Upload
others
View
18
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
เลมท 1
แบบฝกทกษะคณตศาสตร
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซวชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202
ชนมธยมศกษาปท 4
โดย นางพนดา เจรญสขตาแหนง คร วทยฐานะชานาญการ
โรงเรยนพระปฐมวทยาลย จงหวดนครปฐมสานกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 9
adj(A)adj(A)
A-1A-1
det(A)det(A)
Mij(A)Mij(A)
Cij(A)Cij(A)
ก
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
ค าน า
แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ ระดบชนมธยมศกษาปท 4 เลมท 1 เรอง ระบบสมการเชงเสน เลมน จดท าขนเพอพฒนาทกษะการคดวเคราะห และการแกปญหาทางคณตศาสตร โดยมงเนนใหนกเรยนเกดทกษะกระบวนการทางคณตศาสตร รวมทงสามารถน าความรไปประยกตใชในชวตประจ าวนได แบบฝกทกษะคณตศาสตรเลมท 1 น ไดสอดแทรกเนอหาสาระการเรยนรและกจกรรมไวอยางหลากหลาย มล าดบขนตอนการท าจากงายไปหายาก ชวยกระตนใหนกเรยนอยากเรยนร ทาทายความสามารถ เหมาะสมกบวยและพฒนาการของนกเรยน มเนอหาสอดคลองกบสาระและมาตรฐานการเรยนรตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551 แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ จดท าขนทงหมด 7 เลม เลมท 1 ระบบสมการเชงเสน ประกอบไปดวยค าแนะน าส าหรบครผสอน ค าแนะน าส าหรบนกเรยน ล าดบขนตอนการใชแบบฝกทกษะ ผลการเรยนร จดประสงคการเรยนร แบบทดสอบกอนเรยน ใบความร แบบฝกทกษะ แบบทดสอบหลงเรยน แบบบนทกคะแนน และมเฉลยแบบทดสอบ เฉลยแบบฝกทกษะ รวมถงเกณฑการใหคะแนนอยในภาคผนวกทายเลม
ผจดท าหวงเปนอยางยงวาแบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ ระดบชนมธยมศกษาปท 4 เลมท 1 น จกเปนประโยชนแกนกเรยน ผสนใจและครผสอนสามารถน าไปใช ในการจดการเรยนร ขอขอบคณผเชยวชาญ ผมสวนรวม และกลยาณมตรทกทานทใหค าแนะน า และตรวจสอบแบบฝกทกษะเลมท 1 น จนส าเรจลลวงดวยด
พนดา เจรญสข
ข
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
สารบญ
เรอง หนา ค าน า ก สารบญ ข ค าแนะน าส าหรบครผสอน ค ค าแนะน าส าหรบนกเรยน ง ล าดบขนตอนการใชแบบฝกทกษะของนกเรยน จ ผลการเรยนร ฉ จดประสงคการเรยนร ฉ แบบทดสอบกอนเรยน เลมท 1 ระบบสมการเชงเสน 1 กระดาษค าตอบแบบทดสอบกอนเรยน เลมท 1 ระบบสมการเชงเสน 3 ใบความรท 1 ระบบสมการเชงเสนสองตวแปร 4 แบบฝกทกษะท 1 ระบบสมการเชงเสนสองตวแปร 8 ใบความรท 2 ระบบสมการเชงเสน n ตวแปร เมอ n > 2 10 แบบฝกทกษะท 2 ระบบสมการเชงเสน n ตวแปร เมอ n > 2 17 แบบทดสอบหลงเรยน เลมท 1 ระบบสมการเชงเสน 21 กระดาษค าตอบแบบทดสอบหลงเรยน เลมท 1 ระบบสมการเชงเสน 23 แบบบนทกคะแนน เลมท 1 ระบบสมการเชงเสน 24 ภาคผนวก 25 เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน เลมท 1 ระบบสมการเชงเสน 26 เฉลยแบบฝกทกษะท 1 ระบบสมการเชงเสนสองตวแปร 27 เฉลยแบบฝกทกษะท 2 ระบบสมการเชงเสน n ตวแปร เมอ n > 2 29 เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน เลมท 1 ระบบสมการเชงเสน 33 บรรณานกรม 34
ค
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
ค าแนะน าส าหรบครผสอน
1. แบบฝกทกษะเลมท 1 น ใชรวมกบการจดกจกรรมการเรยนรแบบกลมเทคนค TAI (Team Assisted Individualization) ครผสอนสามารถน าไปใชจดกจกรรมการเรยนรตามคมอการจดกจกรรมการเรยนรโดยใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ ระดบชนมธยมศกษาปท 4 ตามทจดใหไวอยางครบถวน
2. ชแจงจดประสงคการเรยนร วธการเรยนรใหนกเรยนทราบ และรวมกนท าขอตกลงในการเรยนใหตรงกนระหวางครกบนกเรยน
3. ใหนกเรยนอานค าแนะน าและขนตอนการใชแบบฝกทกษะกอนลงมอท าแบบทดสอบกอนเรยน เรอง ระบบสมการเชงเสน เปนรายบคคล จากนนสงกระดาษค าตอบใหครเปนผตรวจและบนทกผลคะแนนเกบไว
4. ใหนกเรยนศกษาใบความรกอนลงมอท าแบบฝกทกษะแตละแบบฝกดวยความตงใจ หลงจากนนใหนกเรยนจบคกนภายในกลมตรวจค าตอบจากเฉลยแบบฝกทกษะในภาคผนวกอยางรอบคอบและซอสตยโดยครจะเปนผตรวจสอบอกครง
5. ในการจดกจกรรมการเรยนรเมอนกเรยนมปญหาในการท าแบบฝกทกษะ หรอไมเขาใจในเรอง ทเรยนครตองอธบายนกเรยนเพมเตมทนทจนกระทงนกเรยนเขาใจอยางถองแท
6. นกเรยนท าแบบทดสอบหลงเรยน เรอง ระบบสมการเชงเสน เปนรายบคคลและสงกระดาษค าตอบใหครตรวจ ครแจงผลการตรวจแบบทดสอบหลงเรยนใหนกเรยนทราบแลวน าไปหาคาเฉลยเปนคะแนนความส าเรจของกลม
ง
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
ค าแนะน าส าหรบนกเรยน
1.ใหนกเรยนท าแบบทดสอบกอนเรยน เรอง ระบบสมการเชงเสน เปนรายบคคลลงในกระดาษค าตอบโดยใชเวลา 20 นาท
2. ใหนกเรยนแตละคนศกษาใบความรอยางละเอยดทกครงกอนลงมอท าแบบฝกทกษะดวยความตงใจ หลงจากนนตรวจแตละแบบฝกทกษะจากเฉลยในภาคผนวกทละแบบฝกตามล าดบอยางรอบคอบและซอสตย แลวบนทกคะแนนลงในแบบบนทกคะแนน ถาผลคะแนนจากการท าแบบฝกทกษะผานเกณฑรอยละ 75 นกเรยนสามารถศกษาใบความร หรอท าแบบฝกทกษะตอไปได หากมสมาชกในกลมไดคะแนนต ากวาเกณฑ ใหสมาชกในกลมนนชวยเหลอและใหค าแนะน าแกเพอนแลวท าแบบฝกทกษะจนผานเกณฑรอยละ 75
3. ในการท าแบบฝกทกษะทกครง ขอใหนกเรยนท าดวยความตงใจ และมความซอสตยตอตนเอง ไมลอกเพอนหรอเปดดเฉลยกอน ควรท าใหเสรจในเวลาทก าหนด หากมขอสงสยในสวนทเปนเนอหา กอนลงมอท าแบบฝกทกษะในแตละชด นกเรยนสามารถขอค าปรกษาและซกถามจากครผสอนได
4. เมอศกษาใบความรและท าแบบฝกทกษะผานเกณฑรอยละ 75 ครบทกชดแลว ใหนกเรยน ท าแบบทดสอบหลงเรยน เรอง ระบบสมการเชงเสน เปนรายบคคลลงในกระดาษค าตอบโดยใชเวลา 20 นาท
จ
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
ล าดบขนตอนการใชแบบฝกทกษะของนกเรยน
ท าความเขาใจค าแนะน าการใช แบบฝกทกษะส าหรบนกเรยน
ท าแบบทดสอบกอนเรยน
ศกษาแบบฝกทกษะ เลมท 1 โดย - ศกษาใบความร
- ท าแบบฝกทกษะ
ท าแบบทดสอบหลงเรยน
ผานเกณฑ (รอยละ 75)
ศกษาแบบฝกทกษะวชาคณตศาสตร เลมท 2 เรอง ความหมาย
และชนดของเมทรกซ
ไมผานเกณฑ
ฉ
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
ผลการเรยนร
จดประสงคการเรยนร
ดานความร (K) นกเรยนสามารถหาค าตอบของระบบสมการเชงเสนได
ดานทกษะกระบวนการ (P) 1. นกเรยนมความสามารถในการใหเหตผล 2. นกเรยนมความสามารถในการเชอมโยง
ดานคณลกษณะอนพงประสงค (A) 1. นกเรยนมวนย 2. นกเรยนใฝเรยนร
วเคราะหและหาค าตอบของระบบสมการเชงเสนได
1
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 รหสวชา ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4 จ านวน 10 ขอ เวลา 20 นาท คะแนนเตม 10 คะแนน
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ค าชแจง
1. แบบทดสอบฉบบนเปนแบบปรนยชนดเลอกตอบ 4 ตวเลอก จ านวน 10 ขอ 2. ใหนกเรยนท าเครองหมายกากบาท () ทบชองอกษร ก ข ค หรอ ง ทถกตองเพยงขอเดยว ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 1. ขอใดตอไปนเปนสมการเชงเสน
ก. x12x4 ข. 20x2
ค. 0)2x)(2x( ง. 06x5 2. ค าตอบของสมการ 18x3x6 ตรงกบขอใด
ก. 6 ข. 3 ค. 3 ง. 6
3. ค าตอบของระบบสมการ 5yx และ 1yx2 ตรงกบขอใด ก. )1 ,4( ข. )3 ,2( ค. )1- ,6( ง. )9 ,4(
4. ก าหนดระบบสมการ 19yx และ 8yx แลว yx2 มคาตรงกบขอใด ก. 23.5 ข. 22.5 ค. 21.5 ง. 20.5
5. ค าตอบของระบบสมการ 5y2x3 และ 13y2x3 ตรงกบค าตอบของระบบสมการในขอใด ก. 2y2x2 และ 8y2x ข. 5yx และ 10yx3 ค. 5yx และ 1yx2 ง. 72yx และ 5yx
6. ก าหนดระบบสมการ 30y5x6 และ 6y2x3 แลว yx มคาตรงกบขอใด ก. 28 ข. 8 ค. 8 ง. 28
แบบทดสอบกอนเรยน เลมท 1 ระบบสมการเชงเสน
2
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
7. ก าหนดระบบสมการ 4zyx และ 0zyx , 2zyx
แลว xyz มคาตรงกบขอใด ก. 2 ข. 0 ค. 2 ง. 3
8. ขอใดกลาวถงค าตอบของระบบสมการ zyx และ 2zyx , 0yx2 ไดถกตอง ก. x < y < z ข. y < z < x ค. z < x < y ง. y < x < z
9. ก าหนดระบบสมการ 7zx2 และ 6zy , 5yx แลวขอใดตอไปนถกตอง ก. 7zyx ข. 2zyx ค. 3zyx2 ง. 3zyx
10. ก าหนดระบบสมการ 3z2yx และ 3zy2x , 2zyx2 แลว zyx มคาตรงกบขอใด
ก. 0 ข. 1 ค. 2 ง. 2
ท าแบบทดสอบกอนเรยนเสรจแลวเรามาเรมศกษาใบความรท 1
กนเลยคะ
3
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
ชอ ชน เลขท
ขอ ก ข ค ง
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
กระดาษค าตอบแบบทดสอบกอนเรยน เลมท 1 ระบบสมการเชงเสน
คะแนนเตม 10 คะแนน
ท าได คะแนน
4
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
ใบความรท 1
ระบบสมการเชงเสนสองตวแปร
สมการเชงเสนตวแปรเดยว รปทวไปของสมการเชงเสนตวแปรเดยวทม x เปนตวแปร คอ 0bax เมอ a, b เปนคาคงตว และ a ≠ 0
สมการเชงเสนสองตวแปร ให a, b และ c เปนจ านวนจรงใด ๆ ท a และ b ไมเปนศนย x และ y เปนตวแปร
ทมเลขชก าลงเทากบหนง เรยก ax + by = c วา “สมการเชงเสนสองตวแปร”
ตวอยาง
ตวอยาง
5
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
ระบบสมการเชงเสนสองตวแปร ให a, b, c, d, e, f เปนจ านวนจรงใด ๆ ท a, b ไมเปนศนยพรอมกน และ c, d ไมเปน
ศนยพรอมกน
f dy cx e by ax
เรยก
วา ระบบสมการเชงเสนสองตวแปร
ค าตอบของระบบสมการเชงเสนน คอ คาของ x และ y ทท าใหสมการทงคเปนจรง
จงแกระบบสมการ 7y2x3y3x
วธท า 3y3x ---------- (1)
7y2x ---------- (2)
)2()1( จะได 10y5
510y
2y
แทน 2y ใน (1)
จะได 3)2(3x
36x
63x
3x
ดงนน ค าตอบของระบบสมการ คอ )2,3(
ตวอยางท 1
อยาลม
ตรวจค าตอบนะคะ
ระบบสมการเชงเสนสองตวแปรอาจมค าตอบเดยว หรอมหลายค าตอบ หรอไมมค าตอบเลยกได
6
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
จงแกระบบสมการ 2yx28y4x
วธท า 8y4x ---------- (1)
2yx2 ---------- (2)
)1(2 จะได 16y8x2 ---------- (3)
)3()2( จะได 18y9
918y
2y
แทน 2y ใน (1)
จะได 8)2(4x
88x
0x ดงนน ค าตอบของระบบสมการ คอ (0, 2)
ตวอยางท 2
จงแกระบบสมการ x22)yx(3 y2yx
วธท า จาก y2yx
จะได 0y2yx
0yx ---------- (1)
และ x22)yx(3
ตวอยางท 3
7
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
จะได 2x2y3x3
2y3x5 ---------- (2)
)1(5 จะได 0y5x5 ---------- (3)
)3()2( จะได 2y2
22y
1y
แทน 1y ใน (1)
จะได 0)1(x
01x
1x ดงนน ค าตอบของระบบสมการ คอ (–1, –1)
เรามาเรมท าแบบฝกทกษะท 1 กนเลย
8
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
1. 3y3x312y3x2
วธท า 12y3x2 -----(1)
3y3x3 -----(2)
)2()1( จะได
x แทน ใน (1)
จะได
y
ดงนน ค าตอบของระบบสมการน คอ
แบบฝกทกษะท 1
เรอง การแกระบบสมการเชงเสนสองตวแปร
ค าชแจง : ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางใหถกตอง
9
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
2. 12y3x22y)3x(2
วธท า 2y)3x(2 -----(1)
12y3x2 -----(2)
จาก (1) จะได 2y6x2
26yx2
4yx2 -----(3)
( ) – ( ) จะได 8y2
y
แทน ใน (2)
จะได
x ดงนน ค าตอบของระบบสมการน คอ
10
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
10z3y2x3
)zy(6)yx(4
3tz2yx
y4x5
4321 xx4x3x2
ใบความรท 2
ระบบสมการเชงเสน n ตวแปร เมอ n > 2
สมการเชงเสน n ตวแปร
บทนยาม ให a1, a2, a3, …,an และ b เปนจ านวนจรงใด ๆ ท a1, a2, a3, …,an ไมเปนศนย พรอมกน เรยกสมการ a1x1 + a2x2 + a3x3 + … + anxn = b วา สมการเชงเสน n ตวแปร โดยท x1, x2, x3, …, xn เปนตวแปร
ตวอยาง
ระบบสมการเชงเสน n ตวแปร บทนยาม ระบบสมการเชงเสนทม x1, x2, x3, …, xn เปนตวแปร หมายถง ชดของสมการ
เชงเสนทประกอบดวยสมการเชงเสนทม x1, x2, x3, …, xn เปนตวแปร จ านวน m สมการ โดยท m ≥ 2
ค าตอบของระบบสมการน คอ จ านวน n จ านวน ทน าไปแทนตวแปร x1, x2, x3, …, xn ในทก ๆ สมการ ตามล าดบ แลวไดสมการทเปนจรงทงหมด
11
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
จากบทนยาม จะเหนไดว า ระบบสมการเช ง เสนทม n3 21 x..., ,x, x,x เปนตวแปร
และประกอบดวยสมการเชงเสน m สมการ (m ≥ 2) จะมรปแบบเปน
1nn1212111 bxa ... xaxa 2nn2222121 bxa ... xaxa
mnmn22m11m bxa ... xaxa เม อ inin22i11i bxa ... xaxa เปนสมการเช ง เสน ทก }m,...,3,2,1{i และ
in2i1i a, ... ,a ,a เปนจ านวนจรงใด ๆ ท in2i1i a, ... ,a ,a ไมเปนศนยพรอมกน
ในระบบสมการเชงเสนทม n ตวแปร มกนยมแทนตวแปร ดงน
n ตวแปร ตวอยาง
2 x, y x + 5y = 3
3 x, y, z x - y + z = 1 4 x, y, z, t x + 2y +3z -4t = 10
5 x1, x2, x3,…,xn 2x1 – 3x2 + 6x3 – 5x4 + 2x5 = 100
นาร
เราอาจให x1, x2, x3, …, xn แทนตวแปร กรณ n คอ 2, 3 หรอ 4 กไดนะคะ และส าหรบค าตอบของระบบสมการนยมเขยนในรปของ n สงอนดบ (Ordered n - tuple) เชน (x1, x2, x3,…,xn)
12
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
จงแกระบบสมการ 5zyx
1zyx3zyx
วธท า 3zyx ---------- (1)
1zyx ---------- (2)
5zyx ---------- (3)
(1) + (2) จะได 2x2
22x
1x
(2) - (3) จะได 6z2
26z
3z แทน 1x และ 3z ใน (1)
จะได 33y1
1y
ดงนน ค าตอบของระบบสมการ คอ )3 ,1 ,1(
แทน x = 1, y= –1 และ z = 3 แทนลงใน (1)
จะได 33)1(1
33 สมการเปนจรง
หรอ แทนลงใน (2)
จะได 13)1(1
11 สมการเปนจรง
หรอ แทนลงใน (3)
จะได 53)1(1
55 สมการเปนจรง
ระบบสมการน มค าตอบเดยวนะคะ
ตวอยางท 1
ลองตรวจค าตอบดนะคะ
13
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
จงแกระบบสมการ 6zyx32z3yx
2zyx
วธท า 2zyx ---------- (1)
2z3yx ---------- (2)
6zyx3 ---------- (3)
)2()1( จะได 4z2x2 ---------- (4)
)3()1( จะได 8y2x4 ---------- (5)
จาก (4) จะได x24z2
2x24z
2)x2(2z
x2z จาก (5) จะได x48y2
2x48y
2)x24(2y
x24y
แทน 4x2y และ 2xz ใน (1)
จะได 2)2x()4x2(x
22 ดงนน ค าตอบของระบบสมการ คอ )2x ,4x2 ,x( เมอ Rx
ตวอยางท 2
ระบบสมการน มหลายค าตอบนะคะ
หรอ 2xz
หรอ 4x2y
14
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
ตวอยาง x y = 2x – 4 z = x – 2 ค าตอบของระบบสมการ
1 –1 y = 2(–1) – 4 = –6 z = (–1) – 2 = –3 (–1, –6, –3)
2 0 y = 2(0) – 4 = –4 z = 0 – 2 = –2 (0, –4, –2)
3 3 y = 2(3) – 4 = 2 z = 3 – 2 = 1 (3, 2, 1)
ลองตรวจค าตอบดนะคะ
ตวอยางค าตอบของระบบสมการน
ค าตอบของระบบสมการ (–1, –6, –3)
แทนลงใน (1) จะได 2)3()6()1(
22 สมการเปนจรง
หรอ แทนลงใน (2) จะได 2)3(3)6()1(
22 สมการเปนจรง
หรอ แทนลงใน (3) จะได 6)3()6()1(3
66 สมการเปนจรง
15
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
ทกค าตอบนนท าใหสมการเปนจรงทงหมด แสดงวาระบบสมการนมหลายค าตอบคะ
ค าตอบของระบบสมการ (0, –4, –2)
แทนลงใน (1) จะได 2)2()4(0
22 สมการเปนจรง
หรอ แทนลงใน (2) จะได 2)2(3)4(0
22 สมการเปนจรง
หรอ แทนลงใน (3) จะได 6)2()4()0(3
66 สมการเปนจรง
ค าตอบของระบบสมการ (3, 2, 1)
แทนลงใน (1) จะได 2123
22 สมการเปนจรง
หรอ แทนลงใน (2) จะได 2)1(323
22 สมการเปนจรง
หรอ แทนลงใน (3) จะได 612)3(3
66 สมการเปนจรง
16
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
จงแกระบบสมการ 4z3y3x22z2y2x 1zyx
วธท า 1zyx ---------- (1)
2z2y2x ---------- (2)
4z3y3x2 ---------- (3)
(1) + (2) จะได 3z3y3x2 ---------- (4)
ถา (x, y, z) เปนค าตอบของระบบสมการทก าหนดแลว
(x, y, z) ตองสอดคลองกบสมการ (1), (2), (3)
และถา (x, y, z) สอดคลองกบสมการ (1), (2) แลว
(x, y, z) ตองสอดคลองกบสมการ (4)
จาก (3) และ (4) จะไดวา ไมม x, y, z ทท าใหสมการ (3) และ (4)
เปนจรงพรอมกน
ดงนน ระบบสมการนไมมค าตอบ
ระบบสมการน ไมมค าตอบนะคะ
ตวอยางท 3
17
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
ค าชแจง : ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางใหถกตอง
1. 3 zyx311z2y3x
9 z3y2x
วธท า 9z3y2x -----(1)
11z2y3x -----(2)
3zyx3 -----(3)
)2()1( จะได -----(4)
( )จะได 6z2y2x6 -----(5)
)5()1( จะได -----(6)
จาก (4) จะได
y -----(7)
จาก (6) จะได
x -----(8)
แทน x และ y ใน (1)
จะได
แบบฝกทกษะท 2
เรอง การแกระบบสมการเชงเสน n ตวแปรเมอ n > 2
18
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
น า 7 คณตลอด
จะได
z แทน z ใน (7)
จะได
y
แทน z ใน (8)
จะได
x ดงนน ค าตอบของระบบสมการน คอ
19
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
2.
16 t2z5yx4 t2z5 yx 1 t2z3 x 1 t y3x
วธท า 1 t y3x -----(1)
1 t2 z3x -----(2)
4t2 5zyx -----(3)
16t2 5zyx -----(4)
)4()3( จะได
t แทน t ใน (1)
จะได
y -----(5)
แทน t ใน (2)
จะได
z -----(6)
แทน y , z และ t ใน (3)
จะได
น า 3 คณตลอด
จะได
x
20
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
แทน 1x ใน (5)
จะได
y
แทน 1x ใน (6)
จะได
z ดงนน ค าตอบของระบบสมการน คอ
21
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 รหสวชา ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4 จ านวน 10 ขอ เวลา 20 นาท คะแนนเตม 10 คะแนน ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ค าชแจง
1. แบบทดสอบฉบบนเปนแบบปรนยชนดเลอกตอบ 4 ตวเลอก จ านวน 10 ขอ 2. ใหนกเรยนท าเครองหมายกากบาท () ทบชองอกษร ก ข ค หรอ ง ทถกตองเพยงขอเดยว
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. ค าตอบของระบบสมการ 5yx และ 1yx2 ตรงกบขอใด
ก. )1 ,4( ข. )3 ,2( ค. )1 ,6( ง. )9 ,4(
2. ขอใดตอไปนเปนสมการเชงเสน
ก. x12x4 ข. 20x2
ค. 0)2x)(2x( ง. 06x5 3. ค าตอบของสมการ 18x3x6 ตรงกบขอใด
ก. 6 ข. 3 ค. 3 ง. 6
4. ก าหนดระบบสมการ 30y5x6 และ 6y2x3 แลว yx มคาตรงกบขอใด ก. 28 ข. 8 ค. 8 ง. 28
5. ก าหนดระบบสมการ 19yx และ 8yx แลว yx2 มคาตรงกบขอใด ก. 23.5 ข. 22.5 ค. 21.5 ง. 20.5
6. ก าหนดระบบสมการ 4zyx และ 0zyx , 2zyx แลว xyz มคาตรงกบขอใด ก. 2 ข. 0 ค. 2 ง. 3
แบบทดสอบหลงเรยน เลมท 1 ระบบสมการเชงเสน
22
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
7. ค าตอบของระบบสมการ 5y2x3 และ 13y2x3 ตรงกบค าตอบของระบบสมการ
ในขอใด ก. 2y2x2 และ 8y2x ข. 5yx และ 10yx3 ค. 5yx และ 1yx2 ง. 72yx และ 5yx
8. ก าหนดระบบสมการ 3z2yx และ 3zy2x , 2zyx2 แลว zyx มคาตรงกบขอใด ก. 0 ข. 1 ค. 2 ง. 2
9. ขอใดกลาวถงค าตอบของระบบสมการ zyx และ 2zyx , 0yx2 ไดถกตอง ก. x < y < z ข. y < z < x ค. z < x < y ง. y < x < z
10. ก าหนดระบบสมการ 7zx2 และ 6zy , 5yx แลวขอใดตอไปนถกตอง ก. 7zyx ข. 2zyx ค. 3zyx2 ง. 3zyx
23
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
ชอ ชน เลขท
ขอ ก ข ค ง
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
คะแนนเตม 10 คะแนน
ท าได คะแนน
กระดาษค าตอบแบบทดสอบหลงเรยน เลมท 1 ระบบสมการเชงเสน
24
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
แบบบนทกคะแนน เลมท 1 ระบบสมการ
รายการ คะแนนเตม คะแนนทได ผลการพฒนา
แบบทดสอบกอนเรยน 10
แบบทดสอบหลงเรยน 10
รายการ คะแนนเตม คะแนนทได ผลการประเมน
ผานเกณฑ ไมผานเกณฑ
แบบฝกทกษะท 1 10
แบบฝกทกษะท 2 20
มการพฒนา หมายถง คะแนนสอบหลงเรยนมากกวาคะแนนกอนเรยน ในแตละแบบฝกทกษะนกเรยนจะตองท าแบบฝกทกษะถกตองไมนอยกวารอยละ 75 แบบฝกทกษะท 1 นกเรยนจะตองท าแบบฝกทกษะถกไมนอยกวา 7.5 คะแนน
แบบฝกทกษะท 2 นกเรยนจะตองท าแบบฝกทกษะถกไมนอยกวา 15 คะแนน
เกณฑการประเมน
25
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
ภาคผนวก
26
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
ขอ ค าตอบ
1 ง
2 ก
3 ข
4 ค
5 ง
6 ก
7 ก
8 ง
9 ข
10 ก
เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน เลมท 1 เรอง ระบบสมการเชงเสน
เกณฑการใหคะแนนแบบทดสอบกอนเรยน (ขอละ 1 คะแนน จ านวน 10 ขอ รวม 10 คะแนน)
ตอบถก 1 ขอ ได 1 คะแนน ตอบผด 1 ขอ หรอไมตอบ ได 0 คะแนน
27
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
1. 3y3x312y3x2
วธท า 12y3x2 -----(1)
3y3x3 -----(2)
)2()1( จะได 15x5 1 คะแนน
315x
3x 1 คะแนน
แทน 3x ใน (1)
จะได 12y3)3(2 1 คะแนน
12y36
612y3
6y3
36y
2y 1 คะแนน
ดงนน ค าตอบของระบบสมการน คอ (3, 2) 1 คะแนน
ค าชแจง : ใหนกเรยนแกระบบสมการเชงเสนสองตวแปร
ตอไปน
เฉลยแบบฝกทกษะท 1
เรอง การแกระบบสมการเชงเสนสองตวแปร
28
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
2. 12y3x22y)3x(2
วธท า 2y)3x(2 -----(1)
12y3x2 -----(2)
จาก (1) จะได 2y6x2
26yx2
4yx2 -----(3)
)3()2( จะได 8y2 1 คะแนน
28y
4y 1 คะแนน
แทน 4y ใน (2)
จะได 12)4(3x2 1 คะแนน
1212x2
1212x2
0x2
20x
0x 1 คะแนน
ดงนน ค าตอบของระบบสมการน คอ (0, –4) 1 คะแนน
เกณฑการใหคะแนนแบบฝกทกษะท 1 (ขอละ 5 คะแนน จ านวน 2 ขอ รวม 10 คะแนน)
29
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
ค าชแจง : ใหนกเรยนแกระบบสมการเชงเสน ตอไปน
1. 3 zyx311z2y3x
9 z3y2x
วธท า 9z3y2x -----(1)
11z2y3x -----(2)
3zyx3 -----(3)
)2()1( จะได 20z5y5 -----(4) 1 คะแนน
)3(2 จะได 6z2y2x6 -----(5) 1 คะแนน
)5()1( จะได 3z5x7 -----(6) 1 คะแนน
จาก (4) จะได 20)zy(5
520zy
4zy
4zy -----(7) 1 คะแนน
จาก (6) จะได 3z5x7
73z5x
-----(8) 1 คะแนน
แทน 73z5x
และ 4zy ใน (1)
จะได 9z3)4z(273z5
1 คะแนน
เฉลยแบบฝกทกษะท 2
เรอง การแกระบบสมการเชงเสน n ตวแปรเมอ n > 2
30
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
น า 7 คณตลอด
จะได )9(7)z3(7)4z)(2(73z5
63z2156z143z5
63z259
25963z
24z
2z 1 คะแนน
แทน 2z ใน (7)
จะได 42y
2y 1 คะแนน
แทน 2z ใน (8)
จะได 73)2(5x
1x 1 คะแนน
ดงนน ค าตอบของระบบสมการน คอ (–1, 2, –2) 1 คะแนน
31
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
2.
16 t2z5yx4 t2z5 yx 1 t2z3 x 1 t y3x
วธท า 1 t y3x -----(1)
1 t2 z3x -----(2)
4t2 5zyx -----(3)
16t2 5zyx -----(4)
)4()3( จะได 12t4
412t
3t 1 คะแนน
แทน 3t ใน (1) 1 คะแนน
จะได 13 y3x
34xy
-----(5) 1 คะแนน
แทน 3t ใน (2) 1 คะแนน
จะได 1)3(2 z3 x
37xz
-----(6) 1 คะแนน
แทน 34xy
, 37xz
และ 3t ใน (3)
จะได 4)3(2 )37-x5()3
4x(x
1 คะแนน
น า 3 คณตลอด
จะได 1218 7)-5(x4xx3
1221x9
92112x
99x
1x 1 คะแนน
32
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
แทน 1x ใน (5)
จะได 341y
1y 1 คะแนน
แทน 1x ใน (6)
จะได 371z
36z
2z 1 คะแนน
ดงนน ค าตอบของระบบสมการน คอ )3 ,2 ,1 ,1( 1 คะแนน
เกณฑการใหคะแนนแบบฝกทกษะท 2 (ขอละ 10 คะแนน จ านวน 2 ขอ รวม 20 คะแนน)
33
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
ขอ ค าตอบ
1 ข
2 ง
3 ก
4 ก
5 ค
6 ก
7 ง
8 ก
9 ง
10 ข
เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน เลมท 1 ระบบสมการเชงเสน
เกณฑการใหคะแนนแบบทดสอบหลงเรยน (ขอละ 1 คะแนน จ านวน 10 ขอ รวม 10 คะแนน)
ตอบถก 1 ขอ ได 1 คะแนน ตอบผด 1 ขอ หรอไมตอบ ได 0 คะแนน
34
แบบฝกทกษะคณตศาสตร ระบบสมการเชงเสน
เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ
วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4
บรรณานกรม
กวยา เนาวประทป. 2556. เทคนคการเรยนคณตศาสตร : เมตรกซ. กรงเทพมหานคร:
ส านกพมพฟสกสเซนเตอร
กระทรวงศกษาธการ. 2552. หลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551.
กรงเทพมหานคร: โรงพมพชมนมสหกรณการเกษตรแหงประเทศไทย.
--------. 2553. คมอครรายวชาเพมเตม คณตศาสตร เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 4-6 .
กรงเทพมหานคร: โรงพมพ สกสค.,ลาดพราว.
ธนวฒน(สนต) สนทราพรพล. 2553. แบบฝกหดและเทคนคคดโจทยเรวคณตศาสตรเพมเตม
ม.4 เลม 2 .กรงเทพมหานคร: ส านกพมพ SCIENCE CENTER
--------. 2556. หนงสอเรยนรายวชาเพมเตม คณตศาสตร เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 4-6 .
กรงเทพมหานคร: โรงพมพ สกสค.,ลาดพราว.
--------. 2557. หนงสอเรยนรายวชาเพมเตม คณตศาสตร เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 3 .
กรงเทพมหานคร: โรงพมพ สกสค.,ลาดพราว.