Algebra s, i geometrieNotit,e de seminar

Adrian ManeaCurs: A. Nit, a, R. Radulescu, V. Slesar

12 ianuarie 2020

Cuprins

1 Spat, ii vectoriale 21.1 Eliminare gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Spat, ii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Subspat, ii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Operat, ii cu subspat, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Baza s, i dimensiune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Teorema lui Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.7 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Aplicat, ii liniare 132.1 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Vectori s, i valori proprii. Diagonalizare 183.1 Vectori s, i valori proprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2 Matrice de trecere. Diagonalizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Part, iale 2018–2019 22

5 Spat, ii euclidiene 275.1 Ortonormare s, i complement ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.2 Aplicat, ii ın geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.3 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6 Conice s, i cuadrice 346.1 Conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.2 Cuadrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.3 Exercit, ii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

7 Forma canonica Jordan 417.1 Metoda nucleului stabil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7.2 Exemple rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427.3 Metoda alternativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447.4 Exercit, ii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

8 Ecuat, ii diferent, iale de ordinul I 478.1 Ecuat, ii cu variabile separabile/separate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478.2 Ecuat, ii liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488.3 Ecuat, ia Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498.4 Ecuat, ia Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518.5 Ecuat, ia Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528.6 Ecuat, ii exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

8.6.1 Cu diferent, iale totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538.6.2 Cu factor integrant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

8.7 Ecuat, ia Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558.8 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

9 Sisteme diferent, iale 589.1 Calcul matriceal direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589.2 Folosind forma Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

10 Examen 2018–2019 6410.1 Seria A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6410.2 Seria D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6610.3 Seria E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Index 71

1

SEMINAR 1

SPAT, II VECTORIALE

1.1 Eliminare gaussianaMetoda eliminarii gaussiene (numita s, i metoda Gauss(-Jordan)) este folosita pentru a aduce ma-trice la o forma mai simpla, anume triunghiulara sau chiar forma matricei unitate.

Principalele aplicat, ii ale eliminarii gaussiene sınt ın rezolvarea sistemelor de ecuat, ii liniare s, iın inversarea matricelor.

In ambele situat, ii, se trece de la o stare la alta facınd transformari elementare, adica aceleoperat, ii permise ın determinant, i, care nu schimba valoarea determinantului. In general, operat, iilepe care le putem face intra sub denumirea de combinat, ii liniare cu linii sau coloane.

Un exemplu este urmatorul. Fie sistemul de ecuat, ii:

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

mx1 + x2 + x3 = 1x1 +mx2 + x3 = mx1 + x2 +mx3 = m2,

unde m ∈ ℝ. Evident, solut, ia sistemului va implica o discut, ie dupa m.Fie A matricea sistemului, iar B matricea-coloana a termenilor liberi. Prelucram matricea

extinsa (A ∣ B) pına cınd aducem pe A ın forma (superior) triunghiulara.

2

Consideram matricea M = (A ∣ B) de mai sus:

(A|B) =⎛⎜⎜⎝

m 1 1 ∣ 11 m 1 ∣ m1 1 m ∣ m2

⎞⎟⎟⎠

L1↔L2←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←→⎛⎜⎜⎝

1 m 1 ∣ mm 1 1 ∣ 11 1 m ∣ m2

⎞⎟⎟⎠

L2→L2−mL1L3→L3−L1←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←→

⎛⎜⎜⎝

1 m 1 ∣ m0 1 −m2 1 −m ∣ 1 −m2

0 1 −m m − 1 ∣ m2 −m.

⎞⎟⎟⎠

In acest punct, avem o discut, ie:(a) Daca m = 1, atunci sistemul se reduce la prima ecuat, ie, deci este compatibil dublu nede-

terminat. Rezulta solut, ia{(1 − � − �, �, �) ∣ �, � ∈ ℝ}.

(b) Daca m ≠ 1, atunci putem continua transformarile s, i ajungem, ın �ne, la:

M =⎛⎜⎜⎝

1 0 1 +m ∣ m +m2

0 1 −1 ∣ −m0 0 2 ∣ (m + 1)2

⎞⎟⎟⎠

Aici discutam din nou:(b1) Daca m = −2, sistemul este incompatibil, deoarece ultima ecuat, ie devine 0 = 1.(b2) Daca m ≠ −2, putem continua transformarile s, i ajungem, ın cele din urma, la:

M =⎛⎜⎜⎝

1 0 0 ∣ −(m + 1)/20 1 0 ∣ 1/(m + 2)0 0 1 ∣ (m + 1)2/(m + 2)

⎞⎟⎟⎠

In acest ultim caz, sistemul este compatibil determinat, solut, ia �ind data de ultima coloana:

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x1 = −m + 12

x2 = 1m + 2

x3 = (m + 1)2m + 2 .

Concluzia generala este:

3

(a) Daca m ∈ ℝ − {−2, 1}, sistemul are solut, ie unica;

(b) Daca m = −2, sistemul este incompatibil;

(c) Daca m = −1, sistemul este compatibil nedeterminat.

Similar, pentru a calcula inversa unei matrice, bordam matricea data cu matricea unitate s, iefectuam transformari elementare pına ce matricea init, iala devine matricea unitate.

Iata un exemplu, notınd s, i transformarile:

⎛⎜⎜⎝

2 1 3 ∣ 1 0 0−2 3 4 ∣ 0 1 05 1 1 ∣ 0 0 1

⎞⎟⎟⎠

L1→(1/2)L1←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←→⎛⎜⎜⎝

1 1/2 3/2 ∣ 1/2 0 0−2 3 4 ∣ 0 1 05 1 1 ∣ 0 0 1

⎞⎟⎟⎠

L2→2L1+L2L3 →−5L1+L3←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←→

⎛⎜⎜⎝

1 1/2 3/2 ∣ 1/2 0 00 4 7 ∣ 1 1 00 −3/2 −13/2 ∣ −5/2 0 1

⎞⎟⎟⎠

L2→(1/4)L2←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←→⎛⎜⎜⎝

1 1/2 3/2 ∣ 1/2 0 00 1 7/4 ∣ 1/4 1/4 00 −3/2 −13/2 ∣ −5/2 0 1

⎞⎟⎟⎠

L1→(−1/2)L2+L1L3→(3/2)L2+L3←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←→

⎛⎜⎜⎝

1 0 5/8 ∣ 3/8 −1/8 00 1 7/4 ∣ 1/4 1/4 00 0 −31/8 ∣ −17/8 3/8 1

⎞⎟⎟⎠

L3→(−8/31)L3←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←→⎛⎜⎜⎝

1 0 5/8 ∣ 3/8 −1/8 00 1 7/4 ∣ 1/4 1/4 00 0 1 ∣ 17/31 −3/31 −8/31

⎞⎟⎟⎠

L1→(−5/8)L3+L1L2→(−7/4)L3+L2←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←→

⎛⎜⎜⎝

1 0 0 ∣ 1/31 −2/31 5/310 1 0 ∣ −22/31 13/31 14/310 0 1 ∣ 17/31 −3/31 −8/31

⎞⎟⎟⎠

Rezulta ca

A−1 =⎛⎜⎜⎝

1/31 −2/31 5/31−22/31 13/31 14/3117/31 −3/31 −8/31

⎞⎟⎟⎠.

1.1.1 Exercit, ii1. Rezolvat, i urmatoarele sisteme, atıt cu metoda matriceala clasica, cıt s, i cu metoda lui Gauss:

(a)

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x + 3y − z = 13x + y + 2z = 45x − 2y + z = 2

4

(b)

{3x − y + 2z + 3t = 4x + 3y − z + t = −1

(c)

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

2x − y + 3z = 13x + 2y − z = 4x + 3y − 4z = 3

.

2. Calculat, i inversele matricelor, atıt cu metoda folosind matricea adjuncta, cıt s, i folosindmetoda lui Gauss:

(a) A =⎛⎜⎜⎝

1 0 −13 2 10 1 1

⎞⎟⎟⎠;

(b) B =⎛⎜⎜⎜⎝

−1 2 4 13 0 1 40 1 1 02 1 0 1

⎞⎟⎟⎟⎠

;

(c) C =⎛⎜⎜⎝

1 1 20 1 00 0 −1

⎞⎟⎟⎠.

1.2 Spat, ii vectorialeNot, iunea de spat, iu vectorial face legatura ıntre geometrie s, i algebra. De fapt, a permis utilizareametodelor de structuri algebrice ın geometria analitica. Exemplul de baza este acela al planuluireal V = ℝ2, ın care consideram adunarea vectorilor s, i ınmult, irea lor cu scalari. Astfel, �e vectorii:

v = ai + bj, w = ci + dj,unde a, b, c, d ∈ ℝ.

De�nim operat, ia de adunare a vectorilor, pe componente:

v + w = (a + c)i + (b + d)j .Cu aceasta de�nit, ie, observam ca (V , +) are o structura de grup comutativ (justi�cat, i!).In plus, mai avem la dispozit, ie s, i operat, ia de ınmult, ire cu scalari. Fie � ∈ ℝ un scalar (numar

real, ın cazul de fat, a). Se de�nes, te operat, ia:

� ⋅ v = �ai + �bj.Cu aceasta de�nit, ie, se veri�ca imediat proprietat, ile (pentru orice �, � ∈ ℝ s, i v, w ∈ ℝ2):

5

• (��)v = �(�v);

• � ⋅ (v + w) = �v + �w);

• 1ℝ ⋅ v = v;

• 0ℝ ⋅ v = 0.

Mai amintim, de asemenea, ca mult, imea numerelor reale are o structura de corp comutativ,(ℝ, +, ⋅).

Sıntem, astfel, condus, i la urmatoarea:

De�nitie 1.1: Spunem ca V are structura de spat, iu vectorial peste K (echivalent, V este K -spat, iuvectorial) daca:

1. (V , +) are structura de grup comutativ;

2. (K, +, ⋅) are structura de corp comutativ;

3. exista o operat, ie externa ⋅ ∶ V × K → K care satisface

• � ⋅ (x + y) = � ⋅ x + � ⋅ y;• (� + �) ⋅ x = � ⋅ x + � ⋅ x ;• � ⋅ (� ⋅ x) = (��) ⋅ x ;• � ⋅ (x + y) = � ⋅ x + � ⋅ y;• 1K ⋅ x = x ;• 0K ⋅ x = 0V ;

pentru orice x, y ∈ V s, i �, � ∈ K .

In general, elementele grupului V se vor nota cu litere din alfabetul latin s, i se vor numi vectori,iar elementele corpului K se vor nota cu litere greces, ti s, i se vor numi scalari.

Observatie 1.1: Are sens, ın general, sa lucram s, i pe cazul necomutativ, adica, de exemplu,ınmult, irea cu scalari sa �e posibila doar ıntr-o parte sau sa nu �e egala expresia �v cu v� . Daraceste cazuri depas, esc scopul acestui seminar s, i vor � omise. De aceea, comutativitatea va �presupusa implicit ın tot ceea ce urmeaza.

Spat, iile vectoriale se mai numesc s, i spat, ii liniare, deoarece toate expresiile s, i ecuat, iile ce voraparea vor � liniare, i.e. de gradul ıntıi.

Daca corpulK esteℝ sauℂ, vom mai numi spat, iile reale, respectiv complexe. In acest seminar,majoritatea cazurilor vor � de spat, ii vectoriale reale.

Cıteva exemple de baza urmeaza. Cititorul este ıncurajat sa veri�ce a�rmat, iile cu o scurtademonstrat, ie.

6

1. K este un K -spat, iu vectorial, deci putem avea, de exemplu, V = K = ℝ;

2. ℝn este unℝ-spat, iu vectorial, unde vectorii sınt n-tupluri de numere reale, v = (x1, x2,… , xn).

3. Mm,n(K ) este un K -spat, iu vectorial, indiferent dem, n, K . In particular, M4(ℝ) este un spat, iuvectorial real, iar M2,7(ℤ13) este un ℤ13-spat, iu vectorial.

4. ℝ este un ℚ-spat, iu vectorial, dar nu este un ℂ-spat, iu vectorial;

5. ℝ[X ] (mult, imea polinoamelor cu coe�cient, i reali) este un spat, iu vectorial real;

6. ℝn[X ] = {f ∈ ℝ[X ] ∣ gradf ≤ n} este un spat, iu vectorial real.

1.3 Subspat, ii vectorialeCa de obicei, atunci cınd se introduc structuri algebrice noi, se cauta s, i conceptul de substructuracorespunzator. In cazul de fat, a, este vorba despre subspat, ii vectoriale. Ca ın cazul grupurilor,acestea se de�nesc simplu:

De�nitie 1.2: Fie V un K -spat, iu vectorial. Submult, imea W ⊆ V se numes, te subspat, iu vectorialal lui V , notat W ↪ V daca W la rındul sau are structura de K -spat, iu vectorial.

Tot ca ın cazul grupurilor, avem o teorema de caracterizare care ne este de ajutor ın calcule.Cıteva exemple simple (justi�cat, i!):

1. Mult, imea {0V} formeaza un subspat, iu vectorial al lui V , numit subspat, iul nul sau trivial.De asemenea, V este la rındul sau subspat, iu al lui V . Aceste exemple se numesc subspat, iiimproprii, iar noi vom � interesat, i de celelalte cazuri, numite subspat, ii proprii.

2. ℝn[X ]↪ ℝ[X ], pentru orice numar natural n.

3. Submult, imea W = {(x1, x2) ∈ ℝ2 ∣ 2x1 − 3x2 = 0} este un subspat, iu al spat, iului ℝ2.

4. Mult, imea matricelor patratice de marime n, superior triunghiulare, este un subspat, iu alspat, iului de matrice patratice de marime n.

5. In spat, iul ℝ3, dreptele s, i planele care cont, in originea sınt subspat, ii.

6. In spat, iul ℝ2, mult, imea W = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ y = 2x − 1} nu formeaza un subspat, iu.

7

1.4 Operat, ii cu subspat, iiFie V un K -spat, iu vectorial s, i V1, V2 doua subspat, ii ale sale.

De�nitie 1.3: Mult, imea V1 + V2 = {x ∈ V ∣ ∃x1 ∈ V1, x2 ∈ V2, x = x1 + x2} se numes, te sumasubspat, iilor V1 s, i V2.

Daca, ın plus, V1 ∩ V2 = {0V}, atunci suma se numes, te directa s, i se noteaza V1 ⊕ V2.

Observatie 1.2: Daca V1, V2 ↪ V , este imposibil ca V1 ∩ V2 = ∅. (Justi�cat, i!)

Cazul ın care suma a doua subspat, ii este directa este foarte util prin urmatorul rezultat.

Propozitie 1.1: Suma dintre subspat, iile V1 s, i V2 ale spat, iului V este directa daca s, i numai dacaorice vector din v se descompune ın mod unic ın v = v1 + v2, cu v1 ∈ V1 s, i v2 ∈ V2.

Daca acesta este cazul, spunem ca v1 este proiect, ia lui V pe V1 s, i similar pentru V2.

O alta operat, ie permisa cu subspat, ii este intersect, ia: Daca V1, V2 sınt subspat, ii ale lui V , atuncis, i V1 ∩ V2 este subspat, iu.

Reuniunea de subspat, ii, ınsa, nu este subspat, iu, ın general!

1.5 Baza s, i dimensiuneFie V un K -spat, iu vectorial s, i S = {x1,… , xn} ≤ V o submult, ime nevida de vectori din V .

O expresie de forma v =n∑i=1

�ixi se numes, te combinat, ia liniara a vectorilor xi cu scalarii

�i ∈ K .

De�nitie 1.4: Mult, imea S de mai sus se numes, te:

• sistem liniar independent daca orice combinat, ie liniara a vectorilor din S cu scalari din Kcare este nula are tot, i scalarii nuli. Cu alte cuvinte, daca

n∑i=1

�ixi = 0, atunci tot, i �i = 0, ∀i,adica singura combinat, ie liniara nula care foloses, te tot, i vectorii din S este cea triviala.

• sistem de generatori daca orice vectori v ∈ V se poate scrie ın funct, ie de vectorii din S. Cualte cuvinte, pentru orice v ∈ V , exista scalarii �1,… , �n astfel ıncıt v = ∑ �ixi . Daca unspat, iu vectorial admite un sistem de generatori cu un numar �nit de vectori, atunci spat, iulse numes, te �nit generat. Daca mult, imea {x1,… , xn} este un sistem de generatori pentru V ,notam aceasta cu V = Sp{x1,… , xn}, de la englezescul span (acoperire, ıntindere).

• baza daca este simultan sistem liniar independent s, i sistem de generatori. Cu alte cuvinte,orice vector din V se poate scrie ın funct, ie de vectorii din S, iar aceasta scriere este unica.

8

Daca S este baza, numarul de elemente din S se numes, te dimensiunea spat, iului vectorial V , notatdimK V sau mai simplu dimV , cınd corpul de scalari este clar din context.

Un rezultat esent, ial este:

Teorema 1.1: Orice spat, iu vectorial admite (cel put, in) o baza s, i orice doua baze ale unui spat, iuvectorial au acelas, i numar de elemente.

As, adar, �e ca este vorba despre spat, ii �nit dimensionale sau in�nit dimensionale, s, tim sigurca o baza exista, iar conceptul de dimensiune este corect de�nit.

In plus, ın toate cazurile pe care le vom discuta ın continuare, vom lucra doar cu spat, ii �nitdimensionale.

Exemple fundamentale:

1. Pentru spat, iul real ℝn, o baza este:

{e1 = (1, 0, 0,… , 0), e2 = (0, 1, 0,… , 0),… , en = (0, 0,… , 0, 1)} ,

care se numes, te baza canonica.

2. Pentru spat, iul real ℝ[X ], o baza este {1, X , X 2, X 3,… , X n,… , }.

3. Pentru spat, iul de matrice Mn(ℝ), o baza este formata din matricele care au toate elementelenule, mai put, in unul, care este egal cu 1. De exemplu, pentru M2(ℝ), o baza este:

{

(1 00 0) ,(

0 10 0) ,(

0 01 0) ,(

0 00 1)

}.

4. Pentru spat, iul real ℂ, o baza este formata din {1, i}.

5. Pentru spat, iul real ℝ, o baza este {1}.

Sa mai dam cıteva detalii pentru cazul binecunoscut al spat, iului real ℝ2. Dimensiunea lui este2 s, i o baza (baza canonica) este B = {(1, 0), (0, 1)}. Elementele bazei pot � asimilate cu versoriii = (1, 0) s, i j = (0, 1). Mai mult, dat un vector oarecare, v = (a, b), el poate � scris ın funct, ie deelementele bazei ın mod unic:

(a, b) = a ⋅ (1, 0) + b ⋅ (0, 1).Scalarii a s, i b de mai sus se numesc coordonatele vectorului v ın baza canonica B.

Similar, de exemplu, ın spat, iul V = ℝ3[X ], baza canonica este B = {1, X , X 2, X 3}, iar dacaluam polinomul

f = 3 − 5X + 2X 2 + 7X 3,atunci coordonatele sale ın baza canonica sınt 3, −5, 2, 7.

9

1.6 Teorema lui GrassmannFie V un K -spat, iu vectorial �nit dimensional s, i V1, V2 doua subspat, ii ale sale. Teorema urmatoareleaga conceptul de dimensiune de operat, iile cu subspat, ii.

Teorema 1.2 (Hermann Grassmann): In contextul s, i cu notat, iile de mai sus, are loc egalitatea:

dim(V1 + V2) = dimV1 + dimV2 − dim(V1 ∩ V2).

Comparat, i rezultatul de mai sus cu unul cunoscut, despre cardinale:

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.

De aici rezulta ca o baza ın V1 + V2 este reuniunea bazelor din V1, respectiv V2.

1.7 Exercit, ii1. Aratat, i ca urmatoarele mult, imi sınt subspat, ii vectoriale ın spat, iile indicate. Determinat, i o bazas, i dimensiunea �ecarui subspat, iu.

(a) V1 = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ 3x − y = 0}↪ ℝ2;

(b) V2 = {(x, y, z) ∈ ℝ3 ∣ 3x − y = 0}↪ ℝ3;

(c) V3 = {(x, y, z) ∈ ℝ3 ∣ x = 0}↪ ℝ3;

(d) V4 = {p ∈ ℝ2[X ] ∣ p(1) = 0}↪ ℝ2[X ];

(e) V5 = {p ∈ ℝ2[X ] ∣ p′(1) = 0}↪ ℝ2[X ];

(f) V6 = {(x, y, z) ∈ ℝ3 ∣ 3x − y + z = 0, 2x + y = 0}↪ ℝ3;

(g) V7 = {A ∈ M2(ℝ) ∣ A = At}↪ M2(ℝ);

(h) V8 = {A ∈ M2(ℝ) ∣ trA = 0}↪ M2(ℝ).

2. Se considera mult, imea:

W ={A ∈ M2,3(ℝ) ∣ A = (

x 0 y0 u z) , x, y, z, u ∈ ℝ, x = y + z

}.

(a) Sa se arate ca W ↪ M2,3(ℝ);

(b) Gasit, i o baza a lui W s, i dimℝW .

10

3. Aratat, i ca sistemul de vectori {v1, v2, v3} este liniar independent, unde:

v1 = (1, −1, 2), v2 = (3, −1, 1), v3 = (0, 1, 5).

Este acesta s, i sistem de generatori?

4. Fie mult, imea B = {p1, p2, p3} ⊆ ℝ2[X ], unde:

p1 = X 2 − 1, p2 = 2X + 1, p3 = X 2 + 3.

Aratat, i ca B este o baza a lui ℝ2[X ] s, i gasit, i coordonatele vectorului q = 3X 2 − X + 4 ın baza B.

5. Fie subspat, iile:

V1 = {(x, y, z) ∈ ℝ3 ∣ 2x − y + z = 0}V2 = Sp{(1, −1, 2), (3, 1, 0)}.

Gasit, i cıte o baza s, i dimensiunea subspat, iilor: V1, V2, V1 + V2, V1 ∩ V2.Este suma V1 + V2 directa?

6. Aceeas, i cerint, a ca la exercit, iul 5 pentru spat, iile:

(a)

V1 = {(x, y, z) ∈ ℝ3 ∣ 3x − y + z = 0}V2 = Sp{(1, −1, 0), (2, 1, 1), (1, 1, 0)}

(b)

V1 = {p ∈ ℝ2[X ] ∣ p(2) = 0}V2 = Sp{X, 2X 2 + 1, 3}

(c)

V1 = {A ∈ M2(ℝ) ∣ A = −At}V2 = {A ∈ M2(ℝ) ∣ A = At}

(d)

V1 = {(x, y, z, t) ∈ ℝ4 ∣ 3x − y + z = 0 s, i 5y − 2t = 0}V2 = Sp{(1, −1, 1, 0), (1, 0, 1, 0), (2, 0, 0, 2)}.

11

7. Veri�cat, i daca mult, imile S de vectori din spat, iul vectorial V sınt liniar independente, iar ıncaz a�rmativ, completat, i-le pına la o baza a lui V :

(a) V = ℝ3, S = {(1, −1, 0), (2, 0, 0)};

(b) V = ℝ3, S = {(1, 1, 1), (2, 1, 2)};

(c) V = ℝ3, S = {(1, −1, 2), (0, 2, 0), (1, 1, 1)};

(d) V = ℝ3, S = {(1, 1, 1), (2, 2, 0), (−1, 1, 1), (0, 0, 2)};

(e) V = ℝ2[X ], S = {X, 1 + 2X};

(f) V = ℝ2[X ], S = {X 2, −X};

(g) V = M2(ℝ), S ={

(1 10 0) ,(

−1 −10 0 )

};

(h) V = ℝ3[X ], S = {2 + X, 5 − X, 3 − 2X + X 2}.

8. Veri�cat, i daca mult, imile S de vectori din spat, iul vectorial V sınt sisteme de generatori, iarın caz a�rmativ, extraget, i din ele o baza a lui V :

(a) V = ℝ3, S = {(−1, 2, 0), (3, 1, 1), (0, 1, 1), (−1, 2, 5), (0, 2, 2)};

(b) V = ℝ3, S = {(0, 0, 0), (2, 0, 0), (1, 0, 1), (−1, 1, 1), (2, 1, 2)};

(c) V = ℝ2[X ], S = {X, X 2, 1 − 3X, 2 + 2X − X 2, 1 + X 2, 1 − X, 1 + X};

(d) V = ℝ2[X ], S = {1 − X, 1 + X, 1 − X 2, 1 + X 2}.

9. Pentru spat, iile vectoriale V de mai jos, aratat, i ca mult, imea B este o baza, apoi gasit, i coor-donatele vectorului v ın baza B:

(a) V = ℝ3, B = {(1, −1, 0), (2, 0, 1), (0, −1, 2)}, v = (1, 2, 3);

(b) V = ℝ3, B = {(0, −1, 2), (3, 1, 1), (2, −1, 3)}, v = (3, 2, 1);

(c) V = ℝ3, B = {(1, 1, 1), (−2, 3, 1), (3, 1, 1)}, v = (2, 2, 2);

(d) V = ℝ2[X ], B = {1 + X, 1 − X 2, 5}, v = X ;

(e) V = ℝ2[X ], B = {3 + X − 2X 2, 1 + 3X, 2}, v = 2 + 3X 2;

(f) V = ℝ3[X ], B = {5 − X, 2, 4 + 3X 2, 1 + 2X}, v = 1 + X + X 2 + X 3.

12

SEMINAR 2

APLICAT, II LINIARE

In continuare, studiem mor�smele de spat, ii vectoriale s, i legatura strınsa care exista ıntreacestea s, i matrice.

De�nit, ia de baza urmeaza.

De�nitie 2.1: Fie V ,W doua K -spat, ii vectoriale s, i f ∶ V → W o funct, ie.f se numes, te aplicat, ie liniara (mor�sm de spat, ii vectoriale) daca satisface proprietatea:

f (�x + �y) = �f (x) + �f (y), ∀�, � ∈ K, x, y ∈ V .

Proprietatea se mai poate scrie pe bucat, i, sub forma:

f (�x) = �f (x), f (x + y) = f (x) + f (y).

Cu alte cuvinte, f ”respecta“ atıt adunarea vectorilor cıt s, i ınmult, irea cu scalari sau, pe scurt,respecta combinat, iile liniare.

Data o astfel de aplicat, ie liniara, vom � interesat, i de:

• Imaginea aplicat, iei, Imf = {w ∈ W ∣ ∃v ∈ V , f (v) = w};

• Nucleul aplicat, iei, Kerf = {x ∈ V ∣ f (x) = 0W }.

Exercit, iu: In contextul s, i cu notat, iile de mai sus, aratat, i ca Imf ↪ W s, i Kerf ↪ V .Ca ın cazul oricaror mor�sme de structuri algebrice, avem not, iunile cunoscute:

• f se numes, te injectiva daca oricınd f (v1) = f (v2), ca vectori ai lui W , rezulta ca v1 = v2, cavectori ai lui V ;

• f se numes, te surjectiva daca pentru orice vector w ∈ W exista un vector v ∈ V astfel ıncıtf (v) = w;

13

• f se numes, te bijectiva daca este simultan injectiva s, i surjectiva.

In cazul ın care f ∶ V → W este un mor�sm bijectiv, f se numes, te izomor�sm de spat, iivectoriale, iar cele doua spat, ii se numesc izomorfe, notat V ≃ W .

De asemenea, au loc rezultatele:

• V ≃ W daca s, i numai daca dimV = dimW ;

• Kerf = {0V} daca s, i numai daca f este injectiva;

• Imf ≃ W daca s, i numai daca f este surjectiva.

Exercit, iu*: Demonstrat, i a�rmat, iile de mai sus.

Exercit, iu*: Fie f ∶ V → W o aplicat, ie liniara.

(a) Fie S un sistem liniar independent de vectori din V . Aratat, i ca f (S) este un sistem liniarindependent de vectori din W daca s, i numai daca f este injectiva.

(b) Fie S un sistem de generatori ai lui V . Aratat, i ca f (S) este un sistem de generatori ai lui Wdaca s, i numai daca f este surjectiva.

(c) Fie B o baza a lui V . Deducet, i ca f (B) este o baza a lui W daca s, i numai daca f este bijectiva.

Toate calculele cu aplicat, ii liniare sınt us, urate de urmatorul concept.

De�nitie 2.2: Fie f ∶ V → W o aplicat, ie liniara s, i B = {v1,… , vn} o baza a lui V .Matricea care are drept coloane f (vi) se numes, te matricea aplicat, iei f ın baza B, notata pe

scurt MBf .

Uneori, se speci�ca s, i o baza B′ a lui W s, i se spune ca f este matricea lui f ın bazele B s, i B′.

In majoritatea exercit, iilor, bazele considerate vor � cele canonice, astfel ca se poate face cal-culul foarte simplu.

De asemenea, un rezultat fundamental este urmatorul:

Teorema 2.1 (Teorema rang-defect): Fie f ∶ V → W o aplicat, ie liniara, Kerf , nucleul sau s, i Imf ,imaginea sa. Atunci are loc:

dimKerf + dim Imf = dimV .

Teorema se mai numes, te astfel deoarece:

• dimKerf se mai numes, te defectul aplicat, iei f , notat cu deff ;

14

• dim Imf se mai numes, te rangul aplicat, iei f , notat cu rangf .

In plus, dupa cum sugereaza numele, avem:

Teorema 2.2: In contextul s, i cu notat, iile de mai sus, �e A matricea aplicat, iei f ıntr-o baza B aspat, iului vectorial V .

Atunci rangf = rangA.

2.1 Exercit, ii1. Pentru aplicat, iile liniare de mai jos, determinat, i:

(a) matricea aplicat, iei ın baza B speci�cata;

(b) nucleul aplicat, iei, o baza s, i dimensiunea lui. Veri�cat, i daca aplicat, ia este injectiva.

(c) imaginea aplicat, iei, o baza s, i dimensiunea ei. Veri�cat, i daca aplicat, ia este surjectiva.

(1) f ∶ ℝ3 → ℝ3, f (x, y, z) = (3x − y, y + 2z, 2x + y − z), B este baza canonica;

(2) f ∶ ℝ3 → ℝ3, f (x, y, z) = (x, −y, x + 3z), B este baza canonica;

(3) f ∶ ℝ3 → ℝ3, f (x, y, z) = (y + 2z, 3x − z, x − y), B = {b1 = (1, −1, 0), b2 = (0, 1, 1), b3 = (0, 0, 3)};

(4) f ∶ ℝ3[X ]→ ℝ3[X ], f (a + bX + cX 2 + dX 3) = c + aX − 2dX 2, B este baza canonica;

(5) f ∶ ℝ2[X ]→ ℝ2[X ], f (a + bX + cX 2) = b − aX + 2cX 2, B este baza canonica;

(6) f ∶ M2(ℝ)→ M2(ℝ), f ((a bc d)) = (

a − c 2db + a c + a), B este baza canonica;

(7) f ∶ M2(ℝ)→ M2(ℝ), f ((a bc d)) = (

d 2cb 0), B este baza canonica;

(8) f ∶ ℝ3 → ℝ2[X ], f (a, b, c) = b + 2aX − cX 2, iar B este baza canonica;

(9) f ∶ ℝ3 → M2(ℝ), f (a, b, c) = (a b + c

c − a a + b), B este baza canonica;

(10) f ∶ ℝ2[X ]→ ℝ4, f (a + bX + cX 2) = (a − c, a − b, b − c, 2c), B este baza canonica;

(11) f ∶ M2(ℝ)→ ℝ3[X ], f ((a bc d)) = 3c − 2dX 2 + aX 3, B este baza canonica;

(12) f ∶ ℝ2[X ]→ ℝ3[X ], f (a + bX + cX 2) = (a + c)X − bX 2, B este baza canonica.

15

Indicat, ii: (1) B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. Atunci obt, inem:

f (1, 0, 0) = (3, 1, −1)f (0, 1, 0) = (−1, 1, 1)f (0, 0, 1) = (0, 2, −1),

care devin coloanele matricei aplicat, iei. Deci:

A = MBf =

⎛⎜⎜⎝

3 −1 01 1 2−1 1 −1

⎞⎟⎟⎠.

Nucleul aplicat, iei se determina cu de�nit, ia:

Kerf = {(x, y, z) ∈ ℝ3 ∣ f (x, y, z) = (0, 0, 0)},care conduce la sistemul de ecuat, ii:

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

3x − y = 0y + 2z = 02x + y − z = 0

,

a carui matrice este chiar A. Solut, ia sistemului alcatuies, te nucleul aplicat, iei. Calculınd efectiv,putem apoi extrage o baza. Se obt, ine Kerf = {(0, 0, 0)}, deci dimKerf = 0, iar baza este vectorulnul.

Imaginea aplicat, iei se poate determina astfel: dim Imf = rangA = 3, ın acest caz. Re-zulta, ın particular, ca aplicat, ia este bijectiva, deci automor�sm (izomor�sm ıntre un spat, iu s, iel ınsus, i). Alternativ, puteam observa aceasta din teorema rang-defect: cum dimKerf = 0, re-zulta ca dim Imf = 3.

O baza ın Imf se poate obt, ine direct din matricea aplicat, iei, luınd efectiv vectorii-coloana,deci {f (1, 0, 0), f (0, 1, 0), f (0, 0, 1)}.

(11) Baza canonica este:

B ={E1 = (

1 00 0) , E2 = (

0 10 0) , E3 = (

0 01 0) , E4 = (

0 00 1)

}

Calculam:

f (E1) = X 3 = 0 + 0X + 0X 2 + 1X 3

f (E2) = 0 = 0 + 0X + 0X 2 + 0X 3

f (E3) = 3 = 3 + 0X + 0X 2 + 0X 3

f (E4) = −2X 2 = 0 + 0X − 2X 2 + 0X 3.

16

Rezulta ca matricea aplicat, iei este:

A = MBf =

⎛⎜⎜⎜⎝

0 0 3 00 0 0 00 0 0 −21 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎠

.

Restul calculelor se fac asemanator cu exercit, iul de mai sus. Atent, ie, ınsa! Domeniul dede�nit, ie cont, ine matrice, iar codomeniul, polinoame. Deci, ın particular, Kerf va cont, ine matrice,iar Imf va cont, ine polinoame.

2*. Pentru �ecare dintre cazurile de mai sus, extindet, i baza Kerf pına la o baza a domeniuluide de�nit, ie s, i baza Imf pına la o baza a codomeniului.

Altfel spus, daca ın general, scriem f ∶ V → W , cautam X ↪ V s, i Y ↪ W astfel ıncıtKerf ⊕ X ≃ V s, i Imf ⊕ Y ≃ W .

17

SEMINAR 3

VECTORI S, I VALORI PROPRII. DIAGONALIZARE

3.1 Vectori s, i valori propriiFie V un K -spat, iu vectorial s, i f ∶ V → V o aplicat, ie liniara.

De�nitie 3.1: Un vector v ∈ V se numes, te vector propriu (eng. eigenvector) pentru aplicat, ia fdaca exista un scalar � ∈ K astfel ıncıt f (v) = �v.

In acest caz, � se numes, te valoarea proprie (eng. eigenvalue) asociata vectorului propriu v.

Rezulta ca vectorii proprii sınt aceia pentru care aplicat, ia liniara are o act, iune simpla, de

”rescalare“, adica doar de ınmult, ire cu un scalar, care se numes, te valoarea proprie asociata.Pas, ii pentru calculul vectorilor s, i valorilor proprii sınt:

(1) Presupunem dimV = n. Scriem matricea aplicat, iei f ın baza canonica a lui V s, i obt, inemA = MB

f ∈ Mn(K );

(2) Scriem polinomul caracteristic al matricei, anume:

P (x) = det(A − x ⋅ In).

(3) Radacinile polinomului caracteristic sınt valorile proprii ale endomor�smului f . Mult, imeavalorilor proprii se mai numes, te spectrul endomor�smului s, i se noteaza � (f ).

(4) Pentru a gasi vectorii proprii asociat, i �ecarei valori proprii �i , se rezolva ecuat, ia f (vi) = �ivis, i se determina vi ∈ V .

Alte elemente de terminologie:

18

De�nitie 3.2: Fie � o valoare proprie a unui endomor�sm f , iar v, vectorul propriu asociat.Notam V (�) = V� = Sp(v) subspat, iul lui V generat de v, numit subspat, iul invariant (propriu)

asociat lui v.Dimensiunea acestui subspat, iu se numes, te multiplicitatea geometrica a valorii proprii, notata

mg(�) = g(�) = dimV (�).Se numes, te multiplicitatea algebrica a valorii proprii �, notata ma(�) = a(�), multiplicitatea

radacinii x = � ın polinomul caracteristic. Adica a(�) = n ⇔ PA(x) ⋮ (x − �)n.

O proprietate importanta este:

Teorema 3.1 (Cayley-Hamilton): PA(A) = 0, unde A este polinomul caracteristic al matricei A.

3.2 Matrice de trecere. DiagonalizarePutem avea doua sau mai multe baze ale aceluias, i spat, iu vectorial, iar ıntre ele exista o legaturastrınsa, matriceala.

Fie B = {b1,… , bn} s, i C = {c1,… , cn} doua baza ale aceluias, i spat, iu vectorial V . Se numes, tematricea de trecere de la baza B la baza C , notata MC

B sau BMC , matricea coe�cient, ilor din scriereavectorilor ci ın funct, ie de vectorii bi . Mai precis, deoarece B este baza, avem:

∀i, j, ci = ∑j�ijbj ,

iar matricea de trecere este matricea (�ij).

De�nitie 3.3: O matrice A ∈ Mn(K ) se numes, te diagonalizabila daca ea este asemenea cu omatrice diagonala D, care are elemente nenule doar pe diagonala principala.

Altfel spus, exista T ∈ Mn(K ) inversabila, cu T −1AT = D.

Observatie 3.1: Daca matricea A este diagonalizabila, atunci D din de�nit, ia de mai sus cont, inepe diagonala doar valorile proprii ale lui A.

Condit, iile necesare s, i su�ciente pentru diagonalizare sınt:

Teorema 3.2: Urmatoarele a�rmat, ii sınt echivalente:

(a) Matricea A este diagonalizabila;

(b) Exista o baza a spat, iului vectorial V formata doar din vectorii proprii ai lui A;

(c) a(�i) = g(�i), ∀�i ∈ � (A).

Evident, discut, ia are sens atıt pentru cazul ın care pornim cu o aplicat, ie liniara, caz ın care ıiluam matricea ın baza canonica s, i lucram cu ea, cıt s, i daca pornim direct cu o matrice.

Pas, ii pentru diagonalizare sınt:

19

(1) Fixam o baza B a lui V (e.g. baza canonica) s, i scriem A = MBf ;

(2) Determinam valorile proprii �i ale lui A s, i multiplicitat, ile lor geometrice;

(3) Pentru �ecare valoare proprie, determinam vectorii proprii, subspat, iile invariante, cıte o bazaBi ın �ecare dintre acestea s, i multiplicitat, ile geometrice;

(4) Daca exista o valoare proprie �j cu a(�j) ≠ g(�j), algoritmul se opres, te s, i matricea nu se poatediagonaliza;

(5) Daca a(�i) = g(�i), ∀i, matricea se poate diagonaliza, iar B′ = ∪iBi este o baza a lui V , formatanumai din vectori proprii;

(6) Se determina matricea de trecere de la baza B la baza B′, notata T , care este inversabila, iarforma diagonala este:

A ∼ T −1AT = diag(�i).

Observatie 3.2: Unul dintre avantajele diagonalizarii matricelor este us, urint, a calculelor ulteri-oare. In particular, daca A = diag(�i), atunci Ak = diag(�ki ), ∀k.

3.3 Exercit, ii1. Sa se determine vectorii s, i valorile proprii pentru matricele:

A = (1 08 2) , B =

⎛⎜⎜⎝

0 2 22 0 −22 −2 0

⎞⎟⎟⎠, C =

⎛⎜⎜⎝

0 1 −21 1 11 −1 −1

⎞⎟⎟⎠.

2. Fie aplicat, ia liniara f ∶ ℝ3 → ℝ3, f (x, y, z) = (−y, x, z).Sa se calculeze vectorii s, i valorile proprii ale lui f .

3. Aceeas, i cerint, a pentru:

f ∶ ℝ3 → ℝ3, f (x, y, z) = (x − z, 8x + y − 2z, z).

4. Fie aplicat, ia liniara f ∶ M2(ℝ)→ M2(ℝ), de�nita prin:

f (a bc d) = (

2a + b + d 2b + 4c + 5d2c + d 8d ) .

Sa se arate ca f nu este diagonalizabila.

20

5. Sa se diagonalizeze endomor�smul:

f ∶ ℝ3 → ℝ3, f (x, y, z) = (y + z, x + z, x + y).

6. Sa se diagonalizeze matricele:

A =⎛⎜⎜⎝

7 2 −22 4 −1−2 −1 4

⎞⎟⎟⎠, B = (

1 14 1) , C =

⎛⎜⎜⎝

11 −5 5−5 3 −35 −3 3

⎞⎟⎟⎠.

7. Determinat, i vectorii s, i valorile proprii pentru aplicat, ia:

f ∶ ℝ3 → ℝ3, f (a, b, c) = (a − b + c, b, b − c).

21

SEMINAR 4

PART, IALE 2018–2019

Seria A – Numarul 11. (a) Fie subspat, iile vectoriale:

V1 = {(x, y, z) ∈ ℝ3 ∣ 2x − y + 3z = 0}v2 = Sp{(1, −1, 3), (1, 2, 0)}

ale spat, iului vectorial ℝ3.Sa se determine cıte o baza s, i dimensiunea pentru ℝ-spat, iile vectoriale V1, V2, V1 + V2, V1 ∩ V2.

Sa se determine coordonatele vectorului v = (5, 9, 13) dupa o baza a lui V1 + V2.(b) Fie U , V ⊆ ℝ20. Sa se arate ca V ≃ U ⇔ dimU = dimV .

2. (a) Fie f ∶ ℝ3 → M2(ℝ) o aplicat, ie ℝ-liniara, de�nita prin:

f (a, b, c) = (a + 2c 0a − b b + 2c) .

Sa se determine cıte o baza s, i dimensiunea pentruKerf s, i Imf , matricea asociata lui f ın bazelecanonice s, i sa se determine V ⊆ ℝ3 astfel ıncıt Kerf ⊕ V ≃ ℝ3.

(b) Se considera ℝ4 un spat, iu vectorial s, i o aplicat, ie liniara f ∶ ℝ4 → ℝ4. Sa se arate ca dacaf veri�ca relat, ia:

f 2 − 2f + Idℝ4 = 0ℝ4 ,atunci f este izomor�sm s, i sa se determine inversa ei. Sa se determine Kerf s, i Imf (s-a notatf 2 = f ◦f ).

3. (a) Sa se diagonalizeze matricea A =⎛⎜⎜⎝

0 2 22 0 22 2 0

⎞⎟⎟⎠

s, i apoi sa se calculeze A2018.

22

(b) Fie A ∈ M6(ℝ) o matrice nediagonala, cu A2 ≠ �I6, pentru orice � ∈ ℝ, cu proprietatea ca:

A2 − 5A + 6I6 = 06.Sa se determine valorile proprii ale matricei A.

——— ∗∗∗∗∗ ———

Seria A – Numarul 21. Fie subspat, iile vectoriale:

V1 = {(x, y, z) ∈ ℝ3 ∣ 3x − 2y + z = 0}V2 = Sp{(1, 1, 2), (0, 1, 2)}

ale spat, iului vectorial ℝ3.Sa se determine cıte o baza s, i dimensiunea pentru ℝ-spat, iile vectoriale V1, V2, V1 + V2, V1 ∩ V2.

Sa se determine coordonatele vectorului v = (15, 8, 7) dupa o baza a lui V1 + V2.(b) Fie V un ℝ-spat, iu vectorial de dimensiune 15. Sa se arate ca V ≃ ℝ15.

2. (a) Fie f ∶ M2(ℝ)→ ℝ3 o aplicat, ie liniara astfel ıncıt:

f (a bc d) = (a − 2c + d, 0, b − c).

Sa se determine cıte o baza s, i dimensiunea pentru Kerf , Imf , matricea lui f ın bazele canonices, i sa se determine V ⊆ ℝ3 astfel ıncıt Imf ⊕ V ≃ ℝ3.

(b) Se considera spat, iul vectorial ℝ3 s, i o aplicat, ie liniara f ∶ ℝ3 → ℝ3. Sa se arate ca daca fveri�ca relat, ia:

f 2 − 3f − Idℝ3 = 0ℝ3 ,atunci f este izomor�sm s, i sa se determine inversa ei. Sa se determine Kerf s, i Imf . Am notat cuf 2 = f ◦f .

3.(a) Sa se diagonalizeze matricea:

A =⎛⎜⎜⎝

0 3 33 0 33 3 0

⎞⎟⎟⎠

s, i apoi sa se calculeze A2018.(b) Fie f ∶ ℝ6 → ℝ6 o aplicat, ie liniara cu proprietatea:

f 2 − 4f + 3Idℝ6 = 0ℝ6s, i f 2 ≠ �Idℝ6 , pentru orice � ∈ ℝ.

Sa se determine valorile proprii ale matricei aplicat, iei liniare.

23

Seria D – Numarul 11. Folosind metoda Gauss-Jordan, sa se rezolve sistemul (discut, ie dupa m):

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x + y + z = 1x +my + z = 1x + y +mz = 1

.

2. (a) Fie B = {1, 2 + X} o baza ın ℝ1[X ] s, i p = 5 + 3X .A�at, i coordonatele lui p ın baza B.(b) Fie subspat, iile:

U = {(x, y, z) ∈ ℝ3 ∣ x + y − 2z = 0}V = Sp{(0, 1, 1), (1, 2, 2)}.

Determinat, i baze s, i dimensiuni pentru subspat, iile U , V , U + V . Decidet, i daca U + V formeazasuma directa s, i justi�cat, i.

3. (a) Fie aplicat, ia liniara:

f ∶ M2(ℝ)→ ℝ1[X ], f (a bc d) = (a − b)X + d.

Sa se determine matricea aplicat, iei ın bazele canonice, Kerf , Imf . Decidet, i daca aplicat, ia esteinjectiva sau surjectiva s, i justi�cat, i.

(b) Fie f ∶ ℝ2 → ℝ2 o aplicat, ie liniara, astfel ıncıt f (1, 1) = (1, 0) s, i f (2, 1) = (2, 3).A�at, i matricea aplicat, iei liniare ın baza canonica.

4. Fie matricea A = (2 01 1). A�at, i vectorii s, i valorile proprii ale matricei.

——— ∗∗∗∗∗ ———

Seria D – Numarul 21. Folosind metoda Gauss-Jordan, sa se rezolve sistemul:

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

−2x + y + z = 1x +my + z = −2x + y − 2z = 4

.

24

2.(a) Fie B = {X, 1 + 2X} o baza a lui ℝ1[X ] s, i polinomul p = 2 + 3X . A�at, i coordonatele lui pın baza B.

(b) Fie subspat, iile:

U = {(x, y, z) ∈ ℝ3 ∣ x = 2y = 2z}V = Sp{(1, 2, 1), (0, 1, 0)}.

Determinat, i baze s, i dimensiuni pentru subspat, iileU , V , U +V . FormeazaU s, i V suma directa?Justi�cat, i.

3.(a) Fie aplicat, ia liniara:

f ∶ ℝ2[X ]→ M2(ℝ), f (aX 2 + bX + c) = (a b − cb 0 ) .

Sa se determine matricea asociata lui f ın bazele canonice, Kerf s, i Imf . Este f injectiva sausurjectiva?

(b) Fie f ∶ ℝ2 → ℝ2 o aplicat, ie liniara, astfel ıncıt f (1, 1) = (1, 0) s, i f (2, 1) = (2, 3).A�at, i expresia analitica a aplicat, iei f (f (a, b) =?).

4. Fie matricea A = (2 41 2).

A�at, i vectorii s, i valorile proprii.

25

Seria E – Numarul 11. Fie aplicat, ia liniara:

f ∶ ℝ3 → ℝ3, f (x, y, z) = (x + y − z, x − y + z, 5x − y + z).(a) Sa se determine o baza s, i dimensiunea pentru Kerf , Imf s, i Kerf + Imf .

(b) Formeaza Kerf s, i Imf suma directa? Justi�cat, i.

2. Folosind algoritmul Gram-Schmidt, sa se ortogonalizeze vectorii:

v1 = (1, 0, 1), v2 = (−1, 2, 0), v3 = (0, 1, −1).

3. Fie aplicat, ia liniara:

f ∶ ℝ2 → ℝ2, f (x, y) = (x − 2y, 2x − 4y).Sa se gaseasca valorile proprii ale lui f s, i cıte o baza pentru �ecare subspat, iu propriu.

4. Diagonalizat, i matricea: A =⎛⎜⎜⎝

7 2 −22 4 −1−2 −1 4

⎞⎟⎟⎠.

——— ∗∗∗∗∗ ———

Seria E – Numarul 21. Fie aplicat, ia liniara:

f ∶ ℝ3 → ℝ3, f (x, y, z) = (x, y − x, 2x + 3y).(a) Gasit, i o baza s, i dimensiunea pentru Kerf , Imf s, i Kerf + Imf .

(b) Este suma Kerf + Imf directa? Justi�cat, i.

2. Folosind algoritmul Gram-Schmidt, sa se ortogonalizeze vectorii:

v1 = (0, 1, 1), v2 = (1, 2, 2), v3 = (1, 0, 1).

3. Fie aplicat, ia liniara:

f ∶ ℝ2 → ℝ2, f (x, y) = (−3x + 10y, −2x + 6y).Sa se gaseasca valorile proprii ale lui f s, i cıte o baza ın �ecare subspat, iu propriu.

4. Sa se diagonalizeze matricea: A =⎛⎜⎜⎝

11 −5 5−5 3 −35 −3 3

⎞⎟⎟⎠.

26

SEMINAR 5

SPAT, II EUCLIDIENE

5.1 Ortonormare s, i complement ortogonalNe ındreptam spre aplicat, iile ın geometria clasica, adica euclidiana, ın care este esent, ial sa putemcalcula lungimi (distant, e) s, i unghiuri.

In liceu, puteam face aceasta folosind produsul scalar al doi vectori descompus, i ın reperulcartezian. Astfel, �e vectorii:

v = ai + bj, w = ci + dj, a, b, c, d ∈ ℝ.

Avem:

• produsul scalar: v ⋅ w = ac + bd ∈ ℝ;

• lungimea vectorului v =√v ⋅ v;

• cosinusul unghiului ıntre doi vectori: cos(v, w) = v ⋅ wvw ;

• vectorii sınt perpendiculari daca v ⋅ w = 0.

Acestea sınt not, iunile pe care le extindem acum ın cazul spat, iilor vectoriale arbitrare. Vomprezenta pentru cazul spat, iului real V = ℝn, celelalte rezolvındu-se similar, prin intermediulizomor�smelor canonice.

Fie, deci, v = (v1,… , vn), w = (w1,… , wn) doi vectori din ℝn. Se de�nesc:

• produsul scalar:

⟨v, w⟩ =n∑i=1

viwi ∈ ℝ;

27

• norma vectorului:||v|| =

√⟨v, v⟩ ∈ ℝ;

• cosinusul unghiului ıntre doi vectori:

cos(v, w) = ⟨v, w⟩||v|| ⋅ ||w || ∈ [−1, 1].

Avem s, i cazul particular de interes:

De�nitie 5.1: Doi vectori v s, i w din ℝn se numesc perpendiculari (ortogonali), notat v ⟂ w , daca⟨v, w⟩ = 0.

Cu acestea, avem:

De�nitie 5.2: Spat, iul vectorialℝn se numes, te euclidian, deoarece este ınzestrat cu produsul scalarde mai sus.

Aplicat, iile care ne vor interesa sınt: calculul complementului ortogonal al unui subspat, iu s, iortonormarea unei baze.

Incepem cu primul subiect.

De�nitie 5.3: Fie V un subspat, iu al unui spat, iu euclidian (ℝn, ın majoritatea aplicat, iilor). Sede�nes, te:

V ⟂ = {x ∈ ℝn ∣ x ⟂ v, ∀v ∈ V }subspat, iu care se numes, te complementul ortogonal al lui V .

O proprietate esent, iala, care ne va permite sa gasim complementul ortogonal, este urmatoarea:

Teorema 5.1: Fie V un subspat, iu al lui ℝn. Daca V ⟂ este complementul sau ortogonal, atunci:

V ⊕ V ⟂ ≃ ℝn.

Rezulta, folosind teorema lui Grassmann s, i de�nit, ia sumei directe, ca:

• dimV ⟂ = dimℝn − dimV ;

• V ⟂ ∩ V = {0}.

De asemenea, amintim ca ın ℝ2, de exemplu, baza canonica formata din {(1, 0), (0, 1)}, pe careo putem ınt, elege s, i {i, j}, are o proprietate speciala. Mai precis, vectorii i s, i j sınt versori, adicai ⟂ j s, i i = j = 1.

In orice spat, iu euclidian, putem obt, ine o baza similara, numita baza ortonormata, ın douaetape, folosind procedeul Gram-Schmidt.

Fie, as, adar, B = {b1,… , bn} o baza arbitrara ın ℝn. Vrem sa obt, inem din ea o baza ortonormataC = {c1,… , cn}, adica sa �e formata din versori:

28

• ci ⟂ cj , ∀i ≠ j;

• ||ci || = 1, ∀i.

Procedeul construies, te pas cu pas ci , pornind de la bi .

(1) Alegem c1 = b1;

(2) De�nim c2 = b2 + �c1, cu � un scalar pe care vrem sa-l determinam. Punem condit, ia c2 ⟂ c1s, i rezulta:

0 = ⟨c2, c1⟩ = ⟨b2 + �c1, c1⟩ = ⟨b2, c1⟩ + �⟨c1, c1⟩.As, adar:

� = −⟨b2, c1⟩⟨c1, c1⟩.

(3) Continuam mai departe sa de�nim c3 = b3 +�c2 + �c1 s, i determinam �, � din condit, iile c3 ⟂ c2s, i c3 ⟂ c1.

(4) Procedeul continua dupa regula generala:

ci = bi +1

∑j=i−1

�jcj ,

iar condit, iile pe care le vom putea folosi la �ecare pas, pentru determinarea constantelor �jsınt ci ⟂ cj , ∀j < i, deoarece cj au fost determinate la pas, ii anteriori.

Rezulta, cu aceasta, o baza ortogonala C = {c1,… , cn}. Aceasta baza se normeaza, obt, inındvectori de norma 1 foarte simplu. De�nim:

c′i =1

||ci ||⋅ ci

s, i observam ca acum avem ||c′i || = 1.As, adar, baza C ′ = {c′1,… , c′n} este o baza ortonormata, adica formata doar din versori, iar

procedeul se ıncheie.

5.2 Aplicat, ii ın geometrieAmintim, ınainte de generalizarea ıntr-un spat, iu vectorial arbitrar, ca ın geometria analitica dinliceu am studiat s, i condit, ii de coliniaritate pentru doi vectori. Aceasta not, iune poate � generali-zata us, or:

29

De�nitie 5.4: Fie v, w ∈ ℝn doi vectori, care se scriu ıntr-o baza �xata B = {bi} a lui ℝn cucoordonatele {�i}, respectiv {�i}.

Spunem ca cei doi vectori sınt coliniari, notat v ∥ w daca s, i numai daca au coordonateleproport, ionale: �1

�1= �2�2= ⋯ = �n

�n= k ∈ ℝ.

Evident, daca k = 1, avem v = w .

De asemenea, ın liceu, daca este dat un vector din plan v = ai + bj, lui i se poate calculaproiect, ia pe axa OX calculınd produsul scala v ⋅ i = a.

Not, iunea poate � generalizata astfel:

De�nitie 5.5: Fie v ∈ ℝn un vector arbitrar s, i V un subspat, iu al lui ℝn de baza B = {b1,… , bt}.Proiect, ia ortogonala a vectorului v pe subspat, iul V se de�nes, te prin:

v∥V = prVv =t

∑i=1

⟨v, bi⟩⟨bi , bi⟩

bi .

Geometric, prVv este ”cel mai apropiat“ de v vector din V .Mai mult, un rezultat important este:

Teorema 5.2: In condit, iile s, i cu notat, iile de mai sus, v = v∥V + v⟂V , unde v⟂V ∈ V ⟂.

Cıteva aplicat, ii geometrice simple urmeaza.In plan, produsul scalar poate � folosit pentru a calcula aria paralelogramului.

Propozitie 5.1: Produsul scalar al vectorilor u, v ∈ ℝ2 este egal cu aria paralelogramului determinatde cei doi vectori.

In spat, iu, �e doi vectori:

a = a1 i + a2 j + a3kb = b1 i + b2 j + b3k.

Produsul vectorial al celor doi vectori, notat a × b poate � calculat ca un determinant formal:

a × b =|||||||

i j ka1 a2 a3b1 b2 b3

|||||||.

Geometric, produsul vectorial produce un vector care este perpendicular pe planul determinatde cei doi factori, a carui orientare este data cu regula burghiului.

30

Propozitie 5.2: Norma (modulul) produsului vectorial este egala cu volumul paralelipipedului de-terminat de cei trei vectori, ca muchii adiacente.

De asemenea, avem s, i:

Propozitie 5.3: Pastrınd notat, iile s, i condit, iile de mai sus,

a ∥ b ⇔ a × b = 0.

Totodata, se poate de�ni s, i produsul mixt pentru trei vectori.Fie cei doi vectori de mai sus s, i c = c1 i + c2 j + c3k¿Produsul mixt al celor trei vectori se calculeaza prin:

a ⋅ (b × c) =||||||

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

||||||.

Propozitie 5.4: Pastrınd notat, iile s, i contextul de mai sus, vectorii a, b s, i c sınt coplanari daca s, inumai daca produsul lor mixt este nul.

Propozitie 5.5: Pastrınd notat, iile s, i contextul de mai sus, volumul tetraedrului determinat de vec-torii a, b, c ca muchii adiacente se calculeaza:

V = 16 a ⋅ (b × c).

5.3 Exercit, ii1. Sa se ortonormeze bazele:

(a) B1 = {(1, 0, 1), (−1, 2, 0), (0, 1, −1)} a lui ℝ3;

(b) B2 = {X + 1, X 2 + 1, 3} a lui ℝ2[X ];

(c) B3 = {(1, −1, 0, 0), (0, 1, 1, −1), (1, 0, −1, 1), (2, 1, 0, 1)} a lui ℝ4.

2. Sa se completeze mult, imea {(1, −1, 2), (1, 2, 3)} pına la o baza a lui ℝ3 s, i sa se ortonormezebaza rezultata.

3. Sa se completeze mult, imea {3, 2X + 1} pına la o baza a lui ℝ2[X ] s, i sa se ortonormeze bazarezultata.

4. Gasit, i complementele ortogonale pentru:

31

(a) V1 = Sp{(−1, 1, 2), (0, 1, 1)} ın ℝ3;

(b) V2 = Sp{(1, 1, 1)} ın ℝ3;

(c) V3 = {(x, y, z) ∈ ℝ3 ∣ 3x + y = 0} ın ℝ3;

(d) V4 = {(x, y, z) ∈ ℝ3 ∣ x = y} ın ℝ3;

(e) V5 = {p ∈ ℝ2[X ] ∣ p′(0) = 0} ın ℝ2[X ];

(f) V6 = {p ∈ ℝ2[X ] ∣ p(0) = 0} ın ℝ2[X ];

(g) V7 = Sp{X} ın ℝ2[X ];

(h) V8 = Sp{2, 5X 2} ın ℝ2[X ];

(i) V9 = {(x, y, z, t) ∈ ℝ4 ∣ 3x + y = 0, y + z − t = 0} ın ℝ4.

5. Folosind produsele scalare canonice, calculat, i ⟨u, v⟩, ||u||, ||v|| s, i proiect, iile pruv, prvu. Calculat, is, i cosinusul unghiului ıntre u s, i v s, i decidet, i daca vectorii sınt ortogonali:

(a) u = (1, 2), v = (−1, 2) ∈ ℝ2;

(b) u = (1, 1, 1), v = (1, −2, 0) ∈ ℝ3;

(c) u = 1 + X, v = X 2 ∈ ℝ2[X ];

(d) u = (1 02 1), v = (

0 −11 0 ) ∈ M2(ℝ);

6. Fie subspat, iul W = Sp{v1 = (1, 0, 1, 1), v2 = (1, −1, 1, 0)} ⊆ ℝ4.

(a) Determinat, i W ⟂;

(b) Aratat, i ca W ⊕W ⟂ ≃ ℝ4;

(c) Pentru v = (1, 1, 1, 1), determinat, i v0 = prv1v;

(d) Pentru v de mai sus, determinat, i v∥Wv ∈ W s, i v⟂W = v − v∥W .

7. A�at, i proiect, ia v∥W a vectorului v pe subspat, iul W , precum s, i componenta sa ortogonalav⟂W ∈ W ⟂ pentru:

32

(a) (*) v = 1 + x ∈ ℝ2[x],W = Sp{p1 = 1 + x2, p2 = 1}, cu produsul scalar de�nit prin:

⟨p, q⟩ = ∫1

−1p(t)q(t)dt, ∀p, q ∈ ℝ2[x].

(b) v = (1, 2, 1),W = Sp{v1 = (2, 1, 0), v2 = (−1, 4, 1)} ⊆ ℝ3;

(c) v = (1 24 1), W = Sp

{C = (

1 00 1) , D = (

0 12 1)

}⊆ M2(ℝ);

(d) v = (2, 1, −1),W = {(x, y, z) ∣ x + y − 2z = 0} ⊆ ℝ3.

33

SEMINAR 6

CONICE S, I CUADRICE

6.1 ConiceConicele sınt curbe plane, date de ecuat, ii patratice. Ele sınt reprezentate ın �gura 6.1, ımpreunacu ecuat, iile canonice.

Figura 6.1: Conice s, i ecuat, iile lor

34

Scopul pe care ni-l propunem ın aceasta sect, iune este sa aducem o ecuat, ie a unei conice laforma canonica s, i sa o reprezentam gra�c.

Vom prezenta algoritmul direct pe un exemplu. Metoda aplicata se numes, te metoda rototranslat, iei,deoarece va folosi o operat, ie de rotat, ie s, i una de translat, ie a conicei.

Fie, de exemplu, conica:

g(x, y) = 3x2 − 4xy − 2x + 4y − 3 = 0.

Mai ıntıi, se scrie forma patratica asociata, adica alegem din conica termenii de grad total 2:

q(x, y) = 3x2 − 4xy.

Apoi, scriem matricea asociata lui q, care este:

A = (3 −2−2 0 )

Aceasta matrice se obt, ine punınd coe�cient, ii termenilor patratici, ın ordine lexicogra�ca.Daca C(t) noteaza coe�cientul termenului t , atunci matricea este, ın forma generica:

A = (C(x2) C(xy)C(yx) C(y2)) ,

cu convent, ia ca C(xy) = C(yx), deci ın matrice vom avea jumatate din coe�cientul din formapatratica.

Pentru aceasta matrice, scriem ecuat, ia caracteristica:

PA(X ) = det(A − XI2) = X 2 − 3X − 4 = (X + 1)(X − 4).

Rezulta ca valorile proprii sınt � (A) = {−1, 4}.In acest punct, putem face o observat, ie de anticipat, ie. Se numes, te invariantul � al conicei

produsul valorilor proprii. Avem cazurile:

• � = �1 ⋅ �2 > 0⇒ conica este elipsa;

• � = �1 ⋅ �2 < 0⇒ conica este hiperbola;

• � = �1 ⋅ �2 = 0⇒ conica este parabola.

In cazul nostru, vom obt, ine o hiperbola.Mai departe, se calculeaza vectorii proprii s, i obt, inem:

V (�1) = Sp{(1, 2)}, V (�2) = Sp{(2, −1)}.

35

Vectorii din bazele subspat, iilor proprii trebuie ortonormat, i (de exemplu, folosind proceduraGram-Schmidt). Observam ca ei sınt deja ortogonali, deci mai trebuie doar sa-i normam:

||(1, 2)|| = ||(2, −1)|| =√5,

deci obt, inem versorii proprii:

e1 = (1√5 ,

2√5), e2 = (2√5 ,

−1√5)

Aces, ti versori vor alcatui coloanele matricei de rotat, ie:

R =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

1√52√5

2√5−1√5

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

In general, o matrice de rotat, ie de unghi � (ın sens trigonometric) are forma:

R� = (cos � − sin �sin � cos � )

s, i det R� = 1.In cazul nostru, det R = −1, deci putem schimba ıntre ele coloanele s, i obt, inem o matrice de

rotat, ie (echivalent, putem schimba orientarea unuia dintre versori, de exemplu, e1 ⟶ −e1).Apoi aplicam rotat, ia, adica, daca (x, y) sınt vechile coordonate, coordonatele din sistemul rotit

(x ′, y′) se obt, in din ecuat, ia:

(xy) = R ⋅(

x1y1)

Cu alte cuvinte, avem sistemul:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x = −1√5x1 +2√5y1

y = −2√5x1 +−1√5y1

.

Aceste coordonate se ınlocuiesc ın ecuat, ia init, iala a conicei s, i obt, inem conica rotita:

−x21 + 4y21 −6√5x1 −

8√5y1 − 3 = 0.

Prelucram algebric, completınd patratele, s, i obt, inem:

−(x1 +3√5)

2+ 4(y1 −

1√5)2= 2.

36

Facem acum translat, ia: ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

X = x1 +3√5

Y = y1 −1√5

s, i obt, inem:−X 2 + 4Y 2 = 2⇔ −(

X√2)2+ (

Y1/2)

2= 1,

deci ecuat, ia unei hiperbole.Pentru reprezentarea gra�ca, trebuie sa t, inem cont de operat, iile efectuate:

• rotat, ia de unghi � , cu proprietatea ca cos � = − 1√5 , deci � ≃ 2�3 ;

• translat, ia centrului cu 3√5 pe axa OX s, i −1√5 pe axa OY .

Mai putem determina s, i centrul conicei, din sistemul:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

)g)x = 0

)g)y = 0

Solut, ia sistemului este centrul conicei, de coordonate C(1, 1).Reprezentarea gra�ca (folosind GeoGebra) este redata ın �gura 6.2.OBSERVAT, IE: O metoda alternativa este sa pornim cu calculul centrului. Atunci, primul

pas al transformarii este translat, ia ın centru. Astfel, ın exemplul de mai sus, calculam mai ıntıicentrul C(1, 1), iar apoi facem substitut, ia ın forma g(x, y), adica x ↦ (x + 1) s, i y ↦ (y + 1), deci:

g(x, y) = 3(x + 1)2 − 4(x + 1)(y + 1) − 2(x + 1) + 4(y + 1) − 3= 3x2 − 4xy,

care coincide cu forma patratica considerata ın metoda init, iala.Din acest punct, putem continua cu rotat, ia ca mai sus.

6.2 CuadriceCuadricele sınt suprafet, e care pot � obt, inute prin rotirea unei conice ın jurul unei axe. Astfel, dinelipsa, de exemplu, obt, inem elipsoizi, din parabola, paraboloizi, iar din hiperbola, hiperboloizi.

37

Figura 6.2: Hiperbola 3x2 − 4xy − 2x + 4y − 3 = 0

Formele, ımpreuna cu ecuat, iile canonice, pot � consultate, de exemplu, aici.Procedura de a aduce o cuadrica la forma canonica funct, ioneaza ca ın cazul conicelor.Mai jos un exemplu rezolvat.

x2 + 3y2 + 4yz − 6x + 8y + 8 = 0.Consideram forma patratica asociata:

g = x2 + 3y2 + 4yz,

care are matricea simetrica.

A =⎛⎜⎜⎝

1 0 00 3 20 2 0

⎞⎟⎟⎠

Ecuat, ia caracteristica rezulta: (1 − �)(�2 − 3� − 4) = 0, deci �1 = 1, �2 = −1, �3 = 4.Gasim subspat, iile invariante:

V (�1) ={(x, y, z) ∈ ℝ3 ∣

⎛⎜⎜⎝

0 0 00 2 20 2 −1

⎞⎟⎟⎠⋅⎛⎜⎜⎝

xyz

⎞⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎝

000

⎞⎟⎟⎠

}

= {(x, 0, 0) ∣ x ∈ ℝ}

38

Similar:

V (�2) = {(0, y, −2y) ∣ y ∈ ℝ}V (�3) = {(0, 2z, z) ∣ z ∈ ℝ}.

Alegem vectori proprii ortonormat, i particularizınd elemente din subspat, iile invariante. Deexemplu:

e1 = (1, 0, 0), e2 =1√5(0, 1, −2), e3 =

1√5(0, 2, 1).

Matricea R cu aces, ti vectori pe coloane are proprietatea det R = 1, deci este o matrice de rotat, ie.O aplicam s, i gasim schimbarea de coordonate:

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x = x ′

y = 1√5(y′ + 2z′)

z = 1√5(−2y′ + z′)

Ecuat, ia cuadricei devine:

x ′2 − y′2 + 4z′2 − 6x ′ + 8√5y′ + 16√5z

′ + 8 = 0.

Formam patrate s, i obt, inem:

(x ′ − 3)2 − (y′ −4√5)

2 + 4(z′ +2√5)

2 − 1 = 0.

Efectuam translat, ia corespunzatoare noilor coordonate s, i obt, inem:

X 2 − Y 2 + 4Z 2 − 1 = 0⇔ X 2 − Y 2 + Z2

14− 1 = 0,

adica un hiperboloid cu o pınza.

6.3 Exercit, ii propuse1. Aducet, i urmatoarele conice la forma canonica s, i reprezentat, i-le:

(a) 4xy − 3y2 + 4x − 14y − 7 = 0 (hiperbola);

(b) 9x2 − 6xy + y2 + 20x = 0 (parabola);

39

(c) x2 − 2xy + y2 − 5x + y − 2 = 0 (parabola);

(d) 5x2 + 8xy + 5y2 − 18x − 18y + 9 = 0 (elipsa);

(e) x2 − 4xy + 4y2 − 6x + 2y + 1 = 0 (parabola)

2. Aceeas, i cerint, a pentru cuadrica:

x2 − y2 + z2 − 2xy − 2yz − 2zx − 5x − 1 = 0

(hiperboloid cu o pınza).

40

SEMINAR 7

FORMA CANONICA JORDAN

7.1 Metoda nucleului stabilDupa cum am vazut, nu orice matrice poate � adusa la forma diagonala. Insa vom vedea ca, pentruspat, ii vectoriale reale, orice matrice poate � adusa la forma canonica Jordan, care este ”aproapediagonala“, ıntr-un anume sens.

Prezentarea de mai jos urmeaza materialul de aici, paginile 90–108.Algoritmul va proceda similar cu cazul diagonalizarii, ın prima parte.Fie A ∈ Mn(ℝ) o matrice careia vrem sa-i gasim forma canonica Jordan.

• Se calculeaza polinomul caracteristic al matricei, PA(X ), de unde se obt, in valorile proprii,� (A) = {�1,… , �p};

• Pentru �ecare valoare proprie, se determina vectorii proprii s, i subspat, iile invariante cores-punzatoare;

• Pentru �ecare valoare proprie �i , de�nim matriceaM = A−�iIn. Observam caKerM = V (�i).Pentru aceasta matrice, se calculeaza s, irul ascendent de nuclee:

V (�i) = KerM ⊂ KerM2 ⊂ ⋯ ⊂ KerM s ,

ultimul spat, iu notındu-se �e K (M), �e V �i s, i numindu-se nucleu stabil al lui M .Prin de�nit, ie, dimV �i = ma(�i).

• Alegem vectori liniar independent, i astfel:

– u1,… , up1 ∈ KerM s − KerM s−1, astfel ıncıt KerM s−1 ⊕ Sp{ui} ≃ KerM s . Altfel spus,completam baza lui KerM s−1 la o baza a lui KerM s ;

41

– Calculam Mutj ∈ KerM s−1 − KerM s−2 s, i completam rezultatele la o baza a lui KerM s−1.– Continuam aces, ti pas, i s, i ın �nal se obt, ine o lista de forma:

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

u1,… , up1Mu1,… , Mup1 , up1+1,… , up2…M s−1u1,… , M s−1up1,… , ups

ultima linie reprezentınd o baza pentru V (�i), pe care o notam cu B1.

• Refacem pas, ii anteriori pentru �ecare valoare proprie s, i va rezulta B = B1 ∪… cupBp o bazaa lui ℝn;

• Fie T matricea de trecere de la baza canonica la aceasta baza. Atunci forma canonica Jordanse scrie J = T −1AT .

Observatie 7.1: Daca, ın loc de matrice, se pornes, te cu un endomor�sm f , se considera mai ıntıimatricea asociata ın baza canonica, A, apoi putem continua ca mai sus.

De asemenea, ın locul matricei M , putem gındi ca de�nim un nou endomor�sm g = f − �Idℝn .

7.2 Exemple rezolvatePrezentam ın continuare cıteva exercit, ii rezolvate, ın care insistam pe elementele de noutate. Amomis calculele intermediare, pe care le putet, i veri�ca us, or.

1. Fie matricea:

A =⎛⎜⎜⎝

1 −1 −1−3 −4 −34 7 6

⎞⎟⎟⎠.

Calculam forma canonica Jordan a acestei matrice.Polinomul caracteristic este:

PA(X ) = det(A − XI3) = −(X + 1)(X − 2)2,

deci avem doua valori proprii �1 = −1, ma(−1) = 1 s, i �2 = 2, ma(2) = 2.Fie �1 = −1. De�nim M = A − �1I3. Atunci KerM = V (�1) = Sp{(0, 1, −1)}. Deoarece

dimV (�1) = 1 = mg(�1) = ma(�1), rezulta ca s, irul nucleelor are un singur termen, deci listava cont, ine doar u1 = (0, 1, −1).

Fie acum �2 = 2. De�nim M = A − �2I3.Calculam KerM = V (�2) = Sp{(1, 0, −1)}. Cumma(�2) = 2, rezulta ca s, irul nucleelor va cont, ine

un pas s, i va � de forma V (�2) ⊂ V �2 . Intr-adevar, calculam:

V �2 = KerM2 = {(x1, x2, x3) ∈ ℝ3 ∣ x1 + 2x2 + x3 = 0}.

42

Alegem u2 ∈ V �2 − V (�2) astfel ıncıt V (�2) ⊕ Sp{u2} = V �2 . Altfel spus, completam baza luiV (�2) la o baza a lui V �2 .

De exemplu, putem lua u2 = (−2, 1, 0). Mai departe, calculam Mut2 = (1, 0, −1).Din lista {u1, u2, Mut2} obt, inem o baza a lui ℝ3, iar matricea de trecere de la baza canonica va

�:

T =⎛⎜⎜⎝

0 −2 11 1 0−1 0 −1

⎞⎟⎟⎠

Iar forma canonica Jordan este:

J = T −1AT =⎛⎜⎜⎝

−1 0 00 2 00 1 2

⎞⎟⎟⎠

Spunem ca aceasta matrice este alcatuita din 2 blocuri Jordan, unul de marime 2, asociat valo-rii proprii 2, iar unul de marime 1, asociat valorii proprii -1. Observat, i forma ”aproape diagonala“a matricei: ıntr-adevar, blocul Jordan asociat valorii proprii 2 cont, ine un element nenul sub dia-gonala.

2. Fie matricea:

A =⎛⎜⎜⎜⎝

1 1 1 0−1 3 0 1−1 0 −1 10 −1 −1 1

⎞⎟⎟⎟⎠

.

Aducem aceasta matrice la forma canonica Jordan.Calculınd polinomul caracteristic, gasim:

PA(X ) = (X − 1)4 ⇒ � (A) = {1}, ma(1) = 4.

Rezulta ca V � ≃ ℝ4.Calculam spat, iul vectorilor proprii s, i obt, inem:

V (�) = {(�, �, −�, � − 2�) ∈ ℝ4}.

De�nim M = A − �I4 s, i avem KerM = V (�).Cum mg(�) = 2, rezulta ca s, irul nucleelor va avea 3 termeni:

V (�) = KerM ⊂ KerM2 ⊂ V � ≃ ℝ4.

Calculınd M2 s, i apoi KerM2, obt, inem:

KerM2 = {(x1, x2, x3, x4) ∈ ℝ4 ∣ x1 − x2 + x3 − x4 = 0},

43

deci un spat, iu de dimensiune 3.Alegem u1 ∈ V � − KerM2 astfel ıncıt KerM2 ⊕ Sp{u1} = V �. Fie, de exemplu, u1 = (1, 0, 0, 0).Calculam Mut1 = (0, −1, −1, 0) s, i M2ut1 = (−2, −2, 2, 2).Acum alegem u2 ∈ V (�) astfel ıncıt {M2ut1, u2} sa �e o baza a lui V (�). Fie, de exemplu,

u2 = (1, 0, 0, 1).Lista cont, ine: u1, Mut1, M2u1, u2, vectori independent, i, su�cient, i pentru o baza a lui ℝ4. Scriem

matricea de trecere de la baza canonica:

T =⎛⎜⎜⎜⎝

1 0 −2 10 −1 −2 00 −1 2 00 0 2 1

⎞⎟⎟⎟⎠

,

iar forma Jordan se obt, ine a �:

J = T −1AT =⎛⎜⎜⎜⎝

1 0 0 01 1 0 00 1 1 00 0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎠

.

Observam ca aceasta matrice este alcatuita dintr-un bloc de marime 3 s, i unul de marime 1,ambele corespunzatoare valorii proprii � = 1.

7.3 Metoda alternativaPrezentarea de mai jos urmeaza cartea de aici, paginile 35–37.

Pe scurt, presupunem ca pornim cu un endomor�sm f ∶ ℝn → ℝn.Pas, ii pe care ıi urmam pentru a aduce endomor�smul la forma Jordan sınt:

(1) �xam o baza B ın V s, i determinam matricea asociata lui f ın baza B (de exemplu, baza cano-nica);

(2) determinam valorile proprii �i , 1 ≤ i ≤ p s, i multiplicitat, ile algebrice ma(�i). Evident, pentrua putea ajunge la forma canonica Jordan, trebuie sa avem �i ∈ ℝ, deoarece lucram doar cuspat, ii vectoriale reale. Altfel, endomor�smul nu poate � adus la forma Jordan;

(3) gasim vectorii proprii, liniar independent, i, corespunzatori �ecarei valori proprii �i;

(4) calculam numarul de celule Jordan pentru �ecare valoare proprie �i ın parte, numarul celu-lelor �ind dat de:

dimV (�i) = dimV − rang(A − �iIn)

(5) rezolvam sistemul (A − �iIn)ma(�i ) ⋅X = O, pentru �ecare valoare proprie �i . Pentru un anumiti �xat, solut, iile nenule genereaza subspat, iul invariant V (�i);

44

(6) reunim bazele pentru toate subspat, iile invariante V (�i) s, i obt, inem o baza B′, dupa care deter-minam matricea T de trecere de la baza B la baza B′;

(7) ın �ne, J = T −1AT este forma Jordan.Exemplu rezolvat: Consideram matricea:

A =⎛⎜⎜⎝

4 −5 25 −7 36 −9 4

⎞⎟⎟⎠

Solut, ie: Polinomul caracteristic al matricei este:PA(X ) = det(A − XI3) = −X 2(X − 1),

deci valorile proprii sınt �1 = �2 = 0, �3 = 1, cu ma(�1) = 2, ma(�3) = 1.Subspat, iul invariant pentru �1,2 se obt, ine:

V (�1,2) = {(�, 2�, 3�) ∣ � ∈ ℝ},deci dim(V (�1,2)) = mg(�1,2) = 1 ≠ ma(�1). As, adar, matricea nu are forma diagonala, dar are formaJordan, pe care o obt, inem ın continuare.

Pentru �3, rezulta:V (�3) = {(�, �, �) ∣ � ∈ ℝ},

adica mg(�3) = dim(V (�3)) = 1.Bazele ın subspat, iile invariante pot �:

B(�1,2) = {(1, 2, 3)}, B(�3) = {(1, 1, 1)}.Rezulta ca vom avea o celula Jordan de marime 2 pentru �1,2 s, i una de marime 1 pentru �3.

Determinam baza corespunzatoare formei Jordan, i.e. rezolvam ecuat, ia:

(A − �1I3)2 ⋅ X = A2X =⎛⎜⎜⎝

3 −3 13 −3 13 −3 1

⎞⎟⎟⎠⋅⎛⎜⎜⎝

xyz

⎞⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎝

000

⎞⎟⎟⎠,

de unde rezultaX ∈ {(�, �, 3� − 3�)t ∣ �, � ∈ ℝ}

As, adar, obt, inem o baza formata din {(1, 0, −3), (0, 1, 3)} pe care o reunim cu baza din celalaltsubspat, iu invariant, {(1, 1, 1)} s, i matricea de trecere de la baza canonica la aceasta baza este:

T =⎛⎜⎜⎝

1 0 10 1 1−3 3 1

⎞⎟⎟⎠,

iar forma Jordan �nala este:

J = T −1AT =⎛⎜⎜⎝

0 1 00 0 00 0 1

⎞⎟⎟⎠.

45

7.4 Exercit, ii propuseAducet, i la forma canonica Jordan endomor�smul:

f ∶ ℝ3 → ℝ3, f (x, y, z) = (3x + y − z, 2y, x + y + z)

s, i matricele:

A =⎛⎜⎜⎝

4 −1 11 3 −10 1 1

⎞⎟⎟⎠, B =

⎛⎜⎜⎜⎝

1 1 1 0−1 3 0 1−1 0 −1 10 −1 −1 1

⎞⎟⎟⎟⎠

, C =⎛⎜⎜⎝

0 −1 0−1 −2 20 −1 0

⎞⎟⎟⎠, D =

⎛⎜⎜⎝

−4 −7 −52 3 31 2 1

⎞⎟⎟⎠.

46

SEMINAR 8

ECUAT, II DIFERENT, IALE DE ORDINUL I

Daca nu se precizeaza altfel, vom presupune ca lucram cu funct, ii de forma y = y(x), deci y′

va ınsemna dydx .

8.1 Ecuat, ii cu variabile separabile/separateAcesta este cel mai simplu exemplu de ecuat, ii diferent, iale s, i se rezolva direct prin integrare,

dupa o reordonare corespunzatoare.Exemplu 1: (1 + x2)yy′ + x(1 + y2) = 0, s, tiind ca y(1) = 2.Solut, ie: Separam variabilele s, i diferent, ialele s, i obt, inem succesiv:

(1 + x2)y ⋅ dydx + x(1 + y2) = 0⇔

(1 + x2)ydy = −x(1 + y2)dx ⇔y

1 + y2dy = −x

1 + x2dx ⇔12 ln(y

2 + 1) = −12 ln(x2 + 1) + c.

Pentru uniformitate, putem pune 12 ln c ın locul constantei.

Rezulta 1 + y2 = c1 + x2 , cu c > 0, pentru existent, a logaritmului.

Inlocuim ın condit, ia init, iala y(1) = 2 s, i obt, inem c = 10. In �ne:

y(x) =√9 − x21 + x2 , x ∈ (−3, 3),

47

punınd s, i condit, iile de existent, a.

In unele cazuri, este util sa facem schimbari de variabila. De exemplu:Exemplu 2: y′ = sin2(x − y).Solut, ie: Notam x − y = z s, i avem ca y′ = 1 − z′, de unde, ın ecuat, ie, obt, inem succesiv:

z′ = 1 − sin2 z = cos2 z ⇒dzdx = cos2 z ⇒dz

cos2 z = dx ⇒tan z = x + c ⇒

tan(x − y) = x + c,

care poate � prelucrata pentru a obt, ine y(x) sau lasata ın forma implicita.

8.2 Ecuat, ii liniareForma generala a acestor ecuat, ii este:

y′ = P (x) ⋅ y + Q(x).

Distingem doua cazuri:

• Daca Q = 0, atunci ecuat, ia se numes, te omogena;

• Daca Q ≠ 0, ecuat, ia este neomogena.

Metoda generala de rezolvare este sa folosim formula (am notat exp(□) = e□):

y(x) = c ⋅ exp(− ∫x

x0P (t)dt) ,

pentru a obt, ine o solut, ie particulara pentru ecuat, ia omogena. Apoi, din teorie, s, tim ca putemfolosi metoda variat, iei constantelor (Lagrange) pentru a obt, ine solut, ia ecuat, iei neomogene. Pentruaceasta, ın locul constantei c vom considera o funct, ie c(x) s, i ınlocuim ın ecuat, ia init, iala.

Pe scurt, pentru ecuat, ia liniara:

y′ + P (x)y = Q(x),

avem:

• Solut, ia particulara pentru varianta omogena yp = c ⋅ exp(− ∫ P (x)dx);

48

• Solut, ia generala (din Lagrange):

yg = exp( − ∫ P (x)dx) ⋅ (C + ∫ Q(x) ⋅ exp(∫ P (x)dx)dx)

Solut, ia generala a problemei este suma ıntre solut, ia particulara s, i cea generala.Exemplu 1: y′ + y sin x = − sin x cos x .Solut, ie: Putem ınlocui direct ın formula s, i obt, inem y = C ⋅ ecos x − cos x − 1.

Exemplu 2: y′ + xy = xe− x22 .

Solut, ie: Asociem ecuat, ia omogena y′ + xy = 0, pe care o rescriem:

dydx + xy = 0⇒

dyy = −xdx ⇒ yp = ce−

x22 .

Acum, folosind metoda lui Lagrange, cautam o solut, ie de forma y(x) = c(x)e− x22 .

Inlocuim ın ecuat, ia init, iala s, i gasim y′ +xy = c′(x)e− x22 , dar, comparınd cu ecuat, ia data, gasim

c′(x) = x , de unde c(x) = x22 .

As, adar, avem yg =x22 e

− x22 , iar solut, ia �nala este suma celor doua:

y = (x22 + c)e

− x22 .

Exemplu 3: 2xyy′ + 2y2 − x4 = 0.Solut, ie: Putem face o substitut, ie y2 = z, cu care ecuat, ia devine z′ + 2

x z = x3. Avem, ın acestcaz, P (x) = 2

x , iar Q(x) = x3. Cum ∫ P (x)dx = 2 ln x , iar ∫ Q(x)e∫ P (x)dxdx = x66 , obt, inem solut, ia

generala:

y(x) = 1x

√c + x

6

6 , x > 0.

8.3 Ecuat, ia BernoulliForma generala a ecuat, iei Bernoulli este:

y′ + P (x)y = Q(x)y� .

Remarcam ca:

• Daca � = 0, obt, inem o ecuat, ie omogena;

49

• Daca � ≠ 0, obt, inem o ecuat, ie neomogena, ca ın sect, iunea anterioara.Pas, ii de rezolvare sınt:• Se ımparte cu y� s, i obt, inem:

y−�y′ + P (x)y1−� = Q(x);

• Facem substitut, ia y1−� = z s, i ajungem la ecuat, ia:(1 − �)y1−� ⋅ y′ = z′,

de unde z′1 − � + P (x)z = Q(x), care este o ecuat, ie neomogena, rezolvabila ca ın sect, iunea

anterioara.

Exemplu 1: y′ − y3x = 13y

4 ln x, x > 0.Solut, ie: Avem � = 4, deci ımpart, im la y4 s, i obt, inem:

y−4y′ − 13x y

−3 = 13 ln x.

Cu substitut, ia z = y−3, ajungem la:

z′ = −3y4y′ ⇒ z′ + 1x z = − ln x.

Avem P (x) = 1x s, i Q(x) = − ln x , deci putem aplica formula pentru solut, ia generala a ecuat, iei

neomogene:z = e− ln x(c − ∫ ln xeln xdx) =

1x(c − ∫ x ln x).

In �ne:y−3 = c

x +x4 −

x2 ln x, x > 0.

Exemplu 2: y′ + 23x y =

13y

2.Solut, ie: Avem � = 2, deci ımpart, im la y2 s, i ajungem la:

y′y2 +

23x ⋅ 1y = 13 .

Cu substitut, ia z =1y , avem z′ + 2

3x z =13 , care este liniara s, i neomogena.

Lucram cu ecuat, ia omogena z′ + 23x = 0, de unde z

′

z = 23x , care este cu variabile separabile s, i

gasim z = cx 23 , pentru ecuat, ia omogena.

Aplicam acum metoda variat, iei constantelor s, i luam z = c(x)x 23 . Dupa ınlocuire ın ecuat, ia

init, iala, avem c(x) = −x 13 .

Solut, ia �nala este acum suma z = −x + cx 23 = 1

y .

50

8.4 Ecuat, ia RiccatiForma generala este:

y′ = P (x)y2 + Q(x)y + R(x).Observam ca:

• Daca Q = 0, avem o ecuat, ie liniara s, i neomogena;

• Daca R = 0, este o ecuat, ie Bernoulli, cu � = 2.

In general, ecuat, ia Riccati se rezolva s, tiind o solut, ie particulara yp . Apoi, folosind formulay = yp + z s, i ınlocuind, se ajunge la o ecuat, ie Bernoulli:

z′ + (p(x) + 2q(x)yp)z + q(x)z2 = 0.

Pentru a gasi solut, ii particulare, urmatoarea teorema ne ajuta ıntr-un anumit caz:

Teorema 8.1: Daca avem ecuat, ia Riccati de forma:

y′ = Ay2 + Bx y +Cx2 ,

unde (B + 1)2 − 4AC ≥ 0, atunci o solut, ie particulara este yp =1x .

Exemplu 1: y′ = −13y2 − 2

3x2 , x > 0.

Solut, ie: Aplicınd teorema, putem lua yp =1x ca solut, ie particulara. Apoi cautam o solut, ie

generala de forma y = 1x + z, dar, pentru convenient, a, putem lua z → 1

z . Inlocuim ın ecuat, ie s, iobt, inem succesiv:

− 1x2 −z′z2 = −

13(

1x2 +

2xz +

1z2) −

23x ⇒

z′ − 23x z =

13 ⇒

z = Cx 23 + x,

de unde y = 1x +

1Cx 2

3 + x, cu x > 0.

51

8.5 Ecuat, ia ClairautForma generala a ecuat, iei este:

y = xy′ + '(y′).Pentru rezolvare, se noteaza y′ = p s, i, ınlocuind, avem:

y = xp + '(p).

Derivam dupa x s, i gasim:p = p + x ⋅ dpdx + '

′(p) ⋅ dpdx ,

de unde (x + '′(p))dpdx = 0.

Mai departe:

• Daca dpdx = 0, atunci p = C s, i avem y = C ⋅ x + '(c), ca solut, ie generala;

• Daca x + '′(p) = 0, obt, inem solut, ia singulara, care se prezinta parametric, adica ın funct, iede p, astfel: {

x = −'′(p)y = −p'′(p) + '(p)

Exemplu: y = xy′ − y′2.Solut, ie: Notam y′ = p, deci y = xp − p2.Obt, inem, ınlocuind ın ecuat, ie:

pdx + xdp − 2pdp = pdx ⇒ (x − 2p)dp = 0.

Distingem cazurile:

• Daca dp = 0, atunci p = C s, i y = Cx − C2, o solut, ie particulara;

• Solut, ia singulara se reprezinta parametric, corespunzator cazului x − 2p = 0, prin:{x = 2py = p2

Revenind la y, gasim y = x24 .

Observatie 8.1: Geometric, solut, ia generala este ınfas, uratoarea solut, iei particulare, adica o curbacare aproximeaza, din aproape ın aproape, dreapta solut, iei particulare.

52

8.6 Ecuat, ii exacteForma generala este:

P (x, y) + Q(x, y)y′ = 0.

8.6.1 Cu diferent, iale totaleRezolvare cu formula

Daca are loc )P)y = )Q

)x , atunci ecuat, ia se numes, te cu diferent, iale totale, iar solut, ia ei generala seprezinta prin:

F (x, y) = ∫x

x0P (t, y0)dt + ∫

y

y0Q(x, t)dt,

pentru orice (x, y) din domeniul de de�nit, ie, iar (x0, y0) un punct arbitrar �xat, ın jurul caruiadeterminam solut, ia.

Observatie 8.2: Pentru simplitate, vom mai folosi notat, iile Py =)P)y s, i similar pentru Qx . Deci

condit, ia de diferent, iale totale se mai scrie, pe scurt, Py = Qx .

Exemplu: (3x2 − y) + (3y2 − x)y′ = 0.Solut, ie: Remarcam ca avem P (x, y) = 3x2 − y s, i Q(x, y) = 3y2 − x , deci Py = Qx = −1, ecuat, ia

avınd diferent, iale totale. Obt, inem direct, din formula pentru solut, ia generala:

F (x, y) = x3 + y3 − xy + x0y0 − x30 − y30 .

Cum (x0, y0) sınt �xate, putem prezenta solut, ia ın forma implicita y = ', unde ' = x3+y3−xy =c, constanta �ind expresia de (x0, y0) de mai sus.

Rezolvare directa

Din teorie, s, tim ca daca o ecuat, ie diferent, iala are diferent, iale totale, se poate arata ca, ın cazulecuat, iei scrisa ın forma generala P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, exista o funct, ie F (x, y) de clasa (celput, in) C1 astfel ıncıt Fx = P (x, y) s, i Fy = Q(x, y).

Sa vedem acest lucru pe exemplul de mai sus.Avem ecuat, ia:

(3x2 − y)dx + (3y2 − x)dy = 0.

53

Avem P (x, y) = 3x2 − y s, i Q(x, y) = 3y2 − x . Am vazut ca ecuat, ia este cu diferent, iale totale,deci exista o funct, ie F ∶ ℝ2 → ℝ de clasa (cel put, in) C1 astfel ıncıt Fx = P s, i Fy = Q. Deci:

)F)x = 3x2 − y ⇒ F (x, y) = ∫ 3x2 − ydx = x3 + xy + c(y))F)y = 3y2 − x ⇒ F (x, y) = ∫ 3y2 − xdy = y3 + xy + c(x),

unde constantele de integrare pot sa depinda, eventual, de variabilele ın funct, ie de care nu se faceintegrarea.

Deoarece avem aceeas, i funct, ie F (x, y) pe care o cautam, cele doua expresii de mai sus trebuiesa coincida, deci c(x) = x3, iar c(y) = y3. In �nal:

F (x, y) = x3 + y3 − xy + k, k ∈ ℝ

este funct, ia cautata, care da solut, ia implicita a ecuat, iei.

8.6.2 Cu factor integrantDaca ecuat, ia nu are diferent, iale totale, se cauta un factor integrant, adica o funct, ie �(x, y) cu carese ınmult, es, te ecuat, ia pentru a deveni cu diferent, iale totale.

Exista doua cazuri particulare ın care factorul integrant se gases, te simplu:

• Daca expresiaPy − QxQ depinde doar de x , se poate lua � = �(x);

• Daca expresiaQx − Py

P depinde doar de y, se poate lua � = �(y).

In celelalte cazuri, factorul integrant, de obicei, se da ın enunt, ul problemei, deoarece estedi�cil de gasit, dar o teorema de existent, a ne arata ca el poate � mereu gasit.

Observatie 8.3: Pentru a ret, ine mai us, or condit, iile simple de cautare a factorului integrant, por-nim cu ecuat, ia ın forma generala, ınmult, im cu �, ceea ce ne schimba s, i P s, iQ, apoi scriem condit, iade exactitate. Pentru primul caz, de exemplu, obt, inem:

�x� = Py − Qx

Q ,

deci daca membrul drept depinde doar de x , putem lua � = �(x) s, i similar ın al doilea caz.

Odata gasit factorul integrant, sa presupunem � = �(x), integram condit, ia de exactitate s, igasim:

ln �(x) = ∫ '(x) + c,

54

unde '(x) = Py − QxQ s, i deci �(x) = exp( ∫ '(x)dx).

Exemplu: (1 − x2y) + x2(y − x)y′ = 0.Solut, ie: Observam ca ecuat, ia nu este exacta, dar veri�cınd condit, iile pentru factorul integrant,

putem lua �(x) = 1x2 . Inmult, im ecuat, ia cu � s, i gasim:

(1x2 − y) + (y − x)y

′ = 0,

care este cu diferent, iale totale. Atunci putem scrie direct solut, ia generala:

F (x, y) = y22 − 1x − xy + C,

solut, ia implicita �ind y22 − 1x − xy = const..

Exercit, iu: Rezolvat, i ecuat, ia y2(2x −3y) + (7 − 3xy2)y′ = 0, cautınd (dupa veri�care) un factorintegrant �(y).

8.7 Ecuat, ia LagrangeForma generala a ecuat, iei Lagrange este:

A(y′) ⋅ y + B(y′) ⋅ x + C(y′) = 0.

Daca avem A(y′) ≠ 0, putem ımpart, i s, i obt, inem:

y = f (y′) + g(y′), f (y′) = −B(y′)

A(y′) , g(y′) = −C(y

′)A(y′) .

Daca f (y′) = y′, obt, inem o ecuat, ie de tip Clairaut.Altfel, �e y′ = p, deci dy = pdx . Inlocuim ın ecuat, ia init, iala s, i gasim:

y = xf (p) + g(p)⇒ dy = f (p)dx + xf ′(p)dp + g′(p)dp.

Egalam cele doua expresii pentru dy s, i ajungem la:

pdx = f (p)dx + xf ′(p)dp + g′(p)dp.

In �ne:(f (p) − p)dx + (xf ′(p) + g′(p))dp = 0.

55

In acest caz, daca f (p) este o constanta, obt, inem o ecuat, ie cu variabile separabile.Altfel, putem ımpart, i la (f (p) − p)dp s, i ajungem la:

dxdp +

f ′(p)f (p) − px +

g′(p)f (p) − p = 0.

Aceasta este o ecuat, ie liniara s, i neomogena ın x(p) s, i o rezolvam corespunzator.Daca f (p) = p, obt, inem o solut, ie particulara.

Exemplu: y = x − 49y′2 + 8

27y′3.

Solut, ie: Facem notat, ia y′ = p, deci dy = pdx . Obt, inem:

y = x − 49p2 + 8

27p3 ⇒ dy = dx − 89pdp +

89p

2dp.

Rezulta pdx = dx − 89pdp +89p

2dp, deci:

(p − 1)(dx − 89pdp) = 0.

Distingem cazurile:Daca dx = 8

9pdp, atunci x = 49p

2 + c s, i, ınlocuind ın ecuat, ia init, iala, gasim y = 827p

3 + c.Solut, ia poate � prezentata parametric:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = 49p2 + c

y = 827p

3 + c

Daca p = 1, avem o solut, ie particulara y = x + c, iar constanta se obt, ine a � c = − 427 , dinecuat, ia init, iala.

8.8 Exercit, iiRezolvat, i urmatoarele ecuat, ii diferent, iale, precizınd s, i tipul lor:

(1) xy′ − y + 2x2y2 = 0; (Bernoulli)

(2) (2x − y + 2)dx + (−x + y + 1)dy = 0; (exacta)

(3) xy′ = 4y + x2√y; (Bernoulli)

56

(4) (x2 + 1)y′ + 2xy2 = 0; (exacta)

(5) (2x + y + 1)dx + (x + y − 1)dy = 0; (exacta)

(6) y′ = x2y ; (variabile separabile)

(7) y′ = yx + x ; (liniara, neomogena)

(8) 3x2ydx − (ln y + x3)dy = 0; (exacta)

(9) y′ = x2y; (variabile separabile)

(10) y′ = x2 + y22xy ; (Bernoulli)

(11) y′ = 2xy2; (variabile separabile)

(12) y′ = 4xy2 ; (variabile separabile)

(13) (x + y + 1)dx + (x − y3 + 3)dy = 0; (exacta)

(14) y′ = 1x y −

ln xx ; (liniara, neomogena)

(15) y′ = −yx +exx ; (liniara, neomogena)

(16) (x + y2)dx + y(1 − x)dy = 0; (exacta)

(17) 3x2ydx − (x3 + ln y)dy = 0; (exacta)

(18) y′ = −2y + x2 + 2x ; (liniara, neomogena)

(19) y′ = 2yx + 3x2 ; (liniara, neomogena)

(20) y′ = 2xy + x3y 12 ; (Bernoulli)

(21) y′ = −1x y +ln xx y2. (Bernoulli)

57

SEMINAR 9

SISTEME DIFERENT, IALE

9.1 Calcul matriceal directCa ın cazul sistemelor de ecuat, ii liniare, putem scrie un sistem ın forma matriceala X ′ = A ⋅ X ,unde A este matricea coe�cient, ilor.

Distingem mai multe cazuri, ın funct, ie de proprietat, ile matricei A.Daca A se diagonalizeaza, �e {�i} valorile proprii ale sale, iar {ui} vectorii proprii asociat, i.

Atunci funct, iile:{xi(t) = e�i t ⋅ ui}i

dau o baza ın spat, iul vectorial al solut, iilor. Solut, ia generala poate � scrisa, atunci, ca o combinat, ieliniara a acestora:

x(t) = ∑icixi(t).

Se obis, nuies, te ca solut, ia sa �e prezentata sub forma matriceala, alcatuind matricea fun-damentala a sistemului: X (t) = t(e�i tui).

Exemplu: {x ′ = x − yy′ = −4x + y.

Matricea sistemului este A = (1 −1−4 1 ).

Obt, inem �1 = 1 s, i �2 = 3. Cum acestea au multiplicitatea algebrica egala cu 1, rezulta camatricea se diagonalizeaza. Se obt, in subspat, ii proprii de dimensiune 1, bazele �ind, de exemplu:

X1 = (12) , X2 = (

1−2) .

58

Atunci solut, ia generala se scrie:

X (t) = (x(t)y(t)) = C1e�1t (

12) + C2e�2t (

1−2) .

Atunci matricea fundamentala se scrie:

X (t) = (C1e−t + C2e3t2C1e−t − 2C2e3t) .

DacaAnu se diagonalizeaza, �e �1,… , �k valorile proprii, de multiplicitat, i algebrice n1,… , nk .Atunci se cauta solut, ii de forma:

xj(t) =k∑i=1

Pij(t)e�i t , gradPij ≤ ni − 1.

Inlocuim ın ecuat, ia init, iala s, i gasim Pij . Aceasta metoda poarta numele de metoda coe�cient, ilornedeterminat, i.

Exemplu: {x ′1 = x2x ′2 = −x1 + 2x2

Solut, ie: Matricea sistemului este A = (0 1−1 2), care are valoarea proprie � = 1, de multipli-

citate algebrica 2. Se poate veri�ca faptul ca matricea nu este diagonalizabila s, i atunci cautamsolut, ii de forma: {

x1(t) = (A1 + B1t)etx2(t) = (A2 + B2t)et

Inlocuim ın sistem s, i obt, inem un sistem liniar cu necunoscutele A1, A2, B1, B2, care va � dublunedeterminat. As, adar, solut, ia se prezinta cu 2 parametri ın forma:

(A1, A2, B1, B2) ∈ {(�, � + �, �, �) ∣ �, � ∈ ℝ}.

Rezulta ca matricea fundamentala este:

X (t) = ((� + �t)et

(� + � + �t)et)

Daca matricea A nu se diagonalizeaza, iar �i ∈ ℂ, lucram cu numere complexe.

59

Exemplu: {x ′1 = 2x1 + x2x ′2 = −8x1 − 2x2

s, tiind ca solut, ia cont, ine la t = 0 punctul M0(1, 0).Solut, ie: Matricea sistemului este A = (

2 1−8 2).

Valorile sale proprii sınt �1,2 = ±2i. Atunci subspat, iul invariant va �:

V�1 = Sp{(1, −2 + 2i)}.

Obt, inem o solut, ie generala ın forma:

x1(t) = e2it (1

−2 + 2i) = (cos 2t + i sin 2t)(1

−2 + 2i) .

Din proprietat, ile algebrice ale numerelor complexe, avem ca xt(t) = x1(t) s, i atunci solut, iagenerala va � x(t) = c1x1(t) + c2x2(t).

Folosind condit, iile init, iale, avem ca x1(0) = 1 s, i x2(0) = 0, deci c1 = c2 = 1.

9.2 Folosind forma JordanExemplu: Fie matricea:

A =⎛⎜⎜⎝

1 −1 11 1 −10 −1 2

⎞⎟⎟⎠

(a) Sa se calculeze eAt , pentru t ∈ ℝ;

(b) Sa se determine solut, ia generala a sistemului X ′ = AX , apoi solut, ia particulara care veri�cacondit, ia x(0) = 1, y(0) = 2, z(0) = 0.

Solut, ie:(a) Matricea A are valorile proprii �1 = �2 = 1, �3 = 2. Vectorii proprii (baze ın subspat, iile

invariante) sınt:v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 0, 1).

Forma canonica Jordan a matricei se obt, ine a �:

J =⎛⎜⎜⎝

1 0 01 1 00 0 2

⎞⎟⎟⎠,

60

folosind matricea de trecere

T =⎛⎜⎜⎝

2 1 10 1 01 1 1

⎞⎟⎟⎠.

Deci A = T JT −1.S, tim din teorie ca eAt = T ⋅ eJ t ⋅ T −1.Folosim acum dezvoltarea ın serie Taylor a funct, iei exponent, iale:

ex = ∑n≥0

xn! ,

adevarata s, i pentru matrice. In plus, daca matricea este diagonala, exponent, iala sa va cont, ineexponent, iala pe diagonala, adica, daca M = diag(x1, x2,… , xn), atunci eM = diag(ex1 ,… , exn ).

Pentru a folosi aceasta proprietate, ne legam de descompunerea ın blocuri Jordan a lui A. FieJ1 blocul Jordan de dimensiune 2, corespunzator valorii proprii �1 = �2 = 1 s, i J2 blocul Jordande dimensiune 1 corespunzator valorii proprii �3 = 2. Avem descompunerea pe blocuri s, i pentruexponent, iala:

eJ t = (eJ1t 00 eJ2t)

Cum eJ2t = e2t , calculam celalalt bloc:

eJ1t = e⎛⎜⎜⎝

t 0t t

⎞⎟⎟⎠

= e⎛⎜⎜⎝

t 00 t

⎞⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎝

0 0t 0

⎞⎟⎟⎠

= (et 00 et) ⋅ [(

1 00 1) + 1

1! (0 0t 0)]

= (et 0tet et)

Am folosit faptul ca (0 0t 0)

2= 0, as, adar din seria Taylor va � su�cient sa pastram primii 2

termeni. Calculam s, i T −1, obt, inınd:

T −1 =⎛⎜⎜⎝

1 0 −10 1 0−1 −1 2

⎞⎟⎟⎠

61

gasim, ın �ne:

eAt = T ⋅ eJ t ⋅ T −1 =⎛⎜⎜⎝

et(t + 2) − e2t et − e2t −et(t + 2) + 2e2ttet et −tet

et(t + 1) − e2t et − e2t −et(t + 1) + 2e2t

⎞⎟⎟⎠

(b) Conform teoriei, solut, ia generala a sistemului este:

X (t) = eAt ⋅⎛⎜⎜⎝

C1C2C3

⎞⎟⎟⎠,

constantele Ci determinındu-se din condit, iile init, iale. In acest caz:

X (t) = eAtX (0) = eAt⎛⎜⎜⎝

120

⎞⎟⎟⎠

Exemplu 2: Sa se determine solut, ia sistemului diferent, ial liniar neomogen:⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x ′ = 2x − yy′ = −x + 2z + etzz′ = −y + 2,

s, tiind ca satisface condit, iile init, iale X (0) =⎛⎜⎜⎝

010

⎞⎟⎟⎠.

Solut, ie: Fie matricele:

X =⎛⎜⎜⎝

xyz

⎞⎟⎟⎠, A =

⎛⎜⎜⎝

2 −1 0−1 0 20 −1 2

⎞⎟⎟⎠, B(t) =

⎛⎜⎜⎝

0et0

⎞⎟⎟⎠.

Atunci sistemul se scrie matriceal X ′ = AX + B(t). Valorile proprii ale matricei A sınt �1 =�2 = 1 s, i �3 = 2. Avem vectorul propriu (1, 1, 1) baza ın V�1,2 s, i vectorul (2, 0, 1) baza ın V�3 .

Aducem matricea A la forma canonica Jordan, folosind matricea de trecere:

T =⎛⎜⎜⎝

0 1 2−1 1 00 1 1

⎞⎟⎟⎠⇒ T −1 =

⎛⎜⎜⎝

−1 −1 2−1 0 21 0 −1

⎞⎟⎟⎠

Forma canonica Jordan se obt, ine a �:

J =⎛⎜⎜⎝

1 0 01 1 00 0 2

⎞⎟⎟⎠.

62

Putem descompune matricea Jordan ın doua blocuri, unul de dimensiune 2 s, i unul de dimen-siune 1, ceea ce ne ajuta sa calculam:

eAt =⎛⎜⎜⎝

2e2t − (t + 1)et −tet 2et(t + 1) − 2e2t−tet (1 − t)et 2tet

2e2t − (t + 1)et −tet 2et(t + 1) − 2e2t

⎞⎟⎟⎠

Conform teoriei, obt, inem solut, ia problemei Cauchy (t, inınd cont de valorile init, iale) sub forma:

X (t) = eAtX (0) + ∫t

0eA(t−s)B(s)ds.

Integrala se calculeaza integrınd �ecare din elementele matricei s, i obt, inem, ın �nal:

X (t) = et

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

−t − t2

2

1 − t2

2

−t − t2

2

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

63

SEMINAR 10

EXAMEN 2018–2019

10.1 Seria ANumarul 1

1. In spat, iul vectorial ℝ3 se considera mult, imea:

V = {(a, b, c) ∈ ℝ3 ∣ a − 2b + 3c = 0}.

Sa se determine V ⟂ relativ la produsul scalar euclidian s, i o baza ortonormata ın ℝ3 diferita debaza canonica.

2. Sa se aduca la forma canonica s, i sa se reprezinte gra�c conica:

f (x, y) = 9x2 + 4xy − 3y2 + 4x − 14y − 7 = 0.

3. Sa se rezolve ecuat, iile diferent, iale:

(a) xy′ − y + 2x2y2 = 0;

(b) y = x(1 + y′) + (y′)2;

(c) (3x2 + 2)y′ + xy2 = 0;

(d) (2x − y + 2)dx + (−x + y + 1)dy = 0.

64

4. Sa se rezolve sistemul: {x ′ = −3x − y + ety′ = x − y

cu condit, iile init, iale x(0) = 1, y(0) = −1 s, i sa se calculeze eAt , unde A este matricea sistemului.

5.(a) Sa se determine ecuat, ia conului cu vırful ın V (2, −1, 0) s, i determinat de curba1:

( ) ∶{y2 + z2 = 2x = 1

(b) Se considera spat, iul euclidian ℝ4[X ] s, i un endomor�sm f ∶ ℝ4[X ] → ℝ4[X ]. Sa se arateca:

Imf ≃ (Kerf ∗)⟂.Numarul 21. In spat, iul euclidian ℝ3 se considera mult, imea:

V = {(a, b, c) ∈ ℝ3 ∣ 2a − b + 3c = 0}.

Sa se determine V ⟂ s, i o baza ortonormata ın ℝ3, diferita de baza canonica.

2. Sa se aduca la forma canonica s, i sa se reprezinte gra�c conica:

f (x, y) = 9x2 + 4xy + 3y2 + 16x + 12y − 36 = 0.

3. Sa se rezvole ecuat, iile diferent, iale:

(a) xy′ = 4y + x2√y;

(b) yy′ = 2x(y′)2 + 1;

(c) (x2 + 1)y′ + 2xy2 = 0;

(d) (2x + y + 1)dx + (x + y − 1)dy = 0.1Pentru ecuat, ia conului s, i a altor cuadrice nestudiate la seminar, consultat, i notit,ele Prof. Nit, a sau, de exemplu,

acest document.

65

4. Sa se rezolve sistemul: {x ′ = 2x + yy′ = −x + 4y + 27t

cu valorile init, iale x(0) = −1, y(0) = 1 s, i sa se calculeze eAt , unde A este matricea sistemului.

5.(a) Sa se determine ecuat, ia cilindrului cu generatoarele paralele cu vectorul v = i− j s, i curbadirectoare:

( ) ∶{x2 − y2 + z2 = 0x = 1

(b) Se considera spat, iul euclidian ℝ4[X ] s, i f ∶ ℝ4[X ] → ℝ4[X ] un endomor�sm. Sa se arateca:

Kerf ≃ (Imf ∗)⟂.

10.2 Seria DObservat, ie: Numarul 1 = (i), numarul 2 = (ii) etc.

1. (a) Folosind metoda Gram-Schmidt, ortonormat, i familiile de vectori:(i) B = {v1 = (0, 1, 1), v2 = (1, 1, 3), v3 = (4, 2, 0)};

(ii) B = {v1 = (2, 0, 0), v2 = (−3, 1, 1), v3 = (2, −2, 5)};

(iii) B = {v1 = (1, 0, 1), v2 = (0, 2, 4), v3 = (1, 1, 1)};

(iv) B = {v1 = (1, 1, 0), v2 = (−2, 03), v3 = (3, 1, 1)}.(b) (i) Fie U = Sp{u1 = (1, 3, 0, 1), u2 = (−1, 0, 1, 1)} ≤ ℝ4.Sa se determine complementul ortogonal U ⟂ s, i o baza a acestuia.(ii) Fie � ∈ (0, 2� ) �xat. Aratat, i ca endomor�smul:

T (x1, x2) = (x1 sin � + x2 cos �, x1 cos � − x2 sin �)este ortogonal.

(iii) Fie matricea A =⎛⎜⎜⎝

1 0 3−1 2 00 0 1

⎞⎟⎟⎠. Folosind teorema Cayley-Hamilton, a�at, i A−1.

(iv) Fie vectorii u = (1, 2, 1), v = (2, 3, 0), w = (0, 1, 1).Sa se calculeze aria paralelogramului determinat de u s, i v s, i volumul paralelipipedului deter-

minat de u, v s, i w .

2. Sa se identi�ce, aduca la forma canonica s, i reprezinte gra�c conica:

66

(i) x2 − 2xy + y2 − 6x − 2y + 9 = 0;

(ii) x2 − xy + y2 − 5x + y − 2 = 0;

(iii) 5x2 + 6xy + 5y2 − 16x − 16y − 16 = 0;

(iv) 3x2 − 10xy + 3y2 + 4x + 4y + 4 = 0.

3. Sa se identi�ce s, i sa se rezolve urmatoarele ecuat, ii diferent, iale de ordinul ıntıi: (i)

(a) y′ = x2y ;

(b) y′ = yx + x ;

(c) y = xy′ + sin y′;

(d) 3x2ydx − (ln y + x3)dy = 0.

(ii)

(a) y′ = x2y;

(b) y′ = x2 + y22xy ;

(c) y′ = − 12x2y

2 + 2x y;

(d) y = −xy′ + ln y′.

(iii)

(a) y′ = 2xy2;

(b) y′ = x − yx + y , x + y ≠ 0;

(c) y = xy′ − ey′ ;

(d) yx dx + (y

3 − ln x)dy = 0.

(iv)

(a) y′ = 4xy2 ;

67

(b) y′ = 2xy + x1 + x2 ;

(c) (x + y + 1)dx + (x − y3 + 3)dy = 0;

(d) y = y′2 + 42y′ .

4. Folosind matricea eAt , sa se rezolve urmatoarele sisteme:

(i)

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x ′ = y + zy′ = 2yz′ = −2x + y + 3z

;

(ii)

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x ′ = 2xy′ = 4x + yz′ = −2x + z

;

(iii)

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x ′ = −2zy′ = x + 2y + zz′ = x + 3z

;

(iv)

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x ′ = x − 2zy′ = y + 4xz′ = 2z

.

10.3 Seria EObservat, ie: Nr. 1 = (a), Nr. 2 = (b).

1. Determinat, i forma canonica Jordan pentru matricea:

(a) A =⎛⎜⎜⎝

3 2 22 2 1−6 −5 −4

⎞⎟⎟⎠

(b) A =⎛⎜⎜⎝

1 −1 −1−3 −4 −34 7 6

⎞⎟⎟⎠

68

2. Aducet, i la forma canonica urmatoarea conica:

(a) Γ ∶ x21 − 12x1x2 − 4x22 + 12x1 + 8x2 + 5 = 0;

(b) Γ ∶ 3x21 − 10x1x2 + 3x22 + 4x1 + 4x2 + 4 = 0.

3. Rezolvat, i ecuat, ia diferent, iala liniara:

(a) y′ = 1x ⋅ y − ln xx , x > 0;

(b) y′ = −yx +exx , x > 0.

4. Rezolvat, i ecuat, ia diferent, iala, cu factorul integrant indicat:

(a) (x + y2)dx + y(1 − x)dy = 0, � = �(x);

(b) 3x2ydx − (x3 + ln y)dy = 0, � = �(y).

5. A�at, i forma generala a solut, iei sistemului de ecuat, ii diferent, iale:

(a)

{y′1 = y1 − 5y2y′2 = 2y1 − y2

;

(b)

{y′1 = 4y1 − 3y2y′2 = 3y1 + 4y2

.

Observat, ie: Nr. 1 = (a), Nr. 2 = (b).1. Determinat, i forma canonica Jordan a matricei:

(a) A =⎛⎜⎜⎝

2 −3 44 −6 86 −7 8

⎞⎟⎟⎠

(b) A =⎛⎜⎜⎝

0 −1 0−1 −2 20 −1 0

⎞⎟⎟⎠.

69

2. Aducet, i la forma canonica:

(a) Γ ∶ 3x21 + 4x1x2 − 2x1 + 4x2 − 3 = 0;

(b) Γ ∶ 5x2 + 8xy + 5y2 − 18x − 18y + 9 = 0.

3. rezolvat, i ecuat, ia diferent, iala liniara:

(a) y′ = −2y + x2 + 2x ;

(b) y′ = 2yx + 3x2 .

4. Rezolvat, i ecuat, ia diferent, iala de tip Bernoulli:

(a) y′ = 2xy + x3y 12 ;

(b) y′ = −1x y +ln xx y2.

5. Sa se rezolve sistemele de ecuat, ii diferent, iale:

(a)

{y′1 = 2y1 + y2y′2 = −y1 + 4y2

(b)

{y′1 = 5y1 − y2y′2 = y1 + 3y2

.

70

INDEX

algoritmGram-Schmidt, 28

aplicat, ieliniara, 13

imagine, 13matricea aplicat, iei, 14nucleu, 13

ecuat, iiBernoulli, 49Clairaut, 52cu variabile separabile, 47exacte, 53

factor integrant, 53Lagrange, 55liniare, 48Riccati, 51

eliminare gaussiana, 2

matricede trecere, 19diagonalizare, 19forma Jordan, 41

polinomcaracteristic, 18

produs

mixt, 31scalar, 27vectorial, 30

spat, iibaza, 8euclidiene, 28

vectori coliniari, 30subspat, ii, 7

complement ortogonal, 28vectoriale, 5

suma de subspat, ii, 8

teoremaCayley-Hamilton, 19Grassmann, 10rang-defect, 14

valoare propriemultiplicitate algebrica, 19multiplicitate geometrica, 19spectru, 18

vectorcosinus, 27norma, 27propriu, 18

subspat, iu invariant, 19

71