Click here to load reader

02 Metode Deformasi Konsisten

  • View
    540

  • Download
    45

Embed Size (px)

Text of 02 Metode Deformasi Konsisten

  • 9/3/2013

    1

    K L 3 1 0 1 , K E L A S 0 1S E M E S T E R I 2 0 1 3 / 2 0 1 4

    2 Metode Deformasi Konsisten

    Pengantar

    Telah dipelajari sebelumnya bahwa keseimbanganmerupakan persyaratan yang harus dipenuhi olehsistem struktur yang menerima beban reaksidan gaya dalam mengimbangi beban yang bekerja.

    Jika reaksi dan gaya dalam struktur dapatditentukan hanya dengan menggunakan persamaankeseimbangan, maka struktur termasuk kategoristatis tertentu (statically determinate).

  • 9/3/2013

    2

    2D 3D

    Persamaan Keseimbangan

    0

    0

    0

    x

    y

    z

    F

    F

    M

    0 0

    0 0

    0 0

    x x

    y y

    z z

    F M

    F M

    F M

    Ketaktentuan Statis

    Jika terdapat lebih banyak reaksi dan/atau gaya dalamdaripada jumlah persamaan keseimbangan, strukturdikatakan sebagai statis tak tentu (statically indeterminate).

    Hal ini bukan berarti reaksi dan gaya dalam tidak bisaditentukan. Hanya persamaan keseimbangan tidak cukupuntuk menentukan besar reaksi dan gaya dalam tersebut.

    A B

    wMA

    RAy RB

  • 9/3/2013

    3

    Gaya Kelebihan

    Struktur statis tak tentu dapat diubah menjadi struktur statis tertentu dengan menghilangkan sejumlah gaya(reaksi atau gaya dalam) yang nilainya belum diketahui.

    Gaya-gaya yang dihilangkan ini disebut gaya kelebihan (redundant forces).

    Jumlah gaya kelebihan ini sama dengan derajat kestatistaktentuan struktur.

    Struktur statis tertentu yang dihasilkan disebut struktur primer.

    Sembarang reaksi atau gaya dalam dapat dipilih sebagai gaya kelebihan selama struktur primer yang dihasilkan stabil.

    Prinsip Dasar

    Struktur statis tak tentu dapat dianalisis sebagai penjumlahan dari struktur primer yang dikenai beban luar dan struktur primer yang dikenai gaya-gaya kelebihan.

    =

    +

    A B

    wMA

    RAy RB

    A B

    w

    RAy0

    MA0

    AB

    RBRAy1

    MA1MA = MA0 + MA1RAy = RAy0 + RAy1

  • 9/3/2013

    4

    Prinsip Dasar

    Agar deformasi struktur primer di tempat gaya kelebihan bekerja konsisten dengan struktur statis tak tentu semula, diperlukan syarat kompatibilitas.

    =

    +

    A B

    wMA

    RAy RB

    w

    RAy0

    MA00

    RBRAy1

    MA11

    B = 0 B = 0 + 1

    0 + 1 = 0persamaankompatibilitas

    Prinsip Dasar

    Setiap persamaan kompatibilitas mengandung gaya kelebihan yang belum diketahui nilainya.

    Jumlah persamaan kompatibilitas sama banyak dengan jumlah gaya kelebihan.

    Dengan demikian penyelesaian persamaan kompatibilitas secara simultan akan menghasilkan nilai semua gaya kelebihan.

  • 9/3/2013

    5

    Ilustrasi Perhitungan

    w

    RAy0

    MA00

    2

    0 0

    4

    0

    ;2

    8

    Ay AwLR wL M

    wLEI

    RBRAy1

    MA11

    1 1

    3

    1

    ;

    3

    Ay B A B

    B

    R R M R L

    R LEI

    Ilustrasi Perhitungan

    Persamaan kompatibilitas:

    Reaksi lainnya:

    34

    0 1 0 08 3BR LwL

    EI EI

    38BwLR

    0 1

    2 2

    0 1

    3 58 8

    3 CCW2 8 8

    Ay Ay Ay

    A A A

    wL wLR R R wL

    wL wL wLM M M L

  • 9/3/2013

    6

    Gaya Dalam sebagai Gaya Kelebihan

    Selain reaksi, gaya dalam dapat pula dipilih sebagai gaya kelebihan.

    Misalnya untuk struktur balok berikut:

    Momen lentur di B, MB, dapat dijadikan gaya kelebihan sehingga diperoleh struktur primer berikut:

    A B

    wC

    A B

    w MBB C

    wMB

    A B

    w

    BA0

    Syarat kompatibilitas:

    B C

    w

    BC0

    A B

    MB

    BA1

    B C

    wMB

    BC1

    0 0 1 1 0BA BC BA BC

    Selesaikan persamaan kompatibilitas di atas untuk memperoleh nilai MB, kemudian tentukan reaksi dan gaya-gaya dalam pada balok tersebut!

  • 9/3/2013

    7

    Penamaan Variabel

    Gaya-gaya kelebihan diberi nama Xi. Perpindahan struktur primer akibat beban luar

    dalam masing-masing arah gaya kelebihan diberi nama 0i.

    Perpindahan struktur primer dalam arah Xi akibat gaya kelebihan Xj diberi nama ij.

    w

    RAy0

    MA001

    X1RAy1

    MA111

    Koefisien Fleksibilitas

    Untuk memisahkan unknown Xi dalam perhitungan, terlebih dahulu dihitung perpindahan akibat beban 1 satuan dalam masing-masing arah gaya kelebihan.

    Perpindahan akibat gaya 1 satuan ini diberi nama ij, yaitu perpindahan dalam arah gaya kelebihan ke-i(Xi) akibat gaya 1 satuan dalam arah gaya kelebihan ke-j (Xj).

    ij disebut juga koefisien fleksibilitas.

  • 9/3/2013

    8

    Koefisien Fleksibilitas

    X1RAy1

    MA111

    1rAy1

    mA111

    11 11 1

    1 1 1

    1 1 1

    A A

    Ay Ay

    XM m XR r X

    Koefisien Fleksibilitas

    Dengan metode beban satuan, nilai perpindahan struktur primer 0i dan koefisien fleksibilitas ijadalah:

    Persamaan kompatibilitas sekarang dapat dituliskan dalam bentuk:

    00

    0 0

    ;L L

    i jii ij

    m mM m dx dxEI EI

    M0 = momen lentur pada struktur primer akibat beban luar.mi = momen lentur pada struktur primer akibat gaya 1 satuan

    dalam arah gaya kelebihan Xi.

    01 11 10 11 10 0X

    11 1 01X

  • 9/3/2013

    9

    Koefisien Fleksibilitas

    Untuk struktur rangka batang, nilai perpindahan struktur primer 0i dan koefisien fleksibilitas ij adalah:

    00

    1 1

    ;N N

    ki kj kk ki ki ij

    k kk k k k

    s s LS s LE A E A

    Sk0 = gaya batang k pada struktur primer akibat beban luar.ski = gaya batang k pada struktur primer akibat gaya 1 satuan

    dalam arah gaya kelebihan Xi.

    Contoh 1

    Pilih reaksi momen di A sebagai gaya kelebihan dan gunakan metode deformasi konsisten untuk menentukan reaksi dari struktur balok seperti tergambar.

    A B

    wMA

    RAy RB

    A B

    wX1

    RAy RB

  • 9/3/2013

    10

    Syarat kompatibilitas: Putaran di tumpuan A harus nol, karena A adalah tumpuan jepit.

    01 11 1 0X 01 = putaran di ujung A pada struktur primer akibat beban luar,11 = putaran di ujung A pada struktur primer akibat momen satu satuan

    dalam arah X1.

    A B

    w

    RAy0 = wL/2 RB0 = wL/2

    01

    A B1

    rAy1 = 1/L rB1 = 1/L

    11

    m1

    1+

    M0

    wL2/8

    +Diagrammomen

    Perpindahan struktur primer akibat beban luar:

    1 1110

    1 13

    3

    L m m LdxEI EI

    LEI

    2

    0 101

    03

    1 26 8

    24

    L M m L wLdxEI EI

    wLEI

    Koefisien fleksibilitas:

    Persamaan kompatibilitas:

    01 11 1 0X 3

    1

    2

    1

    024 3

    8

    wL L XEI EI

    wLX

    2

    CCW8A

    wLM

  • 9/3/2013

    11

    Reaksi lainnya:

    0 1 1

    2

    0 1 1

    2

    1 5 2 8 8

    1 3 2 8 8

    Ay Ay Ay

    B B B

    R R r X

    wL wL wLL

    R R r X

    wL wL wLL

    w

    A B

    3wL/85wL/8wL2/8

    Contoh 2

    Hitung reaksi dan gambarkan diagram gaya geser dan momen lentur dari struktur seperti tergambar.

    Balok AB dan kolom BCmemiliki modulus elastisitas E dan inersia penampang I.

    8 m

    6 m

    20 kN/m

    A B

    C

  • 9/3/2013

    12

    Syarat kompatibilitas:

    Struktur primer:Struktur yang diberikan merupakan struktur statis tak tentu derajat 1 (terdapat 1 gaya kelebihan). Salah satu reaksi dapat dipilih sebagai gaya kelebihan, misalnya reaksi horizontal di C (RCx).

    20 kN/m

    A B

    CX1

    Perpindahan horizontal di C harus sama dengan nol, karena tumpuan C semula adalah sendi:

    01 11 1 0X

    01 = perpindahan horizontal titik C pada struktur primer akibat beban luar,11 = perpindahan horizontal titik C pada struktur primer akibat gaya

    satu satuan dalam arah X1

    Reaksi dan momen lentur pada struktur primer:

    +

    (c) M0

    160

    (b) ri1

    (d) m1

    80 kN

    80 kN

    20 kN/m

    (a) Ri0

    0.75

    0.75

    1

    1

    6

    6

  • 9/3/2013

    13

    Perpindahan strukturprimer akibat beban luar:

    1 111

    0

    8 6 6 6 6 6 1683 3

    L m m dxEI

    EI EI EI

    0 101

    0

    8 6 2 1606

    2560

    L M m dxEI EI

    EI

    Koefisien fleksibilitas:(perpindahan struktur primerakibat beban 1 satuan)

    Persamaankompatibilitas: 10 11 1

    0X

    1

    1

    2560 168 0

    2560 15.24 kN 168

    XEI EI

    X

    15.24 kN CxR

    Reaksi lainnya:

    0 1 1

    0 1 1

    0 1 1

    0 1 15.24 15.24 kN

    80 0.75 15.24 68.57 kN

    80 0.75 15.24 91.43 kN

    Ax Ax Ax

    Ay Ay Ay

    Cy Cy Cy

    R R r X

    R R r X

    R R r X

    +

    (c) Momen lentur M [kN-m]

    (a) Reaksi

    (b) Gaya geser V [kN]

    +

    + 20 kN/m

    15.24 kN

    91.43 kN

    15.24 kN

    68.57 kN

    68.5715.24

    91.43

    117.55

    91.43

  • 9/3/2013

    14

    Contoh 3

    Hitung reaksi dan gaya-gaya batang dari strukturrangka batang sepertitergambar.

    Semua batang terbuatdari bahan yang sama, dengan modulus elastisitas E dan luaspenampang A.

    1

    2

    3

    4

    5 6

    7

    6 m 6 m

    E

    9 mD

    CA B

    90 kN

    Syarat kompatibilitas:

    Struktur primer:Struktur yang diberikan merupakan struktur statis tak tentu luar derajat 1 (terdapat 1 reaksi kelebihan). Salah satu reaksi dapat dipilih sebagai gaya kelebihan, misalnya reaksi di C.

    Perpindahan vertikal di C harus sama dengan nol, karena tumpuan C semula adalah rol:

    01 11 1 0X

    01 = perpindahan vertikal titik C pada s

Search related