Download pdf - 1. CIRCUITE ELECTRICE LINIARE - automation.ucv.ro

1. CIRCUITE ELECTRICE LINIARE 1.1. DEFINIŢII

Circuitele sau reţelele electrice intervin în producerea energiei electromagnetice, transportul, distribuţia la locul de utilizare şi conversia acestei energii. Circuitele electrice se constituie prin interconectarea elementelor de circuit (rezistoare, bobine, condensatoare, surse de energie, etc.), conform unor scheme de conţin laturi, noduri şi ochiuri. Un element de circuit posedă un număr specific de borne (accesuri sau porţi) prin care se realizează legăturile cu alte elemente. Fiecare bornă este caracterizată prin intensitatea curentului absorbit şi prin potenţialul electric faţă de un punct de referinţă. Diferenţa de potenţial dintre borne se va numi tensiune electrică între aceste borne. Un element cu n borne se va numi n-pol sau multipol electric. În particular, un element cu două borne se va numi element dipolar sau dipol, un element cu trei borne se va numi tripol, iar dacă are patru accesuri se va numi cuadripol. Două borne asociate constituie o poartă dacă intensităţile curenţilor sunt egale şi opuse ca sens pentru cele două borne. Sursa de tensiune şi sursa de curent sunt elemente de circuit active, în sensul că, atunci când funcţionează în regim de generator, transmit către exterior energia electromagnetică. Elementele de circuit pasive sunt acelea care primesc energie din exterior, pe care o transformă în altă formă (rezistorul, spre exemplu) sau o acumulează ca energie electrică (condensatorul) sau energie magnetică (bobina). Laturile active ale unei scheme electrice sunt acelea care conţin surse de tensiune sau de curent, celelalte numindu-se laturi pasive. O partiţie a unei scheme electrice se numeşte activă, respectiv pasivă, atunci când conţine, respectiv nu conţine, laturi active. Dacă în schema electrică a unui circuit activ se substituie sursele de tensiune prin rezistenţele lor interne şi sursele de curent prin conductanţele interne se obţine schema pasivizată a circuitului. Latura incidentă la un nod al circuitului este latura pentru care acel nod constituie una dintre extremităţi. Se numeşte ochi succesiunea de laturi ce formează un contur închis aparţinând schemei electrice. Elementele ideale de circuit sunt obiecte idealizate în sensul că interacţiunea electromagnetică cu exteriorul poate fi complet caracterizată printr-un

2 ADVANCED ANALYSIS OF ELECTRIC CIRCUITS

sistem de curenţi şi un sistem de tensiuni electrice. Elementele de circuit pentru care relaţiile între tensiuni şi curenţi sunt liniare (neliniare) se numesc elemente liniare (neliniare) de circuit. Dacă relaţiile liniare dintre curenţi şi tensiuni conţin coeficienţi variabili în timp, elementele de circuit sunt parametrice. Un circuit electric liniar conţine doar elemente de circuit liniare. 1.2. ECUAŢII FUNDAMENTALE Problema fundamentală a calculului unui circuit electric constă în determinarea intensităţilor curenţilor din cele l laturi ale acestuia. Un sistem de l ecuaţii independente, dedicat acestui scop, se poate obţine cu ajutorul celor două teoreme ale lui Kirchhoff, considerate ca esenţiale în teoria circuitelor electrice.

1.2.1. Prima teoremă a lui Kirchhoff Cu ajutorul legii de conservare a sarcinii electrice, se poate demonstra prima teoremă a lui Kirchhoff (teorema nodurilor), conform căreia suma algebrică a curenţilor laturilor incidente la un nod este nulă, când se consideră cu un semn curenţii care intră în nod şi cu semn contrar curenţii care ies din nod. Folosind o numerotare unică a laturilor circuitului, prima teoremă a lui Kirchhoff aplicată unui nod conduce la ecuaţia

0)(

=∑∈ pk

ki , (1.1)

unde s-a utilizat semnul ∈ al relaţiei de „apartenenţă”pentru a sugera că suma algebrică s-a efectuat asupra curenţilor laturilor incidente la nodul )( p . De exemplu, pentru nodul din fig. 1.1.a, prima teoremă a lui Kirchhoff conduce la ecuaţia

08521 =−+− iiii .

Fig. 1.1

)( p 1i

5i

8i

2i

(a)

)(o

1u

5u

4u 7u

(b)

1. Circuite electrice liniare 3

În general, pentru un circuit cu n noduri şi γ părţi separate galvanic se pot obţine

γ−=α n (1.2)

Ecuaţii independente prin aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff, exprimate generic în forma

α==∑∈

,1,0)(

pipk

k . (1.3)

În regim staţionar (acela al circuitelor de c.c.), curenţii laturilor au valori constante. În regim cvasistaţionar (acela al circuitelor de c.a., de exemplu), în ecuaţiile (1.3) intervin valorile instantanee (momentane) ale curenţilor laturilor.

1.2.2. A doua teoremă a lui Kirchhoff Teorema a doua a lui Kirchhoff (teorema ochiurilor) afirmă că suma algebrică a tensiunilor la bornele laturilor unui ochi este nulă

0)(

=∑∈ oj

ju . (1.4)

În suma (1.4) tensiunea ju este considerată cu semnul )(+ dacă are acelaşi sens ca sensul ales pentru parcurgerea ochiului; în caz contrar, va intra în sumă cu semnul )(− . Prin simbolul ∈ se sugerează că suma (1.4) se efectuează pentru toate laturile j ce „aparţin” ochiului )(o . De exemplu, pentru ochiul din fig. 1.1.b, se obţine

07541 =+−− uuuu .

Pentru un circuit cu l laturi, n noduri şi γ partiţii separate galvanic, se pot scrie

γ+−= nlm (1.5)

ecuaţii independente prin aplicarea teoremei a doua a lui Kirchhoff, adică

mouoj

j ,1,0)(

==∑∈

. (1.6)

Un ansamblu de m ochiuri care cuprinde toate laturile circuitului şi pentru care aplicarea teoremei a doua a lui Kirchhoff conduce la m ecuaţii independente se numeşte sistem de ochiuri fundamentale. Pentru un circuit dat există mai multe sisteme de ochiuri fundamentale, dar numărul m al ochiurilor dintr-un astfel de sistem este acelaşi, bine determinat. Un ochi fundamental conţine cel puţin o latură ce nu aparţine celorlalte ochiuri din sistem. În regim staţionar, tensiunile la bornele laturilor au valori constante. În


regim cvasistaţionar, ecuaţiile (1.6) conţin valorile instantanee ale tensiunilor. Din relaţiile (1.2) şi (1.5) rezultă

lnlnm =γ+−+γ−=+α , (1.7)

concluzia fiind că, pentru un circuit electric oarecare, cele două teoreme ale lui Kirchhoff permit obţinerea unui număr de ecuaţii independente egal cu numărul curenţilor necunoscuţi ai laturilor circuitului. 1.3. GRAFUL UNUI CIRCUIT ELECTRIC Prin graf al unui circuit electric se înţelege reprezentarea geometrică a configuraţiei acestuia, obţinută prin asocierea câte unui punct (numit nod al grafului) pentru fiecare nod al circuitului şi câte unui arc de curbă (numit latură a grafului) pentru fiecare latură de circuit. Modul în care laturile sunt legate la noduri este identic pentru circuit şi pentru graful asociat. Dacă pentru laturile grafului nu sunt precizate sensuri de parcurs, acesta se numeşte graf neorientat sau topologic. Dacă se aleg sensuri arbitrare de parcurs pentru laturi, se obţine un graf orientat sau digraf. Pentru exemplificare, în fig. 1.2 se prezintă un circuit electric (fig. 1.2.a) şi digraful asociat (fig. 1.2.b). Subgraful unui graf dat este constituit dintr-o submulţime de laturi şi noduri ale acestuia. Bucla este o curbă închisă, formată din laturi ale grafului, ce poate fi parcursă respectând sensurile laturilor şi trecând o singură dată prin fiecare nod al ei. În graful din fig. 1.2.b, de exemplu, laturile {1, 4, 2}, {5, 7, 2}, {2, 5, 6, 4} formează bucle. Arborele unui graf este un subgraf fără bucle care conţine toate nodurile

Fig. 1.2

ab c

d

1

4 3 2

6 5

7

a b c

d

1

43

2

6 5

7

(a) (b)


grafului unite prin laturi care se numesc ramuri. Laturile grafului care nu aparţin arborelui se numesc coarde, ansamblul lor alcătuind coarborele. De exemplu, dacă pentru graful din fig. 1.2.b se alege arborele format din laturile {5, 6, 7}, atunci mulţimea laturilor {1, 2, 3, 4}, ce nu aparţin coarborelui, formează coarborele. Împărţirea laturilor în ramuri şi coarde nu este unică, în general existând mai mulţi arbori pentru un graf dat. Oricare ar fi arborele ales, numărul ramurilor va fi

α=γ−= nr şi, în consecinţă, coarborele va fi alcătuit din γ+−= nlc coarde. Numărul m al ochiurilor fundamentale ale unui circuit electric este egal cu numărul coardelor din graful asociat acestuia. Astfel, pentru circuitul din fig. 1.2.a, având 4,7 == nl şi 1=γ , rezultă 4147 =+−=γ+−= nlm . Graful din fig. 1.2.b, asociat circuitului anterior menţionat, are numărul ramurilor α== 3r şi numărul coardelor 437 =−=−= rlc . Grafurile orientate pot fi utilizate pentru scrierea sistematică a ecuaţiilor lui Kirchhoff, eventual în formă matriceală, având ca scop calculul curenţilor laturilor unui circuit electric. Este recomandabilă parcurgerea următoarelor etape:

1) Se identifică l, n şi γ pentru circuitul dat; 2) Se calculează r=α , din relaţia (1.2), apoi cm = , din relaţia (1.5); 3) Se trasează digraful asociat circuitului, alegând sensuri arbitrare pentru

laturile sale; 4) Se alege un arbore al grafului, rezultând implicit coarborele; 5) Se aleg ochiurile fundamentale, astfel încât fiecare să conţină o singură

coardă, al cărei sens va impune sensul de parcurs al ochiului; 6) Se scrie prima teoremă a lui Kirchhoff pentru α noduri ale circuitului,

sensurile curenţilor laturilor fiind identice cu sensurile laturilor corespondente din digraf;

7) Se scrie a doua teoremă a lui Kirchhoff în fiecare din cele m ochiuri fundamentale, sensul tensiunilor la bornele laturilor circuitului fiind considerat identic cu sensul laturilor corespondente din digraf.

Sistemul astfel obţinut are un număr de ecuaţii independente egal cu numărul l al laturilor circuitului, deci al curenţilor ce urmează a fi calculaţi. 1.4. CALCULUL CIRCUITELOR DE C.C. Circuitele de c.c. sunt acelea în care toate tensiunile electrice, potenţialele şi curenţii au valori invariabile în timp. Există mai multe metode de calcul al circuitelor de c.c., bazate, până la urmă, pe cele două teoreme ale lui Kirchhoff. Cele mai importante metode sunt:

a) Metoda teoremelor lui Kirchhoff; b) Metoda superpoziţiei; c) Metoda schemelor echivalente; d) Metoda potenţialelor nodurilor; e) Metoda curenţilor de ochiuri.


Succinte explicaţii şi exemple de aplicare a acestor metode sunt oferite în cele ce urmează.

1.4.1. Metoda teoremelor lui Kirchhoff Cele l ecuaţii independente, folosite pentru calculul curenţilor laturilor unui circuit dat (cu l laturi, n noduri şi γ părţi separate galvanic), se obţin astfel: ► α ecuaţii cu prima teoremă a lui Kirchhoff, conform (1.2) şi (1.3),

► m ecuaţii cu a doua teoremă a lui Kirchhoff, conform (1.5) şi (1.6). În scrierea sistematică a ecuaţiilor, este recomandabilă parcurgerea

etapelor (1 – 7) prezentate în §1.3. Întrucât toate elementele unui circuit liniar au caracteristici tensiune-curent

liniare, sistemul ecuaţiilor lui Kirchhoff va fi algebric, liniar, cu coeficienţi constanţi (numere reale). În consecinţă, soluţia acestui sistem va fi unică, deci se obţin valori unice pentru curenţii laturilor.

Se va exemplifica metoda prin calculul curenţilor laturilor pentru circuitul din fig. 1.3.a, în care se cunosc t.e.m. 1E şi 3E ale surselor de tensiune şi rezistenţele 4321 ,,, RRRR . Deoarece 2,3 == nl şi 1=γ , rezultă

.2123,112

=+−=γ+−==−=γ−=α

nlmn

Digraful asociat acestui circuit este reprezentat în fig. 1.3.b, latura 3 constituind arborele, iar laturile 1 şi 2 fiind coarde.

Ţinând seama de sensurile marcate pe fig. 1.3.a, aplicarea teoremelor lui Kirchhoff conduce la sistemul de ecuaţii

.,

,0

3343322

31343311

321

EIRIRIREEIRIRIR

III

=+++=++

=−+

Fig. 1.3

2R

3R

4R 1R

3I 2I

1I

I II

1E

3E

1 2 3

(a) (b)


Pentru valori cunoscute ale t.e.m. şi rezistenţelor

,150;24.0;68;12.0;12.0V;3V;5 4321131 Ω=Ω=Ω=Ω=Ω=== RRRRREE

sistemul de ecuaţii algebrice liniare capătă forma:

.324.15068,824.15012.0

,0

32

31

321

=+=+

=−+

IIII

III

Ca soluţii unice ale sistemului de ecuaţii, se obţin curenţii laturilor:

.A0533.0A,1270.0A,0737.0 321 ==−= III

Semnul „–” pentru valoarea curentului 1I indică faptul că sensul acestuia este invers faţă de cel adoptat, în mod arbitrar, pentru scrierea ecuaţiilor. Validarea rezultatelor obţinute se poate realiza prin efectuarea bilanţului puterilor în circuit, adică prin verificarea egalităţii

234

233

222

2113311 IRIRIRIRIEIE +++=+ ,

pentru valorile calculate ale curenţilor laturilor.

1.4.2. Metoda superpoziţiei Principiul superpoziţiei sau „principiul suprapunerii efectelor” este general valabil în medii liniare. În particular, în cazul circuitelor electrice liniare, acest principiu se concretizează în teorema superpoziţiei. Conform acesteia, intensitatea curentului electric din orice latură a unui circuit liniar este suma algebrică a intensităţilor curenţilor pe care i-ar produce în acea latură fiecare dintre surse acţionând singură, celelalte surse fiind pasivizate. Pentru intensitatea jI a curentului din latura j rezultă deci

∑=

=l

pjpj II

1

, (1.8)

unde jpI este curentul produs în latura j de sursa aflată în latura p, atunci când toate celelalte surse din circuit au fost pasivizate. Ca exemplu, se vor calcula prin metoda superpoziţiei curenţii din laturile circuitului reprezentat în fig. 1.4.a. Pasivizarea sursei 3E conduce la schema din fig. 1.4.b, iar prin pasivizarea sursei 1E se obţine schema de calcul din fig. 1.4.c. Aplicarea metodei superpoziţiei conduce la următoarele rezultate:


13111 III += , unde 321

111 || RRR

EI+

= şi 21

2

213

313 || RR

RRRR

EI

+⋅

+−= ,

23212 III += , unde 32

3

321

121 || RR

RRRR

EI+

⋅+

= şi 21

1

213

323 || RR

RRRR

EI

+⋅

+= ,

33313 III += , unde 32

2

321

131 || RR

RRRR

EI+

⋅+

−= şi 213

333 || RRR

EI

+= .

Metoda superpoziţiei nu este recomandată de practică în cazul circuitelor cu număr relativ mare de laturi şi noduri, din cauza volumului de calcul implicat. Este eficientă atunci când, pentru un circuit dat, nu interesează curenţii tuturor laturilor, ci doar curentul într-o latură a acestuia. Pentru exemplificare, se va calcula curentul 4I al circuitului din fig. 1.5 folosind metoda superpoziţiei.

Rezultă:

4544414 IIII ++= ,

unde

Fig. 1.4

(a) (b) (c)

1I

3E 2R

3R 1R

2R 3R 1R

2R 3R 1R

2I 3I 11I

21I 31I 13I

23I 33I

1E 3E 1E

Fig. 1.5

2R

5R

4R 1R

4I

1E

4E

5E

3R


( )( ) 43

3

4352

2

43521

141 |||||| RR

RRRRR

RRRRRR

EI+

⋅++

⋅++

−= ,

( )21534

444 |||| RRRRR

EI++

−= ,

43

3

43215

545 |||| RR

RRRRRR

EI

+⋅

++= .

Principiul superpoziţiei stă la baza unor metode de calcul în medii liniare, în particular al metodei curenţilor de ochiuri aplicabilă în circuite electrice liniare.

1.4.3. Metoda generatorului echivalent Un circuit dipolar liniar activ (fig. 1.6.a) admite două scheme echivalente:

a) schema generatorului de tensiune echivalent (fig. 1.6.b); b) schema generatorului de curent echivalent (fig. 1.6.c).

Latura pasivă conectată la bornele (A, B) ale dipolului activ se consideră de rezistenţă R şi conductanţă G . Pentru schema echivalentă din fig. 1.6.b, rezultă (teorema Thévenin-Helmholtz)

0

0

AB

ABAB RR

UI

+= , (1.9)

unde 0ABU este tensiunea de mers în gol la bornele (A,B), iar

0ABR este rezistenţa

internă a circuitului pasivizat. Pentru schema echivalentă din fig. 1.6.c, rezultă (teorema lui Norton)

0AB

sABAB GG

IU

+= , (1.10)

Fig. 1.6

Linear active circuit R ABU

ABI

B

A

(a)

0ABR

RABU

ABI

B

A

0ABU 0ABG

G ABU

ABI

B

A

ABsI

(b) (c)


unde sABI este curentul de scurtcircuit al dipolului activ, iar 0ABG este

conductanţa internă a dipolului pasivizat. Metoda bazată pe formulele (1.9), respectiv (1.10), permite calculul rapid al curentului, respectiv tensiunii la borne, pentru o latură oarecare a unui circuit liniar. Ca exemplu, se va calcula curentul 2I pentru schema electrică din fig. 1.4.a folosind formula (1.9) adaptată:

0

0

22

AB

AB

RR

UI

+= .

Schema auxiliară din fig. 1.7.a permite calculul tensiunii de mers în gol:

31

1331

31

3111110 RR

RERERREE

REIREU AB ++

=+−

⋅−=−= .

Pasivizarea dipolului activ conduce la schema auxiliară din fig. 1.7.b, din care rezultă

31

310 RR

RRRAB +

= .

Substituind 0ABU şi

0ABR în expresia obţinută pentru 2I , prin

particularizarea relaţiei (1.9), se obţine

133221

13312 RRRRRR

REREI

+++

= .

Pentru reţele pasive simple, folosind doar teoremele lui Kirchhoff şi relaţia (1.9), se poate efectua calculul rezistenţei echivalente în raport cu două borne, fără a efectua transfigurări.

De exemplu, pentru reţeaua pasivă din fig. 1.8, cu bornele (A, B), se poate calcula curentul I debitat de o ipotetică sursă de tensiune (reprezentată cu linie întreruptă), utilizând în acest scop ecuaţiile lui Kirchhoff. Se obţine

Fig. 1.7

3R 1R

1E

I

B

A

0ABU

3E 3R 1R

B

A

(a) (b)


rR

EI+

=

1619

,

rezultat care, interpretat şi comparat cu relaţia (1.9) oferă rezistenţa echivalentă căutată

RRAB 1619

= .

Metoda generatorului echivalent este eficientă în calcule privind erorile de

măsurare şi în determinarea condiţiilor în care aceste erori se încadrează în limite acceptabile. Spre exemplificare, se consideră schema din fig. 1.9, în care tensiunea

4U trebuie măsurată cu voltmetrul V, astfel încât

%5'1'

4

4

4

44

4

4 ≤−=−

=Δ

UU

UUU

UU ,

unde '4U este tensiunea indicată de voltmetrul cu rezistenţa internă VR . Interesează ce valoare limitează inferior rezistenţa VR , astfel încât măsurarea să poată fi efectuată cu precizia impusă, dacă Ω= 3.01R , Ω= 7.02R şi Ω= 5.03R .

Fig. 1.8

R R

R

R2

R2

A BI

rE

Fig. 1.9

VR

1R

1E '4U

V

3R 3E

2R 4R

A

B

4U


În lipsa voltmetrului, schema electrică se poate reprezenta compact ca în fig. 1.10.a, iar în prezenţa acestuia se obţine schema compactă din fig. 1.10.b.

Relaţia (1.9), aplicată pentru schema din fig. 1.10.a, conduce la

04

404

ABRRUI+

= , cu 321

210

RRR

RRRAB ++

= ,

de unde

04

4041

ABRRURU+

⋅= .

Aceeaşi relaţie, aplicată în schema din fig. 1.10.b, conduce la

0||

''4

404

ABV RRRUI

+= ,

de unde

( )( ) ( )VABV

V

VABV

V

V

V

RRRRRURR

RRRRRRRU

RRRR

U++

=++

+⋅

+=

44

404

44

440

4

44

00

'' ,

Rezultă că raportul ce interesează, adică

0

0

4

44

4 '

AB

ABV

V

RR

RRR

RUU

++

= ,

nu depinde de t.e.m. ale surselor prezente în circuit. Respectarea preciziei de măsurare impusă se realizează dacă

Fig. 1.10

Linear active circuit

321

31

,,,

RRREE

4R 4U

4I

B

A

(a) (b)

Linear active circuit

321

31

,,,

RRREE

4R '4U

'4I

B

A

VR


10095'

4

4 ≥UU , adică 95.0

0

0

4

4≥

++

AB

ABV

V

RR

RRR

R ,

de unde rezultă condiţia

0

0

4

419

AB

ABV RR

RRR

+≥ .

Cu datele numerice cunoscute ale schemei electrice, se obţine condiţia

Ω≥ 42.13VR ,

necesară pentru ca tensiunea 4U să poată fi măsurată cu eroare de sub %5 , condiţie îndeplinită de voltmetrele analogice, a căror rezistenţă internă este de Ωk până la ΩM .

1.4.4. Metoda potenţialelor nodurilor Metoda teoremelor lui Kirchhoff conduce la un sistem de l ecuaţii independente, în care necunoscutele sunt curenţii celor l laturi ale circuitului. Pentru circuite cu număr mare de laturi, volumul de calcul implicat de rezolvarea acestui sistem este important, aşa încât se apelează la metode ce conduc la un număr semnificativ mai mic de ecuaţii: metoda potenţialelor nodurilor şi metoda curenţilor ochiurilor. Astfel, metoda potenţialelor nodurilor, cunoscută şi ca „metoda analizei nodale”, conduce la α ecuaţii independente, adică la atâtea câte s-ar obţine prin aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff. Întrucât l<α , oricare ar fi circuitul analizat, rezultă o reducere a efortului de calcul, de cele mai multe ori semnificativă. Metoda prezentată în acest paragraf apelează la un set de necunoscute auxiliare: potenţialele nodurilor circuitului, considerate în raport cu un nod de referinţă (al cărui potenţial se consideră nul). Pentru o latură oarecare a circuitului, curentul se poate exprima în funcţie de potenţialele bornelor sale. Astfel, pentru latura activă reprezentată în fig. 1.11, curentul kI depinde de potenţialele jV şi kV ale bornelor laturii conform relaţiei

( )jkkjk

k EVVR

I +=⋅=1 , (1.11)

în care intervin rezistenţa totală kR a laturii şi t.e.m. jkE a sursei prezente în respectiva latură.


Dacă se substituie curenţii, exprimaţi în forma (1.11), în ecuaţiile (1.3) obţinute prin aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff, se obţine un sistem de α ecuaţii independente, prin rezolvarea căruia rezultă cele α potenţiale ale nodurilor, considerate ca necunoscute auxiliare în cadrul metodei.

Curentul fiecărei laturi se calculează apoi cu ajutorul relaţiei (1.11), în care jkE are sensul marcat prin succesiunea indicilor inferiori (de la nodul j către nodul

k). Pentru a exemplifica aplicarea metodei, se consideră schema electrică din

fig. 1.12, în care V61 =E , V122 =E , V93 =E , Ω=101R , Ω= 302R , Ω= 203R , Ω= 404R , Ω= 55R şi Ω=156R .

Conform relaţiei (1.11), rezultă

( )111

11 EVR

I +−⋅= , ( )212

21 EV

RI +−⋅= , ( )332

33

1 EVVR

I +−⋅= ,

( )324

41 VV

RI −⋅= , 3

55

1 VR

I ⋅= , ( )216

61 VVR

I −⋅= .

Aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff, în cele trei noduri cu potenţial nenul, conduce la ecuaţiile independente

0621 =−+ III , 0436 =−− III , 0543 =−+ III .

Dacă, în aceste ecuaţii, fiecare curent este exprimat în funcţie de

Fig. 1.11

kR jkE kI

kV jV

)( j )(k

Fig. 1.12

2R 5R

4R

1R

1I

1E

5I

6R 6I

4I

3E

3R

3I

2E

2I

1V 2V

3V 0=V


potenţialele nodurilor, se obţine sistemul ce are ca soluţii aceste potenţiale:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) .0111

,0111

0111

35

324

3323

324

3323

216

216

212

111

=⋅−−⋅++−⋅

=−⋅−+−⋅−−⋅

=−⋅−+−⋅++−⋅

VR

VVR

EVVR

VVR

EVVR

VVR

VVR

EVR

EVR

Cu valorile numerice precizate pentru parametrii elementelor de circuit, prin rezolvarea sistemului se obţin valorile numerice

V02.51 =V , V061.02 =V , V653.13 =V .

Relaţiile scrise conform (1.11) permit calculul facil al curenţilor laturilor, pentru care se obţin valorile:

.A3306.0,A3306.0,A0398.0,A3704.0,A2326.0,A098.0

654

321

==−====III

III

De remarcat că a fost necesară rezolvarea unui sistem de numai 3 ecuaţii, pe când aplicarea metodei teoremelor lui Kirchhoff ar fi condus la un sistem de 6 ecuaţii. În plus, metoda nodală dispune de proceduri prin care se pot scrie direct ecuaţiile satisfăcute de potenţialele nodurilor, urmare a unei simple inspecţii vizuale sau a folosirii unei aplicaţii software dedicate.

1.4.5. Metoda curenţilor de ochiuri

Bazată pe principiul superpoziţiei, această metodă conduce la un sistem de m ecuaţii independente, câte una pentru fiecare ochi fundamental al circuitului analizat. Necunoscutele acestui sistem sunt reprezentate de un set de curenţi fictivi ce se închid prin laturile ochiurilor fundamentale, numiţi curenţi de ochiuri (de contur, ciclici), câte unul pentru fiecare dintre aceste ochiuri. Condiţia esenţială este ca, pentru fiecare latură, curentul real să fie suma algebrică a curenţilor de ochiuri care trec prin acea latură.

Metoda se va prezenta cu ajutorul unui exemplu ce utilizează schema electrică din fig. 1.13, cu 6=l laturi, 4=n noduri, 1=γ şi, în consecinţă,

3=γ+−= nlm . Se consideră că prin laturile {1, 2} ale primului ochi circulă curentul fictiv

1mI , prin laturile {2, 6, 3, 5} ale celui de al doilea ochi circulă curentul de ochi

2mI , iar prin laturile {3, 4} ale celui de al treilea ochi fundamental circulă curentul

3mI . Sensurile curenţilor de ochiuri se pot alege arbitrar. Curentul fiecărei laturi rezultă prin superpoziţia curenţilor de ochiuri ce


trec prin acea latură:

11 mII = , 212 mm III +−= , 323 mm III −= , 34 mII = , 25 mII = , 26 mII = .

Adoptând sensurile curenţilor ciclici ca sensuri de parcurs pentru scrierea

teoremei a doua a lui Kirchhoff, se obţin ecuaţiile:

.,

,

34433

3255336622

212211

EIRIREEIRIRIRIR

EEIRIR

−=+−+=+++

−=−

Substituind curenţii laturilor cu expresiile lor în funcţie de curenţii ochiurilor, se obţine sistemul de ecuaţii

( )( ) ( )( ) ,

,

,

334323

322532326212

2121211

EIRIIR

EEIRIIRIRIIR

EEIIRIR

mmm

mmmmmm

mmm

−=+−−

+=+−+++−

−=+−−

care, ordonat după curenţii fictivi ai ochiurilor fundamentale, devine

( )( )

( ) .

,

,

343332

32336532211

2122211

ERRIRI

EERIRRRRIRI

EERIRRI

mm

mmm

mm

−=++−

+=−++++−

−=−+

O analiză simplă a formei coeficienţilor acestui sistem conduce la concluzii ce permit scrierea directă a ecuaţiilor sale, urmare a unei inspecţii vizuale a schemei electrice, ceea ce sporeşte eficienţa metodei. Considerând aceleaşi valori ale parametrilor schemei ca şi pentru aceea din fig. 1.12, rezolvarea sistemului de ecuaţii anterior conduce la soluţia

.A0398.0,A3306.0,A098.0 321 −=== mmm III

Fig. 1.13

2R 5R

4R

1R

1I

1E

5I

6R 6I

4I

3E

3R

3I

2E

2I

2mI 1mI 3mI


Calculul curenţilor laturilor prin superpoziţia curenţilor de contur conduce la valorile obţinute în aplicaţia din §1.4.4, schema electrică aleasă pentru exemplificare fiind aceeaşi. Metoda curenţilor de ochiuri presupune rezolvarea unui sistem algebric cu atâtea ecuaţii câte s-ar obţine cu teorema a doua a lui Kirchhoff, adică lm < . 1.5. CALCULUL CIRCUITELOR ÎN REGIM VARIABIL

Circuitele electrice de curent variabil în timp prezintă o importanţă majoră pentru aplicaţiile tehnice, cele mai importante regimuri de studiu al acestora fiind:

a) Regimul tranzitoriu, în care valorile instantanee ale curenţilor şi tensiunilor sunt funcţii oarecare de timp;

b) Regimul sinusoidal, în care toate mărimile ce descriu funcţionarea circuitului au variaţii sinusoidale în timp;

c) regimul periodic nesinusoidal, în care tensiunile şi curenţii prezintă o variaţie periodică oarecare în timp.

Studiul circuitelor în aceste regimuri de funcţionare se poate face sistematic, cu metode relativ simple şi eficiente, dacă sunt întrunite următoarele condiţii:

- intensitatea curentului este uniform repartizată pe secţiunea transversală a conductoarelor;

- variaţia în timp a curenţilor şi tensiunilor este suficient de lentă pentru ca peste tot, cu excepţia dielectricului dintre armăturile condensatoarelor, să poată fi neglijat curentul de deplasare (caracterul cvasistaţionar al regimului de variaţie în timp);

- dielectricul din jurul conductoarelor ce alcătuiesc circuitul să fie perfect izolant.

În cazul circuitelor electrice liniare funcţionând în regim variabil, aplicarea teoremelor lui Kirchhoff conduce la un sistem de ecuaţii integro-diferenţiale liniare, cu coeficienţi constanţi, în care necunoscutele sunt valorile instantanee ale curenţilor laturilor. Calculul acestor curenţi constituie o „Problemă în domeniul timp”, la a cărei soluţie se poate ajunge, în general, pe două căi:

a) Rezolvarea directă, în domeniul timp; b) Rezolvarea în domeniul imaginilor, la care se ajunge printr-o

transformare funcţională, apoi revenirea în domeniul timp printr-o transformare funcţională inversă celei iniţiale (metode operaţionale).

Cele două strategii de abordare a calculului circuitelor liniare în regim variabil sunt prezentate schematic în fig. 1.14. Se poate observa că rezolvarea în domeniul timp este directă, dar presupune dificultatea rezolvării ecuaţiilor integro-diferenţiale fără a apela la operatori matematici. Rezolvarea în domeniul imaginilor necesită două transformări funcţionale, una directă şi alta inversă, dar are avantajul că ecuaţiile rezolvate sunt algebrice, liniare, cu coeficienţi constanţi.


Complexitatea circuitului, regimul de studiu şi experienţa celui care efectuează analiza sunt factorii determinanţi în alegerea uneia dintre cele două strategii.

1.5.1. Metoda integrării directe Mărimile de stare ale circuitelor liniare cu parametri invariabili satisfac ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi. În regim tranzitoriu, valorile instantanee ale acestor mărimi au o componentă liberă – soluţie generală a ecuaţiei omogene – şi o componentă de regim forţat – soluţie particulară a ecuaţiei neomogene. Constantele arbitrare ce apar în forma generală a componentei libere se calculează cu ajutorul condiţiilor iniţiale ale circuitului, deduse din continuitatea fluxurilor totale ale bobinelor şi a sarcinilor condensatoarelor. În regim permanent, care coincide cu regimul forţat pentru circuitele uzuale alimentate cu tensiuni constante sau periodice, valorile instantanee ale mărimilor se determină substituind în ecuaţiile neomogene soluţii particulare de aceeaşi formă cu termenii liberi. Se va exemplifica aplicarea metodei integrării directe a ecuaţiilor, apelând la schema electrică din fig. 1.15, în care iniţial condensatorul nu este încărcat şi contactul k se află în poziţia mediană (între poziţiile 1 şi 2). Circuitul se află în stare de repaus, cu condiţiile iniţiale

0)( 0 ==tti şi 0)( 0 ==tC tu . (1.12)

Time domain problem

Time domain solution

Solving in the time domain (Integro-differential equations)

Direct functional transform

Image domain problem

Image domain solution Solving in the image

domain (Algebraic equations)

Inverse functional transform

Fig. 1.14


Închiderea contactului k în poziţia 1, la momentul 0=t , cuplează sursa cu

t.e.m. )(te la bornele circuitului serie RLC, declanşându-se astfel un regim tranzitoriu. Interesează evoluţia valorilor instantanee )(ti , )(tuC , )(tuR şi )(tuL pe parcursul acestui regim variabil. Aplicarea teoremei a doua a lui Kirchhoff conduce la ecuaţia

0=+++ eCLR uuuu , (1.13)

care, ţinând seama de relaţiile caracteristice elementelor de circuit

)(,d

d,dd, teu

tuCi

tiLuiRu e

CLR ===+ , (1.14)

capătă forma

)(d

d2d

d 20

202

2

teut

utu

CCC ω=ω+α+ , (1.15)

în care

LR

2=α şi

LC1

0 =ω . (1.16)

Soluţia de regim tranzitoriu )(tuC are forma

)()()( tututu fClCC += , (1.17)

unde componenta liberă )(tu lC este soluţia generală a ecuaţiei omogene

0d

d2

dd 2

02

2

=ω+α+ CCC ut

utu

, (1.18)

iar componenta forţată este o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene (1.15). Rădăcinile ecuaţiei caracteristice

02 20

2 =ω+α+ rr (1.19)

Fig. 1.15

)(te

R L C

k

1

Ru Lu Cu

eu

2

i


sunt

β±α−=ω+α±α−= 20

22,1r . (1.20)

În funcţie de natura acestor rădăcini, se disting trei cazuri cărora le corespund expresii distincte ale componentei libere:

a) 0ω>α , deci CLR 2> , caz în care

( )tttlC eAeAetu β−βα− +⋅= 21)( , (1.21)

cu 1A şi 2A constante;

b) 0ω=α , deci CLR 2= , caz în care

( ) tlC etBAtu α−+=)( , (1.22)

cu A şi B constante;

c) 0ω<α , deci CLR 2< , caz în care

( )Ψ−ω⋅= α− teKtu tlC 1cos)( , (1.23)

cu K şi Ψ constante, pulsaţia oscilaţiilor fiind

2

222

01 41

LR

LC−=α−ω=ω . (1.24)

Componenta forţată )(tu fC depinde esenţial de mărimea de excitaţie )(te . Vor fi prezentate două cazuri frecvent întâlnite în practică: cazul în care sursa asigură o tensiune constantă la borne şi cazul în care sursa oferă o tensiune sinusoidală la bornele sale. Cazul A: T.e.m. a sursei are valoarea constantă 0E , caz în care rezultă

0)( Etu fC = , (1.25)

ca soluţie particulară a ecuaţiei (1.15). Soluţia de regim tranzitoriu se determină distinct, cu relaţia (1.17), pentru fiecare tip de regim liber, după cum urmează.

a) Ţinând seama de (1.21), rezultă

( )tttC eAeAeEtu β−βα− +⋅+= 210)( . (1.26)

Cu ajutorul condiţiilor iniţiale 0)0( =Cu şi 0)0( =i (sau 0d

d=

tuC la


momentul 0=t ), se pot calcula constantele

( )β+α⋅β

−=2

01

EA şi ( )β+α−⋅β

−=2

02

EA ,

a căror substituire în expresia (1.26) conduce la

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β

βα

+β⋅−= α− tteEtu tC sinhcosh1)( 0 . (1.27)

Folosind relaţiile (1.14), se obţin

.sinhcosh)(

,sinh)(

,sinh)(

0

0

0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β

βα

−β=

ββ

=

ββ

=

α−

α−

α−

tteEtu

teL

REtu

teL

Eti

tL

tR

t

. (1.28)

b) Ţinând seama de expresia (1.22) a componentei libere, rezultă:

( ) tC etBAEtu α−++= 0)( . (1.29)

Cu aceleaşi condiţii iniţiale, rezultă 0EA −= şi 0EB α−= . În consecinţă, din expresia (1.29), se obţine

( )[ ]tC etEtu α−α+−= 11)( 0 , (1.30)

apoi, cu relaţiile (1.14), rezultă

( ) .1)(

,)(

,)(

0

0

0

tL

tR

t

etEtu

etL

REtu

etL

Eti

α−

α−

α−

α−=

=

=

. (1.31)

c) Ţinând seama de expresia (1.23) a componentei libere, rezultă

( )Ψ−ω⋅+= α− teKEtu tC 10 cos)( , (1.32)

Utilizând condiţiile iniţiale ale circuitului, se determină constantele de integrare

1

00 ωω

= EK şi 1

arctanωα

=Ψ ,


care se substituie apoi în expresia (1.32), obţinându-se în final

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

ωα

+ω⋅−= α− tteEtu tC 1

110 sincos1)( . (1.33)

Cu relaţiile (1.14) se obţin valorile instantanee ale celorlalte mărimi care interesează

.sincos)(

,sin)(

,sin)(

110

11

0

11

0

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

ωα

−ω=

ωω

=

ωω

=

α−

α−

α−

tteEtu

teL

REtu

teL

Eti

tL

tR

t

(1.34)

Se poate observa că, în toate cele trei cazuri (a, b, c) se obţin valorile de regim permanent

,0)(lim

,)(lim 0

==

==

∞→

∞→

tii

Etuu

tp

CtpC

care confirmă anularea curentului atunci când încărcarea condensatorului s-a încheiat. Dacă, odată atins regimul permanent, se comută întreruptorul k din poziţia 1 în poziţia 2, se va declanşa un nou regim tranzitoriu. Alegând acest moment ca origine a timpului, condiţiile iniţiale ale noului regim tranzitoriu vor fi: 0)0( EuC = şi 0)0( =i . Integrarea ecuaţiei care modelează acest regim tranzitoriu

0d1dd

=++ ∫ tiCt

iLRi (1.35)

are ca rezultat )(ti , acelaşi ca în precedentul regim analizat (pe parcursul căruia condensatorul s-a încărcat), dar cu semn schimbat. O evoluţie similară prezintă şi tensiunile )(,)(,)( tututu LRC . Cazul B: T.e.m. a sursei este sinusoidală, de forma )sin()( Ψ+ω= tEte m , caz în care soluţia particulară a ecuaţiei (1.15) se caută de forma

( )CCmfC tUtu ϕ−γ+ω= sin)( , (1.36)

care reprezintă componenta forţată a soluţiei de regim tranzitoriu )(tuC . Impunând ca )(tu fC , de forma (1.36), să verifice identic ecuaţia (1.15)

pentru orice moment t, rezultă amplitudinea CmU şi defazajul Cϕ al componentei forţate:


2

1

arctan,1 2

2

π−ω

−ω=ϕ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ω−ω+ω

=R

CL

CLRC

EU Cm

Cm , (1.37)

această componentă fiind astfel complet determinată. Regimul liber al circuitului fiind acelaşi, independent de )(te , pentru cazurile distincte tratate anterior rezultă:

a) Cazul în care CLR 2> :

( ) ( )tttCCmC eAeAetUtu β−βα− ++ϕ−γ+ω= 21sin)( ; (1.38)

b) Cazul în care CLR 2= :

( ) ( ) tCCmC etBAtUtu α−++ϕ−γ+ω= sin)( ; (1.39)

c) Cazul în care CLR 2< :

( ) ( )Ψ−ω+ϕ−γ+ω= α− teKtUtu tCCmC 1cossin)( . (1.40)

Utilizând condiţiile iniţiale ale circuitului, se determină constantele de integrare KBAAA ,,,, 21 şi Ψ , sau doar acelea impuse de cazul concret analizat. Cunoscând )(tuC , se pot determina imediat, cu relaţiile simple (1.14), valorile instantanee )(),( tuti R şi )(tuL . Pentru regimul permanent la care se ajunge, în urma derulării regimului tranzitoriu, se obţine

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ω

−ω−Ψ+ω⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ω−ω+

==∞→ R

CL

t

CLR

Etiti m

tp

1

arctansin1

)(lim)(2

2

.

1.5.2. Metoda simbolică

Circuitele electrice funcţionând în regim sinusoidal prezintă o importanţă deosebită în aplicaţiile tehnice privind producerea, transportul şi utilizarea energiei electromagnetice. Într-un astfel de circuit, valorile instantanee ale curenţilor şi tensiunilor sunt toate sinusoidale, de aceeaşi frecvenţă.


Modelarea în domeniul timp a circuitelor liniare conduce la sisteme de ecuaţii integro-diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi, în care necunoscutele sunt de obicei valorile instantanee sinusoidale ale curenţilor laturilor. Rezolvarea acestor sisteme se poate face, simplu şi eficace, utilizând metoda simbolică – metodă ce transformă ecuaţiile integro-diferenţiale în ecuaţii algebrice liniare. Metoda simbolică se bazează pe reprezentarea în complex a mărimilor sinusoidale, care asociază fiecărei mărimi sinusoidale )(ti o imagine în complex unică I , prin relaţia de corespondenţă biunivocă

( ) γ=↔γ+ω= jeIItIti sin2)( , (1.41)

unde 1−=j . Reprezentarea în complex (simplificat) este liniară şi are avantajul că asociază operaţiei de derivare, respectiv de integrare, operaţia algebrică de înmulţire, respectiv de împărţire cu numărul imaginar ωj . Rezolvarea sistemului de ecuaţii algebrice liniare satisfăcut de imaginile complexe ale mărimilor căutate, urmată de revenirea în domeniul timp prin reprezentarea inversă (din complex în sinusoidal), oferă valorile instantanee ale mărimilor care interesează în funcţionarea circuitului. De exemplu, pentru schema electrică din fig. 1.16.a, în care

( )γ+ω= tEte sin2)( , aplicarea teoremelor lui Kirchhoff în valori instantanee conduce la sistemul de ecuaţii:

,0dd

dd

dd

dd

,)(dd

dd

,0

211

1222

211

21

=−−++

=+

=−−

tiM

tiL

tiM

tiLRi

tetiM

tiL

iii

(1.42)

care corespunde sensurilor precizate pe figură şi notaţiei cu M a inductivităţii de cuplaj mutual (existent între cele două bobine).

Fig. 1.16

)(te

R

1L 2L

)(ti

M ∗∗

)(1 ti )(2 ti 1m

2m

(a)

E

R

1Ljω 2Ljω

I

Mjω ∗ ∗

1I 2I 1m

2m

(b)


Reprezentarea în complex a mărimilor sinusoidale transformă sistemul de ecuaţii diferenţiale liniare (1.42) într-un sistem de ecuaţii algebrice liniare, satisfăcut de imaginile complexe ale curenţilor laturilor:

.0,

,0

2111222

211

21

=ω−ω−ω+ω+=ω+ω

=−−

IMjILjIMjILjIREIMjILj

III (1.43)

Acestui sistem de ecuaţii i se poate asocia schema electrică „în complex” din fig. 1.16.b. Sistemul (1.43) oferă ca soluţii imaginile complexe ale curenţilor laturilor. De exemplu, pentru curentul din latura 2 se obţine

( )2211

12 MLLjRL

LMEI−ω+

−= , (1.44)

expresie care se poate scrie sub forma

( )( )

( )ϕ−γ⋅−ω+

−= je

MLLRL

LMEI22

21222

1

12 , (1.45)

în care defazajul

( )RL

MLL

1

221arctan −ω

=ϕ , (1.46)

şi valoarea efectivă

( )( )

( )ϕ−γ⋅−ω+

−= je

MLLRL

LMEI22

21222

1

12 , (1.47)

rezultă din (1.44), întrucât

{ }2arg I=ϕ şi 22 II = .