VEKTORSKA ANALIZA

"'N'VERZITET U 8EOO""OU

' inf. DRAOI$A . IVANOVIC prolt:sor Unl'tntltl.

V2KTORSKA ANALIZA

IZDANJJ:

BEOGRA"D , 1971.

UNIVERZITETSKI UD!BENICI

ReAenjem rektora Univerziteta u Beogradu . 1075/1 od 30. IV 1963. godine. osnovu zaklju~ka Komisije za univerzitetske ud!benike 25. IV 1963. godine, Atampano kao stalni ud!benik za studente Elektrotehnifkog fakulteta

Za Izd.va~aDragosrav Jokovlt, urednik Gord4na NikoliC, tehnifkl urednik MihcPlo JoziC

.9t: .9tamparsko-izdavacko preduzeee -

PREDaOVOR

je drugo izdanje knjige .0 .1. teorfje vektora - za tl1i~r i fizi~are, koja je dopunjena i preradena tako da je ustvari knjiga.

Polazf ti od ~hvatanja da in!injerima i fizi~arima, kao i studentima tehniKe i flzike, vektorska 8z sluZi za rikzivj i izr~uvj fizi~kih veli~ina, vodilo se (~ da knjig.a bude sto ")reglednija i za trebu sto prakti~nija, Zato mnogim mjestimr i_Djegnute matemati~ke

~trogosti i uobifajene opiirno~ti u izvodenjima, ia.o st81no i nala u vidu i isticIII fizi~ka I. Otuda su i mnoge definicije date vise fizi~ki nego tisto matematitki. Veliki broj primjera iz fizike i iehnike, kao i' zta broj zadataka, dat je u u Ito jlsnije ilustracije prikazane teorije, kao i njene primjene , fi.zieke pojave i velitine, gdje dosljedno vodilo ra~una kvantitativnom priklzivlnju, sto je za navedene struke od osobitog zj.

'Poboljsanju knjige, pored ostalog, doprinijela je recenzija i diskusija odmah postije publikovlnja prvog izdanja, odr.fana u Orustvu m8temati~ara

fizi~ara. od strane mojih iih profesora I ostaiih ~Ianova Orustva. Rukopis drugog izdanjb pr':gledao je i dao r~cenziju Jrug Or OObIi

voje Mihailovit, profeser univerziteta, i ovdje zahvaljujem uka-zanim primjedblma i preporukama.

Drugovi Sava llit, Tomisllv Golit, Du Jaksic i Obrad Pesic sllga~i stamparije .Akademija", svojim zlgjm ~ u znatno Qoprinijeli da knjiga bude sto bolje stampana, :. ~e im z8hvaljujem.

Dragtsa . /vanovic

Predgovor

Uvod

SDRZJ

PRVA OLAVA

VEKTORIKA ALOEBRA

1. - Vektor I skalar, . 2. - Podjela vektora prema prlrodl flzltke v!l

3. - Prolzvod I kollfnlk vektora I Ikal.r. 4. - Jedlnlfnl vektor ! vektor.

~ 5. - Vektor polo!aja (r.dljus-vektor) 6. - Prlmjerl prlmjene vektQrskog pretltlvljanja I:i 7. - SabIranje I od\,1zlmanje vektura 8. - Razlaganje vektor. komponente 9. - 1ll I komplanarnl vektorl 10. - Projekclja vektora. . . 11. - Proufavlnje vektora u koordlnatnom IIlstemu 12. - Skalarl,1l tIi unutralnjl prolzvod dv.ju vektora 13. - i'ansformacija vektorsklh koordlnala . 14. - Eulerovt uglovl . . . 15. - Invarijanlnost skalarnog pt:olzvoda. . 16. - Vektorskl iII spoljalnjl prd'lzwd dvaJu vektora 17. - Lagrange-ov Idenlitet . . . 18. - rlJllj povrline I prelstavlj.oJe povrllna vektorom 19. - Polarnl I aksijalnl vektorl . 20. - Prolzvod trlJu vektora

. 21. - Prolzvod fetirl vektora. . 22. - DljljJ veklorom. Vektorske jednatlnt. Rec.iprofnI slsleml

DRUOA OLAVA

TEORIJA VI!KTORA jl ZAVISE SKALARNOO AROUMENTA

23. - PromJe,iijlvt veklorl kao funkclje Ikalarnog argumenla 24. - Kontinualnost fuklj. . . . 25. - Hodograf .vektora (/). . . 26. - Izvod vektora skalarnom ar2umentu . . . . 27. - Pravlladiferenc:lrallJa veklor. koJI zavls~ od skalarnog argumenla 28. - RzlJ prvog 1 drugog Izvoda vektora kmt . 29. - sv leoreme 1 formule dlferencljalnog ratuna kod vektora , - IntegrlranJe vektor. kojl zavlse od sk41arnog rgumt

111 I

5 9 9

11 12 12 17 21 .24 28 31 40 17 52 56 58

66 69 78 84 87

~ 104 105 106

' 113 115 116

VJ

PRIJENA' NA OEOMETRIJU I f'IZIKU

31. - Trledar: tangenta. 11", nor ... ala. b!normata. f'renet-Serret.cwe formule 32. - Izrafuoavanje prve krlvloe I torzlje '. . 33. - 8rzlna I ubrunje. tanlenclJalno I normalno ubrzanJe . . t 34. - Oenerallsana rzln . 35. - Ubrzaoje testlce koja krete krulDoj putanjl . . 36. - Drugl Newtonov ukon u vektorskom obllku '. .'. 37. - Veza medu tltm slle 1 mtm kolltloe kretanja testlce 38. - Moment kolltlne kretanja Ilstema festlca . 39. - Krelanje Daelektrlllne testlce u konstantnom elektrtfnom polju 40. "':'" Kretanje naelektrllane testlce u konstantnom IDlgnetskom nolju

OLAVA

118 122 125 128 130 131 131 133 13. 136

TEORIJA SKALARA I VEKTORA KOJI ZAVISE VEKTORSKOQ AROUMEN r

41. - I'Izlfko polje - skal4rno I vektorsko 138 42. - Skalarno polJe . . 140 43. - OredlJent ska .r(, . polJa 141 44. - Izvod skalara u d.8Mm pravcu . J45 45. - Hamllton-ov operator v-bI . . . 149 46. - Osnovne formule teorlje gradljenta . . 150 47. - Simbolltkl obllk Izvoda skalara u dm . Operator v. 152

~ 48. - Prll'1j

tETV~TA OLAVA TEORljA VEKORA U O!NERALISANIM KOORDINATNtM SISal_A

(RIVOLINISKIM)

~ 86. - Oenerallsanl koordlqatnl slsteml . . . 87. - GradlJentu generallllnom (krlvollnlskom) koordlnatnom slstemu

88. - DlvergenC:IJa u generalls.nolQ (krlvollnlskom) koerdlnatnom. alstemu. 89. - Rotor 11 generallsanom (krlvollnlskom) koordlnatnom slstemu 90. - Laplac:e--ov o~rator v u generall.anom (krlvollnlskom) kOdrdlnatnom slstemu 91. - Izvodl ortova u krlvollnlskom koordlniltnom lstmu 92, - Prlmjena dlferenctj.lnu geometrlJl1. .

OLAVA NEIM SVOjSTVJMA VRSI POLjA I OPERACljAMA. U "'jIMA.

SPBCIJALNA POLjA

93. ..... Prottorno dlferenC:lranJe. . . . 94. - Povezlnost podrl1fJa . , . , . 95. - OdredlvlnJe .klllrne funkc:lje klda 'Je poznat .1Jen IradlJerit 96. - Teorema j!dnzntstl. , '.' 97. - Odredlvanje vektora kada u poznatl njegov rotor I dlvergencljl 98. - Vrtlo!na IInl)a, clJev (tuba). vlakno (olt) 1 nJlbovo polJe , 99, - Vektonko pretstavlJanJe komplekanlh velll:lna I obrnuto. P'azort ,

~ESTA OLAVA VIIBDIMBNZIONALNI VEKTORI

100. - tetvorovektorl .

i 101. - Oenerlllsanl "vektorl". Vektorskl .rrostor. . 102. - Llnearnl zlvlsnost vektorl. (!; ~ . . 103; - Dlmenzlja 1 . . 104. - lzomorfnl vektorskl prostorl . , ~05. - Skalarnl (unutralnjl) prolzvod dVIJu vektora 106. - Du!tna vektor. 107. - Ugeo medl1 velctortma

I 101 - Une.rnl operatori

SEDMA GLAVA HEKIM OPERATORIMA

S L AV S(STEMI J!DINICA

109. - Praktltnl .Istem MKS 111' MKSC . 110. - !Iektrostatltkl CGSstatC .Istem. . 111. - Elektromallfetskl (apsolutnl) COSdaC ,Istem t 112. - Velltlne 8, I 110 f t 13. - tlbelarnl prlkaz Jedlnlca .

Utenttura Reel,tar

VII

260 265 265 268 269. 270 712

283 28~ 287 289 291 296 297

300 301

3 312 314 315 315 316

318

325 4 338 34} 342 316 3.19

, .

UVOD

vktri se .prvi put govori u djelima holandskog fizi~ara Simona Stevina oko 1600 godine (godine 1585). je dao princip paralelograma

il, je tizitke veliCine p,retstavljao usmjerenim duiima. Mehanika, i to dio statika, je prva nauka u kojoj je { vektor, sila je bila konkretni obrazac vektorske veliCine. Razvojem mehanike fizicari su do-

lz do otkrica i zakljucaka, koji su u sebi sadrzavaH' odnose izrnedu vektorskih vliCi. lako izrzvi razne, ponekad i vrlo I

2

Newton i engteski matemati~ari 18. vijeka operisali sp geometri-ski velicinama neposredno, prelazeci kompor:ente u svakom slu-taju Mada je Newton te ve1i~ine, dakle i vektorske velicine, posmatrao 11 jlii, posmatrao ih je izolovano, { i pored svoje vanredne genijalnosti nije uspio dati prost, jasan i pristupacan metod iSRj sa tim vliim.

AllalitiC\,j metod dovodi do sjajnih rezultata, sto dokazuju gbrojna i izvrd djela i pronalasci velikih 'matematicara j fizjcara. Taj metod i i danas oduseviti .

i pored zitivll strana analitickog metoda treba imati umu da \'er:tof!'ka velicina, koju taj metod razlate tri kt, pret-stavlja neku fizicku velicinu u cje1ini i kao cjelina. Analiticki metod je rasiavlja, djelove analizira ! veze sa cjelinom. Stovise, lki metod vektoru ponekad oduzima, zanemaruje i vjstv, koja ga karakterisil, l1 vodi ( fizickoj stvarnost, koju vektor odrazava j prikazuje. Vektor kao konkretno jedinstvo brojne velicine, pravca i smjera u analitickom metodu izgubi svoje kvt i rastrze se . svoje djelove, koji su drukCijeg karaktera, nego sto je sam vektor, da se i govori fizic-koj stvarnosti. Neosporno je da se visoko razvijenim algebarskim aparatom u sikl smislu racunski dlzi spretno do rezultata. i d razbi-janja cjeline-kompleksa operacije su duge, 5 mnogo brojeva i velicina, cesto nedovoljno pregledne, pored sve gijlsti velikih naucnika, koji SI.! tim metodom dosli do rezultata od istoriske vafnosti za nauku i covje-canstvo uopste.

Daklt', kod analitickog metoda se umjesto jedl10g broja upotrebIjavaju tri broja, vrlo velik je broj analitickih jednaCina, cesto je i slozenost

pod uticajem izabranog koordinatnog sistema. Rz.vjm fizike i matematike u drugoj polovini 19. vijeka

se riSl~posmtranjtl, prouc8vanju i primjeni vektorskih ve1i~ina u cjelini, bez razlaganja vektora u tri komponente. Naravnu, i koordinatni 5istem se upotrebljava kao pomotno sredstvo. je opet upotreba ranijeg geome-triskog metoda, visem st~penu. Uzimajuti vektor kao cjelil1u stvorio se novi apar,t kako za oblljefavanje. tako_ i za fuvj i prikazivanje. Pranadeni su j ; metodi vektorske ,Igebre, analize i u6pste teorija vektora. Ra~vija se hidromehanika, kasnije lktdil'ik.

Prvi radovi jz teorije vektora pojavljuju se sredinom 19. vijk. Njemacki m,tematicar Hermann Grassmann objavljuje 1814 godine djelo "Ucenje 1iniskom istezanju (Die Iine81e AusdehnungslehreJ. irski astronom, fizicar i matematicar Wiam Rw Hamilton 18.:>3 godine djel0 "Lekeije kvaternionima" (Lectures of Quaternions). , njihovo izlaganje je bilo matematicki dosta komplikovano i relativno tesko pristupacno, te pvmenuta djela nisu odmah ~iroko prihvacena i rasprostranjena. Ii i pored matemati~ki slozenih izJaganja, k,o pr. kod m kvater-nioni, koji su narociti "blperkompJeksni" brojevi 5 cetiri nezavisne jedinice. dati su izvjesni pojmovi i operacije iz vektprskog racuna. Hamilton je dao pojam polja i nekih diferencijalnib op~racija u polju, dao je operator V. Do proizvoda vektora iltl1 je do~ao 1843, Gssm nezavisno od jg 1844 gdi.

Teoriski fizitari su razradili i rimij teoriju vektora tek u drugoj polovini 19. vijeka. Gijl klasicno djelo James Clerk -. Trak-tat ~]ektricitetu i magnetizmu" (Treatise . eJectricity and magnetism).

3

objavljello 1873 godine, is Je 1 u vektorskom obliku. Zatim slijedi plejada fizi, koji primjenjuju i razvijaju vektorski u, kao John Wi!lar.i Gibbs (Gips). Heaveside (Hevisajdj, Foppl, hm, ksije u ~O. vijeKu NI3X Planck i vetina savremenih fizicara, koji sve vise pro-dubljujiJ i primjenjuju teoriju vektora. Fizi Gibbs je uglavnom dao- i

{ vektorskog.racuna jos 1881 gdit'. ! je neke oznake upoireb-ljavao drukCije nego sto se ds utjvju.

Sa,vremena fizika je uglavnom usvojila vektorski racuna u svim va!-nijim sti. Postoji samo jos Il veliki niz itj iz oblasti mate-matike, fizike, nauke cvrstoci i sl., gdje v~ktori tek pocil1ju primje-njivati, , jos primjenjuju uopste. su sa principijelne tacke posmatranja pitanja manjih zmj i vzsti u odnosu OSl1ovne glv fizike, koje mogu danas i zmisl bez vektorske analize, kao 5to je pr. elektrodinamika, hidromehanika itd. Medutim iako je savremena fizik uglvl potpuno usvojila vektore, neki 8t1tori, - doduse broj, - pod uticajem stafog analitickog metoda il1ertno nastavljaju rad starom, danas nedovoljnom i nepraktiCnom metodu,

Ilovi tele, proucavaju, te ga i qsvajaju cak i kada se radi vek-torskoj. d govori tenzorskoj ~izi, bez koje takode savre

m 1izika moze zamisliti. Neosporno je da silik u teoriji vek-tora svj brzinl1 i zbog nezgodno iz terminologije i zbog vracanja komponente prilikom definitivnog izracunavanja i rjsvj pojedinih zdtk i pitanja.

Ali prirodnost, prakticnost i kratkoca, i lgtst vektorskog izlgj i rtuj, obara svaki prigovor. Tako t6rij vektora posljed-njih decenija i godina. prets1aYlj najelegantniji, SkOIO i jedini,metod

,kzivj i proutavanja u fizlCi. Danasnji fizicar, inlinjer i matema-tir moze blti svrmm nivou nauke i sVQga poziva, ako n poznaje osnovne stV,v iz te