Rajfa Musemić: Fizika II

DIFRAKCIJA SVJETLOSTI

UVOD

• Difrakcija – ogib - odstupanje od pravolinijskog prostiranja svjetlosnih valova na granicama neprovidnih prepreka(zaklona), ili na granicama otvora naneprovidnim zaklonima čije su dimenzijereda veličine valne dužine svjetlosti.

• Difrakcija svjetlosti je tipična valna pojavakarakteristična ne samo za valove svjetlosti, već se opaža na zvučnimvalovima kao i valovima na vodi.

• Difrakcija je ustvari, skretanje valaiza prepreke /savijanje/ i njegovoodstupanje od pravolinijskogprostiranja.

• Intenzitet difrakcije zavisi od dimenzijaprepreke i valne dužine. Kod zvučnihvalova, difrakcija je intenzivna i lakouočljiva.

• Pojava difrakcije bitno se razlikuje odpojave prelamanja svjetlosti. Priprelamanju, promjena pravca kretanjaupadnog vala dešava se na granici dvijefizički raznorodne sredine različitihoptičkih gustina.

• Zvuk čujemo iza stubova ili iza ugla zgrade, a zvučni valovi obilaze prepreke jer je valna dužina zvučnih valova reda veličine nekoliko metara, odnosno reda veličine prepreka.

• Razlikuju se dva slučaja difrakcije:

- Fresnelova i

- Fraunhofferova difrakcija.

• Fresnelova difrakcija - kada se svjetlosni izvor i zaklon nalaze na konačnom rastojanju od prepreke. Zrake koje stižu do zaklona nisu paralelne i za promatranje slike difrakcije nisu potrebni optički instrumenti.

• Fraunhofferova difrakcija - difrakcijaparalelnih zraka i nastaje kada su svjetlosni izvor i zaklon beskonačno udaljeni od prepreke na kojoj nastaje difrakcija. Za promatranje Fraunhofferovedifrakcije potreban je optički sistem.

Huygens-Fresnelov princip

“Svaka tačka do koje dolazi valno kretanje postaje izvor novih sekundarnih valova, koji interferiraju. Računajući amplitude i faze ovih sekundarnih valova može se naći amplituda rezultujućeg vala u bilo kojoj tački prostora”

• Neka S predstavlja jednu od valnih površina svjetlosti koja se prostire od nekog izvora. Amplituda svjetlosnih oscilacija u tački P, koja leži ispred te površine može se odrediti prema Fresnelu na osnovu slijedećeg razmatranja.

Prema Huygens-Fresnelovovomprincipu

Svaki element površine predstavlja izvor sekundarnih sfernih valova, čija je amplituda proporcionalna veličini elementa dS. Amlituda sfernih valova opada sa rastojanjem r od izvora, prema zakonu 1/r.

• U tačku P dolaze valovi od svakog elementa koji se mogu opisati jednačinom:

dΨ=K(φ)A0/r cos (ωt – kr + α0)dS

- (ωt+α0) faza na mjestu položaja valne površine S- k – valni broj, Ao – amplituda,

K(φ) – koeficijent proporcionalnosti

Ψ = ∫s K(φ)Ao/r cos(ωt – kr + α0)dS

Ovo je analitički izraz za Huygens – Fresnelov princip

• Ako su izvor svjetlosti i posmatrana tačka P postavljeni od prepreke tako da zrake koje padaju na prepreku i zrake koje idu u tačku P obrazuju praktično paralelne snopove, onda je to Fraunhoferova difrakcija ili difrakcija paralelnih zraka.

• U obrnutom slučaju radi se o Fresnelovoj difrakciji.

• Za promatranje Fraunhoferove difrakcije potrebno je iza izvora svjetlosti S i ispred promatrane tačke P postaviti neka sočiva tako da se tačke S i P nađu u žižnoj ravni odgovarajućeg sočiva.

Fresnelova difrakcija

• Prema Huygens-Fresnelovom principu zamijeni se izvor S zamišljenim izvorima koji su postavljeni posfernoj površini koja predstavlja valnu površinu.

• Proračun interferencije sekundarnih valova, nastalih odtih izvora, provest ćemo metodom koju je razradioFresnel.

• On je uočenu valnu površinu podijelio na zamišljeneprstenaste zone koje su postavljene tako da se udaljenosti od krajeva svake zone do tačke P međusobno razlikuju za polovinu valne dužine svjetlostiu sredini u kojoj se širi.

• Udaljenost m-te zone (m-tog vanjskog ruba) od tačke P je

• bm = b + m λ/2

Fresnelove zone - tražimo amplitudu oscilacija u tački P

• Oscilacije koje dolaze u tačku P, sa analognih tačaka dvije susjedne zone, nalaze se u protufazi, jer se razlikuju za λ/2. Zbog toga će se rezultujuće oscilacije razlikovati za π.

Za procjenu amplitude oscilovanja treba naći površinu zone. Površina m - te zone predstavi se u slijedećem obliku:

ΔSm = Sm – Sm – 1

gdje su Sm i Sm – 1 – površine sfernih segmenata susjednih zona m i (m – 1),

Fresnelove zone- tražimo amplitudu u tački P

Prema slici vrijedi:

Sređivanjem i uzimanjem da je valna dužina mnogo manja od rastojanja dobiva se da je

)(2 ba

bh

Površine segmenata susjednih zona

Površine segmenata susjednih zona

Praktično, sve će zone biti iste površine. Amplituda rezultirajuće svjetlosti s jedne zone je funkcija njene površine, što znači da je zasve zone jednaka. Međutim, u tački P amplitude svjetlosti sa svihzona neće biti iste, zato što:

(1) se zone nalaze na različitim udaljenostima od tačke P, a intenzitetsvjetlosti opada s kvadratom rastojanja, i

(2) svjetlosni zraci s raznih zona dolaze pod različitim uglovima u tačku P; što je upadni ugao veći to je intenzitet manji.

• Površina sfernog segmenta (prstena) je,S = 2 π Rh

R – poluprečnik sfere,h – visina segmenta (debljina prstena)

• U našem slučaju imamo da je površinasfernog segmenta jednaka:

Sm = 2πahm = π ab/(a + b) . mλ,a povšina Fresnelove m-te zone je:

ΔSm = πabλ/(a + b)

• Dobiveni izraz ne zavisi od m. Znači da su za ne suviše velike m površine Fresnelovih zona približno jednake.

• Amplituda oscilacija koje pobuđuje zona m u tački P monotono opada sa porastom broja m.

• Amplitude oscilacija koje pobuđuju Fresnelove zone u tački P čine monotono opadajući niz:

A1 > A2 > A3 > ... >Am-1 > Am > Am+1 > ...

• Radi monotonog opadanja, Am se može pisati:

Am = (Am-1 + Am+1)/2 i

A=A1/2

• Djelovanje cijele valne površine jednako je djelovanju polovine centralne zone.

Fresnelova difrakcija na kružnomotvoru

• Postavimo na put sfernom valu neprovidnu pregradu na kojoj je napravljen kružni otvor poluprečnika r0.

• Na ravnom zaklonu pojaviće se difrakciona slika sa svijetlim i tamnim poljima koja će se naizmjenično smjenjivati, zavisno od toga kojem broju Fresnelovih zona odgovara otvor na pukotini.

Fresnelova difrakcija na kružnomotvoru

• Ako je otvor veličine prve Fresnelove zone na zaklonu se dobija svijetla mrlja. U tom slučaju naizmjenični svijetli i tamni prstenovi neće se pojaviti.

• Za male vrijednosti r0 u odnosu na a i b, imamo:

____________

r0 = √(ab/(a+b)) mλ

• U saglasnosti sa r0 amplituda osc. u tački P biće

A = A1 – A2 + A3 – A4 + ...±Am.• U ovom izrazu amplituda Am uzima se sa znakom

plus ako je m neparno i sa znakom minus ako je mparno.

A = A1/2+(A1/2 –A2+A3/2)+...+

(Am-2/2 – Am-1 + Am/2)+Am/2 za (m=2k+1)

+(Am-3/3 – Am-2 + Am-1/2) + Am-1/2 – Am

za (m=2k)

Izrazi u malim zagradama mogu se izjednačiti sa nulom. (isto kao što je pokazano kod Fresnelovih zona)

Amplitude susjednih zona su približno iste veličine, tj. vrijedi

Am-1 ≈ Am

Kao rezultat dobije se da je:

A = A1/2 ± Am/2gdje je

- znak plus za neparno m,

- znak minus za parno m.

Fraunhofferova difrakcija

• Snop paralelnih zraka monokromatske svjetlosti pada na neprovidnu pločicu na kojoj se nalazi uska pukotina.

• Ako je širina pukotine reda veličine valne dužine svjetlosti, na zaklonu koji je udaljen dovoljno daleko pojaviće se difrakciona slika

Difrakcija na jednoj pukotini širine a

Difrakcija na jednoj pukotini

Fraunhofferova difrakcija

Kada svjetlost prolazi kroz uski prorez (Single-Slit) može se razdijeliti u niz tankih snopova; svaki od njih jednako doprinosi ukupnom intenzitetu na ekranu, ali se faze razlikuju za putnu razliku Δβ

• Posmatrajmo tri karakteristična zraka, koji prema Huygensovom principu skreću za ugao θ (slika sa prethodnog slajda). Ako je putna razlika između zraka (1) i (2) jednaka polovini valne dužine, valovi koji stižu u tačku B su u protufazama, pa dolazi do destruktivne interferencije.

• Svakoj zraci koja pada unutar gornje polovine pukotine odgovara jedna zraka u donjoj polovini sa kojom je u protufazi.

• Ukupni rezultat slaganja u tački B je minimum intenziteta svjetlosti pod uslovom da je:

d/2 sinθ = λ/2d – širina pukotine ili proreza.

Minimum intenziteta nalazi se također u simetričnoj tački C. Za x<l, sinθ ≈ x/l pa je širina centralne svijetle pruge jednaka:

CB = 2l λ/d

Ovo razmatranje daje samo položaj minimuma intenziteta svjetlosti u difraktovanoj slici, ali ništa ne govori o tome kako se mijenja intenzitet svjetlosti od tačke do tačke, tj. ništa ne znamo o veličini amplitude rezultujućeg svjetlosnog vala.

• Da bismo mogli izračunati amplitudu valova u bilo kojoj tački na zaklonu, izdijelimo valnu frontu koja prolazi

kroz pukotinu na infinitezimalne pruge iste širine dx.

Od svake pruge šire se sekundarni valovi. Oscilacije u tački P nalaze se primjenom principa superpozicije, uzimajući u obzir sve valove koji stižu od pukotine.

Fraunhoferova difrakcija• Sekundarni val koji nastaje na visini x, prelazi veće

rastojanje od sekundarnog vala koji nastaje u sredini pukotine, za iznos xsinθ.

dxkxtAd )sincos(

td

d

Ad

dxkxtAd

d

cossin

sinsin

)sincos(2/

2/

Fraunhoferova difrakcija

• Uvedemo oznaku

• Pa je Ψ = Ad (sinz/z) cos(wt)• Pošto je intenzitet svjetlosti proporcionalan

kvadratu amplitude, to je intenzitet osvjetljenosti u tački P jednak:

I = I0(sinz/z)2

sind

z

I=I0 (sinz/z)2, z = πdsinθ/λ

• Intenzitet svjetlosti je proporcionalan kvadratu amplitude

Difrakciona slika u ovisnosti o širini pukotine

Ako ravni svjetlosni val prolazi kroz kružni otvor malog promjera r, to će se na

zaklonu pojaviti difrakciona slika predstavljena u obliku koncentričnih

svijetlih i tamnih prstenova.

sinθ = 1,22λ/r.

Ovo je Rayleighov kriterij za rezoluciju slike

Difrakcija na dvije pukotine (Double slit) - poređenje s interferencijom

Difrakciona rešetka

• Difrakciona rešetka je skup velikog broja jednakih pukotina, koje se nalaze na međusobno istom rastojanju.

• Rastojanje d između sredina susjednih pukotina naziva se konstanta ili period rešetke.

• konstanta rešetke jednaka je širini pukotine i razmaku između dvije susjedne pukotine, d = a+b.

Difrakcija na optičkoj rešetki

Difrakciona rešetka• Konstanta rešetke d = a+b

• Ako na difrakcionu (optičku) rešetku pada ravni monokromatski val, tada svaka pukotina u rešetki proizvodi difraktovani snop, u kojem je raspodjela intenziteta funkcija širine pukotine.

• Ti difraktovani snopovi interferiraju, dajući konačnu sliku.

• Putna razlika dva snopa koji potiču iz dvije susjedne pukotine iznosi:

Δ = d sinθpa je njihova fazna razlika:

δ = 2π/λ Δ = 2π/λ d sinθ

Za snopove za koje je δ =±m2π, tj. za koje je:

d sinθ = ±mλ (m = 0, 1, 2,...)

valovi iz pojedinih proreza sepojačavaju.

• Amplituda rezultujućeg vala u promatranoj tački zaklona je:

Amax = N A1,

gdje je A1 amplituda vala koji dolazi iz jedne pukotine u pravcu pod udlom θ

• Intenzitet glavnih maksimuma raste s povećanjem broja prolaza i to proporcionalno s N2. Ovaj rezultat dobije se kvadriranjem relacije Amax = NA1 i iznosi:

Imax = N2 I1.

• Znači, s povećanjem broja N, glavni maksimumi postaju sve sjajniji i sve uži, dok su sekundarni maksimumi sve slabiji.

• Difrakciona (optička) rešetka se mnogo primjenjuje u praksi.

• U spektroskopiji, difrakciona rešetka može zamijeniti prizmu kao uređaj za razlaganje svjetlosti.

• Ako se rešetka obasja bijelom svjetlošću, dobiva se difrakciona slika u obliku niza spektara simetrično raspoređenih oko bijelog centralnog lika.

• Komponente bijele svjetlosti sa većim valnim dužinama, skreću pod većim uglovima θ.

• Skretanje crvene svjetlosti je najveće, a ljubičaste najmanje u odnosu na prizmu gdje je obrnuto.

• Preciznost optičke rešetke zavisi od konstante rešetke. Ta konstanta treba da bude reda veličine valne dužine. Tako da rešetke koje se koriste za vidljivu svjetlost sadrže od 4000 do 12000 zareza po jednom centimetru.

• Materijal od kojeg se prave optičke rešetke je staklo ili kvarcne pločice, po čijoj se površini specijalnim dijamantskim noževima zarezuju paralene pruge. Na mjestima gdje su napravljeni zarezi, ako je površina hrapava, svjetlost ne prolazi.

• Postoje i refleksione rešetke. Ne razlikuju se mnogo od prozirnih rešetki, a dobivaju se urezivanjem dijamantskim nožem.

- Svjetlost svijeće propuštena kroz rešetku

CD-primjer refleksione rešetke• Compac disc (CD) djeluje

kao difrakciona rešetka, jer razlaže bijelu svjetlost na boje.

• Separaciji na nominalnom disku CD od 1.6 μm, odgovara oko 625 zareza po millimetru.

• To je red veličine konstante uobičajenih laboratorijskih difrakcionih rešetki.

• Za crvenu svjetlost valne dužine 600 nm, ona bi mogla dati difrakcioni maksimum prvog reda kod ugla od 22° .

Difrakcija x – zraka na kristalima

• Kada X-zrake prolaze kroz tijela, tada dolazi do rasipanja zračenja zavisno o kristalnoj strukturi.

• Ako usmjerimo koherentan snop X-zraka na tijelo, može nastupiti interferencija među odbijenim zrakama, pod uvjetom da su atomi u tijelu pravino raspoređeni, kao što je to slučaj kod kristala.

• Atomi u kristalima su poredani na pravilan način, tako da kristal može služiti kao trodimenzionalna difrakciona rešetka za elektromagnetno zračenje valne dužine reda veličine međuatomskog razmaka

• tj. razmaka veličine 10-10m.

• Ako X-zrake, ove valne dužine, propustimo kroz tanku pločicu nekog kristala, na zaklonu postavljenom iza pločice, dobićemo difrakcionu sliku.

• Ovaj experiment je prvi put izvršen 1913. Potvrdio je valnu prirodu X-zraka. Od tada difrakcija X-zraka predstavlja jedno od najajačih oruđa za istraživanje kristalne strukture raznih materijala.

• Da bismo mogli objasniti difrakciju X-zraka na kristalima, zamislimo da je kristal uređen na taj način da predstavlja skup paralelnih ravni koje se nalaze na jednakim udaljenostima d.

Difrakcija x – zraka na kristalima

• Kristalne ravni prolaze kroz veliki broj atoma koji predstavljaju prepreke na kojima dolazi do pojave difrakcije.

• Kada snop X-zraka pada na kristal, od svake kristalne ravni reflektira se jedan dio upadnog zračenja, pod uglom, koji je jednak upadnom uglu

• Sekundarni valovi se međusobno poništavaju osim onih za koje se putna razlika jednaka cjelobrojnom proizvodu valne dužine.

• U tom slučaju, valovi odbijani od paralelnih ravni pojačavaju jedan drugog i imamo konstruktivnu interferenciju.

• Putna razlika dva vala, koji se odbijaju od susjednih atomskih ravni, jednaka 2dsinθ. Prema tome pravci u kojima se dobivaju difrakcioni maximumi treba da zadovoljavaju uvjet:

2dsinθ = mλ m = 1, 2, 3,...

2dsinθ = mλ m = 1, 2, 3,...d – rastojanje između susjednih ravni

(međuatomsko rastojanje),

• θ – ugao između upadnih zraka i kristalnih ravni i

• m – cijeli broj.

• Relacija dsinθ = mλ

poznata je kao Braggov zakon(Bregov zakon).

Braggov zakon

• Daje mogućnost analize upadnog zračenja ako znamo konstantu rešetke i položaj difrakcionih maximuma

• ili uz poznatu valnu dužinu i snimljen difraktogram, možemo odrediti parametre rešetke.

• Na kristalnoj rešetki pored X-zraka moguće je dobiti i difrakciju gama zraka, elektrona, neutrona i drugih mikročestica.

Holografija• Holografija predstavlja metod dobijanja

prostornog lika predmeta, a zasniva se na interferenciji i difrakciji svjetlosti.

• Holografija (grč. hólos, "čitav, potpun, sav" + gráfos, "pišem, crtam") - metoda stvaranja i reproduciranja trodimenzionalnih slika na fotografskoj ploči primjenom koherentne svjetlosti (laser).

• Na fotografskoj ploči ne registrira se samo raspored intenziteta svjetlosnih zraka kao u običnoj fotografiji već i njihovi smjerovi i faze. Zbog toga je holografija omogućila pohranjivanje pune trodimenzionalne strukture snimljenog objekta.

Hologram• Sigurno imate hologram u svom đepu. • Pogledajte kreditnu karticu. Mnoge imaju tamno

sivi hologram. Zašto? • Uglavnom iz sigurnosnih razloga, u slučaju da

neko pokuša da napravi duplikat kartice. A hologram se teško ili nikako ne da duplicirati. Zašto?

• Hologram je u osnovi 3D slika. Teško ju je napravitii

• Da bi dobili hologram, treba nam laser koji daje koherentnu svjetlost;

• Takva svjetlost će dati interferentne pruge

Hologram – 3D slika

Šta je hologram?

• Hologram je u osnovi reprodukcija "interferentne slike" laserskog svjetla kojim se nešto osvijetli. Recimo da osvijetlimo šoljicu kafe.

• Ali nismo osvijetlili šoljicu sa cijelim snopom. Jedan dio snopa je direktno otišao na fotografski papir (reference beam). Ostali dio laserskog snopa ide na šoljicu (the object beam) i reflektuje se od nje i pada na papir.

• Ta dva snopa interferiraju, stvarajući specifične svijetle i tamne krugove ovisno od toga da li je konstruktivna ili destruktivna interferencija.

• Film registruje osvijetljenost, srazmjernu kvadratu amplitude svjetlosti dobijene od različito osvjetljenih tačaka predmeta ali ne registruje fazu oscilovanja svjetlosnih talasa u raznim tačkama.

• U slučaju holografije na posebnom snimku registruje se, osim amplituda i faza i frekvencija vala. Interferenciona slika koja se pri tome dobije, naziva se hologram.

• Na standardnoj fotografiji svaki njen dio prikazuje poseban dio predmeta i ti dijelovi nisu međusobno povezani. Ako otcijepimo dio fotografskog snimka gubi se odgovarajuća informacija.

• Svaki dio holograma sadrži informaciju o cijeloj slici. Zato lik dobijen dobijen od vrlo malog dijela holograma daje potpunu sliku predmeta, mada manje jasnu i oštru.

• Hologram ima veliki kapacitet kad je u pitanju uskladištenje informacija. Vrše se istraživanja, koja bi omogućila dobijanje stereo bioskopskih i TV – projekcija na osnovu holografije.

Zaključak

• Difrakcija se može definirati kao odstupanje od pravolinijskog kretanja svjetlosnih valova na granicama neprozirnih prepreka (zaklona) ili na granicama otvora na neprozirnim zaklonima, čije su razmjere reda veličine valne dužine svjetlosnog vala.

• Razlikujemo dva slučaja difrakcije.

Fresnelova difrakcija

Fraunhofferova difrakcija

• Pojam difrakcije svjetlosti može se objasniti pomoću Huygens – Fresnelovog principa koji glasi:

• "Svaka tačka do koje dolazi valno kretanje postaje izvor novih sekundarnih valova, koji interferiraju. Računajući amplitude i faze ovih sekundarnih valova može se naći amplituda rezultujućeg vala u bilo kojoj tački prostora".

• Difrakcionom rešetkom naziva se skup velikog broja jednakih pukotina koje su postavljene na istom međusobnom rastojanju. Rastojanje d između sredina susjednih pukotina zove se konstanta ili period rešetke.

Spektrometar i spektroskopija – Spektrometrom se mogu izvoditi precizna mjerenja valne dužine – koristi se

difrakciona rešetka ili prizma

Difrakciona slika na jednomprorezu ili kružnom otvoru