09 การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ ตอนที่3_สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

การใหเหตผลและตรรกศาสตร (เนอหาตอนท 3)

สจนรนดรและการอางเหตผล

โดย

อาจารย ดร.จณดษฐ ละออปกษณ

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

http://www.google.co.th/imgres?q=%E0%B8%AA%E0%B8%9E%E0%B8%90&um=1&hl=th&sa=N&rlz=1R2ADRA_enTH425&biw=1051&bih=687&tbm=isch&tbnid=srkh9z1q97NYlM:&imgrefurl=http://www.manager.co.th/Qol/ViewNews.aspx?NewsID=9540000014478&imgurl=http://www.manager.co.th/asp-bin/Image.aspx?ID=1799322&w=300&h=429&ei=oZ_TTbm5I42ougPb-Yi5DQ&zoom=1

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร สอการสอน เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร มจ านวนตอนทงหมดรวม 9 ตอน ซง

ประกอบดวย 1. บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร 2. เนอหาตอนท 1 การใหเหตผล

- การใหเหตผลแบบอปนย - การใหเหตผลแบบนรนย

3. เนอหาตอนท 2 ประพจนและการสมมล - ประพจนและคาความจรง - ตวเชอมประพจน - การสมมล

4. เนอหาตอนท 3 สจนรนดรและการอางเหตผล - เอกลกษณในการเชอมประพจน - สจนรนดร - การอางเหตผล

5. เนอหาตอนท 4 ประโยคเปดและวลบงปรมาณ - ประโยคเปด - วลบงปรมาณ

6. แบบฝกหด (พนฐาน) 7. แบบฝกหด (ขนสง) 8. สอปฏสมพนธ เรอง หอคอยฮานอย 9. สอปฏสมพนธ เรอง ตารางคาความจรง

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


2

เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร (สจนรนดรและการอางเหตผล) หมวด เนอหา ตอนท 3 (3/4) หวขอยอย 1. เอกลกษณในการเชอมประพจน

2. สจนรนดร 3. การอางเหตผล

จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน

1. มความเขาใจและสามารถน าเอกลกษณในการเชอมประพจนไดอยางถกตอง เหมาะสม 2. มความเขาใจในความหมายของสจนรนดรและสามารถตรวจสอบสจนรนดรได 3. มความเขาใจในการอางเหตผลและสามารถน าไปใชตรวจสอบความสมเหตสมผลได

ผลการเรยนรทคาดหวง ผเรยนสามารถ 1. บอกเอกลกษณในการเชอมประพจนทส าคญ 2. น าเอกลกษณในการเชอมประพจนไปใชตรวจสอบการสมมลของประพจนได 3. บอกความหมาย และวธการตรวจสอบสจนรนดรได 4. ตรวจสอบสจนรนดรไดอยางถกตอง เหมาะสม 5. อธบายวธการตรวจสอบความสมเหตสมผลในการอางเหตผลได 6. ตรวจสอบไดวาการอางเหตผลทก าหนดใหเปนการอางเหตผลทสมเหตสมผลหรอไม


3

เนอหาในสอการสอน

เนอหาทงหมด


4

1. เอกลกษณในการเชอมประพจน


5

1. เอกลกษณในการเชอมประพจน

ในหวขอนผเรยนจะไดทราบถงวธการตรวจสอบความสมมลของประพจนอกหนงวธ คอการใชเอกลกษณในการเชอมประพจน ซงมความสะดวกและกระชบกวาการสรางตารางคาความจรง

เนอหาในสอเรมตนดวยการทบทวนการตรวจสอบการสมมลของประพจนดวยการสรางตารางคาความจรง และชใหเหนวาประพจนทสมมลกนนนสามารถน าไปใชอางองตอไปไดโดยไมตองสรางตารางตรวจสอบ


6

ในทนผสอนอาจใหนกเรยนระบประพจนทไดเคยตรวจสอบดวยตารางคาความจรงแลววาสมมลกน จากการเรยนในครงทผานมา โดยเขยนเปนรายการบนกระดานด า จากนนยกตวอยางการตรวจสอบความสมมลเพมเตม โดยใหนกเรยนน าประพจนทสมมลกนตามรายการบนกระดานด ามาใชอางอง

เมอผเรยนเรมเขาใจและเหนถงประโยชนของการน าความรเกาคอประพจนทเคยตรวจสอบวาสมมลกน มาใชอางองเพอตรวจสอบความสมมลของประพจนคตอๆไป ผสอนจงแนะน า เอกลกษณในการเชอมประพจน และน าเสนอเอกลกษณทใชกนโดยทวไปในชนน ดงน

ผสอนควรชใหเหนถงลกษณะส าคญของแตละกลมเอกลกษณ เชน การสลบท การกระจาย ตลอดจนเอกลกษณทมกมการน าไปใชคลาดเคลอน


7

ตวอยางน เปนการแสดงการสมมลของประพจน ซงอยนอกเหนอจากเอกลกษณทกลาวถงขางตน โดยอาศยตารางคาความจรง จากนนจงแสดงวธการใชงานของเอกลกษณในการเชอมประพจนน โดยในตอนทายไดแสดงการตรวจสอบโดยใชเอกลกษณในการเชอมประพจน

นอกจากนผสอนอาจยกตวอยางเพมเตมเพอเปนการทบทวนและฝกการน าเอกลกษณการเชอมประพจนไปใชในการตรวจสอบการสมมลของประพจนทก าหนดให


8

ตวอยาง 1 ~ ( ( )) (~ )p q r p p q r หรอไม

วธท า

ตวอยาง 2 ) ~~ (( (~ )) (~ )p q q r p q r หรอไม

วธท า

ตวอยาง 3 ( ) ~p p q p q หรอไม

วธท า ดงนน ( )p p q ไมสมมลกบ ~p q ในทนควรอธบายเพมวา ~ p p เปนประพจนทมคาความจรงเปนจรงเสมอ ดงนนเมอเชอม

ประพจนนดวยตวเชอม “และ” กบประพจนใด คาความจรงของประพจนใหม จะตรงกบคาความจรง ของประพจนนน และอาจใชสญลกษณ t แทนประพจนทมคาความจรงดงตวอยาง

( ))

( ))

~ ( ( ) ( (~ (~ ) (~ )

p r pr pr p

q r p p qp qp qp p q

~ ( ( ) (~ )r

p q r p p q r

) )) ~) ~

~ (( (~ )) ~ (~ ( (~ )) ( (~ ) ( ( )

p q p qp qp q

q r q rq r

q r

~( ~

~) ~

)

~ (( (~ )) (~ )

p qp qp

p q

q rq r

q rq r p q r

( (

(~(~

~

) ~ ) (~ ) ) )

t

p pp p

pp

p q p qp q

qq

p q


9

ตวอยาง 4 (~~ ( ) ~ ~ )p q p p p q หรอไม

วธท า

ดงนน ~ ( )p q p ไมสมมลกบ (~~ ~ )p p q

ตวอยาง 5 ( (( ) ~ ) ~ )p q q p p q หรอไม

วธท า

(

(

(

(

~ ( ) ~ ~ ) ~ ) ~ ~ ) ~ ~ )

p q p p q pp q p

p q pp p q

( (

( (

( (

( ) ) ) ~ ) ~ )

( ) ~ ) ~ )

p q p q q pp q q p

p q q p p q


10

แบบฝกหดเพมเตม เรอง เอกลกษณในการเชอมประพจน


11

แบบฝกหดเพมเตม เรอง เอกลกษณในการเชอมประพจน

จงใชเอกลกษณในการเชอมประพจนเพอแสดงวาขอความทก าหนดใหเปนจรง หรอยกตวอยางคาความจรงของประพจนเพอแสดงใหเหนวาขอความทก าหนดใหเปนเทจ 1. ~ ~p q q p

2. ( ) ( ) ~p q r p q r

3. ( )~ ~p q p q p

4. (( ) ) ( )~ ~ ~p q r p q r

5. ( ) ( ) (~ ) (~ ) p r r p r p p r

6. ) ( ) ( )(~ ~p q r r p r q

7. ( ) ( ) ~ ~ ~p q r q r p

8. ( ) ( ) ( ) ( )~ ~ ~ ~ ~p q r s q r s p

9. ( ) ( ) ( ) p q q r r q q p

10. ( ( )) ( ) ( )[ ]~ ~ ~ ~ ~ [ ]p q r q p r q


12

2. สจนรนดร


13

2. สจนรนดร

ในหวขอนผเรยนจะไดศกษาถงความหมายของ สจนรนดร และการตรวจสอบสจนรนดร โดยอาศยความรทเรยนมากอนหนาทงการสรางตารางคาความจรง เอกลกษณในการเชอมประพจน รวมถงเทคนคในการตรวจสอบแบบอนๆ ซงเหมาะสมกบโครงสรางของประพจนแตกตางกนไป

หลงจากทเขาใจความหมายของสจนรนดร และเหนการตรวจสอบสจนรนดรโดยใชวธพนฐาน ซงคอการสรางตารางคาความจรงแลว จากนนจงเปนการอธบายถงวธการตรวจสอบโดยอาศยเอกลกษณในการเชอมประพจน


14

ทงผสอนอาจยกตวอยางเพมเตมดงน ตวอยาง 1 จงตรวจสอบวา ( ) ( ) p q p q เปนสจนรนดรหรอไม โดยใชเอกลกษณการเชอม

ประพจน วธท า

ดงนน ประพจนทก าหนดใหเปนสจนรนดร นอกจากนในการตรวจสอบสจนรนดร หากตองการแสดงวาประพจนทก าหนดใหไมเปน

สจนรนดร เพยงพอทจะแสดงโดยการยกตวอยางคาความจรงของประพจน เพอแสดงใหเหนวาประพจนทก าหนดใหนนสามารถมคาความจรงเปน เทจ ได ทงนผสอนอาจยกตวอยางประกอบเพมเตมตามความเหมาะสม

( ) ( ) ( ) ( )

( ) (( ) ( ))

( ) (( ) ( ))

(

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

p q p q p q p qp q p q q pp q p q q pp q

) ( ))

( ) ( ))

( ) ( ))

( ) ( )

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

p q p q q pp p q q p p q qp t t q

t tp q p q t


15

ผสอนน าเสนอวธการตรวจสอบสจนรนดรอกวธ คอ การตรวจสอบดวยวธการขดแยง

ทงนอาจยกตวอยางเพมเตมดงน


16

ตวอยาง 2 จงตรวจสอบวา ( ( )) p p q q เปนสจนรนดรหรอไม วธท า สมมตให ( ( )) p p q q มคาความจรงเปนเทจ

ดงนน ( )p p q มคาความจรงเปนจรง และ q มคาความจรงเปนเทจ จะไดวา p มคาความจรงเปนจรงและ p q มคาความจรงเปนจรง ….(*) แตจาก p มคาความจรงเปนจรงและ q มคาความจรงเปนเทจ

p q จงมคาความจรงเปนเทจ….(**) จาก (*) และ (**) ท าใหเกดขอขดแยง

ดงนน ( ( )) p p q q เปนสจนรนดร ตวอยาง 3 จงตรวจสอบวา ( )p q p เปนสจนรนดรหรอไม วธท า สมมตให ( )p q p มคาความจรงเปนเทจ

ดงนน p q มคาความจรงเปนเทจและ p มคาความจรงเปนเทจ….(*) จาก p q เปนเทจจะไดวา q มคาความจรงเปนเทจ p มคาความจรงเปนเปนจรง....(**) จาก (*) และ (**) ท าใหเกดขอขดแยง

ดงนน ( )p q p เปนสจนรนดร

ผสอนควรเปดโอกาสใหนกเรยนไดสงเกต และสรปหลกการของการตรวจสอบโดยวธขดแยง โดยใชค าถามกระตนใหนกเรยนไดคดถงการน าการตรวจสอบโดยวธขดแยงไปใชกบประพจนในโครงสรางอนๆ


17

ผสอนอาจยกตวอยางเพมเตมเกยวกบการตรวจสอบสจนรนดร ส าหรบโครงสรางประพจนทเชอมกนดวย “กตอเมอ” ดงน

ตวอยาง 4 จงตรวจสอบวา (( ) (~ )) ( )p q q r p q r เปนสจนรนดรหรอไม วธท า

ดงนน (( ) (~ )) ( )p q q r p q r เปนสจนรนดร

(( ) (~ )) ((~ ) ( ))

~

~

(~ )

p q q r p q q rp q q rp q rp q r

( )p q r


18

กอนจบในหวขอนผสอนควรเปดโอกาสใหนกเรยนไดสรปหลกการ วธการ การตรวจสอบ

สจนรนดร ทงการสรางตารางคาความจรง การใชเอกลกษณในการเชอมประพจน การยกตวอยางกรณคาความจรงทท าใหประพจนมคาความจรงเปนเทจ และการตรวจสอบโดยวธการขดแยง เพอชวยใหนกเรยนไดเหนขอเดน และขอจ ากดของการตรวจสอบแตละแบบ และเลอกใชไดอยางเหมาะสม ถกตอง


19

แบบฝกหดเพมเตม เรอง สจนรนดร


20

แบบฝกหดเพมเตม

เรอง สจนรนดร

จงตรวจสอบวาประพจนตอไปน เปนสจนรนดรหรอไม

1. ( ( ~ ))p p s s

2. [( ( ~ )) ( )]p p q p q q

3. [~ ( ( ))] [~ ]p q r p q p r

4. ~ [( ) (~ )] [ ~ ( )]p q q r p q r

5. ( ( ~ )) ( )p q s p s q

6. [ ( )] [ ]p p q p q

7. [( ) ( )] ( ) p q p r p r q

8. (~ ( ))p p p q

9. ( ~ ( )) (~ (~ ))p q p p p q

10. ( ( )) (~ ( ))q r p r p q


21

3. การอางเหตผล


22

3. การอางเหตผล

ในหวขอนผเรยนจะไดศกษาถงเกยวกบการตรวจสอบการอางเหตผล วาสมเหตสมผลหรอไม โดยอาศยความรเรองสจนรนดรทไดเรยนมากอนหนาน

หลงจากทเขาใจความหมายและวธการของการตรวจสอบความสมเหตสมผลแลว ผสอนควร

ชใหเหนวาวธการตรวจสอบน เปนการน าความรเรองสจนรนดรมาใช จากนนจงน าเสนอตวอยางทหลากหลาย เพอชวยใหนกเรยนไดเหนถงวธการตรวจสอบแบบอน ทไมตองอาศยการตรวจสอบ สจนรนดรโดยตรง ตลอดจนการอางเหตผลทเปนขอความในชวตประจ าวน


23

ตวอยางนแสดงการตรวจสอบการอางเหตผลในอกแบบหนง จากนนจงเปนการน าเสนอตวอยางท

ซบซอนขน ทงนผสอนการยกตวอยางเพมเตม ดงน


24

ตวอยาง 1 จงพจารณาวาการอางเหตผลตอไปนสมเหตสมผลหรอไม

เหต (1) แมวไมจบปลาหรอแมวกนปลา (2) แมวไมกนปลา

ผล แมวไมจบปลา วธท า ให p แทนขอความ “แมวจบปลา” และ q แทนขอความ “แมวกนปลา” จะไดวา เหต (1) ~ p q (2) ~ q ผล ~ p ตรวจสอบความสมเหตสมผล โดยพจารณาวา [( ) ]~ ~ ~p q q p เปนสจนรนดรหรอไม สมมตให [( ) ]~ ~ ~p q q p มคาความจรงเปนเทจ ดงนน ( )~ ~p q q มคาความจรงเปนจรงและ ~ p มคาความจรงเปนเทจ

จะไดวา p มคาความจรงเปนจรง จาก ( )~ ~p q q มคาความจรงเปนจรง จะไดวา ~ p q มคาความจรงเปนจรง

และ ~ q มคาความจรงเปนจรง นนคอ q มคาความจรงเปนเทจ และจาก ~ p q มคาความจรงเปนจรง ท าให ~p มคาความจรงเปนจรง

เกดขอขดแยง ดงนน [( ) ]~ ~ ~p q q p เปนสจนรนดร ดงนน การอางเหตผลนสมเหตสมผล

ตวอยาง 2 จงพจารณาวาการอางเหตผลตอไปนสมเหตสมผลหรอไม เหต (1) ( )~ p r s

(2) ~ r s ผล p วธท า สมมตให [(( ) ) ( )]~ ~p r s r s p มคาความจรงเปนเทจ ดงนน (( ) ) ( )~ ~p r s r s มคาความจรงเปนจรงและ p มคาความจรงเปนเทจ จาก (( ) ) ( )~ ~p r s r s มคาความจรงเปนจรง

จะไดวา ( )~ p r s มคาความจรงเปนจรง และ ~ r s มคาความจรงเปนจรง


25

นนคอ ~ r มคาความจรงเปนจรง และ s มคาความจรงเปนจรง ไมเกดขอขดแยง และเมอให p, r และ s มคาความจรงเปน เทจ เทจ และ จรง ตามล าดบ จะไดวา [(( ) ) ( )]~ ~p r s r s p มคาความจรงเปนเทจ [(( ) ) ( )]~ ~p r s r s p ไมเปนสจนรนดร ดงนน การอางเหตผลนไมสมเหตสมผล

ตวอยาง 3 จงพจารณาวาการอางเหตผลตอไปนสมเหตสมผลหรอไม เหต (1) ( ~ ) ( )p r r p

(2) r ผล p r

วธท า สมมตใหเหตขอ (1) และ (2) เปนจรง จากเหตขอ (2) เปนจรงจะไดวา r มคาความจรงเปนจรง ท าให p r มคาความจรงเปนจรง ดงนน การอางเหตผลนสมเหตสมผล

ตวอยาง 4 จงพจารณาวาการอางเหตผลตอไปนสมเหตสมผลหรอไม

เหต (1) ( ) ~ ( )p r r q (2) p (3) r q

ผล ( )p r q วธท า สมมตใหเหตทกขอเปนจรง จากเหตขอ (2) เปนจรงจะไดวา p มคาความจรงเปนจรง จากเหตขอ (3) เปนจรงจะไดวา r มคาความจรงเปนจรง และ q มคาความจรงเปนจรง จะไดวาเหตขอ (1) เปนเทจ ดงนน การอางเหตผลนไมสมเหตสมผล


26

แบบฝกหดเพมเตม เรอง การอางเหตผล


27

แบบฝกหดเพมเตม

เรอง การอางเหตผล จงตรวจสอบวาการอางเหตผลตอไปนสมเหตสมผลหรอไม 1. เหต (1) ถาปลาวายน าแลวคนเดนได

(2) ปลาไมวายน าหรอคนเดนไมได ผล ปลาทะเลวายน าหรอคนเดนได

2. เหต (1) ถาหนดไมไปตลาดแลวหนแดงอยบาน

(2) หนดไมไปตลาด ผล หนแดงอยบาน

3. เหต (1) ถาวนจนทรฝนตกแลววนองคารฝนตก (2) ถาวนพธฝนตกแลววนจนทรฝนตก (3) วนจนทรฝนไมตก

ผล วนองคารฝนไมตก

4. เหต (1) ~p q (2) q r (3) ~ r

ผล p

5. เหต (1) p q (2) ~ q r

ผล p r


28

6. เหต (1) ( )~ ~r p q (2) ( ) ~p r s (3) ~ q

ผล ~ s

7. เหต (1) ( ~ ) ( )p q q p (2) ~ q

ผล p q 8. เหต (1) (~ )p p q

(2) ~ q r (3) ~ r

ผล p

9. เหต (1) p q (2) q r (3) ~ r s

ผล s

10. เหต (1) ( )p q r (2) p (3) ~ t q

ผล r t


29

สรปสาระส าคญประจ าตอน


30

สรปสาระส าคญประจ าตอน


31


32

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม


33

แบบฝกหดระคน

จงเลอกขอทถกตอง 1. ~ (~ (~ ~ )) p q r p สมมลกบขอใดตอไปน

ก. (~ )p r q ข. ( )p r q ค. ( ~ )p r q ง. (~ ~ )p r q

2. )~ (( (~ ))p q q r สมมลกบขอใดตอไปน ก. ~ (~ )p q r ข. (~ )p q r ค. ~ ( )p q r ง. ~(~ )p q r

3. ขอใดตอไปนถกตอง ก. ( ) ~ ( )p r q p สมมลกบ (( ) ) ( ( ))p r p rq p ข. ( ) ~ ( )p r q p สมมลกบ (( ) ) ( ( ))~p r p rq p ค. ( ) ~ ( )p r q p ไมสมมลกบ (( ) ) ( ( ))~ ~p r p rq p ง. ( ) ~ ( )p r q p ไมสมมลกบ (( ) ) ( ( ))~p r p rq p

4. ( (~ )) ~ pq p q ไมสมมลกบขอใด ก. ( ( ~ )) ~ pq p q ข. ( ( ~ )) pq p q ค. ( ( ~ ))p q p q ง. ~ ( ( ~ ))p q p q

5. พจารณาขอความตอไปน ก) ( ~ ) ( )p q q r สมมลกบ ~( ) (( ) ( ))q r p p q q r ข) ( ~ ) ( )p q q r สมมลกบ ( (~ ) ~ )q p p q

ขอใดตอไปนถกตอง ก. ขอ ก) และ ข) ถก ข. ขอ ก) ถก และ ข) ผด ค. ขอ ก) ผด และ ข) ถก ง. ขอ ก) และ ข) ผด


34

6. พจารณาขอความตอไปน ก) (~ ( ~ )) ~ p p q q เปนสจนรนดร ข) (( ) ( )) (( ) ( ))p q p q r q p p เปนสจนรนดร


7. พจารณาขอความตอไปน ก) (~ ) ( ) ( )p q p r q r เปนสจนรนดร ข) ~ ~ ~(( ) (~ ( ~ )) [(( ( )) ( )]p q q r p q p r q p เปนสจนรนดร


8. พจารณาการอางเหตผลตอไปน

ก) เหต (1) ถาแดงไมอานหนงสอหรอด าไปเทยว แลวเขยวไปโรงเรยน (2) เขยวไมไปโรงเรยนและเหลองวายน า

ผล แดงอานหนงสอและด าไมไปเทยว

ข) เหต (1) ~p q (2) q r

(3) ~ r ผล p r

ขอใดตอไปนถกตอง ก. การอางเหตผลขอ ก) และ ข) สมเหตสมผล

ข. การอางเหตผลขอ ก) สมเหตสมผล แตขอ ข) ไมสมเหตสมผล ค. การอางเหตผลขอ ก) ไมสมเหตสมผล แตขอ ข) สมเหตสมผล

ง. การอางเหตผลขอ ก) และ ข) ไมสมเหตสมผล


35

9. พจารณาการอางเหตผลตอไปน ก) เหต (1) ~p q (2) q r

(3) ~ r ผล ( )r p p ข) เหต (1) ( )r r q

(2) ( )p t r (3) ( )r q p (4) ~t r

ผล ( ) ~p r t

ขอใดตอไปนถกตอง ก. การอางเหตผลขอ ก) และ ข) สมเหตสมผล

ข. การอางเหตผลขอ ก) สมเหตสมผล แตขอ ข) ไมสมเหตสมผล ค. การอางเหตผลขอ ก) ไมสมเหตสมผล แตขอ ข) สมเหตสมผล

ง. การอางเหตผลขอ ก) และ ข) ไมสมเหตสมผล

10. พจารณาการอางเหตผลตอไปน เหต (1) นดกนกวยเตยวและแชมปไมกนขาวมนไก

(2) วไลกนขนมหวานกตอเมอนดกนกวยเตยว ผล ......................................................................

ผล ควรเปนขอใดตอไปน จงท าใหการอางเหตผลน สมเหตสมผล ก. แชมปกนขาวมนไก หรอ วไลไมกนขนมหวาน

ข. แชมปกนขาวมนไก กตอเมอ วไลกนขนมหวาน ค. วไลกนขนมหวาน และ นดไมกนกวยเตยว

ง. ถานดกนกวยเตยว แลว วไลกนขนมหวาน


36

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด


37

เฉลยแบบฝกหด

เรอง เอกลกษณในการเชอมประพจน

จงใชเอกลกษณในการเชอมประพจนเพอแสดงวาขอความทก าหนดใหเปนจรง หรอยกตวอยางคาความจรงของประพจนเพอแสดงใหเหนวาขอความทก าหนดใหเปนเทจ 1. ~ ~p q q p

วธท า

2. ( ) ( ) ~p q r p q r

วธท า

และเมอให p q มคาความจรงเปนจรง และ r มคาความจรงเปนเทจ จะไดวาประพจนทก าหนดใหไมสมมลกน

3. ( )~ ~p q p q p วธท า

และเมอให p และ q มคาความจรงเปนเทจ จะไดวาประพจนทก าหนดใหไมสมมลกน

4. (( ) ) ( )~ ~ ~p q r p q r วธท า

~ ~

~ ~

p q p qq p

p q q p

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

~ ~ ~ ~ ~

p q r p q rp q rp q r

p q r p q r

( ) ( )

( )

( )

~ ~ ~ ~~

p q p p q pq p pq p

p q p q p

(( ) ) ( ( ) )

( ( ) )

(( ) ) ( )

~ ~ ~ ~ ~ ~

~ ~ ~

p q r p q rp q r

p q r p q r


38

5. ( ) ( ) (~ ) (~ ) p r r p r p p r วธท า

6. ( ) ( ) ( )~ ~p q r r p r q วธท า

7. ( ) ( ) ~ ~ ~p q r q r p

วธท า

8. ( ) ( ) ( ) ( )~ ~ ~ ~ ~p q r q r s ps วธท า

9. ( ) ( ) ( ) p q q r r q q p

วธท า

) ( )

( )

( )

) ( ) ( )

(~ ~ ~ ~ ~

( ~ ~

p q r p q rp q r

r p qp q r r p r q

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

~ ~ ~ ~

~ ~ ~

p q r p q rq r p

q r pp q r q r p

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~ ~

p q r s p q r s

q r s pq r s p

p q r s q r s p

( ) ( ) ( ) (~ ) (~ ) (~ )

~ ( ~ ) ( ~ )

~

t t

p q q r r q p q q r r pp q q r r qp q

~

( ) ( ) ( )

p qp q q r r q p q

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

(~ ) (~ )

( ) ( ) (~ ) (~ )

p r r p p r r p r pp r r p

p r r pp r r p r p p r


39

เมอให p และ q มคาความจรงเปนจรงและเทจ ตามล าดบ จะไดวาประพจนทก าหนดใหไมสมมลกน

10. ( ( )) ( ) ( )[ ]~ ~ ~ ~ ~ [ ]p q r q p r q

วธท า

( ( )) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

[ ] [ ][ ]

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

p q r q p q r qp q r q

p q r q

( ) ( )

( ) ( )

( )

~ ~ ~ ~ ~

p q r qp r q qp r q

( )

( ( )) ( ) ( )[ ] ~ [~ ]

~ ~ ~ ~ ~ [ ]p r q

p q r q p r q


40


เรอง สจนรนดร

จงตรวจสอบวาประพจนตอไปน เปนสจนรนดรหรอไม 1. ( ( ~ ))p p s s

วธท า สมมตให ( ( ~ ))p p s s มคาความจรงเปนเทจ ดงนน ( ~ )p p s มคาความจรงเปนจรงและ s มคาความจรงเปนเทจ จะไดวา p มคาความจรงเปนจรง และ ~p s มคาความจรงเปนจรง จาก ~p s มคาความจรงเปนจรงและ p มคาความจรงเปนจรง

จะไดวา ~ s มคาความจรงเปนจรง ไมเกดขอขดแยง ท าใหไดวา เมอ p มคาความจรงเปนจรง และ s มคาความเทจ

( ( ~ ))p p s s จะมคาความจรงเปนเทจ นนคอไมเปนสจนรนดร

2. [( ( ~ )) ( )]p p q p q q วธท า สมมตให [( ( ~ )) ( )]p p q p q q มคาความจรงเปนเทจ ดงนน ( ( ~ )) ( )p p q p q มคาความจรงเปนจรงและ q

มคาความจรงเปนเทจ จะไดวา p q มคาความจรงเปนจรง และ ( ~ )p p q มคาความจรงเปนจรง

จาก q มคาความจรงเปนเทจ และจากจะไดวา p q มคาความจรงเปนจรง ท าให p มคาความจรงเปนเทจ

ดงนน ( ~ )p p q มคาความจรงเปนเทจ เกดขอขดแยง ดงนน [( ( ~ )) ( )]p p q p q q เปนสจนรนดร

3. [~ ( ( ))] [~ ]p q r p q p r วธท า ให p, q และ r มคาความจรงเปน เทจ จรง และ เทจ ตามล าดบ จะไดวา

~ q p r มคาความจรงเปนเทจ


41

ดงนน [~ ( ( ))] [~ ]p q r p q p r ไมเปนสจนรนดร

4. ~ [( ) (~ )] [ ~ ( )]p q q r p q r วธท า ให p, q และ r มคาความจรงเปน เทจ จรง และ จรง ตามล าดบ จะไดวา ~ ( )p q r มคาความจรงเปนเทจ ดงนน ~ [( ) (~ )] [ ~ ( )]p q q r p q r ไมเปนสจนรนดร

5. [( ( ~ )) ( )]p q s p s q วธท า สมมตให [( ( ~ )) ( )]p q s p s q มคาความจรงเปนเทจ ดงนน ( ( ~ )) ( )p q s p s มคาความจรงเปนจรง

และ q มคาความจรงเปนเทจ จะไดวา ( ~ )p q s มคาความจรงเปนจรงและ p s มคาความจรงเปนจรง จาก p s มคาความจรงเปนจรง

ดงนน p มคาความจรงเปนจรงและ s มคาความจรงเปนจรง จาก ( ~ )p q s มคาความจรงเปนจรง และ p มคาความจรงเปนจรง

ดงนน ~q s มคาความจรงเปนจรง จาก ~s มคาความจรงเปนเทจ จะไดวา q มคาความจรงเปนเทจ ไมเกดขอขดแยง

ท าใหไดวา เมอให p, q และ s มคาความจรงเปน จรง เทจ และ จรง ตามล าดบ จะไดวา [( ( ~ )) ( )]p q s p s q มคาความจรงเปนเทจ ดงนน [( ( ~ )) ( )]p q s p s q ไมเปนสจนรนดร

6. [ ( )] [ ]p p q p q

วธท า จาก ดงนน [ ( )] [ ]p p q p q เปนสจนรนดร

( ) ~ ( )

(~ ) (~ )

~

p p q p p qp p p qp q

p q


42

7. [( ) ( )] ( ) p q p r p r q

วธท า

สงเกตวา ( ) ( )p q p r และ ( ) p r q ไมสมมลกน โดยเมอให p, q และ r มคาความจรงเปน เทจ ทงหมดแลว [( ) ( )] ( ) p q p r p r q

มคาความจรงเปนเทจ

ดงนน [( ) ( )] ( ) p q p r p r q ไมเปนสจนรนดร

8. (~ ( ))p p p q วธท า สมมตให (~ ( ))p p p q มคาความจรงเปนเทจ ดงนน p มคาความจรงเปนเทจและ ~ ( )p p q มคาความจรงเปนเทจ จาก ~ ( )p p q มคาความจรงเปนเทจ

จะไดวา ~ p มคาความจรงเปนจรง และ p q มคาความจรงเปนเทจ จาก p q มคาความจรงเปนเทจ และ p มคาความจรงเปนเทจ

ดงนน q อาจมคาความจรงเปนจรงหรอเทจได ไมเกดขอขดแยง ท าใหไดวา เมอให p และ q มคาความจรงเปนเทจ จะไดวา

(~ ( ))p p p q มคาความจรงเปนเทจ ดงนน (~ ( ))p p p q ไมเปนสจนรนดร

9. ( ~ ( )) (~ (~ ))p q p p p q วธท า สมมตให ( ~ ( )) (~ (~ ))p q p p p q มคาความจรงเปนเทจ ดงนน ~ ( )p q p มคาความจรงเปนเทจและ ~ (~ )p p q มคาความจรงเปนเทจ

ท าให p และ ~p มคาความจรงเปนเทจ เกดขอขดแยง ดงนน ( ~ ( )) (~ (~ ))p q p p p q เปนสจนรนดร

10. ( ( )) (~ ( ))q r p r p q วธท า สมมตให ( ( )) (~ ( ))q r p r p q มคาความจรงเปนเทจ

( ) ( ) (~ ) (~ )

~ ( )

( )

p q p r p q p rp q r

p q r


43

ดงนน ( )q r p มคาความจรงเปนเทจ และ ~ ( )r p q มคาความจรงเปนเทจ จาก ( )q r p มคาความจรงเปนเทจ จะไดวา q มคาความจรงเปนเทจ

และ r p มคาความจรงเปนเทจ ดงนน r จงมคาความจรงเปนจรงและ p มคาความจรงเปนเทจ จาก ~ ( )r p q มคาความจรงเปนเทจ

ดงนน ~ r มคาความจรงเปนเทจ และ p q มคาความจรงเปนเทจ จะไดวา q มคาความจรงเปนเทจ และ p มคาความจรงเปนจรง เกดขอขดแยง ดงนน ( ( )) (~ ( ))q r p r p q เปนสจนรนดร


44


เรอง การอางเหตผล

จงตรวจสอบวาการอางเหตผลตอไปนสมเหตสมผลหรอไม 1. เหต (1) ถาปลาวายน าแลวคนเดนได

(2) ปลาไมวายน าหรอคนเดนไมได ผล ปลาทะเลวายน าหรอคนเดนได

วธท า ให p แทนขอความ “ปลาวายน า” และ q แทนขอความ “คนเดนได” จะไดวา เหต (1) p q (2) ~ ~p q ผล p q

ตรวจสอบความสมเหตสมผล โดยพจารณาวา (( ) ( )) ( )~ ~p q p q p q เปนสจนรนดรหรอไม

ให p และ q มคาความจรงเปนเทจ จะไดวา (( ) ( )) ( )~ ~p q p q p q มคาความจรงเปนเทจ

นนคอ (( ) ( )) ( )~ ~p q p q p q ไมเปนสจนรนดร นนคอ การอางเหตผลนสมเหตสมผล

2. เหต (1) ถาหนดไมไปตลาดแลวหนแดงอยบาน (2) หนดไมไปตลาด

ผล หนแดงอยบาน

วธท า ให p แทนขอความ “หนดไปตลาด” และ q แทนขอความ “หนแดงอยบาน”


45

จะไดวา เหต (1) ~ p q (2) ~ p ผล q

ตรวจสอบความสมเหตสมผลซงพจารณาวา (( ) ( ))~ ~p q p q เปน สจนรนดรหรอไม

สมมตให (( ) ( ))~ ~p q p q มคาความจรงเปนเทจ ดงนน ( )~ p q และ ~ p มคาความจรงเปนจรง และ q มคาความจรงเปนเทจ

จาก ( )~ p q มคาความจรงเปนจรง และ ~ p มคาความจรงเปนจรง ท าให q มคาความจรงเปนจรง เกดขอขดแยง ดงนน (( ) ( ))~ ~p q p q เปนสจนรนดร ดงนน การอางเหตผลนสมเหตสมผล

3. เหต (1) ถาวนจนทรฝนตกแลววนองคารฝนตก (2) ถาวนพธฝนตกแลววนจนทรฝนตก (3) วนจนทรฝนไมตก

ผล วนองคารฝนไมตก

วธท า ให p แทนขอความ “วนจนทรฝนตก” q แทนขอความ “วนองคารฝนตก” และ r แทนขอความ “วนพธฝนตก” จะไดวา เหต (1) p q (2) r p (3) ~ p ผล ~ q

ตรวจสอบความสมเหตสมผล โดยพจารณาวา (( ) ( ) ) (~ )~p q r p p q เปนสจนรนดรหรอไม


46

สมมตให (( ) ( ) ) (~ )~p q r p p q มคาความจรงเปนเทจ ดงนน (( ) ( ) )~p q r p p มคาความจรงเปนจรงและ ~ q มคาความจรงเปนเทจ

จาก (( ) ( ) )~p q r p p มคาความจรงเปนจรง จะไดวา p q มคาความจรงเปนจรง r p มคาความจรงเปนจรง และ ~ p มคาความจรงเปนจรง ดงนน p มคาความจรงเปนเทจ q มคาความจรงเปนจรง จาก r p มคาความจรงเปนจรง และ p มคาความจรงเปนเทจ จะได r มคาความจรงเปนเทจ ไมเกดขอขดแยง และเมอให p, q และ r มคาความจรงเปน เทจ จรง และ เทจ ตามล าดบ (( ) ( ) ) (~ )~p q r p p q มคาความจรงเปนเทจ ดงนน การอางเหตผลนไมสมเหตสมผล

4. เหต (1) ~p q

(2) q r (3) ~ r

ผล p วธท า สมมตให (( ) ( ) )~ ~p q q r r p มคาความจรงเปนเทจ ดงนน ( ) ( )~ ~p q q r r มคาความจรงเปนจรง p มคาความจรงเปนเทจ จาก ( ) ( )~ ~p q q r r มคาความจรงเปนจรง

จะไดวา ~p q มคาความจรงเปนจรง q r มคาความจรงเปนจรง ~ r มคาความจรงเปนจรง ดงนน r มคาความจรงเปนเทจ และ q มคาความจรงเปนจรง ไมเกดขอขดแยง และเมอให p, q และ r มคาความจรงเปน เทจ จรง และ เทจ ตามล าดบ จะไดวา (( ) ( ) )~ ~p q q r r p มคาความจรงเปนเทจ (( ) ( ) )~ ~p q q r r p จงไมเปนสจนรนดร ดงนนการอางเหตผลนไมสมเหตสมผล

5. เหต (1) p q


47

(2) ~ q r ผล p r

วธท า สมมตให (( ) ( )) ( )~p q q r p r มคาความจรงเปนเทจ ดงนน ( ) ( )~p q q r มคาความจรงเปนจรง p r มคาความจรงเปนเทจ จาก p r มคาความจรงเปนเทจ จะไดวา p มคาความจรงเปนเทจ และ

r มคาความจรงเปนเทจ จาก ( ) ( )~p q q r มคาความจรงเปนจรง ดงนน p q มคาความจรงเปนจรง ท าให pมคาความจรงเปนจรง

เกดขอขดแยง ดงนน (( ) ( )) ( )~p q q r p r เปนสจนรนดร ดงนน การอางเหตผลนสมเหตสมผล

6. เหต (1) ( )~ ~r p q (2) ( ) ~p r s (3) ~ q

ผล ~ s

วธท า สมมตให ( ) ( )[[~ ~ ] [ ~ ] ~ ] ~r p q p r s q s มคาความจรงเปนเทจ ดงนน ( ) ( )[~ ~ ] [ ~ ] ~r p q p r s q มคาความจรงเปนจรงและ

~ s มคาความจรงเปนเทจ จาก ( ) ( )[~ ~ ] [ ~ ] ~r p q p r s q มคาความจรงเปนจรง

จะไดวา ( )~ ~r p q มคาความจรงเปนจรง ( ) ~p r s มคาความจรงเปนจรง ~ q มคาความจรงเปนจรง ท าให q มคาความจรงเปนเทจ จาก ( ) ~p r s มคาความจรงเปนจรง และ ~ s มคาความจรงเปนเทจ ท าใหไดวา p r มคาความจรงเปนเทจ นนคอ p มคาความจรงเปนจรง และ r มคาความจรงเปนเทจ

จาก ( )~ ~r p q มคาความจรงเปนจรง q มคาความจรงเปนเทจ p มคาความจรงเปน จรง ท าให ~ r มคาความจรงเปนเทจ นนคอ r มคาความจรงเปนจรง

เกดขอขดแยง ดงนน ( ) ( )[[~ ~ ] [ ~ ] ~ ] ~r p q p r s q s เปนสจนรนดร ดงนน การอางเหตผลนสมเหตสมผล


48

7. เหต (1) ( ~ ) ( )p q q p (2) ~ q

ผล p q

วธท า สมมตใหเหตขอ (1) และ (2) เปนจรง จากเหตขอ (2) เปนจรงจะไดวา ~ q มคาความจรงเปนจรง ท าให q มคาความจรงเปนเทจ จะไดวา p q มคาความจรงเปนเทจ

ดงนน การอางเหตผลนไมสมเหตสมผล

8. เหต (1) (~ )p p q (2) ~ q r (3) ~ r

ผล p

วธท า สมมตใหเหตทงสามขอเปนจรง จากเหตขอ (3) เปนจรงจะไดวา ~ r มคาความจรงเปนจรง ท าให r มคาความจรงเปนเทจ จากเหตขอ (2) เปนจรงและ r มคาความจรงเปนเทจไดวา ~ q มคาความจรงเปนจรง

ท าให q เปนเทจ จากเหตขอ (1) เปนจรง และสมมลกบ p q ท าให p มคาความจรงเปนจรง ดงนน การอางเหตผลนสมเหตสมผล

9. เหต (1) p q (2) q r (3) ~ r s

ผล s

วธท า สมมตใหเหตทกขอเปนจรง


49

จากเหตขอ (1) เปนจรงจะไดวา p มคาความจรงเปนจรง q มคาความจรงเปนจรง จากเหตขอ (2) เปนจรง และ q มคาความจรงเปนจรง จะไดวา r มคาความจรงเปนจรง

จากเหตขอ (3) เปนจรง r มคาความจรงเปนจรง จะไดวา s มคาความจรงเปนจรง ท าใหผล s มคาความจรงเปนจรง

ดงนน การอางเหตผลนสมเหตสมผล

10. เหต (1) ( )p q r (2) p (3) ~ t q

ผล r t วธท า ให p, q, r มคาความจรงเปนจรง และ t มคาความจรงเปนเทจ

จะไดวา เหตทงสามขอเปนจรง แตผลเปนเทจ ดงนน การอางเหตผลนไมสมเหตสมผล

เฉลยแบบฝกหดระคน 1. ค

2. ก

3. ง

4. ข

5. ข

6. ค

7. ก

8. ข

9. ก

10. ง


50

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


51

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


52

เรอง ตอน ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขชก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1



กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกของยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


53


54

เรอง ตอน

การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงล าดบ

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1



การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

Documents

09 การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ ตอนที่3_สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล