9/3/2013
1
K L 3 1 0 1 , K E L A S 0 1S E M E S T E R I 2 0 1 3 / 2 0 1 4
2 Metode Deformasi Konsisten
Pengantar
Telah dipelajari sebelumnya bahwa keseimbanganmerupakan persyaratan yang harus dipenuhi olehsistem struktur yang menerima beban reaksidan gaya dalam mengimbangi beban yang bekerja.
Jika reaksi dan gaya dalam struktur dapatditentukan hanya dengan menggunakan persamaankeseimbangan, maka struktur termasuk kategoristatis tertentu (statically determinate).
9/3/2013
2
2D 3D
Persamaan Keseimbangan
0
0
0
x
y
z
F
F
M
0 0
0 0
0 0
x x
y y
z z
F M
F M
F M
Ketaktentuan Statis
Jika terdapat lebih banyak reaksi dan/atau gaya dalamdaripada jumlah persamaan keseimbangan, strukturdikatakan sebagai statis tak tentu (statically indeterminate).
Hal ini bukan berarti reaksi dan gaya dalam tidak bisaditentukan. Hanya persamaan keseimbangan tidak cukupuntuk menentukan besar reaksi dan gaya dalam tersebut.
A B
wMA
RAy RB
9/3/2013
3
Gaya Kelebihan
Struktur statis tak tentu dapat diubah menjadi struktur statis tertentu dengan menghilangkan sejumlah gaya(reaksi atau gaya dalam) yang nilainya belum diketahui.
Gaya-gaya yang dihilangkan ini disebut gaya kelebihan (redundant forces).
Jumlah gaya kelebihan ini sama dengan derajat kestatistaktentuan struktur.
Struktur statis tertentu yang dihasilkan disebut struktur primer.
Sembarang reaksi atau gaya dalam dapat dipilih sebagai gaya kelebihan selama struktur primer yang dihasilkan stabil.
Prinsip Dasar
Struktur statis tak tentu dapat dianalisis sebagai penjumlahan dari struktur primer yang dikenai beban luar dan struktur primer yang dikenai gaya-gaya kelebihan.
=
+
A B
wMA
RAy RB
A B
w
RAy0
MA0
AB
RBRAy1
MA1MA = MA0 + MA1RAy = RAy0 + RAy1
9/3/2013
4
Prinsip Dasar
Agar deformasi struktur primer di tempat gaya kelebihan bekerja konsisten dengan struktur statis tak tentu semula, diperlukan syarat kompatibilitas.
=
+
A B
wMA
RAy RB
w
RAy0
MA00
RBRAy1
MA11
B = 0 B = 0 + 1
0 + 1 = 0persamaankompatibilitas
Prinsip Dasar
Setiap persamaan kompatibilitas mengandung gaya kelebihan yang belum diketahui nilainya.
Jumlah persamaan kompatibilitas sama banyak dengan jumlah gaya kelebihan.
Dengan demikian penyelesaian persamaan kompatibilitas secara simultan akan menghasilkan nilai semua gaya kelebihan.
9/3/2013
5
Ilustrasi Perhitungan
w
RAy0
MA00
2
0 0
4
0
;2
8
Ay AwLR wL M
wLEI
RBRAy1
MA11
1 1
3
1
;
3
Ay B A B
B
R R M R L
R LEI
Ilustrasi Perhitungan
Persamaan kompatibilitas:
Reaksi lainnya:
34
0 1 0 08 3BR LwL
EI EI
38BwLR
0 1
2 2
0 1
3 58 8
3 CCW2 8 8
Ay Ay Ay
A A A
wL wLR R R wL
wL wL wLM M M L
9/3/2013
6
Gaya Dalam sebagai Gaya Kelebihan
Selain reaksi, gaya dalam dapat pula dipilih sebagai gaya kelebihan.
Misalnya untuk struktur balok berikut:
Momen lentur di B, MB, dapat dijadikan gaya kelebihan sehingga diperoleh struktur primer berikut:
A B
wC
A B
w MBB C
wMB
A B
w
BA0
Syarat kompatibilitas:
B C
w
BC0
A B
MB
BA1
B C
wMB
BC1
0 0 1 1 0BA BC BA BC
Selesaikan persamaan kompatibilitas di atas untuk memperoleh nilai MB, kemudian tentukan reaksi dan gaya-gaya dalam pada balok tersebut!
9/3/2013
7
Penamaan Variabel
Gaya-gaya kelebihan diberi nama Xi. Perpindahan struktur primer akibat beban luar
dalam masing-masing arah gaya kelebihan diberi nama 0i.
Perpindahan struktur primer dalam arah Xi akibat gaya kelebihan Xj diberi nama ij.
w
RAy0
MA001
X1RAy1
MA111
Koefisien Fleksibilitas
Untuk memisahkan unknown Xi dalam perhitungan, terlebih dahulu dihitung perpindahan akibat beban 1 satuan dalam masing-masing arah gaya kelebihan.
Perpindahan akibat gaya 1 satuan ini diberi nama ij, yaitu perpindahan dalam arah gaya kelebihan ke-i(Xi) akibat gaya 1 satuan dalam arah gaya kelebihan ke-j (Xj).
ij disebut juga koefisien fleksibilitas.
9/3/2013
8
Koefisien Fleksibilitas
X1RAy1
MA111
1rAy1
mA111
11 11 1
1 1 1
1 1 1
A A
Ay Ay
XM m XR r X
Koefisien Fleksibilitas
Dengan metode beban satuan, nilai perpindahan struktur primer 0i dan koefisien fleksibilitas ijadalah:
Persamaan kompatibilitas sekarang dapat dituliskan dalam bentuk:
00
0 0
;L L
i jii ij
m mM m dx dxEI EI
M0 = momen lentur pada struktur primer akibat beban luar.mi = momen lentur pada struktur primer akibat gaya 1 satuan
dalam arah gaya kelebihan Xi.
01 11 10 11 10 0X
11 1 01X
9/3/2013
9
Koefisien Fleksibilitas
Untuk struktur rangka batang, nilai perpindahan struktur primer 0i dan koefisien fleksibilitas ij adalah:
00
1 1
;N N
ki kj kk ki ki ij
k kk k k k
s s LS s LE A E A
Sk0 = gaya batang k pada struktur primer akibat beban luar.ski = gaya batang k pada struktur primer akibat gaya 1 satuan
dalam arah gaya kelebihan Xi.
Contoh 1
Pilih reaksi momen di A sebagai gaya kelebihan dan gunakan metode deformasi konsisten untuk menentukan reaksi dari struktur balok seperti tergambar.
A B
wMA
RAy RB
A B
wX1
RAy RB
9/3/2013
10
Syarat kompatibilitas: Putaran di tumpuan A harus nol, karena A adalah tumpuan jepit.
01 11 1 0X 01 = putaran di ujung A pada struktur primer akibat beban luar,11 = putaran di ujung A pada struktur primer akibat momen satu satuan
dalam arah X1.
A B
w
RAy0 = wL/2 RB0 = wL/2
01
A B1
rAy1 = 1/L rB1 = 1/L
11
m1
1+
M0
wL2/8
+Diagrammomen
Perpindahan struktur primer akibat beban luar:
1 1110
1 13
3
L m m LdxEI EI
LEI
2
0 101
03
1 26 8
24
L M m L wLdxEI EI
wLEI
Koefisien fleksibilitas:
Persamaan kompatibilitas:
01 11 1 0X 3
1
2
1
024 3
8
wL L XEI EI
wLX
2
CCW8A
wLM
9/3/2013
11
Reaksi lainnya:
0 1 1
2
0 1 1
2
1 5 2 8 8
1 3 2 8 8
Ay Ay Ay
B B B
R R r X
wL wL wLL
R R r X
wL wL wLL
w
A B
3wL/85wL/8wL2/8
Contoh 2
Hitung reaksi dan gambarkan diagram gaya geser dan momen lentur dari struktur seperti tergambar.
Balok AB dan kolom BCmemiliki modulus elastisitas E dan inersia penampang I.
8 m
6 m
20 kN/m
A B
C
9/3/2013
12
Syarat kompatibilitas:
Struktur primer:Struktur yang diberikan merupakan struktur statis tak tentu derajat 1 (terdapat 1 gaya kelebihan). Salah satu reaksi dapat dipilih sebagai gaya kelebihan, misalnya reaksi horizontal di C (RCx).
20 kN/m
A B
CX1
Perpindahan horizontal di C harus sama dengan nol, karena tumpuan C semula adalah sendi:
01 11 1 0X
01 = perpindahan horizontal titik C pada struktur primer akibat beban luar,11 = perpindahan horizontal titik C pada struktur primer akibat gaya
satu satuan dalam arah X1
Reaksi dan momen lentur pada struktur primer:
+
(c) M0
160
(b) ri1
(d) m1
80 kN
80 kN
20 kN/m
(a) Ri0
0.75
0.75
1
1
6
6
9/3/2013
13
Perpindahan strukturprimer akibat beban luar:
1 111
0
8 6 6 6 6 6 1683 3
L m m dxEI
EI EI EI
0 101
0
8 6 2 1606
2560
L M m dxEI EI
EI
Koefisien fleksibilitas:(perpindahan struktur primerakibat beban 1 satuan)
Persamaankompatibilitas: 10 11 1
0X
1
1
2560 168 0
2560 15.24 kN 168
XEI EI
X
15.24 kN CxR
Reaksi lainnya:
0 1 1
0 1 1
0 1 1
0 1 15.24 15.24 kN
80 0.75 15.24 68.57 kN
80 0.75 15.24 91.43 kN
Ax Ax Ax
Ay Ay Ay
Cy Cy Cy
R R r X
R R r X
R R r X
+
(c) Momen lentur M [kN-m]
(a) Reaksi
(b) Gaya geser V [kN]
+
+ 20 kN/m
15.24 kN
91.43 kN
15.24 kN
68.57 kN
68.5715.24
91.43
117.55
91.43
9/3/2013
14
Contoh 3
Hitung reaksi dan gaya-gaya batang dari strukturrangka batang sepertitergambar.
Semua batang terbuatdari bahan yang sama, dengan modulus elastisitas E dan luaspenampang A.
1
2
3
4
5 6
7
6 m 6 m
E
9 mD
CA B
90 kN
Syarat kompatibilitas:
Struktur primer:Struktur yang diberikan merupakan struktur statis tak tentu luar derajat 1 (terdapat 1 reaksi kelebihan). Salah satu reaksi dapat dipilih sebagai gaya kelebihan, misalnya reaksi di C.
Perpindahan vertikal di C harus sama dengan nol, karena tumpuan C semula adalah rol:
01 11 1 0X
01 = perpindahan vertikal titik C pada s
