1. STATIKA FLUIDA

1. Masene sile (sila gravitacije, inerciona sila, centrifugalna sila i dr. ).

2. Površinskle sile (sila pritiska, sila trenja i dr.)

Masene i površinske sile

• Masene sile su vezane za masu fluida.

• Površinske sile deluju na neku zamišljenu površinu ili deluju na fluid tangencijalno (smicanje).

• Hidrostatički pritisak deluje u masi fluida ali i na površine zidova suda.

•

Hidrostatički pritisak

• Definicija:• p = gH

A

gAH

A

gV

A

gm

A

F

I

F

A

II

0

lim

A

pA

F

(1.1)

(1.2)

• Hidrostatički pritisak deluje u čitavoj masi fluida koji miruje, dok sila pritiska deluje uvek normalno (okomito) na neku površinu i u pravcu unutrašnjosti mase fluida.

• Ako bi sila pritiska delovala pod nekim uglom na fluid, mogla bi se razložiti na: vertikalnu i tangencijalnu komponentu.

• Tangencijalna komponenta sile bi izazvala pomeranje elementa fluida a time se narušava ravnoteža sistema.

Ojlerove diferencijalne jednačine ravnoteže

• Na elementarnu zapreminu fluida koji je u ravnoteži deluju sile pritiska (u pravcu sve tri koordinatne ose), kao i sila težine ove zapremine fluida (deluje u pravcu supro-tnom od pravca z-ose).

• Bilans sila može se postaviti za svaku osu pojedinačno.

Slika 5. – Elementarna zapremina fluida

x

y

z

p + dxxp

p

p

p

d m g

p + dyyp

p + dzzp

dx

dy

dz

• Bilans sila u pravcu sve tri ose:

)3.1(0)(

dzdydxx

ppdzdyp

Sredjivanjem, uz uslov dm = dV i dV = dx dy dz i dVdobija se:

)4.1(0)(

dzdxdyy

ppdxdzp

)5.1(0)(

gmddydxdzz

ppdxdyp

0

0

)6.1(0

gz

p

y

p

x

p

Bilans sila za ukupnu zapreminu

7.10)(

gz

p

y

p

x

p

Uzimajući u obzir jednačinu (1.6), bilans sila je:

8.10)(

gz

p

9.10)( gdz

pd

Pošto su promene parcijalnih pritisaka u pravcu x-ose i y-ose jednake nuli, parcijalni izvod se može zameniti totalnim, pa se dobija:

• Odgovarajućim transformacijama jedn. (1.9), dobija se sledeća jednačina:

)10.1(0 zdg

pd

Daljim sredjivanjem, nastaje:

)11.1(00

z

g

pdodnosnozd

g

pd

Integraljenjem leve i desne strane jednačine (1.11), dobija se:

)12.1(Cconstzg

p

Za dve tačke u istoj strujnici fluida važi jednakost:

)13.1(1221

22

11 zz

g

ppiliz

g

pz

g

p

Jednačina (2.13) naziva se Osnovna jednačina hidrostatike.

Paskalov zakon

• Ako se pritisak u tački (1), dejstvom spoljne sile, poveća za diferencijalno malu vrednost p1, tada će i pritisak u tački (2) biti povišen, što dovodi do promene u osnovnoj jednačini hidrostatike za p2:

)14.1(222

111 constz

g

ppz

g

pp

Da bi se održala jednakost leve i desne strane jednačine (2.14), osnovni uslov je da su priraštaji pritiska medjusobno jednaki, tj. da važi izraz:

)15.1(21 pp

• Iz ove jednačine proizilazi Paskalov zakon, po kome svaka promena pritiska u bilo kojoj tački fluida dovodi do iste takve promene pritiska u drugoj tački fluida, odnosno da se pritisak kroz fluid koji miruje prenosi na sve ostale tačke fluida bez promene.

• Merenje pritiska u nekoj tački fluida koji miruje ilustrovano je na primeru fluida u nekom rezervoaru, slika 6.

• Pritisak u tački (A) fluida, uzimajući u obzir osnovnu jednačinu hidrostatike, je:

• (1.16)

zzgpp 00

• Merenje pritiska tečnosti u sudu

h

A0

p/( g)

z

z0

p0/( g)

p0

H

Huk

B

Ravan apsolutnog hidrostati kog pritiskač

Uporedna ravan

0 0

p = pat0

• gde su: p0 – spoljni (atmosferski) pritisak,

• – gustina fluida, g – ubrzanje

zemljine teže,

• z0 – z = h - visina nivoa

• tečnosti iznad tačke (A). • Proizvod g h naziva se manometarski

pritisak, a odredjuje se pomoću piezometarske cevi priključene na rezervoar. Količnik p0 / (g) = h0 služi za eksperimentalno odredjivanje atmosferskog pritiska (p0).

2. DINAMIKA FLUIDA

• Pogonska sila pri transportu fluida je:• razlika nivoa tečnosti,• razlika gustina fluida,• energija uneta u sistem pomoću uredjaja

za transport fluida.

• Strujanje fluida može biti stacionarno i nestacionarno.

2.1. Stacionarno strujanje fluida

• A) Maseni protok fluida se ne menja

protokom vremena:

• B) Brzina fluida je funkcija koordinata:

• C) Promena brzine fluida sa vremenom je jednaka nuli:

)2.2(,, zyxfwn

)3.2(0dwd n

)1.2(constVG SS

2.2. Nestacionarno strujanje fluida

• A) Maseni protok fluida nije konstantan:

• B) Brzina fluida je funkcija koordinata i vremena:

• C) Promena brzine fluida sa vremenom je različita od nule:

)4.2(constVG SS

)6.2(0dwd n

)5.2(,,, zyxfwn

3. JEDNAČINA KONTINUITETA

x

y

z

M x M x+dx

My

M y+dy

M

z+dzM

z

• Razmatra se slučaj strujanja fluida kroz elementarnu zapreminu dV = dx dy dz, pri čemu se u pravcu svake ose akumulira odredjena količina fluida:

• dMx =Mx - Mx+dx = Mx - (Mx + ) =

• dMy =My - My+dy = My - (My + ) =

• dMz =Mz - Mz+dz = Mz - (Mz + ) =

-

(2.7)

dxx

M x

dx

x

M x

dzz

M z

dyy

M y

dy

y

M y

dzz

M z

Opšte poznati izraz za masu fluida koji struji kroz dV je

Mx = Gx d = Vx ρ d = wx dA ρ d = wx dy dz ρ d

My = Gy d = Vy ρ d = wy dA ρ d = wy dx dz ρ d

Mz = Gz d = Vz ρ d = wz dA ρ d = wz dx dy ρ d

(2.8)

• Diferenciranjem jednačina (2.7) dobija se:

• Ukupna akumulacija mase u zapremini dV

dzdydx

y

wyd

y

MMd yy

y

dzdydx

x

wxd

x

MMd xx

x

dzdydx

z

wzd

z

MMd zz

z

(2.9)

dVd

z

w

y

w

x

wdMdMMdMd zyx

zyx

(2.10)

• Akumulacija mase u zapremini dV izaziva promenu gustine fluida:

• Izjednačavanjem desnih strana jedna-čina (2.10) i (2.11), dobija se:

• Sredjivanjem, dobija se

• što predstavlja jednačinu kontinuiteta za nestacionareno strujanje stišljivog fluida.

dVdMd

(2.11)

dVdz

w

y

w

x

wdVd zyx

(2.12)

0

z

w

y

w

x

w zyx

(2.13)

• Razvijeni oblik ove jednačine je:

• Supstancijalni izvod za gustinu je:

• Uvrštavanjem u jedn. (2.14) i sredji-vanjem, dobija se:

)14.2(0

z

w

y

w

x

w

zw

yw

xw zyx

zyx

)15.2(z

wy

wx

wD

Dzyx

)16.2(01

z

w

y

w

x

w

D

D zyx

Specijalni slučajevi jednačine kontinuiteta

• A) Stacionarno strujanje stišljivog fluida (ρconst.; ):0

0

z

w

y

w

x

w zyx (2.17)

B) Stacionarno strujanje nestišljivog fluida (ρ=const.; ):0

)18.2(0

z

w

y

w

x

w zyx

• C) Stacionarno strujane nestišljivog fluida u x-pravcu (ρ=const.; ; wy = wz = 0):

• D) Stacionarno strujanje stišljivog fluida u x-pravcu (ρ const.; ; wy = wz = 0):

» (2. 20)

• E) Maseni protok fluida kroz promenljivu površinu poprečnog preseka (A) za slučaj D):

Gx = ρ1wx1 A1 = ρ2 wx2 A2 (2.21)

0

(2.19)

0x

wx , wx = const.

0

, ρ wx = const 0

z

w

y

w

x

w zyx

OJLEROVE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE STRUJANJA FLUIDA

(p +

x

y

z

dx

dy

dz dzdydxx

pp

dzdxdyyp

p

dydxdzz

pp

dydxp

dzdxp

dzdyp

d m g

• Bilans sila:• x-pravac: (2.22)

• y-pravac (2.23)

• z-pravac (2.24)

dVx

pdzdydx

x

pdzdydx

x

ppdzdyp

dVy

pdzdydx

y

pdxdzdy

y

ppdzdxp

dVg)(dV g

z

pdzdydx

z

pdxdydz

z

ppdxdyp

• Rezultantna sila u pravcu svake ose je inerciona sila, data izrazom:

• Izjednačavanjem desne strane jed. (2.25) sa jednačinama (2.22-2.24), dobija se:

)25.2(

d

wddV

d

wddzdydx

d

wddMadM

dVx

p

d

wddV x

)26.2(dVy

p

d

wddV y

dVgz

p

d

wddV z )(

• Sredjivanjem se dobija:

Priraštaj brzine se izražava kao:

)( gz

p

d

wd z

x

p

d

wd x

)27.2(y

p

d

wd y

d

xd

x

w

d

wddx

x

wdw xxx

x

)28.2( d

yd

y

w

d

wddy

y

wdw yyy

y

d

zd

z

w

d

wddz

z

wdw zzz

z

• Uvodjenjem smena

• dobija se:

• što predstavlja Ojlerove diferencijalne jednačine stacionarnog strujanja idealnog fluida.

d

zdw

d

ydw

d

xdw zyx ;;

x

pw

x

wx

x

)29.2(y

pw

y

wy

y

)g(

z

pw

z

wz

z

• A) Za nestacionarno strujanje idealnog fluida koristi se totalan izvod brzine po vremenu:

zx

yx

xxxx w

z

ww

y

ww

x

ww

d

dw

)30.2(z

y

yy

xyyy w

z

ww

y

ww

x

ww

d

dw

zz

yz

xzzz w

z

ww

y

ww

x

ww

d

dw

• Zamenom izraza (2.30) u polazne jednačine dejstva sila na dV, dobija se:

x

pw

z

ww

y

ww

x

wwz

xy

xx

xx

][

)31.2(][y

pw

z

ww

y

ww

x

wwz

yy

y

xyy

)g(][

z

pw

z

ww

y

ww

x

wwz

zy

zx

zz

• Izrazi u zagradama mogu se pisati u obliku supstancijalnih izvoda brzina:

• Ojlerove diferencijalne jednačine nestacionarnog strujanja idealnog fluida su:

D

wDw

z

ww

y

ww

x

ww zz

zy

zx

zz

][

)32.2(][ D

wDw

z

ww

y

ww

x

ww yz

yy

yx

yy

x

p

D

wD x

)33.2(y

p

D

wD y

)g(

z

p

D

wD z

D

wDw

z

ww

y

ww

x

ww xz

xy

xx

xx

][

BERNULIJEVA JEDNAČINA

• Polazi se od Ojlerovih diferencijalnih jedna-čina za stacionarno strujanje idealnog fluida, uz korekcije:

•

)34.2(1

dyy

pdyw

y

wy

y

dxx

pdxw

x

wx

x

1

)g(1

dzdzz

pdzw

z

wz

z

• Sabiranjem levih, odnosno desnih strana jednačine (2.34), dobija se:

• Leva strana jed. (2.35) predstavlja totalni diferencijal brzine (dw) pomnožen sa (w), dok je izraz u zagradi desne strane totalni diferencijal pritiska:

)35.2(1

dzz

pyd

y

pdx

x

pzdg

z

ww

y

ww

x

ww z

zy

yx

x

)36.2(1dpdzgdww

• Matematički gledano, važi da je:

• Zamenom u jedn. (2.36) i sredjivanjem, dobija se:

• ili

• odnosno:

)37.2(2

2

wddww

)38.2(1

2

2

pdg

dzg

wd

)39.2(02

2

g

wd

g

pdzd

)40.2(0]2

[2

g

w

g

pzd

• Integraljem jedn. (2.40), dobija se:

• što predstavlja Bernulijevu jednačinu za transport idealnog fluida pri stacionarnim uslovima, gde su:

• z - geodetska visina (visina položaja),

• (p/ρg) - piezometarska visina (visina

statičkog pritiska),

(w2/2g) - visina brzine.

)41.2(.2

2

constg

w

g

pz

• Bernulijeva jedn. za dva preseka cevovoda kroz koji se transportuje idealni fluid:

Bernulijeva jedn. za dva preseka cevovoda kroz koji se transportuje realni fluid:

gde su: H – energija uneta u sistem pomoću

uredjaja za transpot fluida;

f12– gubici energije izmedju dva preseka.

)43.2(.22

22

22,1

211

1 constg

w

g

pzfH

g

w

g

pz

)42.2(.22

22

2

211

1 constg

w

g

pz

g

w

g

pz

Strujna cev fluida (strujno vlakno)

y

z

x

z1z2 z3

p2 /gp

1 /g p / g3

w w2/ 2 gw / 2 g / 2 g w2 / 2 gw2 / 2 g3

Linija statičkog pritiska

Linija hidrodinami kogpritiska

č

2

1

2

Instrumenti za merenje visine gubitaka energije u cevnom vodu

h

pa

h

pa

p/( g)

pa

w2/ 2 g

Piezometarska cev

Pito-ova cev

1 2

• Kod piezometarske cevi visina fluida se računa iz bilansa pritisaka:

• Kod merenja visine brzine kombinuju se piezometarska cev i Pito-ova cev:

• Pošto je iz jedn. (2.45) se dobija

visina brzine:

P = pa + h g ili h = (p – pa) /g (2.44)

)45.2(2

222

211

g

w

g

p

g

w

g

p

022 w

)46.2(2

1221

g

pp

g

w

Navie-Štoksove jednačine strujanja realnog fluida

• Pri strujanju realnih fluida, za razliku od idealnih, dolazi do unutrašnjeg trenja (sila smicanja, viskozne sile)-kinetička energija fluida se tako pretvara u toplotnu energiju i nepovratno gubi.

• Kod strujanja realnih fluida javljaju se i elastične sile (sabijanje i rastezanje), što nije slučaj kod idealnih fluida.

Ilustracija za dejstvo sile smicanja

z

y

dx

dz dy

dzz

x

• Bilans sile smicanja u pravcu x-ose, na rastojanju dz je sledeći:

• S druge strane, napon smicanja je:

• Diferenciranje izraza (2.47) daje:

47.2)( Vdz

dzdydxz

dydxdzz

dydx

)48.2(z

wx

)49.2(2

2

Vdz

wVd

z

zw

Vdz

x

x

• Brzina strujanja fluida wx menja se i u pravcu ostalih koordinata, što daje izraz:

• Izraz u zagradi za wx kraće se zapisuje preko Laplasovog operatora

• ili za sve brzine:

)51.2(][ 22

2

2

2

2

2

dVwdVz

w

y

w

x

wy

yyy

)50.2(2

2

2

2

2

2

Vdz

w

y

w

x

w xxx

xxxx wz

w

y

w

x

w 22

2

2

2

2

2

VdwdVz

w

y

w

x

wx

xxx 22

2

2

2

2

2

][

VdwdVz

w

y

w

x

wz

zzz 22

2

2

2

2

2

][

• Vraćanjem na jedan od oblika Ojlerovih DJSF (jedn.2.26), dobija se:

dVwdVx

px

2x

d

wddV

)52.2( d

wddV 2y

dVwdVy

py

VdwdVz

pz

2z

d

wddV

A) Stacionarno strujanje nestišljivog realnog fluida

xwx

p 2

d

wdx

)53.2( d

wd 2y

ywy

p

zwz

p 2) g( d

wdz

B) Nestacionarno strujanje nestišljivog realnog fluida

xzx

yx

xxx w

x

pw

z

ww

y

ww

x

ww 2][

)54.2(][ 2yz

yy

y

xyy w

y

pw

z

ww

y

ww

x

ww

zzz

yz

xzz w

z

pw

z

ww

y

ww

x

ww 2)g(][

• U skracenom zapisu:•

xx w

x

p

D

wD 2

)55.2(2y

y wy

p

D

wD

zz wg

z

p

D

wD 2)(

C) Stacionarno strujanje stišljivog realnog fluida

)3

1() g(

d

wd 2z

zw

z

pz

)3

1(

d

wd 2x

xw

x

px

)56.2()3

1(

d

wd 2y

yw

y

py

)57.2(z

w

y

w

x

w zyx

3. Granični sloj

• Pri strujanju realnog fluida preko nepokretne površine javlja se kočenje susednih slojeva usled prisustva vis-koznih sila.

• ws – brzina fluida u masi fluida,• w1, w2, w3 - brzine fluida u tačkama y1, y2, y3, • I – početna ivica nepokretne površine,• II – površina koja razdvaja hidraulični granični sloj od sloja na koji površina nema uticaj.• Profil brzina je dat na prethodnoj slici.

Struktura graničnog sloja

• Laminarna oblast - do tačke x1,

• Turbulentna oblast - nakon tačke x1,

• Debljina laminarnog podsloja naglo opada nakon tačke x1,

• Prelazna oblast nastaje iznad laminarnog podloja, a zatim turbulentno strujanje.

• Rejnoldsov broj definiše režim strujanja fluida:

• w - brzina strujanja fluida,• l - rastojanje od ivice ploče (l Re=3·105

odgovara turbulentnom sloju), , - dinamička viskoznost i gustina fluida.

lw

Re

Strujanje fluida preko nepokretne vertikalne ploče

Strujanje fluida kroz cev nepravilnog oblika

Proticanje fluida u cevima

Rejnoldsov ogled

Raspodela brzina po preseku voda

Ekvivalentni prečnik cevovoda

• Jednakost izmedju sile pritiska i sile smicanja u cevovodu:

• Za cevovod kružnog poprečnog preseka važi:

• Rešavanjem po prečniku dobija se:

)1.3(ASp

)3.3(;4

lOAjejerlO

S

pp

led

)2.3(4

2

ldd

p ee

• Zamenom se dobija konačan izraz za ekvivalentni prečnik cevovoda:

• Hidraulični radijus je sada:

• S – živi presek u cevovodu,• O – okvašeni obim cevovoda.

)4.3(44

O

S

lO

Sled

)5.3(4ed

O

Srh