Universitatea Tehnică „Gh. Asachi”, IaşiFacultatea de Construcţii şi Instalaţii

2.Calculul static al unui element structural

35

Universitatea Tehnică „Gh. Asachi”, IaşiFacultatea de Construcţii şi Instalaţii

2.1.Proiectarea stâlpului din beton armat

36

Universitatea Tehnică „Gh. Asachi”, IaşiFacultatea de Construcţii şi Instalaţii

Proiectarea stâlpului din beton armat: Stâlpii din beton armat sunt elemente liniare, plasate în poziţie verticală care preiau încărcări de

la elementele structurale orizontale şi le transmit mai departe fundaţiilor. Stâlpii sunt solicitaţi la

compresiune excentrică (forţă axială şi moment încovoietor).

Valorile momentelor încovoietoare şi ale forţelor axiale pentru dimensionarea stâlpilor se

determină pornind de la eforturile maxime determinate din calculul structural sub acţiunea forţelor

laterale şi verticale. Valorile de proiectare ale momentelor încovoietoare se stabilesc respectând regulile

ierarhizării capacităţilor de rezistenţă, astfel încât să se obţină un mecanism favorabil de disipare a

energiei induse de seism, cu articulaţii plastice în grinzi. Pentru a minimiza riscul pierderii stabilităţii la

acţiunea forţelor gravitaţionale după un seism puternic, se urmăreşte a se evita, prin proiectare, apariţia

articulaţiilor plastice în stâlpi (cu excepţia bazei şi eventual a ultimului nivel). Această condiţie se

realizează practic prin amplificarea adecvată a momentelor din calcul sub acţiunea forţelor laterale şi

verticale în toate secţiunile stâlpilor cu excepţia bazei acestora. În P100-1:2006, similar procedurii din

EN 1998-1, se aplică o verificare locală astfel încât capacitatea la moment încovoietor a stâlpilor sa fie

mai mare decât a grinzilor în fiecare nod al structurii. Pentru simplificarea calculului, normativul P100-

1:2006 permite determinarea forţelor axiale direct din calculul structural, corespunzătoare acţiunii

simultane a forţelor laterale şi verticale de proiectare din combinaţia seismică de acţiune.

Schema statică

Schema statică pentru calculul stâlpilor este cea de cadru. Legăturile dintre grinzile principale si

stâlpi se vor considera a fi încastrări. În cadrul schemei statice se vor considera drept deschideri

distanţele interax dintre stâlpi.

Verificarea deplasărilor maxime ale secţiunii:

Verificarea deplasărilor maxime ale structurii la acţiunea seismului se face atât pentru starea

limită ultimă cât şi pentru starea limită de serviciu.

37

Universitatea Tehnică „Gh. Asachi”, IaşiFacultatea de Construcţii şi Instalaţii

Verificarea deplasărilor la starea limită de serviciu se face cu relaţia:

drSLS = ν*q*dre ≤ dr,a

SLS

unde:

drSLS – deplasarea relativă de nivel sub acţiunea seismică asociată stării limită de

serviciu;

ν – factor de reducere care ţine cont de intervalul de recurenţă al acţiunii seismice

asociat verificărilor la starea limită de serviciu, cu valoarea:

0,4 pentru clădirile încadrate în clasele I şi II de importanţă;

0,5 pentru clădirile din clasele III şi IV de importanţă;

q – factor de comportare specific tipului de structură;

dre – deplasarea relativă a aceluiaşi nivel determinată prin calcul static elastic sub

încărcări seismice de proiectare;

dr,aSLS – valoarea maximă admisibilă a deplasării relative de nivel sub acţiunea

seismică asociată componentelor nestructurale utilizate.

Verificarea deplasărilor la starea limită ultimă se face cu relaţia:

drSLU = c*q* dre ≤ dr,a

SLU

unde:

drSLS – deplasarea relativă de nivel sub acţiunea seismică asociată stării limită ultime;

c – coeficient de amplificare a deplasărilor care ţine cont că pentru perioade mai mici

decât perioada de colţ deplasările seismice calculate în domeniul post-elastic sunt mai

mari decât cele corespunzătoare răspunsului seismic elastic;

dr,aSLU –valoarea maximă admisibilă a deplasării relative de nivel sub acţiunea seismică

asociată stării limită ultime, determinată cu relaţia:

dr,aSLU = 0,025 * Hnivel

1 ≤ c = 3 – 2,5* ≤ 2

38

Universitatea Tehnică „Gh. Asachi”, IaşiFacultatea de Construcţii şi Instalaţii

unde: T – perioada proprie a clădirii;

Tc – perioada de colţ a structurii conform P100-2006.

Verificarea la SLS:

dre pe nivel:

P → dre = 2,34 mm

I → dre = 2,71 mm

II→ dre = 2,75 mm

III → dre = 2,58 mm

IV → dre = 2,3 mm

V → dre = 1,96 mm

VI→ dre = 1,56 mm

VII → dre = 1,15 mm

VIII → dre = 0,82 mm

Calculul deplasărilor relative admisibile în SLS:

- parter: dr,aSLS = 0,008*3,8 = 0,03 m = 30 mm

- etaj curent: dr,aSLS = 0,008*3 = 0,024 m = 24 mm

Calculul deplasărilor efective pe nivel:

- parter: drSLS = 0,5*6,75*2,34 = 7,89 mm < dr,a

SLS

- etaj curent: drSLS = 0,5*6,75*2,75 = 9,28 mm < dr,a

SLS

Verificarea la SLU:

Calculul deplasărilor relative admisibile în SLU:

- parter: dr,aSLU = 0,025*3,8 = 0,095 m = 95 mm

- etaj curent: dr,aSLU = 0,025*3 = 0,075 m = 75 mm

Calculul deplasărilor efective pe nivel:

39

Universitatea Tehnică „Gh. Asachi”, IaşiFacultatea de Construcţii şi Instalaţii

- parter: drSLU = 1*6,75*2,34 = 15,79 mm < dr,a

SLU

- etaj curent: drSLU = 1*6,75*2,75 = 18,56 mm < dr,a

SLU

-

Dimensionarea stâlpului central situat la parter

Stabilirea înălţimii relative a zonei comprimate:

a = ab + = 25 + = 35 mm

h0 = hst – a = 60-3,5 = 56,5 cm

ξ = = = 0,515 ≤ 0,55

Stabilirea momentelor de dimensionare în stâlp:

MEd,z = γRd * Mz, max *

unde: MEd,z – momentul de dimensionare a stâlpului pe direcţia z;

γRd – factor de suprarezistenţă datorat efectului de consolidare al oţelului cu valoarea de 1,3;

Mz, max- momentul maxim pe direcţia z rezultat din calculul static;

- suma momentelor capabile ale grinzilor de pe direcţia z care intersectează nodul;

- suma momentelor rezultate din calculul static pentru grinzile de pe direcţia z care

intersectează nodul;

MEd,z = 1,3 * 24466,75 * 1,32 = 41984,95 daN*m

Determinarea influenţei zvelteţii asupra eforturilor de calcul:40

Universitatea Tehnică „Gh. Asachi”, IaşiFacultatea de Construcţii şi Instalaţii

lungimea de flambaj: lfl = = = 1,9 m

coeficientul de flambaj: = = = 2,92

= 2,92 < 10 → influenţa flambajului poate fi neglijată

Momentul încovoietor de calcul: M = MEd,z = 41984,95 daN*m

Forţa axială corespunzătoare: N = 308989 daN

Acoperirea cu beton: a = a’ = 25 + = 35 mm

h0 = h – a = 65 – 3,5 = 61,5 cm

ha = h0 – a = 61,5 - 3,5 = 58 cm

ea – excentricitate adiţională ce ţine cont de imperfecţiunile de execuţie

ea = = = 2,16 cm > 2 cm

Mc – momentul corectat

Mc = M+N* ea = 4198495 + 308989*2,16 = 4865911 daN*m

Înalţimea zonei comprimate: x = = = 31,7 cm

Aria necesară de armătură rezultă din ecuaţia de momente în raport cu axul armăturii întinse:

41

Universitatea Tehnică „Gh. Asachi”, IaşiFacultatea de Construcţii şi Instalaţii

Aa = = = -2,16 cm2

Rezultă că armătura longitudinală nu este necesară, betonul simplu putând prelua solicitarea de

compresiune excentrică, în consecinţă armătura se dispune constructiv.

Procentul minim de armare p=0,8%, acesta putându-se reduce cu 20% în cazul în care armătura

rezultă din considerente constructive.

p= 0,8*0,8 = 0,64% → Aa = 27,04 cm2 → 12Φ18 PC52

Calculul armăturii transversale:

Etrierii sunt prevăzuţi atât pentru preluarea forţei tăietoare cât şi pentru imbunătăţirea

comportării la compresiune a betonului şi al evitării formării articulaţiilor plastice:

Tmax =

unde:

- Tmax – valoarea forţei tăietoare asociată mecanismului de plastifiere;

- Mdc,i – momentul maxim ce se dezvoltă la cele două extremităţi;

- Hnivel - înălţimea nivelului.

Momentele maxime de la extremităţile stâlpului se calculează cu relaţia:

Mdb,i = γRd * MRb,i *min

42

Universitatea Tehnică „Gh. Asachi”, IaşiFacultatea de Construcţii şi Instalaţii

- γRd – factor de suprarezistenţă datorat efectului de consolidare al oţelului şi al

frecării betonului cu valoarea de 1,2 la nivelul de bază şi 1,3 la nivelurile

superioare;

- MRb,i - momentul capabil de la extremitatea i a grinzii;

- - suma momentelor capabile a stâlpilor care intră în nod;

- - suma momentelor capabile a grinzilor care intră în nod.

Pentru structuri obişnuite (grinzi slabe – stâlpi tari) raportul: 1

Determinarea momentului capabil al stâlpului

a = ab + = 34 mm

h0 = hst –a = 65 -3,4 = 61,6 cm

ξ = = 0,515

n = = = 0,487

α = = = 0,144

= = 0,052

43

Universitatea Tehnică „Gh. Asachi”, IaşiFacultatea de Construcţii şi Instalaţii

Din n, α şi → m= 0,246

MRb = Mmax = m * bst * h2st * Rc – N*ea = 0,246*65*652*150 – 308989*2,16 = 9466246 daN*cm

Mdc = 1,3 * 9466246 = 12306118 daN*cm

Se verifică dacă secţiunea de beton este capabilă să preia forţa tăietoare

=

Tmax = = 64769 daN

= = 1,47 > 0,5 → este necesară verificarea la forţă tăietoare

Se calculează procentul de armare din zona intinsă ce intersectează fisura

p = *100 = *100 = 0,76%

Se impune diametrul etrierilor: Φ10 cu 4 ramuri

Se determină forţa tăietoare preluată de etrieri pe unitatea de lungime:

unde:

Aet – suma ariilor tuturor ramurilor de etrier intersectaţi de fisură

44

Universitatea Tehnică „Gh. Asachi”, IaşiFacultatea de Construcţii şi Instalaţii

Aet = ne * Ae = 4*0,785 = 3,14 cm2

Met – coeficient al condiţiilor de lucru

met = 0,8

qe = = 518,57 daN

Se verifică valoarea lui qe:

= 1,09 < 2,5 → valoarea lui qe este corect calculată

Distanţa dintre etrieri:

→ ae = 10 cm.

Procentul de armare transversală:

p = *100 = *100 = 0,439%

Dispunerea etrierilor la distanţa ae se va face în zonele critice pe o lungime:

45

Universitatea Tehnică „Gh. Asachi”, IaşiFacultatea de Construcţii şi Instalaţii

Lcr ≥ max

Lcr = 97,5 cm

La clădirile cu mai mult de cinci niveluri, la primele două niveluri de la baza structurii lungimea

critică se va mări cu 50% faţa de cea calculată.

Lcr = 146,25 ≈ 150 cm

Distanţa maximă între etrierii în afara zonelor critice se va limita la 200 mm.

46

Universitatea Tehnică „Gh. Asachi”, IaşiFacultatea de Construcţii şi Instalaţii

2.2. Proiectarea grinzii principale

47

Universitatea Tehnică „Gh. Asachi”, IaşiFacultatea de Construcţii şi Instalaţii

Proiectarea grinzii principale

Schema statică a grinzilor principale este cea de cadru. Legăturile dintre grinzile principale si stâlpi

sunt de tip încastrare. În cadrul schemei statice se consideră drept deschideri distanţele interax dintre

stâlpi.

Stabilirea înălţimii necesare a grinzii:

poptim = 1 %; (PC 52 – Ra = 3000 daN/cm2)

ξoptim =

r = = = 2,357

ho nec = r =2,357* = 50,36 cm

hgp = ho nec + ab + = 50,36 + 3,5 + = 53,86 cm; hef = 60 cm

Dimensionarea grinzii:

În cazul planseelor monolite fără grinzi secundare, valoarea maximă a lui Db este dată de

relaţia:

48

Universitatea Tehnică „Gh. Asachi”, IaşiFacultatea de Construcţii şi Instalaţii

Dbmax =

= = 0,25 → Dbmax = = 2,1 m

Lc = 0,5*L = 0,5*6 = 3 m

Db = m ≤ Dbmax = 2,1 m

bp = bg + 2*Db = 30 + 2 x 0,5 = 130 cm

În cazul grinzilor cu secţiune T trebuie stabilit dacă înălţimea zonei comprimate x

depăşeşte sau nu grosimea plăcii hp. Pentru aceasta se calculează momentul maxim al plăcii cu

relaţia (pentru bp minim):

Mcap = bp*hp*Rc*

h0 = hg –a = 600 – 35 = 565 mm

49

Universitatea Tehnică „Gh. Asachi”, IaşiFacultatea de Construcţii şi Instalaţii

Mcap = 130*15*125* = 11943750 daN*cm

Mcap ≥ Mmax,câmp = 584654 daN*cm → x ≤ hp

Momentul capabil al plăcii este mai mare decât momentul exterior, de unde rezultă că

inălţimea zonei comprimate nu depăşeşte înălţimea plăcii.

Calculul armăturii necesare în câmp:

Câmpul 1, 4:

M1 = M4 = 584654 daN*cm

B =

ξ = 1 - = 0,01334

p = ξ * *100 = 0,011334* *100 = 0,047% < 0,15%

→ p = 0,15%

Aa = bp * ho = * 130 * 56,5 = 11,01 cm2

Algem 4Φ20 cu Aef = 12,56 cm2

Calculul armăturii necesare în reazem:

În reazem placa se află în zona întinsă şi în calculul armăturii nu se mai ţine seama de aportul

acesteia, secţiunea din reazem calculându-se ca secţiune dreptunghiulară cu dimensiunile bg şi hg.50

Universitatea Tehnică „Gh. Asachi”, IaşiFacultatea de Construcţii şi Instalaţii

În reazemele 1 şi 5:

Mmax = 1712033 daN*cm

B =

ξ = 1 - = 0,155

Aa =ξ * bg * ho * 0,1588*30*56,5* = 10,94 cm2

→ 3Φ22 cu Aef = 11,4 cm2

În reazemele 2, 3 şi 4:

Mmax = 1671752 daN*cm

B =

ξ = 1 - = 0,151

Aa =ξ * bg * ho * 0,1588*30*56,5* = 10,66 cm2

→ 3Φ22 cu Aef = 11,4 cm2

Calculul armăturii transversale

Etrierii sunt prevazuţi pentru preluarea forţei tăietoare

51

Universitatea Tehnică „Gh. Asachi”, IaşiFacultatea de Construcţii şi Instalaţii

Calculul etrierilor se va efectua succesiv în toate secţiunile considerate urmând a se adopta

cea mai mare valoare dintre toate rezultatele. Forţa tăietoare de proiectare pentru grinzile principale,

în gruparea specială, se determină din echilibrul fiecărei deschideri sub acţiunea încărcărilor

verticale corespunzătoare grupării speciale şi a momentelor de acţiune la capetele grinzii

corespunzătoare fiecărui sens de acţiune a sarcinii seismice ce conduce la formarea articulaţiilor

plastice în nod.

Relaţia de calcul a forţei tăietoare:

Tmax = +

unde:

- Tmax – valoarea forţei tăietoare asociată mecanismului de plastifiere;

- Mdb,i – momentul maxim ce se dezvoltă la cele două extremităţi;

- g – suma tuturor încărcărilor permanente – valori normate;

- p – încărcarea utilă – valoare normată;

- L – deschiderea de calcul;

Momentele maxime de la extremităţile grinzii se calculează cu relaţia:

Mdb,i = γRd * MRd,i *min

- γRd – factor de suprarezistenţă datorat efectului de consolidare al oţelului cu

valoarea de 1,2;

- MRd,i - momentul capabil de la extremitatea i a grinzii;

- - suma momentelor capabile a stâlpilor care intră în nod;

- - suma momentelor capabile a grinzilor care intră în nod.

52

Universitatea Tehnică „Gh. Asachi”, IaşiFacultatea de Construcţii şi Instalaţii

Pentru structuri obişnuite (grinzi slabe – stâlpi tari) raportul: 1

În secţiunea dinspre reazemul A şi deschiderea A-B:

Determinarea momentului capabil MRb:

h0 = hg – ab - = 60 – 2,5 - = 56,5 cm

x = = = 9,12 cm

MRb = Mcap = bg * x * Rc * = 30*9,12*125* = 1776348 daN*cm

Mdb,i = γRd * MRd,i = 1,2 * 1776348 = 2131618 daN*cm

Tmax = + 4266 = 11371 daN

Se calculează nivelul maxim de solicitare la forţă tăietoare cu relaţia:

= = = 0,67 0,5 → este necesar calculul la forţă tăietoare

unde:

- - nivelul de solicitare al secţiunii la forţă tăietoare;

- max – forţa tăietoare exterioară maximă;

53

Universitatea Tehnică „Gh. Asachi”, IaşiFacultatea de Construcţii şi Instalaţii

- t – rezistenţa de calcul la întindere a brtonului Rt = 10 daN/cm2

Se determină procentul de armare:

p = *100 = *100 = 0,67%

Se impun etrieri Φ8 din OB 37 cu două ramuri ne=2. Se determină forţa tăietoare preluată de etrieri pe unitatea de lungime:

– coeficient al condiţiilor de lucru;

(OB 37)

Se verifică valoarea lui qe:

valoarea lui qe este determinată corect

Calculul distanţei dintre etrieri:

54

Universitatea Tehnică „Gh. Asachi”, IaşiFacultatea de Construcţii şi Instalaţii

Determinarea distanţei maxime dintre etrieri:

Zonele de la extremitaţile grinzii cu lungimea de măsurate de la faţa stâlpilor se

consideră zone critice (disipative). În aceste zone distanţa dintre etrieri trebuie să satisfacă condiţiile

urmatoare:

= ae

În afara zonelor disipative se aplică prevederile STAS 10107/0-90 privind distanţa minimă între

etrieri;

ae = 200 mm

Calculul procentului de armare transversal:

pe = *100 = *100 = 0,335%

55

Universitatea Tehnică „Gh. Asachi”, IaşiFacultatea de Construcţii şi Instalaţii

2.3. Proiectarea unui planşeu

Proiectarea planşeelor din beton armat:

Plăcile din beton armat sunt elemente de suprafaţă la care una din dimensiuni este mult mai mică

decat celelalte două, iar încărcarea este aplicată pe planul lor. Plăcile se vor arma pe două direcţii.

La plăcile armate pe două direcţii se consideră o fâşie de placă de lungime unitară (uzual 1 m)

pe fiecare din cele două direcţii de calcul.

56

Universitatea Tehnică „Gh. Asachi”, IaşiFacultatea de Construcţii şi Instalaţii

În cadrul schemei statice s-au considerat drept deschideri de calcul distanţele între feţele

grinzilor şi nu distanţele interax. Legăturile plăcilor cu grinzile se vor considera articulate deoarece

grinzile nu pot prelua în mod eficient torsiunea.

lox = lx – bg = 6 - 0,6 = 5,4 m

loy = ly – bg = 4,8 - 0,6 = 4,2 m

gn = gp+gper,desp= 407+30= 437 daN/m

gc = 1,35*gn = 1,35*437= 590 daN/m

pn = 200 daN/m → pc = 1,5*200 = 300 daN/m

q= 890 daN/m

Schemele de calcul:

a) Pentru determinarea momentelor maxime în câmp:

b) Pentru determinarea momentelor maxime în reazem:

57

Universitatea Tehnică „Gh. Asachi”, IaşiFacultatea de Construcţii şi Instalaţii

Stabilirea cantităţilor maxime de armătură

Calculul armăturii se face pentru o fâşie de 1 m, urmând ca armarea sa se repete din metru în metru

până la acoperirea deschiderii plăcii.

Secţiunea longitudinală I-I ∩ secţiunea transversală IV-IV:

a) Armarea în câmp pe direcţie longitudinală:

a=ab+Φ/2= 1+1/2 = 1,5 cm

h0= h – a = 15-1,5 = 13,5 cm

→ 5Φ8 cu Aef= 2,51 cm2

b) Armarea în câmp pe direcţie transversală:

h0= h0x – Φ = 13,5-1=12,5 cm

58

Universitatea Tehnică „Gh. Asachi”, IaşiFacultatea de Construcţii şi Instalaţii

→ 5Φ8 cu Aef= 2,51 cm2

Calculul armăturii în reazem pe direcţie longitudinală:

→ 5Φ10 cu Aef= 3,93 cm2

Calculul armăturii în reazem pe direcţie transversală:

h0= h0x – Φ = 13,5-1=12,5 cm

→ 5Φ10 cu Aef= 3,93 cm2

Secţiunea longitudinală II-II ∩ secţiunea transversală V-V:

a) Armarea în câmp pe direcţie longitudinală:

a=ab+Φ/2= 1+1/2 = 1,5 cm

h0= h – ab – Φ – Φ/2 = 12,5 cm

59

Universitatea Tehnică „Gh. Asachi”, IaşiFacultatea de Construcţii şi Instalaţii

→ 5Φ8 cu Aef= 2,51 cm2

b) Armarea în câmp pe direcţie transversală:

h0 = 13,5 cm

→ 5Φ8 cu Aef= 2,51 cm2

Calculul armăturii în reazem pe direcţie longitudinală:

60

Universitatea Tehnică „Gh. Asachi”, IaşiFacultatea de Construcţii şi Instalaţii

→ 4,5Φ10 cu Aef= 3,53 cm2

Calculul armăturii în reazem pe direcţie transversală:

h0= 13,5 cm

→ 5,5Φ10 cu Aef= 4,32 cm2

61