7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 1/74

t

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 2/74

-

L

PRIPREMI\I

ZADACI

ZA

MATEMAIIEKA

TAKMIEMM

zp, v(nNIKE

osNovl\m

Srole

(sa

re5erfima)

nnuSrvo

MATEMATICIn

I sR

SRBIJE

MATf,RIJALI

ZA MLADE NAETETT,TETIEARE, SV. 18

VOJISLAV

ANDRIC

I

BEOGRAD,

198?.

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 3/74

DRUSrvo

MArEMATreenq.

sR

SRBIJE

Urednik:

dr Madimir

Jankovid

,l

Recenzenti: dr

Arif

Zolit,

"

'{

riufgmir

Proti6

Slike:

Vojiqlqv

A4dri6

Izrajlo

Sazdanovid

TiraZ:

5.000

primeraka

Stampa:

Stamparija

>Bakar<

-

Bor

PREDGOVOR

Podetkon

pro5le

godine

Bepublidka

konisija

za

nla

de

natenatidare

iz osnovnih

SkolarDrustva

natenati.dara

Srbi-

je

izdala

je

Zbirku priprennib

zadataka

za natenatidka

takni

denja

u 1986,godini.Nanera

je

bila da se nladin

natenatiEari

na

i

njihovin

nastavnicj-na

olakia

priprena

za

taknidenjarali

i

ukaZe na neke

oblastiritleje

i netode.Zbirka

jeliako

bez re

Senjarveoma

dobro

prihva6ena

i dini

se

da

je

svoju misiju

re

al.izovala

u

potPunosti.

Ohrabreni

utiskon

koji

je

ostavila

navedena

Zbi

-

rkardlanovi

Republidke

komisije

opred.elili

su se d-a

ove

godi

ne

odu korak

dalje

i

pred

vana

je

ZBmKA

FRIPREMNIII

ZADATAKA

zA

IiATEMATTdKA

TAKMlCng,rl

U

r98?.

GODINI.

Zbirka

se sastoji

iz

tri dela od

kojih

svaki

ina svoje

specifi6nosti

i

poseban

znadaj"U

prvon

delu

Zbirka

pripremnih

zadataka

iz 1986.godi-

ne

kompletlrana

ie

reSeniina(nestinilno

u obliku

odgovora, a

najve6in delom

u

obliku detaljnog

raznatranja)tako

da

u ovon

trenutku

predstavlia

veoma

korj-stan

materijal.Drugi

deo

pre-

zentira

pripremre

zadatke

za natenatidka

takmi-denja

u

L9B7

.

godini 1

ps6

pro5logodiSnja

zbirka

bakode

nena

reSenja, dine

se

Ze1e1o

da

podstakne

stvaraladkorsanostalno

i orj-ginalncre

iavanje

problena

i

izbegne

reprodukcija

i

udenje reienja,Ko-

ncepcija

ovog

dela

je

neSto

druga6ija nego

proSle godine,jer

su za

svalri razred

Cate

seno

po

dve

tenerali

zato tre6e

po

-

5;1av1-je(raz11

zadaci)za

svaki

razred

sailrii Iitav niz

zadata

ka do kojin sno

CoEli

postupnim

prolaskon

kroz

skoro

sve ta-

kniierske

obfas'ri.liajzad

tre6i

deo

Zbirke iine

:aCaci(i

reie

sja)sa

proilogodiinjih

naternatidkih

takraidenja

u

SR

Srbiji

,

Ito

;e

oiiglcCno

veona dobra

orijentacrja

u

pripreni

udeni.ka

za

ovogoCiin;j

i ciklus

takrniienja.

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 4/74

Sve

u svemu

Zbirka

sadrZi

preko

]lO

re6enih

i

blizu

7OO

nere6enih

zad^ataka,Sto

ie

veona

pristoJan

nateriJal koJi

treba

znalaEki

iskoristiti.S

obziron

da

progtan

natenatidkih

taknideuja

podrazuneva

da se u6enicina stariiih

razreda

nogu

zadavati

sadrZaji

progranirani

za

nlade

razrederpreporuduje-

roo(narodito

udenicina

vIrvII i

VIII

razreda)da

Zbirku

proude

5to

je

nogu6e

konpletnije"fime

6e se

podsetiti

na

poJedina

-

dnerali

znadajne

partiJe

i

svoja

saznanJa i netode

usalE5itL

do

jednog

vi5eg

nivoa.

Nad.ano

se da

je

ovo

sano

podetak

uspostavlJanja

ko-

ntinuiteta

priprenaih

naterijala

i

da

6eoo

u

narednln

godina

na

iaati

jo5

sadriaaije

i kvaLitetnije

Zbirke

priprennih

za-

d.ataka.Svina

onina

koJi

su

za to

zaiateresovaBirobra6ano

ae

i

nolino

d.a

korisnin

sugestijanarprinedbaoa

i

oarodito

pred-

loziuardoprinrisu

da

unapreativanjen

izdava6ke

delataosti uEDe

rene

ka nladin

natenatidarinarunapredino

celokupan

rad sa

ta

Ientovanin

udenicina.

SADRZA,J

ZBIRI{A

RESENIfl

PRIPRXMNTR ZADATAIL{

zA

MATEMAIICKA

TAKMTCEIWI

1986.

IV

RAZRED

1.

Zad.aci

numeracije i

prebrojavanja

..

2.

Bnojanje i. razne5tanje figura

.

"....

3.

De6ifrovanje ra6unskih

operacija

...

4"

Kvadrat

i

pravougaonik

"

t.

l4agiEni

kvadrati

..

.

..

.

V

RAZRED

1.

Skupovi

tadaka

2.

Deljivost

brojeva

l.

logiEko

konbinatorni

zadaci

VI

RAZRED

1.

Prosti brojevi

......

2.

Dirihleov

princi.p

,..l rougao

i

Eetvorougao ..

VII

RAZRED

......

1.

Pitagorina teorena

....

2.

ltlno6ougao

i krug

].

IracionaLni

broJevi

"..

VIII

R.AZRED

1.

Pol-inoni

....

2.

Proporcionalnost

i slidnost

 .

JednaEine

...

[sdacj. RoFenja

Baograd.,

decenbra

1986.

Republi6ka

konieiJa za

nLade

natenatiEare

iz

oenovaib

Ekola

1

1

I

v

4

5

7

?

I

9

11

11

12

14

L7

17

18

2A

2L

2L

24

25

29

)q

ta

3L

z)

tt

,5

t,

,6

,8

zq

79

41

4'

48

48

50

54

qq

55

59

62

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 5/74

II

ZBIRKA

TEIIREMNIS ZADATAKA

ZA

IVIATEi{ATICKA

IAKI{IOENJA

198?.

rV RAZRED

............

... i

.......

l.

Kocka

i

kradar

......

........r

2.

Re5avanje

problengki-h

zadataka

.....

J.

Raznl

uad.aci ......

........t..

v

RAZ,RED

......

1.

RazLonci....

...........

2.

Si,netrija

...

...;..

.......

r,.

.

j.

Razn

zad.aci

...........orr..'.,..,..

'I

VI RAZ,RED

l-.

Racionalni broJevi .,..

. :.........'.

2.

GeonetriJski

dokaz

....

.......

l.

Razdi-

zadaci .i.;

j.

. i c c o

t...........

VII

RAZRED

1.

hoceuti ..

..

.... ...

....

2.

Osnove konbinatorike

..

1.

RaznL zad.aci

.......

. .

..

vrII

RAZRSD

......

.."......

1.

tr\rnkcije

2.

Nejednakosti

......

].

Razni

zadaoi

oiorrr.....i.....

IrI

ZBIRKA

RESENIH

ZADATAIO

SA

TAKMIOENJA

I4I,ADIH MAIEMAIICART

U

1986.

GODTNI.

L;

Bkolgko takmidenje

......

2.

Op6tinale

lrkFi6enJe

..

 .

MeduopEtineko

taknidenje

r........f,:

4.

RepubliEko

takrd6enje

.

7O

?e

?5

75

76

78

80

80

8l-

8t

85

85

87

88

91

9L

92

gt

69

69

99

102

106

110

Ll4

r20

L26

177'

DRUBTVO

MAIEMATIEARA

SR

SRBIJE

VOJISIJAV

ANDRIE

ZBIRTA

RESENIE

rNriNSI'f{IH

ZADATAKA

ZA

MAEEMATIETA

TAK}lIdgU.ru'

1986.

GODINE

BEOGRaD, 1987.

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 6/74

t-

r

I

l

l

rV

RAZRED

1.

ZANACI

NUMERACI.IE I

PREMOJAYANJA

'rd.

fofito

c-ifara

Jc,

upotrebl-Jcno

za numetacidu

trrrJige

koJa

ina

J45

straaica

?

Y

Z" nuncraciju

Jcdne

knJigc upotreeblJeno

Je

51] o1-

fara.

Kol-iko

ta

}orJiga

ina strauica

?

r

-{

Rrao.

su,iepisanl

broJevi

L274567891O1112I}1419...

'Koja

"dc"a

se

nalazL

na

1986.

nestu

?

4.

Koliko eednica

ec

upotrebi

sa nuneraciJu

lojige

od

888

strani.ca

?

5.

Koliko trocifncnih

broJeva

sc

zanrBava

aifrorn

4

?

U.

146tlko

dctvorocifrcnih

broJcva

podinJc

ctlrom

9

?

?.

Koliko

pctocifrcnih broJeva

Lna zbir

iifara

Jednak

broJu

I

?

8.

Tz

Beograd.a

lc

u

SaleJcvo

noZe

stt6i

autonobiLon

korl66enJen 5

razliditih

putnih

ptavacara

iz SaraJeva

sc

u

Split

stlie

posredstvom,

raina

puta.Na koliko

aadina

auto-

nobiLieta

mohc

lz

Beograda

eti6i

u

Split'ako

pri

ton

putuJe

preko

Saraieva

?

9.

Koliko

gc

dvoci.frcnih

broJcva

noZc

napisati

Eko

gu

nu obg olfrc

ncparnc

?

t,4

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 7/74

2

10.

U trocifrenon

broju

cifra stotina

je

parnarcifra

de

setica

deljiva

sa

4ra

cifra

jedinica

je

neparna.

Koliko

lma

takvih

trocifrenih

bro.jeva

?

1l-.

Date

su

cifre I)zrt14.

Koliko se troci.frenih

broJe-

va

moZe

napisati-

pomo6u

dartih

cifararako se

cifre

ponavljaju

j-

holiko

aico

se

cifre

ne mogu

ponavljati ?

Koliko detvoroci-

freni-h

brojeva

se

moZe

formirati

pod

istim

uslovima ?

12.

Koliko

se

detvorocifrenihra

koliko

petocifrenitr

bro

jeva

noZe

napisati

pomo6u

cj-fara

Orl

,6

?

13.

Koliko Sestocifrenih brojeva

pod,inje

ej.fron

7ra

za-

vr5ava

se cifrom

2

?

14.

Koliko

se

u

Jugoslaviji moZe najviSe registrovati

bicikli,ako

registracija

bicikla sadrZi dva slova(ista'i'li

ra

zlidita)

i

jed.an

detvorocifreni

prirodan

broJ

?

1 .

Koliko

razliditih

delilaca

ina

broJ I2O

?

2.

BROJANJE

I

RAZWJSTA}IJE

FIGURA

1.

Na

jednoj

nravoj

uodeno

je

pet

tadaka. Koliko d,uZi

je

od.recieno

sa

tih

pet

tadaka

?

2.

Na

pravoj

a dato

je

petra

na

pravoj

b tri

tadke.Ko-

liko

duZi

je

odredeno d.atim sistemom

tadaka ?

3.

Dato

je

5

tadaka

takvih da

ma koje tri

od. njih nisu

na istoJ

pravoj.

Koliko

pravih prolazi

kroz

date

tadke ?

'4.

Na

planeti

X-I-OO

postoji

ta6no 1OO svemirskih

stani

cara

sve

su

nedusobno

povezane

redovnim

raketnim

linijana..Ko

liko raketnih

linija

ina

na

toj

planeti

?

 .

Ko1iko

dijagonala

ima

osmougao

?

6.

Rasporedi

10

tadaka na

pet pravih

tako da

na svakoJ

pravoJ

budu

po

4

tadke.

Re6enje

obrazloZi

crteZon

.

',..,

"rdF

,

f,

[rougao

ina tri ugla.Koliko

uglova.ostaje

ako rna

-

kazama

odsebeno

jedan

ugao

?

8.

Koliko

duiira

koliko

trouglova

ina na

slededin

sli

kana:

1.

412x

+

5x7x9

9.

Kvadrat

stranLcc

4

cn

podeljen

Je

na

kvadratne

centimetre(kao

na slici)

Koliko

duZirkvadrata

i

pravougaonika sa

drii

dobijena

sli-ka

?

10,

Koliko

sc

kvadrata

moZq

uoditi

aa

Sabovskoj

tabll

?

'11.

U

sobi

koja

Lsra oblik

kvadrata

treba

rasporeditt

16

stolica'tako

da

se

pored

svakog zida

nade

po

5

etoLica.

ReEeaJc

obrazloZi

crteion.

7.

DA$IX'ROVANJX

RACUMKIII

OPERAOIJA

,

.

U

narednin

zad.acima

unesto

sinbola

x

treba

napisa-

ti

odgovaraJu6e

cifrertako

d.a

navedene

operacije

budu tadno

izvrEene:

x1xlO x5#

xx8x:x2-62

xro(

5.

67.*

=

xx

ls

,.

xZV.s*

2ox2

''

:oocl

;.*

2.

-LZx45

678x

:CX

x7

o(

x:(

h

6.

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 8/74

4

U

nared.nim

zadacina

unesto slova

treba

napisati

od.gova-

raju6e

cifre tako da svalcon

slovu

od6ovara

jedna

i sarno

jedna

cifral

jednakiru

slovina

odgovaraju

jedno.kera

nejednakim

slovi-

na

nejednake

eifre:

B.

ABB

+

.-_

.U.B

-BBA-

,

 .

Stranica

kvadrata

Jc

6 cm.Kol.iko

pravougaonika

irna

povrEinu

jednaku

povrEllri

kvadrata3KoJi od

tih

pnavougaonika

ina

najnanJira

koji najve6i obim

?

lO.

Kvadrat

i

pravougaonik

inaju

Jednake

povlEine.Stra-

nica

kvadrata

Jc

dva

puta

vc6a od Si.rinc

pravougaonika.Koli-

ki

su

obini

i

por,'xiine

kvadeata

i

pravougaonikarako

je

duZl-

na

pravougaonika 20

cn

?

11,

Ako

6e

stranica kvadrata

pove6a

za 1

cnronda

se

po-

vrdina

kvadrata

pove6a

za I? cn?.Koliki

je

obin kvadrata

?

12.

Ako

stranicq

datog

kvadrata

produZimo

jednu

za l-

cn

a drugu za

2

cmrnovodobijeai

pravougaonik

ima

povrginu

za

20

cn2

ve6u

od

povrEine

kvadrata.Koliki

je

obin

pravougaonika ?

lJ.

Ako

straaicu

Jednog

kvadrata

proiluZimo

za

]

enra dr

ugu

snanJimo

ua

2

cmrdobiJa se

pravougaonik

dija

je

povr;ina

jcdnaka povrEini

kvadrata,Ko

ina ve6i

obim

?

14.

Kada jcdnu

stranicu kvadrata uve6amo

7

putara

drugu

uve6ano

dva

puta

dobija

sc

pravougaonik

6ija

Je

porr5ina

jc-

d.naka

96

amz,

Za

koliko

je

obin

pravougaonika

ve6i od.

obina

'kvadrata

?

15.

Data

su dva

kvadrata.Razllka

njihovih stranica

izno

si-

11 cnra

razlika

njihovih

povrij.na

je

6ll- cnz.

Izradunati

zbir

obina

ova

dva kvadrata

.

D.

IvlAeICNf, KVADRATI

l. Sastavitl

nagidan

kvadlat diji

su

elenenti

broJevl:

 12rt14r5t6r7,8,9.Ko1iki

Jc

karakteristidan zbir

toga magi

-

6nog

lrvadnata

?

2.

Konstrui6i maeidnc

kvadrate

6iji au cLcmenti:

a.)

2

rv

14 r5r6r7rBr9r10

b)

r

17

15 r?

t9

r].'l

rrT rLS rLT

?,

A

+AB

Allc

BCts

g.

A

10.

+BA

_BBA

ABC

1)oP

 'oP

POP

POP

POTOP

4.

(VADiTAT

I

PRAVOUGAONIK

1.

Obin

jed"nog

pravougaonika je

46

cnra duZina nu

je

za

5

cn

ve6a

od 6irine.

Odrediti povr5inu

pravougaonika

.

2.

U pravougaonik

duZine 8

cn

i Sirine 5

cn

upisan

je

drugi

pravougaonikrtako

da

su

mu stranice

od datog

pravougao-

nika

udalJene

za

po

1

co.Izradunaj

obin

i

povriiau

upisanoga

pravougaonlka.

].

lravougaonik

dijc

su duZine

stranica

prirodni

broJe-

vi

ina

povrSj.nu

jednaku

poluobimu.Kolike

su njegove

stranice?

4,

Dimenzije

stranica

pravougaonika

su

dva

uzastopna

prirodna

brojara

njegova

povrEina

3e

+2

cm2.Koliki

je

obj.n

tog

pravougaonika3

5.

DuZina

stranice

kvadrata

je

18

cnra

stranica

pravou-

gaonika

jednake

povr6ine

jc

12 cm.Xo ima ve6i

obln

?

6.

Stranice

pravougaonika

su

9

cm

i 4

cmra kvadrat

ina

jednaku

povr5inu.Ko

ina

i

za

koliko

ve6i obim

?

7"

Obim

pxavougaonika

je

O

cnra stranice

nu

se

razliku

ju

za

9

cn.

Izradunati

obin i

povriinu

tog

pravougaonika

.

g.

Obim

pravougaonika

Jc

14

cnra

stranicc

su lou

priro

-

dni

broJevi.Koliko

pravougaonika

ina

ovu osobinu

I koJi

pravo

ugaonik

ima najve6u

povrgiau ?

{;-

c)

6Jrg.9rlor11r12rrrr14

d') 1Or2Ortor4or50160170180190

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 9/74

._-

6

].

Ako

svairom

el-enentu

nagidnog

kvadrata

dodano

isti

broj

dobijeni l;vadrat

je

ma6i6ni. Dokaii

jednim

primeron

.,

4. DokaZi-

primeroma

da ako

svaki elemenat

magidnog

kva-

darata

pomnoiino

i,stin brojemrdobijeni

kvadrat

je

magidni

.

5.

Zbi.r

i razli.ka

dva

magidna

kvadrata

je

takode

mapli

-

dan kvadrat.

DokaZi

ove

osobine'sa

po

jednim

prinerom

i

5. Koriste6i

osobine

naved.ene

u

prethod.nim

zad.acima

ko-

nstruisati

nekoliko

magidnih

kvadrata

.l

7.

Konstrui5i

magidan

kvadrat

-tako

d.a mu

je

karakteri

-

stidan

zbir

jednak:

a)

18 b)

70

c)

19

d) 21

.

8.

Poouniti

prazna

polja

u

sle

d.ecr.m

nagrcnr-m

Kva

d.batima .

9.

Dati

su brojevi z

L12rJ14r)rQr7

rB19,

1Or11r12rlt

rI4

tL5 rL6.

Dopuni

slede-

6i

magidni

kvadrat

(axa)

,

lO.

Dati

su

parni

broJevi:

2141618110,

.

12114116, L8,2O

122,2+

.26,28

JO J2

.

KonstruiSi

nagidan

kvadrat

EiJi

su

elenenti

dati brojevi. Koliki

jc

karakteristidan

zbir ?

11.

Koriste6i

osobinc nagidnih

kvadrata(zadaei

lr4r )sa-

mostalno

konstruiSi

nekoliko

nagidnih kvadrata

(axa)

.

12.

KonstruiSi

magidna

kvadratc

dimcnzije

(4x4)

ako

nji-

hov

karakteristidan

zbir ina

vrednost. a)

,+

b) 42

c)

?O

.

mmffi

&t

I2

8

t,

?

2

4

11

V

RAZRED

1.

SKUPOVT

IAOAKA

L. U ravni

je

d.ato 8 tadaka,od

kojih

su detiri

koli

-

nearne(pripadaju

pravoJ p)

i detiri

nekolinearne.Koliko

na-

jvi5e

duZi i

pravih

od.redpju date tadkc

?

2,

Dato

je

6 nckonplanarnih

tadaka.

Odreditl

koliko

je

ravni

odredeno datin

tadkana.

3.

Na

koliko

dclova

dele

ravan

/ paralelnih pravih

?

4. Za

pravc

kaZemo

da

su konkurentnc ako

prolazc

kroz

jed.nu

tadku.Na

koliko

delova

d.elc ravan

1986

konkurentnih

pravih ?

5,

Povlade6i

4

prave

podeli

krug

na

najve6i

mogu6i

broJ

delova

?

6.

Na

koliko

ogranidenih

i koliko

neogranidenih

obla-

sti

dele

ravan

5

pravih

ako

se

svake

dve

od

nJih

medusobno

presecaju

?

/.

Odrediti

Eta

eve noZe

biti

presek

dva

trougla koji

pripadaju

istoj

rarmJ..

ReEenJe

ilustruj

crteZon

.

8.

KoJe

sve figure

mogu

nagtati

kao

presek jednog

tro

ugla

i

kvadrata

u

istoj ravni. Re5enjc

prikaZi

erteZon

.

 .

Kakav

ekup tadaka

moZe

biti

pnesck

dva

kvadrata

ko

ji

leZe u istoj

ravni?

Sve

sludajeve

prikaZi

crt6Zom

.

x

Pogledati

i zadatke

za

N

razted

iz

druge

temc

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 10/74

t'

I

10. Da

li

je

unija

dva

konveksna

skupa

tadaka

takocie

ko

nveksan skup

tadaka

? Navedi

i nacrtaj

kontrapriner

.

11.

Sta

uoZe

biti

raz]-ika

dva

konveksna

sin_rpa

tadaka ?

12.

U

koliko

se najvi5e

tadaka

mosu

se6i razlidite pra_

ve,ako ih ina:

a) 2

b)

,

il 5

d) loo ?

1J.

Koliko

trouglovara

koliko

detvorouglova

odreduju

11

konplanarnihrali

nekolinearnih

tadaka?

ObrazloZi

re5enje

.

14.

U

unutraSnjoj

oblasti

trougla ABC

data

je

tadka

E

,

lbave

ASIBSI'CS

seku stranice

trougla

u tadkana DrE

1

F.Odre-

di

koliko

se(na

tako

dobijenoJ

fi.guri)noie

uoditi

nekonve

ksnih

mnogouglova.

Napi5i

sve

takve

nnogouglove

.

1.5,

Na

prevoj

p

date

su redom

trq[i{s

ArBrCrD.Odred.i.ti:

a)

(Agn3D)\(Ac\aB)

b)

(ac\BD)^(Ac\3c)n(Ac\A3).

2.

DAI,JMST

SR.OJEVL

L.

Ivica

je

kupio

nekoliko

olovki

po

Z?

dinara

i

neko-

Liko eveski

po

12

dinara. :rod.avac

mu

je

za to

naplatio

LZt4

dinara.

Ihko je

Ivica

od.nah

znao

da

je

prodavac

pogreEio

?

2.

neEifruj

nnoZenJe:

:rr:or

.45

=

t?xL5x

.

l.

Koliko

ina

prinodnih

broJcva

koji

nisu

deljivi

sa

i

sq

7

i

koji

su

nanJl

od

1OOO

?

4.

Dokazati

d.a

je

broJ

1@O...OOO8

(broj

ima t-986

nu-

la)

ael;iv

sa

16.

5.

Odrcditi

cifre

x i.

y

tako

d.a

broj

l986:ry

bude

deljiv

isa8isa9.

6,

Dokaii

da

broJ

diJe

su sve

cifre detvorke

nije

de

-

lJiv sa 6

.

Re6enje

obrazloZi

.

7.

Proizvod

tri

uzastopna

prirodna

broJa

je

Tj6.KoLt}il-

je

nJihov

zbilr

?

It

l{rr.

9

8.

Koliko

razliditih

delilaca

ukLjuduju6i

Jed.inicu

i

samog

eebc

inaJu

broJcvir

il

,O

b).120

c)

goll

?

9.

Foetodi

1i

p:rirod.an

broJ

diji

je

p:roizvod

cifa?a

Jed.aak

28

?

Odgovor

obnazloil

.

LO.

Dokazati

da

Je

zbir

p:rvl.h

IOOO

prirodni.h

brojeva

deljiv sa 14,

.

'

LL.

lroizvod

dva

d.vocifrena broJa zapisan

je

sano

po

-

no6u

detvorki. O

koJln

broJevima

Je

red

?

L2.

Odrediti

sve

trocifrene prirodne

brojeve

koJi

ina-

Ju

zbir cifara

jedaak

1O i

deljivi eu sa

1I

.

1].

Odrediti

naJnanji

prirodan

broj

koji

je

deJ.jiv

sa

fra

pri

deJ.jenju

sa

ZrJr4rJ

i 6

daje

ostatak

1

.

L4.

Odrediti

aajnanJi

prirodan

broJ

kojt

pri

d"eljenJu

ea

2 d.aJe

ostatak

lrpri

d.eljenju

ea

I

ostatak

2,...

pri

dc-

lJeaJu

ta

I

ostatak

7

.

LJ.

Tzralunal

kol-iki

Je

naJmanJl prirod.an

broj

koji

pooaoZcn

sa

578

daJc

kvadrat

nckog

prirodnog

broJa

.

3.

TOGIOKO KOI'IBINATQRNI

ZADACI

1.

Deda

iuiile

6e

L9B8

godine prosLaviti

svoj

2O.node

-

ndanra

njegov

eia

Pera

O.

Odrediti

datum

ded.a

liilovog

rode-

nJa .

Reienje

obrazloZi

.

2.

Ne

sgladiStu

sc nalaze

ekserl

upakovani

u

aand.uke

od.

16rL/

t

+O kC.

Kako

Je

nagacloner

ne

raetutaJu6i

niJedan

od

sandutra

kupcu

isporudio

tadno

lOO

kg

eksera

?

3.

Dva

putnika

koJl

se kre6u

brzinon

od

6

kn/h

putuJu

{edaD

dnugon

u susret

iz

Valjeva

prema

loznict(i

obrauto).

Igtonrcncao

a

rroga

prvog

od

nJih

krcne

i nuva

koJa

se

kre6c

brzinon

od. 25

ko/h

i

din

d.odc

do

drugog

putnika

vra6a

sc

pr-

von

i td.Koliko 6e

rastgJanje

pre6i,nuva

do trenutka

susrrtl

putaikarako

Je

restoJanJe

Valjevo-loznica

Jednako ?2

ts

?

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 11/74

10

 

I

I

.

4.

U

kutiji

se

nalazi

lO

crvenihr2O.

belihrlO

zelenih

i

40

plavih

kuglica.Koliko

oajmanje

kuglica

treba

izvu6i

d.a

bi

bi.U-

sigurni

da sno

izvukli

najnanje

kuglica

iste

boje

?

5.

detiri

madke

za 4

dana

ulove 4

mi5a.Za

koLiko

d.ana

6e

1OO roadaka

utoviti

lOO

niSeva

?

6.

Nedarrno

je

u

'rSportu"

objavljen

naslov:

Iledu

Eesto-

ricom

prvih

trojica

jUniorarPrvih

6est

nesta

zauzeli su:

1. Arsi6 2.

qq. i,,

l.

Vtadi6

.

Gogi6

5.

Dedi6

6.

Doki6.i{ave-

di

prezime

bax

jednog

juniora

.

/.

Gubari

su napali

Sunu

i svakim

d.anon

je

bilo

dva

pu

ta

viSe

zaraZenog

drve6a

nego

prethod.nog.Za

A

d."rr.

ceta Suna

je

bila

zara|ena.Za

koliko

d#a

Je

bilo zaraZeno

pola

Eurne

?

B.

Za

koliko

je

zbir

prvih

1986

parnih

brojeva

ve6i

od"

zbira

prvih

1986

neparnih

brojeva

?

9.

Kako

6ete

sano

pono6u

kanti

od.

4

i

9

litara

nasuti

sa

desme

u lonac tadno

6 litara

vode

?

10.

Pe3q6ica

Peri6

koju

rd,ine

otac(go kg)rnajka(65

ke)

,

sin(50

kg)

i

t<6erka(

+o kg)

treba

d.a

gc

troEnim

damcen

preba

ci

preko

reke.Kako

in

je

to

uspelorako

se zna d.a

je

naksima-

lna nosivost danca

lOO

kg ?

lL.

KoLiko

nam

najmanjc

tegova

treba

da bi

na

terazija-

ma

nogli

izneriti

sve

ceLobioijne teZine od

1 kg do

L7 kg.Ko-

lika

je

teZina

svakog od

tih tegova

?

ObrazloZi

reBenje

.

12. U

jednoj

kovnici

novca

bilo

je

4OO

zlatnih

Eipki.Od

svake Sipke

se

izlije

1O d.ukata

i

preostan

e

zkata

toliko

da

da se

od.

preostatka

od

2O ;ipEi

EoZe

izliti

jedna

nova

Bipka

Eoliko je

ulmpno d.ukata

izliveno iz datih

4OO

Sipki

?

11. fioliko

pradedova

fuoaJu

zajed.no

svi tvoji pradedovi?

14. Koliki

Je

proizvod

1986

sedroica

je

teEko.iz:radunati.

Zato

izradunal

i

obrazloZi

koJa

je

posLednja

cifra

proizvoda.

11

VT

RAZRED

1.

PROSTI

ROJAVI

.:

l.

Dokazati

da

jc

broJ

2

jedini

paran

prost

broJ.

2.

Svi

parni

prirodni

brojcvi

vc6i

od.

Q

su

sLoZenl

bro

jevi.Dokazati.

J.

Dokazatt

da

je

ekup

sloZenih

brojeva,beskonadan

.

4.

Svi

pnoeti

broJevi

vc6i

od.

2

su

neparai

brojevi.Do-

.kazati

.

5.

Dokazati

da

svi

nepanni

prirodni

broJevi

nisu pro

_

sti.

l

6. Bnojcvi

2

L

5

su

Jedini

par

uzastopnih

proetih

pri_

rodnih

broJcva.

Dokazati

7.

Odrediti

sve

proste

broJcvc prtakvc

da

Jc

i broJ

p+l

takode

prost

.

B.

Ako

je

p

prost

bnojronda

Je

p+?

eloZcn

broJ.DokaZi.

9.

Odredt

svc'proste

brojevc

prtakic

da

Js

broj p2

+

T

takdde

prost.

,

10.

Dokaii

da

ako

Jc

p

prost

broJrorida

su

broJcvt

pV+I?

i

p'-+1/

sloZeni

brojcvi

11.

Ako

je

p

prost

brojrtad.a j"

p1986*

p7987

sloicn.Do-

kazati

.

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 12/74

i

I

T2

12.

Ako

je

p prost

broj

ve6i

od

2,tad"a

je

n1980

+

l98Z

sloien

broj. Dokazati

.

1].

Odrediti

sve

proste

brojeve

prtakve

da

je

i

broj

7P+p,

tekode

prost

broj

.

14.

PostoJi

1i

prost

broj

prtakav

da su

Jp+l

i

5p+l

ta

koite

prosti

broJevi ?

15.

Ako su

p i

7p-1

prosti

brojevironda

Je

/p+1

sloZen

prirodan

broj. lokazati.

16.

Dokazati

da

postoji

lL uzastopnih

sloZenih

broJeva.

L7.

Dokazati

da

ostatak

pri

deljenju

prostog

broJa

sa

lO

nije

sloZen

brpj

.

18.

Skup prostih

brojeva

je

beskona6an

skup.

Dokazati.

19.

Svi

prosti

broJevi

ve6i

od dva imaju

obl"ik

4k-1

ili

4k+1

(k je

prinodan

broJ).

Dokazati.

20.

Dokazati

da

svi

prosti

brojcvi

vc6i

od

I

inaju

ob-

lik,5k-1 ili

6k+1

(f je

nrirod.an

broj).

DokaZi

da obrnuto

tv

rdenJe

ne

vaZi

.

21. Odrediti

prost

broj

prtakav

da

su

p+2

i

p+4

takoCte

prosti

brojevi

.

22. PostoJi

lirprost

broJ

prtakav

da

su i

p+J_O

i

p+14

takode

prosti

brojevi,

?

2]. Odrediti prost

broj

prako

se

zna

da

je

p2+14

prost

pri-rodan

broj

.

24.

Ako

su

p

i

Bpz-t

prosti

brojevironda

je

gp+l

sloZen

prirodan

brojr

Dokazati

.

2.

DIRTHI,EOV

ININCT?

1.

U

razredu

je

lO

udcnika.

Jasna

Je

na

kontrolnoj

ve

Zbi

napravila 1]

gre6kira

ostali

nanJe.

Dokazati

da

u tom

ra

zredu

postoJe

bar

]

udenika

sa istim b:eoJem

greEki

.

lib

\]li[

dnak

broJ

poznanika

.

L'

2.

Beograd

danas

ina

preko

L

52O

OOO

stanovnikarod

ko-

jih

svaki na

glavi

ina

ne

viBe od

rOO

OOO

vlasi

kose.Dokaza-

ti

da

u

Beog?adu

bar

6 ljudi

ina isti broj

vlasi kose

.

l.

lnedpoetavlJa

se da na tlu

Zenlje

danas

Zivi

ne3to

viSe

od

milijardi

ljudi

od

kof,ih

je

ne vi6e

od Lfi

starije

od 100

godina.

Dokazati

da

postoje

bar dva

doveka

koji

su

ro

deni

istog

sekundaristoga

daearistoga

danari_ste godine

.

4.

I{a prvenstvu

Skole u

rukonetu

udestvuje

I eklparpri

denu

svaka

ekipa

sa

svakom

igra

po

jednu

utaknicu.Dokaii

da

u

svakom

trenutku taknidenJa

postoje

bar

dve ekipe

sa

jedna-

kin

brojem do tada

odigranih

utakmica .

l.

U

kutiji

se nalazi

LO c:evenihr2O

plavihrlo

zeLenih

i

4O Zuti.h kugLica.Ku6lice

izvladimo u mraku.Koliko

kuglica

najmanje

noramo

izvu6i. da bi

sno

bili sigurni

da

Je

medu njl.

ma:

a)

bar

4

kugLe

iste boje b)

po

jedna

kuglica

svake bo-

je

c)

ne

nanJe

od

6

plavih

icuglica

?

6.

Dokazati

da

sc ncitu L2

prirodnih

brojeva

mogu

prona

6i

dva

dija je razlika deljiva

sa 11

.

7.

Dato

jc

1Q86

proizvoUn5.h

prirodnih

brbjeva.Dokaza-

ti se izmedu

njih mogu

izabrati

dva

diJa

je

razlika d.el-jiva

ea

1985

.

8.

U

kvadrat

stranice

5

cm na

p:roizvoljan

nadin

razme-

Stene su

2

tadke.

Dokazati

da

postoji

kvadlat

povrEine

1cn2

unutar

koga

se nalaze bar

tri date tadke

.

9.

Str,antce

i dijagonale

konveksnog

Sestougla

oboJcne

su

Jednon

od dve

boje:

plavom

ili

crvenom.

Dokazati

d-a

se

no

Ze

uoditi bar

jedan

trougao diJe

su stranice

iste

bojc

.

1O.

Dato

je

7

duZi

od kojih

je svaka

ve6a

od I cm i na-

nja

od

10

crn,

Dokazati

da rnedu njina

postoje

tri

duZi

od

Fp-.

jih

se

noZc

sastaviti

trougao

.

11,..Jcdnon

takmidenJu

priEustvuje

S5

udenika.Dokait

der,

nedu

ajin.a

postoje

bar

dvojica

koji

nedu

prlsutnLna

inqg,u-, l

,

iif,ir

*Tlltr,^-

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 13/74

14

\A

,.

TBOUGAO

I CAtvoB,ouGAO

.

.

,1.

8p:ljaEnji

ugao

kod

rirha

C

jed.nakokrakog

trougla

je_

daak,

ie

loSo.rzradunati.

ugao

iznedu

vigine

i

simetrale

ugra

koje

poJ.aze

j.z

tenena,A

.

2.,U

g1.eu*lu

AIJCrugao kod.

temena

C

;e

4Oo.Sj.uretrale

unutrgSnjeg

i

spoljaEnJeg

ugla

kod

tenena

C

u

preseku

sa

pra-

von

AB

od.reduju

jedna.kokraki

trougao

COE.

Oareaiti

ugfove

t"o

ugJ.a

AtsC

.

].

Dat

je

trou$ao

ABCrdiJi

Je

ortocentar

g.

Odrediti

ko

liki

je

ugao

ACBrako

je

AB

=

CH

.

4.

U

;ednakokrakorn

trouglu

ugao

pri

rrrhu

F=

lOgo.Doka-

zati da

$e

simetrala

,ugla

4

dva

puta

ve6a

od visine

koja

pola

zi

iz temena

C

.

5;

Dati

ugao

od

4o

pod.eli.ti

na

tri

Jednaka

dela

.

6.

U

trouglu

ABCrdui

BD

je

vieinara BM

je

sinetrala

ug_

la.Uf,3eqgl.r.

BiqC

d"uZ

UK

Je

visina.Ugae

I, BD

Je

2Oor"

g

Blf=5O6.

odrediti

uglove

trougla

ABC

.

7.

U

trougLu

A3C

ugao

o{=Z5o.Odrediti

oetale

ugloverako

J6rpozndto

d"a

prava,AD

deli

trougao

na

dva

Jed.n*okraka

tro

-

ugla

.

8.

TeZiSna

duZ

i

visina

iz

tenena

A

u trouglu

ABC

dele

ugao

o(

na

tri

jednaka

dela.Koliki

su ugl.ovi

trougla AgC

?

9.

U

piavougfon

trouglu

ABCrtadka

D

Je

sredi5te

hipote_

ag2e

AB.

Prava

p

koJa

prolazi

kroz

D

i

nornaLna

Je

na

CDreede

duiu katetu

Ac

u

tadkL

Era

pr.od.uzetak

kra6e

katete

BC

u

tadkt

1i.A1o''

Je

i.i

sred.iSte

iduZi

SF

d.okazati

d.a

Je

OMJ.AB

.

10.

Ako

je

u trouglu

ABC

razlika

uglova

d

-

6

=

gOorta_

da su

odsedol

simetnala

unutraBnjeg

i

spolja5nJeg,ugLa

kod.

te

n6na

Crod

tenena

C

do

preeeka

sinetralarll

i

N

sa

pravon

AB.

podudarni

.

Dokazati

.

T5

Ll,

Dat

5e

jednakostraaidnl

trougao

A3C.,Na

pravcina

AB,

BC

i

CA

iza

8rC

i

A

date

su

ta[ke

I,l;{{rP

tako

d.a:Je"Bl&eN=AP

.

Dokazati

da

Je

i trougao

MN?.takode

jednakostraniEarir;.--

12,

Neka

su

ArBrCrD

kolinearne

tadke

takve

d.a

je

AC=CD,

a

CD=DB

i neka su

E

i

E

ta6ke

sa

iete'strane

prave

ABrtakve

da

su trouglovi

ADI

i

BDE

Jed.nakostrani6ni.Dokazati

dd

Je

tro

ugao

CEF

takode

jednakostranidni

.

1}.

Date

su

red.oro

tadke

ArB

i

C

iste

pr*o"

p"i''sa

iste

strane date

prave

date

gu

tadke

D

i

E

takve

d.a

su

trouglovi:

ABD

i

BCE

jednakostranidni.

Ako

je

M

srediSte

duZi

AE

i

N

ere

d"iEte

duZi

CDrd.okazatl

da

je

trougao

BMN

Jednakostranidan

.

14.

U paraleJ.ogranu ABCD

stranica

AB

dva

puta

Jg

qe6a

od

stranice

3C.Ako

Je

M

srediSte

stranice

AB

dokazati

da

su

tada

duIi

CM

i

DM

norrnalne .

15.

U paraLelogrsmu ABCD

tadka

M

je

sred.i5te

duZi

AB,

a

tadka

N

erediEte

duZi

CD. Dokazati

da

prave

CM

i

AN

diJago-

nalu

BD

dele

na tri

jed.naka

dela

.

L6,

Ako

su

dijagonale detvorougla

jednake

nedu

sobom

i

,

polove

seronda

je

ta detvorougao

pravougaonik.

DokaZi

.

L?.

Dokazati

da

je

svaki

paralelograrn

upisaa

u

krugu

pravougaonib

.

18.

U pravougaoniku ABCD

norroala

iz

tenena

n

n"

atSago-

nalu

AC

deli diJagonaLu A.C

u odnosu

}:l.Odrediti

ugao

{zqedu

d.ijagonala

tog

pravougaonika.

19.

U

detvorougao

je

upisan

krugra

dijagouale

detvorou-

gla se

seku u

centru kruga.

Dokazati

d.a

j€

dati detvorougao

ronb.

20.

feroena

osnovice

jed4akokrakog

tnougla

i

preeect

si-

netrala

ugJ.ova

na

osnovioi

s+

kracina

predstavlJaJu

tenena

Je

dnakokrakog

trapezarkoji

ima

tri

podudarne

straDice.:DokaZi

.

21.

Dokezati

da

eu sredi3ta etnanlca

i

podnoiJe

bilO

,Lo

je

visiae

u

trouglurtemena

Jedaakokrakog

trapeza

.

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 14/74

ti

16

:

22. Konstruisati

trougao

AB0

ako

su

d.ati

elementi:

a) stranice

b=5

cnr

c=4cn

i

vieina

h*

=3cmr

b) stranioe

b=4

cn,

c=Gcn

i teZiEna

iuE

t"=5s6,

c) stranica

a=4

cr

d)

s*anica

a=5

J

i

;3il::

#i

l;=ill"*

l"il:;n:

e)

straaica

a=5

cnrteii5na

dui

t"=4ln

i visina"h

s=3cm,

f) etraai.ca

a=5

cnrugao

6=6O0

L teZi5na

duZ

tc=[r5cn'

8)

stranica

a=5

cmrugao

/l=

41o

i

visina

hb=+.i

.

23.

Konstruisati

trougao

ABC

ako

su

poznati

slede6i

elenenti:

a) stranice

b=5

cnrc=4

cn

i

teZi$na

d.ui

t"=

cn

,

b)

straai,ca

c=5

cnrugao

d=

60o

i

teZi6aa*duZ

t"=Jr

gn,

c)

teii6ne

duZi

t.=3

cmrt.=4

crn.i

t"=5

cn.

24.

Konstruieati

trougao

ABCrako

su d.ata

temena

A

i

B

i ortocentar

H

.

25. Konstruisati

trougao

ABCrako

Je

d,ata

tadka

A

i

Bra-

ve

p

i

q

na kojina

leZe

visine

bb i

hc.

/

26.

Data

je

prapa

p

i

tadke

M

i

N. Konstruisati

trougao

ABC

tako

da

temena

a

i B budu

na

pravoj

pra

tadke

l,r

i

N

pred.-

stavlJaJu

podnoZja

visina

ha

i

hb,

27. Konsttisati

pnavougli

trougao

ABCrako

su

dati

sr.e

-

de6i

elernenti:

a) kateta

a=4

cn

i teZi6na

duZ

tO=

96,

b)

lrateta

a=4

cno

i

teZiHna

dui

ti=1

cqr'

c)

ugao

o(=3go

i

zbir

keteta

a+b

=

Z

cn.

28. Iionstruisati

jednakostranidni

t:rougao

ABC

ako

je

po

znat

zbir

strani.ce

i

visine

a+b

=

Zr5

cm.

29.

Konstruisati

trapez

ako

su

date stranices

g=/

cr '

b=,

cnra

kraci

su

c=4

cm

i

d=F

cn

.

]o'

Konstruisati

rrvad.rat

ABCDralro

je

data

razlika

diJa-

gonale

i stranice:

d-a

=

1r2

crn.

L7

TII

RAZRED

1.

PITAGORINA

TEOREMA

L.

Odrediti

povrdinu

trougLa

dije

eu

etranicei

a=15 en

b=14 cn

i

c=15

cn.

2,

Jedna

kateta

pravouglog

trogla

Je

a

=

I

cnra

hipo

-

tenuza

je

za

1

cn

ve6a

od.

druge

katete.Odrediti

obin

i

povr-

Einu

kruga

opisanog oko

tog

trougla .

,O

lzradunati

obin i

povrEinu

trouglarako

je

stranica

c=6

cn]a

uglovi

o(=5Oo

i

ft-?5o.

4.

Katete

pravouglog

trougla

su

JOcn

i

4Ocm.Ta6ka

M na

lazi

se

u

unutra5nJoj

oblasti

trougla

i od

kateta

Je

udalie-

na

po

5cn.

Izradunati udaljenoet

tadke M od.

hipotenuze

.

6.)U

pr"vouglon

trouglu(sa

pravin

ugloo kod

tenena

O)

duZine

teii3uib

duii su

t.rt6rt".

Dokazatl

iednakostl

tf,+tf,=rr3.

6.

Izradunati

obim

i

povr5inu

pravougl.og

trougla

diJa

hipotenuza

Je

20cnra

Jedan

oEtar

ugao

Jednak

detvrtiai

pra

-

vog

ugla

.

/.

leiiSna

duZ

t.=1Ogn

zaklapa

sa

kateton

A0,ugao

od'

foo.od.rediti

kolikt

deo

kruga opisanog

oko

pravouglog

tlou-

gla(u

procentina)zauziua

pravougli

trougao

.

i

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 15/74

-

18

B.

Oko

jednakokrakog

trougla

dija

Je

osnovica

49

cn,

a

hak

40

cn opisan

Je

krug.odred.iti

odnos

obir'a

i

povriinerkr

uga

i

trougla

.

g,

OluJa

prelomi

Etablo

stablo

visine

16n

i

pri

tone

.

rrrh drveta

dodirne

zenlJu

Bo

daleko

od.

stabla.Na

kojoj

visi-

ni

se

prelonilo

stabLo

?

ro,

N636gr1e

konstruisane

iz

temena B

i

D

pravougaonika

na

dijagonqlq

A0rd.ele d-iJagonaru

ac

na

tri

jednaka

ir.ela.

Ako

je

duZina

Jedne

stranice

pravougaonika

10y'5

kolika

Je

duZi-

ua druge

stranice pravougaonika

?

,

11.

ako

su 1caci

trapeza

nedusobno

normalnird.orrazati

da

r je

zbir

kvadrata

osnovica

jednak

zbiru

kvad.eata

d.ijagonala

.

i

12.

Vrt

ina

oblik

pravougaonika

sa

temenima ArBrCrD.

U

j

't"tu

Je

desna

koJa

Je

od

tenena

A

udaljena

14 mred.

tenena B

udaljena

4

n

i od.

tenena

C

udaljena

12

n.Koliko

je

desna

ud.a

Uena

od tenena

D

?

ll.

Dokazsti

da

Je

zbir

kvadrata

dijagoneJ.a paralerogra

ma

Jednak

dvostrukon

zbiru

kvadTata

osnovi.ca

paralel.ograma

.

14.

U

;ednakokrakorn

trapezu

srednja

liniJa

je

sra

dija_

gonala

je

d.va

puta

duZa

od.

srednje

rini;e.

od.rediti

povr5inu

tog trapeza

u

funkciji

od e

1 .

Osnovice

trapeza

su

a

=

25

cs,

i

b

=

f5

cnra

leak

c

je

8

cn-

od.red.iti

kxak

d.

i

povr5inu

tog

trapezarako

je

pozna

to

da

je

zbir

uglova

na

ve6oj

osnovici prav

ugao

.

-

2.

I'INOGOUGAO

I

IGUG

1.

SpolJaEnJi

ugao

pravil4og

rnnogougla

je

puta

,,nanJi

od

unutrainjeg.Koliko

dijagouaLa

ina

taj

mnogougao

?

2. Zbtn

unutrainjih

uglova

nrnogougla

je

61200.Odrediti

kollko

tal

nnogougao

ima

atranicara

koliko

dijagonala

.

1g

'

].

UnutraHnji

ugao

praviJ.nog

rnnogougla

ve6i

je

od

odgo-

varaju6eg

spolJaEnJeg

ugla

za tolikor.za

koliko

ie

've6i

i od

eopstvene

petiue.

Odrediti

koliko

pravih

prolazi

kroz

tenena

tog

Pgavil,'og

unogougla

.

4.

Pravilni

nrrogougao

ima

L89

dijagonala.KoLiki

je

zbir

unutra6nJih

uglova

tog

nnogougla

?

5.

Zbi.:T

broJa

diJagonala

i

broja

stranica

pravilnog

nno

gougla

;e

I\V.

KoLiki

ie

centra3.ni

ugao

tog

mnogougla

?

6.

Izradrihati

obim i

porrrlinu

pravilnog

oonougla

ako

Je

poluprednik buga opisanog

oko

osmougla

R=lO

cm .

f.

Odrediti

odnos

obina

i

povrEiae

praviLnog

d'vanaest-o-

ugl-a

.

kruga

koji

Je

oko

nJega.

opisanrako

Je

stranica dvanae-

etougJ.a

a

=

50

cn

.

8.

Sestougao

diJe

su sve

stranice

jednake

i

inaju

duZi-

nu

arina

tri

nesusedna

unutra5nja

ugLa

prava.Iznadunati

povr-

51nu

tog EestougLa

u

funkciji

od

a

.

9.

Dat

Je

pravilni

Eestougao

diJa

ie

stranica

a.Nad

str

anicana"lestougla

konetruisani

su

kvadratira

zatin su slobo

-

"

dna

teneaa

kvgdtata

spoiena

tako

d.a se

dobije

dvanaestougao

.

Dokazati

da

je

d.obijeni

dvanaestougao

pravilanra

zatin i.zra

-

dunati

obin

i

povr6inu

novodobijenog

dvanaestougla

.

lid.

U

pravouglon

trouglu katete

su

a=6

cn i

b=8

o&rod"re-

d.iti

odnos obina i

povr6ina

kruga upisanog

i

opisanog

oko

tro

ugla.

It.

Oko

Jednakokrakog

trapeza

dije su osnovice

a=L6

cn

i

b=12

cnra

visina

jednaka

ered.njoj

J.inijiropisan

je

bug.Za

ko

Iiko

Je

povrEina

}cuga

ve6a od

porrr5ind

trapeza

?

12.

U lcug

poluprednika

R=lO

on

upiean

je

Jednat{okraki

trougao

diji.

Je

ugao

pri

vrhu(kod

te 0ena

A)dednak

4So,Oaredi-

ti

powSinu

kruinog

odseEka

odredenog

osnovicon

tsc

i

lukon

ko

ji

odgovara'

stranici

BC'

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 16/74

t20

Lr.

V

krug

Je

upisan

Jednakostraaidal.

trouggo

ABC.Neka

Ja

t

proizvolJna

ta6ka

luka BC(koJen

ae

pripada

tadka

A).Do-

kazati

da

je

BM + CM

-

AM

.

14.

U

krug

je

upisan

detvorougao

.ABCD.Ugao

C.A,D

Je

/Oo,

a ugao

ABD

je

4Oo.

Dokazatl

d.a

Je

AC

- CD .

15.

Na

potulrugu

opisanon nad

d.uii AB uzete

su

p

oizvo

lJne

tadke

O

i

D"

fetive

AD

i

rc

seku se

u

tadki

Era

tetive

AC

i

m

u

tadki

F.Dokazati

d.a

je

duZ

EF

aornalaa

na

AB

.

16.

Konstruisati

trougao ABC ako

Je

a*BCo5

cnrvisina

h"

jednaka

3

cn

i

ugao BAO

=

d

=

59o.

,.

IRACIONAIfiI

SRO,tgyI

1.

Dokazati

<ta

Je

y'E

iracionalan broJ

.

2.

Da

li

a.,17

raeionalan

i1i

iracionalau

broJ ? Do-

kazati .

).

Dokati

da su

broJevt

{V

+

t f 6

-

I

iraoionatni

.

4.

KoJi

oct

broJeva

Cl| l2

,

(17

)t

,

(6

)4

,

(6

)5

su

iracionaLni

?

l.

Dokazati

da

je

skup racibnalDih

broJeva

zatvoren

u

odnosu

na

operacije +r-r.r:

.

6.

Dati

su

racionalan

broJ

5

i iracionalaa

broJ

€

.

DoFazati

d.a su:

y{e

,5-'lV

,{V

-g,a(V

,jlV ,lT

,

5

iracio-

nalni brojevi

.

7.

Da

Ii

je

skup

iracioualnih

broJeva

zatvoreD

u

odno

su na operaciJe

+ r -, ., :

?

Nsy6{i

prinere

i

kontrapri

-

m€f€

r

8.

Dokazati

d.a

Je

(.l-/,

)(r+6

)

nacioqalan

b:roJ

.

9.

Da

ti

Je

broj

fr

-'17

racionalan

?

DokaZi

.

lo.

Dokazati

da

Je

broJ

(9

*

ilr(il5

-

2) iracioaatan.

I

2L

VIII

BAZBED

1.

POLINOMI

1.

Dokazati

da

je

za

svaku

vrednoet

prirodnog

broja

p'+ltn

derJivo

sa

6

.

2.

Ako

Je

n

prirodan

broJ

ve6i

od

lrond.a

Je

n\+

uvek

elolea

broJ,

Dokazatl

.

t.

Neka

Je

p prost

broJ

ve6i

od

2.

Dokazati

d.a

se

broj

p

uvek

moZe

prikazatl, kao razlika

kvadrata dva

uzastopaa

pri

rodna

broJa .

4.

Ako

su

x I

y

proizvolJnl

celi

broJevirdokali

da

Je

Lzraz

*2y2

*

2x2

*

tv?

+

6

uvek sloZen

prirod'an

broj

.

 .

Dokazati

da

Je

za svaku

rnednost

prirodnog

broJa n

Lzraz

o5'-

a"tJtv

sa

O

'

6.

Dokazati

da ne

poetoii

polinon

drugog

stepeaa sa

ce

lobroJnin

koefLcijentina za

hodi

ie

P(7)=1985

i P(tl)=1995

.

7.

Dat

Je

polinon

P(x)*2x7+V*2**

.

Dokazati

da

Je

na-

jve6i

zajed.niEki

deliLac

za

P(1)rP(2)rP(})r...

broJ

6.

8.

Za

koje

vrednogtl.

n iz

skupa

prirodnih

broJeva

Je

polinon

s1'+i6a

delJtv

ea

16

?

9.

Dokazati

d.a

Je

(x-1)(f-11*n-2+...+x+1)

o

ao-l

,,n,'

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 17/74

i

,22

LO.

Izraz

8n+2Ln-1

deljiv

Je

sa

/

za

gvako

n

ia

skupa

prirodnih

broJeva

.

.

11.

Dokazati

da

se vred.nost

izraza

Zloo-t zan:Bava

sa

dve

nuLe .

12.

Pe|116n

P(x)

=

ax2+brrc

ima

celobroJnu

vrednost

za

svako

celobrojno

x.Dokazati

da

je

4a+2b+c

takode

ceo

broj.

11,

Data je

funkciJa

f(x)

=

*t*1*2-4.

Od.rediti

vre

-

dnost

funkcije

za

x=99998

.

14.

ReEiti

po

x

slede6e

jednadine:

")

*2-4=*4

=

o

;l

c'j',i"".,

=

o

c) xl-4x

=

o

e)

(x*zi2-g-=

o-

")

*2-6**8

=

o

tj

*2-t**u

=

o

s)

x'-t*x2+iJx

=

o

;i

"u.g"=-r.L

^

7r.

Odrediti

broJeve

xrytrz...

tako

da

je:

a)

x2*(y-t)2

-

o

'";j

;r.;e;;:-u:"'

c)

xt*yt+Gx-ry+10

=

o

d) x2*y2*2,2=

Zx+4y+62_:.4

e)

4x'*qy'+ 6zz+r=4x+6y+gz

f)

x4*y4

=

Z*2*gvz-tZ

16. Odrediti

celobroJpe

vrednosti

brojeva

xryrz

tako

da

su

zadovolJene

slede€e

Jed.nakosti:

a)

zx+xy

=

Z

d

xy+}y-5x-LJ

.

j

")

*2

= f+Zy+tZ

g)

*2*y2

=

1

a)

x2a2

-

71

d) :qf-fx+2y

=

g

f

)

x2+5:ry+

6y2

=

t+

h)

xt+yz-2x-4y+lg

=

g

L?.

Dokazati

6a

jednadina

*2a2

=

1986 nena

celobro

_

Jaih

redeaJa

.

18.

Odrediti

prost

broj

p

i

prirod.an

broj

n tako

da

vaZe

jednakosti:

a)

5p

+

L.-

n2

,

")

r2-tr-

=

p-a

b)rp+L=n7

a)n4+4=F

1 .,Jedna

kateta pravougJ.og

trougla

Je

a*12

cm.od.re

_

diti

sve,pravougLe

trouglove

koji

imaJu

i

d.rugu

katetu

i

bi_

potenu

iz

skupa

celih

broJeva

.

2'

20.

Re5iti

sistem

jed.nadina:

x2'2y+7=o,

y2-2r+1=O

.

21.

Odrediti prirod.ne

brojeve

t

i

y

za koJe

Je

ispunJe

lL

tL

na

jednakost

x--y'=I?5

.

22.

Dokazati

da

jednadina

*2*4y2

=

1986

nena

re3eaja

u

skupu

ceLih

broJeva

2j,

Dokazati

d.a kvadrat evakog ceLog

broja

pri

delje

-

nJu

sa

I

daje ostatak

O

ili I

.

24.

Da

li

jednadio,

t2*y2,1986

ina

re5enja

u

skupu ce

lih

brojeva

?

ObrazloZi

odgovo

.

25,

Ako

je

x+y

=

I

1

x2+y2

=

L ond.a

Je

taEno

Jedan

od

broJevq

x i

y

jednak

nuli .

Dokazati

.

26.

Izradunatr

az+b2rako

6e

a+b=24

i

a.b=145

.

2?.

Koliko

je

xlrrako

Je

x+y=ea

x2+y2=25o

2

28.

Ako je

x+y

=

o

i x2+y2= Zrdokazati

da

je

#+y4

=2.

29.

Odrediti

sve cele

brojeve

4 zla

koJe

je

i

kolidnik

(a2+t):(a-1)

takode ceo

broj

.

'70.

Ako

Je

* *

*

ceo

broJ,onda

Je

L

ceo

broJ.

Dokazati .

"2

,

lz

takode

Jl.

Ako

Je

"

*

*

=

2 izradunati

x2

..

l,

*'

*

t*,

4t

x

+-4.

]2.

Ne

izraEunavaJu6i

rnednost korena odrediti 5ta

Je

ve6e:

fti

ui

ft

+(l

,1.

L]ro

eu

a

i b

pozitivni

realni

broJevi tada

$e

uvek

a2+b?'y22ab

i

+

>.{fi

.

Kad.a

vaZi

iednakost

?

,4.

V

svakon

pravouglom

trouglu

6ida

Je

hipotenuza

c i

pormiina

P

ispunjena

Je

nejednakost

c

>z

2{F

.

DdEdzati

.

t5.

Lko su

alb,c

pozitivni

reaLni

brojevi tada

vaZe

ne

jednakosti:

a) a2*b2*"2y'

ab+bc+ca

Dokazati .

b)

(a+b)(b+c)(c+a)y'

Sabc

.

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 18/74

24

2.

PRO?ORCIONATNOSI

I

SIIdSOST

1. Dat

je

trougao

ABC.

Neka

sinetrala

ugla

ACB

= f,

se_

de stranicu

AB

u tadki

M.

Dokazati

d.a

je

AM:BM

=

AC:BC

.

,

2.

Siqletrala

uFIa

na

osnovici

Jednakoleakog

trougla

de

J-i naspranni

krak

na

od.sedke

od.

6

cm

i

9

cm.

0dred.iti

pornr5i

uu

tog

trougla

,"'

7.

Da

li

postoji

trougao

diJe

su

visine

b"=7

cnrh'=6cn

i h"*9

cm. ReEenJe

detalJno

obnazloZi

.

1," 4.

Osnovica

BC

jednakokrakog

trougla

ABC

Jednaka

Je

po

lovini

baka-visina

koja

odgovara

kraku

je

duz

BN.

Dokazi

d.a

js

AN

=

7.cN

.

\/

5.

Dat

je

trougao

ABC

i teZiBna

linija

AD.Konstruisane

su simetrale

rrglova

ADB

i ADCrkoJe

seku

strane

AB

i

AC

u ta-

dkama

It

i

N

. Dokazati

d.a

je

duZ

IrlN

paralelna

sa

BC

.

,'6.

Hipoteuuzina

visina

deli

hipotenuzu pravouglog

tro_

ugla

na

odsedke

p-9

cn

i

q=tO

cn.Od.red.iti

povrBinu

buga

upi

sanog

u

taj

pravougli

trougao

.

7.

U

iednal<okrakon

trouglu

oenovica

Je

4g

cura

krak

Je

40 cn. odrediti

za

koliko

je

povrEina

}cuga

opisanog

oko

tro

ugla

ve6a

od

povr5ine

kruga

upisanog

u

tnougao

.

B.

l{eka

Je

dat

jednairokraki

t:rou6ao

Eija

je

osnovica

a

jednaka

odgovaraju6oj

visini.rzradunati

polupreEaik

lieuga

op

isanog

olio

trougla

u

funkcidi

od.

a

.

9,

U

Jednakokrakom

trouglu

ugao

na

osnovici

je

Z2o.lko

je

osnovica

a

i

lcak

brd.okazati

d"a

Je

"2

=

O2-uO

-

10.

Dat

je

krug

k

i

izvan

nJega

tadka

M.Kroz

tadku

I,i

ko

nstruisane

su

sedice

p

i

q

kruga

knkoje

leug

selar

u

taEkarna

ArBrCrD

.

Dokazati

da

je

iUA.IlB

=

IIC.MD

.

2'

11.

Sedica

s

prolazi

kroz tadku

M i sede

krug

u

ta6ka-

rna

A

i

B.

fan6enta

t

prolazi

kroz

"dpo

I,4 i d.odiruje

krug

u

tadki

C. Dokazati

da

je

l{A

}'18

=

1,1C2

.'

12.

lz

taEke

M

van

hrga

k konstruioane

su tangenta

UC

i sedica lvlASrtako

d.a

nedueobno

grad.e

ugao

od

45o.Ako

Je

du

-

iina

tangentne

d.uEi

MC

=

lOfA cnra

rastojaaje IvlA

=

LO

cn

ko-

tiki

je

polunrednik

datog lruga

?

lJ.

Neka

Je

AB

prednik jed.nog

krugarB0

njegova

tange

-

ntara

CDA

sedica.Odrediti

oclnos

CD:DArako

je

3C

jednako

polu

predniku

datog

kruga

.

14.

nat

je

pravougli

trapez

ABCD

kod koga

se

dijagona-

1,e

AC

i

BD

seku

pod"

pravin

ugLom

.

Dokazati

da

je

A8.CD=AD2,

(pravi

uglovi su kod

temena

A i

D)

.

^

15'

u

trougao dija

je

osnoviea

a

=

L2

cmra

povrF;ina

36

cnt

upisan

je

kved.rat

MNFQ

tako d.a su tadke

M

i

N

na

osnovi-

ci

trouglar&

P

na

stranici

AC

i

Q

na stranici

AB.Od.rediti

po

vriinu

upisanog

kvadrata

.

3.

J.EJJNACINE

1. Grupa

dedaka i

devojdica

sakupila

je

17O dinara

za

kupovinu

poklona

bolesnon drugu.Devojd,ice

su davale

po

2O,

a

dedaci

po

VO

dinara.Koliko

je

bilo

devojdicara

koliko

deda

-

r-^ t

2.

Iznos

od

7]

dinara napla6en

je

nov6anicana

od

2

d.i

na1.a i

5

dinara.

Odrediti

broj

Jednih

i broj drugih

novdani-

Ca.

J.

Itlqi,s

li

se

124

kLikera

podeliti

na

I

devojdice

i

9

dedaka

tako da svaka devoJdica dobiJe

jednak

broj

klikera

i

svakL

dedak

dobi.je

jednak

broJ

klikera

?

4.

Odrediti

prirodne

broJeve x i

y

tako d.a

zad.ovolJa-

vaju

sLede6e

jednakosti:

il3x+5y=ae

c)

ztx

+

,9y

=

1986

u) 2x

+

59y

=

2oo

d.)

6x2

-

aryz

=

44+444r+l+t+4q

.

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 19/74

5.

Prena

ietodnJadkoJ

baJcl

nHilJadu

1

Jed.na

no6o

devo

jka

Sshg3szada

Je

iz no6i

u ao6

pridala

caru

po

,

ili

po

pet

prida.

Za

koliko

je

no6i

naJbrZe

mogla

d.a isprida

J.OOI

pri_

du

?

Kel{i1o

najvi5e

no6i

je

Seherezad.a

mogla

da

pri6a

datih

1OO1

pri6u

?

g.

U

prod.avnici

dadke

zadruge

grafitaa

olovka

staje

po

la

dinararhemijska

olovka

I

dinarra

naliv

pero

dinara.Koli

ko

treba

kupiti

koJih

arikalarako

se

za tadno

loo

dinara

mo-

ra kupiti

tadno

lOO

s16y1o1

z

7.

Reiiti

po

x

slede6e

Jednadine:

I

I

I

I

I

Ii

1

I

1

llil

s)

lx-21

+lx-l1

+

t2x-81

=

9

h)

lxl

+

lx+Jl

=

fx+l1

+lx+21

8.

Odrediti

skup

reSenJa

slede6ih

Jed.nadina:

a)

-z

b)

J.

=Ll

=L,

t.

Odredtti

skupove

tadaka

u

xry ravni

6iJe

koord.inate

zadovoljavaju

slede6e

jednakosti:

a)

fax-+l

=

o

c)

lzxl

*

x

=

6

e)

lx+rl

+

fx-l.l

=

2x

a)

y

=

llJ+:s

c)

f

x

+

yl

=

e)

lx-21

=

ly-11

u)

lA-ral

=

Jx-L2

a)

fxl

+

t1+21

=

g

f)

llx+rl

-

l2xll

=

lx+tl

\E;

b)

d)

f)

yl

+

y

=

f

xl+

x

xl+

lyl

=

V

lxl

-lrll

=

1

LO.

Vlada

6e 2Oaj

godine

imati

onoliko

godina

koliko

iz

nosi

zbir

cifara

godine

njegoyog

rodenja.Koliko

god.ina

6e

on

inati

1.986.

godlne

?

11.

Ba5-Celitr

se borl

protiv

zmaja koji

ima

lgg/

glava.

Jednim

udarcenr

mada

tsa5-delik

moZe

od.se6i

zrnaju

21416

ili

g

g1ava.ltedutinrtada

znaJu J.zraste 8r16rO

ili 2

nove

glave.Mo-

Ze 1i

Ba5-Celik

naizmenidnim

ud.arcina

nadarp:ri

demu

ima

po

-

tpunu

slobodu

izbora

koliko

6e

glava

odse6l(2r4r6

ili

g)

sva

kim

udarcenrodse6i

znaju

sve

gl.ave

?

Odgovor

obrazloZiti

.

RE6TNJ^A,

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 20/74

li

I

i

I

I

i

I

l

I

I

li

lll

iil

i

i

IV 8AZR5D

1.

ZADACI

NUMERACTJE

I

TREBROJAVAN.TA

1.

Za

nuneraciju jednocifrenih

i

dvocifrenih

stranica

upotrebi

se

9.1

+

)O,2

=

189 cifara.Za

nunoeraciju

troclfre

-

nih

stranica

upotrebi

se

JoE

(Z+>

-

99).7 -

Z]8

cifara.lrena

tone

ulnrpno

je

upotreblJeno

L89

+

7rA

=

927

cifara.

2.

Za

nuneiactJu

trocifrenih

strani.ca

upotrebl_jeno

Je

\Lt

-

(9.f

*

90.a)

-

j24

c5,tterpa

Je

broJ

trocifrenih

strani

ca

V24

:

1

-

lo8ra

ukupan

broJ

etranica

Je

IO8

+

99

o

2O?.

V.

Kako

je

1986

-

(9.f

*

9o.2)

-

L79?rto

je

u

nizu

na-

pisano

I797.t

-

599

trocifrenih

broJeva.Itako

je

599-tI

troci

freni

broJ

598rto

je

poelednJa

oifra

ognica.

4.

lJ

svakoJ

stotini

se upotrebi

20

sed.nica.U

oemoJ

sto

. tini

joE

ILOO

sedmica

i

u

devetoJ

l9.Dakle

ukupan

broJ

upotre

bljenih

sedrnica

je

2O.8

+

lOO

+

19

-

279.

,.

Pcsr:ratrarno

broJ

..4 .

ZnaEi

da

ispred

4

dolazi

bi-

1o koji

dvocifreni

brojrpa

je

reienje

90.

6.

lieka

je

traZeni

broJ

9...

,Eto

znadi

da na

prazna

nesta

nogu

do6i

svi trocifreni.

brojevi

podev

od

OOO

do

999

.

Takvlh

brojerva

je

tadno

IOOO.

?.

Ukupno

1 ra

to su: IoO11rlOIOlrlO11Or11OO1rLlolo,

llLoo,

1cco2, :too2

o,

1o2oo,

L2oOO,

2OOO]_,

2OO1O,

2

OLOO

r

21OOO

r

r

OOOO,

8.

Bro;l

puteva

Je

5.3

-

L5

(slika

1)

,

sI.2

ll.1

9.

fel<vih

dvocifrenih

brojeva

ina

5.5

*

PF

(slika

2).

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 21/74

i

i

I

I

I

li

i

 r

'il

7O

10.

Tak+ih

troeifrenih

brojeva

ima 4.5.5

=

€:O

(s1.3),

slika

l

11.

An:

se

cifre

ponavljaju

inramo 4.4.4

=

64

trocifrd

na

i 4.4.4.4 =

2J6

Eetvorocifrenih brojeva.Ukoliko

se clfre

ne

mogu

ponavljati

oada se noZe fornirati

4.7,2

=

24

troci

-

frena i

4.3.2.1

=

24

€etvorocifrena broja.

L2.

Iairvih

detvorocifrenih

brojeva

ima 2.1,1,V

=

54

t

dok

petocifrenih

brojeva

ina 2.1.7.3.1

=

L62.

L5.

Cifrora

7

podinjera

cifrono

2

se zavrEava L.LO.Lo

10.1-O.1

=

LO

OOO

Eestocifrenih

brojeva,

14. Od

dva

slova moZe

se nadiniti

7O,tO

=

9OO

konbi

-

nacijara

detvorocifrenih brojeva

ima

g0OOrpa

je

ukup,an

broj

registracija

OO.9OOO

=

I

lOO 0OO.

L5.

Kako

je

I2O

=

2.2,2.tr.5,to

je

ukupan

bro;j

deLila-

ca

broJa

12O

jednak

4,2'2

=

16

(.elika

4).

@w

sLi.ka

4

2. BROJTIN{S

I

ItriZi'iils[ANJE FIGIIRA

L.

Neka

su date

tadke

ArBrCrDrE.Tad.a

se

noZe

uo[iti

taEno 10

duZi

(ABTACTADTAETBCTBDTBSTCDTCX

i

Dn).

2.

Na

pravoj

a ima 10

duZirna

pravoj

b

I

d.uii,

a

JoE

5.1

=

L5

duZi

je

o<ire'leno

kombinacijom tadaka

sa

prave

a i b

pa

je

ukupan

broJ

duZi 1O

+

3

"t

15

=

28.

,.

Iz

ta6ke

A

polazi

lriz

ta6ke

B

4riz

taEke

C

j,

iz

talke

D

2

L iz

tadke

E

I duZrpa

je

ukupan

broJ

duZ,i

1).

tt

4. Iz svake stanice

polazi

g

liniJarpa

je

ukupan

broJ

svemirskih

linija

pp.lOOrpri

demu

Je

svaka

linija

radunata

2

puta.ltema

tome

linija irna

99.10O:2

=

4950.

,.

Iz svakog

tenena

polazi

/

d.ijagonalarSto

znadj-

uku-

pno

/o$;P

=

28

dijagonal-a.

6.

Reienje

je

dato na

sLici

5.

?.

Tada se

dobija

detvorougao,

pa

je

broJ uglova 4.

8.

DuZi 6emo

brojati

na

prava-

mara trouglove

u

konbinaciji.

slika

I

a) 24

duZi

i

12

trouglova

b)

18 duZi

i 16 trouglova

c)

27

duZi

i

12

trouglova

a)

24

duZi

i

16

trouglova

g.

K..radrat

sadrZi

lO oravih

i

na

svakoJ

po

5

tadaka, a

to

znadi

10

duZirSto znadi

da

je

duZi

l0O.Kvadrata

ina 16+9r-

4+l

=

,Ora

pravougaonika

je

tadno

70.

Ne

lrahovskoj

tabli

ima

64+49+V6+25+I6+9+4+1

=

204

lL.

Re6enje

problema

dato

je

na

slici

6"

slika 6

,.

txsili'RovANJn

RAcUrTSiirIj

or.'tfiACr&\

10.

kvadrata.I

 

,

,iti

I

i

1.

rt12-I

+

5'c?89

=

611L0

,.

52V'?4

-

,3 7a2

9.

67.7L

=

7V7

7.

6+6?+614*747

9.9+89+BB9=987

2.

I?-145

-

o7B9

=

5556

4.

1q84

:

12

=

62

6.

97'II

=

to67

8.899+99=998

:

10.

IO1.1O1

=

L02OI

../: ii.

*

.; .(

'

"{

t..

I

t,

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 22/74

i

4.

KYADRAT

T

TRAVOUGAONIT

1.,

DuZina

Je

l4r5irlna

onra

povr6ina

5e

126

cn2.

2.

Str"anioe

upieanog

pravougaonika

su

6

cn i

4

cnrpa

je

obin

20

cora

povrEina

24

cmz.

,.

Ako

stranice oznadino

aa

a

i

b onda

Je

a+b

=

8b

.

DobiJeaa

jcdnakost

vazi

samo

28

6.

=

b

=

2

cu.

4.

Stranlce

plavougaonlka

su

6

L

?

cnra

nJegov

obim

Je

26

on.

5.

PovrEina

kvadrata

ie

7124

"r2r.

druga

stranica

pra

vougaonika

le

V24zL2

=

2?

cm.Obin

kvadrata

le

72

cnra

pravo

ugaoaik

ina

obfun

78

cn.

5.

PovrEi.na

prevougaonika

i kvadrata

Je

,6

cn2.Stra-

nica kvadrata

Je

zna6i.

6

cnrpa

Je

ve6i

obin

pravougaonika

i.

to za

2

cn(obin

kvadrata

Je

24

cnra

obin

pravougaonika

26).

?.

Stranice

pravougaonika

su

L7

L

A

cnra

ponrEina

Je

L15

cs2.

8.

Mogu6i

Dravougaonici

su:

(6rl);

(j,2);(+,7).radve

6u

povriinu-

12cn2 ima

posled.nji

pravougaonik.

g.

Povr6ina

kvadrata

i

p_ravougaoni.ka

;e

36

cn2.Mogu-

6i

pravougaoaici

su:

(3611);(rera)

i(Lzr11i(9,4).NaJve6i

dd.n

od

njih

ina

prvi pravougaonik(/4

cn)ra

naJnanJi

poelednJi

i

on

iznoei 26

er.

lO.

Ako

Je

straaica

kvadrata

dva

puta

ve6a od.

Sirine

pravougaonikaronda

je

ona zbog

Jed.aakosti

povr6ina

d.va

puta

nanja

od

duZine

pravougaoalka

I iznoEi

lO

on.Irena

tone

po-

vrEine

su

lOO

cnzrobin

kvadlata

Je

40

cnra

pravougaoaik

ina

obtn

tO

cn.

11.

Kada

stranicu kvadrata

uve-

6ano

za

1

cnronda

ae

nJegova pavt6iaa

uveda ze

dva

podudarna

pravougaonika

I kvadrat

stranlce 1

cn(pogledal

eli-

ku

?).Kako

Je

povr{ina

kvadrata

I cn2

m'

)

to.dva

preostala

pxavougaonika inaiu

povr6inu

16 cn-rpa sva-

ki

od

njih

ina

povr5inu

8

cm'.Kako

je

Jedna

stranica

1

cntto

Je

polazui kvad.rat inao

stranicu

8:1'=

8 cto.

L2.

DobiJeni

pravougaonici

(slika

8)

ina$u

porn6ine

:

l.x

-

:rr

2.x

-

2r.

i

L'2

=

2.Znadl

da

Je

1x

+

2

=

2orodnosno

lx

=

18'pa

Je

traZena

stranica

x

=

6

cn.

slika

B

slika

9

LV.

Kao

Eto se

sa

slike

9

vidi'da

bi

povr5ine

kvadra-

ta

i dobiJenog

pravougaonika

bile

Jednake

lnora i

poln5ina

do

bijenog

pnavougaonika

(x'2)

biti

iednaka

povr6ini

pravougao-

nlka

()rx-2).Znadi

2x

=

7(x'2)

tft

Zx

=

7x

-

61pa

ie

x=6

cn.

L4.

Ako

jednu

stranicu

uve6ano

2ra drugu"S

puta

povr-

61na

se

uve6a

6

puta.Kako ona

sada

iznosi

96

cn-tto

je

poLa-

zna

povrEi.na

bila

9626

=

16 cn2ra

stranica

kvadrata

de

4

cn.

Obin

pravougaonika

Je

40

cnra

kvadrata

16 cn.

L5.

Sa

sllke

LO oEigledno

Je

da

ll.x

+

ll.x

+

11.11 -

671.odavde

se

do

bija

da

je

22.x -

55O'

a r

.

2J

cm.Zna

Ei

da

je

stranica

manjeg

kvadrata

2 cto

a straaica

va6eg

15

cm.Zbi-c

njihovib

obina

je

4(2r+r5)

-

2zl4

cm.

slika

10

5.

MAGICNI

KVADRATI

l.

ReSenje

je

dato na slici

lJ.t

a karakteristiEan

zbir

Je

jednak

tre6i-

ni

zbira

svih

brojeva

i

iznosi

19.

slike

7

elika

Itr

,,

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 23/74

,4

2.

$vaki

elemenat

u

nagidnon

kvadratu

iz

prvog

zad.atka;

a)

uve6a3

za

L

b)

ponnoii

sa 2

i

urnanJi

za

I

c) uve6al

za

d)

ponnoZi

sa 10

l.

Prinari

iz

plethodnog

zadatka

a)

i c).

4.

hl.ner

d)

iz

zadatka

2.

J.

AzctL

prinere

c)

i

a)

iz zad.atka

2.

7.

Sva&i elemenat

u

nagidnon

kvadratu

iz

prvog

zad.atkal

a)

uve6al za

1

c)

uve6al za

I

b)

uve6al

2

puta

d)

uvedal za 2

8.

Re6enJe

dato na

slici

12

ffimffi

slika

12

g.

Re{enJe

Je

dato na slici

l}.

10.

Svaki

el.enenat

u

nagidnon

kvadratu

iz

zad.atka

9.

uv6

6ati dva

puta.

1t.

Svaki

elemeaat

u nagidnom

kvadratu

iz

zad.atka

:

a)

prepisati

b)

uve6ati za 2

a) uve6ati za

9.

i

i

t,

L2

,

6

10 8

L5 I

7 9

2

l6

4

E

14

11

slika 17

V

RAZRND

l.

sKuPovr

Aca.KA'

I.

Neka

su

"A'rBrCrDrtadke

na

pravoJ

pra

l{rI[rPrR

taEke

van

prave

p"Ia6ke

ArBrCrD(slika

14)

odreduju

6

duZi i

I

pravu.lladke

M'l{

P,R

odreduJu

6 duii i

6

Pravib.Ko -

mbinacijom

tadaka

ArBrCrD

i

MrNrPrn

clobija

se

JoE

16

=

4'4

duii

i

isto

toliko

pravih.Prena

tone ukupan

broJ

duZi

je

'28ra

pravib

$e

2i.'

2.

Datih

6

taEaka

odreduJe

15

pravih(duZi).Svake dve

tadke(duz)

sa

jednoB

od

preostale

Eetiri tadke

odreduju

je-

dnu

ravan.Znadi

da

se na

ovai nadin

noZe

konstruisati

1)'4=

60

ravni.Medutlnrpri

ton

je

svaka

ravan

ra6unata

tri

puta

t

ba

je

stvarni broJ

ravni 60z7

-

2Q.

Na

8

deLova(nacrtal

sliku

i

prebroJ).

5.

Sajve6i

mogu6i

broJ de-

lova

je

llra

re6eaJe

Je

prikazano na slici

15.

6.

ReEenje

Je

dato

na

sli-

ci

J.6rpri

denu

se

noie

izbrojati

6

ograni6enih

i

10

aeograniEenih

obla

sti.

7.

Prazaa skuprtadkarduZ

t

trougao,

detvorougao,

Pc-

tougao,

Eestougao.

oP

 [o

slika 14

7

4.

slika

15

slika

15

,6

,7

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 24/74

8.

Kao

u

prethodaon

zadatku

i

jo$

sednougao.

9.

Kao u

prethodnom

zadatku

i

JoE

osnougao.

LO. Unija dva

konveksna

skupa tadaka

qoie

biti

konve

-

ksanrali. i

nekonveksan

skup

(slika

L7a

i

LZb).

11.

Razllka

dva

konve

ksna

skupa noZe

biti

koave-

ksan

skup(Ir\

TO)rali

1

ne-

konveksan

skup( r\

[2)

L2,

a) 1

b)t

AFB

slika

18

Lr.

a)

sano

tadka

B

b)

glika

17

c)

1@

99t2

=

4950

Ir.

Nekonveksni

maogouglovi

eu

r

ASFBCATAFSBCA

TABSDCA

ABDSCA,ABCSS,A

,ABCESA

,

za-

tin

ASBCATABSCA

TABCgA...

(vidi

sliku

18).

b)

prazan

skup

rl

2.

DEI^TTVOST

BROJWA

1.

Bnojevi 27

L

72

su

delJivl sa

,rpa

i ukupna cena

,

koJa

iznosi

27.x

+

72,1

=

L2r4

nora

biti deljiva sa

,rgto

u

na6en sludaJu odigledno

nije.

2. Ig:ol

,?.L5.

nora

biti d.eLjj.v

sa

5

i

9.Ako

B€

Zar: -

Sava O onda

Je

to broJ

Jl2LJOra

ako

Je

posl-ednja

cif:ra

5rta-

da

Je

tnaEeai

broJ

t76l5r.

Prvi

broj

ne

zadovoljava

usLove.

5.

hojevi-

koji

su

deljivi

sa

l i

sa

/ deljivi su

sa

,5

i

takvih

do 1OOO

ina

28.hena

toloe onih koji

nisu deJ.jivi

sa5ilina999-29=)1I..

4. Dati broJ

Je

deljiv

sa

$rjer

nu

Je

zbi-r

cifara 8.S

druge

strane

delJiv

je

i sa

4rjer

se

zavr5ava na

08.

,.

BroJ 198600

pri

deljenju sa 8,9

=

72

daje

ostatak

Jednak

24,pa

Je

traieni broJ

198600-24+72

-

198648.

6.

BroJ 444...444

ina

tnocifrepl.

zavr5tetak

444rkogi

nije deljiv

sa Srpa

ceo broj

uije

del_Jiv

sa

g.

7.

lrol

,16

je

deUi

sa 6

i

jednak

Je

6. Grpa

su

tra

Zeni

uzastpnl

brojevL

6r?

i

8ra nJihov

zbi:e

je

21.

8.

a)

,6

-

22._j2

a broJ

detilaca

Je

(2+1)(2+J-)

=

9.

b)

l-20

=

Z7,r:5

ina

(7+r)(1+t)(1+t) =

16

d.etlraca

c)

5C)r|

-

27,12.7

ina

4,t.2

=

e+

aetioca.

9.

Eako

Je

528

*

6,8.L1

i

kpko

11

ne

noZe

biti

cifra

takav

p:rirodaa

bloJ

ae

postoji.

10.

Zblr

prvih

1@O

prirod.nih

broJeva

Je

1OO1.lOOO:2q

ilt 1001.5@.Kako

Je

1OO1

-

?,LL.L7

to

Je

oa deljiv sa

L4V.

Ll.

hoizvod

dva

d.vocifreaa

broJa

ve6i

je

od.

lOO i

na

nji

je

od. lOOOOrpa

u

obzii. d.olaze

444

1

4444.Irako

Je

broJ

1144

=

V.4'7?

=

L2.t7

to

Je

Jedno

re3enJe.4444

=

4.1l.lOl

t

kako

Je

lOl

proet

broJrto

Je

broJ

4444

nenogu6e

prikazati

u

obliku

proizvod.a

dva

dvoci-f:reaa

broJa.

"

L2

Neka

Je

traZenl

broJ

ffi.

[ada

Je

x+]+z=l.O

i

x-X+

z

deljivo

sa

llrito

znaEi

da

noZe biti

O

ili ll.DrugL

slu

-

6aj otpadarDa

je

odigledno

7a2= =Jo

IraZeni

brojevi

eu o6i-

gledao

59O

r45L

1752

r25t rLr4.

L5. Neka

Je

traZeni

broJ

x,Iada

Je

x-l deJ-jivo

aa

Zr,

41516 5to

znadi

da

je

x-L=

2.1.2.5.k

=

6Ok.Dakle

x

=

6Ok+1.

Najmanji

broj obLika 6Ok+L

koJi

je

detjiv

sa

I

je

OJ..

14.

Ako

bi

traZenon broju

x dodali

l.rond.a

bi

odigJ.e

-

dno

x+l

bilo deljivo

i

sa

2

i sa

rr4rSt6r?r8.Dak1e

x+L

=

2.

,.2.5.7.2.k

=

SAOkrodnosno

x

=

84Ok

-

L.Nadnaaji

takav

btoJ

je

8r9.

Lr.

Kako

je

t?a

=

z.rV.?,to

le

7?8,2.V,?

=

2274?2

^

to

je

(2'9.?)2.rrena

tone

najnanji

takav

broi

Je

42.

38

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 25/74

,.

tocleKo-KoMBINATORNI

ZADACI

1.

Deda MiJ.e

je

roden

29.februara

1908.

godine.

2,

Broj

sanduka

od 1/

kg nora biti

paran

i

nanji od. 6,

Eto

znadi

0r2

ili

4.Za O

i

2

nenano

re5enjara

uz

4

sanduka

od

lfkg dolaze

joE

2

od

po

l6kg.

,.

nva

putnita

6e se

sresti

posle

6

Easova

hod.a.

Za

to

vrene

nuva

6e

pre6i

6'25

-

f5O ke.

4. 21.

kuglica obezbeduJe

bar

5

iste boJe,

5.

detirl

maEke za

I

dan ulove

1

niEa.l@

nadaka

za I

dan

ulovi

2

ni3eva,a

l-OO nadaka

za

4 dana

uLovi

lOO

niSeva.

6.

Eoki6rjer

da

Je

on senlorrnaslov

bl

gJ.asio:Mediu

pe-

toricon

prvih

tri

junio:ra.

l.

Za

I

dana.

8.

Za

1986rJer

Je

svaki

parai

ve6i

od

svog

prethodnika

aeparnog

broJa za

1"

9.

Iz

kante

od

9

J. odliJeno 4

1

i

u

lonac

preepeno

ta-

Eno

5

I vode.Zatin napunino opet kantu

od

9

I i dva

puta

od-

lijeno

kantu

od

4

lrostane nam

sano

Jed.an

litar.Srespeno

ga

u

lonac

u

kone se

sada

nal-azi 5 litara

vode.

19.

Prvo

6e

prevezu

deca,a

jedno

od

nJih

\rrati

daroac ko

jin

se

preveze

naJka.Zatin dete vlati 6anac i opet

so

deea

prevezu

na

drugu obalu i

ponove poetupak.

I1,

lri

tega

od

I kgr}

kS

i

9ke.

12,

Od

4OO

6ipki

izlije se

4OOO

dukata i 20 novib

Eipki

Od

20

Sipki

izlije

se

2OO dukata

i

jedna

nova Bipka.Oal

nove

Sipke

se

napravi

jo5

1O dukata.Ukupno

Je

dobijeno

42lO

d.uka-

ta.

15.

Svako

ina 4

pradede.Svaki

od

noJa

4

pradede

ioao

Je

po

4

pradederpa

Je

ukupan

broj

l-6.

14.

ProLzvod

4 sednj.ce zavr3ava

se

na ]..?roizvod 1984

sednice

zavriava se

na

J.ra

proizvod

1986

na

9.

I

I

i

,9

VI

R,IZRED

],.

IBOSTI

SROJEVI

l.

Svi parni

broJevi

ve6i od.

2

deljivi

su Lr2

i sanin

sobonrpa

ne

nogxr

biti

prosti.Prena

tome

2

je jedini

paran

i

prost

broJ.

2.

ObrazloZenJe

oadrZano

u zad.atku

l.

,.

Kako

paruLh

broJeva

irna

beskonadno

nnogora

svi

sen

dvojke

su

eloieni

to

i

eloZenih

brojeva

ina

beekonadao

mnogo

4.

Ako

bi

neki.

od.

aJih

bio

pu"*roo

bi

bio

i

sloZea.

5.

hoJevi

9rL5rZLr?5r...

su

aeparnirali

nisu

proeti.

5.

Ostali parovi

uzastopnib

prostih

prirodnib

broJeva

ne

postoJerjer

bi.

jedan

od

nJih nolrao

obavezao

biti

paran,

a

to

znadi

i

sloZen.

7.

Ako

Je

p=2ronda

Je

p+9

=

?tga

Je

p=2

re6enJe.Ako

p

uzina vrednosti

ve6e od

2ronda

Je

oa neparanra

p+5

je

u

ton

sludaJu

paranr$to

zna6i

I sloZen broJrpa

je

2

Jedino

reienJe

8.

Ako

Je

p=2

onda

Je

p+f=gra

to

Je

stoEen

broJ.U

eLu

daju kada

de

p)}rp

Je

neparan

brojrpa

Je

pr|

paran

broJr5to

znadi opet sloZen br.oJ.

9.

za

p=2, p2*9

:

ll Eto

je

reEenle

zadatka.Ako

je

p

ve6e

od

2

ond.a

je

p

I

pt

neparnorpa

je

pc+

paran

broj.d.akle

i

sloZen.Jedino

reSenje zadatka

je

p=2.

10.

Ako Je

p.2ronda

le

p2*r?=aLra

p3+L?=a5

pa

Je

tvrtu

nJe-ta6no.Ako

le

pVl,onda je

pzL

D7

neparnora

broJevi

p2+L?

i

pV+L?

su

parni

i sloZenirpa

Je

tvrdenJe

d.okazano

za

sv€

pr

11.

ho;

n19ae

+

nr9a7

je

uvek

paran

i

uvek

sroZen.

-^^-L2.

Ako

je

g2TVronda

5e

n19ao

neparan

broJrpa

Je

bnod

p1986*r9g7

paran

i

sloZen.ovin

Je

tvrdenJe

d.okazano.

$fllt-

40

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 26/74

Lr.

Ako

Je

p=2rond.a

le

rg*pi

-

72+2t

=

L?ta to

Je

prost

broJ.Ako

la

pVVrtada

je

]paeparno

I

p'

t.kod" neparaorpa

nji-

hov zbir nora

biti

paranrdakle

i eloZen broj.Prena tone

Jediao

re3enje

problena

je

p-2.

14.

Za

p-zrtp+L-7

t

5p+1=11.

zadovol.Javaju

zahtev.MeCtu

-

tin

ako

je

p)lronda

Je

]p+l

paxan

i

5p+t

palan

broJrpa

je

p=e

jedino

reSenje.

L5.

Jedini

broJ

p

koji

zadovoljava

usLov

le

p=z(?p-L=Lt

a to

je

prost

broJ)rJer za

p)r)rbroJ

7p-1

uzina

paxne

vredno

-

sl1.Kako

je

tada

7p+1

=

J.lrto

je

tvrdeaje zadatka

dokazano.

16.

Neka

Je

x

=

1.2.t.4.5,6.?.8.9.10.lL.12.hoJevi

x+2,

x+Jrx+4rx+

5

rx+6rx+l

rx+8rx+9rx+lorx+Ilrx+I2

su uzastopni i

slo-

ieni,jer

su delJivi

redon sa

2rJ1415t6,718,9tLOrlLrL2.

I?.

Ako

Je

p=2

onda

Je

kolidnik

Ora

ostatak

prost

broj

g

=

2 .Ako

Je

g7t\,orida

Je

p

neparan broJ

pa

ostaci

nogu

biti:

Lrt

rS

r'7

19

rLL )Lr rL5,I?

tI9'2Lrzt

r25 t27'29.rJ

sludaju da

eu

ostaci

grLrrzlr2r,2l

p

bL

inao

oblik

3Ok+9,VQk+L5r3Ok+2Lr3Ok+21']Ok

+

2?ra

to

su odigledno sve

sloZeni

brojevirjer

su

deljivi

sa

I

,

odnosno

5.Ovim

jo

tvrdenJe

dokazano.

18,

Pretpostavino da su

pl)

pZ7

...

)pO

svi

prostJ.

bro-

jevirtJ.

da

je

skup

prosti-h

blojeva konadan.Uodino

broi defini

san relaciion:

p

=

pl.p2

....pk

+

1.boj

p

nije deljiv

ni sa

p1rg2r...

niti sa

Jednin

prostim

broJenrjer

uvek

daje

ostatak

jednak

L.Prena

tome i

p je

prostrpa

na6a

pretpostavka

ne

vaZi.

L9.

Svi

prirodni

brojevi

se

BoBu

rrapisati

u obLiku

4k-1

4kr4k+1 ili

4k+2.Kako

su

4k

i

4k+2

deljivi

sa 2'proste

broJeve

treba

traziti

u

obliku.4k-1

i1i

4k+1.

20.

Slidno

prethodnon zadatku

svi

prirodni brojevi ina-

ju

Jed.an

od

obl.ika:

6k-lr5kr6k+1r6k+2'5k+]'6k+4.Kako

su

broje-

vi 5k,6k+2

i

6k+4

deljivi 8a

2ra brojevi

oblika 6k+l

delJivi

sa

],to

prosti

brojevi

nogu

biti sano cblika 6k-1.

ili 6k+1.

Obrnuto

tvrdenJe

ne

vaZi

jer

postoje

brojevi oblika

6k-L(rr16rr...)

i

6k+1(25r49

r55,...)koJi

su

slozeni.

41

2L. Ako

Je

p=2

ond.a

su

p+2

i

p+4

s1oZeai.Ako

je

p

=

1

ouda

Je

ptA

=

tra

p+4

=

|.Ako

Je

p>]roada

Je

p

Jed.nog

od

ob

lika: 6k-l iLi 5k+L.Ako

Je

p=6k-lrtada

Je

p+4=6k+j=j(2k+L)"a.

to

Je

sloZen broJ.Sli6no

za

p=6k+1rp+2=6k+lrpa

Je

odigled.nq

p.]

jedino

reEenje

zadatka"

22.

PostoJi:

to

je

p=l.Dokazati

da

drugib

nena.

2rr

Ako Je p=2rp2+14=l8ra

to

Je

eloien broj.Za

p=Jrd.o

blJano

p2+L4=2j.Za

p)

5,p=6&-1

1li

p=5k+l.Tad.a

;e-p2+ri

=i;;2

+12k+1+X-4

sloZen bnod(deLjiv

Ea

1)rpa

le

p=7

Jedino

re5enJe

problena'

t.

I

24,

Ako

gu

p

i af-r

prosti

broJevi

onda

Je

p=r(doka

-

zati ).Ako

de

p*7

onda

je

gp+l

.

ZJrato

je

sloZen

broJ,

5to

Je

i trebalo

dokazati.

2. DIRIIT.NOV

PRINCIP

l.

U6enike

delino

u

14

kategoriJa:oae

koji

su

napla-

vili

1rrl2rl1r...

,2r1ro

greEki.Odigled.no je

da bar

u

Jed"aoJ

kategoriJi

postoJe

1

uEeaikarger

kada bi

u

svakoj

kategoriJi

bilo

2

ili

naaje

udeni.karonda

bi ukupan

broj

udenika

bio

na-

nji

od

28rEto

Je

nenogu6erJe:r

je

broj

udenika

JO.

2.

Sve

Beogradane

podelino

u

7OO

OOI kategoriju:

one

koji

inaju

tOO

OO0r299

999,...rj,Vr:.-rO

vlasi kose.Kako

se d.e

lJenJen

1

52OOOO

sa

100

OOI

dobtje

kolidnik

5

i oetatak,tc

Je

odigledno da bar

u

jednoj

kategoriji

post

oji

6 l.Judi.

,.

4

9rO

OOO

OO0

ljudi koJi

su

ntadi od tOO

godina

,.

treba

pod.eliti

aa

staroBne

kategorije:

1 sr2

sr...rpri

6emu

poslednja

kategorija

ina

lOO.J6535.24.r5OO

sekund.i.Iako

so

pokazuje

da

u

bar

jednoj

kategoriji

postoje

dva

elenenta.

..

4.

Sve ekipe

delino

u

/

kategorija:

one

koje

su

igrr

Ie

l

rSrJn4r712rA

utakmicu(ilL

6rr14rrr2r1rO

utakmica).|[adr

u

svakoj

kategoriji

postoje

bar dve ekiperjer

ji

a:?

=

l(f);

42

4t

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 27/74

i

5.

a)

17

kuslica(4'4

+ 1)

b)

91

larglica

c)

86

kuglica

6,

Datih

12

prirodnih

broJeva

rasporediltto

u

11

katego-

riJa:

u

prvoj

su

brojevi

deljivi sa

llru dmgoj

brojevi

koJL

pri

deljenju

sa

os

daju

ostatak lr...tu

ied'anaestoj

su

broje

vi

koji

pri

deljenJu

sa

11 daju ostatak

lO.Kako

inano 12

bro

jevara J-l

kategorijarbar

u

Jednoj se nalaze dva

broJa.UoEene

brojeve

a

=llx+r

i

b

=11y+r(uoraJu

inati

jednake

ostatke

pri

d.eljenju

sa

ll)oduzneqo:

a-b

=

ll-(x-y).Razlika

je

odigtr"edno

deljiva

sa

llr6to

je

i

trebalo

pokazati.

?.

Dokaz

analogan

dokazu

iz zadatka

6.

8.

Ako

kvadrat

podelino

na kvadratne

ceatinetre dobi

-

dano

25

JediniEnib

kvadrata.Kako

Je

J2z2J

=

2(2)

to

aigurno

poetoJi kvadrat

unutar

koga se nalaze

bar

]

tadke.

9.

Iz svakog

tetena

Festougla

polazl

t

duiitod

kodih

su bar

1

iste

boJe(slika lg).Neka

su

to

d11li

AC'AD

i

AI

koJe su

crveae'Ako

Je

CD

crvena

d.okaz

Je

okon6anrpa

zato

predpostavi

no

d.a

Je

0D

plave.Ako

Je

DE

ctvena

t

oada

Je

trougao

ADE

crvenrzato

pned-

postavino

da

Je

t

DE pl'ave

duZ.

Sada

se

poonatra duZ

CE:ako

Je

ona

crveDa

trouSao

AOE

Je

crvenlako

Je

ona

pla-

va

ond.a

Je

trougao

CDE

plav.Sl-idno

se

dokazuje

i obrnuta

si-

tuacija(kada

su

neke

tri

duZi

plave).

lo.

Neka

eu

date

duEi d1

rd2r...tdrz

d1-<d2<...<d,.Ukoli-

ko

ne

postoJi

trougao

onda

ier

dl+d2<d7'd2+dr<d4'dt+d4-<

d5

d4+d5<d6rd5+d6<at7.ako

ie

dl=dr=l

.cnrtada

te

llvz

cn'd4)

7

d,5Vi

cnrd5l.8

cn

i

d'?>1,

cn

Eto

je

aeroogu6erjer

sve

duii

si

naaie

od

1o

cn.

Prena

tone

trougao

uvek

postoji.

l

A

slika

19

1L. Predpostavino

da

postoJi

udenik koji

ne

poznage

ba5 nikoga.Tada

preostall

udenici

nogu

inati

lr2rl,

..,

,5V

poznanika.Kako

j-nano

]5

udenikara

14'kategorije

u

jednoJ

od

katego:riJa se nalaze bar

dva

udenikar5to

znadi

da

imaju

po

-

dJednak broj

poznanika.Ako

pak

takav

udenlk

ne

postoJir

onda

Je

broj

kategorija

opet

]4,jer

je

najmanji

nogu6i

broj

pozna

nika lra naJve6i

34

i zakfjudivanJe

tede kao

i u

I

sludaju.

7.

TROUGAO

I

cETVCROUGAO

L.

Ugao

iznedu

sinetral.e

i visine

je

90.

2.

Neka

je

CD

sinetrala

spoljaEnjegra

CE sirnetrala

unutra5ajeg

ugla

kod temena

C.Tad.a

je

ugao

ACE

=

4Oo;2=2Oo

.

Kako

se

sinetrala

spolJa6njeg

i unutraEnjeg

ugla

trougla

se-

ku

pod

ugJ.on

od

goorto

Je

trougao

CDE

Jednakokrakolravougli

pa

Je

ugao

ADC=45o.Iad.a

Je

ugao

CAE

=

lllora

ugao

ABC=25o.

,.

Neka

ie

A, podnoZje

visine

iz teuena

Ara

C,

podno

Zje vj-sine

iz

temena

C.fada su

trouglooi

MtB

i

HA'C

poduda-

rni(AB-cH,

*

urr=

+

CAIE=goo,

*

Arln=

*

rccr-rao

uetovi sa

nornalnim kracirna).Iz

podudarnosti

je AAr=CAlrpa

Je

trougao

AA.C

jednekokrakopravougli.Zna6i

ugao

ACA'

=-gACB

=

45o.

4.

Sa

D

obeleZimo

podnoZje

visine

iz

Crsa E podnoZJe

sinetrale ugla kod

temana

A.Neka

se

AX

i

CD

seku

u

tadki

O

i neka

je

ta

dka

F

srediEte

duZi

At(slika

20).Ta

d.a

je

*

DCE

=

196;2

=

54o,a

uglovi

CAB

i

ABC

su

po

56o.Ugao

CAE

=

l8o,

pa

je * Atc

=

l-800-1080-160

=

54o.

Trougao

COE

je

jednakobakrpa

eu

du

Zi

CO=EO.Kako

je

F

srediFte

duZi

AE

i

D

srediEte

duZi

AB

to

Je

FD

srednja

linija

trougla

A3E.Za-

kljudujeno

da

Je

lD

fl

BE,dakle FD

ll

CE.Tada

5e

)cr'=

$

D

=

4o.

Dakle

i

FO=DO,pa

Je

FOTOE=DO+OC'i1i

trE=CD.Kako

je

AE=

zX'ErtO

Je

i

AE=

2'CD.

slika 20

44

45

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 28/74

I

I

l

,.

Iskoristiti

prethodni

zadatak.

6.

Kako

je

I

l4Ka

pravra

+

Bl{K=5oorto

.;e

*

MBK=4oora

to

Je

polovina

ugla

B

koJi iznosi

8oo.

+

UED=2Oo,pa

Je

+

DBc

ta-

kode

2oo.Iz

trougla

BCD

dobiJa

se

* -

l.8oo-9oo-2oo*/oo.

ZnaEL

da

je

i

L=]Oo.

?.

Razlikujeno

dva sludaJa(slike

21a

i

21b)

a)

*A-25o,

lB=25o, {c-aoo

u)

fA=Z5or4B=75o,4c=?oo.

eLika

2I

8.

Neka

eu

D

i

E

podnoEJa

visi-

ne i

teZiEne

liniJe iz tenena

A

i

neka

Je

EF

uornaluo

na

AC(sIika

22).trougLo

vi

ABD,ADE

i

AEF

su

podudarni(dokaZi

)

Iz

podudaruosti

zakljuduJeno

da

je

duZ

  =pg=f,f=s.Kako

je

E

podnoZJe teEiEne

3

duZirto

je

3E=E0-2x.llrougao

CEF

je

pra

vougli

i

CE

Je

dva

puta

ve6e od

EF'

Pa

zakJ.Judujeno

da

Je

JrE=5oo

i

i

c-roo.Kako

de

*

DAc=6oordobi-

jano

da

je

2

iY

-6oo,a

ff-Toorpa Je

*A*}Y=

gOor

*gSOo.

9.

Ako

je

tsA=d

ronda

je

*DcA

takoded

rpa

Je

<

CDB*Zo(

,

JF

mM=

9oo-2o(.Kako

je

FDI

cD i

FcrAc,

to

je

*CFM*

*

DCE=d.Zakljudu

-

jeno

da

je

i

*

3CM=d,pa

Je

jCMo

24.I2

trougLa

SMD

odigledao

ie

*

M.so=teoo-

2"(

-(9oo-2d

)=9oo

.

Dakle

SMISD

ili MCIAB.

10.

Ako

je

c(

-B-lOoronda

Je

p

=

c(-goo.Kako

jed+r3+8-=

lSOorto

Jco(+

o(

-

9Oo+F-

lBOo;

pa

je c\+

V/2-7V5o.[ad"

Je

*ANC=

45o.Kako

se

slnetral.e

unutrainJeg

i

spoldaEnjeg

ugLa

seku

pod. pra

-

U

vlrn

uglon trougao Cl{N

Je

pravougllrsa

}

N=45or5to

znaEi

i d.a

Je

jodnakokrako-pravouglirpa

Je

CM

-.

CN.

11.

Dokaz

sled.i

iz

pod.ud.arnoeti

trouglova

AMpTBMI{rCIlp.

l,2.

Dokaz

sledi

iz

pod.udauoeti

trouglova

CDFTDEFT&E.

Lr.

Iz

podudarnosti

ABE

i 3CD

eleduJe BM=BN.Kako

su

i

trougLovi

AMB

i

BND

pod.ud.arni

to

Je

*ISU=

*

DBff.Sada

je

po-

trebno

i-zraduaati

*

UBl[=

*

ABN-

*

lsM=

*

lrCr-

{

DBN=6Ooroda-

k1e

je

odigledno trougao

BMN

JednakostraniEaa.

1.4.

Ako

Je

*DAB*2?

ronda

Je

{ABC=IBOo-2?.Kako

eu

d.o

bijeni trouglovi

AltD

i

BMC

jednakokraki(DA=AM=MB=Bo)rto

su

i

ugLovi

*AMD=9Oo-?f *

BMC=Y.Zbir

ova

dva ugLa

Je

loorpa

Je

+

ct{D=9Oo,

odnosno

cMJ.

DM.

L5.

Neka

su

E

i F

preeeEne

ta,6ke d.iJagonal.e

BD

i

pra

-

vih

AN

I

CMra S

presek

diJagonala.lada

Je

tadka E

teZi6te

za

trougao

ACDra

F teZiSte

tlougla ABC.ZakLJu6uJeno

da

Je

DE:ES

=

2:l

i

Btr':FS=2:1.Kako

je

DS=BSrto

Je

DE=EF=BF.

16.

Kako

Je

AS=SB

to

Je

*

SAB=

i

SnE.,

tz

poduda:enosti.

trouglova

ABC

i

ABD

sJ.eduje

da

Je

*

A=

*

A.Ua

glidan

nadin

se

noZe dokazati da

je*A=*D

=*C

Eto

je

dovolJno

za d.o-

kaz da

je

detvorougao-pravougaonik.

L7. Iskoristiti dinjenicu

da

Je

aBOD paralelogran

i

is

koristiti

prethodni

zadatak.

18.

Neka

je

presek

dijagonala

pravougaonika

ta6ka

S, a

pod.noZje

nornale iz tenena

B

na

dijagonalu

AC

tadka

M.OiigJ.e

dno

Je

AS=SCra

kako

je

AM:MC=}:lrto

je

odigledao

MC=$M.U

pra

vouglon

trouglu

Bl{,SrBS=2SM,pa

je*XSStt

=

600.

19.

Ako

su

M'N,P,Q

dodirne ta6ke kruga

i

stranica

de

-

tvorougla

iz

podudarnosti

trouglova

se

dobija

da

se dijagona

le

polove(aAt{,SSaCPS

i

AMBSSADPS)i

seku

pod

pravin

uglon.

Tada

je

traZeni

detvorougao

odigledno

ronb.

2,O,

Neka

simetrale

ugl.ova

na

osnovici

seku

naaplannC

krakove

u

ta6kana

D

i

E.Iz

pod,udarnosti

trouglova ABD

t ABE

DE

slika

22

slika

2]

46

47

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 29/74

zaklududeno

da

ie

AE=BD.fz

podudarnosti

trouglova

ADE

i

3DE

d.obija

se d.a

su

+

AxD

i

Jr

BDE

jednaki.Kako

Je

+

IIFtr=

*

EBA=

{

BEDrto

Je

trougao

DBE

iednakokrakrpa

ie

BD*DE=EA'

.

21. O6igledno

je

srednJa

linija

Afclll

BrDrpa

Je

ArDBtCt

trapez.Trou

-

sfooi

lrun i

AIBE su

podudarni(4oka

-

zatit)rpa

je ArB*BtCr*AtD.Dakle

tra

-pez

de

jednakokrak(slika

25).

22.

Za

d"ate

konstruktivne

zada-

A

tke

da6emo

eano

kljudne

ideJe:

s)

Najpre

konstruiEj.

pono6ne

pravou

-

gJ.e

trouglove

BA'A

i

CA'A.

l)

hoauZi

teZignu

duZ

CC, za

JoF

Jednu

dutrinu

i

konstrui6i

pono6ni

paralelogran

SCADrili

od'nah

konstruiEi

pono6ni

trou-

Bao

ACC,

(koristiti

oznake

sa

slike

25).

c)

Konstrui6i

pomo6ni

trougao

3C8.

d)

Konstrui5i

pono6ni

trougao

BAt[.

e)

KonstruiSi

pono6ni trougao A'A14.

f)

KonstruiEi

pono6ai

trougao

BA'A.

g)

Konstrui6i

pono6ni

trougao

BCBI.

a

2j. a)

seZignu

auZ

ML produZi

za

duZinu

t"

i

Potom

koastruiEi

pono

6ni

trougao

ABD.

b)

Postupiti

kao

pod.

a):

AB=q'AD=2ta

i

+AIE=l8oo-d.

c)

[eZi5nu

duZ

&t

produZi

ua

Alts

tako

da se

dobiJe ta6ka

D'

pa

zatin

bonstruiSi

pono6ni

trougao

ElD.

24.

Iz

tadaka

A

i

B

konstruleati

nonoale

aa

prave

BH

i

ctB

slika

2l

AE.

25.

Iz

tadke

A

konstruisati

Prave

26.

Kako

Je

*

lt'tg-

'lr$tn=9oo,

to

ta6ke

ArMrNrB

pri.padaJu

jednon

krugu(slika

z?)diJi

je

prednik

aB'Ka

ko ceatat

kruga

pripada

sinetrali

te

A

tive

M$rto

ae

centar

nalazi

u

Preae-

ku

sinetrale i

date

prave

P.

bJp i clq.g

s

slika

27

2?.

a) KonstruiEi

pono6ai

pravougli trougao

SCBt'

b)

Kako

Je

c-

2tc'to

je

praktidno datg

a

I

c.

c)

Katetu

AC

produZiti

preko

t€nena

C za

duZ

CB=a'Analizi

-

rati

doblJenu

sliku

i

konstruisati

pono6ni

trougao

ABD'

28.

Vieinu

C'C

produiiti

preko

temena

C do tadke

D

t

prl

denu

je

CD=a.KonstruiEi

pono6ni

trougao

AC'D'

29.

Konstruieati

pomo6ni

trougao

diJe

ou

stranice:

o

d

i

a-b.

VQ.

Na dijagonali

AC

odrediti

tadku

Ertako d'a

je

d'uZ

CE=a.fad.a

je

AE=d.-ara nogu6e

Je

konstrisati

pono6ni

trougao

ABE.

49

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 30/74

VTI

RAZBED

1.

PTTAGORINA

TEOREMA

1.

Visina

hO=12

cnra

povrEina

trougla

3e

g4

cn2.

2.

Kako

Je 52

,

*2

=

(x+1)2

=

x2+2x+lrt

o

ie

2x

=

24,

pa

Je

nepoznata

kateta

x=12

cera

hipotenuza

x+1=1]

cn.polu-

prednik

kruga

opisanog

oko

trougla

Je

R=6r5

cn.

V.

Konstrui.Eeno

visinu

BB,.

I(a.ko

je

*

4=600rto

Je

*ABB,=roo

,

a

*

B'8c-45orpa

J€

a

BB,c

jednako-

krako

pravougli.Iz

AAB8,visina

BB,

jedna&a

i21{V,

a

d.uZ

B,C-

5{j.tu|

A'Q=7

+

1{l,a

duz

w*

t{j{Z

=

5,/d.

Obin

trougla

Je

)g{j

+JG

,a

povr

Eina

je (9ft* Z?):2.

srika

28

7.

Neka

je A.'

srediSte

katete

SC.Kako

je

aAAIC

pravo-

ugli i ima

iA,AC=r6o,to

Je

ArCj

cq i

AC=5{t

cn.Kaieta

BC

=

tO

cm,a

hipotenuza

ae'(tZS = 5'tl

.Procentualni

odnos

porneEi-

na trougLa

i

lruga

oko njega

opisanog

ie

Z5E

r

t75T,/4

.

8"

Ako

Je

S

centar buga

opisanog

oko

trouglara

D

po1.

dnoZje

osnovicine visine

rLz

AASD

dobijanc

relaciju;

AD2+SD2

=

As2

ili

n2

=

z+2+(h-R)2. Ibko

je

n2=+o2..z42=s+.isrto

{e

vi

sina

h=8.4=r2 cnrpa

na6a

relacija

postaJs

na=576+(r?-R)a.Re-

Savanjem

dobijeae

Jedbadine

dobiJa

se

R=

25cn.

9"

Neka

se

steblo

prelouilo

na

visini x.Tada

Je

duEi-

na

prelomlJenog

dela 16-xrpa

je

(fO-x)2

=

*2*B2.R"Eavanje

Je

dnadine dovodi nas

do rezultata:drvo

se

prelonilo

na

visiu,i

4.

Ihko

;e

mf=5

cu

i

MBl=g

:t'::

iu

Mt=25,a

Br*t5

cB.Dui-AB

c

Je

5o

cn.I"io

""

izradunavaJu

duEi

AA

AM

=

,F

I

8M

=

,/iEA. -J;

;;;;

I

t"*

inaju

d.uZilu

I

i

y.Tad.a

je

x-+y'=650

i

(50-x)c+yz=t25o.Re6a

_

vanjen

dobiJenih

relacija

odre(tuje

no

r=19

cnra

zatin

i

y=12

cn.

slika

29

(a2+b2i..'ri

u.

"B'._"?

u

.

r:.:ir;

="?i7:

2"

=r;rfi

.

ri

"

6.

Dopunino

li dati

AABC

podudarni.n

t:rouglon

d.obijano je

_

dnakokra&i.

4ABD

sa

*A=+5o.n"d.a

Je

AADE

je4rrakokra\o-pravougli

i

AE

=

DE=

1g{f.povr6ina

AABC

jednaka

.ie

2o.loJtz4-5o(Tcnz.

6 n

od

zemlJe.

10.

Neka

su

E

i

I'podnoZJa

normala iz

B

i

D

na

dijagonalu

AC

i

neka

Je

$ presek

dijagonala(sli

ka

)I).Tada

je

sE=gF

i

AE:ES*2:1.

1

Kako

je

AS

teZisna

duZ

aABD

to

Je

E

teZiEte

toc trouela.Neka

.ie

AB=

ea..q,c=rffi i

co='ffi.r.-

ko

je

AED

pravouglirto

je

AO2

=

L2.

Neka

taEka

S

oznalava

poloZaj

desne

i

neka

su

M,N'P po-

dnoZja nornala iz

S

na

AB,BCTCD

.

Tada

je(vid.i

sliku

12):pS2=op2+SP2

=1.M2+cttt2=

(1+2-srf

)*

(

rz2-su2

)=t9e*

1++-(sn2+sw2

)

=r+o-+2=:i24=182.

sad

a

je

jasno

da

je

DS

=

18

n.

AE2 + tra

ilr z@=

L/g(4a2+2oo)

+

4/9G.2+zoo).Re6avanJen d.o-

bijene

jednadine

odreduJeno

da

Je

a=10

cmrpa

je

AB

=

26

qr.

11"

Ako

ee

produZeci

krakova

trapeza

A3CD

seku

u

ta6ki

s,onda

je*

lsa=goo"Tada

5e

a2=aB2=.e,s2+as2

i u2=coLosz+cs2.

odigledno

1e^a2+b2=As2+3S2+cs2+DS2=As2+cs2+Rs2+Ds2=af*a ,

1""

;e

af=lc2=1,s2+cs2 i a =ro2=rs2+Ds2.

tJ

elika

,1

5/+'

lt

sltka

12

slika

]O

W,f,"

,o

5L

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 31/74

l;

Lr.

Neka

suaib

osnovicerd,

id.rdiJagonaLe

ihvi-

sina

paralelograna(sfika

rr).Tada

je

a?-(a**)2*t,2

i

ai=("-*)2*,2. . a?*i?

r^zaa.al<

-

a'

+2a*+xz

+hz

*a

-Zax+xz

+hz

=Zaa

+i(x2

+rr2)

=

2a2+2u2=2(a.2*b2),5er

ge

odi

-

2.2

-2

glecl'no

X

+n

=O

.

14.

Ako

osnovicu

AB jednako

-

krakog

trapeza

ABCD

produZino

preko

I

tenena

B

za

duZ

CDronda

je

AAEC

JedaakostranidnirJer

je

duE

AE=a+b=ACra

-)<

sAc-

-)<A D=

*

Atc(sftta

,4).visina

trougla

Je

i

visina

trapeza

i.

iznosi

a{T/Zrpa

Je

povrEina

trapeza

je

-

dnaka

s-tl=,

/2.

slika ,4

slika

,5

L5.

IGko

je

zbir uglova na

ve6oJ

osnovici

prav

ugao

,

to

se

kraci

trapeza

seku

pod^pravin^uglonrpa

je

ABCE

pravou-

gli.Znadi

da

Je

CE2=a2=(a-U)2-c2=LO242=7Orpa

Je

d=5 cn.Visi

nu

trapeza(i

afCn)izradunavano

iz

povrEine

ABCE'jer

je

odito

lO.h

=

8.6

=

48rpa

Je

b* 4r8 cn(elika

rr).

Povr6ina

trapeaa

je

2O.4,8

=

96

cuz.

2.

MNOGOUGAO

I

KRUG

1.

Kako

su spolja5nJi

i

unutra$nJi ugao

nnogougla su

plenentni

to

Je

x+ x

=

lOr

-

lSOorpa

Je

spo1JaEnJi

ugao

tog

nnogougla

l8o.Kako

je

spolJagnji

ugao

jed.aak

centralaom(doka

zati)to onogougao ina n

=

]6O:18

=

20

straaica.boj

dijagona

la

je

tada

170.

slika

14

xa

slika

,,

IB

2.

Kako

Je

(n-2)I8oo=el2oorto

ie

r.-2=1.4ra

1=J6.M:rogo

ugao

ina

16.7V:2

= 594

dija8onale.

1.

Ugao

je

ve6i

od sopstvene

petine

za

4/5

sops^bverie

vrednodtirpa

je

i

od

svog

spoljaSnjeg

ugla

ve6i za

4/5

so

-

pstvene

vred.nosti.Ako

je

uautra6nji

ugao

5xrsPoljaBnii

je

x

pa

je

6x

=

l8Oora

1*3Oo.Radi

se

o

l2-tougLu.Kroz

svako

tene

prolazi

11

pravih(2 stranice

i

dijagonala)rpa

Je

tenenima

d.vanaestougla odredeno ukupno

Lr.'I2:2

=

66

pravih.

4.

Kako

Je

n(n-}):2

=

189'to

ie

n(n-))

=

2'9'V'7.Da-

kte

n(n-l)

=

21.L8'pa

je

n*2l.Zbir

unutra3niih

uglova

mnogo

ugla

Je

S

=

19'lBOo

=

V42Oo.

5.

Zbir

broja

stranica

i broja

d'ijagonala

n

-

tougla

jednak

Je

ukupnon

broju

pravih

kroz

n tadakara

to

je

n(n-l)

:

2.Prema

tone

n(n-l)

=

rA6

=

6'51

=

6'7'L?

=

18'17rpa

Je

n

jednako

lS.Centralni

ugao

ie

]600:18

=

2Oo.

6.

Neka

je

ABCDEDGH dati

osno

-

ugaorsa

centron

S.Kako

je

osaougao

pra

vilan

to

je

*

AsB=

*

BSC=45o,Pa

je

za-

-to

*Asc=9oo(srika

16).Iz

AASC,

duZ

AC

jednaka

je

lo{-,a

MS=5JE

=AM=CM

.

Kako

ie

BM=BS-lilS

to

je

BM=1O-51?,pa

je

stra

ir".

o"toogra

i,a2=Af*3v2=5o*1oo-1oo{t

+ O=2oo-1oo{2

,a

AB

=

101f2-ff-.

Izradu

slika

16

navaju6i

obim

i

povrEinu

dobija se

da

j*

o-= 8.AB

=

ao{ffi,^

P

=

4'AC'BS:2

=

2

ro/f'ro=zoo6

.

?.

Posmatraniem

dva

susednarkarakteristi6na

trougla,

sliEno

prethodnon zadatku'dobija

se

a=rJ2-{1 odakle

se raci-

onalisanjen

dobija

r=OolZ+ -.Obin

mnogougla

je

?2O,a

obi'n

kruga

opisanog

oko

niega

;e

l2oJuJ2+tfl.Povr5ina

naogougla

je

6'60'60Q*tt7)r2

=

1o8oo(2+Vt),a

povrEina

kruga

opisanog

oko

dvanaestougla

ie

1600(2+,17

)li

"t'.

8.

Najpre

ie

potrebno

konstruisati

traZeni

Sestougao

(vidi

stiku

,?).Kao

5to

se vidi

Sestougao

se

sastoji

iz trl

52

,,

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 32/74

I

Jednakokrako-pravougJ-a

trougla

i

Je-

dnog

jednakostranidnog

trougla.Stra-

nice

pravouglih

trouglova

jednake

eu

datoJ duEi

arpa

su stranice

jednako-

strani.duog

trougla

po

"{7.Povr

Sina

Eestougla

je

P

=

r.a2/e*(a,lT

)2.6t+

Daklep-a2(r+,17)/a.

lO"

Eipotenuza

datog

trougla

Je

c=LO cno,Povr5ina

trougla

Jedaaka

ie

L/2t(a+b+c)=1216"1ika

rB).Kako

Je

povr5ina

trougLa

6.8:2=24=12rrto

Je

r=2

cn.Poluplednilr

kruga

opieanog

do

trougLa

Je

R=e/Z=J cn.Orr:Ooo4li:

lOJi

=ar5

.Pu:Po.

d .

25fr.-

4225.

11. Visina trapeza

je

l4cn(vi

d,i

sliku

V9)$

tadka S

je

centar kru

ga

opisanog oko

trapeza.Ako

Je

SE=x,

onala

Js

SF=I4-xrpa

;e

n2-(t+-x)2*3=

"2*82.R.5.vanjen

dobijene

Jednadine

odredtujeno

x=5

cnra tada

je

B=IO

cn.

Povr5ina

kruga

je

1OO3[

cnzra

pom5i-

na

trapeza

je^l 5cnzrpa

krug

ina

pri

bliZno 118

cnz

ve6u

povr5inu

od

tra-

peza.

L2.

Kako

je

+

BOC

centralni

a

+

BACrto

Je

{

nOO=9oo,pa

Je

aBoC

Je

dnakokrako-pravougli(elika

40).Iz

do

bijenog

trougla

BC=

lO{t

ae.Povrglna

traienog

kruinog odsedka

jednaka

Je

1

L

t,

i

razlici

povr3ine

6etvrtine

kru6a i

povr5ine

iednakobako

-

pravouglog

trougl"a

SOCrpa

Je

p

=

253h"

-

JO

emz.

c

slika

57

9"

Dobijeni

dvaaaeetougao

Je

pravil.anrjer

su

mu

sve

straaice

jedaake

d.atoj

duZi

a

i svi uglovi

po

900+600=1500.

Nacrtaj

sliku i

uodi da se

povr.Eina

dvanaestougla

noZe ra

-

zLoZitL na 12

jed.nakostranid,nih

trouglova

i

6 kvadrata

sttea

nice

a.fzradunavanjen

se

d,obija

p

*

,^2(Z*{7)

.

slike

18

L7.

Neka

je

D

tadks duii

Al{

takva

da

je

MD=MB

(slika

41).

Kako

Je

*lun=

*AcB*6oo(kao

periferi

-

jeki

nad tetivom

AA)to

Je

aBMD

je-

d.nakostrani6ni

i

BD=BM.Trougao

ABD

podudaran

je

8MC:AB=3C,

*los=t2oo

=

*

BMC

i.

BD=BM.Iz podudarnostL

za

klJudujeno

da

je

AD=CM.hena

tone

AM=AD+DM=CM+BM.

L4.

Kako

Je

f

CAD=/oorto

je

i

f

Cm*Toorkao

perife-

rijski

ugao nad

iston

tetivon

CD.Kako

ie

*AgC=fLOo

to

Je

+

ADC=?Oo

kao

periferijski

nad iston tetivon

AC(sa

supro-

tne

strane

od

B).U

aAcD

*

c.e'o=

f

CDA,pa

Je

i

CD

=

CA.

Lr.

Poenatramo

aABE

(

eliha

42).Kako

Je*Ala

prav,to

je

AD

vi

sina

koJa

odgovara

stranici

BF.Sli

Ino

*

BCA

je

prav(kao

periferijski

rraal

prednifom

AB)rPa

Je

3C

visiaa

koja

odgovara

stranici

AF.Kako

se

AD

i

3C

seku

u

tadki

X,ona

je

orto

centar

4ABFrpa

je

tre6a visina

FE

nornaLna

na odgovaraju6oj

stranici

trouglara

to

je AB'

L5.

Nad

duZi

3C

konstruiEe

se

jednakostranidni

tro-

ugao

BCDra

zatin se oko

njega opiEe

krug.Neka

je

p

ll

3C

pra

va

koja

je

oa

3C

udaljena za

h.=jern.U

tadkana

u koJina

pra

va

p

sede

krug

dobijamo

texoena

A

i Alrjer

zadatak

ina

2 re

Senja.

Dokazatji.

izloZenu

konstrukciju

?

slika

42

54

55

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 33/74

,.

TRACIoNAINI

SROJEIII

1..

hedpostavino suprotnortj.

aa

Jeff

racionalan broJ

i da

se nole

prikazati

kao koliEnik

dva ceLa i

uzaJanno

pro

sta

broja

p

i

q.Kako

ie

,[7

=

g/qrto

je

2q2=

p2,pa

Je

p

slgu

rno

paran

broJ i

p=2k.Tada

a"

2q2

=

4k2rpa

Jt

s2

=

2k2,

Eto

znadi

i da

Je

q

paran

broJ.Sl,eduje da su i

p

i

q

delJivi

sa

2r5to

je

suprotno

pretpostavei da

su

uzaJanno

prosti.

Prena

tome

2

nije

racionalanrve6

iraeionalan

broj,

2.

Iskoristiti prethodni

zadatak,

3.

PredpostavLmo

da

je

€

+

I

=

rr6de

Je

r neki raci-

onal.an

broJ,Sada

Je

r-L

=

tft.fato

Je

skup

racionalnib

broJe

va

zatvoren

u

odnosu

na

oduzinanjerto

Je

i

r-1

racionalan

i

ne

noEe

biti

dealna&

rE

koJi

je

iracionalan.Prena

tone€

+l

nije racionalanrve6

iracionalan broj.

4.

SnoJevi

(7)2=l

i

(ll3)4=g

su

raeionalni.

heostali

brojevi

(3)7*tB

t

CGlS=gti

gu

iracionalni,jer kad.a bi

bi

Ii

racionalni

onda

bi i r/; -a/ya/g

blo

racional-an,Eto niJe

nogu6e.

5.

Ako

su

p/q

i r/s

racionalni broJevi

onda su i

nJi-

hov

zbin

(ps+qr.),/qsrrazlika

(pe-qr)/qsrproizvod

prlqs

i

ko-

lidnik

pslqr

takode

racionalni.

6.

Iskoristiti

dinjeni.cu

iz

prethodnog

zadatka

i

ide-

ju

iz

zadatka broJ

1.

f,

Nije.Zbir

.dva

iracionalaa

noZe

biti racionahn

r

I

elidno

vaZi

i

za

razlikurproizvod.

i

kolidnik.Erineri:r/

i-if

su

iracionalni

brojevi.

hoJevirE

+

(-{D=o

,E

-ff

=o,kao

t

brojevir/Z'€

-

2

L

{V

t6= f

su

racionalni.

8.

(1-'D)(1+vt)

=

L-'

=

-2,a

to

je

racionalan

broJ.

9.

Ako

Ae

'[V

-{J

=

r(r

je

racionalan

broj)ronda

Je

12

jed.nako

?

-a[n

+

,.Dakle

Gr

=

G2-to)/e.rako

Je

y'?i

iraci

onalanra

G2-to)/2

racionalan

broj

to

je

nemogu6e.

lO.

Racionali5i

dati b:r.oJ i

dokaEi

i:racionalnost.

i

t,

1i

i

ll

'1,

VIII

RAZRXD

I.

POI,INOMI

1.

Kako

Je

n'+11n

=

o7-n

+

12n

dovoljno

je

dokazati da

;e

a'-n

.

(n-1)n(n+1)

deliivo

sa 6.

2.

rn4+4

=

n4+4n2+4-4r2

=

1

62*2

)

2-

(

er

)

2

=

(r2

-2n*

z)

(n2+2n+2

)

=((n-1)2+l)

((n+f)2+f).Kako

je

svaki

od.dobijenih

faktora ve

6i

od

I dati broj

je

uvek sloZen.

7.

A}r.o

je

p prost

broj ve6i

od

2

onda

je

on

neparan

i

noZe

se

pri-kazati

u obliku

p

=

2k+1

=

(t+t)2-t2.

4.

x2

y2

*

2x2

+

7y2

+

6

=

72

1x,2

*

e7

+v

(y2

+

2)

=

(y2

*2)

(*2

*

7)

.

Kako

je

svaki

od

dobijenih

fa}*ora ve6i

od

1

nJihov

proizvod.

nona

biti sloZen

broj.

5.

n5-n=n(nA-r)=o(rr2-r)(42+1)=n(n-L)

(n+1) (n2+1).Proi

-

zvod

trl

uzastopna

prirodaa

broJa

n-lrn i n+l

uvek

je

deljiv

ea

6,DokaZino

jo5

deljivost sa

5.Ako

Je

n= k-I'tk'5k+1 onda

su.brojevi

o*1r3 i n-l

delJivi sa

l.Ako

Je

n=5k12

onda

je

fa

ktor

n'-+1.

=

25k-l20k+4+1 i deljiv

je

sa

l.

5.

Neka

je

P(x)=ax2+bx+c.Tada

Je

P(7)=49a+fb+c,a

P(15)

=

Z25a+Ljb+6.Kako

je

P(15)-P(7)=r9S6-1985=1=U6a-8b

i

kako 8

deli

desnura

ne deli levu

stranu

jednakosti

takav

polinom

ne

postoji.

/.

Po 1

i

non

P

(x

)

=

2x;V aVx?

*x=

2x2 +

2*7 **2

**= 2*2

(x+

t

)

+x

(

x+ t

)

=

x+l(2ir2+x)=x(x+l)(2x+1)

delJiv

je

sa

6

za

svako celo

x(d.o-

kazati).Kako

je

NZD

nanji ili

jednak

od

najnanjeg 61ana, to

je

NzD

= P(1)

=

5.

8.

Za sve

parne

prirodne

brojeverjer

ako_je n=2k

,onda

ie

nV+16n

=

8kV+?2k

=

8k(k2+9)ra

kako su k i k2+9

razli6ite

parnosti

jedan

od

nJih

je

uvek

paranrPa

ie

dati

izraz

deljiv

sa

8.2=15

za svako

k.

F- t

97

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 34/74

14.

U

svin

zadacina

zvod

dva

i1i

viEe

broieva

ailaca

Jednak

O:

a)

(x-2)2.0

xr=xr.2

9.

Odigledno

se

Pri

""*xt-l*

"

.

.**2**

-*n-l-*n-2

11 elenenti

poniEtavaju.

lo. 8n-1

.

(e-f)(go-l*...+1)

=

?M

deLJivo

Je

Ea

?.Kako

Je

i

21n deljivo

sa

?

to

ie

i

8n+21n-1

delJivo

sa

/.

11.

Kako

je

Zloo-r

=

(?a)25=t

=

Q+-D095*792*...+1)=

iV2-t)(22*t).M =

48.5o.M

-

IoO.24.M

=

L0o'Nrto

se dati

broi

zavr6ava sa dve

aule.

L2.

Ako

Je

x celobrojno

i

P(x)

je

celobroino.Za

x=2

d-o

bijano

P(2)=6126+crpa

Je

i

ova

vrednost celobroJna.

Lr.

f(x)

=

*7*5*24

=

x7o2*4*2to

=*2(t4)+a(x-l')(I+L)

=

1x-r

)

(x2++x++)=(x-1

)

(x

+2)2

.za

x=99998

'f

(

x)-9999?'

looooo2

=

=

gggg?ooooooooo

-

9g99?'Lolo.

mnoZenju

(x-t)(xn-1+"o-2*

+x+1)*

-...-r-l

dobiJa *o-1r;"r se

osta-

koristi se

dinjeniea

da

Je

proi

-

jednak

nuli

ako

je

bar

iedan

od

di

b)

x(rx+f

)2=O

xr=Qrx"=xr=-l/1

L6.

Kod

ovib

zad.ataka

treba

izvr5iti faktorizaciJu

i

leve

i

deene

strane

Jednadine'i

raznotriti

sve nogu6e

konbi-

nae5-Je-sludajeve

:

a)

1(2+y)=71

n

=

{(r,5),(-t,-9),(?r-1),(-?,-r)}

b)

(xr)(x+y)=L',

R

=

t(?,6)

,(?,-5) r(-?,5),(-2r-6)l

c)

(x+7)(y-5)=V,

R

-

t(-zra),(o,s)r(-4r2)r(-514)l

d) rq-):r+2y-e=(x+2)(y-7)=2,

R

*

{(-1r5)r(or4)r(-t,t),(+,e{

")

xz-(y*t)z=(x+y+l)(ra-1)=11,R=

{(514),

(e,-o)r(-er+),

(

e,

o)l

r)

(x+2v)

(x+ry)=14'R

=

lGaS,V),-(-e,

5),

(t?,-5)'

(4o,

-1,

).

.

.l

e)

n

= t(r,o),(-l-,0;,(o,r),(0,-t)l

n)

(x-r)2+

(y-a)z=t,

R

-

t(t,r),(1,1),

(zrz)r(o,2)l

.

L7

.

F'ako

Je

t2

a2

=

(*a)

(x+y

)

-1.

1

986=2. 997=j.

662=6.

Jlt

i kako

au

x- r i

x+y

iste

paraosti(dakle

oba

paraa

i1i

oba ae

par.na)

zakl.judujeno

d.a

jednaEina

nema :re5enja

u

skupu celih

brojeva.

18. a)

Ib*o

je

5p=(n-1)(n+1)

razlikujeno

slede6e

Elu-

daJeve:(n-l-)e

tr,5,p,5pl

i(n+1)€

{

5p,p15,rl

.ReEavanjen

svih

sludajeva

dobiJarno dva re6enja

(nrp)€

{9ari'lr(+rr)}

.

b)

Slidno

prethod.non

sludaju

1p=(n-f)(nc+n+I).Skup

rnogu6no

-

sri

Je:

(n-r)e

{r,l,p,lpl

i

(nz+n+l)e

{lp,n,},1}

."*n

reEe-

nja

R(nrp)

Je

prazaarto

jest jednadina

nena

reSenJa.

c)

U

ovon

sludaJu

p=n2-7n+2

=(n-1)(n-2)

i

postoJi

sano

jedno

reEsnje

(n,p)=(3,a).

d)

Iskoristiti

zadatak

l.DobiJa

se reEenJe

(arp)=(tr5).

L9.

Kako

Je

c2-b2=1+4.(c-u)(c+b)

i kako u

obzir dola-

ze

sano

rastavi

iste

parnostirrazlikujeuo

slede6e

eludaJeve:

(c-u)e

{a,+,e

,e}

i

(c+b)e

l?2,v6,2+,ra}

.smp

uredeaih

pa

-

rova

(b,c)

e

I35,t?),

(16,2o)

,(9,t5),(5,t5)

|

.

2a.

Sabiranjem

jednaiina

dobiJa

se (x-t)2+(y-l)2=O.Je

dino

re5enje dobijene

jeduaEine

Je

x=y=f.hoveravanjen

utvr-

ctujeno tadaost

re5enja.

*4T4=(*-y)(x+y)(x2+yz)=tzl

i

kalo

avi

fa

iste

parnosti

i kako

je

x-y4,x+y4*2*y2

""

-

sludajeve

:

(x-yrx+xr*2*y2)e

l(trr

rrS)

r(tr?

je

nernogu6ra

drugi

daje re5enje

x=4ry.r.

c)

x(x-2)(x+2)=O

x1-orx2=2r*V=-2

c)

(x+2-r)(x+2+r)=O

x'=1,1r=-

")

r2-6**8.x2-6x+9-1-(i-ll21r

.(x-2)(x-r+)=o

xr=Z$r=4

r)

x -:x+Q-*2'rt-2*-a-(x'z)(x-r)=o

xr=2$2=7

6)

x'-tax?+iJx

-

t(*2-5*-?**7il

=

x}-i;1*-i1=o,xr=0rxa=5

i

xz'7

uJ

*a-ro"2

+

g=x4

-x2

-9r2

*

g=

(*2

-9)

(

*2-r

),xr.*7

rx

2=

;5,

x,

=

I

1

x4=

-1",

L5.

U

narednin

zadacina

koristi

se

dinjeni-ca

da

je

su-

kvadrata

jednaka

nuli

ako i sano

ako

je

svaki

od

eLemena-

sune

Jednak

nuLi:

x=oiy-I-o.n-{(o,r)}

(*-z)2*t2=o.

n

-

{(e,o)}

(x+r)2+(y-ri2=0.

n

=

{{-l,rl}

(x-r)2"(y-z)2*(u-il2-

o,

R

=

{{r,2,7;}

(a*-t)2*(ly*1)2+(42*1)2=

o,

s

-l3/z,t/l,t/

Dl

(*?-r)2*(y2-4)2-o, R

-

t(1,2),(1,-2),(-1,2),(-r,-e;f

.

ta

a)

b)

c)

d)

e)

f)

21.

Kako

je

Irtori

noraju biti

zlikujeno

s1ede6e.

e5)]

.rrvi

sludaj

58

t9

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 35/74

22.

o6tgledao

Je

x

paran

broJ.Neka

je

x=2k.Tada

3e

x2=

4k2rpa

3e

x2+4y2=4t2++y2=1986.Kako

je

leva

strana

del.jiva

sa

Ara

desna

nije

to

jednadina

nena

ceLobroJnih

reSenJa.

27.

Ako

je

n=lk onda

je

o2=9k2rp"

je

ostatak

pri

de1Je

nju

sa

I

jed.nak

O.Ako

Je

4= k+lrtada

Je

n2=9k216k+Lrpa osta-

tak

pri

deljenJu

sa

]

iznosi

l.

24.

Nena.Ako

je

r=;ift i

y*lu,ond.^

;.

i*y2*9k2+9n2-1986

pa

jednadiaa

nena

reEenJarjer

Je

leva

straaa

delJiva

sa

pr

a

desna

nije.Ostali

sludajevl

takode

ne dolaze

u obzir

Jer

oe-

tatak

pri

deuenju

1986 sa

,

Je

nulara na

koia

druga

konbi

-

nacija

x

i

y

pri

deljenJu sa

t

dale

bi

ostatak

1 iLi

2.

25.

Ako

je

x+y-1 i x2*y2=l.xvad.riranjen

prve

jednako

-

sti

dobijano

x2+2ry+y2=lrpa

Je

xy=o.oaavde

je

Jasno

da

Jed.aa

od

broJeva x ili

y

nora

biti

uula.

26,

Kako

Je

a+b=24rto

je(a+b)2=242=575="2n2ub*b2.Tu

6L

njenice da

je

ab=141

i

2ab-285

eleduJe

^2*62=576-286=290.

2?.

Ako

Je

x+y=p2rsnd.a

je

*2*2ry*y2=484.Kako

;e

x2*y2*

2JO

rto

de

2xy=484

-25O=27).Da1;e

x2+y2

-2ry=25O-Zr4=L6.

Odavde

zakL$udujeno

da

je

(x-y)2=16,tJ.

x-y=+

ili x-y=Jr.

28.

Ako

Je

x+y=g onda

je

,2*2q,*y2=O.Kako

p

f*y2=2

,

to

Je

21ry=-2rodnosno

w=-1

i x2y2-1.1ada

je

t4*y4=1t2*y2)a

'

zr2y2=4-2=2.

29.

Kolldni-k

+

-

4#

=

"*r

*

;fo

Je

ceo

P"oi

,

ako

Je

a-1 sadrZano

u

broJu

2.

Dakl.e(a-l) €

t

tr2r-I,-2I

oda-

kle

je

ae

tz,rror-fl

.

70.

Ako

ie

*+

ceo

broj

onda

ie

i

(x

+

|)2="2*a*f

t"

koCte

ceo

brojrpa

oduzinanjen

2

dobijano

opet

ceo broJ.

, 1..

Ako

je

I+*

=

2

onda

je(nnoEenjen

sa

x

/

O) r.2+L-2x

ili

x2-2x+1.(x-1)2='ii

odnosno,x-l.Tad.a

Je

*o

-

+

=

l+L

=

2.

x

]2.

Neka

5e

l=fll I B-{?

*J7

.r"d^a

ie

a2=11'

i

r.2=

2

+

+zG

+

v

-

5+2{6.reko

Js

A2{i-J.L-5=6 i s2.5=2,16

to

;e(12-5)2

-

V67

z+-(a6)?-(n2-5)2.oatte

1.2-5y

B2-5,p"

Je

e2

>82

odakle

zbog

dinJenice

da

Je

A)O

i

B)0,zakJ.juEujeno

da

je

A)B,odno-

"oo

y'fi

>,lV

*E

.

 1.

TtaZene

aeJednakoeti

slede neposredno

iz

poznatih

nejednakostiz

(a-v)2>z

o

i

(,l?

-{6

)2>o.ted.nakost

vaZi

sano

u

elu6aJu

kada

Je

a=b.

]4.

Kako

Je

c2=a2+b2

V

z^b=+n

nkorenovaajen

aeJed.nako-

sti

koju

sno

dobiU.rd.olazino

do

rezultat,a

cy'2t[i.

Jed.nakost

vaZi

ako

je

a=b.

V5.

Ako

eu arbrc

pozitivai

realni

broJevi

tada vaZe ne

j

ednakosti,

a2

*b2

>, zab

rb2

+

c2

>.2bc i

c2+a2

>7 zac.sabiraal

en d o

biJenib

nejedaakoeti dobijano traZeau neJednakost.

Sli6ao

a+b7

2

fi6,

b+c

)

2{&

i c+a77

2y'Erltc.oZen;en

ovih

nejednakosti dobiJa se traZena ueJednakost.

2.

PROPORCIONAI,NOST

I

SITCNOSI

.

1.

Neka

Je

prava p

koja

peo-

lazi

troz

B

i

paralelna

je

sa

AC.fa

dka

D

jo

presek

prave

p

i

simetrale

$ACB.Trouglovi

AMC

i

BMD

su

sli

-

doi(

{

AcM=

}

MDB-kao uglovi sa

pa-

ralelnin

kracina i

*

lllc=

*

DMB-kao

unakrsni).

Iz slidnosti

zaklju6uJeno

da

je

AM:M3=AC:BD.Kako

je

ABCD

Je -

d.nakoleaki(f

AcM=

+

McB=

+

IDB=V2)

to

je

BD=BCrpa

je

AM:MB=AC:BC.

slika

4l

2.

Ako

Je

AD

sinetrala

ugla

BAC

onda

Je

BD:CD=AB:AC

=

6:9.Kako

je

AC=BC=l

cnrto

je

AS:19=e:$rodnosno AB=10

cm.Vi-

sina

jednakokrakog

trougla

ABc

je

cc'='(ffi,

=

roErpa

po

-

vr.Lna

AABC

j.znosi.

ro.ro,/t:2

=5or/f

cn2.

1.

Povr5lna

trougla

P

=

aha=

bh'=

ph".Odavde

je

odi

gledno P

=

]a

=

6b -

9c.Iz

dobijenih

relalcila izradunavano

i'

1

I

I

I

\

60

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 36/74

a

-P/5J

-P/6 L c

=p/9.Kakci

Je

b+c

=

p,/6+p/9

=

vp/LB+2p/L8

=

5P/L8<6P/L8=P/5=a,odnosno

b+c(

artakav

trougao

ne

posto_

Jr.

4.

Neka

je

D

podnoZJe

visine

iz

tenena

A

i neka

duZ

AC

ina

duZinu

Ax.llada

je

BC=2x

i

CD=x.Kako

je

AACD.\e.BCN

:

J

C

zaJednidki

i

*

col,=

*

nwc=9go,to

Je

AC:BC=CD:CN.Sredi_

vanjen

dobijene

relaciJe

inano

4x:2r=x:Csrodnosno

CN=V2.Ka

ko

je

A0=4xrto

je

AC=SCNrpa

je

AN:CN=/:1.

5.

Kako

Je

DM

simetral6

{ADB

to

je

AD:DB=AM:}IB.S1i

Eno

je

ND

sinetrala+ADCrpa

Je

AD:CD=AN:CN.DuZi

BD

i

CD

su

jednake(jer

je

AD

teZi5na

d.uZ)rpa

je

AD:BD=AD:CD

Eto

znadi

da

je

i

AM:MB

=

AN:N0rodakle

je

zbog

llalesove

teoreme MNIIS

6.

Neka je

D podnoiJe

hipote_

nuzine

vlsine

i

neka

je

AD=prED=q.Vi-

sinu

CD

oznadino

ga

h.lada

su

trouglo

vi

ACD

1

BCD

s1i6ni(dokaZi? )ra

kori-

ste6i

sllEnost

dobijamo:

AD:CD=CD:BD,

ili

q:h*h:p.Dakle bz=pq=9.t6,Eto

zna-

6i

da

Je

[=J.4=12

cn.Ostale

stranice

a .,:.Bc

lako

raEunano:a=20rb=l5rc=25cn.

PolupreEnik

kruga

upisanog

rr

AABC

ra

dunqno

postupkon

opisanin

u

VII-2.1O.

vrBina upisanog

kruga

Je

25Ju-

cn2.

7.

Ako

krug

upisaa

u d.ati

je-

daakobati

a.A.BC

dodi.ruje

strani.ce

u

tadkana

DrE

i Fronda

je

aACDcvaCSErza

to 5to

in

je

*

AcD

zajednidki

i

+CD"A.

=

*

CES=IOo.Iz

slidnosti

je

AC:AD-CS:

SE

ili

4O:24*h.r:r.Kako Je

l=J2 dobi-

ja

ee

Jednadina

40r=A4(tA*),odakte

je

64r=24.12

ill

r-l2cn.U

zadatku

VIf

l.8.izraEunat

Je

poJ.upreEnik

kruga

opieanog

oko

ABC:

R=25.

Po-Pr,

=

625 [-t44Ji*

48te

cn2.

8.

l{eka

je

S

centar

kruga

ko-

ji

Je

opisan

oko

AABCTD

podnoZJe

visi.

ne koja

odgovara

osnoviei

i

E

diJane-

tralna tadka za

tadtm

B.Kako

Je

*SCl

=

'if

BEA(kao

periferijski

nad

tetivon

AB)

i

*lOC=

+

BAE=9oo

to su

trougto-

vi

ACD

i

BAE

slidni,pa

Je:

BE:BA-AC

:

AD.Kako

je

BE=2p,4n=AC=a{-g/2

i

AD=q ,

to

je

zRa

=

5az/4.Od.avde

je

R-5lg

..

9.

Ako

tadku

u

kojoJ

sinetra-

la

ugla

na

osnovici lC

ec6e

nadpranni

krak

AC

oznadino sa

Dronda

su trouglo

vi

ABC

i

BCD

elidni(dokazi? ).Iz

g11-

dnosti

Je:

AB:3C=BCICD

ili

b:a-a:CD

.

Kako

je

6BCD

;ednakokrak

to

Je

BC-BO,

a

kako

je

AABD

jednakokrak

to

Je

dsE

ED=DA=a.Odavde

Je

CD=b-srn"

dobiJena

relacija

postaje

b:a=a:(b-a),

odnoEno

az=b(b-a)

=bz-ab.

slika

46

BC

slika

4/

D

slika 44

i

dobiJano

3= cn.Po

-

D

slika

4l

10.

T3e11g1ovi

MBC

i

l{AD

su slidnirjer

i.naju

zaJednidki

ugao

kod

tenena

l,I

i

+

PIBC=

d

MDA(kao

periferijskL

nad teti

-

vom

AC).Iz

slidnosti zaklju6ujeno

d.a

je

MB:MC=MD:MA.Iz

d.obi-

Jene

relacije

sLeduJe

traZena

relacija

MA.MB

=

I{C.MD

.

1.1.

$lidno prethodnon

zadatku

aMBC^raMA.C,

jer

in

je

*

t't

zaJednidki

i

*}{BC=

+.MCArkao

periferiski

ugao nad

tetivon

i

ugao izmedu tangente

MC

i tetive

AQ.Iz

stidnosti

zakljuduJe-

no

da

je

I4A:MC

=

I4C:MB

ili

MA.MB

=

MCZ.

12.

Kako

de

MC=torlE,M=10

i

JK

M

=45o,to

je i *

cAM=9oo

i

CA-19

cn(do-

kaii

?t).Na

osnovu

prethodnog

zad.atka

l,tc2*l,l*. MBrili

2oo=lo.MBrod.akle

Je

duZ

MB=2O

cnra

AB=10

cn.Kako ta6ke

ArB

iC

pripadaju

jednon

krugu

to

Je

aJegov

polupredoik

jednak

polupredniku

kruga

opisanog

oko

AABC.Kako

Je

AABC

pravo-

elika

lt8

62

6t

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 37/74

ugll

i kako

Je

nJegova

hipotenuza BC=lOrFrto

Je

R= {2

cn.

L7.

Na

osnovu

zad.atka

1I.

BC2=R2=CD.CA.fz-aABC

kori

ste6i

Pitagorinu

teorenu

dobijano

AC2=AB2+BC2=4R2*R2=5R2,

pa

je

AC=Ril9.

nane

co*n2:Rfi

=

R/{5rAn=ac-cD=RG

-

R/{E

.

Sleduje

da

je

AD:CD

=

(tl5

-

L/E)J/{i

=

42a

.

5o

Dobijano

jednadiau

3x

+

9Y

=

l24.Jednadina

neoa

celobroJaih

reSenJatier

je

leva

strana

deljiva sa

,ra

desna

nije.

4.

O

re5avanju

narednih

zadataka

koristino

slede6u

teorenu:

Ako

je

(xorxo)

Jedno

celobrojno

re5enie

iedna6ine

ar+by

=

cronda

su

nva

celobrojna

reBenja

d-ate

jednadine

de-

firoisaaa

relacijana

x

=

xo+bt

r

trr =

Yo-at

(t€Z).

a)

xo-1,yo.17

;

r

-

1+5t'

I

=

] 1-.7t

(tez)

b)

xoo46ryo-2

i

x

*

46+r9t,

y

=

2-2t

(tea)

c)

Ova

Jednadina

aema

reienja

jer je

leva strana

deLjiva

I

a

desna

nije.

d.)

Slidao:leva

strana

deljiva

ea

Vra

desna

niJerpa

jednadi

na

nena celobroinih

re5enja.

5.

Neka

je

x

broJ'no6i

u

kojina

je

Seherezada

prida

la

po

7$

broj no6i

u kojina

je

priEala

po

5

prida.

lEada

je

1x

+

5l

=

10o1.

Jedno

celobrojno

re5enje

ae

xo-5V7tyo=L,

pa

je

opEtere5enJex=,t2-5t

r

x

=

L

+Jt'pri

denu sux

i

y

ogranideni:

O-(

x-<7Vi

i

O(

y(

2OO.Tz

dobijenih

neied.nako-

.sti

zakljuiujeno

da

je

O-(t(

65'pa

jednadina

ina

67

razli

-

ditih

reEenia,ti.Beherezada

je

pride

nogla

ispridati

na

nai

viEe

6?

aadina.NaibrZe

se

to no6lo uraditi

kada

ie

y

naJve-

6era

x

nainarie;dakle(y=199

i

x=2)za

2ol-

d.an.Beherezada

je

za

pridaaje

nogla

utroFiti najviEe

737

darra(x=Jj2ry-L).

6.

Neka

su

xry i

z brojevi

grafitnih'henijskih

olo-

vaka

i

naliv

pera

koii su kupljeni.[ada

ie

x+y+z

=

1OO

rali

je

L

L./2x+y+Jv

=

lOO.Ako

od

prve

jedna6ine

oduzneno

drugu,r

dobijano:

UZx

-

42

=

O

ili x

=

Sz.Zanenom

u

prvu

dobija

se

y

=

lOO-9z.Kako

je

x+y+z=loort,o

x+z=9z(1oOrpa

je

z-(LL.Zsa

di

d.a

jednadina

ina

12

re6enja(vid.i

tabelu)

L4.

Ako

produZino

osnovicu

AB

preko

tenena

A

za

duiinu

CD

dobiJano

tadku

E.Dobijeni

BDE

ie

pravougaoni

Jer

Je

ACIIDII BD.Pravougli

trouglovi

ADE

i

ABD

su

sLiEnl(zaEto

? ).Iz eli

dnosti

dobijano

EA:AD-AD:ABr

odnoano

An2*AB.AE.AB.CD.

L5.

trouglovi

ABC

i

PQC

su sli-

dni(dokazatL

? ).Iz

sliEnoetl

zaklju

duJeno

da

je

AB:FQ=CD:CE.DuZ

AB=12

'

a CD izraduaavano

iz

povrline

ABC

i

iznosi

2P/a.=72:.L2=6

cn.Ako

stranicu

kvadrata

ozaadino sa

:ronda

dobiJeaa

relaciJa

poetaJe: l-2:r=6:(6-x)

odno-

A

"as

ga=f2-12x

ili

l8x=72.KonaEao

do-

bijanox=4cto.

 ,

sLika

49

slika

50

,.

,IEDNAcINS

1.

Neka

je

x

bloJ

dedakara

y

broJ

devoJdica'llada ie

lox+zb*L?o

ili

7x+2y=I?,a

odigledno

je

x15

i

y(

9'Kako

Je

2y

paranra l/ neparan

broJ to

}x

nora

biti

aeparaa

brojt5to

uo"li u.

Je

i

x

noparan.Dakle

xetrrl'll'Za

uodene

nredno

-

sti

xry

uzina

vrednosti

iz skupa

{

Zr+'f|

,pa

zadatak

j-rLa

5

regenJa:

(1,?),

(7

r4),(5'I).

2.

Zx+Jy

-

5V

(t46).Sli6no

pretbodnon zadatku

pqi-

rodan

broJ

y

nora

biti

Eeparan'pa

'ie

ye

|t}r>l'za

aavedene

vred.noeti

yrbroJ r

uzina

vrednosti:

xe{f4r9r4}

.

cl

/

N

P

/

o

1

2

,

+

5

6

7

8

9

10

L1

x=82

o I

16

24

72

40

48

56

d+

72

80 88

y=loo-gz

100

91

82

7t

64

55

46

v7

28

tg

10

I

6+

6'

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 38/74

7.

U

narednin zadacioa

treba s\raku

Jednadinu

posna

-

trati

u odredeaon

Lntervalu i

proveravati

d.a

li

dobijeno

16-

6enJe

zadovolJava

jednadinu(i

interval)

:

a)

Jednadiae

l2x-t+l =

6

pognatr+mo

u

intervalu

x(2

i

r)72

i

dobijano:-2r+4*6

s,e xl2rodnosno

2x-4=6

za x/Z.BeEenJa

date

jednadine

err

rlc-1r1t=5

.

b)

x(

4:

lx+L2=7r-L2rx=4,

x7.4t Vx'L2=1x-12

,

c)

x<O:

-2x+x=6

,

x=-6

rlO:

2x+x=5

1

z=2

it) x(-2:

":cs-2*8r

-2x=LOr

x

=-5

-24:(O:

-1+x-2=8n

R=9

x>/O:

r+x+z

=

81 2r=6

t

t

=

7

e)

x(,-1:

-e-1'*+1=2r,

4r=O

r

R

=

F

R=fi

R

={x: "}4}

.

n

=

{-e,a}"

,

=

{->,2\

.

-L(x(l:

x+L-x+L=2xr2x=2rB= I

o

.

x/L

x+1+x-1

=

2t

t

2z=22,

n

={r:

t>f,

.

t)

-1-9t

l-x-J+"*.1

=

't-lr

*+}="x-l

,

R

=

I

-l(r(-1:

lrrl+arl

*

tt-lr

-7x-)=-x-L,

R

=

0

r

-1(x(O:

'lx+r+zxl

=

x+lr

- xn=*+L,

x=-1

,

n-=i-fl.

O

(

r(5:

lx+V-Zxl

=

:r+1r

l":r=x+l

r

x=1

r

R

={

1l

.

x)27

lx+j-Zxl

=I*1r

r-V=z+I,

R-F

a-=

{-r,r}

.

s)B=ltrtt/zl

.

h)

n

=

{x:

r.(-5v

t>.ol

.

8.

Oslobadaajen

od

koreaa dobijaju

se

jedna6ine:

lx-71

=218=[r,f]

lzx*Sl

=

11

r

B

=

{-erl}

lx-21

-lx+l|

=11

,

a={-Z,e}.

S.

traZeni

skupovi

tadaka

prikazanl

eu

sLede6in

f,ornu

Iana(grafidki prikaz

dat

Je

na

slici

51):

fO x(O

a)

y

=

lrl

+

1,=

I

L2x

*7rO

 )r)Ory)O:

X=x

i

x<Ory)O:

f

='O

i

:(Ory(

O :

O.y

=

O'x

(sve

ta6ke

kvadraata)

I

r)Ory(O:

r =O.

a)

b)

c)

slika

11

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 39/74

lxl

+

lyl

*

3

lx-al

=

ly-rl

za

x|,OrylrO

za

x(Ory)0

za

x(OrX(

O

za

xlOry(, O

za

xlt?ry).1

i

r(

2rX(

1

za

xl2ry)l

i

x22ry(,

1

J*-

=

L

zazlp

t

x-y

=-1

za

a.< l

f

x+7

=-1

za

r4-T

{**y=L

zax>-rr

(y*=L

zar(y

1"-r

=-t

za

a.>y

f

r+y

=

1

za x.>a

1**y

=-1

za

x(1r

10.

Seka

Je

Vtada

roden

ffi

goaine.2@l.gedine

vla-

d.a

6e

iqati

zOO]-iffi

god.inara

to

Je

Jedpako

l+ +x+y.Dobi-

jano

Jedaadiau:

20ol-(t9OO+fqr+y)

-

lOrx+y.posle

sre6ivanJa

jedaadina

fglaei:

11x+2y

=

gt.&ako

su x

i

y

cifre

to

su

oni

naaJi od lO.Ihko

Je

2y(

lsrzaklJudujeno

d.a

Je

1tx)

93-LA=?5

pa

je

x27|.Odigledao

x ne

noie biti

parnorJer

bi

tada

1Lx

+

2y

bilo

perao.S

druge

strane

x

nlJe

9

Jer

b-i

tada llx)

l

,

pa

je

x=/.lago

izradunavano

t*(93-??):2

-

8.

ylada

Je

rodea

1978.Sod.ine

i ZOO .godine

6e isati

1+9+7+8

=

Z@r-Ig?8

god.i

ll8o

11.

Odigledno

Je da

ge

svakin

udarcen

naEa

broJ

gla-

va

zoada

snaBJude

ili

pove6ava

za paran

broJrrako

Je

kod.

ra

5eg

znaJa

1987

glavarBa3-delik

nikakvon

konbinacijon

ud.ara-

ca ne6e

odse6i

znaJn

Eve

glave.llo

ee notre

po$azati

i

Jedna-

dinonr

(a-A)x+(+-r6)y+(o-o)z+(8-2)t

=

198?.eako

degna

stra-

aa

Jednabino

nije

deljiva

ea 2ra

leva

Jestc

to

data

Jed.nadi

na

lena

ceJ.obroJnih

re5enJa.

DRUSTTO

MATEIITATIEA&A

SR SRBI.IS

VGTISIJAV

ANDRIE

IIEIIEKO

IIJE

SnANISIJAY IAZARSVId

ZB IR TA

PRIIREMNIII

ZA}ATAKA

ZA MATEMAtsICKA

fAKI'IcNUA

1987.

GODINE

fx+y[

=

e{'*t=z

2s;7+y)2Q

(n+Y

=-2

za

r+Y(O

(ot=v

l'*+y

=

t

1-"-=r

\*-

=

I

ft

=

x-1

{v

*o*l

f)

t).o,y)rA:

lx-yl

x(,OrXlO:

l-*lfl

=l

-f,

r(,Ory(O:fy.*l

*I

x)OrI(O:

l:r+yl

-

1.

BEOGRAD,

1gg7.

69

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 40/74

rV

NAZBED

1. K@KA I

KIIADAR

1. Koliko

so

kvadrata

EoZc izbroJati

na

stranatsa

rrna

dareke

kocker

?

2. Zblr

duZina svih

iviqa

kocke

Je

2Ol

cn.Izra6unati

porrr5inu

i

zapreninu

kocke.

l.

[ri kocke ivice

e=1,

cn

elo-

ieae

su

kao

ns

glicl

l.Izraduaati

po

-

lpSiuu

i zapreminu

ovako

dobiJenog

te-

Ia.

4. Kada

ge

ivica

kocke

uve6a

za

I cnrponn5iaa

kocke se

pove6a

za

V66rcl#

Izra6unal

po\d5inu

1

zapreninu

kocke.

9.

Kol-iko kocki ivice

4

cn

troba

etaviti

jednu

pored'

drugerda

bi

se

dobio

kvadal

povr'Eine

752

cn'

?

5. Bazen

oblika

lvadrarstranica

a=lo ntb=2O

nrc*t Dt

aapuajen

de

2/7

vodon.Izradunaj

koliko

je

litara vode u

ba-

zenu

i koJu

porr5inu

baaens voda

ne kvasi.

7.

&ada

se

kvadar 6iJa

Je

$edaa

ivica

24

cm

r

podeli

 a,

4

jednaka

dela

dobiJaJu

se

4 kocke.troliko takvih

kvadaa'a

ina

i

kolike su

in

PovrEiae

?

8.

Koli-ko

se

dasaka

duZine

4

nr5irine

,

dn

i

deblji-

n€

5

cnrnoie'natovariti

na

kanion

nosivosti

]

trako 1

nJ

da

ske

ina nasu

85O

kg

?

slika

L

F'

70

7L

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 41/74

t

p

I

li

i:

il:.'

i:it

t,

::

i

i

I

i'

l',

;

li

li'

ll

I

i

9.

Kvadar

je

eastavlJen od

12

Jednakih

kocki

dija

Je

ivica

5

cn.Kolika

je

povriina

tog kvadra ?

1O. Kocka ivice

5

cn

oboJena

je

cnrenon boJonra

zatin

je

isedena na

kockice

ivice

I

cn.Koliko kockLca ina

trirko-

liko

d.ve obojene

strane? Koliko kockica

nije uop6te

oboJeao

crvenoln bojon

?

lI.

Kvadar 6iJe

su

ivice

2

ar4

n L

8

nrina

zapreninu

jednaku

zapremini

kocke.Ko

ina

ve6u po\rf,ginu:kocka

iLi

kva-

d.ar

?

12.

Zaprenina

kvadra

je

616 cn]ra dgZine straaica

kya

d. a

su

prirodni

brojevi"Kolika

je

povr5ina

kvadra

?

11.

Ako

ee

zapremina koche

uve6a 8

putarkoliko

je

pu-

ta

uvecana

njeaa

ivica

?

14.

Gronada u

obl.iku kocke ivice

1 km

ieedena

$e

a

kockice

ivise

1

dn.Koekicana

je

popl.odana

staza

Sirine 1

n.

Za

koliko

bi

dqaa

takvu

stazu

pre6ao

biciklista

koJi

svakog

d.ana

vozi

I

dasova

i svakog

dasa

plelazi

po

4O kn

?

15.

Kocke

ivica

l-

cmr2

carJ

cn

i

4

crnrrazrezane

6u

na

kubne centinetre

i

od

njih

Je

eastavljeaa

kvadratna

pJ.oda

.

Kolika

je

povrSina

te

plode

?

2. RESAVANJE

PBOBTEI{SKIE ZADATAKA

l.

Ako

zani5lJeni-

broj

uve6ano

I

puta

i

novodobiJeni.

broj

uve6ano

za

Srdobijano

broj

SO.KoJi

je

broJ zani5ljen

?

2,

Otac

je

stariJi od

sina

za

24

godine.troliko

god.i-

na

ina

einrako

Je

pre 5

godina

bio

4

puta

nladi

od

oca

?

].

lbjka

ina

]5,a

k6erka

9

godina.Kroz

kol-ilo

godLna

6e

naJka

biti

,

puta

starija

od

k6e:r'ke

?

4.

Sad.a

Jc

otac

?

puta

stariJi od sinara

troz

tO

go-

dina 6e

biti

sano

3

puta

stariji.Koliko

god.irea

ina

sin

?

5.

he

J.O

godina

najka

je

bila

4

puta

stalija

od

siaa

a lcoz

10

god.ina

6e biti

sano

2

puta

starija.Koliko

6e

godi-

na

inati

ein

i

najka 2@0.

god.ine ?

6.

IeteLe

su

vrane.Spazile

Eu

grane.

Po

tri

vran.e

-

grana

viEe.

Po

dve nraoe

-

rrrana

vi5e.

Koltko vrana

?

Koltko

grana

?

7.

Razlika

dva

broJa Je

tLrkolidnik

4ra

ostatak

6.Ko-

ji

broJevi su u

pitanJu ?

8.

Na

gomili

Je

bio

izvestaa broJ

oraba.l{rarko

Je

uzeo

tre6inu

oraha

i

joB

I orah.ll:Llaa

Je

uzeo tre6iau

preoetalih

oraba

i

JoE

1 orahra

SoJan

takode

tre6iau ostatka

i

joF

Je

-

daa

orah.Koliko

je

oraha bilorako

je

BoJan

ostavio

5

or.aba?

9.

Darko

i

Goran

su, na

pijaci

kupili

5

lubenica

Jedna

ke teZine i

jedaake

cene.Darko

je

platio

lra

Goran

2

lubeni-

ce.llad.a in se

prikljuEi

MiSko

i

sva

trojica

zajedno

pojed.u

lubenicarpri.

denu

je

svakl

pojeo

istu kolidiau.MiEko

ostavi

za

svoj

deo

5

dinara

i

ode.Kako 6e

Darko

i

Goran

d.a

nedn

so-

bon

podele

taj novac

?

10.

U

jednoj

poeudi

i.na

dva

puta

viSe nl.eka aego

u

dru

goj.Ako

se

iz svake od.

tlh

posud.a

odl.ije

po

20 litara

nleka,

oada

6e u

prvoJ posudi

biti

,

puta

vi6e

nleka

aego

u

drugoJ.

Koliko

Je

na

podetkr:.

bilo

nleka

u

svakoj

od

posud.a

?

11.

Ako

bi

Caca

dala

l{aci

lO dinararobe bi

inale

jedaa

ke

sune

novca.Ukoliko bi

Maca

dala

Caci

20

di.Darartada

bi

Ca

ca

j.naLa

tri

puta

vi5e

novca od

Mace.Koliko

novca sada

inaJu

Maca

i

Caca

?

L?-.

Zbi-r dva

broja

je

lr48.Ako se

jedaa

od

nJih

umanJi

za 6lra drugi uve6a

za

89

dobiJaJu se

jednaki

brojevi.Odred.i

te

brojeve.

L].

Proizvod

dva broJa

Je

L92.Ako

jedan

od njih

uve6a-

no

za

4

dobija se

kao

proizvod

240.0

kojin brojevina

Je

red?

T"

7t

t.

?'bir

dva

broJa

ie

147.Ako

ve6en

od

njih

izbriBeno

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 42/74

14.

Grupa

izletnika ugovori

voinJu

autobuson

tako

d.a

evaki

od

aJih

plati po

60

dinara.Medutinr

izletuika

otkaZe

tako

da

gu

oetali norali

pLatiti po

8O

dinara.KoLiJro

je

iz-

letnika

poElo

aa

izlet

?

15.

Kollko

kllograna

paeulJa po

ceni

od L9O d.in.

tre

ba

poneEati

sa 10

kg

paeulJa

po

ceni od. 14O d.inaxarda

bi

se

d.obiJena ne5avina

prodavala po

ceni

od

l.?O

dinar.a

?

15,

U

boJleru

ge

nalazi

40

litata

vode

6iJa

Je

tenpe

ratura 4oo.tro1ito

litara vode

tenperatule

l4o

treba

doliti

d.a

d.obiJeno neBavinu tenperature

,Oo

?

17.

Grupa

uEeuLka

odludi

d.a

kupi

loptu.Ako

bi svaki

uEenik

dao

po

10

dinara

nedoetaJalo bi in

]O

dinara.U

sluda

ju

da svak da

po

12

diaara

preostalo

bi in 14

dinara.Koli-

ko

koEta lopta

?

18.

Jedan

posao

bL

rO

rad.nika obavilo

za 28

daaa.Ako

bi se

posle

lO

daaa uklJudilo

JoE

nekoliko radnika

dati

po-

sao

bi se zarrriio 6

dana ranije.Koliko

radnika

Je

nakaadqo

ukljudeno

u

posao

?

1 .

Majka

deli

Jabuke

svoJoJ

4""i.Ako svakone da

po

5

Jabuka

preteloru

JoJ

3

Jabutela

ako svakotne da

po

5

Jabuka

nedostaJu

dve

Jabuke.Koliko

ina

d^ecera koliko

Jabuka

?

20.

g

dvorlStu

pasu

koko5ke L

Jagaajcirpri

6enu

uoEa

vano

ukupno

l-OO

nogu

i

36

glava.Koliko

ina koko5akara koli-

ko

jaganJaca

?

,.

RAZNI

ZADACI

rJ

L.

Koliko

ina

detvorocifleaih

broJeva

diji

je

proi-

zvod

cifara

jednak

4

?

2.

Koriste6i

Eetiri

dvojke,znakove

raduaskih

opera-

ciJa

i

zagrade sastaviti

brojevni izraz 6iJa

de

vrednost

7.

cifru

Jedi.aica

d.obijeno

drugl

broj.O

kojin

broievina

Je

reE.

4.

Izradunati

zbir

prvih

1OO

neparnih

prirodaih

bro

-

jeva.

 .

U broju

2?5t+867

izbrisati

tri cifre

tako da

preo

-

statak

bude:

a) najve6i

b) naJnanji

nogu6i broj

.

6.

za

koliko

se

razlikuju

najnanii Eestosif,reni i

naJ

ve6i

petocifreni

bloj

?

f.

KoJon

cLfron

ge

zavrSava

proizvod

prvih

1987

aepa-

rnih

prirodnih

broJeva

?

g.

Sta

je

ve6e:

zbir

iLi

proizvod

brojeva O'L'zrrr4

?

9.

Koliko

se

dobiJe

kada

se

4

d.esetice

ponnoZe

sa

se-

dan desetica

?

L0.

OdreditL

sve

prirodne

brojeve

koJi

pri

d.eljenju

sa

?

daju

koliEuLk

jednak

ostatku.

11.

U magacinu

je

bilo 6 ne6a

bra6na

teZine

22r27r26t

28129 i

11

kg.Dva

kupca

kupila

su

5

\rre6a.Jedan

od

njih

ku

-

pio

je

4

puta

vi5e

braEna

od drugoga.Koja

vre6a

je

ostala

ae

frodata

?

L2.

U

jedaon

rnesecu tri

6etnrtka su

bila

parnog

datuna

Koji

dan u

sednici

je

bio

29. dana u

mesecu

?

LV"

Za izvesnu

sunu

novca

noZe

se

kupiti 15

n

platna

'

Ako

platno

pojevtini za 2@ dinararonda

se

za istu sunu no

-

vca

noZe

kupiti

joE

I

n

platna.Kolika

ie

cena

platna

?

14.

Ako se

na

Jedan

tas terazj.ja

stavi

ciglara

na

dtu-

gi

tae stavi

4,/5

cigle

i

4/, ke vaga

6e

biti

u rarmoteZi.Ko-

liko

je

teEka

cigla

?

15.

Novdanicu

od

5@

dinara

razmeniti

u

novdaaice

6ija

je

vredDoEt

20 i

O

dinarartako

da

bude

16 novEanica.

Koliko

6e

biti

novdanica

od

2ora

koliko

od

50

dinara

?

16.

Dyaaaegt

hlebova treba

pod.eliti

na 12

licattako

da

75

svaki

dovek

dobije

po

2

hlebarevaka

iena

pola

hleba

i

svako

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 43/74

d.ete

po

detv:rtinu

hleba.KoLiko

u to$

gnrpt

ina

nuika:raca,ie

na

i

dece

?

l?.

Vlada

i

Nada

su

pre

1O

godina

inali(zajedno)

LO

godiaa.Koliko godina

6e

(zajedno)

inati

Vlada

I Sada

za

d.e-

set

godi.na

?

18.

Pravougaonik dije

eu

stranice

I

cn

i

,

cn

pode

-

ljen je

na

kvadratne

ceatioetre.Koliko

ee

na

dobijeaoj

sli-

ci.

noZe

uoditi duZirkvadr"ata

i

prayougaonika

?

19. Inate

sano dva

suda

:od

4

i

7

Litara.Kako

korie-

te6i

sano

ova

dva

suda

ea

derene

naEuti

ta6no

6 litara

vode?

20. Dat

Je

pravougaoaik

6iJe

su

stranice

4

cn :i.

9cn.

Razrezati dati

pravougaoaik

na

dva

dela

iz

kojih

se

noie

sa

staviti

kvadrat

.

21. Kocka

stranice

1

n

ead.nii

1OOO litara

vode.Koli-

ko litara

vode eadrZi

kocka

upola manJe

str.anice ?

V

RANED

1.

RAZIOMCI

1.

Sta

je

ve6e,

S

ui

2,

Upored.i

razlonke

1996

i

L987

qq

fre

1987

1988

].

Poredaj

po

velidini

razlonke,

19

,19L2

,

191919

.

87

8787

878?8?

4. Sta

Je

ve6e:

ffi

ili

ffi

?

.

5.

Odreditl

raztonak

s ineniocen

lnkoji

Je

ve6i

od

f

i

nanji

od

t

.

5.

Da

li

postoJi

prost

broJ

p

takav

d"a

Je

ispuaJena

nejednatost:

br*r?

?

7.

od'r'editi

sve

razlonke

sa

Jed.nocifuenin

ineniocina

od kojih

Je

evaki

ve6i

od

?/9ra

nauJi

ad

g/9

.

8.

Odrediti

razlooak

Jednak

razlonku

5/9

taleo

da

je:

a)

zbir b:cojioca

i

inenioca

jednak

126

b)

razlika

inenioca

i

brojioca

jednaka &c)

proizvod

broJioca

i

inenioca

Jednak

4O5

.

9. @rediti

nesvodljiv

razlonak

tako

da

nu

Je

proi

_

zvod^

broJioca

i

inenica

Jedaak

55o

i

d-a

ina

konadan

decina-

Ian zapia.

10. Da

li

su

svi razlonci

diJi

je

brojilac

paran

broJ

a inenilsc prost

brojrneevodljivi

?

?6

169

predstaviti

tri

razlo

77

jo

ugao

aOb i na

njegovon

kralcu

Oa

tadka

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 44/74

;unai1fu:

***

(f

Pogledati

zadatke iz

teme

RAOIONAINI

SROJEVI(VI

razred)

Ll.

Razlonat

kao zbir

-

mka

sa

jednocif:reoit

140

lneniocina .

12.

Koristq6i

jednakost

nt"*)

=

+

-;fu

tr".

-

+

99hb6'

'

13.

Dokazati

jedaako"t

r

1 '

"

fi

*

,1

'

r.986.1987

1986

'L

14.

Jedan

dovek noZe

da

popije

bure

piva

za

21

d.an.

Alirako

nu njegova

Zena

ponaZe

onda

6e to

bure

piva popiti

zs

L4

dana"Za

koliko

d.aaa bi sana Zena

popila pivo

iz tog

bureta

?

15.

Bazen

se

jednon

slavinon

moZe napuniti

za

5

sa-

tira

dlugom

za 8 sati.hrn

bazen

se

noZe

isprazniti

Jednon

odvodnon

cevL

za

4

sata.Ako

se

istorreneno otvore

obe

sla-

vine

i odvodna

cevrkoji.

deo

bazena

6e

se

napuniti

za

2 sa-

ta?(1

2.

SII'TETRIJA

1.

Konstruisati

jednakokraki

trougao

ABC(

A0=BC

),

ako su data

tenena

A

i

Bra

tre6e tene

leZi ua datoj

pravoj

Pr

2.

Na

stranici

AB

proizvoljnog

trougla

ABC

odred.i-

ti

taEku

M

koJa

je

podjednako

udaljena

od stranica

ACiBC.

7.

Dat

je

proizvoljan

trougao

ABC.Od.rediti

tadku

M

koja

je

podjednako

udaljena

od

stranica

AC

i S i

Jed.nako

udaljenaodtenenaAiB.

4.

U

ravni su

date

proizvoljne

prave

arb

i

c.Odre-

diti

taEku

A

na

pravoj

a i taEku

B

na

pravoj

brtako

da

one

budu

sinetridne

u

odnosu Da

plavrr

c

o

5.

Dat

oEtar

A. Konstrisati

krug

koji

prolazi

lrcoz tadke

O

i

Ara

centar

S

je

na

kraku

Ob.

6.

Kg.oz

d.atu

tadku

A

izvaa unutra6nJe

obLaeti

datog

oStrog

ugl.arkoastruisati

pravu

p

koja

sa

lracina

gradi

Jedna

ke

uglove

.

7.

ladka

A

je

n

unutra3njojra

tadka

B

u epolja6nJoJ

oblasti

konveksnog

ugla.oilrediti

tadku

M

jednako

udaljenu

od

Icakova

datog

uglarpri

denu

Je

AM

=

BM

.

g.

Data

je

taEke

A

i

duZ

BC.

Konstruisati

krug

ako

Je

d.ata

duZ

S

njegova

tetivara

tadka

A

je

tadka

na krugu.

 .

Konetruieati

bug

polupredniha

2 cn

koji

sadrii

da

tetadkeAiB.

lO.

Konstruisati bug

koji

dod:iruJe

krake

datog ugla

i

to

jedan

lnak u

datoi

taEki

4..

11.

Konstruisati bug

k

koji

prolazL ]coz

datu

ta6kq

A

i

datu

pravu

p

dodiruje

u

datoJ

taEki

B

"

1-2.

Odred.iti taEku

D

koia

Je

po<lJedaako

ud'aliena od.

d'a

tih

tadaka

A

I

Bra

od

ta6ke

C

ie

ud.aljena

4

cn.

1 .

Koastruisati bug

diii

ceatar

LeZi

aa d'atoj

pravoJ

pra datu

pravn

t

dodiruje

u datoJ

tadki

A.

14.

Data

Je

simetrala

e

date

duZi

AB

i tadka

C

u

istoJ

lsyai.Koriste6i

se

gano

ravuin

lenjirou

konstrui3i

tadhr

Cl

sinetridnu

Ba

C

u

odnosu

na datu

plavll

Bo

1 ,

Dat

Je

kvadrat

ABCD

i

tadka

M

vaa

nJega.Konstruisa

ti

pravu

p

koja

prolazi

kroz

alatu

tadklr

M

i nornaLna

jc

na

dijagonali

AOrkoriste6i

se

pri

ton

gano

ravnin

lenJiron.

16.

u

istoJ

ravni

date

su

prava

p

i tadkE

a

i

B(sa

Je-

drre

stlane

prave

p).@r€d'iti

tadku

M

prave

prtako

da

je

zbir

duZi

AM

+

BM

naJnauJi

nogu6

.

1?.

Dat

Je

o6tar

ugao

aob i

u njegovoj

unutra5nioJ

ob-

lasti

tadka

C.Na

laaku

Oa

odrediti

tadku

Ara

na krakn

0b

ta-

78

79

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 45/74

dku

B

tako

d.a

Je

obin

trougla

ABC

bude

naJnanJi

nogu6,

18.

Konetruigati

trug

koJi

prolazi

boz d.ate

tadke

A

i

B

i

d.odiruje

pravu

p

(pll

AB).

19.

Konstluieati

krug

koJi

tlodiruje

d.atu

pravu

p

r

a

d.ati krug

tr(Orjco)

dod.iruJe

u

d.atoJ

ta6ki

A.

20.

U

ravni

su

d.ate

tadke

ArBrOrD

koJe

ne

pripad.aJu

istoJ

pravoj.Konstruisati

toug

koJi

je

podJednako ud.aLJend

datih

tadaka.

3.

RAZ {I

ZADACI

1.

KoJe

od

g1ed.e6ih

figura

ee

nogura koJe

ne

Eogu

nacrtati

jednin

potezon

?

"xr

'b)*'d

frd)

M

l.

U parlru

se

aalazi

jezero

ea

tri

ostrva

ArBrC

i

g

nostova(sllka

J). loie

li

ee

po6i

iz

nekog

nesta

u

parkurobi

6i ceo

parkra

da

se

pri

ton

preko

svakog

nosta

preite

ta6no

jedau

put.

1.

fri

devojdlce

AnarBiljana

i

Verica

sa *ile

su

u

d.iep

svaka

po

jedan

prednet:gunicurolovku

ili

prs-

ten.Sta

je

koja

od

njih

salrila

ako

je

sano

jedna

od

sLede6ih

izJava

ta-

dna:

Ana

Je

sahila

gunicu

,

El.lJana

niJe

salri.la gunicurVerica

niJe

sa

-

lrila

prsten

?

4.

Od

tri

olovke(ozaadino

ih

slika

7

sa

ArB

i

C)jeaaa

Je

crvenardruga

be-

3.ara tre6a

plava.Koje

boje

je

koja

olovka

ako

je

sano

jed.na

ffi

od slede6ih

izjava

tadna:

A

Je

crvena;rB

nije

crvenara

O

nlJe

plava

r '

J.

ZbLr dva

prirodna

broja

je

288ra

nJihov

najve6i

za

jedni6ki

delilac

ia

75.O

koJin broJer4ina

Je

re6 ?

6.

Postoji Li

prirodan

broJ

kod koga

je

p:r.oizvod

ci-

fara

jed-nat

785

?

7.

Odrediti.

oajuaaJi prirodan

broJ

kod koga

je

proi

-

zvod

cif,ara

4rr

6OO.Da

Ii

postoji

naJvedi

takav broJ ?

8.

Prazna

polja

u

broju Lzr...,

popuni

tako

d.a

dobiJe-

ni

Sestocifreni

broJ bude ateLjiv sa

7rB

i

9'

9.

Odrediti

najnanji

prirodan

broj koiim treba

ponno-

Ziti

broj

3OO

da

bi se dobio

kub nekdg

prirodnog

broja.

LO.

KoJe

sve

figuro'se

mogu dobiti

kao

presek

skupa

ta

6aka

Jednog

o5trog

ugla

i

iednog

trolrgla

?

L1.

KoJi

ugao

Je

Jeilnak

tre6inl. svog

uporednog

ugLa

?

12. Razllka

uporednih

uglova

JFdaaka

je

polovini

oEtrog

ugla"

Dokazati

da

je

ugao konpJ.enentaD

sa o5tlin

ugJ.on

iednak

Eetvrtini

oEtrog ugla.

13.

Koliko ina

detvorocifrenih, brojeva

koJi

poEiaju

ci-

fron

2rzanniavaju Ee

cifron

4

i d.eljivi

su sa

9

?

14.

Koji se od

brojeva

90

i

LOO

noZe

na

vi5e

na6ina

pri

kazati.

kao

proizvod

prirodnih

broieva

?

15. Koji

prirodni

broJevi

funa{re tadno

tri deLioca

?

16. Iznedtu cifara

broja

98?65412L

rasporedi einboleR+rr

tako

da

dobijeni

zbir

bude

99.

17.

Dokazati

da

poetoJi

?

uzaEtopnih

sloiEnih prirodnih

brojeva.

18.

KoJi

je

broj

sledeCi

u

uizul

2rtr4r6t9tL4r22'...

?

19.

Da li

Je"nornalnoatpravihf

rei.acija

ekvivalencije?

2O,

Ako

Je

f(x-7)=2x-1

izraduaatl:

f(O)'f(1)'f(r)

.

80

81

.

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 46/74

VI R.{,ZR8D

1.

SACIONALI{I

BROJXVI

l

1.

Koliko

racionalnih

broJeva

se

ineniocen

5

je

ve6e

od

-1ra

nanje

od

1

?

a.

Sta

Je

ve6e,

W

iri

ffi

?

7.

Kerko

Je

nogu6e

od

konopca

duZine 2/7

metna odreza

ti

L/2 Eetra

bez

upotrebe

netra

?

4.

Od.red.iti

dva broJa

diJi

je

zbir

-L/5

,a

kolidnik

U,.

5.

Racionalan

broj

-+/7

ie

nastao

slcea6ivanjeu

raci

onalnog

broja

diJi brojilac i

inenilac

inaJu

zbir

885.Izra-

dunal

prvobitni

racionalan broj

.

6.

Odrediti

skup

svih onih racionalnib

brojeva

diJi

je

ineailac

jednocifreu

broj

i

koji su

ve6i

od

-4/9ra

nanji

od.2/7

.

?.

za

kole

vrednosti

celog

broJa x

Je

i

+

takocte

x

ceo

broJ.

8,

Ako

je

x

racionalan

broJr5ta

je

ve6e

x iti

I

I

 ,

KazalJke

na

dasovniku pokazuju

9

sati.

Posle

ko

-

liko

vrenena 6e

se

one

prvi

put

poklopiti

?

lO.

Brzina

kojon se

biciklista

penje

uz

brdo

je

10

kn

na

satra

brzina

spu5tanja

je

15

knlh.Kolika

Je

duZina

uspo-

narako

Je

rnene

spuEtanJa

za

LO

ninuta manje

od vfenena

pe-

njanJa

uz brdo

?

11. Iz

punog

balona

distog

alkohola odlije

se

L/4

i

doli$e,'voda.Zatin

ponovo

iz baloaa

odliJeno

I,/7

i

d'o1l'Jeno

vodu.0g,Eg,treuutao

ina

viSe

u

balonu:

alkoboLa ili

vode

?

l' 1f,' Pet dedaka treba

da

podele

9oo

dinara

tako

d.a

pr

va

dvojica dobiju

2/1

od.

onoga

6to dobiju ostala

tri

deEaka.

Koliko

je.

dobio

gvaki

od

njihtako su

prva

dvojica svoju

su-

nu

podqllli

u

raznerL

2zJra

druga trojica u

razneri

22724 ?

trj.

Kada

Laza

potrolL

L/4

Evoga

nQvca

rVoJa

L/J

svoga

novca

i Vlada

L/2 evoga novca

ostanu

in

iednake

sune.Koliko

je

novca

inao

svako od

njibrako

ie

taza

potroBio

1O

dinara

vr-se

oo. YoJe

t

14. U

Skoli

je

bilo

24O

d.evojdica

i dedaka.Ako

polo-

viau

udenika Bkole

dine

7/5

devoilica

i

V/?

dedaka

,

koliko

Je

bilo

d.edakara

koLiko devojdica

?

1

L5. U

tri

cisterne

bi.lo

Je

ukupno

780

litara

soka. U

sluEaju

da

iz

prve

odlij

emo

L/[rLz

aiuge

L/5

i iz

trede

7/?

J

u

sve

tri

pisterne

bi6e

Jednake

kolidine

soka.Koliko

je

eo-

ka

u

svakoi

od

cisterni

?

\z

../

.

2O GDOMENRIJSKI

DOTAZ

1.

Oetiri

prtave

arbrerd

iste

navai

seku

se

u

JednoJ

taEkL i obrazuJu

osan

uglova sa razliEitin

unutraBnJin

obla

Etiua.Ato

uglove ozaadino

broJevina

lt2rV

r4tr

t6rTrB

dokaza-

ti

da

je

*t

+

*4

+

*?

<18Oo.

2. Ugao

pri

vrhu

Jednakohakog

trougla

de

l6o.Doka-

zati

da

Jedna

od

sinetrala

uglova

delt dati

trougao

na

dva

jedaakobaka

trougla

l.

U

pravouglon

trouglu

ABC na

hipotenuzi

AB

uodenc

Eu

tadke

M

i. N

tako

da

je

AM=AC

i

BN=BC.Dokazati da

de

ugao

2>

Pogledati

zadatke

iz tene

RAZLOMCI

(za

V

razred)

82

IvcN

jednak

45o

.

e1

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 47/74

4. Ako

Je

teZlsna

tluZ

trougla

Jednaka

potovini

odgova

raJu6e

stranioe

trougao

Je

pravoogli.

Dokazati

.

5.

U

pravouglon

trouglu

ABc

ta6ka D

je

podnoiJe

hipo-

tenuzine

visinera

tadhe

I i

F

eu

srediSta

kateta

AC

i

BC.Do-

kazati

da taEke

O'D'E

i

F

pripadaju

iedaon

lougu.

6.

U

proizvoljnon

trouglu

AnC

ta8ka E

je

ortocentar .

Dokazati da

je

+

AcB

-

+

ABH

+

{

BAE

.

?.

U ravni

su

date

;etiri razlidite taEke

ArBrc'D ta-

kne

da

je

ABJCD i

ACIED.NacrtaJ

sliku

i

dokaZi d.a

Je

tad.a

i

a0J-3c.

r

8.

U

trouglu

AB0

sinetrala

*

BAc sede stranicu

BC

u

ta6ki

D.Na

EtraDici

Ao'data

ie

tadka

E takva

da

Je

*cof

ie-

dnak

+

BAC.

Dokazati d.a

je

BD

=

DE.

9.

Kod

paralelograna

ABCD

aa lra6oi

diiagoaali

BD

da-

te

su

tadke

I,I

i

N

tako

da

Je

D {

=

SN.Dokazati

da

je

detvoro-

ugao

6iJa

su

tenena

tadke

ArNrC i

M

paraleloglan.

10.

Date

su

proizvoljne

prave p

i

S

koje

se

selnr u

ta-

dki

C.Na simetralaua

ugl-ova

pOq

i

SCp

d.ate

su

tadke

ll

i

N ta

ko

d.a

je

MNll

p.DuZ

tttN

s'e6e

pravu q

u taEki

D.Dokazati

d'a

ie

tadka

D

srediSte

duZi

M$.

lL.

U

unutra6njoj

oblasti

trougla

ABC

data

je

proizvo-

Ljna

ta6ka

M.

Dokazati:i

a)

*Apt32

'{AcB

b)

AM+M8<Ac+3C

"

12.

feiiSna

duZ

trougla

nanJa

Je

od

poluobina

trougla.

Dokazati .

11.

teZiina

duZ

trougla

nanJa

je

od

poluzbira

stranica

koje

polaze

iz

istog

tenena.Dokazati.

14.

U

jednakokrakon

trouglu

ABOrosnovica BC

produZena

je

preko

tenena

C

d.o

tadke

D.Dokazati

da

ie

}ABC

>

+ADC

.

15.

Neka

Je

S

centar

kruga

upisanog

u

trougao

ABC. Ako

je

o{>p>

6-

onda

ie

AS<BS <CS

.

Dokazati.

v"

RAZNI

ZADACI

.

I"

Koliko

re6enja

ina

Jednadina:

lx-)l

+14

=

5

?

2,

ReEiti

nejedaadiau:

lx+21

<

L .

t.

Ako

je

r

racional"an

broJoBta

ie

ve6e:

lr

+

2l

nfi.

lr-al

e

4.

U

jednoJ

Skoli

ina

8OO udenika"Dokazati d.a

bar

tni

udenika

Ekole

j"stsga

dana 61ave rodendan"

5.

U

SR

Srbijirprena

posled-ajen

popisu

u

5

t+12

nase

-

lda

Zivi 6

789

125

l-Judi.

Dokazati

da

postoJe

bar

dva

uasetr{a

sa

jedaakin

brojen

stanovnika

.

6.

Sta

Je

vqfs:

proizvod.

bLlo kojih

/

negativaih ce

-

Lib

brojeva

i11

zbir

prvih

6

prirodnih

broJeva

?

?.

Da

Lt

Je

ta6no

tvrdenje:

Ako

Je

lal

=

lbl

onda

Je

ia=b3

8.

Dokazati da Je

19871986+1

deljivo

sa

10.

9.

sta

ge

ve6e:

(-1986)1987

ili

(-19g?)19e6

?

LO.

Proizvod Eetiri ceLa

broja

ie

3O24.O

kojim brojevi

na

je

red

?

11.

Postoji

li

ceo

broj

diji

Jd

proizVbd

cifara

650

?

Postoji l-i

ceo

broJ 6idi

je

zbir

sifara

55O

?

12.

Ko}iko

trouglova

odreduju 1O

nekolinearnih

tadaka?

Lt.

I{a

koliko nadina se

nogu

4

udenika raznestiti

na

4

stolice

?

Sta

se deSava

ako

Lnano

5

stolica

?

14.

Konstrisati

trougao

AIC

ako su date

visine

h.=]cnt

bo.2r5

cm

i

ugao kod tcuana

A

iznosf.

600.

]-5.

Konetrul.sati

trougao

ABC

6tji

Je

obtn

LOcn

i koJl

i"ua

uglove:

#lAc=6oo

i

{ABc=45o

.

1,6.

Konstrul-Ei

pravougli

trougaorako

Je

njegova

hlpo

-

tenuza

cnra

katete

se razliksju za

I

cn.

84

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 48/74

17.

KoaetruiEi

jednakolcaki

trougao ako

Je

viEina

ko-

Ja

odgovara osnovicl

4

cnra

visina

koJa

odgovara Xralru

5

em

.

18.

KonstruiEi

trapez 6ije

su

osno?ice 6

cu i

4

cn,

a

diJagonale7cnL8cn.

L9.

Date

su taEke

MrNrP

i

duE

QR=4

en.Konstrui5i

de

-

tvorougao

ABCDrako

su

MrNrP

srediSta strani.ca

AB'BC

i

CDra DA

jednake

i

paralelna

sa

QR .

20. have a

i b

ne

getu

se u rarmi crteZa.KoastruiEa-

ti

pravu

o koJa

prolazi

leoz

datu taEku

M

i

preset pravih

a i

b.

2L.

Kroz

tadktr

S

unutar kvadrata

ABCD

konstrisane su

prave

a

i brtako da

je

elb.Ako

prava

a

sede

stranice kvad.ra-

ta u

taEkana

M

i

l{ra

prava

b

u ta6kana

P

i

Q

d.okazati dasrdu

ii

MIt

i

PQ

nedueobno

Jed.nake.

22.

Dat

Je

pravougaoulk

ABCD(AB>CD).seka

de

ta6ka

3,

sl.oetridna

6a

B

u

odnoau na didagonalu

A0

i

aeka

prava

A.B,

se

de

straaieu

CD

u

tadki

E.Dokazati

da

Je

AE

-

CE.

2t.

U

ronbq

A.BCD

ugao kod teneaa

I

ge

60o.Neka

Je

ta-

dka

na

ABra

N

tadka duii

S

i

neka

je

MB+BI{

-

.A.B.DokaZi

da

je

A

M$D

jednakobat

.

24.

U paralelogranu

AB0Drtadke

AlrBlr0lrDt

su

sredi

-

ita

gtraaica

ABTBCTCD

i

DA.hrave

DA,

i

8Ct

seku

pravu ABru

ta

dkana

M

i

S.

Dokazati

da

Je

MH

=

2/5

A\.

25.

U

pravougaoaiku

IECD

ta6ka

K

je

pod.noije

nornale

iz tenena

3

na dijagonaLu

AC.Ako

Je

t

srediBte

duZi

AK,II

sre-

d.iEte

stranice

CDrond.a

Je

*

BMN

=

9Oo.

Dokazati.

26.

Dat

Je

pravougaonik ABCD

i

unutar

njega proizvo

-

lJna

tadka

M.DokazatL

d.a

postoJi

6etvorougao 6i;e

su

diJagona

Le

nornalae i

Jednake

duZioa

AB

i

BC

i diJe su

stranice

jedna

ke

duZina

AM'BN{'CM'DM

.(3

(t

UdenicLna VI

razreda

preporudujeno

da

proude

i

IROCENII

iz

VII

razred.a.

VII RAZRED

1.

IR@EIVII

1.

tedaa

ktriiga

ie

za

6@ skupUa

od^ druge.Za

kol-i-

ko

procenata

Je

druga

fodtea

JevtintJa

od

prve ?

2.

Meso

je

ovib

dana

ponovo

poekupelo

za

25%.Za

ko-

liko

procenata treba

ananJiti

ceau

uesu

da

bi

opet

blLa

kao

pre

?

V.

Autobug

Je

poEab

iz

PeckerZivopisae

varo5ice

ne-

d.aleto

od Valjevargde

se svake

godine

odriava letnJa

Bkola

nladih

natenatidararaa

15

ninuta

zaka5njenJa.Zato

Je

pove

-

6ao

predvidenu

brzinu

za 2A6 sve

dok

niJe

nadolcnadio

zaka

-

SnjenJe.Za

koje

vrene

Je autobus

nadoknadio

zakaEnjenje

?

'

4.

Bazen

u

PetnicirizletiStu

Valjevaca

gd.e

se

svake

god.iae

reaLizuju

priprene nladib

natenatidara

SR Srbije za'

Savezno

takniEenJerpuai

se vodon

pono6u

ied4e

slavine.Ukoli

ko

se

slavina

deLiniEno

zatvorirprotok

vode

boz

nju se sna

nJi

za

z*fr.Za

koliko

procenata se

pove6a

vrene

potrebno za

punjenje

bazena

?

,.

Radna

organizaciJa

oKru5iku

iz

ValjevarJedan

od

polaovitel

Ja

nateuatiEkih

aktirmoeti

nlad.ih

matenatidara

SR

SrbiJeninala.

Je

u

prva

detili

neseca

preba6aj

proizvoduie

u

visiui

od

IO#.U

naredaa

Eetiri

nesecarzbog

godi5njih

odmora

nastao

Je

podbadal

proizvodaie

za

LJ%.Koliki

nora

biti

pre-

ba6al

proizvodnje

u

posledaJa detiri neseca

da bi

se

do

ba

ja

godine

reali.zovao

godiEnii

plan

proizvodnje

?

6.

U

radnoJ

organizaci

trViskozan

u

loznicirkoia

sva

ke

goillne

daJe

zaaEajan

doprinos

alrtivnostina

nl-adih

matena

tiEara

SR

SrbiJervredaoEt

proizvodaie

je

u

1985.godini

poea

poglavlje

86

87

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 49/74

sla za

2V%ra

u 1985.

godini

za

t&

u

od.nosu na

prethod.nu.Ko-

lika

Je

vrednost

proizvodnje

bila

u l984.godinirako

de

1986"

godiae

izaosj.la

7O2

nilijarde dinara

?

7.

MeFana

$armeladarproizvod

nPod.gorket

iz

Osedine

,

koju

svakog

leta

obilato

troEe

nladi

natenatiEari

u

PeckoJ

1

saatrii 6l#

suve naterije.Koliko

litara

6iste

vod.e treba

doLi

ti

u 12O kg

narneladerda

bi

ona

sadrZala

48S

suve

nateriJe

?

8.

SveZe

Stjive

koje otkupLjuje

ZenlJoradnidka

zadru

ga

u

PeckoJ-najve6i

snabdeva6

letnje

Skol_e

nladih

natenati

-

dararsadrie

84?6

vode.fo{+o

se suvib 6J.jiva

noZe

d.obi.ti

su6e

njen

315

tona

sveZibrako

suve

Eljive

sadrte

eano

|,8?6

vode

?

9.

It[ekara

u

Lajkovcu

evake

godiae

udesnicina

letaJe

Skole

pokloni

1@O

Jogurtarod

koJih

se

46

odEteti u

transpo-

rtu"Koliko

procenata

se neupotrebirako

udesnici

popiju

taEno

9]1

joeurt

?

10.

Mleko

u

prahurproizvod.

PIK-a

llb

koJe

porneneno

ko

riste

udesnici

Letnje

Ekol-e

sadrZi

801 suve

natetijera

prili

kon razbl-aiivanJa taj

procenat

se

enaaJuje

ta

L2?6.KoLiko

nle

ka u

prahu

treba

uzeti

d.a

bi

se

razblaEivanJen

<lobl.Lo

20

li-

tara nleka

?

11.

Obtn

gradevinskih

radova

poye6ad

ge

za

8@6.2a

Eo-

liko treba

pove6ati

broj

radnikarako

a€

i

produttivnost

pove

6a1a za 2M

?

L2.

Ceaa

ulaznice

za bioskop

je

l.8O

d.inara.Kada

je

ce

na

ulaznica

snanjeaa broj

posetilaca

se

pove6ao

za

J@ra

gr

bod

za 2516.

KoLtka

Je

nova.

cena

ulaznice

?

Lr.

Sokovi

"Srbijanke"

iz

Vatjevarkoje

svake godine

u

velikin kolidinana

konzuniraju

nladi

natenatidari

u

PeckoJ

,

pojevtine

za

|4fi.KoLiko

sokova

se noZe

sada

kupiti

za

noyac

kojin

se ranije

noglo kupiti

sano 21t

sokova

?

14.

Ree su5enja

vlaZnost

Zita

Je

bLLa

ZV%ra

sad.a

izno

sL

LZ%,Za

koliko

proceuata

se

suSenjen

snanjila teiina

ZLta?

L5.

U

magacinu

je

bilo

1OO kg.Jagoda

koje

sadrZe

9L9$

yqds.Posle

izvesnog vrelrena

koltdina

vode ae

snanjila na

W

&olika

Je

teZi"na

Jagoda

aada

?

15.

Za

koLiko

procenata

se

pove6a

pgvrgiaa

}rradrata,

ako

se

ajegov

obin

pove6ao

za

4Vl

?

L7.

6ta

se

de6ava

sa zapreninon

lcvadrareko

nu

se

d.u-

Zina

pove6a

za

L@6r1iri.na

poveia za

ZO%ra

visiaa

snanji

ta -

Er,o

za

5O16

Z

18.

Konad

bronze teiak

7r5

kg

sadrii

721

bakra.

Kada

se

ovaj

konad. stopi

ea

drugin

dobije

se

LO kg broaze koJa sa

drLj.

?@

balca.Koliko

je

procenata

bakra bilo

u

d.rugon

kona-

du

bronze

?

z.

osNoys

KoMBrNAToRrm

(4

1.

Koliko se

detvorocifrenib

broJeva

noZe napisati

.kori66enJen eifana

Lrtrr{r?;ako se: a) oifre

nog111

ponavljati

b) cif,re

ne sogu

poaavlJati

?

2.

Koliko

ina 6etvorocifrenih

broJeva

dija

Je

prlra

cifra

paran

broJrdruga cifra

prost

broJrtre6a cifra

neparan,

a

detrreta

sloien

broJ

?

7.

Koliko

ina

desetocifrenih brojeva

6ije

eu

cifre:

a)sanoIi2t

b)

sve

nogu6e

cifre Or1r2

rVr4r5n6r?r9n9

?

t$.

I(oliko ina

trocifrenih

brojeva dije

su sve cifre

neparne

ako

se:

a) cifre

nogu

ponavliati

b)

cifre

ne

pona

-

vljaju

?

5.

Na

koliko

ee razliEitih

nadina

noZe

saEtaviti

qd.

sek

koji sadrii

?

uienika ?

6. Na

koliko

nadiaa

nogu za olrugli

sto

sesti

6 de-

vojdica

i

6 de6akartako d.a

nikoje

dve

osobe

isto6

poLa

ne se

4)

PoBIedaJ

zadatke

prebrojavanja(strana

1-2)

88

89

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 50/74

de

Jedna

do

druge

?

7.

u

sobi

ina

6

svetilJki.Na

koliko

nadina

nozemo

os-

vetliti

sobu(svaka

svetiljka

noZerali

ne

nora

svetHti)

?

8.

U

gradu

se nal.azi

/

senafora

sa

tri

sigaal.ne

boJe:

crvenarzuta

i zeLena.Na

koliko

raznih

nadina

u

svakon

trenu

-

tku

mogu

biti

rasporedena

svetla

tra aenaforina

?

9.

Sportska

prognoza

sadrZi

L7

parova.hogpoza

rezu

_

rtata

se

vr5i

pono6u

cifara

l12ro.Koriko

najnaaje

kor.ona

tre-

ba

popuniti

da

bi

bili

signrni

aa

iheto

svih

1}

pogod.aka

?

10. Na

polici

se

nalazi

lO

knjiga

od

kojib

su

5

matena

tidkog

sadrZaJara

5

iz

beletrietike,Na

koLiko

nadina

se

nogu

rasporediti

knjigerako

prvib

pet

nesta

zazj:lle,

beletristilra

?

11.

Iz

tadke

M

koastruisaao je

g

polupravih.Koliko

naJ

viSe

uglova

odreduju

date

poJ_uprave

?

L2.

U

rarmi

je

dato

9

nekolinearnih

ta6aka.KoLiko

duZi

trouglovardetvorouglova

i

lrugova

od:reduju

date tadke

?

Lt. U

odelenJu

VIf-}

nalazi

se 2J

uEenika.Na

koliko

na

dina

se

noie

izabrati

odeljenska

zajed.nica

od.

I

udenika

?

14.

Dat

Je

skup

A

=

ftrzrVr+]

.rotito

ukupno podskupo_

va

ina

dati

skup

?

L5. Na

Sabovekon

turniru

igra

se

po

sistenu

svako.

ga

svakin

i

odigra'ukupuo

L20

partiJa.Koliko

SahiEta

je

udestvo-

valo

na

ton

turniru

?

,.

RAZNI

ZADACI

r.

Dokazati

da

Je

z{V5

-

t{G

*

5ilG

-

zZ,IT

={l

.

2.

Dokazati

d.a

de

(A{5

- ,e6

+

J)

racionaLan

broJ.

1.

Decinalni

broJeve

]-rZAZez...

L

A,77r?

?...

p:rika_

zati

u zapisu

p./q

.

4.

rrokazati

d.a

Je

#iiracioaalan

broJ.

5.

Svaki

od

prisutntb

deEaka

ina

oaoliko klikera

koli

ko

i.na ukupno

dedaka.Koliko

deEaka

je

prisutao

ako

je

izbro-

Jaao

da

onL

svi zajedno

inaja

529

klikere ?

6.

Dat

Je

jednakoetranidni

trougao

ABC

i

na

ojegovin

stre-icana

AB'BC

i

CA

tadke

UrN

i

p

teko

da

Je

AM:M8=BN;NC

=

CP:Pl,=2:L.Odredtti

odaos

obina

i

ponr5ina

AABC

i

AMUp.

?.

Dat

Je

Jedaakokraki

trapez

diJi

je

krak

10

cnrugao

na

osnovicL

?5ora

jed,na

osaovica

dva

puta

ve6a

od. druge.Koli

ka

Je

povr5ina

trapeza

?

8.

Oko

}ruga

polupreEnika

2

cn

opisan

Je

Jednakolraki

trapez

povr5iae

2O

cma.

Odeediti

obin

i

stranice

trapeza.

9.

Vieina

jed.nakobakog

trapeza

jednaka

Je

hra

pornEi

na

trapeza

6e

nz.eod

koJin

ugl.on se

seku

dijagoaal-e

trapeza?

10. Data

Je

duZ

AB

i lqug

diJi

je

pre6nik

AB.Neka

je

C

proizvolJna

tadka

u

ravni

kruga.Dokazatl da ako

je

C

unutrq-

SnJa

ta6ka

kruga

tada

je

+ACB

tupra

ako

se

C

nalazi

izvan

buEa

tada

je

*

LCB

ogtar.

l'1.

Nad

stranicama AB

i

3C

trougla

ABCrkao

nad

predni-

ci.na koastruisani

su krugovi

kI i

k2

koji

se

setrnr u tadki

M.

Dokazati

da

su

ArM

i

C kolinearne

tadke.

12.

Dat je

krug

t(Or:r)

i

tadka

Artako

d.a

je

oA=2r.Izra

dunati

duZinu licuinog

luka

koji

se

vidi

iz tadke

A.

LV. U

pravougaoniku

A3CD

tadka

M

Je

srediEte

d"uii

ABra

E

je

presek

dijagoaale

AC

i duZi

DM.Odrediti

)

CED

pod

uslo-

vonABlB0=€:1.

14.

Tri

Eoveka

tleba

da

podele

21

posudu

sa

med.on(/

pu

aihrT

polovidnih

i

/

prazni6).Kako

to

d.a

urad.e

tako

d"a

svaki

od

nJih dobije

Jednaku

kolidinu

neda

i

jednak

broj

posuda

?

1 .

Ako

na

livadi

pasu

64

lraverone popasu

livaduza30

dana.Na istoj

livadi bi

35

}rava

noglo

pasti

60 d.ana.

gs11jo

go

krava

popase

llvadu

za

rS

dana?Koliko

daaa

bi

paslo

5O

krava?

91

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 51/74

16.

Na putu

od mesta

A

do negta

B autonobilieta

se

h'e-

6e

brzinon

od

40

kn"/bra

u

povratku

brzinon

od

OO kn/b. Kolika

Je

srednja

brzina

?

I?.

Nloie

li

porrr5iaa

trougla

biti

ve6a

od

IOO

enfako

eu

visine

trougla

nanje

od 1

cn

?

18.

MoZe

li

povrSina

trougl.a

biti

nanJa

od. I

enzrar.o

su

vi.sine

trougla

ve6e

od.

2

cm

?

re.

Dokazati

da

dt6ioJ

t1?? .rl??1.11?l9.ute86

a"r5io

sa

lo'Da Li

tvrdenJe

vaZi

i

za

tl9a7+2L987+V1987++L9a?

c

20.

Dokazati

d.a

Je

broJ

r2t4r6?B9LO1l....99roOtOt

stoZen

broJ.Da

li

je

on

potpun

kvadrat

?

21.

Kada

se

Jed.na

lvica

kocke

pove6a

za

lcnrd.ruga

sna

-

nJi 2a

1

cnra tre6a

ostane aeprotnenjena

zaprenina

kocke

sna

-

nji

ee

za

L2

"r].

Kolika

Je

povr5ina

te kocke

?

22,

Dijagonale

Etrana kvadra

eu

l5rvEi L

{fr cn.od,re-

diti diJagonalu

lvadra,

VTII

RAZRED

1.

FUNKCI,'S

1.

Ako

de

f(x)=x

odrediti f(f(f(f(1982))))

.

2.

Odrediti

funkciju

f(x) ako

Je

f(x+3)=2x-5.

l.

KoU.ko

je

e(f947)

ako

je

g(2x)=,-r+x

.

4.

Od.rediti

f(2)+s(t) ako

Je

f(x)+g(x)=rx+t

i r(x)

-

s(x)=x-1

 .

Izradunati

f(O)

ako

Je

1f(x)+f(rx)

=

x+4

.

6.

Ako

Je

f(x)+lf(-x)

=

6x+L2

odrediti

f(r)

.

l.

Ako

je

za

svako reaLno

x

(rlo)

f(x)+2f,(Vx)-

jz

,

izraEunati

f(L) i f(2) .

8.

Data

Je

funkcija

f(x)=21-1.96rediti

realne

broje-

ve

x i

y

tako

Aa

je

f(f(x))=O

i f(f(y))=y.

9.

Data

je

funkcija

'f(x)=x+2.Odred.iti

funkciju

g(x),

tako da

je

f(g(x))=3x

.

LO"

Od.rediti

e(x)

ako

Je

f(x)=x+Z

i f(e(t(x)))= x-1

.

11.

Data

Je

.funkcija

f(xry)=(16+5ry-Z).Odrediti

f(7r5)

t(a-J,b+2)

i t(r(x,y))

.

12.

Ako

je

f(xry)=(2x+7yr4xa)

odred.iti f(1rA)rf(6rO)

t(f(1,r)) i r(r(x,y)).

1r.

nata

je

funkciJa

f(x)=x+2.@red.itt

funkciju

g(x),

ako

je

f(2+g().;;

=

Jx-L

^

14.

od.red.iti

f(x)

ako

Je

za

6(x)=7x+2rg,(x2+x.e(x))

=

lxz+6x+5

.

92

9'

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 52/74

2. SHTEDNATOSII

1.

Bta

ge

yc6c:

a)

ev@

ttt

t2@

il

aoato,

LLL,oraoz

")

,r1l

ili

1?14

?

?.

A.ko

Je

x)O

on/r@-Je

:

+

*.r

r.

Dokazati

.

V.

ako

je

O(x.(a(I

onda

je

"

*

+ )a

+

L.Doka-

zatL.

x'

a

4.

Dokazati

ne

jed.nakost:

q

,

f#

.

2"

5o

Sta

;e

ve6e:

{-iffi$S ili 19sZ

?

6.

rokazati

da

Je

lE

.

*,FEE'

<

2{W

.

?.

Dokazati

nejed.nakost,

.*

*A

*

...

++

>

10

.

11

12

z

VrOo

8.

Ako

Je

x realan broJ

onda

Je ;ft;

-<

Va.

Dokaza

ti.

Kad.a

vaZi.

jednakost

?

9,

Ako

Je

*2*y2-( 2

onda

de

i

I

x+yt

<

2.

Dokazati.

10.

Dokezati

da

je

za

svako

real.no

r

ispunJeua

aeJe-

daakogt:

(x-r)(x-z)(x-l)(x-4)

+

1,oOO1'> O

.

11.

Ako

J9

x.reaLan

broj onda

za svako

x

vaii aeJe

-

dnakogtr'

7(r+x2+*)

)

(L*x+x212

.

tr2.

..Neka

su

a

i b katetelc

bipotenuzarh

hipotenuzina

visinarr

poluprednik

upisanog

krugarR

poluprednik

opisanog

Icruga

i

P povr5ina

pravouglog

trougJ.a.Dokazati

s1ed.e6e neJe

dnakoeti:

a)

"7

*

671

sv

c) c) 2{F

e)

s4a+b4c@

b)

a

+

b(c

+

b

d)

R +

n2t[fr

Ir.

Ako

su arbrcrd

stranice

detvorougla

ond.a

vaZi

ne

jednakoEt

P

r(

Va(aO

+

cd)

.

Kada

vaii

Jednakost

?

,.

RAZNI

ZADACI

l.

FuakciJa

f(x)

=

ax2+bx+c

za

svako

celobrojno

x,

uzina

rrrednosti

iz skupa celih

broJeva.Dokazati

d.a

su

tada

broJevi 2ara+b i c

takode

celi

broJevi.

2.,

Dokazati

Jed.nakost

E

*{7

*{F

E

*r[7

+rF-

+f5-

+

4

=

2-L.

1.

DokazatidaJe

1fu'**.

roort*;17=Eh.

4.

Dokazati

d.a

je

izraz

l/4(

llr-vl

+x+y-Zzl+lx-yl+

x+y+22)

jednak

naJve6en

od

broJeva xry

i z

.

5.

Odredlti

skup

taEaka u

koordinatnoj

ravni

za

ko-

ie Je

lr+yl(2

6.

Koliko celobroJnib

tadaka se

nalazi

unutar obla-

sti lxl

+

|

rl (

L987

?

7.

Milan

Je

krlplo dve

vrate olovki

6ija

Je

cena

18

i

19 dinara i

platio

ukupno

255

dinara.Koliko

je

koJih

olo-

vaka

kupi.o

?

8.

Dva

druga

leenu

notorciklon iz Val.jeva

prena

Be-

ograd.u.Prvi

je

polovinu puta

vozio

brzinon 40 b/h,

a drugu

polovinu

brzinon

50 q,/h.Drugi

notorbiciklista

je

pola

vre-

mena

putovao

brzinon

od

4O

kn/hra

drugu

poJ.ovinu

brzinon

od

60

h/h.

Ko

je

od

njib

prvi

stigao u

Beopad ?

9.

Otac

je

inao

dva sinartako

cla kada

se zbiru

nji-

hovih

godina

d.od,e

prolzvod

dobije

se

l4.Koliko

godina

inaju

njegovi

sinovi

?

10:

iledan

Eovek

Je

uenJao ze6eve

za

koko6ke.Za

svaka

drr?

zeca dobio

de

I

kokoEke.Svaka koko5ka

je

snela

onoliko

jaja

kollko

iznogi.

tre6ina

broja koko5ki.dovek

je

p:eodao

ja

Ja

tato

da

Je

za svakib

9

jaja

uzeo onoli-ko

dinara

koliko

kokoika

snese

jaja.Koliko

je

bilo

koko5akara

kol.iko zedeva

94

9'

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 53/74

ako

je

dovek

zaradio

72OOO

dinara

?

11.

Odrediti

prirodne

bsoJeve n i n ako

je

ispunJena

slede6a

Jed.nakost,

no

* .t*1

*

to*2 *

tt*7 * to*A

=

1984

.

L2.

Dokazeti

ita

je

a'+L

=

(a+t)(a2-a+1)

i zatin

doka

zanL

identitet

iskoristi

da

dokaZe5 da

Je

8n+1

sloZea

broJ

u

slu6aju

da

je

u

pr5"rodan

broJ.

LV.

Da

1i je

broj

21986*1

prost

ili

sloZen

?

14.

Odrediti ce1obrojna

riEeada

Jednadina:

a) t2*q+y2=1

b)

2x2+2ry+Y?-2

c)

*2*

v2

+

(x+Y)2'

2

d.)

x2+

zry

-

7t2

=

t

L5.

Ako su

arbrcrd

pozitivni

realni

brojevi

i

ako

ie

a4*b4*"4*d.4

=

tlabcdronda

je

a=b=c=d

. Dokazati .

16.

U

skupu celih brojeva

re6iti

jednadinet

a)

*2

-

y2

-

r98?

b) t2 *

Y2

=

L987.

L?.

hoj

111...111

Je

deljiv

ea

41,

Koliko

jedinica

sadrZi

d.ati

broi

?

18.

Dat

Je

troj 1-On-1

. ?a

koje n

je

d:iii

broj

d.elJiv

sa

7o9

't

L9.

Dokazeti

da

Je

193r.1986.1987.1988

+

I broJ

koJi

predstavlja

potpun

kvadrat .

20. Neka su

D

i

E

podnoZJa

visina

ila i

hb

u

proizvo-

LJuon

trouglu

ABC.

Dokazati

da

Je

AC:BC

=

CD:CE .

2L.

U

lcugu

sa

ccntron

u taEki

O

upisan

je

detvoro

-

ugao

ABCD,tako

da;ie

#AoC

=

4+BCA.Ako

je

ta6ka

E

prese

*

daa

ta6ka

dijagonala

AC i

m

onda

Je

BC2= BD'BE"Dokazati.

22.

Dat

je

paralelogram ABCD.Prava

p

odseca od

AEti

AB

jedau

tre6inura

od

stranice

AD

Jednu

detrntiaurra6unaJu6i

od

tadke

A.U

kon od.nosu

prava

p

deli dijagonalu

AC ?

2r,

I'rica

kocke

je

a=8 cn.Izrqdunati

povrEinu

f.ika

koji

nastaje

ako kocku

preeedeno

sinetrijskom ravni

prosto-

rne dijagonale

.

24.

Dijagonale

strana

kvadta

su l5r{48L

i

V5++.fo-

lika

je

povr6ina

datoga

kvadra

?

25.

Neka

Je

t(x

+

*) =

*2*

L,

+

L98?

.odrediti f(1)

f(a)ir(x).

-

x

x'

26.

Cetiri

ivice otvorene

posud"e

u obliku

kocke

su

nc,anute

prena

horizontalnoj

ravni

pod.

uglon

od

7Oo

.

Koliko

najvi6e

te6nosti

sroZe

stati

u

posudu(u

ton

poloZaju)

ako

je

duZina

ivice

kocke

a

,.

6

';n

'l

27.

Od

IOO

novdi6a

jedan je

laZan i zato

je

lak5i

u

odnosu

na

ostale.Koliko najmanje

nerenja

na terazijama

bez

tegova

noratuo

izvrFiti

da

bisno

odredili

koji

je

novdi6

la-

Z,an

?

28.

ako

Je

*'*

L,

=

1/4

koliko

Je

x

+

l

?

x

'

29.

Od.rediti

sve

trocifrene

prirodne

brojeve

koji su

delJivi

sa

/rdije

su cifre razlidite

i diii

je

zbir

cifala

d.elJiv

sa

7.

Vo.

Bta

5e

va6e

?

a)

,'o7

LLL 2454

b) 1984.L986'L9se'199o

ili

Lg8?4

"

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 54/74

\

DRUgTVO

MATEMATIEATA SR

SRBIJ3

REPUBLICKA

KOI{ISITA

ZA

MI,ADE MATEMATIdARE

IZ

OSNOVNIE

SKOId,

ZBIRKA

RISENIH

ZADAIAKA

sA

TAKMT0ENJA

rlIADrH

TqATEMATToARA

tz

osNovNrH

Sror,l

sR

SRBIJE U

1986.

GODINI

RTJDAKTCR

voJrsrAv

lmon16

BEOGRAD, 1987.

99

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 55/74

Sxor,sxo rAKMreENrEvtr#,fffttKE

rs.

rr re86.

I. Koliko

ima

detvorocifrenih brojeva

6iji

je

zbir

ci-

fara

jednak

3?

2.

Vrednost izraza

a-b+c=I986.

Ako se

svaki od

brojeva

a,bre

umanji za 986, kolika

Ce

biti

vrednost datog

j_zraza

za

a-b+c?

3.

Ne

vrleCi mnoZenje utvrditi poslednje

dve cifre pro-

izvoda

prvih

deset

prirodnih

brojeva.

'

4.

Janko

i Marko

reEe da kupe

jednu

zbirku

zadataka.

Jan-

ku

nedostaje

16

dinara,

a

Marku

4

dinara za tu zbirku.

Zbog

toga

odluEe

da zblrku

kupe

zajedniEki.

MedJutim,

ni

tada ni-

su imali dovoljno

novca,

jer

su im

nedostajdla 2

dinara.

Ko-

Iiko ko3ta

zbirka

zadataka?

5. Nacrtati

tri

duZi

koje

imaju

zajednidko

srediSte,

a1i

ne-pripadaju

lstim

pravin.

Koliko

je

najviSe pravih

odredje-

no k::ajnjirn

tadkama

tlh

duZt?

V

RAZRED

I.

U

jednom

razredu bilo

je

35

uEenika

od

kojih

su

20

dlanovi

matematidke,

a

1l

dlanovi rukometne

Bekcije. Koliko

se matematibara

bavi i

rukometom, ako se

zna

da t0

udenika ni-

je

nl

u

matenatiEkoj ni

u rukometnoj

sekciji?

too

2.

Izvodjall

sletske

veZbe

do5lt

su na

slet

postrojeni

u

Eetiri

jednake

kolcne.

po

zavr5etku

ve7be

lzvodjadl

su se

pre-

1Ct

3. Hipotenuza pravouglog

trougla

I

teiilna

duZ

t

koja

joj

odgovara grade

ugao

od

600..

IzraEunati

oblrn

1

povr5inu

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 56/74

strojill

u 6

jednakih

kolona.

Ko1iko

je

bilo

izvodjada

sletske

vezbe,

ako

se zna

da

je

njihov

broj

vedi od

gO,

a manjl

oil 902

3.

Prillkorn

nnoZenja

dva

broja

uEenik

je

umesto

cifre 4

na

nestu

jedinica

jednog

od Einil"aca napisao cifru

t.

Zato

je

umesto

proizvoda

1190

dobio proizvod

f085.

Koje brojeve

je

u-

Eenik trebao

da

pomnoZi?

4.

Jedan ugao

je

veCi

od svog komplementnog

ugla

isto to-

liko

za koliko

je

veCi od

svoje petine. Koliki

je

taj

ugao?

5.

Sta

sve moZe biti

presek dva

o5tra

ugla?

Nacrtati

sve

mogude

figure

(sludajeve).

.

VI RAZRED

1.

proizvod

tri

uza.stgpna parna

prirodna

broja

je

26gg.

Odrediti

te

brojeve.

2. Proizvod

dva

broja je 1350, a njihov najveCi zajedni-

dki

delllac

je

15.

Odrediti

o

kojirn

brojevima

je

reE.

trougla

u

funkciji

od

tetiEne

duZl

t.

4. Tri podudarna

kruga polupreEnika

r=30

cm

medjusobno

se

dodiruju.

Odrqdlti

povrSinu

ddla

ravni

lzmedju

tih krugova.

5.

U

krug

poluprednika

r=10 cm

upisan

je

jednakokrakl

trougao

ABC

Eijl-

je

ugao

pri

vrhu a=30o.

IzraErnati

povr5lnu

t,og trougla.

VIIT

RAZRED

I.

Razlika kvadrata

bilo koja

dva neparna

broja

je

de-

ljiva

sa 8. Dokazati

2.

Sta

je

vece.

21986

ili o:33r;

3.

Oko

jednakokrakog

trapeza

Elje

su osnovice

a=I5

cm i

b=12 cm,

a visina

jednalca

srednjoj liniji

trepeza

opisan

je

krug.

Odrediti koliko

procenata

povrgine

kruga.zauz.ima

trapez?

4. Odrediti sve

parove

brqjeva t L g za koje je ispunjen

sieaecr

qsrov:

t2-6r+.192-t)2+g

=0.

5.

Kvadar

ima zapreminu

336..*3,

"

dlrnenzlje

su

mu

trl

uzastopna

prirodna

broja.

Odrediti

povrElnu

tog

kvadra.

3.

od

r3?o

4.

SLmetrale

unutra5njih

uglova

a

i

B

seku

se

pod

uglom

Dokazati

da

je

taj

trougao

pravouglj..

Sta

ie

.,ece

l$Nf

iri

ffie

5. Dat

je

proizvoljan

konveksan

ugao o

i proizvoljna

pra-

va

p

koja

je

normalna

na

srmetrali

ugla o.

Dokazati

da prava

p

na kracima

ugla

o

odseca

jednake

duZi.

VII RAZRED

l.

Ako

se

brojiJ.ac

razlonka

poveda

za 4.O*,

a imenllac

poveda

za 252,

za koliko

I

se

poveCa

vrednost

razlomka?

2. 961

kg

SeCera

upakovan

je

u.vredLce

tako

da

1rna

ono-

liko

vredica

koliko

kilograma

SeCera

staje u

svaku

vreCicu.

Odredlti

u koLiko

vreClca

je

upakovan

Ee6er?

l_02

LO?

V

RAZRED

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 57/74

opsTrNSKo

raxuilnrErn

rz

MATEMATTKE,

l.rrr

1986.

coD.

rV RAZRED

1.

Ko"liko

clfara

se upotrebi

za

ispisivanje

svih

prirod_

nih

brojeva

vecih

od

50

i manjlh

od

r50?

Koriko

se

sedmica

pri

tom

ispisivanju

upotrebl?

2.

Ml$a

i

Zikica

su pre

nedelju

dana

imaLi

jednake

sume

novca.

Do

danas

je

uisa

zaradio

j.oB

f9g5

dinara,

a

Zikica

je

potroEio

1380

dinara.

Sada

laiEi

lma

tri

puta

vise

novca

od

Zikice.

Kollko

novca

trenutno

ima

svaki

od

njlh?

3. Branka je

mnoZeCi

dva

broja

dobila

proizvod

19g6.

Ka_

da

je

jedan

od

binilaca

uveCala

za

4,

a drugi

ostavila

nepro_

menjen,

dobila

je

proizvod

3310.

Koje

brojeve

je

mnoZila

Branka?

4.

Kvadrat

I

pravougaonrk

su

dati

sledeci.m

uslovlma:

zbir

stranica

pravougaonika

je

13

cm,

a

njihova

razlika

je

5

cm.

povrEina

kvadrata jednaka

je

povr5ini

pra_

vougaonika.

Odredltl

ko

od

njih

i_

ma

veCi

obln

i

za

koll_ko?

5.

Koliko

duZl

i koliko

tro_

uglova

sej

moZe

uoEitl

na

datoj

s

11c1.

i

l.

U

Eetvorocifrenom

broju

*

I

I

*

umesto

zvezdlia

sta-

vitl odgovarajude

clfre

tako

da dobijeni

brqj

bude

deljlv

sa

36.

Odrediti

sva

moquCa re5enja.

2.

Zblr

ugla a

i

njemu

uporednlh

ugrlova

je

gfZ.o.

Odredi_

ti ugao

a

i

njemu

uporedni

ugao.

3. Odrediti sve vrednostl prirodnog broja

z

tako

da

je

ispunjena

nejednakost,

t

.#=

i.

4.

Svlh

10

cifara

su elementi

nekih

od skupova

A,BrC.

Od_

rediti

skupove ArB,C

ako

su

ispunjeni

sledeCi

uslovi:

I)

.anB'1C=t

^C=

10,-]

2) anC=

10,2,31 3) In6=

{0,3,9}

4l

A\B={4,5J

5)

B\l='{r,2,'t}.

rl

5.

Oko

okruglog

stola

treba

rasporeditl_

trodlane porodice

(muZ,

lena,

dete);

tako

da

budu

ispr:njenl

,'sledeCi

uslovi:

il,)

Na krajevima

lstog preEnika

(dliametralno

suprotno)

sede

ii.i

dva

mula,

ili

dve

Zene,

i]i

dva deteta.

2)

tlanovi

svEke

porodice

sede

jedan

do

drugog

(na

gri

sused-

na

mesta)

3) Dve

osobe

l-stog pola

(dve

muEke,

ili

dve

Zenske

osobe) ne

mogu

sedeti

jedna

do

druge.

Nacrtati

traZenl

raspored

sa

najmanjJ_m

brojem

osoba.

VI

RAZRXD

1.

U jednom

razredu

bllo je

32

udenika.

Na

testu iz

mate-

mateike

fvan

je

potpuno

taEno

uradio

svih

9.

datih

zadataka.

Do-

kazati

da

u tom

odelenju postoje

bar

4

uEenlka kojl

su

re5ill

isti broj

zadataka.

)

r.-

(2.)atco

se

broj

1000 podeli

nekim

brojem

ostatak

je

g.

A-

ko

se

900

podeli

istln

b.r6jem

onda

Je

ostatak

1. KoJtm

brojem

smo dellli

brojeve

f000

i

900?

3.

Razlomak

ffi

nrit

az.tl kao zblr

tri

razLomka

sa

jed-

nocifrenim

imenioclma.

105

VIII RAZRED

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 58/74

negenje

obrazloZl.

4.

KonstruisatJ.

trougao ABC

ako

su

dati

sledeCi

elemen-

ti:

stranica

CB=a=6

cm,

ugao

s=4BAC

=75o

I vislna CD=hc=

cn.

5. Dat

je

jednakokraki

trougao

ABC

(AB=AC).

Na

pravoj BC

izabrana

je

taEka

D,

tako da

je

C

izmedju

B

i

D.

Dokazati da

)e

AABD

>

uADB.

VTf

RAZRED

I. Za

25

klikera

plaCeno

je

onoliko

dinara, koliko kli-

kera

se moZe kupiti

za

10000

dinara. Kollka

je

cena

jednog

k1i-kera?

2.

Na

krugu

poluprednikd

r

uoEen

je

luk

dija

je

duiina

jednaka

polovini

poluprednika

(L=r/2).

U

funkciji

od

r.

izradu-

natoj

povrEirru

odgovarajuCeg

kruZnog

iseEka.

3.

Stranica pravilnog

mnogougla

je

tO

cm.

KoLlki

je

obim

tog pravilnog

mnogougla,

ako se zna

da on ima

252

dijagonale?

4.

DuZina

polupreEnika

kruga

upisanog

u romb

jednaka

je

detvrtinl

dutihe

veCe

dijagonale

ronba.

Dokazati

da

visine rom-

ba koje

prolaze

kroz krajnje

tadke

danje dijagonale

dele

veCu

dijagonalu

na tri

jednaka

de1a.

1. Data

je

funkclja

f,(c)=o2-r.

Odreditl

f(f(a+r11.

2.

nko

ie

a2+b2-2(bc+cd.+da-c'-o'r=o'

onda

ie

a=b=c=d..

Dokazati.

3.

Dat

je

trougao

ABC

t,I)a

je

osnovlca AB=24

cm

i

visina

CD=I6

cm.

Prave

n.n i p

su

paralelne

sa

.48

i

dele

visinu

CC'

trougla

ABC

\a

Eetiri

jednaka

dela.

Odrediti

povriine tako

do-

bijenih

delova trougla.

4.

Oko lopte

polupreEnika

r

opisan

je'valjak

(baze

valj-

ka

dodiruju

loptu,

a omotaE

valjka

i lopta

se

dodlruju

po

je-

dnom

krugu). Dokazati

da

je

razmera

povr5ina

ovih

tela

jednaka

razmeri

njihovlh

zapremina.

5. Data

su

tri

podudarna

kruga

polupreEnika n=6

cn

tako

da se ma

koja

dva

medjusobno

dodiruju.

U

prostor

iznedju

da-

tih

krugova upisan

je

krug

koji dodiruje

sva

tri

kruga.

Oko

datth

krugova

opisan

je

krug koji

dodiruje

sva

tri.

data

kru-

gar

Odrediti

povr5inu

kruZnog

prstena

koga

6lne

opisan

i

upi-

san

krug.

5. Katete

Krug

upisan

u

taEkama

M, N

7

a) Dokazati

da

je

AM=AP

i

BN=BM.

b)

Izra6unati

poluprednik

kruga

upisanog

u

trougao.

c) Dokazati

da

je

rastojanje i.zmedju

centra

upisanog

kruga

centra

opisanog

kruga

jednako

/5

cm.

pravouglog

trougla ABC

s

AC=6

cn

i

BC=8

cm.

trougao

dodiruje

stranLce t.rougla AB,

BC

i

C/

u

D

Ldl

V RAZF,ED

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 59/74

MEDJUOPSTINSKO

TAKMIEENJE

TZ

MATEMATIKE

22.III

1986.

GOD.

IV

FAZRED

I.

De5lfruj

sledeCe

mnoZenje

*

*

4.2

3

*

tako

Sto

Ceg

umesto

zvezdica

sta-

* *

2

4

vlti

odgovarajude

cifre

tako

da

nnoZenje

bucle

potpuno

tadno.

l.

Pravougaonu

plodu

dlje su ai*.n"fi.2310 cn

i 3630 cm

treba

razrezati na

najveCe

mogude rnedjusobno

jednake

kvadrate.

Odrediti stranicu tog kvadrata

i

koliko

ima tih

kvadratnih

plo-

Ea?

2.

Zbj-r

tri broja

je

60.

Ako se

.uporedi

polovina

prvog,

tredina drugog

i

petina

tredeg

onda

su svi

ti brojevi

medjuso-

bno

jednaki.

O

kojim brojevima

je

reE?

3.

Koje godine

je

rodjen

deda

Mile ako su

poznati

sledeCl

podaci:

Deda

Mile;e

rodjen

u

ovom

veku. Ako u

godini

njegovog

rodjenja zamenimo

mesta

oLfrl,

jedinic€l

I ciffi desetica

dobija

se

godina

u ikojoj Ce deda

Mile napuniti

81.

godinu

Zivota.

4.

Date

su

paralqlne

prave a

i

b.

Na

pravoj a

date

su

ta-

dke

1,

B,

C, D, E,

a

na pra\roj b

ta6ke M,

N|

P

i

S. Koliko

du-

Zi

i

koliko

trouglova

odiedjuju date

tadke.

5. Data

je

prava p

i taEka ,4 kbja

je

od

prave

p udaljena

3

cm.

Konstrulgi

krug k koji prolazi

ktoz ta6ku

/;

dodiruje

pravu p i

ima

polupreEnik r=2

cm,

VI RAZRED

,"i.

Zbir tri

broja

je

1455.

Ako uporedimo

treCinu

prvog,

petinu

drugog

i

sedminu

treCeg broja

dobijaju se

jednaki

bro-

jevl.

O

kojlm brbjevLma

Je

reE?

2. Bola

je

dugovao

Mirl

neku

su.mu

novca.

VraCanje

duga

je

-izvr5eno

na slededi

nadin:

Prvo

je

vradena

I,/4

duga,

zatim

4/9

ostatka

i

jo5

640 dinara.

Posle

toga

BoZa

je

dugovao Miri

1oE

3/20 duga. Kolike

novca

je

BoZa

dugovao Miri?

3.

Odrediti sve

proste

brojeve

p,

takve da

je

i broj

p2+t3

takodje

prost broj.

Dokazati

da

ne

postoji

v1-Ee

re5enja.

4. Dat

je

trougao ABC.

Prave

b

i

c

su

simetrale

Fpoljas-

njih uglova trougla kod

temena..8

I

C.

Iz

tadke

I konstruis4ne

su

prave

plb

i

qIc.

Prave

p

i

q

seku

pravu

odredjenu

tadka-

ma

BC

u

taEkama

M

i

/ll. Dokazati

da

je

iluZ

MIV

jednaka

obimu

trougla

/8C.

1***

l***

*I****

2-

zorLca

je

pranirala

da

u

toku

sledecih

nekoliko

dana

svakog

dana

uradi

po

15

zadataka.

MedjutJ_m,

ona

je

svakog

da_

na

radila

po

3 zadatka

vi5e tako da ioi i. ostafl a" n""i"U-

nia

tri

dana

svakog

dana

re5ava

..*o

no

4

zadatka.

XofiXo

i"

zadataka

planirala

da

uradi

Zorica?

3. DuZina

duri AB

je

za

2

cm

veCa

od

duZine

duZi

Cr.

A_

ko

se dui

CD

uveCa

trJ.

puta,

a dul

AB

uve6a

za l0

cm, dobiju

se

jednake

duIi.

Ko1ika je

duZina

duZi

lB

i d,uZ

CD?

4.

Ako

jednu

stranicu

kvadrata

produZimo

za 2

cm,

a

dru_

gu

za

5

cm,

tada

se dobije

pravougaoni.k

dlja

je

povrEina

za

45cm2

veda

od

povrEine

kvadrata.

Kollka

je

povrgina

kvddrata?

5.

Poznato

je

da

je:

3.3-3=6

6.(6:6)+(6-6).6=6

Postupa.judi

na

sliEan

na6in,

tj.

stavljajudi

izmedju

cifara

znakove 1t

-t

.,

: 1

potreban

broj

zagrada

napisati

broj

3

po_

moCu

3 trojke,4

detvorke,5.petl_ca,6

Bestica,7

sedmica,

g

osmica

i 9 devetki.

109

5. Dijagonala

/C paraleJ_ograma

.48C,

jednaka

je

tg cm.

A-

ko

je

/ir

sredigte

stranlce

AB.

a M tadka

u

kojoj

duZ DiV prese-

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 60/74

ca

dijagonaLu

AC,

odrediti

duZinu

duZL AM.

VIT

RAZRED

l.

poznato

je

da

je

y'?

iracionalan

i brojevi 5+n L 5/Z takodje iracionalni

2.

Odrediti

sve prj.rodne

brojeve n

deljiv

sa

81.

3.

U

pravouglom

trouglu

Eija hipotenuza

ima

dulinu c,

je-

dan

ugao

jednak

je

Eetvrtini plavoq

ugla.

Izradr:nati

povr5inu

tog pravouglog

trougla

u

funkciji.

od

c.

4,.

Date

su

dutl

rR

1 r

(R.>

r). Konstruisati

krug

Eija

je

povr3lna

jednaka

povr5lni

kruZnog

prstena

6iji su

polupredni-

cl-

date

duZt

F

l-

".

Konstrukciju

obavezno

obrazlo itj_.

5.

Osnovne

ivice kvadra

su 3.cm

i

4

cm,

a

prostorna

di-

jagonala kvadra

nagnuta

je

prema

ravni

osnove

pod

uglom

od

5Oo.

fzradunaj

povr5inu

i

zapreminu

datog

kvadra.

VTII

RAZBEP

I.

Odrediti

sve

trocifrene

prirodne

brojeve

koji

su

t2

puta

veCl

od

zbira

svojih

cifara.

2. Neka

2TI7

"

'a,=-T'

"*f

i

"-l-

  c-

vrednost

realnog broja

o.

3.

Odrediti

sve prirodne

.brojeve

z

takve

da

je

izraz

ro2n

-L

--7_

ceo

broj.

4.

Osnovice

trapeza

su a=25 crn

i

b=I5

cm,

a

krak

e=g cm.

Odreditl

oblrn

I

povrEinu

tog trape2a.

ako

Je

poznatg

da

je

zbir

unutraSnjih

uglova

trapeza

na.veCoj

osnovici prav

ugao..

5.

U

pravilnu

Eetvolostranu

piramidu

Elja

je

osnorma

ivi-

ca a=I2

cm

i

vLsina

f/=5

cm

uplsana

je

kocka ABCDEFGH

(temena

A,

B,

C,D

pripadaju

osnovi

piramlde'

a

temena

E, F,

G'

H

PtL-

padaju

bodnim.ivlcama

pj.ramide).

DokazatL da

je

odnos

zapremi-

na

piramide L

kocke

jednak

9:2.

roj.

Dokazati

da

su

brojevi.

tako

da

je

Lzraz

L}n-I

je

o

pozitlvan

realan broj

veCi

od

t

i

neka

je

a) fzradunati

b)

fzraEr:nati

u].

3. Nad

duZi 18

kao osnovicon

konstruisani

su

jednakost:ra-

ni6ni

tnougao

ABD

i

jednokoknako-pravougl'l

trougao

z{ad .

Tadka

I

Je

ZADACI

ZA

RTPUBLICKO

TAKMICENJB

tZ

MATEMATIKE

ZA

UCENIKE

OSNOVNIH

SKOLA

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 61/74

2.

Ma€ka

i

po,

za dva

i

po

dana pojede

tni

i

po

mi5a.

Koliko nileva

6e

pojesti

loo

naEaka

za

rrS

dana?

3.

Neka

su

a, b,

e

(az

b>

cj

stnanice

Bd,

CA

i AB

tr:ou

IBC.

Prava

p

panalelna

sa

Bd

pnol.azi

knoz centar.

upisanog

knuga

i

s

stranice

18

i

AC u taEkana

D

i

E

.

Iznaduriati

obin

trougla

IDB

u

funkciji

od

a,

b,

c.

"/"-3

1l

,{

oat

je

pnavougaonik

ABCD

(AB>

cg).

liad

stranicana

lB

i

84 kao

osnovicama

korrstruisani

su

jednakostraniEni

trougr.ovi

rBt

i

BCM

tako

da

je

tr

izvan,

a

ft u

pnavougaoniku.

Dokazati

da

je

duZ

trll

jednaka

dijagonali.

pnavougaonika.

podnoZJe

nonmale

iz tadke

C

na

dul l|8,

a

ta6ka

lf

je

podnoZje

non-

maie

iz

ta6ke 6

na

duZ

lD.

fzradunati ugao

CEM.

.

4.

Stnanice

tr.ougla

ABC 6u A8

=

14

cm' BC

=

13 cmr

i

CA

15

cn.

a) IzraEunati

povr5inu

tnougla

ABC.

b)

Odrediti

povn5inu

knuga

koji

dodinuje stnanice

AC

i

BC,

a

centan rnu

se

nalazi

na

stnanici

r1B.

5.

Osnova

piramide

je

nornb

stnanLce 12

cm.

Bo6ne

etranice

pinamide

su

nagnute

pnena

osnovi

pod

ugtom

od

45o.

Izna6unati zapre-

mLnu

puanroe,

aKo

3e

povnEina

omota6a

pirarnide

36o

crn2.

VI RAZRED

1.

Ako

Je

n

prinodan

br:oj

onda

Je

pnir:odan

broj.

Dokazati.

lon +

35

---TS-

tal<odJe

5.

Kvadrat

je

podeljen

na

9

jednakih

kvadnata.

od

njih

upisan

je

bilo

koji

od

bnojeva

1,

Z

ili

3.

Da

li

da

u svakoj

vnsti,

svakoj

koloni

i

svakoj

dijagonali

budu

zbinovi

?

U svaki

je

rnogu6e

nazliditi

1.

rodjendanski

a dedaci

po

ako

je

gnupa

,

VIIIRAZRED

Gnupa dedaka i

devoj€ica

sakupila

je

17o dinara za

poklon

svom

dr"ugu.

Devoj6ice

su

davale

po

2o

dinarat

3o dinana. Koliko

je

bilo

devojdica'

a koliko

de6aka'

irnala

neparan broj

6Lanova?

r"-

Retiti

jednadinu

lc+rl

+\,/

,'-2s

+

I

=

2s .

.

VII

RAZRED

1. Odrediti Eetvonocifneni broj

6etvorocifreni

broj

napisan

istirn

cifr.ana,

2.

Odrediti

sve

proste

bnojeve

p

takodje

prost

broj.

koji

pomnoien

sa

9

daje

ali

u obrnuton

redosledu.

3.

Stranice

p:ravouglog

trougla

imaju

za

merne

brojeve

pninodne

bnojeve,

a

Jedna

kateta

je

6

cn. 0dnediti

odnos

u

koJem

podnoZje

hipotenuzine

visine

deli

hipotenuzu.

4.

U

tnapezr ABCD

(AB

tl

eD),

dijagonala

8D

je

nonnalna

na

osnovLcama.

Dijagonala AC

polovi

ugao kod

ternena

C

'

a dijagonatu

tsD seEe u

tddki

O.

fzna6unati

povrBinu

tr:aPeza

ako

je

J9O

=

4cm i

DO=2cn.

+3

akve

da

je

i

broj

p

3

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 62/74

.

5.

Kocka

ADCDAIBLCLDI

pneseEcna

je

aa

navni

koJa

sadnll

terAe

d

i

eredlsta

lvlea

ID

t

,ICI.

.

a)

Dokaratir

da

Je

rpnea,elna

:flguna

paFalelogran.

b)

fznalunati

povnllnu

pneeednc

flgune.

BESES,iTA

knjige

je<inaka

AB=AD+BD=I6+2

r

Marko

je

imao 14

dinara.

115

to knjiga

koBta

18

dinara,

a

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 63/74

RESENJA ZADATAKA

SA

SKOLSKOG

TAKMIEENJA

rV

RAZRED

I.

Kako

Eetvorocifren broj

ima

Eetiri cifre u

obzir

do-

Iaze

sl-edeCe

kombinacije:

3+0+0+0,2+1+0+0

i l+1+1+0.

TraZeni

brojevi

su: 3000, 200I, 2010,

2I00,

I002, 1020, 1200,

101.1,

II0l,

Ill0, pa

itr

j-ma

ukupno 10.

2.

Ako

umanjenik a i umanjilac

b

umanjimo

sa

9d6

razlika

ostaje

nepromenjena,

a kako

je

i c

urnanjen

za

986

to

Ce

se

vrednost

lzraza

a-b+c--1986

umanjiti za 986

i imaCe vrednost

1986-986

=

I000.

3.

Posmatrajmo

proizvod I'2.3'4'5'6

'7'8'9

'10.

Kako

je

2.5=r0

i

kako proizvod

sadrZi

broj

10, to

je

njegova

vrednost

jednaka:

I.3.4.6-7-8-

9.100, pa

su

poslednje dve

cifre

Cve

4. Zadatak

re5avamo

Pomodu

duii.

Janku

za knjigu

nedostaje

16

dinara

(prva

duZ)

'

a Marku

4

dinara

(druga

duZ). Janku

i

Mar-

ku

(zajedno)

nedostaje

2

dinara

(treCa

duZ).

Kako

ie

BC=4'

a

CD=2,

to

je

BD=2,

Pa

je

Janko

imao

samo

2 dinara'

Kako

je

cena

5.

o6igfedno

najviSe

pravih

je

odredjeno

kada

su

date

duZi

nekoli-

nearne,

a

date duZi

imaju nekoline-

arne krajeve.

Tada

6 krajnjih

taEa-

ka

odredjuju ukupno

(6.5):2

=

30:2=15

pravih.

V RAZRED

1.

Odigledno

je

radom

sekcija

obuhvaCeno 35-10=25

u6enika.

Neka

se

r

udenika bavi

i

matematikom

i rukometom.

Tada'se

matematikorn bavi

2O-r, a

samo

rukometorn

1I-r udenika. Kako

je

broj

aktivnih u6enika 25,

to

dobijamo

jednadinu:

2O-t+o+LL-e=25.

Odavde

je

3I-a=25

,

a

r=3L-25=6.

2.

Broj

uEesnlka

sleta

je

deljiv

sa

4,

ali

je

deljiv

i

sa

6. Kako

je

najmanji

zajednidki

sadrZalac

za

4

i 6

jednak

J.2

to

broj

u6esnika

mora

bi-ti deljiv

i

sa

12.

Jedlni'broj

koji

je

de-

ljiv

sa

12,

a

nalazi

se

izrnedju

80

i

90

je

7.L2=84.

3.

GreBka u mnoZenju

iznosi

lf90-1085=f05

i

jednaka je

tro-

strukoj

vrednosti drugog

Einioca

(kod

koga nije

pogre3na

.cifra

o

_-16

.

O-./-q

o

M

o-4-o

o--jl-

o-2

-o-J--a

ACDB

It5

jedinica).

Prema

come taj Einilac

irna

vrednost

I05:3=35.

Prvi

Einilac

je

tada

I

I90

:

35=34.

II regenje:

Kako

je

f190=2.5.7.I7,

a

1085=5,7.31,

to

oba

broja

lL?

3.

Ako se simetralq

unutragnjih ug-

lova a i

B

seku

pod

uglom od

I35o,

onda

je

odigledno

e/2+g/2+r35o=180o,

pa

je

o-

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 64/74

4

)

4

r

K

)

cL)

,/

/

e)

imaju

zajednidki

dintlac

35,

a

drugi

6inilac

je

34

odnosno

31,

5to u

potpunosti

odgovara

uslovima zadatka.

4.

Iz

datih

uslova

lako zakljudujemo da

je

komplementni

ugao petina datog

ugla.

Kako

je 90:6=15r

to

je

dalli

ugao

5.15=

=75o,

a

njegov

komplementni

ugao

l.I5=150.

5.

Presek dva oBtra ugla moZe

btti:

a)

prazan

skup,

b) ta-

Eka,

c) poluprava,

d) duZ, e) ugao,

f)

trougao, g)

Eetvorougao.

VI RAZRED

1. Kako

ie

2588=2.2.2.?.?.2t2:).7

=2.2.2.8.5.7 =

12.14.L6

t

to

su

trazeni brojevi 12,

14

i

16.

2.

Kako

je

f350=I5.15.6, to

su

moEuCe sledeCe

komblnacije:

a=15,

b=15.6=90;

a=15.2=30,

b=r5.

3=45.

If re5enje:

Neka

su

traZeni brojevL

a L

b.

Poznato

je

da

je

ab=D(a,b)S(a,b).

Odavde

je

r350=15.S,

a

S=90. Delioci broja 90

koji

su deljivi

sa

15

su:

15, 30, 45, 60,

75,

90. Uslove zadatfca

odigledno

ispunjavaju

samo 15

i

90,

odnosno

30

i

45.

davde o/2+B/2=180o-r35o=45o.

zakljuEuje-

mo

da

je

cr+B=2.45o=90o.

Tada

je

Y=90o,

pa

je

trougao

ABC

pravougli.

{.

odisredno

j"

+;3+=

t

-rels,

"

+;€*=

t

-r-ek.

. r r I .- r

1984

_1985

KaKo

Je

TtgS'rgE6

to

le

I

-Ttg5.

t

-

r3-g-6i

pa

le

I

T9T-5.I9E-G'.

5.

Neka

je

a=

480A

L

neka

je

p.no={A},

pns={B}

t

p^A=

=tc].

Iada

su

trouglov

ABo

L

BCO

podudarni:

(USU)

4

A0B=

x'C)B=

=d/2,

OB=OB

4AB0

=4CBO

=90o.

Iz

podudarnostizaktjuEujemo

da

su

i

ostali

elementi

podudarni, pa

je

LA=TCt

Bto

'je

i

trebalo

dokazati.

O

VII

RAZRED

r. Neka

je

dati

razlomak

f;O

7ol.

Kada brojilac

cuveCamo

za

40*

imade

vrednost

lr4c. UveCavanjem imenioca

za

25* dobtja

se

imenilac

L,25b. vrednost

novog razlornka

je

+y*,

pa

je

no-

vi

lazlornak

jednak

Lrlzt,

odnosno

vrednost

razlomka se uveCala

"^

4,2r.

2. Neka

je

broj

vreCica

n.

U

svakoj

vreiici ima

n

kg

SeCe-

ra.

Dakle

ukupna

koliEina

SeCera

ie

n.n=n2=961. Dakle

n=-r'T67

LLL

n=/96T. Kako

broj

vreClca ne moZe

biti negatlvan u

obzlr

do-

lazi

samo

n=3I.

3.

Kako

je

hipotenuzina

tettgna

duZ

jednaka

polovlnl

hlpo-

tenuze,

to

je

hipoten\za

c=2t.

Tro-

ugao

BCD

je

jednakokraki

i ima

uqao

kod

D jednak

600,

Sto znadi

da

je

i

119

proizvod

(k+n+l)(k-m)

deljiv

sa 2.

BrojevL

k+n

i

k-n

su

uvek

iste parnostJ.,

pa

je

jedan

od brojeva

k+n.+l

i

i_rn

paran,

a

drugi

neparan,

Eto

obezbedjuje

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 65/74

jednakostranidni,

pa

je

kateta

a=t.

rz Pitagorine

teoreme 62=s2-a2=4g2-22=

=3r2.

odavde

je

b=t{3,.

obim dacog

trougl"a

)e

o=t+t/3+2t--3t+tr'3-t

(3+y'3)

.

Povrlina

trougla

je

P-ab

z2=t.

tfjz2=

)_

=t-

.

/3/2.

da njlhov

proi?vod

bude

deljiv

sa 2.

Ovim

je

dokaz

zavrlen.

2.

xako

ie

21986=t25133r=5433r

to

i"

2r986-6433r

r

6333r.

4.

Neka

su

centri

datih

krugova

A, B,

C.

Trougao

ABC

fe

jednakostrani-

6ni

jer

su

mu sve

stranice

po

60 cm.

PovrBina

trilZene

figure

jeCnaka

je

razlici povr5ine

trougla

ABC

L zbl.-

ra povr5ina

3 kruina

ise6ka. Kako

su

ti

isedci

po<ludarni

i

imaju

central-

ni

ugao

od 600,

to

je

zbir

njihovih

povr3ina

jednak

povrSini

polovine

bi-

1o kojeg

od datih krugova.

TraZena po-

3.

Neka

je

Etr'

vislna trapeza ko-

ja prolazi

kroz

centar

opisanog kruga.

Kako

je

E.l'jednako

srednjoj liniji

to

je

EF=14

cm. Neka

je

EO=e,

a

FO=LA-r.

Tada

je

iz

trouglova AEO

i

.PDO

na

os-

novu

Pitagorj-ne

teoreme 82+t2-R2=

=(r4-c)2+62.

od"vde

dobijamo: 64+o2=

=r96-28e+r2+36

t1i

64=232-28a.

sredi

da

je

c=

(232-64'):28=168:28=6,cm.

Tada

ie

R2=82+r2--82+62=too,

a

R=10

cm.

po-

vrBina kruga

je

100n=314

,I57

cm2,

a

po-

r/rgina

trapeza

je

(16+f2).1.4:2=I96

cm2.

to"trapez

zauzima

62r392

povr5ine

kruga.

D/G

F

\-.c

u

'oo-'I

I\,

e

r-----7

Kako

je

196:314

,L57=O,6239

vriina

p

-601-,5

-+=e00,'3-4s0r= 45o(2t3-n)

5.

Ugao

EoC

je

600

jer

je

A

cm

dva puta

veCi

od

periferijskog

BAC,

pa

je

trougao

806'

jednako-

stranidni

BO=OC=BC=LQ

cm.

Visi-

na. A D=AO+1D=10+5

/3.

povrgina

trousla

je

P=I0

(10+5r'3):2

=

=5

(r.0+5r'3)

=

25

(.2+v3',

.

4.

lz

s2-6r+1y2-t)2+g=0

dobija

se

(o-3)'*(r'-r)2=0.

zbir

kvadrata

je

nula

ako

su

oba broja

jednaka

nuli.

Dakle

r-3=0

i

y2-t=0.

Zna6t

da

je

c=3,

a

y=I

ili

y=-1, pa

su resenja

parovi

(3,r)

i

(3,

-r).

5.

Neka

su

dlmenzije toc

n(n+I,

(n+2)

jednako

335

to

je

odakle

je

n=6

,

n+I=1

i

n+2=8.

+8. 6)=2 (42+55+48)=

292

cm2

.

lcvadrata

n, n+

n

(n+I')

ln+2)=2.2.

Povr3ina

kvadra

L

n+2.

Kako

je

2.2.3.7

=

8.6.7

)e

P=Z

(6.7+7.8+

VITI

RAZRED

].

Neka

su dati

neparni

brojevl

2k+L

i 2z+1.

Tada

je

(2k+l

I

2*

(2^*t12=

12k+t+2^+r)

(2k+I-2m-Ll=(2k+2n+2)

e

(2k-2n)=2(kin+L,).2

odigledno

je

data

razr.ika

kvadrata

deljiva

sa

4. Dokazimo

da

je

NaporFna:

Prvi zadatak

se

moZe

jednostavnlje

reBiti bez prime-

ne

razllke kv.adrata.

(2k+I)2-

(2**tl2=ak2+4k+I-4m2-An-L

=

4&

(k+1).-

-An(n+Ir.

Kako

su

n

i

n+I

i

k

i

k+t

uzastopni

prirodni

brojevl

njihovi proizvodi

su

deljivi

sa

2, pa

je

ceo

izraz deljiv

sa

4.

2=8

.

L21

13-4=9

cm.

Povr5ina

pravougaonlka

je

P=4.9=36

crn2,

. to

je

i

povr5lna

kvadrata.

Stranica kvadrata

je

5

cm

(jer

je

6.6=36

cn2)

a

obim kvadrata

je

24

cm.

Obim

pravougaonlka

je

2(9+4',=2.L3=26

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 66/74

RESENJE ZADATAKA

SA

OPSTTNSKOG

TAKMICENJA

N

PAZRED

r.

OEigledno

je

da treba

ispisati

brojeve

5L,52,

...,

L48. I4g.

Od ispisanih

brojeva 49

su dvocifreni,

a trocifrenih

brojeva

lma 50.

ZnaEi da

je

upot.rebljeno 2.49+3.50

=248

cifara.

Pri ispisivanju u

svakoj desetici

se

upotrebi

po

jedna

sedmlca

(5'1,67,

...,

L37,

L471,

a u sedmoj rlesetici

jo3

f0

sedmica

(?0,7I,

...,78,79),

pa

je

ukupan broj

sedmica

I0+I0=20.

2. Zadatak

reEavamo

meto-

dom duZi

(treba

priznati

i

dru-

ga

tadna

i

obrazloZena

re5enja).

l4i5a i Zicia su imali jednake

sume

novca

(duZ

i{8). Zikica je

potroiio

1380

dinara

(dfi,

BCl,

a

I'ti5'a

je

zaradio

joE

1986

di-

nara

(duZ

BD).

Sada

MiSa ima tri puta

vi5e novca

od

Zikice,

5to

znadi da

je

duX

AD

+-r

puta

veda

od

duli AC.

a. dva

puta

ve-

Ca

od duZi

dD.

Kako

je

CD=l380+f986=3366,

to

je

AC=3366:2=1683.

ZnaEl

Zikica

ima

1683,

a

MiEa 3.1683=5049 dinara.

:--:--:"-:e e

3

rarso

o------o-

1360o

Zrrrca

3. Proizvod 1986 predstavi.Cemo

po-

vr5inom

jednog

pravougaonika.

Ka-

da

jednu

stranicu

poveCamo

za

4,

novi proizvod

je

3310, 5to znadi

da

se

povrSina

uveCal"a za 3310-

-1985=1324.

Kako

je jedna strani-

4

to

je

druga

1324:4=331,

a to

je jedan

od traZenih

Einil.a-

Drugi

Elnilac

je

1986:331=6.

4.

Rko

je

zbir

stranic.i

pra-

vougaonika

13,

a razlika 5,

onda

je

manja

stranica

pravougaonika

(1.3-5):2,

t).

4

cm. Tada

je

veCa

cm.

Pravougaonik

lma za 2 cm

veCi

obLm

od obima kvadrata.

5.

Na duXi AB

rl<:le

se

uoEitL

6

tadaka.

Tih 6

tadaka odredjuje

5+4+3

+

2+I=15

duZt. I

na

duZl dD

i-

mamo

15

duZi.

Iz taEke 0 polazi

6

duZi

(pravih)

i

na

svakoj

je

po

3

zna6i

ukupno 18

duZi. Ukupan broj

duZi

je

odigledno 15+15+18=48.

Sva-

A

ka

od duZi na

duZi 48

je

osnovica

jednog

trougla,

pa

takvih

trouglova

ima

t5.

SItEno

je

J.

sa du-

Zi

CD,

pa

je

ukupan

broj trouglova

jednak

15+f5=30.

V

RAZRED

l.

Da bi

trazeni

broj

*

I I

*

bl_o

deljiv

sa 36

mora biti

deljiv

sa 4

i sa 9. Zbog.deljivosti

sa 9 zbir

cifara

mora

biti

deljiv sa 9

pa

u obzlr

dolaze.

zbirovi'9 i I8, 5to znadi da je

z6'ir nepoznatih

cifara

? ili"t6

.

zaog

deljivosti-".

i

a.ro"rr-

reni zavrEetak

mora

biti

deljiv

sa

4 pa

u

obzir dolaze

*Il2

i

*116.

Dak1e

red

je

o brojevima

5rl2

i

I116.

2.

ZbLr ugla

o

i

njernu

uporednih

uglova

je

3120.

Dopuna ugla

od 3I2o

do

punog

ugla

je

ugao

jednak

uglu o,

kao

unakrsnom ug1u.

Dakle

q=360o-3120=

=48o,

a

njemu

uporedni

ugao

je

t80o-48o=

=I

32o.

3.

Kako

j"

l=$

i

r"ro

j"

i=$

t"

i"

#.#s$

na )e

1985

I

1324

ca

ca.

4

jedan

od

brojeva

5, 6,

7

,

4.

8,9 i1i ne{5,5,7,8,9}.

Najpre nacrtamo

Venov

dljagram

skupova

A,

B

,

C. Zatim

upisati

date podatke.

O6igledno

je

da

preostale

cifre 6

1 8

pripadaju

skupu

C, pa

je:

l,

=

(0r3t4,5r91

B

=

{O

,I

,2

,3

,7

,9}

C

=

{0,2

,3,6

,81

.

o-alXobo

''5

H------o-----O

a-bbb

&L

5.

Najpre

zakljuEujemo

da

broj

osoba

za.

stolom'mora

blti

deljiv

sa

3.(jer

je

red

o

trodlanj.m

porodlca-

ma).

Dalje

broj

osoba

za

stolom

 23

bio

neparan

-28r).

Ako

je

4

neparan,

tada

se zbir

35a+zoc

za_

vr5ava

cifrom

5, pa

se

2gb

zavriava

cifrom (2gl_..5=..6)6.

O_

davde

zakljudujemo

da

je

b=2.

Dakl_e

35a+56+2Oc=2gI,

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 67/74

mo-

ra biti

paran

(jer

nasuprot

svake

osobe

sedi

osoba

ist-e

vrste).

Naj-

manji

broj

koji

zadovoljava

ove

us-

love

je

5,

ali

je

tada

nemogude

za-

dovoljLt.i

tredi

us1ov.

Najmanji

broj

osoba koji zadovoljava sve uslove zadatka je 12 (4 porodice),

a

raspored

sedenja

dat

je

na

slici

(M_miZ,

Z_Zena,

Drn_muZko

dete

,

DZ,->,ensko

dete

) .

VT

RAZRED

l.

Odigledno

inlamo

l0

grupa

udenika:

one koji

su

redifi

svih

9

zadataka,

one koji

su

re5ili

g

zadataka,

..., one

koji

su

re6ili

samo

I

zadatak

i

one

koji

su

re5.ili

0 zadataka (ni_

su

reSili

ni

jedan.

zadatak).

U

.jednoj

od I0

uodenih

grupa

mo_

ra

biti

bar

4

utenika.

Za5to?

Zato

gto

u

sludaju

da

u

svakoj

grupi

irna manje

od 4 udenika (3, 2, I, Q)

r:kupan

broj udenika

je

manji

ili

tadno

jednak

3.10=30,

Sto

je

nemoguCe, jer

u

ode_

lenj

u

ima

32 udenika.

(

Dirihleov

princip:

32

:

1

0=3

(2

)

)

.

2.

Ako r000

pri

deljenju

sa

traZenim

brojem

daje

.ostatak

8,

to

znadi

da

je

1000-8=992

deljivo

sa

tim

brojem.

Slidno

i

900-f=899

mora

biti

deljivo

istim

brojem.

Kako

je

992=2.2-2.2.2.3I

i

kako

je

broj

g99

neparan,

to

g99

mora

biti

deljivo

sa

31.

Zaista

899=3t..29.,

pa

ie

traZeni

zajednidki

de_

Iilac

broj

3I.

If

resenje:

Neka

je

d fraZeni

zajednidki

delilac.

Tada

je

992=a,d

t

899=b.d.

Kako

je

992-899=93=(a_b)a.i

kako

93=3.3I

to d

moZe

biri

3

ili

3I.

Broj

3

ne

dolazi

u

ni

899 ni

992

nisu

deljivi

sa 3, pa

je

a=31.

.3.

Kako je

140=4.5.7

to

su trazeni

imenioci

4,5

i

7.

r-

28I

_

f _p ,.:

_

35a+28b+2Oc

,=

TCo- a

-B'

7

=-

iab--.

OdiqJ.edno

3Sa+28L+20..=28I.

odnosno

35a+20e=225.

OEig1edno

a<7

()er

ako bi

a>7

onda

je

35a

>245),

pa

je

a=l

i1i a=3

iIi

a=5.

Ako

je

a=t

i1i

a=5

dobijamo

35+2Oc=

=225

ili

I75+20c=225,

odnosno

2Oc=I90

iIi

20c=50

Eto

je

nemogu_

3""

*1;:;;.

ro5+2Qc=225'

odnosno

20c=r2o

ili

c=6'

Ko-

4.

Analiza:

Visina

CD

deli

tro_

ugao

AtsC

na

dva

pravougla

troug1a

ACD

i

BCD.

(.r

trouglu

ACD

poznat

narn

je

x

DAC=75o

i kateta

naspram

tog

ug-

Ia CD=4

cm.

U

trouglu

BCD

poznata

nam

je

hipotenuza

BC=6

cm

i, kateta

CD=A

cm,

A

Konstrukcija:

Na proizvoljnoj

pravoj

p

izaberemo

proizvoljnu

taEku

D

i kroz

nju

konstrui5emo

pravu

q

normalnu

na

p.

Na

pra_

voj

q

odredj.mo

ta6ku C

tako

da

je

DC=4

cm.

Kako

je

CB=6

cm_,

.

tadki c

konstruibemo

krug k(c, 6). presek kruga k i prave p je

tadka

8.

Xroz

ta6ku

C'konstruisemo

pravu

.r.

tako

d.a

je

xrcD

=g0o-75o=t5o.

U

preseku

pravih

p

i

i,

dobija

se

teme,4.

Dokaz:

Po

konstrukciji

duZi

CD

i

CB

jednake

su 4

odnosno

6

cm.

ugao

xCAB=

xCAD=904-

rACD=90o_t5o=75o,

pa

dobijeni

trougao

ABC

zaista

ima

date

efemente.

Diskusija:

Zadatak

ima 4

podudarna

re5enja

zavisno

od

preseka

kruga

k

sa

pravom

p

i

zavisno

od poloZaja

duZL

CD.

5.

UEr36

t)ACB

A

je

spolja5nji

ugao

trougla

tC,

i

jednak

je

zbiru

uglova

Cilj

i

ADC.

Zna6i

da je

x,.1CB

> 4

ADC.

Kako

je

''

:t

11

Ci=

r.4o-c'=

a

ABD

kako

je

x .4r(.r=

x AL)B

to

je

a.ABD )

zADts

.

le

obzir

ler

Dak-

Kako

su

brojevi

28b

i 20c

parni

broj

d

mora

5iti

neparan

(da

bi

zbj.r

,

VIT

RAZRXD

l.

Neka

je

cena

jednog

klikera

c

dinara.

Tada

je

za

25

kLlkera

pladeno

25.c

dinara.

Za

10000

dinara

se

moZe

kupit.i

10000:a

kLikera.

L25

,

.

VIII

RAZRED

l.

Kako

je

f

(xr=e2'-l

to

je

f

(a+tl=iont,l2-t=o2+2a.1r- =a2+2a.

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 68/74

Xako je

25.c=l0000:c

to

je

25.r2=10000,

pa

c2=10000:

25=400.

znadl

c=20

dinara.

Tada

je

f

(f

(a+t))=f

k2+z,t)=(a2+2a)r-L=(or*ro*t\

(a2+za_t)

iIi

f

(f

(a+tl

)

=a4

+4a3+4a2

-t

.

2.

rz

-a2+b2-2

(be+cd..+da-.2-d2)=0

dobijamo

da

je

o2+b2-2b.-

-2c^d.-2da+c2+e2

+d.2

+d2=0.

Grupisanjem

Elanova

dobrjl

""

o2-2od.*d.2

*

+b2

-2L

o+

o2

+o2

-2o

d.+d2

=o

i ri

(a-d)

i

*

(o

-.

)t

*,"

-

or,

=o.

rir,

*.r.ur.-

ta tri broja

jednak

je nuli

ako

i

samo

ako

je

svaki

od

njLh

je_

dnak

nuli

pa

mora biti

c-d=0

b-c=0

i

c-d=0

.

zboq

tranzitivno-

sti.relacije

"="

dobija

se

a=d

i

b=e

i

e=d,

t1. b=e-d.=a.

3.

DuZ

,'d

je

srednja

lintja

trougla

ABC,

pa

je

FG=I2

cm.

DuZ

,g

je

srednja

J.inlja

trapeza

,AB.GF

pa

je

,8=(24+12):2=I8

cm.

DuZ

M/t

je

srednja

linija

trouqla

tr'Gd,

pa

je

Mil=5

cm.

povr5ine

dobi.jerrih

delova

su. P(ABED)=84

cm2

t

p(DEGF)=

=50

crn2,

p(FCNM')=36

cm2

i

p(MNC,)=

=12

cm2.

4.

povr5ina

lopte

7r=4rio2,

u

"^pr"mtha

je

Vl=4/3trr3.

os-

nova

valjka

ima

takodje

poluprednik

r",

a visi-na ,?=2r.

povr5ina

val-ika

je

l'

r=2pay=2nr2

+zrt,.

2r=6ny,2

a zapremina

V,,=n12.

2y.=2trt"3.

Odavcle

)e

P,

z

n

r=

At

r,2

. 6n

12

=2:

3

i

Iz,,

V

u=4

/

3r 13

.

Ztr

,.i=

4

/

3

: Z-2

z 3.

Ovim

je

dokaz

zavr$en

jer

)e

pI:.p7)=vItVu=223.

5. Neka

su

I

,

B,

C

centri

da-

tih krugova,

a r

i r?'polupreEnici

upisanog

odnosno

opisanog

kruga,

sa zajednidkim

centrom

O. Ta6ka

O

je

centar

(teZiSte)

t'rougla,4BC.

Ao=2/3.h=2.r3.6/3

= 4{3

cm.

r,=4/1_G,

a

R=4/i+5.

povrEina

traienog

kru-

Znog

prstena

je

P= r)

(n2-r2)=

=r

(

(4/3+6)

2-

(q/l-s)2)=n

(q/3+6+4/3-6)

.

.

(4{1+6-4/3+6

)

=r.

B.

/3.

r2-96.

n.

/3

"^2

.

je

2.

O6lgledno

da

datom

luku

odsovara

nekj-

ugao

d.

Tada

L

=;=':"

;#,

a

odavde

je

c

=$.

novrxina

odsovarajuces

Znog

ise6ka

je

p=nr,2

o

,

=

nn2

goo/tr

-t'23600 3rrP

-

-4"

je

kru-

r1

i

l

ir

3.

Neka

je

broj

stranica

pravllnog

mnogouqla

z.

Tada

je

broj

njegovlh

dijaqona],a

n(n-3):2=252,

pa

je

n(n_3)=2.252=

=2.2.2.7.9.

KonaEno

nln-3)

=2:3:2:_1.?:J=Zl.2l,

pa

]e

n=24.

O_

bim

je

0=24.

L0=240

cm.

4.

Neka

je

0 presek

dljagonala

rornba

i neka

je

M

taEka

u kojoj

krug

dodj,ruje

stranicu

lB.

Kako je

trougao

IOM

pravougli

i kako

je

0M='

'

=z'=L/4.AC to

je

)M=t=t/2.OAr

pa

je

ugao

AOM

600,

a

ugao

0.4M=30o.

To

zna6i

da

Su

uglovi

ronba

BAD

BCD

po

600,

a to

opet

znadi

da

su

tro-

A

uglovi

ABD

BCD

jednakostraniEni.

Vlsine

DE

BF

romba

presecaju

veCu

dijagonalu.u

tadkama

p

i

e.

Kako

su

DE

L

BF

i visine jednakostranidnih

trouqlova

ABD

i

ECD,

to

je

AP=?-.0P=2.OQ=aC

odnosno

Ap=pQ=eC.

B

5.

DuZi

A.M

i Ap

odnosno

BM

i B,t

su

tangentne

duii

iz

jedne

tadke

na

dati

krug

i

kao

takve

su.

jednake

(moZe

i

podudarnost).

Kako je

hipo_

tenuza

A

E=

I

0=.4 t

+B

t/t=A

p

+

tj

I,l

=

6

_

r

+g_

z.

dobijamo

da

je

2r.=14-I0=4,

a

samo

t'=2

cm.

Kako

je

,

.t=.Ei

to

je

tS=5

cm,

a

-qM=A5-Al.r=AS-Ap=S-

(6-2

)=5_4=f

cm.

Iz

pitaoorine

teoreme

lako

iz_

radunavamo

rastojanje

5

6="f;Tfr7=

=

/T+a-/S.

L26

LZ?

Napornena:

Zadatak

se moze

reglti

1

na

drugi

naEin

_

rnerodorn pr.a-

voli'Jaonika,

iednadinom,

...

Treba

prlznat'I

svako

korekrno

rese-

nje.

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 69/74

RE.<ENJA

ZADATAKA

sA

MEDJUopSrrNsroe

TAKMTCENJA

IV

RAZRED

t.

Cifra

jedinice

u

diniocu

23*

odiqledno je

6

(jer

je

samo

l.a=4

i

6.4=24,

ali

cifra

I

ne

dolazi

u

obzir,

jer

bi

ta_

da proj.zrrod

t*4.1

bio

tr:ocifr:en).

U

Einiocu

**4

ci.fra

desetica

je

tada

0

ili

5

(jer

je

6.4=24

iti

6.54=324),

Ako

je

cifra

cle_

seti.ca

0,

onda

je

*04.2=l*08

i

*04.3=I*12,

pa

dobiiamo

sIe<1eiu

situaciju:

*04.236

=

**24

1*12

I

*0g

*I****

Oiig.ledno

u sabirku

l*0g

nepoznata

cifra

mora

bj-ti

parna

(zboq

mnoienja

sa 2) i

sabrana

sa I i

prenosom

mcra

se

zavriavati

na

1..

Znadi

da

je

nepoznata

cifra

0.

Tada je

u

Einiocu

*04

nepoz_

nata

cifra

5, p.t

je

konadno

traienl

proizvod

504.236=I1g944.

U

6i-ni'ocll

a*4

cif

ra

deset-ica

ne

moZe

biti

5,

jer

bJ-

tada

u

sabir-

ku

l*08

nepoznata

clfra

moral_a

biti

neparna,

dakle

9,

Sto

je

r.re_

'mosuce'

jer

bi

tada

rl0blfi

proi-zvod

954.236

koji

ne

zadovoljava

us-lorze

zadatka,

jer

je

druga

cifra

u proizvodu

(225144)

2

a

mora_

Ia

bi

biti

r.

2.

Da

je

zadatke

re5aval,a

po

prvob.itnorn

planu

Zorica

bi

u

toku

poslednja

3'

dana

regila

3.

l5=45

zadataka.

Medjutim,.ona

je

poslednla

3

dana

re6jla

samo p.reostalih

3.4=12

zadataka.Zna_

-i da je razliku od

45-12=33

zadatka

reBila

u

prethodnim

danima.

Xako

je

svakog

dana

,'prebacivala

normu,,

za

3

zadar_ka

to

je

re_

Savan

je

tr:a

jalo

33:

3=11

dana.

Dakle

r_rkupan

broj

dana

u

kojima

ie

zorica

resavata

zadatke je

lt+3=t4,

a

or"";;";,;.J,"]uaut._

ka

je

14.

l5=2I0

iIi

rr.

l8+3.4=198+t2=210.

3.

Sa

slike

je

oEigledno

da

?

O,

,

,

kada duZ

CD

uveCarno

tri

puta.

on-

I

da

smo

je

uvecali

,.-;;.-;;;.-"

duline,

a dato

uvedanje

iznosi

2+L0=L2

cm.

prena

tome

duZina

du-

2i

CD

je

12:2=6

cm,

a dui

lB

ima

duZinu

6+2=9.*,

Zaisra

je

3.6=8+I0=t8

cn.

4.

Kada

stranice

kvadrata

uveCamg

za

2

odnosno

5

.cm,

oncla

se

dobije

pravougaonik,

koji

se

mc:Ze

razloZiti

na

ctaci

Kv€rdraE

1

I

I

I

5t

r

12

,z

5.

Jedno

ocl

nroguCih

re5enja

je

sledeCe:

J+3-3=3;

(4+4+1):4=3;

(5.5-5-5):5=3;

6:5+6:6+6:6=3r.

('l

+'7

t'i +1

)

2,.

-7

:'/=3

i

(B+8+B)

:

8+8.

g-g.

g=3;

(9+9+9+9

)

:

9-9:

9+9_9=3.

RAZRED

I.

Kako

je

najvedi

zajedniEki

cleli1ac

za 2J 0

i

3630

broj

2'3'5'i1-330

to

su

dinrenzije

--railene

kvaoraErrc

pl,Jce

330

cmx330

crn.

Kako

je

2310:330=?

i 3630:330=lr, ro je

ukup.rn

broj

ploda

2.

Nexa.

je

polovina

prvog

broja

3edrraka

lrekurn

broju

:u..,I,a_

da

je

prvi

broj

dva

puta

veCl

i

izrrosi

2r.

Slj-6rro

treCirra

dru_

g,g

b'oja je

r'

pa

3e

cirugl

broj

tri

puta

veci

1 iz'osi

3r.

pe-

c1r:a

treceg

DroJ

a

Je

r-:tkouje

i

t

p)

.tL

t.r"-,<ii

L,r

ij pet

put"r

veCl

i

iznOSr

5r,

Xa,tio

je

2;r r3;ri. .I;=o0,

to

-jr_,

I0;=6i.),

a

samo

.l=6,

pa

1e

p::v-L

h :o)

L),

tlruq_i

18,

a trecl.i

3r).

tri

nrqnja

pravougaonika

dile

su

stranice':

2

i r,2

i

5,5

1

{"

po-

vrsine

uoEenih

pr.avougaulr:j<d

su

2x,

LO

L

5r,

a nJihov

zbir

Jc

i5

)

crn-.

Odigleono

je

2c+5r=45-ILr=.JS.

Dakle

7c=35,

a

a;-35:7=5

crn, Lra.F_

j_e

scranica kvadrara je 5

crrr,

a

po-

2

vrsl,Jra

25

cm

-

1:

729

Cenih 640

dinara iznosi

16,/60 duga

(jer

je

ved l'radeno

35/60,

a treba da se

vrati

joB

9/60). odavde

je

o6igledno

l/60 duga

640:16=40

dinara,

a

ceo dug

60.40=2400 dinara.

3.

Ako

je

deda

Mile

r:odjen

)9cD

godinc:

inrati

8l

qodinu,

ZnaEi

da

ie

TI6Z-T-OZF_-8I,

on

Ce

\9ba

godlne

il-j- Ta-d6=8r.

06i-

je

b=9.

O6igledno je

gledno

da

rz=0,

pa

je

cifra

,

rnora

blti

veCa

od

g,

pa

<.ieda

Mil-e

roci

jen

1909.

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 70/74

Svaka

duZ

prave

4

je

osnovica jednog

trougla

6tje

je

tre_

teme

na

pravoj

b

i

obrnuto,

pa

je

ukupan

broj

trouglova

4+6.5=40+30-70.

5. Neka je

tadka

O

cen-

tar

traZenog

kruga.

Kako

je

0/t=2

cm,

to

je

ta6ka

O na

krugu

k

(A,2r.

S druce

str.ane

t.razeni

krug

dodir.uje

i

datu

pravu

p

r

pd

S€

tadka

6,

mora

nalazltl na pravoj koja je

paralelna

sa p

i od nje

u<la-

Ijena

2

crn.

KonaEno

tadka

O

je

presek

Ova

dva

uOdena

skupa

ta-

Eaka.

Zadatak

ima

dva

reBenja.

VI

RAZRED

l.

Neka

je

treCina

prvog

broja jerlnaka

r.

Tada

je

prvi

broj

3;r:.

Slidno

petina

drugog

broja

je

c,

pa

je

drugi

broj

5c.

Kako

je

sedmina

tredeg broja takodje jc, to je treii broj

jeci_

nak

7c.

Zbir

traienih

brojeva je

3c+5:r+7c=I5r=1455,

pa

je

sa_

rno

c=1455:15=97,

a traZeni

brojevi

sU

3jc=291,

5c=4g5

i

koltadno

7 x=67

9

2.

Xada

je

vratio

l/rl

duqa

BoZa

je

duga.

Kada

je

vratio 4,/9

ostatka,

vratlo

duga.

Kaks

)e

r/4+r/3=7/12=35/60

i

kako

3.

Neka

)e

p=2.

Tada

je

p2+t3=4+r3=17.

Kako

je

17

prost

broj to

)e

p=2

jedno

reienje

zadatka. Neka

je

p

l

3.

Tada

je

p

neparan broj,

pa

j"

L

p2

takodje

neparan

broj,

a

p2+13

ie

u

tom

sludaju

paran

(kao

zblr

dva

neparna),

5to

zna6i da

je

i sloZen.

ovim smo dokazaLl

da

je

p=l

jedino

reEenje

problema.

4.

Neka

je s

prava

odre-

djena

tadkama

I

i

C

i

neka

jer

pns=lMltpnb=lD ,

q

n

s

=

[il)

i

q

n

c

=

[t].

Tro-

uglovi

ABD

L

MBD

su

podudarnL

(za5to?),

a

lz

podudarnosti

Je

AB=I,IB.

Slidno

i trouglovi

ACE

i

NCE

su

podudarni

(zaS-

to?)

pa

)e

L

AC=CN.

zaklju-

M

6ujemo

da

je

AB+BC+CA=MB+tse+CN

BEo

je jednako

duZi

M/t/

i 5to

je i trebalo dokazati.

5.

O6igledno

je

taEka

M

teziSte

trougla

ABD,jerJeN

sredigte

1r,

a

0

srediSte

BD

(fer

se

dijagonale

polove).

Kako

je

A0=I/2.AC=g

cm,

Lo

)e

AI"1=2/3.A0=6 cm.

VTI

RAZRED

1.

Neka

je 5+/2 racionalan broj r.

Tada

je t2=r-5.

Kako

je

razlika dva racionalna

broja

(r

I

5) takodje

racl-onalan

broj,

a

€

ie

iracionalan.

pretpostavka nije

tadna, pa

ie

5+{2

iracionalan

broj.

Slidno,

neka

)e

5/Z

racionalan

broj s. Tada

je

/2=s:5.

Kako

je

kolidnik

dva racionalna

broja s

i

5

takodjg

r:acionalan, a

/2

ie

ir:acionalan to

je

opet

netaEna pretpostavka,

t). 5/Z

ie

iracionalan

broj.

a 1990.

godine

Ce

i-

ciuZi,

a na

pravoj

jer

je

joi

20

<tu-

pravoj c i pravoj

mati

tadno

, r'-

r

.

t\d

b

4-

322=6

crocline

,

81 goCinu.

pravoj

Q

moZe

se uoditi

4.5:2=10

Ukupan

broj

duZi

jednak

je

t0+6+4.g=35,

Zi odredjeno

medjusobnirn

spajanjem taEaka

na

b.

dugovao

|.,1iri

joB

3rz4

7e

joE

4/9

3/4=r/3

)e

3/20=9/60,

to

vra-

---a--

-

2.

Kako

je

I0n=100...00.0,

gde

rrula

ima

ta6no

n,

to

je

r0n-l=999...g99

gde

deverki

ima-radno

n.

oEiqledno

je

da

broj

999...999

deljiv

sa

9,

jei

je

999...999:9=tIt...rII

(jeclinlca

ima

tadno

1t1

.

2.

Kako

ie

,2

++=+

to

ie

c2+2

*

}..=

t'

*it'=?

n.

j.

g&

r5

.r+i=i

$er

negativna

vrednost

ne

dolazi u obzir

zbog

c)I).

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 71/74

n).

Da

bi

III...l1l

bio

deljiv

sa 9

mora

zbir

cifara

biti.

deljiv

sa

9.

Kako

je

zbir

cifara

broja

ltt...llr

(n

jedi_

nica)

jednak

n,

to

n

mora

bitl

ctreljivo

sa

9,

tj.

net9,

18,2'1

,

...

l.

3.

Neka

je

trougao

ABC

d,at ,

trougao

(AB=c

i

ugao

BAC=22r5o)

A

A

Konstrui6emo

trougao lC,

s.imetri_

/t\

dan

darom

u

odnosu

na

AC. Tada je

/ I

\

AD=c,

a

usao

BAD=45,o.

N"ku

j"

as

/ I \

visina

koja

odsovara

srranici

,48.

/ I _\.

Trougao

ADL

)e

jednakokrako

pra_

/

-_1_-

\

vousli,

pa je

A .t=c,

a

AE=DE=cr'Z/2.

L--

|

\

povr5ina

trougta

ABD

je

.2Ay4,

u

D

c

B

povrBina

trougla

nac

je

o2/Z/g.

SliEno

'2-2

**

=

,"

-*r'

--

e. :"

"

-

*

=;,

(oper

nesarivna

vrednost ne dolazi

u obzir

jer je

zbog c>

f, r>j).

.1513

Kako

je

"*;=f,

a

x-;=;

to

se

sabiranjem gornjih

jed-

nakosti

dobija zr

=52

+

j

=

4,

a samo

x=2.

3.

oEigledno

je

lo2r'-r=(ton)2-1=1ion-i)

(rou+r).,

a

34=gt.

Dalje,

traZeni

Lzraz

je

ceo broj

samo kada

je

uodeni proizvod

deljiv

sa

81.

Kako

je

toz-r=ssgg...gg9

i

kako

je

t0u+1=

=f00...001,

to

je

prvi broj

uvek detjiv

sa

9,

a drugi nikada,

pa

je

dalje

razmatranje

identibno kao

u

2.

zadatku za

VI:r

yaz-

red.

4. Krake

AD

BC

trapeza

produiimo

do preseka,

a

prese-

Enu taEku

obeleZimo

sa

E.,Iz

Talesove

teoreme

)e

ABzCD=

=AL':DE,

tj.

25.15=(8+rc)

3r,

pa

le

25rc=120+15r,

a ::=12 cm. Ka-

ko

je

zbir

uglova na

osnovici

prav,

to

je

ugao ,4AB

takodje

prav,

pa

su trouglovi

ASB

i

,l'L'pravoug]-i.

Iz

pitagorine

teoreme

je

t'l-'=9

cnr i

BI=15

cm, pa

je

BC=BE-CE=6

cn.

Obim

trapeza

je

54 cm,

a

povrgina

jednaka

ra-

zlici povrSina

trouglova

ABL'

i

C'DE,

pa

.le

F=I50-54=96

cm2.

5.

Kada

datu

piramidu

sa

upisanom

kockom presedemo

sa

ravni koja prolazi

kroz

visinu piramide i

paralelna

je je<1noj

od osnovnih

ivica

pirarnide

kao presek

de se dobitt karakteri-

sti6an trougao.

Neka

je stranica

uobenog

kvadrata (ustvari stra-

nj-ca

kocke)

jednaka

rc.

Tada

je

zboq

Talesove

teorel'.€

ispunjena

tl

.

Kako

je

povrdina

kruZnog

prstena

p=n(n2_r,2)

to^

je

i

po_

traZenog

kruga jednaka

r

(,a2-12).

Ako

je,poluprednik.tra_

kruga

r,

onrJa

je

nr2=n

(n2-r2)

cdnosno

"z="rz-n|-,;

,"';"

kateta

pravouglog

trougl.a

u

kore

je

hig:terruza

.rr,

a

jednix

keitei:a

r-

vrSina

Zenog

cl

r

uga

5.

Di

j.agonala

osnoVe j

ednal:a

je

5

cm

=

v'7i2.

Kako je

trouqao

je

l,J=10,

a

t;p=.=5r'-3

cn.

i,ovrij.na

kvadra

)e

t'=124*rOll)

cm2,

a

zap-r

:c'.in.I

r=uOrJ

6;;1.

VIII

}IAZRTD

'I.

Neka

je traZeni trocifrenrbroi

I

00:+I

02,

+c=

12

(

a

+l:

+c

)

=

).

2

a- t2b +

I2e

.

Tacla

leva

strana

jedrrakosti

dcljive

sa

ll,

je

broj

b=0

(jer

je

r

cifra

manja

i

ti

II

(8a-e)=0,

pa

je

..=g

r,

odnosno

..=g

i

r08=12 (I+O+8).

I

I

I

-.

I

uolt'

/

iFV.

r'aaa

je

o6igledno

je

8Bc-iIc=2b.

Kako

je

to

lrror.r

br

r::-

I

clesna

,

pa

jeCnixa

9)

-

Tddd

Jc

;z=).,

pa

;e

crai.i:n-:_

itroj

\.ru

Jednakost

aano 72-L2x

je

odigledao

=6rrpa

Je

18x

-

?Ara

s=lg 66.Zapreniaa

piranid,e

v

=

V7.L22.

G

-

288

.rr

zapreniaa

MN:QS

=

H[: R

ilt

l2:r

=

6:(6-r)

,

odakle

d.obi_

Ltt

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 72/74

YL'

4V

-

64

r^

tocte

Je

"r].

D.i.l"

v:v,

=

2gg:6rr

-

)t2

PJSENJA

ZADATAKA

sA REPUBUCKoG

TAKMICE}.UA

VI

RAZRED

L.

Za n.1,

(1ot+35):

rt5

=

45:45

=

I.

Ako

je

n>.2,

onda

Je

bnoj

lon+35' 1oo...oo35

i o6igledno

je

deljiv

sa

5

(jer

mu

je

pos-

lednja

cifra

5)

i

sa

9

(jer

je

zbin

njegovih

cifana 1+3+5:9). To zna-

6i

da

je

i broj

lon+

35

deljiv,sa

45,

pa

j.e

kolldnik

(1on+35):45

uvek

pninodan

br:oj.

':

2.

Ma6ka

i

po

za dva

i

po

dana

poJede

t:ri i

po

miEa. To

zna6i da

3

nadke

za 5

dana

poJedu

4.3,5

=

14

niSeva, a

jedna

rnadka za

jedan

dan

pojede

14/15

mi a.

Jedna ma6ka

za 45

dana pojede

45.14/15:

3.1t+:42 mi5a,

a loo

na6aka

za

45

dana

6e

pojesti

1oo.42=42oo miSeva.

3. Neka

je

o

centan

kruga

upisanog

u trougao

lBC.

Tada su

B0

i

co

sinetrale

uglova. Dakle

uglovi

@o

i DBo su

jednaki.

Xako

je

i

.4CBo

=

4D0B

(kao

uglovi

sa

pa-

ral-elnin

knacima), to

je

trougao

BOD

jednokokrak,

pa

)e

D0= BD.lla

s1ican

naein

je

i

oE

=

CE.

obirn trougla

ADE

+tA

-

AD+D)+OE+EA

=

AD+DB+CE+EA

=

Ail+AC

=

c

+

jednak je

AD+DE+

b.

t+.

Trouglovi

ABc

i

BLM

su podudanni

(AB=BL

i

BM=BC;

1

ABC

=

9OO

=

4tua

=

4LBl,+

gABM

=

6o0+3o0)

3.

Trougao

ACE

je

p ,avo-

ugli,

pa

se oko

njega

moZe

opisati

knug 6iji

je

centar

u snedi5tu

hipotenuze

td.

Slidno

je

i

sa

L35

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 73/74

9(3+3+3)

i

noZa

raznih

vrednosti

2

dijagonale),

to

ov pr

incip),

gto

zbinovi.

fz podudarnosti

je

o6igledno

hiptenuza

AC

=

Lt. .

5.

Kvadnat

ina

tr^i

vrste,

tni

kol-one

i

dve

dijagonale. Zbin po svakoj

od

njih

rnoZe

biti

najrnanje

3(I+l+l),

a

najviEe

uzirnati

7

naznih

vnednosti

(3,4,5,6r7,8,9).

Kako

7

treba

nasponediti

na

g

nesta

(3

kolone+3

vnste

+

6e

se

bar

na

dva

mesta

zbir,ovi

podudaniti

(Dirihle_

znadi

da

na

svirn

rnestima

ne

mogu

biti

razliditi

tr"ouglon

.dCl,4.

Dakle

oko 6etvo-

,

rougla

AECI.

no|.e

se

opisati

krug.

Tada

je

4cEH=

4cAM(.kao

peri.-

fenijski

nad

tetivon

CM

).

Kako

je

4cAt4

=

6oo-4so

=

l.Eo,

to

je

i

ICE\I

=

J.So.

4.

lleka

je

D

podnoZje

visine

iz

ternena

C

i

neka

je

CD=c,

AD=V,

BD

=1tl-V

.

Prirnenorn

Pitagorine

tcoreme

na

trouglove

ACD

i

BCD

dobija

se:

c2.=rs2-

y2=r32-(r,+-y

)2. ouli"

je

225- y2=

f69-I96

+28y-

y2

,

pa

je

zey

=

252,

a=

9 cn.

Sada

je

a2=225-81=144:

Povr5jna

trougla

je

P

=

14.12:2

=

94

cn2.

S

druge

stnane

P

=

(15r

+13

r.):2:8r{, gde

je

tra;1enog

kruga.

Dobija

se 2Br

=

168r pa

je

r,=

6

traZenog

kruga

je

p1

=

36

%.

o^2.

a sama

visina

c= 12

cm

r"

poluprednik

cm,

a

povr5ina

VII

RAZRED

'

1.

Neka

je

tnaZeni

detvonocifreni

b.oj

jednak

TEdD.Taaa

je

9'TE.D

=

D.Fi.

odigredno

da

cifre

l

i D

monaju

biti.azr.i6ite

od

o.

Kako

je

9(1ooo,4+1ooB+IoC+D)=

loooD+lood+IoB+A,

to

je

i

goool+

goo8+

+9oC+9D

:

loooD+fooC+I'B+A

4

9999.

Zbog

A

>z

\19ooo

€

9ooo,4

_z

9999,

odakle

je

oligledno

l:1.

Slidno

9ooo.<IoooD4g99-o,

pa

je

r:9.

Zamenom

u

jednadinu

riobija

se

gooo+-ooor+got+g1:

gooo+100c+ro8+r,

ornosno

ggog

:

roc-8o

ili

89s:

c-8.

Kako

je

c-s

st,

to

898

moZe

biti

s.:mo

o,

t),

B=

0,

a

tada

je

C:g.

TnaZeni

broi

je

lo83

(9.io89

"

ggol).

2.

I,lcka

je

p=Z.

Tac.i

ju

p3*3p

=

23+32

=

s+9

:

17, pa je

jedno

reienje

nadeg

problenra

p:2.

nko

)e

p

r_3,

onda

jep

nepanan

broj,

a

tada

su

i p3

i

gP

takodje

neprrrii

brojevi.

ujihov

zbir

je

paran,

pa

ne

noi:e

biti

prost

broj,

Dakle jedino

rc5enje

je

p=2.

Pa le

5.

Onotad

36o:2r+

=

piranride

i.l

=

4

ah:2:2.

IZh

=

Z\h:36o

cm

15 cm.

Kako

je

h=

H

{2, to

je

I/:

Is/

V1 .

S1i-no

je

i visina

romba

h 1

jedna.ka

..

,/:

I5

v2.

Zapremina piranidc

jednaka

je

pa

je

lr

=

9oo cr3.

VIII

RAZRED

I.

Ako

je

devojdica

bilo c,

a

dedaka

y

onda

je

odigledno

rt?

1o:8

=

8: BD

i lo:6

=

6:ID.

7/24/2019 145449964 v Andric Pripremni Zadaci Za Takmicenja

http://slidepdf.com/reader/full/145449964-v-andric-pripremni-zadaci-za-takmicenja 74/74

2oE

+

3oV

='L7o,

odnosno

2x'+ 3y:

17.

Kako

su a

i

y

pnir:odni

bnoje_

.vi

to.je. c 8,

a

U

5.

Kako

je

2c panno

to

je

3y

neparan

bnoj, pa

je

i

y

nepanan,

tj.

ae{t,z,s}

. Tada

ie

xe{t,

a,1}

. Kako

je

gnupa

imala

neparan

broj

lica

to

je

odigredno

biro 4

devoj6ice

i

3

dedaka

(sludajevi

1+7

i 5+I

otpadaju).

2. Kako

ie

,2-2,

+l

=

(g

-1)2 to

je

data

jednadina

ekvivalentna

jednadiniI.c

+

1l

+

[c

-

fl

.2c.

Ako

je

ez.-l

jednadina

ima obLik

-ic-l-5+1

=

-2u=

Zr,

pa

je

o:0,

Sto

odigledno

nije

r.e5enje,

jen

se ne

nalazi

u zadaton

intenvalu.

Ukoliko

je

-1

<c

<1

jednadina

dobija

oblik

a+1_c+l

=l

=

ls,

pa

je

a=

I

jedno

re5enje.

Ako

je

oz1

jedna6ina

dobija

oblik

c+l+s_L

=

2o:

2c, pa

jednadina postaje identitet, tj.

neEenje

su svi

bnojevi

intervara

Prema

tome.

neEenja

jedna6ine

su

svi

nealni

brojevi

o

>,1.

3.

l,leka

je

tnazena

hipotenuza

r,

a

nepoznata

kateta

y.

Tada

je

t2-y2

.36

ili

(d-y)

(x+y)

=

35.

Kako

su

c

i

y prinodni

brojevi

to

su

mogu6i

slede6i

sluEajevi:

a-g_-l,

a+y=g6.

a_V=Z

,

c+y:18i

a-y=3,

:c+u=

12,

u-y

=

\,,+V

=

g,

e-V=

6r

t+y

=

6.

Kako

zbir

i

razLika

dva prirodna

broja

inaju

istu parnost

to

p .va,

tre6a

i detvrta

kornbinacija

ne

dolaze

u

obzir,.

Nenogu6a

je

i

posrednji

kombinacija jen zbin

dvaprinodna

broja

mora

biti ve6i

oC

njihove

razlike.

ReSavanjen

druge

kombinacije

dobija

se

c=

1o,

A=

B.

Iz

sli|nosti

tnouglova

lBC,

ACD

i

BCD

dobija

sei

AB:BC=BC:BD

i

AB:AC=AC:AD

Radunanjem

se

dpblja BD

=

32/5 i

4D: 18/5,

pa

Je

AD:BD

=

9:16

Odavde

jer*

2

V3,

pa

Je

6:2:6V3.3.18\6.

"

4.

Kako

je

ABll

CD, to

Je

zbog Teleeove

teoreme AB:CD

2

B0:D0

=

t+22

=

2:L.

c

Ugao

DCA

=

48CA

t

4DCA =

,IBAC(ke

uglovl s

paralelnin

knacima).

O6itd

je

IBCA

=,,,BAC2

pa

je

tnougao I8(

Jednokokraki,

tj.AB=BC= 2t .

Tada

je

CD=

u.

Kako

Je

trougao BCD

pr.avougli

i BC:.2x

i

CDsr,

to

je

4BCD=600,aBD=6=a

G.

povnsinatr"apeza

P=ru

W+Z

V5l

5.

Neka

je

ll

snediSte

ivice

i1..".";1,"::::il.I;

;

:i;l;

rz

P'-

o'l

dobijamo CM=XAI

,

a iz

podudanno-

I

sti trouglova AALM

i .CTN,MAU=CK.

t

Dakle

itdf{l

je

panalelognam

i to

A

nornb,

jen je

MC=CN=NAl=Ara=a.

t[i/2.

Povn$ina

romba

jedrtaka

je

poluproizvodu

dijagonala,

pa

jg

p,Af .

MK

:

2

=

aVi. atfD :

z

=

a2

{F /

Z

o^2.