11 การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

ตอน สอปฏสมพนธ เรอง ตารางคาความจรง

โดย ผชวยศาสตราจารย วาสนา สขกระสานต

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร สอการสอน เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร มจ านวนตอนทงหมดรวม 9 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร 2. เนอหาตอนท 1 การใหเหตผล

- การใหเหตผลแบบอปนย - การใหเหตผลแบบนรนย

3. เนอหาตอนท 2 ประพจนและการสมมล - ประพจนและคาความจรง - ตวเชอมประพจน - การสมมล

4. เนอหาตอนท 3 สจนรนดรและการอางเหตผล - เอกลกษณในการเชอมประพจน - สจนรนดร

5. เนอหาตอนท 4 ประโยคเปดและวลบงปรมาณ - การอางเหตผล - ประโยคเปด - วลบงปรมาณ

6. แบบฝกหด (พนฐาน) 7. แบบฝกหด (ขนสง) 8. สอปฏสมพนธ เรอง หอคอยฮานอย 9. สอปฏสมพนธ เรอง ตารางคาความจรง

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


2

สอปฏสมพนธ เรอง ตารางคาความจรง สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรงใชตารางคาความจรงแสดงใหผเรยนเขาใจตวด าเนนการทาง

ตรรกศาสตร สมบตตางๆ ของตวด าเนนการทางตรรกศาสตร การสมมลกนของประพจน รวมไปถงการอางเหตผล ในตอนทายจะมแบบฝกหดใหผเรยนไดลองปอนประพจนตามทตองการดวยตนเองลงในแบบรางส าเรจรปทสรางดวยโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad รนภาษาไทย ซงโปรแกรมจะแสดงตารางคาความจรงใหโดยอตโนมต เพอใหผเรยนไดศกษาการหาคาความจรงพรอมทงน าผลทไดไปใชงานตามเหมาะสม หากผเรยนปอนประพจนสองประพจนเพอใหโปรแกรมสรางตารางคาความจรงให โปรแกรมสามารถตรวจสอบดวยวาประพจนทงสองสมมลกนหรอไม

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอปฏสมพนธชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง ตารางคาความจรง นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆ ทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน

สอปฏสมพนธ เรอง ตารางคาความจรง แบงออกเปน 8 สวน ประกอบดวย

1. ตวด าเนนการทางตรรกศาสตร 2. การสมมลกนของประพจน 3. ประพจนสมมลทส าคญ 4. นเสธของประพจน 5. สจนรนดร 6. การพสจน 7. การอางเหตผล 8. แบบฝกหด


3

เรอง ตารางคาความจรง หมวด สอปฏสมพนธ ตอนท 2 (9/9)

หวขอยอย 1. ตวด าเนนการทางตรรกศาสตร 2. การสมมลกนของประพจน 3. ประพจนสมมลทส าคญ 4. นเสธของประพจน 5. สจนรนดร 6. การพสจน 7. การอางเหตผล 8. แบบฝกหด

จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยนไดใชสอปฏสมพนธในการศกษาตวด าเนนการทางตรรกศาสตร การสมมลกนของประพจน ประพจนสมมลทส าคญ นเสธของประพจน สจนรนดร การพสจน การอางเหตผล ตลอดจนใชสอปฏสมพนธเพอหาคาความจรงของประพจนแบบตางๆ รวมทงตรวจสอบไดวาประพจนสองประพจนสมมลกนหรอไม

ผลการเรยนรทคาดหวง ผเรยนสามารถ 1. อธบายเกยวกบตวด าเนนการทางตรรกศาสตร การสมมลของประพจน นเสธของประพจนได 2. หาคาความจรงของประพจนแบบตางๆ ได 3. ตรวจสอบการสมมลของประพจนได 4. ระบประพจนสมมลทส าคญได 5. ตรวจสอบไดวาประพจนทก าหนดใหเปนสจนรนดรหรอไม 6. น ากฎเกณฑเบองตนในวชาตรรกศาสตรมาประยกตใชในการพสจน เพอใหไดผลสรปทถกตอง 7. ตรวจสอบการอางเหตผลไดวาสมเหตสมผลหรอไมสมเหตสมผล 8. ใชสอปฏสมพนธเพอตรวจสอบคาความจรงของประพจนในแบบตางๆ ได 9. ใชสอปฏสมพนธเพอตรวจสอบการสมมลของประพจนสองประพจนได


4

สารบญ

หนา การใชโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad 6

1. ตวด าเนนการทางตรรกศาสตร 11 2. การสมมลกนของประพจน 15 3. ประพจนสมมลทส าคญ 25 4. นเสธของประพจน 43 5. สจนรนดร 60 6. การพสจน 84 7. การอางเหตผล 106 8. แบบฝกหด 120


5

การใชโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad สอการสอนชดนพฒนาดวยโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad คอซอฟตแวรส ารวจเชง

คณตศาสตร เรขาคณตพลวต รน 4.06 ภาษาไทย ผใชโปรแกรมจะเรยกใชโปรแกรมไดจากเมนค าสง เมอคลกเลอกโปรแกรม จะปรากฏหนาตางดงรปท 1

ใหคลกทปม เพอเขาสการใชงานโปรแกรม จะปรากฏหนาตางดงรปท 2 จากรปท 2 จะกลาวถงเครองมอทใชส าหรบการท างานกบโปรแกรมน คอเมนแฟม และกลอง

เครองมอ เมนแฟม ใชท างานเกยวกบแฟมขอมล ในการใชงานสอชดนใชเพยงการเปด/ปด

แฟมขอมล

กลองเครองมอ แบงเครองมอออกเปนหกประเภท ในทนจะ

ใชเฉพาะเครองมอลกศร ส าหรบเลอกหรอเคลอนยาย (หรอลาก) ออบเจกตใน

โปรแกรม ผใชโปรแกรมนจะตองเลอกเครองมอลกศร นในการท างานตลอดทงโปรแกรม

1. หนาตางแรกของโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad


6

o การเปด/ปด แฟมขอมล

ถาตองการเรยกโปรแกรมแฟมขอมลขนมาใชงาน ใหคลกทเมน เลอกค าสง จะปรากฏ

หนาตางดงรปท 3 ใหเลอกแฟมขอมลทตองการ โดยแฟมขอมลทพฒนาจากโปรแกรม

The Geometer’s Sketchpad จะมนามสกลเปน gsp เลอกแฟมขอมลทตองการ แลวคลกท

แลวจะปรากฏหนาตางของโปรแกรมแฟมขอมลทไดเลอกไวดงรปท 5

ถาตองการปดแฟมขอมล ใหคลกทเมน เลอกค าสง

จะปรากฏหนาตางดงรปท 4 คอโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad จะถามวา

รายการเมน กลองเครองมอ

2. หนาตางหลกของโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad

3. หนาตางเลอกแฟมขอมลทตองการ


7

ตองการบนทกการเปลยนแปลงของแฟมขอมลหรอไม ในทนไมแนะน าใหบนทกแฟมขอมล เพราะอาจท าใหโปรแกรมทพฒนาไวมขอผดพลาดได ใหเลอกคลกทปม

เพอจะไดไมมการเปลยนแปลงโปรแกรมทพฒนาไว

เมอเรยกโปรแกรม “สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง” จะปรากฏหนาตางสองหนาตางนสลบกน

จากหนาตางนจะสงเกตไดวาทดานลางของหนาตางมรายการเมนค าสงสองระดบ ดงรป

5. หนาตางแรกของโปรแกรม

ระดบแรก

ระดบทสอง

4. หนาตางเมอเรยกค าสงปดแฟมขอมล


8

ระดบแรกอยดานลางตดกบหนาตางทเลอกไว คอรายการเมน ดงน

ส าหรบเลอกก าหนดต าแหนงของหนาตางภายในหนาจอของเรา การท างานของปมตางๆ

เลอนหนาตางไปมมบนซายของจอภาพ ดภาพการเคลอนไหวของหนานน

เรยกหนาสารบญขนมาแสดงบนหนาตางจอภาพ เรยกหนาสดทายของหวขอขนมาแสดงบนหนาตาง

เลอนหนาตางสอไปกลางจอภาพ ระดบทสองอยดานลางตดกบหนาตางของโปรแกรม ดงน

ส าหรบแสดงรายชอหนาตางในโปรแกรม เพอใหผใชเลอก/เปลยนการท างานไปยงหนาตางนนๆ ไดเลย เปรยบเสมอนเปนเมนลดส าหรบเลอกดหวขอ/หนาตางทตองการ การท างานของปมตางๆ

เลอนไปหนาแรกของหวขอนน เรยกหนาสารบญขนมาแสดงบนจอภาพ

แถบตอมาเปนรายการหวขอยอยในหวขอ “ตวด าเนนการทางตรรกศาสตร” เชน

ผใชสามารถคลกทแถบนเพอเลอนไปทหนานนๆ ไดทนท

แถบเลอนหนาตาง ใชส าหรบเลอนเพอเลอกดรายการหวขอยอยดานลาง แถบเลอน ใชส าหรบเลอนดขอมลในหนาตางไปทางดานซาย/ขวา หรอถา

อยในแนวตงกใชส าหรบเลอนขอมลในหนาตางขน/ลง


9

การเรมตนใชงานผใชสามารถคลกท เพอเปลยนการท างานไปทหนาสารบญดงน

เมอผใชเลอกโปรแกรมสอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง หนาตางสารบญจะแสดงรายการบทเรยนออกเปน 8 หวขอ

1. ตวด าเนนการทางตรรกศาสตร

2. การสมมลกนของประพจน

3. ประพจนสมมลทส าคญ

4. นเสธของประพจน

5. สจนรนดร

6. การพสจน

7. การอางเหตผล

8. แบบฝกหด

ผใชจะตองคลกเลอกหวขอทลอมรอบดวยกรอบสเหลยมเพอเขาดรายละเอยดของหวขอนนได


10

1. ตวด าเนนการทางตรรกศาสตร

ในหวขอนผเรยนจะไดศกษาถงตวด าเนนการทางตรรกศาสตร

ซงประกอบดวย 1. ตวด าเนนการ “นเสธ” ใชสญลกษณ 2. ตวด าเนนการ “และ” ใชสญลกษณ 3. ตวด าเนนการ “หรอ” ใชสญลกษณ 4. ตวด าเนนการ “ถา...แลว” ใชสญลกษณ 5. ตวด าเนนการ “กตอเมอ” ใชสญลกษณ โดยใชสญลกษณ T แทนคาความจรงเปนจรง และ F แทนคาความจรงเปนเทจ เมอคลกท จะปรากฏหนาจอตามล าดบ ดงน

1.1 ตวด าเนนการ “นเสธ”

หนาตางนจะแบงเปนสองสวนซายและขวา คอสามารถแสดงตารางคาความจรงสองประพจนไดพรอมกน แตในทนจะแสดงตารางคาความจรงของตวด าเนนการ “นเสธ” จงแสดงในหนาตางซายเทานน

ถาประพจน p มคาความจรงเปนจรง (T) จะไดผลลพธ p มคาความจรงเปนเทจ (F)


11

ถาประพจน p มคาความจรงเปนเทจ (F) จะไดผลลพธ p มคาความจรงเปนจรง (T) แถบสเหลองดานลางแสดงประพจนทตองการหาคาความจรง

1.2 ตวด าเนนการ “และ” กบ ”หรอ ”

หนาตางนแบงเปนสองคอลมน ซายและขวา ดานบนของแตละคอลมนแสดงตารางคาความจรงของตวด าเนนการทก าหนด แถบสเหลองดานลางแสดงประพจนทตองการหาคาความจรง (ก) คอลมนซายคอ ตารางคาความจรง ของตวด าเนนการ “และ” (pq) แสดงเปน 4 กรณคอ กรณท 1 ถาประพจน p มคาความจรงเปนจรง (T) และประพจน q มคาความจรงเปนจรง (T)

จะไดผลลพธ pq มคาความจรงเปนจรง (T) กรณท 2 ถาประพจน p มคาความจรงเปนจรง (T) และประพจน q มคาความจรงเปนเทจ (F)

จะไดผลลพธ pq มคาความจรงเปนเทจ (F) กรณท 3 ถาประพจน p มคาความจรงเปนเทจ (F) และประพจน q มคาความจรงเปนจรง (T)

จะไดผลลพธ pq มคาความจรงเปนเทจ (F) กรณท 4 ถาประพจน p มคาความจรงเปนเทจ (F) และประพจน q มคาความจรงเปนเทจ (F)

จะไดผลลพธ pq มคาความจรงเปนเทจ (F) (ข) คอลมนขวาคอ ตารางคาความจรง ของตวด าเนนการ “หรอ” (pq ) แสดงเปน 4 กรณคอ


12

กรณท 1 ถาประพจน p มคาความจรงเปนจรง (T) และประพจน q มคาความจรงเปนจรง (T) จะไดผลลพธ pq มคาความจรงเปนจรง (T)

กรณท 2 ถาประพจน p มคาความจรงเปนจรง (T) และประพจน q มคาความจรงเปนเทจ (F) จะไดผลลพธ pq มคาความจรงเปนจรง (T)

กรณท 3 ถาประพจน p มคาความจรงเปนเทจ (F) และประพจน q มคาความจรงเปนจรง (T) จะไดผลลพธ pq มคาความจรงเปนจรง (T)

กรณท 4 ถาประพจน p มคาความจรงเปนเทจ (F) และประพจน q มคาความจรงเปนเทจ (F) จะไดผลลพธ pq มคาความจรงเปนเทจ (F)

1.3 ตวด าเนนการ “ถา...แลว” กบ “กตอเมอ”

โดยหนาตางนแบงเปนสองคอลมน ซายและขวา (ก) คอลมนซายคอ ตารางคาความจรง ของตวด าเนนการ “ถา...แลว” (p q) แสดงเปน 4 กรณคอ กรณท 1 ถาประพจน p มคาความจรงเปนจรง (T) และประพจน q มคาความจรงเปนจรง (T)


จะไดผลลพธ pq มคาความจรงเปนเทจ (F)


13

กรณท 3 ถาประพจน p มคาความจรงเปนเทจ (F) และประพจน q มคาความจรงเปนจรง (T) จะไดผลลพธ pq มคาความจรงเปนจรง (T)

กรณท 4 ถาประพจน p มคาความจรงเปนเทจ (F) และประพจน q มคาความจรงเปนเทจ (F) จะไดผลลพธ pq มคาความจรงเปนจรง (T)

(ข) คอลมนขวาคอ ตารางคาความจรง ของตวด าเนนการ “กตอเมอ” (p q) แสดงเปน 4 กรณคอ กรณท 1 ถาประพจน p มคาความจรงเปนจรง (T) และประพจน q มคาความจรงเปนจรง (T)


จะไดผลลพธ pq มคาความจรงเปนเทจ (F) กรณท 3 ถาประพจน p มคาความจรงเปนเทจ (F) และประพจน q มคาความจรงเปนจรง (T)

จะไดผลลพธ pq มคาความจรงเปนเทจ (F) กรณท 4 ถาประพจน p มคาความจรงเปนเทจ (F) และประพจน q มคาความจรงเปนเทจ (F)

จะไดผลลพธ pq มคาความจรงเปนจรง (T)


14

2. การสมมลกนของประพจน

ประพจนสองประพจนจะสมมลกนเมอมคาความจรงตรงกนทกกรณ ใชสญลกษณ p q หมายถงประพจน p สมมลกบประพจน q

ในหวขอนผเรยนจะไดศกษาถงการสมมลกนของประพจน ซงประกอบดวย

1. ความหมายของการสมมล 2. ตวอยางท 1 ประพจนทสมมลกน 3. ตวอยางท 2 ประพจนทสมมลกน 4. ตวอยางท 3 ประพจนทไมสมมลกน 5. ตวอยางท 4 ประพจนทไมสมมลกน 6. การใชประพจนสมมลเขยนขอความใหกระชบ ( จ านวน 3 หนา) 7. การใชประพจนสมมลชวยในการพสจน ( จ านวน 3 หนา)

เมอคลกท จะปรากฏหนาจอตามล าดบ ดงน


15

2.1 ความหมายของการสมมล

จะปรากฏตารางคาความจรงสองตารางทางดานซายและขวา และมเครองหมายสมมล ( ) นนคอคาความจรงของสองประพจนนสมมลกน ถาไมมเครองหมายสมมล แสดงวาสองประพจนนไมสมมลกน ในหนาตางนแสดงใหเหนวาประพจน

(p q) r สมมลกบประพจน (p r) (q r) พจารณาไดดงตาราง

p q r (p q) (p q) r (p r) (q r) (p r) (q r) T T T T T T T T T T F T F F F F T F T T T T T T T F F T F F T F F T T T T T T T F T F T F T F F F F T F T T T T F F F F T T T T

จะเหนไดวาคอลมน (p q) r และ (p r) (q r) มคาความจรงเหมอนกนทกกรณ สรปไดวา (p q) r สมมลกบประพจน (p r) (q r)


16

2.2 ตวอยางท 1 ประพจนทสมมลกน


(p q) r สมมลกบประพจน (p r) (q r) พจารณาไดดงตาราง

p q r (p q) (p q) r (p r) (q r) (p r) (q r) T T T T T T T T T T F T F F F F T F T F T T T T T F F F T F T T F T T F T T T T F T F F T T F T F F T F T T T T F F F F T T T T

จะเหนไดวาคอลมน (p q) r และ (p r) (q r) มคาความจรงเหมอนกนทกกรณ สรปไดวา (p q) r สมมลกบประพจน (p r) (q r)


17

2.3 ตวอยางท 2 ประพจนทสมมลกน


p (q q) สมมลกบประพจน p พจารณาไดดงตาราง

p q (q q) p (q q) p (p (q q) T T F T จากผลของนพจน

p (q q) จะเหนวาสรปรวมไดตามกรณของ p เปนสองกรณ

คอ

T T T F F T F T F F F F F F F F

จะเหนไดวาคอลมน p (q q)และ p มคาความจรงเหมอนกนทกกรณ สรปไดวา p (q q) สมมลกบประพจน p


18

2.4 ตวอยางท 3 ประพจนทไมสมมลกน

จะปรากฏตารางคาความจรงสองตารางทางดานซายและขวา โดยไมมเครองหมายสมมล ( ) นนคอคาความจรงของสองประพจนนไมสมมลกน ในหนาตางนแสดงใหเหนวาประพจน

p (q r) ไมสมมลกบประพจน p (q r) พจารณาไดดงตาราง

p q r (q r) p (q r) (q r) p (q r) T T T T T T T T T F F F T T T F T F F T T T F F F F F F F T T T T T T F T F F T T T F F T F T T T F F F F T F T จะเหนไดวาคอลมน p (q r) และ p (q r) แถวทสองและสามมคาความจรงตางกน สรปไดวา p (q r) ไมสมมลกบประพจน p (q r)


19

2.5 ตวอยางท 4 ประพจนทไมสมมลกน

จะปรากฏตารางคาความจรงสองตารางทางดานซายและขวา โดยไมมเครองหมายสมมล ( ) นนคอคาความจรงของสองประพจนนไมสมมลกน ในหนาตางนแสดงใหเหนวาประพจน

( p q) r ไมสมมลกบประพจน (p r) (q r) พจารณาไดดงตาราง

p q r (p q) ( p q) r (p r) (q r) (p r) (q r) T T T T T T T T T T F T F F F F T F T F T T T T T F F F T F T F F T T F T T T T F T F F T T F F F F T F T T T T F F F F T T T T

จะเหนไดวาคอลมน ( p q) r และ (p r) (q r) แถวทสและหกมคาความจรงตางกน

สรปไดวา ( p q) r ไมสมมลกบประพจน (p r) (q r)


20

2.6 การใชประพจนสมมลเขยนขอความใหกระชบ ในหวขอนประกอบดวย 3 หนายอย ดงรป

จากรป ใหพจารณาขอความ “ถา x > 0 แลว x2 > 0 และ ถา x < 0 แลว x2 > 0” ถาเราให p แทนขอความ “x > 0” q แทนขอความ “x < 0” r แทนขอความ “x2 > 0” เราสามารถแทนขอความทก าหนดดวยสญลกษณคอ (p r) (q r) ซงในกรณนเราทราบวาประพจน (p r) (q r) สมมลกบประพจน ( p q) r โดยไดแสดงไวในหนาตาง “การใชประพจนสมมลเขยนขอความใหกระชบ (หนา 2)”


21

เมอทราบวาประพจน (p r) (q r) สมมลกบประพจน ( p q) r จากขอความเดม “ถา x > 0 แลว x2 > 0 และ ถา x < 0 แลว x2 > 0” จงเขยนขอความใหมไดเปน “ถา x > 0 หรอ x < 0 แลว x2 > 0 ” ซงพจารณาไดวา ขอความ “x > 0 หรอ x < 0 ” กคอขอความ “x 0” นนเอง สรปไดวา ขอความ “ถา x > 0 แลว x2 > 0 และ ถา x < 0 แลว x2 > 0” อาจเขยนใหมไดเปน “ถา x 0 แลว x2 > 0 ” ซงจะเหนวาขอความทไดนสน กระชบ ท าให

อานแลวสามารถเขาใจไดงายขน ดงรป


22

2.7 การใชประพจนสมมลชวยในการพสจน ในหวขอนประกอบดวย 3 หนายอย ดงรป

จากรป ใหพจารณาขอความ “ถา n เปนจ านวนเฉพาะ แลว n < 100 หรอ ถา n เปนจ านวนประกอบ แลว n < 100”

ถาเราให p แทนขอความ “n เปนจ านวนเฉพาะ” q แทนขอความ “n เปนจ านวนประกอบ” r แทนขอความ “n < 100” เราสามารถแทนขอความทก าหนดดวยสญลกษณคอ (p r) (q r) ซงในกรณนเราทราบวาประพจน (p r) (q r) สมมลกบประพจน ( p q) r โดย

ไดแสดงไวในหนาตาง“การใชประพจนสมมลชวยในการพสจน (หนา 2)”


23

เมอทราบวาประพจน (p r) (q r) สมมลกบประพจน ( p q) r จากขอความ

“ถา n เปนจ านวนเฉพาะ แลว n < 100 หรอ ถา n เปนจ านวนประกอบ แลว n < 100” จงเขยนขอความใหมไดเปน

“ถา n เปนจ านวนเฉพาะ และ n เปนจ านวนประกอบ แลว n < 100” ซงพจารณาไดวาไมมจ านวนทเปนทง จ านวนเฉพาะ และจ านวนประกอบ นนคอสวน “เหต”

ของตวด าเนนการ “ถา...แลว” ซงถา “เหต” เปนเทจแลว จะท าใหขอความดงกลาวมคาความจรงเปนจรงเสมอ ดงรป


24

3. ประพจนสมมลทส าคญ

ประพจนสองประพจนจะสมมลกน กตอเมอ ประพจนทงสองมคาความจรงเหมอนกน ทกกรณของคาความจรงของประพจนยอย

ในหวขอนผเรยนจะไดศกษาถงประพจนสมมลทส าคญ ซงประกอบดวย

1. การสลบท (“และ”) 2. การสลบท (“หรอ”) 3. การสลบท (“ถา...แลว”) 4. การสลบท (“กตอเมอ”) 5. การจดกลม (“และ”) 6. การจดกลม (“หรอ”) 7. การจดกลม (“ถา...แลว”) 8. การจดกลม (“กตอเมอ”) 9. การกระจาย “และ” กบ “หรอ” 10. การกระจาย “หรอ” กบ “และ” 11. การกระจาย “”ถา...แลว” กบ “และ” 12. การกระจาย “ถา...แลว” กบ “หรอ” 13. ประพจนสมมลของตวด าเนนการ “ถา...แลว” (รปแบบท 1) 14. ประพจนสมมลของตวด าเนนการ “ถา...แลว” (รปแบบท 2) 15. ประพจนสมมลของตวด าเนนการ “กตอเมอ” (รปแบบท 1) 16. ประพจนสมมลของตวด าเนนการ “กตอเมอ” (รปแบบท 2) 17. สรป



25

3.1 การสลบท (“และ”)

จะปรากฏตารางคาความจรงสองตารางทางดานซายและขวา และมเครองหมายสมมล ( ) นนคอคาความจรงของสองประพจนนสมมลกน (ถาไมมเครองหมายสมมล แสดงวาสองประพจนนไมสมมลกน) ในหนาตางนแสดงใหเหนวาประพจน

(p q) สมมลกบประพจน (q p) พจารณาไดดงตาราง

p q (p q) (q p) T T T T T F F F F T F F F F F F

จะเหนไดวาคอลมน (p q) และ (q p) มคาความจรงเหมอนกนทกกรณ สรปไดวา (p q) สมมลกบประพจน (q p) นนคอ ตวด าเนนการ “และ” มสมบตการสลบท


26

3.2 การสลบท (“หรอ”)



p q (p q) (q p) T T T T T F T T F T T T F F F F

จะเหนไดวาคอลมน (p q) และ (q p) มคาความจรงเหมอนกนทกกรณ สรปไดวา (p q) สมมลกบประพจน (q p) นนคอ ตวด าเนนการ “หรอ” มสมบตการสลบท


27

3.3 การสลบท (“ถา...แลว”)


(p q) ไมสมมลกบประพจน (q p) พจารณาไดดงตาราง

p q (p q) (q p) T T T T T F F T F T T F F F T T

จะเหนไดวาคอลมน (p q) และ (q p) มคาความจรงตางกนในแถวทสองและสาม สรปไดวา (p q) ไมสมมลกบประพจน (q p) นนคอ ตวด าเนนการ “ถา...แลว” ไมม

สมบตการสลบท


28

3.4 การสลบท (“กตอเมอ”)



p q (p q) (q p) T T T T T F F F F T F F F F T T

จะเหนไดวาคอลมน (p q) และ (q p) มคาความจรงเหมอนกนทกกรณ สรปไดวา (p q) สมมลกบประพจน (q p) นนคอ ตวด าเนนการ “กตอเมอ” มสมบต

การสลบท


29

3.5 การจดกลม (“และ”)


p (q r) สมมลกบประพจน (p q) r พจารณาไดดงตาราง

p q r (q r) p (q r) ( p q) ( p q) r T T T T T T T T T F F F T F T F T F F T F T F F F F F F F T T T F F F F T F F F F F F F T F F F F F F F F F F F

จะเหนไดวาคอลมน p (q r) และ (p q) r มคาความจรงเหมอนกนทกกรณ สรปไดวา p (q r) สมมลกบประพจน (p q) r นนคอ ตวด าเนนการ “และ” มสมบต

การจดกลม


30

3.6 การจดกลม “หรอ”


p (q r) สมมลกบประพจน (p q) r พจารณาไดดงตาราง

p q R (q r) p (q r) ( p q) ( p q) r T T T T T T T T T F T T T T T F T T T T T T F F F T T T F T T T T T T F T F T T T T F F T T T F T F F F F F F F

จะเหนไดวาคอลมน p (q r) และ (p q) r มคาความจรงเหมอนกนทกกรณ สรปไดวา p (q r) สมมลกบประพจน (p q) r นนคอ ตวด าเนนการ “หรอ” มสมบต

การจดกลม


31

3.7 การจดกลม (“ถา...แลว”)

จะปรากฏตารางคาความจรงสองตารางทางดานซายและขวา และมเครองหมายไมสมมล ( ) แสดงวาสองประพจนนไมสมมลกน ในหนาตางนแสดงใหเหนวาประพจน

p (q r) ไมสมมลกบประพจน (p q) r พจารณาไดดงตาราง p q r (q r) p (q r) ( p q) (p q) r T T T T T T T T T F F F T F T F T T T F T T F F T T F T F T T T T T T F T F F T T F F F T T T T T F F F T T T F จะเหนไดวาคอลมน p (q r) และ p (q r) มคาความจรงตางกนในแถวท หก

และแปด สรปไดวา p (q r) ไมสมมลกบประพจน p (q r) นนคอ ตวด าเนนการ “ถา...แลว” ไมมสมบตการจดกลม


32

3.8 การจดกลม (“กตอเมอ”)


p (q r) สมมลกบประพจน (p q) r พจารณาไดดงตาราง p q r (q r) p (q r) ( p q) (p q) r T T T T T T T T T F F F T F T F T F F F F T F F T T F T F T T T F F F F T F F T F T F F T F T T T F F F T F T F จะเหนไดวาคอลมน p (q r) และ p (q r) มคาความจรงเหมอนกนทกกรณ สรปไดวา p (q r) สมมลกบประพจน p (q r) นนคอ ตวด าเนนการ “กตอเมอ”

มสมบตการจดกลม


33

3.9 การกระจาย “และ” “หรอ”


p (q r) สมมลกบประพจน (p q) (p r) พจารณาไดดงตาราง

p q r (q r) p (q r) (p q) (p r) (p q) (p r) T T T T T T T T T T F T T T F T T F T T T F T T T F F F F F F F F T T T F F F F F T F T F F F F F F T T F T F F F F F F F T F F

จะเหนไดวาคอลมน p (q r) และ (p q) (p r) มคาความจรงเหมอนกนทกกรณ สรปไดวา p (q r) สมมลกบประพจน (p q) (p r) นนคอ ตวด าเนนการ “และ”

“หรอ” มสมบตการกระจาย


34

3.10 การกระจาย “หรอ” “และ”



p q r (q r) p (q r) (p q) (p r) (p q) (p r) T T T T T T T T T T F F T T T T T F T F T T T T T F F F T T T T F T T T T T T T F T F F F T F F F F T F F F T F F F F F F F F F จะเหนไดวาคอลมน p (q r) และ (p q) (p r) มคาความจรงเหมอนกนทกกรณ สรปไดวา p (q r) สมมลกบประพจน (p q) (p r) นนคอ ตวด าเนนการ “หรอ”

“และ” มสมบตการกระจาย


35

3.11 การกระจาย “”ถา...แลว” “และ”



p q r (q r) p (q r) (p q) (p r) (p q) (p r) T T T T T T T T T T F F F T F F T F T F F F T F T F F F F F F F F T T T T T T T F T F F T T T T F F T F T T T T F F F F T T T T

จะเหนไดวาคอลมน p (q r) และ (p q) (p r) มคาความจรงเหมอนกนทกกรณ

สรปไดวา p (q r) สมมลกบประพจน (p q) (p r) นนคอ ตวด าเนนการ “ถา...แลว” “และ” มสมบตการกระจาย


36

3.12 การกระจาย “ถา...แลว” “หรอ”

จะปรากฏตารางคาความจรงสองตารางทางดานซายและขวา และมเครองหมายสมมล ( ) นนคอคาความจรงของสองประพจนนสมมลกน ในหนาตางนแสดงใหเหนวาประพจน


p q r (q r) p (q r) (p q) (p r) (p q) (p r) T T T T T T T T T T F T T T F T T F T T T F T T T F F F F F F F F T T T T T T T F T F T T T F T F F T T T T T T F F F F T T T T

จะเหนไดวาคอลมน p (q r) และ (p q) (p r) มคาความจรงเหมอนกนทกกรณ

สรปไดวา p (q r) สมมลกบประพจน (p q) (p r) นนคอ ตวด าเนนการ “ถา...แลว” “หรอ” มสมบตการกระจาย


37

3.13 ประพจนสมมลของตวด าเนนการ “ถา...แลว” (รปแบบท 1)


p q สมมลกบประพจน p q พจารณาไดดงตาราง

p q p q p p q T T T F T T F F F F F T T T T F F T T T

จะเหนไดวาคอลมน p q และ p q มคาความจรงเหมอนกนทกกรณ สรปไดวา p q สมมลกบประพจน p q


38

3.14 ประพจนสมมลของตวด าเนนการ “ถา...แลว” (รปแบบท 2)


p q สมมลกบประพจน q p หรอไม พจารณาไดดงตาราง

p q p q q p q p T T T F F T T F F T F F F T T F T T F F T T T T

จะเหนไดวาคอลมน p q และ q p มคาความจรงเหมอนกนทกกรณ สรปไดวา p q สมมลกบประพจน q p และเรยกประพจน q p วา

ประพจนแยงสลบท ของประพจน p q


39

3.15 ประพจนสมมลของ “กตอเมอ” (รปแบบท 1)


p q สมมลกบประพจน (p q) (q p) พจารณาไดดงตาราง p q p q (p q) (q p) (p q) (q p) T T T T T T T F F F T F F T F T F F F F T T T T จะเหนไดวาคอลมน p q และ (p q) (q p) มคาความจรงเหมอนกนทกกรณ

สรปไดวา p q สมมลกบประพจน (p q) (q p)


40

3.16 ประพจนสมมลของ “กตอเมอ” (รปแบบท 2)



p q p q p q p q T T T F F T T F F F T F F T F T F F F F T T T T



41

3.17 สรป

ในหนาตางนจะเปนการสรปคณสมบต หรอความสมพนธของประพจนทส าคญทไดกลาวมาแลว

การสลบท (p q) (q p) (p q) (q p)

(p q) (q p) (p q) (q p)

การจดกลม p (q r ) (p q) r p (q r ) (p q) r

p (q r ) (p q) r p (q r ) (p q) r

การกระจาย p (q r ) (p q) (p r) p (q r ) (p q) (p r)

p (q r ) (p q) (p r) p (q r ) (p q) (p r)

ประพจนสมมลของตวด าเนนการ “ถา...แลว”

pq p q pq q p

ประพจนสมมลของตวด าเนนการ “กตอเมอ”

p q (p q) (q p) p q p q


42

4. นเสธของประพจน

ประพจน 2 ประพจนเปนนเสธกน กตอเมอ ประพจนทงสองมคาความจรงตรงขามกนทกกรณของคาความจรงของประพจนยอย

ในหวขอนผเรยนจะไดศกษาถงนเสธของประพจน ซงประกอบดวย

1. นเสธของ “และ” (2 ประพจน) 2. นเสธของ “และ” (3 ประพจน) 3. นเสธของ “และ” (4 ประพจน) 4. นเสธของ “หรอ” (2 ประพจน) 5. นเสธของ “หรอ” (3 ประพจน) 6. นเสธของ “หรอ” (4 ประพจน) 7. นเสธของ “ถา...แลว” (2 ประพจน) 8. นเสธของ “ถา...แลว” (3 ประพจน) 9. นเสธของ “ถา...แลว” (4 ประพจน) 10. นเสธของ “กตอเมอ” (รปแบบท 1) 11. นเสธของ “กตอเมอ” (รปแบบท 2) 12. นเสธของ “กตอเมอ” (รปแบบท 3) 13. สรป



43

4.1 นเสธของ “และ” (2 ประพจน)


(p q) สมมลกบประพจน p q พจารณาไดดงตาราง

p q (p q) (p q) p q p q T T T F F F F T F F T F T T F T F T T F T F F F T T T T

จะเหนไดวาคอลมน (p q) และ p q มคาความจรงเหมอนกนทกกรณ สรปไดวา (p q) สมมลกบประพจน p q นนคอ นเสธของประพจน (p q) สมมลกบประพจน p q


44



(p q r) สมมลกบประพจน p q r พจารณาไดดงตาราง

p q r (p q r) (p q r) p q r p q r T T T T F F F F F T T F F T F F T T T F T F T F T F T T F F F T F T T T F T T F T T F F T F T F F T T F T T F F T F T T T F T F F F F T T T T T

จะเหนไดวาคอลมน (p q r) และ p q r มคาความจรงเหมอนกนทกกรณ สรปไดวา (p q r) สมมลกบประพจน p q r นนคอ นเสธของประพจน (p q r) สมมลกบประพจน p q r


45



(p q r s) สมมลกบประพจน p q r s พจารณาไดดงตาราง


46

p q r s (p q r s) p q r s p q r s T T T T F F F F F F T T T F T F F F T T T T F T T F F T F T T T F F T F F T T T T F T T T F T F F T T F T F T F T F T T T F F T T F T T F T T F F F T F T T T T F T T T T T F F F T F T T F T T F F T T F T F T T T F T F T F T F F T T F T T T F F T T T T T F F T F F T F T T T F T T F F F T T T T T F T F F F F T T T T T T

จะเหนไดวาคอลมน (p q r s) และ p q r s มคาความจรงเหมอนกนทกกรณ

สรปไดวา (p q r s) สมมลกบประพจน p q r s นนคอ นเสธของประพจน (p q r s) สมมลกบประพจน p q r s


47

4.4 นเสธของ “หรอ” (2 ประพจน)



p q (p q) (p q) p q p q T T T F F F F T F T F F T F F T T F T F F F F F T T T T



48



(p q r) สมมลกบประพจน p q r พจารณาไดดงตาราง p q r (p q r) (p q r) p q r p q r T T T T F F F F F T T F T F F F T F T F T T F F T F F T F F T F F T T F F T T T F T F F F F T F T F T F T F F F T T F T T F F F F F F T T T T T จะเหนไดวาคอลมน (p q r) และ p q r มคาความจรงเหมอนกนทกกรณ สรปไดวา (p q r) สมมลกบประพจน p q r นนคอ นเสธของประพจน (p q r) สมมลกบประพจน p q r


49



(p q r s) สมมลกบประพจน p q r s พจารณาไดดงตาราง


50

p q r s (p q r s) p q r s p q r s T T T T F F F F F F T T T F F F F F T F T T F T F F F T F F T T F F F F F T T F T F T T F F T F F F T F T F F F T F T F T F F T F F T T F F T F F F F F T T T F F T T T F T F F F F F T T F F T F F T F F T F T F T F T F F F T F F F T F T T F F F T T F T T F F F F F T F F T T F T F F F F T F T T T F F F F F F T T T T T T

จะเหนไดวาคอลมน (p q r s) และ p q r s มคาความจรงเหมอนกนทกกรณ

สรปไดวา (p q r s) สมมลกบประพจน p q r s นนคอ นเสธของประพจน (p q r s) สมมลกบประพจน p q r s


51

4.7 นเสธของ “ถา...แลว” (2 ประพจน)



p q (p q) (p q) q p q T T T F F F T F F T T T F T T F F F F F T F T F



52



(p (q r)) สมมลกบประพจน p q r พจารณาไดดงตาราง p q r (p (q r)) (p (q r)) r p q r T T T T F F F T T F F T T T T F T T F F F T F F T F T F F T T T F F F F T F T F T F F F T T F F F F F F T F T F จะเหนไดวาคอลมน (p (q r)) และ p q r มคาความจรงเหมอนกนทกกรณ สรปไดวา (p (q r)) สมมลกบประพจน p q r นนคอ นเสธของประพจน (p (q r)) สมมลกบประพจน p q r


53



(p (q (r s))) สมมลกบประพจน p q r s พจารณาไดดงตาราง


54

p q r s (p (q (r s))) s p q r s T T T T F F F T T T F T T T T T F T F F F T T F F F T F T F T T F F F T F T F F T F T F F T F F F T F F F F T F F T T T F F F F T T F F T F F T F T F F F F T F F F T F F F T T F F F F F T F F T F F F F T F F F F F F F T T T จะเหนไดวาคอลมน (p (q (r s))) และ p q r s มคาความจรงเหมอนกน

ทกกรณ สรปไดวา (p (q (r s))) สมมลกบประพจน p q r s นนคอ นเสธของประพจน p (q (r s))) สมมลกบประพจน p q r s


55

4.10 นเสธของ “กตอเมอ” (รปแบบท 1)



p q (p q) (p q) p p q T T T F F F T F F T F T F T F T T T F F T F T F



56




p q (p q) (p q) q p q T T T F F F T F F T T T F T F T F T F F T F T F



57



(p q) สมมลกบประพจน (p q) (p q) พจารณาไดดงตาราง p q (p q) (p q) (p q) (p q) (p q) (p q) T T T F F F F T F F T T F T F T F T F T T F F T F F F F จะเหนไดวาคอลมน (p q) และ (p q) (p q) มคาความจรงเหมอนกนทกกรณ

สรปไดวา (p q) สมมลกบประพจน (p q) (p q) นนคอ นเสธของประพจน (p q) สมมลกบประพจน (p q) (p q)


58

4.13 สรป

ในหนาตางนจะเปนการสรปคณสมบต หรอความสมพนธของประพจนทส าคญ โดยแบงออกเปน 5 หมวดดงน

นเสธของ “และ”

(p q) p q (p q r) p q r

(p q r s) p q r s

นเสธของ “หรอ”

(p q) p q (p q r) p q r

(p q r s) p q r s นเสธของ “ถา...แลว”

(p q) p q (p (q r)) p q r

(p ( q ( r s))) p q r s

นเสธของ “ถา...แลว”

(p q) p q (p (q r)) p q r

(p ( q ( r s))) p q r s นเสธของ “กตอเมอ”

(p q) p q (p q) p q

(p q) (p q) (p q)


59

5. สจนรนดร

ประพจนทเปนสจนรนดร คอ ประพจนทมคาความจรงเปนจรง ทกกรณของประพจนยอย ในหวขอนผเรยนจะไดศกษาถงประพจนทเปนสจนรนดร ซงประกอบดวย หนาตางดงน

1. ความหมายของสจนรนดร 2. ตวอยางท 1 3. ตวอยางท 2 4. ตวอยางท 3 5. ตวอยางท 4 6. ตวอยางท 5 7. สจนรนดร กบ อสจนรนดร 8. ตวด าเนนการ “และ” (หนา 1) 9. ตวด าเนนการ “และ” (หนา 2) 10. ตวด าเนนการ “หรอ” (หนา 1) 11. ตวด าเนนการ “หรอ” (หนา 2) 12. ตวด าเนนการ “ถา...แลว” (หนา 1) 13. ตวด าเนนการ “ถา...แลว” (หนา 2) 14. ตวด าเนนการ “ถา...แลว” (หนา 3) 15. ตวด าเนนการ “ถา...แลว” (หนา 4) 16. ตวด าเนนการ “กตอเมอ” (หนา 1) 17. ตวด าเนนการ “กตอเมอ” (หนา 2) 18. สรป



60

5.1 ความหมายของสจนรนดร

จะปรากฏตารางคาความจรงสองตารางทางดานซายและขวา และมเครองหมายสมมล ( ) นนคอคาความจรงของสองประพจนนสมมลกน (ถาไมมเครองหมายสมมล แสดงวาสองประพจนนไมสมมลกน) ในหนาตางนแสดงใหเหนวาประพจน p p และ (p q) p เปนสจนรนดร และสมมลกนดวย

พจารณาไดดงตาราง p p (p p) p q (p q) (p q) p T F T T T T T

T F F T F T T F T F T

F F F T

จะเหนไดวาคอลมน (p p) และ (p q) p มคาความจรงเปนจรงทกกรณ สรปไดวา (p p) และ (p q) p เปนสจนรนดร จากตารางสงเกตไดวา ประพจน (p p) แบงการพจารณาเปน 2 กรณ เพราะในประพจนนน

มเพยงหนงประพจนยอย (p) เทานน แตส าหรบประพจน (p q) p มประพจนยอย 2 ประพจน (คอ p และ q) แตถาผอานพจารณาประพจนยอยของประพจน (p q) p จะแบงไดเปนสองประพจนยอยเชนเดยวกบประพจน (p p)


61

นนคอ ถา p มคาเปน T ประพจน (p q) p มคาเปน T (เหมอนกนประพจน p) และ ถา p มคาเปน F ประพจน (p q) p มคาเปน T (เหมอนกนประพจน p) ดงนน ประพจน (p p) สมมลกบประพจน (p q) p


62

5.2 ตวอยางท 1

จะปรากฏตารางคาความจรงสองตารางเพอแสดงใหเหนวาประพจน (p q r) p และประพจน (p q r s) (p q) เปนสจนรนดร

พจารณาไดดงตาราง


63

p q r (p q r) (p q r)

p

p q r s (p q r s)

(p q r s) (p q)

T T T T T T T T T T T T T T F F T

T T F F T T T F T F T T T F F F T

T F T F T T F T T F T T F T F F T

T F F F T T F F T F T T F F F F T

F T T F T F T T T F T F T T F F T

F T F F T F T F T F T F T F F T T

F F T F T F F T T F T F F T F T T

F F F F T F F F T F T F F F F T T

จะเหนไดวาคอลมน (p q r) p และ (p q r s) (p q) มคาความจรงเปนจรงทกกรณ

สรปไดวา (p q r) p และ (p q r s) (p q) เปนสจนรนดร


64


จะปรากฏตารางคาความจรงสองตารางเพอแสดงใหเหนวาประพจน p (p q r) และประพจน (p q) (p q r s) เปนสจนรนดร

พจารณาไดดงตาราง


65

p q r (p q

r) p

(p q r)

p q r s (p q) (p q r s)

(p q) (p q r

s) T T T T T T T T T T T T

T T T F T T T

T T F T T T T F T T T T

T T F F T T T

T F T T T T F T T T T T

T F T F T T T

T F F T T T F F T T T T

T F F F T T T

F T T T T F T T T T T T

F T T F T T T

F T F T T F T F T T T T

F T F F T T T

F F T T T F F T T F T T

F F T F F T T

F F F F T F F F T F T T

F F F F F F T

จะเหนไดวาคอลมน p (p q r) และ (p q) (p q r s) มคาความจรงเปนจรงทกกรณ

สรปไดวา p (p q r) และ (p q) (p q r s) เปนสจนรนดร


66


จะปรากฏตารางคาความจรงสองตารางเพอแสดงใหเหนวาประพจน (p q) p q และประพจน (p q) q p เปนสจนรนดร

พจารณาไดดงตาราง p q (p q) (p q) p (p q) p

q (p q)

q (p q) q p

T T T T T F T T F F F T F T F T T F T T T F F T F T T T

จะเหนไดวาคอลมน (p q) p q และ (p q) q p มคาความจรงเปนจรงทกกรณ สรปไดวา (p q) p q และ (p q) q p เปนสจนรนดร


67


จะปรากฏตารางคาความจรงสองตารางเพอแสดงใหเหนวาประพจน (p q) p q และประพจน (p q r) p q r เปนสจนรนดร

พจารณาไดดงตาราง p q (p q) (p q) p (p q) p q T T T F T T F T F T F T T T T F F F F T


68

p q r (p q r) (p q r) p (p q r) p

q (p q r) p q r

T T T T F F T T T F T F F T T F T T F F T T F F T F F T F T T T T F T F T F T T F T F F T T T T T F F F F F F T

จะเหนไดวาคอลมน (p q) p q และ (p q) q p มคาความจรงเปนจรงทกกรณ

สรปไดวา (p q) p q และ (p q) q p เปนสจนรนดร


69


จะปรากฏตารางคาความจรงสองตารางเพอแสดงใหเหนวาประพจน (p q) (p q ) และประพจน p (q r) (p q) (p r) เปนสจนรนดร

พจารณาไดดงตาราง p q (p q) (p q ) (p q) (p q ) T T T T T T F F F T F T T T T F F T T T


70

p q r p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) T T T T T T T T F T T T T F T T T T T F F F F T F T T F F T F T F F F T F F T F F T F F F F F T

จะเหนไดวาคอลมน (p q) (p q ) และ p (q r) (p q) (p r) มคาความจรงเปนจรงทกกรณ

สรปไดวา (p q) (p q ) และ p (q r) (p q) (p r) เปนสจนรนดร


71

5.7 สจนรนดร กบ อสจนรนดร

หนาตางนจะกลาวถงประพจนทเปนสจนรนดร คอประพจนทมคาความจรงเปนจรงเสมอ สวนประพจนทเปนอสจนรนดร คอประพจนทมคาความจรงเปนเทจเสมอ

สจนรนดร อสจนรนดร q q q q


72

5.8 ตวด าเนนการ “และ” (หนา 1)

จะปรากฏตารางคาความจรงสองตารางเพอแสดงใหเหนวาประพจน p (q q ) และประพจน p สมมลกน

ในทนประพจน p (q q ) มประพจนยอยคอ (q q ) เปนสจนรนดร นนคอเราสามารถเขยนประพจน p (q q ) ไดเปน p T ซงนนกคอ ประพจน p

นนเอง สรปไดวา ประพจน p (q q ) สมมลกบประพจน p


73

5.9 ตวด าเนนการ “และ” (หนา 2)

จะปรากฏตารางคาความจรงสองตารางเพอแสดงใหเหนวาประพจน p (q q ) และประพจน (q q ) สมมลกน

ในทนประพจน p (q q ) มประพจนยอยคอ (q q ) เปนอสจนรนดร นนคอเราสามารถเขยนประพจน p (q q ) ไดเปน p F นนคอ ประพจน p (q

q ) มคาความจรงเปนเทจทกกรณ สวนประพจน (q q ) เปนอสจนรนดรคอมคาความจรงเปนเทจทกกรณ สรปไดวา ประพจน p (q q ) สมมลกบประพจน (q q )


74

5.10 ตวด าเนนการ “หรอ” (หนา 1)


ในทนประพจน p (q q ) มประพจนยอยคอ (q q ) เปนสจนรนดร นนคอเราสามารถเขยนประพจน p (q q ) ไดเปน p T นนคอ ประพจน p (q

q ) มคาความจรงเปนจรงทกกรณ สวนประพจน (q q ) เปนสจนรนดรคอมคาความจรงเปนจรงทกกรณ สรปไดวา ประพจน p (q q ) สมมลกบประพจน (q q )


75

5.11 ตวด าเนนการ “หรอ” (หนา 2)


ในทนประพจน p (q q ) มประพจนยอยคอ (q q ) เปนอสจนรนดร นนคอเราสามารถเขยนประพจน p (q q ) ไดเปน p F ซงนนกคอ ประพจน p



76

5.12 ตวด าเนนการ “ถา...แลว” (หนา 1)


ในทนประพจน p (q q ) มประพจนยอยคอ (q q ) เปนสจนรนดร นนคอเราสามารถเขยนประพจน p (q q ) ไดเปน p T นนคอ ประพจน p (q

q ) มคาความจรงเปนจรงทกกรณ สวนประพจน (q q ) เปนสจนรนดรคอมคาความจรงเปนจรงทกกรณ สรปไดวา ประพจน p (q q ) สมมลกบประพจน (q q )


77






78


จะปรากฏตารางคาความจรงสองตารางเพอแสดงใหเหนวาประพจน (q q ) p และประพจน p สมมลกน

ในทนประพจน (q q ) p มประพจนยอยคอ (q q ) เปนสจนรนดร นนคอเราสามารถเขยนประพจน (q q ) p ไดเปน T p ซงนนกคอ ประพจน p

นนเอง สรปไดวา ประพจน (q q ) p สมมลกบประพจน p


79


จะปรากฏตารางคาความจรงสองตารางเพอแสดงใหเหนวาประพจน (q q ) p และประพจน (q q ) สมมลกน

ในทนประพจน (q q ) p มประพจนยอยคอ (q q ) เปนอสจนรนดร นนคอเราสามารถเขยนประพจน (q q ) p ไดเปน F p ซงมคาความจรงเปนจรง

ทกกรณ สวนประพจน (q q ) เปนสจนรนดร คอมคาความจรงเปนจรงทกกรณ สรปไดวา ประพจน (q q ) p สมมลกบประพจน (q q )


80

5.16 ตวด าเนนการ “กตอเมอ” (หนา 1)


ในทนประพจน p (q q ) มประพจนยอยคอ (q q ) เปนสจนรนดร นนคอเราสามารถเขยนประพจน p (q q ) ไดเปน p T ซงนนกคอ ประพจน p



81

5.17 ตวด าเนนการ “กตอเมอ” (หนา 2)





82

5.18 สรป

เราใชสญลกษณ T q q แทนประพจนทมคาความจรงเปนจรงเสมอ F q q แทนประพจนทมคาความจรงเปนเทจเสมอ และสรปคณสมบตบางประการเกยวกบตวด าเนนการ “และ” “หรอ” “ถา...แลว” “กตอเมอ”

ดงน p T p p F F

p T T p F p T p p F p T

p T T p F p

p T p p F p


83

6. การพสจน

การพสจนคอการท าใหแนใจวาเมอมการก าหนดเงอนไข หรอสมมตฐาน แลวน ากฎเกณฑเบองตนในวชาตรรกศาสตรมาประยกตใช เพอแสดงวาผลสรปทไดถกตองหรอไม การพสจนทางคณตศาสตร ถอวาเปนหวใจส าคญในการเรยนรวชาคณตศาสตร เพอเปนรากฐานส าหรบวชาคณตศาสตรขนสงตอไป ซงประกอบดวย หนาตางดงน

1. การพสจน “p หรอ q” (หนา 1) 2. การพสจน “p หรอ q” (หนา 2) 3. การพสจน “p หรอ q” (หนา 3) 4. การพสจน “p1 หรอ p2 หรอ … หรอ pn ” (หนา 1) 5. การพสจน “p1 หรอ p2 หรอ … หรอ pn ” (หนา 2) 6. การพสจน “p1 หรอ p2 หรอ … หรอ pn ” (หนา 3) 7. การพสจน “p1 หรอ p2 หรอ … หรอ pn ” (หนา 4) 8. การพสจนดวยประพจนแยงสลบท (หนา 1) 9. การพสจนดวยประพจนแยงสลบท (หนา 2) 10. การพสจนดวยประพจนแยงสลบท (หนา 3) 11. การพสจนดวยประพจนแยงสลบท (หนา 4) 12. การพสจนดวยขอขดแยง (หนา 1) 13. การพสจนดวยขอขดแยง (หนา 2) 14. การพสจนดวยขอขดแยง (หนา 3) 15. การพสจนดวยขอขดแยง (หนา 4) 16. การพสจนขอความทเชอมดวย “กตอเมอ” (หนา 1) 17. การพสจนขอความทเชอมดวย “กตอเมอ” (หนา 2) 18. การพสจนขอความทเชอมดวย “กตอเมอ” (หนา 3) 19. การพสจนขอความทเชอมดวย “กตอเมอ” (หนา 4) 20. การพสจนขอความทเชอมดวย “กตอเมอ” (หนา 5)



84

6.1 การพสจน “p หรอ q” (หนา 1)

หนาตางนจะอธบายถงวธการพสจนขอความ p q เนองจาก p q p q (ไดแสดงการสมมลของสองประพจนนไวใน “การพสจน p หรอ q

(หนา 2)”) ดงนนการพสจนขอความ p q ไดจากการสมมตวา p เปนเทจ แลวแสดงวา q เปนจรง


85




p Q p p q p q T T F T T T F F T T F T T T T F F T F F



86


ตวอยาง ส าหรบจ านวนเตม n ใดๆ จงแสดงวา n เปนจ านวนค หรอ 4 | n2-1

ตวอยางนเปนการพสจนขอความ p หรอ q ซง p q p q เราจงจะแสดงการพสจนโดยใชประพจน p q นนคอ จะแสดงวา ส าหรบจ านวนเตม n ใดๆ ถา n ไมเปนจ านวนคแลว 4 | n2-1 พสจน สมมตวา n ไมเปนจ านวนค นนคอ n เปนจ านวนค

จงมจ านวนเตม m ซง n = 2m+1 ดงนน n2-1 = (2m+1)2-1 = 4m2+4m = 4m(m+1) นนคอ 4 หาร n2-1 ลงตวตามตองการ


87

6.4 การพสจน “p1 หรอ p2 หรอ … หรอ pn “ (หนา 1)

หนาตางนจะอธบายถงวธการพสจนขอความ p1 p2 … pn-1 pn เนองจาก p1 p2 … pn-1 pn (p1 p2 … pn-1 ) pn (ไดแสดงการสมมล

ของสองประพจนนไวใน “การพสจน p1 หรอ p2 หรอ … หรอ pn (หนา 2-3)”) ดงนนการพสจนขอความ p1 p2 … pn-1 pn ไดจากการสมมตวา p1 , p2 , … , pn-1 เปน

เทจ แลวแสดงวา pn เปนจรง


88

6.5 การพสจน “p1 หรอ p2 หรอ … หรอ pn ” (หนา 2)


p q r สมมลกบประพจน (p q) r พจารณาไดดงตาราง

p q r p q r (p q) (p q) r T T T T F T T T F T F T T F T T F T T F F T F T F T T T F T F T F T F T F F T T T T F F F F T F

จะเหนไดวาคอลมน p q r และ (p q) r มคาความจรงเหมอนกนทกกรณ สรปไดวา p q r สมมลกบประพจน (p q) r


89


จะปรากฏตารางคาความจรงสองตารางทางดานซายและขวา และมเครองหมายสมมล ( ) นน

คอคาความจรงของสองประพจนนสมมลกน (ถาไมมเครองหมายสมมล แสดงวาสองประพจนนไมสมมลกน) ในหนาตางนแสดงใหเหนวาประพจน

p q r s สมมลกบประพจน (p q r) s พจารณาไดดงตาราง


90

p q r s p q r (p q r) (p q r) s T T T T T F T T T T F T F T T T F T T F T T T F F T F T T F T T T F T T F T F T F T T F F T T F T T F F F T F T F T T T T F T F T T F T F T F T F T T F T F T F F T F T F F T T T F T F F T F T F T F F F T T T T F F F F F T F

จะเหนไดวาคอลมน p q r s และ (p q r) s มคาความจรงเหมอนกนทกกรณ

สรปไดวา p q r s สมมลกบประพจน (p q r) s


91


ตวอยาง ส าหรบจ านวนเตม n ใดๆ จงแสดงวา n เปนจ านวนค หรอ 3 | n หรอ 6 | n ตวอยางนเปนการพสจนขอความ p หรอ q หรอ r ซง p q r p q r เราจงจะแสดงการพสจนโดยใชประพจน p q r นนคอ จะแสดงวา ส าหรบจ านวนเตม n ใดๆ ถา n เปนจ านวนค และ 3 | n แลว 6 | n พสจน สมมตให n เปนจ านวนค (นนคอ 2 | n ) และ 3 | n

เนองจาก ห.ร.ม. ของ 2 กบ 3 มคาเทากบ 1 จงสรปไดวา 23 | n นนคอ 6 | n


92

6.8 การพสจนดวยประพจนแยงสลบท (หนา 1)

เนองจาก p q q p เรยกวา ประพจนแยงสลบท (แสดงการพสจน ในหนาตอไป)

เราจงจะแสดงการพสจนประพจน p q ดวยประพจน q p ดงตวอยางตอไป


93



p q สมมลกบประพจน q p พจารณาไดดงตาราง

p q p q p q q p T T F F T T T F F T F F F T T F T T F F T T T T

จะเหนไดวาคอลมน p q และ q p มคาความจรงเหมอนกนทกกรณ สรปไดวา p q สมมลกบประพจน q p


94


ตวอยาง จงแสดงวา ถา x เปนจ านวนอตรรกยะ แลว x เปนจ านวนอตรรกยะ ตวอยางนเปนการพสจนขอความ p q ซง p q q p เราจงจะแสดงการพสจนโดยใชประพจน q p นนคอ จะแสดงวา ถา x เปนจ านวนตรรกยะ แลว x เปนจ านวนตรรกยะ พสจน สมมต x เปนจ านวนตรรกยะ

แสดงวา มจ านวนเตม m และ n ซง n

mx

นนคอ 2

2

mx

n ซง

2

2

m

n เปนจ านวนตรรกยะ

ดงนน x เปนจ านวนตรรกยะ สรปไดวา ถา x เปนจ านวนอตรรกยะ แลว x เปนจ านวนอตรรกยะ


95


ตวอยาง จงแสดงวา ถา n2 เปนจ านวนค แลว n จะเปนจ านวนค ตวอยางนเปนการพสจนขอความ p q ซง p q q p เราจงจะแสดงการพสจนโดยใชประพจน q p นนคอ จะแสดงวา ถา n จะเปนจ านวนค แลว n2 เปนจ านวนค พสจน สมมตให n จะเปนจ านวนค

แสดงวา มจ านวนเตม m ซง n = 2m นนคอ n2 = 4m2 = 2(2m2) ซงเปนจ านวนค จงสรปไดวา ถา n2 เปนจ านวนค แลว n จะเปนจ านวนค


96

6.12 การพสจนดวยขอขดแยง (หนา 1)

เนองจาก p p (q q) (แสดงการพสจน ในหนาตอไป) เราจงจะแสดงการพสจนประพจน p ดวยประพจน p (q q) ดงตวอยางตอไป


97



p สมมลกบประพจน p (q q) พจารณาไดดงตาราง

p q p q (q q) p (q q) T T F F F T T F F T F T F T T F F F F F T T F F

จะเหนไดวาคอลมน p และ p (q q) มคาความจรงเหมอนกนทกกรณ สรปไดวา p สมมลกบประพจน p (q q)


98


ตวอยาง จงแสดงวา 7 หาร 7771 ไมลงตว ตวอยางนเปนการพสจนขอความ p ซง p p (q q) เราจงจะแสดงการพสจนโดยใชประพจน p (q q) นนคอ จะแสดงวา สมมต 7 หาร 7771 ลงตว แลวไดประพจนทเปนเทจ (q q)

พสจน สมมตให 7 หาร 7771 ลงตว หรอเขยนไดเปน 7 | 7771

เราทราบวา 7 | 777

ดงนน 7 | ( 7771 ) - 777

นนคอ 7 | 1 ซงเปนเทจ

จงสรปไดวา 7 หาร 7771 ไมลงตว


99


ตวอยาง จงแสดงวา 2 เปนจ านวนอตรรกยะ ตวอยางนเปนการพสจนขอความ p ซง p p (q q) เราจงจะแสดงการพสจนโดยใชประพจน p (q q) นนคอ จะแสดงวา 2 เปนจ านวนตรรกยะแลว ไดประพจนทเปนเทจ (q q) พสจน สมมต 2 เปนจ านวนอตรรกยะ

แสดงวามจ านวนเตม m และ n ซง ห.ร.ม. (m, n) = 1 และ n

m2

จงได m2 = 2n2 ซงเปนจ านวนค ฉะนน m ตองเปนจ านวนคดวย จงมจ านวนเตม k ซง m = 2k ดงนน (2k)2 = 2n2 นนคอ 2k2 = n2 เปนจ านวนค แสดงวา n ตองเปนจ านวนคดวย เนองจากทง m และ n เปนจ านวนค จงขดแยงกบทให ห.ร.ม. (m, n) = 1 จงสรปไดวา 2 เปนจ านวนอตรรกยะ


100

6.16 การพสจนขอความทเชอมดวย “กตอเมอ” (หนา 1)

เนองจาก p q (p q) (q p) (แสดงการพสจน ในหนาตอไป) ดงนนการพสจน p q จงตองพสจนสองทางคอ (p q) (ขาไป) และ (q p) (ขากลบ)

แตเนองจาก (q p) (p q) (ประพจนแยงสลบท) เราจงจะแสดงการพสจนประพจน p q ดวยประพจน (p q) (p q) ดงตวอยางตอไป


101



p q สมมลกบประพจน (p q) (q p) พจารณาไดดงตาราง

p q p q (p q) (q p) (p q) (q p) T T T T T T T F F F T F F T F T F F F F T T T T

จะเหนไดวาคอลมน p q และ (p q) (q p) มคาความจรงเหมอนกนทกกรณ สรปไดวา p q สมมลกบประพจน (p q) (q p)


102



p q สมมลกบประพจน (p q) (p q) พจารณาไดดงตาราง

p q p q (p q) (p q) (p q) (p q) T T T T T T T F F F T F F T F T F F F F T T T T

จะเหนไดวาคอลมน p q และ (p q) (p q) ) มคาความจรงเหมอนกนทกกรณ สรปไดวา p q สมมลกบประพจน (p q) (p q)


103


ตวอยาง ก าหนดให ab > 0 จงแสดงวา a < b กตอเมอ ba

11

ตวอยางนเปนการพสจนขอความ p q ซง p q (p q) (q p) เราจงจะแสดงการพสจนโดยใชประพจน (p q) (q p)

นนคอ จะแสดงสองขนตอนคอ (ขาไป) สมมตให a < b แลวแสดงใหไดวา ba

11

(ขากลบ) สมมตให ba

11 แลวแสดงวา a < b

พสจน ก าหนดให ab > 0 (ขาไป) สมมตให a < b

เนองจาก ab > 0 จงหาร ab ทงสองขางของสมการ จะได ab

b

ab

a

นนคอ ba

11

(ขากลบ) สมมตให ba

11

เนองจาก ab > 0 จงคณ ab ทงสองขางของสมการ จะได b

ab

a

ab

นนคอ a < b

จงสรปไดวา เมอ ab > 0 จะได a < b กตอเมอ ba

11


104


ตวอยาง ส าหรบจ านวนเตม n ใดๆ จงแสดงวา n เปนจ านวนค กตอเมอ n2 เปนจ านวนค ตวอยางนเปนการพสจนขอความ p q ซง p q (p q) (p q) เราจงจะแสดงการพสจนโดยใชประพจน (p q) (p q) นนคอ จะแสดงสองขนตอนคอ (ขาไป) สมมตให n เปนจ านวนค แลวแสดงวา n2 เปนจ านวนค (ขากลบ) สมมตให n เปนจ านวนค แลวแสดงวา n2 เปนจ านวนค พสจน ก าหนดให n เปนจ านวนเตมใดๆ

(ขาไป) สมมตให n เปนจ านวนค นนคอมจ านวนเตม m ซง n = 2m จะไดวา n2 = 4m2 = 2(2m2) ซงเปนจ านวนค นนคอ n2 เปนจ านวนค

(ขากลบ) สมมตให n เปนจ านวนค นนคอมจ านวนเตม m ซง n = 2m+1 จะไดวา n2 = 4m2 +4m + 1 = 2(2m2 +2m) +1 ซงเปนจ านวนค นนคอ n2 เปนจ านวนค

จงสรปไดวา n เปนจ านวนค กตอเมอ n2 เปนจ านวนค


105

7. การอางเหตผล

ตรรกศาสตร เปนวชาทวาดวยกฎเกณฑการใชเหตผล และกระบวนการคดทเกยวกบการใหเหตผลโดยมงเนนทผลสรปวาถกตองหรอเปนไปตามกระบวนการหรอไม การอางเหตผลเปนหวใจส าคญในการพสจน เพอใหไดผลสรปทถกตอง

การอางเหตผลประกอบดวย หนาตาง ดงน 1. การอางเหตผล 2. ตวอยางท 1 (หนา 1) 3. ตวอยางท 1 (หนา 2) 4. ตวอยางท 2 (หนา 1) 5. ตวอยางท 2 (หนา 2) 6. ตวอยางท 3 (หนา 1) 7. ตวอยางท 3 (หนา 2) 8. ตวอยางท 4 (หนา 1) 9. ตวอยางท 4 (หนา 2) 10. ตวอยางท 5 (หนา 1) 11. ตวอยางท 5 (หนา 2) 12. ตวอยางท 6 (หนา 1) 13. ตวอยางท 6 (หนา 2)



106

7.1 การอางเหตผล

การอางเหตผลจะอยในรปแบบ เหต: p1, p2,… , pn

ผล: q การอางเหตผลนจะสมเหตสมผล กตอเมอ (p1 p2, … , pn) q เปนสจนรนดร


107

7.2 ตวอยางท 1 (หนา 1)

พจารณาการอางเหตผลตอไปน เหต: 1. p q 2. q r 3. r ผล: p เนองจากประพจน ((p q) (q r) r) p เปนสจนรนดร (แสดงการตรวจสอบ

การเปนสจนรนดรของประพจนนในหนาตอไป) ท าใหการอางเหตผลนสมเหตสมผล


108


จะปรากฏตารางคาความจรงส าหรบ แสดงวาประพจน ((p q) (q r) r) p เปนสจนรนดร

พจารณาไดดงตาราง p q r (p q) (q r) r p ((p q) (q r) r) p T T T T T F F T T T F T F T F T T F T F T F F T T F F F T T F T F T T T T F T T F T F T F T T T F F T T T F T T F F F T T T T T

จะเหนไดวาคอลมน ((p q) (q r) r) p มคาความจรงเปนจรงทกกรณ สรปไดวา ((p q) (q r) r) p เปนสจนรนดร


109


พจารณาการอางเหตผลตอไปน เหต: 1. p q 2. q r ผล: r p เนองจากประพจน ((p q) (q r) (r p)) เปนสจนรนดร (แสดงการตรวจสอบ

การเปนสจนรนดรของประพจนนในหนาตอไป) การอางเหตผลนจงสมเหตสมผล


110


จะปรากฏตารางคาความจรงส าหรบ แสดงวาประพจน ((p q) (q r) (r p))

เปนสจนรนดร พจารณาไดดงตาราง

p q r (p q) (q r) (r p) ((p q) (q r) (r p)) T T T T T T T T T F T T T T T F T F F T T T F F F T T T F T T F T F T F T F F T T T F F T T F F T F F F T T T T

จะเหนไดวาคอลมน ((p q) (q r) (r p)) มคาความจรงเปนจรงทกกรณ สรปไดวา ((p q) (q r) (r p)) เปนสจนรนดร


111


พจารณาการอางเหตผลตอไปน เหต: 1. p q 2. q r ผล: p r เนองจากประพจน ((p q) (q r) (p r) เปนสจนรนดร (แสดงการตรวจสอบการ

เปนสจนรนดรของประพจนนในหนาตอไป) การอางเหตผลนจงสมเหตสมผล


112


จะปรากฏตารางคาความจรงส าหรบ แสดงวาประพจน ((p q) (q r)) (p r) เปน

สจนรนดร หรอไม พจารณาไดดงตาราง p q r (p q) (q r) (p r) ((p q) (q r)) (p r) T T T T T T T T T F T T T T T F T F T T T T F F F F T T F T T T T T T F T F T T F F F F T T T T T F F F T F F T จะเหนไดวาคอลมน ((p q) (q r) (p r) มคาความจรงเปนจรงไมทกกรณ สรปไดวา ((p q) (q r) (p r) ไมเปนสจนรนดร


113


พจารณาการอางเหตผลตอไปน เหต: 1. ถา ก ขยน หรอ ก เรยนเกง แลว ก จะประสบความส าเรจ 2. ก ไมประสบความส าเรจ ผล: ก ไมขยน ให p แทน “ก ขยน” q แทน “ก เรยนเกง” r แทน “ก ประสบความส าเรจ” จะไดประพจน (((p q) r) r) p เนองจากประพจน (((p q) r) r) p เปนสจนรนดร (แสดงการตรวจสอบการเปน

สจนรนดรของประพจนนในหนาตอไป) การอางเหตผลนจงสมเหตสมผล


114


จะปรากฏตารางคาความจรงส าหรบ แสดงวาประพจน (((p q) r) r) p เปน สจนรนดร

พจารณาไดดงตาราง p q r (p q) ((p q)

r) ((p q) r)

r) (((p q) r) r) p

T T T T T F T T T F T F F T T F T T T F T T F F T F F T F T T T T F T F T F T F F T F F T F T F T F F F F T T T

จะเหนไดวาคอลมน (((p q) r) r) p มคาความจรงเปนจรงทกกรณ สรปไดวา (((p q) r) r) p เปนสจนรนดร


115


พจารณาการอางเหตผลตอไปน เหต: 1. ถา ก ขยน และ ก เรยนเกง แลว ก จะประสบความส าเรจ 2. ก ไมประสบความส าเรจ ผล: ก ไมขยน ให p แทน “ก ขยน” q แทน “ก เรยนเกง” r แทน “ก ประสบความส าเรจ” จะไดประพจน (((p q) r) r) p เนองจากประพจน (((p q) r) r) p ไมเปนสจนรนดร (แสดงการตรวจสอบการ

เปนสจนรนดรของประพจนนในหนาตอไป) ท าใหการอางเหตผลน ไมสมเหตสมผล


116


จะปรากฏตารางคาความจรงส าหรบ แสดงวาประพจน (((p q) r) r) p เปนสจนรนดร หรอไม

พจารณาไดดงตาราง p q r (p q) ((p q)

r) ((p q) r)

r) (((p q) r) r)

p T T T T T F T T T F T F F T T F T F T F T T F F F T T F F T T F T F T F T F F T T T F F T F T F T F F F F T T T

จะเหนไดวาคอลมน (((p q) r) r) p มคาความจรงเปนจรงทกกรณ สรปไดวา (((p q) r) r) p ไมเปนสจนรนดร


117


พจารณาการอางเหตผลตอไปน เหต: 1. ถา ก สอบผาน หรอ ก ถกครต าหน หรอ ก เปนเดกเสน 2. ก สอบตก หรอ ก ไมถกครต าหน ผล: ก เปนเดกเสน ให p แทน “ก สอบผาน” q แทน “ก ถกครต าหน” r แทน “ก เปนเดกเสน” จะไดประพจน ((p q r) (p q)) r เนองจากประพจน ((p q r) (p q)) r ไมเปนสจนรนดร (แสดงการตรวจสอบ

การเปนสจนรนดรของประพจนนในหนาตอไป) ท าใหการอางเหตผลน ไมสมเหตสมผล


118


จะปรากฏตารางคาความจรงส าหรบ แสดงวาประพจน ((p q r) (p q)) r เปนสจนรนดร หรอไม

พจารณาไดดงตาราง p q r (p q r) (p q) ((p q r) (p q)) r T T T T F T T T F T F T T F T T T T T F F T T F F T T T T T F T F T T F F F T T T T F F F F T T

จะเหนไดวาคอลมน ((p q r) (p q)) r มคาความจรงเปนจรงทกกรณ

สรปไดวา ((p q r) (p q)) r ไมเปนสจนรนดร


119

8. แบบฝกหด ตรรกศาสตร เปนการศกษากฏการใหเหตผลทถกตอง หลกการอางองทสมเหตสมผล ใน

ตอนทายของสอปฏบตการน จงน าเสนอแบบฝกหดใหผอานไดฝกปฏบตในการใหเหตผล การพสจน ฝกทกษะกระบวนการใหเหตผลเชงคณตศาสตร การพสจนทางคณตศาสตร เพอเปนรากฐานสาหรบแขนงวชาคณตศาสตรขนสงตอไป

ซงประกอบดวย หนาตาง ดงน 1. แบบฝกหด (ตารางคาความจรง) 2. ตารางคาความจรง 3. แบบฝกหด (ประพจนสมมล) 4. ตารางคาความจรง (ประพจนสมมล) 5. แบบฝกหด (นเสธ) 6. ตารางคาความจรง (นเสธ) 7. แบบฝกหด (สจนรนดร) 8. ตารางคาความจรง (สจนรนดร) 9. แบบฝกหด (การอางเหตผล) 10. ตารางคาความจรง (การอางเหตผล)



120

8.1 แบบฝกหด (ตารางคาความจรง) แสดงโจทยใหผอานเขยนตารางคาความจรงของประพจนทก าหนด จ านวน 10 ขอ ดงรป

ค าตอบ 8.1 แบบฝกหด (ตารางคาความจรง) 1. p ( p q) 2. (p q) (q p)

p q p ( p q) p q p ( p q) T T T T T T T F T T F T F T F F T F F F F F F F


121

3. (p q) r 4. p (q r) p q r (p q) r p q r p (q r) T T T T T T T T T T F T T T F T T F T T T F T T T F F T T F F F F T T T F T T T F T F T F T F F F F T T F F T T F F F F F F F T

5. (p q) (q r) 6. (p q) (r s) p q r (p q) (q r) p q r s (p q) (r s)

T T T T T T T T T T T F T T T T F T T F T T T T F T T T F F T T T F F F F T T T T F T T T F T F T T F T F T F F T T T F F T T F F F T T F F F F F T T T T F T T F T F T F T T F T F F F F F T T T F F T F T F F F T T F F F F T


122

.7. (p q) (r s) 8. (p q) (q r) (r s)

p q r s (p q) (r s) p q r s (p q) (q r)

(r s) T T T T T T T T T T T T T F F T T T F F T T F T F T T F T F T T F F F T T F F F T F T T F T F T T F T F T F T T F T F F T F F T T T F F T F T F F F T T F F F F F T T T F F T T T T F T T F T F T T F F F T F T T F T F T F F T F F T F T F F F F F T T F F F T T T F F T F T F F T F F F F F T T F F F T T F F F F T F F F F T

.


123

9. (p q) (r s) 10. (p q) (r s)

p q r s (p q) (r s) p q r s (p q)

(r s) T T T T F T T T T T T T T F F T T T F T T T F T T T T F T F T T F F F T T F F T T F T T F T F T T T T F T F F T F T F T T F F T T T F F T F T F F F F T F F F T F T T T T F T T T T F T T F T F T T F T F T F T F F T F T T F T F F T F T F F T F F T T F F F T T T F F T F F F F T F T F F F T T F F F T F F F F F F F F F F T


124

8.2 ตารางคาความจรง เมอเขาสตวเลอกนจะปรากฏจอภาพ

อธบายการท างาน

โปรแกรมนจะแบงหนาจอเปนสองดานซายและขวา แตละดานมการใชงานเหมอนกนโดยแทนหนง

ประพจนพรอมแสดงตารางคาความจรง และถาประพจนในสองดานนสมมลกน กจะมสญลกษณ ปรากฏอยตรงกลาง

(ก) สวนแสดงประพจนทตองการหาคาความจรง

(ข) รายการตวเลอกทตองการใชในประพจน เลอกโดยเลอนเมาสไปท เมอปรากฏสญลกษณ ใหคลกพรอมเลอนเมาสไปทสญลกษณทตองการ แลวคลกท สญลกษณทเลอกนนจะไปปรากฏทแถบสเหลอง (ก) และตารางคาความจรงดานบนกจะเปลยนคาไปตามประพจนสเหลองนน - ผใชอาจคลก เมอตองการลบสญลกษณบนประพจน ซงการลบนจะลบเฉพาะสญลกษณสดทายทอยทางดานขวาสดเทานน - ผใชอาจคลก เมอตองการลบประพจนในแถบสเหลองทงหมด

ก

ข


125

ตวอยาง (1) ถาตองการสรางตารางคาความจรงของประพจน p ขนตอนการท างาน

ก) เลอนสญลกษณ มายงอกษร ข) คลกท ค) จะปรากฏตาราง คาความจรงของประพจน p

ดงรป ตวอยาง (2) ถาตองการสรางตารางคาความจรงของประพจน p (p q) ขนตอนการท างาน (แสดงในชองดานขวาของหนาตาง)

ก) เลอนสญลกษณ มายงอกษร แลวคลกท

ข) เลอนสญลกษณ มายงอกษร แลวคลกท

ค) เลอนสญลกษณ มายงอกษร แลวคลกท

ง) เลอนสญลกษณ มายงอกษร แลวคลกท

จ) เลอนสญลกษณ มายงอกษร แลวคลกท

ฉ) เลอนสญลกษณ มายงอกษร แลวคลกท

ช) เลอนสญลกษณ มายงอกษร แลวคลกท

ซ) เลอนสญลกษณ มายงอกษร แลวคลกท ฌ) จะปรากฏตาราง คาความจรงของประพจน p (p q) ดงรป ญ) ในทนดานซายมประพจน p อยซงทงสองประพจนนสมมลกน กจะปรากฏสญลกษณสมมล

ตรงกลางระหวางสองตาราง แตถาทงสองประพจนนไมสมมลกน กจะไมปรากฏสญลกษณสมมลน


126

8.3 แบบฝกหด (ประพจนสมมล) แสดงโจทยใหผอานตรวจสอบวาประพจนทก าหนดนสมมลกนหรอไม จ านวน 5 ขอ ดงรป

ค าตอบ 8.3 แบบฝกหด (ประพจนสมมล)

ประพจน สมมล/ไมสมมล ประพจน 1. ( p q ) q ไมสมมล p 2. (p q) ( p q) ไมสมมล p p 3. ( p q ) (p r) ไมสมมล q r 4. p (q r s) สมมล ( p q ) (p r) (p s) 5. p q (p r s) ไมสมมล p q


127

8.4 ตารางคาความจรง (ประพจนสมมล)

เมอเขาสตวเลอกนจะปรากฏจอภาพใหสรางตารางคาความจรง สองตาราง เพอเปรยบเทยบกนวา

สองประพจนนมคาความจรงเหมอนกนทกกรณหรอไม ซงถาสองประพจนนมคาความจรงเหมอนกนทกกรณ หมายความวาสองประพจนนสมมลกน กจะมสญลกษณสมมลแสดงอยระหวางสองตารางน ผอานสามารถศกษาวธสราง/ใชตารางคาความจรงเพอตรวจสอบการสมมลไดจากหวขอ 8.2 ตารางคาความจรง


128

8.5 แบบฝกหด (นเสธ) แสดงโจทยใหผอานหานเสธของประพจนทก าหนด พรอมทงตรวจสอบดวยการสรางตารางคา

ความจรง จ านวน 10 ขอ ดงรป

ค าตอบ 8.5 แบบฝกหด (นเสธ) ประพจน นเสธของประพจน 1. (p q) (q p) (p q) (q p) 2. (p q) r (p q) r 3. p ( q r) p q r 4. ( ( p q) p) q p q 5. p ( q r) p ( q r ) 6. (p q) (r s) (p q) (r s) 7. (p q) ( r s) (p q) (r s) 8. ( p q) ( r s) (p q) (r s) 9. ( p q) (r s) (p q) ( r s)

10. (p q) ( r s) (p q) (r s) หมายเหต แตละขอมค าตอบทถกตองไดมากกวาหนงรปแบบ ผเรยนตองปอนประพจน และตรวจสอบ

จากตารางคาความจรงในสอ


129

8.6 ตารางคาความจรง (นเสธ)

เมอเขาสตวเลอกนจะปรากฏจอภาพใหสรางตารางคาความจรง สองตาราง เพอเปรยบเทยบกนวา

สองประพจนนมคาความจรงเหมอนกนทกกรณหรอไม ในทนใหผใชตรวจสอบการหานเสธของประพจน โดยปอนประพจนทก าหนดไวดานหนง สวนอกดานหนงปอนนเสธของประพจนนน แลวตรวจสอบวาสองประพจนนนเปนนเสธของกนหรอไม ผอานสามารถศกษาวธสราง/ใชตารางคาความจรงเพอตรวจสอบการสมมลไดจากหวขอ 8.2 ตารางคาความจรง


130

8.7 แบบฝกหด (สจนรนดร)

แสดงโจทยใหผอานตรวจสอบวาประพจนทก าหนดเปนสจนรนดรหรอไม จ านวน 10 ขอ ดง

รป

ค าตอบ 8.7 แบบฝกหด (สจนรนดร) ประพจน เปนสจนรนดร/ไมเปนสจนรนดร 1. (p q) q p เปนสจนรนดร 2. (p q) (p q) เปนสจนรนดร 3. (p q) ( q p ) เปนสจนรนดร 4. p (q p) เปนสจนรนดร 5. p (q ( r (s p) ) ) เปนสจนรนดร 6. ( ( p q ) ( q r) ) ( p r) เปนสจนรนดร 7. (p q r ) ( p q r ) ไมเปนสจนรนดร 8. (p q r s ) (p s ) เปนสจนรนดร 9. (p q r s ) p ไมเปนสจนรนดร

10. ( p q ) ( ( p q ) ( q p ) ) เปนสจนรนดร


131

8.8 ตารางคาความจรง (สจนรนดร)

เมอเขาสตวเลอกนจะปรากฏจอภาพใหสรางตารางคาความจรง สองตาราง เพอพจารณาวาสอง

ประพจนนมคาความจรงเปนจรงทกกรณหรอไม ถาใชกแสดงวาประพจนนนเปนสจนรนดร ผอานสามารถศกษาวธสราง/ใชตารางคาความจรงเพอตรวจสอบการสมมลไดจากหวขอ 8.2 ตารางคาความจรง


132

8.9 แบบฝกหด (การอางเหตผล) แสดงโจทยใหผอานตรวจสอบวาการอางเหตผลในแตละขอเหลาน สมเหตสมผลหรอไม จ านวน

4 ขอ ดงรป

เหต ผล สมเหตสมผล 1. 1. p q

2. p s p (q s) สมเหตสมผล

2. 1. p ( q r) 2. p r

q r สมเหตสมผล

3. 1. p r 2. p q r

r สมเหตสมผล

4. 1. p q 2. q r

p r ไมสมเหตสมผล เชนกรณ p = F, q = T, r = F


133

8.10 ตารางคาความจรง (การอางเหตผล)

เมอเขาสตวเลอกนจะปรากฏจอภาพใหสรางตารางคาความจรง สองตาราง เพอพจารณาวาสอง

ประพจนนมคาความจรงเปนจรงทกกรณหรอไม ถาใชกแสดงวาประพจนนนเปนสจนรนดร ผอานสามารถศกษาวธสราง/ใชตารางคาความจรงเพอตรวจสอบการสมมลไดจากหวขอ 8.2 ตารางคาความจรง


134

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


135

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


136


ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1



กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


137


การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1



การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

Documents

11 การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย