PRVA GLAVA

VEKTORSKA ALOEBRA

1. - VEKTOR I SKALAR

Iz lmtrn fizike je zt da se k fizitke velicine mogu prikazivati jednim jedinim brojem. Vrijeme, temperatura, masa, zrmi, gU5tina,. rad, kolicin8 elektriciteta, razlicite su "fizicke li, se svaka od njih mote uspjeno prikazivati kvantitativno brojem odgovarajucih jedinica. Za vrijeme se kao jedinica uzima sekund, mote i minut, cas i godina; temperaturu stepen; 8 zapreminu kubni centimetar, kubni decimetar kubni mtr; za masu ki10gram i1i gram, tona i ostale jedinice.

dgvrjuti brojevi odredenih jedinica zahtijevaju dopunske komponente karakterisanje velicine koju prikazuju. Oni se mogu smatrati kao da 5U nekoj skli. Dovoljna je samo jihv vrijednost.

Takve fizicke velicine koje se mogu prikazivati jednim brojem zivju skalarne veliCine skalari. Broj koji takvu velicinu kvantitativno prikazuje na?iva 5 brojna (numericka, . pri izracunavanju) vrijednost skala~ne velicine. Prema samim' takvim fizickim ve1icinama vidi se da odgovarajuCi brojevi moraju biti rea/ni, mogu biti uopte i pozitivni i negativni. Odmah se uvida da tipicne skalaee pretstavljaju pozitivni i negativni brojevi algebre. Otuda se algebr:! mote smatrati kao skalacna algebra.

Iako skalari ustvari prirodno iz fizike, oni 5U, i matematicke i fizicke velicine. Priroda skalarnih fizickih velicina i5crpljuje tim jednim jedinim brojem, koji pretstavlja njenu vrijednosl. Njena brojna vri]ednost nije jedina njena k8rakteristika. primjer uzmimo masu. Odgovarajuti broj jedinica je samo jedna njenakarakteristika. Ii, nju se smatra da je i mjera za inerciju l. KoliCina elektriciteta (naelektri-sanj~) takode je skl velicina. koja se mote prikazati odgovarajutim brojem jedinica (napr. kulona). taj broj pokazuje ostala svojstva te skalarne velicine.

No, cinjenic:a da se sve takve vrJicine mogu prikazivati brojevima 8 odgovaraJufim skalama pokazuje da im je r to zajedni~ko. makar 5U svojoj prirodi i vrlo razlicite.

Skalarne veliCine se oznacavaj u obicnim slo"rima. kao naprimjer t (vrijeme), (), V (zapremina) itd.

() fizici su vrlo vatne i velicine koje se mogu uspjesno iklflti jednim brojem. rijr uzmimo kre1anje jednog tijela pod uticajem drugog tijela. Jedna od mjera Z8 1akvo uzajamno deistvo je si!a". Na I1~ tije)o moze dejstvovati 8 ili mj sila (jata iIi s!abija). prvo svoj-stvo sile naziva se intenzitet jaCina sile. , odmah se postavija it u kojem pravcu dejstvl1je t8 sila, je pravac druga karakteristika {aKy~ fizicke veliCineo. No, pr8v~c ima dv smjera, je Z8 dalje krktrisj { veJiCine potreban i smjer.

Odmah se da su takve veliCine orijentisane i nazivaju se 1'ektQrske veliCine i1i vektori.

Prerna tome, karakteristike vektora su: 1. /ntenzitet (jatinaJ, 2. Pravac, " 3. Smjer.

IntenzitEt jacina vektora. nije nista drugo nego apsolutna vrijednost vektora, se i tako naziva. Ostali punopravni nazivi su: dutina vektora, ve1i~ina vektora, mjerni b,oj vektora, apsolutna veIiCina vektora, numerick8 (brojna) vrijednost, kao i modul vektora.

Osim sile u fizici postoji veliki broj vektorskih velicina 5to su: brzina, ubrzanje, jCi elektricnog polja, jacina magnetskog polja, koHcina krt!'tanja. moment kolicine kretanja itd.

S druge strane, i za vektorske velicine vati 5li i za 5kalarne velicine, da imaju razliCitasvojstva prema svojoj prirodi, se mote reci da ih navedena tri svoj5tva vektora potpuno karakterisu. , za kvan-titativno. fizicko prikazivanje ispostavlja se da ! ta tri elementa vektora vrlo efikasni, je utoliko i .njihova va~nost, kao i vektora uopste. Imajuci u vidu ta 5vojstva, vektor se o~e smatrati i kao matematicka veliCina sa odredenom brojnom vrijdsu, pravcem i smjrl.

Neki autori nazivaju vektor u5mjerenom. duti, neki, pak, vode racuna smjeru, nego pored dvije prve karakteristike uzimaju u obzir potetnu ili napadnu tacku itd.

Vektor 5 pretstav:ja uS11)jerenom (orijentisanom) duti (51. 1-1). Velicina duii pretstavlja ve1icinu vektors. Vel{tor ima pocetnu tacku pocetak i lirajnju tacku iIi kraj (zavrsetak). Smjer vektora oznacava se strjelicom kraju duti.

..8 81. 1-1

Ns slici je pocetna tscka ili pocetak prikazanog vektofs, tacka krajnja tacka kraj vektora.

Mi temo vektore obiJjezavati uopste slovima latinice 5 horizontalnom strielicom iznad 5lova usmjerenom udesno k8da se pise rukom, naprimjer

.... .... .... .... ........ .... .... .... .... .

vektori , , 1:, , i, j k, , , itd., iIi pak 58 dva yeH~a slova, koja oznafavaju pocetak i kraj vektor" iZQ8.d njlh z.jedni~ka 5trje1ic8, napr.

7

-~ --+ --1> vektori , MN, . Tako 5 vektor 51. 1-1 o~e' obllje;~av"ti

.... -~ i 5 .

Upotrebs malih iIi velikih slova zavlsi od uoblcajenih notacija z

8

0,' mcdusobno jcdnaka \'kt m::HOjU bjti I!(zli jel!llo:n istom ijtis duzi. su !, dfiiciji d\'a jed[J;tka lI11us ll vektora, kOji11 se Jedan ili drugi JllJim pomjeranjem mole prenijeli L1 polozaj d;g vekiora S8 kojlm (:~ se l1';' tu: pok!opiti. :::l tome, tako delinisani vektor - mijenja se katla ~e pomjera

-- ...

u prosloru paralelno svom prvobitnom po!ozaju, Ak() jd \'ektor =

51. 1-2

(sl. 1-2) ostane .l1epokrct,lIJ, se --+

vektor CD, koji ! je jednak, mole parale1nim pomjtr:1IJJem prel1i jeti tako [ se poklope pocet:le

D tacke i . Onda se vz klju ve~tora, tj. i njihove zavrsne tacke i D.

Naravno, pritom je -+ --+ === CD;

.Ial=a AB=lbl=b CD; ABIICD.

Postoji i tzv. nulti vektor. je vektor kojega je duliQ8 jdk Ili. Ako takav vektor obiljeiimo 5 ,

1 l = =0. Na toga 5 O\llti vektor prikazuje 53

=. Pocetak i kraj nuHog vektora nalaze se u jednoj tacki.

Svi lti vektori medusobno 5 jednaki velicini. , oni se mogu shvatili dvojako i to prema procesu koji pretstavljaju. NuJti vektor moie biti proizvoljnog pravca, odnosno bez pravca, se onda prikazuje kao geometriska tacka. Ako, pak, 'lti vektor pretstavlja Iim6S nekog vektora koji [ konacnu duziu i opada prema uli, onda se smatra da tak

9

2. PODJRLA VEKTORA PREMA PRIRODI FIZICKE VELICINE

Vektori mogu pretslavJjati razliCite velicine, od kojih zavisi i vektor u cjetini i njegova gcometriska slika. Pocetak vektora posmatran kao

"d tacka" vektora moze proizvoljno uzet, moze biti odreden u izvjesnom domenu ili t1 u citavom prostoru, ako njemu radi. tome vektori dijele :

1. - Slobodne vektorc, 2. ku ili liniske vekfore i 3. vezane vekfore.

Kod slobodnog vektora napadna tacka .. moie izabrati proizvoljno u prostoru, pri i treba da modul, i smjer vektora .ostanu

mijlji. Slobodni vektor moze pomjerati paralelno samom p~a potrebl, 8 da izmijeni. Tako se moze pocetak vektora dovesti recimo u pocetak proizvoljno izabranog koordinatnog sist, da poremeti tacnost prikazivanja veliCine i pojave, koja pro-

i vektorom pretstavlja. ..primjer slobodnog vektora uzecemo brzinu translatorog kretanja jednog tijela. Sve tacke tijela imaju pri translatornom kretanju istu brzil1u, -zemo proizvoljno izabrati napadllU tacku vektora brzine.

Kod liniskog vektora pocetna tacka vektora moie se pornjerati pravoj liniji, koja se poklapa sa vektor& (sl. 2-1). Dejstvo je isto, : vektor rnoie uzeti

.---+ - .... proizvoljno ili . kao , ili kao 1 8. itd. Prirnjer kug vektora je vektor sile, koja dejstvuje kruto tijel0. Pomjeranje napodne tacke siIe dui koja se klapa 5 m sile prvobltno kretanje.

Kod vezanog vektora odredena je cetna tatka, vektor moie pomjerati, jer je u raznim tackama razlicit. Primjer -' zanog vel

10

vertikalnim vektorom itd. (8i. 3-1). Na slici je dJ,lfina vektora F prikazana jednim centimentrom. Onda je dufina vektora 2 F dva centimetra, duzina vektora 3 F tri centimetra itd. Nrv, sHe imaju pored istog pravca i isti smjer.

51.3-1

_ Teg od k kilograma prikazan vek F. torom k puta dufine od F .

vafi uop5te za proizvod skalara i vektora.

Proizvod vektora i skalara je vektor istog pravca i onoliko puta apsolutne vri jedno5ti koliko taj ska)ar ima jedinica, istog 5mjera ako je skaJar pozitivan, su-protnog smjera ako je skalar negativan.

T/lko je proizvod vektora i skalara k novi vektor . koji ima isti pravac kao i vektor i isti smjer ako je k > , suprotan smjer ako je k . Uslov da je i > pokazuje da se za tu

SI.3-2

apsolutnu vrijdst. uzima i apsolutna vrijedost k, ,5to vafi i za slulaj negativnog k. je glavni broj jedinica skalara k.

Ako je k = 1, onda je = , to opet z6 da su jdki vektori paralelni (moraju poklopiti kada se dovedu jedan drugi) i istog 8mjera.

Ako je k = - 1. d' je = - (81.3-3). Za takva dva vektora kaze se da su medusobno 8urti, to zli da su paraleJni, iste brojne vrijednosti (duzine)~ 8uprotnog smjera. Uop~te se nazivaju i tirlli.

51. -

Prema izlotenom jasno je da je k ;::: k , (3,3) je u~j da se taj proizvod pise tako da je skalar prvi, .vektor drugi ~inilac toga proizvoda.

Shodno svojstvu skalara, za proizvod vektora i skalara vafi relacija: k(ma)=(km)a= m(ka),

gdje su k i 8kalarne velicine, isto tako i relae:ija: (k+m)a=ka+ .

(3,4)

(3,5)

11

Uporedujl1ci IJvd vektore i moze se odmah zakljutiti da se vektor m! dobiti ako se vektor podijeli skalarom k, tj.

= k

(3,6)

Prema tome je kolitnik vektora i skalaroe velitine jednak proizvodu toga vektura i reciproene vrijednosti te skalarne ve\icine. kolienik dobiva se vektor istog pravca kao i prvobitni vektor, apsolutne velieil1e onoliko puta manje koliko jedinica ima ta skalarna veliCina. Sto se srnjera, novi vektor irna isti srnjer kao i prvobitni ako je skalar kojim se dijeli pozitivan, 8 suprotan smjer ako je taj skalar negativan.

I uopste, ako seneki vektor podije1i.skalarnorn ve\ieinom , doblva se vektor

Ako se taj vektor zi, recirno, sa , jgv slut vrijed-nost ;

gdje je 1 I pozitivno, bez obzira da Ii je zitiv negativno. Nv, jasno je da se ovdje dijeli vektor skalarnom rn, docim

obrnuta operacija, tj. dijeljenje skalara vektororn, ovdje prHom dolazi u obzir.

4. JDlNlNI VEKTOR ILI ORT VEKTORA

Vektor kojegaje apsolutna veliCina (vrijednost) jednaka. jedinici naziva se jedinicni vekto~.

Svaki vektor se rnote prikaza1i kao proizvod svoj~g intenziteta (duzine) i jedinicnog vektora kbji je orijentisan kao t.aj dati vektor. Jedinicni vektor koji ima isti pravac i smjer kao dati vektor naziva jedinicni vekto iIi

ot datog vektoa. Jedinicni vektor se oznacava isto kao njegov vektor, sa indeksom nula. Tako se, naprimjer, ort vektora oznacava sa .

navedenom jasna je relacija

gdje je

.. = -,

(4,1)

(4,2)

(4,3)

12

tj. ~vaki vektor jednak je proizvodu svoje apsolutne vrijednosti i svoga orta; ort jednog vektora jednak je kolicniku tog vektora 1 apsoJutne vri-jednosti istog vektora.

Q JedinicQ Ort vektora se crta !!

toga vektora nanoseCi ga od pocetka samog vektora. Na sl. 4-1 prika-zan je vektor apsolutne vrijednosti od jedinica. Naravno, ort sadrti se u vektotu bas puta.

51.4-1

pokazuJe da je cesto vrlo korisno prikazivati orijentaciju ra.znih vektora

m njihovih ortova.

5. - VEKTOR POLO:lAJA (RADIJUS-VEKTOR)

Osim navedenih i s1icnih fizickih vektorskih ve!icina takode se i polofaj neke tacke tijela odreduje pomocu yektora. Pololaj se odreduje i pri-kazuje u odnosu neko uporedno tijel0, i1i u odnosu koordinatni sistem. Usvojeno je da 5 poloiaj tacke u pro!'itoru odreduje veklorom p%zaja radijus-veklofom. Taj se vektor oblljeiava 5 r. U5vojeno je i 10 d{l 5 vektpr polotaja neke tacke zavrsavq u loj lacki, odn05no da je orijenti5an ka toj lacki.Vektor l0zj pocinje od neke u5vojene fiksne poredne tacke ( koordinatnog pocetka). Ort vektora polofaja (radijus-vektora) se oznacava 5 ro.

Ja5no je da vati relacija: (5,1 )

odl1osno r r

ro= - ==-. f Irl

(5,2)

Radijus-vektor se takode z8v i 5 R, kojim slovom prema potrebi. Neki 5matraju da je radiju5-vektor specijalan vektor, jer 5U i neke njegove funkcije specijalne. Mi ubuduce ce-sto imati 051 58 ovim vektorom u raznim kombin8cijama sa osta1im fizickim ve)icinama, to je prije opravdano, sto prostor uvijek posmatra i smatra kao fizicki, cisto geometriski bez obzira . njegovu materijaJnost, kao sto se ponegdje nai1azi pogresna prikazivanja i ' mtm~k prirode.

6. - PRIMJERI PRIMJENE VEKTORSKOO PRIn'SAVLJANJA

primjere primjene prikazivanja zakona u vektorskom obliku uzecemo zakon gravitacije (Newton-ov zakon) i zakon e/eklrostatitke si/e

(10- zakon). Iz elementarne fizike je poznato da se dva tijela masa . i medu-

sobno privla~e si10m koja je proporcionalna proizvodu njihovih masa obrnuto pfoporcionalna njihovom medusobnom rastojanju. ] ~uveni zakon

13

gravitacije ~I10 pritom pie u obliku: F . ! == ,

. ,1 (6,1) gdje je uivzl gravitaciona konstanta. koja zavisi od prirode sredine medu tijelima. iznosi: ";

= 1 8 "",,6,67.10-Sm:6,67.10-S1 8 J5 10 gr sec' gr sec kg sec'

Medutim, tijelo mase 1 dejstvuje tijelo mase 2 rastojanju r silom koja je jednaka suprotnog smjera s kojom tijelo

.. dejstvuje tijelo ,. rastojanju .

Odmah se vidi da relacija (6,1) pretstav!ja ' potpunosti zakon grjvitacione sile. daje veli~inu, odnosno apsolutnu vrijednost dviju medusobno jednakih suprotnih sila.

Za prikazivanje toga zk u vektorskom obIiku prikaza~emo ta dva tijela kao sl. 6-1. Po!oiaj drllgog tijela u odnosu 'Qa

odreden je vektorom polozaja r 1 , koji je orijen~ od prvog ka drugom tijeJu (sl. 6-la). ijelo

tn 1 djeluje drugo tijelo mase 2 rivlacnom siJom, koja je orijentisana od 2 ka m1 tome ta sila je suprotl1og smjera od smjera vektora polo-zaja r l Oznac,imo tu silu

FI' Onda je ocigledno

, ) )

51. 6-1

(6,2)

1 i 2 su pozitivne veli~ine, konstanta takode. Onda se vidi da je vektor FJ orijentisan suprotno od o[ta r Q1 Uzmemo Ii sada da prikazemo silu kojom tijelo mase , dejstvuje tijelo ., onda je radijus-vektor r l orijentisan od . ka ., (sl. 6-1) F, kojom " dejstvuje ~e jednaka sili F I , suprotnog smjer8 od njenog. Shodno tome i za { il vafi relacija

(6,3) ,

Navedeno se moze ut, za gravitacionu silu v8fi sljede~a re)acija:

(6,4)

14

je zakon gravitacije napisan u vektorSK:)ffi obIiku. Kako je r o == .!... taj se izraz moze napisati i ovako: ,

(6,5)

Za izratl1navanje je potJesnija relscija (6,4). Odmah se uocava d se tu radi. iskljuCivo privlacenju, 8 nika)(o odbijanju. U tome je i jedna od glavnih karakteristika-, i jednostranost zakona gravitacije. Orijentacija sile je ~uprotna'od orifentacije odgovarajuteg radijus-vektora.

Kada se proucava sila kojom tijelo mase 1 dejstvuje l mase m'J' moze se zakljuciti da prvo tijelo izaziv8 u cijelom prosioru oko sebe ,gfavilaciono polje, koje u svakoj tacki dejstvuje druga tijela. Jafina toga polja zavisi od mase tijela koje ga izaziva i od polozaja u prostoru (radijus-vektora), ali zavisi od mase tijela koje dejstvuje. Tijel0 mase . moze sluZiti i kao "r tijelo za E>dredivanje sile u gravita-cionom polju tijela mase !. JaCina gravitacionog polja defini~e se i kao ko1'icnik te slle t;. mase "probnog" tijela. Oznacimo tu li sa . Onda je -

l -, == -y-r.= - -r . . ,2 (6,6)

1 uopste, tijel0 mase razvija u okolnom prostorl1 gravitaciono polje jacine

odl1osno

l 0= -y ...... ro. ,! li O=-y-r

(6.1)

(6.7)

Vektor jeCine gravitacionog polja orijentisan je u svakoj tacki prostora ka tijelu koje to polje izaziva. Kako je definiciji

F = . = mJ . onda je jasno prikazano medusobno privlacenje dvaJu tijela. jer je to uslovljeno zoakom vektora .

Naravno, ako se radi dejstvu nekog gravitaciong polja jafine tij.elo mase , onda ~e sila biti prikazana relaciJom:

F=mO, (6,8) gdje se ulazi u istra!ivanje koje tijelo iZlziva polje ja~ine .

S druge strane moze tome i definisati pomo~u jacine polja, je taj vektor od osobite va!nosti pri prou~avanju gravi1aci-onog polja.

Vidi da je uzajamno dejstvo dvaju tijela u gravitacionom polju takvo da se 000 ispoljava medu .kvantitetima iste prirode. Tako . ja~ina gravitacionog polja prikazana je OJ~u mase tijela. u isto vrijeme to polje dejstvuje silom koja je kao u (6,8) izrazena opet ~ pomo~u mase

15

drugog tijela. Daklc, radi istim kvantit.tivnim svojstvima: jednog tijela prikazuje polje koje dejstvuje drugo tijelo siJom koja izra~ava m mase tog drugog tijela, tj. koje dejstvuje u gravitacionom polju. je onaj glavni kvahtitet -1Jlasa tijela, tj. fizifka velicina iste prirode. lako medusobno dejstvuju tijela, odnosno polje jdg tijeJa drugo tijelo, uj je da se govori i da "dejstvuje , odnosno polje izazvano masom ! dejstvuje nasu i uop5te mase u njemu.

U elektrostatici je dobro poznat lg zakon uzjmg dejstva dviju koliCina elektriciteta. Elektrostaticka sila se prikazuje Coulomb-ovim

zkm u obtiku: = k qt q2 ,

,8 (6,9) gdje . su qj i q2 kolicine elektric.iteta dvaju tijela koje mogu smatrati da su ktris u dvjema tackama mdusm rstjju ,. No. ovdje postoji i velika razlika u tome 5to kolicine elektriciteta mogu biti i pozitivne i negativne, dok su uvijek zitiv veliCine. Prema tome proizvod qt q. je. pozitivan kada su te kolifine. elektriciteta obje pozitivne i1i obje negativne: (kada istog znaka), negativan ~ada su razlicitog

zk. Imajuci to u vidu, kao i .malocas navedeno tretiranje ptikazivanja zakona gravitacije, onda se izraz za elektrostaticku silu (Coulomb-ov zk)

! napisati u vektorskom obtiku ovako:

F ==k q. ql-r.

,8 :sti k je zitiv velicin .

(6,10)

(,10)

Analogno Ito je l1avedeno za gr.vitaciono polje, defini!e se i j~i. elektrostati~kog polja koli~ine elektriciteta q u obIiku:

(6,11)

D.k1et vektor jacine elektrostati~kog polja pozitivne ko1i~ine elektri-citet. 'Orijentislln je u svakoj tafki u pravcu rdiju.vktr od mjesta u kome nalazi ta pozitivna koli~ina elektriciteta (81. 6-2) .

.

Ja~ina elektrost8ti~kog polja koje izaziv8 negativl)a koli~ina elektrici-teta orijentisana je ka mjestu u kome na18zi ta negat-ivna koli~n8 elek-triciteta.'

Za elektrostati~ko polje slikovito ! smatrati kao da .. izvire" iz pozitivne koli~ine elektricit~ta, da .. uti~e u negativnu koli~inu elek triciteta.

Navedeni izrazi za elektri~no polje ! samo za koli~ibe elektriciteta, koje se naJaze u jednoj tafki, tj. za tatkaste kolitine elektriciteta. Inafe Z8 druk~iji raspored elektricteta izraz za elektritno polje je druk~iji.

16

u nauci elektricitetu uObitajeno je da se kaie da lcolitina elektri-citeta iza~iv.a "stvara" elektrostatiCko polje, mada je to samo jedno od svojstava tijeYt koje to polje izaziva.

+q } SI.6-2

Elektrostatitko polje dejstvuje kolitinu elektriciteta q siJom, koja se prema (6,10) i (6,11) moie napisati u obIiku:

F =q . (6,12) Matematitki izrazi za gravitacionu i eleklrostatitku sHu medusobno

su sIitni narotito kada se napiu u skalarnom obIiku. Medutim, i samo vektorsko prikalivanje pokazuje da se analogija i sa te strane brzo iscrp-ljuje, jer je gravitaciona sila samo privlatna, elektrostaticka moie privlatna odbojna tomeda li su koliine elektriciteta razlititog istog znaka. Naravno, obje si1e opadaju sa kvadratom rastojanja medu tijelima. Postoji bitna razlika medu prirodom . polja. Gravitaciona konstanta je univerzalna konstanta prirode, koja zavisi od obitne strukture sredine, dok konstanta k nije uivrZ81, nego zavisi od prirode sredine. U racionalizovanom sistemu iznosi

] k= --,

41'1:6 (6,13)

gdje je 8 dielektritni koeficijent sredine. Pozl1ato je da je u elektrosta-titkom [:08 sistemu

k= 1:::: Dcm5t (stat )'

Kako je statkulon = kulon, za vakuum: 31()9

1 10-INt~10-6m2 k=-= .

4ne. 1 91018

Odavde vidi da dielektritna konstanta Z8 vakuum ima vrijednost: 1 80"" -10-9 -- "'tOI 8,85. 10-11-- 36~ Nt ' Nt '

r 17

Za. razne supstance j vrijednost je razlicita, i u tome logija medu navedenim zakonima brzo iscrpljuje.

Iako mora postojati veza medu tim poljima, jos uvijek nije otkrivena.

Navedeni primjeri pokazuju pored 05talog i eJjkasnost i prakticn05t vektorskog prikazivanja, jer prema ~(6.4) j (6,. \\ jasno vidi orijentacija gravitacione, ds elektrostaticke 5il, prema tome i razlika medu njima.

7. - SABIRANJE I ODUZIMANJE VEKTORA

Kakp vektori nisu obicni brojevi, ja5no je da i njihov zbir i razlika 2avjs~ i dd njihovog pravca i :;mJera. Sabiranje vektora najlakse se o~e primjeru sabiranja translacija tijela. Ako se neko tijelo pomjeri pravoliniski iz tacke u tacku (1. 7-1), zatim iz tacke. u tasku , onda je taj proces kre-tanja u rezultatu isti kao kada

to tijelo pomjerilo pravo-liniski Ileposredno iz u . je iz elementarne fizike poznati zakon sabiranja kretanja. Z8tO 5

--+ mote smatrati da je vektor

--+ --+ jednak zbiru vektora i . Takav je primjer ktj preko rijeke. Ako, naime, motor i gone vektoru , . rijeka ga zanosi vektoru , onda kretati .rezultantnom vektofu +, koji naziva zblr vektora i .

-

51.1-1

je vektorski ili geometriski zbir. 15to to vati i za sabir8nje sila. Taj se postupak moze uoptiti ovako. Neka su data dV8 vektora i (51. 7-2). Vektor uzmimo proizvoljno horizontalno zbog crte~a, to je relativno .

.. I

- I I /

I I

51.7-2

....

. 0 -------

..

Zblr ta dva vektora dobiva se kada vrh vektora stavi pocetak vektofa koji se naravno prenese paralelno samom sebi. Zbir += je takode vektor. koji poCinje u pocetku v~ktora zavrsava se zavr~etku tako prenesenog vektora .

. Ivallavlc: Vktrsk nll

18

Taj isti zbir se dobiva kada se vektor nadoveze" vektor ist! i1?vedcni nacin, sto je slici prikazano tim. Tako se zbir dobiva

. treca strana trougla kojega su dvije strane zadati vektori, naravno lJZ !28vt'denc orijel1lacije. Dak!e. zbir dva vektora je 1/tktor koji je orijl!s.'I od potetka jednog vektora ka vrhu (kraju) drugog ';k!, koji je ,] ,:! dvz parafelnim pomjeranjem.

?r"i! sablranja vektora pozl1ato je u fizici kod paralelograma sila. :~( imati l! vlCJ!J !,ada se radi fizickim velicif1ama da zbirni vektor, ~;'1i1S r,,:zi!/l!(\ sJmo zamjcf1juje svoj.e 51Ibirke (]mIlt), [-'iJj! j(jv:mt> li'IjedllO sa nJima kao k zaSf'bna fizicka velicina .

...

51.7--3

Y~ktor C~, ,' 3Z:V8 se, dakle, i rezu1tanta' v~ktor8 i , ovi vi::ktori SlJ kompOileBte vektora .

ihir tri vektor

r 19

Sada dokazati da za zbir vektora vaze sljedeca svojstva : 1. komutativnost :

(7,1) 2. sijtivs!:

(+)+=+(+) (7,2) 3. distributivnost:

k ( ~- ,- ) =- k + k + k . (7,3) Komutativno5t vektora i vidi ~e nepo5redno 51. 7--2 5 s jed!1e strane saberu vektofl prikazsni' punim Jinijama i s druge st:aJlt: vektori prikazani i5prekidanim liijm.

A50cijativnost se moze dokazati nepo5redno prema slici 7--5. Nairne, odmah se vidi d~ je ~zul1t (zbir) --+ --.... --+ =++=+= (+)+, ali i5to tako i

--+ --+ --> =- +=+(+). Di5tiutiV5t ~erno dk~ti za

zbir samo dva vektora. ~Prerna znatorn p051upku uz 5 \'el

20

Odavde je 0'8'=k 08.

-.... - ....

Kako vektori 0'8' i 08 imajll isti prava

21

Tri vektora prostoru sblraju uglavnom pravilu paralele-pipeda. Ako su tak\'i vektori , i. , onda se naJprije saberu dva od njih, recimo i , zatim tim zbirom vektor CJ koji uopste uzevsi nije u njihovoj ravni. Taj zbir (rezultanta) je \jelesna dijagonala paralelepipeda (51. 7-8).

Uopste, zbir proizvoljllOg broja vektora u prostoru 5 poligol1a prostoru.

Ako je rezultanta (zbir) vektora jednaka , l1 pri sabiranju poklopi krajnja tacka poslednjeg vek10ra sa po~etnom t8~kom prvog vektora. Onda je vektor5ki poligon zatvoren nanoS'enjem samih zadatih vektora.

8. - RAZLAOANJE VEKTORA NA KOMPONENTE

Iz pravila sabiranju vektora izlazi jedan vektor potrebi mofe tazlofiti dva iIi vise vektora tako dati vektor bude njihov vektorski (geometriski) zbir. Vektori' koje se dati vektor razlaie kao vektorske .sabirke- nazivaju se kQmponente vekloa.

Na slici 8-1 prikazan je vektor rastavljen razne nacine dvije komponente. 'Na~in rastavljanja je isti, li su na~ini uzin1anja poje-dinih komponenata razli~iti.

)

51. 8-1

Ocigledl1) je (8,1)

Pravci kml1llt mallOm zavise od prirode i zahtjeva lji se 1retira. fizici se vektori ( , brzine, ubrzanja, momenti koliCine ktJQ) razlafu uglavnom dvije tri komponente (respek-tivno u ravni i . prostoru). No, ogromna vCi zahtijeva razla-ganje dvije komponente u ravni i to skoro redovno dvije kompo-nente koje medusobno mJ. vafi za 1.adatke koji se tretiraju u svakidanjoj praksi tehnicara i fizi~ara.

Uzmimo kao prvi primjet kosi hitac. Za nalafenje potrebnih ve1icina se upo~etku razloti brzina, kojom se tijelo baci, dvije kompo-nente i to 11:( jednu horizontalnu i drugu vertikalnu. Tako je i najlakse racunati. Uskoro vidjt'ti se tako moie postaviti i koordinatni sistem kojeg $ pojava i proucava.

22

drugi 11J uzmimo uzj kod krivoliniskog kretaf.lja. Naj. prakticnije je vektor toga urzj razloiiti dvije kmt, od kojih je jedna orjjentisana tangenti krivoj utl1ji, druga normali. su dva prirodna pravca koji odreduju pravce komponenata.

tre(:i primjer neka posiuii trtirj kretanja tijela niz iIi stu rv. Sila koja dejstvuje tijel0 se razlate kompo

. !Jel!te od kojih je jedna orijentisana paralelno strmoj ravni, druga rmalno njoj. , pak, jedna paralelna podnotju (hriztlrJ) druga parJ;elna normalna rvi.

Oakle, najuoblcajenije razlaganje vektora je dvi.je medusobno J1l komponente u ravni. treba lta prakticno uputstvo stalno

iti tl v idu. Cesto komponente jednog vektora oznacavaju istim slovom kao

i taj vektor, -odgovarajucim indeksima. Napr. sila , razlo.fena d.'ije normalne komponente F 1 i p~ prikazana je sl. 8-2.

-F,

SI.8-2

Pritom je vektor F hipotenuza pravouglog trougla kojega 5 strane njegove komponenteF1 i li i 5 navedenom orijentacijorn. U fizici je prakticno da poslije razlaganja komponente da!i vektor (rezuI-tanfa) rkr da slucajno iz tj neko uracuna tri vektora

da jednovremeno djelujuna tijelo. Zbog toga treba imati u vidu da su komponente ekvivaJentne datom vektoru, odnosno da ga u rezultatu dejstva mogu zamijeniti. I obrnuto. pri slaganju (sabiranj-u) kompon~n8ta u rezultantu.

Ako radi razlaganju vektora tri komponente u prostoru, onda se u rksi te komponente uzimaju kao ivice paralelepip,eda (uopste kosouglog), kojega je dati vektor tjelesna dijglJl. ~ri tretiranju vecine fizickih

te komponente medusobno 1JormaJne. Kako je najprakticnije uzimati komponente dui osa usvojenog koor-dltg sistema, to cemo detaljnije tretiranje toga razlaganja 'kasnije orijentisati bas u tome smjeru, jer krditi sistemi u svakom tretiranju osjetno pomazu, i u nauci vektorima, iako je jedna od prednosti vel

23

moze lako razloiiti kmt koje su par&lE.>lne sa datim vektorima .5to se u mnogim zadacima i z~htijeva.

T&ko se neki vektor moze razloziti 11 dvije kmt koje su rll 5& datim vektorim& i . Onda vazi relacija:

c=ka+/b. (8,2) Na isti Ci m! izraziti i veti broj komponenata vektora ,

odnosno: ct =k l a+/t b c.=k"a+l"b (8.3)

jer 5ft 5val

24

Prema tome vektorska relacija d=O (8,9)

ekvivalentna je trima skalarnim relacijams: k1 + k, + ... =0 11 + 1, + . ',' =0 ml+m,+ ... =0.

9. - KOLINBARNI ( KOIIPLANARNI VBKTORI

(8,9)

Dva vektora su kolinearni kada 5 paralelni jednoj pravoj 5 nalaze jednoj pravoj. Prema tome ko1inearni mogu vektori razJible brojne vrijednosti i smjera. Glavno je da budu paraJelni (sl. 9-1).

51 9-1

SI.9-2.

Ilb IILL'. Iz prethodllOg 8 zna da je proizvod vektors i 8kalsra takode vektor, je vektor "" k ko-1inearan 5 vektorom , gdje mofe k:;: .

Uslov kolinearnosti dvaju vektora mofe se izraziti i u simetricnom obliku ovako:

ka+b=O.'

Pomnofimo ovu jednacinu sa }. i stavim() -k>''=' je uslov kolinearnosti dvaju vektora:

+). =. (9,]) Tri i1i vie vektor..1 su komp1anarni k8da

5U lli jednoj (! iJi 5 nalaze u jedno) ravni.

51.9- 2

NE'ka su data tri vektora , . u jednoj ravni (ravan crtefa) (81.9-2), Ollda je mogucno vektor razlofiti u dvijt komponente 1 i , koje 8

. ._~

paralelne 58 vektorim8 i . Prene5e 5 vektor ~= (51. 9-~b). Razla-

25

-.... - .. ganjem kmt ddg pravca se dobiava: CB=ka, AC-/b, je us10v kmlrsti triju vektora:

c=ka+/b. (9,2) i obIik se lzi s ijm:

-ka -I+=. mti se sa . i stavi - k . = , -1 . = , se us10v kompla-sti dfiitiv dobiva u simti~m obIiku:

+ + . = . (9,3) Uzmimo u re1aciji (9,2) umjesto vektora vektor polo~aja r. d

relacija r=ka +/b (9,4)

pretstavlja uslov kmisti vektora r, i . Vektor polozaja lzi se, dakle, u vi vektora i koji isu k\ii. z~i da re1acija (9,4) pretstav1ja jedan od obIika jd~i vi u vektorskom rikzivju. Vektori i su kstti i k\ii, parametri k i 1 su sk1 vli~i.

Us10vi klirnsti i kmlsti vektora mogu se prikazati i u drugom obIiku, ~emu biti rije~i poslije izsj proizvoda vektora. Pritom se pos1utiti relacijama dvim u paragrafu.

)zraz k + 1 ziv se i linearna tunkcija od i , shd tome izraz ka+/b+c \irn funkcija od , i .

Dobiveni rezu1tati pokazuju da se za slu~aj kada se vektor na1azi u vi dva kli vektora i taj vektor moze izraziti kao fukij od i , koja je iz~ re1acijom (9,~).

Isti postupak va~i i za slucaj triju km1rih vektora , i i ~etvrtog vektora d, koji je, dakle, lir fukij ad , i , ds

d.=ka+/b+mc. (9,5) ig1d je da je takav vek-

tor d tj1s dijgl paralele-pipeda straoa , i sa vdim ijtij, kao sto je vd re1acijOm (8,6).

PrimJeri i zadafi

1. ~ Data su tri vektora , i c=ka+/b sa zajedni~kom

po~etnom ta~kom. Doka'zati da je us10v da vrhovi svih trijq vektora budu jdj pravoj k+l= 1. 51.9-3

-.... .--+ Povu~e se DE 11 (sl. 9-3), je ED = k., = I iz ssti trouglova i EDC doblva se prema 1. 9-3

k : = (AC-i. ):' , ili k+l-l.

26

2. Data je reJacija: .+.+v=.F+.+v. Dokazati da su tada komplanarni sJjedeci vektori:

F, -, - .

Prebacivanjem lv jednaCine 5 desne lijevu stranu dobiva se ). ( - F) + . ( ) + v ( -.) =: , t\J je uslov komplanarnosti, sto je trebalo dokazati.

. -- Data su tri vektora , , . Koji uslov treba da ispune, da se od njih moze formirati trougao?

Trazeni uslov je: + + :=.: . 4. Podijeliii d!lZ datoj razmjeri : n = .. Neka je data duz (1. 9-4). Treba nati po\ozaj tacke , koja tu

dui dije1i razmjeri : n = ., ds

1 I 1-I I

-\ I " \ \1

------. ~ Q --- 51.9-(

(1) U proizvoljnoj tacki uzmemo \

iIi koordinatni pocetak, gdje je pocetak svih vektora poloiaj8. Neka 5U rA == i ra:= vektori poloiaja tacakaA i , rc = trateni vektor poloiaja tacke . Onda je jasno prema slici da je

-.. - .... AC=c-, =-. (2)

Zamjena u (1) daje - = . ( - ) (3)

Odavde se odmah izracunava u obIiku': +>" r+.r = =rc=...:..::---=-

1+.. 1+. (4)

je reldcija ;::8 koordinate tacke , koja je dobro poznata iz al1altticke gitij.

Kada tacka polovi dui , t = ]. odnosno + rA+rs

r = = -- = --'-'--=-2 2

(5)

5. - Odrediti poloiaj teiista datog trougla. Poloiaj teiista je opste poznat, se ovdje radi odredivanju

vektora poloiaja teiisia . . Neka je dat trougao (sl. 9-5). U proizvoljnoj tacki u pro-

storu uzmimo pocetllk vektora poloiaja (l koordinatni pocetak). zim vektore poloiaja tjm 5 r I rs i rc, sa rr tra1eni vektor poJo1aja tacke .

27

Kako se te2iste nalazi tezisnici, kojs. polovi odgovarajucu stranu, to tacka D biti sredini strane . Osim toga teziste 7 dijeli tezi~nicu

razmjeri : :: 2: 1. (z slike se odmah vidi da je. rc+ 2 rD 1"=----

3 (1)

zadatku'~ 2 rD = r +r, je definitivno vektor polozaja (. zi~ta trougla dat relacijon1:

+1"+1" 3

(2)

6. - Odrediti uslov da vektorska jednacina (relacija) zavisi ud koor ditg pocetka.

Posmatrajmo dvije relacije dobi-v u prethodnim zadacima 4 i 5.

glase

(2)

51.9-5

prirodi tih i takvih zadataka i m samom vektorskom izvo denju odmah se da relacije zavise od. polozaja tacke u ravni, ds u prostoru. smtrjm tih rtij uocava. se da su kfiijti uz vektore lijevoj i koeficijenti uz vektore dsj stri relacije mdus jdki. 1 zaista je u prvoj relaciji uz vektor I"c. koefi .. t 1 . kt . kt' 1.). . 1 1 ). CIJen , uz I"A 1 1"8 respe IV:--I--, Je "" --+--.

1+), 1+), 1+), 1+), U drugoj relaciji je Iijevoj stri k'fiij~ 1, desnoj

1 1 +~==1. '3+3 3

Prebacivanjem svih clanova jdu stru i izjdvjm sa nulom doblce se takva vektorska jdi kod koje je zbir svih koefici jenata jdk .

Sada 'ispitati da 1i ovi stavovi vaze uopste. U tu 'Svrhu posma tracemo vektorsku jdCiu (relaciju):

ka+/b+mc+ ... =0. (3) Promjena krditg pocetka prikazace se jdstv sabiranjem l1ekog vektora polozaja R novog koordinatnog pocetka u dsu stari. mijenja jednacinu (3) tako da se svakom vektoru geometriski doda vektor polozaja R, relacija (3) postaje:

k(a+R)+/(b+R)+m(c+R)+ ... =0, iIi

ka+/b+mc+ ... +(k+/+m+ ... )R=O. (4)

(4)

28

Tra~eni uslov da ova opsta ve~torska jednaeina (3), odnosno (4), zavisi od izbora polo~aja koordinatnog poeetka i za opsti slueaj (4) glasi:

k+l+m-r .. =0. (5) Dakle .. uslov da vektoska jednacina zavisi od koodinatnog pocetka

jeste tai da zbl svih skalanih koe{icijenata jednaCine bude jednak nu/i.

10 . - PROJEKCIJA VEKTORA

Poznato je da 5 projekcija neke taeke datoj osi dobiva kada se iz te taeke povuee (spusti) normala ili normalna r.van tu . Pr~sje taeka normale iz te tacke i , odnosno prodor te ose kroz normalnu ravan projekcija taeke osi

projekcija vektora nekoj osi smatra rastojanje medu ravnima povueenim kroz krajnje tacke vektora normalno datu osu.

_-+ Neka je dat vektor 8 = (sl. 10-1) i osa

- ~, , koja je slici ori-r----! jentisana slijev~ uds. I

"

Kroz poeetnu taeku I I vektora povuee ra-J I normalno . ~----__ ~LI ____ -= ______ ~I __________ ___ ravan ima 5 tom

1 " 8, smzjdikutku 1 SI. 10-1

- prodornu taCku. eka I je projekcija taeke ; rayan povueena

kroz kr 'jnju tacku 8 (zavrsetak) vektora normalno datu ima pro-dornu taeku 8 . Taeka 1 je projekcija tacke .

--+ Prema tome, projekcija vektora = ) pretstavljena je

sa 1 81' VeliCina te projekcije je rastojanje medu dvjema navedenim normalnim ravnima.

Odmah vidi da se od 1 do . dolazi kretanjem u smjeru ose. Moie se dogoditi da je dati vektor orijentisan 1ako da je kretanje od projekcije pocetka prema projekciji zavrsetka vek-tora suprot110 od smjera ~

kao ) 10-2. N slici je 1 projekcija tacke , D1 projekcija tacke D. 1 sam polozaj

D ~

,

-

SI.I0-2

"1 I I I

,

i smjer datih vektora pokazuje da orijentacija od pocetka prema kraju projekcije vektora o~e biti kao orijentacija ase koju se vektor pro-jektuje suprotna ad j.

29

Vidi se da je postupak duiVal projekcije vektora ili jedno-stavan. Medutim, kada se pos!dvi itj prirode projekcije vektora, onda se mora pribjeti izvjesl1im kOIlvencijama. Naime, projekciju vektora osi 5 jedinicnim vkt osi (zim ga sa ) motemo napi-sati u obliku

,=, (10,1 ) ()

gdje smo S8 oznaci1i projekciju kao .skalar i kao algebarsku veliCinu. lz 8vdg izlazi da algebarska veliCina moie biti zv ili negativna ( nula ako je vektor normalall I1 osi) u zavisl10sti od toga da je smjer od njene pocetne prema z8vrsnoj tacki (5tO zavisi od smjera datog vektora) isti ili suprotan smjeru ose kojoj se ta projekcija nalali.

Dakle, projekcija vel\tor8 se mhm oznacava istim slv (i1i sivim) kao vektor, hm sa indeksom, koji se odnosi objekt koji se projektuje, odnosl1o kj se projekcija l1afazi.

Strogo uzevsi, projekcija vektora treba da bude vektor. Medutim, postoji praksa ili precutna konvencija da se projekcija vektora osi smatra skalarnom veliCinom, pro[ekcija vektora pravoj vektorskom veliinom.

Mi najcesce imati posla S8 projekcijama vektora nakoordi-natnim osama vektorima, neorijentisanim pravim lil1ijama. Kasnije vidjeti razliku izmedu projekcije i komponente vektora.

Zbog toga usvojiti da je projekcija vektora osi skalar. it ( voditi [ znaku te projekcije kao skala'rne li. ..

Iz slike 10-1 i 10-2 vidi se da je projekcija ve'ktora nekoj osi jednaka .proizvodu velitine vektora i lsius ugla izmedu vektorai ose. Ako S8 oznacimo ugao izmedu vektora i ose , onda projekcijiC iznosi :

,,= cos . (10,2) relacija vati za vrijednosti ugla .

Ako je =- , onda je = , tj. kada je vektor parale)an osionda je njegova projekcija toj osi jednaka njegovoj 8p'solutnoj vrijednosti (modulu, intenzitetu, veli~ini), uzimajuCi u obzir da je to' algebarska velitina.

Ako je = , onda je ,,::::: , tj. kada je vektor normalan osi 2

onda je, kao sto je refeno, njegova projekcija toj osi jednaka li. Ako je ~ < < "'. cos

30

pridrzavati ujg smjera za uglove, koji je u vi ijtisl1 kac tj x-ose prema y-osi jkrim putem, iIi, kao 5to se cesto kaze, ~a je suprotan ktju kazaljke satu (v. kada se gleda sprijeda}.

Ugao izmedu dvije prave mora ijrltis. Tu se vodi u smjeru u koj~m se uglovi mjere.

---

51, 10-3

Ugao izmedu dva vektora pokazatemo jdm mJu. Neka su dali \'ektor r i \'ektor' F (51, 10-3). Ugao izmedu r i F je ugao , koji se dobiva obrtanjem od pravca i smjera vektora r u pozitivnom smjeru (suprotno od ktj kazaljke satu) do klj 5 vektorom .

Daklt' ,

31

Projekcija geometrisl

32

nije podesan. Za matematicko proucavanje i prikazivanje zakona elektrici-teta i magnetizma bolje odgovara desni koordinatni sistem (sl. ) 1-2) Rotacija od x-ose ka y-osi najkracim putem obavlja se za posmatraca, koji stoji uz z-osu zdesna ulijevo, u smjeru supro(nom od smjera kretanja kazaljke satu gledane odozgo. je pozitivl1i smjer rotacije. Desl1i

sist se moze pretstaviti redom palcem,kaziprstom i sdl1ji prstom

/

tz I I ~ ____ -.l.

, .../ /

51.1]-2 SI. ] 1-3

desne ruke. Ko1ika je prednost desnog koordinatnog sistema vidi se raznim imji i u fjzici i u matematici. U teoriji lktiitt za odre-divanje smjera vektora mgtskg polja, koje izaziva struja, koja protice kroz provodnik, dO,bro objasnjenje daje Maxwellovo pravilo, ili praviJo svrdla. Ako se vrsi rotacija du~ silnica u njihovom smjeru, onda praviJu svrdla okretanje udesno izazvati napredovanje svrdla u smjeru kojim protice struja (sl. 11-3).

U matematicije koa dsg sistema prirodnija veza jzmedu sistema i u prostoru i u ravni, te je i prelaz olaksan.

m fome m; smo USJli desni koordinatni sistem. zt je da se u Descartes-ovom sistemu tacka oznacava kao (, , z).

, Ako se posmatca Descartes-ov koordinatni sistem, vidi se da je u koordin'atnoj ravni yz koordinata = , u ravni zx koordinata = , u cavni koordinata z:= . Ako se umjesto koordinatnih ravni i koordi-natnog trijedra uzmu njima paralelne ravni, jasno je ,da = const = I pretstavljati 'za razne vrijednosti konstante I ravni paralelne sa ravni yz. Analogno vaii i za i za z. Prema tome neka tacka u prostoru sa koordi-natama , , vstvari presjek ravni =I =m,= =, z=C.=p.

Q:;im Descartes-ovog koordinatnog sistema najtesce se vpotrebIjavaju jos i dini i sterni koordinatni sistem.

Kako se radi odredivanjit polozaja tacke u prostoru, unaprijed se zna da se i u m sistemima polozaj tacke odreduje m tri koordinate.

33

U ciIindricnorn koordinatnom sistemu poloiaj tacke u prostoru odre-duje tako da ta tacka posmatra ci1indricnoj povrsini kojoj je o~a bas zs, odnosno koja je rl ravni kada kao 1 uporedni uzme Descartes-ov si5tem.

Na slici 11-4 prikazane su ko-ordinate tH~ke u ci1indricnom sistu. Vidi da po]oiaj tacke odreduju sljedece tri koordinate:

1. poluprecnik cindra , 2. - ug q> koji odgovarajuci

poluprecnik zahvata (ili tzv. po)arnom 050 u drim sistemu) od koje racul1aju uglovi u ravni , i

3. - aplikata z, ,odnosno visina tatke iznad ravni _ Odmahse vidi da se za z = dobivaju cilindricne koordil1ate i fP u r argument odgovarajuceg vektora poloiaja jekcije tacke u eavni .

Tako tacka oznacava kao (,

34

Tako sc tacka oznacava kao (, 6, '). Jednacina = 1 pretstavlja familiju koncentricnih sfernih povrsina sa

centrom ; =-- 2 pretstavlja familiju konusnih povrsina S8 zajednickom osom Z; q> = pretstavlja fami1iju meridiona1nih po1uravni, koje prolaze kroz

z-osu.

Jedini~ni vektori koordinatnih 08. - U tretiranju vektora m kdtih si:;tema vrlo je korisno uzeti u obzir jedinicne. \'el,tore osa. m ral)ije ,:d jedinicnim vkti", ja5no je _da su to vektori respektivno duz -, - i z-ose, kojih je duzina jednaka jedinici. 5

~Z

,/ /

" / ) /

~ , 51. 11-6

I /

/

Zllvju S8 " j, k (51. 11-6), gdje je i jedinicni vektor (ili ort) -05, j jedinicni vektor (iIi ort) -05, k jedinicni vektor (iIi ort) z-S. Zajednicki se nazivaju koordinatni ortovi. Saobrazno generalizacijama upotrebIjavaju se i za ose umjesto . , z i oznake \, 2 i , otuda i za kdit ortove oznake ' '. i '. (51. ll-)_ umjesto " j, k. Mi ih oznaca-vati- S8 " J, k, osim u slucajevima generalizacije, kada je potrebno imati simetriju i sumira ja za razne koordinate.

Raztaganje vektora komponente - koordinatnimosama --+

Dat je vektor == u koordinatnom 5i5temu (51. 11-7). Zbog 1akseg uvj uzecemo po~etnu tacku vektora u pocetku koordinatnog si5tem8. Dati vektor mozemo razloziti tri ve~tora dul kODrdinatnih 05, je

--+ --+ --+ --+ ===++ (11,1)

--+ --+ --+ --+ Vektori , 08, nazivaju 5 komponente vektora = . Projekcije v~ktora 5m 5U algebar5ke velicine: = , 08=, OC=az '

--+ su koordinate vektora = . tome koordinata vektora je a1ge-barska vrijednost njegove odgovarajuce komponente krditj 05;,

- projekcija vektora 05i.

35

Koordinatni ortovi (. j, k istodobno su vi (jdiii vektori) --+ kml1t v~ktora == .m tome je

--+ --+ --+ == " ;:: j. == az k, (11,2)

Tako 5 vektor 18 mote napisati u obliku zblr,. 'jegovih komponenata koje 51.1 paralelne 5 koordinatnim m ( koje se nalaze koordinatnim

o~ama), odnoso:

" . ,

8:: i + j + , k.

/'

'z I , - - ..;: - - - -71

/ /'I

51. 11-7

/' I / ' / I

/ I / I I

-

/ /

/ /

" /'

I 1 I I I I

'1

(11,3)

zim 58 "1, 2 , 0:. uglove vektora 8 sa koordinatnim osama, : (11,4)

PremaPitagorinoj teoremi je (11,5)

Dakle, kvadrat apsolutne vrijednosti vektora jednak je zbiru kvadrata nieg"ovih projekcija koor~inatnim osama.,

Na 05nOVU toga dobiva 5 relacija medu uglovima tako da treci o~e izratunati kada se znaju dva:

(l 0:. + 052 0:1 + ' . = 1. (11,6)

36

Iz ()],4) i (11,5) se doblva

(11,7)

z

". 51.11-8

- ...

Na isti se na~in prikazuje i vektor ltj (radijus-vektor) r:= (sl. 11-8). Njegove projekcije su koordinate tacke , odnosno:

':t. , =,

, = z,

se oznake IiJe\/oj strani relacija (1 J ,8) upotrebljavaju. O[1da se vektor poloiaj.a mote prikazati relacijom:

r = f + j + z k.

(11,8 )

(11,9) Kvadrat apsolutne vrijednosti vektora poloiaja jednak je zblru kvdt koordinata njegove zavrsne tacke, odnosno

Ir '1 = ! = 2+ y:t+ z', (11,10) KosirlUsi uglova vektora poloiaja i odgovarajucih koordiaatnih s dobl-vaju se prem! relacijama:

z cos I =- cos 0:2:; --, cos . ==. (11,11 )

Ir; Irl ,rl O\'i kosinusi su istodobno brojno jednaki i jkij odgovarajuceg orta r o vektora poloiaja.

37

Vektor polozaja '1 neke tatke 5 koordinatama .. Yt. Zl ozna:. tava se i ovako:

'l(X1'Yl'Zl) iIi '1 {XP Y1t ZI}' Inace i tatka sa vektorom poloiaja '1 ozna,cava se i ('1) {'1}'

Dokazacemo da je projekcija zblra ( r'zlik) vektora jednaka zbiru ( razlici) projekcija tih vektora.

Neka je, naime, dat vektor ==. Vektori i mogu 5 ril

38

prema (11,13) aX=X2-XI~ aY =)/2-1' GZ ==Z%-ZI, i1i f;::'+Gj+zk::;:(t-J)'+(2-I'j+(z,,-Zj)k. (11,14)

Ve!icina vektora a::.=fAB iznosi:

== I 1"" r V(x~ _~xJi"+(v;:'" y:;/+(z~-:"';: I j%. (IJ,15) je poznata relacija za stjnj medu 'dvj:tma t(:km u prostoru.

Dakle, rastojanje medu dvjema tackama i u pl"ostoru nije nista drugo l1ego velicina razlike njihovih vektora polozaja:

] ,16) Uglovi toga vektora 51! kditi USJr:13 dot)jvaju se iz .relacij!!:

~ -- ]

\'( \~ -- 1)2 + ( - };I)i"+ (z~ -1 itd. (11,17) odnosno'

(11.18)

Pfimjerl i zadaci 1. Projekcije vektora koordil1atl1im osama su 3, = -4, .= 12. Naci duzil1U vektora i kosinuse njego\ri!l uglova 53 koordinatnim osama.

3 Odg.: = 13, cos l == , cos 2 = 13

4 12 - , cOSa. 13 "13

/ ,.

/

, (r1_:-r,) =rn2 (r -rl- 2), (ml+mZ)r1-S=ml r1+m2r2' 1 rl + mSr2 r 1 8= ~--

m1 +2

39

Radi jus-vektor teiista mas/\ m2 , . doblce se kao teiiste izmedu masa , +m2 , koje se fingiraju' u tacki ., i m8se u tacki , se d'Oblje:

m1 rt'+m t r2 +m rl\ r 1-2- 9 == ------.-:- ----------.- 1 +m2+

Za n materijalnih tacaka radijus-vektor tetista : k=n

~ mkrk k=1

r l - 2 - '- = k=iz-'~-- ~mk

k=1 Odavde se razlaganjem radijus-vektora doblvaju koordinate tezist8':

'f,mk Zk z= --.

~ "'k

4. U tackama 1 (r1), . (r:), ., ., " (rn ) nalaze se kolicine elek-triciteta Ql. q, ... , Qn. Odrediti prejekcije' vektora jacine elektricnog polja u nekoj tacki (r) (51. 11-11).

Vektor se izraZ8va pomocu relacije:

q E=k-r, ,

gdje kijt k nikakvt: veze sa orton k, nego su slucajno oznaceni istim slovom; vektor lozaja r uopste je vektor polozaja tacke u kojoj se pulje trazi, \ cetak mu je u mjestu gdje 5 nalazi kolicina .elektriciteta koja izaziva to polje.

Ond! trazeni vektor blti geometriski (vektorski) zblr vektora, koji imaju opsti oblik:

k qk . k= -rk, 'k

zt

/' j( ",/

i , I \

' 00 1

f-._._--~~.y

51. 11-11

gdje je rk = (X-Xk) f +( - Yk)J+(Z Zk) k. sto je navedeno, ozna

40

Vektor " moze se prikazati m klt. u obIiku

" " i+EAyj+E"z k

Uporedenjem koeficijenata lIZ jdii vektore nalazi se

- q" - Xh. _ ql( - I('. 'q" z - Z" " - 4 1te: --;:' - 4 t --;'-) ,,:: 4 -n --;-lJzijuCi u obzir sve koli~ine eJektriciteta dobice se:

gdje je

1 U elektrostatickom CGS sistemu za vakuum k"", = 1, je 4 n-so

onda

12. - SALARNI ILI UNUTRAANJI PROIZVOD DVAJU

Izraz za rad u flzlcl. Rad kao ,kalarni prolzvod sHe I vektora pomjeraja D8to je tijelo koje ! kretati horizontalnoj podlozi (51. 12-1).

Ako njega dejstvuje drugo tijelo 5i10 F,ol'lda je iz elementarne fizike zt da 5 r8d vr1H 5 ako tijelo premjestilo za izvje5no rastoj8nje.

Bez obzira 5 napore, rad nije izvrsen ako 5 tijelo nije' kretalo.

Uzmimo najprije slucaj da sila F dejstvuje paralelno podlozi. tj. u pravcu kretanja

51. 12 .... 1 tijela. Neka je tlj predeni ! . 1 i11 F i taj pravoli-

niski pomjeraj (predeni put) koji tijel0 izvrsi pod uticajem te vektorske 5 veli~ii1e, jer je. tijelo izvrsilo pomjeraj iz jedne u drugu odredenu tatkp (polo!aj). 8 je vektor pomjerlja.

41

zt je da je pritom izvsi rad dat relacijom: A=Fs.

Nv, rad je prema svojoj prirodi tii skl vlii. Odmah se vidi da je ta skalarna velicina u tom sijlm slucaju jednaka izvodl.1 intenziteta vektora sile i vektora puta (pomjeraja).

, navedeni slucaj je sijl. U opstem slucajl.1 sila dejstvuje !; u pravcu kretanj" tijela, nego S8 pravcem zahvata neki ugao () (sl. 12-2).

51.12-2

Prema tome vrsl rad samo komponenta te sile koja je' u pravcu kre-tanja tijela. Zato se sila F razloii dvije kt F I i F:a-

Prva je orijentisana kao i pomjeraj tijela. druga je norma!na njoj. Sila Ft izaziva nikakvo pomJeranje tijela, zato i vrsi nikakav rad. Dakle, aktivna s koja vrsi rad nije jlku sila F, nego samo njena komponenta F 1 U pravcu kretanja tijela.

m tome izvrseni rad iznosi =F1,s. (12,1 )

Kako je F. = F cos = F cos (5, F) = F cos (F, ), definitivno = F s cose = F '$' cos (F, ). (12,2)

Dakle, rad koji jd ti;elo izvrsi pokrecuci drugo tijelo silom F za. pomjeraj S jednak je proizvodu veliCine te sile, veltCine prede!1og puta (pomjeraja) i kosinusa ugl izmedu ta dva vektora.

Taj izr8z za rad sile izvjesnom putu uopsten je i naziva se .'ika-larni proizvod dvaju vektora.

Umjesto vektora sile F i pomjeraja (predenog puta) 5 mogu se uzeti dva proizvoljna vektora i .

Ako se kretanje vrsi krivoj liniji, izraz za rad ostaje u principu isti, jer se rad sastoji iz sume integra)a izraza obIika F ds cos (F .. d8). gdje je ds pomjeraj, koji se u Hmesu moie smatrati pravoliniskim, odnosrio izraz za rad je i u ( slucaju' tipican primjer skalarnog proiz-voda vektora F i pomjer! ja ds.

li izraza (12,2) se vidi da je skalarni proizvod vektora F i 8 jednak proizvodu .brojne vrijednosti (intenziteta) jednog od tih vektora i projekcije drugog vektora njemu.

42

Prema tome skalarni proizvod definise ovako. S k l rn i i 1 i u n u t r s n j i r i z v d d v j U v k t r

j r i z v d s 1 u t.n v r i j d n s t i (i n t n z i t t ) j d n g v k t r i r j k i j d r u g g v k t r n n j m , iIi: skalarni proizvod dvaju vektora je proizvod njihovih

s 1 u t n i h v r i j d s t i (i n t z i t t ) i k s i n u s u g 1 m d u t i m v k t r i m .

Taj proizyod je skalarna ve!icina, .tato v skalarnim. Skl1i proizvod dvajLl vektora zvm o\'ako:

:= eos (. ). Dakle:

vekf1f - tacka ~'ekfor.

( 12,3)

ds proizvod tih dvaju vektora sa obaveznom tackom izmedju jih. Js je da se "j kod obicnog algebarskog proizvoda moze medu opstim

brojev~ma (slovima) lz tacka medu cinioeima, a1i rijetko, jer uvijek zna 8to proizvod oz. Medutim. kod vektora postoje razne. kombinaejje, je neophodllo istaci kojem se proizvodu radi, jer inace lako moie doci do nesporazuma i pogresaka.

Postoje i druge oznake, najcesce proizvod vektora bez. tacke, tj. , ili vektori u maloj zagradi i medu jimzrz, tj. (. ),

d se vektori pisu goticom, n}ihovi intenziteti latinicom, onda 5 11 tome izbjegavaju navedene teskoce, se drugim jstim pojavljuju neprakticno5ti takvog nacina oznacavanja vektora. Jnace, kada radi oznaca vanjima lokalnog krktr, d bolje dosla, reeimo, slova ciri-li, 5to 5 takode .

Shodno obilj'ezavanju koje usvojili moie za skalarni proizvod vektora i govoriti i ovako: (proizvod) tacka jJi ska\arni proizvod od i , (, ).

Vidjeli da je (, ) eos (, ), odmah lzi:

=, (12,4) tj., velicina skalarnog proizvoda dvaju vektora mijenja se promjenom reda faktora, 10 znaCi da za skalarni proizvod dvaju vektora vaii komu-/ativni zakon,

Prema pravi1u projekeijama dobiva kao sklri proizvod jd~ vel,1ora 5 zblrom druRih vektora 51 jedeca relaeija:

(+)=+, (12,5) to zCi da za skalarni proizvod vektora vaii dislributivni zakon. se moze dokazati i geometriski prema sl. 12-3. Projekcija vektora s neka bude Sa, je a(b+c)=as=asa' Peema s1ici je sa=ba+ca iIi s + , cime je takode dokazana tvrdnja (12,5).

Distributivni zakon vazi 7.;} proiz\'oljatJ broj sablraka:. . ( + + d + ... ) . + . + . d + ...

43

(12.61 se moze prosiriti i proizvod vektorskilJ 1im, napr.:

(a+b).(c+d) iJc+ad+bd. 8tO je lako dokazati zmj izraza u jdj zagradi jdim

(12;7 j

vkt i uzstim mrlO zenjem. - '/1

17. (l2,) se vidi da sl2,

gdje smo za i kist (12,8).

(12,9) (12.10)

Asocijativni zakon vaii samo jos i za mnozef1je nekim skalarom: (ka)~b=k(a,b)\=ka.b=(kb).a, (12,11)

jer za vise od dva vektora smisla.

Inace, kada se radi skalarnom proizvodu vi$e vektora, d trel)a vd racuna, redoslijedu. T,ako je proizvod skalaa i vel,tora vektor paralelal1 sa vektorom , Taj se proizvod moze napisati u obIikll

() i1i ().

44

Izmedu zagrade i vekfora mote se sfaviti i tacka kao zn.lk zenja, t8 tacka znaci samo mnozenje vektora skalarom .

Dakle, ()=(). , vektori

(); (); () nikako nisu medusobno jednaki~ nego sasvim caz!iciti (prvi je paralelan sa , drugi S8 , 8 treci S8 ).

Skalarni proizvod nekog vekfora S8 jedinicnim vektorom jednak je projekciji tog vektora osi jedinicnog vektora:

! =- cos 9, (12,12) gdje je = 1 , =

45

Ako se koordinate ovi~ vektora oznace 5 aJ , :!' . i bJ , ., njihov 5kalarni proizvod im8ti obIik:

'= l 1 +0,2 + . Uopste se moze napisati

. ;;: , ; (; 1, 2, 3; ili , , z)

Uslov medusobne normalnostf dvaJu vektora Je

odnosno 0\ 1 +02 2 +0 .==, uopste

/ , =0 = 1,2,3; iJi i=x, , z)

(12,15)

(12,16)

(12,17)

(l2,)

(12,18)

Iz re)acija (12,3) i (12,15) dobiva se ugao izmedu izmedu dvije prave u prostoru i to u sljedecem obIiku:

dva vektora, iIi

.cos (, ) == cos 6 "" _.~ .. --- =

I ,-, ' Primjerf i zadacl

= ._ .. . l!.x_~_+~~\ .. ,!~p', ... _ .. _ "a~+ a~ + a~. V b~ + b;+-b~ (12,19)

1. - Koji usJov moraju ispunjavati vektori i , da bude + normalno - ?

Odg : Traze'ni uslov je := , odnosno ' = 2 2. - Koji 5) moraju ispunjavati vektori i , da bude

()2=() ()=2 2 ? Odg.: Vektor mora para)elan S8 vektorom . 3. - Naci uslov pod kojil1) je rn - normalno . Kada je vektor. - n normalan vektoru , onda je njihov

skalarni proizvod jednak nuli, odn05nO . - n = .

Oddvde se dobiva trazeni uslov u obIiku n '

Izuzetak je slucaj kada je a.L i b.L kada odnos dobiv-a prividllo n

neodreden obIik.

4. ( ) Dokazati da je -'--_. projekcija vektora vektoru 2 ( 11 pravcu vektora ).

46

5. - Dokazati je vektor (. )- (. ) normalan vektoru . 6. - Isto vektor

( ) 2

7. - Dokazati je ( ) ( ) normalnO'''''t1a . Skalarnim mnozenjem ovog izraza vektorom dobiva se ( ) (.)--() (), to' je idti nuli. te je rmlst dokazana.

8. - Dokazati da se ska1arni proizvod dvaju vektora mijenja kada S~ jdm vektoru doda vektor koji je rml drugom:

. = ( + ) : , gdje je . 9. - Izracunati ugao medu vektorima

a;:5i-12j = -4i+3j.

Kako je la/ ; . cos 8 == -- = ---, blce

,,+ 5("-4)+(-12)3 cos G =: = ~-====--~c=:.=--==-, V52 + 12% 42 + 31

56 56 cos G = - -- = - - . ]35 65

10. - Dokazati da su vektori = i + n j i = - n f + j medusobno normalni.

[Primijeniti formulu (12,19) ugao medu vektorima]. 11. - Izracunati stranu trougla kada su date druge dvije strane

i ugao medu njima (kosinusna teorema). Neka su str.ane trougla , , . Odgovarajuci vektori koji sa~injavaju

taj trougao mOI'aju isu uslov. + + = . (1) je

= - (+ ),

l! : 2 = ( + ',

c2 =aZ+ bl!+2 = al+b~+2 5 U trouglu 51.12-4 je'

47

to je zt ksius teorema. Relacije (2) i (2) pretstavljaju p~osi itgriu teoremu.

SI,12-4

12. - Dokazati d8 je zbir kvadraLII, dijgl paralelograma jdk dvostrukom zbiru kvadrata jgvih strs.

13. - Dokazati da je railika kvadrata dijgl paralelograma fetiri puta od proizvoda jd strane' i projekcije druge -str jj.

13. - TRANSfORMACIJA VRSI KOC)RDINA1:A (PIlOJBKCIJA)

Vektor ~ prema potrebi rikziV8ti pomocu svojih kompo-t u raznim krditim sistemima. Otuda jgv koordinate i komponellte razlicite u dva railitit& koordinatna sistema. Komponente i koordinate vektor& u dva sistema sa par81elnim osama (koji se mogu poklopiti tanslacijom) respektivno su medusobno jednake. , kada radi dva sistema, od kojih je jedan postao rotacijom drugog sistem&, onda su ko-ordinate jednog te ,' istog vektora' u ta dva 5istema uopste razlitite.

Uzmimo vektor (sl. 13-1) i dv& krdit sistema

i ''. Rezul-tati koje dobiti u ravni lako se uop-ste i za prostor doda-vanjem odgovarajucih izra.za z& trecu di

mzij.

,,' O~'~'

SI. 13-1 Koordinate vek-tor& u 5istemu ("st8rom") oznacicemo 58 . i , u sistemu '' ( .. -) sa i ," Naravno, uop~te uzevsi #= , i , 1: VrJo ~ je znati pojedine koordinate (projekcije) u funkciji koordinata (projekcija) u drugom koordi-natnom 5i5temu. '

Oznatimo 5& / uglove ' - ose, 5& 13/ uglove ' - ose i 5 r / uglove ' z' - ose re5pektivno sa -, _. i z-osom. Indeks i = 1 uzecemo kao oznaku ugla x-osom, 1-25& y-osom, ;=3 5 Z-050m.

48

Saobrazno tome sHci su oznaceni odgovarajuci uglovi. Iz slike sc j vidi d je

Onda se koordi:lata (projekcija) a:t izra~ava u funkciji koordinata u .m" sistemu sljedecim relacijama

" = ' cos , +' cos 131' 03,l) isto tako koordinata (projekcija)

= si 1 + . cos 01 = , cos : + cos ~I' (13,lb) Na sliCan natin doblvaju .nove- koordinate (projekcije) u funkciji

od "starih", odnosno , = :( cos 1 + cos . , = cos ~. + cos ~2 '

Ovi rezultati posiruju i za slucaj prostornih sistema, je = cos . + ' COS PI + oz , COS ! = ' cos :! + , cos 13: + z ' cos 2

.:::;: ",' ;::os 1 + , cos {:!8 + Gz ' COS . obrnuto

, = " COS 1 + cos . + 1 cos 8

z' = cos I + cos 2 + < OS )' s

(13,2)

(13,3)

(13,4)

'Dakle, koordinate (odnosno projekcije) vektora u jd1 sistemu izratavaju kao neane tunkciie koordinata (projekcija) toga vektora u drugom kditl'1 sistemu.

Odgovarajuei konstantni koeficijenti su kosinu~i uglova medu s tih sistema.

Oznacimo te koeficijente sljedeci nacin: cosa1 = cos 2 ;: C11 cos = 18 cos ~. ""'21 2 =22 cos {:!. =l8 (13,5)

! I =1 COS = . Ss= '

Onda transformacione formule glase (uzmimo najprije koordinate u novom sist~mu):

(13,6)

i obrnut6: a lll == ClI %'+ CII . + 'I Oz'

)' = Cf2 , + 2 , + ! az , == C1a > + Cl8 . + az

49

(13,7)

formule pokazuju d projekcije krdit (odnosno projek-cija) vektora dobivaju 'kao zbirovi projekcija koordinata u jednom sistemu

odgovarajucoj osi u Jrug si5temu, odnosno kao zbirovi projekcija od projekcija. Otuda l je ' i ;Jamtiti, bez obzira na~in obilje!avanja cdgovarajuCih uglova, koji o;';' .stlm vrlo razlitit.

Sada t:i dr$ medu koordinatnim ortovima Z dvaju sistema, temo zatim transformacione formule dobiti vektorskim putem.

Pritom ujedno treti-rati i rotacije koordinat-nog sistema.

Neka je dat pravoug1i ko-ordinatni sistem xyz'sa ortovima i, j, k, koji rotacijom prede u drugi sistem x'y'z' sa ortovima J', J', k' tako da uglovi izme-du ' i koordinatnih

, , Oz redom al. a\I' ". izmedu ose ' i osa prvoblt- nog sistema ~I, ~II' ~II' ose Oz': . YI' . (SI. 13-2). Onda se doblvaju sljedece rela- 81. 13-2 ij'du kosinusima ovih devet uglova. iz skalarnog proizvoda koordinatnih ortova

f J' = cos ,1 , j. {' == cos 41' k . {' = cos ,. f'j'=cos~J, j.f'-s~J' k.j'=cos~. ik'-S" jk'=cosy k.k'=-s'

(13,8)

Ortovi jednog sistema lako izra!avaju komponenata du! osa drugog sistema.

ili

Naime, ima se )1 == f COS ,1 + j COS 2 + k cos . j' == 1 cos ~I + J cos ~a + k cos ~. k'oc: f COS I + jcos . +k cosYa,

i:::;i'cosal +J'cosP, +k'cosYI

j = l' cos , + J' ~2+k' cos . k - {' cos ( + J' cos f!, + k' cos . . . IVIQovlc' V,ktrkl anlllzl

(13,9)

(13,10)

50

ReJacije (13,8), (13,9) 'i (13,10) mogu s,e odmall dobitt i jz tabJlce:

j' I COS ~I . COS ~~ : cos ~s k' i cosy, : COSY2 ~ cosYs

koja ih i/ustruje tako jasno, da postupak treba ro objasnj~vilti. Saobraz~o usvojenim Zllk se tabJica moze ikti i 11

sljedecem obIiku: J k

i' I1 12 1 J' 21 :!'.! 2 ~.~---_._-- --

k' CS1 CS2

Za ovih devt"t kosinusa postoji 12 jdi. One se doblvaju prems relacijama (13,Q) i (13,lO) sljedecj i.

Kvadrati apsolutnih vrijednosti ortova , 1', k' doblvaju se iz (1;;,9) u obIiku jednaCina:

cos2 , + cos! Cl.2 r cos~ (( = 1

082 I + cos2 132 +COSIl ! = 1 COS2 YI +C08 2 y::+cos2 y;s= 1,

dus1 l1ormalnosl ortova daje relacije: cos l cos ~I + cos .: cos ~2 + COS cos 13 , (1' J.. j') cos j3 t 5 1 + COS ~2 cos ~ + cos i3 cos ~ = . (j' J.. k') cos I cos 1 + cos 2 cos Cl.2 + COS cos . . (k' J.. i')

(13,11)

(13,12)

[5to tako se j za ortove 1, j, k dobiva est jdni u obIiku: cos: 1 -t cos2 131 + cos2 1 = 1 cos:i + 051 13. + cos 2 1 = 1 cos2 CI.. + 052 133 + COS~ . = ] ,

COS Cl.1 COS Cl., + 05 131 05 ~2 + 5 1 COS l' == , (1 J.. J) COS CI. , COS . + COS ~II C05~. +05 , COS = , (JJ.. k) COS CI.& COS . ~ COS ~. COS 131 + cos l C()S l' = , (k J.. i)

(13,13)

(13.14)

51

Jd~i (13,11) i (13,12), ds (13,13) i (13,14) medusobno su nezavisne. Medu prvih sest i drugih s-est jedna~ina postoji ni jd jednatina kao posljedica kojih drugih il iste grupe.

Medutim, lako je vidjeti da su jdi (13,13) i (!3,14) sljdi jd6 (13,11) i (13,12), te od 12 jdr1i medn devet ksius z

vis su svega sest jednacina u grupama (13,11) i (13,12). Za odredivanje medusobnog polo2aja sistema dovoljno je znati

tri ugla, to znaci da treba imati s'est nezaviS'1ih jdi medu devei ksius.

Iz navedenog vektorskog prikazivanja 18ko je izvesti transformacio!1e formule ~a projekcije vektora, odnosno z koordinate vkt u dva koordinatda 5i5tema.

Neka je = ; f + j + , k,gdje 5 , , , projekcije vektora osama sistema xyz ortova i, j, k. Treba naci projekcije togvektora

osama sistema ', ', z' ortova {', j'. k'. Smatra 5 da 5 ugJovi poznat:. Projekcije vektora l1 osama starog sistema mozemo pisati:

Onda je 0,,= a-f,' = j, ,,= k.

( i) f + ( - j) j + ( k) k. u 11m sistemu, koji je postao rotacijom,

= ! " + , . j' + az, . k', m prethodnom je .. ' == ' {', , == . j'. az ,:=. . k',

'=( f +ayj+ al k)' 1':::: ' -l' + j. {' + ' k {', , = { 1 +ayj+az k)' j'= O"f j'+Oy j. j'+oz k, j', Oz- = (,,' + Oyj + a .. k) k' = k' + j . k' + , k k'.

Na osnovu (13,8) dobivaju se projekcijc (koordinate) u jednom sistemu u funkciji projekcija toga vektora u drugo'm sistemu u obIiku relacija (13,3) i (13,4).

Transformacione formule za radijus vektor dobivaju se jz prethodnih formula zamjenom njegovim projekcijama. Poznato je da 'je radijus-vek-tor r = i + j + z k u st r = ' {' + ' j' + z' k' u novom koordinatnom sistemu. Onda je:

' = cos l + cos . + z cos , ' = cos ~1 + ~2 t Z COS / , z' = cos 1 + cos t + Z ,

= :(' ("(1 + ' COS ~1 + Z' I , :::: ' cos , + ' ~2 + Z' COS l' Z = ' + ' ~. + r .

(13,]6)

(13,17)

5~

Poznato je iz ana!iticke geometrije da su (13,16) i (13,17) transfor-rnaciOl1e formule pri rotaciji koordinatnog sisterna.

m usvojenirn oznakama za koeficijente te transformacione furmule krdil1t mogu se napisati u obliku:

odt1osno obruto:

'=JI x+ct2 Y+CJ1 Z ' == 21 +22 +11 Z

;:,'='1 x+cs:tY+c1az,

== .' +21 ' +'1 z' = 12 .' + 22 ' + z' z 1 ' + 23 ' + z'.

(13,18)

(13,19)

Transformacione formule mogu se d minanata.

m teorije deter

14. - EULER-OVI UGLOVI Osim nacina da se medu devet kosinusa bro} nezavisnib jednacina

svede svega sesl postoji i nacin da se uvedu svega tri parametra i da se u funkciji tih parametara potpuno odH:de te medusobne veze; su tri ugla, koje je Euler, te se i zovu njegovom imenu.

SPI1\/ tzo Y

PRECESIJA

/"- ........ , I \

. , , __ 1---/ : I ..... I

I t..- .... - -,

I I I I I f

SI.14-1

kako se ti uglovi mogu CJdrediti.

Posmatrajmo krtj cigre (zvrka) (sl. 14-1). Tu ustvari postoje tri rotacije i to: padanje Cigre pod uticajem tti - nutacija, rotacija oko sstv ose - spin i rotacija oko ose " - pecesija.

r !

53 iI Itrsnt je napomenuti da su uglovi tib triju rotacija Euler-

0111 "11011/. Ugao utaije pokazuje skretanje ose ~igre " od vertikalnog (trlg) polofaja. ~ se z~v ~a d.

Ugao precesije pokazuje polofaj ~igre pri rotaciji horizontalnom krugu, tj. pri rotaciji oko ose z.. Taj ugao precesije ~ se racuna od prvobltne ose . zm ga sa ,.

spina prikazuje rotaciju oko tjelesne (sopstvene) ose u nagnu-tom polofaju. z~im g8 sa ".

Euler-ove uglove rikzm sada pomocu dva pravougla koordi-t sistema koji mogu preci jd u drugi odgovarajucim rotacijama koje idti~ S8 vdim za ~igru (zvrl

54

Onda u siste.mu ~I)f z' odgovarajuci ortovi , i k'. Prt'ostaje jos treca rotacija koja odgovara 8pinu cigre. /! se vlja obrtanjem dobivenog sistema ~!)' z' oko ose' OZ' Z8 ugao spina t

51. 14-3

z ~)" I

I

51. 14-:-4

u pozitivnom smjeru (81. 14-4). Tako doblva 8istem Ox'y'z', gdje je ' posta1a obrtanjem ~ za ugao '0/ u nagnuto j ravni, 083 ' obrtanjem r{ za isti ugao '0/.

55

OznaEimo odgovarajuce ortove tih OSa 110vog sistema Ox'y'z' respek. tiv!lo sa 1', )'. k'. Kada se urorede sistemi Oxyz i Ox'y'z' lako je zaklju. citi da navedene transformacije vale za opsti luj rotacije koordinatnog sistema, bez ikakve s Cigrom. Nagnuta v nije nista drugo g

[ '', nodalna linijil nista drugo nego presjek ravni starog i ravni '' novog koordil1atnog sis~ema (~I. 14-5). PritonJ Euler-o\'j uglovi lk uoc8vaju, odreduju i koriste kada tle prethodno ima , vidu jedna; od njihovih fizi cklh interpretacija. Dakle, uglovi &, q> i t nazil'oju ' se Eu/er-ovi uglovi.

Kako je svaki ort jectnak zbiru svojih kom-

l1t osama od-govarajuceg prethodnog sistema, to je za del1e rotacije lako napi tlti odgovarl1 jUCE" tran-sformacione formule. je ustvari neposr'edna primjena formula (13,9) i 113,10) za pojedine ortove.

Rotacija za ug oko z-ose (precesija) do-vodi do sistema koordi-

tl1ih ortova (koordinat-

.

z I '

---

51. 14-5

baze) , d, k, koji mogu izraziti u funkciji ortova " j, k sljedecim relncijama:

= I q> + ) cos ( ~- - ) d i (; +' )+)> k=k

ili = i cos '4'+) tn q>

d = -' sin +) cos (14,1)

k=k. Rotdcija oko cvorne linije Zd ugao (utij) dovodi do koordi-

natne baze , , k'. je

novi

=

= d cos !- k si n k'= -dsi6+ks&.

( 14.2)

I najzad. rotacija oko Oz' dovodi do kdit baze 1'. )', k'. se ortovi izrazavaju u funkciji dhdih ortova . . k' prema relacijama:

i' = cusir + sin ir j'= -csint+ecosir (14,3) k'=k'.

56

Treba naci transformac.ione formule izmedC 1, j, k i 1', j', k'. se dobivaju eliminissnjem ortova , d. , je delinitivno:

1':::::; i ( ' t - sin fP fI si t) + j (sin ' coz t+ + cos9 sin 'f)+k sin sin ,

j' == f ( cos sin t - sin ' cos '') + j ( - sin l' sin t+ + cos fI t) + k sin ,

k' .. 1 sin sin + j ( - cos l' sin 8) + k G.

AkQ je = , dobiva '; == i (1'+\}!) + j sin (1'+ ' j'== -) sin (l'+)+js (ep+t) k'=k,

sto se vidi prema slici 14 4.

15. - INVARIJANTNOST SKALARNO() PROIZVODA

(14.4)

(14,5)

Skalarni proizvod dvaju vekfora je i v r i j n t , tj. , zavisi od krditg sistema, sto se vidi i prema njegov9j dtii~iji, gdje ij uopste uzimao u obzir nikakav koordinalni sistem. dokazati i koordinatnih sistema sljedeci nacU1.

Neka su dva vektora i izrazena krditm u dva koordinatl1& sistema, koji se transformacijom mogu prevesti jedan u drugi:

== " i +(1" j+a .. k == , " + , j' + az,k' (1 . 1) = j + ) + : k == , J' + j' + bz , k'.

SkaJarni proizvod ovih vektora je: ::= ,,+ + .. = ., + , , + az , bZI. (15,2)

Relacija (15,2) pretstavlja jsti izraz u dva kidit sist, ci je d'Jkazana invarijantnost skalarnog proizvoda dvaju vektora.

Medutim, to j~ dokazano sm rm istom obliku, koji prema definiciji samog sklg proizvoda, docim pomocu transfor macionih formula moze dokazati da je relacija (15,2) zaista t. Naime, dokazacemo se izraz , bXI+ , ,+ az , bz , moze transformirati u izraz a.bx+a.,by+azb .. Relacija (15.2)

57

Najprije trsfrmirti izraz ., ' formulama (13,4). Onda je

,,= ( cos", + cos "t+a. cos ) ( COS"I + + COS "2 + cos ".) =

= cosl "1 + cos 1 cos + 7 cos l cos + + cos . cos ! + cos2 ! + : COS"2 cosa. + , cos"! cos + +. COS"2 cos "+: 1 COS(f,. Isto tako je

. , == ( cos ~I + cos ~2 + cos ~a) ( COS ~I + + cos ~~+ , cos ~8) =

:: ' 52 ~I + cos ~1 COS ~2 ~ , cos ~I 05 ~a + + >, COS ~I cos (% + cos2 ~2 _. . cos ~1I cos ~, + , cos ~\ COS ~ +

~

+ IJ, cos (5! + . : $2 ;3 . sfmi formlJle /3 (/," h z ! trel):} pisati. jer $ iste () 5tO smo sd dobill, s tom r711,,011l sto tamo figurira ug ,

Sablranjem se nalazi:

, . (cos2 (11 + 05 2 ~I +cos~ 1'\) + +} ($ 01 cosas+cos ~I COS ~2+CO!; \ $ ) + +, (05 \ cos . + COS ~I cos ~ + cos I COS ) + + ' IJ y (CO~"I COS : + COS ~I COS ~2 + :; \ COS J-+

( .;l 2 ~ 2) + cos (t~ + COS 1-'2 + COS ~ + + " (cos ({2 $ + 05 ~2 COS ~. + cos : cos 8) +

l' j +. , (05 (11 COS +05 ~1 COS ~.+cos ! cos '\'".) + t +~(SiSt{s S~2S+052S ) +

+, , (cos~as+cos2j3s+cosz y~).

imj ll (13,13) i (13,14) dobiva se d 5U I

58

uopstena skracena prikazivanja. Tako se, naprimjer, transformaciona formula (13,6) m1 napisati u obIiku

3 , = ~ C1k ",

=:01 3 , = ~ C2kak

k=1 (k= 1,2, 3 za indeks uz ;

il i

Gk' == ~ k ,t '=1

(k= , , z). Odmah se vidi da je'

~ C'k=O, kf.i

~Cil= 1,

k == , , z za indeks uz )

(15,3)

(15,4)

(15,5) se prema tome odmah dokazuje invarijantnost

Git = , , bez dugih pisanja i izratunavanja.

(15,6)

16. - VEKTORSKI (LI SPOLJASNJI PROIZVOD DVAJU VEKTORA Vektoriski proizvod dVju vektora i je vektor , kojega je intenzitet

jednak poJlrsini paralelograma, su strane dati vektori~ i koji je normalan toj povrsini, takvog smjera da za posmatraca. koji stoji uz vektor rotacija najkracim putem od do bude pozitivna (suprotno smjeru kretanja

......

=

81.16-1

kazaljke sotu gledane odozgo). Vektori ',, i vektvr ' tim redom tine desni k~ordinatni sistem. Vektor5kiproizvod se ziva i 5 1 j s n j i. znak vktskg mno:lenja usvajamo . P05toje i dru-g~ ozlt8ke kao n~primjer {, ], .

Ako je ugao medu vektorima i ort vektora ,' (51. 16-1):

===.. (16,1) Apsolutna vrijednost

vektor5kog proizvoda je prema tome: == I I = la bl = sin . (16.2)

59

Navedena definicrja pok8zuje d se promjenom red05lijeda Istill vektora (. u vektorskom proizvodu dobiva kao vektorski proizvo(j

vektor , t,.j. isti vektor sa obrnutim smjerom, odnosno su!i vektor. Dakle, promjellom reda fkt vektorski' proizv0d mijj znak. 11 vt:li!!1 ostaje ista:

. ( 16,3) () :ti da za \Iektorski proizvod vaii komufafivni zakof/, nego mjcsto jg ~'a':j /tkmuttji iIi alternativni zakon.

Nijrn .da vektor "" . mora iti ! tacku u pocetku vektora i , I1cgo gdje norrnalno nji-

h) ravni, kao Ilaprimjet' 118 sl. 16-2. Razmjera. u kojoj se

uzim c!uiina vektora ili - z8visi od dogovora i izbora. direktne veze crtezu da se vtuJ moze odmah odrediti, jer ta duzina pretstavlja ustvari velicinu povrsine. Iz toga se vidi da to pret5tavlja speci jalllu kombinaciju data dva vek-tora, uvijek treba ( u vidu sv svojstva te kombinacije, odnosno vektorskog proizvoda.

~ ..... - ....

Q

- SI. 16-2

smtj lt'lgm strana i dolazi 5 do zakJjucka da je vektorski prolzvod '< isti za sve llgm OSllOVlce i visille 5in (, ), tj. da se paralelogam moze zamijeniti i vugikm usnovice i visine 1 kao slici 16-3. znacida se vekforski proizvod mijenja kada se jednom faktoru doda vekfor // sa drugim faktorom.

ili

/ ('

/ / /"""' /' J

/

-

Tako je prema 5lici 16-3:

/ '/

51. 16-3

/ /

/ /

/

!=1 ., (16,4) su vrhovi vektora ! , , . 118 pr8voj koja je paraleln8 sa vektorom . . Dokazacemo da za vektorski proizvod vazi distributivni zakon:

( + ):: + , ( 16,5) ( + ) = + )< .

60

Uzecemo tri vektora . i (51. 16-4) koji nisu komplanarni. Neka im je zajednatka tatka . Oni tako pretstavljati i strane k~ugJg paraleJepipeda. Neka ] vektor vertikalan. to Ilita mijenja

stvari, nije ; obavezno. Tako smo ga uzeli samo zbog lakeg prika. zivanja i izvodenja. Kroz vrhove vektora i povutemo paralele vektorom do prodora kroz rVl1 koja je lIormalna 11 vektoru . U toi ravni doblvamo v~ktore. i " kojih je vektorski proizvod vektorom respektivno isti kao i vektora i prema (16,3).

iIi

NaimE', . imacemo:

= l . Oznati Ii 5 zbir vektora i sa d, vektore , , sa d,. bite

d a-=d. ,

Vektori ,. , i d , pretstavljaju strane i dijagonalu parale10grama u ravni normalnoj 8 vektoru .

Onda je jasno da te vektori . , , i d l takode u tOJ ravni i to tako da je ( xa)..L (l xa)..L (dl xa)..L d l , odnosno normalni su takode i dgvjuim zadatim vektorima , e.i d u kosoj ravni.

61

D tri vektora sa svoje str:' ocigledno imaju puta . apsolutne vrijednosti od vektora b j 1 i d t , i oni pretstavljaju strane i dijagonale paralelograma, te je

d J =: + 1 , iIi

( + ) '"' < + , je distributivni zakon (16,5) dokazan.

] rezultat moie uopstiti, vaii relaci.ja: ax(b+c+d e+~=:axb+axc+axd-axe+ax~

Promjena oznake vektora mijenja ] zakon, je takode ( + ) " = + .

Vektor moze zbir dva vektora, recimo c+d, je (+ ) (c+d) = (c+d)+b (c+d) =

=: + d + + d.

(16,6)

( 16,7)

Dakle, vektorski proizvod dvaju jednak je zblru vektorskih proizvoda odgovarajuc.ih l (vektora), koji se dobivaju kao i u ] algebri, s tom razlikom da slrogo vodi racuna redos1ijedu vektora. Redoslijed mora kao 5tO je dat u prvobltnoj relaciji. Svaka promjena redoslijeda dva vektora izaziva promjenu znaka respektivnog vektorskog proizvoda.

Pri mnoienju vektorskog proizvoda skalarom vazi asocijativni za-kon, odnosno

( ) = ( ) :; m . ( 16,8) Vektorski proizvod moze jednak li kada je jedan od faktora

jednak li, kada je ugao vektorimafaktorima jednak li, tj. kada vektori paralelni (kolinearni). Prema tome uslov para/elnosti dvaju vektora je

=. (16,9) posljedica toga zakljucka dobiva se da je v k t r s k i r i z v d nekog vektora samim 'Sobom jednak nuli:

>t =. (16,10)

relacije, dakle, pokazuju istovremeno i uslov kolineanosti vektora. ] se uslov ! izvesti i prema (9,1) kada se izvrsi vektorsko !enje vektorom , odnosno

k + = .

Prema (16,1 ) kao us/ov koUnearnostl ! izlazi =,

5to je identicno uslovom (9,1). (16,11)

62

Jos jedno svojstvo vektorskog proizvo~a pokazuje razliku od obitnog algebarskog proizvoda brojeva, to je da postoji dijeljenje kao. obr-l1uta operaciJa vektorskom mnozenju. inati da, kada se zna vektorski proiz.vod i jedan faktor, moze se jednoznacno odrediti drugi faktor.

Osim toga napominjenlO da definicija vektorskog proizvoda zahtijeva jedan pozitivni smjer kada se sluzj desnim koordinatnim sistm, drugi pozitivni smjer (suprotan) kada se sluzi lijevim koordinatllim sistemom. (ako se u drugom slutaju umjesto vektora za vektorski proizvod imati suprotan vektor od vektora-proizvoda u prvom slucaju. ! be:z izuzetka upotrebIjavati desni sistem, do zamjene jednog vektora drugim moie Ili doci, ali 10 treba imati u vidu kad.a se naide defil1isanje pozitivnog smjera kod koji se pridrzavaju lijevog koordinatnog sistema,

...----------!

Moze se uzeti da smjer vek-torskog proizvoda zavisi samo od narotitog pravHa u vezi S8 nj.ego-

definicijom, kdit ose mogu odgovarati iIi dgvti tom pravilu, sto je jedno te isto kao i navedeno razlikovanje vek-torskog proizvoda dva sistema .

Vektorskf profzvod koordfnatnlh ortova

51. 16-5 , Prema definiciji vektorskog proizvoda i prema slici 16-5, gdje

je dat svi triedar (koordinatna baza) sa jedinitnim vektorima 1. j, k, koji su medusobno normaJni, ocigledno izlazi

ix: j =k j k f P6,12~ k 1 =j, zatim prema aJternativnom zakOI1U:

j 1= k kxj=-i (16,13) 1 xk= - j;

Prema tome, vektorski proizvod dva r8zli~ita orta jednog koordinat~ nog 5istema je trecl oct 5 pozitivnim znakom akQ su vktj r~laciji poredani ciklieki, tj. '. j, k; j, k, i i k, " j, gtivim znakom ako redoslijed nije ciklitki.

Koristeci (16,10) lako je zaklju6ti da za ort va!i ista relacijst oOOosno:

i i = j j = k k = . ( 16.14) 8 to zna~i da je vektorski proizvod orta samim , jednak li kao i kod ostalih vektora.

53

Vektorski proizvod dvaju\ vektora u lfkm obIiku U izracunavanjima je vrlo vz pitanje koordinata, ds projek-

cija vektorskog proizvoda. Odredivanje tih projekcija prema podacima za pojedine vektore-faktore vrsi St; jdstv kada se vektora prikazu lki svojih koordinata. Neka su ta dva vektora:

a=o\i+f1}.j-+ azk, b""bxi+byj+bzk. Onda je

)< (a"b,,-azby) i+(a, !Jx- .. )j+( -,) k. (16,15) Oznacimo , vidi se da su projekciJe vektora koordinatnim osama vezane sa projekcijama vektora-faktora sljedecim relacijama:

c~:=axby-aybx. ( 16,6)

5 relacije lakse um p051u-zicemo se semom. koja pretstavlja bazu ciklicne permutacije indeksa (51. 16-6), prema kojoj se lako doznaju kmt kada se ciklicki uzmu preme trazenoj. Vektorski proizvod se moze pretstaviti i determinantom, koja se cesto primjenjuje

f j k

bz ::510 jednostavno uvi

Ovaj izraz je identi~an (16,17). Naravno, i u ovakvom na~inu prikazivanja koordinata vektora mogu umjesto '1' '1' " uzeti za ortove notacije .,. j, k, pak, koje druge. l je da tu radi koor--dinatnim ortovima.

Iz (16,15) i {16, 17 J izlazi da vektorski proizvod dvaju vektora u litickom obIiku izrazava geometriski zbir projekcija paralelograma strana i odgovarajucim koordinatnim ravnima.

Povrsina paralelograma koji sacinjavaju vektori i iznosi: s =::: = I I == I . I == { bz - . )2 + (: " - .)2+ (" - )2. (16,20)

UgJovi sa krdiltim dobivaju iz poznatih relacija: (" " = - :::t == = ---=---

'l laxbl absin(a,b) ~= = ,

' (16,21)

Cz % cos = - = --"--,\

Analiticki na~in prikazivanja vektora omogucuje da neposredno oblcnim izracunavanjem doka2e i distributivni zakon. ' ! izvrsiti zamjenom i primjenom pravila () vektorskom proizvodu ortova.

Uslov paralelnost' vektora i (16,9) mote tako.de prakticno prikazati u analitickom obIiku, u vezi sa (16,16). Taj uslov se dobiva kada u (16,16) stavi da ~u sve komponente toga proizvoda jednake , odnosno:

c,,=C,=cz=O,

odakle je . - = - = - =m,

" bz (16,22)

to znaci da su projekcije dvaju paralelnih vektora koordinatnim osama medusobno proporcionalne. Ovaj analiticki uslov paralelnosti mote dobiti i prema raniie navedenom stavu kolinearnosti dvaju vektora:

=m ( 6). . Op't' lzraz za vektorskl proizvod. Vektorski proizvod se mofe

prikazati i u opstem obIiku pomocu sume proizvoda komponenata. se uopStenje mofe izvrsiti prema relaciji (16,16) za vektorski proizvod,

Prethodl1o pomenutu relaciju napisati u obIiku: = = (, ,-. .) '+(. 1 -! .) J+ (1 ... - a~ bs) k (16,23)

65

Preuredimo je taj oacin da redom napisu vi c18novi 8 01 nozeQim b',l' ., z,tim it tako . i , Onda je

::= 1 1 -+- . 2 1 + I . ( - 11) + + l 1 ( - 1.) + l 2 0+ 02 . 11 + + 8 1 12 +. ",( - 1 1 ,+8 ,' .

Clanove faktorom l uzeli smo zbog simetrije u pisanju, jer onda imamo vrste redom 1 01 bz, , . itd., odnosno prva vrsta sadrzi

.. druga 011 i treta .. ' Prema pravilu vektorskom proizvodu ortova lako je onu prvu nuJu

zamijeniti zbog simetrije S8 I1 1. ( inace mofe i drugi~ ortom fenim vektorski. samim' sobom), drugu nulu S8 1. 12 (jer je , drugoj vrsti) i tretu sa 18 1. (jer je u trecoj vrsti).

Odmah se d81Je uocav8 da je ort uz pojedine proizvode projekcija vektora-faktora bas Jednak vektorskom proizvodu ortova istim indek-sima kao odgovarajute projekcije. Tako .je napr. u prvoj vrsti u drugom

lnt! 1.::= 1. 12' U 1retem tlanu - 12 = 11 1., itd. Na taj nacin se vektorski p~oizvod mofe napisati u obliku:

"" l 1 (11 '.)+1 . (11 12)+0, . (11 '.)+ + 2 1 (1. '.) + 2 1 (12 11) + oz . ('2 1) +

+. 1 . '1)+ 2 (1. '.) +o.l? (1, '.). (16,24) Ovaj izraz je potpuno simetrican svim clanovima. Njegov oblik m jednostavno uopstenje, koje gJasi:

= ~ ~ , l (ij 'k)' (16,25) i k

1 zaista, uzimanjem najprije i::= 1, Z8 tu vrijednost sabrati tri 18 Z8 k::= 1,2, qj zatim i = 2, za njega opet k::= 1,2,3 i najzad. i =3 i za njega ! sva tri l za k=1,2,3, dobice se izraz (16,15). Treba jedanput za svagda u,pamtiti k8ko se sumiranje vrsi, jer se u gel1eralisa- prik8zivanju to objasnjav;a vise, nego se racunanja obavljaju skrateno.

Opravdanost izraza (16,25) pokazaH smo njegovim izvodenjem, 8 njegov obtik pokazuje da je l0 kratak i praktican za pisanje.

Taj vektorski proizvod mofe se napisati j u obliku: axb::=~ ~(olbll-akbi) ('.xi/t)' (10,26)

i

66

Ako su, jm', data dva vektora i (sl. 16-7), mofe se vektor --+

fazloZiti dvije komponente: u n u t r s 11 j U = u pravcu vektora - ..

i spolja'snju 110rmalnu

~B - ..... ~g"---81. 16-7

govarajucih proizvoda, orijentacija rm poznatom pravilu.

vektoru . Prema tome, skalarni proizl1od vektora i jednak je proizvodu itzitt (velicine) vek-tor8 i intenziteta (velicine) trasnje komponente vektora , apsolutna vrijednost (veliCina) vek-lorskog ili spo/jasnjeg proi.zvoda vektora i jednaka je proizvo-du intenzltetll vektora i 'intenzi-teta spoljasnje .komponente vektora

. Ovdje se radi ve1i6ni, tj. apsolutnoj (brojnoj) vrijednosti od-. vektorskog proizvoda doblva se

17. - LAORANOE-OV IDENTITET

Cuveni Lagrange-ov identitet moze se izvesti pomocu vektorskog skalarnog proizvod:l.

Uzmimo kvadrat vektorskog proizvoda vektora i , koji imaju medusobni ugao :

( )2 (obsina:n)2=a2b~sin2a '!2 a2 b2 cos2 a:. -d\' de~je---

(" )2:;(}2()2_()2,

jer je posljednji clan desnoj stralli skalafl1i proizvod vektora i . Uzimajuci vektore u funkciji pr-ojekcija doblva se odmah Lagr'!n~e-ov ide.ntitet:

(, ,)%+(,. o{bz)z+(a;c:by .)2= = ({2+ /+,2) (;:2+ / + b,~) - ( .. + + , bz)2.

ldentitet (17,1) vaii uopste z algebarske brojeve (17,1)

18. - ORIJENTACIJA POVRSINE I PRESTAVLJANJE POVRSINE

U rZl1i ob!astima fizike i matematike obje strane jedne iste povrsine igr~ju istu ulogu. Narotito u teoriskoj fizici uopste, ~ u nauci t'ltktricitetu i magnetizmu, dolaze do izrazaja razli~ite uloge rzi stra- jtdne povrsine. Poznato je da odnos izmedu struje i magnetskog polja jednog provodnika nije isti objema stranama povrsine strujnog koJa. Pojavi18 se Z8 orijentaciju povrsina; to znati da se jedna 6trana povrsioe usvoji kao pozitivna, drug8 kao gtiVl, pri ~emu se vrsi da odredeni smjer cirkulaciJ~ konturi. Kada je povrsinidat

67

sm}er cirkulacije onda je P~z!tlvni smjer normale, odnosno Ilormalni 1 n _ povrsine tJ,v da stu, koji stoji uz n, cirkulacija biV8 u zitivnom smjeru zdesna ulijevo (peavilo desnog zvtllj) (sl. 18--1). Strana povrsine 8 rli n naziva pozitivna stra'1a. Sut stI1

{ orijentisane povrsine r!ziv se negativna strana.

Ako je lll orijel1tisane povrsine data, lako je ! smjer obila-zenja kontLlri.

-5

n

SI. 18-1 51. 18-2

v/r je 4a;.s.e ofijentisana PQvr.~ina p:.etstavlja vektorum, .koji , brojnu vrijednos~ jednaku brojnoj, vrijednost te povrsil1e, smjer toga vektora je smjer puzitivne normale povrSiQi .. Napadna (pocetna) tatka toga vel\tora je m .k oj t k te povrsine. Brojna vriJednost _ te povrsine neka je S (sl. 18-2). Onda je vektor koji pretstavlja tu orijen-tisanu povrsinu:

(18,1 ) gdje je n jedinicni veklor vektora S.

Vektor :; l1aziva povrsil1ski vektor. Postoji i zastarjeli njemacki naziv "dopUl1ski" vektor date povrsine. Naziva se i .geometriski mome!}t" konture.

Tako je i vektorski pruizvod =: povrsinski vektor parale!o-grama strana i .

r.m definiciji povrsinskog vektora izlazi. da zavisi od ik povrsine, nego samo od velicine i ofijentacije povrsine. Tako . isti povrsinski vektor mogao tstvljti i krug i paralelogram i makoju povr sinu i~te velicine i orijentacije.

Kada se usvoji desni koordinatni sistem oqda je zitiv st povr~ine orijentisana i tako (! osobl koja isla konturi u ravni u smjeru orijentacije strana povrsine u ravni ostaje stalno lije\"oj strani (. 51. 18-2). se radi zatvorenoj rvj orijentisanoj povrsini. '

68

Kada se usvojio Iijevi koordinatni sistern onda pozitivna strana po\'r~ine bila strana koja je negativna kada se posmatra u desnorn koordinatnorn sisternu.

Prerna tome smjer povr~inskog vektora je konvencionalan se zamjenom desnog koordinatnog sistema 1ijevim.

mijenja

Kada se radi orijentaciji povrsina nekog tijela, onda treba imati u vidu da je uopste usvojeno da su povrsinski vektori orijentisani u smjeru izvan tijela. Tako su spoljasnje strane ravnih povrsina poliedara (tijela) pozitivne. Naprimjer trostrana piramida kod koje iz jednog rog1ja ()

-51 SI. 18-3

poticu tri vektora , i (sl. 18-3), kao ivice piramide, ima kao ostale ivice vektore koji su jednaki vektorskim razli-kama odgovarajucih vektora.

Bazis piramide oznacimo sa . OnQa su njegove strane - , -, -. 1 je d4 je pritom vektorski zbir strana trugl jednak nuli. U protivnom trougao (poligon vektora)

zatvoren. Dvostruka povr~ina PJ pret-

stavljena je vektor9m 2 S. = , povr-si vektorom 2 S. = ~ , povrsina

vektorom 2 S4 = . Cetvrti vektor koji odgovara. bazisu orijentisan je takode u smjeru od tijela . .(od piramide)

spo1jasnjoj strani, odnosno okolini. Ozq,acimo ga sa SI' PreIna konvenciji za povrsinski vektor sine tijelu uzmimo pozitivnu orijentaciju od tije1a. je 2 SI = ( - )

( - ) ili 2 SI = ( - ) ( - ). Smjer odgovarajucih vektora strana bazisa uzet je u sag1asnosti sa smjerom povrsinskog vektora SI'

Dokazacemo sljedecu vatnu teoremu: (povrsinski) vektor zatvorene povrsine jednak ie nu/i.

Projektovacemo posmatrani tetra- edar u (sl. 18-4). mote biti, recimo. , . Kontura projekcije je trougao (zis). SIika pokazuje da su povrsine . i prikazane vektorima 8 orijentisanim ka od crteta. sina vektorom orijentisanim suprotnu stranu. Ako su vektori tih pro-jekcija dut z-ose onda su tri vek- tora orijentisana u jednom (recimo pozi- SI. 18-4

) smjeru, ~etvrti u suprotnom negativnom) smjeru. Kako medu tim povr~i!1ama postoji relacija

=++,

69

onda te i medu IIjihovim vektorima postojati ista relacija, jer velitine odgovarajucih povrsinskih vektora tacno jednalte povrstnama koje ti vektori pretstavljaju, smjer vektora desnoj strani suprotan je od smjera vek-tora lijevoj strani jednacine