1 HAØM SOÁ y = f(x)...Khi tònh tieán (C) theo truïc hoaønh qua phaûi 1 ñôn vò thì seõ ñöôïc ñoà thò cuûa haøm soá coù daïng y = f(x – 1). Ví duï 1.3 : Giaû

1

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

TAØI LIEÄU LUYEÄN THI THPT QG – ÑAÏI HOÏC ........................................................................................................... GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG

PHEÙP BIEÁN ÑOÅI ÑOÀ THÒ HAØM SOÁ y = f(x)

GVBM : ÑOAØN NGOÏC DUÕNG

1) DAÏNG 1 : Pheùp dôøi hình ñôn giaûn

Cho haøm soá y = f(x) coù ñoà thò (C). Khi ñoù, vôùi soá a > 0, ta coù:

a) Haøm soá y = f(x + a) coù ñoà thò (C’) laø tònh tieán (C) theo phöông cuûa Ox qua traùi a ñôn vò.

b) Haøm soá y = f(x – a) coù ñoà thò (C’) laø tònh tieán (C) theo phöông cuûa Ox qua phaûi a ñôn vò.

c) Haøm soá y = f(x) + a coù ñoà thò (C’) laø tònh tieán (C) theo phöông cuûa Oy leân tre ân a ñôn vò.

d) Haøm soá y = f(x) – a coù ñoà thò (C’) laø tònh tieán (C) theo phöông cuûa Oy xuoáng döôùi a ñôn vò.

Ví duï 1.1 : Giaû söû ñoà thò cuûa haøm soá y = x4 – 2x

2 – 1 laø (C), khi tònh tieán (C) theo truïc hoaønh qua traùi 1 ñôn

vò thì seõ ñöôïc ñoà thò cuûa haøm soá naøo döôùi ñaây?

A. y = x4 – 2x

2. B. y = (x – 1)

4 – 2(x – 1)

2 – 1.

C. y = x4 – 2x

2 – 2. D. y = (x + 1)

4 – 2(x + 1)

2 – 1.

Höôùng daãn : choïn D

Ñaët y = f(x) = x4 – 2x

2 – 1 (C) thì khi ta tònh tieán ñoà thò (C) theo truïc hoaønh qua traùi 1 ñôn vò thì seõ ñöôïc ñoà

thò haøm soá y = (x + 1)4 – 2(x + 1)

2 – 1. choïn D

Ví duï 1.2 : Giaû söû ñoà thò cuûa haøm soá y = f(x) laø (C), khi tònh tieán (C) theo truïc hoaønh qua phaûi 1 ñôn vò thì seõ

ñöôïc ñoà thò cuûa haøm soá naøo döôùi ñaây?

A. y = f(x) + 1. B. y = f(x + 1).

C. y = f(x – 1). D. y = f(x) – 1.

Höôùng daãn : choïn C

Khi tònh tieán (C) theo truïc hoaønh qua phaûi 1 ñôn vò thì seõ ñöôïc ñoà thò cuûa haøm soá coù daïng y = f(x – 1).

Ví duï 1.3 : Giaû söû ñoà thò cuûa haøm soá y = x4 – 2x

2 – 1 laø (C), khi tònh tieán (C) theo truïc tung leân treân 1 ñôn vò

thì seõ ñöôïc ñoà thò cuûa haøm soá naøo döôùi ñaây?

A. y = x4 – 2x

2. B. y = (x – 1)

4 – 2(x – 1)

2 – 1.

C. y = x4 – 2x

2 – 2. D. y = (x + 1)

4 – 2(x + 1)

2 – 1.

Höôùng daãn : choïn A

Ñaët y = f(x) = x4 – 2x

2 – 1 (C) thì khi ta tònh tieán ñoà thò (C) theo truïc tung leân treân 1 ñôn vò thì seõ ñöôïc ñoà thò

haøm soá y = f(x) + 1 = x4 – 2x

2 . choïn A

Ví duï 1.4 : Giaû söû ñoà thò cuûa haøm soá y = f(x) laø (C), khi tònh tieán (C) theo truïc tung xuoáng döôùi 1 ñôn vò thì

seõ ñöôïc ñoà thò cuûa haøm soá naøo döôùi ñaây?

A. y = f(x) – 1. B. y = f(x – 1).

C. y = f(x) + 1. D. y = f(x + 1).


Khi tònh tieán (C) theo truïc tung xuoáng döôùi 1 ñôn vò thì seõ ñöôïc ñoà thò cuûa haøm soá coù daïng y = f(x) – 1.

2



2) DAÏNG 2 : Töø ñoà thò (C) cuûa haøm soá y = f(x) suy ra ñoà thò (C’) cuûa haøm soá )x(fy .

Ta coù :

0 f(x) khif(x)

0 f(x) khif(x)

)x(fy

Töø ñaây, ta suy ra ñoà thò haøm soá )x(fy goàm 2 phaàn:

_ Phaàn 1 : ñoà thò (C) : y = f(x) naèm phía treân truïc hoaønh.

_ Phaàn 2 : ñoái xöùng cuûa ñoà thò (C) : y = f(x) phía döôùi truïc hoaønh qua truïc hoaønh.

Do ñoù, töø ñoà thò (C) ta suy ra ñoà thò (C’) nhö sau :

_ Phaàn cuûa ñoà thò (C) ôû phía treân Ox thì giöõ nguyeân (C’) (C)

_ Phaàn cuûa ñoà thò (C) ôû phía döôùi truïc Ox thì boû ñi vaø laáy phaàn ñoái xöùng cuûa phaàn naøy qua truïc Ox.

Töø ñoà thò (C): y = x3 – 3x suy ra ñoà thò (C’): x3xy 3 .

Ta coù:

0xkhix3x

0 x khi x3xx3xy

3

3

3

Töø ñoà thò (C):

1x

1xy

suy ra ñoà thò (C’):

1x

1xy

.

Ta coù: y =

1x

1x

=

0)x(fKhi1x

1x

0)x(fKhi1x

1x

Do ñoù ñoà thò y =

1x

1x

goàm :

_ Giöû nguyeân phaàn treân truïc Ox cuûa ñoà thò (C).

_ Laáy theâm ñoái xöùng phaàn coøn laïi qua truïc hoaønh.

Ví duï 2.1 : Haøm soá 2x3xy 3 coù ñoà thò naøo döôùi ñaây:

A. B. C. D.


Ta thaáy y = 2x3x3 0 neân ñoà thò phaûi naèm treân truïc hoaønh, loaïi ñaùp aùn B.

Ñaùp aùn C, D: hai ñoà thò nhaän truïc tung laøm truïc ñoái xöùng laø haøm chaün (haøm chaün coù ñoà thò ñoái xöùng nhau

qua truïïc tung) maø haøm soá ñeà baøi cho khoâng phaûi laø haøm chaün neân loaïi C, D. choïn A

3



Ví duï 2.2 : Hình beân laø ñoà thò cuûa haøm soá: y = x3 – 3x

2 + 2. Caùc giaù trò cuûa m ñeå phöông trình x

3 – 3x

2 + 2

= – m + 2 coù 6 nghieäm phaân bieät laø :

A. 0 < m < 4 B. m < 0

C. m = 0 m = 2 D. 0 < m < 2


Ta coù : x3 – 3x

2 + 2 = –m + 2. Xeùt hai ñoà thò :

)d(2my

)C(2x3xy 1

23

1

Vì y1 = x3 – 3x

2 + 2 0 (C1) ôû phía treân Ox.

Maët khaùc, ta coù : y1 =

02x3xkhi)2x3x(

02x3xkhi2x3x2323

2323

Do ñoù, ñoà thò (C1) ñöôïc suy ra töø ñoà thò (C) nhö sau :

_ Phaàn cuûa ñoà thò (C) ôû phía treân Ox thì giöõ nguyeân (C1) (C)

_ Phaàn cuûa ñoà thò (C) ôû phía döôùi truïc Ox thì boû ñi vaø laáy phaàn ñoái xöùng cuûa phaàn naøy qua truïc Ox.

Soá nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho baèng soá giao ñieåm cuûa ñoà thò (C1) vaø ñöôøng thaúng (d) : y = –m + 2

Döïa vaøo ñoà thò, PT ñaõ cho coù 6 nghieäm phaân bieät 0 < –m +2 < 2 –2 < –m < 0 0 < m < 2 choïn D

Ví duï 2.3 : Cho haøm soá baäc ba y = f(x) coù ñoà thò nhö hình veõ beân. Tìm taäp hôïp taát caû caùc giaù trò m ñeå ñoà thò

haøm soá m)x(fy coù 3 ñieåm cöïc trò?

A. m –3 hoaëc m 1. B. m –1 hoaëc m 3.

C. m = –1 hoaëc m = 3. D. 1 m 3.

Höôùng daãn : choïn B

Döïa vaøo ñoà thò ñaõ cho, ta suy ra ñoà thò haøm soá m)x(fy goàm 2 phaàn nhö sau:

_ Phaàn 1 laø phaàn cuûa ñoà thò y = f(x) + m naèm phía treân truïc hoaønh.

_ Phaàn 2 laø phaàn ñoái xöùng cuûa ñoà thò y = f(x) + m naèm phía döôùi truïc hoaønh qua truïc hoaønh.

Khi ñoù, ñoà thò haøm soá m)x(fy coù 3 ñieåm cöïc trò ñoà thò haøm soá y = f(x) + m vaø truïc hoaønh coù nhieàu

nhaát 2 ñieåm chung

3m

1m

0m3

0m1

Ví duï 2.4 : Cho haøm soá mx12x4x3y 234 . Tìm taäp hôïp taát caû caùc giaù trò nguyeân m ñeå ñoà thò haøm soá

coù 7 ñieåm cöïc trò?

A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.


Xeùt haøm soá y = 3x4 – 4x

3 – 12x

2 + m

Txñ : D = R. Ta coù: y’ = 12x3 – 12x

2 – 24x ; y’ = 0

2x

1x

0x

Baûng bieán thieân:

Döïa vaøo baûng bieán thieân cuûa haøm soá y = 3x4 – 4x

3 – 12x

2 + m suy ra haøm soá mx12x4x3y 234 coù 7

cöïc trò khi 5m00m

05m

. Vì m Z neân m 1; 2; 3; 4 coù 4 giaù trò nguyeân choïn B

4



Ví duï 2.5 : Cho haøm soá baäc ba y = f(x) coù ñoà thò nhö hình veõ beân. Goïi S laø taäp hôïp

taát caû caùc giaù trò nguyeân döông m ñeå ñoà thò haøm soá m)1x(fy coù 5 ñieåm cöïc

trò. Toång giaù trò taát caû caùc phaàn töû cuûa S baèng

A. 9 B. 12.

C. 15. D. 18.


Soá giao ñieåm cuûa ñoà thò haøm soá y = f(x) vôùi truïc hoaønh baèng soá giao ñieåm cuûa ñoà thò

haøm soá y = f(x – 1) vôùi truïc hoaønh.

Vì m > 0 neân ñoà thò haøm soá y = f(x – 1) + m coù ñöôïc baèng caùch tònh tieán ñoà thò haøm soá y = f(x – 1) leân treân

m ñôn vò.

Neáu 0 < m < 3 thì ñoà thò haøm soá m)1x(fy coù 7 ñieåm cöïc trò loaïi tröôøng hôïp naøy.

Neáu m = 3 thì ñoà thò haøm soá m)1x(fy coù 5 ñieåm cöïc trò nhaän tröôøng hôïp naøy.

Neáu 3 < m < 6 thì ñoà thò haøm soá m)1x(fy coù 5 ñieåm cöïc trò nhaän tröôøng hôïp naøy.

Neáu m 6 thì ñoà thò haøm soá m)1x(fy coù 3 ñieåm cöïc trò loaïi tröôøng hôïp naøy.

Keát hôïp caùc tröôøng hôïp treân ta coù : 3 m < 6 . Maët khaùc, do m N* neân m 3; 4; 5.

Vaäy toång taát caû caùc giaù trò m cuûa caùc phaàn töû S baèng 3 + 4 + 5 = 12 choïn B.

Ví duï 2.6 : Bieát raèng haøm soá y = f(x) coù ñoà thò nhö hình veõ. Goïi S laø taäp hôïp caùc giaù trò

nguyeân döông cuûa tham soá m ñeå haøm soá m2018xfy coù 5 ñieåm cöïc trò. Toång

taát caû caùc giaù trò cuûa taäp S baèng

A. 12. B. 15.

C. 18. D. 9.


Nhaän xeùt : Soá giao ñieåm cuûa (C): y = f(x) vôùi truïc Ox baèng soá giao ñieåm cuûa (C’) : y = f(x – 2018) vôùi truïc

Ox. Vì m > 0 (gt) neân (C’’): y = f(x – 2018) + m coù ñöôïc baèng caùch tònh tieán (C’): y = f(x – 2018) leân treân m

ñôn vò.

TH1 : 0 < m < 3 : ñoà thò haøm soá coù 7 ñieåm cöïc trò (loaïi tröôøng hôïp naøy)

TH2 : m = 3 : ñoà thò haøm soá coù 5 ñieåm cöïc trò (nhaän)

TH3 : 3 < m < 6 : ñoà thò haøm soá coù 5 ñieåm cöïc trò (nhaän)

TH4 : m 6 : ñoà thò haøm soá coù 3 ñieåm cöïc trò (loaïi tröôøng hôïp naøy)

Vaäy 3 m < 6 vaø do m Z* neân m 3, 4, 5 S = 3 + 4 + 5 = 12 choïn A.

5



3) DAÏNG 3 : Töø ñoà thò (C) cuûa haøm soá y = f(x) suy ra ñoà thò (C’) cuûa haøm soá xfy .

Haøm soá xfy laø haøm chaün neân ñoà thò (C’) nhaän truïc Oy laøm truïc ñoái xöùng.

Ta coù :

0xkhi)x(f

0xkhi)x(fxfy

Do ñoù, ñoà thò (C’) ñöôïc suy ra töø ñoà thò (C) nhö sau :

_ Phaàn cuûa ñoà thò (C) beân phaûi truïc Oy giöõ nguyeân.

_ Phaàn cuûa ñoà thò (C) beân traùi truïc Oy thì boû ñi vaø laáy phaàn ñoái xöùng cuûa phaàn beân phaûi cuûa (C) qua truïc Oy.

Töø ñoà thò (C): y = x3 – 3x suy ra ñoà thò (C’): x3xy

3 .

Ta coù:

0xkhix3xx3x

0 x khi x3xx3xy

33

33

Ví duï 3.1 : Cho ñöôøng cong (C) (hình 1). Hoûi ñöôøng cong (C’) (hình 2) laø daïng ñoà thò cuûa haøm soá naøo?

A. x3xy3 B. x3xy 3 C. x3xy 3 D. x3xy 3


Nhaän thaáy raèng ñoà thò (C) hình 1 ban ñaàu coù daïng chöõ N (hoaëc daáu ngaõ) neân laø ñoà thò haøm baäc ba.

Vì ta xoùa phaàn beân traùi truïc tung vaø laáy ñoái xöùng phaàn beân phaûi truïc tung qua truïc tung neân loaïi B vaø C.

Nhaän thaáy x (– ; –1), ñoà thò ñi töø + veà –2 neân choïn D.

Ví duï 3.2 : Cho haøm soá y = x3 – 6x

2 + 9x coù ñoà thò nhö hình 1. Khi ñoù hình 2 laø cuûa haøm soá naøo döôùi ñaây?

A. x9x6xy 23 B. y = –x

3 + 6x

2 – 9x C. x9x6xy 23 D. x9x6xy 23


Nhaän thaáy raèng ñoà thò xoùa phaàn beân traùi truïc tung vaø laáy ñoái xöùng phaàn beân phaûi truïc tung qua truïc tung neân

loaïi B vaø C. Töø ñaây suy ra ñaây laø daïng ñoà thò x9x6xy 23

choïn D

6



Ví duï 3.3 : (ÑAÏI HOÏC A 2006)

Hình beân laø ñoà thò cuûa haøm soá: y = 2x3 – 9x

2 + 12x – 4. Caùc giaù trò cuûa m ñeå

phöông trình mx12x9x2 23 coù 6 nghieäm phaân bieät laø:

A. 4 < m < 5

B. m < 0

C. m = 0 m = 2

D. 0 < m < 1


Ta coù : 4m4x12x9x2mx12x9x22323

Soá nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho baèng soá giao ñieåm cuûa ñoà thò haøm soá

4x12x9x2y23

vaø ñöôøng thaúng y = m – 4.

Haøm soá 4x12x9x2y23

laø haøm chaün neân ñoà thò nhaän truïc Oy laøm

truïc ñoái xöùng. Ñaët

0xneáu4x12x9x2

0xneáu4x12x9x2

4x12x9x2y23

23

23

1

Töø ñoà thò haøm soá y = 2x3 – 9x

2 + 12x – 4 ta suy ra ñoà thò cuûa haøm soá

4x12x9x2y23

.

Ta coù ñoà thò cuûa y1 laø ñoà thò cuûa haøm soá ôû caâu 1 khi x 0 vaø laáy ñoái xöùng qua truïc Oy khi x 0. Döïa vaøo ñoà

thò, PT ñaõ cho coù 6 nghieäm phaân bieät 0 < m – 4 < 1 4 < m < 5. choïn A.

Ví duï 3.4 : Hình beân laø ñoà thò cuûa haøm soá y = 2x3 – 3x

2. Söû duïng ñoà thò cuûa haøm soá ñaõ cho tìm taùt caû caùc giaù

trò cuûa m ñeå phöông trình 322231xm1xx12x16 coù nghieäm.

A. Vôùi moïi m. B. –1 m 4. C. –1 m 0. D. 1 m 4.


Ta coù : 322231xm1xx12x16

m1x

x12

1x

x16

2

2

3

2

m

1x

x23

1x

x22

2

2

3

2

Ñaët 01x

x2t

2

, t [0 ; 1] Phöông trình 2t

3 – 3t

2 = m (*)

Xeùt ñoà thò haøm soá y = 2t3 – 3t

2, t [0 ; 1] vaø ñöôøng thaúng y = m.

Döïa vaøo ñoà thò (öùng vôùi x [0 ; 1] treân truïc Ox töông öùng vôùi moïi y [–1 ; 0] treân truïc Oy)

ta thaáy PT ñaõ cho coù nghieäm khi (*) coù nghieäm thuoäc ñoaïn [0 ; 1] –1 m 0. choïn C

Chuù yù : Ñieàu kieän cuûa t coù theå baám maùy : MODE + 7 :

1x

x2)X(F

2

1x1xvì11x

x2

x2

x2

1x

x2

x2

1

1x

1x21.x21x 22

222

22

7



4) DAÏNG 4 : Töø ñoà thò (C) cuûa haøm soá y = f(x) suy ra ñoà thò (C’’) cuûa haøm soá xfy .

Vôùi daïng xfy ta laàn löôït bieán ñoåi hai ñoà thò xfy vaø )x(fy

Töø ñoà thò (C): y = x3 – 3x suy ra ñoà thò (C’): x3xy

3 baèng caùc böôùc sau:

Böôùc 1 : Bieán ñoåi ñoà thò (C): y = f(x) ñeå ñöôïc ñoà thò (C’): x3xy3 .

Böôùc 2 : Bieán ñoåi ñoà thò (C’): x3xy3 ñeå ñöôïc ñoà thò (C’’): x3xy

3 .

Ví duï 4.1 : Trong caùc ñoà thò haøm soá sau, ñoà thò naøo laø ñoà thò cuûa haøm soá 1x3xy3

:


Töø ñoà thò (C): y = x3 – 3x + 1 suy ra ñoà thò (C’): 1x3xy

3 vaø tieáp tuïc bieán ñoåi ñoà thò (C’) ta seõ coù

ñöôïc ñoà thò (C’’): 1x3xy3

choïn D.

Ví duï 4.2 : Bieát khoaûng (a ; b) chöùa taát caû tham soá m thoûa maõn ñieàu kieän phöông trình

2m1x3x3

coù 6 nghieäm phaân bieät. Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc S = a + b ?

A. S = 3. B. S = 4.

C. S = 6. D. S = 8.


Böôùc 1 : Veõ ñoà thò (C): y = –x3 + 3x + 1

Böôùc 2 : Bieán ñoåi ñoà thò (C) thaønh (C’): 1x3xy3

Böôùc 3 : Bieán ñoåi ñoà thò (C’): 1x3xy3

ñeå ñöôïc ñoà thò (C’’):

1x3xy3

.

Töø ñoà thò cuûa haøm soá (C’’): 1x3xy3

, ta thaáy phöông trình ñaõ cho coù 6 nghieäm phaân bieät

1 < m – 2 < 3 3 < m < 5 m (3 ; 5) S = a + b = 3 + 5 = 8 choïn D.

Ví duï 4.3 : Khi m thay ñoåi treân R thì phöông trình 3m4x2018xx2017 223 coù nhieàu nhaát

bao nhieâu nghieäm?

A. 6 B. 3 C. 2 D. 0


Ta thaáy veá traùi cuûa phöông trình khoâng aâm. Trong khi ñoù veá phaûi –m2 – 3 < 0, m neân phöông trình luoân voâ

nghieäm vôùi moïi tham soá m choïn D

8



Ví duï 4.4 : Khi m thay ñoåi treân R thì phöông trình 4m4xxx 223 coù nhieàu nhaát bao nhieâu

nghieäm?

A. 2 B. 3

C. 4 D. 6


Soá nghieäm cuûa phöông trình 4m4xxx 223 baèng soá giao ñieåm cuûa

ñöôøng thaúng y = m2 + 4 vaø ñoà thò haøm soá 4xxxy 23

Vì veá phaûi m2 + 4 4, m vaø nhìn vaøo ñoà thò 4xxxy 23

, ta thaáy soá giao ñieåm cuûa ñöôøng

thaúng y = m2 + 4 vaø ñoà thò haøm soá luoän nhoû hôn hoaëc baèng 3. Vaäy phöông trình ñaõ cho coù nhieàu nhaát 3

nghieäm choïn B

Ví duï 4.5 : Tính toång taát caû caùc tham soá m thoûa ñieàu kieän phöông trình 6m5m2xx2x 223

coù ñuùng 5 nghieäm thöïc phaân bieät?

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5


Soá nghieäm cuûa phöông trình 6m5m2xx2x 223 baèng soá

giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng y = m2 – 5m + 6 vaø ñoà thò haøm soá

2xx2xy 23

Töø ñoà thò cuûa haøm soá 2xx2xy 23 , phöông trình ñaõ cho coù 5

nghieäm m2 – 5m + 6 = 2 m

2 – 5m + 4 = 0 m = 1 m = 4 m1 + m2 = 1 + 4 = 5. choïn D

Ví duï 4.6 : Bieát raèng phöông trình 2x3 + bx

2 – cx – 1 = 0 coù ñuùng 2 nghieäm thöïc döông phaân bieät. Hoûi ñoà thò

haøm soá 1xcbxx2y 23 coù bao nhieâu ñieåm cöïc trò?

A. 3 B. 7 C. 5 D. 6


Vì phöông trình 2x3 + bx

2 – cx – 1 = 0 coù ñuùng 2 nghieäm thöïc döông phaân bieät neân ñoà thò haøm soá y = 2x

3 +

bx2 – cx – 1 (C) phaûi caét truïc hoaønh taïi ñuùng 2 ñieåm coù hoaønh ñoä döông trong ñoù ñieåm cöïc ñaïi cuûa ñoà thò

haøm soá laø moät trong hai ñieåm ñoù. Töø ñoà thò (C) coù daïng nhö hình 1 ta suy ra ñoà thò

1xcbxx2y 23 coù daïng nhö hình 2

Nhìn vaøo ñoà thò, ta thaáy ñoà thò haøm soá coù 7 ñieåm cöïc trò.

9



5) DAÏNG 5 : Töø ñoà thò (C) cuûa haøm soá y = f(x) suy ra ñoà thò (C’) cuûa haøm soá mxfy .

Böôùc 1 : Tònh tieán ñoà thò y = f(x) sang phaûi (neáu m < 0), sang traùi (neáu m > 0) m ñôn vò.

Böôùc 2 : Xoùa boû phaàn ñoà thò vöøa nhaän ñöôïc phía beân traùi truïc tung vaø giöû nguyeân phaàn ñoà thò vöøa nhaän

ñöôïc phía beân phaûi truïc tung.

Böôùc 3 : Laáy ñoái xöùng phaàn beân phaûi truïc tung qua truïc tung.

Ví duï 5.1 : Cho haøm soá y = f(x) = x3 – 3x

2 + 2 coù ñoà thò nhö hình veõ beân, ñoà thò naøo

döôùi ñaây laø ñoà thò cuûa haøm soá 1xfy ?

A

A. B. C. D.


Tònh tieán ñoà thò haøm soá y = f(x) sang traùi moät ñôn vò.

Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò haøm soá naèm beân phaûi truïc tung.

Xoùa phaàn ñoà thò haøm soá naèm beân traùi truïc tung.

Laáy phaàn ñoái xöùng phaàn ñoà thò naèm beân phaûi truïc tung qua truïc tung.

Töø ñaây ta coù ñoà thò haøm soá 1xfy choïn C

Ví duï 5.2 : Cho haøm soá y = f(x) coù ñoà thò nhö hình veõ sau. Hoûi haøm soá 2xfy

coù bao nhieâu ñieåm cöïc trò?

A. . B. .

C. . D. .


Tònh tieán ñoà thò haøm soá y = f(x) sang traùi moät ñôn vò.

Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò haøm soá naèm beân phaûi truïc tung.

Xoùa phaàn ñoà thò haøm soá naèm beân traùi truïc tung.

Laáy phaàn ñoái xöùng phaàn ñoà thò naèm beân phaûi truïc tung qua truïc tung. Töø ñaây ta coù ñoà thò haøm soá

2xfy choïn C

Ví duï 5.3 : Bieát raèng haøm soá y = f(x) coù ñoà thò nhö hình veõ. Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa m

ñeå phöông trình m21xf coù 6 nghieäm phaân bieät?

A. 0 < m < 1. B. –1 < m < 0.

C. –1 < m < 1. D. khoâng toàn taïi m.


Töø ñoà thò haøm soá ñaõ cho ta suy ra ñoà thò : (C1) : y = g(x) = f(x – 1) vaø ñoà thò (C2) : y = g( x )

Suy ra phöông trình m21xf coù 6 nghieäm phaân bieät –2 < 2m < 2 –1 < m < 1. Choïn ñaùp aùn C.

2 5

1 3

10



Ví duï 5.4 : Cho haøm soá y = f(x) coù ñoà thò nhö hình veõ beân. Tìm taäp hôïp taát caû caùc

giaù trò m ñeå ñoà thò haøm soá mxfy coù 5 ñieåm cöïc trò?

A. m > 1.

B. m < –1.

C. m > –1.

D. m < 1.


Nhìn vaøo hình veõ, ñeå haøm soá mxfy coù 5 ñieåm cöïc trò thì ta caàn tònh tieán ñoà

thò sao cho ñieåm cöïc ñaïi sang phaûi vaø naèm trong goùc phaàn tö thöù nhaát.

Do ñoù ta phaûi choïn m < –1.

Khi ñoù, ta ñöôïc ñoà thò cuûa haøm soá mxfy nhö hình beân.

Ví duï 5.5 : Cho haøm soá y = f(x) = ax3 + bx

2 + cx + d 0a coù ñoà thò nhö hình beân.

Taát caû caùc giaù trò cuûa tham soá m ñeå haøm soá mxfy coù 5 ñieåm cöïc trò laø:

A. m –1. B. m < –1

C. m –1 D. m > 1


Ta thaáy haøm soá mxfy laø moät haøm soá chaün neân ñoà thò ñoái xöùng qua qua truïc Oy. Maët khaùc

mxfmxfy , x 0. Ta coù pheùp bieán ñoåi töø ñoà thò haøm soá y = f(x) thaønh ñoà thò haøm soá

mxfy nhö sau:

Neáu m > 0:

Böôùc 1: Tònh tieán ñoà thò haøm soá y = f(x) sang traùi m ñôn vò.

Böôc 2: Xoùa phaàn beân traùi Oy cuûa ñoà thò thu ñöôïc ôû böôùc 1.

Böôùc 3: Laáy ñoái xöùng ñoà thò thu ñöôïc ôû böôùc 2 qua Oy.

Neáu m = 0:

Böôùc 1: Giöõ nguyeân phaàn naèm beân phaûi Oy cuûa ñoà thò haøm soá y = f(x), xoùa phaàn

naèm beân traùi Oy cuûa ñoà thò haøm soá y = f(x).

Böôùc 2: Laáy ñoái xöùng phaàn naèm beân phaûi Oy cuûa ñoà thò haøm soá y = f(x) qua Oy.

Neáu m < 0:

Böôùc 1: Tònh tieán ñoà thò haøm soá y = f(x) sang phaûi m ñôn vò.

Böôc 2: Xoùa phaàn beân traùi Oy cuûa ñoà thò thu ñöôïc ôû böôùc 1.

Böôùc 3: Laáy ñoái xöùng ñoà thò thu ñöôïc ôû böôùc 2 qua Oy.

Quan saùt ta thaáy ñoà thò haøm soá y = f(x) coù 2 ñieåm cöïc trò.

Ñeå ñoà thò haøm soá mxfy coù 5 ñieåm cöïc trò thì nhaùnh beân phaûi Oy cuûa ñoà thò haøm soá mxfy phaûi

coù 2 ñieåm cöïc trò

Ñieåm cöïc trò (–1 ; 4) cuûa ñoà thò haøm soá y = f(x) phaûi ñöôïc tònh tieán sang phaûi Oy m < –1. choïn B

11



6) DAÏNG 6 : Töø ñoà thò (C) cuûa haøm soá y = f(x) = u(x).v(x) suy ra ñoà thò (C’) cuûa haøm soá y u(x) .v(x) .

Ta coù : y u(x) .v(x)

u(x).v(x) neáu u(x) 0

u(x).v(x) neáu u(x) < 0

Do ñoù, ñoà thò (C’) ñöôïc suy ra töø ñoà thò (C) nhö sau :

_ Giöû nguyeân phaàn cuûa ñoà thò (C) öùng vôùi u(x) 0 cuûa ñoà thò (C): y = f(x).

_ Boû phaàn ñoà thò treân mieàn u(x) < 0, ñoàng thôøi laáy ñoái xöùng phaàn ñoà thò bò boû qua Ox.

Töø ñoà thò 1x3x2y:)C( 23 suy ra ñoà thò 1xx21xy:)'C( 2 .

Ta coù:

1xkhi)x(f

1 x khi )x(f1xx21xy 2

Töø ñoà thò (C) suy ra ñoà thò (C’) nhö sau:

_ Giöû nguyeân phaàn ñoà thò (C) öùng vôùi x 1.

_ Boû phaàn ñoà thò (C) öùng vôùi x < 1, ñoàng thôøi laáy ñoái xöùng phaàn ñoà thò bò boû qua truïc hoaønh.

Ví duï 6.1 : (ÑEÀ MINH HOÏA 2017)

Haøm soá y = (x 2)(x2 1) coù ñoà thò nhö hình veõ beân.

Hình naøo döôùi ñaây laø ñoà thò cuûa haøm soá 1x2xy2 ?


Ñaët (C) : 2xx2x1x2x)x(f 232 laø ñoà thò ñaõ veõ.

Ta coù (C’) :

2xkhi)x(f

2xkhi)x(f1x2xy 2

Töø ñoà thò (C) ta suy ra caùch veõ ñoà thò (C’) nhö sau :

_ Giöû nguyeân phaàn ñoà thò (C) öùng vôùi x 2.

_ Phaàn cuûa ñoà thò (C) öùng vôùi x < 2 thì boû ñi vaø laáy phaàn ñoái xöùng cuûa phaàn naøy qua truïc Ox.

Ñoà thò cuûa haøm soá 1x2xy2 laø ñaùp aùn A

12



BAØI TOAÙN : Cho haøm soá : y =

1x

1x

coù ñoà thò (C)

1) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá.

2) Döïa vaøo ñoà thò (C), veõ caùc ñöôøng sau :

a) y =

1x

1x

b) y =

1x

1x

c) y =

1x

1x

d) y =

1x

1x

Höôùng daãn :

1) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò cuûa haøm soá.

2) Döïa vaøo ñoà thò (C), veõ caùc ñöôøng sau :

a) y =

1x

1x

Ta coù: y =

1x

1x

=

0)x(fKhi1x

1x

0)x(fKhi1x

1x

Do ñoù ñoà thò y =

1x

1x

goàm :

_ Giöû nguyeân phaàn treân truïc Ox cuûa ñoà thò (C).

_ Laáy theâm ñoái xöùng phaàn coøn laïi qua truïc hoaønh.

b) y =

1x

1x

Ta coù:

1x

1x

y

=

1xvaø1xKhi

1x

1x

1xKhi

1x

1x

Döïa vaøo ñoà thò (C) suy ra caùch veõ nhö sau :

_ Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) öùng vôùi x 1.

_ Phaàn ñoà thò (C) öùng vôùi 1x1 thì boû ñi

vaø thay baèng hình ñoái xöùng cuûa noù qua truïc hoaønh.

c) y =

1x

1x


_ Boû phaàn beân traùi truïc tung, giöõ nguyeân phaàn beân phaûi Oy cuûa (C).

_ Laáy theâm ñoái xöùng cuûa phaàn beân phaûi cuûa truïc oy qua Oy.

d) y =1x

1x

Ñieàu kieän :

01x

1x

1x


_ Giöõ nguyeân phaàn treân truïc Ox cuûa ñoà thò (C).

_ Laáy theâm ñoái xöùng cuûa phaàn ñoù qua Ox.

Documents

1 HAØM SOÁ y = f(x)...Khi tònh tieán (C) theo truïc hoaønh qua phaûi 1 ñôn vò thì seõ ñöôïc ñoà thò cuûa haøm soá coù daïng y = f(x – 1). Ví duï 1.3 : Giaû