªn.

B i to¡n gi¡ trà ri¶ng �a thù (Polynomial Eigenvalue Problem - PEP) l t¼m mët gi¡

trà ri¶ng λ v mët v² tì kh¡ khæng x ∈ Ctsao ho P (λ)x = 0. Trong tr÷íng hñp d = 1

hóng ta â b i to¡n gi¡ trà ri¶ng têng qu¡t

Ax = λBx.

Hìn núa, n¸u A1 = It th¼ hóng ta â b i to¡n gi¡ trà ri¶ng hu©n

Ax = λx.

B i to¡n gi¡ trà ri¶ng bª hai (Quadrati Eigenvalue Problem - QEP) t÷ìng ùng vîi tr÷íng

hñp d = 2.

�a thù ma trªn mët bi¸n â nhi·u ùng döng trong ¡ l¾nh vü nh÷ ph÷ìng tr¼nh vi

ph¥n, lþ thuy¸t h» thèng, kÿ thuªt Wiener-Hopf, ì hå v lþ thuy¸t rung, gi£i t½ h sè,

... M° dò t�m quan trång õa �a thù ma trªn l kh¡ rã r ng nh÷ng ¡ t i li»u v· �¤i

sè tuy¸n t½nh v lþ thuy¸t ma trªn �· ªp v· nâ khæng nhi·u. Hai æng tr¼nh ��u ti¶n

vi¸t ��y �õ nh§t v· �a thù ma trªn l õa Frazer, Dun an v Collar [15℄ n«m 1955 v

Lan aster [26℄ n«m 1966. C£ hai �·u ph¡t triºn lþ thuy¸t �a thù ma trªn thæng qua lþ

thuy¸t õa h» rung. Chóng ta â thº g°p �a thù ma trªn khi nghi¶n ùu h» ph÷ìng tr¼nh

vi ph¥n ( â bª lîn hìn 1) vîi h» sè h¬ng, tù l h» â d¤ng

d∑

i=0

Ai

(d

dt

)i

u(t) = 0.

Vi» t¼m nghi»m ho h» d¤ng u(t) = x0eλ0t

, vîi x0, λ0 �ë lªp vîi t, trü ti¸p d¨n �¸n b i

to¡n gi¡ trà ri¶ng - v² tì ri¶ng õa �a thù ma trªn.

B¶n ¤nh �â, b i to¡n gi¡ trà ri¶ng QEP â nhi·u ùng döng v o khoa hå v kÿ thuªt.

Mët têng quan v· nhúng ùng döng õa QEP �÷ñ tr¼nh b y trong uèn s¡ h õa Gohberg,

Lan aster v Rodman [16℄, Hamarling, Munro v Tisseur [18℄ v Zeng v Su [56℄ �¢ �÷a

ra nhúng thuªt to¡n �º gi£i b i to¡n QEP. �èi vîi b i to¡n PEP, â v i nghi¶n ùu v·

h°n ho gi¡ trà ri¶ng õa ¡ �a thù ma trªn �÷ñ thi¸t lªp theo hu©n õa ¡ h» sè õa

�a thù ma trªn �¢ ho h¯ng h¤n nh÷ æng tr¼nh õa Higham v Tisseur [22℄. Tuy nhi¶n,

2

vi» t½nh gi¡ trà ri¶ng õa ¡ �a thù ma trªn (thªm h½ t½nh gi¡ trà ri¶ng õa ma trªn

væ h÷îng v t¼m nghi»m õa ¡ �a thù mët bi¸n) l mët b i to¡n khâ. Câ mët ph÷ìng

ph¡p l°p �º t½nh ¡ gi¡ trà ri¶ng n y �÷ñ �÷a ra bði Simon ini v Perotti [52℄. Hìn núa,

vi» t½nh gi£ phê õa ¡ �a thù ma trªn trong [21℄ ung §p thæng tin v· phê, tù l ,

h¿ ra ¡ h°n ö thº �º x¡ �ành �óng mët mi·n õa m°t ph¯ng phù hùa ¡ gi¡ trà

ri¶ng �â. V¼ th¸ vi» t¼m h°n ho gi¡ trà ri¶ng õa �a thù ma trªn mët bi¸n l mët vi»

l m r§t â þ ngh¾a.

B i to¡n ��u ti¶n m hóng tæi tªp trung nghi¶n ùu trong Luªn ¡n nh÷ sau.

B i to¡n 1. Cho P (z) = Adzd + · · ·+A1z +A0 l mët �a thù ma trªn. Ch¿ ra ¡ sè m

v M "�õ tèt" sao ho

m ≤ |λ| ≤ M, ∀ λ ∈ σ(P (z)),

tù l h¿ ra ¡ h°n "�õ tèt" ho gi¡ trà ri¶ng õa P (z).

Trong tr÷íng hñp t = 1, tù l tr÷íng hñp õa ¡ �a thù mët bi¸n vîi h» sè phù ,

B i to¡n n y �¢ �÷ñ nghi¶n ùu bði nhi·u nh to¡n hå , â thº kº ra �¥y ¡ k¸t qu£

õa Cau hy [31, 33℄, Enestr�om v Kakeya [31, 33℄, Joyal, Labelle v Rahman [24℄, Datt

v Govil [8℄, ...

�º þ r¬ng n¸u Ad l mët ma trªn suy bi¸n, th¼ �a thù zdP

(1

z

) â mët gi¡ trà ri¶ng

b¬ng 0, v n¸u A0 l mët ma trªn suy bi¸n th¼ 0 l mët gi¡ trà ri¶ng õa P (z). Do �â, trong

Luªn ¡n n y hóng tæi luæn x²t nhúng �a thù ma trªn vîi ¡ h» sè Ad v A0 khæng suy

bi¸n, �º tø �â t¼m mët h°n tr¶n v mët h°n d÷îi ho gi¡ trà ri¶ng λ.

Trong tr÷íng hñp t > 1, vi» t¼m ¡ h°n ho gi¡ trà ri¶ng õa �a thù ma trªn P (z)

theo hu©n (to¡n tû) õa ¡ ma trªn h» sè �¢ �÷ñ thü hi»n v tr¼nh b y trong b i b¡o

õa Higham v Tisseur [22℄. Mö �½ h h½nh ��u ti¶n õa hóng tæi trong Luªn ¡n l gi£i

quy¸t B i to¡n 1, �÷a ra ¡ h°n mîi "�õ tèt" ho gi¡ trà ri¶ng õa �a thù ma trªn, tø

�â so s¡nh vîi ¡ h°n �÷ñ �÷a ra bði Higham v Tisseur.

2. C¡ �a thù ma trªn nhi·u bi¸n

Trong ph�n n y hóng tæi tr¼nh b y mët sè v§n �· li¶n quan �¸n ¡ �a thù ma trªn â

sè bi¸n lîn hìn 1. Tr÷î ti¶n, x²t tr÷íng hñp t = 1, tù l x²t ¡ �a thù â sè bi¸n lîn

hìn mët.

Cho f ∈ R[X ] := R[X1, ..., Xn], G = {g1, ..., gm} ⊆ R[X ]. Kþ hi»u

∑R[X ]2 =

{n∑

i=1

f 2i |fi ∈ R[X ], n ∈ N

},

3

tªp hñp ¡ têng b¼nh ph÷ìng õa ¡ �a thù trong R[X ];

KG = {x ∈ Rn|g1(x) ≥ 0, ..., gm(x) ≥ 0},

tªp nûa �¤i sè �âng ì b£n trong Rnx¡ �ành bði G;

MG = {t0 +m∑

i=1

tigi|ti ∈∑

R[X ]2, i = 0, ..., m},

mæ�un bª hai nhä nh§t tr¶n R[X ] hùa G;

TG = {∑

σ=(σ1,...,σm)∈{0,1}m

tσgσ1

1 ...gσm

m |tσ ∈∑

R[X ]2},

ti·n thù tü nhä nh§t tr¶n R[X ] hùa G.

Chó þ MG ⊆ TG, v khi G = ∅ ta â K∅ = Rn,M∅ = T∅ =∑

R[X ]2.

D¹ th§y n¸u f ∈ TG (hay MG) th¼ f ≥ 0 tr¶n KG. Do �â, mët ¥u häi tü nhi¶n �°t ra

l hi·u ng÷ñ l¤i õa �i·u n y â �óng khæng? Tù l ,

f ≥ 0 tr¶n KG =⇒ f ∈ TG (hay MG)?

N¸u ¥u tr£ líi l �óng, hóng ta â �÷ñ mët �ành lþ biºu di¹n d÷ìng (Positivstellensatz),

hay �ành lþ biºu di¹n khæng ¥m (Ni htnegativstellensatz). Trong mët sè t i li»u ( h¯ng

h¤n, [32℄), ¡ t¡ gi£ sû döng thuªt ngú hung l "Positivstellensatz". Do �â, trong to n

bë luªn v«n hóng tæi thèng nh§t dòng thuªt ngú Positivstellensatz (�ành lþ biºu di¹n

d÷ìng).

Trong tr÷íng hñp �° bi»t, G = ∅, ta â ¥u häi:

f ≥ 0 tr¶n Rn =⇒ f ∈∑

R[X ]2?

C¥u tr£ líi ho ¥u häi n y �÷ñ �÷a ra bði Hilbert (1888), h¿ ra r¬ng ¥u häi tr¶n h¿

�óng trong ba tr÷íng hñp �° bi»t õa sè bi¸n v bª õa f . Sau �â, t¤i �¤i hëi To¡n hå

th¸ giîi tê hù t¤i Paris n«m 1900, Hilbert �¢ �÷a ra mët danh s¡ h gçm 23 "B i to¡n

th¸ k�", trong sè �â, B i to¡n thù 17 trong danh s¡ h n y �÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau:

B i to¡n thù 17 õa Hilbert: Cho f ∈ R[X ]. Kþ hi»u R(X) l tr÷íng ¡ th÷ìng

õa v nh �a thù R[X ]. Kþ hi»u

∑R(X)2 =

{k∑

i=1

(figi

)2

|k ∈ N, fi, gi ∈ R[X ], gi 6= 0, i = 1, · · · , k}.

4

N¸u f ≥ 0 tr¶n Rn, â suy ra �÷ñ hay khæng f ∈∑R(X)2?

Mët sè v§n �· li¶n quan �¸n vi» biºu di¹n th nh têng b¼nh ph÷ìng ( õa �a thù , ph¥n

thù ) v B i to¡n thù 17 õa Hilbert �÷ñ hóng tæi tr¼nh b y trong Mö 1.2.1.

Vi» nghi¶n ùu ¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng �âng vai trá quan trång trong b i to¡n

tèi ÷u �a thù v b i to¡n mæmen. Cö thº hìn, b i to¡n tèi ÷u �a thù l b i to¡n t¼m

f ∗ = infx∈KG

f(x), (0.1)

vîi f ∈ R[X ], G v KG x¡ �ành nh÷ tr¶n. Trong tr÷íng hñp G = ∅, KG = Rn, b i to¡n

tr¶n �÷ñ gåi l b i to¡n tèi ÷u �a thù khæng r ng buë .

B i to¡n tèi ÷u �a thù �÷ñ nhi·u nh nghi¶n ùu quan t¥m tø ¡ l¾nh vü kh¡

nhau nh÷ �¤i sè thü , quy ho¤ h nûa x¡ �ành v lþ thuy¸t to¡n tû. Shor [51℄ l ng÷íi

��u ti¶n ¡p döng mët kÿ thuªt tèi ÷u lçi �º ü tiºu mët �a thù nhi·u bi¸n khæng r ng

buë . Nesterov [36℄ �¢ h¿ ra �° t½nh õa nân mæmen bði ¡ r ng buë nûa x¡ �ành

trong tr÷íng hñp ¡ ph�n tû õa nân t÷ìng ùng l ¡ �a thù khæng ¥m â thº vi¸t

�÷ñ th nh têng ¡ b¼nh ph÷ìng �a thù . Trong né lü gi£m bît �a thù nhi·u bi¸n,

Lasserre [27℄ l ng÷íi ��u ti¶n �¢ ¡p döng ¡ k¸t qu£ �¤i sè thü g�n �¥y õa Putinar

[39℄ �º thi¸t lªp mët d¢y ¡ nîi läng hëi tö �¸n gi¡ trà tèi ÷u õa mët b i to¡n tèi ÷u �a

thù . Sau �¥y hóng tæi minh håa rã hìn v· ùng döng õa ¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng

trong vi» gi£i quy¸t b i to¡n tèi ÷u �a thù (xem, h¯ng h¤n, [28℄).

Biºu thù (0.1) â thº vi¸t l¤i d÷îi d¤ng

f ∗ = infx∈KG

f(x) = sup{λ|λ ≤ f(x), x ∈ KG}

=sup{λ|f(x)− λ ≥ 0, x ∈ KG}=sup{λ|f(x)− λ > 0, x ∈ KG}.

Nh÷ th¸, vi» t¼m f ∗�÷ñ huyºn sang t¼m supremum õa ¡ sè λ sao ho f − λ khæng

¥m (ho° d÷ìng) tr¶n KG. �º gi£i quy¸t b i to¡n khâ n y, mët trong nhúng þ t÷ðng l

thay th¸ �i·u ki»n khæng ¥m bði mët �i·u ki»n n o �â �ìn gi£n hìn, trong �â â hùa ¡

têng b¼nh ph÷ìng, �º â thº ti¸p ªn b¬ng ¡ h sû döng Quy ho¤ h nûa x¡ �ành (SDP).

Vîi þ t÷ðng �â, mët trong nhúng ¡ h �º nîi läng �i·u ki»n "f − λ ≥ 0 tr¶n KG" l x²t

biºu di¹n f − λ d÷îi d¤ng

f − λ = t0 +m∑

i=1

tigi,

trong �â ti ∈∑

R[X ]2. Tù l , nîi läng �i·u ki»n "f−λ ≥ 0 tr¶nKG" th nh "f−λ ∈ MG".

5

�i·u n y d¨n �¸n vi» x²t b i to¡n

f sos,G = sup{λ|f − λ ∈ MG}. (0.2)

Rã r ng, n¸u f − λ ∈ MG th¼ f − λ ≥ 0 tr¶n KG. Do �â f sos,G ≤ f ∗. Hìn núa, n¸u ta â

mët �ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho �a thù f − λ tr¶n KG th¼ f sos,G = f ∗.

Tuy nhi¶n vi» t¼m f sos,Gkhæng d¨n �¸n mët Quy ho¤ h nûa x¡ �ành, bði v¼ hóng

ta khæng h°n �÷ñ bª õa ¡ �a thù ti trong biºu di¹n õa f − λ. �º nhªn �÷ñ mët

Quy ho¤ h nûa x¡ �ành, hóng ta x²t ¡ sè nguy¶n k vîi

2k ≥ max{deg(f), deg(g1), . . . , deg(gm)}.

X²t b i to¡n

f sos,Gk = sup{λ|f − λ = t0 +

m∑

i=1

tigi, ti ∈∑

R[X ]2, deg(t0), deg(tigi) ≤ 2k}. (0.3)

Khi �â f sos,Gk �÷ñ t½nh qua mët Quy ho¤ h nûa x¡ �ành. Hìn núa,

f sos,Gk ≤ f sos,G

k+1 ≤ f sos,G ≤ f ∗

v limk→∞

f sos,Gk = f sos,G

.

Ti¸p theo hóng tæi giîi thi»u vai trá õa ¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng trong vi» gi£i

quy¸t b i to¡n mæmen. D¤ng thù nh§t õa b i to¡n mæmen �÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau.

B i to¡n mæmen (d¤ng 1)ChoK l mët tªp on �âng trong Rn. Cho L : R[X1, ..., Xn] →

R l mët phi¸m h m tuy¸n t½nh. Häi li»u â tçn t¤i mët �ë �o Borel d÷ìng µ vîi gi¡ hùa

trong K sao ho vîi måi f ∈ R[X1, ..., Xn],

L(f) =

∫

K

fdµ?

Haviland (1935, [20℄) �¢ �÷a ra mët �i·u ki»n �n v �õ ho sü tçn t¤i õa �ë �o d÷ìng

µ, ö thº nh÷ sau.

�ành lþ 1 (Haviland, [20℄). �i·u ki»n �n v �õ �º tçn t¤i mët �ë �o Borel d÷ìng µ vîi

gi¡ hùa trong K sao ho vîi måi f ∈ R[X1, ..., Xn] ta â

L(f) =

∫

K

fdµ

l L(f) ≥ 0 vîi måi f ≥ 0 tr¶n K.

6

�èi vîi ¡ tªp tªp on �âng trong Rn â d¤ng K = KG, vîi G l mët tªp on húu

h¤n n o �â trong v nh �a thù R[X ], mët d¤ng kh¡ õa b i to¡n mæmen �÷ñ ph¡t biºu

nh÷ sau.

B i to¡n mæmen (d¤ng 2) Cho G = {g1, ..., gm} ⊆ R[X ]; KG, TG �÷ñ �ành ngh¾a nh÷

tr¶n. N¸u L(f) ≥ 0, ∀ f ∈ TG th¼ â tçn t¤i mët �ë �o Borel d÷ìng µ â gi¡ hùa trong

KG sao ho

L(f) =

∫

KG

fdµ

vîi måi f ∈ R[X ] hay khæng?

Chó þ r¬ng vîi f ∈ TG th¼ f ≥ 0 tr¶n KG. Do �â b i to¡n mæmen d¤ng 2 y¸u hìn

b i to¡n mæmen d¤ng 1. Tuy nhi¶n, n¸u hóng ta â mët �ành lþ biºu di¹n d÷ìng tr¶n

KG th¼ hai b i to¡n tr¶n t÷ìng �÷ìng vîi nhau (qua �ành lþ Haviland). Ng÷íi �å â thº

xem th¶m v· ùng döng õa ¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng �º gi£i quy¸t ¡ b i to¡n mæmen

trong ¡ t i li»u [28℄, [17℄.

C¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho �a thù �¢ nhªn �÷ñ nhi·u sü quan t¥m õa ¡

nh to¡n hå . Krivine (1964) v Stengle (1974) [25, 54℄ �¢ �÷a ra biºu di¹n " â mü thù "

ho ¡ �a thù d÷ìng (t÷ìng ùng, khæng ¥m, b¬ng khæng) tr¶n mët tªp nûa �¤i sè �âng

ì b£n. Vi» t¼m ¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng "khæng mü thù " hi»n v¨n �ang thu hót

sü quan t¥m õa nhi·u ng÷íi.

N«m 1991, vîi vi» t¼m líi gi£i ho B i to¡n mæmen b¬ng æng ö Gi£i t½ h h m,

S hm�udgen [46℄ �¢ �÷a ra mët �ành lþ biºu di¹n d÷ìng tr¶n tªp ompa t. Cö thº,

S hm�udgen kh¯ng �ành r¬ng: N¸u f > 0 tr¶n KG v KG l tªp ompa t th¼ f ∈ TG.

Mët tr÷íng hñp �° bi»t õa �ành lþ S hm�udgen �÷ñ �÷a ra tr÷î �â bði Handelman

[19℄, biºu di¹n ¡ �a thù d÷ìng tr¶n mët �a di»n lçi, ompa t.

Vi» �÷a ra mët �i·u ki»n �º �£m b£o ¡ �a thù d÷ìng tr¶n KG thuë v o MG khâ

hìn so vîi thuë v o TG. Mët �i·u ki»n nh÷ th¸ �÷ñ Putinar [39℄ �÷a ra n«m 1993, vîi

�i·u ki»n a simet õa mæ�un bª hai MG. Nh l¤i, mët mæ�un bª hai M trong v nh �a

thù R[X ] �÷ñ gåi l a simet n¸u tçn t¤i sè tü nhi¶n k ∈ N sao ho k−(X21+...+X2

n) ∈ M .

�ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Putinar �÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau: Gi£ sû MG a simet. Khi

�â, n¸u f > 0 tr¶n KG th¼ f ∈ MG.

Chó þ r¬ng, MG a simet th¼ TG a simet. Hìn núa, TG a simet t÷ìng �÷ìng vîi KG

ompa t. Hìn núa, n¸u f â nghi»m trong KG th¼ ¡ �ành lþ õa S hm�udgen v Putinar

â thº khæng án �óng. Do �â, S heiderer [42, 43℄ �¢ �÷a ra mët ti¶u hu©n Hessian �º

7

�£m b£o ho ¡ �a thù khæng ¥m (tù l â nghi»m) tr¶n KG thuë v o TG (t÷ìng ùng,

MG) vîi �i·u ki»n KG ompa t (t÷ìng ùng, MG a simet).

Biºu di¹n ¡ �a thù d÷ìng (khæng ¥m) tr¶n mët tªp on khæng ompa t trong Rn

khâ hìn nhi·u. Trong tr÷íng hñp KG khæng ompa t, S hweighofer (2006, [50℄) kh¯ng

�ành r¬ng: Gi£ sû f ∈ R[X ] bà h°n tr¶n KG, v f h¿ â húu h¤n gi¡ trà ti»m ªn trong

KG v to n bë �·u d÷ìng. Khi �â, n¸u f > 0 tr¶n KG th¼ f ∈ TG.

Nh l¤i r¬ng, tªp hñp

R∞(f,KG) := {y ∈ R|∃xk ∈ KG, xk → ∞(k → ∞), f(xk) → y}

l tªp ¡ gi¡ trà ti»m ªn õa f .

Pâlya [37℄ â k¸t qu£ sau �¥y, biºu di¹n ¡ �a thù d÷ìng tr¶n Rn+ \ {0}, trong �â

Rn+ = {(x1, · · · , xn) ∈ Rn : xi ≥ 0}:

Cho f l mët �a thù thu�n nh§t. N¸u f > 0 tr¶n Rn+ \ {0} th¼ tçn t¤i mët sè tü nhi¶n N

�õ lîn sao ho �a thù

(n∑

i=1

Xi

)N

f â t§t £ ¡ h» sè kh¡ khæng �·u d÷ìng.

N«m 1995, Rezni k �¢ �÷a ra mët �ành lþ biºu di¹n d÷ìng biºu di¹n th nh têng ¡

b¼nh ph÷ìng ho ¡ �a thù thu�n nh§t d÷ìng tr¶n Rn \ {0}. �ành lþ Rezni k nâi r¬ng:

Cho f l mët �a thù thu�n nh§t bª h®n vîi f(x) > 0, ∀x ∈ Rn \ {0}. Khi �â, tçn t¤i

mët sè tü nhi¶n N �õ lîn sao ho

(n∑

i=1

X2i

)N

f ∈∑R[X ]2.

Têng qu¡t ho k¸t qu£ õa Rezni k, Putinar v Vasiles u [40℄ �¢ �÷a ra mët �ành

lþ biºu di¹n d÷ìng tr¶n mët tªp nûa �¤i sè �âng ì b£n trong Rn. G�n �¥y, n«m 2015,

Di kinson v Povh [10℄ �¢ k¸t hñp �ành lþ Pâlya v �ành lþ Putinar-Vasiles u �º �÷a ra

mët �ành lþ biºu di¹n ho ¡ �a thù d÷ìng tr¶n mët tªp on nûa �¤i sè �âng ì b£n

trong Rn. Chi ti¸t ho ¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng n y �÷ñ hóng tæi tr¼nh b y trong

Mö 1.2.2 õa Luªn ¡n.

Sau �¥y hóng tæi �· ªp mët sè v§n �· li¶n quan �¸n tr÷íng hñp t > 1, x²t biºu

di¹n õa ¡ �a thù ma trªn x¡ �ành d÷ìng (t÷ìng ùng, nûa x¡ �ành d÷ìng) tr¶n mët

tªp on õa Rn. Kþ hi»u St(R[X ]) l tªp hñp ¡ �a thù ma trªn �èi xùng §p t trong

Mt(R[X ]). Vîi méi F ∈ St(R[X ]) v G = {G1, ...,Gm} ⊆ St(R[X ]), kþ hi»u

KG := {x ∈ Rn|Gi(x)< 0, i = 1, ..., m},

tªp nûa �¤i sè �âng ì b£n trong Rnx¡ �ành bði G.

8

� �¥y, vîi méi �a thù ma trªn G ∈ St(R[X ]) v vîi méi x ∈ Rn, G(x)< 0 �÷ñ dòng

�º kþ hi»u ho ma trªn G(x) l nûa x¡ �ành d÷ìng, tù l vîi måi v ∈ Rt, vTG(x)v ≥ 0.

Kþ hi»u G(x) ≻ 0 �÷ñ hiºu l ma trªn G(x) l x¡ �ành d÷ìng, tù l vîi måi v ∈Rt \ {0}, vTG(x)v > 0.

Kþ hi»u

MG := {∑

i,j

ATijGiAij|Gi ∈ G ∪ {It},Aij ∈ Mt(R[X ])},

mæ�un bª hai nhä nh§t tr¶n Mt(R[X ]) hùa G.

Ti·n thù tü nhä nh§t hùa G s³ �÷ñ kþ hi»u bði TG . Trong tr÷íng hñp G = ∅,∑tR[X ] := M∅ = T∅ l tªp hñp ¡ têng húu h¤n õa nhúng ph�n tû â d¤ng A

TA,

trong �â A ∈ Mt(R[X ]), v nâ l mæ�un bª hai nhä nh§t trong Mt(R[X ]).

Rã r ng, n¸u F ∈ TG ho° MG th¼ F < 0 tr¶n KG . V§n �· h½nh ti¸p theo hóng tæi

quan t¥m trong Luªn ¡n nh÷ sau

B i to¡n 2. Cho F ∈ St(R[X ]),G = {G1, ...,Gm} ⊆ St(R[X ]). Gi£ sû F ≻ 0 tr¶n KG.

Vîi �i·u ki»n n o th¼ F ∈ TG ho° F ∈ MG.

Li¶n quan �¸n b i to¡n n y, S herer v Hol [44℄ �¢ �÷a ra mët d¤ng ma trªn biºu

di¹n ¡ �a thù ma trªn x¡ �ành d÷ìng tr¶n ∆n �ng nh÷ ¡ �a thù ma trªn x¡

�ành d÷ìng tr¶n KG m MG a simet ho �ành lþ Pâlya v �ành lþ Putinar; trong �â

∆n = {(x1, ..., xn) ∈ Rn|xi ≥ 0,n∑

i=1

xi = 1}.

Cimpri� [6℄ �÷a ra d¤ng ma trªn ho �ành lþ Krivine-Stengle; Cimpri� v Zalar [7℄ �¢

nghi¶n ùu b i to¡n mæmen ho ¡ �a thù to¡n tû v hå �¢ �÷a ra mët d¤ng ma trªn

ho �ành lþ S hm�udgen; L¶ Cæng Tr¼nh [29℄ �¢ �÷a ra mët d¤ng ma trªn ho �ành lþ biºu

di¹n d÷ìng õa Krivine-Stengle, S hweighofer, S heiderer,... Chi ti¸t ho ¡ k¸t qu£ n y

�÷ñ hóng tæi tr¼nh b y trong Mö 1.4 õa Ch÷ìng 1.

D¤ng ma trªn ho �ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Pâlya [37℄ �âng mët vai trá quan trång

trong lþ thuy¸t �i·u khiºn. H�u h¸t ¡ b i to¡n �i·u khiºn tuy¸n t½nh �·u d¨n �¸n ¡

b§t �¯ng thù ma trªn. R§t nhi·u trong sè ¡ b i to¡n n y â thº gi£i �÷ñ khi ¡ b§t

�¯ng thù ma trªn l tuy¸n t½nh. Rã hìn, mët b§t �¯ng thù ma trªn tuy¸n t½nh (Linear

Matrix Inequality - LMI) â d¤ng

L(X) := A0 + A1X1 + ...+ AnXn ≻ 0, (0.4)

trong �â X = (X1, ..., Xn) l n bi¸n thü v A0, A1, ..., An ∈ Sn(R) l ¡ ma trªn �èi xùng

ho tr÷î . B§t �¯ng thù (0.4) h¿ ra L(x) x¡ �ành d÷ìng, tù l , vTL(x)v > 0, ∀ v ∈

9

Rn \ {0}. Khi �â, mi·n x¡ �ành õa LMI l

G := {x ∈ Rn|L(x) ≻ 0}.

�ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Pâlya ho �a thù ma trªn [44℄ kh¯ng �ành r¬ng: Gi£ sû F

l mët �a thù ma trªn �èi xùng thu�n nh§t bª d. N¸u F ≻ 0 tr¶n △n th¼ tçn t¤i sè tü

nhi¶n N sao ho

(X1 + · · ·+Xn)NF =

∑

|α|≤N+d

AαXα,

trong �â, Aα l ¡ ma trªn nûa x¡ �ành d÷ìng, Xα = Xα1

1 ...Xαnn . �º rã hìn v· ¡ ùng

döng n y, â thº xem hi ti¸t trong b i b¡o õa S herer v Hol [44℄.

Mö �½ h h½nh ti¸p theo õa hóng tæi trong Luªn ¡n l gi£i quy¸t B i to¡n 2, �÷a ra

d¤ng ma trªn ho ¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Putinar-Vasiles u, Di kinson-Povh v

Handelman.

Ngo i Mö lö , Danh mö ¡ kþ hi»u, Líi mð ��u, Danh s¡ h ¡ æng tr¼nh õa t¡

gi£ li¶n quan �¸n Luªn ¡n, T i li»u tham kh£o v K¸t luªn, nëi dung h½nh õa Luªn ¡n

�÷ñ hóng tæi tr¼nh b y trong ba h÷ìng.

Trong Ch÷ìng 1 hóng tæi ung §p nhúng kh¡i ni»m v k¸t qu£ ì b£n �÷ñ sû döng

trong Luªn ¡n gçm: Sü ph¥n bè nghi»m õa ¡ �a thù mët bi¸n, B i to¡n thù 17 õa

Hilbert v mët sè �ành lþ biºu di¹n d÷ìng, B i to¡n mæmen v B i to¡n tèi ÷u �a thù ,

d¤ng ma trªn ho mët sè �ành lþ biºu di¹n d÷ìng. Cuèi h÷ìng hóng tæi �÷a ra k¸t qu£

mîi v· mèi li¶n h» giúa t½nh d÷ìng õa �a thù ma trªn v thu�n nh§t hâa õa nâ.

Trong Ch÷ìng 2 hóng tæi �÷a ra mët sè h°n ho gi¡ trà ri¶ng õa �a thù ma trªn.

Cö thº, hóng tæi �¢ �÷a ra mët sè d¤ng ma trªn ho �ành lþ Enestr�om-Kakeya ( ¡ �ành

lþ 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4). Mët sè d¤ng ma trªn ho ¡ �ành lþ d¤ng Cau hy �ng �÷ñ hóng

tæi �÷a ra trong ¡ �ành lþ 2.2.2, 2.2.4, 2.2.6, 2.2.8, 2.2.10, 2.2.12, 2.2.14, 2.2.16, 2.2.17.

Cuèi h÷ìng, trong Mö 2.3, hóng tæi tr¼nh b y b£ng so s¡nh ¡ h°n �¢ �¤t �÷ñ trong

h÷ìng n y vîi ¡ h°n �÷ñ �÷a ra bði Higham v Tisseur [22℄ tr¶n òng v½ dö v ph�n

m·m t½nh to¡n.

Trong Ch÷ìng 3 hóng tæi nghi¶n ùu ¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho ¡ �a thù

ma trªn. Cö thº, hóng tæi �÷a ra d¤ng ma trªn ho ¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa

Putinar-Vasiles u, Rezni k, Di kinson-Povh v Handelman. Ri¶ng �èi vîi d¤ng ma trªn

ho �ành lþ Handelman, hóng tæi �÷a ra mët thõ tö �º t¼m biºu di¹n ho mët �a thù

ma trªn x¡ �ành d÷ìng tr¶n mët �a di»n ompa t, lçi trong Rn.

10

C¡ k¸t qu£ h½nh õa Luªn ¡n �÷ñ hóng tæi æng bè trong ¡ b i b¡o [12, 30℄, ti·n

§n ph©m [13℄ v �¢ �÷ñ b¡o ¡o t¤i:

• Hëi th£o �To¡n hå Mi·n Trung-T¥y Nguy¶n l�n I�, Tr÷íng �¤i hå Quy Nhìn, B¼nh

�ành, 12-14/08/2015;

• Hëi th£o què t¸ �The 6th International Conferen e on Matrix Analysis and Appli-

ations (ICMAA)�, Tr÷íng �¤i hå Duy T¥n, � N®ng, 15-18/06/2017;

• Hëi th£o què t¸ �String-Math 2018�, Tr÷íng �¤i hå Tohoku, Sendai, Nhªt B£n,

18-22/06/2018;

• Hëi th£o què t¸ �The 7th International Conferen e on Matrix Analysis and Appli a-

tions (ICMAA 2018)�, Tr÷íng �¤i hå Shinshu, Nagano, Nhªt B£n, 22-25/06/2018;

• Seminar Khoa To¡n, Tr÷íng �¤i hå Quy Nhìn, B¼nh �ành;

• �¤i hëi To¡n hå Vi»t Nam l�n thù IX, Tr÷íng �¤i hå Thæng tin Li¶n l¤ , 14-

18/08/2018.

B¼nh �ành, th¡ng 11 n«m 2018

T¡ gi£

D÷ Thà Háa B¼nh

11

Ch÷ìng 1

Mët sè k¸t qu£ hu©n bà

Trong h÷ìng n y hóng tæi tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ hu©n bà ho ¡ h÷ìng án

l¤i õa Luªn ¡n. Sü ph¥n bè nghi»m õa �a thù mët bi¸n nh÷ �ành lþ Cau hy [31, 33℄

v mët sè �ành lþ d¤ng Cau hy, �ành lþ Enestr�om-Kakeya [53, Corollary 3℄ �÷ñ tr¼nh

b y trong Mö 1.1. Chóng tæi s³ tr¼nh b y mët sè �ành ngh¾a ì b£n trong H¼nh hå �¤i

sè thü , �÷ñ tr½ h d¨n tø ¡ æng tr¼nh õa S hm�udgen [45, 47, 48℄, Cimpri� [5, 6℄ v

Marshall [32℄ trong Mö 1.2. � �¥y hóng tæi �ng tr¼nh b y mët sè �ành lþ biºu di¹n

d÷ìng ho �a thù . Mët sè �ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho �a thù ma trªn �÷ñ hóng tæi

tr¼nh b y trong Mö 1.4. Ùng döng õa ¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng trong B i to¡n tèi

÷u �a thù v B i to¡n mæmen s³ �÷ñ hóng tæi tr¼nh b y trong Mö 1.3. Cuèi h÷ìng

hóng tæi �÷a ra mët sè k¸t qu£ mîi v· mèi li¶n h» giúa t½nh d÷ìng õa �a thù ma trªn

v thu�n nh§t hâa õa nâ.

1.1 Sü ph¥n bè nghi»m õa ¡ �a thù mët bi¸n

B i to¡n t¼m nghi»m õa ¡ �a thù mët bi¸n l mët trong nhúng b i to¡n ì b£n

õa �¤i sè. Tuy nhi¶n vi» t¼m h½nh x¡ nghi»m õa �a thù mët bi¸n khæng ph£i ló

n o �ng d¹ d ng. Do �â, thay v¼ t¼m nghi»m õa �a thù , hóng ta t¼m mi·n hùa ¡

nghi»m õa nâ. �èi vîi ¡ �a thù h» sè thü , ta â ¡ d¤ng t÷ìng �÷ìng sau �¥y õa

�ành lþ Enestr�om-Kakeya.

�ành lþ 1.1.1 (Enestr�om-Kakeya, d¤ng 1, [53, Corollary 3℄). Cho f(z) l mët �a thù

bª d

f(z) = adzd + ad−1z

d−1 + · · ·+ a1z + a0, ai ∈ R, ∀i = 0, ..., d.

12

Gi£ sû r¬ng

ad ≥ ad−1 ≥ · · · ≥ a0 ≥ 0, v ad > 0.

N¸u z ∈ C l mët nghi»m õa f(z) th¼a02ad

≤ |z| ≤ 1.

Bä qua �i·u ki»n sp thù tü õa ¡ h» sè, ta â d¤ng 2 sau õa �ành lþ Enestr�om-

Kakeya.

�ành lþ 1.1.2 (Enestr�om-Kakeya, d¤ng 2, [3℄). Cho f(z) = adzd+ad−1z

d−1+· · ·+a1z+a0

l mët �a thù thü vîi ai, i = 0, ..., d, l ¡ sè thü d÷ìng. Kþ hi»u

α := min0≤i≤d−1

{aiai+1

}, β := max

0≤i≤d−1

{aiai+1

}.

Khi �â, måi nghi»m z ∈ C õa f(z) thäa m¢n

α ≤ |z| ≤ β.

�èi vîi ¡ �a thù phù , �ành lþ Cau hy h¿ ra mët �¾a trán hùa ¡ nghi»m õa nâ,

ö thº nh÷ sau.

�ành lþ 1.1.3 (Cau hy, d¤ng 1, [31, 33℄). Cho f(z) =d∑

i=0

aizil mët �a thù phù bª d.

Khi �â, måi nghi»m õa �a thù f(z) n¬m trong �¾a

{z ∈ C| |z| ≤ 1 +M},vîi M = max

{∣∣∣ajad

∣∣∣, j = 0, 1, ..., d− 1

}.

Trong tr÷íng hñp �a thù f(z) â |ad| > |ai|, ∀i = 0, ..., d − 1, th¼ M < 1. Khi �â,

hóng ta nhªn �÷ñ mët h» qu£ sau.

H» qu£ 1.1.4 ([9, Theorem 2.2℄). Cho f(z) =d∑

i=0

aizil mët �a thù phù bª d. N¸u

|ad| > |ai|, ∀i = 0, ..., d−1, th¼ måi nghi»m õa �a thù f(z) n¬m trong �¾a {z ∈ C| |z| < 2}.

�ành lþ 1.1.5 (Cau hy, d¤ng 2, [31, Se tion 27℄). Cho f(z) =d∑

i=0

aizil mët �a thù phù

bª d. Gåi r v R t÷ìng ùng l nghi»m d÷ìng õa ¡ �a thù

h(z) = |ad|zd + |ad−1|zd−1 + · · ·+ |a1|z − |a0|,

v

g(z) = |ad|zd − |ad−1|zd−1 − · · · − |a1|z − |a0|.Khi �â, måi nghi»m õa �a thù f(z) thäa m¢n

r ≤ |z| ≤ R.

13

T÷ìng tü þ t÷ðng tr¶n õa Cau hy, hóng ta â mët sè k¸t qu£ d¤ng Cau hy v· sü

ph§n bè nghi»m õa �a thù nh÷ sau.

�ành lþ 1.1.6 ([9, Theorem 3.2℄). Cho f(z) =d∑

i=0

aizil mët �a thù phù bª d. Kþ hi»u

M := max0≤i≤d−1

∣∣∣ aiad

∣∣∣.


K(0, r1) = {z ∈ C| |z| ≤ r1},

trong �â, r1 l nghi»m d÷ìng lîn nh§t õa ph÷ìng tr¼nh

zd+1 − (1 +M)zd +M = 0.

�p döng �ành lþ 1.1.6 ho �a thù (1− z)f(z), hóng ta nhªn �÷ñ ¡ h» qu£ sau.


i=0

aizil mët �a thù phù bª d. Kþ hi»u

M̃ := maxi=0,...,d

∣∣∣ad−i − ad−i−1

ad

∣∣∣, a−1 := 0.


K(0, r2) = {z ∈ C| |z| ≤ r2},

trong �â, r2 l nghi»m d÷ìng lîn nh§t õa ph÷ìng tr¼nh

zd+2 − (1 + M̃)zd+1 + M̃ = 0.

H» qu£ sau �¥y l mët k¸t qu£ t÷ìng tü �ành lþ 1.1.3.


i=0

aizil mët �a thù phù bª d. Khi �â,

måi nghi»m õa �a thù f(z) n¬m trong �¾a

K(0, r3) = {z ∈ C| |z| ≤ r3},

trong �â, r3 = 1 + M̃ v M̃ �÷ñ x¡ �ành nh÷ trong H» qu£ 1.1.7.

Ch°n tr¶n sau �¥y õa Joyal-Labelle-Rahman [24℄ trong nhi·u tr÷íng hñp l tèt hìn

so vîi ¡ h°n Cau hy.

14

�ành lþ 1.1.9 (Joyal, Labelle, Rahman, [24℄). Cho f(z) =d∑

i=0

aizil mët �a thù phù

bª d. Kþ hi»u

α := maxi=0,...,d−2

∣∣∣ aiad

∣∣∣.

Khi �â, måi nghi»m õa f(z) thäa m¢n

|z| ≤ 1

2

1 +

∣∣∣ad−1

ad

∣∣∣ +

√(1−

∣∣∣ad−1

ad

∣∣∣)2

+ 4α

.

�p döng �ành lþ 1.1.9 ho �a thù g(z) = zdf(1z), hóng ta s³ �¤t �÷ñ mët h°n d÷îi

ho nghi»m õa �a thù nh÷ sau.

H» qu£ 1.1.10 ([24℄). Cho f(z) = adzd + ad−1z

d−1 + · · ·+ a1z + a0 l mët �a thù phù

bª d vîi a0 6= 0. Kþ hi»u

β := maxi=2,...,d

∣∣∣ aia0

∣∣∣.


|z| ≥ 2

1 +∣∣∣a1a0

∣∣∣+√(

1−∣∣∣a1a0

∣∣∣)2

+ 4β

.

�p döng �ành lþ 1.1.9 ho �a thù (1− z)f(z) ta â h» qu£ sau.



bª d. Kþ hi»u

γ := maxi=1,...,d

∣∣∣ad−i − ad−i−1

ad

∣∣∣, a−1 := 0.


|z| ≤ 1

2

1 +

∣∣∣ad − ad−1

ad

∣∣∣+

√(1−

∣∣∣ad − ad−1

ad

∣∣∣)2

+ 4γ

.

T÷ìng tü, ¡p döng H» qu£ 1.1.11 ho �a thù g(z) = zdf(1z), hóng ta nhªn �÷ñ mët

h°n d÷îi ho �a thù nh÷ sau.

15

H» qu£ 1.1.12. Cho f(z) = adzd + ad−1z

d−1 + · · ·+ a1z + a0 l mët �a thù phù bª d

â a0 6= 0. Kþ hi»u

γ′ := maxi=1,...,d

∣∣∣ai − ai+1

a0

∣∣∣, ad+1 := 0.


|z| ≥ 2

1 +∣∣∣a0 − a1

a0

∣∣∣+√(

1−∣∣∣a0 − a1

a0

∣∣∣)2

+ 4γ′

.

�p döng �ành lþ 1.1.9 ho �a thù (z − ad−1)f(z) ta �÷ñ h» qu£ sau.

H» qu£ 1.1.13 ([24℄). Cho f(z) = zd + ad−1zd−1 + · · ·+ a1z+ a0 l mët �a thù phù bª

d. Kþ hi»u

δ := maxi=0,...,d−1

|ad−1ai − ai−1|, a−1 := 0.


|z| ≤ 1

2(1 +

√1 + 4δ).

�èi vîi mët �a thù b§t ký, b¬ng ¡ h x²t �a thù moni t÷ìng ùng, ta nhªn �÷ñ

�¡nh gi¡ sau.



bª d. Kþ hi»u

δ′ := maxi=0,...,d−1

∣∣∣ad−1ai − ai−1ada2d

∣∣∣, a−1 := 0.


|z| ≤ 1

2(1 +

√1 + 4δ′).

T÷ìng tü, ¡p döng H» qu£ 1.1.14 ho �a thù g(z) = zdf(1z), hóng ta nhªn �÷ñ mët

h°n d÷îi ho �a thù nh÷ sau.

H» qu£ 1.1.15. Cho mët �a thù phù f(z) = adzd + ad−1z

d−1 + · · ·+ a1z + a0 bª d â

a0 6= 0. Kþ hi»u

δ” := maxi=1,...,d

∣∣∣a1ai − a0ai+1

a20

∣∣∣, ad+1 := 0.


|z| ≥ 2

1 +√1 + 4δ”

.

16

�ành lþ sau õa Datt v Govil [8℄ ho hóng ta mët h°n tr¶n tèt hìn so vîi h°n tr¶n

õa Cau hy trong �ành lþ 1.1.3.

�ành lþ 1.1.16 (Datt-Govil,[8, Theorem 1℄). Cho mët �a thù phù f(z) = adzd +

ad−1zd−1 + · · ·+ a1z + a0 bª d. Kþ hi»u

A := maxi=0,...,d−1

∣∣∣ aiad

∣∣∣.


|a0|2|ad|(1 + A)d−1(Ad+ 1)

≤ |z| ≤ 1 + x0A,

trong �â, x0 l mët nghi»m õa ph÷ìng tr¼nh x = 1− 1(Ax+1)d

n¬m trong (0, 1).

Trong tr÷íng hñp khâ t¼m nghi»m x0 ∈ (0, 1) õa ph÷ìng tr¼nh x = 1− 1(Ax+1)d

, hóng

ta â thº dòng h°n sau �¥y.

�ành lþ 1.1.17 (Datt-Govil,[8, Theorem 2℄). Cho mët �a thù phù f(z) = adzd +

ad−1zd−1 + · · ·+ a1z + a0 bª d. Kþ hi»u

A := maxi=0,...,d−1

∣∣∣ aiad

∣∣∣.


|a0|2|ad|(1 + A)d−1(Ad+ 1)

≤ |z| < 1 +(1− 1

(1 + A)d

)A.

T÷ìng tü ¡ �ành lþ Cau hy, hóng ta â ¡ h°n sau �¥y ho nghi»m õa �a thù .

�ành lþ 1.1.18 ([34, Theorem 2.2℄). Cho mët �a thù phù f(z) = adzd + ad−1z

d−1 +

· · ·+ a1z + a0 bª d. Kþ hi»u

M := maxi=0,...,d−1

|ai|, M ′ := maxi=1,...,d

|ai|.


|a0||a0|+M ′

< |z| < 1 +M

|ad|.

Têng qu¡t ho �ành lþ 1.1.18 ta â k¸t qu£ sau.

17

�ành lþ 1.1.19 ([34, Theorem 2.4℄). Cho mët �a thù phù f(z) = adzd + ad−1z

d−1 +

· · ·+ a1z + a0 bª d. Cho p, q > 1 sao ho

1p+ 1

q= 1. Kþ hi»u

Mp :=

(d−1∑

i=0

|ai|p) 1

p

, M ′p :=

(d∑

i=1

|ai|p) 1

p

.

Khi �â, vîi måi nghi»m z õa f(z) ta â

[ |a0|q(M ′

p)q + |a0|q

] 1

q

< |z| <[1 +

(Mp

|ad|

)q] 1

q

.

1.2 B i to¡n thù 17 õa Hilbert v mët sè �ành lþ

biºu di¹n d÷ìng ho �a thù

Cho n ≥ 1, kþ hi»u R[X1, ..., Xn] := R[X ] l v nh ¡ �a thù n bi¸n X1, ..., Xn vîi h»

sè thü ;

∑R[X ]2 l tªp hñp gçm têng húu h¤n ¡ b¼nh ph÷ìng õa ¡ �a thù trong

R[X ], tù l tªp hñp ¡ ph�n tû â d¤ng

k∑i=1

f 2i , vîi k ∈ N, fi ∈ R[X ], i = 1, · · · , k.

1.2.1 B i to¡n thù 17 õa Hilbert v �ành lþ Artin

Cho f ∈ R[X ] l mët �a thù theo n bi¸n X1, ..., Xn. N¸u f biºu di¹n �÷ñ th nh têng

b¼nh ph÷ìng õa húu h¤n �a thù trong R[X ] th¼ rã r ng f khæng ¥m tr¶n Rn. Do �â,

mët ¥u häi tü nhi¶n �÷ñ �°t ra l hi·u ng÷ñ l¤i â �óng khæng, tù l

f ≥ 0 tr¶n Rn =⇒ f ∈∑

R[X ]2?

C¥u tr£ líi ho ¥u häi n y �÷ñ �÷a ra bði Hilbert v o n«m 1888, ö thº nh÷ sau.

�ành lþ 1.2.1 (Hilbert, [23℄). Cho f ∈ R[X ] l mët �a thù bª d h®n v khæng ¥m tr¶n

Rn. Khi �â, f â thº biºu di¹n �÷ñ th nh têng b¼nh ph÷ìng õa ¡ �a thù trong R[X ]

n¸u v h¿ n¸u mët trong ¡ �i·u ki»n sau thäa m¢n:

. n = 1;

. d = 2;

. n = 2, d = 4.

18

Nh÷ th¸, ngo i ba tr÷íng hñp �÷ñ Hilbert �÷a ra, �èi vîi méi °p sè tü nhi¶n n ≥ 2

v d ≥ 4, luæn tçn t¤i mët �a thù n bi¸n bª d, khæng ¥m tr¶n Rnnh÷ng khæng thº biºu

di¹n th nh têng b¼nh ph÷ìng ¡ �a thù tr¶n R[X ]. Tuy nhi¶n æng khæng h¿ ra trü ti¸p

¡ ph£n v½ dö.

N«m 1967, Motzkin [35℄ �¢ �÷a ra mët ph£n v½ dö v· mët �a thù hai bi¸n bª 6 khæng

¥m tr¶n R2nh÷ng khæng thº biºu di¹n th nh têng b¼nh ph÷ìng õa ¡ �a thù hai bi¸n.

Cö thº, �a thù Motzkin

M(X, Y ) = 1− 3X2Y 2 +X2Y 4 +X4Y 2 ∈ R[X, Y ]

khæng ¥m tr¶n R2nh÷ng khæng thº biºu di¹n �÷ñ th nh têng b¼nh ph÷ìng ¡ �a thù

trong R[X, Y ] ([32, Proposition 1.2.2℄). Tuy nhi¶n, hóng ta â thº biºu di¹n M(X, Y ) bði

têng b¼nh ph÷ìng ¡ ph¥n thù nh÷ sau:

M(X, Y ) =

[X2Y (X2 + Y 2 − 2)

X2 + Y 2

]2+

[XY 2(X2 + Y 2 − 2)

X2 + Y 2

]2

+

[XY (X2 + Y 2 − 2)

X2 + Y 2

]2+

[X2 − Y 2

X2 + Y 2

]2.

N«m 1977, Choi-Lam [4℄ �÷a ra mët �a thù ba bi¸n bª 4

q(X, Y, Z) = 1 +X2Y 2 + Y 2Z2 + Z2X2 − 4XY Z.

Rã r ng q(X, Y, Z) ≥ 0 tr¶n R3, nh÷ng q(X, Y, Z) khæng thº biºu di¹n th nh têng ¡

b¼nh ph÷ìng ¡ �a thù .

T¤i �¤i hëi To¡n hå th¸ giîi tê hù t¤i Paris n«m 1900, Hilbert �¢ �· nghà mët danh

s¡ h gçm 23 "B i to¡n th¸ k�", trong sè �â, B i to¡n thù 17 �÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau:

B i to¡n thù 17 õa Hilbert. Cho f ∈ R[X ]. N¸u f ≥ 0 tr¶n Rn, â suy ra �÷ñ

f =k∑

i=1

(figi

)2

hay khæng?

N«m 1927, Artin �¢ �÷a ra ¥u tr£ líi sau ho B i to¡n thù 17 õa Hilbert.

�ành lþ 1.2.2 (Artin, [1℄). Cho f ∈ R[X ]. N¸u f khæng ¥m tr¶n Rnth¼ f biºu di¹n �÷ñ

th nh têng b¼nh ph÷ìng õa ¡ ph¥n thù trong R(X).

1.2.2 Mët sè �ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho �a thù

Tr÷î ti¶n hóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m ì b£n trong H¼nh hå �¤i sè thü

ho �a thù �÷ñ tr½ h d¨n tø ¡ æng tr¼nh õa S hm�udgen [45, 47, 48℄, Cimpri� [5, 6℄

19

v Marshall [32℄.

Cho A l mët v nh giao ho¡n â �ìn và 1. Kþ hi»u

∑A2

l tªp hñp õa ¡ têng b¼nh

ph÷ìng trong A, tù l tªp hñp ¡ ph�n tû â d¤ng

k∑i=1

a2i , k ∈ N, ai ∈ A, i = 1, · · · , k.

�ành ngh¾a 1.2.3 (Marshall, [32℄). (a) Mët mæ�un bª hai tr¶n A l mët tªp on M

õa A thäa m¢n:

. M +M ⊆ M ;

. 1 ∈ M ;

. a2M ⊆ M vîi måi a ∈ A.

(b) Mët ti·n thù tü tr¶n A l mët tªp on T õa A thäa m¢n:

. T + T ⊆ T ;

. T · T ⊆ T ;

. a2 ∈ T vîi måi a ∈ A.

Tø �ành ngh¾a 1.2.3 hóng ta â mët sè nhªn x²t sau.

Chó þ 1.2.4. Cho A l mët v nh giao ho¡n â �ìn và 1. Khi �â,

(1) Méi ti·n thù tü tr¶n A l mët mæ�un bª hai tr¶n A.

(2)

∑A2

l ti·n thù tü nhä nh§t tr¶n A.

B¥y gií hóng ta x²t A l v nh �a thù R[X ] := R[X1, ..., Xn].

�ành ngh¾a 1.2.5 (Marshall, [32℄).

(a) Méi tªp on õa Rn â d¤ng

{x ∈ Rn|f(x) = 0, fj(x) > 0, j = 1, · · · , k},

vîi f, fj ∈ R[X ], �÷ñ gåi l mët tªp on nûa �¤i sè ì b£n õa Rn.

(b) Mët tªp on õa Rn�÷ñ gåi l mët tªp nûa �¤i sè n¸u nâ l hñp húu h¤n õa ¡

tªp nûa �¤i sè ì b£n trong Rn.

Cho G = {g1, ..., gm} l mët tªp on õa R[X ]. Khi �â,

20

• Tªp hñp KG = {x ∈ Rn|g1(x) ≥ 0, ..., gm(x) ≥ 0} l mët tªp nûa �¤i sè, �÷ñ gåi l

mët tªp nûa �¤i sè �âng ì b£n trong Rn;

• Mæ�un bª hai nhä nh§t tr¶n R[X ] hùa G, kþ hi»u bði MG, l

MG = {σ0 + σ1g1 + · · ·+ σmgm|σi ∈∑

R[X ]2};

• Ti·n thù tü nhä nh§t tr¶n R[X ] hùa G, kþ hi»u bði TG, l

TG = {∑

δ=(δ1,··· ,δm)∈{0,1}m

sδgδ11 · · · gδmm |m ∈ N, sδ ∈

∑R[X ]2}.

Cho �a thù f ∈ R[X ]. D¹ th§y, n¸u f ∈ MG ho° TG th¼ f ≥ 0 tr¶n KG, tù l

f(x) ≥ 0, ∀x ∈ KG. Do �â, mët ¥u häi �÷ñ �°t ra l :

f ≥ 0 tr¶n KG =⇒ f ∈ TG ho° f ∈ MG?

N¸u ¥u tr£ líi l �óng, hóng ta â �÷ñ mët �ành lþ biºu di¹n d÷ìng (Positivstel-

lensatz), hay �ành lþ biºu di¹n khæng ¥m (Ni htnegativstellensatz). Trong mët sè t i li»u

( h¯ng h¤n, [32℄), ¡ t¡ gi£ sû döng thuªt ngú hung l "Positivstellensatz". Do �â,

trong to n bë luªn v«n hóng tæi thèng nh§t dòng thuªt ngú Positivstellensatz (�ành lþ

biºu di¹n d÷ìng).

Mët biºu di¹n " â mü thù " ho ¡ �a thù d÷ìng (t÷ìng ùng, khæng ¥m, b¬ng

khæng) tr¶n KG �÷ñ �÷a ra bði Krivine (1964) v Stengle (1974), ö thº nh÷ sau.

�ành lþ 1.2.6 (Krivine-Stengle, [25, 54℄). Cho mët tªp on G = {g1, ..., gm} ⊆ R[X ] v

mët �a thù f ∈ R[X ]. Khi �â:

(i) f > 0 tr¶n KG n¸u v h¿ n¸u tçn t¤i p, q ∈ TG sao ho pf = 1 + q.

(ii) f ≥ 0 tr¶n KG n¸u v h¿ n¸u tçn t¤i mët sè nguy¶n m ≥ 0 v p, q ∈ TG sao ho

pf = f 2m + q.

(iii) f = 0 tr¶n KG n¸u v h¿ n¸u tçn t¤i mët sè nguy¶n m ≥ 0 sao ho −f 2m ∈ TG;

(iv) KG = ∅ n¸u v h¿ n¸u −1 ∈ TG.

Trong tr÷íng hñp G = ∅ th¼ KG = Rn,MG = TG =∑

R[X ]2. Khi �â, �ành lþ Artin

(�ành lþ 1.2.2) l mët h» qu£ õa �ành lþ 1.2.6.

21

Trong �ành lþ Krivine-Stengle, biºu di¹n õa ¡ �a thù d÷ìng (t÷ìng ùng, khæng

¥m, b¬ng khæng) tr¶n tªp KG luæn â "mü thù ". Vi» t¼m biºu di¹n "khæng mü thù "

ho ¡ �a thù d÷ìng (t÷ìng ùng, khæng ¥m, b¬ng khæng) tr¶n mët tªp nûa �¤i sè �âng

ì b£n l mët v§n �· quan trång v â nhi·u ùng döng trong vi» gi£i quy¸t b i to¡n tèi

÷u �a thù �ng nh÷ b i to¡n mæmen. �ành lþ biºu di¹n d÷ìng khæng mü thù ��u ti¶n

�÷ñ �÷a ra bði S hm�udgen, ö thº nh÷ sau.

�ành lþ 1.2.7 (S hm�udgen, [46, Corollary 3℄). Gi£ sû KG ompa t. N¸u f > 0 tr¶n KG

th¼ f ∈ TG.

Mët tr÷íng hñp �° bi»t õa �ành lþ 1.2.7 �÷ñ �÷a ra bði Handelman (1988, [19℄),

biºu di¹n ho ¡ �a thù d÷ìng tr¶n mët �a di»n lçi, ompa t, ö thº nh÷ sau.

Cho P l mët �a di»n lçi, ompa t vîi ph�n trong kh¡ réng, vîi bi¶n x¡ �ành bði

¡ �a thù tuy¸n t½nh λ1, ..., λk ∈ R[X ]. Khi �â, hóng ta â thº hån d§u õa λi sao ho

P = {x ∈ Rn|λi(x) ≥ 0, ∀i = 1, ..., k}.

�ành lþ 1.2.8 (Handelman, [19℄). Cho �a di»n P nh÷ tr¶n v gi£ sû �a thù f ∈ R[X ]

l d÷ìng tr¶n P . Khi �â, tçn t¤i mët sè tü nhi¶n m ∈ N sao ho

f =∑

|α|≤m

bαλα1

1 ...λαk

k ,

trong �â, |α| = α1 + · · ·+ αk, bα ∈ R+vîi måi α.

Tø �ành lþ 1.2.8 hóng ta â h» qu£ sau.

H» qu£ 1.2.9. Cho mët �a thù f ∈ R[X ], n¸u f(x) > 0 vîi måi x ∈ P , th¼ f â thº

�÷ñ biºu di¹n nh÷ sau

f =∑

δi∈{0,1}

bδλδ11 · · ·λδm

m ,

trong �â, méi bδ l mët têng húu h¤n ¡ b¼nh ph÷ìng �a thù trong R[X ] m â bª khæng

qu¡ m.

H» qu£ n y l mët tr÷íng hñp �° bi»t õa �ành lþ 1.2.7 khi x²t �a thù d÷ìng tr¶n

mët �a di»n lçi, ompa t.

Chó þ r¬ng MG ⊆ TG, do �â �º f ∈ MG ta �n mët �i·u ki»n m¤nh hìn �èi vîi G.

Mët mæ�un bª hai M ⊆ R[X ] �÷ñ gåi l a simet n¸u tçn t¤i sè tü nhi¶n k ∈ N, k 6= 0

sao ho k − (X21 + ...+X2

n) ∈ M .

22

N«m 1993, Putinar [39℄ �¢ �÷a ra �i·u ki»n a simet �èi vîi mæ�un bª hai MG �º

nhªn �÷ñ k¸t qu£ sau.

�ành lþ 1.2.10 (Putinar, [39℄). Gi£ sû MG a simet. Khi �â, n¸u f > 0 tr¶n KG th¼

f ∈ MG.

Chó þ r¬ng n¸u MG a simet th¼ TG a simet. Hìn núa, TG a simet n¸u v h¿ n¸u

KG ompa t ([31, Theorem 6.1.1℄). Do �â �i·u ki»n a simet õa MG m¤nh hìn �i·u ki»n

ompa t õa KG.

Trong tr÷íng hñp KG khæng ompa t, S hweighofer [50℄ �¢ �÷a ra �ành lþ biºu di¹n

d÷ìng sau �¥y. Kþ hi»u

R∞(f,KG) := {y ∈ R|∃xk ∈ KG, xk → ∞(k → ∞), f(xk) → y}

l tªp ¡ gi¡ trà ti»m ªn õa f .

�ành lþ 1.2.11 (S hweighofer, [50℄). Cho G = {g1, · · · , gm} ⊆ R[X ] v f ∈ R[X ]. Gi£

sû

(i) f > 0 tr¶n KG;

(ii) f bà h°n tr¶n KG;

(iii) R∞(f,KG) l mët tªp on húu h¤n õa R+.

Khi �â, f ∈ TG.

Mët sè �ành lþ biºu di¹n d÷ìng kh¡ tr¶n ¡ tªp khæng ompa t ho ¡ �a thù

thu�n nh§t �÷ñ hóng tæi tr¼nh b y sau �¥y.

�ành ngh¾a 1.2.12 (Fiedler, [14℄). Cho {v0, ..., vn} l mët h» �ë lªp affine trong Rn.

Mët �ìn h¼nh trong Rnvîi n+ 1 �¿nh v0, ..., vn �÷ñ x¡ �ành bði

{x0v0 + · · ·+ xnvn|xi ≥ 0,n∑

i=0

xi = 1}.

�° bi»t, �ìn h¼nh hu©n trong Rn�÷ñ x¡ �ành bði

∆n := {(x1, · · · , xn) ∈ Rn|xi ≥ 0,

n∑

i=1

xi = 1}.

23

�ành ngh¾a 1.2.13 (Marshall, [32℄). Mët �a thù f ∈ R[X ] �÷ñ gåi l thu�n nh§t bª

d n¸u

f(λX1, · · · , λXn) = λdf(X1, · · · , Xn),

vîi måi λ 6= 0.

L÷u þ r¬ng méi �a thù bª d kh¡ khæng f ∈ R[X ] â thº ph¥n t½ h �÷ñ mët ¡ h

duy nh§t d÷îi d¤ng

f = f0 + f1 + · · ·+ fd,

trong �â fi, i = 0, · · · , d, l th nh ph�n thu�n nh§t bª i õa f . Hìn núa, khi ho

mët �a thù f ∈ R[X ] bª d, hóng ta â thº nhªn �÷ñ mët �a thù thu�n nh§t

f̃ ∈ R[X0, X1, · · · , Xn] bª d li¶n k¸t vîi nâ nh÷ sau.

f̃(X0, X1, ..., Xn) = Xd0f0 +Xd−1

0 f1 + · · ·+ fd,

trong �â X0 l mët bi¸n mîi. �a thù f̃ �÷ñ gåi l thu�n nh§t hâa õa f . D¹ d ng th§y

r¬ng,

f̃(1, X1, ..., Xn) = f(X1, ..., Xn) v f̃(0, X1, ..., Xn) = fd(X1, · · · , Xn).

�ành lþ 1.2.14 (Pâlya, [37℄). Cho f ∈ R[X ] l mët �a thù thu�n nh§t bª d h®n. Gi£

sû f > 0 tr¶n Rn+ \{0}. Khi �â, tçn t¤i sè tü nhi¶n N �õ lîn sao ho t§t £ ¡ h» sè kh¡

khæng õa �a thù (X1 + · · ·+Xn)Nf �·u d÷ìng.

N«m 1995, Rezni k �¢ �÷a ra mët �ành lþ biºu di¹n d÷ìng nh÷ sau.

�ành lþ 1.2.15 (Rezni k, [41℄). Cho f ∈ R[X ] l mët �a thù thu�n nh§t bª h®n. N¸u

f > 0 tr¶n Rn \ {0} th¼ tçn t¤i mët sè nguy¶n khæng ¥m r sao ho

(X21 + · · ·+X2

n)rf ∈∑R[X ]2.

Têng qu¡t ho �ành lþ õa Rezni k, Putinar v Vasiles u [40, Theorem 4.2℄ �¢ nghi¶n

ùu biºu di¹n õa ¡ �a thù thu�n nh§t d÷ìng tr¶n ¡ tªp nûa �¤i sè �âng ì b£n

trong Rn.

�ành lþ 1.2.16 ([40, Theorem 4.2℄). Cho f, g1, · · · , gm ∈ R[X ] l ¡ �a thù thu�n nh§t

bª h®n v gi£ sû f > 0 tr¶n KG \ {0}, trong �â G = {g1, · · · , gm}. Khi �â, tçn t¤i mët

sè nguy¶n r ≥ 0 sao ho

(X21 + · · ·+X2

n)rf ∈ MG.

24

Chó þ r¬ng khi G = ∅, ta nhªn �÷ñ �ành lþ 1.2.15 õa Rezni k.

N«m 2015, Di kinson v Povh [10, Theorem 3.5℄ �¢ �÷a ra mët �ành lþ biºu di¹n

d÷ìng, k¸t hñp �ành lþ õa Pâlya v õa Putinar v Vasiles u.

�ành lþ 1.2.17 ([10, Theorem 3.5℄). Cho f, g1, · · · , gm ∈ R[X ] l ¡ �a thù thu�n nh§t

bª h®n. N¸u f > 0 tr¶n Rn+ ∩KG \ {0} th¼ tçn t¤i mët sè nguy¶n khæng ¥m r v ¡ �a

thù thu�n nh§t h1, · · · , hm vîi h» sè khæng ¥m sao ho

(X1 + · · ·+Xn)rf =

m∑

i=1

gihi.

C¡ ph¡t biºu khæng thu�n nh§t ho ¡ �ành lþ tr¶n �÷ñ tr¼nh b y trong Mö 1.5.

1.3 B i to¡n tèi ÷u �a thù v b i to¡n mæmen

Trong ph�n n y hóng tæi tr¼nh b y ùng döng õa ¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng trong

tèi ÷u �a thù v gi£i quy¸t b i to¡n mæmen. C¡ k¸t qu£ �÷ñ tr¼nh b y ð �¥y �÷ñ tr½ h

tø [32℄ v [28℄.

1.3.1 B i to¡n tèi ÷u �a thù

B i to¡n tèi ÷u �a thù l b i to¡n t¼m

f ∗ = infx∈KG

f(x), (1.1)

trong �â, f ∈ R[X ], G = {g1, ..., gm} ⊆ R[X ], KG = {x ∈ Rn|g1(x) ≥ 0, ..., gm(x) ≥ 0}.Trong tr÷íng hñp G = ∅, KG = Rn

, b i to¡n tr¶n �÷ñ gåi l b i to¡n tèi ÷u �a thù khæng

r ng buë .

Biºu thù (1.1) â thº �÷ñ vi¸t l¤i d÷îi d¤ng

f ∗ = infx∈KG

f(x) = sup{λ|λ ≤ f(x), x ∈ KG}

=sup{λ|f(x)− λ ≥ 0, x ∈ KG}=sup{λ|f(x)− λ > 0, x ∈ KG}.

Nh÷ th¸, vi» t¼m f ∗�÷ñ huyºn sang t¼m supremum õa ¡ sè λ sao ho f − λ khæng

¥m (ho° d÷ìng) tr¶n KG. �º gi£i quy¸t b i to¡n khâ n y, mët trong nhúng þ t÷ðng l

25

thay th¸ �i·u ki»n khæng ¥m bði mët �i·u ki»n n o �â �ìn gi£n hìn, trong �â â hùa ¡

têng b¼nh ph÷ìng, �º â thº ti¸p ªn b¬ng ¡ h sû döng Quy ho¤ h nûa x¡ �ành (SDP).

Vîi þ t÷ðng �â, mët trong nhúng ¡ h �º nîi läng �i·u ki»n "f − λ ≥ 0 tr¶n KG" l x²t

biºu di¹n f − λ d÷îi d¤ng

f − λ = t0 +m∑

i=1

tigi,

trong �â ti ∈∑

R[X ]2. Tù l , nîi läng �i·u ki»n "f−λ ≥ 0 tr¶nKG" th nh "f−λ ∈ MG".

�i·u n y d¨n �¸n vi» x²t b i to¡n

f sos,G = sup{λ|f − λ ∈ MG}. (1.2)

Rã r ng, n¸u f − λ ∈ MG th¼ f − λ ≥ 0 tr¶n KG. Do �â f sos,G ≤ f ∗. Hìn núa, n¸u ta â

mët �ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho �a thù f − λ tr¶n KG th¼ f sos,G = f ∗. Ch¯ng h¤n, ¡p

döng �ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Putinar (�ành lþ 1.2.10) ta â �÷ñ k¸t qu£ sau.

H» qu£ 1.3.1. Cho G = {g1, ..., gm} ⊆ R[X ] v f ∈ R[X ]. Gi£ sû MG a simet. Khi �â

f ∗sos,G = f ∗

.

Tuy nhi¶n vi» t¼m f sos,Gkhæng d¨n �¸n mët Quy ho¤ h nûa x¡ �ành, bði v¼ hóng

ta khæng h°n �÷ñ bª õa ¡ �a thù ti trong biºu di¹n õa f − λ. �º nhªn �÷ñ mët

Quy ho¤ h nûa x¡ �ành, hóng ta x²t ¡ sè nguy¶n k vîi

2k ≥ max{deg(f), deg(g1), . . . , deg(gm)}.

X²t b i to¡n

f sos,Gk = sup{λ|f − λ = t0 +

m∑

i=1

tigi, ti ∈∑

R[X ]2, deg(t0), deg(tigi) ≤ 2k}. (1.3)

Khi �â f sos,Gk �÷ñ t½nh qua mët Quy ho¤ h nûa x¡ �ành. Hìn núa,

f sos,Gk ≤ f sos,G

k+1 ≤ f sos,G ≤ f ∗

v limk→∞

f sos,Gk = f sos,G

.

1.3.2 B i to¡n mæmen

D¤ng thù nh§t ( ê �iºn) õa b i to¡n mæmen �÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau:

B i to¡n mæmen (d¤ng 1) Cho K l mët tªp on �âng trong Rn. Cho L : R[X ] → R

26

l mët phi¸m h m tuy¸n t½nh. Câ tçn t¤i hay khæng mët �ë �o Borel d÷ìng µ vîi gi¡ hùa

trong K sao ho vîi måi f ∈ R[X ],

L(f) =

∫

K

fdµ?

Haviland (1935, [20℄) �¢ �÷a ra mët �i·u ki»n �n v �õ ho sü tçn t¤i õa �ë �o d÷ìng

µ, ö thº nh÷ sau.

�ành lþ 1.3.2 (Haviland, [20℄). �i·u ki»n �n v �õ �º tçn t¤i mët �ë �o Borel d÷ìng µ

vîi gi¡ hùa trong K sao ho vîi måi f ∈ R[X ] ta â

L(f) =

∫

K

fdµ

l L(f) ≥ 0 vîi måi f ≥ 0 tr¶n K.

Nh÷ th¸, vi» mæ t£ ¡ �a thù khæng ¥m tr¶n K �âng mët vai trá quan trång trong

vi» gi£i b i to¡n mæmen tr¶n K.

Mët d¤ng kh¡ õa b i to¡n mæmen �÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau.

B i to¡n mæmen (d¤ng 2) Cho G = {g1, ..., gm} ⊆ R[X ]. Kþ hi»u KG, TG nh÷ tr¶n.

N¸u L(f) ≥ 0 vîi måi f ∈ TG th¼ â tçn t¤i hay khæng mët �ë �o Borel d÷ìng µ â gi¡

hùa trong KG sao ho vîi måi f ∈ R[X ] ta â

L(f) =

∫

KG

fdµ?

Chó þ r¬ng, vîi f ∈ TG th¼ f ≥ 0 tr¶n KG. Do �â b i to¡n mæmen d¤ng 2 y¸u hìn

b i to¡n mæmen d¤ng 1. Tuy nhi¶n, n¸u hóng ta â mët �ành lþ biºu di¹n d÷ìng tr¶n

KG th¼ hai b i to¡n tr¶n t÷ìng �÷ìng vîi nhau (qua �ành lþ Haviland). Ng÷íi �å â thº

xem th¶m v· ùng döng õa ¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng �º gi£i quy¸t ¡ b i to¡n mæmen

trong ¡ t i li»u [28℄, [17℄.

Mët h» qu£ õa �ành lþ Haviland, �ành lþ S hm�udgen v �ành lþ Putinar �èi vîi b i

to¡n mæmen �÷ñ ho nh÷ sau.

H» qu£ 1.3.3. Cho G = {g1, ..., gm} ⊆ R[X ]. Gi£ sû KG ompa t (t÷ìng ùng, MG

a simet). Gåi L : R[X ] → R l mët phi¸m h m tuy¸n t½nh thäa m¢n L(f) ≥ 0, ∀f ∈ TG

27

(t÷ìng ùng, ∀f ∈ MG). Khi �â tçn t¤i mët �ë do d÷ìng µ vîi gi¡ hùa trong KG sao ho

vîi måi f ∈ R[X ] ta â

L(f) =

∫

KG

fdµ.

1.4 H¼nh hå �¤i sè thü ho �a thù ma trªn

Trong ph�n n y hóng tæi s³ tr¼nh b y d¤ng ma trªn õa ¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng

�÷ñ tr¼nh b y trong Mö 1.2.2. Tr÷î h¸t hóng tæi �n mët sè kþ hi»u v kh¡i ni»m li¶n

quan. Vîi méi sè tü nhi¶n kh¡ khæng t, kþ hi»u Mt(R[X ]) l v nh ¡ �a thù ma trªn.

Kþ hi»u St(R[X ]) l v nh on õa Mt(R[X ]) gçm ¡ �a thù ma trªn �èi xùng. Gåi It

l ma trªn �ìn và trong Mt(R[X ]).

�ành ngh¾a 1.4.1 (Cimpri� -Zalar, [7℄). (a) Mët mæ�un bª hai tr¶n Mt(R[X ]) l mët

tªp on M õa St(R[X ]) thäa m¢n

. M+M ⊆ M;

. It ∈ M;

. ATMA ⊆ M, ∀ A ∈ Mt(R[X ]).

(b) Mët ti·n thù tü tr¶n Mt(R[X ]) l mët tªp on T õa St(R[X ]) sao ho T l mët

mæ�un bª hai trong Mt(R[X ]) v tªp hñp T ∩ (R[X ] · It) l �âng vîi ph²p to¡n

nh¥n.

Mæ�un bª hai nhä nh§t tr¶n Mt(R[X ]) hùa mët tªp on ho tr÷î G õa St(R[X ])

s³ �÷ñ kþ hi»u bði MG. D¹ kiºm tra �÷ñ

MG =

{∑

i,j

ATijGiAij |Gi ∈ G ∪ {It},Aij ∈ Mt(R[X ])

}.

Ti·n thù tü nhä nh§t tr¶n Mt(R[X ]) hùa mët tªp on ho tr÷î G õa St(R[X ]) s³ �÷ñ

kþ hi»u bði TG .

Cimpri� [6℄ �¢ �÷a ra mèi li¶n h» giúa mæ�un bª hai v ti·n thù tü trong v nh ¡

�a thù ma trªn nh÷ sau.

Bê �· 1.4.2 ([6, Lemma 2℄). Vîi måi tªp on G õa St(R[X ]),

TG = MG∪(∏

G′·It),

28

ð �¥y

∏G ′l tªp hñp t§t £ ¡ t½ h húu h¤n õa nhúng ph�n tû trong tªp hñp G ′ :=

{vTGv|G ∈ G,v ∈ (R[X ])t}.

Trong tr÷íng hñp G = ∅,∑t R[X ] := M∅ = T∅ l tªp hñp ¡ têng húu h¤n õa nhúng

ph�n tû â d¤ng ATA, trong �â A ∈ Mt(R[X ]), v nâ l mæ�un bª hai nhä nh§t trong

Mt(R[X ]).

Vîi mët mæ�un bª hai M trong R[X ], kþ hi»u

M t :=

{∑

i

miATi Ai|mi ∈ M,Ai ∈ Mt(R[X ])

}.

Khi �â, M tl mæ�un bª hai nhä nh§t trong Mt(R[X ]) â giao vîi R[X ] · It b¬ng M · It

([6, Proposition 3℄).

�ành ngh¾a 1.4.3 (Gohberg, Lan aster, Rodman, [16℄). Cho mët ma trªnA ∈ Mt(R[X ])

v mët tªp on K ⊆ Rn. Ma trªnA �÷ñ gåi l nûa x¡ �ành d÷ìng tr¶n K, kþ hi»u A < 0

tr¶n K, n¸u vîi måi x ∈ K, vîi måi v ∈ Rt, vTA(x)v ≥ 0.

A �÷ñ gåi l x¡ �ành d÷ìng tr¶n K, kþ hi»u A ≻ 0 tr¶n K, n¸u vîi måi x ∈ K, vîi måi

v ∈ Rt \ {0}, vTA(x)v > 0.

Vîi hai ma trªn A,B ∈ Mt(R[X ]), kþ hi»u A < B tr¶n K �÷ñ hiºu A−B < 0 tr¶n

K.

Vîi méi tªp on G ⊆ St(R[X ]), tªp nûa �¤i sè �âng ì b£n �ành ngh¾a bði G

KG = {x ∈ Rn|G(x)< 0, ∀G ∈ G}.

Theo k¸t qu£ õa Cimpri� [6℄, tªp hñp KG â thº �÷ñ x¡ �ành bði ¡ �a thù trong

R[X ].

Bê �· 1.4.4 ([6, Proposition 5℄). Cho G ⊆ St(R[X ]). Khi �â, tçn t¤i mët tªp on G õa

R[X ] â ¡ t½nh h§t sau:

. KG = KG;

. (MG)t ⊆ MG;

. (TG)t ⊆ TG.

Hìn núa, n¸u G l mët tªp hñp húu h¤n th¼ tªp hñp G â thº hån húu h¤n.

29

Chóng ta �¢ bi¸t r¬ng måi ma trªn �èi xùng trong Mt(R) �·u â thº h²o hâa �÷ñ

bði mët ma trªn trü giao. Tuy nhi¶n �i·u n y khæng án �óng �èi vîi ¡ �a thù ma

trªn �èi xùng, bði v¼ ma trªn trü giao t÷ìng ùng khæng án thuë Mt(R[X ]). Tuy nhi¶n,

n«m 2009, S hm�udgen [48℄ �¢ h¿ ra r¬ng måi �a thù ma trªn �èi xùng �·u â thº " h²o

hâa �÷ñ " theo ¡ h sau �¥y.

Bê �· 1.4.5 ([48, Corollary 9℄). Cho A ∈ St(R[X ]). Khi �â, tçn t¤i ¡ �a thù kh¡

khæng b, dj ∈ R[X ], j = 1, · · · , r, r ≤ t, v ¡ ma trªn X+,X− ∈ Mt(R[X ]) sao ho

X+X− = X−X+ = bIt, b2A = X+DXT+, D = X−AX

T−,

trong �â, D = D(d1, · · · , dr) l ma trªn �÷íng h²o trong Mt(R[X ]).

Chó þ 1.4.6. Cho A,D nh÷ trong Bê �· 1.4.5 v mët tªp on K ⊆ Rn. N¸u A ≻ 0

(t÷ìng ùng A < 0) tr¶n K th¼ D ≻ 0 (t÷ìng ùng D < 0) tr¶n K.

Vîi ¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho �a thù �÷ñ tr¼nh b y trong Mö 1.2.2, hóng ta

�ng â ¡ k¸t qu£ t÷ìng tü ho ¡ �a thù ma trªn t÷ìng ùng. Tr÷î h¸t l d¤ng ma

trªn ho �ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Artin �÷ñ tr¼nh b y bði S hm�udgen [48℄ nh÷ sau.

�ành lþ 1.4.7 ([48, Proposition 10℄). Cho A ∈ St(R[X ]). N¸u A(x) < 0 vîi måi x ∈ Rn,

th¼ tçn t¤i mët �a thù kh¡ khæng c ∈ R[X ] v ¡ ma trªn Ai ∈ Mt(R[X ]), i = 1, · · · , k,sao ho

c2A =k∑

i=1

ATi Ai,

tù l c2A ∈∑tR[X ].

Cho mët tªp on G = {G1, ...,Gm} ⊆ St(R[X ]). Khi �â theo Bê �· 1.4.4, tçn t¤i mët

tªp on G = {g1, ..., gk} ⊆ R[X ] sao ho KG = KG. �ành lþ d÷îi �¥y l d¤ng ma trªn õa

Krivine-Stengle [25, 54℄ �÷ñ �÷a ra bði L¶ Cæng Tr¼nh [29℄.

�ành lþ 1.4.8 ([29℄). Cho G ⊆ St(R[X ]), G ⊆ R[X ],KG, KG, TG v TG �÷ñ x¡ �ành nh÷

tr¶n. Cho �a thù ma trªn F ∈ St(R[X ]). Khi �â:

(i) F ≻ 0 tr¶n KG n¸u v h¿ n¸u tçn t¤i mët �a thù ma trªn X− ∈ Mt(R[X ]) v ¡

ma trªn �÷íng h²o S v T â h» tû thuë TG sao ho

S(X−FXT−) = (X−FX

T−)S = It +T;

30

(ii) F < 0 tr¶n KG n¸u v h¿ n¸u â mët sè nguy¶n m ≥ 0, mët ma trªn X− ∈Mt(R[X ]) v ¡ ma trªn �÷íng h²o S v T â h» tû thuë TG sao ho

S(X−FXT−) = (X−FX

T−)S = D

2m +T;

(iii) F = 0 tr¶n KG n¸u v h¿ n¸u â mët sè nguy¶n m ≥ 0, mët ma trªn X− ∈Mt(R[X ]) sao ho

−(X−FXT−)

2m ∈ (TG)t.

Trong [29℄, t¡ gi£ �ng �÷a ra d¤ng ma trªn ho �ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa

S hweighofer (�ành lþ 1.2.11)

�ành lþ 1.4.9 ([29, Theorem 3℄). Cho G = {G1, ...,Gm} ⊆ St(R[X ]) v F ∈ St(R[X ]).

Gi£ sû

(i) F ≻ 0 tr¶n KG;

(ii) F bà h°n tr¶n KG tù l â mët sè thü N ∈ R+ sao ho N.It ± F < 0 tr¶n KG;

(iii) Vîi måi v ∈ Rt \ {0}, R∞(vTFv,KG) l mët tªp on húu h¤n õa R+.

Khi �â, tçn t¤i mët on tªp húu h¤n G ⊆ R[X ] v

(1) mët ma trªn X− ∈ Mt(R[X ]) sao ho

X−FXT− ∈ (TG)

t ⊆ TG ;

(2) mët �a thù kh¡ khæng b ∈ R[X ] sao ho

b2F ∈ (TG)t ⊆ TG .

Cimpri� v Zalar [7℄ �ng �¢ �÷a ra mët d¤ng ma trªn ho �ành lþ S hm�udgen (�ành

lþ 1.2.7) nh÷ sau.

�ành lþ 1.4.10 ([7, Theorem 6 (2)℄). Cho G ⊆ St(R[X ]). Gi£ sû KG l mët tªp ompa t.

Gi£ sû F ≻ 0 tr¶n KG. Khi �â F ∈ TG.

S herer-Hol [44℄ �¢ �÷a ra mët d¤ng ma trªn ho �ành lþ Putinar (�ành lþ 1.2.10) v

�ành lþ Pâlya (�ành lþ 1.2.14) nh÷ sau.

31

�ành lþ 1.4.11 ([44℄). Cho G ⊆ St(R[X ]). Gi£ sû MG l a simet. Khi �â, n¸u F ≻ 0

tr¶n KG th¼ F ∈ MG.

�º tr¼nh b y �ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Pâlya ho �a thù ma trªn hóng tæi �n

mët sè kþ hi»u sau �¥y. Vîi méi tªp �a h¿ sè α = (α1, · · · , αn) ∈ Nn, kþ hi»u

α! := α1! · · ·αn!; Dα := ∂α1

1 · · ·∂αn

n .

Vîi méi �a thù ma trªn F ∈ Mt(R[X ]), ta â thº vi¸t

F(X) =∑

|α|≤d

DαF(0)

α!Xα.

S herer-Hol [44℄ �¢ �ành ngh¾a

L(F) := max|α|≤d

‖DαF(0)‖|α|! ,

trong �â ||.|| kþ hi»u hu©n ma trªn trong Mt(R).

�ìn h¼nh hu©n �÷ñ x¡ �ành

∆n = {(x1, ..., xn) ∈ Rn|xi ≥ 0,n∑

i=1

xi = 1}.

�ành lþ 1.4.12 ([44℄). Cho �a thù ma trªn F ∈ St(R[X ]). Gi£ sû F thu�n nh§t bª d

h®n v F < λIt tr¶n ∆n, vîi λ l mët sè thü d÷ìng. N¸u N >d(d− 1)L(F)

2λ− d th¼ måi

h» sè õa �a thù ma trªn (X1 + · · ·+Xn)NF �·u x¡ �ành d÷ìng.

D¤ng ma trªn ho ¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Rezni k, Putinar v Vasiles u,

Di kinson v Povh, Handelman l ¡ k¸t qu£ mîi õa hóng tæi, s³ �÷ñ tr¼nh b y trong

Ch÷ìng 3 õa Luªn ¡n.

1.5 T½nh x¡ �ành d÷ìng õa ¡ �a thù ma trªn v

thu�n nh§t hâa õa hóng

Nh÷ hóng ta �¢ th§y ð Mö 1.2, ¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Pâlya, Rezni k,

Putinar-Vasiles u, Di kinson-Povh �÷ñ ph¡t biºu ho ¡ �a thù thu�n nh§t, v nâi

hung khæng �óng ho ¡ �a thù b§t ký. �º ph¡t biºu ¡ �ành lþ tr¶n ho ¡ �a thù

32

b§t ký, hóng tæi �n mët sè li¶n h» sau v· T½nh d÷ìng õa mët �a thù vîi thu�n nh§t

hâa õa nâ.

Nh l¤i, vîi mët �a thù f ∈ R[X1, ..., Xn] â bª b¬ng d, �a thù thu�n nh§t hâa

õa nâ �÷ñ �ành ngh¾a bði

f̃(X0, X1, ..., Xn) := Xd0f

(X1

X0, ...,

Xn

X0

)∈ R[X0, X1, ..., Xn].

N¸u f vi¸t �÷ñ th nh f =d∑

i=0

fi, vîi fi l th nh ph�n thu�n nh§t bª i õa f , th¼

f̃(X0, X1, ..., Xn) = Xd0f0 +Xd−1

0 f1 + · · ·+ fd.

Hìn núa,

f̃(1, X1, ..., Xn) = f(X1, ..., Xn) v f̃(0, X1, ..., Xn) = fd(X1, · · · , Xn).

Cho mët �a thù f ∈ R[X1, ..., Xn] v gåi f̃ ∈ R[X0, X1, ..., Xn] l �a thù thu�n nh§t

hâa õa f . Chóng ta â mèi quan h» v· t½nh d÷ìng õa �a thù f v f̃ tr¶n ¡ tªp nûa

�¤i sè �âng ì b£n t÷ìng ùng nh÷ sau.

M»nh �· 1.5.1. Cho G = {g1, · · · , gm} ⊆ R[X ] v f ∈ R[X ]. Gåi f̃ , g̃1, · · · , g̃m ∈R[X0, X ] t÷ìng ùng l thu�n nh§t hâa õa ¡ �a thù f, g1, · · · , gm ∈ R[X ], vîi deg(f) =

2d, deg(gi) = 2di, ∀i = 1, · · · , m. Kþ hi»u d′ := max{di, i = 1, · · · , m}, G̃ := {g̃1, · · · , g̃m},v

(KG)2d′ = {x ∈ Rn|(gi)2d′ ≥ 0, ∀i = 1, · · · , m}.

Khi �â, f̃ > 0 tr¶n KG̃ \ {0} n¸u v h¿ n¸u f > 0 tr¶n KG v f2d > 0 tr¶n (KG)2d′ \ {0}.

Chó þ r¬ng, n¸u d′ > di th¼ (gi)2d′ = 0.

Chùng minh. Gi£ sû f̃ > 0 tr¶n KG̃ \{0}. Khi �â, vîi méi x ∈ KG, ta â (1, x) ∈ KG̃ \{0}.Tø �â suy ra f(x) = f̃(1, x) > 0, hay f > 0 tr¶n KG. Hìn núa, vîi méi x ∈ (KG)2d′ \ {0}ta â (0, x) ∈ KG̃ \ {0}. V¼ th¸ f2d(x) = f̃(0, x) > 0, hay f2d > 0 tr¶n (KG)2d′ \ {0}.

Ng÷ñ l¤i, gi£ sû f > 0 tr¶nKG v f2d > 0 tr¶n (KG)2d′\{0}. Vîi méi (x0, x) ∈ KG̃\{0},ta â g̃i(x0, x) ≥ 0 vîi måi i = 1, · · · , m. N¸u x0 = 0, v¼ (x0, x) 6= (0, 0) n¶n x 6= 0. Khi

�â, vîi måi i = 1, · · · , m,

(gi)2d′(x) = g̃i(0, x) ≥ 0, tù l , x ∈ (KG)2d′ \ {0}.

33

�i·u n y h¿ ra f̃(0, x) = f2d(x) > 0. N¸u x0 6= 0, theo �ành ngh¾a ta â g̃i(x0, x) =

x2di0 gi

(xx0

)≥ 0. Do x0 6= 0 n¶n gi

(xx0

)≥ 0, 1 ≤ i ≤ m. �i·u n y d¨n �¸n

x

x0∈ KG. Theo

gi£ thi¸t ta â f(

xx0

)> 0. Suy ra

f̃(x0, x) = x2d0 f

(x

x0

)> 0,

hay f̃ > 0 tr¶n KG̃ \ {0}. M»nh �· �÷ñ hùng minh.

B¬ng lªp luªn t÷ìng tü hóng ta �ng nhªn �÷ñ mët k¸t qu£ t÷ìng tü v· li¶n h» giúa

t½nh d÷ìng õa mët �a thù vîi thu�n nh§t hâa õa nâ tr¶n giao õa mët tªp nûa �¤i sè

�âng ì b£n trong Rnvîi mi·n d÷ìng

Rn+ = {x = (x1, .., xn) ∈ Rn|xi ≥ 0, i = 1, ..., n}.

M»nh �· 1.5.2. Vîi ¡ kþ hi»u nh÷ trong M»nh �· 1.5.1, f̃ > 0 tr¶n Rn+1+ ∩KG̃ \ {0}

n¸u v h¿ n¸u f > 0 tr¶n Rn+ ∩KG v f2d > 0 tr¶n Rn

+ ∩ (KG)2d′ \ {0}.

C¡ k¸t qu£ tr¶n ho hóng ta ¡ ph¡t biºu khæng thu�n nh§t ho ¡ �ành lþ õa

Pâlya v Rezni k. D¤ng khæng thu�n nh§t õa Putinar-Vasiles u, Di kinson-Povh �÷ñ

tr¼nh b y trong Ch÷ìng 3 õa Luªn ¡n.

H» qu£ 1.5.3 (�ành lþ Pâlya, d¤ng khæng thu�n nh§t). Cho f ∈ R[X ] l mët �a thù

bª d h®n. Gi£ sû f > 0 tr¶n Rn+ v fd > 0 tr¶n Rn

+ \ {0}. Khi �â, tçn t¤i sè tü nhi¶n N

sao ho t§t £ ¡ h» sè kh¡ khæng õa �a thù (1 +X1 + · · ·+Xn)Nf �·u d÷ìng.

H» qu£ 1.5.4 (�ành lþ Rezni k, d¤ng khæng thu�n nh§t). Cho f ∈ R[X ] l mët �a thù

bª d h®n. N¸u f > 0 tr¶n Rnv fd > 0 tr¶n Rn \ {0} th¼ tçn t¤i mët sè nguy¶n khæng

¥m r sao ho

(1 +X21 + · · ·+X2

n)rf ∈∑R[X ]2.

Vîi méi �a thù ma trªn G ∈ Mt(R[X ]) bª d, gi£ sû

G(X) =d∑

|α|=0

GαXα,

trong �â, Gα ∈ Mt(R), Xα = Xα1

1 · · ·Xαnn , |α| = α1 + · · ·+ αn, ta �ành ngh¾a thu�n nh§t

hâa õa G bði

G̃(X0, X) := Xd0G

(X1

X0

, ...,Xn

X0

)=

d∑

|α|=0

GαXd−|α|0 Xα.

34

T÷ìng tü �èi vîi �a thù , ta �ng â

G̃(1, X) = G(X), G̃(0, X) = Gd(X),

trong �â Gd(X) =∑

|α|=d

GαXαkþ hi»u ho th nh ph�n thu�n nh§t bª ao nh§t õa G̃.

B¥y gií hóng tæi giîi thi»u ¡ k¸t qu£ t÷ìng tü ho �a thù ma trªn. Cho

G = {G1, · · · ,Gm} ⊆ St(R[X ]) v F ∈ St(R[X ]).

Gi£ sû deg(F) = 2d, deg(Gi) = 2di, i = 1, ..., m. Kþ hi»u d′ := max{di|i = 1, · · · , m},

KG :={x ∈ Rn|Gi(x) < 0, ∀i = 1, · · · , m},(KG)2d′ :={x ∈ Rn|(Gi)2d′(x) < 0, ∀i = 1, · · · , m}.

Gåi F̃, G̃1, · · · , G̃m ∈ St(R[X0, X ]) t÷ìng ùng l thu�n nh§t hâa õa ¡ �a thù ma trªn

F,G1, · · · ,Gm. Kþ hi»u G̃ := {G̃1, · · · , G̃m}, v

KG̃ := {(x0, x) ∈ Rn+1|G̃i(x0, x) < 0, ∀i = 1, · · · , m}.

M»nh �· 1.5.5. F̃ ≻ 0 tr¶n KG̃ \ {0} n¸u v h¿ n¸u F ≻ 0 tr¶n KG v F2d ≻ 0 tr¶n

(KG)2d′ \ {0}.

Chùng minh. Gi£ sû F̃ ≻ 0 tr¶n KG̃ \{0}. Khi �â, vîi méi x ∈ KG , ta â (1, x) ∈ KG̃ \{0}.Tø �â suy ra F(x) = F̃(1, x) ≻ 0, hay F ≻ 0 tr¶n KG . Hìn núa, vîi méi x ∈ (KG)2d′ \ {0}ta â (0, x) ∈ KG̃ \ {0}. V¼ th¸ F2d(x) = F̃(0, x) ≻ 0, hay F2d ≻ 0 tr¶n (KG)2d′ \ {0}.

Ng÷ñ l¤i, gi£ sû F ≻ 0 tr¶nKG v F2d ≻ 0 tr¶n (KG)2d′\{0}. Vîi méi (x0, x) ∈ KG̃\{0},ta â G̃i(x0, x) < 0 vîi måi i = 1, · · · , m. N¸u x0 = 0, v¼ (x0, x) 6= (0, 0) n¶n x 6= 0. Khi

�â, vîi måi i = 1, · · · , m,

(Gi)2d′(x) = G̃i(0, x) < 0, tù l x ∈ (KG)2d′ \ {0}.

�i·u n y h¿ ra F̃(0, x) = F2d(x) ≻ 0.

N¸u x0 6= 0, theo �ành ngh¾a ta â G̃i(x0, x) = x2di0 Gi

(xx0

)< 0. Do x0 6= 0 n¶n

Gi

(xx0

)< 0, 1 ≤ i ≤ m. �i·u n y d¨n �¸n

x

x0∈ KG .

Theo gi£ thi¸t ta â F

(xx0

)≻ 0. Suy ra

F̃(x0, x) = x2d0 F

(x

x0

)≻ 0,

hay F̃ ≻ 0 tr¶n KG̃ \ {0}. M»nh �· �÷ñ hùng minh.

35

B¬ng mët lªp luªn t÷ìng tü ta nhªn �÷ñ k¸t qu£ sau.

M»nh �· 1.5.6. F̃ ≻ 0 tr¶n Rn+1+ ∩ KG̃ \ {0} n¸u v h¿ n¸u F ≻ 0 tr¶n Rn

+ ∩ KG v

F2d ≻ 0 tr¶n Rn+ ∩ (KG)2d′ \ {0}.

1.6 Chu©n ma trªn

C¡ �ành ngh¾a v k¸t qu£ trong ph�n n y �÷ñ tr½ h d¨n tø [2℄.

�ành ngh¾a 1.6.1. H m sè ||.|| : Mt×s(C) → R �÷ñ gåi l mët hu©n ma trªn tr¶n

Mt×s(C) n¸u vîi måi A,B ∈ Mt×s(C), vîi måi α ∈ C, ¡ �i·u ki»n sau thäa m¢n:

(a) ||A|| ≥ 0, ||A|| = 0 n¸u v h¿ n¸u A = 0;

(b) ||αA|| = |α|||A||;

( ) ||A+B|| ≤ ||A||+ ||B||.

�ành ngh¾a 1.6.2. Cho p l mët sè tü nhi¶n kh¡ 0. Vîi méi v² tì v = (v1, ..., vt) ∈ Ct,

kþ hi»u

||v||p :=(

t∑

i=1

|vi|p)1/p

.

Vîi A ∈ Mt(C), ta �ành ngh¾a

||A||p := max||x||p 6=0

||Ax||p||x||p

.

Tø �ành ngh¾a tr¶n ta â thº vi¸t l¤i

||A||p := max||x||p 6=0

||Ax||p||x||p

= max||x||p 6=0

∥∥∥∥Ax

||x||

∥∥∥∥p

= max||y||p=1

||Ay||p, vîi y ∈ Ct.

�ành lþ 1.6.3. Cho A = (a)ij ∈ Mt(C). Khi �â

(i) Vîi p = 1,

||A||1 = max||x||1

||Ax||1 := max1≤j≤t

t∑

k=1

|akj|.

36

(ii) Vîi p = 2,

||A||2 = max||x||2

||Ax||2 :=(

t∑

i=1

t∑

j=1

|aij |2)1/2

.

Chu©n 2 õa ma trªn A án �÷ñ gåi l hu©n phê, hay hu©n Frobenius õa A.

(iii) Vîi p = ∞,

||A||∞ = max||x||∞

||Ax||∞ := max1≤k≤t

t∑

j=1

|akj|.

M»nh �· 1.6.4. Cho A,B ∈ Mt(C) v x ∈ Ct. Khi �â

(i) ||Ax|| ≤ ||A||.||x||,

(ii) ||AB|| ≤ ||A||.||B||.

H» qu£ 1.6.5. Gi£ sû A ∈ Mt(C) l mët ma trªn kh£ nghà h. Khi �â

||A−1||−1 ≤ ||A||.

Chùng minh. Gåi I l ma trªn �ìn và õa Mt(C). Ta â

||x|| = ||Ix|| = ||A−1(Ax)||≤ ||A−1||.||Ax|| (theo M»nh �· 1.6.4 (i))

≤ ||A−1||.||A||.||x||

vîi måi x ∈ Ct \ {0}. Suy ra

1 ≤ ||A−1||.||A||

hay

||A−1||−1 ≤ ||A||.

37

Ch÷ìng 2

Sü ph¥n bè gi¡ trà ri¶ng õa �a thù

ma trªn

Trong h÷ìng n y hóng tæi nghi¶n ùu sü ph¥n bè gi¡ trà ri¶ng õa ¡ �a thù ma

trªn mët bi¸n phù . C¡ h°n �÷ñ �÷a ra ð �¥y �÷ñ thi¸t lªp düa v o hu©n õa ¡

ma trªn h» sè õa �a thù ma trªn �¢ ho. Trong Mö 2.1, hóng tæi �÷a ra d¤ng ma trªn

ho �ành lþ Enestr�om-Kakeya. Mët sè �ành lþ d¤ng Cau hy ho �a thù ma trªn �÷ñ

tr¼nh b y trong Mö 2.2. Trong Mö 2.3 hóng tæi thü hi»n t½nh to¡n tr¶n mët sè v½ dö

ö thº nh¬m so s¡nh ¡ h°n �¢ �¤t �÷ñ trong h÷ìng n y vîi ¡ h°n �÷ñ �÷a ra

bði Higham v Tisseur [22℄. C¡ k¸t qu£ h½nh trong h÷ìng n y �÷ñ hóng tæi æng bè

trong ti·n §n ph©m [13℄.

Trong to n bë h÷ìng n y hóng tæi x²t ¡ �a thù ma trªn d¤ng

P (z) = Adzd + Ad−1z

d−1 + · · ·+ A1z + A0,

vîi Ai ∈ Mt(C), ∀i = 0, · · · , d.�ành ngh¾a 2.0.1 ([26℄). Gi£ sû P (z) l mët �a thù ma trªn. N¸u â v² tì kh¡ khæng

x ∈ Ctv væ h÷îng λ ∈ C sao ho P (λ)x = 0, th¼ λ �÷ñ gåi l mët gi¡ trà ri¶ng õa P (z)

án x �÷ñ gåi l mët v² tì ri¶ng õa P (z) ùng vîi gi¡ trà ri¶ng λ.

Nh÷ vªy, méi gi¡ trà ri¶ng õa P (z) l mët nghi»m õa �a thù �° tr÷ng det(P (z)).

Tªp hñp ¡ gi¡ trà ri¶ng õa P (z) �÷ñ kþ hi»u bði σ(P (z)) v �÷ñ gåi l phê õa �a

thù ma trªn P (z).

Chó þ th¶m r¬ng trong tr÷íng hñp P (z) = zIt − A, �a thù �° tr÷ng õa ma trªn

A ∈ Mt(C), th¼ méi gi¡ trà ri¶ng õa �a thù ma trªn P (z) l mët gi¡ trà ri¶ng õa ma

38

trªn A. Do �â â thº nâi gi¡ trà ri¶ng õa �a thù ma trªn l mët kh¡i ni»m mð rëng õa

gi¡ trà ri¶ng õa mët ma trªn.

2.1 D¤ng ma trªn õa �ành lþ Enestr�om-Kakeya

Trong ph�n n y hóng tæi �÷a ra mët sè h°n tr¶n v h°n d÷îi ho ¡ gi¡ trà ri¶ng

õa mët sè ¡ �a thù ma trªn �° bi»t. K¸t qu£ ��u ti¶n nghi¶n ùu h°n tr¶n ho gi¡

trà ri¶ng õa ¡ �a thù ma trªn m hu©n õa ¡ h» sè â t½nh trëi.

�ành lþ 2.1.1. Cho P (z) = Adzd + Ad−1z

d−1 + · · · + A1z + A0 l mët �a thù ma trªn

vîi ¡ ma trªn h» sè Ai ∈ Mt(C) thäa m¢n t½nh h§t:

‖Ad‖ > ‖Ai‖, i = 0, ..., d− 1.

Khi �â, ¡ gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) n¬m trong �¾a mð

|λ| < 1 + ‖Ad‖‖A−1d ‖.

Khi t = 1, hóng ta nhªn �÷ñ H» qu£ 1.1.4.

Chùng minh. Cho λ ∈ C l mët gi¡ trà ri¶ng õa P (z) v x ∈ Cnl mët v² tì ri¶ng �ìn

và t÷ìng ùng vîi λ. Rã r ng, n¸u |λ| ≤ 1 th¼ hóng ta nhªn �÷ñ k¸t qu£ �n hùng minh.

Gi£ sû |λ| > 1. Khi �â, ta â

‖P (λ)x‖ ≥ |λ|d[‖Adx‖ − ‖

d−1∑

i=0

Aix

λd−i‖]

≥ |λ|d[‖A−1

d ‖−1 −d−1∑

i=0

‖Ai‖|λ|d−i

]

≥ |λ|d[‖A−1

d ‖−1 −d−1∑

i=0

‖Ad‖|λ|d−i

]

= |λ|d‖A−1d ‖−1

[1− ‖Ad‖‖A−1

d ‖d∑

i=1

1

|λ|i

].

39

Do �â,

‖P (λ)x‖ > |λ|d‖A−1d ‖−1

[1− ‖Ad‖‖A−1

d ‖∞∑

i=1

1

|λ|i

]

= |λ|d‖A−1d ‖−1

[1− ‖Ad‖‖A−1

d ‖|λ| − 1

]

=|λ|d‖A−1

d ‖−1

|λ| − 1

(|λ| − 1− ‖Ad‖‖A−1

d ‖).

Suy ra, n¸u |λ| ≥ 1 + ‖Ad‖‖A−1d ‖ th¼ ‖P (λ)x‖ > 0, m¥u thu¨n vîi P (λ)x = 0. Do �â,

|λ| < 1 + ‖Ad‖‖A−1d ‖.

D¤ng ma trªn thù nh§t õa �ành lþ Enestr�om-Kakeya �÷ñ �÷a ra trong k¸t qu£ sau.



vîi ¡ ma trªn h» sè Ai ∈ Mt(C) thäa m¢n

Ad < Ad−1 < · · · < A0 < 0; Ad ≻ 0.

Khi �â, méi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) thäa m¢n

λmin(A0)

2λmax(Ad)≤ |λ| ≤ 1,

trong �â, λmin(A0) l gi¡ trà ri¶ng nhä nh§t õa A0 v λmax(Ad) l gi¡ trà ri¶ng lîn nh§t

õa Ad.

Chùng minh. Tr÷î ti¶n, hóng ta th§y r¬ng vîi méi ma trªn A ∈ Mt(C), gi¡ trà ri¶ng

nhä nh§t λmin(A)v gi¡ trà ri¶ng lîn nh§t λmax(A) õa nâ n¬m trong tªp hñp

{x∗Ax|x ∈ Ct, ‖x‖ = 1}.

Do �â, vîi méi v² tì �ìn và x ∈ Ct, ta luæn â

λmin(A) ≤ x∗Ax ≤ λmax(A). (2.1)

Cho λ ∈ C l mët gi¡ trà ri¶ng õa P (z), v u ∈ Ct, ‖u‖ = 1 l mët v² tì ri¶ng t÷ìng ùng

vîi λ. X²t �a thù

Pu(z) = u∗P (z)u =

d∑

i=0

(u∗Aiu)zi.

40

D¹ th§y λ l mët nghi»m õa Pu(z). Hìn núa, theo gi£ thi¸t v· �i·u ki»n õa ¡ ma trªn

h» sè ta suy ra

u∗Adu ≥ u∗Ad−1u ≥ · · · ≥ u∗A0u ≥ 0, u∗Adu > 0.

�i·u n y h¿ ra �a thù Pu(z) thäa m¢n ¡ �i·u ki»n trong �ành lþ 1.1.1. �p döng �ành

lþ 1.1.1 ho Pu(z), hóng ta nhªn �÷ñ

u∗A0u

2u∗Adu≤ |λ| ≤ 1. (2.2)

Khi �â, h°n d÷îi õa |λ| �÷ñ suy ra tø (2.3) v (2.2).

�p döng �ành lþ 2.1.2 ho �a thù ma trªn Q(z) = zdP (1z), hóng ta nhªn �÷ñ k¸t

qu£ �èi ngü vîi �ành lþ 2.1.2.



vîi ¡ ma trªn h» sè Ai ∈ Mt(C) thäa m¢n

A0 < A1 < · · · < Ad ≻ 0.

Khi �â, måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) thäa m¢n |λ| ≥ 1.

Mët d¤ng ma trªn kh¡ õa �ành lþ Enestr�om-Kakeya �÷ñ �÷a ra sau �¥y.



â ¡ ma trªn h» sè Ai ∈ Mt(C) l x¡ �ành d÷ìng. N¸u λ ∈ C l mët gi¡ trà ri¶ng õa

P (z), th¼

mini=0,...,d−1

{λmin(Ai)

λmax(Ai+1)

}≤ |λ| ≤ max

i=0,...,d−1

{λmax(Ai)

λmin(Ai+1)

}.

Khi t = 1, hóng ta nhªn �÷ñ �ành lþ 1.1.2.

Chùng minh. Chóng ta th§y r¬ng vîi méi ma trªn A ∈ Mt(C), gi¡ trà ri¶ng nhä nh§t

λmin(A) v gi¡ trà ri¶ng lîn nh§t λmax(A) õa nâ n¬m trong tªp hñp

{x∗Ax|x ∈ Ct, ‖x‖ = 1}.

Do �â, vîi méi v² tì �ìn và x ∈ Ct, ta luæn â

λmin(A) ≤ x∗Ax ≤ λmax(A). (2.3)

41

Cho λ ∈ C l mët gi¡ trà ri¶ng õa P (z), v u ∈ Ct, ‖u‖ = 1 l mët v² tì ri¶ng t÷ìng ùng

vîi λ. X²t �a thù

Pu(z) = u∗P (z)u =

d∑

i=0

(u∗Aiu)zi.

D¹ th§y λ l mët nghi»m õa Pu(z). Hìn núa, theo gi£ thi¸t Ai, i = 0, ..., d, l ¡ ma trªn

x¡ �ành d÷ìng n¶n ¡ h» sè õa �a thù Pu(z) thäa m¢n �i·u ki»n �ành lþ 1.1.2. �p

döng �ành lþ 1.1.2 ho Pu(z), hóng ta nhªn �÷ñ

α ≤ |λ| ≤ β, (2.4)

trong �â,

α := min0≤i≤d−1

{u∗Aiu

u∗Ai+1u

}, β := max

0≤i≤d−1

{u∗Aiu

u∗Ai+1u

}.

K¸t hñp (2.3) v (2.4) hóng ta nhªn �÷ñ �i·u �n hùng minh.

Chóng ta minh håa ho �ành lþ 2.1.2 bði v½ dö sau.

V½ dö 2.1.1. Cho �a thù ma trªn P (z) = A2z2 + A1z + A0, trong �â,

A0 =

[2 −i

i 1

], A1 =

[3 2− i

2 + i 6

], A2 =

[7 6− 4i

6 + 4i 13

].

Sû döng ph�n m·m MATLAB 7.11.0 (R2010b) ta t½nh �÷ñ r =λmin(A0)

2λmax(A2)

= 0.0107. D¹

d ng kiºm tra �÷ñ r¬ng A2 < A1 < A0 ≻ 0. Hìn núa, ¡ gi¡ trà ri¶ng õa P (z) l

λ1 = −0.3487 + 0.6443i, λ2 = −0.3487− 0.6443i, λ3 = −0.1053, λ4 = −0.4537.

Tø �â suy ra 0.0107 ≤ |λi| ≤ 1, vîi måi i = 1, 2, 3, 4.

Ng÷ñ l¤i, khi x²t �a thù ma trªn Q(z) = A0z2 + A1z + A2 . Ta â ¡ gi¡ trà ri¶ng

õa Q(z) l

λ1 = −0.6497 + 1.2004i, λ2 = −0.6497− 1.2004i, λ3 = −9.4962, λ4 = −2.2043.

D¹ th§y |λi| ≥ 1, ∀ i = 1, 2, 3, 4. Chóng ta â k¸t qu£ ho �ành lþ 2.1.3.

V½ dö sau minh håa ho �ành lþ 2.1.4.

42

V½ dö 2.1.2. Cho �a thù ma trªn P (z) = A2z2 + A1z + A0, trong �â,

A0 =

[5 3− 2i

3 + 2i 3

], A1 =

[4 2− i

2 + i 6

], A2 =

[10 4 + 3i

4− 3i 9

].

Ta â Ai < 0, i = 1, 2, 3. C¡ gi¡ trà ri¶ng õa P (z) l

λ1 = −0.4419 + 0.8008i, λ2 = −0.4419− 0.8008i, λ3 = −0.3267, λ4 = −0.1126.

M°t kh¡ , min

{λminA0

λmaxA1,λminA1

λmaxA2

}= 0.0446, max

{λmaxA0

λminA1,λmaxA1

λminA2

}= 6.4049.

Ta â 0.0446 < |λi| < 6.4049, ∀i = 1, 2, 3.

2.2 C¡ �ành lþ d¤ng Cau hy ho �a thù ma trªn

Trong ph�n n y hóng tæi tr¼nh b y mët sè d¤ng ma trªn ho ¡ �ành lþ d¤ng Cau hy

�÷ñ tr¼nh b y ð Mö 1.1. Nh l¤i r¬ng, ¡ �ành lþ d¤ng Cau hy l ¡ �ành lþ t¼m h°n

ho nghi»m õa �a thù düa v o h» sè õa �a thù �â. Mët d¤ng ma trªn õa �ành lþ

Cau hy (�ành lþ 1.1.5) �¢ �÷ñ �÷a ra trong b i b¡o [22℄ nh÷ sau.

�ành lþ 2.2.1 ([22, Lemma 3.1℄). Cho P (z) = Adzd + Ad−1z

d−1 + · · ·+A1z + A0 l mët

�a thù ma trªn vîi ma trªn Ad v A0 kh£ nghà h. Cho r, R t÷ìng ùng l nghi»m d÷ìng

õa �a thù

h(z) = ‖Ad‖ zd + ‖Ad−1‖ zd−1 + · · ·+ ‖A1‖ z −∥∥A−1

0

∥∥−1

v

g(z) =∥∥A−1

d

∥∥−1zd − ‖Ad−1‖ zd−1 − · · · − ‖A0‖ .

Khi �â, måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) thäa m¢n

r ≤ |λ| ≤ R.

Mët d¤ng ma trªn õa �ành lþ Cau hy (�ành lþ 1.1.3) �÷ñ �÷a ra nh÷ sau.



vîi ma trªn Ad kh£ nghà h. Kþ hi»u

M := ‖A−1d ‖ max

i=0,...,d−1‖Ai‖.

Khi �â, t§t £ ¡ gi¡ trà ri¶ng õa P (z) n¬m trong �¾a mð

Ko(0, 1 +M) = {z ∈ C| |z| < 1 +M}.

43

Chùng minh. Gi£ sû λ ∈ C l mët gi¡ trà ri¶ng õa P (z) v x ∈ Cnl mët v² tì ri¶ng

�ìn và ùng vîi gi¡ trà ri¶ng λ.

K¸t luªn hiºn nhi¶n �óng n¸u |λ| ≤ 1. Gi£ sû |λ| > 1. Ta â,

‖P (λ)x‖ ≥ |λ|d[‖Adx‖ − ‖

d−1∑

i=0

Aix

λd−i‖]

≥ |λ|d‖A−1d ‖−1

[1− ‖A−1

d ‖d−1∑

i=0

‖Ai‖|λ|d−i

]

≥ |λ|d‖A−1d ‖−1

[1−M

d∑

i=1

1

|λ|i

]

> |λ|d‖A−1d ‖−1

[1−M

∞∑

i=1

1

|λ|i

]

= |λ|d‖A−1d ‖−1

[1− M

|λ| − 1

]

=|λ|d‖A−1

d ‖−1

|λ| − 1(|λ| − 1−M) .

Khi �â, n¸u |λ| ≥ 1 +M th¼ ‖P (λ)x‖ > 0, m¥u thu¨n. Do �â, |λ| < 1 +M .

B¬ng ¡ h ¡p döng �ành lþ 2.2.2 ho �a thù ma trªn Q(z) = (1 − z)P (z) ta nhªn

�÷ñ h°n tr¶n sau �¥y.

H» qu£ 2.2.3. Cho P (z) = Adzd +Ad−1z

d−1+ · · ·+A1z+A0 l mët �a thù ma trªn vîi

ma trªn Ad kh£ nghà h. Kþ hi»u

M̃ := ‖A−1d ‖ max

i=0,...,d‖Ad−i − Ad−i−1‖, A−1 := 0.

Khi �â, t§t £ ¡ gi¡ trà ri¶ng õa P (z) �÷ñ hùa trong �¾a mð Ko(0, 1 + M̃).


Chùng minh. X²t �a thù

Q(z) = (1− z)P (z) = −Adzd+1 +

d∑

i=0

(Ad−i −Ad−i−1)zd−i.

V¼ méi gi¡ trà ri¶ng õa P (z) �ng l mët gi¡ trà ri¶ng õa Q(z), n¶n ¡p döng �ành lþ

2.2.2 ho Q(z) hóng ta nhªn �÷ñ �i·u �n hùng minh.

44

Mët d¤ng ma trªn õa �ành lþ 1.1.6 �÷ñ �÷a ra nh÷ sau



vîi ma trªn Ad kh£ nghà h. Khi �â, måi gi¡ trà ri¶ng õa P (z) �÷ñ hùa trong �¾a �âng

K(0, r1) = {z ∈ C| |z| ≤ r1},

trong �â, M �÷ñ x¡ �ành nh÷ trong �ành lþ 2.2.2, v r1 l nghi»m d÷ìng lîn nh§t õa

ph÷ìng tr¼nh

zd+1 − (1 +M)zd +M = 0.


Chùng minh. Gi£ sû λ ∈ C l mët gi¡ trà ri¶ng õa P (z) v x ∈ Ctl mët v² tì ri¶ng �ìn

và t÷ìng ùng vîi λ.

K¸t luªn l hiºn nhi¶n ho tr÷íng hñp |λ| ≤ 1. Gi£ sû |λ| > 1. Khi �â,

‖P (λ)x‖ ≥[‖Adx‖|λ|d − ‖

d−1∑

i=0

Aixλi‖]

(2.5)

≥ ‖A−1d ‖−1

[|λ|d −

d−1∑

i=0

‖Ai‖‖A−1d ‖λi

](2.6)

≥ ‖A−1d ‖−1

[|λ|d −M

d−1∑

i=0

λi

](2.7)

= ‖A−1d ‖−1

[|λ|d −M

|λ|d − 1

|λ| − 1

]

=‖A−1

d ‖−1

|λ| − 1

(|λ|d+1 − (1 +M)|λ|d +M

).

B§t �¯ng thù (2.6) suy ra tø b§t �¯ng thù ‖Ad‖ ≥ ‖A−1d ‖−1

; b§t �¯ng thù (2.7) suy ra

tø �ành ngh¾a õa M .

M°t kh¡ , theo quy t d§u õa Des artes, �a thù f(z) = zd+1 − (1 +M)zd +M â

hai l�n �êi d§u n¶n nâ â �óng hai nghi»m thü d÷ìng l 1 v δ 6= 1. Hìn núa, f(0) > 0.

�i·u n y suy ra

|f(z)| > 0 vîi måi z > max{δ, 1}.

Do �â, ‖P (λ)x‖ > 0 n¸u |λ| > r1, vîi r1 = max{δ, 1}. �i·u n y m¥u thu¨n vîi P (λ)x = 0.

�ành lþ �÷ñ hùng minh.

45

�p döng �ành lþ 2.2.4 ho �a thù ma trªn (1− z)P (z) hóng ta nhªn �÷ñ mët h°n

mîi ho ¡ gi¡ trà ri¶ng õa P (z).



ma trªn Ad kh£ nghà h. Khi �â, måi gi¡ trà ri¶ng õa P (z) n¬m trong �¾a �âng

K(0, r2) = {z ∈ C| |z| ≤ r2},

trong �â, M̃ �÷ñ x¡ �ành nh÷ trong H» qu£ 2.2.3, v r2 l nghi»m d÷ìng lîn nh§t õa

ph÷ìng tr¼nh

zd+2 − (1 + M̃)zd+1 + M̃ = 0.


Chùng minh. X²t �a thù ma trªn

Q(z) = (1− z)P (z) = −Adzd+1 +

d∑

i=0

(Ad−i −Ad−i−1)zd−i.

Do méi gi¡ trà ri¶ng õa P (z) �ng l gi¡ trà ri¶ng õa Q(z) n¶n ¡p döng �ành lþ 2.2.4

ho �a thù Q(z) ta â �i·u ph£i hùng minh.

Ti¸p theo hóng tæi tr¼nh b y mët d¤ng ma trªn õa �ành lþ Joyal, Labelle v Rahman

(�ành lþ 1.1.9). Tr÷î h¸t, hóng tæi x²t ¡ �a thù moni . Ti¸p �â, hóng tæi x²t �a

thù ma trªn b§t ký. Rçi tø �â, ù méi h°n tr¶n ho gi¡ trà ri¶ng õa �a thù P (z) bª

d hóng tæi s³ h¿ ra mët h°n d÷îi õa nâ b¬ng ¡ h x²t �a thù Q(z) = zdP(1z

).

Bê �· 2.2.1. Cho P (z) = It · zd +Ad−1zd−1 + · · ·+A1z +A0 l mët �a thù ma trªn. Kþ

hi»u

α := maxi=0,...,d−2

‖Ai‖ .

Khi �â, vîi méi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) ta â

|λ| ≤ 1

2

{1 + ‖Ad−1‖+

[(1− ‖Ad−1‖)2 + 4α

] 1

2

}.


�ìn và t÷ìng ùng vîi λ. Gi£ sû ng÷ñ l¤i,

|λ| > 1

2

{1 + ‖Ad−1‖+

[(1− ‖Ad−1‖)2 + 4α

] 1

2

}.

46

Tø �â k²o theo

(|λ| − 1) (|λ| − ‖Ad−1‖)− α > 0. (2.8)

Nh¥n £ hai v¸ õa (2.8) vîi

|λ|d−1

|λ| − 1, ta â

|λ|d − ‖Ad−1‖ λd−1 − α|λ|d−1

|λ| − 1> 0.

Tuy nhi¶n,

α|λ|d−1

|λ| − 1> α

|λ|d−1 − 1

|λ| − 1= α(1 + |λ|+ · · ·+ |λ|d−2)

≥ ‖(A0 + A1λ+ · · ·+ Ad−2λd−2)x‖.

M°t kh¡ ,

|λ|d − ‖Ad−1‖λd−1 ≤ ‖(It · λd + Ad−1λd−1)x‖.

Suy ra,

0 < |λ|d − ‖Ad−1‖ λd−1 − α|λ|d−1

|λ| − 1

< ‖(It · λd + Ad−1λd−1)x‖ − ‖(A0 + A1λ+ · · ·+ Ad−2λ

d−2)x‖≤ ‖(A0 + A1λ+ · · ·+ Ad−2λ

d−2)x+ (Ad−1λd−1 + It · λd)x‖ = ‖P (λ)x‖.

�i·u n y mü thu¨n vîi gi£ thi¸t λ l gi¡ trà ri¶ng õa P (z) t÷ìng ùng vîi v² tì ri¶ng x.

Do �â

λ ≤ 1

2

{1 + ‖Ad−1‖+

[(1− ‖Ad−1‖)2 + 4α

] 1

2

}.

B¬ng ¡ h x²t �a thù ma trªn moni t÷ìng ùng, ¡p döng Bê �· 2.2.1, ta nhªn �÷ñ

d¤ng ma trªn õa �ành lþ Joyal, Labelle v Rahman sau �¥y.




α′ := maxi=0,...,d−2

∥∥AiA−1d

∥∥ .

Khi �â, vîi måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) ta â

|λ| ≤ 1

2

{1 +

∥∥Ad−1A−1d

∥∥+[(1−

∥∥Ad−1A−1d

∥∥)2 + 4α′] 1

2

}.

47

Khi t = 1 hóng ta nhªn �÷ñ �ành lþ 1.1.9.

�p döng �ành lþ 2.2.6 ho �a thù ma trªn Q(z) = zdP (1z), hóng ta nhªn �÷ñ mët

h°n d÷îi ho ¡ gi¡ trà ri¶ng nh÷ sau.



ma trªn A0 kh£ nghà h. Kþ hi»u

β := maxi=2,...,d

∥∥AiA−10

∥∥ .


|λ| ≥ 2

1 +∥∥A1A

−10

∥∥+[(1−

∥∥A1A−10

∥∥)2 + 4β] 1

2

.

Khi t = 1 hóng ta nhªn �÷ñ H» qu£ 1.1.10.

�p döng �ành lþ 2.2.6 ho �a thù ma trªn (1− z)P (z) ta nhªn �÷ñ k¸t qu£ sau.




γ := maxi=1,...,d

∥∥(Ad−i −Ad−i−1)A−1d

∥∥ , A−1 := 0.


|λ| ≤ 1

2

{1 +

∥∥(Ad − Ad−1)A−1d

∥∥+[(1−

∥∥(Ad − Ad−1)A−1d

∥∥)2 + 4γ] 1

2

}.


�p döng �ành lþ 2.2.8 ho �a thù ma trªn Q(z) = zdP (1z) ta nhªn �÷ñ h°n d÷îi

sau ho ¡ gi¡ trà ri¶ng õa ¡ �a thù ma trªn.




γ′ := maxi=1,...,d

∥∥(Ai − Ai+1)A−10

∥∥ , Ad+1 := 0.


|λ| ≥ 2

1 +∥∥(A0 −A1)A

−10

∥∥+[(1−

∥∥(A0 −A1)A−10

∥∥)2 + 4γ′] 1

2

.

48


�p döng Bê �· 2.2.1 ho �a thù ma trªn (It · z − Ad−1)P (z) ta nhªn �÷ñ .


hi»u

δ := maxi=0,...,d−1

‖Ad−1Ai − Ai−1‖ , A−1 := 0.


|λ| ≤ 1

2(1 +

√1 + 4δ).


B¬ng ¡ h x²t �a thù ma trªn moni t÷ìng ùng, ¡p döng Bê �· 2.2.2 ta nhªn �÷ñ

h°n tr¶n ho ¡ gi¡ trà ri¶ng õa �a thù ma trªn b§t ký.


d−1 + · · ·+ A1z + A0 l mët �a thù ma trªn

â ma trªn Ad kh£ nghà h. Kþ hi»u

δ′ := maxi=0,...,d−1

∥∥((Ad−1A−1d )Ai −Ai−1

)A−1

d

∥∥ , A−1 := 0.


|λ| ≤ 1

2(1 +

√1 + 4δ′).


T÷ìng tü tr¶n ta nhªn �÷ñ h°n d÷îi sau �¥y.

H» qu£ 2.2.11. Cho P (z) = Adzd + Ad−1z


â ma trªn A0 kh£ nghà h. Kþ hi»u

δ” := maxi=1,...,d

∥∥((A1A−10 )Ai −Ai+1

)A−1

0

∥∥ , Ad+1 := 0.

Khi �â vîi måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) ta â

|λ| ≥ 2

1 +√1 + 4δ”

.


�p döng Bê �· 2.2.1 ho �a thù ma trªn (It · z + It − Ad−1)P (z) ta nhªn �÷ñ h°n

tr¶n sau �¥y.

49


hi»u

ǫ := maxi=0,...,d−1

‖(It −Ad−1)Ai + Ai−1‖ , A−1 := 0.


|λ| ≤ 1 +√ǫ.

�èi vîi �a thù ma trªn vîi ma trªn h» sè ao nh§t kh£ nghà h ta â h°n tr¶n sau

�¥y.



â ma trªn Ad kh£ nghà h. Kþ hi»u

ǫ′ := maxi=0,...,d−1

∥∥∥((It −Ad−1A

−1d )Ai + Ai−1

)A−1

d

∥∥∥ , A−1 := 0.


|λ| ≤ 1 +√ǫ′.

Ch°n d÷îi ho d÷îi �¥y nhªn �÷ñ b¬ng ¡ h ¡p döng �ành lþ 2.2.12 ho �a thù ma

trªn Q(z) = zdP (1z).



â ma trªn A0 kh£ nghà h. Kþ hi»u

ǫ” := maxi=1,...,d

∥∥∥((It −A1A

−10 )Ai + Ai+1

)A−1

0

∥∥∥ , Ad+1 := 0.


|λ| ≥ 1

1 +√ǫ”.

Ti¸p theo �¥y hóng tæi �÷a ra mët d¤ng ma trªn ho �ành lþ Datt-Govil (�ành lþ

1.1.16).

Bê �· 2.2.4. Cho P (z) = It · zd + Ad−1zd−1 + · · ·+ A1z + A0 l mët �a thù ma trªn â


A := maxi=0,...,d−1

‖Ai‖ .

50


∥∥A−10

∥∥−1

2(1 + A)d−1(Ad+ 1)≤ |λ| ≤ 1 + λ0A,

trong �â λ0 l mët nghi»m õa ph÷ìng tr¼nh x = 1− 1(Ax+1)d

trong kho£ng mð (0, 1).


�ìn và ùng vîi λ. Tr÷î h¸t ta hùng minh ho h°n tr¶n õa |λ|. Chóng ta x²t hai tr÷íng

hñp.

Tr÷íng hñp 1: dA ≤ 1. Trong tr÷íng hñp n y, n¸u |λ| > 1 th¼

‖P (λ)x‖ ≥ |λ|d − dA |λ|d−1 ≥ |λ|d − |λ|d−1 > 0.

�i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t. Do �â, |λ| ≤ 1 ≤ 1 + λ0A vîi måi λ0 ∈ (0, 1).

Tr÷íng hñp 2: dA > 1. Trong tr÷íng hñp n y ph÷ìng tr¼nh x = 1− 1(Ax+1)d

â duy nh§t

mët nghi»m d÷ìng λ0 ∈ (0, 1) [8, Lemma 2℄. Hìn núa, ta â

‖P (λ)x‖ ≥ |λ|d − Ad−1∑

j=0

|λ|j = |λ|d − A|λ|d − 1

|λ| − 1.

N¸u |λ| > 1 + Aλ0, th¼ ta â thº vi¸t |λ| = 1 + Aα vîi α > λ0. Khi �â α > 1 − 1(Aα+1)d

.

�i·u n y h¿ ra r¬ng

‖P (λ)x‖ ≥ (1 + Aα)d − (1+Aα)d−1α

> 0, m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t P (λ)x = 0.

Do �â, |λ| ≤ 1 + Aλ0.

B¥y gií hóng ta hùng minh h°n d÷îi ho |λ|. Gi£ sû ng÷ñ l¤i, |λ| < ‖A−1

0 ‖−1

2(1+A)d−1(Ad+1).

X²t �a thù ma trªn G(z) = (1− z)P (z). Ta â

G(z) = A0 +

d−1∑

i=1

(Ai −Ai−1)zi + It · zd −Ad−1z

d − It · zd+1 =: A0 +H(z),

Kþ hi»u R = 1 + A. Khi �â, vîi |z| = R, ta â

max|z|=R

‖H(z)x‖ ≤ Rd+1 +Rd + ‖Ad−1‖Rd +d−1∑

i=1

‖Ai −Ai−1‖Ri

≤ Rd [R + 1 + A+ 2(d− 1)A]

= 2(1 + A)d(dA+ 1).

Theo Nguy¶n lþ mæ�un ü �¤i, vîi |z| ≤ R ta â

‖H(z)x‖ ≤ 2(1 + A)d(dA+ 1).

51

Khi �â, vîi |λ| < ‖A−1

0 ‖−1

2(1+A)m−1(Am+1)< R ta â

‖G(λ)x‖ = ‖A0x+H(λ)x‖ ≥∥∥A−1

0

∥∥−1 − ‖H(λ)x‖

≥∥∥A−1

0

∥∥−1 − |λ|1 + A

max|λ|≤1+A

‖H(λ)x‖

≥∥∥A−1

0

∥∥−1 − 2(1 + A)d−1(dA+ 1) |λ| > 0,

M°t kh¡ , theo ¡ h x¡ �ành õa G(z) th¼ λ �ng l gi¡ trà ri¶ng t÷ìng ùng vîi v² tì

ri¶ng x õa G. Suy ra G(λ)x = 0. �i·u n y mü thu¨n vîi b§t �¯ng thù tr¶n. Do vªy,

∥∥A−10

∥∥−1

2(1 + A)d−1(Ad+ 1)≤ |λ| .

B¬ng ¡ h x²t �a thù ma trªn moni t÷ìng ùng, ¡p döng Bê �· 2.2.4, ta nhªn �÷ñ

h°n tr¶n v h°n d÷îi sau ho gi¡ trà ri¶ng õa ¡ �a thù ma trªn.



vîi ma trªn Ad v A0 kh£ nghà h. Kþ hi»u

A′ := maxi=0,...,d−1

∥∥AiA−1d

∥∥ .


∥∥AdA−10

∥∥−1

2(1 + A′)d−1(A′d+ 1)≤ |λ| ≤ 1 + λ0A

′,

trong �â, λ0 l mët nghi»m õa ph÷ìng tr¼nh x = 1− 1(A′x+1)d

n¬m trong kho£ng (0, 1).

Khi t = 1, hóng ta â �ành lþ 1.1.16.

N¸u vi» t¼m nghi»m trong kho£ng (0, 1) õa ph÷ìng tr¼nh x = 1− 1(A′x+1)d

khâ, hóng

ta sû döng h°n tr¶n sau �¥y.




A′ := maxi=0,...,d−1

∥∥AiA−1d

∥∥ .


∥∥AdA−10

∥∥−1

2(1 + A′)d−1(A′d+ 1)≤ |λ| < 1 +

(1− 1

(1 + A′)d

)A′.

52

Khi t = 1, hóng ta â H» qu£ 1.1.17.

Chùng minh. Gåi λ0 ∈ (0, 1) l mët nghi»m õa ph÷ìng tr¼nh x = 1 − 1(A′x+1)d

. Khi �â

λ0 < 1− 1

(1 + A′)d. Do �â h°n tr¶n ð �¥y nhªn �÷ñ tø �ành lþ 2.2.14.

Ti¸p theo l mët v i h°n kh¡ ho gi¡ trà ri¶ng õa ¡ �a thù ma trªn.




M := maxi=0,...,d−1

‖Ai‖ , M ′ := maxi=1,...,d

‖Ai‖ .


∥∥A−10

∥∥−1

∥∥A−10

∥∥−1+M ′

< |λ| < 1 +M∥∥A−1

d

∥∥ .


Chùng minh. Cho λ ∈ C l mët gi¡ trà ri¶ng õa P (z) v x ∈ Ctl mët v² tì ri¶ng �ìn

và ùng vîi λ. N¸u |λ| ≥ 1 +M∥∥A−1

d

∥∥, ta â

‖P (λ)x‖ ≥ |λ|d ‖Adx‖ −∥∥Ad−1λ

d−1x+ · · ·+ A0x∥∥

≥∥∥A−1

d

∥∥−1 |λ|d −d−1∑

i=0

‖Ai‖ |λ|i

≥∥∥A−1

d

∥∥−1 |λ|d −M

d−1∑

i=0

|λ|i

=∥∥A−1

d

∥∥−1 ∣∣λd∣∣(1− M

∥∥A−1d

∥∥|λ|d

d−1∑

i=0

|λ|i)

=∥∥A−1

d

∥∥−1 |λ|d(1−M

∥∥A−1d

∥∥d∑

i=1

1

|λ|i

)

>∥∥A−1

d

∥∥−1 |λ|d(1−M

∥∥A−1d

∥∥∞∑

i=1

1

|λ|i

)

=∥∥A−1

d

∥∥−1 |λ|d(1−M

∥∥A−1d

∥∥ 1

|λ| − 1

)≥ 0,

53

m¥u thu¨n. Do �â |λ| < 1 +M∥∥A−1

d

∥∥

T÷ìng tü, n¸u |λ| ≤ ‖A−1

0 ‖−1

‖A−1

0 ‖−1

+M, th¼

‖P (λ)x‖ ≥∥∥A−1

0

∥∥−1 −d∑

i=1

|λ|i ‖Ai‖

≥∥∥A−1

0

∥∥−1 −M ′d∑

i=1

|λ|i

>∥∥A−1

0

∥∥−1 −M ′ |λ|1− |λ|

=

∥∥A−10

∥∥−1(1− |λ|)−M ′ |λ|1− |λ| ≥ 0,

m¥u thu¨n. �ành lþ �÷ñ hùng minh.

Têng qu¡t hìn hóng ta â k¸t qu£ sau �¥y.



â ma trªn Ad v A0 kh£ nghà h. Cho p, q > 1 sao ho

1p+ 1

q= 1. Kþ hi»u

Mp :=

(d−1∑

i=0

‖Ai‖p) 1

p

, M ′p :=

(d∑

i=1

‖Ai‖p) 1

p

.


[ ∥∥A−10

∥∥−q

(M ′p)

q +∥∥A−1

0

∥∥−q

] 1

q

< |λ| <[1 +

(Mp

∥∥A−1d

∥∥)q] 1

q .

Khi t = 1, ta nhªn �÷ñ �ành lþ 1.1.19. Hìn núa, khi p → ∞ (ló �â q → 1), hóng

ta nhªn �÷ñ �ành lþ 2.2.16.

Chùng minh. Cho λ ∈ C l mët gi¡ trà ri¶ng õa P (z) v x ∈ Ctl mët v² tì ri¶ng �ìn

và ùng vîi λ.

54

N¸u |λ| ≥[1 +

(Mp

∥∥A−1d

∥∥)q] 1

q, th¼

‖P (λ)x‖ ≥∥∥A−1

d

∥∥−1 |λ|d −d−1∑

i=0

‖Ai‖ |λ|i (2.9)

≥∥∥A−1

d

∥∥−1 |λ|d −(

d−1∑

i=0

‖Ai‖p) 1

p(

d−1∑

i=0

|λ|iq) 1

q

(2.10)

=∥∥A−1

d

∥∥−1 |λ|d1− Mp

∥∥A−1d

∥∥|λ|d

(d−1∑

i=0

|λ|iq) 1

q

=∥∥A−1

d

∥∥−1 |λ|d1−Mp

∥∥A−1d

∥∥(

d−1∑

i=0

|λ|(i−d)q

) 1

q

>∥∥A−1

d

∥∥−1 |λ|d1−Mp

∥∥A−1d

∥∥(

∞∑

i=1

|λ|−iq

) 1

q

=∥∥A−1

d

∥∥−1 |λ|d[1−Mp

∥∥A−1d

∥∥. 1

(|λ|q − 1)1

q

]≥ 0, m¥u thu¨n .

Trong ¡ dáng tr¶n, tø (2.9) �¸n (2.10) ta sû döng B§t �¯ng thù H�older.

Do �â, |λ| <[1 +

(Mp

∥∥A−1d

∥∥)q] 1

q .

Chùng minh t÷ìng tü ta â |λ| >[

‖A−1

0 ‖−q

(M ′

p)q+‖A−1

0 ‖−q

] 1

q

.

2.3 So s¡nh ¡ h°n

Trong Mö 2.1 v Mö 2.2 hóng tæi �¢ thi¸t lªp mët sè h°n ho gi¡ trà ri¶ng õa

¡ �a thù ma trªn. Nâi hung v· m°t lþ thuy¸t, hóng ta khæng thº �¡nh gi¡ h°n n o

tèt hìn m h¿ â thº so s¡nh hóng trong mët sè tr÷íng hñp �° bi»t qua ¡ v½ dö ö

thº. �º â �÷ñ mët so s¡nh tèt trong suèt qu¡ tr¼nh t½nh to¡n, hóng tæi sû döng dú li»u

ngü nhi¶n trong méi v½ dö. Hìn núa, hóng tæi lªp ¡ b£ng v· h°n tr¶n v h°n d÷îi

ho ¡ gi¡ trà ri¶ng õa �a thù ma trªn. Tø �â, hóng ta â thº so s¡nh ¡ h°n n y

vîi ¡ h°n �÷ñ �÷a ra bði Higham-Tisseur [22℄ tr¶n òng ¡ v½ dö. C¡ t½nh to¡n n y

�÷ñ thü hi»n thæng qua ph�n m·m m¢ nguçn mð OCTAVE, version 4.4.0.

X²t mët �a thù ma trªn P (z) â ï 5× 5, bª d = 9 v ¡ ma trªn h» sè l

Ai = 10i−3rand(5), i = 0, · · · , 8; A9 = rand(5),

55

trong �â rand(5) kþ hi»u ho mët ma trªn ngü nhi¶n ï 5×5 tø ph¥n phèi hu©n N(0, 1).

C¡ h°n tr¶n õa Higham-Tisseur [22℄ �÷ñ tr¼nh b y trong B£ng 2.1, án ¡ h°n

tr¶n �¤t �÷ñ trong Luªn ¡n �÷ñ tr¼nh b y trong B£ng 2.2. Chó th½ h r¬ng ¡ h vi¸t

trong B£ng 2.1, h¯ng h¤n dáng ��u ti¶n, hiºu l ¡p döng Bê �· 2.3 �èi vîi �a thù ma

trªn P bði biºu thù 2.3.

Bê �· Gi¡ trà �p döng

2.3 (2.3) 3.284676 ×106 hu©n 2

2.11 (2.18) 3.281052 ×106 hu©n 2

3.1 13.8757 ×106 �ành lþ Cau hy ¡p döng ho P , hu©n 2

3.1 3.277426 ×106 �ành lþ Cau hy ¡p döng ho PU , hu©n 2

4.1 14.129079 ×106 hu©n 2

B£ng 2.1: C¡ h°n tr¶n �¤t �÷ñ bði Higham v Tisseur

�ành lþ/H» qu£ Gi¡ trà �p döng

2.2.2, 2.2.4 13.875701 ×106 hu©n 2

2.2.3, 2.2.5 13.875567 ×106 hu©n 2

2.2.6 2.324721 ×106 hu©n 2

2.2.8, 2.2.15 2.324722 ×106 hu©n 2

2.2.10, 2.2.12 1.674829 ×106 hu©n 2

B£ng 2.2: C¡ h°n tr¶n �¤t �÷ñ trong Luªn ¡n

Chóng ta â thº t½nh gi¡ trà lîn nh§t õa mæ�un ¡ gi¡ trà ri¶ng õa P (z) x§p x¿ b¬ng

1.125744× 106. Hìn núa, �ành lþ 2.2.10 v �ành lþ 2.2.12 th÷íng ho hóng ta ¡ h°n

tr¶n tèt nh§t. Tø hai b£ng �¢ �÷a ra, hóng ta th§y �÷ñ h°n tr¶n õa B£ng 2.2 tèt hìn

h°n tr¶n õa B£ng 2.1.

C¡ h°n d÷îi õa Higham-Tisseur [22℄ �÷ñ tr¼nh b y trong B£ng 2.3, án ¡ h°n

d÷îi �¤t �÷ñ trong Luªn ¡n �÷ñ hóng tæi tr¼nh b y trong B£ng 2.4.

56

Bê �· Gi¡ trà �p döng

2.2 7.9837 ×10−10 hu©n 2

2.3 (2.3) 8.6528 ×10−10 hu©n 2

2.4 (2.7) 8.6519 ×10−10 hu©n 2

2.6 (2.14) 1.49 ×10−7 hu©n 2, ¡p döng ho CL

B£ng 2.3: C¡ h°n d÷îi �¤t �÷ñ bði Higham v Tisseur

�ành lþ Gi¡ trà �p döng

2.2.7, 2.2.9 3.9052 ×10−5 hu©n 2

2.2.11 0.893 ×10−5 hu©n 2

2.2.13 0.895 ×10−5 hu©n 2

B£ng 2.4: C¡ h°n d÷îi �¤t �÷ñ trong Luªn ¡n

Chóng ta â thº t½nh gi¡ trà nhä nh§t õa mæ�un ¡ gi¡ trà ri¶ng õa P (z) x§p x¿ b¬ng

0.020756.

57

Ch÷ìng 3

C¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho �a

thù ma trªn

Trong h÷ìng n y hóng tæi nghi¶n ùu ¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho ¡ �a thù

ma trªn â sè bi¸n lîn hìn mët. Trong Mö 3.1, hóng tæi �÷a ra mët d¤ng ma trªn ho

�ành lþ Putinar-Vasiles u v Rezni k. Mët d¤ng ma trªn ho �ành lþ Di kinson-Povh �÷ñ

tr¼nh b y trong Mö 3.2. Trong Mö 3.3, hóng tæi �÷a ra mët d¤ng ma trªn ho �ành lþ

Handelman tr¶n mët n-�ìn h¼nh v tr¶n mët �a di»n lçi, ompa t. Hìn núa, hóng tæi

�ng �· xu§t mët thõ tö t¼m biºu di¹n n y ho ¡ �a thù ma trªn trong Mö 3.3.3.

C¡ k¸t qu£ h½nh trong h÷ìng n y �÷ñ hóng tæi æng bè trong hai b i b¡o [12, 30℄.

3.1 D¤ng ma trªn õa �ành lþ Putinar-Vasiles u

�ành lþ Putinar-Vasiles u (�ành lþ 1.2.16) �¢ �÷ñ ph¡t biºu ho ¡ �a thù thu�n

nh§t. Vîi sü k¸t hñp �ành lþ 1.2.16 v M»nh �· 1.5.1, hóng tæi �÷a ra d¤ng khæng thu�n

nh§t ho �ành lþ Putinar-Vasiles u nh÷ sau.

H» qu£ 3.1.1 (�ành lþ Putinar-Vasiles u, d¤ng khæng thu�n nh§t). Cho G = {g1, · · · , gm} ⊆R[X ] v f ∈ R[X ]. Gi£ sû deg(f) = 2d, deg(gi) = 2di, i = 1, ..., m. Kþ hi»u

d′ := max{di|i = 1, · · · , m}.

N¸u f > 0 tr¶n KG v f2d > 0 tr¶n (KG)2d′ \ {0}, th¼ tçn t¤i mët sè nguy¶n r ≥ 0 sao ho

(1 +X21 + · · ·+X2

n)rf ∈ MG. (3.1)

58

Chùng minh. Theo M»nh �· 1.5.1 ta â f̃ > 0 tr¶n KG̃ \ {0}, trong �â G̃ = {g̃1, · · · , g̃m}.�p döng �ành lþ 1.2.16 ho �a thù thu�n nh§t f̃ ∈ R[X0, X1, · · · , Xn], tçn t¤i r ∈ N sao

ho

(X20 +X2

1 + · · ·+X2n)

rf̃ ∈ MG̃. (3.2)

�p döng (3.2) ho X0 = 1, v hó þ r¬ng

g̃i(1, X1, · · · , Xn) = gi(X1, · · · , Xn) vîi måi i = 1, · · · , m,

hóng ta nhªn �÷ñ (3.1).

Chóng tæi �÷a ra mët d¤ng ma trªn ho �ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Putinar-Vasiles u

nh÷ sau.

�ành lþ 3.1.2. Cho G = {G1, · · · ,Gm} ⊆ St(R[X ]) v F ∈ St(R[X ]). Gi£ sû deg(F) =

2d, deg(Gi) = 2di, i = 1, ..., m. Kþ hi»u

d′ := max{di|i = 1, · · · , m}.

Gi£ sû r¬ng F ≻ 0 tr¶n KG v F2d ≻ 0 tr¶n (KG)2d′ \ {0}. Khi �â, tçn t¤i mët sè nguy¶n

khæng ¥m r, mët tªp on húu h¤n G ⊆ R[X ] v

(i) mët �a thù ma trªn X ∈ Mt(R[X ]) sao ho

(1 +X21 + · · ·+X2

n)rXFX

T ∈ (MG)t ⊆ MG;

(ii) mët �a thù kh¡ khæng b ∈ R[X ] sao ho

b2(1 +X21 + · · ·+X2

n)rF ∈ (MG)

t ⊆ MG.

Chùng minh. Tr÷î ti¶n, hóng tæi x²t tr÷íng hñp �° bi»t F l mët �a thù ma trªn

�÷íng h²o â d¤ng F = D(f1, · · · , fr), vîi r ≤ t. Khi �â, F̃ = D(f̃1, · · · , f̃r). Tø gi£ thi¸t

õa F v M»nh �· 1.5.5, F̃ ≻ 0 tr¶n KG̃ \ {0}, trong �â G̃ = {G̃1, · · · , G̃m}. �i·u n y k²o

theo r = t v f̃i > 0 tr¶n KG̃ \ {0} vîi måi i = 1, · · · , t.Theo Bê �· 1.4.4, tçn t¤i mët tªp húu h¤n ¡ �a thù thu�n nh§t G̃ = {g̃1, g̃2, · · · , g̃k} ⊆R[X0, X ] sao hoKG̃ = KG̃ , (MG̃)

t ⊆ MG̃ . �°tG = {g1, · · · , gk}, trong �â gj(X1, · · · , Xn) =

g̃j(1, X1, · · · , Xn) vîi måi j = 1, · · · , k.Theo H» qu£ 3.1.1, vîi méi i = 1, · · · , t, tçn t¤i mët sè nguy¶n ri ≥ 0 sao ho

(1 +X21 + · · ·+X2

n)rifi ∈ MG.

�°t r = max{ri, i = 1, · · · , t}. Khi �â, vîi måi i = 1, · · · , t, ta â

(1 +X21 + · · ·+X2

n)rfi ∈ MG.

59

Do �â (1 +X21 + · · ·+X2

n)rD ∈ (MG)

t. �i·u n y d¨n �¸n

(1 +X21 + · · ·+X2

n)rD ∈ (MG)

t ⊆ MG .

B¥y gií x²t b§t ký F ∈ St(R[X ]). Theo Bê �· 1.4.5, tçn t¤i ¡ �a thù kh¡ khæng

b, fj ∈ R[X ], j = 1, · · · , r, r ≤ t, v ¡ �a thù ma trªn X+,X− ∈ Mt(R[X ]) sao ho

X+X− = X−X+ = bIt, b2F = X+DX+

T ,D = X−FX−T , (3.3)

trong �â, D = D(f1, · · · , fr). Theo gi£ thi¸t, F ≻ 0 tr¶n KG . Suy ra D ≻ 0 tr¶n KG .

T÷ìng tü, do F2d ≻ 0 tr¶n (KG)2d′ \ {0} n¶n Dm ≻ 0 tr¶n (KG)2d′ \ {0} trong �â m

l bª õa �a thù ma trªn D. Theo hùng minh ph�n tr¶n, tçn t¤i mët sè nguy¶n khæng

¥m r sao ho (1 +X21 + · · ·+X2

n)rD ∈ (MG)

t ⊆ MG . Suy ra tø (3.3),

(i) (1 +X21 + · · ·+X2

n)rX−FX−

T ∈ (MG)t ⊆ MG ;

(ii) b2(1 +X21 + · · ·+X2

n)rF = (1 +X2

1 + · · ·+X2n)

rX+DX

T+ ∈ (MG)

t ⊆ MG .

�ành lþ �÷ñ hùng minh.

Trong tr÷íng hñp G = ∅, th¼ M∅ = T∅ =∑

t R[X ], trong �â,

∑

t

R[X ] =

{k∑

i=1

ATi Ai : Ai ∈ Mt(R[X ]), i = 1, ..., k, vîi k l sè tü nhi¶n n o �â

}.

Khi �â, hóng ta nhªn �÷ñ mët d¤ng ma trªn ho �ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Rezni k

(�ành lþ 1.2.15).

H» qu£ 3.1.3. Cho F ∈ St(R[X ]) l mët �a thù ma trªn �èi xùng bª 2d. Gi£ sû F ≻ 0

tr¶n Rnv F2d ≻ 0 tr¶n Rn \ {0}. Khi �â, tçn t¤i mët sè nguy¶n khæng ¥m r v

(i) mët �a thù ma trªn X ∈ Mt(R[X ]) sao ho

(1 +X21 + · · ·+X2

n)rXFX

T ∈∑tR[X ];

(ii) mët �a thù kh¡ khæng b ∈ R[X ] sao ho

b2(1 +X21 + · · ·+X2

n)rF ∈∑tR[X ].

3.2 D¤ng ma trªn õa �ành lþ Di kinson-Povh

�ành lþ Di kinson-Povh (�ành lþ 1.2.17) �¢ �÷ñ ph¡t biºu ho ¡ �a thù thu�n

nh§t. Vîi sü k¸t hñp �ành lþ 1.2.17 v M»nh �· 1.5.2, hóng tæi �÷a ra d¤ng khæng thu�n

nh§t ho �ành lþ Di kinson-Povh nh÷ sau.

60

H» qu£ 3.2.1. Cho G = {g1, · · · , gm} ⊆ R[X ] v f ∈ R[X ]. Gi£ sû deg(f) = 2d, deg(gi) =

2di, ∀i = 1, · · · , m. Kþ hi»u d′ := max{di|i = 1, · · · , m}. N¸u f > 0 tr¶n Rn+ ∩ KG v

f2d > 0 tr¶n Rn+ ∩ (KG)2d′ \ {0}, th¼ tçn t¤i mët sè nguy¶n khæng ¥m r v ¡ �a thù

h1, · · · , hm ∈ R[X ] vîi ¡ h» sè khæng ¥m sao ho

(1 +X1 + · · ·+Xn)rf =

m∑

i=1

gihi.

Chùng minh. Theo M»nh �· 1.5.2, f̃ > 0 tr¶n Rn+1+ ∩KG̃\{0}, trong �â G̃ = {g̃1, · · · , g̃m}.

�p döng �ành lþ 1.2.17 ho �a thù thu�n nh§t f̃ , tçn t¤i mët sè nguy¶n khæng ¥m r v

¡ �a thù thu�n nh§t h̃1, · · · , h̃m â ¡ h» sè khæng ¥m sao ho

(X0 +X1 + · · ·+Xn)rf̃ =

m∑

i=1

g̃ih̃i. (3.4)

Thay X0 = 1 v o ph÷ìng tr¼nh (3.4), ta nhªn �÷ñ

(1 +X1 + · · ·+Xn)rf =

m∑

i=1

gihi,

ð �¥y

hi(X1, · · · , Xn) := h̃i(1, X1, · · · , Xn), vîi måi i = 1, · · · , n.

Chóng tæi thi¸t lªp mët d¤ng ma trªn ho �ành lþ biºu di¹n d÷ìng Di kinson-Povh

nh÷ sau.

�ành lþ 3.2.2. Cho G = {G1, · · · ,Gm} ⊆ St(R[X ]) v F ∈ St(R[X ]). Gi£ sû deg(F) =

2d, deg(Gi) = 2di, i = 1, ..., m. Kþ hi»u d′ := max{di|i = 1, · · · , m}. N¸u F ≻ 0 tr¶n

Rn+ ∩KG v F2d ≻ 0 tr¶n Rn

+ ∩ (KG)2d′ \ {0}, th¼ tçn t¤i mët sè nguy¶n khæng ¥m r, v

mët tªp on húu h¤n G = {g1, · · · , gk} ⊆ R[X ] v

(i) ¡ �a thù ma trªn nûa x¡ �ành d÷ìng H1, · · · ,Hk ∈ St(R[X ]) v mët �a thù ma

trªn X ∈ Mt(R[X ]) sao ho

(1 +X1 + · · ·+Xn)rXFX

T =k∑

j=1

Hjgj;

61

(ii) ¡ �a thù ma trªn nûa x¡ �ành d÷ìng H′1, · · · ,H′

k ∈ St(R[X]) v mët �a thù

kh¡ khæng b ∈ R[X ] sao ho

b2(1 +X1 + · · ·+Xn)rF =

k∑

j=1

H′jgj.

Chùng minh. Tr÷î ti¶n, hóng tæi x²t tr÷íng hñp �° bi»t F l mët �a thù ma trªn

�÷íng h²o â d¤ng F = D(f1, · · · , fr), vîi r ≤ t. Khi �â, F̃ = D(f̃1, · · · , f̃r). Tø gi£ thi¸t

õa F v M»nh �· 1.5.6, F̃ ≻ 0 tr¶n Rn+1+ ∩KG̃ \ {0}.

�i·u n y k²o theo r = t v f̃i > 0 tr¶n Rn+1+ ∩KG̃ \ {0}, vîi måi i = 1, · · · , t.

Theo Bê �· 1.4.4, tçn t¤i mët tªp on húu h¤n õa ¡ �a thù thu�n nh§t G̃ =

{g̃1, g̃2, · · · , g̃k} ⊆ R[X0, X ] sao ho KG̃ = KG̃ .

�i·u n y h¿ ra r¬ng f̃i > 0 tr¶n Rn+1+ ∩KG̃ \ {0} vîi måi i = 1, · · · , t. Khi �â, theo �ành

lþ 1.2.17, vîi méi i = 1, · · · , t, tçn t¤i mët sè nguy¶n khæng ¥m ri v ¡ �a thù thu�n

nh§t h̃i1, · · · , h̃ik â ¡ h» sè khæng ¥m thäa m¢n

(X0 +X1 + · · ·+Xn)ri f̃i =

k∑j=1

h̃ij g̃j .

�°t r = max{ri, i = 1, · · · , t}. Khi �â, vîi måi i = 1, · · · , t, ta â

(X0 +X1 + · · ·+Xn)rf̃i =

k∑j=1

h̃′ij g̃j,

ð �¥y, h̃′ij = (X0 +X1 + · · ·+Xn)

r−rih̃ij, ∀ j = 1, ..., k. �i·u n y d¨n �¸n

(X0 +X1 + · · ·+Xn)rF̃ =

k∑

j=1

H̃j g̃j, (3.5)

trong �â, H̃j = D(h̃′1j , h̃′

2j , · · · , h̃′tj) ∈ St(R[X0, X ]) l mët �a thù ma trªn thu�n nh§t

â ¡ h» sè l ¡ ma trªn nûa x¡ �ành d÷ìng, vîi måi j = 1, · · · , k. Thay X0 = 1 v o

ph÷ìng tr¼nh (3.5), ta nhªn �÷ñ

(1 +X1 + · · ·+Xn)rF =

k∑j=1

Hjgj ,

trong �â F = F̃(1, X),Hj = H̃j(1, X), gj = g̃j(1, X), vîi méi j = 1, · · · , k.

B¥y gií ta x²t b§t ký F ∈ St(R[X ]). Theo Bê �· 1.4.5, tçn t¤i ¡ �a thù kh¡ khæng

b, fj ∈ R[X ], j = 1, · · · , r, r ≤ t, v ¡ �a thù ma trªn X+, X− ∈ Mt(R[X ]) sao ho

X+X− = X−X+ = bIt, b2F = X+DX+

T ,D = X−FX−T , (3.6)

trong �â, D = D(f1, · · · , fr). Do F ≻ 0 tr¶n Rn+ ∩KG v F2d ≻ 0 tr¶n Rn

+ ∩ (KG)2d \ {0}.�i·u n y suy ra D ≻ 0 tr¶n Rn

+ ∩ KG v Ds ≻ 0 tr¶n Rn+ ∩ (KG)2d′ \ {0}, trong �â,

62

deg(D) = s. Theo hùng minh tr¶n, tçn t¤i mët sè nguy¶n r ≥ 0, ¡ ma trªn nûa x¡

�ành d÷ìng H1, · · · ,Hk ∈ Mt(R[X ]) sao ho

(1 +X1 + · · ·+Xn)rD =

k∑j=1

Hjgj.

Suy ra tø (3.6),

(i) (1 +X1 + · · ·+Xn)rX−FX−

T = (1 +X1 + · · ·+Xn)rD =

k∑j=1

Hjgj;

(ii) b2(1 +X1 + · · ·+Xn)rF = X+ ((1 +X1 + · · ·+Xn)

rD)X+

T

= X+

k∑j=1

HjgjX+T =

k∑j=1

H′jgj ,

trong �â, H′j = X+HjX+

T ∈ Mt(R[X ]), vîi måi j = 1, · · · , k. V¼ Hj l ma trªn nûa x¡

�ành d÷ìng, n¶n H′j �ng l ma trªn nûa x¡ �ành d÷ìng. �i·u ph£i hùng minh.

3.3 D¤ng ma trªn õa �ành lþ Handelman

Trong ph�n n y hóng tæi s³ �÷a ra mët d¤ng ma trªn ho �ành lþ biºu di¹n d÷ìng

õa Handelman (�ành lþ 1.2.8). Trong Mö 3.3.1, hóng tæi tr¼nh b y d¤ng ma trªn ho

�ành lþ Handelman tr¶n mët n-�ìn h¼nh. Ti¸p theo, trong Mö 3.3.2, hóng tæi thi¸t lªp

d¤ng ma trªn ho �ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Handelman tr¶n mët �a di»n lçi, ompa t.

Cuèi òng, trong Mö 3.3.3, hóng tæi �÷a ra mët thõ tö �º t¼m biºu di¹n ho mët �a

thù ma trªn x¡ �ành d÷ìng tr¶n mët �a di»n lçi, ompa t trong Rnv mët v½ dö minh

håa ho ¡ b÷î l m �â.

Cho P ⊆ Rnl mët �a di»n lçi, ompa t vîi ph�n trong kh¡ réng, vîi bi¶n �÷ñ x¡

�ành bði ¡ �a thù tuy¸n t½nh λ1, · · · , λm ∈ R[X ]. B¬ng ¡ h hån d§u õa λi, hóng ta

gi£ sû r¬ng

P = {x ∈ Rn|λi(x) ≥ 0, i = 1, · · · , m}. (3.7)

3.3.1 D¤ng ma trªn õa �ành lþ Handelman tr¶n n-�ìn h¼nh

Trong ph�n n y hóng ta x²t P l mët n-�ìn h¼nh trong Rn â ¡ �¿nh {v0, v1, · · · , vn}

v gåi {λ0, λ1, · · · , λn} l h» tåa �ë trång t¥m õa P , tù l méi λi ∈ R[X ] l tuy¸n t½nh

v

X =

n∑

i=0

λi(X)vi,

n∑

i=0

λi(X) = 1, λi(vj) = δij . (3.8)

63

Cho F ∈ St(R[X ]) l mët �a thù ma trªn bª d > 0. Chóng ta â thº vi¸t F nh÷ sau

F(X) =∑

|α|≤d

AαXα,

trong �â, Aα ∈ Mt(R).

X²t d¤ng Bernstein-B²zier õa F t÷ìng ùng vîi P :

F̃d(Y ) := F̃d(Y0, · · · , Yn) :=∑

|α|≤d

Aα

( n∑

i=0

Yivi

)α( n∑

i=0

Yi

)d−|α|

. (3.9)

D¹ d ng th§y r¬ng F̃d(Y ) ∈ St(R[Y ]) l mët �a thù ma trªn thu�n nh§t bª d. Hìn núa,

tø ¡ quan h» (3.8) h¿ ra r¬ng

F̃d(λ0, · · · , λn) = F(X).

Theo S herer-Hol [44℄, vîi méi tªp �a h¿ sè α = (α1, · · · , αn) ∈ Nn, hóng ta kþ hi»u

α! := α1! · · ·αn!; Dα := ∂α1

1 · · ·∂αn

n .

Nh÷ vªy, hóng ta â thº vi¸t l¤i F nh÷ sau

F(X) =∑

|α|≤d

DαF(0)

α!Xα.

Vîi hu©n phê ‖·‖, theo S herer-Hol [44℄, hóng ta �ành ngh¾a

L(F) := max|α|≤d

‖DαF(0)‖|α|! . (3.10)

�º rã hìn v· kþ hi»u n y, hóng ta x²t mët �a thù ma trªn thu�n nh§t

F(X, Y, Z) =

[1 3

5 4

]X3 −

[2 7

6 −3

]X2Y +

[−4 0

2 3

]Y 2Z +

[2 1

9 8

]XY Z.

�°t A1 =

[1 3

5 4

], A2 =

[2 7

6 −3

], A3 =

[−4 0

2 3

], A4 =

[2 1

9 8

].

Trong �a thù ma trªn F(X, Y, Z) ¡ �ìn thù X3, X2Y, Y 2Z,XY Z â bë sè m�

t÷ìng ùng l (3, 0, 0), (2, 1, 0), (0, 2, 1), (1, 1, 1). Khi �â,

L(F) = max

{||A1||,

2!

3!||A2||,

2!

3!||A3||,

1

3!||A4||

}.

64

Sû döng ph�n m·m MATLAB 7.11.0 (R2010b) ta â

||A1|| = 6.9646, ||A2|| = 7.6713, ||A3|| = 4.7581, ||A4|| = 12.2341.

Do �â, L(F) = 6.9646.

Sû döng ¡ kþ hi»u n y, d÷îi �¥y hóng tæi tr¼nh b y biºu di¹n ho ¡ �a thù ma

trªn x¡ �ành d÷ìng tr¶n n-�ìn h¼nh.

�ành lþ 3.3.1. Gi£ sû P ⊆ Rnl mët n-�ìn h¼nh �÷ñ ho nh÷ tr¶n v F ∈ St(R[X ])

l mët �a thù ma trªn bª d > 0. Gi£ sû r¬ng F < λIt tr¶n P vîi λ > 0. Kþ hi»u

L := L(F̃d). Khi �â, vîi N >d(d− 1)

2

L

λ− d, F â thº �÷ñ biºu di¹n

F =∑

|α|=N+d

Bαλα0

0 · · ·λαn

n ,

trong �â, méi Bα ∈ St(R) l x¡ �ành d÷ìng.

Chùng minh. Kþ hi»u ∆n+1 l �ìn h¼nh hu©n trong Rn+1, tù l

∆n+1 = {(y0, · · · , yn) ∈ Rn+1|yi ≥ 0,

n∑

i=0

yi = 1}.

Do F(x) < λIt vîi måi x ∈ P n¶n d¤ng Bernstein-B²zier F̃d õa F t÷ìng ùng vîi P thäa

m¢n

F̃d(y0, · · · , yn) < λIt, ∀(y0, · · · , yn) ∈ ∆n+1.

�p döng �ành lþ 1.4.12 (d¤ng ma trªn õa �ành lþ Pâlya) vîi N >d(d− 1)

2

L

λ− d, ta â

(

n∑

i=0

Yi)NF̃d(Y ) =

∑

|α|=N+d

BαYα0

0 · · ·Y αn

n , (3.11)

trong �â méi Bα ∈ St(R) l ma trªn x¡ �ành d÷ìng. Thay Yi bði λi v o v¸ ph£i õa

(3.11), v sû döng ¡ t½nh h§t

F̃d(λ0(X), · · · , λn(X)) = F (X) v N∑

i=0

λi(X) = 1,

hóng ta nhªn �÷ñ biºu di¹n õa F.

65

Chóng tæi minh håa �ành lþ 3.3.1 bði v½ dö sau �¥y.

Cho mët �ìn h¼nh P trong R2 â ¡ �¿nh v0, v1, v2 v h» tåa �ë trång t¥m l {λ0, λ1, λ2}

trong �â v0 = (0, 1), v1 = (1, 0), v2 = (1, 1) v λ0 = 1−X, λ1 = 1− Y, λ2 = X + Y − 1, tù

l

P = {(x, y) ∈ R2|λ0 ≥ 0, λ1 ≥ 0, λ2 ≥ 0}.

D¹ th§y X = λ1 + λ2

Y = λ0 + λ2

Cho �a thù ma trªn

F =

[x2y2 − xy2 + 3x+ y3 + 3y2 − 2y + 5 x2y − 4xy + 3y2 − 2y

x2y − 4xy + 3y2 − 2y x2 + 3xy2 − x− 2y3 + 5y2 + y + 3

]

Sû döng ph�n m·m MATLAB 7.11.0 (R2010b) ta â ¡ gi¡ trà ri¶ng õa F nh÷ sau:

λ1(F) = 3x− 2y + 3xy2 + 5y2 − 2y3 + 5, λ2(F) = x2y2 + x2 − xy2 − x+ y3 + 3y2 + y + 3.

Do λi(F) ≥ 3 tr¶n P vîi i = 1, 2 n¶n F < 3I2.

Ta â, d¤ng Bernstein-B²zier F̃ = (f̃ij) õa F t÷ìng ùng vîi P

f̃11 = y40 +23y30y1 +30y30y2 +36y20y21 +79y20y1y2 +49y20y

22 +27y0y

31 +81y0y

21y2 +89y0y1y

22 +

36y0y32 + 8y41 + 30y31y2 + 45y21y

22 + 33y1y

32 + 10y42

f̃12 = f̃21 = y40−4y30y1−10y20y21−18y20y1y2−5y20y

22 −5y0y

31 −22y0y

21y2−23y0y1y

22−6y0y

32−

5y31y2 − 12y21y22 − 9y1y

32 − 2y42

f̃22 = 7y40 +25y30y1+30y30y2+27y20y21 +77y20y1y2+49y20y

22 +12y0y

31 +55y0y

21y2+81y0y1y

22 +

36y0y32 + 3y41 + 13y31y2 + 29y21y

22 + 29y1y

32 + 10y42.

Ta â L := L(F̃) =51.422

4= 12.855.

Do �â, hån N = 22, �a thù ma trªn (y0 + y1 + y2)22F̃ â ¡ ma trªn h» sè l x¡ �ành

d÷ìng. Th¸ λi bði yi, vîi i = 0, 1, 2 ta nhªn �÷ñ biºu di¹n õa F.

3.3.2 D¤ng ma trªn õa �ành lþ Handelman tr¶n ¡ �a di»n lçi,

ompa t

Trong ph�n n y hóng tæi x²t ¡ �a di»n P lçi, ompa t vîi ph�n trong kh¡ réng

�÷ñ ho bði (3.7). Theo [49℄, tçn t¤i ¡ sè thü d÷ìng ci ∈ R sao ho

m∑

i=1

ciλi(X) = 1.

66

Thay méi λi bði ciλi hóng ta â thº gi£ sû r¬ng

m∑

i=1

λi(X) = 1. (3.12)

Hìn núa, d¹ d ng kiºm tra �÷ñ r¬ng vîi méi i = 1, · · · , n, tçn t¤i ¡ sè thü bij ∈ R, j =

1, · · · , m sao ho

Xi =

m∑

j=1

bijλj(X).

X²t ma trªn B := (bij)i=1,··· ,n;j=1,··· ,m §p n × m. Khi �â, vîi X = (X1, · · · , Xn) v

λ = (λ1, · · · , λm), ta â XT = B · λT , nâi ¡ h kh¡

X = λ ·BT . (3.13)

�º rã hìn v· ¡ h t¼m ci v ma trªn B hóng ta minh håa b¬ng v½ dö sau.

V½ dö 3.3.1. Cho P l �a di»n lçi, ompa t v �÷ñ x¡ �ành bði

P = {(x, y, z) ∈ R3|λ′i(x, y, z) ≥ 0, i = 0, 1, 2, 3}

trong �â,

λ′0(X, Y, Z) = −5 + 2X + 2Y + Z, λ′

1(X, Y, Z) = 2−X − Y,

λ′2(X, Y, Z) = 3− 4Y − 3Z, λ′

3(X, Y, Z) = X + 7Y + 4Z.

X²t tê hñp tuy¸n t½nh c0λ′0 + c1λ

′1 + c2λ

′2 + c3λ

′3 = 1. Khi �â, ta â thº vi¸t d¤ng ma trªn

nh÷ sau

−5 2 3 0

2 −1 0 1

2 −1 −4 7

1 0 −3 4

c0

c1

c2

c3

=

1

0

0

0

.

H» ph÷ìng tr¼nh tr¶n â nghi»m c0 =112, c1 =

13, c2 =

14, c3 =

16. �°t

λ0 =1

12λ′0, λ1 =

1

3λ′1, λ2 =

1

4λ′2, λ3 =

1

6λ′3.

Nh÷ vªy,

3∑i=0

λi = 1.

X²t ma trªn B = (bij)3×4 thäa m¢n

B ·

λ0

λ1

λ2

λ3

=

X

Y

Z

.

67

Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tr¶n ta nhªn �÷ñ

B =

11 7

23 2

−9 −92

−1 0

13 7 1 1

.

Nh÷ vªy,

X = 11λ0 +72λ1 + 3λ2 + 2λ3

Y = −9λ0 − 92λ1 − λ2

Z = 13λ0 + 7λ1 + λ2 + λ3.

Kþ hi»u R[Y ] := R[Y1, · · · , Ym], v x²t �çng §u v nh

ϕ : R[Y ] → R[X ], Yi 7−→ λi(X), ∀i = 1, · · · , m.

�¯ng thù (3.12) h¿ ra r¬ng

∑mi=1 Yi − 1 ∈ Ker(ϕ). Do �â, hóng ta â thº gi£ sû i�¶an

I := Ker(ϕ) �÷ñ sinh bði ¡ �a thù r1(Y ), · · · , rs(Y ) ∈ R[Y ],

I := Ker(ϕ) = 〈r1(Y ), ..., rs(Y )〉 ,

trong �â

∑mi=1 Yi − 1 l mët trong ¡ ri n o �â. Chó þ r¬ng �çng §u ϕ £m sinh mët

�çng §u v nh

Mϕ : Mt(R[Y ]) −→ Mt(R[X ]), G = (gij(Y )) 7−→ (ϕ(gij(Y ))).

Bê �· 3.3.1. �çng §u Mϕ l to n ¡nh, v

I := Ker(Mϕ) = 〈r1(Y )It, ..., rs(Y )It〉 ,

vîi It l ma trªn �ìn và trong Mt(R[Y ]).

Chùng minh. Vîi méi g(X) =∑

|α|≤d aαXα ∈ R[X ], kþ hi»u

g̃(Y ) :=∑

|α|≤d

aα(Y · BT )α( m∑

i=1

Yi

)d−|α| ∈ R[Y ]. (3.14)

D¹ th§y g̃ l �a thù thu�n nh§t bª d. Hìn núa ϕ(g̃(Y )) = g(X). Suy ra ϕ l to n §u.

�i·u n y k²o theo Mϕ �ng l mët to n §u.

68

M°t kh¡ , G = (gij(Y )) ∈ Ker(Mϕ) n¸u v h¿ n¸u gij ∈ Ker(ϕ) vîi måi i, j = 1, · · · , t.Do �â, vîi méi i, j = 1, · · · , t ta â

gij(Y ) =

s∑

k=1

aijk(Y )rk(Y ), trong �â aijk(Y ) ∈ R[Y ].

Nh÷ vªy, G â thº �÷ñ vi¸t nh÷ sau

G =

s∑

k=1

rkAk =

s∑

k=1

(rkIt)Ak,

ð �¥y, Ak = (aijk(Y )) ∈ Mt(R[Y ]) vîi méi k = 1, · · · , s. �i·u n y h¿ ra r¬ng G ∈〈r1It, · · · , rsIt〉 . Bê �· �÷ñ hùng minh.

Cho F = (fij) ∈ St(R[X ]) l mët �a thù ma trªn bª d > 0. Kþ hi»u F̃ := (f̃ij) ∈St(R[Y ]), trong �â méi f̃ij �÷ñ x¡ �ành bði (3.14), l mët �a thù thu�n nh§t bª d.

Gi£ sû λ(F) l mët h m gi¡ trà ri¶ng õa F. Theo [55, Theorem 1℄, λ(F) l mët h m

li¶n tö tr¶n fij(X), i, j = 1, · · · , t. Tù l , tçn t¤i mët h m li¶n tö Λ : Rt×t → R sao ho

λ(F) = Λ(fij(X)). Kþ hi»u λ̃(F)(Y ) := Λ(f̃ij(Y )), thü sü l mët h m gi¡ trà ri¶ng õa

�a thù ma trªn F̃.

Kþ hi»u r(Y ) :=s∑

i=1

r2i (Y ). Vîi kþ hi»u ho ð tr¶n, hóng ta â bê �· sau.

Bê �· 3.3.2. Cho F = (fij) ∈ St(R[X ]) l mët �a thù ma trªn bª d > 0. Cho λ(F) l

mët h m gi¡ trà ri¶ng õa F. N¸u λ(F) > 0 tr¶n P , th¼ tçn t¤i mët sè tü nhi¶n �õ lîn c

sao ho λ̃(F) + cr > 0 tr¶n m-�ìn h¼nh ti¶u hu©n ∆m. Rã hìn, c > −m1/m2, trong �â

m1 l gi¡ trà nhä nh§t õa λ̃(F) tr¶n ∆m v m2 l gi¡ trà nhä nh§t õa r tr¶n tªp ompa t

∆m ∩ {y ∈ Rm|λ̃(F)(y) ≤ 0}.

Chùng minh. Chùng minh düa v o [38, Lemma 4℄. �°t U = ∆m ∩{y ∈ Rm|λ̃(F)(y) ≤ 0}.Theo [49, Se tion 3℄, r > 0 tr¶n U. Do U ompa t n¶n tçn t¤i gi¡ trà nhä nh§t m2 õa r

tr¶n U . Hìn núa, m2 > 0. M°t kh¡ , do λ̃(F) li¶n tö tr¶n tªp ompa t ∆m n¶n tçn t¤i

gi¡ trà nhä nh§t m1. Nh÷ vªy, tr¶n U , hóng ta â

λ̃(F) + cr ≥ m1 + cm2 > 0;

tr¶n ∆m \ U , hóng ta â

λ̃(F) + cr ≥ λ̃(F) > 0.

69

�p döng bê �· n y, ta nhªn �÷ñ k¸t qu£ sau.

Bê �· 3.3.3. Cho F = (fij) ∈ St(R[X ]) l mët �a thù ma trªn bª d > 0. Kþ hi»u

F̃ := (f̃ij) ∈ St(R[Y ]). Gi£ sû F ≻ 0 tr¶n P . Khi �â tçn t¤i mët sè tü nhi¶n �õ lîn c sao

ho F̃+ crIt ≻ 0 tr¶n m-�ìn h¼nh ti¶u hu©n ∆m.

Chùng minh. Do F l x¡ �ành d÷ìng tr¶n P , n¶n ¡ h m gi¡ trà ri¶ng õa nâ λk(F), k =

1, · · · , t, l d÷ìng tr¶n P . Theo Bê �· 3.3.2, vîi méi k, tçn t¤i mët sè tü nhi¶n �õ lîn

ck sao ho λ̃k(F) + ckr l d÷ìng tr¶n ∆m. �°t c = maxk=1,··· ,t

ck. Khi �â λ̃k(F) + cr l d÷ìng

tr¶n ∆m vîi méi k = 1, · · · , t. �º þ r¬ng, λ̃k(F), k = 1, · · · , t, l ¡ gi¡ trà ri¶ng õa �a

thù ma trªn F̃. Do �â, ¡ gi¡ trà ri¶ng õa �a thù ma trªn F̃ + crIt l λ̃k(F) + cr,

k = 1, · · · , t. �i·u n y hùng tä r¬ng F̃ + crIt l x¡ �ành d÷ìng tr¶n ∆m. Bê �· �÷ñ

hùng minh.

Chó þ r¬ng F := F̃ + crIt khæng ph£i l mët �a thù thu�n nh§t. Tuy nhi¶n, thu�n

nh§t hâa F bði

m∑

i=1

Yi, hóng ta nhªn �÷ñ mët �a thù ma trªn thu�n nh§t â òng bª

vîi F. Cö thº, n¸u hóng ta biºu di¹n F nh÷ sau

F =∑

|β|≤d

BβYβ, Bβ ∈ St(R),

th¼ thu�n nh§t hâa õa nâ bði

m∑

i=1

Yi l

Fh=∑

|β|≤d

BβYβ(

m∑

i=1

Yi)d−|β|. (3.15)

Khi �â Fhl mët �a thù ma trªn thu�n nh§t bª d. Hìn núa, Mϕ(F

h) = F, v F

hl

x¡ �ành d÷ìng tr¶n ∆m.

B¥y gií hóng ta â thº sû döng d¤ng ma trªn õa �ành lþ biºu di¹n d÷ìng Pâlya �÷ñ

�÷a ra trong [44℄ �º â d¤ng ma trªn õa �ành lþ biºu di¹n d÷ìng Handelman nh÷ sau.

�ành lþ 3.3.2. Cho P , ϕ, Mϕ, r, F, F, Fhnh÷ ð tr¶n, trong �â, F l x¡ �ành d÷ìng

tr¶n P . Gi£ sû r¬ng Fh< λIt tr¶n ∆m vîi λ > 0 n o �â. �°t d := deg(F) v L := L(F

h).

Khi �â, vîi N >d(d− 1)

2

L

λ− d, F â thº �÷ñ biºu di¹n d÷îi d¤ng

F =∑

|α|=N+d

Cαλα1

1 · · ·λαm

m , (3.16)

70

trong �â, méi Cα ∈ St(R) l x¡ �ành d÷ìng.

Chùng minh. Tr÷î ti¶n, hóng ta ¡p döng �ành lþ 1.4.12 ho Fh, trong �â d = deg(F

h).

Sau �â, hóng ta ¡p döng ho Mϕ, vîi Mϕ(Fh) = F v ϕ

(m∑

i=1

Yi

)= 1.

T÷ìng tü ho nhúng �a thù , hóng ta �¤t �÷ñ d¤ng ma trªn ho �ành lþ biºu di¹n

d÷ìng S hm�udgen ho �a di»n lçi, ompa t.

H» qu£ 3.3.3. Cho P , F, F, Fh�÷ñ ho ð tr¶n, vîi F x¡ �ành d÷ìng tr¶n P . Gi£

sû Fh< λIt tr¶n ∆m vîi λ > 0 n o �â. �°t d := deg(F) v L := L(F

h). Khi �â vîi

N >d(d− 1)

2

L

λ− d, F â thº biºu di¹n d÷îi d¤ng

F =∑

δi∈{0,1}

Cδλδ11 · · ·λδm

m , (3.17)

trong �â méi Cδ ∈ St(R[X ]) l mët têng húu h¤n õa nhúng �a thù ma trªn â d¤ng

ATA, A ∈ Mt(R[X ]), v bª õa méi Cα khæng qu¡ N + d.

3.3.3 Mët thuªt to¡n t¼m biºu di¹n d÷ìng ho �a thù ma trªn

d÷ìng tr¶n mët �a di»n lçi ompa t

Cho mët �a di»n lçi ompa t P vîi ph�n trong khæng réng, bà h°n bði nhúng �a thù

tuy¸n t½nh λ1, · · · , λm ∈ R[X ], â d¤ng

P = {x ∈ Rn|λi(x) ≥ 0, i = 1, · · · , m}.

Cho mët �a thù ma trªn F = (fij) ∈ St(R[X ]) â bª d > 0 v x¡ �ành d÷ìng tr¶n P .

Theo hùng minh õa �ành lþ 3.3.2 v [19℄, hóng ta �÷a ra ¡ b÷î �º t¼m biºu di¹n

ho F nh÷ sau:

(1) T¼m sè tü nhi¶n ci ∈ R sao ho

∑mi=1 ciλi(X) = 1. Vi» t¼m ci d¨n �¸n gi£i mët h»

ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh.

(2) Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh

Xi =m∑

j=1

bijλi(X), i = 1, · · · , n,

�º t¼m ma trªn B = (bij)i=1,··· ,n;j=1,··· ,m.

71

(3) Sû döng (3.14) �º t¼m f̃ij , i, j = 1, · · · , t.

(4) Sû döng ì sð Gr�obner �º t¼m mët ì sð {r1, · · · , rs} ho h¤t nh¥n Ker(ϕ) õa �çng

§u v nh ϕ.

(5) T¼m mët sè c �õ lîn sao ho F̃+ crIt ≻ 0 tr¶n ∆m.

(6) Sû döng (3.15) �º x¥y düng �a thù ma trªn thu�n nh§t Fh õa F := F̃+ crIt.

(7) T¼m mët sè tü nhi¶n λ sao ho Fh(y) < λIt vîi måi y ∈ ∆m.

Bê �· 3.3.4. Cho K ⊆ Rml mët tªp ompa t khæng réng, v G ∈ St(R[Y ]). Khi �â,

tçn t¤i mët sè thü c ∈ R sao ho

G(y) < cIt, vîi måi y ∈ K.

�° bi»t, n¸u G(y) ≻ 0 vîi måi y ∈ K th¼ hóng ta â thº hån sè c > 0 sao ho

G(y) < cIt vîi måi y ∈ K.

Chùng minh. Gi£ sû λ1(G), · · · , λt(G) l nhúng h m gi¡ trà ri¶ng thü õa �a thù ma

trªnG ∈ St(R[Y ]). Theo [55, Theorem 1℄, λi(G) l h m li¶n tö . DoK l tªp hñp ompa t,

n¶n ta â

ci := miny∈K

λi(G)(y), i = 1, · · · , t.

Kþ hi»u c := maxi=1,··· ,t ci. V¼ nhúng h m gi¡ trà ri¶ng õaG−cIt l λi(G)−c, i = 1, · · · , t,n¶n theo �ành ngh¾a õa c ta suy ra

λi(G)(y)− c ≥ λi(G)(y)− ci ≥ 0

vîi måi y ∈ K v vîi måi i = 1, · · · , t. K²o theo G(y) < cIt, vîi måi y ∈ K.

(8) �p döng æng thù (3.10) �º t¼m L := L(Fh).

(9) T¼m mët sè tü nhi¶n N >d(d− 1)

2

L

λ− d.

(10) T¼m ¡ ma trªn h» sè õa �a thù ma trªn (∑m

i=1 Yi)NF

h ∈ St(R[Y ]), thay Yi v o

λi(X), hóng ta nhªn �÷ñ mët biºu di¹n ho F.

Chóng ta �÷a mët v½ dö sau �º minh håa ho nhúng b÷î thi¸t lªp ð tr¶n.

72

V½ dö 3.3.2. Chóng ta x²t h¼nh vuæng �ìn và â t¥m t¤i gâ tåa �ë

P := {(x, y) ∈ R2|λ′1 = 1 + x ≥ 0, λ′

2 = 1− x ≥ 0, λ′3 = 1 + y ≥ 0, λ′

4 = 1− y ≥ 0}.

Chån c1 = c2 = c3 = c4 =1

4, ta â

∑4i=1 ciλ

′i(x, y) = 1. Do �â, �°t

λ1 :=1

4+

1

4x, λ2 :=

1

4− 1

4x, λ3 :=

1

4+

1

4y, λ4 :=

1

4− 1

4y ∈ R[x, y],

ta �÷ñ

∑4i=1 λi = 1.

D¹ th§y r¬ng ma trªn B =

[2 −2 0 0

0 0 2 −2

]thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh

B · [λ1 λ2 λ3 λ4]T = [x y]T .

Cho ϕ : R[y1, y2, y3, y4] → R[x, y] l mët �çng §u v nh �÷ñ x¡ �ành bði ϕ(yi) :=

λi(x, y), i = 1, 2, 3, 4. Mët ì sð Gr�obner ho h¤t nh¥n Ker(ϕ) õa ϕ l

{r1, r2} := {y1 + y2 −1

2, y3 + y4 −

1

2}.

�°t r := r21 + r22.

Chóng ta x²t �a thù ma trªn

F :=

[−4x2y + 7x2 + y + 3 x3 + 5xy − 3x

x3 + 5xy − 3x x4 + x2y + 3x2 − 4y + 6

].

Nhúng h m gi¡ trà ri¶ng õa F l

λ1(F) = 6x2 − 4x2y − 4y + 6; λ2(F) = x4 + x2y + 4x2 + y + 3.

Vîi méi (x, y) ∈ P ta â λi(F)(x, y) ≥ 2, i = 1, 2. Suy ra F(x, y) < 2I2 vîi måi (x, y) ∈ P .

Vîi ma trªn B ho ð tr¶n, ta â F̃ = (f̃ij), trong �â

f̃11 = −4(2y1 − 2y2)2(2y3 − 2y4)(y1 + y2 + y3 + y4) + 7(2y1 − 2y2)

2(y1 + y2 + y3 + y4)2 +

(2y3 − 2y4)(y1 + y2 + y3 + y4)3 + 3(y1 + y2 + y3 + y4)

4,

f̃12 = f̃21 = (2y1 − 2y2)3(y1 + y2 + y3 + y4) + 5(2y1 − 2y2)(2y3 − 2y4)(y1 + y2 + y3 + y4)

2 −3(2y1 − 2y2)(y1 + y2 + y3 + y4)

3,

f̃22 = (2y1 − 2y2)4 + (2y1 − 2y2)

2(2y3 − 2y4)(y1 + y2 + y3 + y4) + 3(2y1 − 2y2)2(y1 + y2 +

y3 + y4)2 − 4(2y3 − 2y4)(y1 + y2 + y3 + y4)

3 + 6(y1 + y2 + y3 + y4)4.

Nhúng h m gi¡ trà ri¶ng õa F̃ l

73

λ1(F̃) = λ̃1(F) = 35y41 − 52y31y2+54y31y3+34y31y4+82y21y22 +2y21y2y3+6y21y2y4+48y21y

23 +

68y21y3y4+20y21y24−52y1y

32+2y1y

22y3+6y1y

22y4+8y1y2y3y4+8y1y2y

24+18y1y

33+42y1y

23y4+

30y1y3y24+6y1y

34+35y42+54y32y3+34y32y4+48y22y

23+68y22y3y4+20y22y

24+18y2y

33+42y2y

23y4+

30y2y3y24 + 6y2y

34 + 5y43 + 16y33y4 + 18y23y

24 + 8y3y

34 + y44,

λ2(F̃) = λ̃2(F) = 30y41+24y31y2+32y31y3+112y31y4−12y21y22+32y21y2y3+16y21y2y4+4y21y

23+

120y21y3y4 + 116y21y24 + 24y1y

32 + 32y1y

22y3 + 16y1y

22y4 + 40y1y2y

23 + 48y1y2y3y4 + 8y1y2y

24 +

48y1y23y4 + 96y1y3y

24 + 48y1y

34 + 30y42 + 32y32y3 + 112y32y4 + 4y22y

23 + 120y22y3y4 + 116y22y

24 +

48y2y23y4 + 96y2y3y

24 + 48y2y

34 − 2y43 + 8y33y4 + 36y23y

24 + 40y3y

34 + 14y44.

Ta â min∆4λ1(F̃) = 1, min∆4

λ2(F̃) = −2.

Hìn núa, min∆4∩{λ2(F̃)≤0} r = 0.125. Do �â hóng ta â thº hån c > − −2

0.125= 16, ö thº,

c = 17, �º F := F̃+ crI2 ≻ 0 tr¶n ∆4.

Thu�n nh§t hâa F bði

4∑i=1

yi hóng ta nhªn �÷ñ mët �a thù ma trªn thu�n nh§t Fh=

(fijh), trong �â,

f11h= (3(y1 + y2 + y3 + y4)

2 + (2y1 − 2y2)2 + (2y3 − 2y4)(y1 + y2 + y3 + y4))(y1 + y2 + y3 +

y4)2+(6(y1+y2+y3+y4)

2−(4(2y3−2y4))(y1+y2+y3+y4))(2y1−2y2)2+17(0.5y1+0.5y2−

0.5y3 − 0.5y4)2(y1 + y2 + y3 + y4)

2 + 17(0.5y3 + 0.5y4 − 0.5y1 − 0.5y2)2(y1 + y2 + y3 + y4)

2,

f12h= f21

h= (y1 + y2 + y3 + y4)(3(y1 + y2 + y3 + y4)

2 + (2y1 − 2y2)2 + (2y3 − 2y4)(y1 +

y2 + y3 + y4))(2y1 − 2y2) + (2y1 − 2y2)(6(y1 + y2 + y3 + y4)2 − (8y3 − 8y4)(y1 + y2 + y3 +

y4))(−y1 − y2 − y3 − y4),

f22h= (3(y1 + y2 + y3 + y4)

2 + (2y1 − 2y2)2 + (2y3 − 2y4)(y1 + y2 + y3 + y4))(2y1 − 2y2)

2 +

(6(y1+y2+y3+y4)2−(8y3−8y4)(y1+y2+y3+y4))(−y1−y2−y3−y4)

2+17(0.5y1+0.5y2−0.5y3 − 0.5y4)

2(y1 + y2 + y3 + y4)2 + 17(0.5y3 + 0.5y4 − 0.5y1 − 0.5y2)

2(y1 + y2 + y3 + y4)2.

Chóng ta â thº t½nh min∆4λ1(F

h) = 1.9706, min∆4

λ2(Fh) = 1.5294.

�i·u n y h¿ ra r¬ng Fh< 1.5294I2 tr¶n ∆4, v λ := 1.5294.

�p döng æng thù (3.10), hóng ta â thº t¼m sè L := L(Fh) =

1044

24=

87

2.

Do �â, hån N = 167, �a thù ma trªn (y1 + y2 + y3 + y4)167

Fh â ¡ ma trªn h» sè l

x¡ �ành d÷ìng.

T¼m ¡ ma trªn h» sè õa �a thù ma trªn (y1 + y2 + y3 + y4)167

Fh ∈ St(R[y1, y2, y3, y4]),

th¸ yi bði λi(x, y), hóng ta nhªn �÷ñ biºu di¹n ho F.

74

K�T LU�N

Trong Luªn ¡n hóng tæi �¢ �¤t �÷ñ ¡ k¸t qu£ h½nh sau:

(1) Thi¸t lªp �÷ñ mët sè h°n tr¶n v h°n d÷îi ho gi¡ trà ri¶ng õa ¡ �a thù ma

trªn mët bi¸n. Cö thº, hóng tæi �¢ �÷a ra d¤ng ma trªn ho �ành lþ Enestr�om-Kakeya

(xem ¡ �ành lþ 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4). �çng thíi, hóng tæi �÷a ra mët sè d¤ng ma trªn ho

¡ �ành lþ d¤ng Cau hy (xem ¡ �ành lþ 2.2.2, 2.2.4, 2.2.6, 2.2.8, 2.2.10, 2.2.12, 2.2.14,

2.2.16, 2.2.17). B¶n ¤nh �â, hóng tæi so s¡nh ¡ h°n �¢ �¤t �÷ñ trong Luªn ¡n vîi

¡ h°n �÷ñ �÷a ra bði Higham v Tisseur [22℄ (xem Mö 2.3).

(2) �÷a ra mèi li¶n h» giúa t½nh d÷ìng õa mët �a thù ma trªn tr¶n mët tªp nûa �¤i sè

�âng ì b£n vîi thu�n nh§t hâa õa nâ (xem ¡ M»nh �· 1.5.1, 1.5.2, 1.5.5, 1.5.6).

(3) �÷a ra mët d¤ng ma trªn ho �ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Putinar-Vasiles u (xem

�ành lþ 3.1.2), tø �â suy ra mët d¤ng ma trªn õa �ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Rezni k

(xem H» qu£ 3.1.3).

(4) �÷a ra mët d¤ng ma trªn ho �ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Di kinson-Povh (xem �ành

lþ 3.2.2).

(5) �÷a ra mët d¤ng ma trªn ho �ành lþ Handelman, biºu di¹n mët �a thù ma trªn x¡

�ành d÷ìng tr¶n mët �ìn h¼nh (xem �ành lþ 3.3.1) v x¡ �ành d÷ìng tr¶n mët �a di»n

lçi, ompa t (xem �ành lþ 3.3.2). Tø �â, hóng tæi �· xu§t mët thõ tö t¼m biºu di¹n n y

ho ¡ �a thù ma trªn (xem Mö 3.3.3).

C¡ k¸t qu£ h½nh trong Luªn ¡n �÷ñ t¡ gi£ æng bè trong 02 b i b¡o [12, 30℄ v

ti·n §n ph©m [13℄. C¡ k¸t qu£ tr¶n l mîi, v �âng gâp th¶m v o h÷îng nghi¶n ùu ¡

�ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho �a thù v �a thù ma trªn, �ng nh÷ ùng döng õa hóng

trong Tèi ÷u �a thù , Lþ thuy¶t �i·u khiºn v B i to¡n mæmen.

Mët sè v§n �· nghi¶n ùu ti¸p theo:

1. T¼m ¡ �i·u ki»n �º â biºu di¹n "khæng mü thù " trong ¡ d¤ng ma trªn �÷a ra

trong Luªn ¡n ho �ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Putinar-Vasiles u v õa Di kinson-Povh.

Nguy¶n nh¥n xu§t hi»n "mü thù " trong ¡ biºu di¹n nâi tr¶n l do hóng tæi �¢ ¡p

döng thõ tö " h²o hâa" õa S hm�udgen �èi vîi ¡ �a thù ma trªn (Bê �· 1.4.5). Do

�â, mët æng ö mîi �º biºu di¹n ¡ �a thù ma trªn d÷ìng (khæng ¥m) tr¶n mët tªp

nûa �¤i sè �âng ì b£n thay th¸ ho æng ö h²o hâa tr¶n �¥y õa S hm�udgen l �n

thi¸t ph£i nghi¶n ùu.

75

2. T¼m ¡ ùng döng õa ¡ �ành lþ biºu di¹n d÷ìng �¢ �¤t �÷ñ ho �a thù ma trªn

trong Lþ thuy¸t �i·u khiºn v trong ¡ l¾nh vü kh¡ , t÷ìng tü nh÷ ¡ h S herer-Hol [44℄

�¢ thü hi»n.

76

Danh mö ¡ æng tr¼nh õa t¡ gi£

li¶n quan �¸n Luªn ¡n

(1) T. H. B. D÷ (2017) �A Note on Positivstellens�atz for Matrix Polynomials�, East-West

Journal of Mathemati s, 19(2), 171-182 .

(2) C. T. L¶, T. H. B. D÷ (2018) �Handelman's Positivstellensatz for Polynomial Matri-

es Positive Definite on Polyhedra�, Positivity, 22(2), 449-460.

(3) T. H. B. D÷, C. T. L¶, T. �. Nguy¹n (2018) �On the Lo ation of Eigenvalues of

Matrix Polynomials� (submitted).

77

T i li»u tham kh£o

[1℄ E. Artin (1927),

�

Uber die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate, Abh. Math.

Sem. Univ. Hamburg 5, 100-115.

[2℄ R. Bhatia (2001), Matrix Analysis, Springer, New York.

[3℄ P. Borwein and T. Erd±lyi (1995), Polynomials and Polynomial Inequalities, Springer-

Verlag, New York.

[4℄ M.D. Choi and T.-Y. Lam (1977), Extremal positive semi-definite forms, J. Math.

Ann. 231, 1-18.

[5℄ J. Cimpri� (2009), A representation theorem for Ar himedean quadrati modules on

∗-rings, Canad. Math. Bull 52(1), 39-52.

[6℄ J. Cimpri� (2012), Real algebrai geometry for matri es over ommutative rings, J.

Algebra 359, 89-103.

[7℄ J. Cimpri� and J. Zalar (2013), Moment problems for operator polynomials, J. Math.

Anal. Appl. 401(1), 307-316.

[8℄ B. Datt and N. K. Govil (1978), On the lo ation of the zeros of a polynomial, J.

Approx. Theory 24, 78-82.

[9℄ M. Dehmer (2006), On the lo ation of zeros of omplex polynomials, J. Inequal. Pure

Appl. Math. 7(1), 1-13.

[10℄ P. Di kinson, J. Povh (2015), On an extension of Pâlya's Positivstellensatz, J. Global

Optim. 61(4), 615-625.

[11℄ G. Dirr and H. K. Wimmer (2007), An Enestr�om-Kakeya theorem for hermitian poly-

nomial matri es, IEEE Trans. Automat. Control 52, 2151�2153.

78

[12℄ T. H. B. D÷ (2017), A Note on Positivstellens�atz for Matrix Polynomials, East-West

J. Math., 19(2), 171-182 .

[13℄ T. H. B. D÷, C. T. L¶, T. �. Nguy¹n (2018), On the Lo ation of Eigenvalues of Matrix

Polynomials (submitted).

[14℄ M. Fiedler (2011), Metri es and Graphs in Geometry, Cambridge Univ. Press, New

York.

[15℄ R. A. Frazer, W. J. Dun an and A. R. Collar (1955), Elementary matri es, 2nd ed.,

Cambridge Univ. Press, London and New York.

[16℄ I. Gohberg, P. Lan aster and L. Rodman (1982),Matrix Polynomials, A ademi Press,

New York.

[17℄ H.-V. Ha, T.-M. Ho (2016), Positive polynomials on nondegenerate basi semi-

algebrai sets, Advan es in Geometry, 16(4), 497-510.

[18℄ S. Hamarling, C. J. Munro and F. Tisseur (2013), An algorithm for the omplete

solution of quadrati eigenvalue problems, ACM Trans, Math. Softw. 39(3), Arti le

18.

[19℄ D. Handelman (1988), Representing polynomials by positive linear fun tions on om-

pa t onvex polyhedra, Pa ifi J. Math. 132, 35-62.

[20℄ E. K. Haviland (1935), On the momentum problem for distribution fun tions in more

than one dimension, Amer. J. Math. 57, 562-572.

[21℄ N. J. Higham and F. Tisseur (2001), Stru tured pseudospe tra for polynomial eigen-

value problems, with appli ations, SIAM J. Matrix Anal. Appl. 23(1), 187-208.

[22℄ N. J. Higham and F. Tisseur (2003), Bounds for eigenvalues of Matrix Polynomials,

Linear Algebra Appl. 358, 5-22.

[23℄ D. Hilbert (1888),

�

Uber die Darstellensatz definiter Formen als Summe von Formen-

quadraten, Math. Ann. 32, 342-350.

[24℄ A. Joyal, G. Labelle and Q. I. Rahman (1967), On the lo ation of zeros of polynomials,

Cand. Math. Bull. 10, 53-63.

[25℄ J. L. Krivine (1964), Anneaux pr²ordonn²s, J. Analyse. Math. 12, 307-326.

79

[26℄ P. Lan aster (1966), Lambda-matri es and vibrating systems, Pergamon Press, Oxford.

[27℄ J. B. Lasserre (2001), Global optimization with polynomials and the problem of mo-

ments, SIAM J. Optim. 11(3), 796-817.

[28℄ M. Laurent (2009), Sums of squares moment matri es and optimization over poly-

nomials, in: Emerging Appli ations of Algebrai Geometry, New York:Springer, 149,

157-270.

[29℄ C. T. L¶ (2014), Some Positivstellens�atze for polynomial matri es, Positivity. 19(3),

513-528.

[30℄ C. T. L¶, T. H. B. D÷ (2018), Handelman's Positivstellensatz for Polynomial Matri es

Positive Definite on Polyhedra, Positivity. 22(2), 449�460.

[31℄ M. Marden (1966), Geometry of polynomials, Mathemati al Surveys. Amer. Math.

So ., Rhode Island, 3.

[32℄ M. Marshall (2010), Positive polynomials and sums of squares, Springer.

[33℄ G. V. Milovanovi� , D. S. Mitrinovi and Th. M. Rassias (1994), Topi s in polynomials,

Extremal problems, Inequalities, Zeros, World S ientifi , Singapore.

[34℄ G. V. Milovanovi� and Th. M. Rassias (2000), Inequalities for polynomial zeros, In:

Survey on Classi al Inequalities (Th. M. Rassias, ed.), Mathemati s and Its Appli a-

tions. 517, 165-202, Kluwer, Dordre ht.

[35℄ T. Motzkin (1967), The arithmeti -geometri inequalities, In: Inequalities (0. Shisha,

ed.), Pro . Symp. Wright-Patterson AFB, August 19-27, 1965, A ademi Press, 205-

224.

[36℄ Y. Nesterov (2000), Squared fun tional systems and optimization problems, in J.B.G.

Frenk, C. Roos, T. Terlaky, and S. Zhang, editors, High Performan e Optimization,

405-440. Kluwer A ademi Publishers.

[37℄ G. Pâlya (1928),

�

Uber positive Darstellung von Polynomen, Vierteljs hr. Natur-fors h.

Ges. Zuri h. 73, 141-145.

[38℄ V. Powers, B. Rezni k (2001), A new bound for Pâlya's theorem with appli ations to

polynomials positive on polyhedra, J. Pure Appl. Algebra. 164, 221-229.

80

[39℄ M. Putinar (1993), Positive polynomials on ompa t semialgebrai sets, Indiana Univ.

Math. J. 43(3), 969-984.

[40℄ M. Putinar and F.H. Vasiles u (1999), Solving moment problems by dimensional ex-

tension, Ann. of Math. (2), 149(3), 1087-1107.

[41℄ B. Rezni k (1995), Uniform denominators in Hilbert's seventeenth problem, Math. Z.

220, 75-98.

[42℄ C. S heiderer (2003), Sums of squares on real algebrai urves, Math. Z. 245, 725-760.

[43℄ C. S heiderer (2005), Distinguished representations of non-negative polynomials, J.

Algebra. 289, 558-573.

[44℄ C. W. S herer, C. W. Hol (2006), Matrix sum-of-squares relaxations for robust semi-

definite programs, Math. Program. 107 (1,2), 189-211.

[45℄ K. S hm�udgen (1990), Unbounded operator algebras and representation theory. Oper-

ator Theory , Advan es and Appli ations, 37. Birkh�auser Verlag, Basel-Boston-Berlin.

[46℄ K. S hm�udgen (1991), The K-moment problem for ompa t semialgebrai sets, Math.

Ann. 289, 203-206.

[47℄ K. S hm�udgen (2005), A stri t Positivstellensatz for the Weyl algebra, Math. Ann.

331, 779-794.

[48℄ K. S hm�udgen (2009), Non ommutative real algebrai geometry - some basi on epts

and first ideas. In: Emerging Appli ations of Algebrai Geometry, IMA Vol. Math.

Appl. Springer, New York, 149, 325-350.

[49℄ M. S hweighofer (2002), An algorithmi approa h to S hm�udgen's Positivstellensatz,

J. Pure Appl. Algebra. 166(3),307-319.

[50℄ M. S hweighofer (2006), Global optimization of polynomials using gradient tenta les

and sums of squares, SIAM J. Optim. 17(3), 920-942.

[51℄ N. Z. Shor (1987), Class of global minimum bounds of polynomial fun tions, Cyber-

neti s. 23(6), 731-734.

[52℄ V. Simon ini, F. Perotti (2006), On the numeri al solution of (λ2A + λB + C)x = b

and appli ation to stru tural dynami s, SIAM J. S i. Comput. 23, 1875-189.

81

[53℄ G. Singh and W. M. Shah (2011), On the Lo ation of Zeros of Polynomials, Amer. J.

Comp. Math. 1(1), 1-10.

[54℄ G. Stengle (1974), A Nullstellensatz and a Positivstellensatz in semialgebrai geome-

try, Math. Ann. 207, 87-97.

[55℄ M. Zedek (1965), Continuity and Lo ation of Zeros of Linear Combinations of Poly-

nomials, Pro . Amer. Math. So . 16, 78-84.

[56℄ L. Zeng and Y. Su (2014), A ba kward stable algorithm for quadrati eigenvalue prob-

lems, SIAM J. Matrix Anal. Appl. 35(2), 499-516.

82

Documents

pdtsaudaihoc.qnu.edu.vnpdtsaudaihoc.qnu.edu.vn/Resources/Docs/SubDomain... · Líi c£m ìn Luªn ¡n y n ÷ñ c ho n th nh trong qu¡ tr¼nh hå c tªp v nghi¶n cùu t¤i Khoa o¡n,