2.Predavanja FIZ I

7/25/2019 2.Predavanja FIZ I

1/12

Mehanikaje dio fizike koja prouava zakone gibanja tijela tj. vremensku promjenupoloaja tijela u prostoru (gibanje planeta, automobila itd.)

Mehaniku dijelimo na:1. Kinematiku

2. Dinamiku3. Statiku

Takoer je dijelimo na:- mehaniku materijalne toke- sistema materijalnih toaka- krutog tijela- mehaniku fluida- mehaniku titranja i valova

Kinematika - (gr. kinein = gibati) prouava gibanje bez obzira na uzroke gibanja i

svojstva tijela koja se gibaju tj. ne uzima u obzir njihovu masu i sile to djeluju na njih.Dinamika (gr. dynamis = sila) prouava uzroke gibanja i utjecaj sile i mase nagibanje. Za razliku od kinematike dinamika daje fizikalnu bit gibanja.

Statikaprouava uvjete ravnotee tijela.

Gibanje tijela promjena poloaja tijela u prostoru tijekom vremena (oblik pojavljivanjagibanja materije). Opis moe biti:

- tablini(aritmetika) u pravilu su prikazani rezultati mjerenja s tonimvrijednostima u mjernim tokama

- grafiki(geometrija) dijagram s krivuljom daje jasnu vizualnu predodbu o prirodigibanja

- veliinska jednadba(algebra) izvedena formula koja je najpodesnija za rad uzkoritenje kompjutora.

Gibanja su u praksi najee nepravilna i ne mogu se vjerno opisati jednostavnimveliinskim jednadbama (vozilo Travnik-Kiseljak)

Mirovanjeje poseban oblik gibanja. Tijelo miruje ako ima stalne, nepromijenjenekoordinate s obzirom na izabrani referentni sustav.

Materijalna toka, skraeno toka, tijelo je zanemarljivih dimenzija, mase m van okvirakinematike u okvirima dinamike analize. Kada su dimenzije gibanja zanemarive uusporedbi s geometrijom poloaja/gibanja, opis poloaja je dovoljan i za opis poloajagibanja (vozilo Travnik-Kiseljak). Dalje se bez posebne napomene kako se gibapodrazumijeva gibanje toke.

Poloaji i gibanja u prostoru se najee analiziraju u referentnom pravokutnomkoordinatnom sustavu, definiranom s ishoditem O i koordinatnim osima x, y, z.Kod gibanja u ravnini se koristi koordinatni sustav O,x,y, a kod pravocrtnog gibanja O,x.


2/12

Najee emo poloaj materijalne toke odreivati pomou njezinih pravocrtnihkoordinata u pravokutnom Kartezijevu koordinatnom sustavu. Na slici 2.1. prikazan jepoloaj materijalne toke u prostoru, ravnini i pravoj crti.

Slika 2.1. Odreivanje poloaja materijalne toke

Dijagrami u koordinatnim sustavima O,x,y,z; O,x,y; O,x su geometrijskog karaktera(autokarta Travnik-Kiseljak), dok su dijagrami u koordinatnim sustavima O,x,t; O,y,t i

O,z,t su kinemati

kog karaktera.Poloaj toke (P) - odreen je vektorom poloaja rp(radijus vektorom) koji spajaishodite i toku P, ili s odgovarajuim brojem komponenti vektora.Jednadba gibanja matematiki opis gibanja (promjene poloaja u prostoru brzine iubrzanja), u vektorskom obliku: r=f(t), to se moe opisati jednadbom:

( ) ( ) ( ) ( )ktzjtyitxtr

++= ...(2.1)

Putanja ili staza je dakle , skup svih toaka kroz koje prolazi materijalna toka koja segiba izmeu dva poloaja; to je geometrijsko mjesto krajeva vektora ( )tr (slika 2.2.)

Slika2.2. Putanja ili staza


3/12

Razmak(r1/2ili x1/2, y1/2, z1/2) vektorska veliina kojom se opisuje najkraamogua putanja (prava crta) izmeu dva poloaja (1i2). Simbolom r1/2se oznaavarazlika konanog (poloaj 2) i poetnog (poloaj 1) vektora poloaja: r1/2= r2-r1(vektori)

Dio putanje koji materijalna toka pree u odreenom vremenu zove se put.

Put (s1/2,m) skalarna duljina putanje. Ne smije se mijeati s razmakom koji je izmeudva poloaja jedinstvene vrijednosti (put Travnik Kiseljak i razmak). Ako putanja nijepravocrtna ili kruna, u pravilu se put steko izraunava i mora se izmjeriti.

Opis gibanja (matematika i/ili statistika) je vjerniji to je vremenski interval ((t1/2)odreivanja tj. mjerenja krai.

JEDNOLIKO PRAVOCRTNO GIBANJE. BRZINA

To je najjednostavnije gibanje i za njegov opis dovoljne su komponente na pravcugibanja skalarne veliine (osi: x ili yili z). Na slici 2.3. prikazano je jednoliko gibanje po

pravcu.

Slika 2.3. Jednoliko gibanje po pravcu

Jednoliko gibanje to znai da tijelo u jednakim vremenskim intervalima prevaljuje

jednake putove. Omjer preenog puta i za to potrebnog vremena zove se brzina tijela.

Slika 2.4. Putna brzina I brzina pomaka


4/12

Skalarna putna brzine, vs(speed) put u jedininom vremenu

[ ] [ ]

[ ]1; === sm

t

sv

t

sv ss ...(2.1)

Vektorska brzina pomaka, v(velociti) pomak u jedininom vremenu

t

rv

= ...(2.2)

Ovo gibanje se rijetko susree u prirodi i tehnici (gibanje tijela u svemiru)

NEJEDNOLIKO PRAVOCRTNO GIBANJE. AKCELERACIJA

Pri nejednolikom pravocrtnom gibanju smjer brzine je konstantan, ali se njegov iznostokom vremena mijenja. Tako se giba automobili pri ubrzanju ili koenju, zrno u puanoj

cijevi itd.Ovisnost pomaka, odnosno puta, o vremenu vie nije linearna, kao pri jednolikomgibanju, veneka openita funkcija vremena, to je prikazano slikom 2.5.

Slika 2.5. Dijagram za nejednoliko gibanje po pravcu

Ako je u trenutku t1poloaj estice odreen koordinatom x1, a u trenutku t2koordinatomx2, tada je srednja brzina u tom intervalu:


5/12

t

x

tt

xxv

=

=

12

12 ...(2.3)

Gdje je:v - srednja brzina

Da bismo dobili pravu (trenutnu) brzinu tijela u trenutku t, zamislimo da je toka B sveblie toki A i naimo granine vrijednosti prema kojoj tei srednja brzina:

xdt

dx

t

xvv

tt==

==

00limlim ...(2.4)

Gdje je:

x - vremenska derivacija puta

=

dt

dxx& ...(2.5)

to znai da je trenutna brzina jednaka prvoj vremenskoj derivaciji koordinate poloaja.

Budui da je dx=ds, brzina je takoer jednaka vremenskoj derivaciji prijeenog puta:

dt

dsv= ...(2.6)

Izraunavanje puta i brzine

Pri jednolikom pravocrtnom gibanju moemo put izraunati iz jednadbe s =vt, akopoznajemo brzinu. Pri nejednolikom gibanju problem je sloeniji jer je brzina funkcijavremena. Predpostavimo da je brzina zadana krivuljom v(t), kako je prikazano na slici 2.6

Slika 2.6. Izraunavanje prijeenog puta iz poznate zavisnosti v(t)


6/12

Preeni put u intervalu tipriblino je jednak ii tv , a zbroj ii tv aproksimacija jeprijeenog puta izmeu trenutka t1i t2.

i

ii tvs ...(2.7)

Toan izraz za preeni put s izmeu vremena t1i t2dobivamo kao graninu vrijednostizraza 2.7. kada svaki vremenski interval it tei nuli. Tada e srednja brzina teiti

trenutnoj brzini, a prevaljeni put biti e jednak vremenskom integralu brzine:

( ) == 2

1

0lim

t

t

iit

dttvtvs ...(2.8)

Put se moe odrediti i grafiki iz slike 2.6. i prevaljeni put je jednak povrini ispod krivuljev(t).

Akceleracija (ubrzanje)

Pri nejednolikom gibanju brzina se mijenja. Promjenu brzine moemo opisatiakceleracijom (ubrzanjem).

Ubrzanje a je vektorska veliina i moe se prikazati slikom 2.7.

Slika 2.7. Shematski prikaz ubrzanja

Uzevi u obzir jednadbe (2.4), (2.5) i (2.6), dobivamo izraz:


7/12

xdt

xd

dt

dx

dt

d

dt

dva ==

==

2

2

...(2.9)

i2

2

dt

sda= ...(2.10)

Trenutno ubrzanje jednako je prvoj derivaciji brzine po vremenu, odnosno drugojderivaciji koordinate poloaja (puta) po vremenu.

GIBANJE S KONSTANTNIM UBRZANJEM. SLOBODNI PAD

Gibanje s konstantnom akceleracijom .)( konsta= posebno je vani sluaj nejednolikoggibanja, prikazano slikom 2.8.

Slika 2.8. Slobodni pad

Tijelo se pri slobodnom padu giba pravocrtno jednoliko ubrzano. Ubrzanje zemljine tee(g 9,8 m/s210 m/s2) ovisi o aktualnom poloaju (za [g] = m/s2, {g}= zagreb: 9,807,Reykjavik: 9,823, Kinshasa: 9,779, polivi: 9,83, ekvator: 9,78).

Ako se tijelo giba u koordinatnom sustavu po osi x i ako je u poetnom trenutku t=0 tijelou toki x0i ima poetnu brzinu v0, njegovu brzinu nakon razdoblja t dobit emoprimjenom jednadbe (2.11).

atvadtvv

t

+=+= 00

0 ...(2.11)

Poloaj tijela x u trenutku t dobivamo integriranjem brzine:

( ) ( )dtatvxdttvxxt

++=+=1

0

00

0

0 ...(2.12)

Gdje je x0 poloaj tijela u poetnom trenutku t0.

Rjeenjem integrala dobijemo izraz za poloaj tijela pri gibanju s .)( konsta= :


8/12

2

002

1attvxx ++= ...(2.13)

Put koji tijelo prevali u razdoblju t pri jednoliko ubrzanom gibanju jest s = x-x0odnosno:

2

0 2t

atvs += ...(2.14)

Iz te relacije i v=v0+at slijedi veza izmeu brzine i puta:

2

02 vasv += ...(2.15)

Veje G. Galilei, prouavajui slobodan pad s kosog tornja u Pisi, pokazao da je vrijemepadanja lakih i teih tijela gotovo jednako.Akceleracija ili ubrzanje slobodnog pada ovisi o visini iznad zemlje. ali te su promjene zaslobodni pad od nekoliko stotina metara zanemarljive, te ih ne uzimamo u obzir.Ako u jednadbe (2.11.) i (2.12.) uvrstimo a=gi v0=0 dobivamo jednadbe za brzinu i put

pri slobodnom padu:

gtv= (2.16)

2

2t

ghs == (2.17)

Iz ove dvije jednadbe izvodi se relacija:

Tijelo koje slobodno pada s visine h postii e brzinu: ghv 2= (2.18)

a put se izraunava iz jednadbe:2

vts= (2.19)

JEDNOLIKO KRUNO GIBANJE

Kada akceleracija materijalne toke nema isti pravac kao brzina, vese brzinom zatvarakut razliit od nule, materijalna toka se giba po zakrivljenoj liniji. Najjednostavnijekrivocrtno gibanje jest jednoliko kruenje koje je prikazano slikom 2.9.

Slika 2.9. Jednoliko kruno gibanje

Pri opisivanju putanje se umjesto koordinati x,ymogu koristiti koordinate r,te jednolikokruno gibanje postaje usporedivo s jednolikim pravocrtnim gibanjem.


9/12

period, T- vrijeme potrebno za obilazak opsega krunice 2

21==

fT ...(2.20)

kutna brzina,- dtd

rdt

d

rtrt

s

v tt

===

=

= ;limlim 00 , []=rad/s ...(2.21)Kutna brzina ima po definiciji smjer desne ruke!!frekvencija, f, N broj dogaaja (obilazaka opsega krunice)

2

1==

Tf ...(2.22)

kutno ubrzanje, [ ] [ ]

[ ] 200lim

s

rad

ttdt

d

tt=====

=

...(2.23)

NEJEDNOLIKO KRUNO GIBANJE

Pri nejednolikom kruenju iznos obodne brzine vie nije konstantan, vese mijenja svremenom.Tangencijalna akceleracija nastaje zbog promjene iznosa obodne brzine:

( )

r

dt

dr

dt

rd

dt

dva ===1 ...(2.24)

gdje je:

20lim

dt

d

tt

=

=

...(2.25)

Pri nejednolikom gibanju postoji radijalna i tengencijalna akceleracija to je prikazanoslikom 2.10.

Slika 2.10. Tangencijalna i radijalna komponenta akceleracije


10/12

2

42

22

r

v

dt

dvaaaa rt +

=+==

...(2.27)

Ako za jednadbu 2.25. uzmemo da je =const. integrirajui izraz d=dtdobijemo:

+==t

tdtd0

0,

0

...(2.28)

daljnjim integriranjem dobijemo izraz za kut:

( ) +=+=t

ttdttd0

0

2

02

,

0

...(2.29)

GIBANJE U RAVNINI

Kada prouavamo gibanjeu dvije ili tri dimenzije, pomak, brzinu i akceleraciju moramorazmatrati vektorski.Ovakva vrsta kretanja prikazana je na slici 2.11.

Slika 2.11. Gibanje u ravnini

( ) == i

t

t

iit

dttvtvs2

1

0lim ...(2.30)

rvvvtrvtrdt

dxv yxyx =+====

22,cos,sin ...(2.31)

22222 ,sin,cos raaatratra yxyx =+=== ...(2.32)

HORIZONTALNI I KOSI HITAC

Horizontalni hitac je primjer sloenog gibanja, koje slijedi iz kombinacije jednolikogpravocrtnog gibanja i slobodnog pada.


11/12

Horizontalni hitac je prikazan na slici 2.12.

Slika 2.12. Horizontalni hitac

Kosi hitac je prikazan na slici 2.13.

Slika 2.13. Kosi hitacTo je gibanje u vertikalnoj ravni s konstantnom akceleracijom g tj. s akceleracijom sile

tee.Gdje je:tu ukupno vrijeme trajanja hica a sastoji se od vremena uspinjanja tHi vremenapotrebnog za silazni dio putanjetH.

,sin2

,2,sin 00

g

vttt

g

vt uHuH

=== ...(2.33)

H horizontalni domet ili doseg D


12/12

g

vH

2sin2= ...(2.34)

Primjer:

Metak je ispaljen poetnom brzinom v0=400 m/s pod kutom =30 prema horizontali.Izraunajte:

a) iznos i smjer brzineb) radijalnu i tangencijalnu akceleraciju metka 2s nakon ispaljivanja

Gibanje metka moemo opisati jednadbama:

tgvvtg

tvr

+=+= 02

0 ,2

koje u odabrtanom koordinatnom sustavu prelaze u skalrne

gtvvvv

tg

tvytvx

yx ==

==

sin,cos

2sin,cos

00

2

00

Komponente metka u trenutku t = 2s iznose:

smgtvv

smvv

y

x

/180sin

/346cos

0

0

==

==

Dok je ukupna brzina

22

yx vvv += = 390 m/s

Smjer brzine opisati kutom koji zatvara, koji brzina zatvara s osi x

=== 5,2752,0 x

y

v

vtg

v

vgga

y

t == sin = -4,5m/s2

v

vgga xr == cos = -8,7 m/s

2

Documents

2.Predavanja FIZ I