17 Mat Financiera

8/18/2019 17 Mat Financiera

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Noviembre 2007 • 2007ko Azaroa 229

S I G M A

31SOBRE LA MATEMÁTICA FINANCIERA

M. Gilsanz (*) y Mikel Fernando Vadillo (**)

Resumen. La operaciones financieras: cálculo de intereses, saldos , vencimientos,... sonhabituales en nuestra vida, aunque casi siempre desde el lado de la víctima porque lasque realizar las operaciones son las entidades financieras que cobran y siempre obtienenbeneficios. Este artículo trata de otra disciplina: la Matemática Financiera que utiliza unaparato matemático más sofisticado para construir y controlar todo el complejo entra-mado financiero del mundo moderno.

1. INTRODUCCIÓN

Cuenta Aristóteles en su Política (1259a) como a Tales de Mileto se le reprochaba, por supobreza, lo inútil que era su amor a la sabiduría pues, previendo, gracias a sus conocimien -tos de Astronomía, que habría una buena cosecha de aceitunas cuando todavía era invierno,entregó fianzas, con el poco dinero que tenía, para arrendar todos los molinos de aceite deMileto y Quíos, alquilándolos por muy poco dinero ya que no tenía ningún competidor.Cuando llegó el momento oportuno, muchos los buscaban a la vez y apresuradamente, y éllos realquiló en las condiciones que quiso, y, habiendo reunido mucho dinero, demostró quees fácil para los filósofos enriquecerse, si quieren, pero no es eso por lo que se afanan.

Los ejemplo históricos que muestran el aprovechamiento de los conocimientos científicos ytécnicos para conseguir grandes beneficios son numerosos. podemos citar el industrial, cien -tífico e inventor prusiano Werner Siemens que reunió su fortuna principalmente en el campode la industrial de la electricidad y que, en la exposición de Berlín de 1879, hizo la primerademostración práctica del tren eléctrico, pasando por Bill Gates o quizá el último ejemploconocido del famoso buscador en internet Google, los fundados de esta compañía: Larry Pagey Sergey Brin, que siendo todavía estudiantes de la Universidad de Stanford diseñaron el algo-ritmo matemático PageRank que es la base del exitoso buscador. El lector interesado puedeencontrar una breve explicación de su funcionamiento en [6].

A pesar de su nombre la Matemática Financiera es una disciplina que no ha servido paraconstruir grandes fortunas personales, que se conozcan, su objetivo pretende ordenar y regularlos actuales y muy complejos mercados financieros. Se trata de una disciplina moderna, porejemplo la fórmula de Black-Scholes es de 1973, y fundamentalmente se ocupa de los merca -dos de derivados, que son productos cuyo precio depende de la cotización en ese momentode otro activo, el denominado activo subyacente. Los derivados más conocidos son los futurosy las opciones de las que [4], [5] y [9] son referencias clásicas.

La Matemática Financiera es una disciplina que escasamente aparece en los planes de estudiode las Facultades de Ciencias o Matemáticas, aunque ya existen algunos masters que se ocu-pan de ellas, consideramos que los nuevos planes de estudio es una buena oportunidad paraque aparezca al menos como asignatura optativa porque seguramente su incorporación en elcurriculum académico de los alumnos, abriría nuevos campos profesionales.

(*) Profesor de Matemáticas de la U.P.V.

(**) Licenciado en Matemáticas por la U.P.V.


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El artículo es como sigue: comenzaremos explicando el movimiento browniano y el geométricobrowniano que sirve como modelo aleatorio de evolución de los precios de los distintos pro -ductos: stocks, valores, índices,.... y haremos alguna simulación numérica utilizando el clásico

método de Monte Carlo. En el siguiente apartado nos ocupamos de los futuros y opciones parallegar a la famosa fórmula de Black-Scholes, esta parte del artículo es más técnica y necesita demayores conocimientos matemáticos por lo que lectores menos avezados pueden saltarla. En elúltimo apartado hacemos algunos comentarios que consideraciones interesantes.

Finalizamos esta introducción con un comentario sobre la bibliografía: no daremos referenciassobre las herramientas estadística elementales, son tantos los textos y tan parecidos que casicualquiera de ellos puede ayudar al lector con dificultades.

2. UN MODELO ESTOCÁSTICO PARA LA EVOLUCIÓN DE LOS PRECIOS

Todos hemos observado en algún momento un movimiento browniano, son las trayectorias departículas de polvo danzando en un rayo de luz solar, cada partícula gira de acá para allá, se eleva,se hunde, se vuelve a elevar..., el movimiento es totalmente aleatoria sin llegar jamás al reposo.

El movimiento browniano toma su nombre del botánico inglés Robert Brown que en 1825 los des-cribió como el movimiento de una partícula sumergida en un liquido o gas. Brown inicialmentecolocó bajo el microscopio células sexuales masculinas pertenecientes al polen de una planta yel movimiento que observo lo argumento diciendo que era el movimiento vital de los espermato-zoides. Después Brown observó el mismo movimiento con células recogidas en otras partes de laplanta y formuló una hipótesis nueva sobre el movimiento vital, se trata de la Urmolekül , la molé-cula básica de la vida que está contenida en toda materia viviente, una teoría que tuvo muchaimportancia para los biólogos de la época. Pero el problema grave se le planteó cuando descubrióeste movimiento perpetuo en las raspaduras de rocas sumergidas en el agua, ¿acaso la materiainanimada contiene también la Urmolekül vital ? Llegado a este punto, prudentemente Brown seabstuvo de realizar más hipótesis y dejo sin explicar la naturaleza del movimiento browniano.

Posteriormente el movimiento browniano apareció en el centro de la controversia entre losatomistas y los energicistas que dominó Física a finales del siglo XIX. Los dos grandes defenso-res de la teoría atomista: Clerk Maxwell y Ludwig Boltzmann desarrollaron modelos de gasesy de su comportamiento, en los que cada gas estaba compuesto por átomos o moléculas enconstante movimiento relacionado con la temperatura del gas. Sin embargo, destacados cien-tíficos de la época como Ernst Mach y Wilhelm Ostwald rechazan la hipótesis atomista basada

en átomos y movimientos invisibles. Hay historiadores que defienden que este rechazo fueuno los motivos de la depresión que acabo en el suicidio de Boltzmann en 1906.

Algunos años después de la controversia comentada, el joven Albert Einstein que conocía lapolémica pero ignoraba el movimiento browniano, explicó la termodinámica partiendo delmovimiento de las moléculas entre 1902-1903, y en 1905 ya en colaboración con físicosexperimentales pudo confirmar que las propiedades cualitativas del movimiento browniano ylas magnitudes de los caminos recorridos por las partículas correspondían con los resultadosde la teoría, lo que acabo con la resistencia a la teoría atomista.

La definición matemática de movimiento browniano la dió el matemático americano Norbert

Wiener en 1918 y es la siguiente:

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M. Gilsanz y F. Vadillo

SIGMA Nº 31 • SIGMA 31 zk.


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Sobre la Matemática Financiera

Definición 2.1. Un proceso de Wiener o movimiento browniano W t en un procesocontinuo con las propiedades

(a) W 0 = 0.(b) Para todo t ≥ 0, W t ~ (0,t ), es decir, W t es una variable normalmente distribuida de

media 0 y varianza t .(c) Todos los incrementos ∆W t = W t + ∆t – W t son independientes, es decir, para todo

0 ≤ t 1 < t 2 < t 3 < t 4 los desplazamientos W t 2 – W t 1 y W t 4 – W t 3 son independientes.(d) W t depende continuamente de t .

Resulta bastante sencillo simular numéricamente movimientos brownianos. El algoritmo es elsiguiente:

Valores iniciales: W 0 = 0, t 0 = 0, ∆t , para j = 1; 2; … t

j

= t j-1

+ ∆t ~ (0,1) W j = W j-1 + √∆t

donde es un número aleatorio con distribución normal de media cero y varianza uno. El algo-ritmo para generar este tipo de números está explicado en el capítulo 2 de la referencia [8] y enMATLAB está implementado en el comando randn que se puede consultar en el capítulo 20 dela referencia [3]. En la figura 1 hemos dibujado tres trayectorias del movimiento browniano.

En 1900 el matemático francés Bachelier en su tesis doctoral [1] utilizó el movimiento brow-niano como modelo para estudiar las variaciones en los precios de los stocks, si bien, el movi-miento de Wiener tiene dos importantes inconvenientes para esta aplicación:

1. Si los precios siguieran este modelo podrían tomar valores negativos.2. El movimiento browniano verifican que para 0 ≤ s < t el incremento de la variableW t – W s ~ (0, (t – s)) sin considerar si s y t son grandes o pequeños, sólo cuenta sudiferencia. Una hipótesis que parece poco razonable para los precios de los stocks ymaterias primas.

Para evitar estas dificultades se define el movimiento browniano geométrico (GBM: GeometricBrowniano Motion).

Figura 1. Tres trayectorias brownianas


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Definición 2.2. Un movimiento browniano geométrico S t de parámetros m y s es unproceso continuo tal para todo t y ∆t no negativos la variable aleatoria

∆St + ∆t – Stes independiente de los valores de la variable anteriores a t y además existen dos parámetrosm y s tales que

log (

∆St + ∆t

St ) ~ (m∆t , ∆t s

2)

El parámetro s es la volatilidad .

Ahora el logaritmo de la razón de los precios puede ser negativa pero no los precios de losstocks, y además es el logaritmo de la razón de los precios quien tiene la misma distribucióny no sus diferencias absolutas.

Veamos ahora como aparece los GBSs en los modelos estocásticos relacionados con la evolución

de los precios de los stocks. Sea ∆t una cantidad pequeña y positiva y supongamos que en cadapaso de tiempo el precio del stock puede subir un valor u > 1 con probabilidad p, esto significaque si valía S pasa a costar uS o puede descender un factor d < 1 con probabilidad 1 – p donde

u = es √∆t (2.1) d = e-s √∆t p = 1/2 (1 + m / s √∆t )

con m y s parámetros conocidos. En realidad tomamos estas expresiones para que los resul -tados sean más evidentes.

Si realizamos n pasos y definimos

Y i = {

1, cuando el precio sube en el paso i 0, cuando el precio baja en el paso i

Y = ∑ ni =1 Y i dará el número de veces que ha subido y, n – Y, las que ha bajado. Y es una varia-

ble aleatoria binomial de parámetros n y p (Y ~ B(n, p)) por lo que su esperanza y su varianzavalen

E [Y ] = npVar [Y ] = np(1 – p)

El precio del stock en el tiempo t = n∆t será

St = S0 uY · d n-Y = S0 d

n · (u / d )Y

por lo que

St

S0 = d

n ·( u

d )Y

y tomando logaritmos resulta que

(2.2) log ( St

S0)

= n log (d ) + Y log

( u

d ) = -t s

√∆t + 2s √∆t · Y

Para demostrar que los precios de los stocks siguen una movimiento GBS, calcularemos laesperanza y la varianza de la expresión (2.2). En primer lugar la esperanza es

(2.3) E [log

( St

S0

)]

=

-t s

√∆t + 2s √∆t · E [Y ]

=

-t s

√∆t + 2s √∆t np = mt


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y la varianza

(2.4) Var

[log

(

St

S0

)] = 4s 2∆t · Var [Y ] = 4s 2 tp (1 – p) ≈ s 2t

si p ≈ 1/2

En conclusión, cuando ∆t es muy pequeño la variable aleatoria log(St / S0), por el teoremacentral del límite, sigue una distribución normal de media mt y varianza s 2 t que es lo quecaracteriza al movimiento BGS.

Evidentemente la evolución del precio de cada stock dependerá de los valores de los paráme -tros m y s que deberemos ajustar, la volatilidad s caracteriza cada producto y más adelantedemostraremos que

(2.5) m = r – s 2 /2

donde r es el tipo de interés compuesto.

En las figuras 2, 3 y 4 hemos realizado una simulación numérica usando el método de MonteCarlo con S0 = 100 r = 0,06, ∆t = 0,1 y tres volatilidades diferentes s = 0,2; 0,4; 0,8 respec-tivamente. Si observamos la escala vertical de las tres gráficas veremos que, para volatilida-des mayores, aumentan las soluciones posibles. En la siguiente tabla hemos realizado 1.000ensayos por el método de Monte Carlo y calculado la media en T = 5, que será el precio másprobable del stock en cada caso.

s Media en T = 5 con 1000 ensayos Tiempo de ejecución en segundos

0,2 136,3596 0,400,4 138,7258 0,36

0,8 139,1764 0,40

Figura 2


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Figura 3

De estos experimentos resulta evidente que la volatilidad es una medida del riesgo. Las fluc-tuaciones en el precio dependen directamente de su valor por lo que es un parámetro quecaracteriza cada tipo de stock y conviene ajustarlo adecuadamente.

Una técnica clásica es la siguiente: supongamos que conocemos los precios del stock "n" días con-secutivos, el precio inicial es S0 y en los días sucesivos S1; …, Sn, entonces la variable aleatoria

X k = log ( Sk

Sk-1), k = 1,…, n

seguirá una distribución normal con varianza s2 ⁄252. Hemos tomado el año como unidad detiempo con 252 días laborables. Entonces su media es

X =

∑ nk =1 X n

n

Figura 4


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y su varianza

V 2

=

∑ nk =1 (X n – X )

2

n – 1

con lo que se tiene la estimación

(2.6) s ≈ √252 V

3. LOS FUTUROS Y LAS OPCIONES FINANCIERAS

Un contrato de futuros es un acuerdo para comprar o vender una cantidad normalizada de unactivo, llamado activo subyacente, en una fecha futura y a un precio acordado entre las partes.Para validar este compromiso se depositan unas garantías. Si el activo es financiero se trata enun contrato de futuros financieros, principalmente son futuros sobre índices bursátiles, dividas

o tipos de intereses, en el mercado de futuros se negocia a través de una cámara de compensa-ción que en el mercado español es el MEFF (Mercado Español de Futuros Financieros). Por con-tra, en los contratos a plazo, denominados forward se negocia privadamente entre las partes.

Una opción financiera da el derecho, pero no la obligación, de comprar o vender algúnactivo a un determinado precio, denominado strike, con una fecha futura de vencimiento.Con las opciones call se adquiere el derecho de compra y las put la opción es de venta. Lasopciones pueden ser europeas o americanas, el nombre no tiene ningún significado geográ-fica, las opciones americanas se pueden ejercitar en cualquier momento hasta su fecha devencimiento, mientras que las europeas sólo se puede ejercer en el mismo momento de suvencimiento.

La mayoría de las opciones negociadas en los mercados son americanas, pero las opcioneseuropeas son generalmente más fáciles de analizar y muchas de sus propiedades son tambiénválidas para sus análogas americanas.

Actualmente en los mercados se negocian opciones sobre:

• Acciones de empresas, en Estados Unidos se negocian opciones sobre las acciones demás de 500 empresas, en España sólo son 16.

• Índices de acciones.

• Divisas.

• Contratos de futuros

La cuestión que nos planteamos es cómo determinar el precio de las opciones, lo que sedenomina la prima de la opción. Supongamos que el precio actual (en euros) del activo sub -yacente es 100, y que después de un periodo de tiempo conocemos que su precio sube a 200o baja a 50 . Supongamos que además de comprar "y" opciones call a "c" euros cada a unstrike de 150 euros. También podemos adquirir x valores a su precio de mercado que es de100 euros. Suponemos que x e y pueden ser positivos, negativos o cero. Esto significa que sepueden comprar o vender opciones y valores, por ejemplo, si x es negativo hemos vendido - x valores y hemos ingresado -100 x euros, además nos comprometemos a devolver - x valores enel tiempo 1 al precio de mercado que será de 200 o 50 euros. La venta de valores que no setiene se denomina adoptar una posición en corto.

El precio de la operación es 100 x + cy . Si esta cantidad es positiva debemos solicitar un prés-

tamo, y si es negativa depositamos los -(100 x + cy ) euros en una cuenta.


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El valor de la nuestra cartera en el tiempo 1 es

{

200 x + 50y , si el valor ha subido a 200

50 x, si el valor ha bajado a 50

porque si el valor ha bajado no ejercemos la opción de compra. Si hacemos que 200 x + 50y = 50 x,es decir, y = -3 x nuestra posición es indiferente de la subida o bajada del valor, estamos en idénticasituación, el valor de la cartera es 50 x.

Esto quiere decir que si x es negativo, vendemos - x valores y compramos y = -3 x opciones. Encuanto a la ganancia o pérdida de dinero, debemos considerar que si (100 x + cy ) > 0 debemosdinero al banco, y si (100 x + cy ) < 0 disponemos de dinero en la cuenta, es decir

ganancia = 50 x – (100 x + cy ) (1 + r )

= 50 x – (100 x – 3cx) (1 + r )

= (1 + r ) x (3c – 100 + 50 (1 + r )-1)donde r es el interés simple. Es decir:

1. Si 3c = 100 + 50 (1 + r)-1 la ganancia es cero.

2. Si 3c ≠ 100 + 50 (1 + r)-1 podemos garantizar una ganancia positiva si 3c > 100 + 50 (1 + r)-1 haciendo x > 0 y, al revés, si 3c < 100 + 50 (1 + r)-1 tomando x < 0.

Cuando el precio de la opción evita estrategias de ganancia segura, se dice que se ha esta -blece un principio de no arbitraje y estos principios son los que establecerán los precios delas opciones, en nuestro ejemplo entonces el precio de la opción será

c =

100 + 50 (1 + r)-1

3Consideremos ahora una opción de compra sobre unos valores al precio K en un periodo detiempo t = n∆t con un interés simple r por cada periodo de tiempo ∆t . Como el precio de losvalores siguen un movimiento BGS, la esperanza de la ganancia en i-ésimo paso en el tiempot i – 1 es

E [ganancia] = (1 + r )-1 [ puSi – 1 + (1 – p)dSi – 1] – Si – 1donde Si indica el precio del valor en t i y u, d y p están definidos en la relaciones (2.1).

Esta esperanza vale cero cuando

(3.1) p =

1 + r – d

u – d

que será una condición necesaria para establecer el principio de no arbitraje.

Finalmente el valor de la opción en el tiempo t = 0 es

(1 + r)-n (St – K )+

donde f + = máx(f , 0), y su esperanza nos dará el precio final de la opción

(3.2) C = E [(1 + r)-n (St – K )+]

Los argumentos de tipo no arbitraje son muy importantes para calcular las primas de las opcio-nes financieras, también se obtienen cotas y relaciones entre los precios de distintos tipos de

opciones.


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4. LA FÓRMULA DE BLACK-SCHOLES

Consideremos una opción europea de compra (call) a un precio K en un periodo T . Suponemos

que el tipo de interés compuesto es r y que los precios del stock siguen una GBM de volatili -dad s , hallaremos el coste de la opción estableciendo un principio de no arbitraje.

Tomando un n grande para cada intervalo T / n, 2T / n,…, nT / n, el factor de subida teniendo encuenta (2.1) es

(4.1) u = es √T / n ≈ 1 + s √T / n +

s 2T

2n

y el de bajada

(4.2) d = e-s √T / n ≈ 1 – s √T / n +

s 2T

2n

Por otra parte, el interés simple en cada intervalo de tiempo es rT / n y usando (3.1) tenemos que

(4.3) p =1 + rT / n – d

u – d ≈

1

2 +

r √T / n

2s –

s √T / n

4

Teniendo en cuenta (3.2) el precio de la opción es

C = (1 + rT / n)-n E [(S0 ( u

d )dn – K )+]

= (1 + rT / n)-n E [(S0 e2s √T/nY · e-s √nT – K )+]

(4.4) = (1 + rT / n)

-n

E [(S0 eW T

– K )

+

]con la variable aleatoria

(4.5) W T = 2s √T / nY – s √nT ,

donde Y es la variable aleatoria binomial que ya definimos anteriormente.

Si calculamos la esperanza de esta nueva variable aleatoria tenemos

E [W T ] = 2s √T / nE [Y ] – s √nT

= 2s np√T / n– s √nT

= 2s √nT (p – 1/2)

≈ (r – s 2

/2) T por lo que el parámetro 1 del movimiento BGM es

m = r – s 2 /2

como ya comentamos en (2.5)

En cuanto a su varianza

Var [W T ] = (2s √T / n)2 Var [Y ]

= 4s 2 Tp (1 – p)

= s 2 T

porque cuando n es grande p ≈ 1/2


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Como todas las aproximaciones anteriores son exacta cuando n → ∞, el valor de la opciónque establece el principio de arbitraje es

C = e-rT E [(S0 eW T – K )

+]

donde W T ~ ((r – s 2 /2)T ), s 2 T )Usando fórmulas clásicas, el valor C se puede también expresar como la fórmula de Black-Scholer(4.6) C = S0 F ( ) – Ke

-rT F ( – s √T )

donde

=rT + s 2T /2 – log (K / S0)

s √T

y F es la función de distribución normal standard.

En el ejemplo del modelo simulado anteriormente, S0 = 100, r = 0,06, si el precio acordadoen T = 5 en K = 150 la fórmula (4.6) estima los precios de la opciones dependiendo de lavolatilidad en la tabla siguiente

s C

0,2 13,6241

0,4 31,1232

0,6 47,1120

0,8 60,9145

1,0 72,2350

En la figura 5 hemos representado estos valores y podemos apreciar el crecimiento del preciode las opciones con respecto a la volatilidad del valor subyacente. En este ejemplo el cre-cimiento es casi lineal porque los puntos están muy cerca de la recta de regresión mínimocuadrática y = 73,5066x + 0,8978 que también dibujamos.

Figura 5. Evolución del precio de las opciones


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5. ALGUNOS COMENTARIOS PARA TERMINAR

Acabaremos esta breve introducción a la Matemática Financiera con algunos comentarios que

consideramos de interés:1. La fórmula de Black-Scholes determina el precio de la opción cuando el modelo del valor

subyacente es un GBM. Sin embargo, algunos datos no son adaptables a GBM y se debenconsiderar otros modelos, por ejemplo, en el precio del del barril de crudo (capítulo 10de la referencia [7]).

2. Basta observar brevemente las trayectorias brownianas en la figura 1 para concluir que no sondiferenciables, es imposible trazar una tangente por casi todos sus puntos, son trayectorias defunciones que tanto preocuparon a los matemáticos de finales del siglo XIX, eran funcionestan perturbadoras que Charles Hermite en una carta a su colega Thomas J. Stieljes expresóque con miedo y horror me apartó de está plaga lamentable de funciones que carecen dederivada. Esta situación tiene una importante consecuencia técnica, las funciones son no dife-

renciables y por tanto no podemos utilizar el Análisis clásico, es imprescindible utilizar inte-

grales y ecuaciones diferenciales estocásticas de las que no hemos tratado en este artículo.3. Una disciplina aún más moderna es la Computación Financiera que se ocupa de los

métodos numéricos para aproximar las soluciones de los modelos estocásticos que, engeneral, carecen de soluciones exactas conocidas.

Las referencias [8] y [2] son dos buenas introducciones a esta novedosa disciplina.

Finalizaremos con quien comenzamos: Tales de Mileto, el primero de los famosos siete sabiosde la Grecia arcaica. Cuenta Platón en su diálogo Teeteto (174, A) que Tales por ir mirandolas estrellas, se cayó en un pozo, y una criada se burló de él por tratar de investigar los cie-los cuando no veía lo que tenía a sus pies. Esta anécdota, que parece compensar la narradapor Aristóteles, completa el personaje. Debió ser enorme la impresión en sus conciudadanos

cuando predijo el eclipse en el año 585 a.C. La hazaña de Tales permitió ver en el eclipseun fenómeno natural regular y no un milagro divino de oscuros presagios, los eclipses fueronmotivo de terror en todos los pueblos primitivos. Como escribió el profesor Carlos GarciaGual: "Los sabios como Tales inauguran la tradición científica de proponer explicaciones delo real por causas naturales y agentes materiales, mediante procesos sujetos a causas y normassurgidas de su misma conformación física" (Los Siete Sabios (y tres más)).

Sólo se nos ocurre añadir que la Ciencia sigue en lo mismo: buscando explicaciones.

REFERENCIAS

L. Bachelier, 1900: Theorie de la speculation, Annales de l’École Normale Superieure,

nº. 17, 21 86. D. J. Higham, 2000: An Introduction to Financial Option Valuation. SIAM.

D. J. Higham and N. J. Higham, 2000: MATLAB Guide. SIAM.

John Hull, 1996: Introducción a los mercados de futuros y opcions. Prentice Hall.

_____, 2000: Options, Futures and Others Derivatives, 4th edn. Prentice Hall.

Cleve B. Moler, 2004: Numerical Computing with MATLAB. SIAM.

S. R. Ross, 1999: An Introduction to Mathematicl Finance. Cambrige University Press.

R. Seydel, 2006: Tools for Computational Finance. Third Edition. Springer.

P. Wilmont, 2001: Introduction Quantitative Finance. John Wiley & Sons.


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Introductio in Ana

lysin In f initorum. Leon hard Eu

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