1

Lineárne funkcie Lineárna funkcia je každá funkcia určená predpisom f: y = a.x + b, kde a, b ∈ R a .a ≠ 0

D(f) = R

a > 0 a < 0

Vlastnosti lineárnej funkcie :

D(f) = R , H(f) = R D(f) = R , H(f) = R

- rastúca - klesajúca

- nie je ohraničená - nie je ohraničená

- nemá extrémy - nemá extrémy

Ak koeficient a > 0 , lineárna funkcia je rastúca na celom D(f) , ak a < 0 , je klesajúca.

Jej grafom je priamka pretínajúca os oy v bode Y[0; b], os ox v bode X[ a

b− ; 0].

Grafy lineárnych funkcií určených rovnicou y = a.x + b

s rovnakou hodnotou konštanty a sú navzájom rovnobežné.

2

Príklad 1: Určte lineárnu funkciu ak viete, že v bode 2 nadobúda hľadaná funkcia hodnotu 5 a v bode 3 má

hodnotu 7 .

Zistíme, kedy sú hodnoty funkcie z intervalu ⟨-3; 9⟩ .

Riešenie: Nech f: y = ax + b pre vhodné a, b ∈ R.

f(2) = 5 ... 5 = 2a + b

f(3) = 7 ... 7 = 3a + b

Riešením tohto systému - sústavy rovníc je jediná dvojica a = 2 ∧ b = 1, t.j. [2; 1].

Hľadaná lineárna funkcia je f : y = 2x + 1 .

Určime ešte, pre ktoré x ∈ R platí -3 ≤ f (x) ≤ 9 .

Platí −3 ≤ f (x) ≤ 9 ⇔ − 3 ≤ 2x + 1 ≤ 9 ⇔ − 4 ≤ 2x ≤ 8 ⇔ − 2 ≤ x ≤ 4

Príklad 2:

Daná je funkcia f : y = − 3x +6 a) Určte f(−2). b) Určte, pre ktoré x sa f(x) = −9. c) Určte priesečníky grafu funkcie so súradnicovými osami x, y. d) Určte a dokážte monotónnosť tejto funkcie.

3

e) Načrtnite graf funkcie f. Riešenie: a) f(−2) = −3. (−2) + 6 = 12

b) −9 = −3x + 6 ... −3x = −15 ... x = 5

c) priesečník s osou x : [x0; 0] ... 0 = −3x + 6 ... x = 2 ... [2; 0]

priesečník s osou y : [0; y0] ... y0 = −3.0 + 6 = 6 ... y0 = 6 ... [0; 6] d) a = −3 ... lin. f. je klesajúca ∀ x1, x2 ∈ D(f) : x1< x2 / . (-3) -3.x1 > -3.x2 / + 6 -3.x1 + 6 > -3.x2 + 6 f(x1) > f(x2) ... funkcia f je klesajúca e)

4

Konštantná funkcia Konštantná funkcia je každá funkcia určená predpisom f: y = b, kde b ∈ R

Nakoľko y = b sa dá zapísať v tvare y = 0.x + b, môžeme túto funkciu považovať za špeciálny

prípad lineárnej funkcie, kde a = 0.

Grafom konštantnej funkcie je priamka rovnobežná s osou y.

Vlastnosti konštantnej funkcie:

D(f) = (-∞; ∞) H(f) = {b} je párna (pre b = 0 aj nepárna) je ohraničená je nerastúca a neklesajúca má maximum a minimum pre ∀ x R Funkcia f je konštantná na množine M⊂ D(f), ak pre každé dve x1, x2 ∈ M platí: x1< x2 ⇒ f(x1) = f(x2)

5

[ ]{ }1;5=P

Grafická metóda riešenia sústavy rovníc Postup:

Grafom lineárnej funkcie f: baxy += je priamka. Využijeme to aj pri riešení sústavy rovníc. Na

zobrazenie priamky stačí poznať dva rôzne body. Vyjadrime z obidvoch rovníc y.

Nakreslíme grafy funkcií - priamky.

Záver: Sústave dvoch rovníc s dvoma neznámymi zodpovedá „sústava“ 2 priamok, ktoré môžu byť

• totožné (sústava má nekonečne veľa riešení),

• rovnobežné(sústava nemá riešenie) alebo

• rôznobežné(sústava má jedno riešenie [ ]yx; )

Príklad: Riešte v R x R:

a) 04

06

=−−=−+

yx

yx ...

4

6

−=+−=

xy

xy ...

[ ] [ ][ ] [ ]0;4,4;0

0;6,6;0

−

Nakreslíme grafy:

Vidíme, že daná sústava má jedno riešenie (priamky majú jeden spoločný bod [5; 1] ).

b) ( )yx

yx

+−==+3

2 ...

xy

xy

−−=−=3

2

Sústava nemá riešenie, t.j. P=∅ ( priamky nemajú žiaden spoločný bod).

6

c)

333

01

=−=−−

yx

yx

Grafy splývajú – sústava má nekonečne veľa riešení (priamky majú nekonečne veľa spoločných bodov).

Úlohy:

1) Riešte sústavy dvoch rovníc s dvoma neznámymi v RxR:

a) 723

35

=+=−yx

yx b)

342

743

=−=+

yx

yx c)

373

1272

=+=−

yx

yx

d) 522

4

=−=−yx

yx e)

yx

yx

3153

5

+==−

2) Riešte graficky:

a) 22

15

−=+=

xy

xy b)

364

132

−−=−

yx

yx c)

264

132

=−=−

yx

yx

3) Pre ktoré a, b má sústava 12

1

−=+=+

aybx

byax korene 7,5 −== yx ?

4) Sústavu rovníc s dvoma neznámymi upravte na tvar gfyex

cbyax

=+=+

kde Ryxneznáme

Rgfedcba

∈∈

,_

,,,,,,

a riešte v RxR.

a)

43

924

4

343

44

32

3

32

=−−++−

=+−−+−

yxyx

yxyx

b) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )16527532

8153

+−=+−++=++

yxyx

yxyx

c) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) 04374

02512

=+−−+−=−+−−+

yxyx

yyyx

Výsledky: 1. a) [ ]{ }2;1=P ;b)

=4

1;2P ;c)

−7

6;3P ; d); e) nekonečne veľa

2.a) [ ]{ }4;1−−=P b) { }=P ;c) RP = . 3. 2,3 == ba . 4. a) [ ]{ }5;7=P ;b) [ ]{ }1;3=P ;c) [ ]{ }5;7=P .

7

Úlohy - súhrn:

1) Nájdite lineárnu funkciu, ak je dané:

2) Načrtnite grafy nasledujúcich funkcií

a) f : xx −→ 2 b) g : 12 +→ xx c) h : y x= 3 d) 2x + 3y − 6 = 0

e) 3x − 2y − 6 = 0 f) 4x − 5y = 20 g) 14x − 12y = 21, x ∈ <−5; 10>

3) Načrtnite graf lineárnej funkcie, ktorá prechádza bodom [3; 1] a so súradnicovou osou x zviera

rovnaký uhol ako graf funkcie y = 2x + 3. 4) Dané sú funkcie:

( ) ,321 −= xxf ( ) ,322 +−= xxf ( ) ,123 += xxf

( ) ,35,04 += xxf ( ) ;5,025 += xxf ( ) ,36 +−= xxf

( ) ,23

17 −= xxf ( ) ,38 =xf ( ) 3

2

19 −= xxf

Rozhodnite, ktoré grafy sú prvkami toho istého zväzku priamok so stredom na súradnicovej osi y (priamky patria do toho istého zväzku priamok, ak prechádzajú spoločným bodom - stredom zväzku).

5) Dokážte graficky, že nasledujúce sústavy rovníc nemajú riešenie:

a) 2

22

,1

=+

=+yx

yx b)

522

,4

=−=−yx

yx c)

2

27

,3

xy

yx

−=

=+

6) Dokážte graficky, že nasledujúce sústavy rovníc majú nekonečne mnoho riešení:

a) yx

yx

3153

,5

+==−

b) 5,15,0

2

,3

=+

=+

yx

yx c)

xy

yx

−=−=

4

,4

7) Daná je funkcia f : y = − 2x +3

f) Určte f(0), f(3), f(−5), f(18). g) Určte, pre ktoré x sa f(x) = 1, f(x) = −5. h) Určte priesečníky grafu funkcie so súradnicovými osami x, y. i) Načrtnite graf funkcie f.

8

8) Podľa údajov výrobcu spotreba auta je 6 L benzínu na 100 km pri rýchlosti 80 km/h a 8,1 L pri rýchlosti 110 km/h. Odhadnite jeho spotrebu pri rýchlosti 90 km/h

9) Dokážte, že funkcia y = 4

31x + je na svojom definičnom obore rastúca.

10) Dané sú funkcie: ( ) ,321 −= xxf ( ) ,322 +−= xxf ( ) ,123 += xxf

( ) ,35,04 += xxf ( ) ;5,025 += xxf ( ) ,36 +−= xxf

( ) ,23

17 −= xxf ( ) ,38 =xf ( ) 3

2

19 −= xxf

a) Rozhodnite, ktoré z daných funkcií sú rastúce (klesajúce). b) Rozhodnite, ktoré grafy sú navzájom rovnobežné priamky.

11) Určte niekoľko konkrétnych hodnôt parametra a ∈ R tak, aby funkcia y = ax + b a) bola rastúca na množine R, b) bola klesajúca na množine R, c) ani nerástla, ani neklesala na množine R.

12) Určte všetky lineárne funkcie, ktoré majú D(f) = R a ktorých prvkami sú usporiadané dvojice:

a) [0; 2], [1; 1] b) [0; 3 ], [3 3;3 ]

c) [1; −1], [−2; 5] d) [2; −2], [6; 0]

13) Určte predpis funkcie, ktorej grafom je priamka prechádzajúca bodom [1; 3] a rovnobežná s priamkou y = −3x − 2.

9

Lineárne funkcie s absolútnou hodnotou sú také lineárne funkcie, ktoré majú v predpise funkcie aspoň jednu absolútnu hodnotu, v ktorej sa

nachádza nezávisle premenná.

Pri zostrojovaní grafu takejto funkcie postupujeme tak, že na základe nulových bodov jednotlivých

„absolútnych hodnôt“ rozdelíme číselnú os na intervaly a v týchto intervaloch výrazy s abs.

hodnotami nahradíme výrazmi bez abs. hodnôt. Potom na týchto intervaloch aj funkciu s abs.

hodnotami nahradíme funkciami bez abs. hodnôt.

Je výhodné podobne ako pri rovniciach s abs. hodnotou používať tabuľkový systém.

Výsledným grafom takejto funkcie je lomená čiara.

Príklad 1:

Zostrojte graf funkcie f: y = x - 2+ 3

Riešenie: N.B.: x – 2 = 0 ... x = 2 ...

Výrazy s abs. h. Pomocný bod

-1 (-∞; 2 )

Nulový bod

2 (2; ∞)

Pomocný bod

6

x - 2 - x + 2 0 x - 2

f: y = x - 2 + 3 f1: y=(-x+2)+3

y = -x + 5

f2: y=(x-2)+3

y = x + 1

Hodnoty fi(x) v P.B a N.B. 6 3 7

Body zlomu [2; 3]

Pomocné body [-1; 6] [6; 7]

10

Príklad 2:

Zostrojte graf funkcie f: y = x - 3- 2x + 8

Riešenie: N.B.: x – 3 = 0 ∧ 2x + 8 = 0 ... x = 3 ∧ x = - 4 ...

Výrazy s abs. h. P.B.

-8 (-∞; - 4 )

N.B.

- 4 (- 4; 3)

N.B.

3 (3; ∞)

P.B.

7

x - 3 - x + 3 - 7 - x + 3 0 x - 3

2x + 8 - 2x - 8 0 2x + 8 14 2x + 8

f: y = x - 3-2x + 8 f1: y=(-x+3) – (-2x-8)

y = x + 11

f2: y=(-x+3) – (2x+8)

y = -3x - 5

f3: y=(x-3) – (2x+8)

y = -x - 11

Hodnoty fi(x) v P.B a N.B. 3 7 -14 -18

Body zlomu [-4; 7] [3; -14]

Pomocné body [-8; 3] [7; -18]

Príklad 3:

Zostrojte graf funkcie f: y = x - 5 + 3x + 9 - 1 - x - 15

Riešenie: N.B.: 5, -3, 1 ...

)3;( −−∞ )1;3− )5;1 ),5 ∞

5−x -x + 5 -x + 5 -x + 5 x - 5

93 +x -3x - 9 3x + 9 3x + 9 3x + 9

x−1 1 - x 1 - x -1 + x -1 + x

11

a) x ∈ (-∞ ; -3) : f1 : y = 2 (-x + 5) + (-3x –9) - (1 –x) – 15 = -2x + 10 - 3x –9 –1+ x –15 = -4x -15 b) x ∈ <-3 ; 1) : f2 : y = 2 (-x + 5) + (3x +9) - (1 –x) – 15 = -2x + 10 + 3x +9 –1+ x –15 = 2x + 3 c) x ∈ <1 ; 5) : f3 : y = 2 (-x + 5) + (3x +9) - (-1 +x) – 15 = -2x + 10 + 3x +9 +1- x –15 = 5 d) x ∈ <5 ; ∞ ) : f4 : y = 2 (x - 5) + (3x +9) - (-1 +x) – 15 = 2x - 10 + 3x +9 +1- x –15 = 4x -15

Úlohy - súhrn: 1) Zostrojte grafy funkcií:

a) y = 2x − 4 b) y = 2 x − 4

c) y = 2 4x −

2) Rozhodnite o párnosti, resp. nepárnosti funkcie f : y x x= + , nakreslite graf a

opíšte jej vlastnosti. 3) Načrtnite graf funkcie xxy 2462 −++=

4) Načrtnite graf funkcie 5;3,151.3722 −∈−++−+−= xxxxy

12

Kvadratická funkcia Kvadratická funkcia je každá funkcia určená predpisom y = ax2 + bx + c, kde a, b, c ∈ R a a ≠ 0 Grafom kvadratickej funkcie ak D(f) = R je parabola, ktorej os je rovnobežná s osou y.

a > 0

Vlastnosti kvadratickej funkcie : súradnice vrcholu V[-b/2a, c-b2/4a] D(f) = R , H(f) = ⟨ c-b2/4a ; ∞ ) na ⟨ -b/2a ; ∞ ) je rastúca na ( - ∞ ; -b/2a ⟩ je klesajúca je ohraničená zdola ostré minimum v bode x = -b/2a

a < 0

súradnice vrcholu V[-b/2a, c-b2/4a] D(f) = R , H(f) = ( - ∞ ; c-b2/4a ⟩ na ⟨ -b/2a ; ∞ ) je klesajúca na ( - ∞ ; -b/2a ⟩ je rastúca je ohraničená zhora ostré maximum v bode x = -b/2a

Dôležitou informáciou bývajú súradnice priesečníkov grafu s osou ox (tzv. nulové body).

Ak existujú, majú súradnice [x; 0] , ktorých x -ové súradnice určíme riešením rovnice

ax2 + bx + c = 0 .

Kvadratická funkcia nie je na celej množine R rýdzomonotónna.

Množina R sa však dá rozdeliť na dva intervaly, na ktorých už je kvadratická funkcia rastúca resp.

klesajúca.

Upravme predpis kvadratickej funkcie doplnením na úplný štvorec:

13

Bod V[a

acb

a

b

4

4;

2

2 −−− ] = [a

bc

a

b

4;

2

2

−− ] sa nazýva vrchol paraboly.

Ak koeficient a > 0, funkcia nadobúda v bode x = a

b

2− najmenšiu hodnotu, t.j. z geometrického

hľadiska je vrchol V najnižším bodom paraboly. Takúto parabolu nazývame konvexná.

Pre koeficient a < 0, funkcia nadobúda v bode x = a

b

2− najväčšiu hodnotu, t.j. z geometrického

hľadiska je vrchol V najvyšším bodom paraboly. Takúto parabolu nazývame konkávna.

Postup pri zostrojení grafu:

1. Určíme súradnice a

bx

20 −= , a

bcy

4

2

0 −= vrcholu paraboly [ ]00; yxV .

2. Vypíšeme niekoľko ďalších dvojíc, ktoré patria funkcii.

3. V karteziánskej sústave súradníc Oxy zostrojíme obrazy usporiadaných dvojíc získaných

v 1 a 2.

4. Zostrojíme parabolu, t.j. spojíme jednotlivé body a využijeme aj to , že parabola je

súmerná podľa priamky rovnobežnej s osou y, prechádzajúcej vrcholom paraboly.

Poznámka: Vhodné je určiť aj priesečníky paraboly s osou x, t. j. korene kvadratickej

rovnice ax2 +bx +c = 0, ak existujú.

Príklad 1: Zostrojte graf funkcie f: y = x2 – 6x + 5

Riešenie - a: využitím nulových bodov a vrcholu paraboly x0 = 6/2 = 3 , y0 = 5 – 36/4 = -4 ... V[3; -4] alebo y = x2 – 6x + 5 = (x – 3)2 – 9 + 5 = (x – 3)2 – 4 = = (x – 3)2 – 22 = (x – 3 – 2).(x – 3 + 2) = = (x – 5).(x – 1) Druhá úprava je výhodnejšia, lebo okrem vrcholu paraboly

môžeme zistiť aj nulové body,

t.j. priesečníky grafu funkcie s osou ox.

14

Riešenie - b: využitím vrcholu paraboly k posunu niekoľkých bodov „základnej“ paraboly.

Tento spôsob je univerzálnejší, nakoľko nie každá parabola má priesečníky s osou x.

Na zostrojenie grafu funkcie f: y = x2 – 6x + 5 = (x – 3)2 – 9 + 5 = (x – 3)2 – 4 ... V[3; -4]

využijeme graf funkcie f0: y = x2, ktorý sa dá v súradnicovej sústave veľmi rýchlo načrtnúť za

pomoci bodov, napr.: [0; 0], [-1; 1], [1; 1], [-2; 4], [2; 4], [-3; 9], [3; 9].

Každý z týchto bodov potom na základe súradníc vrcholu V[3; -4] posunieme

o 3j doprava a 4j nadol, čím dostaneme body grafu požadovanej funkcie f.

Príklad 2: V ktorých bodoch pretína graf funkcie f: y = x2 – 4x -21 os x a os y? Riešenie:

• Body, v ktorých pretína funkcia os x majú súradnicu y = 0. Teda dosadíme do predpisu funkcie za y nulu a riešime rovnicu x2 – 4x -21 = 0.

Dostaneme korene x1 = 7 a x2 = -3. Priesečníky s osou x majú súradnice [7; 0] a [-3; 0].

• Body, v ktorých pretína funkcia os y majú súradnicu x = 0. Dosadíme do predpisu funkcie za x nulu a riešime rovnicu y = 02 – 4.0 -21, z ktorej y = -21.

Priesečník s osou y je jeden a má súradnice [0; -21].

15

Príklad 3: Určte pre funkciu cbxaxyf ++= 2: jej koeficienty tak, aby platilo: f(0) = 5, f(-1) = 12, f(1) = 4 Riešenie: ( ) yxf = znamená, že y je funkčná hodnota priradená číslu x, t.j. dosadíme x, y

do predpisu funkcie cbxaxy ++= 2 , dostaneme sústavu troch rovníc s tromi neznámymi: f(0) = 5: 5 = a.02+b.0+c ... 5 = c f(-1) = 12: 12 = a.(-1)2+b.(-1)+c ... 12 = a – b + c f(1) = 4: 4 = a.12+b.1+c ... 4 = a + b + c

Riešenie sústavy: a = 3, b = - 4, c = 5 , t. j. funkcia má predpis f: y = 3x2 – 4x + 5

16

Príklad 4: Zostrojte graf funkcie f: y = x2 – 6x + 5 Riešenie: Pri riešení tejto úlohy použijeme graf funkcie f0: y = x2 – 6x + 5 a uplatníme definíciu

absolútnej hodnoty, t.j. absolútna hodnota nezáporného čísla je to isté číslo

a u záporného čísla je číslo k nemu opačné.

Nakoľko absolútna hodnota sa bude vzťahovať len na y-ové súradnice bodov grafu

funkcie f0, body grafu funkcie f0 s y-ovými súradnicami nezápornými „zostanú na

pôvodných pozíciách“ a u bodov s y-ovými súradnicami zápornými sa y-ové

súradnice zmenia na opačné, t.j. tieto body budú súmerné s bodmi grafu

funkcie f0 podľa osi x („preklopia sa okolo osi x“).

Poznámka: Grafy funkcií f: y = f(x) zostrojujeme tak, že najskôr zostrojíme graf funkcie f0: y = f(x) a potom časť grafu nachádzajúcu sa „pod osou x“ súmerne zobrazíme podľa tejto osi (preklopíme).

17

Úlohy - súhrn: 1) Určte funkciu, ktorá vyjadruje závislosť obsahu rovnostranného trojuholníka od dĺžky jeho

strany. Určte aj obor definície a obor hodnôt tejto funkcie. 2) Nájdite funkciu, ktorá vyjadruje závislosť objemu valca od priemeru jeho podstavy, ak výška v =

5 cm. Určte aj obor definície a obor hodnôt tejto funkcie. 3) Pri zvislom vrhu telesa smerom nahor sa výška s (v metroch) nad istým miestom menila s časom

t (v sekundách) podľa vzťahu s = 20 + 40t − 5t2. Určte maximálnu výšku, do ktorej teleso vystúpilo i čas trvania tohoto výstupu.

4) Určte obor definície a obor hodnôt funkcie:

a) ( ) ( ) 12 21 −+= xxf b) ( ) 2

2 1 xxf −=

c) ( ) ( )23 12 −−= xxf d) ( ) ( )2

4 32

12 −=+ xxf

e) ( ) 9124 25 ++= xxxf f) ( ) 1022

6 −+−= xxxf

5) Daná je funkcia f : y = x2 + 3x − 28.

a) Určte f(0), f(2), f(−1). b) Určte hodnoty premennej x, pre ktoré platí, že f(x) = 42, f(x) = −28, f(x) = −35, f(x) =

−30,25. c) Určte priesečníky grafu funkcie f so súradnicovými osami.

6) Daná je funkcia f : y = x2 − 4x − 12. a) Určte f(0), f(7), f(−1).

b) Určte hodnoty premennej x, pre ktoré platí, že f(x) = 9, f(x) = −20, f(x) = 4

55− ,

c) Určte priesečníky grafu funkcie f so súradnicovými osami.

7) Určte všetky kvadratické funkcie s D(f) = R, ktorých prvkami sú usporiadané dvojice a) [0; 1], [2; −1], [1, −1] b) [3; 8], [1; −2], [−1; 4]

8) Ktorá kvadratická funkcia f má tú vlastnosť, že f(1) = 3, f(2) = 1, f(3) = 2?

9) V jednej súradnicovej sústave načrtnite grafy daných funkcií a pokúste sa charakterizovať ich vzájomný vzťah:

a) 24

23

22

21 3:,3,0:,3:,: xyfxyfxyfxyf −====

b) 32:,3:,3:,: 24

23

22

21 +−=+=−== xygxygxygxyg

c) ( ) ( ) ( ) 23:,3:,3:,: 24

23

22

21 −−−=+=−== xyhxyhxyhxyh

d) ( ) 19122:,19122:,132:,: 24

23

22

21 −+−=+−=+−== xxykxxykxykxyk

10) Načrtnite graf funkcie f : y = 2x2 − 2 a opíšte jej vlastnosti. 11) Načrtnite grafy funkcií:

a) 22:2 −−= xxyf b) 14:

2 ++−= xxyg

18

12) Aký má predpis kvadratická funkcia, ktorej graf je parabola s osou y a vrcholom v začiatku sústavy súradníc? Aká je rovnica tejto paraboly, keď je jej vrchol posunutý:

a) o dve jednotky v smere osi y, b) o tri jednotky v smere osi −y, c) o jednu jednotku v smere osi x, d) o štyri jednotky v smere osi −x.

13) Zostrojte graf funkcie f : y = x2 − 6x + 8 a opíšte jej vlastnosti. 14) Načrtnite graf funkcie 13,4: 2 ≤≤−−→ xxxh a nájdite jej extrémy. 15) Určte predpis funkcie, ktorej grafom je parabola s vrcholom V[2; −3] prechádzajúca bodom A[0; 1]. Parabolu načrtnite a určte jej nulové body.

16) Rozhodnite, či je funkcia f : y x= − 2 ohraničená a nájdite jej intervaly monotónnosti i obor

hodnôt. 17) Načrtnite graf funkcie f : y = x2 - 4x, x ∈ <-2 ; 4). Určte jej obor hodnôt a intervaly

monotónnosti. 18) Dané sú funkcie:

( ) ,15221 −+= xxxf ( ) ,642

2 +−= xxxf ( ) ,9124 23 ++= xxxf

( ) ,2

53

2

1 24 +−= xxxf ( ) ,42

5 xxxf +−= ( ) ,10226 −+−= xxxf

( ) ,4427 −+−= xxxf

a) Načrtnite ich grafy a určte obory hodnôt. b) Určte intervaly monotónnosti a extrémy. c) Zistite, kedy majú jednotlivé funkcie funkčné hodnoty kladné a kedy záporné.

19) Načrtnite graf funkcie f : y = x x2 6 8− + a opíšte jej vlastnosti.

20) Načrtnite graf funkcie f : y = |x2 − x −6| + 4. Nájdite intervaly monotónnosti tejto funkcie.

21) Daný je parametrický systém funkcií y = x2 − 3x + c, kde c ∈ R. Slovne opíšte vzájomnú polohu všetkých funkcií daného parametrického systému. Určte c tak, aby táto funkcia

a) nemala spoločný bod s osou x, b) mala práve jeden spoločný bod s osou x, c) mala práve dva spoločné body s osou x.

19

Grafické riešenie kvadratických nerovníc Všetky kvadratické nerovnice tvaru: ax2 + bx + c < 0

ax2 + bx + c > 0

ax2 + bx + c ≤ 0

ax2 + bx + c ≥ 0, kde a, b, c ∈ R a a ≠ 0 , x neznáma

je možné riešiť graficky pomocou grafu funkcie f: y = ax2 + bx + c.

Z grafu funkcie potom vyberieme len tie body [x; y] , v ktorých y < 0 ( > 0; ≤ 0; ≥ 0 ) a k ním

priradíme zodpovedajúce úseky osi x.

Príklady: Riešte v R:

a) x2 – x – 2 ≤ 0 ...

... KR = ⟨-1; 2⟩

b) x2 – 2x – 3 > 0 ...

... KR = ( -∞; -1) ∪ (3; ∞ )

20

c) x2 + x + 3 ≤ 0 ...

... KR = ∅

d) – x2 – 2 x – 2< 0 ...

... KR = R

e) x2 + 2 x +1≤ 0 ...

... KR = {-1}

21

Úlohy - súhrn:

1) Pri riešení kvadratickej nerovnice využite graf kvadratickej funkcie:

a) x2 − 1 ≥ 0 b) x2 − 1 < 0

c) x2 + 2x − 3 ≥ 0 d) x2 + 2x − 3 < 0

e) − x2 − 4x − 3 ≥ 0 f) − x2 − 4x − 3 < 0

2) S využitím grafov kvadratickej funkcie riešte nasledujúce nerovnice:

a) x2 − 9x + 14 ≥ 0 b) −x2 − 2x + 8 > 0

c) x2 + 4x + 9 ≤ 0 d) x2 − 6x + 7 < 0

22

Mocninová funkcia

Mocninová funkcia je každá funkcia určená predpisom y = xn, kde n ∈ R - {0}.

Vlastnosti mocninových funkcií závisia od exponentu n:

1. f: y = xn, kde n∈ N = Z+; n je nepárne: D (f) = R H (f) = R Je rastúca. Nie je ohraničená ani zhora ani zdola. Nemá ani maximum ani minimum. Je nepárna. Napr.: y = x3, y = x5, .... Vždy platí: f (1) = 1 , f (-1) = - 1 2. f: y = xn, kde n∈ N = Z+; n je párne: D (f) = R H (f) = ⟨ 0; ∞ ) Je klesajúca na ( -∞; 0⟩ rastúca. na ⟨ 0; ∞ ) Je ohraničená zdola, zhora nie je. V bode x = 0 má ostré minimum, maximum nemá. Je párna. Napr.: y = x2, y = x4, .... Vždy platí: f (1) = 1 , f (-1) = 1

3. f: y = xn, kde n∈ Z−; n je nepárne: D (f) = R - {0} H (f) = R - {0} Je klesajúca na ( -∞; 0) a na ( 0; ∞ ) Nie je ohraničená ani zhora ani zdola. Nemá ani maximum ani minimum. Je nepárna. Napr.: y = x−1, y = x−3, .... Vždy platí: f (1) = 1 , f (-1) = - 1

23

4. f: y = xn, kde n∈ Z−; n je párne: D (f) = R - {0} H (f) = ( 0; ∞ ) Je rastúca. na ( -∞; 0) klesajúca na ( 0; ∞ ) Je ohraničená zdola, zhora nie je. Nemá ani maximum ani minimum. Je párna. Napr.: y = x−2, y = x−4, .... Vždy platí: f (1) = 1 , f (-1) = 1

5. f: y = x1/n = n x , kde n∈ N: D (f) = ⟨ 0; ∞ ) H (f) = ⟨ 0; ∞ ) Je rastúca. Je ohraničená zdola, zhora nie je. V bode x = 0 má ostré minimum, maximum nemá.

Napr.: y = x1/2 = x , ....

6. f: y = (x + a)n + b, kde n∈ Z - {0}, {a; b} ⊂ R:

Graf funkcie f dostaneme posunutím grafu funkcie y = xn v smere osi x o nulový bod výrazu

x + a a v smere osi y o b.

Príklad: Zostrojte graf funkcie y = x2 + 10x + 22 ... y = (x + 5)2 – 3 :

24

Grafy mocninnej funkcie y = xz ; z ∈ Z

z – nepárne a kladné

z – párne a kladné

z – nepárne a záporné

z – párne a záporné

25

Úlohy - súhrn:

1) Určte definičný obor daných mocninových funkcii: f1: y = (x – 2)2 f4: y = (x + 1) –3 f7: y = (4x – 7) –2 f2: y = (x – 2) –2 f5: y = (2x – 3) –4 f8: y = 2x-2 + 5 f3: y = x–3 f6: y = (3x + 1)3 f9: y = 3x–1 – 2 2) Načrtnite v tej istej súradnicovej sústave grafy funkcii: a) f1: y = x3 – 1 f2: y = (x – 1)3 f3: y = x3 , pre x ∈ ⟨ -5; 5⟩ b) f1: y = x2 f2: y = (x + 2)2 f3: y = x2 + 2 , pre x ∈ ⟨ -3; 3⟩ 3) Určte súradnice vrcholu grafu danej funkcie a priesečníky s osami. Načrtnite graf! f1: y = x2 – 3x + 2 f2: y = x2 – 6x f2: y = x2 – 1 4) Určte súradnice ľubovoľného bodu, ktorý leží na grafe funkcie: f1: y = x3 f2: y = x2 – 2 f3: y = –x–4 f4: y = x–4 f5: y = x–2 f6: y = x–2 + 3 5) Určte z grafu všetky charakteristické vlastnosti mocninových funkcií: f1: y = (x – 1)2 pre x ∈⟨–2; 4⟩ f2: y = (x + 3)3 pre x ∈⟨–3; 0⟩ f3: y = x–3 + 2 pre x ∈(0; ∞) f4: y = x–1 pre x ∈⟨–1; 5⟩ f5: y = x2 – 4 pre x ∈(–∞; 0) 6) Zistite, či dané body ležia na grafe funkcie: a) y = x–2 A[1; 3] , B[0; 0] b) y = (x – 1)2 C[0; 1] , D[4; 9] c) y = x-3 + 2 E[1; 4] , F[– 1; – 1] d) y = (x + 2)3 G[1; 0] , H[– 2; 0] e) y = x–1 I [4; 0,25], J[2; – 2] 7) Vypočítajte chýbajúcu súradnicu tak , aby bod ležal na grafe funkcie: a) y = x3 A[x; 8] , B[5; y] b) y = (x – 2) –1 C[0; y] , D[x; 1] c) y = –2x2 E[x; – 2] , F[– 0,5; y] d) y = x–3 + 3 G[2; y] , H[x; 11] e) y = –x2 – x + 2 I [x; 0], J[3; y]

26

Lineárne lomená funkcia

Lineárne lomená funkcia je každá funkcia určená predpisom : f: y = dcxbax

++ ,

kde a, b, c, d ∈ R , c ≠ 0 a ad – bc ≠ 0.

Poznámky:

1) Ak c = 0, potom y = d

bax+ = d

bx

d

a +. = kx + q, čo je lineárna funkcia.

2) Ak napríklad y = 23

46

−−

x

x, t.j. 6.( –2) – (–4).3 = 0 ∼ ad – bc = 0, potom y = 2 ∼ konštantná f.

= p + dcx

q+

f: y = dcxbax

++ = (ax + b) : (cx + d) =

Z uvedenej úpravy vyplýva, že nepriama úmernosť určená rovnicou y = cx

b =

xk je špeciálnym

prípadom funkcie f ( a = 0 ∧ d = 0 ) a preto grafom funkcie f je rovnoosá hyperbola so stredom S[– d/c; a/c]. Priamky x = – d/c a y = a/c sú asymptoty grafu funkcie („dotyčnice v nekonečne“ ∼ posunutá základná súradnicová sústava). Pomocou cx + d určujeme posunutie grafu v smere osi x : cx + d = 0 ⇒ x = – d/c. Hodnota výrazu a/c určujeme posunutie grafu v smere osi y.

> 0, vetvy hyperboly sa nachádzajú v I. a III. kvadrante, Ak

< 0, vetvy hyperboly sa nachádzajú v II. a IV. kvadrante. Ak Nech

y = dcxbax

++ = 0 ⇒ ax + b = 0 ... x = – b/a ... priesečník grafu s osou x : Px [– b/a; 0 ]

y = dxbx

++

.0

.0 = b/d ... priesečník grafu s osou y : Py [0; b/d]

27

Vlastnosti funkcie:

� D(f) = R - {- d/c} � HD(f) = R - {a/c} � funkcia je rastúca (klesajúca) na oboch hyperbolických ramenách, t.j. je vždy

prostá ⇒ má vždy inverznú funkciu � funkcia je neohraničená � funkcia nemá extrémy ( max ; min ) � má vždy jedno rameno konvexné a jedno konkávne

Príklad 1: Zostrojte graf funkcie f: y = (3x + 7) / (x + 2) Riešenie: y = (3x + 7) : (x + 2) = 3 + 1 / (x + 2)

28

Príklad 2: Zostrojte graf funkcie f: y = (4x + 11) / (x + 3) Riešenie: y = (4x + 11) : (x + 3) = 4 + (– 1) / (x + 2)

Úlohy:

1) Načrtnite grafy nasledujúcich funkcií: f: y = (3x – 5) / (x – 2) g: y = (2x – 3) / (x – 1) h: y = (- 2x + 3) / (x – 4) i: y = (x + 1) / (x – 3)

29

Exponenciálna funkcia Exponenciálnou funkciou so základom a sa nazýva každá funkcia na množine R určená rovnicou :

y = ax , kde a ∈ R+ – {1}

Grafom exponenciálnej funkcie je exponenciálna krivka.

Vlastnosti exponenciálnych funkcii:

Príklad 1: Napíšte číslo 4 ako mocninu so základom 0,125.

Riešenie: 4 = 0,125 x ... 4 = (1/8)x ... 22 = 2 -3x ... 2 = –3x ... x = – 2/3 ...

4 = 0,125 – 2/3

Príklad 2: Porovnajte hodnoty čísel: a) ( 0,35 )1,7 a ( 0,35 )3,1

b) ( 7/4 )- 1,3 a ( 7/4 )0,6

Riešenie:

a) f: y = 0,35 x je klesajúca { 0,35∈(0; 1) } ∧ 1,7 < 3,1 ⇒ ( 0,35 )1,7 > ( 0,35 )3,1

30

b) g: y = (7/4) x je rastúca { 7/4 >1 } ∧ – 1,3 < 0,6 ⇒ ( 7/4 ) – 1,3 < ( 7/4 ) 0,6

Príklad 3: Rozhodnite o pravdivosti výroku: ( 0,35 )2 > 1

Riešenie: V: ( 0,35 )2 > 1 ... ( 0,35 )2 > ( 0,35 )0

f: y = 0,35 x je klesajúca { 0,35∈(0; 1) } ∧ 2 > 0 ⇒ ( 0,35 )2 < ( 0,35 )0 ...

... výrok V je nepravdivý

Úlohy - súhrn:

1) Predpokladajte , že by ste papier hrúbky 0,1 mm 10 krát prehli na polovicu. Aká hrubá vrstva papiera by z toho vznikla? a) Odhadnite hrúbku zloženého papiera. b) Čo je vhodné najskôr vypočítať? c) Aká je závislosť počtu papierov ( vrstiev ) od počtu prehnutí? Viete ju znázorniť? 2) Napíšte číslo 8 ako mocninu so základom :

3) Vypočítajte:

4) Bez určenia hodnôt usporiadajte podľa veľkosti čísla:

31

5) Porovnajte hodnoty čísel: 6) Rozhodnite o pravdivosti výrokov:

7) 8) 9)

32

Inverzná funkcia Úloha: Dané sú množiny: f = {[-2; 1], [-1; 3], [0; 6], [1; 10], [2; 15], [3; 21], [4; 28], [5; 36] } g = {[-2; 6], [-1; 3], [0; 1], [1; 0], [2; 1], [3; 3], [4; 6], [5; 10] } Zistite: a) Či množiny f a g sú prosté funkcie. b) Ich monotónnosť na celom def. obore c) Či množiny f -1 a g -1, ktoré dostaneme z množín f a g tak, že v usporiadaných dvojiciach týchto množín vymeníme navzájom x-ové a y-ové zložky, sú prosté funkcie. d) Monotónnosť f -1 a g -1 na celom def. obore Riešenie: a) f je prostá, g nie je prostá b) f je rastúca, g nie je monotónna na celom def. obore c) f -1 = {[1; -2], [3; -1], [6; 0], [10; 1], [15; 2], [21; 3], [28; 4], [36; 5] } f -1 je prostá funkcia g -1 = {[6; -2], [3; -1], [1; 0], [0; 1], [1; 2], [3; 3], [6; 4], [10; 5] } g -1 nie je funkcia d) f -1 je rastúca

Ak je f prostá funkcia, tak k nej existuje práve jedna funkcia ( f -1), ktorá je určená takto : a) Jej definičný obor je H(f), to znamená D(f -1) = H(f) b) Každému y ∈ D(f -1) je priradené práve to x ∈ D(f ), pre ktoré platí f(x) = y, t.j.

f–1(y) = x ⇔ f(x) = y

Funkciu f -1 nazývame inverzná funkcia k funkcii f.

Platí: D(f -1) = H(f) a H(f -1) = D(f) Ak je f rastúca funkcia, je rastúca aj funkcia f -1 . Ak je f klesajúca funkcia, je klesajúca aj funkcia f -1 . Grafy navzájom inverzných funkcií sú súmerné podľa priamky y = x (os I. a III. kv.).

33

Príklad : Dokážte, že k funkcii f: y = 2x + 3 existuje inverzná funkcia f -1 a napíšte jej rovnicu. Riešenie: ∀ x1, x2 ∈ R; x1< x2 ⇒ 2x1< 2x2 ⇒ 2x1+3< 2x2+3, t.j. f(x1) < f(x2) ... ... funkcia f je rastúca ⇒ je prostá ⇒ existuje inverzná funkcia f -1

f: y = 2x + 3 ... 2

3−= yx ... x =

2

1y –

2

3 ... vymeniť navzájom x a y ...

f -1: y = 2

1x –

2

3

34

Poznámka: Pre všetky mocninové funkcie f: y = xn, kde n∈N a x∈⟨0; ∞) platí, že sú rastúce a tým aj prosté

a preto k ním existujú inverzné funkcie f -1: y = x1/n = n x , ktoré nazývame odmocniny. Z uvedených vlastností vyplýva, že odmocniny sú definované pre nezáporné čísla (výrazy) a výsledkom odmocniny je tiež nezáporné číslo (výraz).

35

Logaritmická funkcia Daná je exponenciálna funkcia f: y = ax , a ∈ R+ – {1}. Inverzná funkcia k funkcii f je funkcia f -1: x = a y , ktorú zapisujeme y = log a x a nazýva sa logaritmická funkcia.

y = log a x ⇔ x = a y

Grafom logaritmickej funkcie je logaritmická krivka.

Vlastnosti logaritmických funkcii:

36

Príklad 1: Rozhodnite o pravdivosti výroku: log 0,3 7 > 0 Riešenie: V: log 0,3 7 > 0 ... log 0,3 7 > log 0,3 1 f: y = log 0,3 x je klesajúca { 0,3∈(0; 1) } ∧ 7 > 1 ⇒ log 0,3 7 < log 0,3 1 ...

... výrok V je nepravdivý

Príklad 2: Určte všetky také x є R , pre ktoré platí : log 0,5 x ≤ log 0,5 4

Riešenie: f: y = log 0,5 x je klesajúca { 0,5∈(0; 1) } ∧ log 0,5 x ≤ log 0,5 4 ⇒ x ≥ 4

37

Úlohy - súhrn: 1) Na základe vlastností logaritmických funkcií rozhodnite, ktoré z týchto tvrdení sú pravdivé: a) log 2 5 > 0 b) log 5 0,7 ≤ 0 c) log 0,1 1 = 0 d) log 4 9 < log 4 5 2) Rozhodnite, ktoré z uvedených čísel sú záporné: a) log 5 0,5 b) log 0,5 5 c) log 0,5 0,5 d) log 5 5

3) Určte všetky také x є R , pre ktoré platí : a) log 0,2 x = 0 b) log 3 x < 0 c) log 3 x ≥ 0 d) log 2x < log 2 4 e) log 0,6 5 ≤ log 0,6 x 4) Zistite, kde nastala chyba: a) x = 1/y ⇒ log a x = log a y ... x = y ??? b) (1/2)2 > (1/2)3 ⇒ log (1/2)2 > log (1/2)3 ... 2.log (1/2) > 3.log (1/2) ... 2 > 3 ??? c) log 0,5 = log 0,5 ... 2.log 0,5 > log 0,5 ... log 0,52 > log 0,5 ... 0,52 > 0,5 ... ... 0,25 > 0,5 ???

38

Goniometrické funkcie všeobecného uhla Určovanie veľkosti uhlov Nech A, B, C, D ∈ k[S; r]

Stredový uhol ASB má veľkosť 1 radián ≈ 1 rad práve vtedy, ak dĺžka oblúka AB sa rovná veľkosti polomeru danej kružnice. Ide o vyjadrenie veľkosti uhla v oblúkovej miere.

Stredový uhol CSD má veľkosť 1 stupeň ≈ 1° práve vtedy, ak oblúk CD má dĺžku 2πr : 360 Ide o vyjadrenie veľkosti uhla v stupňovej miere. Ak r = 1, daná kružnica sa nazýva jednotková. Potom platí: Dĺžka kružnice 2π zodpovedá uhlu 360°. Nech x ∈ R je hodnota veľkosti uhla v oblúkovej miere a

α° je hodnota veľkosti uhla v stupňovej miere. 2π ......................... 360° x .......................... α°

x :: 2π = α° : 360° , t.j. α° = π

°180.x alebo x = °

°180

.πα

Pre x = 1, t.j. x má hodnotu 1 rad (rad sa často neuvádza) platí: α° = 57°17´45´ ́

1 rad ≈ 57°17´45´´ ... 1° ≈ 0,017 rad Poznámka: Na každé x∈R sa môžeme pozerať ako na vyjadrenie veľkosti uhla v oblúkovej miere (bez rad), čím ho môžeme na jednotkovej kružnici zobraziť ako bod. Napr.: x = 15 (rad) ≈ α° = 859° 26´ 12,09´´ = 2x360° + 139° 26´ 12,09´´

39

x = –8 (rad) ≈ α° = – 458,3662...° = –2x360° + 261°38´1,55´ ́ Uhol α0 = 139° 26´ 12,09´´ je tzv. základná veľkosť uhla α° = 859° 26´ 12,09´´ ≈ x = 15 (rad) α0 = 261°38´1,55´´ je tzv. základná veľkosť uhla α° = – 458,3662...° ≈ x = –8 (rad) Funkcie sínus a kosínus pre uhly z intervalu (0°; 90°) je možné definovať pomocou pravouhlého trojuholníka takto: · sin x je pomer veľkostí protiľahlej odvesny tohto uhla a prepony, · cos x je pomer veľkostí priľahlej odvesny k tomuto uhlu a prepony. · tg x je pomer veľkostí protiľahlej a priľahlej odvesny k tomuto uhlu ( je pomer sin x a cos x ) · cotg x je prevrátená hodnota tg x. Nech M [xM; yM] je bod jednotkovej kružnice a je obrazom čísla x ∈ R , ktoré reprezentuje veľkosť všeobecného uhla: Potom: yM = sin x a xM = cos x Poznámka: Nakoľko každé reálne číslo x sa dá na jednotkovej kružnici zobraziť ako bod M a každému takémuto bodu sa dajú priradiť súradnice xM a yM platí, že každému reálnemu číslu vieme priradiť cos x a sin x, t.j. definičným oborom týchto funkcií je R.

40

Funkcia sínus – vlastnosti:

� D(f) = R � H(f) = ⟨–1; 1⟩ � rastúca na I = ⟨–π/2 + 2kπ; π/2 + 2kπ⟩ , k∈Z � klesajúca na I = ⟨π/2 + 2kπ; 3π/2 + 2kπ⟩ , k∈Z � periodická s periódou p = 2π � nepárna: – sin x = sin (–x) � ohraničená; h ≥ 1, d ≤ –1 � maximum v bodoch x = π/2 + 2kπ, k∈Z � minimum v bodoch x = 3π/2 + 2kπ, k∈Z

Funkcia kosínus – vlastnosti:

� D(f) = R � H(f) = ⟨–1; 1⟩ � rastúca na I = ⟨π + 2kπ; 2π + 2kπ⟩ , k∈Z � klesajúca na I = ⟨0 + 2kπ; π + 2kπ⟩ , k∈Z � periodická s periódou p = 2π � párna: cos x = cos (–x) � ohraničená; h ≥ 1, d ≤ –1 � maximum v bodoch x = 2kπ, k∈Z

41

� minimum v bodoch x = π + 2kπ, k∈Z

Za pomoci nasledujúcich trojuholníkov je možné určiť hodnoty sin x a cos x pre základné veľkosti uhlov: 30°, 45° a 60°.

42

Nech f: y = A.sin [B.(x + C)] + D Vplyv konštánt A, B, C, D na priebeh grafu funkcie y = sin x: A ≈ natiahnutie (sploštenie) grafu v smere osi y B ≈ zrýchlenie (spomalenie) = zhustenie (zriedenie) periódy C ≈ posun grafu v smere osi x (podľa nulového bodu) D ≈ posun grafu v smere osi y

43

44

Tangens – je funkcia, ktorá ∀ x∈ R, pre ktoré platí cos x ≠ 0, priradí číslo: tg x = x

x

cos

sin

Funkcia tangens – vlastnosti:

� D(f) = R - {π/2 + kπ}, k∈Z � H(f) = R � rastúca na I = (π/2 + kπ; π/2 + kπ), k∈Z � periodická s periódou p = π � nepárna: – tg x = tg (–x) � nie je ohraničená � nemá maximum ani minimum � inflexné body = nulové body ≈ kπ, k∈Z

45

Kotangens – je funkcia, ktorá ∀ x∈ R, pre ktoré platí sin x ≠ 0, priradí číslo: cotg x = x

x

sin

cos

Funkcia kotangens – vlastnosti:

� D(f) = R - { kπ}, k∈Z � H(f) = R � klesajúca na I = ( kπ; (k + 1)π), k∈Z � periodická s periódou p = π � nepárna: – cotg x = cotg (–x) � nie je ohraničená � nemá maximum ani minimum � inflexné body = nulové body ≈ (k + 1)π/2, k∈Z

46

Zhrnutie základných vlastností goniometrických funkcií:

Prehľad základných tabuľkových hodnôt:

x 0

0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°

sin x 2

0

2

1

2

2

2

3

2

4

Pomôcka pre ľahšie zapamätanie

sin x 0

1 0 -1 0

cos x 1

0 -1 0 1

tg x 0

1 ⊗ 0 ⊗ 0

cotg x ⊗ 1

0 ⊗ 0 ⊗

Poznámka: Symbol ⊗ znamená, že pre dané x nie je funkcia definovaná.

47

Vzorce pre goniometrické funkcie

Základné vzťahy medzi goniometrickými funkciami rovnakého argumentu Pre každé x∈R platí: sin 2 x + cos 2 x = 1

Pre každé x∈R, x ≠ k.2

π ; k∈Z, platí: tg x . cotg x = 1

Goniometrické funkcie dvojnásobného argumentu

Pre každé x∈R platí: sin 2x = 2.sin x . cos x Pre každé x∈R platí: cos 2x = cos 2 x – sin 2 x

Goniometrické funkcie súčtu a rozdielu argumentov

Pre každé dve reálne čísla x a y platí: sin ( x + y) = sin x . cos y + cos x . sin y sin ( x – y) = sin x . cos y – cos x . sin y cos ( x + y) = cos x . cos y – sin x . sin y cos ( x – y) = cos x . cos y + sin x . sin y

Vzorce pre súčet a rozdiel hodnôt funkcií sínus a kosínus

Pre každé dve reálne čísla x, y platí: sin x + sin y = 2.sin 2

yx +.cos

2

yx −

sin x – sin y = 2.cos 2

yx +.sin

2

yx −

cos x + cos y = 2.cos 2

yx +.cos

2

yx −

cos x – cos y = –2.sin 2

yx +.sin

2

yx −

Goniometrické funkcie poloviny argumentu

Pre každé x∈R platí: sin x/2= 2

cos1 x−

Pre každé x∈R platí: cos x/2= 2

cos1 x+

48

Úlohy - súhrn: 1. Určte znamienko hodnoty funkcie tangens, ak uhly α sa rovnajú : 3/2π, 5π, 1/8π, 9/8π, 5/6π, 4/5π, 2/7π, 1/7π, 5/8π, 9/4π, 7/8π, 13/7π, 4/9π, 2π, 2/3π, 3/4π, 4/5π, 5/6π, 6/7π. x = 14/3π ∼ 2. kvadrant ∼ sin x > 0 ∧ cos x < 0 ∼ tg x < 0 2. Vypočítajte hodnoty goniometrických funkcií sin, cos, tg, cotg pre uhly : 15°, 75°,105°, 150°,165°,195°.

sin 135° = sin (90°+ 45°) = sin 90°. cos 45° + cos 90°. sin 45° = 2

2.0

2

2.1 + = 2

2

3. Vypočítajte hodnoty goniometrických funkcií sin, cos, tg, cotg pre uhly : 7°30´, 22°30´, 67°30´. 4. Vypočítajte hodnoty goniometrických funkcií sin, cos, tg, cotg pre uhly : π/12, π/24. x = 5π/12 ∼ x = (5π/6) / 2

cos x = 2

32

22

31

26

cos1

26

5cos1 −=

−=

−=

+ ππ

5. a) Vypočítajte sin 39°, ak sin 9° = 0,1564. b) Vypočítajte cos 72°, ak cos 12° = 0,9781. c) Vypočítajte tg 70°, ak sin 10° = 0,1736.

Vypočítajte cotg 70°, ak cos 20° = 0,9397 ... sin 20° = =− 29397,01 0,3420 sin 70° = sin (90° - 20°) = sin 90°. cos 20° – cos 90°. sin 20° = 1.0,9397 – 0.0,3420 = 0,9397 cos 70° = cos (90° - 20°) = cos 90°. cos 20° + sin 90°. sin 20° = 0.0,9397 + 1.0,3420 = 0,3420 cotg 70° = cos 70°/ sin 70° = 0,3420 / 0,9397 = 0,3639 6. a) Vypočítajte sin 38o, ak sin 19o = 0,3256. b) Vypočítajte cos 72o, ak cos 36o = 0,8090. c) Vypočítajte tg 70o, ak sin 35o = 0,5736. d) Vypočítajte cotg 80o, ak cos 40o = 0,766. 7. Vyjadrite: a) sin3x pomocou sin x. cos 3x pomocou cos x. cos 3x = cos (2x + x) = cos 2x . cos x – sin 2x . sin x = = (cos2 x – sin2 x).cos x – 2.sin x . cos x . sin x = = (cos2 x – (1 - cos2 x)).cos x – 2.sin2 x . cos x = = (2.cos2 x – 1).cos x – 2.(1 – cos2 x) . cos x = 4.cos3 x – 3.cos x 8. Vypočítajte sin x/2, , tg x/2, ak : sin x = 1/3 a cos x <0.

cos x = - ( ) 38

311

2−=−

cos x/2 = 6

83

23

81 −−

49

9. Bez určenia hodnoty x, určte pre dané x hodnoty ostatných goniometrických funkcií, ak viete, že platí:

b) cos x = – ( )2

13121 −− = –5/13 ... tg x = 12/5 ... cotg x = 5/12

10. Určte definičné obory daných výrazov a potom ich zjednodušte:

1 / (1+cotg x) – tg x / (1 + tg x):

Podmienky: sin x ≠ 0 ∧ cos x ≠ 0 ∧ tg x ≠ – 1 ∧ cotg x ≠ – 1

x ≠ 0 + k.π, k∈Z

x ≠ π/2 + k.π, k∈Z x ≠ 0 + k.π/2, k∈Z x∼ x ≠ 3π/4 + k.π, k∈Z

... = tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx+

−+

=+

−+ 1111

1

1 = 0

50

11. Určte, pre ktoré x∈R sú definované uvedené rovnosti a potom ich dokážte: 12. Bez určenia hodnoty x, určte pre dané x hodnoty goniometrických funkcií cos x a sin x, ak viete, že platí:

13. Vypočítajte:

14. Určte, pre ktoré x majú dané výrazy zmysel a zjednodušte ich:

( )

( ) ( )

( ) ( )

xx

xgxtgxn

gxtgm

xg

xgxltgxtgx

xk

xxgxxjxtgx

xxtgi

xxx

xx

xh

gx

x

tgx

xxxg

xtgxxx

fxgx

e

xtgx

dx

x

x

xc

xx

xxbxxxxa

cos.sin

cos21cot)1

1cot

1

1

1)

1cot

1cotsin21)11

cos

2)

sin1cos.cot.sin)sin

sin)

cos.sin

15cos

cos

1sin

sin

1)

cot

cossincossin)

cos.sincos

1)cot1

sin

1)

1cos

1)

cos

sin1

sin1

cos)

2cos.sin

1cossin)sincossincos)

2

22

2

2222

2

222

22

22

22

22

22

22244

−=−=+

++

+−=−−++=

−==−

+=

++

++=+

=−+=

+=−−=−

−

=−+−=−

oooo

oooo

dc

ba

75sin75cos)15sin15cos)

15cos.15sin)´3022cos´.3022sin.2)4422 −−

( )

( ) 12coscos.2

12coscos.2)

cossin

2sin1)

2sincos.2

2sinsin2)

2cos1

sin2cos)

2sin2cos)2sin2cos)

2sinsin.2

2sinsin.2)

2cos

sincos)

2cos

2sin1)

cos2cos

2sin)

sin.22cos)2sincossin)

2

2

22

4422

44

2

22

++−−

++

−−

++

−+−+−

+−

+−+

xx

xxl

xx

xk

xx

xxj

x

xxi

xxhxxg

xx

xxf

x

xxe

x

xd

xx

xc

xxbxxxa

∈−=

∈= πππ2

3,2,

3

12sin)

2,02,

4

32cos) xxbxxa

51

15. Vypočítajte:

16. Dokážte:

17. Zjednodušte:

18. Vypočítajte:

19. Vypočítajte:

ππππ

π

π

13

4sin.

13

9sin

13

4cos.

13

9cos)1sin.44cos1cos.44sin)

75)15)12

7sin)

12

7cos)105cos)75sin)

−+

=

=

hg

tgftged

cba

oooo

oo

oo

( ) ( )

( ) ( )( )

+=

−

+=−

−=+=+

=

+−

+=+++−

−+=−=

−−

+

xxhxxxg

xxxfy

yx

y

x

y

xe

xxxdxxxc

xyyxyxbxxxa

oo

3cos

6sin)

4cos.2sincos)

sin.4sin.33sin)2sin

sin.2

cos

cos

sin

sin)

sin6

cos3

sin)0120sin60sinsin)

sin.sincoscos)cos.22

sin2

sin)

3

22

πππ

ππ

ππ

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

−−

−

+−

+

++−−++

−+

+−++

−−+−−+

ππ

ππ

ππγγ

ββαα

3

4cos

3

2cos

3

1sin

3

5sin

)15cos15cos

15sin15sin)

6sin

6sin)135cos135cos)

30sin30sin)30cos30cos)

xx

xx

fxx

xxe

xxdc

ba

oo

oo

oo

oooo

oo

oo

oo

oo

oo

oo

oo

oo

oooo

fe

dc

ba

50sin70sin

70cos50cos)

40cos80cos

25sin65sin)

50cos130cos

85sin5sin)

10sin110sin

20cos80cos)

15sin75sin)15sin75sin)

−−

++

−−

++

−+

´3022cos)15sin)

8sin)

12cos)

oo dc

baππ

52

21

2.2

sin)24

cos.224

sin.2sin1)

2cos

2sinsin1)

2cos

2sinsin1)

cos12

cos.2)cos2

sin.21)

2

22

22

22

xtg

xtg

xfxx

xe

xxxd

xxxc

xx

bxx

a

+=

−=

+=+

−=−

+=+

=−=−

ππ

20. Dokážte: