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1. Electrostática
2. Electrostática con medios materiales
3. Magnetostática
4. Magnetostática con medios materiales
5. Los campos variables en el tiempo y las ecuaciones de Maxwel
Capítulo 2: ELECTROSTÁTICA
El potencial electrostático
El gradiente del potencial electrostático
La ley de Gauss
La divergencia del campo eléctrico. Forma diferencial de la
ley de Gauss
El rotacional del campo electrostático
Las ecuaciones de Maxwell para la electrostática
La ecuación de Poisson y la ecuación de Laplace
La energía y el trabajo en el campo electrostático
Los aislantes y los conductores
El campo eléctrico en los conductores
Los métodos de solución de problemas electrostáticos
P r
q
0r r
0r r
02
0 00
1( )
4
q r rE r
r rr r
20
1ˆ( )
4
qE r r
r
1P
2P
Q
1P
2P
Q
1 2C P P
W F dl
1 2C P P
W F dl
1 2
20
1ˆ
4 C P P
qW r d
r
Ql
1 2 1 2
2 1 2 20 0
ˆ1 1ˆ
4 4C P P C P P
q rP P r dl q dl
r r
1 2
1 2
C P P
P P E dl
1 2En general, la integral depende de la trayectoria C P P
Si la integral depende de la trayectoria de P1 a P2, podemos obtener trabajo del campo, llevando la carga al punto P2 por una trayectoria y regresándola a P1 por otra. De ida agarramos una trayectoria en la que se haga menos trabajo y de regreso una donde se haga más.
Esto no es imposible, no viola ninguna ley. De hecho hay casos en que sucede. Parte del sistema pierde energía y así la ley de conservación de la energía se cumple.
Sin embargo, en electrostática todas las cargas están “fijas” y no hay forma de que el sistema pierda energía
Por eso debemos esperar que en el caso electrostático la integral no dependa de la trayectoria. O lo que es lo mismo que la integral sobre una trayectoria cerrada sea cero
The Feynam Lectures on Physics. Sección 4.3
q
1 2
1 2 0C P P
P P E dl
0
E dl
E dl
1P
2P
1P
2P
rd ld
X
Y
Z
q
2
1
20
1ˆ( )
4P
P
qE r r
r
E dl
2 2 2
1 1 1
2 2
11
2 20 0
20 0 0 2 1
0 1 2
ˆˆ
4 4
1 1 1
4 4 4
1 1
4
P P P
P P P
P r
rP
r drq r dl qE dl
r r
q dr q q
r r r r
q
r r
1P
2P
0
0
0
1 2
1 20 1 2
1 1
4C P P
qP P E dl
r r
En el caso de una carga puntual la integral no depende de la trayectoria
o lo que es lo mismo
La integral sobre cualquier trayectoria cerrada es cero
1
3
1
Si fijamos , entonces tenemos una función del punto,
es decir, una función de .
En particular, si está en el infinito tenemos la
definición del potencial electrostático de una carga
puntual
P
P
R R
0
14
qr r
3: R R
2 2
1 1
2
1
P P
P P
P
P
W F dl Q E dl
WE dl
Q
21 10
1
4
N Ni i
ii iii
q r rE r E r
r rr r
1 2 1 2
1 21
N
iiC P P C P P
P P E dl E dl
20
1
4i i
iii
q r rE r
r rr r
10
1
4
i Ni
i i
qr
r r
20
1 ( )
4
r dV r rE r
r rr r
1 2 1 2
1 21
N
iiC P P C P P
P P E dl E dl
0
1 ( )
4
rr dV
r r
1 2
1 2 no depende de la trayectoria
0 para cualquiera trayecto cerrado
C P P
C
P P E dl
E dl C
Un campo con estas características se llama CONSERVATIVO
1 2
1 2 no depende de la trayectoria
0 para cualquiera trayecto cerrado
0
C P P
C
P P E dl
E dl C
E
El que el campo electrostático sea conservativo se debe al carácter radial de la
fuerza electrostática.
Se debe a la simetría y dirección de la fuerza electrostática
X
Y
Z
x x x
, ,, , , , , , , ,
, ,
, ,
x y zW x x y z x y z x y z x x y z
xx y z
x
x y zx
x
x
W
X
Y
Z
x x x
x x
x
x
W E dl E x
Haciendo lo mismo en la dirección Y y Z, llegamos a la conclusión que
, ,Ex y z
Es decir, que
E
2
1
Que
es más o menos obvio de la definición de
como integral de
P
P
E
E dl
E
0
1 ( )
4
rr dV
r r
es una integral más fácil de hacer que
20
1 ( )
4
r r rE r dV
r rr r
y ya fácilmente E se encuentra derivando
E
20
1ˆ( )
4
qE r r
r
sin1 1 1 1ˆ ˆˆsin sin
r rA rA rAA A A
A rr r r r r r
2 2
0 0
1/ 1/1 1 1ˆ ˆ( )4 sin 4
r rqE r q
r r
( ) 0E r
nos lleva a que en general
( ) 0E r
20
Pr incipio de superposición
1 ( )
4
r r rE r dV
r rr r
( ) 0E r
OJO: Esto es válido para el campo electrostático, que es un campo conservativo
1 2
1 2
0
1 ( )
4
0
C P P
P P E dl
rr dV
r r
E
E
