9/9/2014
1
2 Metode Deformasi Konsisten
K L 3 1 0 1 , K E L A S 0 1
S E M E S T E R I 2 0 1 4 / 2 0 1 5
Pengantar
Telah dipelajari sebelumnya bahwa keseimbanganmerupakan persyaratan yang harus dipenuhi olehmerupakan persyaratan yang harus dipenuhi olehsistem struktur yang menerima beban reaksidan gaya dalam mengimbangi beban yang bekerja.
Jika reaksi dan gaya dalam struktur dapatditentukan hanya dengan menggunakan persamaankeseimbangan, maka struktur termasuk kategoristatis tertentu (statically determinate).
2
9/9/2014
2
2D2D 3D3D
Persamaan Keseimbangan
0
0
0
x
y
F
F
M
=
=
=
0 0
0 0
0 0
x x
y y
F M
F M
F M
= =
= =
= =
0zM = 0 0z zF M= =
3
Ketaktentuan Statis
Jika terdapat lebih banyak reaksi dan/atau gaya dalamdaripada jumlah persamaan keseimbangan, strukturp j p g ,dikatakan sebagai statis tak tentu (statically indeterminate).
Hal ini bukan berarti reaksi dan gaya dalam tidak bisaditentukan. Hanya persamaan keseimbangan tidak cukupuntuk menentukan besar reaksi dan gaya dalam tersebut.
A B
wMA
RAy RB
4
9/9/2014
3
Gaya Kelebihan
Struktur statis tak tentu dapat diubah menjadi struktur statis tertentu dengan menghilangkan sejumlah gaya(reaksi atau gaya dalam) yang nilainya belum diketahui.Gaya-gaya yang dihilangkan ini disebut gaya kelebihan (redundant forces).Jumlah gaya kelebihan ini sama dengan derajat kestatistaktentuan struktur.Struktur statis tertentu yang dihasilkan disebut struktur primer.Sembarang reaksi atau gaya dalam dapat dipilih sebagai gaya kelebihan selama struktur primer yang dihasilkan stabil.
5
Prinsip Dasar
Struktur statis tak tentu dapat dianalisis sebagai penjumlahan dari struktur primer yang dikenai penjumlahan dari struktur primer yang dikenai beban luar dan struktur primer yang dikenai gaya-gaya kelebihan.
=A BwMA
RA R
A B
w
RA 0
MA0
+RAy RB
RAy0
AB
RBRAy1
MA1MA = MA0 + MA1RAy = RAy0 + RAy1
6
9/9/2014
4
Prinsip Dasar
Agar deformasi struktur primer di tempat gaya kelebihan bekerja konsisten dengan struktur statis tak tentu semula, j g ,diperlukan syarat kompatibilitas.
=
+
A B
wMA
RAy RB
w
RAy0
MA00
+
RBRAy1
MA11
B = 0 B = 0 + 1
0 + 1 = 0persamaankompatibilitas
7
Prinsip Dasar
Setiap persamaan kompatibilitas mengandung gaya kelebihan yang belum diketahui nilainya.kelebihan yang belum diketahui nilainya.
Jumlah persamaan kompatibilitas sama banyak dengan jumlah gaya kelebihan.
Dengan demikian penyelesaian persamaan kompatibilitas secara simultan akan menghasilkan nilai semua gaya kelebihan.g y
8
9/9/2014
5
Ilustrasi Perhitungan
wMA0
2
0 0; 2Ay AwLR wL M= =
RAy0
0 4
0 8wLEI
=
MA1
1 1;Ay B A BR R M R L= =
RBRAy1
1 3
1 3BR LEI
=
9
Ilustrasi Perhitungan
Persamaan kompatibilitas:34
0 0BR LwL + = + =
Reaksi lainnya:
0 1 0 08 3EI EI + = + =
( )3 8BwLR =
( )0 1 3 58 8Ay Ay AywL wLR R R wL= + = =
( )2 2
0 1
8 83 CCW
2 8 8A A AwL wL wLM M M L = + = + =
10
9/9/2014
6
Gaya Dalam sebagai Gaya Kelebihan
Selain reaksi, gaya dalam dapat pula dipilih sebagai gaya kelebihan.gaya kelebihan.
Misalnya untuk struktur balok berikut:
Momen lentur di B, MB, dapat dijadikan gaya kelebihan sehingga diperoleh struktur primer
AB
w
C
kelebihan sehingga diperoleh struktur primer berikut:
A B
w MB
B C
wMB
11
A B
w
BA0
Syarat kompatibilitas:
B C
w
BC0
MB wMBA B
BA1
B CBC1
0 0 1 1 0BA BC BA BC + + + =
Selesaikan persamaan kompatibilitas di atas untuk memperoleh nilai MB, kemudian tentukan reaksi dan gaya-gaya dalam pada balok tersebut!
12
9/9/2014
7
Penamaan Variabel
Gaya-gaya kelebihan diberi nama Xi.
Perpindahan struktur primer akibat beban luar Perpindahan struktur primer akibat beban luar dalam masing-masing arah gaya kelebihan diberi nama 0i.
Perpindahan struktur primer dalam arah Xi akibat gaya kelebihan Xj diberi nama ij.
w
RAy0
MA001
X1RAy1
MA111
13
Koefisien Fleksibilitas
Untuk memisahkan unknown Xi dalam perhitungan, terlebih dahulu dihitung perpindahan akibat beban 1 terlebih dahulu dihitung perpindahan akibat beban 1 satuan dalam masing-masing arah gaya kelebihan.
Perpindahan akibat gaya 1 satuan ini diberi nama ij, yaitu perpindahan dalam arah gaya kelebihan ke-i(Xi) akibat gaya 1 satuan dalam arah gaya kelebihan ke-j (Xj).jij disebut juga koefisien fleksibilitas.
14
9/9/2014
8
Koefisien Fleksibilitas
MA1
X1RAy1
11
mA1
11 11 1X =
1rAy1
111 1 1
1 1 1
A A
Ay Ay
M m XR r X
==
L
15
Koefisien Fleksibilitas
Dengan metode beban satuan, nilai perpindahan struktur primer 0i dan koefisien fleksibilitas ijstruktur primer 0i dan koefisien fleksibilitas ijadalah:
00
0 0
;L L
i jii ij
m mM m dx dxEI EI
= = M0 = momen lentur pada struktur primer akibat beban luar.mi = momen lentur pada struktur primer akibat gaya 1 satuan
dalam arah gaya kelebihan Xi.
Persamaan kompatibilitas sekarang dapat dituliskan dalam bentuk:
01 11 10 11 10 0X + = + =
11 1 01X = 16
9/9/2014
9
Koefisien Fleksibilitas
Untuk struktur rangka batang, nilai perpindahan struktur primer 0i dan koefisien fleksibilitas ij struktur primer 0i dan koefisien fleksibilitas ij adalah:
00
1 1;
N Nki kj kk ki k
i ijk kk k k k
s s LS s LE A E A
= =
= =
Sk0 = gaya batang k pada struktur primer akibat beban luar.k0 g y b g p p b b bski = gaya batang k pada struktur primer akibat gaya 1 satuan
dalam arah gaya kelebihan Xi.
17
Contoh 1
Pilih reaksi momen di A sebagai gaya kelebihan dan gunakan metode deformasi konsisten untuk gunakan metode deformasi konsisten untuk menentukan reaksi dari struktur balok seperti tergambar.
B
wMA
B
wX1
A B
RAy RB
A B
RAy RB
18
9/9/2014
10
Syarat kompatibilitas: Putaran di tumpuan A harus nol, karena A adalah tumpuan jepit.
01 11 1 0X + =01 = putaran di ujung A pada struktur primer akibat beban luar,
11 = putaran di ujung A pada struktur primer akibat momen satu satuan11dalam arah X1.
A B
w
RAy0 = wL/2 RB0 = wL/2
01
A B
1
rAy1 = 1/L rB1 = 1/L
11
m1
1+
M0
wL2/8
+Diagrammomen
19
Perpindahan struktur primer akibat beban luar:
( )( )1 111 1 1L m m Ldx = =
( )2
0 101
0
3
1 26 8
24
L M m L wLdxEI EI
wLEI
= =
=
Koefisien fleksibilitas: ( )( )110
1 13
3
dxEI EI
LEI
=
Koefisien fleksibilitas:
Persamaan kompatibilitas:
01 11 1 0X + =3
0wL L X+ =12
1
024 3
8
XEI EI
wLX
+ =
=
( )2
CCW8A
wLM = 20
9/9/2014
11
Reaksi lainnya:
( )
( )
0 1 1
2
0 1 1
2
1 5 2 8 8
1 3
Ay Ay Ay
B B B
R R r X
wL wL wLL
R R r X
wL wL wL
= +
= + =
= +
( )1 32 8 8wL wL wL
L = + =
w
AB
L /83wL/8
5wL/8wL2/8
21
Contoh 2
Hitung reaksi dan gambarkan diagram gaya
20 kN/m
Agambarkan diagram gaya geser dan momen lentur dari struktur seperti tergambar.
Balok AB dan kolom BCmemiliki modulus elastisitas
8 m
6 m
A B
C
E dan inersia penampang I.8 m
22
9/9/2014
12
Struktur primer:Struktur yang diberikan merupakan struktur statis tak tentu derajat 1 (terdapat 1 gaya kelebihan). Salah satu reaksi dapat dipilih sebagai gaya kelebihan, misalnya reaksi horizontal di C (RCx).
20 kN/m
A B
X1
Syarat kompatibilitas:C
X1
Perpindahan horizontal di C harus sama dengan nol, karena tumpuan C semula adalah sendi:
01 11 1 0X + =
01 = perpindahan horizontal titik C pada struktur primer akibat beban luar,
11 = perpindahan horizontal titik C pada struktur primer akibat gayasatu satuan dalam arah X1
23
Reaksi dan momen lentur pada struktur primer:
80 kN
20 kN/m
0.75
1
+
160
(b) ri1
80 kN
(a) Ri0
0.75
1
6
6
(c) M0 (d) m1
24
9/9/2014
13
Perpindahan strukturprimer akibat beban luar:
1 111
L m m dxEI
=
( )( ) ( )( )0 101
0
8 6 2 1606
2560
L M m dxEI EI
EI
= =
=
Koefisien fleksibilitas:
( )( )( ) ( )( )( )
110
8 6 6 6 6 6 1683 3
EI
EI EI EI
= + =
(perpindahan struktur primerakibat beban 1 satuan)
Persamaankompatibilitas: 10 11 1
0X + =
2560 168 0X+ =
( )
1
1
0
2560 15.24 kN 168
XEI EI
X
+ =
= =
( )15.24 kN CxR = 25
Reaksi lainnya: ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )
0 1
