02- Modeli i Identifikacija Sistema

MODELOVAWE I MODELOVAWE I IDENTIFIKACIJA IDENTIFIKACIJA

SISTEMASISTEMA

.. 33--44, , 20120133..

Modeli na bazi prostora stawa Linearni modeli

Rje{ewe modela u prostoru stawa

(Laplace)

U tehnici se modelom naziva

materijalni ili idealizovani (simboli~ki) objekat koji zamjewuje ili predstavqa neki postoje}i ili zami{qeni objekat interesovawa.

Osnovni uslov koji mora da zadovoqi svaki model je da se na osnovu wegovog pona{awa mo`e zakqu~ivati o svojstvima originala.

(1)(1) Ukoliko se odnosi izme|u veli~ina nekog

procesa, koje se odnose na wegova fizi~ka, hemijska, geometrijska i druga svojstva, mogu preslikati u neku matemati~ku strukturu, onda se takav zapis naziva matemati~kim modelom.

Drugim rije~ima, model je simboli~ka postavka ili hipoteza o na~inu na koji }e se odvijati neki proces i da se wegovom analizom (ispitivawem i rje{avawem) mogu dobiti odgovori o pona{awu originalnog.

Postupci dobijawa modela mogu biti teoretski

(deduktivni, analiti~ki) ili eksperimentalni(prakti~ni, empirijski).

U prvom slu~aju se radi o modelovawu, a u drugom o identifikaciji.

Modelovawe (M) zna~i kori{}ewe poznatihzakonitosti iz odre|ene nau~ne oblasti (naprimjer, zakona o odr`awu materije, energije, momenta i drugih) za dobijawe modela.

od identifikacije (I) koriste mjerewa ulaza i izlaza na stvarnom objektu i porede saodgovaraju}im od modela.

Struktura modela kod M proizilazi direktno na

bazi poznatih zakonitosti (i eventualnih zanemarivawa u toku izvo|ewa) dok se kod postupka I ona mora pretpostaviti unaprijed.

Kod M se reprodukuju relacije izme|u ulaza, internih promjenqivih procesa i izlaza, dok se sa I uglavnom dobija model tipa crne kutije, t.j. pomo}u I se samo reprodukuju relacije izme|u ulaza i izlaza.

Kod M su parametri modela povezani sa stvarnim parametrima originala, dok su kod I to naj~e{}e samo neke brojne vrijednosti i ne moraju biti, naprimjer, neki fizi~ki ili parametri realnog procesa.

(1)(1) Model dobijen pomo}u M, vrijedi i za srodne

procese i razne re`ime rada, dok se sa I model odnosi jedino na odre|eni proces na kome se vr{e mjerewa. Otuda se sa ovim drugim ne mogu analizirati sva stawa kao {to su, naprimjer, havarijska kod ispadawa postrojewa.

Programska rje{ewa pripremqena za postupak I se mogu primjewivati za dobijawe modela razli~itih procesa, dok se kod M za razli~ite procese uvijek polazi od po~etka.

Kada se radi o modelu dinamike nekog

procesa treba imati na umu cijelu hijerarhiju modela od najjednostavnijih nultog reda (za opis stacionarnih stawa) do vrlo slo`enih modela visokog reda.

Na slo`enost modela uti~u mnogi faktori, od kojih su najva`niji:

- krajwa namjena modela,

- tehni~ko-ekonomska i qudska ograni~ewa kod wegovog postavqawa i rje{avawa.

Otuda se ~esto kod izvo|ewa modela koristi i nauka i umje{nost da bi se s jedne strane, uzele u obzir sve kqu~ne karakteristike koje su bitne za sintezu SU, a da se s druge strane wegovom kompleksno{}u ne maskira su{tina problema. Postupak je ~esto puta iterativan i poboq{awa se dobijaju polaze}i na po~etku od jednostavnih modela. Razlikujemo:

nominalne modele, koji su aproksimativni opisi objekata, koji se koristi za sintezu SU

kalibracione modele, koji su detaqniji opisi objekata namijeweni za ispitivawe koje se performanse mogu posti}i kori{}ewem projektovanih regulatora. Za ovaj model }emo nekada koristiti i termin ta~an sistem iako znamo da generalno nemamo egzaktnog opisa za stvarni (realni) sistem.

(1)(1)

(, ) .

, .

, .

( !) , .

Regulator se primjewuje na realni OU. Ciq je da u

realnom sistemu dobijemo takvo pona{awe koje je predvi|eno sa nominalnim modelom bez zna~ajnije degradacije performanse. Kada se ovo postigne ka`emo da smo izvr{ili sintezu robusnogregulatora. Za postizawe robusnosti obi~no je potrebno imati na raspolagawu neku mjeru gre{ke modela u obliku granica koje se mogu uzeti u obzir u fazi projektovawa.

Na kraju treba re}i da se sa stanovi{ta upravqawa modeli tehni~kih procesa dobijaju kombinovawem fizi~kog rezonovawa i eksperimentalnih podataka.

Standardni matemati~ki model za dati realni

proces, osim algebarskih relacija koje vrijede izme|u pojedinih promjenqivih, tako|e ukqu~uje:- zavisnosti akumulacionih (integriraju}ih) efekatapojedinih procesnih veli~ina;- zavisnosti brzina promjena (derivacija) pojedinih promjenqivih.

Ovo zna~i da se dinamika nekog OU, to jest wegovo pona{awe ne mo`e opisati na zadovoqavaju}i na~in bez uzimawa u obzir wegove prethodne istorije pona{awa i na~ina za opis promjena. Otuda se modeli obi~no svode na neki oblik diferencijalnih (za kontinualne procese) i diferencnih (za vremenski diskretne) jedna~ina ili wihovu kombinaciju za hibridne sisteme.

Modeli na bazi prostora stawaModeli na bazi prostora stawa

Promjenqive stawa formiraju skup internih promjenqivih {x1,x2 ,...,xn} je kompletan u smislu da, ako su one

poznate u nekom trenutku t0 , tada se bilo koji izlaz y(t) mo`e izra~unati za svako budu}e vrijeme t t0 kao funkcija tih promjenqivih i sada{wih i budu}ih

vrijednosti ulaza u(t), t t0.

Op{ti slu~ajOp{ti slu~aj

Ako se sa x ozna~i vektor koji odgovara odre|enom izboru promjenwivih stawa tada je oblik modela u prostoru stawa za kontinualne sisteme dat sa

(2.1)

a za vremenski diskretne sisteme sa

, x(k0)-dato (2.2)

Ovdje je sa u ozna~en vektor ulaza, a sa y vektorizlaza.

)),(),(()(

)),(),((

ttutxgty

ttutxfdtdx

==

)),(),(()()),(),(()1(

kkukxgkykkukxfkx

d

d

==+

datotx )( 0

Linearni modeliLinearni modeli

Ka`emo da je sistem linearan ako za wega vrijedi princip superpozicije. Ovo zna~i da ako po~etni uslovi x01 i x02 pri nultim ulazima dajuodzive h01(t) i h02(t),respektivno, a ulazi u1(t) i u2(t) pri nultim po~etnim uslovima proizvode odzive h11(t) i h12(t), respektivno, tada }e za

ulaz u(t) =u1(t) + u2(t)i pri po~etnim uslovima x0=x01 + x02odziv biti dat say(t)= h01(t) + h02(t) + h11(t) + h12(t) .

VVremenski invarijantanremenski invarijantan modelmodel

Sistem je vremenski invarijantan (nepromjenqiv) ako je odziv za vremenski pomjeren ulaz jednostavno vremenski pomjeren odziv, to jest

ako ulaz u(t) odziv y(t), tada za

ulaz u1(t)=u(t+) odziv y1(t)=y(t+).

Linearan model u prostoru stawaLinearan model u prostoru stawa Za linearan vremenski invarijantan model op{ti

oblik modela u prostoru stawa je dat sa

, x(t0)-dato (2.3)

gdje su A, B, C D .

)()()(

)()(

tDutCxty

tButAxdtdx

+=+=

^esto puta se odnosi izme|u ulaza i

izlaza mogu zapisati u oblikudiferencijalne jedna~ine vi{egreda. Ovo su modeli tipa ulaz-izlazi jedan od oblika je

gdje je l neka nelinearna funkcijavi{e promjenqivih.

0))(,...,)(),(,...,)(( =tudttudty

dttydl m

m

n

n

(1)(1) RLC

(2)(2)

.

:

!

Rje{eweRje{ewe modela u modela u prostoruprostoru stawastawa

Kqu~na u rje{avawu sistema linearnihdiferencijalnih jedna~ina prvog reda (2.3) jematri~na eksponencijalna funkcija

Eksplicitno rje{ewe jedna~ina stawa je dato sa

Kada je u(t)=0, tada matrica odreuje prela x(t1) do x(t). Otuda se za matricu ~esto puta koristi termin prelazna matrica.

ii

i

At tAi

Ie =

+=1 !1

dBuetxetxt

t

tAttA )()()(0

0 )(0

)( +=)( 1ttAe

)(tAe

Linearizacija modelaLinearizacija modela

Premda realni sistemi ukqu~uju neke nelinearne fenomene, mnogi sistemi se mogu relativno dobroopisati linearnim modelima barem unutar odre|enih radnih podru~ja .

Ve} je re~eno da je op{ta forma nelinearnog modela u prostoru stawa data sa

dato (2.14)

Recimo da je dati kup trajektorija koj zadovoqava naprijed navedene jedna~ine.

= )()),(),(()( 00 txtutxfdttdx

))(),(()( 0 tutxgty =

Linearizacija modelaLinearizacija modela(1)(1)

rajektorija mo`e da odgovara ravnote`noj ta~ci modela u prostoru stawa, t. U ovom slu~aju ne}e zavisiti od vremena i

tada vrijedi

= )()),(),(()( 00 txtutxfdttdx

eeee

))(),(()( 0 tutxgty eee =Rttytutx eee ),(),(),(

eee yux ,,

0=dtdxe

0),(0 =ee uxf


(x,u). Tada mo`emo koristiti razvoj u Taylor-ov red, pa

imamo aproksimaciju

(2.16)

gdje se odgovaraju}e parcijalne derivacije odnose na

radnu taku (x,u).

Rttytutx ),(),(),(

))(())((),()(

))(())((),()(

000

000

eeeeee

eeeeee

utuugxtx

xguxgty

utuufxtx

xfuxf

dttdx

+

+

+

+

x=xe+x


eeeeee

eeeeee

eeee

uugx

xguxgF

uufx

xfuxfE

ugD

xgC

ufB

xfA

=

==

==

=

000

000

0000

),(

),(

,,,

FtDutCxty

EtButAxdttdx

++=++=

)()()(

)()()(


U op{tem slu~aju matrice A, B, C, D, E, i F su funkcije vremena. Me|utim, kada se vr{i linearizacija oko ravnote`ne ta~ke ovo su konstantne matrice.

Kod izvo|ewa linearnih modela razlike u trajektorijama i ulazima, to jest

(2.19)

)()()( txtxtx e= )()()( tututu e=

)()()(

)()()(

tuDtxCty

tuBtxAdttxd

+=+=

Linearizacija Linearizacija --modelamodela

inearizacija modela tipa ulaz-izlaz datog diferencijalnom jedna~inom

(2.20)

Ra (Taylor-) (y0,u0)

roksimacije prvog reda jednaine (2.20)(2.22)

0))(,...,)(),(,...,)(( =tudttudty

dttydl m

m

n

n

0),...,0,,...,0( 00 =uyl

)(...)()(...)()( 0011

1 tubdttudbtya

dttyda

dttyd

m

m

mn

n

nn

n

++=+++

),...,0(),1,...0( mibnka ik ==,...,...,,,0

10

00

10

0

=

=

=

=

ulb

ulb

yla

yla &&

(2.22)

--(1)(1)

-

x

--(2)(2)

, .

f(x)=/maxmax 0, /maxmax00 , /maxmax11 f(x)=x/(1+x). ,

--((33))

xe /maxmax ..

/maxmax

xe

- 20, /maxmax 0.950.95..--

maxmax

--(4)(4)

=0.5 =4 t=20, t=25 =0.5, .

t[s]

x) e

) .

LaplasovaLaplasova ((LaplaceLaplace) ) transformacijatransformacija

Za posmatrani kontinualan signal

Laplasova transformacija je definisana sa

(2.23)

gdje je s kompleksna promjenqiva. (2.24)

Ovaj transformacioni par ((2.23) i (2.24)) je dobro definisan ako postoji i pozitivna konstanta

, takva da je

,0),(

LaplasovaLaplasova transformacijatransformacija(1)(1)

Oblast se naziva obla konvergencije. Za primjenu su va`ne osobine Laplasove

transformacije, od kojih }emo neke navesti:

1. Linearnost:

2.

3. ..

)Re(s

)()(11

sFatfal

iii

l

iii

===

l

01

1

1 )()()( ==

=

t

k

ii

iikk

k

k

dttydssYs

dttydl

)(1)(0

sYs

dyt

=

l

....

4.

5. ..

6. ..

7. ..

8. .. 9. ..

{ } kkkk ds sYdtyt )()1()( =l)()()()( 21

021 sFsFdtff

t

=

l

{ }

dsFF

jtftf

j

j

)()(21)()( 2121 =

+

l

)(lim)(lim0

ssYtyst = { } )()( 11 asFtfeat =l

{ } 0,,!1 >= + Znsnt nnl

Poslije primjene Laplasove transformacije na

diferencijalnu jedna~inu (2.22) linearizovanogmodela sistema n-tog reda dobijamo

(2.26)

gdje ~lan f(s,x0) zavisi od po~etnih uslova. Kada su po~etni uslovi jednaki nuli imamo

gdje je funkcija prenosa sistema data sa

),()(...)()()(...)()( 001

101

1 xsfsUbsUsbsUsbsYasYsasYsm

mm

mn

nn +++=+++

)()()( sUsGsY =

)()()(sAsBsG =

01

1

01

1

...)(

...)(

bsbsbsBasassA

mm

mm

nn

n

+++=+++=

(1)(1) U slu~aju linearnog modela u prostoru stawa, poslije

primjene Laplasove trans. mamo

Matrica

se jo{ naziva i fundamentalnom matricom.

)()()()()()0()(

sDUsCXsYsBUsAXxssX

+=+=

)0()()())(()()()()0()()(

11

11

xAsICsUDBAsICsYsBUAsIxAsIsX

++=+=

...)( 32

21 +++=

sA

sA

sIAsI

{ } AtetAAtIAsI =+++= ...!2

)(22

11lAte

Sistemi sa vi{e ulazaSistemi sa vi{e ulaza

Neka na sistem osim ulaza u(t), jo{ poreme}aj d(t). Dinami~ko pona{awe ovakvog sistema

Neka se neko ravnote`no stawe ovog sistema uspostavqa pri: u(t)=u0, d(t)=d0 za koje se dobija konstantna vrijednost izlaza y(t)=y0.

0))(,...,)(),(,...,)(),(,...,)(( =tddttddtu

dttudty

dttydl k

k

m

m

n

n

)(...)()(...)(

)(...)()(

00

01

11

tdcdttddctub

dttudb

tyadt

tydadttyda

k

kkm

mm

n

nnn

nn

++++

=+++

Sistemi sa vi{e ulazaSistemi sa vi{e ulaza(1)(1)

rimjen Laplasove transformacije na posledwjedna~inu

D(s)= L(d(t))

),()(...)(

)(...)()(

)(...)()(

00

01

1

01

1

xsfsDcsDsc

sUbsUsbsUsb

sYasYsasYsa

kk

mm

mm

nn

nn

++++++=

+++

01

1

01

1

01

1

...)(

...)(

...)(

cscscsC

bsbsbsB

asasasA

kk

kk

mm

mm

nn

nn

+++=+++=

+++=

Sistemi sa vi{e ulazaSistemi sa vi{e ulaza(2)(2)

:

- uticaj ulaza u(t) na izlaz y(t)

-uticaj poreme}aja d(t) na izlaz y(t)

)(),(

)()()()(

)()()( 0

sAxsf

sDsAsCsU

sAsBsY ++=

)()()(sAsBsG =

)()()(sAsCsGd =

Sistemi sa vi{e ulazaSistemi sa vi{e ulaza(2)(2) Zahvaquju}i linearnosti modela nekog sistema kod

odre|ivawa odziva ovakvog sistema mo`e se

koristiti princip superpozicije.

Generalno vrijedi: - pri po~etnim uslovima x0 = x01 + x02+ ... , - ulazima u(t)=u1(t)+u2(t)+...- i poreme}ajima d(t)= d1(t) + d2(t)+....,ukupan odziv na izlazu }e biti jednak

y(t)= h01(t)+h02(t)+...+ yu1(t)+yu2(t)+... yd1(t)+ yd2(t)+....,gdje su h01(t),h02(t),...; yu1(t),yu2(t),....; yd1(t), yd2(t),....komponente odziva sistema koje su posqedica: po~etnih uslova x0, ulaza u(t) i poreme}aja d(t), respektivno

Documents

02- Modeli i Identifikacija Sistema