พฒันาโดยนางนิกร ประวนัตาโรงเรยีนเมอืงพลพทิยาคม

อ.พล จ.ขอนแก่นองค์การบรหิารสว่นจงัหวดัขอนแก่น

STATISTICS

การวเิคราะห์ขอ้มูลเบื้องต้น

F M B N

ค่ากลางของขอ้มูล

ค่ากลาง

ค่าเฉล่ียเลขคณิต

ฐานนิยม

มธัยฐาน

1. ค่าเฉล่ียเลขคณิต ( )

xกรณีท่ี 1 ถ้าขอ้มูลไมม่กีารแจกแจงความถ่ี

nxxxx

x n

...321

n

xx

n

ii

1

nx

x

ตัวอยา่งท่ี 1 จากการสอบถามอายุของนิสติชัน้ปีท่ี 2 ของมหาวทิยาลัยแห่งหนึ่ง จำานวน 5 คน ปรากฏวา่มอีายุดังน้ี 20 , 19 , 20 , 22 , 27 ปี จงหาค่าเฉล่ียเลขคณิตของนิสติกลุ่มนี้

52722201920

nx

x

6.21

ดังนัน้ อายุเฉลี่ย ( ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ) ของนิสติกลุ่มน้ี คือ 21.6 ปี

วธิทีำา

• 1. ค่าเฉล่ีย เลขคณิต ( )

xกรณีท่ี 2 ถ้าขอ้มูลมกีารแจกแจงความถ่ี

nxfxfxfxf

x nn

...332211

n

xfx

n

iii

1

nfx

x

วธิีตรง

ตัวอยา่งท่ี 2 ในการสอบวชิาสถิติของนักเรยีนกลุ่มหนึ่ง 30 คน ปรากฏผลดังนี้

วธิทีำา

คะแนน 19 18 17 16 15จำานวน

นักเรยีน2 4 13 8 3

จงหาค่าเฉล่ียเลขคณิต ( คะแนนเฉล่ีย ) ของคะแนนสอบ

คะแนน ( x )

จำานวนนักเรยีน ( f )

fx

1918171615

24

1383

3872

22112845

รวม N = 30

nfx

x

504 fx

30504

8.16

ดังนัน้ คะแนนเฉลี่ยในการสอบ คือ 16.8 คะแนน

1. ค่าเฉล่ียเลขคณิต( )

x

กรณีท่ี 2 ถ้าขอ้มูลมกีารแจกแจงความถ่ี

INfd

ax

วธิี

ลัดa = ค่ากลางสมมติ โดยค่านี้ให้เลือกจากจุดก่ึงกลางของชัน้ใดชัน้หนึ่งก็ได้ แต่นิยม ใชจุ้ดก่ึงกลางของชัน้ท่ีมคีวามถ่ีสงูสดุ หรอื จุดก่ึงกลางของชัน้ท่ีอยูต่รงกลางของอันตรภาคชัน้ท้ังหมด

ตัวอยา่งท่ี 2 ในการสอบวชิาสถิติของนักเรยีนกลุ่มหนึ่ง 30 คน ปรากฏผลดังนี้

วธิทีำา

คะแนน 19 18 17 16 15จำานวน

นักเรยีน2 4 13 8 3

จงหาค่าเฉล่ียเลขคณิต ( คะแนนเฉล่ีย ) ของคะแนนสอบ

x f d fd1516171819

38

1342

-2-1012

-6-8044

รวม N = 30

INfd

ax

6 fd

)1(30617

)2.0(17

8.16

k

kk

nnnxnxnxn

x

......

21

2211

การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมหลาย ๆ กลุ่ม

เมื่อ

1. ค่าเฉล่ียเลขคณิต ( )

x

คือ จำานวนขอ้มูลของแต่ละกลุ่ม in คือ ค่าเฉล่ียเลขคณิตของแต่ละกลุ่มix

k

kk

nnnxnxnxnx

......

21

2211

ตัวอยา่งท่ี 3 นักเรยีนห้องหนึ่งเป็นชาย 10 คน หญิง 10 คน นักเรยีนชาย มสีว่นสงูเฉลี่ย 160 ซม. นักเรยีนหญิงมสีว่นสงูเฉล่ีย 150 ซม. จงหาสว่นสงูเฉล่ียของนักเรยีนท้ังห้องวธิทีำาจากโจทย ์จะได้

1010)150(10)160(10

จำานวน นร. ช = 10 คน

2n

1x

จำานวน นร. ญ = 10 คน

สว่นสงูเฉลี่ย นร. ช = 160

2x สว่นสงูเฉลี่ย นร. ญ = 150

1n

= 155

ดังนัน้ สว่นสงูเฉลี่ยของนักเรยีนท้ังห้อง คือ 155 ซม.

n

nn

wwwxwxwxw

x

......

21

2211

การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบถ่วงนำ้าหนัก

iw ixเมื่อ คือนำ้าหนักของขอ้มูล

1. ค่าเฉล่ียเลขคณิต ( )

x

ตัวอยา่งท่ี 4 ผลการสอบครัง้หนึ่งของนักเรยีนคนหนึ่ง เป็นดังน้ี รายวชิา หน่วยการ

เรยีนระดับคะแนนท่ี

สอบได้ภาษาไทย

ภาษาอังกฤษ

คณิตศาสตร์

234

324จงหาระดับคะนนเฉลี่ยของ

นักเรยีนคนนี้ วธิีทำา n

nn

wwwxwxwxw

x

......

21

2211

432)4(4)2(3)3(2

11.3928

2. มธัยฐาน ( Median )

กรณีท่ี 1 ถ้าขอ้มูลไมเ่ป็นอันตรภาคชัน้

ตำาแหน่งมธัยฐาน คือ ตำาแหน่งท่ี 21n

( ขอ้มูลต้องเรยีงจากมากไปหาน้อย หรอืน้อยไปหามาก )

กรณีท่ี n เป็น คู่ Me =

ขอ้มูลท่ีอยูต่ำาแหน่ง + ขอ้มูลท่ีอยู่ตำาแหน่ง + 1 2

n2n

2

กรณีท่ี n เป็น ค่ี Me =

ขอ้มูลท่ีอยูต่ำาแหน่ง21n

ตัวอยา่งท่ี 5 กำาหนดขอ้มูลเป็น 7 , 4 , 8 , 3 , 2 จงหามธัยฐานวธิีทำา

เรยีงขอ้มูลจากน้อยไปมากจะได้ ( n = 5 )

ตำาแหน่งท่ี

1 2 3 4 5

ขอ้มูล 2 3 4 7 8

กรณีท่ี n เป็น ค่ี Me =

ขอ้มูลท่ีอยูต่ำาแหน่ง21n

=

ขอ้มูลท่ีอยูต่ำาแหน่ง 3215

Me = 4

ตัวอยา่งท่ี 6 กำาหนดขอ้มูลเป็น 5 , 9 , 4 , 7 , 10 , 2 จงหามธัยฐาน

วธิีทำา

เรยีงขอ้มูลจากน้อยไปมากจะได้ ( n = 6 )

ตำาแหน่งท่ี

1 2 3 4 5 6

ขอ้มูล 2 4 5 7 9 10

กรณีท่ี n เป็น คู่ Me =

ขอ้มูลท่ีอยูต่ำาแหน่ง + ขอ้มูลท่ีอยู่ตำาแหน่ง + 1 2

n2n

2

Me =

ขอ้มูลท่ีอยูต่ำาแหน่ง + ขอ้มูลท่ีอยู่ตำาแหน่ง + 1 2

626

2

Me =

ขอ้มูลท่ีอยูต่ำาแหน่ง 3 + ขอ้มูลท่ีอยูต่ำาแหน่ง 4 2

Me = 2

75

ดังนัน้ Me = 6

2. มธัยฐาน ( Median )

กรณีท่ี 2 ถ้าขอ้มูลอยูใ่นรูปอันตรภาคชัน้

If

fN

LMeM

L

2

เมื่อ L = ขอบล่างของอันภาคชัน้ท่ีมมีธัยฐานอยู่ N = จำานวนขอ้มูล

= ตำาแหน่งของมธัยฐาน2N

Lf = ผลรวมของความถ่ีของอันตรภาคชัน้ท่ีมค่ีาตำ่ากวา่ อันตรภาคชัน้ท่ีมมีธัยฐานอยู ่

= ความถ่ีของอันตรภาคชัน้ท่ี Me อยู่Mf

I = ความกวา้งของอันตรภาคชัน้ท่ี Me อยู่

ตัวอยา่งท่ี 7 จากตารางแจกแจงความถ่ีของคะแนนสอบของนักเรยีน 40 คน จงหามธัยฐาน

คะแนน

จำานวนนักเรยีน ( f )

ความถ่ีสะสม

11 – 20

21 – 30

31 – 40 41 – 50 51 – 60

5712115

512243540

วธิีทำา

ตำาแหน่งมธัยฐาน = 2n

= 20240

ดังนัน้ มธัยฐานจะอยูใ่นอันตรภาคชัน้ 31 – 40

If

fN

LMeM

L

2จากสตูร

L = 30.5

= 5 + 7 = 12 Lf

I = 10 = 12Mf

101212205.30

101285.30

67.65.30

17.37

3. ฐานนิยม ( Mode )

ฐานนิยม คือ ค่าสงัเกตท่ีมคีวามถ่ีสงูสดุ

กรณีท่ี 1 กรณีขอ้มูลไมไ่ด้จดัเป็นอันตรภาคชัน้

ตัวอยา่งท่ี 8 คะแนนสอบรายจุดประสงค์ของนักเรยีน 40 คน เป็นดังนี้

คะแนน 0 1 2 3 4 5จำานวน

นักเรยีน3 2 1

020

3 2

ฐานนิยมคะแนนสอบ คือ 3

ขอ้สงัเกต1. ถ้าแต่ละค่าสงัเกตมคีวามถ่ีเท่ากันท้ังหมด ถือวา่ไมม่ฐีานนิยม

เชน่ ขอ้มูล 4 9 12 8 ไมม่ฐีานนิยม ขอ้มูล 8 7 7 10 10 8 ไมม่ีฐานนิยม

2. ฐานนิยมอาจมค่ีามากกวา่หนึ่งจำานวนก็ได้ เชน่ ขอ้มูล 7 2 4 6 4 8 7

ฐานนิยมคือ 7 และ 4

( 2 ) ซึง่ถ้าหาค่าอยา่งครา่ว ๆ ( ค่าฐานนิยมโดยประมาณ ) แล้ว

Mode = จุดก่ึงกลางของชัน้น้ี=

21915

= 17 ( ค่าประมาณ )

( 3 ) ถ้าต้องการหาค่าท่ีถกูต้อง ต้องหาจากสตูร

Idd

dLMo

21

1

อันตรภาคชัน้

ความถ่ี ( f )

5 – 9 10 – 14 15 – 19 20 – 24 25 – 29

371082

37101 d28102 d

L = ขอบล่างของชัน้ท่ี 3 = 14.5

3710231 ffd

2810432 ffd

= ความถ่ีของชัน้ท่ี 33f= ความถ่ีของชัน้ท่ี 32f

I = ความกวา้งของชัน้ท่ี 3 = 19.5 - 14.5 = 5

ดังนัน้

Idd

dLMo

21

1

52335.14

5.17