1. CIRCUITE ELECTRICE LINIARE 1.1. DEFINIII

Circuitele sau reelele electrice intervin n producerea energiei electromagnetice, transportul, distribuia la locul de utilizare i conversia acestei energii. Circuitele electrice se constituie prin interconectarea elementelor de circuit (rezistoare, bobine, condensatoare, surse de energie, etc.), conform unor scheme de conin laturi, noduri i ochiuri. Un element de circuit posed un numr specific de borne (accesuri sau pori) prin care se realizeaz legturile cu alte elemente. Fiecare born este caracterizat prin intensitatea curentului absorbit i prin potenialul electric fa de un punct de referin. Diferena de potenial dintre borne se va numi tensiune electric ntre aceste borne. Un element cu n borne se va numi n-pol sau multipol electric. n particular, un element cu dou borne se va numi element dipolar sau dipol, un element cu trei borne se va numi tripol, iar dac are patru accesuri se va numi cuadripol. Dou borne asociate constituie o poart dac intensitile curenilor sunt egale i opuse ca sens pentru cele dou borne. Sursa de tensiune i sursa de curent sunt elemente de circuit active, n sensul c, atunci cnd funcioneaz n regim de generator, transmit ctre exterior energia electromagnetic. Elementele de circuit pasive sunt acelea care primesc energie din exterior, pe care o transform n alt form (rezistorul, spre exemplu) sau o acumuleaz ca energie electric (condensatorul) sau energie magnetic (bobina). Laturile active ale unei scheme electrice sunt acelea care conin surse de tensiune sau de curent, celelalte numindu-se laturi pasive. O partiie a unei scheme electrice se numete activ, respectiv pasiv, atunci cnd conine, respectiv nu conine, laturi active. Dac n schema electric a unui circuit activ se substituie sursele de tensiune prin rezistenele lor interne i sursele de curent prin conductanele interne se obine schema pasivizat a circuitului. Latura incident la un nod al circuitului este latura pentru care acel nod constituie una dintre extremiti. Se numete ochi succesiunea de laturi ce formeaz un contur nchis aparinnd schemei electrice. Elementele ideale de circuit sunt obiecte idealizate n sensul c interaciunea electromagnetic cu exteriorul poate fi complet caracterizat printr-un

2 ADVANCED ANALYSIS OF ELECTRIC CIRCUITS

sistem de cureni i un sistem de tensiuni electrice. Elementele de circuit pentru care relaiile ntre tensiuni i cureni sunt liniare (neliniare) se numesc elemente liniare (neliniare) de circuit. Dac relaiile liniare dintre cureni i tensiuni conin coeficieni variabili n timp, elementele de circuit sunt parametrice. Un circuit electric liniar conine doar elemente de circuit liniare. 1.2. ECUAII FUNDAMENTALE Problema fundamental a calculului unui circuit electric const n determinarea intensitilor curenilor din cele l laturi ale acestuia. Un sistem de l ecuaii independente, dedicat acestui scop, se poate obine cu ajutorul celor dou teoreme ale lui Kirchhoff, considerate ca eseniale n teoria circuitelor electrice.

1.2.1. Prima teorem a lui Kirchhoff Cu ajutorul legii de conservare a sarcinii electrice, se poate demonstra prima teorem a lui Kirchhoff (teorema nodurilor), conform creia suma algebric a curenilor laturilor incidente la un nod este nul, cnd se consider cu un semn curenii care intr n nod i cu semn contrar curenii care ies din nod. Folosind o numerotare unic a laturilor circuitului, prima teorem a lui Kirchhoff aplicat unui nod conduce la ecuaia

0)(

= pk

ki , (1.1)

unde s-a utilizat semnul al relaiei de apartenenpentru a sugera c suma algebric s-a efectuat asupra curenilor laturilor incidente la nodul )( p . De exemplu, pentru nodul din fig. 1.1.a, prima teorem a lui Kirchhoff conduce la ecuaia

08521 =+ iiii .

Fig. 1.1

)( p 1i

5i

8i

2i

(a)

)(o

1u

5u

4u 7u

(b)

1. Circuite electrice liniare 3

n general, pentru un circuit cu n noduri i pri separate galvanic se pot obine

= n (1.2)

Ecuaii independente prin aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff, exprimate generic n forma

==

,1,0)(

pipk

k . (1.3)

n regim staionar (acela al circuitelor de c.c.), curenii laturilor au valori constante. n regim cvasistaionar (acela al circuitelor de c.a., de exemplu), n ecuaiile (1.3) intervin valorile instantanee (momentane) ale curenilor laturilor.

1.2.2. A doua teorem a lui Kirchhoff Teorema a doua a lui Kirchhoff (teorema ochiurilor) afirm c suma algebric a tensiunilor la bornele laturilor unui ochi este nul

0)(

= oj

ju . (1.4)

n suma (1.4) tensiunea ju este considerat cu semnul )(+ dac are acelai sens ca sensul ales pentru parcurgerea ochiului; n caz contrar, va intra n sum cu semnul )( . Prin simbolul se sugereaz c suma (1.4) se efectueaz pentru toate laturile j ce aparin ochiului )(o . De exemplu, pentru ochiul din fig. 1.1.b, se obine

07541 =+ uuuu .

Pentru un circuit cu l laturi, n noduri i partiii separate galvanic, se pot scrie

+= nlm (1.5)

ecuaii independente prin aplicarea teoremei a doua a lui Kirchhoff, adic

mouoj

j ,1,0)(

==

. (1.6)

Un ansamblu de m ochiuri care cuprinde toate laturile circuitului i pentru care aplicarea teoremei a doua a lui Kirchhoff conduce la m ecuaii independente se numete sistem de ochiuri fundamentale. Pentru un circuit dat exist mai multe sisteme de ochiuri fundamentale, dar numrul m al ochiurilor dintr-un astfel de sistem este acelai, bine determinat. Un ochi fundamental conine cel puin o latur ce nu aparine celorlalte ochiuri din sistem. n regim staionar, tensiunile la bornele laturilor au valori constante. n

4 ADVANCED ANALYSIS OF ELECTRIC CIRCUITS

regim cvasistaionar, ecuaiile (1.6) conin valorile instantanee ale tensiunilor. Din relaiile (1.2) i (1.5) rezult

lnlnm =++=+ , (1.7)

concluzia fiind c, pentru un circuit electric oarecare, cele dou teoreme ale lui Kirchhoff permit obinerea unui numr de ecuaii independente egal cu numrul curenilor necunoscui ai laturilor circuitului. 1.3. GRAFUL UNUI CIRCUIT ELECTRIC Prin graf al unui circuit electric se nelege reprezentarea geometric a configuraiei acestuia, obinut prin asocierea cte unui punct (numit nod al grafului) pentru fiecare nod al circuitului i cte unui arc de curb (numit latur a grafului) pentru fiecare latur de circuit. Modul n care laturile sunt legate la noduri este identic pentru circuit i pentru graful asociat. Dac pentru laturile grafului nu sunt precizate sensuri de parcurs, acesta se numete graf neorientat sau topologic. Dac se aleg sensuri arbitrare de parcurs pentru laturi, se obine un graf orientat sau digraf. Pentru exemplificare, n fig. 1.2 se prezint un circuit electric (fig. 1.2.a) i digraful asociat (fig. 1.2.b). Subgraful unui graf dat este constituit dintr-o submulime de laturi i noduri ale acestuia. Bucla este o curb nchis, format din laturi ale grafului, ce poate fi parcurs respectnd sensurile laturilor i trecnd o singur dat prin fiecare nod al ei. n graful din fig. 1.2.b, de exemplu, laturile {1, 4, 2}, {5, 7, 2}, {2, 5, 6, 4} formeaz bucle. Arborele unui graf este un subgraf fr bucle care conine toate nodurile

Fig. 1.2

ab c

d

1

4 3 2

6 5

7

a b c

d

1

43

2

6 5

7

(a) (b)

1. Circuite electrice liniare 5

grafului unite prin laturi care se numesc ramuri. Laturile grafului care nu aparin arborelui se numesc coarde, ansamblul lor alctuind coarborele. De exemplu, dac pentru graful din fig. 1.2.b se alege arborele format din laturile {5, 6, 7}, atunci mulimea laturilor {1, 2, 3, 4}, ce nu aparin coarborelui, formeaz coarborele. mprirea laturilor n ramuri i coarde nu este unic, n general existnd mai muli arbori pentru un graf dat. Oricare ar fi arborele ales, numrul ramurilor va fi

== nr i, n consecin, coarborele va fi alctuit din += nlc coarde. Numrul m al ochiurilor fundamentale ale unui circuit electric este egal cu numrul coardelor din graful asociat acestuia. Astfel, pentru circuitul din fig. 1.2.a, avnd 4,7 == nl i 1= , rezult 4147 =+=+= nlm . Graful din fig. 1.2.b, asociat circuitului anterior menionat, are numrul ramurilor == 3r i numrul coardelor 437 === rlc . Grafurile orientate pot fi utilizate pentru scrierea sistematic a ecuaiilor lui Kirchhoff, eventual n form matriceal, avnd ca scop calculul curenilor laturilor unui circuit electric. Este recomandabil parcurgerea urmtoarelor etape:

1) Se identific l, n i pentru circuitul dat; 2) Se calculeaz r= , din relaia (1.2), apoi cm = , din relaia (1.5); 3) Se traseaz digraful asociat circuitului, alegnd sensuri arbitrare pentru

laturile sale; 4) Se alege un arbore al grafului, rezultnd implicit coarborele; 5) Se aleg ochiurile fundamentale, astfel nct fiecare s conin o singur

coard, al crei sens va impune sensul de parcurs al ochiului; 6) Se scrie prima teorem a lui Kirchhoff pentru noduri ale circuitului,

sensurile curenilor laturilor fiind identice cu sensurile laturilor corespondente din digraf;

7) Se scrie a doua teorem a lui Kirchhoff n fiecare din cele m ochiuri fundamentale, sensul tensiunilor la bornele laturilor circuitului fiind considerat identic cu sensul laturilor corespondente din digraf.

Sistemul astfel obinut are un numr de ecuaii independente egal cu numrul l al laturilor circuitului, deci al curenilor ce urmeaz a fi calculai. 1.4. CALCULUL CIRCUITELOR DE C.C. Circuitele de c.c. sunt acelea n care toate tensiunile electrice, potenialele i curenii au valori invariabile n timp. Exist mai multe metode de calcul al circuitelor de c.c., bazate, pn la urm, pe cele dou teoreme ale lui Kirchhoff. Cele mai importante metode sunt:

a) Metoda teoremelor lui Kirchhoff; b) Metoda superpoziiei; c) Metoda schemelor echivalente; d) Metoda potenialelor nodurilor; e) Metoda curenilor de ochiuri.

6 ADVANCED ANALYSIS OF ELECTRIC CIRCUITS

Succinte explicaii i exemple de aplicare a acestor metode sunt oferite n cele ce urmeaz.

1.4.1. Metoda teoremelor lui Kirchhoff Cele l ecuaii independente, folosite pentru calculul curenilor laturilor unui circuit dat (cu l laturi, n noduri i pri separate galvanic), se obin astfel: ecuaii cu prima teorem a lui Kirchhoff, conform (1.2) i (1.3),

m ecuaii cu a doua teorem a lui Kirchhoff, conform (1.5) i (1.6). n scrierea sistematic a ecuaiilor, este recomandabil parcurgerea

etapelor (1 7) prezentate n 1.3. ntruct toate elementele unui circuit liniar au caracteristici tensiune-curent

liniare, sistemul ecuaiilor lui Kirchhoff va fi algebric, liniar, cu coeficieni constani (numere reale). n consecin, soluia acestui sistem va fi unic, deci se obin valori unice pentru curenii laturilor.

Se va exemplifica metoda prin calculul curenilor laturilor pentru circuitul din fig. 1.3.a, n care se cunosc t.e.m. 1E i 3E ale surselor de tensiune i rezistenele 4321 ,,, RRRR . Deoarece 2,3 == nl i 1= , rezult

.2123,112

=+=+====

nlmn

Digraful asociat acestui circuit este reprezentat n fig. 1.3.b, latura 3 constituind arborele, iar laturile 1 i 2 fiind coarde.

innd seama de sensurile marcate pe fig. 1.3.a, aplicarea teoremelor lui Kirchhoff conduce la sistemul de ecuaii

.,

,0

3343322

31343311

321

EIRIRIREEIRIRIR

III

=+++=++

=+

Fig. 1.3

2R

3R

4R 1R

3I 2I

1I

I II

1E

3E

1 2 3

(a) (b)

1. Circuite electrice liniare 7

Pentru valori cunoscute ale t.e.m. i rezistenelor

,150;24.0;68;12.0;12.0V;3V;5 4321131 ======= RRRRREE

sistemul de ecuaii algebrice liniare capt forma:

.324.15068,824.15012.0

,0

32

31

321

=+=+

=+

IIII

III

Ca soluii unice ale sistemului de ecuaii, se obin curenii laturilor:

.A0533.0A,1270.0A,0737.0 321 === III

Semnul pentru valoarea curentului 1I indic faptul c sensul acestuia este invers fa de cel adoptat, n mod arbitrar, pentru scrierea ecuaiilor. Validarea rezultatelor obinute se poate realiza prin efectuarea bilanului puterilor n circuit, adic prin verificarea egalitii

234

233

222

2113311 IRIRIRIRIEIE +++=+ ,

pentru valorile calculate ale curenilor laturilor.

1.4.2. Metoda superpoziiei Principiul superpoziiei sau principiul suprapunerii efectelor este general valabil n medii liniare. n particular, n cazul circuitelor electrice liniare, acest principiu se concretizeaz n teorema superpoziiei. Conform acesteia, intensitatea curentului electric din orice latur a unui circuit liniar este suma algebric a intensitilor curenilor pe care i-ar produce n acea latur fiecare dintre surse acionnd singur, celelalte surse fiind pasivizate. Pentru intensitatea jI a curentului din latura j rezult deci

=

=l

pjpj II

1

, (1.8)

unde jpI este curentul produs n latura j de sursa aflat n latura p, atunci cnd toate celelalte surse din circuit au fost pasivizate. Ca exemplu, se vor calcula prin metoda superpoziiei curenii din laturile circuitului reprezentat n fig. 1.4.a. Pasivizarea sursei 3E conduce la schema din fig. 1.4.b, iar prin pasivizarea sursei 1E se obine schema de calcul din fig. 1.4.c. Aplicarea metodei superpoziiei conduce la urmtoarele rezultate:

8 ADVANCED ANALYSIS OF ELECTRIC CIRCUITS

13111 III += , unde 321

111 || RRR

EI+

= i 21

2

213

313 || RR

RRRR

EI

+

+= ,

23212 III += , unde 32

3

321

121 || RR

RRRR

EI+

+

= i 21

1

213

323 || RR

RRRR

EI

+

+= ,

33313 III += , unde 32

2

321

131 || RR

RRRR

EI+

+

= i 213

333 || RRR

EI

+= .

Metoda superpoziiei nu este recomandat de practic n cazul circuitelor cu numr relativ mare de laturi i noduri, din cauza volumului de calcul implicat. Este eficient atunci cnd, pentru un circuit dat, nu intereseaz curenii tuturor laturilor, ci doar curentul ntr-o latur a acestuia. Pentru exemplificare, se va calcula curentul 4I al circuitului din fig. 1.5 folosind metoda superpoziiei.

Rezult:

4544414 IIII ++= ,

unde

Fig. 1.4

(a) (b) (c)

1I

3E 2R

3R 1R

2R 3R 1R

2R 3R 1R

2I 3I 11I

21I 31I 13I

23I 33I

1E 3E 1E

Fig. 1.5

2R

5R

4R 1R

4I

1E

4E

5E

3R

1. Circuite electrice liniare 9

( )( ) 433

4352

2

43521

141 |||||| RR

RRRRR

RRRRRR

EI+

++

++

= ,

( )215344

44 |||| RRRRREI

++= ,

43

3

43215

545 |||| RR

RRRRRR

EI

+

++= .

Principiul superpoziiei st la baza unor metode de calcul n medii liniare, n particular al metodei curenilor de ochiuri aplicabil n circuite electrice liniare.

1.4.3. Metoda generatorului echivalent Un circuit dipolar liniar activ (fig. 1.6.a) admite dou scheme echivalente:

a) schema generatorului de tensiune echivalent (fig. 1.6.b); b) schema generatorului de curent echivalent (fig. 1.6.c).

Latura pasiv conectat la bornele (A, B) ale dipolului activ se consider de rezisten R i conductan G . Pentru schema echivalent din fig. 1.6.b, rezult (teorema Thvenin-Helmholtz)

0

0

AB

ABAB RR

UI

+= , (1.9)

unde 0ABU este tensiunea de mers n gol la bornele (A,B), iar 0ABR este rezistena

intern a circuitului pasivizat. Pentru schema echivalent din fig. 1.6.c, rezult (teorema lui Norton)

0AB

sABAB GG

IU

+= , (1.10)

Fig. 1.6

Linear active circuit R ABU

ABI

B

A

(a)

0ABR

RABU ABI

B

A

0ABU 0ABG G

ABU

ABI

B

A

ABsI

(b) (c)

10 ADVANCED ANALYSIS OF ELECTRIC CIRCUITS

unde sABI este curentul de scurtcircuit al dipolului activ, iar 0ABG este

conductana intern a dipolului pasivizat. Metoda bazat pe formulele (1.9), respectiv (1.10), permite calculul rapid al curentului, respectiv tensiunii la borne, pentru o latur oarecare a unui circuit liniar. Ca exemplu, se va calcula curentul 2I pentru schema electric din fig. 1.4.a folosind formula (1.9) adaptat:

0

0

22

AB

AB

RR

UI

+= .

Schema auxiliar din fig. 1.7.a permite calculul tensiunii de mers n gol:

31

1331

31

3111110 RR

RERERREE

REIREU AB ++

=+

== .

Pasivizarea dipolului activ conduce la schema auxiliar din fig. 1.7.b, din care rezult

31

310 RR

RRRAB +

= .

Substituind 0ABU i 0ABR n expresia obinut pentru 2I , prin

particularizarea relaiei (1.9), se obine

133221

13312 RRRRRR

REREI

+++

= .

Pentru reele pasive simple, folosind doar teoremele lui Kirchhoff i relaia (1.9), se poate efectua calculul rezistenei echivalente n raport cu dou borne, fr a efectua transfigurri.

De exemplu, pentru reeaua pasiv din fig. 1.8, cu bornele (A, B), se poate calcula curentul I debitat de o ipotetic surs de tensiune (reprezentat cu linie ntrerupt), utiliznd n acest scop ecuaiile lui Kirchhoff. Se obine

Fig. 1.7

3R 1R

1E

I

B

A

0ABU

3E 3R 1R

B

A

(a) (b)

1. Circuite electrice liniare 11

rR

EI+

=

1619

,

rezultat care, interpretat i comparat cu relaia (1.9) ofer rezistena echivalent cutat

RRAB 1619

= .

Metoda generatorului echivalent este eficient n calcule privind erorile de

msurare i n determinarea condiiilor n care aceste erori se ncadreaz n limite acceptabile. Spre exemplificare, se consider schema din fig. 1.9, n care tensiunea

4U trebuie msurat cu voltmetrul V, astfel nct

%5'1'

4

4

4

44

4

4 =

=

UU

UUU

UU ,

unde '4U este tensiunea indicat de voltmetrul cu rezistena intern VR . Intereseaz ce valoare limiteaz inferior rezistena VR , astfel nct msurarea s poat fi efectuat cu precizia impus, dac = 3.01R , = 7.02R i = 5.03R .

Fig. 1.8

R R

R

R2

R2

A BI

rE

Fig. 1.9

VR

1R

1E '4U

V

3R 3E

2R 4R

A

B

4U

12 ADVANCED ANALYSIS OF ELECTRIC CIRCUITS

n lipsa voltmetrului, schema electric se poate reprezenta compact ca n fig. 1.10.a, iar n prezena acestuia se obine schema compact din fig. 1.10.b.

Relaia (1.9), aplicat pentru schema din fig. 1.10.a, conduce la

04

404

ABRRUI+

= , cu 321

210

RRR

RRRAB ++= ,

de unde

04

4041

ABRRURU+

= .

Aceeai relaie, aplicat n schema din fig. 1.10.b, conduce la

0||

''4

404

ABV RRRUI

+= ,

de unde

( )( ) ( )VABV

V

VABV

V

V

V

RRRRRURR

RRRRRRRU

RRRR

U++

=++

+

+=

44

404

44

440

4

44

00

'' ,

Rezult c raportul ce intereseaz, adic

0

0

4

44

4 '

AB

ABV

V

RR

RRR

RUU

++

= ,

nu depinde de t.e.m. ale surselor prezente n circuit. Respectarea preciziei de msurare impus se realizeaz dac

Fig. 1.10

Linear active circuit

321

31

,,,

RRREE

4R 4U

4I

B

A

(a) (b)

Linear active circuit

321

31

,,,

RRREE

4R '4U

'4I

B

A

VR

1. Circuite electrice liniare 13

10095'

4

4 UU , adic 95.0

0

0

4

4

++

AB

ABV

V

RR

RRR

R ,

de unde rezult condiia

0

0

4

419

AB

ABV RR

RRR

+ .

Cu datele numerice cunoscute ale schemei electrice, se obine condiia

42.13VR ,

necesar pentru ca tensiunea 4U s poat fi msurat cu eroare de sub %5 , condiie ndeplinit de voltmetrele analogice, a cror rezisten intern este de k pn la M .

1.4.4. Metoda potenialelor nodurilor Metoda teoremelor lui Kirchhoff conduce la un sistem de l ecuaii independente, n care necunoscutele sunt curenii celor l laturi ale circuitului. Pentru circuite cu numr mare de laturi, volumul de calcul implicat de rezolvarea acestui sistem este important, aa nct se apeleaz la metode ce conduc la un numr semnificativ mai mic de ecuaii: metoda potenialelor nodurilor i metoda curenilor ochiurilor. Astfel, metoda potenialelor nodurilor, cunoscut i ca metoda analizei nodale, conduce la ecuaii independente, adic la attea cte s-ar obine prin aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff. ntruct l

14 ADVANCED ANALYSIS OF ELECTRIC CIRCUITS

Dac se substituie curenii, exprimai n forma (1.11), n ecuaiile (1.3) obinute prin aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff, se obine un sistem de ecuaii independente, prin rezolvarea cruia rezult cele poteniale ale nodurilor, considerate ca necunoscute auxiliare n cadrul metodei.

Curentul fiecrei laturi se calculeaz apoi cu ajutorul relaiei (1.11), n care jkE are sensul marcat prin succesiunea indicilor inferiori (de la nodul j ctre nodul

k). Pentru a exemplifica aplicarea metodei, se consider schema electric din

fig. 1.12, n care V61 =E , V122 =E , V93 =E , =101R , = 302R , = 203R , = 404R , = 55R i =156R .

Conform relaiei (1.11), rezult

( )111

11 EVR

I += , ( )212

21 EV

RI += , ( )332

33

1 EVVR

I += ,

( )324

41 VV

RI = , 3

55

1 VR

I = , ( )216

61 VVR

I = .

Aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff, n cele trei noduri cu potenial nenul, conduce la ecuaiile independente

0621 =+ III , 0436 = III , 0543 =+ III .

Dac, n aceste ecuaii, fiecare curent este exprimat n funcie de

Fig. 1.11

kR jkE

kI kV jV )( j )(k

Fig. 1.12

2R 5R

4R

1R

1I

1E

5I

6R 6I

4I

3E

3R

3I

2E

2I

1V 2V

3V 0=V

1. Circuite electrice liniare 15

potenialele nodurilor, se obine sistemul ce are ca soluii aceste poteniale:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) .0111

,0111

0111

35

324

3323

324

3323

216

216

212

111

=++

=+

=+++

VR

VVR

EVVR

VVR

EVVR

VVR

VVR

EVR

EVR

Cu valorile numerice precizate pentru parametrii elementelor de circuit, prin rezolvarea sistemului se obin valorile numerice

V02.51 =V , V061.02 =V , V653.13 =V .

Relaiile scrise conform (1.11) permit calculul facil al curenilor laturilor, pentru care se obin valorile:

.A3306.0,A3306.0,A0398.0,A3704.0,A2326.0,A098.0

654

321

======III

III

De remarcat c a fost necesar rezolvarea unui sistem de numai 3 ecuaii, pe cnd aplicarea metodei teoremelor lui Kirchhoff ar fi condus la un sistem de 6 ecuaii. n plus, metoda nodal dispune de proceduri prin care se pot scrie direct ecuaiile satisfcute de potenialele nodurilor, urmare a unei simple inspecii vizuale sau a folosirii unei aplicaii software dedicate.

1.4.5. Metoda curenilor de ochiuri

Bazat pe principiul superpoziiei, aceast metod conduce la un sistem de m ecuaii independente, cte una pentru fiecare ochi fundamental al circuitului analizat. Necunoscutele acestui sistem sunt reprezentate de un set de cureni fictivi ce se nchid prin laturile ochiurilor fundamentale, numii cureni de ochiuri (de contur, ciclici), cte unul pentru fiecare dintre aceste ochiuri. Condiia esenial este ca, pentru fiecare latur, curentul real s fie suma algebric a curenilor de ochiuri care trec prin acea latur.

Metoda se va prezenta cu ajutorul unui exemplu ce utilizeaz schema electric din fig. 1.13, cu 6=l laturi, 4=n noduri, 1= i, n consecin,

3=+= nlm . Se consider c prin laturile {1, 2} ale primului ochi circul curentul fictiv

1mI , prin laturile {2, 6, 3, 5} ale celui de al doilea ochi circul curentul de ochi

2mI , iar prin laturile {3, 4} ale celui de al treilea ochi fundamental circul curentul

3mI . Sensurile curenilor de ochiuri se pot alege arbitrar. Curentul fiecrei laturi rezult prin superpoziia curenilor de ochiuri ce

16 ADVANCED ANALYSIS OF ELECTRIC CIRCUITS

trec prin acea latur:

11 mII = , 212 mm III += , 323 mm III = , 34 mII = , 25 mII = , 26 mII = .

Adoptnd sensurile curenilor ciclici ca sensuri de parcurs pentru scrierea

teoremei a doua a lui Kirchhoff, se obin ecuaiile:

.,

,

34433

3255336622

212211

EIRIREEIRIRIRIR

EEIRIR

=++=+++

=

Substituind curenii laturilor cu expresiile lor n funcie de curenii ochiurilor, se obine sistemul de ecuaii

( )( ) ( )( ) ,

,

,

334323

322532326212

2121211

EIRIIR

EEIRIIRIRIIR

EEIIRIR

mmm

mmmmmm

mmm

=+

+=++++

=+

care, ordonat dup curenii fictivi ai ochiurilor fundamentale, devine

( )( )

( ) .,

,

343332

32336532211

2122211

ERRIRI

EERIRRRRIRI

EERIRRI

mm

mmm

mm

=++

+=++++

=+

O analiz simpl a formei coeficienilor acestui sistem conduce la concluzii ce permit scrierea direct a ecuaiilor sale, urmare a unei inspecii vizuale a schemei electrice, ceea ce sporete eficiena metodei. Considernd aceleai valori ale parametrilor schemei ca i pentru aceea din fig. 1.12, rezolvarea sistemului de ecuaii anterior conduce la soluia

.A0398.0,A3306.0,A098.0 321 === mmm III

Fig. 1.13

2R 5R

4R 1R

1I

1E

5I

6R 6I

4I

3E

3R

3I

2E

2I

2mI 1mI 3mI

1. Circuite electrice liniare 17

Calculul curenilor laturilor prin superpoziia curenilor de contur conduce la valorile obinute n aplicaia din 1.4.4, schema electric aleas pentru exemplificare fiind aceeai. Metoda curenilor de ochiuri presupune rezolvarea unui sistem algebric cu attea ecuaii cte s-ar obine cu teorema a doua a lui Kirchhoff, adic lm < . 1.5. CALCULUL CIRCUITELOR N REGIM VARIABIL

Circuitele electrice de curent variabil n timp prezint o importan major pentru aplicaiile tehnice, cele mai importante regimuri de studiu al acestora fiind:

a) Regimul tranzitoriu, n care valorile instantanee ale curenilor i tensiunilor sunt funcii oarecare de timp;

b) Regimul sinusoidal, n care toate mrimile ce descriu funcionarea circuitului au variaii sinusoidale n timp;

c) regimul periodic nesinusoidal, n care tensiunile i curenii prezint o variaie periodic oarecare n timp.

Studiul circuitelor n aceste regimuri de funcionare se poate face sistematic, cu metode relativ simple i eficiente, dac sunt ntrunite urmtoarele condiii:

- intensitatea curentului este uniform repartizat pe seciunea transversal a conductoarelor;

- variaia n timp a curenilor i tensiunilor este suficient de lent pentru ca peste tot, cu excepia dielectricului dintre armturile condensatoarelor, s poat fi neglijat curentul de deplasare (caracterul cvasistaionar al regimului de variaie n timp);

- dielectricul din jurul conductoarelor ce alctuiesc circuitul s fie perfect izolant.

n cazul circuitelor electrice liniare funcionnd n regim variabil, aplicarea teoremelor lui Kirchhoff conduce la un sistem de ecuaii integro-difereniale liniare, cu coeficieni constani, n care necunoscutele sunt valorile instantanee ale curenilor laturilor. Calculul acestor cureni constituie o Problem n domeniul timp, la a crei soluie se poate ajunge, n general, pe dou ci:

a) Rezolvarea direct, n domeniul timp; b) Rezolvarea n domeniul imaginilor, la care se ajunge printr-o

transformare funcional, apoi revenirea n domeniul timp printr-o transformare funcional invers celei iniiale (metode operaionale).

Cele dou strategii de abordare a calculului circuitelor liniare n regim variabil sunt prezentate schematic n fig. 1.14. Se poate observa c rezolvarea n domeniul timp este direct, dar presupune dificultatea rezolvrii ecuaiilor integro-difereniale fr a apela la operatori matematici. Rezolvarea n domeniul imaginilor necesit dou transformri funcionale, una direct i alta invers, dar are avantajul c ecuaiile rezolvate sunt algebrice, liniare, cu coeficieni constani.

18 ADVANCED ANALYSIS OF ELECTRIC CIRCUITS

Complexitatea circuitului, regimul de studiu i experiena celui care efectueaz analiza sunt factorii determinani n alegerea uneia dintre cele dou strategii.

1.5.1. Metoda integrrii directe Mrimile de stare ale circuitelor liniare cu parametri invariabili satisfac ecuaii difereniale liniare cu coeficieni constani. n regim tranzitoriu, valorile instantanee ale acestor mrimi au o component liber soluie general a ecuaiei omogene i o component de regim forat soluie particular a ecuaiei neomogene. Constantele arbitrare ce apar n forma general a componentei libere se calculeaz cu ajutorul condiiilor iniiale ale circuitului, deduse din continuitatea fluxurilor totale ale bobinelor i a sarcinilor condensatoarelor. n regim permanent, care coincide cu regimul forat pentru circuitele uzuale alimentate cu tensiuni constante sau periodice, valorile instantanee ale mrimilor se determin substituind n ecuaiile neomogene soluii particulare de aceeai form cu termenii liberi. Se va exemplifica aplicarea metodei integrrii directe a ecuaiilor, apelnd la schema electric din fig. 1.15, n care iniial condensatorul nu este ncrcat i contactul k se afl n poziia median (ntre poziiile 1 i 2). Circuitul se afl n stare de repaus, cu condiiile iniiale

0)( 0 ==tti i 0)( 0 ==tC tu . (1.12)

Time domain problem

Time domain solution

Solving in the time domain (Integro-differential equations)

Direct functional transform

Image domain problem

Image domain solution Solving in the image

domain (Algebraic equations)

Inverse functional transform

Fig. 1.14

1. Circuite electrice liniare 19

nchiderea contactului k n poziia 1, la momentul 0=t , cupleaz sursa cu

t.e.m. )(te la bornele circuitului serie RLC, declanndu-se astfel un regim tranzitoriu. Intereseaz evoluia valorilor instantanee )(ti , )(tuC , )(tuR i )(tuL pe parcursul acestui regim variabil. Aplicarea teoremei a doua a lui Kirchhoff conduce la ecuaia

0=+++ eCLR uuuu , (1.13)

care, innd seama de relaiile caracteristice elementelor de circuit

)(,d

d,dd, teu

tuCi

tiLuiRu eCLR ===+ , (1.14)

capt forma

)(d

d2d

d 20

202

2

teut

utu

CCC =++ , (1.15)

n care

LR

2= i

LC1

0 = . (1.16)

Soluia de regim tranzitoriu )(tuC are forma

)()()( tututu fClCC += , (1.17)

unde componenta liber )(tu lC este soluia general a ecuaiei omogene

0d

d2

dd 2

02

2

=++ CCC ut

utu

, (1.18)

iar componenta forat este o soluie particular a ecuaiei neomogene (1.15). Rdcinile ecuaiei caracteristice

02 202 =++ rr (1.19)

Fig. 1.15

)(te

R L C

k

1

Ru Lu Cu

eu

2

i

20 ADVANCED ANALYSIS OF ELECTRIC CIRCUITS

sunt

=+= 202

2,1r . (1.20)

n funcie de natura acestor rdcini, se disting trei cazuri crora le corespund expresii distincte ale componentei libere:

a) 0> , deci CLR 2> , caz n care

( )tttlC eAeAetu += 21)( , (1.21) cu 1A i 2A constante;

b) 0= , deci CLR 2= , caz n care

( ) tlC etBAtu +=)( , (1.22) cu A i B constante;

c) 0

1. Circuite electrice liniare 21

momentul 0=t ), se pot calcula constantele

( )+

=2

01

EA i ( )+

=2

02

EA ,

a cror substituire n expresia (1.26) conduce la

+= tteEtu tC sinhcosh1)( 0 . (1.27)

Folosind relaiile (1.14), se obin

.sinhcosh)(

,sinh)(

,sinh)(

0

0

0

=

=

=

tteEtu

teL

REtu

teL

Eti

tL

tR

t

. (1.28)

b) innd seama de expresia (1.22) a componentei libere, rezult:

( ) tC etBAEtu ++= 0)( . (1.29) Cu aceleai condiii iniiale, rezult 0EA = i 0EB = . n consecin, din expresia (1.29), se obine

( )[ ]tC etEtu += 11)( 0 , (1.30) apoi, cu relaiile (1.14), rezult

( ) .1)(

,)(

,)(

0

0

0

tL

tR

t

etEtu

etL

REtu

etL

Eti

=

=

=

. (1.31)

c) innd seama de expresia (1.23) a componentei libere, rezult

( )+= teKEtu tC 10 cos)( , (1.32) Utiliznd condiiile iniiale ale circuitului, se determin constantele de integrare

1

00

= EK i 1

arctan

= ,

22 ADVANCED ANALYSIS OF ELECTRIC CIRCUITS

care se substituie apoi n expresia (1.32), obinndu-se n final

+= tteEtu tC 11

10 sincos1)( . (1.33)

Cu relaiile (1.14) se obin valorile instantanee ale celorlalte mrimi care intereseaz

.sincos)(

,sin)(

,sin)(

110

11

0

11

0

=

=

=

tteEtu

teL

REtu

teL

Eti

tL

tR

t

(1.34)

Se poate observa c, n toate cele trei cazuri (a, b, c) se obin valorile de regim permanent

,0)(lim

,)(lim 0

==

==

tii

Etuu

tp

CtpC

care confirm anularea curentului atunci cnd ncrcarea condensatorului s-a ncheiat. Dac, odat atins regimul permanent, se comut ntreruptorul k din poziia 1 n poziia 2, se va declana un nou regim tranzitoriu. Alegnd acest moment ca origine a timpului, condiiile iniiale ale noului regim tranzitoriu vor fi: 0)0( EuC = i 0)0( =i . Integrarea ecuaiei care modeleaz acest regim tranzitoriu

0d1dd

=++ tiCtiLRi (1.35)

are ca rezultat )(ti , acelai ca n precedentul regim analizat (pe parcursul cruia condensatorul s-a ncrcat), dar cu semn schimbat. O evoluie similar prezint i tensiunile )(,)(,)( tututu LRC . Cazul B: T.e.m. a sursei este sinusoidal, de forma )sin()( += tEte m , caz n care soluia particular a ecuaiei (1.15) se caut de forma

( )CCmfC tUtu += sin)( , (1.36) care reprezint componenta forat a soluiei de regim tranzitoriu )(tuC . Impunnd ca )(tu fC , de forma (1.36), s verifice identic ecuaia (1.15)

pentru orice moment t, rezult amplitudinea CmU i defazajul C al componentei forate:

1. Circuite electrice liniare 23

2

1

arctan,1 22

=

+

=R

CL

CLRC

EU CmCm , (1.37)

aceast component fiind astfel complet determinat. Regimul liber al circuitului fiind acelai, independent de )(te , pentru cazurile distincte tratate anterior rezult:

a) Cazul n care CLR 2> :

( ) ( )tttCCmC eAeAetUtu +++= 21sin)( ; (1.38)

b) Cazul n care CLR 2= :

( ) ( ) tCCmC etBAtUtu +++= sin)( ; (1.39)

c) Cazul n care CLR 2< :

( ) ( )++= teKtUtu tCCmC 1cossin)( . (1.40) Utiliznd condiiile iniiale ale circuitului, se determin constantele de integrare KBAAA ,,,, 21 i , sau doar acelea impuse de cazul concret analizat. Cunoscnd )(tuC , se pot determina imediat, cu relaiile simple (1.14), valorile instantanee )(),( tuti R i )(tuL . Pentru regimul permanent la care se ajunge, n urma derulrii regimului tranzitoriu, se obine

+

+

== R

CL

t

CLR

Etiti m

tp

1

arctansin1

)(lim)(2

2

.

1.5.2. Metoda simbolic

Circuitele electrice funcionnd n regim sinusoidal prezint o importan deosebit n aplicaiile tehnice privind producerea, transportul i utilizarea energiei electromagnetice. ntr-un astfel de circuit, valorile instantanee ale curenilor i tensiunilor sunt toate sinusoidale, de aceeai frecven.

24 ADVANCED ANALYSIS OF ELECTRIC CIRCUITS

Modelarea n domeniul timp a circuitelor liniare conduce la sisteme de ecuaii integro-difereniale liniare cu coeficieni constani, n care necunoscutele sunt de obicei valorile instantanee sinusoidale ale curenilor laturilor. Rezolvarea acestor sisteme se poate face, simplu i eficace, utiliznd metoda simbolic metod ce transform ecuaiile integro-difereniale n ecuaii algebrice liniare. Metoda simbolic se bazeaz pe reprezentarea n complex a mrimilor sinusoidale, care asociaz fiecrei mrimi sinusoidale )(ti o imagine n complex unic I , prin relaia de coresponden biunivoc

( ) =+= jeIItIti sin2)( , (1.41)

unde 1=j . Reprezentarea n complex (simplificat) este liniar i are avantajul c asociaz operaiei de derivare, respectiv de integrare, operaia algebric de nmulire, respectiv de mprire cu numrul imaginar j . Rezolvarea sistemului de ecuaii algebrice liniare satisfcut de imaginile complexe ale mrimilor cutate, urmat de revenirea n domeniul timp prin reprezentarea invers (din complex n sinusoidal), ofer valorile instantanee ale mrimilor care intereseaz n funcionarea circuitului. De exemplu, pentru schema electric din fig. 1.16.a, n care

( )+= tEte sin2)( , aplicarea teoremelor lui Kirchhoff n valori instantanee conduce la sistemul de ecuaii:

,0dd

dd

dd

dd

,)(dd

dd

,0

211

1222

211

21

=++

=+

=

tiM

tiL

tiM

tiLRi

tetiM

tiL

iii

(1.42)

care corespunde sensurilor precizate pe figur i notaiei cu M a inductivitii de cuplaj mutual (existent ntre cele dou bobine).

Fig. 1.16

)(te

R

1L 2L

)(ti

M

)(1 ti )(2 ti

1m 2m

(a)

E

R

1Lj 2Lj

I

Mj

1I 2I

1m 2m

(b)

1. Circuite electrice liniare 25

Reprezentarea n complex a mrimilor sinusoidale transform sistemul de ecuaii difereniale liniare (1.42) ntr-un sistem de ecuaii algebrice liniare, satisfcut de imaginile complexe ale curenilor laturilor:

.0,

,0

2111222

211

21

=++=+

=

IMjILjIMjILjIREIMjILj

III (1.43)

Acestui sistem de ecuaii i se poate asocia schema electric n complex din fig. 1.16.b. Sistemul (1.43) ofer ca soluii imaginile complexe ale curenilor laturilor. De exemplu, pentru curentul din latura 2 se obine

( )22111

2 MLLjRLLMEI

+

= , (1.44)

expresie care se poate scrie sub forma

( )( )

( )+

= je

MLLRL

LMEI22

21222

1

12 , (1.45)

n care defazajul

( )RL

MLL

1

221arctan = , (1.46)

i valoarea efectiv

( )( )

( )+

= je

MLLRL

LMEI22

21222

1

12 , (1.47)

rezult din (1.44), ntruct

{ }2arg I= i 22 II = .