09 Naizmenicne struje, uvodni zadaci.pdf

8/10/2019 09 Naizmenicne struje, uvodni zadaci.pdf

1/19

1

NAIZMENINE STRUJEOsnovni pojmovi

Naizmenine struje i naponi su elektrine veliine koje tokom vremena menjaju smer.

Prema vremenskoj zavisnosti jaine struje, naizmenine struje se mogupodeliti na sledei nain:

Aperiodina naizmenina struja:

Prostoperiodina naizmenina struja: Sloenoperiodina naizmenina struja:

Periodine naizmenine struje i naponi su periodino promenjive veliine, to znai da nekeodreene vrednosti dobijaju periodino (naizmenino) u toku vremena, po emu su i dobile naziv.

Najee koriene su prostoperiodine naizmenine struje, odnosno elektrine struje kod kojih jainastruje harmonijski osciluje i iji je intenzitet opisan sinusnom ili kosinusnom funkcijom.

Sinusoidna elektromotorna sila, na osnovu Faradejevog zakona elektromagnetne indukcije, generiese u kalemu koji rotira u homogenom magnetnom polju.


2/19


3/19

3

U prethodnom izrazu, veliina

SBNE m

predstavlja amplitudu ems. Prema tome, trenutna vrednost ems moe se napisati u obliku:

tEe sinm .

Zavisnost indukovane ems od vremena prikazana je dijagramom na sledeoj slici.

Veliina

2T

predstavlja periodu prostoperiodine ems.

Prostoperiodine naizmenine veliine

Opti izraz za intenzitet prostoperiodine struje, prema usvojenom referentnom smeru i poetnomtrenutku, je:

tfItIti 2sinsin)( mm

ili

tfItIti 2sin2sin2)(

gde su: i -trenutna vrednost prostoperiodine strujeIm -maksimalna vrednost (amplituda) prostoperiodine struje (uvekpozitivna veliina),

I-efektivna vrednost prostoperiodine struje

-kruna uestanost prostoperiodine struje,

f-frekvencija prostoperiodine struje,

t+-faza prostoperiodine struje,

-faza prostoperiodine struje u trenutkut= 0 (poetna faza struje).

Amplitudanaizmenine struje(Im) - mera ekstremnih vrednosti veliine


4/19

4

Uestanost (f) i kruna uestanost ( ) - mera perioda ponavljanja promena

Strujaje periodina sa periodom

2T .

Vae sledei odnosi: 2f

fT

1

Poetna faza ( o ) -pokazuje poloaj sinusoide du vremenske ose, u odnosu na referentni poetnitrenutak posmatranja.

Ako dve naizmenine, prostoperiodine veliine nemaju istovremeno vrednost 0 i ekstremnevrednosti, kae se da nisu u fazi, da su fazno pomerene, odnosno da meu njima postoji fazna razlika.

Za primer na slici, kae se da strujai2prethodi strujii1za ugao, ili da strujai1zaostaje za strujomi2za ugao.

Isto vai i za napone.


5/19

5

1. Odrediti trenutnu vrednost struje i u trenutku kada protekne vreme t = 0,002s od poetka posmatranjaove struje, koja se menja po zakonu tIi sinm , gde jeIm= 200 A,f= 50Hz,= 45.

Reenje:

tfIi 2sinm

45

180002,0502sin200ti [A]

4536sin200ti [A]

9sin200ti [A]

156,0200t i [A]

3,31t i [A]

2. Odrediti amplitudu napona, ako se njegova promena u toku vremena moe prestaviti izrazom 6sinm tUu . Poznato je da jeu= 200V u trenutku t= 0.

Reenje:

6

0sin200 m U [V]

V4005,0

V200

30sin

V200

6

sin

V200m

U

V400m U

3. Amplituda naizmenine elektromotorne,sile koja se menja po sinusnom zakonu, iznosi 85 A, a njenauestanost 100 Hz. Odrediti trenutnu vrednost naizmenine elektromotorne sile nakon vremena 0,00 1 sod prolaska kroz nulu.

Reenje:

tEe sinm

Moe se pretpostaviti daje trenutak prolaska kroz nulu0

1

t :

0sin0 mE 0 ,

tEe sinm

Za t2= 0,001s dobija se: 2m2 2sin tfEe

001,01002sin852 e

180

2,0sin852e

36sin852e

V502 e


6/19


7/19

7

Efektivna i srednja vrednost naizmenine struje

Naizmenina struja menja smer i veliinu, te je teko praktino izmeriti njenu vrednost u ma kojemtrenutku. Meutim, njeno dejstvo se moe uporediti sa dejstvom jednosmerne struje. Najprostije jeuporediti njihovo toplotno dejstvo. Naime, naizmenina struja proizvodi odreenu koliinu toplote zaodreeno vreme, za isto vreme istu koliinu toplote proizvodi odreena jednosmerna struja, u istomotporniku. Zato se uvodi efektivna vrednost naizmenine strujei to kao veliina one jednosmerne strujekoja u odreenom vremenskom intervalu razvije istu koliinu toplote kao i posmatrana naizmenina strujau istom otporniku.

Ukoliko se usvoji da je to vreme jedan period i oznai ta jednosmerna struja sa I, onda je koliinatoplote razvijene u kolu otpornostiRjednaka:

TIRQ 2 . (1)

Kliina toplote, koja se u istom periodu vremenaT, razvija pri proticanju odgovarajue naizmeninestruje jednaka je:

T

dttiRQ

0

2)( . (2)

Izjednaavanjem (1) i (2) za efektivnu vrednost prostoperiodine naizmenine struje dobija se:

T

dttiT

I

0

22 )(1

.

odnosno:

T

tdtIT

I

0

22m

2sin

1

T

dtt

T

II

0

2m2

2

2cos1

Tt

tT

II

0

2m2

2

2sin

2

2

2sin

2

2m2 TTT

II

4sin42

2m

2m2

T

III

2

2m2 II

Efektivna vrednost sinusne naizmenine struje, prema tome, je: mm 707,02

II

I

Na slian nain uvode se efektivne vrednosti elektromotorne sile:2

mEE i napona2

mUU .


8/19

8

Osim efektivne vrednosti, definie se i srednja vrednost naizmenine struje, na osnovu koliineelektriciteta koja protekne kroz popreni presek provodnika pri prolasku naizmenine struje

tiq .

Za odreeni vremenski interval iji je poetak oznaen sa t1, a kraj sa t2, ukupna koliinaelektriciteta jednaka je:

2

1

)(t

t

dttiQ

odnosno, srednja vrednost struje definie se na sledei nain:

2

1

)(1

12SR

t

t

dttitt

I .

Srednja vrednost sinusne struje za jedan odreeni vremenski period moe se definisati kao onavrednost jednosmerne struje, pri kojoj kroz presek provodnika, u definisanom vremenskom intervalu,

protekne ista koliina elektriciteta kao i pri odgovarajuoj naizmeninoj struji, ija je to srednja vrednost.

Ako je struja, ili naizmenina veliina uopte, sinusna funkcija vremena, za vreme jednepoluperiode kroz presek provodnika protekne odreena koliina elektriciteta u jednom smeru, za vremesledee poluperiode ista tolika koliina elektriciteta u suprotnom smeru, pa je i otuda srednja vrednost

prostoperiodine struje u toku cele periode jednaka nuli. Zbog toga se kod sinusnih i periodinih funkcijasrednja vrednost obino definie za vreme poluperiode, odnosno:

2

0

SR )(2

1 T

dttiT

I .

U sluaju sinusne zavisnosti od vremena bie

2

0

mSR sin2T

dtIT

I

2

0

mSR cos

2 T

tT

II

mmSR 637,02

III

Dobijena vrednost je neto manja od efektivne vrednosti, odnosno:II 9.0SR

Prema navedenoj definiciji, jasno je da je povrina pravougaonika osnove T/2 i visineISRjednakapovrini izmeu sinusoide i dela apscisne ose od 0 doT/2.


9/19

9

Opisivanje prostoperiodinih veliina

Prostoperiodinuveliinu odreuju sledei parametri:

amplituda (efektivna vrednost),

uestanost (kruna uestanost) i

poetna faza.U kolima prostoperiodine struje sve veliine imaju istu frekvenciju , odnosno, svaka naizmenina

prostoperiodina veliina opisana je sa dva parametra:1. amplitudom (efektivnom vrednou) i2. poetnom fazom.

Metode opisivanja naizmeninih veliina:o vremensko (trigonometrijsko),

o fazorsko (geometrijsko) i

o kompleksno(aritmetiko).

Vremensko opisivanje prostoperiodinih veliina podrazumeva analitiki prikaz trigonometrijskimfunkcijama. Kao primer nedostatka primene ove metode u optem sluaju moe posluiti sabiranje dve

prostoperiodine struje (Kirhofovi zakoni):

11m1 sin)( tIti

22m2 sin)( tIti

)()()( 21 tititi

22m11m sinsin)( tItIti

]sincoscos[sin]sincoscos[sin 222m111m ttIttI

]sinsin[cos]coscos[sin 22m11m22m11m IItIIt

Fazorsko opisivanje prostoperiodinih veliina podrazumeva geometrijski prikaz vektorima. Usfernom koordinatnom sistemu, svakoj naizmeninoj veliini moe se jednoznano pridruiti jedan vektor(fazor) iji je intenzitet odreen efektivnom vredou prostoperiodine veliine, a iji je poloaj u odnosuna referentnu osu odreen poetnom fazom te veliine.

U ovom sluaju, reavanje sloenimh kolanaizmenine struje svodi se na svodi se na crtanje ireavanje fazorskog dijagrama. (Na primer, sabiranje dve

prostoperiodine veliine svodi se na sabiranje dvavektora)

Kompleksno opisivanje prostoperiodinihveliina svodi se na prikaz fazora kompleksnimbrojevima. Svaki fazor u koordinatnom sistemu

predstavlja se dvema svojim koordinatama,

realnom i imaginarnom.

yx IjII

sincos IjII


10/19

10

Prosto kolo sa termogenom otpornu R

Prosto kolonaizmenine struje sastojise od izvora naizmenine elektrine struje i jednog potroaa.Neka je potroa termogena omska otpornostR.

)sin(m tIi

iRu

)sin(m tIRu (1)

)sin(m tUu (2)

Uporeivanjem izraza, za efektivnu vrednost naponaUi za faznu razliku napona i struje (ugao zakoji fazor napona prednjai u odnosu na struju) dobija se, respektivno:

mm IRU 2/

IRU

0 NAPON I STRUJA SU U FAZI

Vremenski dijagram:

Fazorski dijagram:


11/19


12/19

12

Prosto kolo sa kondenzatorom kapacitivnostiC

Neka se prosto kolo naizmenine struje sastoji od izvora naizmenine elektrine strujei konenzatorakapacitivnostiC.

)sin(m tIi

dt

duCi CC

t

idtC

u

0

C

1

t

dttIC

u

0

mC )sin(1

)2

sin(1

))cos((11

C

t

Ct

Cu (1)

)sin(m tUu (2)

mm

1I

CU

2/

IXU CC

X

1C

90 NAPON ZAOSTAJE U ODNOSU NA STRUJU ZA 90

Vremenski dijagram:

Fazorski dijagram:


13/19

13

Veze izmeu napona i struje potroaa u prostim kolima naizmenine struje:

Vrsta elementa Trenutne vrednosti Efektivne vrednosti Fazni stav

R iRu IRU 0

Ldt

diLu

IXU L

LX L

90

Cdt

duCi

IXU C

CX

1C

90


14/19


15/19

15

5. Kalem induktivnosti 0,2H i zanemarljive omske otpornosti prikljuen je na izvor naizmenine struje,iji je efektivni napon 100 V.a) Ako je frekvencija 30 Hz, izraunati struju u tako obrazovanom kolu.b) Kolika je struja u sluaju da frekvencija iznosi 500 Hz?

Reenje:

a) Hz30fLX L

LfX 2L

68,372,03014,32LX

A65,268,37

100

L

X

UI

b) Hz500f

LX L

LfX 2L

6282,050014,32LX

A159,0628

100

L

X

UI

fI

1~ , odnosno sa poveanjem frekvencije, struja kroz kalem se smanjuje

6. Kondenzator kapaciteta 30F prikljuen je na izvor naizmenine struje. Efektivna vrednost naponaiznosi 400 V, a frekvencija je 50 Hz. Odrediti:

a) reaktansu kondenzatora i

b) efektivnu vrednost struje u kolu.

Reenje:

a)C

X

1C

CfX

2

1C

10610305014,32

16C

X

b) A77,3106

400

C

X

UI


16/19

16

7. Odrediti napon na prikljunicama kalema iji je aktivni otporR = 5, a reaktivni XL = 7 , ako jestruja kroz kalem data kao:i =Imsin(t+1), gde jeIm =9A,1 = 38,5.

Reenje:

6,875

222

L

2XRZ

A4,62

m I

I

V556,84,6 ZIU

4,15

7tg L

R

X 5,54

je fazna razlika napona i struje (odnosno ugao za koji napon prednjai u odnosu na struju).

Neka su: 1 -poetna faza struje i 2 -poetna faza napona,

bie: 12

odnosno: 935,545,3812

)sin( 2m tUu

)sin(2 2 tUu

]V[)93sin(78 0 tu


17/19

17

8. Odrediti struju u kolu ija je aktivna otpornost 8, induktivna 4, ako je na prikljunicama kolasinusni naizmenini napon efektivne vrednosti 128 V i poetne faze od 51.5.

Reenje:

94,8

2

L

2XRZ

A3,1494,8

128

Z

UI

5,08

4tg L

R

X 5,26

Poetna faza napona: 5,512

Fazna razlika napona i struje: 12

Poetna faza struje bie:

255,265,5121

)sin(2 1 tIi

]A[)25sin(2.20 ti


18/19


19/19

19

10. Sijalica sa metalnim vlaknom nominalne snage 750 W i napona 100 V vezuje se na red sa

kondenzatorom preko izvora ems 230 V, frekvencije 60 Hz, kao na slici. Odrediti:

a) kapacitivnost kondenzatora,

b) fazni pomeraj izmeu struje i napona napajanja.

Reenje:

a) IUP SS A5,7100750

S

S UPI

35,135,7

100SS

I

UR

2

S

1

CR

EI

2

222

S

1

I

E

C

R

76235,135,7

2301 22

22

S2

22

R

I

E

C

5,271

C

F0000965,05,27602

1

C

F5,96C

b)S

CtgR

X

S

1

tgR

C

06,235,13

5,27tg

64

Documents

09 Naizmenicne struje, uvodni zadaci.pdf