Embed Size (px)
Citation preview
İÇİNDEKİLER
Dik Koordinat Sistemi ...................................................................................................................... 1
Dik Koordinat Sisteminde Bölgeler .................................................................................................. 2
İki Nokta Arası Uzaklık .................................................................................................................... 3
Orta Nokta ....................................................................................................................................... 4
İki Doğru Parçasını Belli Oranda Bölen Noktanın Koordinatları ...................................................... 5
Analitik Düzlemde Paralelkenar ...................................................................................................... 6
Üçgenin Ağırlık Merkezinin Koordinatları ........................................................................................ 7
Üçgenin Alanı .................................................................................................................................. 8
Tekrar Zamanı ................................................................................................................................. 9
Eğim .............................................................................................................................................. 15
Uygulama Zamanı ......................................................................................................................... 16
İki Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi ......................................................................................... 17
Doğrusallık Şartı ............................................................................................................................ 18
Eğimi ve Geçtiği Noktası Belli Olan Doğru Denklemi .................................................................... 19
Grafiği Verilen Doğru Denklemi ..................................................................................................... 20
Uygulama Zamanı ......................................................................................................................... 21
Genel Doğru Denklemi .................................................................................................................. 22
ax + by + c = 0 Doğrusunun Grafiği ve Eğimi ................................................................................ 23
Uygulama Zamanı ......................................................................................................................... 24
Özel Doğrular ................................................................................................................................ 25
İki Doğrunun Diklik ve Paralellik Şartı ........................................................................................... 26
İki Doğrunun Kesim Noktası .......................................................................................................... 27
Doğrunun Parametrik Denklemi .................................................................................................... 28
Doğru Demeti ................................................................................................................................ 29
İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları .......................................................................................... 30
Bir Noktanın Bir Doğruya Uzaklığı ................................................................................................. 31
Paralel İki Doğru Arasındaki Uzaklık ............................................................................................. 32
Tekrar Zamanı ............................................................................................................................... 33
Bir Noktanın Doğruya En Yakın Noktası ....................................................................................... 39
İki Doğru Arasındaki Açı ................................................................................................................ 40
Açıortay Doğruları ......................................................................................................................... 41
Analitik Düzlemde Dörtgenler-1 ..................................................................................................... 42
Analitik Düzlemde Dörtgenler-2 ..................................................................................................... 43
Bir Noktanın Bir Noktaya Göre Simetriği ....................................................................................... 44
Noktanın Eksenlere ve Orijine Göre Simetriği ............................................................................... 45
Noktanın x = a Doğrusuna Göre Simetriği ..................................................................................... 46
Noktanın y = a Doğrusuna Göre Simetriği ..................................................................................... 47
Noktanın y = x ve y = −x (I. ve II. açıortay) Doğrularına Göre Simetriği ........................................ 48
Noktanın Doğruya Göre Simetriği ................................................................................................. 49
Doğrunun Noktaya Göre Simetriği ................................................................................................ 50
Paralel Doğrularında Simetri ......................................................................................................... 51
Kesişen Doğrularda Simetri ........................................................................................................... 52
Bağıntı Simetrisi ............................................................................................................................ 53
Tekrar Zamanı ............................................................................................................................... 54
Geometrik Yer ............................................................................................................................... 60
⏐AK⏐+⏐BK⏐ İfadesinin En Küçük Olması ..................................................................................... 61
⏐⏐AK⏐−⏐BK⏐⏐ İfadesinin En Büyük Olması ................................................................................. 62
Eksenler ve Doğrular Arasında Kalan Kapalı Bölgenin Alanı ........................................................ 63
Eşitsizlikler-1 ................................................................................................................................. 64
Eşitsizlikler-2 ................................................................................................................................. 65
Eşitsizlikler-3 ................................................................................................................................. 66
Grafik Yorumlama ......................................................................................................................... 67
Tekrar Zamanı ............................................................................................................................... 68
Konu Testleri .......................................................................................................................... 74-113
Geçmiş Yıllarda Çıkmış Sorular .................................................................................................. 114
Düzlem Geometrileri(Öteleme) .................................................................................................... 121
Düzlem Dönüşümleri (Dönme) .................................................................................................... 123
Düzlem Dönüşümleri (Dönme-Öteleme) ..................................................................................... 124
Düzlem Dönüşümleri (Yansıma – Simetri) .................................................................................. 125
Hemoteti ...................................................................................................................................... 126
Pick Teoremi ............................................................................................................................... 127
Fraktalar ...................................................................................................................................... 128
Kaplamalar .................................................................................................................................. 129
Süslemeler .................................................................................................................................. 130
Konu Testi ................................................................................................................................... 131
Konu İle İlgili Çıkmış Sorular ....................................................................................................... 135
1
ANALİTİK GEOMETRİ Dik Koordinat Sistemi
Konu Özeti
Birbirine dik iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme dik koordinat sistemi ve sistemin bulunduğu düzleme ko-ordinat düzlemi ya da analitik düzlem denir. Analitik düzlemde bir nokta A(x, y) ise; x, noktanın apsisi y, noktanın ordinatı A nın koordinatları
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4
1234
-1-2-3-4
y
xx
yy
x
A(x, y)
Apsis
Ordinat
O
O
x (apsis) ekseni, üzerindeki noktaların ordinatları sıfırdır. Yani, (x, 0) noktası, x ekseni üzerindedir.
y (ordinat) ekseni üzerindeki noktaların apsisleri sıfırdır. Yani, (0, y) noktası y ekseni üzerindedir.
O(Orijin) başlangıç noktasının koordinatları (0,0) dır.
A(−2, 3), B(−1, −2), C(2, −4), D(4, 1) noktalarını analitik düzlemde gösteriniz.
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4
1
2
3
-1
-2
-3
-4
x
B
C
A
y
O
D
A(−4, 3a + 6) noktası, x ekseni üzerinde, B(2b−4, 4) noktası y ekseni üzerinde olduğuna göre, a ++++ b kaçtır?
Çözüm A noktası, x ekseni üzerinde ise, ordinatı sıfırdır. 3a + 6 = 0 ⇒ a = −2 dir. B noktası, y ekseni üzerinde ise, apsisi sıfırdır. 2b − 4 = 0 ⇒ b = 2 dir. a + b = 0 bulunur.
1.
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4
1
2
3
-1
-2
-3
-4
x
C
B
y
A
D
Şekildeki dik koordinat düzleminde verilen A, B, C ve D noktalarının apsisleri toplamı ordinatları toplamından kaç fazladır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
2. A(−3a + 9, 5) noktası y ekseni üzerinde olduğuna
göre, a kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
3. A(4, 3a − 15) noktası, x ekseni üzerindedir. Buna göre, B(a ++++ 4, a −−−− 6) noktasının koordinat-ları toplamı kaçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4
4. A(1, −2a + 4) noktası, x ekseni üzerinde, B(−3, 4b − 12) noktası y ekseni üzerinde olduğuna göre, a ++++ b toplamı kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
5. A(−3a−3, b + 4) noktası hem x hem de y ekseni üzerinde ise, a ++++ b toplamı kaçtır? A) −1 B) −2 C) −3 D) −4 E) −5
1. 2.C 3.A 4.B 5.E1.D
2
Dik Koordinat Sisteminde Bölgeler ANALİTİK GEOMETRİ
Konu Özeti
Koordinat sistemi düzlemi dört bölgeye ayırır.
x
y
II. Bölge I. Bölge
III. Bölge IV. Bölge
x < 0y > 0
x > 0y > 0
x < 0y < 0
x > 0y < 0
O
A(a, b) noktasının
x eksenine olan uzaklığı b br dir. y eksenine olan uzaklığı a br dir. Eksenlere olan uzaklıkları toplamı ise a + b br dir.
A(5, a + 2) noktasının x eksenine olan uzaklığı 4 br oldu-ğuna göre, a’nın alaca ğı değerler toplamı kaçtır?
Çözüm a + 2 = 4 ⇒ a = 2 a + 2 = 4 a + 2 = −4 ⇒ a = −6 O halde, −6 + 2 = −4 bulunur.
A(−a, b) noktası analitik düzleminin II. bölgesinde ise, B(a, −−−−b) noktası hangi bölgededir?
Çözüm ( )� �
A a, b
− +
−
noktası II. bölgede ise, a > 0 ve b > 0 dır.
O halde, ( )� �
B a, b
+ −
− olduğundan B noktası IV. bölgededir.
A(−4, a − 2) ve B(b + 2, 3) noktaları aynı bölgede ise C(a, b) noktası hangi bölgededir?
Çözüm A ve B noktaları aynı bölgede ise, apsislerinin ve ordinat-larının işaretleri aynı olmalıdır. Yani; b + 2 < 0 ve a − 2 > 0 b < −2 a > 2
( )� �
C a, b
+ −
−
olduğuna göre, C noktası IV. bölgededir.
A(a + 2, a − 3) noktası IV. bölgede ise, a hangi aralıkta olmalıdır?
Çözüm a + 2 > 0 ⇒ a > −2 a − 3 < 0 ⇒ a < 3 Buradan −2 < a < 3 aralığındadır.
1. A(a − 3, 3) noktasının y eksenine olan uzaklığı 4 br
ise, a’nın alaca ğı değerler toplamı kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
2. A(a, −b) noktası analitik düzlemin IV. bölgesinde bulunduğuna göre, (a, b) ikilisi a şağıdakilerden hangisi olabilir? A) (1, −4) B) (−2, −3) C) (0, −4) D) (4, 2) E) (−5, 1)
3. A(a, −2b) noktası analitik düzlemde III. bölgede olduğuna göre, B(−−−−2a, b) noktası hangi bölgede-dir? A) I B) II C) III D) IV E) Orijinde
4.
x
y
III
IVIIIO
Şekilde analitik düzlem eksenleri içine almayan dört bölgeye ayrılmıştır. K(m − 6, 2 − 2m) noktası III. bölgede olduğuna gö-re, m yerine yazılabilecek tamsayıların toplamı kaçtır? A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16
5. A(a, b) noktası analitik düzlemin II. bölgesindedir. Buna göre, a şağıdaki noktalardan hangisi anali-tik düzlemin daima III. bölgesindedir? A) (a . b, −a−b) B) (a − b, a . b) C) (b − a, a + b) D) (a + b, a . b) E) (−a + b, −a . b)
1. 2.D 3.A 4.C 5.B1.B
3
ANALİTİK GEOMETRİ İki Nokta Arası Uzaklık
Konu Özeti
x
y
x2-x1
B(x2, y2)
y2−y1A(x1, y1)
y2
y1
O x1 x2 A(x1, y1) ve B(x2, y2) için [AB] doğru parçasının AB
uzunluğuna A ve B noktaları arasındaki uzaklık denir. ABC dik üçgeninde pisagor teoreminden,
2 2 2AB AC BC= + buradan
( ) ( )2 22 1 2 1AB x x y y= − + − bulunur.
A(−−−−2, 8) ve B(3, −−−−4) noktaları arasındaki uzaklık kaç br’dir?
Çözüm
( ) ( )2 2AB 2 3 8 4= − − + +
25 144 13= + = br
A(2, 1) ve B(4, k) noktaları arasındaki uzaklık 2 5 br
olduğuna göre, k∈∈∈∈R++++ kaçtır?
Çözüm
( ) ( )2 2AB 2 4 1 k 2 5= − + − = (Her iki tarafın karesi
alınırsa)
⇒ 4 + (1 − k)2 = 20 1 −k = 4 ⇒ k = −3
⇒ (1 − k)2 = 16 1 − k = −4 ⇒ k = 5
k ∈ R++++ olduğundan, k = 5 dir.
x ekseni üzerinde olan A(2, −−−−3) ve B(−−−−4, −−−−2) noktala-rına eşit uzaklıkta bulunan noktanın apsisi kaçtır?
Çözüm x ekseni üzerinde olan nokta C(a, 0) noktası olsun.
AC=BC ise, ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 a 3 4 a 2− + − = − − + −
dir.
24 4a a− + 29 16 8a a+ = + + 4+
13 4a 20 8a− = + ⇒ 7 12a− = ⇒ 7
a12
= − bulunur.
1. A(2, 5) ve B( −−−−4, −−−−3) noktaları arasındaki uzaklık
kaç br dir? A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8
2. A(4, 2) ve B( −−−−4, 2) noktaları arasındaki uzaklık kaç br dir? A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6
3. A(14, 2) ve B(−1, a) noktaları arasındaki uzaklık 17
br olduğuna göre, a ∈∈∈∈ R−−−− kaçtır? A) −10 B) −9 C) −8 D) −7 E) −6
4. A(−−−−1, 2) ve B(2, 6) ve C( −−−−1, 6) noktalarının tanım-ladığı üçgenin çevresi kaç br dir? A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8
5. A(−−−−3, 0) ve B(4, −−−−3) noktalarının orijine olan uzak-lıkları toplamı kaçtır? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5
6. x ==== 1 doğrusu üzerinde bulunan A( −−−−3, 2) ve B(3, 1) noktalarına e şit uzaklıkta olan noktanın ordinatı kaçtır?
A) 152
B) 8 C) 172
D) 9 E) 192
1.C 2.C 3.E 4.A 5.B 6.A
4
Orta Nokta ANALİTİK GEOMETRİ
Konu Özeti
y1
y0
y2
B(x2y
2)
C(x0y
0)
A(x1y
1)
x2
x0
x1
O
y
x
[AB] doğru parçasının orta noktası C(x0, y0)
A(x1, y1) ve B(x2, y2) iken, 1 2 1 2x x y yC ,
2 2+ +
olur.
A(1, 4), B(5, 6) noktaları veriliyor. A ve B nin orta nokta-sı C(x, y) olduğuna göre, x −−−− y kaçtır?
Çözüm A(1,4) C(x, y) B(5, 6)
1 5
x 32+= =
Buradan, x − y = −2 bulunur. 4 6
y 52+= =
A(4, a) ve B(b, 9) noktalarının orta noktası C(−2, 3) olduğuna göre, a ++++ b kaçtır?
Çözüm A(4,a) C(−2, 3) B(b, 9)
4 b2 4 4 b b 8
2+− = ⇒ − = + ⇒ = −
a 9
3 6 a 9 a 32+= ⇒ = + ⇒ = −
a + b = −11 bulunur.
Köşeleri A(2, 3), B(−1, 3) ve C(3, 1) olan ABC üçgeninde [[[[BC]]]] kenarına ait kenarortayın uzunlu ğu kaç br’dir?
Çözüm [BC] kenarının orta noktası D ise
1 3 3 1D ,
2 2− + +
D(1,2) bulunur. Buradan;
A(2,3)
B(−1, 3) C(3, 1)D
Va
AD=Va= ( ) ( )2 22 1 3 2− + −
aV 1 1 2= + = br dir.
1. A(−3, 4) ve B(−1, 12) noktaları veriliyor.
A ve B noktalarının orta noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir? A) (−2, 6) B) (−2, 8) C) (2, −8) D) (2, 8) E) (−2, 4)
2. A(4, a) ve B(b, −8) noktaların orta noktası
C(3, 1) olduğuna göre, a ++++b kaçtır? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
3. A(4, −−−−6), B(2, 10) olmak üzere, [[[[AB ]]]] doğru par-çasını çap kabul eden çemberin merkezinin ko-ordinatları a şağıdakilerden hangisidir? A) (6, 4) B) (2, 3) C) (−3, −2) D) (−2, 3) E) (3, 2)
4. A(4, k2 − 4k) ve B(m, 2k − 8) noktaları veriliyor. [AB] nin orta noktası, x ekseni üzerinde olduğuna göre, k nın alaca ğı pozitif de ğer kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
5. A(−2, 4) , B(4, 8) ve C(6, 2) noktalarının tanımla-dığı üçgende [AB] kenarına ait kenarortayın uzun-luğu kaç br dir?
A) 41 B) 2 10 C) 6
D) 4 2 E) 2 7
6. A(−8, 5) ve B(2, 3) noktaları veriliyor. [[[[AB ]]]] doğru parçasının orta noktasının orijine uzaklığı kaç br’dir? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1
1.B 2.C 3.E 4.D 5.A 6.A
5
ANALİTİK GEOMETRİ Noktanın Koordinatlarıİki Doğru Parçasını Belli Oranda Bölen
Konu Özeti
Bu tip soruların çözümünde koordinatlar arasındaki deği-şim orantısal olarak aktarılır. Bunu örnekle açıklayalım.
A(−1,11) C(3, 9) B
Yukarıdaki şekilde, AC = 2BC olduğuna göre, B noktasının koordinatları nedir?
Çözüm
A(−1,11) C(3, 9) B
4 artmış
2 azalmış
2k k A ve C’nin apsislerinde 2k’da 4 artış var. (−1’den 3’e) k’da 2 artar. Yani, C den B ye, B noktasının apsisi 2 + 3 = 5 olur. A ve C’nin ordinatlarında; 2k’da 2 azalma var ve k da 1 azalır. Yani, C den B ye B nin ordinatı 9 − 1 = 8 olur. O halde, B(5, 8) bulunur.
A(−2, 10), B(4, 1) olmak üzere, [AB] üzerinde alınan C ve D noktaları için AC=CD=DB olduğuna göre, D noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
Çözüm
A(−2,10) D B(4,1)C
6 artmış
9 azalmış
k k k A ve B nin apsislerinde 3k da 6 artış var. (−2 den 4’e) 2k’da 4 artar. Yani, D nin apsisi −2 + 4 = 2 olur. A ve B nin ordinatlarında 3k da 9 azalma var. (10 dan 1’e) 2k da 6 azalır. Yani, D nin ordinatı 10 − 6 = 4 olur. D(2, 4) olduğundan, koordinatlar toplamı 2 + 4 = 6 bulu-nur.
1. A(−2, 4) ve B(6, 0) ve C, [AB] üzerinde bir nokta
olmak üzere, AC 1BC 3
= olduğuna göre, C noktası-
nın koordinatları a şağıdakilerden hangisidir? A) (3, 0) B) (0, 3) C) (2, 3) D) (2, 2) E) (0, −3)
2. A(−6,1) B C(4, −14)
Yukarıdaki şekilde, A(−6, 1), C(4, −14) ve 2AB=3BC olduğuna göre, B noktasının koor-dinatları a şağıdakilerden hangisidir? A) (−2, −8) B) (2, −8) C) (1, −6) D) (0, 8) E) (0, −8)
3. A(3, 2), B(4, 5) ve 2AB=BC dir. B noktası A ve C noktasının arasında olduğuna gö-re, C(x, y) noktasının koordinatları a şağıdakiler-den hangisidir? A) (5, 8) B) (5, 9) C) (6, 11) D) (6, 12) E) (11, 6)
4.
E
B(−6, 4)
A(4, −6) DC(12, 7)
Yukarıdaki şekilde, 3AE=2BE ve DE=2DC olduğuna göre, D noktasının koordinatları topla-mı kaçtır? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13
1. 2.E 3.C 4.D1.B
6
Analitik Düzlemde Paralelkenar ANALİTİK GEOMETRİ
Konu Özeti
D(x4, y
4) C(x
3, y
3)
A(x1, y
1) B(x
2, y
2)
O
Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortalar. O noktası, [AC] ve [BD] nin orta noktası olduğundan, karşılıklı kö-şeleri apsisleri ve ordinatları toplamı eşittir. Yani, x1 + x3 = x2 + x4
y1 + y3 = y2 + y4 dir.
Aynı durum, özel paralelkenar olan dikdörtgen, kare ve
eşkenardörtgen için de geçerlidir.
D(-3, 6) C(4, 8)
A(a, b) B(2, 3) Şekildeki ABCD paralelkenarında A noktasının ko-ordinatları toplamı kaçtır?
Çözüm Karşılıklı köşeleri koordinatları eşit olduğundan; A + C = B + D (Köşelerin koordinatları toplamı)
−3 + 2 = a + 4 6 + 3 = 8 + b
(Apsisler toplamı) (Ordinatları toplamı)
−1 = a + 4 ⇒ a = −5 9 = 8 + b ⇒ b = 1
a + b = −5 + 1 = −4 bulunur.
1. ABCD paralelkenarında köşelerinin koordinatları
A(2, −1), B(4, 3), C(1, 5) ve D(a, b) dir. Buna göre, D noktasının koordinatları toplamı kaçtır? A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0
2. D(−1, 2) C(m, 2)
A(−4, 3) B(7, k) Yukarıdaki şekilde ABCD paralelkenarının köşeleri-nin koordinatları verilmiştir. Buna göre, k ++++ m toplamı kaçtır? A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9
3. A(−2, 5) B(4, 6)
D(a, b) C(3, 3) Şekildeki ABCD paralelkenarında uzun kö şegen uzunlu ğu kaç birimdir?
A) 65 B) 8 C) 2 15
D) 5 2 E) 4 3
4.
A(−2, 6) D
B C(7, –3)
F
E
Şekilde, ABCD paralelkenar, AE=ED, A(−2, 6), C(7, −3) olduğuna göre, F noktasının ko-ordinatları toplamı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
1. 2.A 3.A 4.B1.E
7
ANALİTİK GEOMETRİ Üçgenin A ğırlık Merkezinin Koordinatları
Konu Özeti
A(x1,y
1)
B(x2,y
2) C(x
3,y
3)
k
2k
D
G(xo, yo)
G (x0, y0) ağırlık merkezi,
1 2 30
x x xx
3+ +=
1 2 30
y y yy
3+ += dir.
Köşelerinin koordinatları A(3, 4), B(−5, 0) ve C(5, −1) olan ABC üçgeninin a ğırlık merkezinin koordinatları nedir?
Çözüm ABC üçgeninin ağırlık merkezinin koordinatları G(x0, y0) olsun.
03 5 5
x 13
− += =
04 0 1
y 13
+ −= =
Yani, G (1, 1) bulunur.
1. Köşelerinin koordinatları A(−6, 4), B(−3, 6) ve
C(−9, 2) olan ABC üçgeninin a ğırlık merkezinin koordinatları a şağıdakilerden hangisidir? A) (−4, 6) B) (6, −4) C) (−6, 3) D) (−6, 4) E) (4, −6)
2. A(10, 6)
B(2, −8) C(3, −1)
G
Şekildeki ABC üçgeninde A(10, 6), B(2, −8), C(3, −1) ve ağırlık merkezi G’dir. Buna göre, AG kaç birimdir?
A) 74 B) 6 2 C) 8
D) 2 15 E) 4 3
3. A(−2, 5)
B(3, 6) C
G(-2, 1)
Şekildeki ABC üçgeninde A(−2, 5), B(3, 6) ve ağırlık merkezi G(−2, 1) dir. Buna göre, C noktasının koordinatları toplamı kaçtır? A) −17 B) −16 C) −15 D) −14 E) −13
4. Köşeleri A(−3, 5), B(4, −9) ve C olan ABC üçgeni-nin ağırlık merkezi G(1, −2) dir. C noktası 3x ++++ ky ++++ 4 ==== 0 doğrusu üzerinde ol-duğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
1. 2.A 3.C 4.E1.D
8
Üçgenin Alanı ANALİTİK GEOMETRİ
Konu Özeti
A(x1,y
1)
B(x2,y
2) C(x
3,y
3)
x1 y1
x2 y2
x3 y3
x1 y1
A(ABC) =12−
−
−
+
+
+
( ) ( )1 2 2 3 3 1 2 1 3 2 1 31
A ABC x y x y x y x y x y x y2
= + + − + +
A(ABC) = 0 ise, A, B ve C noktaları doğrusaldır.
Köşelerinin koordinatları A( −−−−2, 3), B(4, 1) ve C(0, 6)
olan ABC üçgeninin alanı kaç br 2 dir?
Çözüm −2 3
4 1
0 6
−2 3
A(ABC) =12
12
0
−12
−2
24
0+
0
+
22
( ) 21A ABC 22 0 11br
2= − = olur.
Taban ve yükseklik uzunlukları kolayca belirlenen üçgenlerde determinant uygulamaya gerek kalmaz.
1. Köşelerinin koordinatları A(0, −2), B(−2, 4) ve
C(2, 6) olan ABC üçgeninin alanı kaç br 2 dir? A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16
2. y
x
A(5, 3)
B(2, 5)
O Şekildeki dik koordinat sisteminde AOB üçge-ninin alanı kaç br 2 dir?
A) 10 B) 192
C) 9 D) 172
E) 8
3. Köşeleri A( −−−−2, 7), B(3, 1) ve C(2, 0) olan üçgenin alanı kaç br 2 dir?
A) 32
B) 72
C) 5 D) 9 E) 112
4. Ardı şık iki kenarı A( −−−−3, 6) ve B( −−−−6, 2) olan ABC eşkenar üçgeninin alanı kaç br 2 dir?
A) 6 3 B) 25 3
4 C)
13 32
D) 27 3
2 E) 7 3
5. Analitik düzlem-de OKLM dört-geni veriliyor. K(8,0) L(4,2) M(0,4)
y
xO
M(0,4)
L(4,2)
K(8,0)
Şekilde verilenlere göre, A(OKLM) kaç br 2 dir? A) 24 B) 22 C) 20 D) 18 E) 16
1. 2.B 3.E 4.B 5.E1.C
41
ANALİTİK GEOMETRİ Açıortay Do ğruları
Konu Özeti
d1
d2
a1x+ b1y+c1=0
a2x+ b2y+c2=0 d1 ve d2 verilen doğruların açıortayı olmak üzere
d1, d2 … 1 1 1 2 2 22 2 2 21 1 2 2
a x b y c a x b y c
a b a b
+ + + +=+ +
∓
2x − y + 7 = 0 4x + 2y + 1 = 0 doğrularının oluşturduğu açının açıortay denklemlerini bulunuz.
Çözüm ( )
( )( )
2 2 22
2x y 7 4x 2y 1
4 22 1
− + + +=
++ −∓
2x y 7 4x 2y 1
5 2 5
− + + + = ∓
2x y 7
5
− + 4x 2y 1
2 5
+ += 2x y 7
5
− + 4x 2y 1
2 5
+ += −
4x 2y 14 4x− + = 2y 1+ + 4x 2y 14 4x 2y 1− + = − − −
13
y4
= 15
x8
= −
x 2 2y 3 0− + =
3x 4y 2 0− + = doğrularının olu şturdu ğu açının açıortay denklemle-rinin Ox eksenini kesti ği noktaların apsisleri toplamı kaçtır?
Çözüm
( )( )
( )( )2 222
x 2 2y 3 3x 4y 2
3 41 2 2
− + − +=
+ −+ −∓
x 2 2y 3 3x 4y 23 5
− + − + = ∓ ifadesinden iki denklem çıkar
I. x 2 2y 3 3x 4y 2
3 5− + − +=
II. x 2 2y 3 3x 4y 2
3 5− + − + = −
(I) (II)
5x 10 2y 15 9x 12y 6− + = − + 5x 10 2y 15 9x 12y 6− + = − + − Ox eksenini kestiği Ox eksenini kestiği noktayı bulmak için noktayı bulmak için y=0 verelim. y = 0 verelim. 5x + 15 = 9x + 6 5x + 15 = −9x − 6 9 = 4x 14x = −21 9
x4
= 3
x2
= −
Apsisleri toplamı = 9 3 34 2 4
− = bulunur.
NOT : Kesişen iki doğruya eşit uzaklıkta bulunan noktala-rın geometrik yeri bu iki doğrunun oluşturduğu açının açıortay doğrusudur.
1. 3x + 4y + 4 = 0 ve 4x − 3y − 7 = 0
doğrularının açıortay denklemlerinden biri a şa-ğıdakilerden hangisidir? A) x + 7y + 7 = 0 B) x − 7y − 11 = 0 C) 7x − y − 3 = 0 D) x + 7y − 13 = 0 E) x − 7y − 13 = 0
2. 3x − 2y + 1 = 0 ve 2x − 3y + 3 = 0 doğrularının açıortay denklemlerinden biri a şa-ğıdakilerden hangisidir? A) 5x − 5y + 4 = 0 B) x − 5y + 7 = 0 C) x + 5y + 3 = 0 D) 5x + y + 1 = 0 E) 5x + y + 4 = 0
3. 3x + 4y + 2 = 0, 8x + 6y − 6 = 0 doğrularına e şit uzaklıktaki noktaların geomet-rik yerinin denklemi a şağıdakilerden hangisidir? A) 6x + 8y − 1 = 0 B) 12x − 16y − 5 = 0 C) 7x + 7y −1 = 0 D) x + y + 5 = 0 E) x − y + 5 = 0
4. (−2, 0) noktasında kesişen 2x −−−− y ++++ k ==== 0 ve x −−−− 2y ++++ m ==== 0 doğrularının açıortay denklemle-rinden biri a şağıdakilerden hangisidir? A) x + y + 2 = 0 B) x − y − 3 = 0 C) 3x − y + 2 = 0 D) 3x + y + 1 = 0 E) x + y − 2 = 0
1. 2.A 3.C 4.A1.B
42
Analitik Düzlemde Dörtgenler-1 ANALİTİK GEOMETRİ
Konu Özeti
Bu tip soruların çözümünde köşe koordinatları ve üzerin-de bulunduğu doğrunun denklemi sağlamasından fayda-lanılır.
A
BC
O
y
x
Şekilde, d doğrusunun
denklemi x y
14 4
+ = dir.
Buna göre, OABC dikdörtgeninin çevre-si kaç br’dir?
Çözüm
A
B(a, b)C
O
y
x
b
a
4
4
d
B noktası, d doğrusu-nun üzerinde olduğun-dan, d doğrusunu sağ-lar. x y a b
1 14 4 4 4
+ = ⇒ + =
⇒ a + b = 4 bulunur. Ç(OABC) =
( )4
2 a b 8br dir+ = ⋅���
A
B C
O
6
x
y
-4
d
Şekilde, d doğrusunun grafiği verilmiştir. AO=3OC olduğuna göre, OABC dikdört-geninin çevresi kaç br’dir?
Çözüm
A
C
O
6
x
y
-4
k
3k
d
d doğrusunun denklemi; x y
1 3x 2y 12 dir4 6
(3) (2)
+ = ⇒ − + = ⋅−
B noktası, II. bölgede oldu-ğundan, B(−3k, k) dır. B noktası, d doğrusu üzerinde olduğundan, doğruyu sağlar.
( ) 123 3k 2 k 12 k
11− − + ⋅ = ⇒ =
A B
CD
k =12
11
3k =36
11
( ) 12 36Ç OABC 2
11 11 = ⋅ +
96br olur
11= ⋅
1.
A
BC
O
y
x
6
4
Şekildeki OABC karesinin B köşesi, d doğrusunun üze-rinde olduğuna göre, B noktasının apsisi kaçtır?
A) 125
B) 245
C) 265
D) 285
E) 6
2.
A
BC
O
y
x
d : x + 2y − 12 = 0
Şekildeki analitik düzlemde d : x + 2y − 12 = 0 ve OABC karedir. Buna göre,
A(OABC) kaç br 2 dir?
A) 12 B) 16 C) 20 D) 24 E) 32
3.
y
x
d=y=4x
D C
BAO
Şekildeki analitik düzlemde ABCD karesinin D köşesi y = 4x doğrusu üzerindedir. Buna göre, C nok-tasının koordinat-ları aşağıdakiler-den hangisi olabi-lir?
A) (15, 12) B) (12, 12) C) (12, 15) D) (18, 15) E) (15, 18)
4.
y
x
d
D C(10,2)
BAO E
–6F
Şekildeki analitik düzlemde ABCD kare, C(10, 2), F(0, −6) olduğuna göre, AE kaç br dir?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
1. 2.B 3.A 4.A1.A
43
ANALİTİK GEOMETRİ Analitik Düzlemde Dörtgenler-2
Konu Özeti
Bu tip soruların çözümünde üçgen benzerliği, pisagor, öklit gibi geometri bilgilerinden faydalanılır.
y
x
D(0, 5)
C
B
A(3, 0)O ABCD karesinde A(3, 0), D(0, 5) olduğuna göre, B ve D noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm y
x
D(0, 5)
C
B
A(3, 0)
αθα θ
3
E
5
3 5
DOA ve AEB üçgenleri eş üçgenlerdir. Dolayısıyla, B(8, 3) bulunur.
y
x
C(–6, 4)
B
A
O
Dik koordinat sistemin-de OABC dikdörtgen C(−6, 4) olduğuna göre, A noktasının koordi-natları toplamı kaçtır?
Çözüm y
x
C(–6, 4)
B
A
O
θ
αθ a=9
H
49
α
6
6 K
OCB∆
de öklit alırsak,
62 = a . 4 ⇒ a = 9 bulunur. Buradan, CHB ile OKA eş üçgenler olduğun-dan, A(6, 9) bulunur. Dolayısıyla, A noktası-nın koordinatları topla-mı 6 + 9 = 15’dir.
1.
y
x
D(x, y)
C
B(0, 12)
A(–5, 0) O
Dik koordinat düzlemi üzerinde şekildeki gibi ABCD karesi yerleştirilmiştir. Buna göre, D noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
A) −12 B) −7 C) −5 D) 5 E) 7
2.
y
x
A
D
C
B(4, 0)O
ABCD bir kare,
A(ABCD) = 25 br2, B(4, 0) Yukarıda verilenle-re göre, OC doğ-rusunun e ğimi kaçtır?
A) 74
− B) 47
− C) 37
D) 47
E) 74
3.
y
x
D
C
B
AO
Şekildeki ABCD karesinde A(4, 0) ve D(0, 2) dir. Karenin köşe-genlerinin kesim noktasından geçen doğrular-dan birinin denk-lemi ax + by − 15 = 0 olduğuna göre, a ++++ b kaçtır?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
4.
y
xD
C
B
A
O
E
Şekilde ABCD dikdörtgen, B(−6, k), 2AE=EC dir. Buna göre,
A(ABCD) kaç br2 dir?
A) 27 2 B) 32 2 C) 36 2
D) 48 2 E) 54 2
1. 2.D 3.B 4.E1.A
44
Bir Noktanın Bir Noktaya Göre Simetri ği ANALİTİK GEOMETRİ
Konu Özeti
A(x1,y
1) B(a, b) C(x
2,y
2)
A(x1, y1) noktasının B(a, b) noktasına göre simetriği
A’nın B’ye olan uzaklığı kadar ötelenmesidir. Yani, B noktası, [AC] nin orta noktasıdır.
( ) 1 2 1 2x x y yB a,b B ,
2 2+ + =
1 2x xa
2+= , 1 2y y
b2+=
1 22a x x− = , 2b − y1 = y2
O halde, A(x1, y1) noktasının B(a, b) noktasına göre
simetriği, C(2a − x1, 2b − y1) dir.
Analitik düzlemde A(2, 5) noktasının B(4, 1) noktasına göre simetriği olan noktayı bulunuz.
Çözüm I. Yol :
A(2, 5) B(4, 1) C(x, y) Orta noktadan;
2 x4 x 6
2+= ⇒ =
5 y1 y 3
2+= ⇒ = −
O halde, C(x, y) = C(6, −3) bulunur. II. Yol :
A(2, 5) B(4, 1) C(x, y)
2 artmış +2 ekle
–4 ekle4 azalmış C(x, y) = C(6, −3) olur.
1. A(4, 10) noktasının B(1, 6) noktasına göre simet-
riği aşağıdakilerden hangisidir? A) (2, −2) B) (−1, 3) C) (−2, 0) D) (−2, 2) E) (−2, 1)
2. A(−4, 3) noktasının B(1, 0) noktasına göre simetriği C(a + 1, b − 2) olduğuna göre, a ++++ b kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
3. A(5, −2) noktasının B(1, k) noktasına göre simetriği x ekseni üzerinde olduğuna göre, k kaçtır? A) −2 B) −1 C) 0 D) 1 E) 2
4. A(1, −3) noktasının B(0, 1) noktasına göre simetriği y + 2x + k = 0 doğrusu üzerinde olduğuna göre, k kaçtır? A) −5 B) −4 C) −3 D) −2 E) −1
5. A(−2, 3) noktasının B(1, 3) noktasına göre simetriği C noktasıdır. Buna göre, C noktasının orijine uzaklı ğı kaç br’dir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
6. A(2, −4) noktasının B(0, 1) noktasına göre simetri-ğinin 3x ++++ 4y ++++ 12 ==== 0 doğrusuna uzaklı ğı kaç br’dir? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
1.D 2.A 3.B 4.C 5.B 6.E
45
ANALİTİK GEOMETRİ Noktanın Eksenlere ve Orijine Göre Simetri ği
Konu Özeti
y
B(–x, y)
C(x, –y)
x
A(x, y)
D(–x, –y)
O
A(x, y) noktasının y eksenine göre simetriği
B(−x, y) dir.
A(x, y) noktasının x eksenine göre simetriği
C(x, −y) dir.
A(x, y) noktasının orijine göre simetriği
D(−x, −y) dir.
A(−4, 2) noktasının y eksenine göre simetriğini bulunuz.
Çözüm A(−4, 2) noktasının y eksenine göre simetriği A′(4, 2) dir.
A(3, 2) noktasının x eksenine göre simetriği B noktasıdır. B nin orijine göre simetriği olan noktayı bulunuz.
Çözüm A( 3, 2) noktasının x eksenine göre simetriği B(3, −2) dir. B(3, −2) noktasının orijine göre simetriği C(−3, 2) bulu-nur.
A(1, 2) noktasının orijine göre simetriği ax + 2y − 6 = 0 doğrusu üzerinde olduğuna göre, a kaçtır?
Çözüm A(1, 2) noktasının orijine göre simetriği B(−1, −2) nokta-sıdır. B(−1, −2) noktası, ax + 2y − 6 = 0 doğrusunu sağlar. O halde; x = −1 ve y = −2 için, −a − 4 − 6 = 0 ⇒ a = −10 bulunur.
1. A(−−−−4, 3) noktasının y eksenine göre simetri ği
aşağıdakilerden hangisidir? A) (− 4, −3) B) (3, − 4) C) (3, 4) D) (4, 2) E) (4, 3)
2. A(−2, 5) noktasının x eksenine göre simetriği B’dir. B’nin orijine göre simetriği C dir. Buna göre, C noktasının koordinatları toplamı kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
3. Analitik düzlemde A(2m, −k) noktasının başlangıç noktasına göre simetriği B(6, −4) olduğuna göre, m . k kaçtır? A) −12 B) −8 C) 6 D) 12 E) 18
4. A(4, 2) noktasının x eksenine göre simetriği B,
y eksenine göre simetriği C olduğuna göre, ABC
üçgeninin alanı kaç br 2 dir? A) 16 B) 18 C) 24 D) 28 E) 32
5. Analitik düzlemde A(a, −4) noktasının orijine göre simetriği olan nokta 2x + 3y − 12 = 0 doğrusu üze-rinde olduğuna göre, a kaçtır? A) −2 B) −1 C) 0 D) 1 E) 2
6. A(−3, 1) noktasının y eksenine göre simetriği B, B nin x eksenine göre simetriği C dir. Buna göre, AC kaç br’dir?
A) 2 7 B) 4 2 C) 6
D) 2 10 E) 4 3
1.E 2.B 3.D 4.A 5.C 6.D
46
Noktanın x = a Do ğrusuna Göre Simetri ği ANALİTİK GEOMETRİ
Konu Özeti
x = a
A(x, y) B(2a –x, y)
A(x, y) noktasının x = a doğrusuna göre simetriği nokta-nın doğruya olan uzaklığı kadar ötelenmesidir. Buna göre, A(x, y) noktasının x = a doğrusuna göre simetriği B(2a −x, y) dir.
A(2, 1) noktasının x = 3 doğrusuna göre simetriğini bulu-nuz.
Çözüm I. Yol : A(2, 1) noktasının x = 3 noktasına göre simetriği olan nokta B(2 . 3 −2, 1) = B(4, 1) dir. II. Yol :
A(2, 1)x = 3
B(4, 1)
Aynen taşı
1 artmış +1 ekle
1. A(−4, 2) noktasının x = −2 doğrusuna göre simetriği
B dır. Buna göre, B a şağıdakilerden hangisidir? A) (0, 2) B) (2, 0) C) (0, 4) D) (1, 2) E) (4, 0)
2. A(k, −3) noktasının x = 4 doğrusuna göre simetriği B(1, m) noktasıdır. Buna göre, m ++++ k kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
3. K(x1, y1) noktasının x + 3 = 0 doğrusuna göre
simetriği M(−5, 4) noktasıdır. Buna göre, y 1 −−−− x1 kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
4. A(−3, 2) noktasının x = −1 doğrusuna göre simetriği B; B nin orijine göre simetriği C dir. Buna göre, C noktasının koordinatları a şağıda-kilerden hangisidir? A) (1, −2) B) (0, 2) C) (−1, 3) D) (−1, −2) E) (−2, 1)
5. K(−4, 1) noktasının x eksenine göre simetriği M, x =−2 doğrusuna göre simetriği N dir. Buna göre, MN kaç br dir?
A) 4 B) 2 5 C) 2 6 D) 5 E) 4 2
6. A(−3, 4) noktasının x = 1 doğrusuna göre simetiği B; B nin (0, 2) noktasına göre simetriği C dir. Buna göre, A ve C den geçen do ğrunun denk-lemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = 2x + 10 B) y = 2x − 4 C) y = 3x − 4 D) y = 3x + 1 E) y = 2x + 8
1.A 2.C 3.E 4.D 5.B 6.A
47
ANALİTİK GEOMETRİ Noktanın y = a Do ğrusuna Göre Simetri ği
Konu Özeti
A(x, y)
y = b
B(x, 2b–y) A(x, y) noktasının y = b doğrusuna göre simetriği, nokta-nın y = b doğrusuna uzaklığı kadar ötelenmesidir. Buna göre, A(x, y) noktasının y = b doğrusuna göre simetriği B(x, 2b − y) noktasıdır.
A(3, 2) noktasının y = 5 doğrusuna göre simetriği olan noktayı bulunuz.
Çözüm I. Yol : A(3, 2) noktasının y = 5 doğrusuna göre simetriği olan nokta, B(3, 2.5 − 2) = B(3, 8) olur. II. Yol :
A(3, 2) y = 5 B(3, 8) dir.
3 artmış +3 ekle
Aynen taşı
1. K(−−−−5, 1) noktasının y ==== 4 doğrusuna göre simet-
riği aşağıdakilerden hangisidir? A) (5, −7) B) (−5, 3) C) (−5, 6) D) (4, 7) E) (−5, 7)
2. A(3, 1) noktasının y = 5 doğrusuna göre simetriği B noktasıdır. B noktasının x eksenine göre simetri ği olan noktanın koordinatları çarpımı kaçtır? A) −30 B) −27 C) −24 D) −21 E) −18
3. P(−2, 4) noktasının y + 2 = 0 doğrusuna göre simet-riği 2x + 3y + k = 0 doğrusu üzerinde olduğuna gö-re, k kaçtır? A) 30 B) 28 C) 26 D) 24 E) 22
4. A(3, −2) noktasının y = 1 doğrusuna göre simetriği B, x = 1 doğrusuna göre simetriği C’dir. Buna göre, BC kaç br’dir?
A) 2 13 B) 4 3 C) 2 10
D) 6 E) 4 2
5. A(−2, 4) noktasının y = 1 doğrusuna göre simetriği B; x = −3 doğrusuna göre simetriği C nok-tasıdır. Buna göre, kö şeleri A, B ve C noktaları olan ABC üçgeninin alanı kaç br 2 dir? A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14
6. Simetri eksenleri x = 1 ve y = 2 doğruları olan dikdörtgenin bir köşesi D(4, 6) noktası olduğuna gö-re, dört kö şesinin koordinatları toplamı kaçtır? A) 8 B) 10 C) 12 D) 16 E) 18
1.E 2.B 3.B 4.A 5.A 6.C
48
Doğrularına Göre Simetri ği ANALİTİK GEOMETRİNoktanın y = x ve y = –x (I. ve II. açıortay)
Konu Özeti
i) y ==== x doğrusuna göre;
x
y
A(x, y)
B(y, x)
y = x
O
A(x, y) nin y = x doğrusuna göre simetriği B(y, x) nok-tasıdır.
ii) y ==== −−−−x doğrusuna göre;
x
y
B(–y, –x)
y= A(x, y)
O
–x
A(x, y) nin y = −x doğrusuna göre simetriği B(−y, −x) noktasıdır.
A(−−−−4, 2) noktasının y ==== x doğrusuna göre simetri ği olan noktanın orijine uzaklı ğı kaç br dir?
Çözüm A(−4, 2) noktasının y = x doğrusuna göre simetriği B(2, −4) dir. B’nin O(0, 0) noktasına uzaklığı ise,
( ) ( )2 2BO 2 0 4 0 20 2 5= − + − − = = dir.
A(3, −5) noktasının y = −x doğrusuna göre simetriği olan noktanın x eksenine olan uzaklığı kaç br dir?
Çözüm A(3, −5) noktasının y = −x doğrusuna göre simetriği B(5, −3) dir. Bu noktanın x eksenine olan uzaklığı ise 3 br olur.
1. A(−3, 2) noktasının y = x doğrusuna göre
simetriği B, B nin y = −x doğrusuna göre simetriği C noktasıdır. Buna göre, C noktasının koordinatları a şağıda-kilerden hangisidir? A) (−2, 3) B) (2, 3) C) (3, −2) D) (−3, 2) E) (−3, −2)
2. A(4, 2k + 1) noktasının y = −x doğrusuna göre simetriği B(−5, m−1) olduğuna göre, m ++++ k kaçtır? A) −1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3
3. A(−1, 3) noktasının I. açıortay doğrusuna göre simetriği B noktasıdır. B noktasının ise orijine göre simetriği C noktasıdır. Buna göre, C noktasının koordinatları toplamı kaçtır? A) −4 B) −3 C) −2 D) −1 E) 0
4. Analitik düzlemde A(−3, −4) noktasının y = −x doğ-rusuna göre simetriği B noktasıdır. B noktasının I. açıortay do ğrusuna göre simet-riği C noktası oldu ğuna göre, AC kaç br’dir? A) 18 B) 15 C) 12 D) 10 E) 8
5. A(−2, k) noktasının y = −x doğrusuna göre simetriği olan B noktası x + 4y = 5 doğrusu üzerinde olduğu-na göre, k aşağıdakilerden hangisine e şittir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
6. A(−2k, k) noktasının y = −x doğrusuna göre simetri-ği B ve B nin orijine göre simetriği C(2, m) tir. Buna göre, k −−−−m kaçtır? A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12
1.C 2.A 3.C 4.D 5.C 6.B
95
9. 2x − y + 5 = 0 x + 2y − 1 = 0 doğrularına e şit uzaklıktaki noktaların geomet-rik yerinin denklemi a şağıdakilerden hangisidir? A) x − 3y + 6 = 0 B) x + 3y + 5 = 0 C) x − 3y + 3 = 0 D) x + 2y + 6 = 0 E) x − 3y − 5 = 0
10. k ∈∈∈∈ R olmak üzere, (2k ++++ 1) x −−−− ky ++++ 1 ==== 0 doğrularının geçti ği sabit noktanın koordinatları a şağıdakilerden hangisi-dir? A) (−1, 2) B) (1, 2) C) (−2, 1) D) (−1, −2) E) (0, −2)
11.
A
Bd
Şekilde d doğrusu üzerinde A(−1, 2) ve B(0, 5) noktalarından geçen bir çember çizilmiştir. Buna göre, A ve B noktalarından ge-çen çemberlerin merkezlerinin geometrik yeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) x − 3y − 5 = 0 B) 3x + y − 10 = 0 C) x + 3y − 10 = 0 D) 2x + 3y − 7 = 0 E) x + 3y − 4 = 0
12. 2t 3
x4+=
3t 1
y3+=
Parametrik denklemi ile tanımlı do ğrunun Ox eksenini kesti ği noktanın apsisi kaçtır?
A) 7
12 B)
23
C) 34
D) 56
E) 1112
13. n bir gerçel sayı olmak üzere, A(n + 2, 3n − 1), B(2n − 1, n + 2) noktaları verili-yor. [[[[AB ]]]] doğru parçasının orta noktasının geomet-rik yeri a şağıdakilerden hangisidir? A) 4x + 3y − 2 = 0 B) 3x + 2y + 3 = 0 C) 8x − 6y − 1 = 0 D) 2x + 3y − 3 = 0 E) 3x − y − 12 = 0
14. m ∈ R olmak üzere, (m + 1)x − (m − 2) y + m + 7 = 0 doğrularının kesi şim noktasından geçen ve y ++++ 2x −−−− 5 ==== 0 doğrusuna dik olan do ğrunun denklemi a şağı-dakilerden hangisidir? A) x − 2y + 7 = 0 B) 2x − y + 9 = 0 C) 2x − y − 1 = 0 D) x − 2y + 5 = 0 E) x − 2y − 1 = 0
15. Kapalı denklemi 4x −−−− 3y ++++ 19 ==== 0 olan do ğrunun parametrik denklemi a şağıdakilerden hangisi-dir? A) x = −3 + 4k B) x = 4 + 3k
y = 3k y = 4k C) x = 3 + 4k D) x = −4 + 3k y = 3k − 2 y = 4k + 1 E) x = 2 + 3k y = 4k − 1
16. m bir parametre olmak üzere, x = m − 3 y = n . m + 2 doğrusunun eğim açısı 60° olduğuna göre, n kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 2 E) 3
1.E 2.D 3.B 4.B 5.A 6.E 7.A 8.C 9.A 10.D 11.C 12.A 13.C 14.E 15.D 16.C
96
Konu Testi-12 Simetri-1
1. A(4, 6) noktasının Oy eksenine göre simetri ği
aşağıdakilerden hangisidir? A) (−6, −4) B) (−4, −6) C) (4, −6) D) (−4, 6) E) (6, −4)
2. M(3, −−−−4) noktasının orijine göre simetri ği aşağı-dakilerden hangisidir? A) (−3, −4) B) (4, 3) C) (−3, 4) D) (−4, 3) E) (3, −4)
3. M(2, 5) noktasının y −−−− 2 ==== 0 doğrusuna göre simetri ği aşağıdakilerden hangisidir? A) (3, −1) B) (2, 0) C) (1, −2) D) (2, −1) E) (−2, 1)
4. A(4, −2) noktasının Ox eksenine göre simetriği B, B noktasının C(0, 3) noktasına göre simetriği D dir. Buna göre, D noktasının koordinatları a şağıda-kilerden hangisidir? A) (0, −4) B) (−4, 4) C) (4, −4) D) (−2, 4) E) (−4, 2)
5. Analitik düzlemde A(7, −−−−2) noktasının II. açıortay
doğrusuna göre simetri ği olan noktaların koor-dinatları a şağıdakilerden hangisidir? A) (7, 1) B) (2, −4) C) (2, −7) D) (2, −5) E) (−2, 7)
6. A(k, m) noktasının x = −4 doğrusuna göre simetriği B(−6, 4) noktasıdır. Buna göre, k ++++m kaçtır? A) −3 B) −2 C) 0 D) 2 E) 4
7. Bir noktanın x− eksenine göre simetriği kendisi ise aşağıdakilerden hangisi kesinlikle do ğrudur? A) Nokta, x− ekseni üzerindedir. B) Nokta y− ekseni üzerindedir. C) Nokta, y = −x doğrusu üzerindedir. D) Nokta, y = x doğrusu üzerindedir. E) Nokta, I. bölgededir.
8. A(−5, 2) noktasının y = 7 doğrusuna göre simetriği B, B noktasının orijine göre simetriği C noktasıdır. Buna göre, A(ABC) kaç br 2 dir? A) 50 B) 52 C) 54 D) 56 E) 58
97
9. A(3, 2) noktasının B(1, 4) noktasına göre simet-
riği olan noktanın koordinatları a şağıdakilerden hangisidir? A) (6, −1) B) (−1, −6) C) (0, 5) D) (−1, 6) E) (2, 6)
10. A(−2, 4) noktasının orijine göre simetriği B, B nin Ox eksenine göre simetriği C dir. Buna göre, A(ABC) kaç br 2 dir? A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16
11. A(4, −2) noktasının x = 0 doğrusuna göre simetriği B, y + 3 = 0 doğrusuna göre simetriği C noktasıdır. Buna göre, B ve C noktalarından geçen do ğru-nun eğimi kaçtır?
A) 43
− B) 34
− C) 14
− D) 12
E) 34
12. Analitik düzlemde A(−4, 6) noktasının x = −2 doğru-suna göre simetriği olan nokta B, y = 3 doğrusuna göre simetriği olan nokta C olduğuna göre, BC uzunlu ğu kaç br dir?
A) 6 B) 3 5 C) 4 3
D) 7 E) 2 13
13. A(−6, 8) noktasının Ox eksenine göre simetriği B,
y − x = 0 doğrusuna göre simetriği C noktasıdır. Buna göre, BC uzunlu ğu kaç br dir?
A) 15 B) 10 2 C) 14
D) 8 2 E) 6 2
14. K(2, −4) noktasının y = −2 doğrusuna göre simetriği 3x + 2y + k = 0 doğrusu üzerindedir. Buna göre, k kaçtır? A) −2 B) −3 C) −4 D) −5 E) −6
15. Dik koordinat sisteminde A(k + 1, 2k) noktasının B(k, 1) noktasına göre simetriği 2x + 3y − 6 = 0 doğrusu üzerinde olduğuna göre, k kaçtır?
A) 32
− B) 12
− C) 12
D) 32
E) 52
16. A(2, 5) noktasının B(m, n) noktasına göre simetriği A′(m + 2, n − 2) noktasıdır. Buna göre, m ++++ n toplamı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
1.D 2.C 3.D 4.B 5.C 6.D 7.A 8.A 9.D 10.E 11.C 12.E 13.B 14.E 15.B 16.E
98
Konu Testi-13 Simetri-2
1. A(4, −3) noktasının y = −x doğrusuna göre simetriği K noktası ve y = x doğrusuna göre simetriği L nok-tasıdır. Buna göre, KL uzunlu ğu kaç birimdir? A) 10 B) 8 C) 6 D) 4 E) 3
2. x −−−− 4 ==== 0 doğrusuna göre simetri ği K(7, 2) olan noktanın apsisi kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
3. 3x ++++ 2y ++++ 3 ==== 0 denklemi ile verilen do ğrunun A(1, 4) noktasına göre simetri ği aşağıdakilerden hangisidir? A) 2x + 3y + 19 = 0 B) 3x + 2y − 22 = 0 C) 3x + 2y − 4 = 0 D) 3x + 2y − 25 = 0 E) 2x + 3y + 5 = 0
4. 5y −−−− 3x −−−− 15 ==== 0 doğrusunun orijine göre simet-riği aşağıdakilerden hangisidir? A) 3x − 5y − 15 = 0 B) 3x + 5y + 10 = 0 C) 3x + 5y + 15 = 0 D) 3x − 5y − 7 = 0 E) 3x + 5y − 10 = 0
5. Dik koordinat sisteminde A(3, −−−−4) noktasının y ==== 2x doğrusuna göre simetri ği aşağıdakiler-den hangisidir? A) (−5, 1) B) (0, 5) C) (−2, −5) D) (−5, 0) E) (−3, −5)
6. Dik koordinat sisteminde A(3, 2) noktasının 3y + 2x + k = 0 doğrusuna göre simetriği kendisi ise k kaçtır? A) −15 B) −14 C) −13 D) −12 E) −11
7. y ==== 2x −−−− 1 doğrusunun y ==== −−−−x doğrusuna göre simetri ğinin denklemi a şağıdakilerden hangisi-dir? A) x − 2y − 1 = 0 B) x + 2y + 1 C) 2x − y − 2 = 0 D) 2x + y − 3 = 0 E) 2x + 3y − 1
8. A(m, n) noktasının y −−−− k ==== 0 doğrusuna göre simetri ği olan noktanın ordinatı a şağıdakilerden hangisidir? A) 2k − n B) 3k − n C) 2k +n D) 2k − 2n E) k − n
99
9. x ++++ y ==== 5 doğrusunun A(1, 1) noktasına göre simetri ği olan do ğrunun denklemi a şağıdakiler-den hangisidir? A) y = x − 1 B) y = x + 1 C) y = −x − 1 D) y = 3 − x E) y = x + 3
10. Dik koordinat sisteminde x y
13 4
− = doğrusunun
A(−−−−1, 2) noktasına göre simetri ği aşağıdakiler-den hangisidir? A) 4x − 3y + 32 = 0 B) 4x + 3y − 8 = 0 C) 4x + 3y + 16 = 0 D) 4x − 3y − 8 = 0 E) 4x + 3y + 32 = 0
11. Analitik düzlemde 3x + 2y + 6 = 0 doğrusunun x eksenine göre simetriği ax + by + c = 0 doğrusu olduğuna göre, a ++++ b ++++ c toplamı a şağıdakilerden hangisi olabilir? A) −5 B) −6 C) −7 D) −8 E) −9
12. 3x + 2y − k = 0 doğrusunun y = x doğrusuna göre simetriği A(−2, −1) noktasından geçtiğine göre, k kaçtır? A) −3 B) −4 C) −5 D) −6 E) −7
13.
y
x-4
-5
d
Şekilde verilen d doğrusunun x eksenine göre simetri ğinin denklemi a şağı-dakilerden hangi-sidir?
A) −5x + 4y − 20 = 0 B) 5x + 4y + 20 = 0 C) 4x − 5y − 20 = 0 E) 5y + 4x + 20 = 0 E) 4x + 5y = 0
14. M(6, 3) , T(3, −2) ve A(k, 0) noktaları veriliyor. MA++++TA toplamının en küçük olması için k kaç olmalıdır?
A) 3 B) 4 C) 215
D) 275
E) 163
15. A(3, 7), B(6, 2), C(x, 0) noktaları veriliyor. CA−−−−CB ifadesinin en büyük olması için x kaç olmalıdır?
A) 365
B) 345
C) 325
D) 285
E) 265
16.
y
x
A(–2, 5)
C
O
B(3, 4)
y = 2
Şekildeki koordinat düzleminde A(−2, 5), B(3, 4) ve y = 2 doğrusu üzerinde hareketli bir C noktası ve-rilmiştir. Buna göre, AC++++BC toplamının en küçük ol-ması için C noktasının apsisi kaç olmalıdır? A) −2 B) −1 C) 0 D) 1 E) 2
1.A 2.B 3.D 4.A 5.D 6.D 7.A 8.A 9.C 10.A 11.C 12.E 13.A 14.C 15.A 16.D
100
Konu Testi-14 Dik Koordinat Sisteminde Eşitsizlik-1
1. x > −−−−2 eşitsizli ğini aşağıdaki taralı bölgelerden hangisiyle gösterilmi ştir? A) y
x
B) y
x
–2
C) y
x–2
D) y
x–2
E) y
x2
–2
OO
O
O O
2. −1 < y ≤ 2 eşitsizli ğini aşağıdaki taralı bölgelerden hangi-siyle gösterilir? A) y
x
–1
2
B) y
x
–1
2
C) y
x
–1
2
D) y
x–1 2
E) y
x2
OO
O
O
–1 O
3. x ≥ 0, y ≤ 0 eşitsizliklerini sa ğlayan noktalar kümesi a şağı-daki grafiklerden hangisidir? A) y
x
B) y
x
C) y
x
D) y
x
E) y
x
O O
O O
O
4. y ≥≥≥≥ 2x −−−− 6 eşitsizli ğini sa ğlayan noktalar kümesi aşağıdaki grafiklerden hangisinde taranmı ştır?
A) y
x–3
6
B) y
x3
C) y
x
–6
3
D) y
x
–6
3
E) y
x–3
O O
OO
O
6
–6
101
5.
y
x–3
2
O
Şekilde taralı bölge-yi ifade eden e şitsiz-lik aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3y − 2x − 6 ≥ 0 B) 3y − 2x − 6 < 0 C) 2x − 3y + 6 < 0 D) 2x + 3y + 6 < 0 E) 3y − 2x − 6 ≤ 0
6.
y
x–4
2
O
3
2
Şekildeki taralı bölgeyi ifade eden eşitsizlik sistemi a şağıda-kilerden hangisi-dir?
A) 3x + 2y ≥ 6 B) 3x + 2y ≤ 6 −x + 2y > 4 −x + 2y > 4 C) 3x − 2y ≤ 6 D) 3x + 2y ≤ 6 x − 2y > 4 −x + 2y ≤ 4 E) 3x + 2y ≤ 12 −x + 2y > 4
7.
y
xO
5
3
Şekilde e şitsizlik sistemi a şağıdaki-lerden hangisi ile ifade edilir?
A) 3x + 5y − 15 > 0 B) 5x + 3y − 15 ≥ 0 C) 5x − 3y − 15 0 D) 5x + 3y − 15 ≤ 0 E) 5x + 3y + 15 ≥ 0
8.
y
xO
4
–2
Şekildeki e şitsiz-lik sistemi a şağı-dakilerden hangi-si ile ifade edilir?
A) 2x − y − 8 ≥ 0 B) x + 2y − 4 < 0 C) x + y + 4 > 0 D) x − 2y + 4 ≤ 0 E) x − 2y − 4 ≤ 0
9. x ++++ y −−−− 4 < 0 eşitsizli ğinin analitik düzlemdeki gösterimi a şa-ğıdakilerden hangisidir? A) y
x
4
B) y
x–4
4
C) y
x4
D) y
x
E) y
x–4 O
O O
O O
–4
4
4 4
4
10.
y
xO
3
–3 –1
Şekildeki reel bölge a şağıdaki eşitsizliklerden hangisi ile ifade edilir?
A) −x + y ≥ 3 B) −x + y ≤ 3 −3x + y ≤ 3 −3x + y ≥ 3 C) −x + y ≤ 3 D) −x + y ≥ 3 −3x + y < 3 −3x + y ≥ 3 E) −x + y > 3 −3x + y < 3
1. 2.A 3.A 4.D 5.B1.D 6.A 7.B 1. 9.C 10.A8.E
102
Konu Testi-15 Dik Koordinat Sisteminde Eşitsizlik-2
1. y ≤ 0, x ≥ −4 eşitsizliklerini sa ğlayan noktalar kümesi a şağı-daki grafiklerden hangisidir? A) y
x
B) y
x
C) y
x
D) y
x
E) y
x
–4
O
O O
O O
–4 –4
4
2. Analitik düzlemde; y − 2 < 0, −3 ≤ x ≤ 0 eşitsizlik sisteminin grafi ği aşağıdakilerden hangisidir? A) y
x
–3
2
B) y
x–3
2
C) y
x2
D) y
x–3
2
E) y
xO
O O
O O
–3
–2
3. x −−−− y −−−− 2 ≤≤≤≤ 0 eşitsizli ğini sa ğlayan bölge a şağı-dakilerden hangisidir? A) y
x
–2
2
B) y
x
–2
2
C) y
x
–2
2
D) y
x
–2
2
E) y
x
–2
2O
O O
O O
4. 2x ++++ y > 4 eşitsizli ğini sa ğlayan bölge a şağıda-kilerden hangisidir? A) y
x2
B) y
x2
C) y
x2
D) y
x2
E) y
x2
O
OO
O O
4 4
44
4
103
5. 2x + 3y < 18, 2x − y − 6 ≥ 0 eşitsizlik sistemini sa ğlayan taralı bölge a şağı-dakilerden hangisidir?
A) y
x3
B) y
x
C) y
x–6
3
D) y
x3
E) y
x–9 3O
OO
O O
6
9
-6
-6
36
9
99
-6
3
9
6 6
6.
y
x–2
O
1
3
3
Şekildeki koordi-nat düzleminde taralı bölgeyi ifade eden e şit-sizlik sistemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x + 3y − 3 ≥ 0 B) x + 3y − 3 < 0 −3x + 2y − 6 > 0 3x − 2y − 6 ≤ 0 C) 3x + y − 3 ≤ 0 D) x + 3y − 3 ≤ 0 −2x + 3y − 6 ≥ 0 −3x + 2y − 6 < 0 E) x + 3y − 3 ≤ 0 −3x + 2y − 6 ≥ 0
7. Analitik düzlemde x < 2 ifadesinin çözüm kümesi a şağıdakilerden han-gisidir? A) y
x–2 2
B) y
x–2 2
C) y
x–2 2
D) y
x–2 2
E) y
x–2 2O
O O
O O
8. Analitik düzlemde; y ≤≤≤≤ x, y ≤≤≤≤ −−−−x −−−− 2 eşitsizlik sisteminin grafi ği aşağıdakilerden hangisidir? A) y
x–2
B) y
x2
C) y
x–2
D) y
x–22
E) y
x
–2
O
O O
O O
–2
2
–2
–2
1.A 2.D 3.C 4.B 5.C 6.D 7.E 8.E
104
Konu Testi-16 Dik Koordinat Sisteminde Eşitsizlik-3
1. x > 2, y ≤ 4 eşitsizlik sistemini sa ğlayan noktalar kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) y
x2
B) y
x
C) y
x2
D) y
x2
E) y
x2O
O O
O O
4
4 4
2
44
2. y − x ≤ 4, y ≥ x eşitsizlik sistemini sa ğlayan noktalar kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) y
x4
B) y
x4
C) y
x–4
4
D) y
x–4
4
E) y
x
–4
4O
O O
O O
44
3. y + x − 2 ≥ 0 , y − x + 1 ≤ 0 eşitsizlik sistemini sa ğlayan noktalar kümesi aşağıdaki grafiklerden hangisidir? A) y
x21
B) y
x
–1
2
C) y
x–2 1
D) y
x
–2
2
E) y
x–2 1
O
O O
O
O
–1
2
1
2
12
11
12
4. x − y + 5 ≤ 0, 2x − 3y + 12 ≥ 0 eşitsizlik sisteminin analitik düzlemdeki göste-rimi a şağıdakilerden hangisidir? A) y
x–6
5
B) y
x
C) y
x
D) y
x
E) y
xO
O O
O O
5
4
–6
5
4
–5
–6 4 –6
5
–6
5
5
–5
45
–54
105
5. 3x − 4y + 12 ≤ 0, y + x ≤ 3 ve x . y ≤ 0 sisteminin olu şturdu ğu noktalar analitik düz-lemin kaçınca bölgesinde bulunur? A) I B) II C) III D) IV E) V
6. 2y − x + 6 ≥ 0 y − 2x + 4 ≤ 0 x . y ≥ 0 eşitsizlik sistemini sa ğlayan noktalar kümesi aşağıdaki grafiklerden hangisinde verilmi ştir? A) y
x
3
B) y
x
–3
C) y
x
–4
2
D) y
x
–4
2
E) y
x–3 2O
OO
O
O4
26
2
6
6–3 6
34
–4
–3
7. 3x − 2y − 6 ≤ 0 y ≤ 0 x ≥ −4
eşitsizli ğinin sa ğladığı bölgenin alanı kaç br 2 dir? A) 15 B) 18 C) 21 D) 24 E) 27
8.
y
x
y = –x
O
Şekildeki grafikte tanımlanan düzlem parçasını sa ğlayan eşitsizlik sistemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y + x ≥ 0 B) y + x ≤ 0 y ≥ 0 x ≤ 0 y ≥ 0 y ≤ 0 C) y + x ≤ 0 D) y + x > 0 y ≤ 0 x ≤ 0 x ≥ 0 y ≤ 0 E) y + x ≤ 0 y ≥ 0 x ≤ 0
9. 2x + 3y − 12 ≤ 0, 3y − 2x − 12 ≤ 0 y ≥ 0
eşitsizli ğini sa ğlayan bölgenin alanı kaç br 2 dir? A) 24 B) 28 C) 32 D) 36 E) 38
10.
y
x
A1
A2
A3
A4
A5
y = –x y = x
x.y < 0 y ≥ x x + y ≥ 0
Koşullarının tümünü sa ğlayan noktalar a şağı-dakilerden hangisidir? A) A1 B) A2 C) A3 D) A4 E) A5
1.E 2.C 3.A 4.C 5.B 6.B 7.E 8.C 9.A 10.C
106
Konu Testi-17 Grafik Yorumlama
1. Bir taksimetrenin açılışı 3 TL, her kilometre için 2 TL yazmaktadır. Buna göre gidilen yol ile taksimetrenin yazaca ğı ücret arasındaki ba ğıntının grafi ği aşağıdakiler-den hangisidir? A)
12345678
1 2 3 Yol (km)
Ücret (TL) B)
12345678
1 2 3 Yol (km)
Ücret (TL)
C)
12345678
1 2 3 Yol (km)
Ücret (TL) D)
12345678
1 2 3 Yol (km)
Ücret (TL)
E)
12345678
1 2 3 Yol (km)
Ücret (TL)
2.
1
5
2 t(Saat)
V(m3)
O
Şekildeki grafik içerisinde bir miktar su bulunan havuza zamanla dolan su miktarını göstermek-tedir. Havuz 15 saatte tama-men doldu ğuna göre, havuzun toplam su kapasitesi kaç m 3 tür?
A) 29 B) 30 C) 31 D) 32 E) 33
3.
2
k
4Yıl
Boy (m)
O 10
6
A
Şekildeki grafikte bir A ağacının boyunun yıllara göre değişimini göster-mektedir. Buna göre, A a ğacı dikildikten 10 yıl sonra boyu kaç m olur?
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
4.
0,5
1,5
4 Elma (kg)
Elma suyu (lt)
O
1
321
Şekildeki grafikte elmanın sıkılmasıyla elde edilen suyun miktarını gösteren fonksiyon verilmiştir. Buna göre, 1 ton elmadan kaç lt elma suyu elde edilebilir?
A) 250 B) 300 C) 400 D) 500 E) 600
5.
16
12
8
4
Kişi sayısı
Memur Đşçi Esnaf Serbestmeslek
Şekildeki sütun grafiğinde bir okul-daki öğrencilerin velilerinin meslekle-re göre dağılımını göstermektedir.
Buna göre, aynı da ğılım bir daire grafi ği ile gös-terilirse serbest meslekte çalı şanları gösteren daire diliminin merkez açısı kaç derecedir? A) 144 B) 150 C) 152 D) 154 E) 156
6.
1 2 3
600
450
300
150
Adet
Zaman(Hafta)
Şekildeki grafikte bir öğrencinin çözdüğü soru sayısının za-mana göre değişi-mini gösteren doğ-rusal fonksiyonun grafiği verilmiştir.
Buna göre, ö ğrencinin 10. haftada çözdü ğü so-ru sayısı kaçtır? A) 1500 B) 1650 C) 1700 D) 1800 E) 2000
107
7.
102030405060708090
100
1 2 3 4 5 6 7 8Süre (Saat)
Yol (km)
Şekildeki grafik, yolculuğu sırasında iki defa dinle-nen bir bisikletlinin aldığı yolun süreye göre değişi-mini göstermektedir. Buna göre, bu bisikletlinin 3. ve 4. saat arasın-daki hızı 5. ve 6. saatler arasındaki hızının kaçta kaçıdır?
A) 23
B) 12
C) 32
D) 53
E) 65
8.
O
Yol (m)
4
80
120
B
A
Zaman (dakika)
Şekildeki grafik, iki koşucunun zamana göre koş-tukları yolu göstermektedir. Buna göre, kaç dakika sonra aralarındaki fark 500 m olur? A) 50 B) 51 C) 52 D) 53 E) 55
9.
Yükseklik (m)
7
123456
1 2 3 4 5 6
I. ağaç
II. ağaç
Yıl Şekildeki grafik, iki ağacın boylarının yıllara göre değişimini göstermektedir. Buna göre, II. a ğaç dikildikten kaç yıl sonra iki ağacın boyları e şit olur? A) 2 B) 3 C) 3,5 D) 4 E) 4,5
10.
123456789
5 10 15 20 25 30Anapara(1000 TL)
Yıllık faiz (1000 TL)
Şekildeki grafik, bir bankanın yıllık vadeli hesaba yıl sonunda ana paraya göre ödediği faiz miktarını göstermektedir. Bu bankaya Çağan 10.000 TL, Altan ise 20.000 TL yatırmıştır. Buna göre, Altan’ın faiz geliri, Ça ğan’ın faiz ge-lirlerinden ne kadar fazladır? A) 1000 B) 2000 C) 3000 D) 4000 E) 5000
11.
Tuz miktarı (kg)
0,1
1
0,20,3
2 3Karışım miktarı (kg)
Şekildeki grafikte, homojen tuz-su karışımının tuz miktarını gösteren fonksiyon grafiği verilmiştir. Buna göre, 80 kg lık bir karı şımda kaç kg tuz vardır? A) 8 B) 10 C) 12 D) 15 E) 16
12.
Satış (TL)
Alış (TL)2O
94
94
A(2 , )
Şekildeki doğrusal grafik bir malın maliyeti ile satış
fiyatı arasındaki bağıntıyı göstermektedir. 9
A 2,4
noktası bu doğru üzerinde olduğuna göre, 27.000 TL’ye satılan bir maldan kaç TL kâr edilir? A) 1500 B) 2000 C) 2500 D) 3000 E) 3600
1.B 2.C 3.C 4.A 5.A 6.B 7.C 8.A 9.A 10.C 11.A 12.D
108
Konu Testi-18 Karma
1. A(a3, a3b) noktası analitik düzlemin III. bölgesinde-dir. Buna göre, K(b a, a −−−− b) noktası analitik düzlemin hangi bölgesindedir? A) I B) II C) III D) IV E) X ekseni üzerinde
2.
xO
yC(6,8)
B(4,0)
Şekilde A(0, 5), B(4, 0) ve C(6, 8) noktaları veriliyor. Buna göre, A(ABC) kaç br 2 dir?
A) 11 B) 12 C) 17 D) 19 E) 21
3. A(−−−−2, 4) ve B(3, 3) noktalarından geçen do ğru-nun Ox eksenini kesti ği noktanın apsisi kaçtır? A) 18 B) 17 C) 16 D) 15 E) 14
4. d1 : 2x + ay + 5 = 0
d2 : bx + 9y − 15 = 0
d1 ve d2 doğrularının en az iki tane ortak noktası
varsa, ab
kaçtır?
A) 12
B) 1 C) 32
D) 6 E) 92
5.
A
CB E(–2, 1)
D(3, –2) F(7, 5)
D, E ve F noktaları ABC üçgeninin kenar-larının orta noktaları olduğuna göre, C köşesinin koordi-natları toplamı kaç-tır?
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10
6.
C
O
y
x
D E(0,4)
A(–4, –5) B(5, –5) Şekildeki koordinat sisteminde ABCD paralelkenar-dır. A(−4, −5), B(5, −5), E (0, −4) olduğuna göre,
A(ABCD) kaç br 2 dir? A) 90 B) 81 C) 72 D) 66 E) 54
7. Analitik düzlemde K(−a, a − 5) noktası x ekseni üzerinde L(b − 3, 3b + 3), y ekseni üzerinde oldu-ğuna göre, K ve L noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? A) 5 B) 13 C) 15 D) 17 E) 26
8. Analitik düzlemde A( −−−−8, 6) noktası ile orijin İ birle ştiren do ğrunun e ğimi kaçtır?
A) 34
− B) 35
− C) 34
D) 32
E) 52
109
9. x 7 y 5
2 3− +=
doğrusunun parametrik denklemi a şağıdakiler-den hangisidir? A) x = 2t + 7 B) x = 3t − 8 C) x = t + 2 y = 3t − 5 y = 2t + 2 y = 2t + 3 D) x = 3t − 4 E) x = t − 2 y = t + 2 y = 3t + 1
10.
C
O
y
xB(2,0)
A(0, 4)
Şekilde A, B ve C doğrusal üç nokta A(0, 4), B(2, 0) ve AB=BC dir. Buna göre, OC kaç br dir?
A) 4 2 B) 6 C) 2 10
D) 2 11 E) 2 13
11. A(−2, 3), B(1, −3) noktalarından geçen doğrunun eğimi ile K(1, 4), L(−2, a) noktalarından geçen doğ-runun eğimi eşit olduğuna göre, a kaçtır? A) −10 B) −6 C) 6 D) 8 E) 10
12. y
x
y = x
O
y = –x
Şekildeki analitik düzlemde taralı bölgeyi ifade eden eşitsizlik a şağıdakilerden hangisidir? A) y ≤ x B) y ≥ x y ≤ −x y ≤ −x x < 0 y < 0 C) y ≥ x D) y ≤ x y > −x y < −x x > 0 x > 0 E) y ≤ x y < −x x > 0
13. x eksenini (5, 0), y eksenini (0, 4) noktalarından kesen do ğrunun denklemi a şağıdakilerden han-gisidir? A) 4x + 5y − 12 = 0 B) 4x + 5y − 20 = 0 C) 4x + 5y + 20 = 0 D) 4x + 5y − 16 = 0 E) 5x + 4y + 14 = 0
14. Aşağıdakilerden hangisi 3x −−−− 5y ++++ 6 ==== 0 ve −−−−6x ++++ 10y −−−− 16 ==== 0 olan iki do ğrudan e şit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yerini gösterir? A) y = −x B) 3x − 5y + 7 = 0 C) 9x − 16y + 6 = 0 D) 3x − 5y + 5 = 0 E) 5x − 3y + 1 = 0
15. A(−2, m), B(0, 2) ve C(3, 0) noktaları doğrudaş olduğuna göre, m aşağıdakilerden hangisidir?
A) 23
B) 53
C) 3 D) 103
E) 5
16. x ++++ y ≤≤≤≤ 4 ifadesinin analitik düzlemdeki göste-rimi a şağıdakilerden hangisidir? A) y
x
B) y
x
C) y
x
D) y
x
E) y
xO
O O
O O
–4
4
–4
4
–4
4
4
–4
4
4
–4
4
–4 4
–4 –4
4
1.D 2.E 3.A 4.A 5.E 6.B 7.B 8.A 9.A 10.A 11.E 12.D 13.B 14.B 15.D 16.B
110
Konu Testi-19 Karma
1. ( )3 3a , a b⋅ noktası II. bölgede olduğuna göre,
aB , a b
b − −
noktası hangi bölgededir?
A) Orijinde B) I C) II D) III E) IV
2. 3mx + 2my + 5 = 0 doğrusunun K(−1, 2) noktasında geçmesi için m kaç olmalıdır? A) −2 B) −3 C) −4 D) −5 E) −6
3. 1x 2 1 y
d :4 3− −= , 2
3 x y 1d :
k 2− +=
doğrularının paralel olması içik k kaç olmalıdır?
A) 3 B) 83
C) 73
D) 2 E) 53
4.
C
D
O
y
xA(–3, 0) B(12, 0)
Şekildeki koordinat düzleminde A(−3, 0), B(12, 0), [AC] ⊥ [CB], 2CD=DB dir. Buna göre, D noktasının koordinatları çarpımı kaçtır? A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18
5. Oy eksenini (0, 4) noktasından kesen ve 3x −−−− 2y −−−− 7 ==== 0 doğrusuna paralel olan do ğrunun denklemi a şağıdakilerden hangisidir? A) 3x − 2y + 8 = 0 B) 3x − 2y − 6 = 0 C) 2x + 3y + 5 = 0 D) 3x − 2y − 10 = 0 E) 2x + 3y + 2 = 0
6. kx + 2y + 5 = 0 ve 4x − 3y − 3 = 0 doğruları paralel olduğuna göre, k kaçtır?
A) 83
− B) 73
− C) −2 D) 53
− E) 43
−
7.
y
xA
C
O
B(2,2)
Şekildeki dik koordinat sisteminde B(2, 2), [BC] ⊥ [BA] olduğuna göre,
A(OABC) kaç br 2 dir?
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10
8. (1, a) noktasının 3x − 4y + 9 = 0 doğrusuna uzaklığı 4 birim olduğuna göre, a nın alabilece ği değerler-den biri a şağıdakilerden hangisidir? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
125
DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ Düzlem Dönü şümleri (Yansıma-Simetri)
Konu Özeti
Dik koordinat düzleminde K(x, y) noktasının; I. x−eksenine göre yansıması K′(x, −y) II. y−eksenine göre yansıması K′(−x, y) III. Orijine göre yansıması K′(−x, −y) IV. x = a doğrusuna göre yansıması K′(2a−x, y) V. y = b doğrusuna göre yansıması K′(x, 2b−y) VI. M(a, b) noktasına göre yansıması K′(2a−x, 2b−y) VII. d : ax + by + c = 0 doğrusuna göre yansıması aşa-
ğıdaki yöntemle bulunabilir.
K(x1, y1)
d : ax + by + c = 0
Hx1+x2
2,
y1+y2
2
K′(x2, y2)
KKd
1M
M′ = − ve K(x1, y1) biliyoruz.
Bir noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi yazılır. Bu denklem, ax + bx + c = 0 denklemi ile ortak çözülür ve
H noktası bulunur.K K
H2
′+ = denkleminden de K′ noktası
bulunur.
A(2, 6) noktasının, I. x−eksenine göre II. y−eksenine göre III. Orijine göre IV. x = 1 doğrusuna göre V. y = 3 doğrusuna göre VI. B(−4, 7) noktasına göre yansımasını (simetriğini)
bulunuz.
Çözüm I. x eksenine göre A′(2, −6) II. y eksenine göre A′(−2, 6) III. Orijine göre A′(−2, −6) IV. x = 1 doğrusuna göre, A′(0, 6) V. y = 3 doğrusuna göre, A′(2, 0) VI. B(−4, 7) noktaya göre A′(−10, 8) NOT : Bu bölüm, analitik geometri konusundaki simetri bölü-münde daha detaylı bir şekilde incelenmiştir. Tekrar için o bölüme bakabilirsiniz.
1. A(2, 4) noktasının B(1, −−−−2) noktasına göre yan-
sıması olan noktanın koordinatları a şağıdakiler-den hangisidir? A) (0, −8) B) (1, 8) C) (−2, −8) D) (0, 4) E) (3, −8)
2. A(3, 4) noktasının y eksenine göre simetriği B’dir. B nin orijine göre simetriği C ise, C nin koordinat-ları toplamı kaçtır? A) −7 B) −1 C) 1 D) 3 E) 7
3. Köşeleri A(2, 5), B(−1, 3) ve C(1, 6) olan ABC üçgeninin y = x doğrusuna göre simetriğinin köşe-lerinin koordinatlarından biri a şağıdakilerden hangisidir? A) (3, −1) B) (−2, 5) C) (−6, −1) D) (−5, −2) E) (−1, 6)
4. A(−2, 1) noktasının x = 1 doğrusuna göre simetriği B, y = −1 doğrusuna göre simetriği C ise BC kaç br dir?
A) 6 B) 6 10 C) 3 5
D) 4 3 E) 2 13
5. A(1, 3) noktasının x ++++ y −−−− 2 ==== 0 doğrusuna göre simetri ği olan nokta a şağıdakilerden hangisi-dir? A) (−1, 3) B) (−1, 1) C) (−1, 0) D) (2, 1) E) (−3, 1)
6. 2x ++++ y ++++ 1 ==== 0 doğrusunun A( −−−−1, 2) noktasına göre simetri ği olan do ğru aşağıdakilerden han-gisidir? A) y + 2x + 2 = 0 B) y − 2x − 4 = 0 C) y − 2x + 3 = 0 D) y + 2x − 1 = 0 E) y + 2x + 3 = 0
1.A 2.B 3.A 4.E 5.B 6.D
126
Hemoteti DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ
Konu Özeti
Bir noktayı merkeze alıp, oranlı şekilde şeklin büyütülüp küçültülmesine şeklin homoteti ği denir. Homotetiğe merkezil benzerlik de denir. Homoteti dönüşümünde uzunluklar değişebilirken, açılar daima aynı kalır. Düzlemde sabit bir M noktası ile herhangi bir P noktası-nın arasındaki uzaklığı belli bir oranda artırarak ya da azaltarak MP doğrusu üzerinde yeni bir P′ noktası elde etme işlemi homoteti dönüşümüdür.
M
P
P′
( )P M k P M′⇒ = + ⋅ −P M
kP M
′ −⇒ =
−
P M
kP M
′ −=−
ifadesindeki k oranı için;
i) k =1 iken şeklin kendisi ii) k > 1 iken şeklin büyütülmüşü iii) 0 < k < 1 iken şeklin küçültülmüşü elde edilir.
Dik koordinat düzleminde P(2, 4) noktasının M(−2, 3) merkezli ve k = 3 orantılı homotetiği bulunuz.
Çözüm P′ = M + k . (P − M) P′ = (−2, 3) + 3 . (2 + 2, 4 − 3) P′ = (−2, 3) + (12, 3) P′ = (10 , 6) bulunur.
Düzlemde A(x, y) noktasının M(−3, 4) merkezli ve k = 4 orantılı homotetiği A′(21, −16) olduğuna göre A(x, y) bulunuz.
Çözüm A′ = M + k (A − M) (21, −16) = (−3, 4) + 4 . (x + 3, y − 4) (21, −16) = (−3, 4) + (4x + 12, 4y − 16) (21, −16) = (4x + 9, 4y − 12) buradan 4x + 9 = 21 ⇒ x = 3 4y − 12 = −16 ⇒ y = −1 dir. Buradan, A(3, −1) bulunur.
1. Dik koordinat düzleminde P(4, 6) noktasının M(2, 3)
merkezli ve k ==== 2 orantılı homoteti ği aşağıdaki-lerden hangisidir? A) (2, 9) B) (6, 8) C) (6, 9) D) (5, 9) E) (6, 7)
2. A(−1, 3), B(2, −1) olmak üzere [AB] doğru parçası-nın 3 oranlı homotetiği [A′B′] doğru parçasıdır. Buna göre, A′′′′B ′′′′ kaç br dir? A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 15
3. P(2, 5) noktasının M(1, 3) noktası merkezli homote-tiğinin P′(4, 9) olması için k oranı kaç olmalıdır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
4.
A(0,8)
B(6, 0)x
y
O
Şekildeki dik koordinat sisteminde A (0,8), B (6, 0) dır. Buna göre, [AB] doğru parçasının O(0, 0) mer-
kezli ve 5
k2
= oranlı
homotetiği [[[[A′′′′B ′′′′]]]] doğru parçasının uzunlu ğu kaç br dir?
A) 25 B) 20 C) 18 D) 15 E) 10
5. A(−1, −3), B(2, 4), C(2, 5) noktalarını köşe kabul eden ABC üçgeninin M(−3, 2) merkezli ve k = 3 oranlı homotetiği olan A′′′′B ′′′′C′′′′ üçgeninin a ğırlık merkezi a şağıdakiler-den hangisidir? A) (6, 2) B) (9, 0) C) (1, 2) D) (9, 2) E) (9, −1)
1. 2.E 3.B 4.A 5.D1.C
127
DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ Pick Teoremi
Konu Özeti
y
x
Yukarıdaki şeklin alanı bulunurken; I : Kapalı bölgedeki nokta sayısı B : Çokgenin sınırlarındaki nokta sayısı hesaplanır.
Bu durumda alan; I1
S B 12
= + − dir.
Yukarıdaki şekle göre I = 15, B = 6
21S 15 6 1 15 3 1 17 br
2= + ⋅ − = + − =
y
x
Şekildeki kapalı bölgenin alanını bulunuz.
Çözüm
I : Kapalı bölgedeki nokta sayısı = 6 B = Çokgenin sınırlarındaki nokta sayısı = 10 O halde alan ;
I1
S B 12
= + −
216 10 1 6 5 1 10 br bulunur
2= + ⋅ − = + − = ⋅
Aşağıda verilen kapalı bölgelerin alanlarını bu-lunuz.
1.
2.
3.
y
x
4.
1.1)10,5 2) 15,5 3) 11,5 4) 19
128
Fraktallar DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ
Konu Özeti
Fraktalar Bir şeklin orantılı olarak küçültülmüş ya da büyütülmüşleri ile elde edilen örüntülere fraktal denir. Fraktalın oluşturulabilmesi için fraktalın başlangıç şeklinin ve motif oluşturma kuralının verilmesi gerekir. Aşağıdaki fraktal örneklerini incelmeyelim:
2. adım1. adımĐlk şekil Yukarıdaki şekilde ilk iki adımı verilen fraktalın 5. adımda kaç tane kare vardır?
Çözüm İlk şekil : 1 tane kare I. adım : 5 tane kare II: adım: 17 tane kare Görüldüğü gibi, ilk üç adımda belirli bir kural vardır. Kuralımız, her adımda bir önceki adımın 3 katının 2 fazlası kare oluşmaktadır. O halde, IV. adım : 3 . 17 + 2 = 53 kare V. adım : 3 . 53 + 2 = 161 kare bulunur.
1.
Başlangıç
1. adım 2. adım 3. adım Yukarıdaki şekilde ilk 3 adımı verilen fraktalın 4. adımı aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C)
D) E)
2.
Đlk şekil
1. adım
2. adım
3. adım Yukarıdaki şekilde ilk üç adımı verilen fraktalın 5. adımda kaç tane do ğru parçası vardır? A) 256 B) 512 C) 800 D) 960 E) 1024
1. 2.E1.E
129
DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ Kaplamalar
Bir düzlemsel bölgenin bir figür kullanılarak boşluk kal-mayacak ve figürler çakışmayacak şekilde dönüşümler (yansıma, dönme, ötelemeli ve ötelemeli yansıma) yar-dımıyla örtülmesine düzgün kaplama denir. Bir düzlemsel bölgenin birden fazla figür kullanılarak boşluk kalmayacak ve figürler çakışmayacak şekilde dönüşümler (yansıma, dönme, öteleme ve ötelemeli yansıma) yardımıyla örtülmesine yarı düzgün kaplama denir.
Düzgün kaplama
Yarı düzgün kaplama
Altın Üçgen ile Kaplama Altın Oran : Doğada sayısız canlı ve cansız varlıkların şekillerinde veya yapısında bulunan özel bir değerdir. Yüzyıllarca sanat ve mimaride uygulanmış, uyum açısın-dan en yetkin boyutları verdiği sanılan geometrik ve sayısal bir oran bağıntısıdır. Doğada en belirgin örnekleri; ideal bir insan vücudunda, deniz kabuğunda, ağaç dallarında, ayçiçeği, sarmal galaksi vs. birçok yerde rastlanır.
1 5Q
2+= oranı altın orandır.
(Yaklaşık olarak 1,618’e eşittir)
Altın üçgen :
72°
36°
72°
Q
1
108°
36° 36°
1 1Q
Q Tepe açısı 36° ya da 108° olan ikizkenar üçgenlere altın üçgen denir. Altın üçgenlerde kaplama :
72°
36°
72°
108°
36° 36° Farklı ya da aynı altın üçgenler kullanılarak dönüşümler yardımıyla düzlemde kaplamalar yapılabilir.
Yukarıda, yarı düzgün kaplama, tepe açısı 36° ve 108° olan altın üçgenlerin izometrik (öteleme, ötelemeli yan-sıma, yansıma veya dönme) dönüşümleriyle elde edil-miştir.
Yukarıdaki düzgün kaplama, tepe açısı 36° olan altın üçgenin izometrik dönüşümleriyle elde edilmiştir.
130
Süslemeler DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ
Şerit süslemeleri Bir motifin belirli bir doğrultu boyunca ötelenmesiyle oluşan süslemelere şerit süslemeleri denir. Şerit süslemeleri tarih boyunca birçok uygarlığın kültü-ründe yer almıştır. Tarih boyunca insanlar ev, barınak, tapınak, abide gibi farklı yapıtlarında, süslemelerde ve sanat eserlerinde şerit süslemeleri kullanmışlardır. Her bir şerit süslemesinin bir başlangıç motifi vardır. Başlangıç motifin belirli bir doğrultuda ötelenmesiyle şerit süslemesi oluşur.
Bir şekle aşağıdaki dönüşümlerden biri uygulanarak başlangıç motifi elde edilebilir. 1. Öteleme 2. Ötelemeli yansıma 3. Yatay yansıma 4. Dikey yansıma 5. 180° lik dönme (yarı dönme)
Yukarıda verilen şekle öteleme, ötelemeli yansıma, dikey yansıma, yatay yansıma ve yarı dönme dönüşümleri uygulayarak başlangıç motifleri elde edelim. Bu motiflerin ötelenmesiyle şerit süslemeleri olu ştu-ralım.
Başlangıç motifi Şerit süsleme
Yukarıdaki şerit süslemelerin başlangıç motifi yatay yansıma dönüşümü ile elde edildiğine göre, başlangıç şekli aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) B) C)
D) E)
Çözüm Yatay yansıma dönüşümü ile elde edildiğine göre, moti-fimizin başlangıç şekli, biçimindedir.
Cevap : D
