01. Струјне машине - I део

Основе механике флуида и струјне машине 1/28

Висока инжењерска школа струковних студија, Техникум Таурунум, Београд-Земун

ПРОРАЧУН ПРОСТОГ ЦЕВОВОДА Кратак историјски осврт на значајне личности Теоријске основе ове области се излажу у оквиру предмета Механика флуида и предавања предмета Пумпе и вентилатори. Математичко исходиште Бернулијевог интеграла (швајцарски научник Daniel Bernoulli, 1700-1782.), који произилази из Ојлерове једначине (швајцарски научник Leonhard Paul Euler, 1707–1783.), Дарсијеве (француски научник Henry Philibert Gaspard Darcy, 1803–1858.) и Вајзбахове (немачки математичар и инжењер Julius Ludwig Weisbach, 1806-1871.) (слика 1. и 2.) формуле се неће излагати на овом месту. Оне ће бити коришћене у свом облику, који је у употреби у примењеној теорији квазиједнодимензијских струјања у хидрауличко-пнеуматским системима. Проширеној Бернулијевој једначини, за струјање вискозног флуида, се за решавање струјних параметара, придружује и једначина континуитета.

Daniel Bernoulli, 1700-1782. Leonhard Paul Euler, 1707–1783.

Henry Philibert Gaspard Darcy, 1803–1858. Julius Ludwig Weisbach, 1806-1871.

Слика 1. Утемиљивачи теоријских основа струјања у хидро-пнеуматским системима [5]



Научна породична лозафамилије Бернули (Bernoulli)

Nicolaus(1623-1708.)

Jacob(1654-1705.)

Nicolaus(1662-1716.)

Johann(1667-1748.)

Nicolaus (I)(1687-1759.)

Nicolaus (II)(1695-1726.)

Daniel(1700-1782.)

Johann (II)(1710-1790.)

Johann (III)(1744-1807.)

Daniel (II)(1751-1834.)

Jacob (II)(1759-1789.)

Слика 2. Породична лоза научне фамилије Бернули (Bernoulli) [5] Пример прорачуна Пумпа ради у постројењу приказаном на слици 3. Транспортује течност (овде: вода, густине =1000kg/m3) из доњег (усисног) у горњи (потисни) резервоар. Претпоставка је да су резервоари довољно велики и да се нивои течности у њима не мењају (језера, реке, бунари, велики резервоари, ...).

Слика 3. Приказ постројења за транспорт течности



Показивање манометра прикљученог на усисни резервоар износи pm, док показивање вакуумметра прикљученог на усисни резервоар износи pv. Апсолутни притисак у усисном резервоару је pе = pa + pm, где је pa≡ pb атмосферски, тј. барометарски притисак. Апсолутни притисак у потисном резервоару је pi = pa – pv. Ниво течности у усисном (ze) и потисном (zi) резервоару. Ниво усисне (zs) и потисне (zd) прирубнице хидрауличке пумпе. Hgeo је геодезијска висина. Јединична струјна енергија пумпе је Y [J/kg]. Бернулијева једначина се пише дуж једне струјнице, односно струјне цеви, тако да проширена Бернулијева једначина за прост цевовод приказан на слици 3. гласи:

2 2 2 2

додатнаенергија

сума локалнихгубитакаенергијестањенапочетку стањенакрају сумагубитака енергијена трење

2 2 2 2e e i i s d

e i us k v v k BC s ds d

p c p c L Lc cgz Y gz ς ς ς ς ς ς λ λ

D D

.

Брзине кретања течности у усисном (ce) и потисном (ci) резервоару су, с обзиром на њихову величину, доста мале, тако да се кинетичка енергија у оквиру стања на почетку и на крају, може занемарити. Кориолисов коефицијент j-тог пресека (струјне) цеви (j) представља однос стварне кинетичке енергије струјног тока и кинетичке енергије, која се израчунава на основу средње брзине струјања у ј-том пресеку. Вредност Кориолисовог коефицијента зависи од расподеле стварне брзине у по пресеку струјне цеви. За развијено турбулентно струјање у дугим правим цевима има вредност 1,01-1,12. За развијено ламинарно струјање има вредност 2. Како направити поделу између ова два режима струјања и одлучити се за вредност Кориолисовог коефицијента? За класификацију струјања се узима бездимензиона величина, која представља однос

инерцијалних и вискозних сила и зове се Рејнолдсов број RecD

. Ово је запис

Рејнолдсовог броја за цеви са кружним попречним пресеком, где је с-средња, односно просечна брзина, у случају турбулентног струјања, D-унутрашњи пречник цевовода, -кинематска вискозност флуида. Вредност од 2320 се назива критични Рејнолдсов број. За вредности мање од ове се узима да је струјање ламинарно, а за веће да је турбулентно. Међутим, приликом пројектовања инсталација, прелазни режим Re=2000-4000 би требало избегавати. Пример прорачуна Рејнолдсовог броја и одређивање режима струјања У оквиру водоводних система је уобичајена просечна брзина од 2 m/s. Узмимо да је унутрашњи пречник цевовода 0,2 m, а кинематска вискозност воде на радној температури

1,0610-6 m2/s. Тада је вредност Рејнолдсовог броја: 6

2 0,2Re 337358,5

1,06 10

cD

, што је

далеко веће од критичне вредности, на основу чега се закључује да је струјање турбулентно. Усвајајући да је апсолутна храпавост цеви =0,15 mm, добија се релативна храпавост /D=0,00075. Даље следи да је:

23 23 560 56030666,67 337358,5 746666,67

0,00075 0,00075D D .



У овом случају се турбулентно струјање посматра као струјање у хидраулички храпавој цеви. На овом месту би било интересантно прорачунати и дебљину граничног слоја, али то се неће урадити с обзиром на обим градива у оквиру овог предмета. Из претходног примера се види да је турбулентни режим струјања уобичајен за струјање у затвореним просторима (цевоводи),тако да се у прорачунима вредност Кориолисовог коефицијента узима да је приближно 1. Тако се “избегава” запис овог коефицијента у проширеној Бернулијевој једначини за вискозан флуид. Губици енергије у квазиједнодимензијском струјању вискозног флуида могу настати услед трења флуида о граничне површи (унутрашњи зид цеви) или услед постојања неког хидрауличког елемента, типа колено, вентил, рачва, нагло проширење/сужење, усисна корпа и сл., где се енергија дисипира кроз јако сложене струјне процесе. Губици првог типа се зову губици на трење или успутни губици, иако би овај други назив требало избегавати због тога што сви губици, гледано са стране флуида и његовог кретања кроз инсталацију, представљају успутне губитке. Димензиском анализом је добијен израз за губитак механичке енергије услед трења, познатији као Дарсијева образац, који за цев

кружног попречног пресека гласи: 2

2gub.tr

L cY

D , где је - коефицијент хидрауличког

отпора трења, који се одређује из Мудијевог (Moody) дијаграма, и, у општем случају, зависи од режима струјања, односно Рејнолдсовог броја и стања “храпавости” унутрашњег зида цеви. Коефицијент трења има егзактну решење само у случају ламинарног струјања.

За случај цеви са кружним попречним пресеком образац гласи: 64

Re . За случај

турбулентног струјања, које је добијено у примеру прорачуна Рејнолдсовог броја, рачунао би се помоћу формула Алтшула или Колбрук-Вајт-а [1]. У задацима овог курса ће вредност коефицијента трења бити задата, јер би ова непознаница доста успорила прорачун. У овом примеру је коефицијент трења исти у усисној и потисној деоници, односно s dλ =λ =λ .

Губици другог типа се називају локални губици. Они су једнаки производу одговарајуће кинетичке енергије и коефицијента локалног отпора (Вајзбахова формула), који представља коефицијент пропорционалности и обележава се са грчим словом са одговарајућим индексом за локални губитак. Њихова вредност зависи од режима струјања, односно величине Рејнолдсовог броја и геометријског облика локалног отпора. Углавном се одређују експерименталним путем. Губитак струјне енергије код наглог проширења цевовода се назива губитак Борда-Карно (Borda-Carnot). Он може да се, увођењем

извесних претпоставки, да се теоријски изведе: 2

1 2

2gub.BC

c cY

, где с1 представља

брзину пред проширењем, а с2 брзину после проширења. Код уласка цевовода у потисни резервоар вредност може се узети да је с2 0, одакле следи да је вредност локалног отпора за овај случај ВС =1. Сви други коефицијенти локалних отпора приказаних на Слици 3. се одређују експерименталним путем и добијају се или од произвођача, рецимо вентила или неке друге арматуре, или из приручника. Тако су: us – коефицијент локалног отпора на усисној корпи, који јако зависи од саме геометрије, па самим тим и од нивоа чистоће решетке; k – коефицијент локалног губитка енергије у колену; v – коефицијент локалног губитка енергије у вентилу.



У оквиру овог задатка су усисни и потисни цевовод истог унутрашњег пречника, тако да је иста просечна брзина дуж њега. Просечна брзина се рачуна на основу запреминског

протока кроз постројење и површине проточног пресека, тј. 2

4Q Qc

A D

.

Уврштавањем свих разматраних величина у проширену Бернулијеву једначину за прост цевовод приказан на слици 3., добија се:

62 2

4 21

8

A

v m s d v mgeo i geo

i

Y

p + p L L p + pY gH ς λ Q gH m Q

D D

(1)

где је 6

4 21

8 s di

i

L Lm ς λ

D D

- коефицијент отпора, YA – напор постројења.

Из једначине (1) се види да се, приликом рада пумпа и цевовод налазе у динамичкој равнотежи, тако да је Y=YA. Јединичну струјну енергију пумпе (Y [J/kg]) дефинише произвођач, као и кавитацијску резерву пумпе (NPSEp [J/kg]), степен корисности ([%]) и снагу (P[kW]). Све ове величине се представљају у функцији од запреминског протока и представљају радне карактеристике или “пасош” пумпе (слика 4.). Слично је и за вентилаторе. У пракси се доста користи појам напора пумпе, који се дефинише као: H=Y/g [m]. Аксијална пумпа има негативан нагиб криве снаге, док је за случај радијалне пумпе позитиван. Приликом спрезања се избегавају делови криве који доводе до нестабилног рада пумпе.

Слика 4. Радне карактеристике пумпе (за један број обртаја пумпе n)

Крива цевовода, као што се види из једначине (1), представља квадратну параболу: 2v m

A geo

p + pY gH m Q

(2)

0

300

600

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12Q[m3/s]

Y [J/kg]η [%]

NPSEp [J/kg]P[kW]



Слика 5. Напор цевовода

Мењањем коефицијента отпора (m), мења се и нагиб криве YA (видети слику 5.). Коефицијент отпора се мења интервенцијом на цевоводу, на пример затварањем вентила на потису пумпе, када се добија коефицијент отпора m1 или отварањем вентила када се добија m2. Значи: m2<m<m1.

Слика 6. Спрега пумпе и цевовода. Одређивање радне тачке.

На слици 6. је приказана спрега пумпе и цевовода. Резултат је радна тачка пумпе из које се одређују проток, напор, кавитацијска резерва пумпе, степен корисности и снага пумпе.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12Q [m3/s]

YA

Y [J/kg]

Y

РТ

0

100

200

300

400

500

600

700

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12Q [m3/s]

Ya[J/kg]

m1

m2

m



Напомена Приликом проучавања овог градива, упознати се са решеним задацима број 10. на 30. стр. и број 12. на 35. стр. књиге [1]. Теоријске подлоге и детаљнија објашњења појомова приказаних у овом изводу са аудиторних вежби се разматрају у оквиру курсева предмета Механика флуида, као и предавања из предмета Пумпе и вентилатори. Домаћи задатак

1. Написати једначину напора цевовода за случај да је усисном резервоару потпритисак, а у потисном натпритисак. Да ли ће тада радијална пумпа радити са већом или мањом снагом?

2. Нa слици 6. уцртати нову радну тачку за случај да се вентил на потису пумпе притвори. Да ли ће тада аксијална пумпа радити са већом или мањом снагом?

Литература:

[1] Чантрак С., Бенишек М., Павловић М., Марјановић П., Црнојевић Ц. (2005):

“Механика флуида-теорија и пракса”, (осмо прерађено и допуњено издање), Машински факултет, Београд.

[2] Протић З., Недељковић М. (2006): Пумпе и вентилатори – проблеми, решења, теорија, Едиција: Механика флуида и Хидрауличне машине, Машински факултет, Београд, пето издање.

[3] Недељковић М. (школска 2007/08): Предавања из изборног предмета Пумпе и вентилатори, Машински факултет, Београд.

[4] Чантрак С., Лечић М., Ћоћић А. (школска 2007/08): Механика флуида – теорија, проблеми и задаци, књига у припреми. Изводи са предавања и аудиторних вежби. Машински факултет, Београд. интернет сајт: http://147.91.26.38/

[5] http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Bernoulli_Daniel.html



1. задатак Кроз постројење које је приказано на слици 7. протиче 72 m3/h воде. Дати су следећи подаци: Hgeo = 40 m, Hs,geo= 5 m, hs = 0,3 m, hd = 1 m, d = 0,1 m, Ls = 50 m, Ld = 100 m, λ = 0,02, ζs = 0,1, ζk = 1,2, ζv = 0,8. Одредити: а) Напор пумпе и показивање уређаја прикључених на усис пумпе (вакуумметра) и на потис пумпе (манометра). б) Напор пумпе ако се између усисног и потисног цевовода угради повратни цевовод (приказан црткасто на скици) у коме су губици занемарљиви.

Слика 7. Скица постројења. РЕШЕЊЕ: a) Задатак је, скоро у потпуности, преузет из књиге Пумпе и вентилатори [1] (бр. 39. на 109. стр. и 52. зад. на 144. стр.). Такође је био излаган и у оквиру аудиторних вежби истоименог предмета и предмета Хидрауличне машине 1, од стране асистената мр Радомира Килибарде и Дејана Ђукановића, па се излаже и на овом месту. Студентима се саветује да погледају први начин израде у оквиру наведених задатака у збирци. Решавање на овај начин се ослања на запис проширених Бенулијевих једначина од пресека е-е до усисног пресека на улазу у пумпу и од потисног пресека, на излазу из пумпе, до нивоа слободне течности у потисном резервоару i-i, који је приказан у оквиру



претходних разматрања. Овде ће се задатак решавати применом записа карактеристике напора цевовода (YA ). Карактеристика напора цевовода за цевовод приказан на слици 1.:

24 2

83 1i e s s

A geo s k v

p p L LY gH Q .

d d

(1)

Приметити да се висине нису дате у односу на неку упоредну раван, већ у односу на ниво течности у неком резервоару, где је у овом случају у питању усисни. Замењујући бројчане вредности у претходну једначину, уочавајући да у усисном и потисном резервоару владају атмосферски, односно барометарски притисци - pb (зато је дат ниво слободне течности у њима и обележен са: ), добија се да је:

24 2

8 50 1009 81 40 0 1 3 1 2 0 8 1 0 02

1000 0 1 0 1b b

A

p pY , , , , , Q .

, ,

(2)

Односно: 2392 4 281267 61AY , , Q . (3)

Добијена је карактеристика напора цевовода у функцији од запреминског протока, која је приказан на дијаграму на слици 8.

Слика 8. Крива напора цевовода. Одређивање радне тачке пумпе.

Уношењем вредности протока 3 3 372 m /h = 72/3600 m /s = 0,02 m /sQ у дијаграм на слици 2, добија се радна тачка пумпе, иако није позната крива напора пумпе. Са слике 8. се види да пумпа ради са јединичном струјном енергијом од приближно 500 J/kg.

Дакле, радна тачка пумпе је РТ 30,02m /s, 500J/kgQ Y .

Вредност јединичне струјне енергије пумпе се могла одредити и уврштавањем вредности протока у једначину (3): 2392 4 281267 61 0 02 504 907 J/kgAY , , , , . Јединична струјна енергија пумпе и цевовода се поклапају када је систем у динамичкој равнотежи, односно управо онда када je пумпа спрегнута, и ради, са цевоводом, како је у

Q [m3/s]

РТ

Y [J/kg]

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1



оквиру претходних разматрања наглашено, тј. Y=YA. Значи, пумпа ”удовољава” захтевима система. Разлика у вредностима Y и YA је у овом случају настала због тачности очитавања са дијаграма (слика 8.). Према дефиницији [1, 2], јединична струјна енергија се одређује на следећи начин:

d sY Y Y . (4)

Јединична струјна енергија на потису пумпе dY је: 2

2d d

d d

p cY gz

(5)

где су следеће вредности мерене на мерном месту, утврђеном одговарајућим стандардом за испитивање, на потисној страни пумпе: dp апсолутни притисак, dc просечна брзина,

dz геодезијска висина (положај) тежишта мерног пресека. Аналогно је и за јединичну струјну енергију на усису пумпе (Ys). Како су пречници цевовода на усису и потису пумпе исти, то је разлика у кинетичким енергијама у овим пресецима занемарљива, односно: d sc c c . Такође се занемарује и

висинска разлика између тежишта дефинисаних мерних пресека. Сада из једначине (4) следи да је јединична струјна енергија:

d sp pY .

(6)

Да би се одредили апсолутни притисци у дефинисаним пресецима, прави се мала дигресија у област струјнотехничких мерења. Детаљи ове јако интересантне и преко потребне материје се излажу у оквиру предмета Техника мерења и сензори. С обзиром, како је вакуумметар постављен, а имајући у виду да је црево од мерног места на цевоводу до самог уређаја испуњено водом, из једначине хидростатике следи да је његово показивање:

s b s ,v s s ,v b s sp p p gh p p p gh . (7)

Разматрање је аналогно и за мерно место на потису пумпе:

d b d ,m m d ,m d b mp p p gh p p p gh . (8)

Заменом првих облика једначина (7) и (8) у једначину (6), добија се:

d ,m s ,vm s

p pY g h h .

(9)

Да би се одредила тражена показивања мерних инструмената, потребно је написати бар једну проширену Бернулијеву једначину. Нека то буде једначина од нивоа е-е до мерног места на усису пумпе:

22

4 2

24 2

8

2

81

b s ss ,geo s k

b s ,v s ss ,geo s k

p p LcgH Q

d d

p p gh LgH Q

d d

(10)

Из претходне једначине следи да је показивање вакуумметра:



24 2

24 2

81

8 501000 9 81 5 0 3 1000 0 1 1 2 1 0 02 0 02 91873Pa.

0 1 0 1

ss ,v s ,geo s s k

Lp g H h Q

d d

, , , , , ,, ,

Сада, из једначине (9), следи да је показивање манометра: 1000 504 907 91873 1000 9 81 0 3 1 406167 Pa.d ,m s ,v s mp Y p g h h , , ,

б) Када би укључили цевовод приказан црткасто на слици 7. настао би затворени (кружни) систем код кога нема геодезијске висине. Пошто је текстом задатка речено да се у додатом (црткастом) цевоводу, укупни успутни губици (локални и на трење) могу занемарити, јединична струјна енергија пумпе је онда:

24 2

8 50 1000 1 3 1 2 0 8 1 0 02 115 1J/kg.

0 1 0 1A geoY Y gH , , , , Q ,, ,

Како је добијена вредност напора пумпе скоро 4,4 пута мања од првобитне, може се закључити да је висина дизања течности јако битна за прорачун и одабир пумпе. Домаћи задатак

1. Да ли би се вредност показивања вакуумметра (ps,v) променила у случају да се он постави испод усисног цевовода на истој висини (hs)?

2. Одредити јединичну струјну енергију пумпе за случај да губици у повратној (црткасто представљеној на слици 1.) деоници нису занемарљиви. Коефицијент карактеристике повратног цевовода је упола мањи од коефицијента карактеристике усисног цевовода. Пумпа и даље ради са протоком од 72 m3/h.

СПРЕЗАЊЕ ПУМПИ (БЕЗ ПРЕТХОДНЕ РЕДУКЦИЈЕ КРИВЕ НАПОРА) Паралелна спрега Овде ће бити приказана спрега две пумпе, чије су криве напора познате и различите (слика 10.). У реалним случајевима, пре било каквог спрезања пумпи или цевовода, врши се умањење напора пумпе или тзв. редукција, о чему ће бити речи у оквиру следећих извода са аудиторних вежби. Схематски се паралелна спрега две пумпе приказује на начин приказан на слици 9.

I

II

Q Q

QI

QII1 2

Слика 9. Схема паралелне везе две хидрауличне пумпе.

На овом месту ће се напоменути да постоји електро-механичко-хидрауличко-пнеуматска



аналогија, која је од значаја, између осталог, и приликом решавања сложенијих електро или хидрауличких схема [3]. Пад притиска између тачака 1 и 2 (слика 9.) је исти независно од путање флуида, кроз пумпу I или II. Писањем једначине континуитета (или првог Кирхофовог закона у случају електричних схема) за чворове 1 и 2 се добија да је: 1 2Q Q Q . Графоаналитички поступак се изводи из претходних тврдњи, тако да се при истим напорима сабирају одговарајуће вредности протока за пумпе I и II, што је приказано на слици 10, за случај једне вредности јединичне струјне енергије Y = 200 J/kg. То, наравно, важи и за све остале вредности напора.

Слика 10. Приказ паралелне спреге две пумпе.

Редна спрега Схема редне спреге две пумпе је дата на слици 11.

I

Q=QI=QII

1 2

II

Слика 11. Схема редне везе две хидрауличне пумпе.

Приликом проласка кроз редну спрегу две пумпе (између тачака 1 и 2), флуид бива обогаћен енергијом Y = YI + YII. На слици 11. се види да је проток кроз обе пумпе исти. Графоналитички поступак се заснива управо на овом опису редне спреге. Поступак се заснива на сабирању напора ове две пумпе при истим протоцима. На слици 12. је дат

0

100

200

300

400

500

600

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25Q [m3/s]

Y [J/kg]

YI YII

QI за Y=200 J/kg

QII за Y=200 J/kg

QI + QII за Y=200 J/kg

(YI + YII)пар.



пример за случај вредности запреминског проток Q = 0,06 m3/s. Поступак сабирања напора, при истим протоцима, важи и за остале вредности на дијаграму (слика 12.).

Слика 12. Приказ редне спреге две пумпе.

ОДРЕЂИВАЊЕ РАДНЕ ТАЧКЕ СИСТЕМА (СПРЕГЕ) И РАДНЕ ТАЧКЕ ПУМПЕ

Слика 13. Одређивање радне тачке паралелне спреге (РТС) и појединачно пумпи (РТПI и

РТПII).

0

100

200

300

400

500

600

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

Y [J/kg]

Q [m3/s]

(YI + YII)паралелно

РТПII РТПI РТС

YА

YII YI

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14

YI за Q=0,06 m3/s

YII за Q=0,06 m3/s

YI +YII за Q=0,06 m3/s

YII

YI

(YI + YII)редно

Y [J/kg]

Q [m3/s]



На слици 13. је дат поступак одређивања радне тачке система и сваке од пумпи појединачно. Раднe тачке су дефинисане следећим вредностима запреминсог протока и

јединичне струјне енергије: РТС 30 13m /s, 260 J/kgQ , Y= , РТПI

30 04 m /s, 260 J/kgQ , Y= и РТПII 30 09 m /s, 260 J/kgQ , Y= . Вредност збира

запреминских протока пумпи појединачно мора дати запреминки проток који дефинише РТС-а. То овде јесте случај, јер 0,04 m3/s + 0,09 m3/s = 0,13 m3/s. На основу ових вредности се одређују степени корисности, вредности кавитацијске резерве пумпи и снаге. Слично је урађено и за редну спрегу пумпи (слика 14.). Раднe тачке су дефинисане следећим вредностима запреминсог протока и јединичне струјне енергије:

РТС 30 085m /s, 380 J/kgQ , Y= , РТПI 30 085m /s, 90 J/kgQ , Y= и РТПII

30 085m /s, 290J/kgQ , Y= . Вредност збира напора пумпи појединачно мора дати

запреминки проток који дефинише РТС-а. То овде јесте случај, јер 90J/kg+290J/kg=380J/kg. На основу ових вредности се одређују степени корисности, вредности кавитацијске резерве пумпи и снаге.

Слика 14. Одређивање радне тачке редне спреге (РТС) и појединачно пумпи (РТПI и

РТПII). Домаћи задатак

1. Прокоментарисати случај Q = 0,05 m3/s за РТС. Одредити радне тачке обе пумпе. Посматрати дијаграм на слици 13.

2. Прокоментарисати случај Q = 0,12 m3/s за РТС. Одредити радне тачке обе пумпе. Посматрати дијаграм на слици 14.

3. Које су предности једне, а које друге спреге?

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14

YII

(YI + YII)редно

YI

YА

РТПI

РТПII

РТС

Y [J/kg]

Q [m3/s]






[3] Чантрак С. (2005): Хидродинамика, Машински факултет, Београд, четврто издање. 2. задатак (преузет из [1] 55. зад./150. стр.) Након завршетка изградње постројења за централно грејање у згради високој 150m, потребно је да се изврши пуњење инсталације водом. За ту сврху постављена је радијална пумпа која црпи воду из цистерне и потискује је у инсталацију кроз цев која је прикључена на најнижем месту инсталације. За време пуњења, ваздух из инсталације испушта се у атмосферу кроз цевни вод смештен на њеном врху. Коефицијент отпора леве и десне гране инсталације су исти, и сваки од њих једнак је m=250 000 (J/kg)/(m3/s)2. Tражи се:

1. одредити напор пумпе у тренутку када течност, потискивана пумпом, дпстигне ниво у инстлацији, под условом да је тада проток кроз пумпу Q=0,02 m3/s;

2. да ли се иста пумпа може користити и за нормалан рад инстлације, наравно када се затвори довод воде из цистерне као и цевовод за испуштање ваздуха?

3. ако се та пумпа не би могла користити, онда треба изабрати нову пумпу, према напору који би се одредио за исти проток као под тачком 1.;

4. у чему би се, осим у напору, разликовале те две пумпе? РЕШЕЊЕ: 1.С обзиром да је геодезијска висина инсталације Hgeo=150m, и уз претпоставку да су лева и десна грана инсталације исте, напор пумпе на крају процеса пуњења био би:

2 2

A geoY gH m Q / 2 9,81 150 250000 0,02 / 2 1496,5J/kg ,

где је Q/2 због тога што се истовремено пуне обе гране цевовода. 2. Пумпа се не би могла користити за нормалан рад с обзиром на затворени систем из следећих разлога:

у затвореном систему отпада потреба за дизањем течности, тако да би напор био приближно 15 пута већи од потребног, у том случају радна тачка преместила би се у подручје највећег протока пумпе, где је степен искоришћења веома низак, а погонска снага веома велика, што би свакако било нерационално. С обзиром да повећани проток не би одговарао параметрима грејања, морало би се извршити пригушивање, које у погледу нормалног функционисања не би пружало никакве шансе.

3. Ова друга пумпа, осим у напору, разликовала би се од прве у следећем:

ако би се обе пумпе бирале из исте скупине, онда би и једна и друга биле димензионисане на исти начин (мисли се на димензионисање кућишта и заптивача). Код прве пумпе, димензионисање би било извршено према номиналном притиску од 16bar, док би код друге пумпе то био притисак од 2,5bar. Јасно је да би у овом другом случају била начињена грешка, јер би тада зидови кућишта били преслаби, а



функционисање заптивача непоуздано. Дакле, из наведених разлога, друга пумпа морала би бити изабрана из групе циркулацијских пумпи, код којих се о димензионисању зидова пумпе и заптивачима, с обзиром на статички притисак у инсталацији, мора строго водити рачуна.

3. задатак (преузет из [1] 54. зад./148. стр.) Отворени резервоар висине 4,5m испуњен је водом до висине од 4m (слика 15.). На дну резервоара смештена је пумпа чији је задатак да усисава воду у доњем делу резервоара и да је пребацује у горњи део резервоара. Притом се и усисни и потисни цевовод налазе у потпуности „под водом“. Усисног цевовода нема, док је еквивалентна дужина потисног цевовода 5m. Пречник цевовода је 50mm. Излазни отвор потисног цевовода постављен је на висини 4m oд дна резервоара. Коефицијент трења је =0,02. Проток кроз постројење је Q=0,03m3/s. Тражи се:

1. одредити напор и тип пумпе ако је брзина обртања n=1450min-1; 2. шта би се променило у раду постројења ако би се ниво воде у резервоару спустио за 3m, a диспозиција пумпе и цевовода остала иста. Колики би тада био напор пумпе?

Слика 15. Схема инсталација.

РЕШЕЊЕ: 1.Коефицијент карактеристике цевовода је:

ekv

22 4 2 4 3

L8 8 5 J / kgm 1 0,02 1 389073 .

D D 0,05 0,05 m / s

Задати систем представља затворени систем тако да је Hgeo=0, па је потребан напор пумпе: 2

AY 0 389073 0,03 350, 2J / kg.

Ак оби се изабрала пумпа са претходно израчунатим вредностима протока и напора, специфична брзина обртања би била:

Q 3 4 3 4

n Q 1450 0,03n 17,2

Y g 350, 2 9,81 ,

што значи да је у питању спорохода радијална пумпа. 2.Спуштање нивоа у резервоару проузрокује „отварање“ система, тако да се смањује стуб течности у повратном воду чиме је пумпи отежан рад. Дакле, карактеристикапсотројења у овом случају је:



2 2A geoY gH mQ 9,81 3 389073 Q ,

па би за остварење истог протока као у тачки а) требало изабрати пумпу према напору: 2

AY 29, 43 389073 0,03 379,6J / kg.

Уколико би се задржала пумп аиз тачке 1. овог задатка, тада би се проток кроз систем смањио. 4. задатак (сличан задатку 62./170. стр. [1]) Пумпа регулисана оптoчним водом („by-pass“-ом) пребацује воду из затвореног усисног резервоара где изнад нивоа течности влада натпритисак од pm=0,1 bar, у отворени потисни резервоар (слика 16.). Висинска разлика између нивоа воде у резервоарима је 3m. Карактеристике пумпе дате су таблицом, док је карактеристика отпора усисног цевовода једнака карактеристици отпора потисног цевовода ms=md=40000 (J/kg)/(m3/s)2, каракетристика отпора опточног вода је mby=120000 (J/kg)/(m3/s)2. Занемарити губитке у кратким деоницама са збирним протоком непосредно испред и иза пумпе.

Слика 16. Схема инсталације.

n=1450 min-1 Q l/s 0 20 40 60 80 100 120 Y J/kg 200 196 185 168 145 117 79,5 η % 0 36 57,5 65,5 64,5 54,5 39 NPSEP J/kg 30 32,5 39 47,5 57,5 68,2 80,5

Усвојити да је густина воде 1000kg/m3 и убрзање силе Земљине теже g=9,81m/s2. Тражи се:

1. одредити снагу са којом ради пумпа, као и протоке кроз поједине гране цевовода; 2. проверити да ли пумпа ради у безкавитационом режиму ако се усисна прирубница

пумпе налази 5m изнад нивоа воде у усисном резервоару. Разлика између атмосферског притиска и притиска засићене водене паре за радну температуру воде износи 0,98bar;

3. одредити нову радну тачку пумпе и њену снагу када се вентил В1 затвори у потпуности;



4. за случај да се вентил В2 затвори (вентил В1 је отворен), одредити нову брзину обртања пумпе да би се постигао доток воде у потисни резервоар од 40l/s.

РЕШЕЊЕ: 1. Опточни вод на слици 16. заједно са кратким деоницам непосредно испред и иза пумпе чини кружни систем који нема геодезијску висину, тако да се карактеристика опточног вода може записати као:

2 2by byY m Q 0,12 Q ,

где је Q [l/s]. Усисни и потисни цевовод, с обзиром да кроз њих протиче исти проток, су везани на ред, тако да је карактеристика цевовода дата следећом једначином:

52 2 2m

A geo s d 3

p 0,1 10Y gH (m m )Q 9,81 3 0,08 Q 39.43 0,08 Q

10

,

где је Q [l/s]. Када су оба вентила отворена, цевовод и опточни вод раде паралелно. Зато је на слици 17. приказана паралелна спрега ова два цевовода (YA+Yby)пар.. Пресек ове криве са карактеристиком пумпе одређује тражену радну тачку система (РТС), која се у овом случају поклапа са радном тачком пумпе (РТП).

Слика 17. Спрезање цевовода и пумпе.

Види се да пумпа ради са следећим параметрима: Q=82l/s, Y=142J/kg и η=63%. Сада је снага пумпе у радној тачки:

QY 1000 0,082 142P 18,48kW.

0,63

Враћањем из радне тачке пумпе на компоненте паралелне спреге цевовода, односно на појединачно криву опточног вода (Yby) и криву цевовода (YA) добијају се протоци кроз

-100

-50

0

50

100

150

200

250

300

0 20 40 60 80 100 120

Q [l/s]

Y [J/kg]

РТП

(YA+Yby)пар.

YA

Yby

η

NPSEP

Qby QA



опточни вод – Qby=33l/s и кроз цевовод (према потисном резервоару) – QA=47l/s. 2. Провера рада пумпе у погледу кавитације се обавља упоређивањем кавитацијске резерве пумпе (NPSEP) и кавитацијске резерве постројења (NPSEA). Кавитацијска резерва постројења се дефинише следећим изразом:

52 2b m d

A sgeo s A

0,98 0,1 10p p pNPSE gH m Q 9,81 5 0,04 47 29.41J / kg.

1000

Кавитацијаска резерва пумпе за проток са којим ради Q=82l/s се чита из дијаграма на слици 1. и износи NPSEP=60 J/kg. Како је NPSEA < NPSEP, то значи да пумпа ради у кавитацијском режиму. С обзиром да је NPSEA < 0, то се могло одмах и закључити. Овде треба нагласити да су NPSEA и NPSEP рачунати са различитим протоцима, јер пумпа ради са једним, а други пролази кроз цевовод. 3. Затварањем вентила В1 зауставља се кретање воде и у потисном и у усисном делу цевовода, тако да се остварује само кружење воде кроз опточни вод. Сада је нова радна тачка дефинисана са радном тачком РТ`(39l/s, 186J/kg) и са степеном корисности η=57% (слика 18.). Сада је снага пумпе:

Q 'Y ' 1000 0,039 186P ' 12,73kW.

0,57

Слика 18. Прост цевовод и крива сличности.

4. Затварањем вентила В2 систем се претвара у прост цевовод са само карактеристиком цевовода YA као потрошач (слика 18.). Условом задатка је дато да нова радна тачка има проток 40l/s. Како она мора да се налази на кривој цевовода то нова радна тачка пумпе РТП” мора да задовољи једначину цевовода, па је Y”=88,57 J/kg. Сада се одређује коефицијент криве сличности, односно афиности који износи:

-100

-50

0

50

100

150

200

250

300

0 20 40 60 80 100 120

Q [l/s]

Y [J/kg]

РТП’

YA

Yaf

η

РТП”

C



22 2

Y '' 88,57 J / kgk 0,055356 .

Q '' 40 l / s

Сада крива сличности гласи: 2 2

afY kQ 0,055356 Q .

Пресек криве Yaf и старе криве напора пумпе даје тачку С (QC=56l/s) која је слична новој радној тачки пумпе РТП”. Сличне тачке С и РТП” имају исту значицу протока и степен корисности, одакле следи:

C C CРТП" РТП" РТП"C РТП" 2 2

2 22 22,C 2,РТП"

1РТП"

C

Q Q QQ Q QD n D n"D D n n"

u u60 604 4

nQ 1450 40n" 1036min .

Q 56

Пошто тачка С „лежи“ на старој кривој напора пумпе за који важи стара крива степена корисности то се очитава ηС=66% и он је уједно и степен корисности за РТП”. Снага са којом пумпа сада ради је:

C

Q ''Y '' 1000 0,04 88,57P '' 5,37 kW.

0,66


[1] Протић З., Недељковић М. (2006): Пумпе и вентилатори – проблеми, решења,

теорија, Едиција: Механика флуида и Хидрауличне машине, Машински факултет, Београд, пето издање.



5. задатак Нa слици 1. је приказана схема постројења за вентилацију складишта. Радне карактеристике вентилатора В1 и В2, који раде са бројем обртаја n = 1450 min-1, су дате у следећој табели:

вентилатор В1 Q m3/s 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 Δpt Pa 6120 5950 5440 4590 3400 1870 0

вентилатор В2 Q m3/s 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Δpt Pa 4000 3750 3000 1750 0

Степени корисности оба вентилатора су дати једначинама:

21 2200 240 , 50 6 7,5 ,Q Q Q Q

где су 3[m /s], [%]Q .

Индекси жалузина се поклапају са бројем деонице у којој су смештене. Коефицијенти карактеристика отпора појединих деоница каналског развода, који у оквиру себе укључују све отпоре, па и жалузина, су: m1=1000 (вентилаторска деоница од усиса, уласка у систем, до тачке А), m2=1800 (вентилаторска деоница од А-Р), m3=2860 (вентилаторска деоница од усиса, уласка у систем, до тачке В), m4=2000 (вентилаторска деоница од В-Р), m5=1000 (вентилаторска деоница од складишта до тачке Р1), m6=700 (вентилаторска деоница од тачке Р1 до изласка из система), m7=500 (вентилаторска деоница од Р1-В), m8=200 (вентилаторска деоница од Р1-А). Губици у вентилационој деоници од тачке Р до просторије С се могу занемарити. Сви наведени коефицијенти су дати у [Pa/(m3/s)2]. Све деонице су истог попречног пресека. Одредити: а) проток ваздуха кроз складиште С и снаге оба вентилатора, за случај да су жалузине у деоницама 1, 3 и 6 отворене, а жалузине у деоницама 7 и 8 потпуно затворене; б) проток ваздуха кроз складиште С и снаге оба вентилатора, за случај да су жалузине у деоницама 1, 3 и 6 потпуно затворене, а жалузине у деоницама 7 и 8 отворене; в) апсолутни притисак који влада у складишту С, за случај рада вентилационог система под тачком а). Усвојити да је вредност атмосферског притиска pа = 100 000 Pa.



P

AP1 B

B1 B2

C

8

2

1

4

736

5

Слика 1. Схема вентилационог постројења РЕШЕЊЕ: Уводне напомене У оквиру овог предмета се сада, по први пут, излаже пример везан за прорачун једног вентилационог постројења у целости. Увођење критеријума разликовања и дефинисања појма вентилатора се уводи у оквиру задатка 11. на 32. стр. [1]. Разноврсни примери прорачуна вентилационих постројења се могу наћи у [1] и [3]. Једначина напора постројења .је аналогна пумпним постројењима, али из практичних разлога, користи се запис у јединицама притиска, значи једначина се записује преко пада притиска. Уводи се ознака Ap за напор вентилационог постројења, која је са јединичном

струјном енергијом повезана преко густине флуида: A Ap Y [1]/31. стр. У оквиру изборног предмета Пумпе и вентилатори, то ће у случају гасовитих флуида бити ваздух, као што је у случају течности била вода. Овим се не губи на општости, јер се прерачунавање на другу густину обрађује у оквиру предавања из истог предмета [2], као и у оквиру градива обухваћеног збирком задатака и извода из теорије, која носи назив предмета [1]. То има свог оправдања у теорији и пракси.



Запис напора постројења ће бити преко коефицијента карактеристике отпора вентилационих цевних деоница, који у оквиру себе обухватају све губитке: 2

Ap m Q ,

где коефицијент отпора има димензију 23Pa/ m /s

.

Напор вентилатора се изражава преко разлике тоталних притисака на потису и усису и има ознаку tp [1]/35. стр.

За графичку интерпретацију ће се користити графици, који имају димензију притиска на ординатној оси, а запреминког протока на апсциси. Зато је крива напора вентилатора и задата на таблично у облику: tp f Q .

Код прорачуна вентилационих постројења се неће експлицитно држати прорачунских тачака, као код пумпних. У оквиру задатака који се овде излажу не постоји проблем референтне равни. Не постоји ни проблем одређивања смера струјања, као ни испитивања услова кавитације. То указује, на прилична поједностављења у односу на прорчун хидрауличких постројења. а) На основу текста задатка се постројење приказано на слици 1., своди на постројење приказано на слици 2. Затворена жалузина у оквиру неке деонице, резултује бесконачно великим коефицијентом отпора, тако да кроз ту деоницу не протиче ваздух. Значи да је можемо елиминисати. Жалузина представља регулациони вентил у оквиру вентилационог постројења.

P

B1 B2

C

2

1

4

36

5

Слика 2. Скица постројења са затвореним жалузинама 8 и 7. Пример вентилације са свежим ваздухом.



У оквиру постројења приказаног на слици 2. се види да се свеж ваздух усисава кроз деонице 1 и 2 са вентилатором В1 са једне стране и кроз деонице 3 и 4 са вентилатором В2 са друге стране. Протоци се сабирају у рачви Р и достављају у складиште С. Сматра се да у оквиру складишта С не постоје запремински губици ваздуха. Развод ваздуха у оквиру складишта се овом приликом не излаже. Искоришћен ваздух се сада потискује кроз деонице 5 и 6 назад у атмосферу. Како кроз деонице 1 и 2, па и деонице 3 и 4 пролази исти запремински проток ваздуха, то су те деонице редно спојене. Иако је то овде очигледно, с обзиром на геометрију цевовода и њихово спрезања на ред (пририбница на прирубницу), то се овде редно спрезање наглашава, јер ће постојати случајеви када то неће бити лако уочљиво. Из овога следи да се може израчунати укупни коефицијент отпора вентилационе деонице састављен од деоница 1 и 2 и онда редуковати карактеристика вентилатора В1, који је физички смештен грани 2. Аналогија важи и за вентилатор В2. То је приказано на следећи начин:

2 21 1 A,12 1 1 2 1

2 22 2 A,34 2 3 4 2

2800

4860

*t , t, t, t,

*t , t, t, t,

p p p p m m Q p Q ,

p p p p m m Q p Q .

Слично је и са отсисним деоницама 5 и 6, које су такође везане на ред, тако да је:

2 2A,56 5 6 1700p m m Q Q .

Једначина континуитета написана за рачву Р даје:

12 34 56 CQ Q Q Q .

Запремински проток CQ представља проток кроз складиште С, чија се вентилација

пројектује и тражи у оквиру овог задатка. На основу претходне једначине се може закључити да ће се извршити паралелно спрезање редукованих кривих вентилатора В1 и В2, односно:

1 2* *

екв . t , t , пар .p p p .

Радна тачка система се, као и до сада, налази у пресеку кривих које представљају ”произвођача” (крива екв .p ) и ”потрошача” (крива A,56p ).

Из дијаграма на слици 3. се може закључити да су параметри радне тачке система РТС

3С РТС C P PTС1 14m /s, 2250PaQ Q , p p p . Значи, запремински проток ваздуха

кроз складиште С је 3С 1 14m /sQ , . Релативни притисак који влада у тој просторији је

једнак релативном притиску у рачви Р, јер се струјни губици на деоници Р-складиште С, према тексту задатка, занемарују.



Слика 3. Одређивање радне тачке система (РТС) и радне тачке вентилатора В1 и В2. Из дијаграма на слици 3. се види да су радне тачке вентилатора:

РТВ1 1

312 B0 74m /s, 3900 PaQ , p и РТВ2

2

334 B0 4 m /s, 3200 PaQ , p .

Степени корисности вентилатора, при одређеним радним протоцима, су:

B1

B2

2 212 12

34 34

200 240 200 0 74 240 0 74 68 1%,

50 6 7 5 50 0 4 6 7 5 0 4 60%.

Q Q , , ,

Q , Q , , ,

Тражене снаге, са којим раде вентилатори, су:

1

1

1

2

2

2

B 12B 3 3

B

B 34B 3 3

B

3900 0 744 24 kW,

10 0 681 10

3200 0 42 13kW.

10 0 6 10

p Q ,P ,

,

p Q ,P ,

,

Провера: Једначина континуитета важи за рачву Р, јер: 12 34 C0 74 0 14 1 14Q Q , , , Q .

б) На основу текста задатка се постројење приказано на слици 1., своди на постројење приказано на слици 4.

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6

РТB1

РТС

Q [m3/s]

Δp [Pa]

ΔpA,12 РТB2

С РТСQ Q

ΔpA,34

1t ,p

1*t ,p

2*t ,p

2t ,p

ΔpA,56

1 2* *t , t , пар .

p p



P

P1

B1 B2

C

8

2 4

7

5

Слика 4. Скица постројења са затвореним жалузинама 1, 6 и 3. Пример рециркулације

ваздуха. У оквиру постројења приказаног на слици 4. се види да се сада свеж ваздух не усисава већ, да само постојећи кружи у оквиру постројења. Сада вентилатор В1 узима ваздуха из просторије С преко деоница 5, 8 и 2, а вентилатор В2 кроз деонице 5, 7 и 4 са друге стране. Протоци се сабирају у рачви Р и достављају у складиште С. Поново се сматра се да у оквиру складишта С не постоје запремински губици ваздуха. Из просторије С се ваздух, преко деонице 5, поново убацује у кружни систем. Како сада кроз деонице 8 и 2, па и деонице 7 и 4 пролази исти запремински проток ваздуха, то су те деонице редно спојене. Одавде, на исти начин, следи да се може израчунати укупни коефицијент отпора вентилационе деонице састављен од деоница 8 и 2 и онда редуковати карактеристика вентилатора В1, који је физички смештен у грани 2. Аналогија важи и за вентилатор В2. То је приказано на следећи начин:

2 21 1 A,82 1 8 2 1

2 22 2 A,74 2 7 4 2

2000

2500

*t , t, t, t,

*t , t, t, t,

p p p p m m Q p Q ,

p p p p m m Q p Q .

Преостаје деоница 5, која се посматра као ”потрошач”:

2 2A,5 5 1000p m Q Q .

Једначина континуитета написана за рачву Р даје:



'82 74 5 CQ Q Q Q .

И на овом месту се може закључити, на основу претходне једначине, да ће се извршити паралелно спрезање редукованих кривих вентилатора В1 и В2, односно:

1 2* *

екв . t , t , пар .p p p .

Радна тачка система се, као и до сада, налази у пресеку кривих које представљају ”произвођача” (крива екв .p ) и ”потрошача” (крива A,5p ).

Из дијаграма на слици 5. се може закључити да су параметри радне тачке система РТС’

' 3C РТС' C' P PTС'1 34 m /s, 1900PaQ Q , p p p . Значи, запремински проток ваздуха

кроз складиште С је ' 3C 1 34 m /sQ , .

Слика 5. Одређивање нове радне тачке система (РТС') и радних тачака вентилатора В1 и В2.

Из дијаграма на слици 5. се види да су радне тачке вентилатора:

РТВ’1 1

382 B0 83m /s, 3300 PaQ , p и РТВ’2

2

374 B0 51m /s, 2250PaQ , p .

Степени корисности вентилатора, при одређеним радним протоцима, су:

B1

B2

2 282 82

74 74

200 240 200 0 83 240 0 83 61 42%,

50 6 7 5 50 0 51 6 7 5 0 51 55 46%.

Q Q , , ,

Q , Q , , , ,

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6

РТB’1 РТС

Q [m3/s]

Δp [Pa]

ΔpA,82 РТB’2

ΔpA,74

1t ,p

1*t ,p

2*t ,p

2t ,p

ΔpA,5

1 2* *t , t , пар .

p p



Тражене снаге, са којим раде вентилатори, су:

1

1

1

2

2

2

B 82B 3 3

B

B 74B 3 3

B

3300 0 834 46 kW,

10 0 6142 10

2250 0 512 07 kW.

10 0 5546 10

p Q ,P ,

,

p Q ,P ,

,

Провера: Једначина континуитета важи за рачву Р, јер: '

82 74 C0 83 0 51 1 34Q Q , , , Q .

в) Апсолутни притисак у протсторији С се добија на основу закључака изнетих под тачком а) овог задатка. Одатле следи да је апсолутни притисак у складишту С, за случај рада вентилационог система под тачком а):

C РТС 100000 2250 102250 Pa.ap p p

Домаћи задатак Одредити апсолутни притисак који влада у складишту С, за случај рада вентилационог система под тачком б). Усвојити да је вредност атмосферског притиска pа = 100 000 Pa. Литература:



[3] Чантрак С. (2004): Примењена механика флуида, у књизи Термотехничар, Том 1, с. 110-227, Интерклима-Графика, Врњачка Бања, СМЕИТС, Београд.

Documents

01. Струјне машине - I део