PODSTAWY LINIOWEJ TEORII SPRĘŻYSTOŚCI

• Przestrzenne zadanie brzegowe teorii sprężystości

• Metody rozwiązywania zadań brzegowych teorii sprężystości

• Rozwiązanie płaskiego zadania brzegowego teorii sprężystości w naprężeniach

• Rozwiązanie płaskiego osiowosymetrycznego zadania brzegowego teorii sprężystości w przemieszczeniach

• Naprężenia kontaktowe

Przestrzenne zadanie brzegowe teorii sprężystości

1. Ciało jest wypełnione w sposób ciągły materią zarówno przed, jak i po odkształceniu (kontinuum materialne).

2. Ośrodek ciągły jest fizycznie jednorodny i izotropowy.3. Przemieszczenia i odkształcenia pojawiają się w chwili przyłożenia

obciążeń wywołujących naprężenia.4. Istnieje naturalny beznapięciowy (beznaprężeniowy) stan ciała, do

którego powraca ono zawsze po odciążeniu.5. Odkształcenia i przemieszczenia są bardzo małe.6. Ośrodek ciągły (materiał) zachowuje się zgodnie z prawem Hooke’a.7. Funkcje określające naprężenia, przemieszczenia i odkształcenia są

ciągłe i różniczkowalne.

Klasyczna, liniowa teoria sprężystości jest mechaniką ciała (ośrodka)odkształcalnego, opierająca się na następujących założeniach:

Przestrzenne zadanie brzegowej teorii sprężystościmożna sformułować w następujący sposób:

Dane jest ciało liniowo sprężyste o dowolnym kształcie i wymiarach ( rys. 10.1 )

Przyjmujemy, że pozostaje ono w spoczynku. Znany jest sposób podparcia ciała i jegowłasności sprężyste. Określone są siły powierzchniowe q i masowe X ( objętościowe Xρ )działające na rozważane ciało. Poszukujemy natomiast wektorowego pola przemieszczeńoraz tensorowych pól stanu naprężenia i odkształcenia w tym ciele. Innymi słowy, trzebaznaleźć piętnaście funkcji współrzędnych punktu w ciele nieodkształconym.

Rys. 10.1

( )3,2,1,, =kji

( )ki xu ( )3,2,1, =ki

( )3,2,1,, =kji( )kij iε

( )zyxx ,,σ ( )zyxxy ,,τ

( )zyxy ,,σ ( )zyxyz ,,τ

( )zyxz ,,σ ( )zyxzx ,,τ

( )zyxu ,,

( )zyxv ,,( )zyxw ,,

( )zyxx ,,ε ( )zyxxy ,,γ

( )zyxy ,,ε ( )zyxyz ,,γ

( )kij x=σ

( )zyxz ,,ε ( )zyxzx ,,γ

lub w notacji inżynierskiej:

( 10.1 )

( 10.2 )

( 10.3 )

( 10.4 )

( 10.6 )

Poszukiwane funkcje:

( 10.5 )

Do znalezienia tych funkcji należy zastosować piętnaście podstawowych równań teorii sprężystości, które zostały wcześniej wprowadzone. Tworzą one trzy grupy zależności:

A. Równania wewnętrznej równowagi lokalnej

Są to trzy warunki Naviera, w których uwzględniono postulat Boltzmana, zwany także warunkiem Cauchy’ego

0, =ρ+σ ijji X

( )3,2,1;3,2,1 == jijiij σ=σ

( 10.7 )

( 10.8 )

( )3,2,1;3,2,1 == ji

albo w notacji inżynierskiej:

0=ρ+∂τ∂

+∂

τ∂+

∂σ∂ X

zyxzxyxx

0=ρ+∂

τ∂+

∂

σ∂+

∂

τ∂Y

zyxzyyxy

0=ρ+∂σ∂

+∂

τ∂+

∂τ∂ Z

zyxzyzxz

yxxy τ=τ zyyz τ=τ xzzx τ=τ

( 10.9 )

( 10.10 )

B. Związki geometryczne.Wyróżnia się dwa rodzaje związków geometrycznych:

B1. Zależność między składowymi stanu odkształcenia i przemieszczeniami, czyli sześć związków Cauchy’ego.

( )ijjiij uu ,,21

+=ε ( )3,2,1;3,2,1 == ji

jiij ε=ε

( 10.11 )

( 10.12 )

albo w notacji inżynierskiej:

,xu

x ∂∂

=ε ,yv

y ∂∂

=ε ,zw

z ∂∂

=ε

,xv

yu

xy ∂∂

+∂∂

=γ ,yw

zv

yz ∂∂

+∂∂

=γ ,zu

xw

zx ∂∂

+∂∂

=γ ( 10.13 )

B2. Warunki ciągłości ( nierozdzielności ) odkształceń de Saint – Venanta,których jest także sześć:

0 , lnj =mnklikm ee ε ( )3,2,1;3,2,1 == ji

( )3,2,1;3,2,1 == lk

( )3,2,1;3,2,1 == nm ( 10.14 )albo w notacji inżynierskiej:

,2

2

2

2

2

yxxyxyyx∂∂

γ∂=

∂

ε∂+

∂ε∂ ,

2

2

2

2

2

zyyzyzzy

∂∂

γ∂=

∂ε∂

+∂

ε∂

xzzxzxxz∂∂γ∂

=∂

ε∂+

∂

ε∂ 2

2

2

2

2

zyxyzxxyzzxxy

∂∂ε∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

γ∂−

∂γ∂

+∂

γ∂

∂∂ 2

2

xzyzxyyzxxyyz

∂∂

ε∂=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂γ∂

−∂

γ∂+

∂

γ∂

∂∂

22

yxzxyzzxyyzzx

∂∂ε∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

γ∂−

∂

γ∂+

∂γ∂

∂∂ 2

2

( 10.15 )

C. Związki fizyczneJest to uogólnione prawo Hooke’a, które może mieć dwojaką postać:

C1. Sześć funkcji określających składowe stanu odkształcenia w zależności od składowych stanu naprężenia:

ijkkijij EEδσ

ν−σ

ν+=ε

1 ( )3,2,1,, =kji( 10.16 )

albo w notacji inżynierskiej:

( )[ ]zyxx Eσ+σν−σ=ε

1

( )[ ]xzyy Eσ+σν−σ=ε

1

( )[ ]yxzz Eσ+σν−σ=ε

1

,Gxy

xyτ

=γ ,Gyz

yzτ

=γGzx

zxτ

=γ

( 10.17 )

C2. Sześć funkcji określających składowe stanu naprężenia w zależności od składowych stanu odkształcenia.

ijkkijijGG δεν−

ν+ε=σ

2122 ( )3,2,1;3,2,1;3,2,1 === kji ( 10.18 )

albo w notacji inżynierskiej:

( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ε+ε+ε

ν−ν

+εν+

=σ zyxxxE

211

( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ε+ε+ε

ν−ν

+εν+

=σ zyxyyE

211

( )1 1 2z z x y z

E νσ ε ε ε εν ν⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥+ −⎣ ⎦

xyxy Gγ=τ

yzyz Gγ=τ

zxzx Gγ=τ

( 10.19 )

W dynamicznym zadaniu brzegowym teorii sprężystości poszukiwane funkcje ( 10.1 ), ( 10.2 ) i ( 10.3 ) albo ( 10.4 ),( 10.5 ) i ( 10.6 ) są dodatkowo zależne od czasu t. W równaniach równowagi wewnętrznej należy uwzględnić siły bezwładności d’Alemberta przyłożone do infinitezymalnego prostopadłościanu. Formuły ( 10.7 ) albo ( 10.9 ), w których prawe strony są odpowiednio równe :

2

2..

tu

iu i

∂

∂ρ=ρ ( )3,2,1=i

,2

2

tu

∂∂

ρ ,2

2

tv

∂∂

ρ ,2

2

tw

∂∂

ρ

albo

stają się dynamicznymi równaniami ośrodka ( ciała ) odkształcalnego.

Metody rozwiązywania zadań brzegowych teorii sprężystości

Poszukiwane funkcje ( 10.1 ), ( 10.2 ) i ( 10.3 ) albo ( 10.4 ),( 10.5 ) i ( 10.6 ) muszą być tak dobrane, aby spełniały podstawowe równania teorii sprężystości A, B i C oraz warunki brzegowe, a w przypadku zadania dynamicznego także warunki początkowe.

Rozwiązanie w naprężeniach polega na tym, że w pierwszej kolejności wyznacza się sześć funkcji określających składowe stanu naprężenia ( )kij xσ ( )3,2,1,, =kji

albo ( ),,, zyxxσ ( ),,, zyxyσ ( ),,, zyxzσ ( ),,, zyxxyτ ( ),,, zyxyzτ ( ).,, zyxzxτ

Należy w tym celu tak przekształcić podstawowe równania teorii sprężystości, aby uzyskaćukład równań różniczkowych ze względu na naprężenia. Trzy pierwsze równania tego układu stanowią lokalne warunki równowagi wewnętrznej A. Aby uzyskać pozostałe równania, należy składowe stanu odkształcenia, wyrażone przez składowe stanu naprężenia w zależnościach C1, wprowadzić do warunków ciągłości odkształceń B2. Po dokonaniu tej operacji i po przekształceniach, w trakcie których stosuje się równieżrównania równowagi lokalnej, otrzymujemy warunki nierozdzielności odkształceńwyrażone przez naprężenia. Jest to sześć równań Beltramiego - Michella >>>

Sześć równań Beltramiego – Michella:

( ) kkijijjiijkkkkij XXX ,,,,, 111

δν−

ν−+−=σ

ν++σ ( )3,2,1,, =kji ( 10.20 )

albo w notacji inżynierskiej:

0211

32

22 =ρ

∂∂

+ρ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

ν−ν

+∂

σ∂ν+

+σ∇xX

zZ

yY

xX

xśr

x

0211

32

22 =ρ

∂∂

+ρ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

ν−ν

+∂

σ∂ν+

+σ∇yY

zZ

yY

xX

yśr

y

0211

32

22 =ρ

∂∂

+ρ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

ν−ν

+∂σ∂

ν++σ∇

zZ

zZ

yY

xX

zśr

z

01

3 22 =ρ

∂∂

+ρ∂∂

+∂∂σ∂

ν++τ∇

xZ

zX

xzśr

xy

01

3 22 =ρ

∂∂

+ρ∂∂

+∂∂σ∂

ν++τ∇

zX

yY

zyśr

yz

01

3 22 =ρ

∂∂

+ρ∂∂

+∂∂σ∂

ν++τ∇

yX

xY

yxśr

xy( 10.21 )

oznacza operator harmoniczny Laplace’a zwany laplasjanem.Czytaj „ nabla dwa”.

( 10.22 )

- 2

2

2

2

2

22

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

Poszukiwanych sześć funkcji ( )kij xσ ( )3,2,1,, =kji albo ( ),,, zyxxσ( ),,, zyxyσ ( ),,, zyxzσ ( ),,, zyxxyτ ( ),,, zyxyzτ ( ),,, zyxzxτ

musi spełniać równania równowagi wewnętrznej A, równania Beltramiego – Michella orazwarunki brzegowe:

jnjiniq ασ= ( )3,2,1;3,2,1 == ji

albo w notacji inżynierskiej:

( ) ( ) ( )znynxnq zxyxxnx coscoscos τ+τ+σ=

( ) ( ) ( )znynxnq zyyxyny coscoscos τ+σ+τ=

( ) ( ) ( )znynxnq zyzxznz coscoscos σ+τ+τ=

( 10.23 )

( 10.24 )

W tym przypadku n jest normalną do powierzchni zew. ciała w rozważanympunkcie, której kierunek wyznaczają albo cos( xn ), cos( yn ), cos( zn ). ( )3,2,1=α jij

Ściana elementarnego czworościanu ( patrz obok )prostopadła do n jest fragmentem powierzchniciała, na który działa obciążenie powierzchnioweq( x, y, z ) o składowych qni ( i = 1, 2, 3 )albo qnx, qny, qnz. Pozostałe trzy wzajemnie prostopadłe ściany,na których występująnaprężenia, znajdują się już wewnątrz ciała. Warunki brzegowe wiążą znane powierzchnioweobciążenia zewnętrzne ze stanem naprężenia

wewnątrz ciała.

Przy okazji omawiania warunków brzegowych warto przytoczyćzasadę de Saint – Venanta, która brzmi:

Zasada ta umożliwia modyfikację i upraszczanie warunków brzegowych. Wynika z niej również, że stan naprężenia w pobliżu miejsca przyłożenia obciążenia powinien byćprzedmiotem odrębnej analizy. Wiąże się to z naprężeniami stykowymi.

Różne, ale statycznie równoważne układy sił, przyłożone na niewielkiej części powierzchni ciała, wywołują w punktach dostatecznie oddalonych od strefy działania obciążenia praktycznie jednakowe stany naprężenia. Przez dostateczne oddalenie od strefy działania obciążenia należy rozumieć odległość rzędu porównywalnego z liniowymi wymiarami powierzchni, na którą działa układ sił zewnętrznych.

Rozwiązanie w przemieszczeniach polega na tym, że w pierwszej kolejności wyznacza się trzy funkcje określające przemieszczenia albo

Należy w związku z tym przekształcić podstawowe równania teorii sprężystości, aby uzyskać układ równań różniczkowych ze względu na przemieszczenia. W tym celu składowe stanu odkształcenia wyrażone przez przemieszczenia zgodne z zależnościami B1 wprowadzamy do uogólnionego prawa Hooke’a ( C2 ). Uzyskamy składowe stanu naprężenia wyrażone przez przemieszczenia, które różniczkujemy i wstawiamy do warunków równowagi wewnętrznej A. Po przekształceniach otrzymamy warunki równowagi wewnętrznej wyrażone w przemieszczeniach, czyli trzy równania Naviera – Lamego :

( )ji xu ( )3,2,1, =ji ( ),,, zyxu( ),,, zyxv ( ).,, zyxw

( ) 0,, =++λ+ ijijjji XuGGu ( )3,2,1,, =kji

( ) 02 =ρ+∇+∂ϑ∂

+λ YvGy

G

( ) 02 =ρ+∇+∂ϑ∂

+λ XuGx

G

( ) 02 =ρ+∇+∂ϑ∂

+λ ZwGz

G

;zw

yv

xu

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=ε+ε+ε=ϑ - 21

2ν−

ν=λ

G

( 10.25 )

( 10.26 )

albo w notacji inżynierskiej:

stała Lamegogdzie:

Funkcje albo musząspełniać układ równań różniczkowych cząstkowych Naviera – Lamego ( 10.25 ) lub ( 10.26 ) oraz warunki brzegowe. Są to warunki naprężeniowe ( 10.23 ) albo ( 10.24 ), które należy również podać w przemieszczeniach. Aby uzyskać odpowiednie formuły, wystarczy w naprężeniowych warunkach brzegowych ( 10.23 ) albo ( 10.24 ) składowe stanu naprężenia wyrazić przez przemieszczenia, w analogiczny do stosowanego przy wyprowadzeniu równańNaviera -Lamego. Mogą to być również przemieszczeniowe warunki brzegowe określające przemieszczenia albo na części lub na całym brzegu.

Rozwiązanie przestrzennego zadnia brzegowego teorii sprężystości wprost, tzn. przez całkowanie układu cząstkowych równań różniczkowych jest bardzo trudne. Dlatego stosuje się różne sposoby ułatwiające uzyskanie choćby przybliżonego rozwiązania. Wprowadza się w tym celu uproszczone modele geometryczne ciała liniowo – sprężystego, takie jak pręt, tarcza, płyta czy powłoka. Stosuje się przybliżone metody rozwiązywania równań różniczkowych. Korzysta się także z przybliżonych metod numerycznych rozwiązywania zadań teorii sprężystości, takich jak metoda różnic skończonych, metoda elementów skończonych czy metoda elementów brzegowych. Metody te noszą nazwę metod macierzowych lub komputerowych, ponieważ opierają się na rachunku macierzowym i sąprzystosowane do obliczeń za pomocą komputera.

( )ji xu ( )3,2,1, =ji

( ),,, zyxu ( ),,, zyxv ( )zyxw ,,( )ji xu ( )3,2,1, =ji

( ),,, zyxv ( )zyxw ,,( ),,, zyxu

ROZWIĄZANIE PŁASKIEGO ZADANIA BRZEGOWEGO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI W

NAPRĘŻENIACH.Wyróżnić trzeba dwa przypadki tego zadania, a mianowicie płaski stan naprężenia

lub odkształcenia. Poszukuje się odpowiednio funkcji lub Rozważymy szczegółowo pierwszy przypadek, który

zilustrowano na rys. 10.2, przedstawiającym tarcze przenoszącą obciążenia zewnętrzne q( x, y ) i utwierdzoną na części brzegu.

( ),, yxxσ ( ),, yxyσ ( )yxxy ,τ( ),, yxxε ( ),, yxyε ( )., yxxyγ

Rys.10.2Podstawowe równania teorii sprężystości przedstawiają się następująco: >>>

Płaskie zadania teorii sprężystościPłaskie zadania teorii sprężystości

11

F0

p0

h

y

a)

nyn

nx

xb)

h

Płaski stan odkształceniaPłaski stan naprężenia

0[ ] 0

0 0 0

x xy

yx yTσ

σ ττ σ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1 02

1[ ] 02

0 0 0

x xy

yx y

ε γ

ε γ ε

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )1 1 2 1 1 2z z x y z x y

E Eν νσ ε ε ε ε ε εν ν ν ν⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

0,z ponieważσ ≠

0,z ponieważσ ≠

0=ρ+∂

τ∂+

∂σ∂ X

yxxyx

0=ρ+∂

σ∂+

∂

τ∂Y

yxyxy

,xu

x ∂∂

=ε ,yv

y ∂∂

=εxv

yu

xy ∂∂

+∂∂

=γ

yxxyxyyx∂∂

γ∂=

∂

ε∂+

∂ε∂ 2

2

2

2

2

( ),1xyy E

νσ−σ=ε( ),1yxx E

νσ−σ=ε Gxy

xyτ

=γ

( ),1 2 yxx

Eνε+ε

ν−=σ ( ),

1 2 xyyE

νε+εν−

=σ xyxy Gγ=τ

A. Lokalne warunki równowagi

( 10.28 )

( 10.27 )

( 10.29 )

B. Związki geometryczne

lub

C. Związki fizyczne

( 10.30 )

lub ( 10.31 )

Rozwiązanie płaskiego zadania brzegowego teorii sprężystości w naprężeniach opiera się na warunkach równowagi wewnętrznej ( 10.27 ) oraz warunku nierozdzielności przemieszczeń ( 10.29 ) wyrażonym w naprężeniach. Aby otrzymać to trzecie równanie,

wprowadzimy zależność ( 10.30 ) do ( 10.29 ) po uwzględnieniu , że ( )ν+

=12EG

( ) ( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ τ

ν+∂∂∂

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ νσ−σ

∂

∂+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ νσ−σ

∂

∂xyxyyx EyxExEy

1211 2

2

2

2

2

Po wykonaniu różniczkowania i uporządkowaniu uzyskuje się:

( )yxxxyyxyxyyx∂∂

τ∂ν+=

∂

σ∂ν−

∂

σ∂+

∂

σ∂ν−

∂

σ∂ 2

2

2

2

2

2

2

2

212 ( 10.32 )

Różniczkujemy pierwsze równanie ( 10.27 ) względem x, a drugie względem y, dodajemy stronami i wyliczamy, co następuje:

ρ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−∂

σ∂−

∂

σ∂−=

∂∂

τ∂

yY

xX

yxyxyxxy

2

2

2

222 ( 10.33 )

Po wstawieniu wzoru ( 10.33 ) do ( 10.32 ) i po prostych przekształceniach otrzymujemy równanie Levy’ego:

( ) ( ) ρ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

ν+−=σ+σ∇yY

xX

yx 12( 10.34 )

Dla przypadku płaskiego stanu odkształcenia, po analogicznych operacjach, równanie Levy’ego ma następującą postać:

( )( ) ρ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

ν−−=σ+σ∇

yY

xX

yx 112

( ) 02 =σ+σ∇ yx

Jeśli siły masowe X, Y mają wartości stałe, równanie Levy’ego dla płaskiego stanu naprężenia i odkształcenia jest identyczne

( 10.35 )

( 10.36 )

Upoważnia nas to do zajmowania się wyłącznie przypadkiem płaskiego stanu naprężenia. Poszukiwane funkcje muszą spełniaćrównania równowagi wewnętrznej ( 10.27 ), równanie Levy’ego ( 10.36 ) oraz następujące warunki brzegowe:

( ),, yxxσ ( ),, yxyσ ( )yxxy ,τ

( ) ( )nynxq yxxnx ,cos,cos τ+σ=

( ) ( )nynxq yxyny ,cos,cos σ+τ=( 10.37 )

Rozwiązanie płaskiego zadania teorii sprężystości można uprościć, wprowadzając funkcjęnaprężeń Airy’ego ψ ( x, y ), za pomocą której można wyrazić składowe stanu naprężenia

następująco:

,2

2

yx∂ψ∂

=σ ,2

2

xy∂ψ∂

=σ xYyXyxxy ρ−ρ+∂∂ψ∂

−=τ2

( 10.38 )

Łatwo sprawdzić, że jeśli X i Y mają wartości stałe, funkcje ( 10.38 ) spełniają warunki równowagi ( 10.27 ). Po wstawieniu zależności ( 10.38 ) do równania Levy’ego ( 10.36 ) i po prostych przekształceniach uzyskuje się równanie biharmoniczne ze względu na funkcjęnaprężeń:

02 4

4

22

4

4

4=

∂

ψ∂+

∂∂

ψ∂+

∂

ψ∂

yyxx

0422 =ψ∇=ψ∇∇

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂=∇=∇∇ 2

2

2

2

2

2

2

2422

yxyx

( 10.39 )

czyli ( 10.40 )

Funkcja naprężeń ψ( x, y ) musi być tak dobrana, aby spełniała równanie biharmoniczne, a składowe stanu naprężenia przez nią wyrażone spełniały warunki brzegowe.

( 10.41 )gdzie:

Przykład 10.1 >>>

PRZYKŁAD 10.1Płaska tarcza o grubości równej 1 jest zamocowana i obciążona w sposób pokazany na rys. 4. Dane: γ, p – ciężar jednostki objętości materiału tarczy, kąt α.

Poszukujemy rozwiązania w postaci wielomianu trzeciego stopnia

( ) 3223, dycxyybxaxyx +++=ψ ( 10.42 )

Funkcja ta może być funkcją naprężeń, ponieważ spełnia równanie biharmoniczne.

Składowe stanu naprężenia wyrażają następująco:

dycxx 62 +=σ

byaxy 26 +=σ

pxcybxxy +−−=τ 22

( 10.43 )

Stałe a, b, c, d oblicza się z warunków brzegowych.

WARUNKI BRZEGOWE >>>Rys.10.3

- na ścianie pionowej

WARUNKI BRZEGOWE:

,0=x,0=τxy,0=x

yqx γ=−=σ

,α−= tgxy

,0=nxq ( ) ( ) 0coscos =τ+σ ynxn xyx,α−= tgxy

,0=nyq ( ) ( ) 0coscos =σ+τ ynxn yxy

1.2.

3.

4.

- na ścianie pochyłej

gdzie:( ) ,sin

2coscos α=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ α−π

=xn ( ) ( )α= coscos yn

Z warunku 102 =− cy 0=c

Z warunku 2ydy γ=6 γ=

61d

dalej >>>

Z warunku 3

( ) 0cos2sin616 =α−−αγ⋅ xpby

pbxy

−=αα

γ 2cossin

pbtg −=αγ− 22

ptgb21

21 2 +αγ−=

Z warunku 4

( ) ( ) 0cos6sin 22 =α+αγ−+α+−αγ pytgyaxpxpxtgx

06 23 =+αγ−+αγxyptg

xyatg

06 33 =α−αγ++αγ ptgtgatg

031

61 3 =αγ−α= tgptga

Po wstawieniu stałych a, b, c, d do formuł ( 10.43 ) otrzymuje się ostateczne rozwiązanie:

,yx γ=σ

( ) ( ) ,0 2 22 =αγ−+ααγ−=σ ytgptgtgpxy

xtgxy αγ=τ 2

( 10.44 )

Po wstawieniu y = - h = const otrzymujemy:

yx γ−=σ

( ) ( ) 0 2 22 =αγ−−ααγ−=σ htgptgtgpxy

αγ=τ 2tgxxy

- wartość stała

- funkcja liniowa x

- funkcja liniowa x ( 10.45 )

Formuły ( 10.44 ) są błędne w pobliżu miejsca utwierdzenia, ponieważ nie są tam spełnione warunki brzegowe.

Opierając się na formułach ( 10.45 ), można sporządzić wykresy składowych stanu naprężenia dla h = const ( rys. 10.4 )

Rys. 10.4

ROZWIĄZANIE PŁASKIEGO OSIOWOSYMETRYCZNEGO ZADANIA BRZEGOWEGO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI W PRZEMIESZCZENIACH.Pierścień o promieniu wewnętrznym a i zewnętrznym b oraz grubości 1 wykonany jest z materiału o znanych stałych sprężystych ν, E oraz gęstości ρ. Na powierzchni wewnętrznej i zewnętrznej pierścienia, który wiruje ze stałą prędkością kątową ω, działa promieniowe obciążenie powierzchniowe pa i pb ( rys. 10.5 )

Rys. 10.5

Tak sformułowane płaskie osiowosymetryczne, dynamiczne zadanie brzegowe teorii sprężystości wygodniej będzie rozwiązywać w biegunowym układzie współrzędnych. Wymaga to wyprowadzenia odpowiednich podstawowych równań teorii sprężystości.

Wytniemy z rozważanego krążka segment ograniczony dwiema powierzchniami walcowymi o promieniu r i r + dr oraz dwoma płaszczyznami przechodzącymi przez oś obrotu, które tworząkąt dwuścienny dϕ ( rys. 10.6 )

Ze względu na symetrię, w dowolnej płaszczyźnie przechodzącej przez oś obrotu naprężenie styczne musi być równe zeru, a wiec jest to płaszczyzna główna stanu naprężenia. Występuje w niej naprężenie σt zwane obwodowym. Na powierzchniach walcowych występują zatem również tylko naprężenia normalne, zwane promieniowymi, równe odpowiednio σr oraz σr + dσr. Obydwa naprężenia główne σt i σr zależą wyłącznie od promienia r.

Rys. 10.6

Zgodnie z zasadą d’ Alemberta, przyłożymy do segmentu siłę bezwładności równąiloczynowi masy rdϕdrρ i przyspieszenia dośrodkowego ω2r, zwróconą od środka na zewnątrz. Segment obciążony siłami powierzchniowymi oraz siłą bezwładności pozostaje w równowadze, a więc suma rzutów tych sił na symetryczny kierunek promieniowy musi byćrówna zeru:

( ) ( ) 02

sin2 22 =ϕ

σ−ϕσ−ϕ+σ+σ+ϕρωddrrdddrrddrdr trrr

Po uwzględnieniu, że oraz odrzuceniu małych wyższego rzędu otrzymujemy

równanie równowagi wewnętrznej A:22

sin ϕ≈

ϕ dd

22rrdr

dt

rr ρω−=σ−

σ+σ ( 10.46 )

Ze względu na osiową symetrię dowolny punkt tarczy dozna przemieszczenia u w kierunku promieniowym. Ponieważ u jest funkcją r, wiec dwa punkty odległe od siebie o dr przemieszczą się odpowiednio o u i u + du. Wynikają z tego następujące związki geometryczne B:

,drdu

r =ε( )

ru

rrur

t =π

π−+π=ε

222

( 10.47 )

Odkształcenie promieniowe εr i obwodowe εt zależy tylko od r. Są to odkształcenia główne.

Po wyrugowaniu przemieszczenia u z zależności ( 10.47 ) otrzymamy warunek nierozdzielności odkształceń:

,ru tε= ,rdrd

drdu t

tε

+ε= tt

tr rdrdε

+ε=ε ( 10.48 )

Związki fizyczne C będą miały następującą postać:

Rozwiązanie płaskiego osiowosymetrycznego, dynamicznego zadania teorii sprężystości w przemieszczeniach będzie polegało na znalezieniu w pierwszej kolejności u( r ).

[ ]trr Eνσ−σ=ε

1

[ ]rtt Eνσ−σ=ε

1

[ ]trrE

νε+εν−

=σ 21

[ ]rttE

νε+εν−

=σ 21

( 10.49 )

lub

( 10.50 )

Poszukujemy zatem pięciu funkcji σr( r ), σt( r ), εr( r ), εt( r ) i u( r ), które spełniają równania A, B, C oraz warunki brzegowe.

Wstawiamy związki geometryczne ( 10.47 ) do prawa Hooke’a ( 10.50 )

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ν+

ν−=σ

ru

drduE

r 21

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ν+

ν−=σ

drdu

ruE

t 21

( 10.51 )

Składowe stanu naprężenia wyrażone przez przemieszczenie zależnością ( 10.51 ) wprowadzamy do równania równowagi lokalnej ( 10.46 )

22222 111

rdrdu

ruE

ru

drdu

drdrE

ru

drduE

ρω−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ν+

ν−−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ν+

ν−+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ν+

ν−

Po obustronnym pomnożeniu przez i wykonaniu różniczkowania otrzymamy:E

21 ν−

222

2

2 1 rEdr

duru

ru

drdur

drud

ru

drdu

ρων−

−=ν−−ν−ν++ν+

Po uproszczeniu i obustronnym podzieleniu przez r równanie równowagi lokalnej względem przemieszczenia u( r ) będzie miało postać:

rEr

udrdu

rdrud 2

2

22

2 11ρω

ν−−=−+ ( 10.52 )

Lewa strona równania ( 10.52 ) może być zapisana jeszcze krócej

( ) rE

urdrd

rdrd 2

211ρω

ν−−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ( 10.53 )

Po dwukrotnym scałkowaniu otrzymamy:

rCrCr

Eu 2

1

32

2

81

++ρων−

−= ( 10.54 )

Stałe C1 i C2 należy wyliczyć z warunków brzegowych. Znajomość u( r ) umożliwia wyznaczenie na podstawie zależności ( 10.51 ) składowych stanu naprężenia: naprężenia promieniowego - σr( r ) i naprężenia obwodowego - σt( r )

( ) ( ) ( ) 22

2212 38

1111

rr

CCEr ν+

ρω−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ν−+ν+

ν−=σ

( ) ( ) ( ) 22

2212 318

1111

rr

CCEt ν+

ρω−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ν−+ν+

ν−=σ

( 10.55 )

naprężenie promieniowe

naprężenie obwodowe

W przypadku rury grubościennej ( rys. 10.7 ) ω = 0, a warunki brzegowe można sformułować następująco: dla r = a, σr = -pa; dla r = b, σr = -pb, czyli

Rys.10.7

( ) ( ) apa

CCE−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ν−+ν+

ν− 2212111

1

( ) ( ) bpb

CCE−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ν−+ν+

ν− 2212111

1

Wyliczone z tych równań stałe wynoszą:

22

22

11

abbpap

EC ba

−

−ν−=

( )ba ppab

baE

C −−

ν+= 22

22

21

Po wstawieniu stałych C1 i C2 do zależności ( 10.55 ) oraz ( 10.54 ) otrzymujemy wzory na naprężenia i przemieszczenia w rurze:

Warto zauważyć, że nie zależy od r, a

więc jest wartością stałą. Innymi słowy, grubość

rozważanego krążka zmienia się we wszystkich jego miejscach jednakowo i dlatego rurę grubościenną można traktować jako zbiór płaskich tarcz.

222

22

22

22

abpp

rba

abbpap babar

t−−

−−

=σ m

22

22

22

22 11abpp

rba

Er

abbpap

Eu baba

−

−ν++

−

−ν−=

22

222

abbpap ba

tr−

−=σ+σ

( )trx Eσ+σ

ν−=ε

( 10.56 )

( 10.57 )

NAPRĘŻENIA I PRZEMIESZCZENIA W RURZE GRUBOŚCIENNEJ

Przykład 10.2. >>>

PRZYKŁAD 10.2

Zbiornik wysokociśnieniowy stanowi długa rura grubościenna ( rys. 10.8 ) o wymiarach a = 2 cm, b = 3 cm, l =100 cm.

Rozwiązanie >>>Naprężenia i przemieszczenie w krążkach wirujących >>>

1. Wyznaczyć nadciśnienie p panujące wewnątrz zbiornika,jeśli wiadomo, że wywołuje ono na zewnątrz powierzchni cylindra odkształcenie względne w kierunku tworzącej εx =10-4. Moduł sprężystości E = 2 ⋅ 105 MPa, awspółczynnik Poissona ν = 0,3.

2. Narysować wykresy σr, σt, σx.

3. Obliczyć wg hipotezy maksymalnych naprężeń stycznychmaksymalne naprężenie redukowane w ścianach zbiornika.

Rys.10.8

Stan naprężenia w rurze grubościennej z dnem jest określony następującymi wzorami:

( 10.58 )

( 10.59 )

( 10.60 )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=σ 2

2

22

21

rb

abpa

r

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=σ 2

2

22

21

rb

abpa

t

pab

ax 22

2

−=σ

To ostatnie wyrażenie otrzymuje się z warunku, że suma rzutów na oś x sił działających na część zbiornika, odciętą dowolną płaszczyzną prostopadłą do tej osi, musi być równa zeru.

[ ]txx Eνσ−σ=ε

1

naprężenie normalne w przekrojuprostopadłym do osi x.

dalej >>><<< powrót

( ) ,22

2p

aba

brx−

=σ = ( ) 22

22abpa

brt−

=σ =

22

22 2ab

papaE x−

ν−=ε

( ) ( )ν−=−ε 21222 paabE x

( )( )

MPa 62,5 212

22=

ν−

−ε=

aabEp x

( )( ) MPa 62,5- p - 2

22

22

2==

−

−=σ =

aba

abpa

arr

( )( ) ( ) MPa 62,5122

22

2

22

22

2=

−

+=

+

−=σ =

ababp

aab

abpa

art

MPa 50 22

2=

−=σ p

aba

x

MPa225=σ−σ=σ rtred

nadciśnienie panujące wew. zbiornika

max. naprężenie redukowane w ścianach zbiornika

<<< powrót Wykresy naprężeń>>>

<<< powrót

Rys. 10.9

W przypadku krążka wirującego bez otworu ( rys 10.9 ) a = 0, pa = 0, pb = 0, a warunki brzegowe sformułować można następująco: dla r = 0 u = 0, dla r = b σr = 0. Pierwszy warunek brzegowy może być spełniony tylko wówczas, gdy C2 = 0, w przeciwnym bowiem razie ostatni człon wyrażenia ( 10.54 ) będzie równy nieskończoności dla r = 0. Po wyliczeniu C1 i wstawieniu stałych do wzorów ( 10.55 ) i ( 10.54 ) otrzymujemy :

naprężenia i przemieszczeniaw krążkach wirujących

( 10.61 )

( 10.63 )

( 10.62 )

( ) ( )222

38

rbr −ν+ρω

=σ

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ν+ν+

−ν+ρω

=σ 222

3313

8rbt

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

ν+ν+ρων−

= 2222

13

81 rbr

Eu

dalej >>><<< powrót

Rys.10.10

Jeśli krążek ma otwór ( rys .10.10 ), warunki brzegowe sa następujące: dla r = a σr = 0 i dla r = b σr = 0. Wzory na naprężenia i przemieszczenia przybierają wtedy formę:

( 10.64 )

( 10.66 )

( 10.65 )

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+ν+

ρω=σ 2

2

2222

23

8r

rbaabr

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ν+ν+

−++ν+ρω

=σ 22

2222

2

3313

8r

rbaabt

( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ν+++ν−+

ν+ν−

−ν+ρω

=rbarabr

Eu

2222

3221 1

3 1

83

Przykład 10.3 >>><<< powrót

PRZYKŁAD 10.3

Na stalowy wał jest nasadzony krążek o stałej grubości. Różnica promieni wału i otworu δ = 0,005 mm ( rys. 10.11 ). Obliczyć liczbę obrotów na minutę, przy której wzajemny nacisk wałka i krążka na powierzchni styku zmaleje do zera. Dane : E = 2 ⋅105 MPa, ν = 0,28, a = 5 cm, b = 40 cm, ρ = 800 kg/m3.

Rys. 10.11

Wzajemny nacisk na powierzchni styku zmaleje do zera, jeśli różnica przemieszczeńpunktów leżących na powierzchni otworu i na powierzchni wałka osiągnie wartość:

( ) ( ) δ=− == arwark uu ( 10.67 )

Wał traktujemy jako krążek bez otworu.Dla wirującego nieobciążonego krążka o średnicy 2b z otworem o średnicy 2a, przy r = a,

otrzymamy:

( 10.69 )

( 10.68 )( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ν+ν−

−ν+++ν−ρων+

= 3222

222

311 1

8 3 a

abaaba

Euk

Dla wirującego nieobciążonego krążka o średnicy 2a ( w formule ( 10.63 ) oznaczone 2b ) bez otworu i r = a

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

ν+ν+ρων−

= 2222

13

8 1 aa

Eauw

Po wstawieniu zależności ( 10.68 ) i ( 10.69 ) do ( 10.67 ) otrzymuje się równanie, z którego można wyliczyć ω( ) ( ) ( ) ( ) ( )

δ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

ν+ν+ρων−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ν+ν−

−ν+++ν−ρων+ 22

223

22222

2

13

8 1

311 1

8 3 aaa

Ea

abaaba

E

czyli

stąd

( )δ=

ρων+E

ab4

3 22

( )1-s 437

32

=ν+ρδ

=ωa

Eb

minobr 4171 30

=πω

=n

NAPRĘŻENIA KONTAKTOWE

Rys. 10.12

Teorię naprężeń stykowych, czyli kontaktowych opracował Hertz. Jest to zagadnienie geometrycznie nieliniowe. Na rysunku 10.12 pokazano dwa stykające się ciała. Mają one wspólnąnormalną, wspólną płaszczyznę styczną w punkcie styku i sąwzajemnie dociskane siłami P. Dla ciała 1 min i max promieńkrzywizny wynosi r1 i r1

’, a stałe sprężyste E1 i ν1. Dla ciała 2 odpowiednie wielkości wynoszą r2 i r2

’, a stałe sprężyste E2 i ν2. Kąt między płaszczyznami największych krzywizn ( czyli minimalnych promieni krzywizn, r1 i r2 ) jest równy ϕ.

Przyjmuje się następujące założenia:

2. Powierzchnie zewnętrzne ciał w otoczeniu punktu styku sągładkie o regularnej krzywiźnie.

3. Odkształcenia ciał są niewielkie.

4. Powierzchnia styku w stosunku do powierzchni ciał jest mała.

5. Na powierzchni styku nie ma naprężeń stycznych, a jedynienormalne.

1. Stykające się ciała są jednorodne, izotropowe i liniowosprężyste

Po odkształceniu ciał spowodowanym ich wzajemnym dociśnięciem powstaje obszar styku w postaci elipsy o osiach a i b ( a > b ), które można obliczyć ze wzorów

3nmPa α=

3nmPb β=

,11114

'22

'11 rrrr

m+++

=)1()1(3

8221

212

21

ν−+ν−=

EEEEn

,2m

A = ϕ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2cos111121111

21

'22

'11

2

'22

2

'11 rrrrrrrr

B

( 10.70 )

gdzie:

przy czym α i β - współczynniki zależne od B/A, przy:

podane w tablicy >>>

Tablica. Wartości α, β, B/A

cd.>>>

0,49300,48970,48630,48280,4794

2,7312,7652,8002,8372,874

0,86610,86990,87370,87740,8811

0,65800,63590,62450,61270,6006

1,6841,7751,8261,8821,943

0,61130,65210,67160,69200,7126

0,50930,50610,50290,49960,4963

2,5762,6052,6352,6662,698

0,84680,85070,85450,85840,8623

0,81140,77170,72180,69920,6791

1,2621,3451,4561,5401,607

0,32040,39540,47950,53420,5819

0,52470,52170,51860,51550,5124

2,4432,4692,4942,5212,548

0,82700,83100,83500,83890,8428

1,00000,96960,93180,87910,8472

1,0001,0321,0761,1481,198

0,00000,04660,10750,19740,2545

βαB/AβαB/A

0,35510,32230,28140,2232

5,0916,1598,062

12,789

0,97050,98180,99090,9937

0,53660,53360,53070,5277

2,3502,3722,3952,419

0,81100,81500,81900,8230

0,40760,40290,39810,39320,3830

3,8993,9864,0794,1784,395

0,94280,94580,94880,95170,9574

0,55080,54800,54520,54230,5395

2,2452,2652,2862,3062,328

0,79070,79480,79880,80290,8069

0,45760,438

0,44990,44600,4297

3,1323,1813,2333,2863,526

0,90300,90650,91000,91340,9269

0,56460,56180,55910,55640,5536

2,1532,1712,1892,2072,226

0,77020,77430,77840,78250,7866

0,47590,47230,46870,46500,4613

2,9142,9542,9963,0403,085

0,88490,88850,89220,89580,8994

0,58810,57520,57260,56990,5672

2,0112,0872,1032,1192,136

0,73320,75380,75790,76200,7661

βαB/AβαB/A

( )22

123, ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

π=

by

ax

abPyxp

abPpπ

=23

max

Rozkład nacisków powierzchniowych na obszarze styku jest elipsoidą ( rys. 10.13 ) o następującym równaniu:

Rys. 10.13

( 10.71 )

Wartość pmax największego ciśnienia na powierzchni styku dla x = 0 i y = 0 wynosi:

( 10.72 )

( )'

21

21

4 Prrrrkb

+π=

bPpπ

='

max2

( 10.73 )

Jeśli elementy dociskane są walcami o osiach równoległych, obszar styku jest prostokątem o szerokości 2b, przy czym:

Rozkład nacisków na obszarze styku jest walcem o przekroju półeliptycznym, a pmax wynosi:

( 10.74 )

Siła docisku na jednostkę długości wspólnej tworzącej2

22

1

21 11

EEk ν−

+ν−

=

Największe naprężenie redukowane występuje w tak zwanym punkcie Bielajewa, którego położenie na osi symetrii określa współrzędna zB. Według hipotezy maksymalnych naprężeń stycznych przy ν = 0,3 dla kołowego obszaru styku ( ściskania kul ) zB/b = 0,481 i σred/pmax = 0,620,natomiast dla prostokątnego obszaru styku (ściskania walców ) zB/b = 0,780 i σred/pmax = 0,608 . Według hipotezy energii odkształcenia postaciowego wielkości te zmieniaja się odpowiednio w przedziale od zB/b = 0,481 i σred/pmax = 0,620 do zB/b = 0,697 i σred/pmax = 0,567. Wartości naprężenia redukowanego w punkcie Bielajewa przekraczają często Re, a nawet Rm. Materiał wytrzymuje to, ponieważ panuje tam stan naprężenia bliski przestrzennemu równomiernemu ściskaniu ( dla takiego stanu naprężenia obydwie hipotezy tracą sens ).

Wartości jednostkowe nacisku dopuszczalnego kdH są znaczne, np. dla stali StOS wynoszą440 MPa, a dla stali 18G2 nawet 880 MPa, ponieważ stany naprężenia w obszarze styku sąbliskie równomiernemu przestrzennemu ściskaniu.

Kryterium nacisku powierzchniowego można sformułować następująco:

( 10.75 )dHkpmax ≤

LITERATURA

Bąk R., Burczyński T.: Wytrzymałość materiałów z elementami ujęciakomputerowego. WNT, Warszawa 2000