177877682 Algebra II Curs Seminar

STRUCTURI ALGEBRICE

Ene Viviana si Denis Ibadula

Cuprins

1 Semigrupuri si monoizi 7

1.1 Legi de compozitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Semigrupuri. Monoizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Definitie. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2 Teorema de asociativitate generala . . . . . . . . . . . 10

1.2.3 Reguli de calcul ntr-un semigrup . . . . . . . . . . . . 11

1.2.4 Comutativitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.5 Reguli de calcul cu puteri de elemente permutabile ntr-un semigrup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.6 Morfisme de semigrupuri . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.7 Semigrup factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.8 Elemente speciale ntr-un semigrup. Monoizi . . . . . . 20

1.2.9 Reguli de calcul ntr-un monoid . . . . . . . . . . . . . 25

2 Cvasigrupuri. Grupuri 29

2.1 Cvasigrupuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 Grupuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.1 Definitii echivalente. Exemple. Proprietati. . . . . . . . 30

2.2.2 Reguli de calcul ntr-un grup . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3 Subgrupuri. Definitii. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4 Echivalente asociate unui subgrup. Teorema lui Lagrange . . . 39

2.5 Operatii cu subgrupuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5.1 Intersectia de subgrupuri . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5.2 Subgrupul generat de o submultime a unui grup . . . . 45

2.6 Laticea subgrupurilor unui grup . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.7 Subgrup (divizor) normal. Grup factor (grup cat) . . . . . . . 51

2.8 Grupul factor (cat) al unui grup printr-un subgrup normal alsau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3

4 CUPRINS

3 Morfisme si izomorfisme de grupuri 593.1 Definitii. Exemple. Proprietati. . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2 Nucleul si imaginea unui morfism de grupuri . . . . . . . . . . 633.3 Izomorfisme de grupuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.4 Ordinul unui element ntr-un grup . . . . . . . . . . . . . . . . 673.5 Transportul direct si reciproc al subgrupurilor normale prin

morfisme de grupuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.6 Aplicatie: Subgrupurile grupului (Zn,+) al claselor de resturi

modulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.7 Proprietatea de universalitate a grupului factor . . . . . . . . 783.8 Teoremele de izomorfism pentru grupuri si aplicatii . . . . . . 79

3.8.1 Teorema fundamentala de izomorfism pentru grupuri . 793.8.2 Aplicatii ale teoremei fundamentale de izomorfism pen-

tru grupuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.8.3 Teorema 1 de izomorfism pentru grupuri . . . . . . . . 843.8.4 Teorema 2 de izomorfism pentru grupuri . . . . . . . . 86

3.9 Aplicatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.9.1 Grupurile factor ale grupului claselor de resturi modulo

n, (Zn,+) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.9.2 Subgrupurile si grupurile factor ale unui grup ciclic . . 88

4 Clase de grupuri 894.1 Grupuri de permutari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.2 Grupul permutarilor de grad n, Sn . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.2.1 Definitii. Proprietati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.2.2 Teorema de descompunere a unei permutari n produs

de cicluri disjuncte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.3 Grupuri de matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.4 Grupul special liniar de grad n peste K, SLn(K) . . . . . . . 102

5 Inele si corpuri 1035.1 Inele. Definitie. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.2 Reguli de calcul ntr-un inel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.3 Formule de calcul prescurtat ntr-un inel comutativ . . . . . . 1095.4 Elemente speciale ntr-un inel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.4.1 Elemente inversabile (unitati) ntr-un inel unitar R.Corpuri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.4.2 Divizori ai lui zero ntr-un inel . . . . . . . . . . . . . . 1115.4.3 Legatura dintre elementele inversabile si divizorii lui 0

ai unui inel unitar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.4.4 Legatura dintre corpuri si inele integre. . . . . . . . . . 113

CUPRINS 5

5.5 Corpului numerelor complexe C. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.6 Corpului cuaternionilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6 Morfisme si izomorfisme de inele si corpuri 1196.1 Morfisme de inele si corpuri. Definitie. Exemple . . . . . . . . 119

6.1.1 Morfisme de inele si corpuri. Definitie . . . . . . . . . . 1196.1.2 Exemple de morfisme de inele si corpuri . . . . . . . . 120

6.2 R-algebre si morfisme de R-algebre. . . . . . . . . . . . . . . . 1226.2.1 Definitia unei R-algebre si a unui morfism de R-algebre 1226.2.2 Exemple de R-algebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.3 Proprietati ale morfismelor de inele . . . . . . . . . . . . . . . 125

7 Subinele si ideale n inele unitare 1297.1 Subinel. Definitie. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297.2 Ideal. Definitie. Exemple. Proprietati . . . . . . . . . . . . . . 1327.3 Operatii cu ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7.3.1 Intersectia unei familii de ideale . . . . . . . . . . . . . 1357.3.2 Idealul generat de o submultime X a unui inel unitar R 1367.3.3 Suma unei familii de ideale . . . . . . . . . . . . . . . . 1397.3.4 Laticea idealelor unui inel unitar . . . . . . . . . . . . 1417.3.5 Produsul unei familii de ideale . . . . . . . . . . . . . . 1427.3.6 Catul a doua ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437.3.7 Radicalul unui ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

7.4 Transportul idealelor si subinelelor prin morfisme . . . . . . . 1467.5 Inelul factor (cat) al unui inel n raport cu un ideal bilateral

al sau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1477.6 Proprietatea de universalitate a inelului factor . . . . . . . . . 150

8 Teoremele de izomorfism pentru inele 1538.1 Teorema fundamentala de izomorfism pentru inele . . . . . . . 1538.2 Aplicatii la teorema fundamentala de izomorfism: Inelul Zn . . 155

8.2.1 Caracterizarea elementelor inversabile din inelul Zn . . 1558.2.2 Indicatorul lui Euler. Teorema lui Euler . . . . . . . . 1558.2.3 Teorema lui Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1568.2.4 Lema chineza a resturilor . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

8.3 Prima teorema de izomorfism pentru inele . . . . . . . . . . . 1598.4 A doua teorema de izomorfism pentru inele . . . . . . . . . . . 159

9 Inelul de fractii ale unui inel comutativ si unitar 1619.1 Sistem multimplicativ nchis: definitie, exemple. . . . . . . . . 1619.2 Constructia inelului de fractii al unui inel . . . . . . . . . . . . 162


9.3 Corpul de fractii al unui domeniu de integritate . . . . . . . . 1659.4 Proprietatea de universalitate a inelului de fractii . . . . . . . 1679.5 Ideale n inele de fractii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

6

Capitolul 1

Semigrupuri si monoizi

1.1 Legi de compozitie

In acesta sectiune vom defini notiunile de lege de compozitie (sau operatiealgebrica binara) pe o multime M , parte stabila a unei multimi si vom dacateva exemple.

Definitia

1.1.1. Fie M o multime nevida. O functie :MM M ,(x, y) 7 (x, y) se numeste lege de compozitie peM (sau operatie algebricabinara.) (x, y) se numeste compusul lui x cu y.

Notatia

1.1.2. Compusul lui x cu y se noteaza (x, y) = x + y, sau

x y, x y, x y, xTy, xy, xy, xy etc.

Exemple

1.1.3. 1. Pe N, Z, Q, R, adunarea si multirea sunt legi decompozitie.

2. Pentru o multime X, notam cu P(X) = {Y |Y X} multimea partilorlui X. Pe P(X), reuniunea, intersectia, diferenta si diferenta simetricasunt legi de compozitie.

3. Pentru o multime X, notam cu XX = {f : X X|f = functie}.Pe XX , compunerea functiilor este o lege de compozitie: pentru f, g :X X, f g : X X, (f g)(x) = f(g(x)), x X.

7


4. Fie (X,) un poset (i.e. X este o multime si este o relatie deordine pe X). Posetul (X,) se numeste latice daca pentru orice x, y X exista sup{x, y} X si inf{x, y} X. Daca notam sup{x, y} = xysi inf{x, y} = x y, si sunt legi de compozitie pe X.

5. Pe Mn(R), adunarea matricilor si nmultirea matricilor sunt legi decompozitie.

Definitia

1.1.4. Fie M o multime nevida, o lege de compozitie pe M

si M M , M 6= o submultime nevida a lui M .

Spunem ca Meste nchisa relativ la legea (sau ca M

este parte sta-

bila a lui M relativ la ) daca pentru orice x, y M , (x, y) M , i.e.(M

,M

) M , unde (M ,M ) = {(x, y)|x, y M }.In acest caz,

:= |M M :M M M , (x, y) := (x, y), (x, y)

M M este o lege de compozitie pe M si se numeste legea indusa de

pe M.

Exemple

1.1.5. 1. Fie (R,+). Multimile N R, Z R, Q R suntnchise la adunarea numerelor reale.

Sa observam ca, de exemplu, R\Q nu este nchisa la adunarea nu-merelor reale pentru ca exista x, y R\Q astfel ncat x + y / R\Q:pentru x = 3+

5 R\Q si y = 25 R\Q, avem x+y = 6 / R\Q.

2. In (XX , ) submultimile Inj(X) = {f : X X|f = injectiva } siSurj(X) = {f : X X|f = surjectiva } sunt nchise la compunereafunctiilor.

1.2 Semigrupuri. Monoizi

In acesta sectiune vom defini structurile algebrice de semigrup, respectivmonoid, vom demonstra teoremele de asociativitate si comutativitate gen-erala, vom da reguli de calcul cu puteri pozitive de elemente ntr-un semi-grup pe care apoi le vom extinde la reguli de calcul cu puteri ntregi de

8

STRUCTURI ALGEBRICE

elemente simetrizabile ntr-un monoid, vom introduce notiunile de morfis-mele de semigrupuri si semigrup factor si vom prezenta proprietatile catorvaelemente speciale ntr-un semigrup: elemente simplificabile, element neutru,elemente simetrizabile.

1.2.1 Definitie. Exemple

Definitia

1.2.1. Fie M 6= si o lege de compozitie pe M . Legea se numeste asociativa daca x, y, z M , ( (x, y) , z) = (x, (y, z)).

Definitia

1.2.2. Fie S 6= si o lege de compozitie pe S asociativa.Atunci (S, ) se numeste semigrup.

Exemple

1.2.3. 1. N, Z, Q, R mpreuna cu adunarea sau nmultireaformeaza semigrupuri.

2. Pentru o multime X, (P (X) ,), (P (X) ,), (P (X) ,) sunt semi-grupuri.

Exercitiul

1.2.4. Demonstrati asociativitatea diferentei simetrice.

3. Fie (X,) o latice. Atunci (X,) si (X,) sunt semigrupuri.

4. Pentru o multime X,(XX , ) este semigrup.

5. Multimile (Mn(R),+) si (Mn(R), ) sunt semigrupuri.

9


1.2.2 Teorema de asociativitate generala

Definitia

1.2.5. Fie (S, ) un semigrup si x1, x2, ..., xn, ... S.Pentru x1, x2 S, x1 x2 S; pentru x1, x2 S, definim

x1x2x3 := (x1x2) x3.

Inductiv, daca am definit x1x2...xn, atunci

x1x2...xnxn+1 := (x1x2...xn) xn+1.

Teorema 1.2.6 (Teorema de asociativitate generala). Fie (S, )

un semigrup. Pentru orice m,n N, m,n 1 si pentru oricex1, ..., xn, xn+1, ..., xn+m avem

x1x2...xn+m = (x1x2...xn) (xn+1...xn+m) .

Demonstratie: Inductie dupa m.Pentru m = 1, relatia x1x2...xn+1 = (x1x2...xn)xn+1 este verificata, con-

form Definitiei 1.2.5. Presupunem m 1, afirmatia adevarata pentru m sisa o demonstram pentru m+ 1. Avem:

x1x2...xn+mxn+m+1def= (x1x2...xn+m) xn+m+1 =

ip.ind.= [(x1x2...xn) (xn+1...xn+m)] xn+m+1 =def= (x1x2...xn) [(xn+1...xn+m) xn+m+1] =def= (x1x2...xn) (xn+1...xn+mxn+m+1) ,

ceea ce ncheie demonstratia teoremei.

Observatia

1.2.7. Daca (S, ) este un semigrup, atunci compusul a douaelemente x1 si x2 S este x1x2.

Pentru trei elemente x1, x2 si x3 din S, avem

x1x2x3 = (x1x2)x3 = x1 (x2x3) .

10

STRUCTURI ALGEBRICE

Pentru patru elemente x1, x2, x3 si x4,

x1x2x3x4 = x1 [(x2x3)x4] = x1 [x2 (x3x4)] = (x1x2) (x3x4) =

= [(x1x2)x3]x4 = [x1 (x2x3)]x4.

Exercitiul

1.2.8. : Pentru o lege de compozitie neasociativa pe S,determinati n cate moduri se pot dispune parantezele ntr-u produs de nfactori x1x2...xn.

Exercitiul

1.2.9. Pe R, fie legea definita prin

x y = 2x+ y, x, y R.

a) Demonstrati ca legea nu este asociativa.b) Notam x2 = xx, x3 = x2 x, x4 = x3 x etc. Pentru n 1, calculati

xn.c) Notam y2 = y y, y3 = y2 y, y4 = y3 y etc. Pentru m 1, calculati

ym.

1.2.3 Reguli de calcul ntr-un semigrup

Definitia

1.2.10. Fie (S, ) un semigrup, x S si n N, n 1.Notam cu xn := x x ... x

de n ori

.

In notatie aditiva, pentru un semigrup (S,+) notam cu nx :=de n ori

x+ x+ ...+ x.

Din teorema 1.2.6 se obtine cu usurinta urmatorul corolar:

Corolar 1.2.11 (Reguli de calcul cu puteri (multiplii) ntr-un

semigrup). Fie (S, ) un semigrup, x S si m,n N, m,n 1. Atunci,1. xn xm = xm+n;2. (xn)m = xmn.

11


In notatie aditiva, pentru un semigrup (S,+), avem:

1. nx+mx = (m+ n)x;

2. m(nx) = (mn)x.

Demonstratie: Aplicand Teorema 1.2.6 de asociativitate generala, la punc-tul 1. al corolarului rezulta:

xn xm = (x x ... x) n ori

(x x ... x) m ori

= (x x ... x) n+m ori

=

= xn+m,

si analog la punctul 2.:

(xn)m = (xn xn ... xn) m ori

= (x x ... x) n ori

... (x x ... x) n ori

m paranteze

=

= xmn.

Demonstratia se face analog pentru notatia aditiva.

1.2.4 Comutativitate

Definitia

1.2.12. Fie M 6= si o lege de compozitie pe M . Legea se numeste comutativa daca x, y M , (x, y) = (y, x).

Exemple

1.2.13. 1. Adunarea si nmultirea sunt legi de compozitie co-

mutative pe N, Z, Q, R.

2. Intersectia, reuniunea si diferenta simetrica sunt legi de compozitie co-mutative pe P (X).

3. Pentru o latice (X,), legile si definite n 1.1.3 sunt comutative.4. In mod evident, pe Z scaderea nu este comutativa.

5. Pe Mn (R), adunarea este comutativa, dar multirea matricilor nu.

12

STRUCTURI ALGEBRICE

6. Pe XX din 1.1.3, pentru |X| 2, compunerea functiilor nu este o legede compozitie comutativa.

Definitia

1.2.14. Un semigrup (S, ) se numeste semigrup comutativdaca este o lege comutativa pe S (i.e. daca orice doua elemente ale salesunt permutabile).

Definitia

1.2.15. Doua elemente x, y ale unui semigrup (S, ) senumesc permutabile daca x y = y x (i.e. daca x si y comuta.)

Teorema 1.2.16 (Teorema de comutativitate generala). Fie (S, )

un semigrup, n N si x1, x2, ..., xn S astfel ncat xixj = xjxi, 1 i, j n (i.e. n elemente care comuta oricare doua).Atunci, pentru orice Sn, x(1)x(2)...x(n) = x1x2...xn.

Observatia

1.2.17. 1. Pentru n = 2, |Sn| = 2! = 2; daca x1, x2 cumutaoricare doua, x1x2 = x2x1.

2. Pentru n = 3, |Sn| = 3! = 6; daca x1, x2, x3 cumuta oricare doua,x1x2x3 = x1x3x2 = x2x1x3 = x2x3x1 = x3x1x2 = x3x2x1.

Demonstratie: Inductie dupa n.Pentru n = 1 nu avem ce demonstra.Pentru n = 2, trebuie sa verificam relatiile evidente x1x2 = x1x2 si x1x2 =

x2x1.Presupunem n 2, teorema adevarata pentru n. Fie x1,...,xn, xn+1

n + 1 elemente care comuta oricare doua si fie Sn+1. Sa verificam cax(1)...x(n)x(n+1) = x1...xnxn+1.

13


Fie 1 k n + 1 astfel ncat (k) = n + 1. Sunt posibile urmatoarelesituatii:

Cazul 1: Daca k = n+1, atunci x(1)...x(n) reprezinta n elemente din Scare comuta oricare doua si, conform ipotezei de indutie, x(1)x(2)...x(n) =x1x2...xn. Rezulta atunci x(1)x(2)...x(n)x(n+1) = x1x2...xnxn+1.

Cazul 2: Daca k = 1, atunci x(1) = xn+1. Obtinem atunci:

x(1)x(2)...x(n)x(n+1) = xn+1x(2)...x(n)x(n+1) =def=

(xn+1x(2)...x(n)

) comuta oricare 2

x(n+1) =

ip.ind=

(x(2)...x(n)xn+1

)x(n+1) =

T1.2.6=

(x(2)...x(n)

) (xn+1x(n+1)

)=

ipot=

(x(2)...x(n)

) (x(n+1)xn+1

)=

T1.2.6=

(x(2)...x(n)x(n+1)

) comuta oricare 2

xn+1 =

ip.ind.= (x1x2...xn)xn+1

def= x1x2...xnxn+1.

Cazul 3: Daca 1 < k < n, atunci:

x(1)...x(n)x(n+1) =(x(1)...x(k1)

) (xn+1x(k+1)...x(n+1)

) < n elem.

=

=(x(1)...x(k1)

) (x(k+1)...x(n+1)xn+1

) comuta oricare 2

=

=(x(1)...x(k1)

) (x(k+1)...x(n+1)

) n elem comuta oricare 2

xn+1 =

= (x1...xn)xn+1 = x1...xnxn+1,

ceea ce ncheie demonstratia teoremei.

1.2.5 Reguli de calcul cu puteri de elemente permutabilentr-un semigrup

Corolar 1.2.18 (Reguli de calcul cu puteri de elemente per-

mutabile ntr-un semigrup). Fie (S, ) un semigrup si x, y S astfelncat xy = yx. Atunci, pentru orice m,n N avem:

1. (xy)n = xnyn;

14

STRUCTURI ALGEBRICE

2. xnym = ymxn (i.e. daca x si y sunt permutabile, atunci orice puteripozitive ale lor sunt permutabile).

Demonstratie: Aplicand succesiv Definitia 1.2.5 si Teorema 1.2.6, obtinem:

(xy)n = (xy) ... (xy) de n ori

T.1.2.6= xnyn,

respectiv

xnym = (x...x) de n ori

(y...y) de m ori

T.1.2.16= (y...y)

de m ori

(x...x) de n ori

= ymxn.

1.2.6 Morfisme de semigrupuri

Definitia

1.2.19. Fie (S, ) si (S , ) doua semigrupuri. O functie f :S S se numeste morfism de semigrupuri daca f(x y) = f(x) f(y),pentru orice x, y S.Daca f : S S este morfism, f se numeste endomorfism al lui S.

Propozitia

1.2.20. Fie (S, ), (S , ), (S, ) trei semigrupuri si f : S S si g : S

S doua morfisme de semigrupuri. Atunci g f : S S estemorfism de semigrupuri.

Demonstratie: Fie x, y S. Avem:

(g f)(x y) = g(f(x y)) f=morf= g(f(x) f(y)) g=morf= g(f(x)) g(f(y)) == (g f)(x) (g f)(y),

ceea ce ncheie demonstratia.

15


Definitia

1.2.21. Un morfism de semigrupuri f : S S se numesteizomorfism de semigrupuri daca exista g : S

S un morfism de semi-grupuri astfel ncat f g = 1S si g f = 1S.In acest caz, S si S se numesc semigrupuri izomorfe si se noteaza S = S.

Teorema 1.2.22. Fie f : S S un morfism de semigrupuri. Atunci f

este izomorfism de semigrupuri daca si numai daca functia f este bijectiva.

Demonstratie: In demonstratia acestei teoreme vom folosi un rezultatcunoscut din liceu si anume faptul ca o functie f este inversabila daca sinumai daca este bijectiva.

Implicatia este acum evidenta: daca f este izomorfism, atuncifunctia f este inversabila, deci bijectiva.

Reciproc, pentru implicatia , daca presupunem ca f este functiebijectiva, atunci rezulta ca este inversabila, deci exista o functie g : S Sastfel ncat g f = 1S si f g = 1S . Trebuie sa mai aratam ca g este unmorfism de semigrupuri.

Fie x, y

S . Rezulta atunci ca exista x, y S astfel ncat f(x) = x sif(y) = y

. Folosind faptul ca f este morfism de semigrupuri si ca g f = 1S,

obtinem succesiv:

g(xy) = g(f(x)f(y)) = g(f(xy)) = 1S(xy) = xy =

= g(x)g(y

),

ceea ce arata ca g este morfism de semigrupuri.

Observatia

1.2.23. Relatia = de izomorfism ntre doua semigrupuriare urmatoarele proprietati:

Este reflexiva: 1S : S S este n mod evident un izomorfism desemigrupuri, deci S = S;

Este simetrica: daca S = S , exista f : S S un izomorfism desemigrupuri, iar existenta izomorfismului f1 : S S arata ca siS = S;

16

STRUCTURI ALGEBRICE

Este tranzitiva: daca S = S si S = S, iar f : S S respectivf : S

S sunt izomorfismele corespunzatoare, atunci , din Propozitia1.2.20 rezulta ca g f : S S este un morfism de semigrupuri care,n plus, este si bijectiv (f si g sunt funtii bijective), de unde S = S.

Observatia

1.2.24. Fie (S, ) un semigrup, T o multime arbitrara si f :S T o bijectie. Atunci pe T se poate defini o lege astfel ncat f : S Tsa fie un izomorfism de semigrupuri de la (S, ) la (T, ).

Demonstratie: Fie u si v doua elemente din T . Cum functia f este bi-jectiva, exista n mod unic doua elemente x, y S astfel ncat u = f(x),v = f(y).

Definim u v := f(xy). Se arata cu usurinta acum ca (T, ) este unsemigrup care este izomorf (prin f) cu (S, ).

Definitia

1.2.25. Fie (S, ) un semigrup si S S, S 6= parte stabilaa lui S. Legea induce pe S o lege compozitie mpreuna cu care S devinesemigrup. Orice parte stabila S

a lui S se numeste subsemigrup.

Exemplul

1.2.26. (N,+) este subsemigrup n (Z,+).

Propozitia

1.2.27. Fie f : S S un morfism de semigrupuri. AtunciImf S este subsemigrup in S .

Demonstratie: Fie x, y

Imf si x, y S astfel ncat x = f(x), y =f(y). Rezulta atunci ca:

xy= f(x)f(y) = f( xy

S),

ceea ce arata ca xy Imf .

17


1.2.7 Semigrup factor

Definitia

1.2.28. Fie (S, ) un semigrup. Definim pe S relatia binaraf astfel:

xfydef f(x) = f(y).

Propozitia

1.2.29. Relatia f este o relatie de echivalenta pe S compat-

ibila cu operatia se semigrup, i.e. daca x1, x2, y1, y2 S astfel ncat x1fy1si x2fy2, atunci (x1x2) f (y1y2).

Demonstratie: Din x1fy1 si x2fy2, rezulta f(x1) = f(y1) si f(x2) =f(y2). Obtinem succesiv f(x1)f(x2) = f(y1)f(y2), adica f(x1x2) = f(y1y2),i.e. (x1x2) f (y1y2).

Definitia

1.2.30. Definim S/f := {x|x T}, unde T este un sistemcomplet de reprezentanti.

Pentru x, y S/f , fie xy := x y.

Sa verificam ntai ca definitia de mai sus este corecta (adica nu depinde

de alegerea reprezentantilor): fie x = x si y = y . Atunci xfxsi yfy

.

Cum relatia f este compatibila cu operatia de semigrup, (xy) f(xy), i.e.

xy = xy .

Propozitia

1.2.31. Multimea S/f impreuna cu legea formeaza unsemigrup.

Demonstratie: Mai trebuie sa verificam ca legea este asociativa. Fiex, y, z S/f . Atunci:

(xy) z := (xy) z := (xy) zasoc.inS= x (yz) := x (yz) :=

:= x (yz) ,

ceea ce ncheie demonstratia.

18

STRUCTURI ALGEBRICE

Definitia

1.2.32. Semigrupul (S/f , ) se numeste semigrupul factor(cat) relativ la f .

Propozitia

1.2.33. Fie (S/f , ) semigrupul factor relativ la f al unuisemigrup S. Atunci:

1. Aplicatia p : S S/f , p(x) = x, x S este un morfism surjectiv desemigrupuri.

2. Aplicatia g : S/f Imf , g(x) = f(x), x S/f este un izomorfismde semigrupuri.

Demonstratie: Pentru primul punct, surjectivitatea functiei p este evi-denta. Sa mai verificam ca p este morfism de semigrupuri. Pentru x, y S,avem:

p(xy) = xy = xy = p(x)p(y).

Pentru cel dea-l doilea punct, sa vedem ntai ca definitia este corecta: fie

x = x . Atunci xfx, adica f(x) = f(x

) i.e. g(x) = g(x).

Pe de alta parte, din

g(xy) := g(xy) := f(xy) = f(x)f(y) =: g(x)g(y),

rezulta ca g este morfism.

De asemenea, pentru a proba injectivitatea lui g, consideram g(x) = g(y).Avem atunci f(x) = f(y), i.e. xfy, de unde x = y. Cum surjectivitatea luig este evidenta, demonstratia propozitiei este ncheiata.

19


Teorema 1.2.34. Orice morfism de semigrupuri f : S S se poate

descompune canonic sub forma f = i g p, ca n diagrama

S S

S/f Imf

-f

?

p

-=g

6

i

unde p si g sunt morfismele din Propozitia 1.2.33, iar i : Imf S estescufundarea (injectia) canonica.

Demonstratie: Pentru orice x S, avem:

(i g p) (x) = i (g (p(x))) = i (g(x)) = i(f(x)) == f(x), ,

de unde teorema.

1.2.8 Elemente speciale ntr-un semigrup. Monoizi

Elemente simplificabile

Definitia

1.2.35. Fie (S, ) un semigrup si a S. a se numeste element simplificabil la stanga daca oricare ar fi x, y Sdin ax = ay, rezulta x = y.

a se numeste element simplificabil la dreapta daca oricare ar fi x, y S din xa = ya, rezulta x = y.

a se numeste element simplificabil daca este simplificabil la stanga sila dreapta.

20

STRUCTURI ALGEBRICE

Definitia

1.2.36. Un semigrup n care orice element este simplificabil

se numeste semigrup cu simplificare.

Exemple

1.2.37. 1. (N,+) este semigrup cu simplificare.

2. (Z, ) este semigrup cu simplificare.

3. Pentru o multime X, consideram semigrupul (XX , ) si f XX .

f se numeste simplificabil la stanga daca oricare ar fi u, v XXdin f u = f v, rezulta u = v.

f se numeste simplificabil la dreapta daca oricare ar fi u, v XXdin u f = v f , rezulta u = v.

f se numeste simplificabil daca este simplificabil la stanga si ladreapta.

Propozitia

1.2.38. Fie semigrupul (XX , ) si f XX . atunci:

1. f este simplificabil la stanga daca si numai daca functia f este injectiva.

2. f este simplificabil la dreapta daca si numai daca functia f este sur-jectiva.

3. f este simplificabil daca si numai daca functia f este bijectiva.

Demonstratie: Demonstratia fiind relativ simpla, o lasam ca exercitiucititorului.

Element neutru. Monoizi

21


Definitia

1.2.39. Fie (S, ) un semigrup si e S. e S se numeste element neutru la stanga daca ex = x, pentru oricex S.

e S se numeste element neutru la dreapta daca xe = x, pentru oricex S.

e S se numeste element neutru daca este element neutru la stangasi la dreapta.

Definitia

1.2.40. Fie (S, ) un semigrup. Spunem ca legea areelement neutru daca exista e S, e element neutru (i.e. pentru oricex S, avem ex = xe = x).

Observatia

1.2.41. Atragem atentia n definitia de mai sus asupra ordinii

cuntificatorilor si , care nu comuta ntre ei.

Propozitia

1.2.42. Fie (S, ) un semigrup. Daca legea admite elementneutru, acesta este unic.

Demonstratie: Fie e1, e2 doua elemente neutre.Deoarece e1 este element neutru si e2 S, rezulta e1e2 = e2. Analog,

deoarece e2 este element neutru si e1 S, rezulta e1e2 = e1, de unde e1 = e2,adica unicitatea elementului neutru ntr-un semigrup.

Definitia

1.2.43. Fie (S, ) un semigrup cu proprietatea ca areelement neutru e. Atunci (S, , e) se numeste monoid.

22

STRUCTURI ALGEBRICE

Observatia

1.2.44. 1. In notatie aditiva, elementul neutru se noteaza

cu 0 si se numeste element nul.

2. In notatie multiplicativa, elementul neutru se noteaza cu 1 si se numesteelement unitate.

Exemple

1.2.45. 1. (N,+), (Z,+), (Q,+), (R,+) sunt monoizi co-mutativi, in care elementul neutru este 0.

2. (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) sunt de asemenea monoizi comutativi, in careelementul neutru este 1.

3. (XX , ), pentru |X| 2 este monoid necomutativ, cu 1X element neu-tru.

4. (Mn(R), ) este monoid necomutativ, avand In drept element neutru.5. (P(X),) este un monoid comutativ n care este elementul neutru.6. (P(X),) este un monoid comutativ avand elementul neutru multimea

totala X.

Elemente simetrizabile

Definitia

1.2.46. Fie (M, , e) un monoid si x M .

x S se numeste element simetrizabil (inversabil) la stanga dacaexista x

S astfel ncat x x = e. x S se numeste element simetrizabil (inversabil) la dreapta dacaexista x

S astfel ncat x x = e. x S se numeste element simetrizabil (inversabil) daca este simetriz-abil la stanga si la dreapta, i.e. daca exista x

S astfel ncatx x = x x = e.

Notatia

1.2.47. Notam U(M) := {x M |x = simetrizabil} multimeaelementelor simetrizabile ale monoidului M (sau multimea unitatilor lui M ,n notatie multiplicativa).

23


Propozitia

1.2.48. Fie (M, , e) un monoid si x S. Daca x este simetriz-abil, atunci exista un unic x

M astfel ncat x x = x x = e (cu altecuvinte, simetricul lui x M , daca exista, este unic determinat de x).Demonstratie: Fie x

1, x

2 doua elemente dinM astfel ncat xx1 = x1x =

e si x x2 = x2 x = e.Inmultind la stanga relatia xx1 = e cu x2, obtinem succesiv x2

(x x1

)=

x2,(x2 x

)

e

x1 = x2, de unde rezulta x1 = x2, adica unicitatea simetricului

lui x.

Definitia

1.2.49. Fie (M, , e) un monoid si x M un elementsimetrizabil. x

M se numeste simetricul lui x relativ la operatiamonoidala.

Propozitia

1.2.50. Fie (M, , e) un monoid.

1. Daca x M este simetrizabil si x este simetricul sau, atunci si x estesimetrizabil si (

x)

= x.

2. Daca x, y M sunt simetrizabile, atunci x y este simetrizabil si

(x y) = y x.

(Atentie la ordinea factorilor n simetric !)

3. Daca n N, n 2 si x1, ..., xn M sunt simetrizabile, atunci produsulx1...xn este simetrizabil si

(x1 ... xn)= x

n ... x1.

24

STRUCTURI ALGEBRICE

Demonstratie: 1. Daca x M este simetrizabil, atunci, conform Definitiei1.2.46 exista x

M astfel ncat x x = x x = e. Rezulta n modevident, conform aceleiasi definitii, ca si x

este simetrizabil, simetricul

sau fiind x, i.e.(x)

= x.

2. Fie x, y M doua elemente simetrizabile si x respectiv y simetricelelor. Atunci:

(xy)(xy)

= x(yy

)x= xex

= xx

=

= e,

si analog(xy)(xy) = e. Deci xy este simetrizabil si (xy)

= y

x.

3. Inductie dupa n.

1.2.9 Reguli de calcul ntr-un monoid

Reguli de calcul cu puteri pozitive

Regulile de calcul cu puteri naturale nenule ntr-un semigrup se extind ntr-unmonoid la exponenti numere naturale.

Definitia

1.2.51. Fie (M, , e) un monoid si x M . Definim

x0 := e.

Propozitia

1.2.52 (Reguli de calcul cu puteri pozitive ntr-un

monoid). Fie (M, , e) un monoid. Atunci:1. Daca x M si m,n N, avem:

(a) xn xm = xm+n;(b) (xn)m = xmn.

2. Daca x, y M permutabile, atunci, pentru orice m,n N avem:

25


(a) (xy)n = xnyn;

(b) xnym = ymxn (i.e. daca x si y sunt permutabile, atunci oriceputeri naturale ale lor sunt permutabile).

Demonstratie: 1. Este suficient sa demonstram pentru n = 0. Avem:

xm x0 = xm e = xm = xm+0,(xm)0 = e = xm0

2. Analog.

Puterea cu exponent negativ a unui element simetrizabil ntr-unmonoid

Fie (M, , e) un monoid.

Definitia

1.2.53. Fie x M un element simetrizabil si n N, n > 0.Definim

xn :=(x)n

= (xn)

,

ultima egalitate rezultand daca aplicam Propozitia 1.2.50, punctul 3) pentrux1 = x2 = ... = xn = x.

Extindem regulile de calcul cu puteri la exponenti negativi pentru ele-mentele simetrizabile.

Propozitia

1.2.54 (Reguli de calcul cu exponenti negativi pen-

tru elementele simetrizabile ntr-un monoid). Fie (M, , e) un monoid.Atunci:

1. Daca x M este simetrizabil si m,n Z, avem:(a) xn xm = xm+n;(b) (xn)m = xmn.

2. Daca x, y M sunt simetrizabile si permutabile, atunci, pentru oricem,n Z avem:

26

STRUCTURI ALGEBRICE

(a) (xy)n = xnyn;

(b) xnym = ymxn (i.e. daca x si y sunt permutabile, atunci oriceputeri ntregi ale lor sunt permutabile).

Demonstratie: Se analizeaza cazurile m 0, n < 0 si m < 0, n < 0,restul rezultand din aplicarea Propozitiei 1.2.52.

Definitia

1.2.55. In notatie aditiva, n monoidul (M,+, 0) xse

noteaza x si se numeste opusul lui x.In notatie multiplicativa, n monoidul (M, , 1) x se noteaza x1 si senumeste inversul lui x.

Exemple

1.2.56. 1. In (N,+), 0 este singurul element simetrizabil.

2. In (N, ), 1 este unicul element simetrizabil.3. In (Z,+), orice element este simetrizabil.

4. In (Z, ), elementele simetrizabile sunt 1 si 1.5. In (Z, ), multimea elementelor simetrizabile este Q := Q\0.6. In (XX , ), conform Propozitiei 1.2.38, funtia f XX este simetriz-

abila daca si numai daca f este bijectie (permutare a lui X).

Notatia

1.2.57. Multimea elementelor inversabile din XX se noteaza

XX .

27


28

Capitolul 2

Cvasigrupuri. Grupuri

Notiunea de grup, fundamentala n matematica, a aparut n lucrarile luiGalois (1811 1832), dar fara a avea ntelesul actual. Notiunea abstracta degrup, asa cum o cunoastem astazi, apartine lui Weber si a fost data n anul1883.

In acest capitol vom studia: cvasigrupuri, definitii echivalente ale notiuniide grup, exemple, reguli de calcul n grup, subgrupuri, echivalente asociateunui subgrup, Teorema lui Lagrange, operatii cu subgrupuri, subgrupul gen-erat de o submultime a unui grup, subgrup ciclic, laticea subgrupurilor unuigrup, ordinul unui element ntr-un grup, centrul unui grup, subgrup (divi-zor) normal, grupul factor (cat) al unui grup printr-un subgrup normal alsau, morfisme si izomorfisme de grupuri, nucleul si imaginea unui morfismde grupuri, grupul automorfismelor unui grup, subgrupul automorfismelorinterioare, transportul direct si reciproc al subgrupurilor normale prin mor-fisme de grupuri, proprietatea de universalitate a grupului factor, teoremelede izomorfism pentru grupuri si aplicatii, grupuri ciclice: caracterizare, sub-grupurile si grupurile factor ale unui grup ciclic, clase de grupuri.

2.1 Cvasigrupuri

Definitia

2.1.1. Fie Q o multime nevida. (Q, ) se numeste cvasigrupdaca pentru orice a, b Q, ecuatiile de forma ax = b si ya = b au solutieunica n Q.

29


Daca Q = {a1, ..., an}, cvasigrupul Q se numeste cvasigrup finit, iar tablaoperatiei pe Q este de forma:

(Q, ) a1 a2 ... ana1 a1 a1 a1 a2 ... a1 an...

...... ...

...ai ai a1 ai a2 ... ai an...

...... ...

...an an a1 an a2 ... an an

Observatia

2.1.2. Pe fiecare linie si pe fiecare coloana a tabelei din Q se

afla elementele a1, a2,...,an eventual permutate.

Definitia

2.1.3. Tabla unui cvasigrup finit se numeste patrat latin.

Exemplul

2.1.4. Fie multimea Q = {a, b, c} pe care definim legea astfel:

(Q, ) a b ca a b cb c a bc b c a

Sa observam ca (Q, ) este cvasigrup (ecuatiile de forma ax = b si ya = bau solutie unica n Q, pentru orice a, b Q), iar legea nu este niciasociativa, nici comutativa.

2.2 Grupuri

2.2.1 Definitii echivalente. Exemple. Proprietati.

30

STRUCTURI ALGEBRICE

Definitia

2.2.1. Fie G o multime nevida si o lege de compozitiepe G. (G, ) se numeste grup daca (G, ) este un monoid n care toateelementele sunt simetrizabile.Cu alte cuvinte, (G, ) este grup def U(G) = G.

Propozitia

2.2.2. Fie G o multime nevida si o lege de compozitiepe G. Atunci (G, ) este grup daca si numai daca au loc urmatoarele treiconditii:

1. Legea grupala este asociativa: x, y, z G, (x y) z = x (y z);2. Legea admite element neutru: e G astfel ncat x G, x e =

e x = x;3. Toate elementele din G sunt simetrizabile: x G, x G astfel

ncat x x = x x = e.Demonstratie: Rezulta imediat din Definitia 2.2.1.

Observatia

2.2.3. Daca (M, , e) este un monoid si U(M) multimea el-ementelor inversabile din M , atunci, conform Propozitiei 1.2.50, avem capentru orice x, y U(M), x y U(M), adica U(M) este nchisa la operatiamonoidala.

Evident, este lege de compozitie asociativa pe U(M), admite elementneutru e U(M) si orice x U(M) este simetrizabil fata de operatia indusa:pentru orice x U(M), x U(M).

Rezulta atunci ca

(U(M), ) este grup.

Definitia

2.2.4. Grupul (U(M), ) se numeste grupul elementelor in-versabile ale monoidului M .

31


Exemple

2.2.5. 1. In monoidul (Z, ), grupul elementelor inversabileeste (U(Z), ) = ({1} , );

2. In monoidul (Q, ), grupul elementelor inversabile este (U(Q), ) =(Q, );

3. In(XX , ), grupul elementelor inversabile este (U(XX), ) = (S(X), ).

Definitia

2.2.6. Grupul (S(X), ) se numeste grupul simetric pemultimea X.

Definitia

2.2.7. Fie (M, ) un grup. Daca este comutativa, G senumeste grupul comutativ (abelian).

Propozitia

2.2.8. Fie G o multime nevida si o lege de compozitie peG. Atunci (G, ) este grup daca si numai daca sunt ndeplinite urmatoareletrei conditii:

1. Legea grupala este asociativa;

2. Legea admite element neutru la stanga: e G astfel ncat x G,e x = x;

3. Toate elementele din G sunt simetrizabile la stanga: x G, x Gastfel ncat x

x = e.Demonstratie: Implicatia este clara.

Pentru implicatia , conform Propozitiei 2.2.2, mai trebuie sa verificamca e G este element neutru la dreapta si ca toate elementele din G suntsimetrizabile si la dreapta.

Vom verifica ntai cea de-a doua afirmatie. Fie x G si x G simetriculsau la stanga, adica x

x = e. Inmultind relatia precedenta cu (x) la32

STRUCTURI ALGEBRICE

stanga,

((x) x)

e

x = (x) , si, daca nmultim la dreapta cu x , avemx x =

(x) x

e

, de unde x x = e, adica x este simetricul si la dreapta al

lui x.

Faptul ca e G este element neutru si la dreapta rezulta astfel:

x e = x (x x)=(x x

) x = e x =

= x, x G, ,

ceea ce ncheie demonstratia propozitiei.

2.2.2 Reguli de calcul ntr-un grup

Reguli de calcul cu puteri cu exponent ntreg

Regulile de calcul cu puteri cu exponent ntreg ntr-un grup sunt aceleasi cala monoid (vezi Propozitia 1.2.54).

Simplificarea

Propozitia

2.2.9. Fie (G, ) un grup. Atunci, pentru orice x, y G avem:

1. Daca ax = ay, atunci x = y (simplificarea la stanga).

2. Daca xa = ya, atunci x = y (simplificarea la dreapta).

Demonstratie: 1. Fie a, x, y G astfel ncat ax = ay. Inmultindrelatia precedenta la stanga cu simetricul lui x, x

G, obtinem(aa)

e

x =(aa)

e

y, de unde x = y.

2. Analog.

33


Definitia

2.2.10. Fie (S, ) un semigrup. S se numeste semigrup cusimplificare daca pentru orice x, y S, avem:

1. din ax = ay, rezulta x = y (simplificarea la stanga);

2. din xa = ya, rezulta x = y (simplificarea la dreapta).

Observatia

2.2.11. 1. Conform Definitiei 2.2.10, Propozitia 2.2.9 se

poate reformula astfel: Orice grup este un semigrup cu simplificare.

2. Reciproca afirmatiei precedente nu este, n general, adevarata. De ex-emplu, (Z, ) este un semigrup cu simplificare, care nu este grup.

3. Propunem, ca exercitiu, cititorului sa demonstreze urmatoarea afirmatie:Orice semigrup finit cu simplificare este grup.

Propozitia

2.2.12. Fie (G, ) un grup. Atunci (G, ) este cvasigrup.Demonstratie: Fie a, b G. Sa aratam ca ecuatiile ax = b si ya = b ausolutie unica n G.

Sa verificam ntai unicitatea solutiei: presupunem ca ecuatia ax = b aresolutia x0 G, i.e. ax0 = b. Daca nmultim la stanga relatia precedenta cua, obtinem x0 = a

b. Asadar, daca exista, solutia este unica.

Sa verificam ca ab este solutie:

a(ab)=(aa

)

e

b = eb = b.

Pentru cealalta ecuatie se procedeaza analog.

Observatia

2.2.13. 1. Propozitia 2.2.12 se poate reformula astfel: Orice

grup este cvasigrup.

2. Reciproca afirmatiei precedente nu este, n general, adevarata. De ex-emplu, cvasigrupul din Exemplul 2.1.4 nu este grup (legea nu este nicimacar asociativa).

3. Propunem, ca exercitiu, cititorului sa demonstreze urmatoarea afirmatie:Orice cvasigrup asociativ este grup.

34

STRUCTURI ALGEBRICE

Exemple

2.2.14 (Exemple de grupuri). 1. Multimea numerelor nat-

urale (N,+) nu formeaza grup.

2. (Z,+), (Q,+), (R,+) sunt grupuri.

3. Multimea numerelor naturale (N, ) nu formeaza grup, si nici (Z, ),(Q, ) nu formeaza grupuri.

4. In schimb (Q, ), (R, ) sunt grupuri comutative.5. Fie X o multime si S(X) = {f : X X| f=bijectie }. Atunci (S(X), )

formeaza grup n general necomutativ, daca |X| 3. Daca X = {a, b}, atunci S(X) = {( a ba b ), ( a bb a )}. Daca X = {1, 2, 3}, atunci

S(X) ={e :=

(1 2 31 2 3

), :=

(1 2 32 1 3

), :=

(1 2 33 2 1

), :=

(1 2 31 3 2

),

:=(1 2 32 3 1

), :=

(1 2 33 1 2

)}.

Exercitiul

2.2.15. Completatia tabela lui S(X), pentru |X| = {1, 2, 3}.

6. Fie Pn poligonul regulat cu n laturi n planul R2. Notez

D2n := { izometrie a planului| (Pn) = Pn }.

Daca , D2n, atunci

( ) (Pn) = ((Pn)) = (Pn) = Pn,

de unde D2n.

Definitia

2.2.16. Grupul (D2n, ) se numeste grupul diedral de ordin2n.

Exercitiul

2.2.17. Aratati ca grupul diedral D6 este izomorf cu S3.

35


7. (Mn (R) , ) este monoid, n general necomutativ, avand elementul neu-tru In. Notam multimea elementelor inversabile ale acestui monoid cuGLn (R).

Definitia

2.2.18. Grupul GLn (R) se numeste grupul liniar general degrad n.

2.3 Subgrupuri. Definitii. Exemple

Definitia

2.3.1. Fie (G, , e) un grup. O submultime nevida H a lui Gse numeste subgrup a lui G daca:

1. H este parte stabila a lui G (i.e. H este nchisa la operatia grupala);

2. H mpreuna cu operatia indusa de pe G formeaza grup (i.e. dacaoperatia grupala induce pe H o operatie algebrica mpreuna cu care Hdevine grup).

Notatia

2.3.2. Daca H este subgrup al grupul G, notam H G.

In urmatoarea teorema vom caracteriza notiunea de subgrup.

36

STRUCTURI ALGEBRICE

Teorema 2.3.3 (de caracterizare a subgrupului). Fie (G, , e) un

grup si H G o submultime nevida a lui G. Atunci urmatoarele afirmatiisunt echivalente:

1. H este subgrup al lui G.

2. (a) x, y H, xy H (cu alte cuvinte H este nchisa la operatiagrupala);

(b) e H;(c) x H, x H;

3. x, y H, xy H.

Demonstratie: Vom arata 1 2 si 2 3.1 2 : Prima conditie (2.a) este ndeplinita din ipoteza.Pentru cea de-a doua conditie, cum (H, ) stim ca este grup, sa notam

e H elementul neutru sau neutru. Au loc urmatoarele relatii: e e = e(n H) si e e = e (n G). Atunci e e = e e (n G), de unde, simplificandcu e, obtinem e = e H .

Pentru 2.c, fie x H. Cum (H, ) grup, rezulta ca exista x1 H astfelncat x x1 = x1 x = e (n H). Deoarece x x = x e = e (n G), obtinemx x1 = x x, de unde x = x1 H.

2 1 : Din 2.a, H este parte stabila a lui G. Sa aratam acum ca (H, )este grup: legea grupala este n mod evident asociativa pe H, exista e Hastfel ncat x e = e x = e, x H si pentru orice x H, exista x Hastfel ncat x x = x x = e.

2 3 : Fie x, y H. Din 2.c, y H, iar din 2.a, x y H.3 2 : Cum H 6= , exista un x H. Aplicand conditia 3, y = x,

avem x y = x x = e H, adica 2.b.Aplicand acum conditia 3 pentru x = e si y = x H, obtime e x = x

H, i.e 2.b.De asemenea, pentru x, y H, din 2.c si, iar din 3 obtinem ca x(y) H,

adica x y H, ceea ce ncheie demonstratia teoremei.

Exemple

2.3.4 (Exemple de subgrupuri). 1. In orice grup (G, ),{e} si G sunt n mod evident subgrupuri. Ele se numesc subgrupurileimproprii (triviale) ale grupului G.

37


Definitia

2.3.5. Un grup care are numai subgrupuri improprii se

numeste grup simplu.

Definitia

2.3.6. Un subgrup H, H 6= {e} si H 6= G se numeste subgruppropriu.

2. (Z,+) este subgrup n (Q,+) si acesta este subgrup n (R,+)

3. ({1,1} , ) este subgrup n (Q, ) si acesta este subgrup n (R, )4. Subgrupurile grupului aditiv (Z,+).

Propozitia

2.3.7. Fie grupul aditiv (Z,+) al multimii numerelorntregi si H Z o submultime nevida a lui Z. Atunci H este subgrupn (Z,+) daca si numai daca exista n N astfel ncat H = nZ , undenZ = {nk|k Z}.

Demonstratie: Fie n un numaar natural si H = nZ. Atunci Heste subgrup n (Z,+): pentru a = nx si b = ny H, avem a b =nx ny = n(x y) H. Reciproc, fie H un subgrup n (Z,+). Sa aratam ca exista n Nastfel ncat H = nZ.Daca H = {0}, atunci H = 0Z, adica exista n = 0 N astfel ncatH = 0Z. Sa presupunem acum ca H 6= {0}, i.e. n H exista si elementenenule m. Deoarece daca m < 0, din m H si H subgrup, rezulta casi m H, cu m > 0, rezulta ca exista numere naturale n H, i.e.H N 6= .Exista atunci

n := min {n H|n N} ;n particular n N si n H.Sa demonstram ca H = nZ. Incluziunea este imediata: cumn H si H subgrup n Z, avem nZ H. Pentru incluziunea ,sa consideram un y H. Aplicand Teorema Impartirii cu rest in Z,

38

STRUCTURI ALGEBRICE

rezulta ca exista q, r Z astfel ncat y = nq + r, cu 0 r < n. Sapresupunem, prin absurd, ca r 6= 0. Atunci r = y nq; cum y H,q H si H este subgrup, obtinem ca si r H, ceea ce contrazicealegerea lui n ca fiind cel mai mic numar natural cu aceasta proprietate.Atunci r = 0 si y = nq nZ.

5. In grupul S3 al permutarilor de grad 3, cu notatiile din Exemplul 2.2.14, 2 = e ,2 =

(1 2 32 3 1

), 3 = e. Este clar atunci ca n S3, {, },

{, , 2} sunt subgrupuri.

6. In grupul (Sn, ), cu Sn = {f : {1, 2, ...n} {1, 2, ...n} |f bijectie },H = {f Sn|f(n) = n} este subgrup al lui Sn.Intr-adevar, fie f, g H. Atunci (f g)(n) = f(g(n)) = f(n) = n,deci f g H. De asemenea, daca f H, cum f(n) = n, rezulta caf1(n) = n, deci si f1 H. Cum 1Sn se gaseste n mod evident nH, am verificat ca H este subgrup al lui Sn.

2.4 Echivalente asociate unui subgrup. Teo-

rema lui Lagrange

Definitia

2.4.1. Fie (G, , e) un grup si H un subgrup al sau. Definimpe G urmatoarele relatii binare:

echivalenta (congruenta) la stanga modulo H: pentru x, y H,

x s y mod H def. x1y H,

echivalenta (congruenta) la dreapta modulo H: pentru x, y H,

x d y mod H def. yx1 H.

Propozitia

2.4.2. Relatiile s mod H si d mod H sunt relatii deechivalenta pe G.

39


Demonstratie: Relatia s mod H este, n mod evident, reflexiva: pentruorice x G, x s x mod H x1 x G e G.

Fie acum x, y G astfel ncat x s y mod H. Atunci x1 y H; Hfiind subgrup, (x1 y)1 H, y1 x H, de unde y s x mod H. Decirelatia s mod H este reflexiva.

Pentru tranzitivitate, fie x, y, z G astfel ncat x s y mod H si y s zmod H. Din x1 y H si y1 z H rezulta (x1 y) (y1 z) = x1 z H,i.e. x s z mod H.

Analog se demonstreaza ca d mod H este relatie de echivalenta peH.

Notatia

2.4.3. Notam cu (G/H)s si (G/H)d multimea factor a lui G

modulo congruenta la stanga, respectiv la dreapta, modulo H (i.e. multimeaclaselor de echivalenta relativ la s mod H, respectiv la s mod H).

Deci,

(G/H)s = {[x]s|x G} ,unde cu [xs] am notat clasa de echivalenta a lui x G relativ la s mod Hrespectiv,

(G/H)d = {[x]d|x G} ,unde cu [x]d am notat clasa de echivalenta a lui x relativ la d mod H.

Pentru x G, avem:

[x]s := {y G/x s y mod H} ={y G|x1 y H} =

={y G|h H a.. x1 y = h} = {y G|h H a.. y = xh} =

= {x h|h H} =: xH,

si, analog

[x]d = Hx.

Sa remarcam faptul ca

xH = yH x s y mod H x1 y H;Hx = Hy x d y mod H y x1 H.

In notatie aditiva, relatiile de mai sus se transcriu astfel:

[x]s := x+H si [x]d := H + x;

x+H = y +H x+ y H si H + x = H + y y x H

40

STRUCTURI ALGEBRICE

Fie Ts un sistem complet de reprezentanti pentru s mod H si Td unsistem complet de reprezentanti pentru d mod H. Atunci:

(G/H)s = {xH|x Ts} si(G/H)d = {xH|x Td} .

Un caz particular important este acela cand grupul G este comutativ.In acest caz,

x s y mod H x1 y H y1 x H x d y mod H.

Asadar, n acest caz, cele doua relatii de echivalenta coincid si notam

x y mod H x1 y H y x1 H.

Exemple

2.4.4. 1. Fie grupul abelian (Z,+) si fie H = nZ un subgrupal sau. Atunci:

x y mod nZ y x nZ n|y x x y mod n.

Avem Z/nZ ={0, 1, ..., n 1

}.

2. In cazul necomutativ, cele doua relatii de echivalenta sunt, n general,distincte deci si multimile lor factor sunt distincte.

De exemplu, n G = S3, cu notatiile din Exemplul 2.2.14, sa consideramsubgrupul H = {e, }.Clasele de echivalenta la stanga modulo H sunt:

eH = H = {e, } = H; H = H = {, }; H = 2H = {, 2},

iar clasele de echivalenta la dreapta modulo H sunt:

He = H = {e, } = H; H = H2 = {, 2} 6= H; H = H = {, } 6= H.

41


Propozitia

2.4.5. Fie (G, ) un grup si H un subgrup al sau. Atunci:1. Pentru orice x H, |xH| = |Hx| = |H|;2. |(G/H)s| = |(G/H)d|

Demonstratie: 1. Este usor de verificat ca functia : H xH, definitade (h) = xh este bijectiva, deci cele doua multimi xH si H au acelasicardinal. Cealalta egalitate se obtine analog.

2. Fie acum

: (G/H)s (G/H)d(xH) = Hx1,x G.

Sa verificam ntai ca definitia lui este corecta, adica ca nu depindede alegerea reprezentantilor claselor de echivalenta. Fie xH = yH, i.e.x1y H. Trebuie sa verificam ca (xH) = (yH), adica Hx1 =Hy1.

Din sirul de echivalente Hx1 = Hy1 y1xH H x1y H,rezulta buna definire a functiei .

Pentru injectivitatea lui , fie (xH) = (yH). Din Hx1 = Hy1,obtinem x1y H, de unde xH = yH; pentru surjectivitate, fie Hy (G/H)d. Cum (y

1H) = Hy, avem bijectiva, deci |(G/H)s| =|(G/H)d|.

Se justifica acum urmatoarea definitie:

Definitia

2.4.6. Fie (G, ) grup si H un subgrup al sau. Numarul|(G/H)s| = |(G/H)d| se numeste indicele lui H in G si se noteaza [G : H].In cazul n care |(G/H)s| este finit, spunem ca H este indice finit n G.

Exemple

2.4.7. 1. Fie grupul G = Z si H = nZ, cu n N unsubgrup al sau.

Pentru n 6= 0, |(G/H)s| = |(G/H)d| = |Z/nZ| = n, deci [Z : nZ] = n.Daca n = 0, [Z : (0)] = |Z| = 0, deoarece Z/ mod (0) = Z/(0) = Z, iarx y mod 0 0|y x y = x.

42

STRUCTURI ALGEBRICE

2. In grupul G = S3, sa consideram subgrupul H = {e, }. Din Exemplul2.4.4, rezulta imediat [G : H] = 3

Se obtine imediat ca:

Observatia

2.4.8. Indicele unui subgrup ntr-un grup finit este finit.

Teorema 2.4.9 (Lagrange). Fie (G, ) un grup finit si H un subgrup

al sau. Atunci |G| = |H| [G : H].

Definitia

2.4.10. Daca un grup G are n elemente, spunem ca G are

ordinul n si scriem ord G = n.Cand multimea G este infinita, spunem ca grupul G este infinit.

Demonstratie:( demonstratia Teoremei 2.4.9). : Fie i = [G : H]. Atunci|(G/H)s| = i; fie Ts = {x1, x2, ..., xi} G un sistem complet de reprezentantipentru clasele de congruenta la stanga modulo H.

Atunci grupul G se poate scrie sub forma G = x1H x2H ... xiH,cu xkH xjH = , pentru orice 1 k 6= j i. Cum pentru orice x G,|xH| = |H|, rezulta ca |G| =

ij=1

|xjH| = i |H| = [G : H] |H|.

Corolar 2.4.11. Fie G un grup finit si H un subgrup al sau. Atunci

|H|||G|. Cu alte cuvinte, orice subgrup al unui grup finit are ordinul undivizor al ordinului grupului.

Demonstratie: Demostratia rezulta imediat din Teorema 2.4.9 a lui Lan-grange.

Observatia

2.4.12. Daca G este un grup cu |G| = n si d|n, atunci G nuare neaparat un subgrup de ordin d.

De exemplu, pentru G = A4 = { S4| = permutare para }, avem|G| = 12, dar nu are nici un subgrup cu 6 elemente (verificati!).

43


2.5 Operatii cu subgrupuri

2.5.1 Intersectia de subgrupuri

Propozitia

2.5.1. Fie (G, , e) un grup.1. Daca H1 si H2 sunt subgrupuri n G, atunci H1 H2 este subgrup n

G (pe scurt, intersectia a 2 subgrupuri ale lui G este subgrup n G).

2. Fie {Hi|i I} o familie arbitrara de subgrupuri ale lui G. AtunciiIHi

este subgrup n G (intersectia unei familii arbitrare de subgrupuri alelui G este subgrup n G).

Demonstratie: 1. FieH1 siH2 doua subgrupuri ale grupuluiG. Sa verificamca H1 H2 6= si ca pentru orice x, y H1 H2, xy1 H1 H2.Deoarece H1 si H2 sunt subgrupuri n G, conform Teoremei 2.3.3, e H1 si e H2, deci e H1 H2; prin urmare H1 H2 6= .Fie acum x, y H1 H2. Din x, y H1 si H1 subgrup n G, rezulta,conform Teoremei 2.3.3, xy1 H1 si, analog, xy1 H2. Atuncixy1 H1 H2, deci H1 H2 este subgrup n G.

2. Analog.

Propozitia

2.5.2. Fie (G, ) grup si H1, H2 doua subgrupuri ale sale.Atunci H1H2 este subgrup n G daca si numai daca H1 H2 sau H2 H1.Demonstratie: Implicatia este imediata: daca H1 H2, atunci H1 H2 = H2, subgrup n G si analog, daca H2 H1, H1 H2 = H1, subgrup nG.

Reciproc, sa presupunem ca subgrupul H1 nu este inclus n H2 sisa demonstram ca H2 H1.

Fie h2 H2. Cum H1 nu este inclus in H2, rezulta exista h1 H1 astfelncat h1 / H2. Din h1 H1 H1 H2 obtinem h1 H1 H2, iar dinh2 H2 H1 H2, rezulta h2 H1 H2. Cum H1 H2 este presupussubgrup n G, h1h

12 H1 H2, adica h1h12 H1 sau h1h12 H2.

Daca, prin absurd, h1h12 H2, cum h2 H2 si H2 este subgrup n G,

rezulta ca h1 H2, contradictie. Prin urmare h1h12 H1. H1 fiind subgrupn G, si inversul sau se va gasi tot n H1, i.e. h2h

11 H1. Dar h1 H1, de

unde h2 H1, i.e. H2 H1.

44

STRUCTURI ALGEBRICE

Retinem: reuniunea a doua subgrupuri ale lui G nu este, n gen-eral, subgrup n G.

Propozitia

2.5.3. Fie (G, ) grup si H1 H2 H3... Hn... un lantcrescator de subgrupuri n G. Atunci

m1

Hm este subgrup n G.

Proof. Analog cu Propozitia 2.5.2.

2.5.2 Subgrupul generat de o submultime a unui grup

Definitia

2.5.4. Fie (G, ) un grup si X G o submultime a sa.Intersectia tuturor subgrupurilor lui G care contin multimea X se numestesubgrupul generat de X.

Notatia

2.5.5. Notam cu < X > (sau (X), [X]) subgrupul generat de

X, deci

< X >:= {H|H subgrup n G,H X}.

Se observa cu usurinta urmatoarele:

Observatia

2.5.6. 1. Cum G este subgrup n G si G X,{H|H subgrup n G,H X} 6= .

2. < X > este, conform Propozitiei 2.5.1, un subgrup al lui G.

3. Subgrupul < X > este cel mai mic subgrup (n sensul incluziunii) al luiG care contine X.

Demonstratie: Fie K un alt subgrup al lui G astfel ncat X K.Atunci K {H|H subgrup n G,H X}, deci

K {H|H subgrup n G,H X} =< X > .

45


In continuare, sa caracterizam elementele subgrupului < X >.Este clar ca, daca X = , atunci< > = {H|H subgrup n G,H } = {H|H subgrup n G} =

= {e} ,adica multimea vida genereaza subgrupul trivial {e}.

In cazul n care X 6= , caracterizam subgrupul < X > n urmatoarea

Teorema 2.5.7. Fie (G, ) grup si 6= X G o submultime a sa.

Atunci

< X >={x1 x2 ... xn|n N, n 1, xi X sau x1i X, pt. i = 1, n

}.

Cu alte cuvinte, < X > este format din produse finite de elemente din Xsau elemente ale caror inverse sunt n X.

Demonstratie: Sa notam X1 = {x1|x X} si cuT :=

{x1 x2 ... xn|n N, n 1, xi X sau x1i X pentru i = 1, n

}=

={x1 x2 ... xn|n N, n 1, xi X X1 pentru i = 1, n

}.

Trebuie sa demonstram ca < X >= TPentru incluziunea , este suficient sa demonstram ca T este subgrup

G si T X.Fie x = x1 ...xn, cu xi XX1, pentru i = 1, n, n 1 si y = y1 ...ym,

cu yj X X1, pentru j = 1,m, m 1. Atunci:xy1 = x1 x2... xn

xiXX1 y1m y12 ... y1m

jjXX1,

de unde xy1 T , deci T este subgrup n G.Cum este clar ca X T , obtinem < X > T .: Reciproc, fie x T , x de forma x = x1x2...xn, unde n 1, xi

X X1, pentru i = 1, n. Sa aratam ca x < X >.Daca xi X < X >, evident xi < X >; daca xi X1, atunci

x1i X < X >, deci x1i < X >. Cum < X > este subgrup, si inversulsau se va gasi tot n < X >, i.e xi < X >, pentru orice i = 1, n.

< X > fiind subgrup n G, este nchis la , si deci x < X >, ceea cencheie demonstratia teoremei.

46

STRUCTURI ALGEBRICE

Definitia

2.5.8. Fie X este o multime finita, X = {x1, ..., xn}, notam

< X >=< x1, ..., xm > .

Daca X = {x}, atunci

< x >= {xm|x Z}

se numeste subgrupul ciclic generat de x.

Definitia

2.5.9. Fie (G, ) grup si X G. Daca G =< X >, atunciX se numese sistem de generatori pentru G.Daca G are un sistem finit de generatori, grupul G se numeste grup finitgenerat.

Observatia

2.5.10. Daca grupul G este comutativ si finit generat, cu X =

{x1, ..., xn} sistem de generatori pentru G, atunci

G=< x1, ..., xn >= {x11 ...xnn |1, .., n Z} ,

sau, n notatie aditiva, pentru (G,+),

G=< x1, ..., xn >= {1x1 + ...+ nxn|1, .., n Z} .

Exemple

2.5.11. 1. Orice grup finit este finit generat.

Demonstratie: Daca G este grup finit, atunci G este sistem de genera-tori finit pentru G.

47


2. (Z,+) este un grup finit generat.

Demonstratie: Sa determinam sisteme de generatori pentru (Z,+)avand un singur element:

Daca X = {1}, atunci < 1 >= {n 1|n Z} = Z; Daca X = {1}, atunci < 1 >= {n (1)|n Z} = Z; Daca X = {0}, atunci < 0 >= {0}; DacaX = {a}, cu a Z\ {0, 1,1}, atunci< a >= {n a|n Z} =aZ 6= Z.

Prin urmare, retinem ca

Sistemele de generatori ale lui Z formate doar dintr-unsingur element sunt {1} si {1}.

Sa vedem acum care sunt sistemele de generatori ale lui (Z,+)avand 2 elemente. Fie a, b Z. Atunci:

< a, b > = {n a+m b|m,n Z} = aZ+ bZ= (a, b)Z = Z (a, b) = 1,

unde cu (a, b) am notat cel mai mare divizor comun al numerelor a sib (vezi Exemplul 2.6.2).

Asadar, retinem:

Sistemele de generatori cu doua elemente pentru Zsunt de forma {a, b}, cu (a, b) = 1.

De exemplu, < 2, 3 >=< 5, 6 >= Z.

3. Grupul (Q,+) nu este finit generat (i.e nu admite un sistem finit degeneratori).

Demonstratie: Presupunem prin absurd ca exista X ={a1b1, ..., ak

bk

}

Q, cu (ai, bi) = 1, bi N, pentru orice i = 1, k astfel ncat < X >= Q.Atunci, pentru orice q Q, exista m1, ...,mk Z astfel ncat

q = m1 a1b1

+ ...+mk akbk.

48

STRUCTURI ALGEBRICE

Fie 11+b1b2...bn Q. Exista m1, ...,mk Z astfel ncat

1

1 + b1...bk= ma a1

b1+ ...+mk ak

bk=

M

b1...bk,

cu M Z. Atunci M(1 + b1...bk) = b1...bk, de unde 1 + b1...bk|b1...bk,deci b1...bk = 0, contradictie cu b1, ..., bk N. Deci (Q,+) nu este grupfinit generat.

Fie (G, ) grup si H1, H2 doua subgrupuri ale sale. Cel mai mic subgrupcare contine H1 si H2 este

< H1 H2 > :={x1 ... xn|n 1, xi H1 H2 sau x1i H1 H2,i = 1, n

}:=

{x1 ... xn|n 1, xi H1 H2,i = 1, n

}.

Observatia

2.5.12. Sa remarcam ca:

1. Daca grupul G este comutativ, atunci < H1 H2 >= H1H2, unde

H1H2 = {h1h2|h1 H1, h2 H2} .

Rezulta, n particular, H1H2 subgrup n G.

2. Daca grupul G este necomutativ, atunci H1H2 nu este, n general sub-grup, n G (vezi Exemplul 2.5.13).

Exemplul

2.5.13. In grupul (necomutativ) S3 al permutarilor de

grad 3,consideram subgrupurile H1 = {e, } si H2 = {e, }, unde =(1, 2) si = (1, 3) (verificati ca H1 si H2 sunt subgrupuri n S3!).

Atunci H1H2 = {e, , , } nu poate fi subgrup n S3: conform Teore-mei 2.4.9 a lui Lagrange, ar rezulta ca 4|6, contractie.

3.

Propozitia

2.5.14. Fie (G, ) grup si H1, H2 doua subgrupuri alesale. Atunci H1H2 este subgrup n G daca si numai daca H1H2 =H2H1.

49


Demonstratie: Pentru implicatia , sa presupunem caH1H2 = H2H1.Cum e = e e H1H2, H1H2 6= .Fie acum h1h2, k1k2 doua elemente din H1H2. Avem:

(h1h2)(k1k2)1 = h1 h2k12

H2

k11 H2H1=H1H2

= h1g1g2 =

= (h1g1) H1

g2H2

H1H2,

unde g1g2 = (h2k12 )h

11 H1H2, deciH1H2 este subgrup nG, conform

Teoremei 2.3.3.

Reciproc, fie H1, H2 doua subgrupuri ale lui G astfel ncat H1H2este subgrup n G, si fie h1h2 H1H2. Cum H1H2 este presupussubgrup, inversul elementului h1h2 va fi tot n H1H2, i.e. (h1h2)

1 =h12 h

11 = k1k2, cu k1k2 H1H2. Rezulta atunci ca h1h2 = (k1k2)1 =

k12H2

k11H1

H2H1, deci H1H2 H2H1.

Incluziunea se demonstreaza analog.

2.6 Laticea subgrupurilor unui grup

Fie (G, ) grup. Notam cu L(G) multimea tuturor subgrupurilor lui G, i.e.L(G) = {H|Hsubgrup n G} .

Este clar ca (L(G),) este o multime partial ordonata.

Propozitia

2.6.1. (L(G),) este o latice completa cu prim si ultim ele-ment.

Demonstratie: Fie {Hi|i I} L(G). Atunciinf {Hi|i I} =

iIHi L(G)

si

sup {Hi|i I} =[iIHi

] L(G),

ceea ce implica (L(G), ) este latice completa n care {e} este primul elementsi G ultim element.

50

STRUCTURI ALGEBRICE

Exemple

2.6.2. 1. Laticea subgrupurilor grupului (Z,+): DinPropozitia 2.3.7, rezulta ca laticea subgrupurilor lui Z este

L(Z) = {nZ|n N} .

Se verifica fara mare dificultate ca, daca mZ, nZ L(Z), atunci

inf {mZ, nZ} = mZ nZ = [m,n]Z,

unde cu [m,n] am notat cel mai mic multiplu comun al numerelor msi n, si

sup {mZ, nZ} =< mZ nZ >= mZ+ nZ = (m,n)Z,

unde cu (m,n) am notat cel mai mare divizor comun al numerelor msi n.

2. Laticea subgrupurilor grupului (S3, ): Fie grupul permutarilor degrad 3, S3 si fie H un subgrup al sau.

Din Teorema 2.4.9 a lui Lagrange rezulta |H| divide |S3| = 3! = 6, deci|H| {1, 2, 3, 6, }.Sa analizam, pe rand, situatiile posibile. Este clar ca daca |H| = 1,atunci H = {e}, iar daca |H| = 4, atunci H = S3.In cazul n care subgrupul H are 2 elemente, atunci este posibila una dinurmatoarele situatii (vezi notatiile din Exemplul 2.2.14): H1 = {e, },H2 = {e, }, H3 = {e, }.De asemenea, daca |H| = 3, atunci exista un singur subgrup cu 4elemente, H4 = {e, , 2}.Daca reprezentam grafic, laticea subgrupurilor lui S3 arata astfel:

2.7 Subgrup (divizor) normal. Grup factor

(grup cat)

51


Figura 2.1: Laticea subgrupurilor lui S3

Definitia

2.7.1. Fie G un grup si H un subgrup al sau. H se numeste

subgrup normal (sau divizor normal) al lui G daca satisface una dinurmatoarele contitii echivalente:

1. s mod H = d mod H.2. pentru orice x G, xH = Hx.3. (G/H)s = (G/H)d.

4. pentru orice x G, xHx1 = H.5. pentru orice x G, xHx1 H,

unde xHx1 := {xhx1|h H}.

Demonstratie: Sa demonstram echivalenta afirmatiilor din Definitia 2.7.1.1 2 3 : Afirmatiile 1, 2 si 3 sunt trivial echivalente.2 4 : Fie x G. Atunci:

xHx1 = (xH)x1 = (Hx)x1 = H(xx1) = He = H.

4 5 : Evident.5 2 : Fie x G. Din xHx1 H, nmultind la dreapta cu x, rezulta

52

STRUCTURI ALGEBRICE

xH x1xe

Hx, adica xH Hx. De asemenea, cum x1 G, din x1Hx H, nmultind la stanga cu x, rezulta Hx xH, adica xH = Hx.

Notatia

2.7.2. 1. Daca H este subgrup normal n G, notam acest

lucru prin H / G.

2. Pentru un grup (G, ), notam cu D(G) multimea subgrupurilor salenormale, i.e.

D(G) = {H|H / G} L(G).

Exemple

2.7.3. 1. Daca (G, ) este grup, atunci subgrupurile sale im-proprii sunt normale, deci {e} , G D(G) (n particular, D(G) 6= )

Demonstratie: Avem x {e}x = {e}, pentru orice x G, deci {e} / G,si xG = G = Gx, pentru orice x G, deci G / G.

2. Daca G este comutativ, orice subgrup al sau este normal, i.e. D(G) =L(G). In particular, toate subgrupurile lui Z sunt normale.

Demonstratie: Este clar ca xHx1 = xx1H = H, pentru orice Hsubgrup al unui grup comutativ G.

3. In grupul (S3, ), cu notatiile din Exemplul 2.4.4, subgrupul H1 = {e, }generat de transpozitia (12) nu este normal pentru ca, asa cum amvazut n Exemplul 2.4.4, (G/H)s 6= (G/H)d, deci H1 nu este subgrupnormal n S3.

Fie acum H2 = {e, , 2} subgrupul generat de ciclul (123); atunci:eH2 = H2 =

2H2 = H2,

H2 ={e, , 2

}= {e, , } = S3\H2,

H2 ={e, , 2

}= {e, , } = S3\H2,

H2 = {H2, S3\H2} ,deci (G/H)s = {H2, S3 H2}. Analog, (G/H2)d = {H2, S3 H2}. Prinurmare, H2 este subgrup normal n S3.

4. (Grupul cuaternionilor): Fie Q = {1, i, j, k,1,i,j,k}. Atuncigrupul Q nu este comutativ si se arata cu usurinta ca D(G) = L(G)(verificati!).

53


5.

Propozitia

2.7.4. Orice subgrup de indice 2 ntr-un grup G este

normal n G.

Demonstratie: Fie G un grup si H un subgrup al sau astfel ncat [G :H] = 2. Atunci |(G/H)s| = |(G/H)d| = 2, deci (G/H)s = {H,GH}si (G/H)d = {H,GH}. Prin urmare, H D(G).

6. In Sn, multimea permutarilor pare An formeaza subgrup de indice 2(verificati! ), deci An D(Sn).

7. (Centrul unui grup) Fie G grup si

Z(G)= {a G|ax = xa, pentru orice x G}.

Atunci Z(G) este subgrup (verificati!) normal n G si se numeste cen-trul grupului G.

Demonstratie: Pentru a justifica normalitatea lui G, fie x G. AtuncixZ(G)x1 = {xax1|a Z(G)}. Sa aratam ca xZ(G)x1 Z(G). Fien acest sens y G si a Z(G). Avem:

xax1 y = a xx1e

y = ay, iar

y xax1 = ya xx1e

= ya = ay,

decoarece a Z(G). Prin urmare xax1y = yxax1, ceea ce arata caZ(G) D(G).Sa mai observam ca daca G este grup comutativ, atunci Z(G) = G.

Exercitiul

2.7.5. Calculati Z(Sn) si Z(GLn(R)).

Urmatoarele doua afirmatii rezulta cu usurinta:

Propozitia

2.7.6. Intersectia a doua subgrupuri normale ale unui grup G

este subgrup normal n G.

54

STRUCTURI ALGEBRICE

Propozitia

2.7.7. Daca H si K sunt subgrupuri normale ale lui G, atunci

HK := {hk|h H, k K}

este subgrup normal n G.

Corolar 2.7.8. Multimea subgrupurilor normale ale grupului G formeaza

sublatice n laticea subgrupurilor lui G.

Demonstratie: Rezulta imediat din Propozitia 2.6.1 si din Propozitiile 2.7.6si 2.7.7.

2.8 Grupul factor (cat) al unui grup printr-

un subgrup normal al sau

Fie (G, ) grup si H un subgrup normal al sau. Atunci (G/H)s = (G/H)d.Fie G/H := (G/H)s = (G/H)d = {xH|x G} = {Hx|x G}. Pe aceastamultime introducem o operatie notata si definita astfel:

(xH) (yH) := (xy)H,

sau, notand x := xH,

x y := xy.

Sa aratam ca astfel definita este operatie algebrica (i.e. este corectdefinita), adica nu depinde de alegerea reprezentantilor in clasele xH, respec-tiv yH.

Fie atunci x = x si y = y G/H. Trebuie verificat ca x y = x y.Din x = x, rezulta xH = xH, de unde x1x H. Analog, din y = y,obtinem y1y H. Atunci:

y1 x1x H

y y1Hy = (y1Hy H

)y1y = H y1y H

= H,

ceea ce arata ca operatia astfel definita pe G/H este corecta.

Sa studiem proprietatile legii :

55


Asociativitatea:(x y) z = xy z = (xy)z = x(yz) = x yz =

= x (y z)

Existenta elementului neutru: exista eH = H G/H astfel ncatpentru orice x G/H,

e x = ex = x = x e

Elemente simetrizabile : orice x G/H este simetrizabil: fie x1 Gsimetricul lui x; atunci:

x x1 = xx1 = e = eH = H = x1 x.

Din cele de mai sus am obtinut ca

Propozitia

2.8.1. (G/H, ) este grup.

Definitia

2.8.2. (G/H, ) se numeste grupul factor (cat) al lui G relativla subgrupul normal H.

Observatia

2.8.3. Daca G este comutativ, el se poate factoriza la orice

subgrup al sau si grupul factor obtinut este de asemenea comutativ pentruca, n mod clar, avem x y = xy = yx = y x.

Exemplul

2.8.4. Fie subgrupul nZ al grupului comutativ (Z,+), cu n N.Pentru n 2, Z/nZ = Zn =

{0, 1, ..., n 1

}este grup comutativ cu

adunarea definita de x + y = x+ y, unde x := x + nZ, pentru orice x Z.Acesta se numeste grupul claselor de resturi modulo n.

Exercitiul

2.8.5. Intocmiti tabla adunarii pentru: (Z4,+), (Z6,+), (Z8,+)si desenati laticea subgrupurilor acestor grupuri.

56

STRUCTURI ALGEBRICE

Pentru n = 0, avem 0Z = {0} si relatia de congruenta

x y mod 0 0|x y x = y.

Prin urmare, retinem ca

Z\ (0) = Z.

Pentru n = 1, 1Z = Z si

x y mod 1 1|x y,

de unde

Z/Z = {0} .

Observatia

2.8.6. Retinem ca, n general, pentru un grup (G, , e), avem:

G/ {e} = {x|x G} = G,

iar

G/G = {xG|x G} = {G} = {eG} = {e} .

57


58

Capitolul 3

Morfisme si izomorfisme degrupuri

3.1 Definitii. Exemple. Proprietati.

Fie (G, , e) si (G, , e) doua grupuri.

Definitia

3.1.1. O functie f : G G se numeste morfism de grupuride la G la G daca ndeplineste conditia

f(x y) = f(x) f(y),x, y G.

Propozitia

3.1.2. Fie f : G G un morfism de functii. Atunci :

1. f(e) = e (i.e orice morfism de la G la G duce elementul neutru al luiG n elementul neutru al lui G);

2. f(x1) = (f(x))1, x G (i.e. orice morfism de la G n G ducesimetricul unui element x din G n simetricul lui f(x) n G);

3. Pentru orice n 1 si orice x1, ..., xn G, f(x1 x2... xn) = f(x1) f(x2)... f(xn).

4. Pentru orice x G si orice n Z, f(xn) = [f(x)]n.

59


5. Daca g : G G este un alt morfism de grupuri, atunci gf : G Geste morfism de grupuri.

Demonstratie: 1. In definitia morfismului, luand x = y = e, avemf(e) = f(e e) = f(e) f(e). Dar f(e) = f(e) e, de unde f(e) f(e) =f(e) e, i.e. f(e) = e.

2. Deoarece e = f(e) = f(x x1) = f(x)f(x1) si e = f(x)[f(x)]1,rezulta f(x1) = [f(x)]1.

3. Inductie dupa n.

4. Daca n > 0, afirmatia rezulta din punctul precedent, luand x1 = ... =xn = x, iar daca n = 0, rezulta din primul punct al propozitiei. Pentrun < 0, i.e. n > 0, avem:

f(xn) = f((x1)n) = (f(x1))n = [f(x)1]n = [f(x)](1)(n) =

= f(x)n.

5. Daca Gf G g G sunt morfisme de grupuri, atunci pentru orice

x, y G avem:

(g f)(xy) = g(f(x y)) f=morf= g(f(x) f(y)) g=morf= g(f(x)) g(f(y)) == (g f)(x) (g f)(y).

Observatia

3.1.3. In notatie aditiva, Propozitia 3.1.2 se rescrie astfel:

1. f(0G) = 0G;

2. f(x) = f(x), x G

3. f(nx) = n f(x), x G si orice n Z.

Notatia

3.1.4. Notam

Homgr(G,G) := {f : G G| f= morfism de grupuri}.

60

STRUCTURI ALGEBRICE

Definitia

3.1.5. Un morfism f : G G se numeste endomorfism allui G.

Notatia

3.1.6. Vom nota Endgr(G) := Homgr(G,G).

Observatia

3.1.7. In continuare, vom scrie End(G) n loc de Endgr(G)

si Hom(G,G) n loc de Homgr(G,G) si vom preciza gr cand este pericolde confuzii.

Propozitia

3.1.8. (End(G), ) este un monoid, in general necomutativ.

Demonstratie: Din propozitia precedenta rezulta ca este lege decompozitie pe End(G). Cum stim ca este asociativa si 1G : G G,1G(x) = x este n mod evident morfism de grupuri, rezulta ca identitatea luiG, 1G este element neutru, propozitia este demonstrata.

Exemple

3.1.9. 1. Sa calculam multimea endomorfismelor grupului

(Z,+), End(Z). In acest sens, fie f End(Z), f : Z Z, f(x+ y) =f(x) + f(y), x, y Z.Conform punctului 4 al Propozitiei 3.1.2, f(nx) = n f(x), x Z, sin Z. Luand x = 1, rezulta ca f(n) = n f(1), pentru orice n Z.Notam f(1) = a, cu a Z si demonstram ca:

Propozitia

3.1.10. Endomorfismele grupului (Z,+) sunt de formax 7 ax, x Z, unde a Z, i.e.

End (Z) = {fa : Z Z|fa(n) = n a,n Z, a Z} .

Demonstratie: : Am demonstrat ca daca f End(Z), atuncif are forma : f(n) = n f(1) = n a, n Z, unde a = f(1) Z.

61


Pentru incluziunea , fie a Z si fa : Z Z, fa(n) = n a, n Z.Sa demostram ca fa este morfism de grupuri. Avem:

fa(n+m)def fa= (n+m)a = na+ma

def fa= fa(n) + fa(m),

de unde fa End((Z)).

2. Fie G un grup, H un subgrup normal al sau si G/H = {xH|x G}grupul factor al lui G relativ la H.

Functia p : G G/H definita de p(x) := xH, x G este n modevident un morfism surjectiv de grupuri de la G n G/H: avem p(xy) =(xy)H = (xH)(yH) = p(x)p(y), iar surjectivitatea lui p este clara.

Morfismul p definit mai sus se numeste surjectia canonica a lui G pegrupul factor G/H.

3. Fie (G, , e) si (G, , e) doua grupuri. Functia : G G, (x) = eeste morfism de grupuri (se verifica cu mare usurinta; verificati!) si senumeste morfismul nul (trivial).

4. Fie G un grup. Functia f : G G definita de f(x) = x1, x G esteun endomorfism al lui G daca si numai daca grupul G este comutativ.

Demonstratie: Functia f astfel definita este morfism daca si numaidaca f(xy) = f(x)f(y), pentru orice x, y G, adica (xy)1 = x1y1,x, y G, i.e. y1x1 = x1y1, pentru orice x, y G.Inmultind la stanga si la dreapta cu x, obtinem ca f este morfism dacasi numai daca xy1 = y1x, x, y G, si, daca nmultim acum lastanga si la dreapta cu y, yx = xy, x, y G, i.e. grupul G estecomutativ.

5. Fie G un grup. Functia f : G G, f(x) = x2, x G este unendomorfism al lui G daca si numai daca grupul G este comutativ.

Demonstratie: Analog cu exemplul precedent, f este morfism dacasi numai daca f(xy) = f(x)f(y), x, y G, i.e.(xy)2 = x2y2, x, y G,ceea ce este echivalent cu comutativitatea grupului G.

62

STRUCTURI ALGEBRICE

3.2 Nucleul si imaginea unui morfism de

grupuri

Definitia

3.2.1. Fie f : (G, , e) (G, , e) un morfism de grupuri.Multimea

ker f := {x G|f(x) = e} := f1({e})

se numeste nucleul lui f . Multimea

Imf = {f(x)|x G} G

se numeste imaginea lui f .

Exemple

3.2.2. (a) Fie a Z si morfismul fa : Z Z definitaprin fa(n) = na, n Z. Nucleul lui fa este atunci:

ker fa = {n Z|fa(n) = 0} = {n Z|na = 0} ==

{ {0} , daca a 6= 0Z, daca a = 0.

Evident, imaginea morfismului fa este Imfa = aZ.(b) Fie p : G G/H, p(x) = xH, x G surjectia canonica. Atunci

Imp = G/H si

ker p = {x G|p(x) = eH} = {x G|xH = eH} == {x G|x H} = H.

Retinem deci nucleul surjectiei canonice p este:

ker p = H .

Propozitia

3.2.3. Fie f : G G un morfism de grupuri. Atuncimorfismul f este injectiv daca si numai daca ker f = {e}.

63


Demonstratie: : Fie x ker f . Cum f(x) = e = f(e), rezulta,din injectivitatea lui f , x = e, de unde ker f = {e}.: Reciproc, fie x, y G astfel ncat f(x) = f(y). Din f(x)[f(y)]1 =e, cum f este morfism, obtinem f(x)f(y1) = e, respectiv f(xy1) =e si xy1 ker f . Cum presupusem ca ker f = {e}, xy1 = e, decix = y si injectivitatea lui f este probata.

Exemplul

3.2.4. Din Propozitia 3.2.3 si Exemplul 3.2.2, rezulta ca

endomorfismul fa End(Z) este injectiv daca si numai daca a 6= 0.

Observatia

3.2.5. Fie f : G G morfism de grupuri si x, y G.Atunci:

f(x) = f(y) f(x)[f(y)]1 = e f(xy1) = e xy1 ker f x d y mod ker f

3.3 Izomorfisme de grupuri

Definitia

3.3.1. Morfismul f : G G se numeste izomorfism dacaexista un morfism g : G G cu proprietatile f g = 1G si g f = 1G.

Observatia

3.3.2. Ca functie, izomorfismul este n particular o functie

bijectiva.

Propozitia

3.3.3. Fie f : G G un morfism de grupuri. Atunci feste izomorfism daca si numai daca functia f este bijectiva.

Demonstratie: : Rezulta din Observatia 3.3.2.Reciproc, pentru implicatia , daca presupunem ca f este functiebijectiva, atunci rezulta ca este inversabila, deci exista o functie g :G G astfel ncat g f = 1G si f g = 1G . Trebuie sa mai aratamca g este un morfism de grupuri.

64

STRUCTURI ALGEBRICE

Fie x, y G. Sa notam g(x) = x, x G, sau echivalent f(x) = x sig(y) = y, y G, sau echivalent f(y) = y. Rezulta atunci ca:

g(xy) not= g(f(x) f(y)) f=morf= g(f(xy)) = (g f)(xy) == xy

not= g(x) g(y),

ceea ce ncheie demonstratia propozitiei.

Definitia

3.3.4. Doua grupuri G si G se numesc izomorfe daca existaun izomorfism de la G n G. Notam G ' G.

Propozitia

3.3.5. Relatia de izomorfism ntre doua grupuri este o

relatie de echivalenta.

Demonstratie: Cum 1G : G G este izomorfism de grupuri, G 'G, deci relatia ' este reflexiva. Pentru simetrie, daca G ' G sif : G G este un izomorfism de grupuri, atunci din Propozitia 3.3.3rezulta ca si f1 : G G este un izomorfism de grupuri, deci G ' G.Pentru tranzitivitate, daca G

f' G si G g' G rezulta din Propozitia3.1.2 ca G

gf' G, ceea ce ncheie demonstratia.

Definitia

3.3.6. Dat un grup G, clasa de echivalenta a lui G relativ la

' se numeste tipul grupului G.

Exercitiul

3.3.7. (a) Aratati ca orice grup cu cel mult 5 elementeeste comutativ.

(b) Aratati ca orice grup cu 4 elemente este izomorf cu grupul luiKlein sau cu grupul claselor de resturi modulo 4 (Z4,+).

65


(c) Aratati ca orice grup cu 6 elemente este izomorf cu S3 sau cu(Z6,+).

Definitia

3.3.8. Fie G un grup. Un izomorfism f : G G se numesteautomorfism al lui G.

Notatia

3.3.9. Notam cu

Aut(G) = {f : G G|f automorfism al lui G } .

Compunerea functiilor induce pe Aut(G) o operatie algebrica: auto-morfismele unui grup sunt exact elementele inversabile ale monoiduluiendomorfismelor sale, i.e.

Aut(G) = U (End(G)) = {f : G G|f endomorfism inversabil} ,

deci formeaza grup cu compunerea functiilor. Prin urmare, (Aut(G), )este grup, n general necomutativ.

Exemplul

3.3.10. Sa calculam automorfismele grupului Z, Aut(Z).Pentru nceput, vom demonstra, folosind Exemplul 3.1.9, ca

(End(Z), ) ' (Z, ).

Fie

: End(Z) Z,(fa) = a,fa End(Z).

Cum (fafb) = (fab) = ab = (fa)(fb), rezulta ca f este morfismde grupuri.

66

STRUCTURI ALGEBRICE

Pentru injectivitatea lui , fie fa si fb End(Z) astfel ncat (fa) =(fb). Atunci a = b deci fa = fb. Cum este n mod evident surjectiva,rezulta ca

(End(Z), ) ' (Z, ).Deoarece este izomorfism de monoizi, End(Z, ) ' (Z, ), deci

U (End(Z)) ' U ((Z, )) ,adica (Aut(Z), ) ' (1). Asadar,

Aut(Z) = {1Z,1Z} ,unde 1Z : Z Z, 1Z(n) = n, n Z.Acest lucru l puteam demonstra si direct, folosind Exemplul 3.2.2 ast-fel: fie fa End(Z). Atunci fa este automorfism fa este injectivasi surjectiva a 6= 0 si Imfa = Z a 6= 0 si aZ = Z. CumaZ = Z a {1}, obtinem fa = bijectiva a {1}, de unde

Aut(Z) = {f1, f1} = {1Z,1Z} .

3.4 Ordinul unui element ntr-un grup

Fie G grup si x G. Sa ne amintim ca notasem grupul ciclic generatde x cu

< x >= {xn|n Z} = {e, x, x2, x3, ..., x1, x2, ...} .Sunt posibile urmatoarele cazuri:

Cazul 1: Pentru orice i 6= j, xi 6= xj, adica toate puterile lui x suntdistincte doua ca te doua. In acest caz < x > este grup infinit sispunem ca ordinul lui x este infinit. Notam ord(x) =.Un exemplu de asemenea grup este (Z,+), care admite ca generator pe1 sau 1.Fie

f : Z G,f(n) = xn,n Z.

Deoarece f(n + m) = xn+m = xn xm = f(n) f(m), pentru oricem,n Z, rezulta ca f este morfism. Nucleul lui f este ker f = {0}

67


pentru ca, daca n ker f , f(n) = e, xn = e = x0, de unde rezulta can = 0 pentru ca toate puterile lui x sunt distincte.

Cum este clar ca Imf =< x >, rezulta ca restrictia lui f ,

f : Z< x >, f(n) = f(n),n Z,este morfism bijectiv. Prin urmare, retinem ca

ord(x) =< x >= (Z,+).

Cazul 2: Exista i < j, i, j Z astfel ncat xi = xj; nmultind cuxi, obtinem xji = e, cu j i > 0. Asadar, exista n > 0 astfel ncatxn = e.

Daca m := min {n > 0|xn = e}, atunci

< x >={e, x, x2, x3, ..., xm

1},

deci grupul ciclic generat de x are m elemente.

Demonstratie: Incluziunea este evidenta. Reciproc, pentru in-cluziunea , fie y < x >, y = xk, cu k Z. Cum m > 0, aplicandteorema mpartirii cu rest, scriem pe k sub forma k = m q + r, cu0 r < m. Asadar, y = xk =

q

(xm)e

xr = xr. Am obtinut deci y = xr,

cu 0 r < m, i.e. y {x0, x1, ..., xn

1}.

In acest caz spunem ca ordinul lui x este m.

Fie acum x G astfel ncat ord(x) = m si functiaf : Zm < x >=

{e, x, x2, ..., xn1

}f (i) = xi, i Zm

Functia f astfel definita este n mod evident un morfism de grupuri:f (i+ j) = xi+j = xi xj = f (i) f(j), pentru orice i, j Zm. Cum esteclar din definitie ca f este funtie surjectiva, iar din |Zm| = | < x > | =m, rezulta ca f este bijectie. Retiem deci

ord(x) = m N < x >= Zm.

68

STRUCTURI ALGEBRICE

Definitia

3.4.1. Un numar natural nenul m astfel ncat

xm = e si xk 6= e,k N, 1 k m 1

se numeste ordinul elementului x din grupul G.

Exemple

3.4.2. (a) In grupul permutarilor de grad 3, ord(e) = 1,

ord() = 2, ord() = 3, ord(2) = 3, ord() = 2, ord() = 2.

(b) In (C, ), fie z1 = cos 2pi3 + i sin 2pi3 . Atunci este clar ca ord(z1) =3.

Fie z2 = cos 2pi2 + i sin 2pi

2. Sa determinam ord(z2).

Sa presupunem prin absurd ca ord(z2) = n. Atunci zn2 = 1,

cos 2n2pi + i sin 2n

2pi = 1, de unde 2n

2pi = 2kpi, cu k Z.

Atunci ar rezulta ca2

/Q=

k

nQ

, contradictie. Asadar, ord(z2) =

.

6. In (C, ), fie z = cosnpix + i sin 2pix. Sa se arate ca ord(x) este finitdaca si numai daca x Q

Propozitia

3.4.3. Fie G un grup finit. Atunci orice element al lui G este

de ordin finit, divizor al lui G.

Demonstratie: Fie x G. Este evident ca ordinul lui x este finit pentruca, n caz contrar, G ar avea un subgrup, < x >, infinit. Fie m = ord(x).Atunci | < x > | = m si din Teorema 2.4.9 a lui Lagrange rezulta ca m||G|.

Propozitia

3.4.4. Fie G grup, x un element din G si m N. Atunci

ord(x) = m{xm = e sik Z astfel ncat xk = e, rezulta m|k.

69


Demonstratie: : Sa presupunem ca ord(x) = m. Atunci < x >={e, x, ..., xm

1}, xm = e. Fie k Z astfel ncat xk = e. Cum m > 0, scriind

k = mq+r, obtinem e = xk = ( xme

)q xr = xr. Dar k = min {n > 0|xn = e};atunci r = 0, deci m|k.

: Reciproc, fie 1 i m 1. Daca presupunem prin absurd caxi = e, rezulta m|i, contradictie cu i < m. Prin urmare, xi 6= e, pentru orice1 i m 1.

Propozitia

3.4.5. Fie f : G G un izomorfism de grupuri si x G.Atunci x este de ordin finit n G daca si numai daca f(x) este de ordin finitn G si ord(f(x)) = ord x.

Demonstratie: : Fie m = ord(x). Atunci xm = e, f(xm) = f(e)e

,

[f(x)]m = e. Fie 0 k < m. Cum xk 6= e, rezulta ca f(xk) 6= f(e),[f(x)]k 6= e, 0 k m 1. Asadar, ord(f(x)) = m = ord(x).

: Reciproc, daca ordinul lui f(x) = m, [f(x)]m = e = f(e),f(xm) = f(e), deci xm = e, deoarece functia f este injectiva.

Sa presupunem prin absurd ca exista 0 < k m 1 astfel ncat xk = e.Atunci [f(x)]k = e, contradictie cu ord(f(x)) = m. Prin urmare, ord(x) =m.

Propozitia

3.4.6. Fie (G, ) un grup si x G, cu ord(x) = m. Atunci:

1. xk = e m|k.

2. xk = xk m|k k.

3. ord(x1) = m.

Demonstratie: Rezulta din Definitia 3.4.1 si din propozitiile precedente.

Propozitia

3.4.7. Fie x, y G , xy = yx, ord(x) = m, ord(y) = n si(m,n) = 1 , atunci ord(xy) = mn.

Demonstratie: Se folosesc Definitia 3.4.1 si din propozitiile precedente.

70

STRUCTURI ALGEBRICE

3.5 Transportul direct si reciproc al subgrupurilor

normale prin morfisme de grupuri

In aceasta sectiune vom arata cum se face transportul direct si invers alsubgrupurilor printr-un morfism de grupuri.

Teorema 3.5.1. Fie f : G G un morfism de grupuri, H un subgrup

al lui G si H un subgrup al lui G. Atunci:

1. f(H) este un subgrup n G. In particular, Imf este subgrup n G.

2. f1(H ) este un subgrup n G. In particular, ker f este subgrup n G.

3. Daca H este subgrup normal n G, atunci f1(H ) este subgrup nor-mal n G. In particular, ker f este subgrup normal n G.

4. Daca f este surjectiv si H este subgrup normal n G, atunci f(H)este subgrup normal n G.

Demonstratie: 1. Fie H un subgrup al grupului G si

f(H) := {f(x)|x H} .Din e = f( e

H) f(H), rezulta ca f(H) 6= . Pentru f(x), f(y) doua

elemente din f(H), f(x) [f(y)]1 = f(x) f(y1) = f(xy1) f(H)pentru ca, H fiind subgrup n G, din x H, y H rezulta xy1 H.Asadar, f(H) este subgrup n G.

In particular, deoarece Imf = f(G), avem Imf subgrup n G.

2. Pentruf1(H ) := {x G|f(x) H } ,

avem e f1(H ), deci f1(H ) 6= . Fie x, y doua elemente dinf1(H ). Din

f(xy1) = f(x)H

[f(y)]1 H

H ,

rezulta ca f1(H ) este subgrup n G.

In particular, cum ker f := f1({e}), rezulta ca ker f este subgrup nG.

71


3. Fie x un element din G. Vom demonstra ca x f1(H ) x1 f1(H ).Fie h f1(H ). Atunci:

f(xhx1) = f(x) f(h)H

[f(x)]1 f(x)H [f(x)]1 H/G= H ,

de unde f1(H ) este subgrup normal n G.

Este clar ca {e} este subgrup normal n G si prin urmare ker f :=f1({e}) va fi subgrup normal n G.

4. Fie f un morfism surjectiv si H un subgrup normal n G. Fie y unelement arbitrar din grupul G. Trebuie verificat ca yf(H)y1 f(H).Cum morfismul f este surjectiv, exista x G astfel ncat f(x) = y.Pentru f(h) f(H), avem:

yf(h)y1 = f(x)f(h)[f(x)]1 = f(x)f(h)f(x1) = f(xhx1).

Cum h H si H este normal n G, xhx1 H, deci yf(h)y1 f(H),ceea ce trebuia demonstrat.

Observatia

3.5.2. Conditia de surjectivitate asupra lui f n Teorema 3.5.1,

punctul 4 este esentiala. Acest fapt rezulta imediat daca analizam urmatorulexemplu: i : S2 S3, morfismul incluziune, nu este injectiv si Im i estesubgrup normal n S3.

72

STRUCTURI ALGEBRICE

Teorema 3.5.3 (Teorema de corespondenta). Fie f : G G un

morfism surjectiv de grupuri.Atunci exista o aplicatie bijectiva ntre multimea subgrupurilor H ale lui Gcare contin ker f si laticea subgrupurilor lui G definita de:

: L(G; ker f) := {H G|H ker f} L(G)H 7 (H) := f(H).

Inversa acestei aplicatii este data de:

: L(G) L(G; ker f) := {H G|H ker f}H 7 (H ) := f1(H ).

In plus, restrictia restictia bijectiei la multimea subgrupurilor normale alelui G care cotin pe ker f , {H / G|H ker f} este o bijectie pe laticea D(G)a subgrupurilor normale ale lui G, i.e.

{H / G|H ker f} ' D(G).

Demonstratie: Fie

: L(G; ker f) := {H G|H ker f} L(G)H 7 (H) := f(H),H L(G; ker f)

Conform primului punct al Teoremei 3.5.1, pentru H L(G; ker f),f(H) L(G). Pentru a verifica bijectivitatea, i vom construi inversa. Fiefunctia

: L(G) L(G; ker f)H 7 (H ) := f1(H).

Este clar ca, folosind punctul 2 al Teoremei 3.5.1, din H L(G) rezultaca f1(H ) este subgrup n G si cum n mod evident ker f := f1({e}) f1(H ), f1(H ) L(G; ker f).

Trebuie sa verificam n continuare ca = 1L(G;ker f), i.e. ( )(H) =H, H L(G; ker f) si ca = 1L(G) i.e. )(H ) = H , H L(G).

Fie H L(G; ker f). Vrem sa demonstram ca f1(f(H)) = H.Incluziunea este imediata. Pentru incluziunea , fie x

f1(f(H)). Atunci f(x) f(H), i.e. f(x) = f(h), cu h H. Dar f este

73


morfism, deci f(xh1) =

Documents

177877682 Algebra II Curs Seminar