Płyty i powłoki

Literatura:R.Bąk, T.Burczyński, „Wytrzymałość materiałów z elementami ujęcia komputerowego”. WNT, Warszawa 2001

Płyty i powłoki13.1 Założenia teorii zginania

13.2 Siły wewnętrzne i naprężenia w pręcie

13.3 Równania równowagi elementu

13.4 Równanie różniczkowe powierzchni ugiętej płyty

13.6 Płyty kołowe osiowosymetryczne

13.5 Zagadnienia brzegowe dla płyt

13.7 Błonowa teoria powłok osiowosymetrycznych

13.8 Zgięciowa teoria cienkiej powłoki walcowej

13.9 Metoda elementów skończonych płyt i powłok

Przykład 13.5.1

Przykład 13.5.2

Przykład 13.6.1

Przykład 13.7.1

Przykład 13.7.2

Przykład 13.8.1

Ciało ograniczone dwoma równoległymi płaszczyznami, między którymi odległość (zwana grubością), jest znacznie mniejsza niż dwa pozostałe wymiary, przenoszące obciążenie prostopadłe do tych płaszczyzn, nazywa siępłytą cienką o równomiernej grubości. Przyjmiemy, że osie współrzędnych x i y leżą w poziomej, środkowej płaszczyźnie płyty, przechodzącej przez środek jej grubości h, a oś z jest skierowana w dół (rys. 13.1). Obciążenie przypadające na jednostkę powierzchni płyty określa funkcja q(x,y).

W teorii zginania płyt cienkich o równomiernej grubości przyjmuje sięnastępujące założenia:

l. Płytę cienką można traktować jako zbiór oddzielonych płaszczyznami prostopadłymi do osi z warstw, które nie oddziałują na siebie mechanicznie. Oznacza to, że naprężenie normalne sz w dowolnym punkcie płyty równe jest zeru .

Założenia teorii zginania płyt

13.1 Założenia teorii zginania płyt cienkich

2. Każdy punkt środkowej płaszczyzny płyty doznaje wyłącznie przemieszczenia w kierunku osi z, zwanego ugięciem w, które jest znacznie mniejsze niż grubość h. Składowe przemieszczeń w kierunku osi x i y sąpomijalnie małe. Oznacza to, że płaszczyzna środkowa nie odkształca sięwzględem osi x i y, a po odkształceniu płyty tworzy się powierzchnia ugięta.

3. Odcinek prostopadły do płaszczyzny środkowej pozostaje po od-kształceniu płyty prosty i normalny do powierzchni ugiętej.

4. Płyta jest wykonana z materiału liniowosprężystego.

13.2 Siły wewnętrznei naprężenia w płycie

Wyodrębnimy z płyty płaszczyznami prostopadłymi do osi x oraz y element o wymiarach dx, dy (rys. 13.2). Działają na niego momenty gnące Mx My i skręcające Mxy= Myx, odnoszące się do jednostki długości linii środkowej odpowiedniego przekroju. Indeksy przy momentachsą identyczne z indeksami przy wywołanych przez nie naprężeniach normalnych σx,σy od zginania i stycznych τxy = τyx. od skręcania w warstwie płyty o grubości d z, odległej o z od warstwy środkowej. Ponadto na element płyty działają siły poprzeczne Tx, i Ty odnoszące się do jednostki długości linii środkowej odpowiedniego przekroju, które wywołują naprężenia styczne τxz = τyz,. Założenie pierwsze jest, jak widać, słuszne tylko wtedy, kiedy τxz = τyz, a więc Tx, i Ty można pominąć w rozważaniach. Czyni się tak w teorii płyt cienkich, co umożliwia w pierwszej kolejności określenie składowych σx,σy, τxy=τxy. płaskiego stanu naprężenia panującego wtedy w dowolnej warstwie płyty. Następnie określa się τxz oraz τyz, w zależności od Tx oraz Ty, wykorzystując do tego celu wzór Żurawskiego. Sprzeczność ta powoduje, że rozwiązanie ma charakter przybliżony.

Napiszemy związki geometryczne oraz fizyczne dla dowolnej warstwy płyt

(13.1)

oraz

(13.2)

,xu

x ∂∂

=ε ,yv

y ∂∂

=ε xv

yu

xy ∂∂

+∂∂

=γ

( ),1 2 yxx v

vE εεσ +−

= )(1 2 xyy v

vE εεσ +−

=

xyxyyxxy vEG γγττ

)1(2 +===

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−=

xvv

yu

vE

xuv

yv

vE

yvv

xu

vE

yxxy

y

x

12

1

1

2

2

ττ

σ

σ

Po wstawieniu zależności (13.1) do (13.2) otrzymamy

(13.3)

W formułach (13.3) wyrazimy przemieszczenia u i v przez funkcję w(x, y)opisującą powierzchnię ugiętą płyty po jej odkształceniu. Na rysunku 13.3 pokazano przekrój odkształconej płyty płaszczyzną prostopadłą do osi y. Pionowy odcinek ab przemieszcza się o w w dół i obraca się o kąt ugięcia ϑ, zajmując położenie a`b` normalne do powierzchni ugiętej płyty, przy czym

. Przemieszczenie punktu odległego o z od warstwy środkowej

płyty w kierunku osi x można, jak widać z rysunku, obliczyć następująco

(13.4)

jako że przy dodatnich z i ϑ jest ono skierowane przeciwnie w stosunku do osi x.

xwtg∂∂

=ϑ

xwzztgu∂∂

−=−= ϑ

Analogicznie znajdziemy przemieszczenie v

(13.5)

Po uwzględnieniu zależności (13.4) i (13.5) we wzorze (13.3) otrzymamy

(13.6)

(13.7)

(13.8)

ywzv∂∂

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−−

= 2

2

2

2

21 ywv

xw

vEz

xσ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−−

= 2

2

2

2

21 xwv

yw

vEz

yσ

( ) yxw

vEz

yxwv

yxw

vEz

yxxy ∂∂∂

+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂+

∂∂∂

+−

==222

112ττ

Momenty Mx, My, Mxy równoważą układ elementarnych sił wewnętrznych, działających na jedną ścianę elementu płyty, pokazanego na rys. 13.2, i określonych przez naprężenia σx, σy, τxy. Warunki równowagi mająnastępującą postać

(13.9)

∫∫

∫∫

∫∫

−

−

−

==

==

==

2

2

2

2

2

2

h

hxy

Axyxy

h

hy

Ayy

h

hx

Axx

dzdxzdAzdyM

dzdxzdAzdxM

dzdxzdAzdyM

ττ

σσ

σσ

Po wstawieniu zależności (13.6), (13.7), (13.8) do (13.9) i skróceniu dx, dy, które nie podlegają całkowaniu, otrzymamy

(13.10)

∫

∫

∫

−

−

−

∂∂∂

+−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−−=

2

2

22

2

2

22

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

1

1

1

h

hxy

h

hy

h

hx

dzzyx

wv

EM

dzzxw

yw

vEM

dzzyw

xw

vEM

121 3hI ⋅

=

Nietrudno zauważyć, że całka występująca w wyrażeniach (13.10) jest momentem bezwładności prostokąta o podstawie l i wysokości h

(13.11)

Wprowadzimy ponadto pojęcie sztywności zginania płyty D zdefiniowane następująco

(13.12)

Po uwzględnieniu zależności (13.11) i (13.12) w (13.10) otrzymamy momenty Mx, My, Mxy wyrażone przez w(x, y)

(13.13)

(13.14)

(13.15)

( ) 22

3

1112 vEI

vEhD

−=

−=

2 2

2 2xw wM D

x yν

⎛ ⎞∂ ∂= − +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

2 2

2 2yw wM D

y xν

⎛ ⎞∂ ∂= − +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

( )2

1xywM v D

x y∂

= − −∂ ∂

Sztywność zginania płyty

Momenty zginające i skręcające w płycie

Przy przejściu z punktu o współrzędnych x, y do punktu o współrzędnych x + dx, y + dy płyty funkcje Mx(x,y) , My(x,y), Mxy(x,y) =Myx(x,y) doznają określonych przyrostów. Na rysunku 13.4 pokazano element płyty o wymiarach dx, dy oraz siły zewnętrzne q(x, y) i wewnętrzne, działają-ce na poszczególnych ścianach, które utrzymują go w równowadze. Tworzą one przestrzenny układ sił równoległych do osi z, dla którego można napisać trzy warunki równowagi.

13.3 Równania równowagi elementu płyty.

Suma rzutów wszystkich sił na oś z jest równa zeru

0 =+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂++−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

++− dydxqdxdyy

TTdxTdydx

xT

TdyT yyy

xxx

Po otwarciu nawiasów, uproszczeniu i podzieleniu przez dxdyotrzymamy:

(13.16)

Suma momentów wszystkich sił względem prostej równoległej do osi y, pokrywającej się z dolną krawędzią widocznej ściany elementu płyty (rys. 13.4), jest równa zeru

Po uproszczeniu i pominięciu małych wyższego rzędu uzyskujemy

(13.17)

Z drugiego równania momentów otrzymujemy

(13.18)

qy

Tx

T yx −=∂

∂+

∂∂

0222=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+−

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+−

dxqdxdydxdxdyyT

TdxdxT

dydxTdxdyy

MMdxMdydx

xMMdyM

yyy

xyx

yxyxx

xx

yM

xMT yxx

x ∂∂

+∂∂

=

xM

yM

T xyyy ∂

∂+

∂∂

=

13.4 Równanie różniczkowepowierzchni ugiętej płyty

Po wprowadzeniu zależności (13.17) i (13.18) do (13.16) otrzymamy

qyM

yxM

xM yxyx −=

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

2

22

2

2

2

Wyrazimy momenty Mx , My, Mxy w zależności (13.19) przez w(x,y), zgodnie z formułami (13.13), (13.14) i (13.15)

( ) qyx

wvywD

yxwDv

yxwv

xwD −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂+

∂∂

−∂∂

∂−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂+

∂∂

− 22

4

4

4

22

4

22

4

4

4

12

stąd po podzieleniu przez D i rozwinięciu

Dq

yxwv

yw

yxwv

yxw

yxwv

xw

−=∂∂

∂−

∂∂

−∂∂

∂+

∂∂∂

−∂∂

∂−

∂∂

− 22

4

4

4

22

4

22

4

22

4

4

4

22

Ostatecznie po uproszczeniu i zmianie znaków równanie różniczkowe powierzchni ugiętej płyty, zwane równaniem Zofii Germain, uzyskuje następującą postać

(13.20)

Można je zapisać również w formie skróconej

Dq

yw

yxw

xw

=∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

4

4

22

4

4

4

2

czyli(13.21)

Dqw

yxyx=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

2

2

2

2

2

2

2

2

Dqw =∇4

Równanie Zofii Germain

13.5 Zagadnienia brzegowe dla płyt

Tok rozwiązania płyty składa się z następujących kolejnych etapów.

1. Znalezienie funkcji w(x,y), która spełnia równanie (13.20), czyli (13.21), oraz warunki brzegowe.

Jeżeli płyta jest podparta swobodnie, np. wzdłuż osi y (rys. 13.5), to dla x = 0, w = 0 i Mx = 0. Wprawdzie jeszcze Mxy = 0, ale moment skręcają-cy, działający wzdłuż krawędzi płyty, można zastąpić statycznie rów-noważnądodatkową rozłożoną siłą poprzeczną działającą w podporze.

Warunki brzegowe

0=∂∂

xw

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂∂

+∂∂

−=

∂∂∂

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂∂

+∂∂

−=

2

3

3

3

2

3

2

3

3

3

czyli

1

yxw

xwDT

yxwDv

yxwv

xwDT

x

x

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂+

∂∂

−=yx

wywDTy 2

3

3

3

Jeżeli płyta jest utwierdzona np. wzdłuż osi y (rys. 13.6), to dla x = 0, w=0 i

2. Określenie Mx, My, Mxy=Myz przez wstawienie w(x, y) do zależności (13.13), (13.14) i (13.15).

Siły poprzeczne Tx i Ty uzależniamy od w(x,y), wstawiając do zależności (13.17) i (13.18) związki (13.13), (13.14) i (13.15)

(13.22)

oraz analogicznie

(13.23)

Siły poprzeczne w płycie

3. Wyznaczenie naprężeń w zależności od sił wewnętrznych.

Z porównania formuł (13.6), (13.7), (13.8) z zależnościami (13.13), (13.14), (13.15), przy uwzględnieniu związków (13.11), (13.12), wyni-kaj ąnastępujące wzory

(13.24)

(13.25)

(13.26)

Naprężenia σx, σy, τxy=τyx , są liniowymi funkcjami współrzędnej z iosiągają wartości maksymalne w warstwach skrajnych płyty (rys. 13.7).

IzM x

x =σ

IzM y

y =σ

IzM xy

yzxy ==ττ

Naprężenia od zginania i skręcania w płycie

Składowe pionowe naprężeń stycznych, a także równe im naprężenia styczne w płaszczyznach prostopadłych do osi z wyznaczymy ze wzoruŻurawskiego (2.51), tak jak dla belki o przekroju prostokątnym

(13.27)

(13.28)

ISTx

zxxz ==ττ

ISTy

zyyz ==ττ

Naprężenia od ścinania w płycie

gdzie moment statyczny odciętej części przekroju

prostokątnego o podstawie l i wysokości h względem osi x lub y.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

2

421 zhS

Naprężenia τxz i τyz są kwadratowymi funkcjami współrzędnej z i osiągająwartości maksymalne w warstwie środkowej płyty (rys. 13.7).

4. Ocena wytrzymałości płyty na podstawie wartości maksymalnych naprężeń, które wynoszą

(13.29)

(13.30)

(13.31)

gdzie:

(13.32)

(13.33)

(13.34)hTy

yz 23

max =τ

WM x

x ±=maxσ

WM y

y ±=maxσ

WM xy

xy ±=maxτ

62 2hhIW ==

hTx

xz 23

max =τ

Rozwiązanie płyty jest przykładem uproszczonego rozwiązania przestrzennego zadania teorii sprężystości w przemieszczeniach.

Przykład 13.1

Płyta eliptyczna o grubości h i konturze określonym równaniem:

utwierdzona na brzegu przenosi równomiernie rozłożone obciążenie q (rys.13.8).

012

2

2

2

=−+by

ax

Określić moment gnący Mx w płycie, jeśli stałe sprężyste materiału, z którego jest wykonana, wynoszą E, n.

Funkcji w(x,y) będziemy poszukiwać w następującej postaci:

gdzie C - nieznana wartość stała.

( )2

2

2

2

2

1, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

by

axCyxw

Obliczamy odpowiednie pochodne w(x, y), wstawiamy je do równania (13.20) i wyliczamy C

czyli

stąd

2223

3

223

3

44

4

44

4

223

3

2

2

2

2

22

2

2

2

2

3

222

2

2

2

8 ,24 ,24

24 ,64 ,134

4212

baC

yxw

by

aC

yxw

bC

yw

aC

xw

ax

aC

xw

by

ax

aC

xw

xbxy

ax

aC

ax

by

axC

xw

=∂∂

∂⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∂∂∂

=∂∂

=∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

∂∂

Dq

bC

baC

aC

=++ 4224248224

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

=

42243238bbaa

D

qC

Funkcja opisująca powierzchnię ugiętą płyty przybiera następującą ostatecznąformę

a jej pochodne wynoszą

Warunki brzegowe, które wymagają, aby dla punktów leżących na konturze

są, jak widać, spełnione. Moment gnący wyliczamy następująco

czyli po wstawieniu w(x,y)

2

2

2

2

2

4224

13238

),( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

=by

ax

bbaaD

qyxw

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

∂∂ 14 ,14

2

2

2

2

22

2

2

2

2 by

ax

bCy

yw

by

ax

aCx

xw

0 ,0 ,0 ,012

2

2

2

=∂∂

=∂∂

==−+yw

xww

by

ax

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−= 2

2

2

2

ywv

xwDM x

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

−= v

ax

by

bby

ax

abbaa

qM x 1341343238

2

2

2

2

22

2

2

2

2

4224

xM

Przykład 13.2

Płyta prostokątna o wymiarach a, b i grubości h podparta swobodnie na obwodzie przenosi równomiernie rozłożone obciążenie q (rys. 13.9). Znaleźćrównanie powierzchni ugiętej w(x, y), jeśli stałe sprężyste materiału, z którego została ona wykonana, wynoszą E, v.

Rzadko uzyskuje się rozwiązania płyty w formie zamkniętej. Często poszukuje się funkcji w(x,y) w formie nieskończonego szeregu.

W przypadku naszego zadania musi być w=0 na konturze. Ponadto muszą sięzerować na konturze momenty gnące. Pociąga to za sobą konieczność

zerowania się pochodnych i dla x=0 i x=a, a także y=0 i y=b.

Takie warunki brzegowe spełnia podwójny nieskończony szereg trygonometryczny, którego składniki są sinusami

gdzie Amn - wartości stałe.

Do znalezienia stałych Amn zależnych od m = l, 2, 3,... i n = l, 2,3,... zastosujemy równanie (13.20). Obliczamy odpowiednie pochodne w(x,y) i po podstawieniu ich do równania (13.20) otrzymujemy

2

2

xw

∂∂

2

2

yw

∂∂

∑∑∞

=

∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

1 1

sinsin),(m n

mn bxn

axmAyxw ππ

∑∑

∑∑

∑∑

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1 14

441 1

22

4441 1

4

44

sinsin

sinsin2

sinsin

m nmn

m nmn

m nmn

Dq

bxn

axm

bnA

bxn

axm

banmA

bxn

axm

amA

πππ

πππ

πππ

Po zapisaniu lewej strony w formie jednej sumy równanie uzyskuje następującą postać

po dalszych oczywistych uproszczeniach

W celu rozłożenia prawej strony tego równania w podwójny szereg trygonometryczny stosujemy znaną z matematyki zależność

gdzie m = l, 3, 5,... W przypadku naszego zadania możemy napisać

Po pomnożeniu przez tak spreparowane jedynki możemy równanie różniczkowe powierzchni ugiętej płyty napisać w następującej formie

gdzie m = l, 3, 5,...; n = l, 3, 5,...

∑∑∞

=

∞

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

1 14

4

22

22

4

44 sinsin2

m nmn D

qb

xna

xmbn

banm

amA πππ

∑∑∞

=

∞

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

1 1

2

2

2

2

24 sinsin

m nmn D

qb

xna

xmbn

amA πππ

( ) ( ) 1sin4

czyli ,4

sin11∑∑∞

=

∞

=

==mm m

mmm ψππψ

1sin14 i 1sin1411

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∑∑

∞

=

∞

= nm axn

naxm

mπ

ππ

π

Dq

∑∑

∑∑∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

1 1

2

2

2

2

2

2

1 1

2

2

2

2

24

sinsin16

sinsin

m nmn

m nmn

bxn

axm

bn

amA

Dq

bxn

axm

bn

amA

πππ

πππ

Można je po oczywistych przekształceniach doprowadzić do ostatecznej następującej postaci

Warunkiem koniecznym i dostatecznym tego, aby suma niezależnych od siebie składników była równa zeru, jest to, aby każdy składnik był równy zeru

skąd

Wstawiamy Amn (które się zerują dla parzystych m i n) do poszukiwane-go w(x, y) i uzyskujemy ostateczne rozwiązanie zadania

∑∑∞

=

∞

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

1 12

2

2

2

2

24 0sinsin116

m nmn b

xna

xmmnD

qbn

amA ππ

ππ

01162

2

2

2

2

24 =−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

mnDq

bn

amAmn π

π

2

2

2

2

26

16

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

bn

ammnD

qAmn

π

( ) ∑∑∞

=

∞

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=1 1

2

2

2

2

26

sinsin16,

m n

bn

ammn

bxn

axm

Dqyxw

ππ

π

13.6 Płyty kołowe cienkieosiowosymetryczne

Płytę kołową obciążoną osiowosymetrycznie (rys. 13.10) można rozwiązaćstosunkowo łatwo. Zarówno bowiem obciążenia zewnętrzne q, jak i spowodowane nim ugięcia oraz siły wewnętrzne są funkcjami jednej zmiennej - promienia r

Płaszczyzna środkowa płyty staje się po jej odkształceniu powierzchniąosiowosymetryczną o równaniu w(r). W przyjętym układzie współ-rzędnych walcowych r, ϕ, z między ugięciem w(r) a kątem ugięcia ϑ(r) zachodzi relacja

(13.35)

Na infinitezymalny element płyty (rys. 13.11) działa w przekroju prze-chodzącym przez jej oś obwodowy moment gnący Mt , (w płaszczyźnie symetrii bowiem nie może występować ani siła poprzeczna, ani moment skręcający).

drdw

−=ϑ

W przekroju prostopadłym do promienia działa natomiast promieniowy moment gnący Mr, oraz równoległa do osi z siła poprzeczna T. Jeżeli pominąć działanie siły T, to w warstwie o grubości dz, od-ległej o z od płaszczyzny środkowej płyty, panuje płaski osiowosymetryczny stan naprężenia. Określające go naprężenia główne σr, (promieniowe) oraz σt, (obwodowe), jak również odpowiadające im odkształcenia εr εt są funkcjami dwóch zmiennych r i z

W celu znalezienia zależności εr i εt od kąta ugięcia J rozważymy dwie normalne do płaszczyzny środkowej płyty odległe od osi o r i r + dr przed i po ich obrocie spowodowanym odkształceniem (rys. 13.12).

Odległe o z=CA=FB od płaszczyzny środkowej punkty A i B przemieściły się w położenie A' i B', co spowodowało następujące odkształcenia εr i εt

(13.36)

Na podstawie uogólnionego prawa Hooke'a można określić zależność σri σt , od kąta ugięcia ϑ

(13.37)

(13.38)

( )

( ) ( ) zrr

rzrr

rAAr

zdrd

drzzd

ABAABB

r

r

ϑϑπ

ππε

ϑϑϑϑε

=−+

=−′+

=

=−+

=′−′

=

222

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=+

−=

rv

drd

vEzv

vE

trrϑϑεεσ 22 11

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=+

−=

drdv

rvEzv

vE

rttϑϑεεσ 22 11

Wzorując się na rozważaniach przeprowadzonych w p. 13.2 (wzory (13.9)), można napisać następujące relacje między Mr i σr oraz Mt i σt

Po wstawieniu do tych równań zależności (13.37) i (13.38), scałkowaniu i uwzględnieniu wzoru (13.11) i (13.12) otrzymujemy momenty gnące Mr,Mt, wyrażone przez kąt ugięcia ϑ

∫∫−−

==2

2

2

2

,

h

hrr

h

hrr zdzdrdrMzdzrdrdM σσϕϕ

Momenty gnące w płycie kołowej

(13.39)

(13.40)

Przy zmianie współrzędnej r o dr moment gnący Mr oraz siła poprzeczna T przyrosną odpowiednio o dMr oraz dT (rys. 13.11). Dla wyodrębnionego z płyty segmentu, który pozostaje w równowadze pod działaniem obciążenia zewnętrznego q(r) oraz sił wewnętrznych Mr(r),Mt(r) i T(r), można napisać dwa warunki równowagi.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

rv

drdDM r

ϑϑ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

drdv

rDM t

ϑϑ

Suma rzutów wszystkich sił na oś z jest równa zeru

stąd

(13.41)

( )( ) 0=−−+ drqrdTrddrrdTT ϕϕϕ

( )drTrdqr =

Suma momentów wszystkich sił względem osi leżącej w płaszczyźnie środkowej, stycznej do okręgu o promieniu r jest równa zeru

(dϕ przy Mt wynika z uproszczenia )

( )( ) ( )( ) 02

=+++−−−++ drddrrdTTdrdMdrqdrdrdMddrrdMM trrr ϕϕϕϕϕ

drdMdrdM tt 22

2sin2 ϕϕ

≈

Po uporządkowaniu i odrzuceniu małych wyższego rzędu otrzymuje sięnastępujące równanie

(13.42)( ) TrrMdrdM rt =−

Jeśli wstawimy zależności (13.42) i (13.43) do (13.45), otrzymamy równanie różniczkowe ze względu na kąt ugięcia ϑ

(13.43)DTr

rdrd

drdr −=−+

ϑϑϑ2

2

Równanie różniczkowe kątów ugięcia w płycie kołowej i jego całka

lub w postaci bardziej zwartej

(13.44)

Siła poprzeczna r może być określona z równania (13.41) lub, co jest często łatwiejsze, z warunku równowagi środkowej części płyty o promieniu r.

( )DTr

drd

rdrd

−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ϑ1

Kąt ugięcia ϑ wyznacza się przez dwukrotne całkowanie równania różniczkowego (13.47) i wyliczenie stałych całkowania C1, C2 z warunków brzegowych

(13.45)

Po wprowadzeniu wyrażenia (13.45) do (13.35), scałkowaniu i uwzględnieniu warunków brzegowych, otrzymuje się równanie powierzchni ugiętej w(r).

( )∫ ∫−+= drTdrrDrr

CrC 121ϑ

Naprężenia w płycie kołowej

Znając ϑ, wyznacza się z zależności (13.39) i (13.40) momenty gnące Mr iMt .Naprężenia można natomiast wyliczyć z odpowiednio adaptowanych wzorów (13.24), (13,25), i (13.27)

(13.46)

(13.47)

(13.48)

gdzie

2max3

6 ,2

dla ,12hMhz

hzM

IzM r

rrr

r =±=== σσ

2max3

6 ,2

dla ,12hMhz

hzM

IzM t

ttt

t =±=== σσ

hTz

ITS

rzrz 23 ,0 dla , max === ττ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

2

421 zhS

Przykład 13.3

Dla swobodnie podpartej na brzegu płyty kołowej o promieniu a i grubości h, przenoszącej równomiernie rozłożone obciążenie q (rys. 13.13), wy-znaczyć:1. Równania momentów gnących Mr (r), Mt (r) i narysować ich wykresy.2. Maksymalne naprężenie redukowane według hipotezy maksymalnych naprężeń stycznych.3. Równanie powierzchni ugiętej płyty w(r) oraz maksymalną wartośćugięcia.Z równania równowagi środkowej części płyty wyliczamy siłę poprzecznąT

qrTrqrT21 ,02 2 =⇒=+− ππ

Po wstawieniu T do równania (13.47) i scałkowaniu otrzymamy

Z warunków brzegowych wynika, że dla r = 0, ϑ= 0 oraz dla r = a, M r = 0,

czyli . Ponieważ kąt ϑ dla r = 0 rośnie nieograniczenie, a

musi być równy zeru, to jest to możliwe tylko wówczas, gdy C2 = 0. Natomiast C1 wyliczamy z równania

stąd więc

Dqr

rCrC

16

32

1 −+=ϑ

0=∂

+∂

rv

drd

,01616

3 2

1

2

1 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−

DqaCv

DqaC ,

13

163 2

1 vv

DqaC

++

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

++

= 32

13

16rra

vv

Dqϑ

Po wstawieniu ϑ do zależności (13.39) i (13.40) otrzymamy równania momentów gnących

na podstawie których rysujemy wykresy.

Naprężenie redukowane będzie miało największą wartość w środkowym

punkcie dolnej powierzchni płyty (r=0, ).Obliczamy je następująco

( )( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

−+=−+= 2222

3313

16 ,3

16r

vvav

DqMrav

DqM rr

hz21

=

( ) 2

2

31

32

2

2max

2max1max

2maxmax

383

0 ,616

3616

3

hqav

hqav

hM

qavMM

red

rtr

tr

+=−=

=⋅+

=====

+==

σσσ

σσσσσ

Po wstawieniu ϑ do wyrażenia (13.35) i scałkowaniu otrzymamy równanie powierzchni ugiętej płyty

Stałą całkowania C3 wyliczamy z warunku brzegowego: dla r = a, w = 0

stąd

Po wstawieniu C3 równanie powierzchni ugiętej płyty uzyska następującąpostać

Ugięcie w osiąga wartość maksymalną dla r =0 i wynosi

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

−=h

rravvC

Dqw

4213

16

422

3

0421

316

44

3 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

−aa

vvC

Dq

vvaC

++

=15

4

4

3

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

++

−++

= 4224

41

13

21

15

41

16rra

vva

vv

Dqw

4max 1

564

avv

Dqw

++

=

13.7 Błonowa teoria powłok osiowosymetrycznych

Jeśli płaszczyzna środkowa stanie siępowierzchnią, płyta zmieni się na powłokę. Zajmiemy się powłokami osiowosymetrycznymi o takiej małej równomiernej grubości, że zachowująsię jak błona, czyli nie podlegajązginaniu. Przyjmiemy, że przenoszą one osiowosymetryczne obciążenie, najczęściej ciśnienie (rys. 13.14). W dowolnym punkcie po-włoki panuje płaski stan naprężenia określony dwoma naprężeniami głównymi σ1 w przekroju płaszczyzną południkową oraz σ2 w prze-kroju powierzchnią stożkową o tworzącej normalnej do powierzchni środkowej. Obydwa naprężenia sąrozłożone równomiernie na grubości powłoki. Promienie krzywizny w rozpatrywanym punkcie powłoki, w płaszczyźnie południkowej oraz płaszczyźnie do niej prostopadłej, wynoszą odpowiednio ρ2 i ρ1.

Wyodrębnimy element powłoki o wymiarach ds1i ds2 (rys. 13.15). Pozostaje on w równowadze pod działaniem ciśnienia p oraz sił wewnętrznych związanych z naprężeniami σ1 i σ2.

Suma rzutów tych sil na normalną do powłoki w rozważanym punkcie jest równa zeru

Po uwzględnieniu, że

02

sin22

sin22

212

1

12121 =−−

ρσ

ρσ dshdsdshdsdspds

2

2

2

2

1

1

1

1

22sin i

22sin

rds

rds

rds

rds

≈≈

ponieważ są to sinusy małych kątów, więc po oczywistych uproszczeniach otrzymamy równanie Laplace’a

(13.49)hp

=+2

2

1

1

ρσ

ρσ

Równanie Laplace’a

Zawiera ono dwie niewiadome σ1 σ2 i aby można je było wyznaczyć, należy skorzystać dodatkowo z równania równowagi odciętej części powłoki (rys. 13.16). Suma rzutów sił zewnętrznych oraz siłwewnętrznych działających w ściance powłoki i związanych z naprężeniem σ2 na oś symetrii jest równa zeru

Równanie równowagi odciętej części powłoki

stąd(13.50)

gdzie: Q — ciężar odciętej części powłoki wraz z jej zawartością, np. cieczą,/? - nadciśnienie działające na powłokę na poziomie płaszczyzny jej odcięcia.Jeśli w zbiorniku znajduje się ciecz o ciężarze właściwym γ , a przecięcie

powłoki nastąpiło na głębokości g, to p wynosi

(13.51)gdzie po — nadciśnienie na powierzchni swobodnej cieczy.

αππσ

cos2

2

2 rhQpr +

=

γgpp += 0

0cos2 22 =−− Qprrh πασπ

Przykład 13.4

W zbiorniku kulistym o średnicy D i grubości ścianki h (rys. 13.17) znajduje się nieważki gaz o nadciśnieniu p. Wyznaczyć naprężenia σ1 σ2.

W rozważanym przypadku ,a więc . Można

je wyznaczyć z równania (14.1)

stąd (13.52)

D21

21 == ρρ σσσ == 21

hp

D=

212 σ

hpD421 === σσσ

Przykład 13.5

W walczaku o średnicy D i grubości ścianki h (rys. 13.18) znajduje sięnieważki gaz o nadciśnieniu p. Obliczyć naprężenia σ1 i σ2.

W rozważanym przypadku i równania przybierająpostać

stąd

(13.53)

∞== 21 ,21 ρρ D

hp

D=

21σ

04

2

2 =−DpDh πσπ

hpDh

pD

4

2

2

1

=

=

σ

σ

13.8 Zgięciowa teoria cienkiej powłoki walcowej

W przeciwieństwie do teorii błonowej, w teorii zgięciowej uwzględnia sięsztywność powłoki na zginanie. Założenia w tej teorii i tok rozwiązania sąanalogiczne do przyjętych w teorii zginania płyt cienkich.

Rozważmy szczególny, ale ważny i często spotykany w praktyce przypadek powłoki walcowej. Jej kształt opisuje promień powierzchni środkowej a i grubość h, natomiast osiowosymetryczne obciążenie funkcja q(x) — rys. 13.19 (ciśnienie zewnętrzne może spowodować utratę stateczności rury).

Rozwiązanie powłoki walcowej prowadzi do równania różniczkowego ze względu na funkcję w(x), która opisuje przemieszczenia promieniowe punktu powierzchni środkowej - rys. 13.20.

Na element wycięty dwoma odległymi o dx płaszczyznami

prostopadłymi do osi powłoki oraz dwoma tworzącymi kąt

płaszczyznami przechodzącymi przez tę oś działają: obciążenie q(x), siła normalna wzdłużna Nx i obwodowa Nt (x), siła poprzeczna Tx(x) oraz momenty gnące Mx(x), Mt(x) - rys. 13.21. Analogicznie do płyty, siły wewnętrzne przypadają na jednostkę długości określonego przekroju.

adsd =α

Rozważać będziemy równowagę układu sił zewnętrznych i wewnętrznych działających na element powłoki (rys. 13.21).

Z warunku rzutów sił na oś x (czyli na kierunek tworzącej powierzchni środkowej) wynika, że dNx = 0. Oznacza to, że jeśli nie ma składowych siłzewnętrznych o kierunku x, to Nx = const i określają obciążenie zewnętrzne przyłożone na końcach powłoki.

Na podstawie warunku rzutów sil na kierunek promieniowy można ustalićnastępującą zależność

(13.54)

W wyprowadzeniu uwzględniono, że .

( ) ( ) 02

2 =−+++ dsTdsdTTdsdxxqddxN xxxtα

( )xqaN

dxdT tx −=+

adsdd222

sin ≈≈αα

Natomiast z warunku momentów względem prostej stycznej do linii środkowej, leżącej w płaszczyźnie normalnej do osi x, wynika zależność taka jak dla belki zginanej

(13.55)xx T

dxdM

=

Traktując element wycięty dwoma płaszczyznami tworzącymi kąt da wzdłuż

całej powłoki podobnie jak wyodrębnioną z płyty o sztywności

belkę, w przekroju której działa moment gnący Mx(przypadający na jednostkę szerokości belki), można sformułowaćnastępujące równanie

(13.56)

( )2

3

112 vEhD−

=

DM

dxwd x−=2

2

Z formuł (13.56) i (13.55) wynikają zależności

(13.57)3

3

x2

2

T ,dx

wdDdx

wdDM x −=−=

Ponieważ odkształcenie obwodowe w warstwie środkowej elementu

, więc korzystając z prawa Hooke’a, można

określić siłę obwodową Nt

(13.58)

( )aw

adaddwa

t −=−−

=α

ααε

wa

EhhEhN tt −=== 1εσ

Równanie przemieszczenia promieniowego powłoki walcowej i jego całka (13.59)

gdzie

(13.60)

Dqw

dxwd

=+ 44

4

4β

( )22

2

24 13

4 hav

DaEh −

==β

Po dwukrotnym zróżniczkowaniu zależności (13.56) względem x i za-stosowaniu wzorów (13.54), (13.55) oraz (13.50) otrzymuje się równa-nie różniczkowe ze względu na przemieszczenie promieniowe po-wierzchni środkowej powłoki w(x)

Całka ogólna równania (13.59) jest sumą całki ogólnej równania jedno-rodnego przy q = 0 i całki szczególnej w1 równania niejednorodnego przy

(13.61)

gdzie: C1, C2, C3, C4 - stałe całkowania, które należy wyznaczyć z warunków brzegowych.

Znając w(x), wyznacza się siły wewnętrzne ze wzorów (13.57) i (13.58) przy uwzględnieniu, że

(13.62)a następnie oblicza naprężenia.

0≠q

2

2

dxwdvDvMM xt =−=

( ) ( ) ( ) 14321 coscoscoscos wxCxCexCxCexw xx ++++= − ββββ ββ

Naprężenia w powłoce walcowej

Siły normalne wywołują naprężenia normalne równomiernie rozłożone na grubości h, tak jakby powłoka była błoną

(13.63)Siła poprzeczna wywołuje naprężenie styczne o rozkładzie parabolicznym na grubości h, którego wartość maksymalna dla z = 0 wynosi

(13.64)

Momenty gnące wywołują naprężenia normalne o liniowym rozkładzie na

grubości h, których wartości maksymalne dla wynoszą

(13.65)

( ) ( )hN

hN t

btx

bx == σσ ,

( )hTx

xz 23

max =τ

hz21

±=

( ) ( ) 22max2max66 ,6

hvM

hM

hM xt

gtx

gx ±=±=±= σσ

Przykład 13.6

W długiej rurze o promieniu a i grubości ścianki h ze sztywnym kołnierzem panuje stałe nadciśnienie - q (znak wynika ze zwrotu obciążenia w stosunku do zwrotu osi z) - rys. 13.22. Narysowaćwykresy w(x) i Mx(x) oraz. obliczyć maksymalną wartość momentuMxmax i wywołanego nim naprężenia (σx)gmax.

Nietrudno sprawdzić, że całka szczególna równania (13.59) wobec q = const ma postać

(13.66)

a więc całkę ogólną można zapisać następująco

(13.67)

Ehqa

Dqwt

2

44−=

−=

β

( ) ( ) ( )D

qxCxCexCxCexw xx44321 4

coscoscoscosβ

ββββ ββ −+++= −

Przy x zwiększającym się w(x) powinno zmierzać do wartości stałej wynikającej z błonowej teorii powłok, a tymczasem pierwszy składnik zwiększa sięnieograniczenie. Musi zatem być C1 = C2 = 0. Dla x = O,

w = 0 i , co umożliwia wyliczenie C3 i C40=dxdw

Ehqa

DqCC

2

443 4−

=−

==β

Rozwiązanie uzyskuje ostatecznie formę

( ) ( )[ ]xxeEhqaxw x βββ sincos1

2

+−−

= −

a moment gnący Mx w myśl zależności (13.23) wynosi

( ) ( )

( ) ( )xxev

qah

xxeEhqaDxM

x

xx

ββ

βββ

β

β

sincos132

sincos2

2

22

+−

=

=+=

−

−

Wykresy w (x) i Mz(x) pokazano na rys. 13.23. Widać, że Mx(x) szybko zanika ze wzrostem x, a więc wpływ zginania ma lokalny charakter.

Wartości maksymalne Mxmax i (σ)gmax występują dla x = 0 i wynoszą

( )2max132 v

qahM z−

= ( ) ( ) hqa

vhqa

gx 82,113

32max ≈

−=σ

13.9 Metoda elementów skończonych dla płyt i powłok

13.9.1 Metoda elementów skończonych dla płyt

Ugięcie płyty o dowolnym kształcie jest określone równaniem (por. (13.20))

(13.68) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ω∈=∂

∂+

∂∂∂

+∂

∂ yxyxqy

yxwDyx

yxwDx

yxwD , ,,,,2,4

4

22

4

4

4

Równanie to należy uzupełnić odpowiednimi warunkami brzegowymi na ∂Ω=Γ. Typowe warunki brzegowe przedstawiono w p. 13.5.

Znając ugięcie w(x, y), można obliczyć odkształcenia i naprężenia w płycie. Stan naprężenia w płycie jest określony przez siły wewnętrzne. Wprowadźmy macierze kolumnowe uogólnionych naprężeń i odkształceń

Macierze kolumnowe uogólnionych naprężeńi odkształceń

(13.69)

(13.70)

gdzie: κx κy - funkcje krzywizn, χ - funkcja zwichrzenia.

( ){ }( )( )( )⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=yxMyxMyxM

yx

xy

y

x

,,,

,σ

( ){ }( )( )( )

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂∂

−

∂∂

−

∂∂

−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

yxw

yw

xw

yxyxyx

yx y

x

2

2

2

2

2

2,2,,

,χκκ

ε

Związki fizyczne są teraz określone następująco

(13.71)

gdzie macierz sprężystości ma postać

(13.72)

{ } [ ]{ }εσ D=

[ ] ( ) ( ) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

=2/100

0101

112 2

3

vv

v

vEhD

Zastosowanie metody elementów skończonych do wyznaczenia ugięćpłyty w(x,y) polega w pierwszym etapie na podziale dwuwymiarowego obszaru Ω na elementy skończone Ω', e= 1,2,..., N. Podobnie jak w przypadku dwuwymiarowych zagadnień brzegowych teorii sprężystości przy dyskretyzacji płyty możemy stosować elementy trójkątne lub prostokątne (rys. 13.24).

Równanie (13.68) jest spełnione na elemencie w sposób przybliżony. Całka ważona określona na elemencie skończonym Ωe ma postać

(13.73)

gdzie v = v(x, y) jest funkcją wagi.

∫Ω

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

e

dxdyqywD

yxwD

xwDv 02 4

4

22

4

4

4

Sformułowanie słabe dla płyty.

Całkując wyrażenie (13.73) przez części, otrzymujemy sformułowanie słabe dla płyty

(13.74)

gdzie nx i ny są kosinusami kierunkowymi normalnej do brzegu.

( ) ( ) 0

2 4

4

2

222

4

4

2

2

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

∂∂

++∂∂

+

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂∂

∂+

∂∂

∂∂

∫

∫

∫

Γ

Γ

Ω

dsnMnMyvnMnM

xv

dsny

Mx

Mn

yM

xMv

dxdyvqyw

yvD

yxw

yxvD

xw

xvDv

e

e

e

yyxyxyxyxx

yyyx

xxyx

Warto zauważyć, co jest typowe dla sformułowania słabego, że w zależności (13.74) zostały obniżone wymagania związane z różniczkowalnością ugięcia w(x,y). Pochodne funkcji wagi względem współ-rzędnych x i y zamienimy na pochodne względem lokalnych współ-rzędnych: normalnej n i stycznej s

(13.75)

Korzystając z zależności (13.75), możemy całki brzegowe w sformułowaniu słabym (13.74) przekształcić do postaci

(13.76)

yxyx nnvn

sv

yvn

svn

nv

xv

∂∂

−∂∂

=∂∂

∂∂

−∂∂

=∂∂ ,

∫ ∫Γ Γ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

+−e e

dsMsvM

nvdsvT nsnn

gdzie:

(13.77)

Całkując przez części drugi składnik w drugiej całce (13.76), otrzymujemy

(13.78)

gdzie jest reakcją będącą ekwiwalentem siły poprzecznej Tn

i momentu skręcającego Mns na brzegu.

( ) ( )22

22 2

yxxyyxxyns

yxxyyyxxn

yyxxn

nnMnnMMM

nnMnMnMM

nTnTT

−+−=

++=

+=

∫Γ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −∂∂ dsvVMnv

nn

sM

TV nsnn ∂

∂+=

W sformułowaniu słabym (13.74) występujące drugie pochodne ugięć i funkcje interpolacyjne powinny być tak dobrane, aby na granicach sąsia-dujących elementów osiągnąć ciągłość ugięć i ich pierwszych pochodnych.

Przyjmując jako parametry węzłowe kąty obrotów i ,

można wymusić spełnienie tego warunku w punktach węzłowych. xw

y ∂∂

=ϑyw

x ∂∂

−=ϑ

Przyjmijmy następującą aproksymację ugięć płyty na elemencie skończonym

(13.79)

gdzie , j = l, 2,..., n, są uogólnionymi przemieszczeniami węzłowymi, które w k-tym węźle są zestawione w macierz kolumnową

(13.80)

( ) ( ) [ ] { }∑ ∑= =

ΔΨ=ΨΔ≈n

j

A

kk

ek

eej

ej

e yxyxw1 1

,,

ejΔ

{ }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=Δeyk

exk

ek

ke

w

ϑϑ

, j= l, 2,..., n, są funkcjami interpolacyjnymi zestawionymi dla każdego k-tego węzła w macierz wierszową zawierającą trzy elementy. ejΨ

[ ]keΨ

Element płytowy prostokątny

W przypadku elementu prostokątnego liczba węzłów wynosi A = 4 i liczba parametrów opisujących element wynosi n =12, natomiast dla elementu trójkątnego A = 3 i n = 9. Dla elementu prostokątnego (rys. 13.25) funkcjęaproksymacyjną ugięć przyjmujemy w postaci wielomianu o n = 12 parametrach

(13.81)

( )3

123

113

10

29

28

37

265

24321,

xycyxcyc

xycyxcxcycxycxcycxccyxwe

+++

+++++++++=

( ) ( ) 39

38

227

265

24321, ycxcxyyxcycxycxcycxccyxwe +++++++++=

W przypadku elementu trójkątnego (rys. 13.26) wielomian ma n = 9 parametrów

(13.82)

Element płytowy trójkątny

Współczynniki ci, i= l, 2,..., n, wielomianów są określane z warunków zgodności przemieszczeń uogólnionych (13.80) w punktach węzłowychk =1,2,..., A.

Funkcje interpolacyjne dla elementu płytowego prostokątnego

Funkcje interpolacyjne dla elementu prostokątnego można przedstawić w postaci

(13.83)

gdzie

są bezwymiarowymi współrzędnymi lokalnymi na elemencie skończoym.

[ ] ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )]111

,111

,211[21

2

2

22

−++

+−+

++++++=Ψ

kkkk

kkkk

kkkkke

b

a

ηηηηξξη

ηηξξξξξ

ηξηηξξηηξξ

byy

axx ss −

=−

= ηξ ,

Funkcje interpolacyjne dla elementu płytowego trójkątnego

W przypadku elementu trójkątnego funkcje interpolacyjne przyjmują postać

(13.84)

gdzie

[ ]( ) ( )( ) ( ),5,05,0

,5,05,0

,[

212

212112

2

212

212112

2

21

212

21

2

++++++++

++++++++

++++

+−+

+−+

−−++=Ψ

kkkkkkkkkkkk

kkkkkkkkkkkk

kkkkkkkkkke

LLLLLcLLLLLc

LLLLLbLLLLLb

LLLLLLLLL

12

21

1221

2

++

++

++++

−=−=

−=

++=

kkk

kkk

kkkkk

e

kkkk

xxcyyb

yxyxaA

ycxbaL

Po podstawieniu zależności (13.78) do (13.74) w miejsce (13.76)

otrzymujemy dla eiv Ψ=

(13.85)

gdzie elementy macierzy sztywności elementu skończonego płyty mająpostać

(13.86)

natomiast elementy macierzy sil węzłowych wyrażają się następująco

(13.87)

(13.88)

[ ]{ } { } { }eeee QfK +=Δ

dxdyyy

Dyxyx

Dxx

DKe

ej

ei

ei

ei

ej

eie

ij ∫Ω ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂Ψ∂

∂Ψ∂

+∂∂Ψ∂

∂∂Ψ∂

+∂Ψ∂

∂Ψ∂

= 2

2

2

222

2

2

2

2

2

∫Ω

Ψ=e

dxdyqf ei

ei

∫Γ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂Ψ∂

−Ψ=e

dsn

MVQei

nnei

ei

Elementy macierzy sztywności elementu skończonego płyty

Znając wartości węzłowe ugięć, można teraz obliczyć odkształcenia

(13.89)

gdzie macierz geometryczna ma postać

(13.90)

Naprężenia obliczamy następująco

(13.91)

{ } [ ] { }ke

ke B Δ=ε

[ ]

[ ][ ]

[ ]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂Ψ∂

−

∂Ψ∂

−

∂Ψ∂

−

=

yx

y

x

B

ke

ke

ke

k

2

2

2

2

2

{ } [ ]{ } [ ][ ] { }ke

keeee BDD Δ== εσ

Macierz sztywności [Ke} ma wymiary n x n, czyli 12 x 12 dla elementu prostokątnego i 9 x 9 dla elementu trójkątnego płyty. Macierz ta może byćprzedstawiona także w innej postaci niż (13.86)

Macierz sztywności elementu płytowego

(13.92)

przy czym

(13.93)

[ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

∫Ω

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==e

eeee

eeee

eeee

eeee

eTee

KKKKKKKKKKKKKKKK

dxdyBDBK

44434241

34333231

24232221

14131211

[ ] [ ] [ ][ ]∫Ω

=e

dxdyBDBK lTkkl

e

13.9.2 Metoda elementów skończonych dla powłok

Konstrukcje powłokowe łączą w sobie stan tarczowy i płytowy. Dlatego do analizy powłok za pomocą metody elementów skończonych można zastosowaćpłaskie elementy skończone, które łączą w sobie cechy elementu płaskiego teorii sprężystości i elementu płytowego. Przy dyskretyzacji powłoki można zatem stosować, podobnie jak w przypadku tarczy i płyty, elementy prostokątne i trójkątne (rys. 13.27).

Rozważmy dla przykładu element trójkątny (rys. 13.28). Jest to element 18 parametrowy, ponieważ w każdym węźle elementu mamy 6 parametrów

dla k=1,2,3 (13.94)

Dwie pierwsze współrzędne uk i vk opisują przemieszczenia k-tego węzła w płaszczyźnie elementu i określają stan tarczowy. Następne trzy

współrzędne wk, ,określają typowy dla płyty stan zgięciowy.

Ostatnia współrzędna opisująca dodatkowy obrót została wprowadzona, ponieważ powierzchnia powłoki jest zakrzywiona i elementy nie leżą w jednej płaszczyźnie.

{ } [ ]Tzkykxkkkkke wvu ϑϑϑ ,,,,,=Δ

xkϑ ykϑ

zkϑ

Przemieszczenia liniowe elementu powłokowego są aproksymowane następująco

(13.95)

gdzie macierz funkcji interpolacyjnych o wymiarach 3 x 6 ma postać

(13.96)

[ ] { }∑=

ΔΦ=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧3

1),,(),,(),,(

kk

ek

e

e

e

e

zyxwzyxvzyxu

[ ]keΦ

[ ] [ ][ ] ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ΨΨ=Φ

000

0plytak

e

tarczak

e

ke

Podmacierze i są funkcjami interpolacyjnymi dla

elementu tarczowego i płytowego.

[ ]tarczak

eΨ [ ]plytak

eΨ

Macierze odkształceń i naprężeń są dla powłoki złożeniem odpowiednich macierzy dla tarczy i płyty

(13.97)

gdzie: h - grubość tarczy, Nx, Ny, Nxy - siły przekrojowe.

{ } { }{ }

,

2 ⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

χκκγεε

εεε

y

x

xy

y

x

plyta

tarcza

{ } { }{ }

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

xy

y

x

xy

y

x

plyta

tarcza

MMMNNN

hσσσ

Macierz sztywności elementu powłokowego

Macierz sztywności elementu powłokowego ma następującą strukturę

(13.98)

Element macierzy sztywności na kierunku ϑzk został oznaczony jako . Faktycznie powinien on być równy zeru. Z punktu widzenia numerycznego, aby uniknąć osobliwości układu równań, ten element macierzy sztywności jest różny od zera, ale właściwie dobrany w nie-znaczny sposób wpływa na wyniki obliczeń. Przyjmuje się go zwykle w postaci

gdzie: λ < 0,03, he - grubość. Ae - pole powłokowego elementu skończonego.

[ ] [ ] [ ][ ][ ]

[ ]∫Ω

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==e zast

kl

plytakl

e

tarczakl

e

lTkkl

e

KK

KdxdyBDBK

000000

zastklK

⎩⎨⎧

≠−=

=lkAEhlkAEh

Kee

eezastkl dla 5,0

dla ,λ

λ