VEKTORSKA ANALIZA

Yektori mogu m svojoj veli6ni i orijentaciji 8nalogno skalarima takode jgrati ulogu nezavisno i zavisno promje'nljivih. Tako mogu posto-jati sljede~e fukij i argumenti:

). Skalarna fukij koja z8visi od skalarnog gumt; 2. Vektorska fukij koja zavisi od sklg argumenta; 3. Skalarna funkcija od vektorskog rgumt i 4. Vekivrska funkcija od vektorskog argumenta.

Matemati~ka liz skalarnih fuokcija od skalarnih gut poslu-tice u an81izi ostalih Ilvdih stufajeva.

DRUOA OLAVA

TEORIJA VEKTORA KOJI ZA VISE SKALARNOO AROUMENTA

28. - PROMJENLJIVI VEKTORI FUNKCIJE SKALARNOO AROUMENTA

Do sada sm) proucavali v~ktore kao konstantne vebline. Medutim, naroCito l' fizici u ogromnoj veCini slu~ajeva proufavaju se takve pojave i ve1icine, koje se pretstavljaju pomjen/jivim vektoima, pri ~emu vek-tori u svojoj promjeoi zavise od sklrih velicina kao od parametara,

gul1t iIi nezavisno promjenljivih. 1 geometrija daje vrlo mnogo prlmjera takve zavisnosti, u fizici se pocevsi od kitik odmah 08i-

Izi ~injenicu da mnogi vektori zavise od skalarnih parametara, od kojih j~ najvainiji vrijeme, jer se " desava u vremenu i prostorll. Za sada posmatrati vektore, koji mijenjaju u funkciji od jednog sklrng argumenta i to od vremena t. Inace s mjesto t mote uzeti kao nezavisno

vmjljiv uopste ma koji skalar. moie izraziti ovako:

='0), (23,1)

104

gdje je f vektorski, si

105

Ako je vektor-funkcija kontinualna za s v k u vrijednost argu-ffiE.'nta t u nekom intt'fvalu od t, do t:!. onda se takva vektor-funkcija

ziv kontinualna funkcija u datom intervalu 1> 12)' Ako S\J projekcije . (1). (t), Oz (/) kontinualne skaIarne funkcije,

onda je lJaravno i vektor-fullkcija (t) kti!l. Jasno je da se sva pravila, deiinicije i teof(:'It>, koje vaze u skalar-

nom infinitezimalnom' racunu za beskonacno male velicine i iimese, logno imjjuju i promjenljive vtktore, ih ovdje necemo izlagati.

Tako napr. vektor je beskUlJacno li ako je njegova apsolutna vrijE.'dnost ! I beskonacno mala, odnosno njE.'gove projekcije m usvojenog koord.inatnog sistema su beskonafno l veliCine, gdje je USV8-j:j sistm proizvoljl1o.

Takode je i geometriski zbir kfg broj8 beskonacno malih vekiora beskonacno mala veliCina; geometriska razlika dvaju beskonacno malih vek-iora je beskonacno li ktor. Proizvod beskonacno male skalarne velicine i kOn8cnog vektora je beskonacno mala veJiCina. Proizvod kona-

ll skalarne \'t:'licine i beskonaclJQ malog vektora je beskonacno ml vt'li-6118. Proizvod, bilo skalarni ili vektorski, kojeg konacnog vektora sa

l18 malirn vektorom takode je beskonacno mala vE.'licina itd.

25. -- HODOGRAF VEKTORA (1)

Promjenljli1e vektore takode 10 smatratl kao s 1 d n vek-tiHe, 10 lr1i da , je potrebno, mogu svesli i IH! zajedl1icki t,lk, (ja se mogu slobodno pomjerati ij lvdenim ilim. Mogu se, dakle. uzeti za razl1e vrijed-110sli t pomoclli vektori jed-

na~.ivektoru , z8jedl1i-ckim pocetkom. G m t r i-

mjesto vrho~a tih pomocnih vektora j u s t n k r 0-5 t r n k r i v , k j S !Iaziva hodograf datog vek-t r . Pri _ f1omocni vektor opisuje neku konusnu povrsinu kao slici 25-1. Na-ravno, da vektor ; ho-dograf. mora ispunjavati uslove navedeone u 24.

..

..

I I

I I I I I

51. 25-1

Hodograf vektora , veliku p.rlmJenu, kao !1. u mhii hodo- graf brzina. ubrzanja itd., gdje je uslvari i pOl1ikao.

Zadaci 1. T8cka se krece krugu kOl1stantnom zm . Kakav je

tlOdograf brzina tacke?

106

Za _odredivanje hodografa mozemo uzeti proizvoljnol11 mjestu neku tacku . IZ koje vektore v u fzm momentima. hodo-graf dobije kruzna linija poluprecnika v.

2. - trijl tatka krece ravnomjerno 1 pravoliniski. l,v je hodograf brzina?

Odg. Tacka kraju pomotnog vektora, koje doblva trslijm vektora .

26. - IZVGD VEKTORA SKALARNOM AROUMENTU

Na s\'u iz1ozenog- i defil1icije skalarnog izvoda, izvod vektora gUl11t~.1. t uz uslov kontinualnosti i limesa je

,1. at

. ... a(t+bl)-a(t) 11 --- = 11 --------- ... ..t ,it-> ..t

(26,1)

1zvod se i1i sa ' (t), ili u obliku difrijlg I~oli~nika Posto u fizici uzima za zvis rmjljivu najvise uglavnom

veijeme, uS\lojeno je zvj izvoda vrmu pomocu tatke nad vektorom, je

. .. da 11 --=-=&(t)=&. ,iHO dt

(26,2)

L'

Takc:..de je usvojeno d tako

107

kako je da I ( ) == t, dt

8 relacija sama sebi odreduje svojstva diferencijala, koja se lako uvidaju prema malocas iznesenim svojstvima prvog izvoda,

Ako vektor prika~e kmt, onda prvi izvod vektora a(t} ,,(t)f+(t)j+z(t)k skalaru t ima obIik

da i~ = m .1a(t) = li (t + ) ~ '!~_S i ~ dt -. Ilt b,t+O .11

+ lim Oy(I+At)~ay(l) J+ Ii a,(t+t.!.)_~~Lk -~O !:t.1 b,t--.o !:J.t

dax f day da~ I , , = - -+-- - J + --=- k = (t) i + (1) j -+- Oz (1) k,

dt dt dt

Dutina vektora prvog izvoda iznosi

i d I = V[a~ ) J2 + [; ) +' (a~ (1)];,-i dt I

(26,4)

(26,5)

Ako , radijus-vektor r neke tacke, koja se krece, onda Ar b't' kt d' . 't 1 dr dx f I J or sre nJe rZl I ('rva vm !:t.1, r = - = - + At ' ~ &

+ dy J+ dZk=x'+yj+zk=x'(/),+y'(t)J+z'(t)k vektor zi u dt dt mmtu .1, Prema torne brzina tacke koja se krece je izvod radijus-vektora te tacke uzet vremenu:

v=r. (26,6) ...

Prvi izvod vektora takode je funkci ja skalarnog argumenta ' (1) = ' (1), se isti ~i moie defilJlsati i jzvod toga izvoda - drugi izvod ~ itd. - uopste n-ti izvod. Postupak je poznat iz li, ga dtl ovdje iznositi.

Ako se ' radijus-vektor r, onda je drugi izvod radijus-vektora ubrzanje ta~ke:

u v=r.

Mi ovdje proucavati samo ktiul, kako vektorske tako i skalarne funkcije koj~ se mogu diti.

108

27. - PRA VILA OIFERENCIRANJA VEKTORA KOJI I VISE 00 SKALARNOO AROUMENTA

Osnovna pr&vil& diferenciranj& skalar& vaie i za vektore.

) Izvod zbIra Neka je data relacjj~ = u + , gdje su u i v promjenljivi vektor'i

koji zavise od t (argument t iz r8zloga prakticnosti izostavljamo). Onda je

a+Aa=u+Au+v+~v,

. " l' Au l' = 1 = 1 -_. + 1 . ,. 4/-+0 At' 41-+0 ! 41-+0 !

. . ,

= u+v.

du dv -+ dt dt '

Dakle, i' z v d z i r j d n k j z i r u i z v d .

(27,1)

Vektori u i v uzeti su kao opti vektori, kao vektori brzine i ubrzanja, koji su ozna~eni' u proslom p&ragrafu istim slovima u i , to treba imati u "idu i u toku daljeg izlaganja.

) Jzvod proizvoda skalara i vekJ,ora

Neka je = u, gdje je neka skalarna funkcija od t. Onda te blti li = li (p+dp) (u+Aul.=_pu.

41-+0 ! 4t -+0

da " l' Au l' " = - =u Im-+p 1 --, + 1 .... u I-dt 41-+0 ' 4t-+O 4/-+0 400 At

dp du a=u - +- =up+pu.

d/ dt (27,2)

Izvod proizvoda skalara i vektora jednak j~ zbiru proizvoda vektora i izvoda skalara i proizvoda s k 1 r i i z v d k t r 8.

Ako je = const, bite dJl = ,

dt (27,3)

to znaei da se konstantni faktor mote iznijeti pred z n k d i t r n i r n j . Isto dobiva i kao izvod zbira, gdje se sabirak u uzme puta.

109

) Izvod proizvoda dvaju vektora Neka je dat skalarni proizvod = U , gdje su U i v vektorske funk-

cije od t. Za diferenciranje ovdje vali pravilo kao u 27, 8 je

du dv . --V+U--- =UV+UV. dt dt

(27,4)

(sto pravilo vali Ol1da je

Zll vektorski proizvod. Neka je dato = U . . du dv = xv-t-ux

dt dt (27,5)

d d i f r n i r n j v k t r s k g, r i z v o.d r d f 11 k t r u s i r i m 8 n m l s m i j n j t i, Za izvod skalarnog proizvoda dokaz je isti kao u 2i,b, zbog n

110

d) Izvod profzvoda trlju vektora 1. /zvod mjesovitog proizvoda. L8ko je vidjeti bez ikakvog posebnog dokazivanja da je izvod mje-

sovitog (vektorskQ-sklg) proizvoda jednak zbiru odgovarajuCih pro-izvod8, koji sadrze redom izvude pojedinih vktor! pri mora vod,ti ru redosJijedu u vektorskom prorzvodu, naime:

!a.(bxcJ] da,(bXC)+a.(d_~) +. (dC). (21,6) (!t dt dt dt

2. /zvod vektorsko-veklorskog proizl'orJa.

Diferenciranje vlj prema Zl1tim pravilima z difrirj. proizvoda obicl1ih funkcija. pritom treba strogo voditi racuna da pore-dak cinilaca ostane isti kao sto je dat, odnosno da se diferenciranje vrsi

mjestu f;dje se cinilac nalazi. Tako je

q [()]= da ()+ (db) + (dC). (27,1) dl df" dt dt

) Jzvod jedlnffnog vektora Prema definiciji jdiig vekt~ra zna da ima if!tel1zitet koji

'je ravall jedinici. Uslov je da odriava svoju konstantnu jedinicnu duiinu. prav8c. naravno, mijenja. Kako je kvadrat vektora jednak kvadratu nje-gove apsolutne velicine, ako taj jedinicni vektor oznacimo 8 ,

Diferellciranjem jednacine i dijeljenjem 2, dobiva se au ' .

(27,8)

(27,9) Skal8rni proizvod vektora 80 i jednak je nuli, prema tome

ta dva vektora medusobno norll18ltli. Otuda pravilo: izvod jedinicnog vektora normalan je 10 vektoru. Diferencijaljel1]e vrsi 118 poznati nacill, pa.je

aoda.=O. (27,10) Prema tome je j di{erencijal j(/iig vektora lIrml lI 10 vektoru.

moze dobiti i l1eposredno iz (27,9) ml1ozel1jem S8 d/. Ovim relacijama odgovara i jasl18 gtrisk pretstava, to je da

jedinicni vektor koji mijel1ja prav8c opisuje svojim vrhom liniju ilA sftrnoj povrsini jedinlcnog lurik. j jedinicni vektor je poluprecnik te sferne povrsine. Diferencijal toga vktr orijentisan je dut tangente toj krivoj, je otuda normalan odgovarajucem lurtiku, ds 118 svom jedinicnom vektoru.

111

f) Izvod vektora izrafenog pomotu jedfnJfnog vetttorB Nekaje dat vektor Q , gdje je intenzitet vektora , vektor .

njegov jedinieni vektor. Prema 27, izvod toga vektora je da da daQ

= - +-' dt dt dt (27,11)

Ako je promjenljiv samo intenzitet d!) vliti vektora , pravac konstantan; onda se dobiv~

(ia da dt = dt 80 (27,12)

U tom slutaju izvod vektora je usmj duz istog vektora, odnosno kolinearan. je S8 datim vektorom.

Odavde se mozeodmah zakljueiti da je relacija dB =0 dt

uslov da vektor ima konstantan pravac.

(27,13}

Ako je, pak, promjenljiv samo pravilc vektora , ve1itina kon-stantna, onda je

da dB. -=--. dt dt

(27,13)

u tom slu~aju izvod vektora je usmjeren normalno datom vektoru .

g) fzvod slofene funkcfje Naka je vektor funkcija skalara w, skalar w funkcija nekog ska-

larnog argumel1ta (osnovnog skalara) 1: a=a(w), w=w(t). (27,14)

Onda je slofena vektorska funkcija funkcija funkcije. Prema defi-niciji izvoda je

= d = li 4 = li 4 . w = dt At ... O ' '''' 6w' 6t

"

l' 611' d dw = 1 _. 1 = - . - = ", . w.

At ... o w A/ ... O 61 dw dt (27,15)

Ovaj rezultat pokazuje da i kod vektora va~i pravilo difij slofene funkcije iz skalarnog infinitezimalnog .

112

) ParclJa(nf fzvod vektorske funkciJe od vfle rmjnljfV1 Ako vektorska funkcij~ zavisi od vise promjel1ljivih, recimo .... ' , , z, onda se njen parcijalni izvod delinise sJicno kao za skalarne funk-cije slj('dece reJacije

= lim ( + li ~,],z)-.:-~~.v, Zl_. + lix

(27,16)

Na isti i se dfiisu i parcijalni izvodi fukij (, , z) ostalim promjenJjivim.

Totalni dife.rencijal se takode dobiva prema poznatim posttipcima iz skalarne analize, odnosno

(/a= dx+-+-dZ. dz

(27,17)

Kada je data neka vektorska funkcija

113

28. - RAZLAOANJE PRVOO J DRUOOO IZVODA VEKTORA NA KOMPONENTE

1] izracunavanjima i vektorskim prikazivanjima raznih fizickih ve1icina zgodno je razloziti vektor prvog izvoda nekog vektora komponente od kojih je jedna k6Jinearna datim vektorom. druga normalna njemu.

Iz relacije (27,11) vidi da je prv& komponeht& da & orijentisana duf dl

datog vektor& , druga komponenta dao normalno prema njemu, jer dt

te dao...L --.

Neka je dat vektor (1) = (sl. 28-1) u momentu t. Poslije yre-.-

menskog interyala 1::.1 neka taj vektor bude (t + 1::./) = . dva yektora --.+

zahvataju ugao 1::.8. l je BC=l::.a. --+

02nacimo ort yektoraa (1) & = 1 , ort vektora (/+1::./):::; _.+

=+ sa 1

.1 C~ ___ _

) SI.28-1

Jz relacije da da d80 - = -8.+-, dl dt dt

)

, I I I

da-, - dr

(28,1)

vidi da je izvod da uopte zata ve1itina, Preostaje da se izracuna dt

numeritka vrijednost izvoda jedinitnog vektora, od vrijednolt Idda.t I Prema sIici 28-18 nalazi iz trougla 1 1 da je

ili 11::.8.I=a.1::.8

. . ("aao"l~: Vktrl a1lA11 .. &

114

Kako je 1,

Izvod ugla rotacije vremenu nije nista drugo nego ugaona brzina 00, je

(28,2)

t.'ik vrijednost prvog izvoda jedinicnog vektora vremenu jednaka ugj brzini. z.i 5 n jedinicl1i vektor (ort) kompol1ente vektora koja je

norma)na 11 ju, je (180 -'

dt (28,3)

01lda se prema dobivenim rel

115

Analogno vektoru (28,1) ovaj drugi izvod vektora mole rasta--+ dv~ dr

viti komponentu - t' dut tangente i komponentu v - dul normale ge dt dt

ometriskog mjesta vrhov8 vektora , se zato nazivaju respektivno fat]-gencijalna i rml8 komponenta drugog izvoda vektora .

Odmah se vidi da je poznato razlaganje kao kod vektora ubr-zanja, cemu s govoriti kasnije.

29. - OSNOVNE TI!OREE I FORMULE DIFERENCIJALNOO RUN

Posmatrajuci feoreme i formule diferencijalnog racuna u $I{lrj analizi - RoJJe-vu teoremu, Langrangeovu teoremu, Cauchy-evu teoremu, Maclaurio-ovu formulu, Taylor-ovu formulu -, zakljucuje se da su v te formule linearne u odnosu 0

11 G

30. - INTEGRlkANJE VEKTORA Jl ZAVISl SKALARNOG ARGUMENTA

~eodrt;delli il1tegra[ i!i iitiVIl fUllkcija vektora naziva se funk-cij8 , koja ispunjava uslov

(l = , dt

(, 1)

odnosl1o fUl1kcija ciji je izvod skalaru jednak zadatom vektoru . PremJ tome je

= f bdt +, (30,2) gdje je k;tlltlli vektor uzet zato sto se diferenciranjem (80,2) dobiva (30,1) bez obzira vrijednost vektorske konstante .

Pokazacemo k osnovne teoreme za neodiedelli integral.

Integral zblra jednak je zbiru integrala:

f ( -r- -+ ) dt = I dl + f dt + f dt - f d dt. KOllstantni skalarni faktor z se iznijeti pred integralni znak:

f madt::= f (++ .. . )dt = I adt,

gdje je konstantno u odllosu 1.

Konstant!li vektorski faktor se takode moze iznijeti pred integralni znak, pri mogu blti dva slucaja:

) proizvod kOllstantnog i promjenljivog vektora je skalarni

fc.adl=cJadt;

) proizvod konstantnog i promjenljivog vektora je ve::ktorski

f . = f dt, gdje je kOl1stalltni vektor.

znaci da se vrsta pruizvoda odrzava i poslije iznosenja kOl1stal1t-nog vektora pred integralni zl1ak.

Odredeni integral funkcije ) uzet u granicama od neke vrijed-nos.ti 10 do vrijednosti t naziva se razlika vrijednosti prvobitnih funkcija

uzetih z& granice 1 i 1., tj. t

Jbdl

117

:t (1) i :; (1) - (10)'

:0 (30,3)

Odredeni iotegral vektora takode se moze smatrati kao graoicn& vri. jedoost sume vektora

/

J dt = li~ "" i~O (t,) (1'+1 - 1,), (30,4) to

gdje li pretstavlja niz vrijedtlOsti argumenta 1 medu 10 k- 00 onda (11+\ - 1,) - . 1=1"+1' Kada

Zadaci

Difereocirati slje

118

PRIMJERI PRIMJENE DIFERENCIJALNU OEOMETRIJU

31. - TRIEDAR: . OLAVNA NORMALA. BINORMALA. FRENET-SERRE-OVE FORMULE

Neka u prostoru ta~ka iuj krivu LL' {sl. 31-1}. Vektori polotaja racunaju od tacke . Polotaj tacke odredivacemo lukom s, koji mjeri

...... _..:......-::---:::::~"JA...---.;;.S_-- L

... -(+

SI. 31-1

stranu kuda se s . je nara.'lnO -+ ga , je

od tacke . Luk treba ori-jentisati. Na slici strjelka oznacava pozitivni smjer. Na taj Ci vaktor r je fukij skalara s. Ocevid- je da se tetiva f:. r klapa lukom f:.s kada je medu tackama i k malo rstjj, d

Iim I Ar I = 1. (31,1) .1.$ -+0 j f:. s

Onda je vektor dr ds usmjr dut tgt krivoj u tacki onu jdiii vektor. Oznacicemo

... dr ... =-, ITI=f=l.

ds (31,2)

...

Vektor f se naziva O(t tangente krive LL' u tacki . Prema (31.2) zaklju-....

~uje da u kmt vektora 1: sljedecih itzitta: dx = -,

ds dy == -,

ds dz

1: .. = '-- , ds

-+ to u kiusi uglova koje cinj s usvojenog koordinatnog sitm.

" == (1:. ), 8 vatirelacija

'" (f, ), 1:, == (~, z),

(31,) ...

Sada mtrti izvod orta ; sklr argumentu $, tj. d1: d$

119

Prema definiciji je

iz 27, vidi se da izvod jedinicnog vektoca " 110cmalan torr vektoru.

-+ --+ -+ Oznacimo sa .6.rj) ugao meuu dvama susjednim ortovima " i ,,+ .6.",

odnosno du susjednim tangentam8. Taj ugao 5 naziva u g k t i n g n i j . Onda je

Granicna vrijednost koliCnika ugla kontingencije i elementa luka .6.s naziva r v k r i v i n 8 iIi f 1 k s i j u dO,ticnoj tacki krive i

" 1 '1' . ozna~ava sa- 1 1 58 , Je R

.6. = 1 = . $'-+ .6.s R

(31,4)

Reciprocna vrijednost krivine naziva 5 r d i j u s k r i v i n u smatranoj tki krive. Ocigledno je za liniju krivina jednaka nuli,

se moie zakljuciti da je krivina izvjesna mjera za otstupanje krive 01 prave 1inije.

Vidi se da vektor

d,; uopste nije jedinicni ds vektor. Naci fv i orijentaciju toga vek-tor8, Ako kroz tranu tacku (s]. 31-2)

siI tangente krivoj u toj tacki i ralela tangenti u obIiznjoj tacki , dubije se rJ1van, cl1i se granicni polozaj kada -- naziva os'ku 1 t'o r v . Kako

--+ se vektor .6.'" razlika vek

--+ --+ ... tora ,; +.6." i ", nalaze u toj ravni, onda se i

...

vektor dt: takode nalaziti ds

u pskulatornoj ravni. S ...

dt: dcuge strl1. vektor-ds

OSKULATORNA RAVAN

n , z / 5 / \!) / -....... I TANGENTA

Z .. ~ ""'-/O;...-==;:.. ..... ------,~.....,... ..J _

~ g: ,.

....,

Z ~,. REKTIF'IKACIONA oQ: RAVAN

~ ~

51.31-2

120

je normalan tangenti u tackr , prava 1inija koja prolazi kroz posma-tranu tacku i l je tangenti naziva r 18, je-

'+

vektor :: orijeptisan du'! neke norma'e u posmatranoj taCki. Broj normala u tacki mofe blti beskonaCan. Ravan u kojoj se nalaze normale naziva 'se norma'na krive u tacki i razumije se da je normalna tangenti u doticnoj tacki. Norma'a koja se nalazi i u oskulatornoj rvi naziva se

...

g 1 v r '. tome vektor dT orijentisan je bas dut glavne-ds . normaJe, ima smjer. prema konkavnoj strani krive 1inije.

i sa n ort g'avne norl. Onda je -+

d2r dT -=-:::: ds" ds

n =. R

(31,S) gdje je n = 1.

Odavde je (31,6)

sa komponentama koje iznose d"x d2 y cPz ,,=R-, =R-, .=R---. ds" ds" ds vati relacija

Od normala u tacki proucavatr jo~ jednu. koja je karakteri-sti pri proucavanju prostornih krivih. normala je normaJna oskulatornoj ravni. Nziv i r I . Njen ort sa .

definiciji je -+

b='t'xn, (31,8) gdje je = 1.

Veliine komponenata orta blnormale tome

-+

(dY d2Z b,,='tyn, 't',ny=R --ds ds2

(31,9)

Ortovi '1', n, , obrazuju desni sistem, odnosno sistem koji smo USVQ-ji1i (kad se usvojio lijevi sis.t~m, onda obrazov.11i lijevi sistem). Na

121

pominjemo da je taj triedar k r t , tj. premjestanjem ta~ke premjesta se i triedar.

Ako se posmatrana kriva linija na1azi u ravni, onda je ta ravan ustvari oskulatorna, jer se u njoj na1aze sve tangente, g1avna norma1a je ~ norma1a krive u ravni i ijtis je prema kkvj strani krive.

Kod izruvj promjene pravca orta tgt dos1i smo do defi nicije krivine. Posmatrscemo sada promjenu pravca blnormale, dSl10 oskulatorne ravni. Kako je jedini~ni vektor, izvod db normalan

ds njemu. Prema (31,8)

-+ -+ db d('Cxn) d't -~ dn

= - - +'! ~--. ds ds ds ds

U vezi sa (31,5) prvi clan je jednak nuH, je db -+ dn - ='-, ds ds

"

1,' kt db. 1 -+ or - Je norma . ds

(31,10)

Otuda je vektor db, buduti da je normalan ~ i , ijtis duz ds

normale. Analogno definiciji kivi moze se napisati db n - = - = , (31,11 ) d$

gdje se 1 = naziva tozija duga kivina, "radijus" torzije.

Oznaci Ii 5 5 r ugao medu dvjema obIiznjim binormalama, ',dbI = li r "" J.. =

ds i 4$ -+ f) As (31,12) 5tO znaci da je torzija mjera za ot5tupanje krive od . U (31,11) konvencionalno je u5vojen znak minu5. Kod tako u5vojenog znaka torzija desne zavojnice u desnom S"i5temu pozitivna, zavojnica u desnom si5temu imace negativnu torziju. Onda je

db n - = - - = - . (31,13) ds

Sada temo nati dn. Prema definiciji je n == ;, je ds

-+ dn db -. d'C 1 -+ 1 - = - + - = - -( X't) + ( ).;:::;: ds ds ds R

1" 1 -+ = - + - = - t + . R

(31,14)

122

Analogno definiciji krivine i torzije, odnosno prve i druge krivine, mote se definisati i takozvana t t 1 n k r i v i n I treea krivina.

Defini~e ,se pomoeu ugla 41') medu obIitnjim normalama, odnosno I do I = li ~q = . (31,15)

ds ,6.-+04$

Prema (31,5--31,15) dobiva se relacija A2=K2+S; (31,16)

8to opravdava naziv totalne krivine. Relacija (31,16) naziva se Lancret relacija.

Formule (31,5), (31,14) i (31,13) napisacemo u obIiku sistema, odnosno

iIi

-+ do ,; -= - - +-, ds R db -=--, ds

-+ d,; -= ds '

do -+ -= -'t'+ d$ ,

db . -= ds

(31,17)

(31,17)

formule {li su nezavisno jedan od drugog Frenet - 1847 godine i Serret - 1851 godine, se nazivaju Frenet-Serret-ove tormule. lmaju vrlo veliku va!nost pri proufavanju prostornih krivih.

32. - IZRAtUNA V,.NJE KRIVINE I TORZIJE

Radijus-vektor neke tatke prostorne krive dat je u funkciji dutine luka, je prema prvoj FrtSrrt-vj formuli

...

(:)2=(::Y=(~~Y Prema tome kvadr.t krivine je

2= _1 = cJlr d"r R'I. ds" dsl

(32,1)

Torziju izr8~unati prema trecoj formuli

-+ zamjenom = t , je

d -+ . = --(1:)

ds

db --=--.

ds

...

-(1:) = - 1: + - . d -+ (d -+) ( d 1:) ds .ds ds

Drugi ~1an je jednak i dobiva 5

(dn -+) ( d)-+ = ds 1: = n ds . 1:. Dalje je

-+

= (R d 1: d) . dr. ds ds ds

11 U vezi 58 (31,) = R'J dr . (cJ2r d8r).

ds ds2 ds'

123

(32,2)

(32.3)

Iz relacije se vidi da je radijus torzije pseudoskalar, to se zsklju. ~ujepo tome ~to se radi proizvodu dvaju polarnih vektora. Takav proizvod, kao ~to je poznato, je aksijalni vektor. proizvod aksijalnog vektora sa polarnim vektorom pretstavlja pseudoskalar. Zbog toga je U (31,13) i usvojen znak iu~

l~k rjJj Neka je radijus-vektor

r=xf+yj+zk. Onda je

dr = dx , + dy j 4- dz k, ds ds ds ds

CJ2r rPx dJy d"z -=-f+-j+-k. dsJ dsJ d~!I ds.

d8r. = ~ f + d 8y J + d 8z k. ds' dsJ ds8 dsJ

(32,4)

~-

124

( dy dz I --

ds ds ds 1 d2x d2y d2z (32,5) = - =R2 - ds2 ds2 ds2

d d dz - -

ds' (/S8 dz

ReJacija (32,4) identi~na je 5 reJacijom (31,7), koja je izvederl2 pri pro-utavanju gJavne l1ormaJe.

Prema ovim formulama moze izracunati krivina i torzija i u slu cajevima kada je d

125

Krivina i torzija zavojnice primjer primjel1e ovih formula uzecemo zavojnicu. Njl1

metarska jednacina ima obIik: = cos , :::= sil1 , Z Ji 6,

gdje je luik izvodnog ilid, parametar 6 ugao mjerel1 od -, h korak zvji.

Onda je vektor polotaja neke t!1tke zavojl1ici: r=lac~O+ja~n6+kh~

Odgovarajuci izvodi parametru 6, koji su potrebni za izracu-navanje kivi i torzije, dobivaju lako iz posljednje relacije za vektor polotaja, ds:

Odavde je

r:= - f sin 6 + j cos 6 + k h, ., = - i cos 6 j sin . 'r = i sin - j cos .

I r ';' I = I f ah sin 8 - j ah cos 6 + k l I = - hl + 4 = -2 + iii .

je (32,8) krivina:

Dalje je

je (32,9) torzija:

I r 111 = -(02 + hZ)',

1 R

'" .. . ..

r r r=a2 h,

= h

R 1 J R I R I J N N F l' Z I U

33. - BRZINA I UBRZANJE. TANOENCIJALNO.I NORMALNO UBRZANJE

28 i 32 za kretanje tacke', iz jednatil1e r = r (t). gdje je r radijus-vektor, dOblV8 brzina i:~= v i ubrzal1je r = v = 8

.....

Zl1ti li se 5 t ort tangente,

odavde

...

v = v r,

...

. dv'" df 8=V= - f+V-.

dt dt (33,1)

126

-.

f . d d'f f . . . d rans ormlra~emo lZVO -. unglranJem JZVO s: dt

-~ -> d'f dT ds -=-.-. dt ds dt

-.

dt n ds Jz prve jednatine (31,17) je ds = R' osim toga dt = v, je -.

d'f n - = V -, gdje je R radijus krivine u posmatranoj tatki, n ort glavne dt R normale. Zamjenom se dobije izraz za UbrZ3I1je:

dv -. VZ .=-+-.

dt R (33,2)

Jz formule se zakljutuje da se vektor ubrzanja nalazi u oskulalornoj ravni trajektorije u posmatranoj tatki. Ovdje je ubrzanje razlofeno

-.

dvije komponente: komponentu ., = VT, koja je orijentisana dut tangente, J ima intenzitet v, i komponentu .n = ~ , koja je orijentisana "dut

R 2

glavne normale, ima intenzitet ~ R mt

.-'

.,=VT, naziva se tangencijalna komponenta ubrzanja, komponenta

v2 .n= -

R normalna komponenta ubrzanja.

Intenzitet totalnog ubrzanja je 1/' V 1I=a= V V + RZ'

Formula (33,2) ima vrlo veliki znataj u mehanici. Pomocu komponenata u pravouglom koordinatnom

polofaja je dat relacijom

je brzina

i ubrzanje

r == i + j + z k, r= xi+ yj+ ik, r=xi+yj+z'k,

(33,3)

(33,4)

(33,5)

sistemu vektor

(33,6)

127

odavde .

'l)x = , vy = , VZ =:; Z, (33,7) ..

= , = , , = z.

Vatno je istaci i razlaganje u polarnim koordinatama u ravni. Neka tacka ima lrn koordinate r i '. susjedna tafka (, + Ar) I ' + , (sl.33-1)

51.33-1

tJzmimo ort ' (sl. 33-1) duf radijus-vektora r i ort rOq> normalno njemu. Orijentisimo ih u smjeru rascenja radijus.vektora i ugla. Pravac tih ortova mijenja u'funkciji od vremena, dok ortovi " j, k, mijenjaju svoj . , dakle, izrafunati izvode ortova ' i ro'r. Kako je izvod orta normalan tom istom ortu,

OdllOSl10

iIi

Na isti nafin izlazi:

Aro I -- - = '011 ' ',

At

dro d, - == -rQtp. dt dt

Iroq>l= 11 --- = -- .'0' . . I Aro

]28

fz izraza za vektor polozaja r = rro diferenciranjem doblje dr dr dro dr d'f . - "" r == - ( + (- = ( + r -- (o~) ;:: r ( + r 'fro'l' , dt dt dt dt dt zatim

d2 r " d2 r dr dro dr d

129

Na slitall na~in se k skafarna un brzina defillise izvod ugl vremenu

d6 = -

dt '

isto tako i kao vektorska u brzina izvod ~

+ d6 '= --.

dt -+

(34,3 )

gdje . vektor d 6 povezuje 58 beskorzacno mli1 uglom. Orijentacija vektora ugaone brzine ye~ je ranije navedena i opissna.

Na sli~an na~in uvodi i povrsinska brzitla. tj. jlvod pqvrsinskog vektora vremenu. Taj vektor ye~ je definisan za ravllu rijtiS811U povr-ginu, pri cemu jenavedena njegova orijentacij1l i velitina. Ako se taj vektor ozna~i 8 S, ol1da je povrsinska "brzina" pret5tavljena izvodom

s~ d~. dt

(34,4)

je povrsina dS ograni~ena sa dva potega i elemel1tom ds putanje Ilekog tijela, kao . pri krtju planeta, onda je ~_S tzv. sektQrska

dt "povrsinska" brzlna. Na 81. 34-1 prikazana je

vrsi dS 5 radijus vektorima r i r 1 , kao i sektorska brzina.

Odmah vidi da je ztm stupku povrsini slike koja moie uzeti kao trougao

1 dS...". - (r ds). 2

Od8vde je sektorska brzin8:

---

~--7I'r

81,34-1

dS 1 ( dS) 1 , dt= 2 r dt = 2,(rxv).

dS'

(34,5)

Dobiveni izraz je ustvari brzina opisivanja povrsine radij.us-vektorom. Uzimanjem polarnih koordinata ta~ke, sektorska briina mofeprj.

kazati u funkciji od r i . Njena vrijedl10st se dobiva z-amjenom d.v=rdD-. rds rSdO kao izvod povrslne - 0:= -- vremenu, odnosno

2 2 1. 1 dO I~I= _ 2 -,

::! dt

D. t.I 1 .... ovlt: V~lttonlt. nall ..

130

Takav postupak uvodenja "brzine" kao promjene neke velicine u ~ rimij cak i zapreminu, prema tome izvod dV moie nazvati .zapreminska brzina",

dt Dakle, generalisana brzina nije brzina u .kinematickom smislU rijeci treba voditi racuna upotrebl tih velicina kao brzini promjene neke veJicine, brzini toka i1i vrsenja nekog procesa, brzini obicnog premjestanja u prostoru. ', i iz izlozenog vidi prakticnost takvih naziva i postupaka.

35. UBRZANjE CESTICE KOjA 5 KRECE KRUtNOj P.UTANJI

u 19 navedeno je da je veza medu brzinom y~ vektoroin l0--+

zaja r i ugaonom brzinom w izratena relacijom: ~

v=wxr. (35,1) Sada mozemo pokazati vezu medu urzjm poluprecnikom

njene kruzne putanje. Kako je vrijednost v2 ,

R = w!"R. (35,2)

je specijaJan sJucaj relacije (3~11), gdje je intenzitet vektora polo.zaja konstantni poluprecnik kruga R.

Vektor ubrzanja je orijentisan suprotno od vektora R, sto se lako. vidi i iz navedene relacije.

tome je 8:;: -w2R. (35.3)

Ovaj izraz se moie dobiti i difrirjm vektorske relacije (35,1) . ili

dv ~ dR ~ .-+ -. -. -. -. -+ 8= - :;:wxv=wx(wxR):=w{wR)-(w.w}R.

dt dt -+ -+

Kako je 0.).1 R. R ... , ) -. -+ -+

8= -(w.w)R= -w2 R. te je (35,3) i taj nacin dokazano.

Oale~ ubrzanje kod uniformnog kretanja cestice kru~oj putanji orijentisano je prema centru kruga (centripetalno ubrzanje) jednako je proizvodu kvadrata ugaone brzine i poluprecnika toga kruga.

Pri navedenom diferenc:ranju ima se u vidu uifr kretanje S8 kOl1stantnom ugaonom brzinom i konstantnom velitinom radiius.vektora R koji se inace mijenja pravcu, otuda i ubrzanje.

131

36. DRUOl NEWTON-OV ZAKON U VEKTORSKOM OBLIKU

zt je da drugi Newton-ov zakon mei1anike prikazuje vezu medu sil koja dejstvuje tijelo (cesticu) i ko!icil1om kretanja toga tijela ( c~stice). Silom, , naravno. izrazava dejstvo drugog ili drugih tijela Il posmatrano tijelo ( cesticu). Neka je masa ':~stice, njena brzina, odnosno, k!ii kretanja cestice ( materijalne tacke). l sa F

im spolj8~nju silu kojom neko tijelo ( cestica) dejstvuje tu cesticu,

Ako se stavi = , onda je

d(my) F= ----"-. dt

= ~p. dt

(36,1)

(36,2)

Kako je kolicina krtl1j prema svojem iznosu jednaka impulsu, cesto se = naziva impulsom cestice.

Ovaj zakon se moze napisati i u obIiku

F mdY dt

, (36,3)

gdje je ubrzanje cestice, osim toga pretpostavljeno je da je masa konstantna. Inace; masa je rmj,ljiv, to dolazi do kvantitativnog izra~aja

rCit pri velikim brzinama, posljednja relacija ya~! za male brzine,odnosno u klasicnoj fizici. Dalje je u klasicnoj nerelafivistickoj fizici

iIi

d2 r F . dt'l.

Ako je spoljanja sila jednaka nuli, onda (36,2) postaje d ( ) '= ,

,ft

=const,

(36,4)

(36,)

~to pokazuje zakon inerctje. Naravno, pritom treba imati u vidu da ta konstanta o~e blti razHcita od jednaka nuH, to pokazuje da se odr!ava stecena brzina, b~z obzira njenu vrijednost.

37. - VEZA MEf)U MOMENTOM.SILE I N KOLltlNE KREANJA tSI

u 19 pokazaIi da je moment koliCine kretanja L=rxmy (37,1)

vektorski proizvod vektora poJo!aja cestice u odnosu nepokretnu tacku i kolicine krtl1j te cestice.

132

Ako festicu dejstvuje k siJa , d je mt sile M=rxF (37.2)

vektorski proizvod vektora polo!aja i te sile (kao 5to je ranije navedeno). Zj (3,l) u (37.2) dobite se

~.. d M=rx -().

dt

Difij reJacije (37,1) daje dL dr d d

... - xmy+rx -()= + rx -(mv). dt dt dt dt

Kako je v v =,0. bite dL d

... rx- (), dt dt

ili. u vezi (37,3): dL d = = - (, ). dt dt

t i L zavise od polofaja kt taCke.

(37,3)

(~7.4)

reJacije za t tu su lg za odgovarajuce i kod trallstaci je.

tslij je masa mjera za iiju~ Njoj ovdje odgovara t iij. Lij zii kod tslij odgovara ugaona brzil1a. lifii ktj odgovara moment k1ifi krtj, sili moment sile.

Tako postoji lgij medu relacijama za translaciju i relacijama za kut ktaj (rotaciju). 1 zaista je

L ... ' == "

133

88. - MOMENT KOUCINE KRETANJA SISTEA CESTICA

u 19 i 37 navedeno je da je za jednu ~esticu mase , brzine V vektora polotaja r, moment koliCine kretanja

L=rx1llv. (3d,1 ) Uzgred napomenimo da se ta veliCina naziva i mn! impulsa, n;

moment, mmn! momenta, i1i jedno5tavno momenl. lJporedenje 5 izrazom Zl sektor5ku b~zinu (34,) 'dovodi do zakljucka da' je moment koll~ine kretanj& Jednak proizvodu iz 2 i .povrsinske" brzine vektora polozaja.

Totalni moment kolicine kretanja za sistem ~e5tica dova 5 kao vektor5ka 5 odgovarajuCih momenata za sve pojedine ~e5tice. Ozn&~imo te momente 5 L1 r 1 xmt 1 , L:? r 2 xm:!v:j, ... , Lk-rk''mkvk

. .

Ak9 5 L ozn&ci totalni mll! koliCine kretanja sist 5, :

L = ~ rk mk = ~ ml( (r~ ) = ~ (rk ~E~). k k k dt

(3~.2)

Oznaci li V k Pk.

(38,3)

lz fizike je poznato da vliCi odrzava kod zatvorenog sistema, sto je lako pokazati.

Odmah se vidi da je (l vliCi aditivna i da zavisi od toga da li postoji iIi postoji uzajamno dt:jstvo cestica (interakcija ~ sistema).

Zajedno sa energijom i kolicinom kretAnja (impulsom) vliCi& (moment kolicine kretallja) pretstavlja jedl1u od fundamentalnih veliCin& u fizici.

lz iuaza za moment impuls8 vidi se da zavisi od izbora koordi natl10g pocetka, jer u njemu figurira vektor poloiaja r. Ako se uzmu dv krdit sistema tako da odgovsrajuci ve~tori polozaja neke t&cke rk i r~, rastojanje izmedu dva koordinatna pocetka , r .. == r~ + ,

je moment kolicine kretanja L = ~ (r/, mk Vk) == ~(r'k' mk Vk) + ( ~ mk Vk), (8,4(

k k odnosno

L= L' +( ), (38,5) gdje je 5& oznacena totalna kolicina kretanja sist:

Ako je = onda se sistem krece kao cjelir.a, I1jegov& koli cina kretanja zavisi od izbora koordinatnog pocetka.

Sada izvesti relaciju koja povezuje moment kolicine kretanja sistema cestica u odllosu dva inercijalna sist koji se krecu medu-soblJO relativnom brzillom .

134

Neka se {8 dva sistema ,u datom mQmentu .medusobno poklapaju. Onda vektori poloi8ja pojedine ~estice jednaki u ta sistema. Ako sa Vk ozna~i brzina k-te ~estice u sistemu,' sa y~ u drugom. sa V navedena relativna brzina, onda biti

(38,6) Tako je moment koli~ine kretanja sistema

L-}; mk (rkXYk)"'}; mk(rk Vt) + };mk (rk v.). k k k (38,7) 8 desnoj strani relacije pretstavlja moment kolicine

kretanja sistema u odnosu koordinatni sistem, koji smo Qvdje t apostrofom. Ozna~icen1O ga S8 L'.

S druge strane poznato je da je vektor polotaja centra inercije ~mkrk };mkrk

R= k _ k (38,8) };mk

k

gdje je ukupna masa sistel11a cestica. Otuda je tratena relacija L = L' + (R ) (38,9)

koja pretstavlja transformaciju momenta koli~ine kretanja pri prel~zu sa jedn.og sistema referencije drugi.

Ako u apostrofiranom (drugom) sistemu reterencije taj sistem cestica kao cjelina miruje, onda je

L= L' +(R ), (38,10) gdje je totalni impuls tog sistema ~estica u odnosu prvi sistem referencije.

Prema tome, moment kolicine kreta.nja mehani~kog sistema jednak je vektorskom zbiru momenata koli~ine kretanja u odnosu koordinatni sistem u kojem sist ~estica miruje i momenta kolitine kretanja R uzetog za kre.tanje sistema ~estica kao cjeHne, gdje je R vektor poloiaja centra inercije.

39. - KRETANJE NAELEKTRISA.NE (:ESTICE U KONSTANTNOM . ELETRl(:NOM POLJU

Jedna~ina kretanja ~estice naelektrisanja u konstantnom elektricnom po!ju je opAtim slu~ajem kretanja ~estic& (materijalne tacke) u fizickom polju konstantne jatine, sa svojstvima elektricnog polja. la ovaj slu~aj t8 jednatin8 ima oblik:

gdje .j~ ;:: const.

tPr . =m---- - r = , dtjj

(39,1 )

135

Zadatak je da doblvena jednacina integrira prema navedenim rvi1ima. Tako doblva:

dr d(

r=-E(+C,

m

zatim i izraz za vektor polozaja:

r= -t2 +t+D, 2

+ gdje i D kstti proizyoljni vektori.

Dobivena jednacina o~e napisati i u obIiku r -- D = (2 + Ct,

2

(39,2)

to znaCi da vektor r D nalazi u ravni vektora i , su njihove koordinate proporcionalne parametru t doticnom stepenu.

Odavde moze zakljuciti d naelektrisana cestica m i naelek-trisanja , koja uleti normalno , krece paraboli uz pretpostavku da je polje konstantno. Ovaj rezultat i zakljucak zasnivaju principima klasicne mehanike, odnosno elektrodinamike. Medutim, relati visticke fizike. dolazi do zakljucka da je u konstantnom elektricnom polju trajektorija naelektrisane li, kako je klasicna fizika aproksimacija relativisticke, tako je i parabola aproksimacija lancanice.

Relativisticki postupak je matematicki analogan klasicnim. Jedino ko1icina kretanjs (impuls) m v == izrazava u funkciji od energije prema poznatoj relativistickoj re]aciji:

(39,3) gdje je W energija cestice, , impuls cestice, brzina prenosenja uzajamnog dejstva u fizickom polju (maksimaln8 brzina u prirodi prema teoriji relativnosti, koja je jednaka brzinj prostiranja eJektromagnetskih t81asa u vakuumu).

Cestica se krece normalno pravac polja. Onda je prema (39,1) pod pretpostavkom da je = za (;:::; :

2= p~+(eEt)lI. (39,4) Brzina cestice je

2 V=-. W

.(39,5)

Neka je za t = energija W == W Ako je ravan kretanja te ,

dy c2 eEt '0)'= - = .. .

dt V -i+ (ceEt)2 (39,6)

1,/--- Wo - 'W~+(ceEt)2 --.

Odavde je

1::J6

Na slit i se dobiva PC~ at \ V "-'~ + ( E~)2

iIi - [ = - rs --

Wo (39,8)

Za l1alazenje jedllacine trajektorije treba liiisti parametar t prema relaciji (39,8), se dfiitiv dobiva:

:; \ ( 1). (39,9) je jedl1acina lsi. Ako je rzina cestice mnogo j od ,

onda se sa relativistickog izraza prelazi, razvijanjem u red g kosinusa i zsmivjm lv viseg reda, kl&sicni izraz

(39.10)

gdje je svjstv s naelektrisane ct"stice, to njena brzina pri ulijtju u lkti poJje. relacija potPUl10 odgov&ra relaciji (39,2).

40. - KRET ANJE NAELEKTRISANE CESTICE U KONST ANTNOM MAONESKOM POLJU

Jdl1ill kretanjli glasi f=mr' (). (40,1 )

gdje je masa , .njeno l1aelektrlsallje, v rzilJ3, jscin& mag!letskog polja. Ako je dato u kulo1lima, 'v u me1rima kroz sekund, u tesIama, F se dobiti u I1jutnima, jer s uzeli ktii MKSA (t,

kilg mase, skl1d. m) sistem. I, u lktsttik COS stst (cell1imetar, g . sekund, statiicki kulon) sistemu se desnoj strani llalazi u imeniocu (rzina elektromagnetskih talasa. I

r 137

08 bismo dobili jdtiu trajektorije te~tice integritacemo ovu jednacinu uz istodobnu analizu dobivenih rezultata.

Skalarnim mnofenjem vektorom v dobiva se v . dv [. ( 8)} d (2) ,

dt 2 dt iIi

2 =, (40,2) gdje je integraciotla kClstt

znaci da se energija odrzava, dQS da 5ila F vr~i rad, sto se vidi i iz (40,1). jer je vektor F Ilrm] vektoru . Odavde se vidi da je i apsolutna vrijedn05t brzine konstanlna: I v I = const.

Sklrm mnofenjern vektororn 8 dobiva se dv 8 = - [8 . ( 8)] dt

d -(8 ) , dt

iii .8=D, (40;3)

gdje je itgri kstllt. Odavde je Bv cos (8, ) = D = const. S jedne strane prerna zadatku

je = const, s druge strane prema (40,2) v = const, je onda i ugao medu i v kstt.

bisrno odredili oblik tr8jektorije potrazicerno jos i nje.nu krivinu. Pretn:! (31,5) je

~ I ~:: 1= I:se:)] I !i [dt (dr dt )11- ~ d2 r I (Jt ds dt t/s J - v2 ds2 ' "

_~ (~_~ (/t) I~ ,ds dl ds I . . ds , I Jer Je - =: i v = COlJst.

(/f

d2 r dv I Kako je - = =:; ( ), zamjenom se ' ' dt2 'df

1 vB . ( ) . ( ) - = - .- S1 , =- SI , . R 'z):! m'i.'

(40.4)

Oobiveni izraz pokazuje da je i krivi trajektorije kIJs!tt18. Svojstva' traj~ktorije, koja su prikazana sa (40,2-4). karakterisu trajekto-riju: trajektorija je zavojnica 58 osom duf pravca polja. Ako je pocetna brzina u pravcu jednaka nuH, onda se cestica kretala zavojlJici, nego kruznoj liniji, jer je u tom s]ucaju brzina 5tal110 110rrnalna vektoru jacil1e polja. rn' (40,4) poluprecnik toga kruga iznosi

,;.)

R== .

(40.5)

Svojstya trajektorije rnogu se naCi i ana1izom projekcije yektora polotaja r , r normalrlU vektoru , gdje se I1 doblje krug.