ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙvenec.ulstu.ru/lib/disk/2015/Polenischenko_4.pdfТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Р АСЧЕТНО - ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА 2-

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ

ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Кафедра естественно-научных дисциплин

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

2-е издание, исправленное и дополненное

Ульяновск 2009

ББК В 171 я7

Т33

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры

алгебры и геометрии УлГПУ Д.З. Ильязова

Теория вероятностей. Расчетно-графическая работа / сост. Л.И. Полени-

щенко. – 2-е изд., испр. и доп. – Ульяновск : УВАУ ГА(и), 2009.– 32 с.

Содержит теоретические вопросы и расчетные задания по разделу «Тео-

рия вероятностей». Приведены решения типовых задач с достаточно под-

робным объяснением.

Составлено в соответствии с программой курса высшей математики.

Предназначено для курсантов второго курса всех специальностей УВАУ ГА.

Печатается по решению Редсовета училища.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Общие сведения ................................................................................................. 3

Теоретические вопросы .................................................................................... 4

Расчетные задания ............................................................................................. 6

Решение типового варианта ............................................................................ 16

Библиографический список ............................................................................ 28

Приложения ...................................................................................................... 29

© Поленищенко Л.И., 1995.

© Ульяновск, УВАУ ГА, 1995.

© Ульяновск, УВАУ ГА(и),

исправление и дополнение, 2009.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

При изучении курса высшей математики выполнение расчетно-

графических работ – одна из основных форм самостоятельной работы кур-

сантов, которая активизирует учебный процесс и способствует более глубо-

кому изучению основных разделов математики.

Расчетно-графическая работа (РГР) содержит теоретические вопросы и

расчетные задания. Теоретические вопросы являются общими для всех кур-

сантов, задачи – для каждого курсанта учебной группы индивидуальные.

Всего предлагается 30 различных вариантов задач.

В РГР принята следующая нумерация: первое число означает номер зада-

чи, а второе – номер варианта.

Ответы на теоретические вопросы курсанты готовят устно, расчетные за-

дания выполняют письменно по мере изучения учебного материала на лекци-

ях и практических занятиях. РГР сдают на проверку преподавателю.

Завершающим этапом является защита РГР. Во время защиты курсант

должен уметь правильно отвечать на теоретические вопросы, пояснять реше-

ния задач своего варианта, решать задачи аналогичного типа.

Автор: Поленищенко Л.И. Теория вероятностей. Расчетно-графическая работа

Электронная версия: Ильиных ГА ©НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и) 3

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

1. Какие комбинации из n различных элементов по m элементов называют

размещениями, сочетаниями? По каким формулам их вычисляют?

2. Что называют перестановками из n различных элементов? Формула

для вычисления.

3. Какие события называются случайными, совместными и несовместны-

ми, достоверными и невозможными, равновозможными?

4. Когда совокупность случайных событий образует полную группу собы-

тий для данного испытания?

5. Когда событие А называется благоприятствующим событию В?

6. Классическое определение вероятности случайного события.

7. Частота случайного события. Статистическое определение вероятности.

8. Геометрические вероятности.

9. Какие события называются зависимыми и независимыми?

10. Что называется условной вероятностью?

11. Что такое сумма случайных событий? Вероятность суммы несовмест-

ных и совместных событий.

12. Что называется произведением событий? Вероятность произведения

событий.

13. Какие события называются противоположными и чему равна вероят-

ность их суммы?

14. В каких задачах используются формула полной вероятности и форму-

ла Бейеса?

15. Повторение независимых испытаний. Формулы Бернулли и Пуассона.

Локальная теорема Муавра–Лапласа. В каких ситуациях применяются эти

формулы?

16. Какая величина называется случайной? Как подразделяются случай-

ные величины?

17. Понятие дискретной случайной величины, примеры. Закон распреде-

ления и способы его задания.



18. Понятие непрерывной случайной величины, примеры.

19. Функция распределения случайной величины, ее основные свойства.

20. Какая функция называется плотностью распределения случайной ве-

личины? Перечислить ее свойства.

21. Как вычисляется вероятность ( )?bXaP <<

22. Записать зависимость между функциями ( )xf и ( ).xF

23. Числовые характеристики дискретной случайной величины: матема-

тическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода.

24. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

25. Законы распределения случайных величин: биномиальный, Пуассона,

равномерный, показательный.

26. Нормальное распределение случайной величины. Как вычислить веро-

ятность ( )β<<α XP для нормально распределенной случайной величины?

27. Правило «трех сигм».



РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задача 1.

1.1. На складе имеется 20 авиадвигателей, причем 10 из них изготовлены

заводом № 1. Найти вероятность того, что среди пяти наудачу взятых двига-

телей окажутся три, изготовленных заводом № 1.

1.2. В устройстве, состоящем из семи элементов, три изношены. При

включении устройства случайным образом включаются два элемента. Найти

вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.

1.3. Найдите вероятность того, что наугад взятое двузначное число делит-

ся на пять.

1.4. Бросают четыре монеты. Какова вероятность того, что ни на одной из

них не появится герб?

1.5. Брошены две игральные кости. Какова вероятность выпадания на

двух костях в сумме не менее девяти очков?

1.6. При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры

и набрал их наудачу, помня только, что эти цифры нечетные и разные. Найти

вероятность того, что номер набран правильно.

1.7. Датчик случайных чисел генерирует двузначное случайное число. Ка-

кова вероятность того, что сгенерированное число делится на 10?

1.8. Даны числа 1, 2, 3, 4, 6, 8. Найдите вероятность того, что произведе-

ние любых двух из них будет нечетным.

1.9. В пачке 30 авиабилетов, помеченных номерами от 1 до 30. Кассир

наудачу берет из пачки два билета. Найти вероятность того, что это будут

билеты с номерами 15 и 23.

1.10. В экзаменационный билет входит три вопроса программы, состоя-

щей из 50 вопросов. Курсант не знает 20 вопросов программы. Какова веро-

ятность того, что он возьмет билет, в котором все вопросы ему известны?



1.11. В партии, состоящей из 10 изделий, имеется три дефектных. Для

проверки наудачу выбираются два изделия. Найти вероятность того, что сре-

ди них не будет ни одного дефектного.

1.12. Для того чтобы открыть входную дверь, требуется два ключа. Ключи

выбираются наугад из связки различных между собой десяти ключей, содер-

жащей и требуемые два ключа. Какова вероятность того, что выбранными

ключами можно открыть дверь?

1.13. В партии из десяти деталей восемь окрашенных. Для контроля нау-

дачу берутся две детали. Какова вероятность того, что все отобранные детали

окрашены?

1.14. На девяти карточках написаны цифры от 1 до 9. Определить вероят-

ность того, что сумма чисел на двух наугад взятых карточках равна 15.

1.15. На восьми карточках написаны числа: 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 17. Из двух

наудачу взятых карточек составлена дробь. Какова вероятность того, что она

сократима?

1.16. В ящике 90 стандартных и 10 нестандартных деталей. Какова веро-

ятность того, что среди 10 наугад выбранных деталей нестандартных нет?

1.17. Найдите вероятность того, что наугад взятое двузначное число со-

держит в записи цифру 0.

1.18. Бросают три монеты. Найти вероятность того, что только на одной

монете появится герб.

1.19. В лотерее имеется 20 билетов, из которых пять выигрышных. Нау-

дачу выбирают два билета. Какова вероятность одного выигрыша?

1.20. Одновременно бросают две игральные кости. Определить вероят-

ность того, что выпадет сумма очков, равная 5.

1.21. Даны числа 1, 2, 3, 4, 6, 8. Найдите вероятность того, что сумма лю-

бых двух из них будет нечетной.



1.22. Какова вероятность того, что на каждой из трех брошенных играль-

ных костей выпадет одно и то же число очков?

1.23. Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на всех

верхних гранях появится только четное число очков.

1.24. На карточках написаны целые числа от 1 до 20. Наудачу извлекают

две карточки. Какова вероятность того, что сумма чисел, написанных на этих

карточках, равна 12?

1.25. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до

100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жето-

на не содержит цифры 0.

1.26. В коробке лежит десять карточек с цифрами от 0 до 9. Найти вероят-

ность того, что из двух наугад извлеченных карточек можно составить число

«32».

1.27. Найдите вероятность того, что наугад взятое двузначное число не

делится на 10.

1.28. В устройстве, состоящем из семи элементов, три изношены. При

включении устройства случайным образом включаются два элемента. Найти

вероятность того, что включенными окажутся изношенные элементы.

1.29. Номер телефона состоит из пяти цифр. Найти вероятность того, что

все цифры наугад набранного номера разные.

1.30. Бросают две игральные кости. Какова вероятность того, что на их

верхних гранях выпадет по пять очков?

Задача 2. Слово составлено из карточек, на каждой из которых написана

одна буква. Карточки перемешиваются и снова раскладываются слева напра-

во. Найти вероятность того, что при этом снова получится данное слово.

Слова по вариантам:

2.1. пилот 2.11. программа 2.21. координата

2.2. диспетчер 2.12. комбинаторика 2.22. интеграл

2.3. менеджер 2.13. полоса 2.23. шасси



2.4. спасатель 2.14. устройство 2.24. аудитория

2.5. курсант 2.15. экипаж 2.25. конспект

2.6. самолет 2.16. лекция 2.26. космос

2.7. двигатель 2.17. наука 2.27. событие

2.8. вероятность 2.18. авиация 2.28. статистика

2.9. инженер 2.19. безопасность 2.29. градиент

2.10. алгоритм 2.20. факультет 2.30. парашют

Задача 3. В урне содержится К черных и Н белых шаров. Случайным об-

разом извлекают М шаров. Найти вероятность того, что среди них имеется:

а) Р белых шаров;

б) меньше чем Р белых шаров;

в) хотя бы один белый шар.

Значения параметров К, Н, М и Р по вариантам приведены в таблице.

Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

К 5 6 6 7 4 8 6 4 5 7 8 6 4 8 5

Н 6 5 5 4 5 6 7 7 6 4 6 5 6 6 6

М 5 4 5 4 4 5 4 4 5 3 4 4 4 5 5

Р 3 2 3 2 2 3 4 2 3 2 3 3 3 2 4

Вариант 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

К 7 5 6 5 6 6 6 8 6 5 6 5 6 6 4

Н 4 7 5 7 7 8 5 6 7 7 7 7 8 7 7

М 5 4 5 5 5 5 6 5 4 4 6 5 5 5 3

Р 3 3 2 4 3 4 4 4 3 2 3 3 3 2 2

Задача 4. Устройство состоит из трех независимых элементов, работаю-

щих в течение времени Т безотказно соответственно с вероятностями

.,, 321 ppp Найти вероятность того, что за время Т выйдет из строя:

а) только один элемент;

б) хотя бы один элемент.

Значения параметров вычислить по следующим формулам:



,100:9,14 Vk −= где V – номер варианта,

.85,0,9,0,1 321 kpkpkp −=−=−=

Задача 5. Прибор, установленный на борту ВС, работает в двух режимах:

в условиях нормального полета и в условиях перегрузки (при взлете и посад-

ке). Нормальный режим полета длится М % всего времени полета, а условия

перегрузки – N %. Вероятность выхода прибора из строя за время полета в

нормальном режиме равна ,1p а в условиях перегрузки – .2p Вычислить на-

дежность (вероятность безотказной работы) прибора за время полета.

Значения параметров варианта задания вычисляются по следующим фор-

мулам:

,14 Vk −= где V – номер варианта,

,1006,0,10035,0 21 kpkp −=−=

.100,14,90,14,80

MNVV

M −=⎩⎨⎧

>≤

=

Задача 6. В авиакомпании производится выборочное обследование трех

возрастных групп пилотов на предмет выявления профессиональных заболе-

ваний. Численность групп соответственно равна ,,, 321 MMM а вероятности

заболевания каждого пилота из возрастной группы составляют соответствен-

но .,, 321 ppp Первый обследуемый оказался здоровым. Какова вероятность

того, что он принадлежит к N-ой группе?

Значения параметров варианта задания вычисляются по следующим фор-

мулам:

,14 Vk −= где V – номер варианта,

,10025,0,1002,0 21 kpkp −=−= ,1003,03 kp −=

,35,30,5 321 kMkMkM −=−=+=



⎪⎩

⎪⎨

⎧

>≤<

≤=

.20,3,2010,2

,10,1

VV

VN

Задача 7. На ремонтную базу авиапредприятия поступили две партии за-

пасных блоков. В первой партии 1N блоков, а во второй – 2N блоков. Веро-

ятности повреждения в пути одного блока соответственно равны 1p и .2p

Найти вероятности того, что на базу в каждой партии поступило ровно М не-

годных блоков.

Значения параметров варианта вычисляются по следующим формулам:

⎩⎨⎧

=

≠−=

,14,1,14,14

VVV

k где V – номер варианта,

,200100,5 21 +⋅=+= VNkN ,,1003,0 221 Nkpkp =−=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>≤<

≤=

.20,10,2010,3

,10,5

VV

VM

Задача 8. Случайная величина Х задана рядом распределения

х х1 х2 х3 х4

р р1 р2 р3 р4

Определить p4. Найти функцию распределения F(х) случайной величины

Х и построить ее график. Вычислить для Х ее среднее значение М(Х), диспер-

сию D(X) и моду .0M

Значения параметров варианта вычислить по следующим формулам:

,14 Vk −= где V – номер варианта, x1= k + 1, x2 = k + 2, x3 = k + 3, x4 = k + 5,

,10026,0,1003,0 21 kpkp −=−= .10017,03 kp −=

Задача 9. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения



( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

>≤<

≤

=.,0

,0,2

0,02

RxRxkx

x

xf

Найти функцию распределения F(x) случайной величины Х. Построить

графики функций f(x) и F(x). Вычислить для Х ее математическое ожидание

М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратичное отклонение ( ).Xσ Значения

параметров k и R вычислить по следующим формулам:

,2,2 kRVk ⋅=+= где V – номер варианта.

Задача 10.

10.1. Среднее квадратическое отклонение ошибки указателя скорости ВС

5 км/ч. Стрелка прибора показывает 400 км/ч. Систематическая ошибка от-

сутствует. Определить вероятность того, что истинная скорость ВС лежит в

интервале 390–410 км/ч.

10.2. Случайная величина Х имеет равномерное распределение. Вероят-

ность того, что она примет значение на интервале (–1,3), равна 50 %. Опреде-

лить функцию плотности вероятности случайной величины.

10.3. Средняя квадратическая ошибка высотомера составляет 15 м. Какова

вероятность того, что ВС уклонится от расчетной высоты не более, чем на 20 м?

10.4. Производится взвешивание некоторого вещества без систематиче-

ских (одного знака) погрешностей. Случайные погрешности взвешивания

подчинены нормальному закону со средним квадратичным отклонением σ

= 10 г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с по-

грешностью, не превосходящей по абсолютной величине 5 г.

10.5. Произошло повреждение кабеля на участке длиной 10 км. Координа-

та Х точки повреждения кабеля представляет собой случайную величину,

распределенную равномерно. Найти вероятность того, что повреждение на

участке (3, 5) км.



10.6. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательно-

му закону: ( ) xexf 55 −= при ,0≥x ( ) 0=xf при х <0. Найти вероятность того,

что в результате испытания Х попадет в интервал (0,4; 1).

10.7. Время безотказной работы электролампы – показательная случайная

величина с параметром λ = 1. Определить вероятность отказа одной лампы за

100 ч.

10.8. Случайная величина Х имеет равномерное распределение в проме-

жутке (2,5; 3,5). Определить вероятность того, что случайная величина Х

примет значение в интервале (2,7; 3,2).

10.9. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательно-

му закону, заданному плотностью вероятности ( ) xexf 33 −= при ,0≥x

( ) 0=xf при х <0. Найти вероятность того, что в результате испытания Х по-

падет в интервал (0,13; 0,7).

10.10. Стрельба из орудия ведется вдоль определенного направления.

Средняя дальность полета снаряда 10 км. Предполагая, что дальность полета

снаряда распределена по нормальному закону с дисперсией 1600 м2, найти,

какой процент выпускаемых снарядов дает перелет от 100 до 200 м.

10.11. Время Т обнаружения цели радиолокатором распределено по пока-

зательному закону. Среднее время обнаружения цели 10 с. Найти вероят-

ность того, что цель будет обнаружена в течение 5…15 с.

10.12. Непрерывная случайная величина Х распределена равномерно в ин-тервале (2, 8). Найти вероятность попадания случайной величины Х в интер-вал (3, 5).

10.13. Время ожидания на АЗС является случайной величиной Т, распре-деленной по показательному закону со средним временем ожидания 5 минут. Найти ( ).1510 <<TP

10.14. Длина изготавливаемой на станке-автомате детали представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону с пара-



метрами М(Х)=150 мм, ( ) =σ X 2 мм. Найти вероятность брака, если допусти-

мые размеры детали (150± 3) мм.

10.15. Математическое ожидание и дисперсия нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 10 и 9. Найти вероятность того, что в результате пяти испытаний Х трижды попадет в интервал (9, 12).

10.16. Время Т обнаружения цели радиолокатором распределено по пока-зательному закону. Среднее время обнаружения цели 10 с. Найти вероят-ность того, что цель будет обнаружена в течение не менее 10 с.

10.17. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с матема-тическим ожиданием а = 10 и дисперсией D(X) = 64. Определить вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале (–2, 24).

10.18. Время безотказной работы двигателя – показательная случайная величина со средним значением, равным 1000 ч. Определить вероятность от-каза одного двигателя за 2000 ч.

10.19. Средний процент выполнения плана предприятиями отрасли со-ставляет 102 %, среднее квадратичное отклонение 5 %. Полагая, что выпол-нение плана подчиняется нормальному закону распределения, определить процент предприятий, выполняющих план от 100 до 110 %.

10.20. Маршрутные такси идут с интервалом в 10 минут. Считая, что слу-чайная величина Х – время ожидания маршрутки на остановке – распределе-на равномерно на указанном интервале, записать плотность распределения и найти вероятность того, что время ожидания превысит 5 минут.

10.21. Время ожидания в очереди имеет показательный закон распределе-ния со средним временем ожидания 30 минут. Какова вероятность того, что покупатель потратит на покупку не менее 10 и не более 20 минут?

10.22. Остаток топлива в баке контролируется топливомером со средней квадратической ошибкой 100 л. Прибор показывает остаток топлива 1600 л. Определить вероятность того, что действительно в баке от 1500 до 1700 л.



10.23. Время безотказной работы элемента двигателя распределено по по-

казательному закону ( ) tetf 01,001,0 −= (t > 0), где t – время, ч. Найти вероят-

ность того, что элемент проработает безотказно 100 ч.

10.24. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины Х равно 10, а дисперсия 4. Найти вероятность того, что в результа-те испытания Х примет значение из промежутка (12, 14).

10.25. Случайная величина Х подчинена нормальному закону распределе-

ния с дисперсией .16,02 =σ Найти вероятность того, что значение случайной

величины будет отличаться по абсолютной величине от ее математического ожидания меньше чем на 0,3.

10.26. Длительность времени безотказной работы прибора имеет показа-

тельное распределение ( ) tetF 01,01 −−= (t > 0). Найти вероятность того, что за

время длительностью t = 100 ч прибор откажет.

10.27. Производится измерение диаметра вала двигателя (без системати-ческих ошибок). Случайные ошибки измерения Х подчинены нормальному

закону с ( ) 100=XD м2. Найти ( ).15<XP

10.28. Время t безотказной работы электронной лампы распределено по

закону ( ) ,03,0 03,0 tetf −= где t задано в часах. Найти вероятность того, что

лампа проработает безотказно от 50 до 80 ч.

10.29. Завод выпускает шарики для подшипников, диаметр их распреде-лен по нормальному закону: М(Х) = 10 мм, σ = 0,4 мм. При контроле браку-ются все шарики, не проходящие через круглое отверстие диаметром 9 мм, и все, проходящие через отверстие диаметром 11 мм. Найти процент брака.

10.30. Срок эксплуатации отдельной электролампы данной партии есть

нормально распределенная случайная величина Х с М(Х) = 900 ч и ( ) =σ X 30 ч.

Определить вероятность того, что срок эксплуатации лампы отклоняется от

М(Х) не более, чем на 12 ч.



РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА

Задача 1. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что

сумма очков на выпавших гранях – четная, причем на грани хотя бы одной из

костей появится шестерка.

Решение. Обозначим случайное событие А – сумма очков на двух играль-

ных костях – четная, причем хотя бы на одной из них – 6 очков.

Вероятность события А вычислим по формуле классической вероятности

.)(nmAP =

Общее количество элементарных событий n можно найти по правилу ум-

ножения. На выпавшей грани первой игральной кости может появиться одно,

два, …, шесть очков. Аналогично шесть элементарных исходов возможны

при бросании второй кости. Каждый из исходов бросания первой игральной

кости может сочетаться с каждым из исходов бросания второй кости. Таким

образом, общее число возможных элементарных исходов испытания равно:

n = 6 · 6 = 36. Эти исходы в силу симметрии игральных костей равновозмож-

ны и образуют полную группу событий.

Благоприятствующими событию А являются следующие пять исходов

(первым записано число очков, выпавших на первой кости, вторым – число

очков, выпавших на второй кости, далее найдена сумма очков):

1) 6, 2; 6+2=8, 4) 2, 6; 2+6=8,

2) 6, 4; 6+4=10, 5) 4, 6; 4+6=10.

3) 6, 6; 6+6=12,

Итак, m = 5.

Искомая вероятность равна .365)( =AP

Задача 2. Слово «математика» составлено из карточек, на каждой из ко-

торых написана одна буква. Карточки перемешиваются и снова раскладыва-



ются слева направо. Найти вероятность того, что при этом снова получится

данное слово.

Решение. Элементарным событием является полученная последователь-

ность букв на карточках. Событие А состоит в получении нужного слова

«математика». Элементарные события являются перестановками из 10 букв,

следовательно,

!1010 == Pn

Некоторые буквы в данном слове повторяются: м – 2 раза, а – 3 раза, т – 2

раза, поэтому возможны перестановки, при которых слово не изменяется, их

число равно .24!2!3!2 =⋅⋅=m

Таким образом, ( ) .151200

1!10

24===

nmAP

Задача 3. В урне содержится пять черных и шесть белых шаров. Случай-

ным образом извлекают четыре шара. Найти вероятность того, что среди них

имеется:

1) два белых шара;

2) меньше чем два белых шара;

3) хотя бы один белый шар.

Решение. Испытанием является случайное изъятие четырех шаров. Эле-

ментарными событиями являются все возможные сочетания из 11 шаров по

четыре, их число равно .3304321111098

!7!4!114

11 =⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅

==Cn

1. 1A – среди вынутых шаров два белых. В таком случае, среди четырех изъя-

тых шаров два белых и два черных. Используя правило умножения, получим

,1502

542

65!3!2

!5!4!2

!625

26 =

⋅⋅

⋅=

⋅⋅

⋅=⋅= CCm

( ) .115

330150

1 ==AP



2. 2A – среди вынутых шаров меньше чем два белых. Это событие состоит

из двух несовместных событий:

1B – среди вынутых шаров один белый и три черных шара,

2B – среди вынутых шаров нет ни одного белого, все четыре шара черные:

.212 BBA +=

Так как события 1B и 2B несовместны, то по теореме сложения имеем

( ) ( ) ( ),212 BPBPAP +=

,5,602

654!2!3

!5!5!1

!6 452

35

161 ===

⋅⋅=

⋅⋅

⋅=⋅= CmCCm

( ) ( ) ( ) .6613

33065

3305

33060,

3305,

33060

221 ==+=== APBPBP

3. 3A – среди вынутых шаров хотя бы один белый.

Определим сначала вероятность противоположного события

3A – среди вынутых шаров нет ни одного белого, то есть все шары черные.

( ) ,661

3305,5 3

45 ==== APCm

( ) ( ) .6665

66111 33 =−=−= APAP

Задача 4. Устройство состоит из трех независимых элементов, работаю-

щих в течение времени Т безотказно соответственно с вероятностями 0,851,

0,751 и 0,701. Найти вероятность того, что за время Т выйдет из строя:

1) только один элемент;

2) хотя бы один элемент.

Решение. 1. 1A – за время Т выходит из строя только один элемент (т.е.

или только первый, или только второй, или только третий элемент, в то вре-

мя как другие два элемента работают безотказно).

Обозначим случайные события:

1B – первый элемент выходит из строя,



2B – второй элемент выходит из строя,

3B – третий элемент выходит из строя. Тогда противоположными будут

события:

1B – первый элемент работает безотказно,

2B – второй элемент работает безотказно,

3B – третий элемент работает безотказно.

.3213213211 BBBBBBBBBA ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

Учитывая независимость выхода из строя элементов устройства, несовме-

стность событий iB и iB (i = 1, 2, 3), по теоремам сложения и умножения ве-

роятностей получаем следующую формулу:

).()()()()()()()()()( 3213213211 BPBPBPBPBPBPBPBPBPAP ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

По условию ,851,0)( 1 =BP ,751,0)( 2 =BP .701,0)( 3 =BP

По формуле )(1)( АPАP −= находим вероятности:

,149,0)( 1 =ВP ,249,0)( 2 =ВP .299,0)( 3 =ВP

Таким образом,

.418,0299,0751,0851,0701,0249,0851,0701,0751,0149,0)( 1 =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=АP

2. 2A – за время Т выходит из строя хотя бы один элемент.

Событие определяется словами «хотя бы один», значит используется про-

тивоположное событие

2A – за время Т все элементы работают безотказно.

,3212 BBBA ⋅⋅=

,448,0701,0751,0851,0)()()()( 3212 =⋅⋅=⋅⋅= ВPВPВPАP

.552,0448,01)(1)( 22 =−=−= АPАP



Задача 5. В пирамиде 20 % винтовок с оптическим прицелом, остальные –

без оптического прицела. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прице-

лом, может промахнуться с вероятностью 0,19, а стреляя из винтовки без оп-

тического прицела – с вероятностью 0,54. Найти вероятность того, что стре-

лок поразит мишень из случайно взятой из пирамиды винтовки.

Решение. В этой задаче первым испытанием является случайный выбор

винтовки, вторым – стрельба по мишени.

Обозначим через А событие – стрелок поразит мишень. Возможны сле-

дующие предположения (гипотезы):

1B – стрелок возьмет винтовку с оптическим прицелом,

2B – стрелок возьмет винтовку без оптического прицела.

Поскольку в пирамиде 20 % винтовок с оптическим прицелом, то вероят-

ности этих гипотез равны: ( ) 2,01 =BP и ( ) .8,02 =BP

Условная вероятность того, что мишень будет поражена при стрельбе из

винтовки с оптическим прицелом, находится как вероятность противополож-

ного события ( ) ,81,019,011

=−=APB условная вероятность поражения мише-

ни при стрельбе из винтовки без оптического прицела равна:

( ) .46,054,012

=−=APB Используя формулу полной вероятности

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),21 21 APBPAPBPAP BB ⋅+⋅= имеем

( ) .53,046,08,081,02,0 =⋅+⋅=AP

Задача 6. В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвига-

тель. Электродвигатели поставляются тремя заводами-изготовителями. На

складе имеются электродвигатели названных заводов соответственно в коли-

честве 19, 6 и 11 штук, которые могут безотказно работать до конца гаран-

тийного срока соответственно с вероятностями 0,85, 0,76 и 0,71. Рабочий бе-

рет случайно один двигатель и монтирует его к устройству.

Найти вероятность того, что смонтированный и работающий безотказно

до конца гарантийного срока электродвигатель поставлен соответственно

первым, вторым или третьим заводом-изготовителем.



Решение. Первым испытанием является выбор электродвигателя, вто-рым – работа электродвигателя во время гарантийного срока.

А – электродвигатель безотказно проработает до конца гарантийного сро-ка. Возможны следующие предположения (гипотезы):

1B – рабочий возьмет двигатель из продукции 1-го завода,

2B – рабочий возьмет двигатель из продукции 2-го завода,

3B – рабочий возьмет двигатель из продукции 3-го завода.

321 ,, BBB образуют полную группу событий, поэтому сумма их вероятно-

стей равна 1. Учитывая, что выбирается один двигатель, получаем

,11,6,19,3611619 321 ====++= mmmn

,3619)( 1 =BP ,

366)( 2 =BP .

3611)( 3 =BP

Вероятность события А вычисляем по формуле полной вероятности

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ).(321 321 APBPAPBPAPBPAP BBB ⋅+⋅+⋅=

Условные вероятности даны в условии задачи: ,85,0)(

1=APB ,76,0)(

2=APB .71,0)(

3=APB

.792,071,0361176,0

36685,0

3619)( =⋅+⋅+⋅=AP

По формуле Бейеса ( )

)()(

)(AP

APBPBP iBi

iA⋅

= вычисляем условные вероятно-

сти гипотез :iB 566,0792,0

85,03619

)( 1 =⋅

=BPA – вероятность того, что безотказно

проработавший двигатель поставлен первым заводом,

,160,0792,0

76,0366

)( 2 =⋅

=BPA

.274,0792,0

71,03611

)( 3 =⋅

=BPA



Задача 7. На ремонтную базу авиапредприятия поступили две партии за-

пасных блоков. В первой партии 5 блоков, а во второй – 5000 блоков. Веро-

ятности повреждения в пути одного блока соответственно равны 0,25 и

0,0002. Найти вероятности того, что на базу в каждой партии поступило ров-

но три негодных блока.

Решение. В этой задаче действует схема независимых испытаний. Веро-

ятность ( )mPn того, что в результате n испытаний событие А произойдет ров-

но m раз, определяется по формуле Бернулли:

( ) ,mnmmnn qpCmP −⋅⋅=

где р – вероятность наступления события А при одном испытании,

q – вероятность наступления противоположного события A при одном

испытании.

При больших значениях n для расчета вероятности ( )mPn используют

приближенные формулы:

формула Пуассона ( ) pnem

mPm

n ⋅=λλ

≈ λ− ,!

при ,9<qpn

формула Муавра-Лапласа ( ) ( )xqpn

mPn ϕ≈1 при ,9>qpn

( ) .,21 2

2

qpnpnmxex

x −=

π=ϕ

−

Значения функции ( )xϕ – см. в прил. 1.

В нашем случае событие А – повреждение запасного блока.

В первой партии число блоков невелико n = 5, р = 0,25, q = 1 – 0,25 = 0,75.

Интересующая нас вероятность того, что на базу из 5 запасных блоков по-

ступило три негодных, находим по формуле Бернулли:

( ) ( ) ( ) .088,051245

4295

43

41

214575,025,03 42

2

3233

55 ≈=⋅⋅

=⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅=CP



Во второй партии число блоков велико, и так как

,99998,09998,00002,05000 <=⋅⋅=qpn при расчете вероятности используем

первую из приближенных формул – формулу Пуассона.

Получаем: ( ) .061,0!3

13,10002,0500013

5000 ≈⋅

≈=⋅=⋅=λ−ePpn

Задача 8. Случайная величина Х задана рядом распределения

х 3 5 7 11

р 0,14 0,20 0,49 р4

Определить p4. Найти функцию распределения F (х) случайной величины

Х и построить ее график. Вычислить для Х ее среднее значение М(Х), дис-

персию D(X) и моду .0M

Решение. Так как сумма вероятностей в таблице распределения равна 1,

∑=

=4

1,1

iip то .17,004920,014,014 =−−−=p

Воспользуемся определением F(x): если ,3≤x то F(x)=0, т.к. значений,

меньших числа 3, случайная величина Х не принимает. Следовательно, при

3≤x функция распределения ( ) ( ) .0=<= xXPxF

Если ,53 ≤< x то F(x) = 0,14, т.к. Х может принять лишь значение 3 с ве-

роятностью 0,14.

Если ,75 ≤< x то F(x) = 0,34. Действительно, Х может принять значение 3

с вероятностью 0,14 и значение 5 c вероятностью 0,20. Следовательно, одно

из этих значений, безразлично какое, Х может принять (по теореме сложения

вероятностей несовместных событий) с вероятностью 0,14 + 0,20 = 0,34.

Если ,117 ≤< x то F(x) = 0,83, т.к. ( ) ( ) .83,049,020,014,0 =++=<= xXPxF

Если х > 11, то F(x) = 1. Событие 11≤X достоверно, и вероятность его

равна 1: ( ) ( ) .111 =≤= XPxF



Итак, искомая интегральная функция имеет вид:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>≤<≤<≤<

≤

=

.11при1,117при83,0

,75при34,0,53при14,0

,3при0

)(

xxxx

x

xF

График функции F(x) приведен на рис. 1.

Рис. 1

Математическое ожидание М(Х) вычисляем по формуле

.)(1

i

n

ii pxXM ∑

==

.72,617,01149,072,0514,03)( =⋅+⋅+⋅+⋅=XM

Для нахождения дисперсии воспользуемся формулами

)(XD = )()( 22 XMXM − и ( ) ,)()( 2

1

2 XMpxXDn

iii −⋅= ∑

=

,84,5017,01149,072,0514,03)( 22222 =⋅+⋅+⋅+⋅=XM

.6816,572,684,50)( 2 =−=XD

Моду 0M найдем по максимальной вероятности, равной 0,49: 0M = 7.

0

0,14

0,34

0,83

1

1 3 5 7 11 x

F(x)



Задача 9. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

>≤<

≤=

.2,0,20,2

0,0

xxx

xxf

Найти функцию распределения F(x) случайной величины Х. Построить

графики функций f(x) и F(x). Вычислить для Х ее математическое ожидание

М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение ( ).Xσ

Решение. Функцию распределения F(x) непрерывной случайной величины

найдем по формуле ( ) ( ) .dxxfxFx

∫∞−

=

а) если ,0≤x то ( ) ;00 =⋅= ∫∞−

dxxFx

б) если ,20 ≤< x то ( ) ;42

02

0

0 xdxxdxxFx

=+⋅= ∫∫∞−

в) если ,2>x то ( ) .14

24

02

022

0

2

2

2

0

0===⋅++⋅= ∫∫∫

∞−

xdxdxxdxxFx

Поэтому ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

>≤<

≤

=.2,1

,20,4

0,02

xxx

x

xF

Построим графики f(x) и F(x) (рис. 2, 3) :

x 0 2 x

x 0 2 x

x 0 2 x



Рис. 2

Рис. 3

Математическое ожидание вычисляем по формуле

( ) ,)( dxxfxXMb

a∫ ⋅= ( ) .

34

68

62

2

0

32

0===⋅= ∫

xdxxxXM

Для нахождения дисперсии воспользуемся формулами

( ) ( ) [ ] ,)()(),()( 2222 XMdxxfxXDXMXMXDb

a−⋅=−= ∫

( ) .92

9162

916

834

2

2

0

422

0

2 =−=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅= ∫

xdxxxXD

Определим среднее квадратическое отклонение по формуле

( ) .32

92)(,)( ==σ=σ XXDX

Задача 10. Предполагается, что предел прочности выпускаемой стальной

проволоки является нормально распределенной случайной величиной Х с мате-

матическим ожиданием, равным a = 160 кг/мм2 и средним квадратическим

0 1

1

2 x

f(x)

0 1

1

2 x

F(x)



отклонением σ = 8 кг/мм2. Требуется найти вероятность того, что Х при ис-

пытании примет какое-нибудь значение от 155 до 170 кг/мм2.

Решение. Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее ин-

тервалу (α, β), вычисляется по формуле

( ) ,⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

σ−α

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

σ−β

=β<<αaФaФXP

где Ф(Х)= dxex x

∫−

π 0

2

2

21 – функция Лапласа, значения которой приведены в

прил. 2.

По условию задачи .8,160,170,155 =σ==β=α a

( ) ( ) ( )( ) ( ),625,025,1

625,025,18

1601558

160170170155

ФФ

ФФФФXP

+=

=−−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=<<

т.к. функция Лапласа нечетна. Далее по таблице находим Ф(1,25) и Ф(0,625),

получаем

( ) .6284,02340,03944,0170155 =+=<< XP



БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Агапов, Г.И. Задачник по теории вероятностей : учеб. пособие для сту-

дентов втузов / Г.И. Агапов. – М. : Высшая школа, 1986.

2. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике : учеб. пособие для студентов вузов / В.Е. Гмур-

ман. – М. : Высшая школа, 1998.

3. Маценко, П.К. Сборник задач по теории вероятностей и математиче-

ской статистике : учеб. пособие / П.К. Маценко, В.В. Селиванов. – Ульяновск :

УВАУ ГА, 1997.



Приложение 1

Таблица значений функции 2/2e

21)( xx −

π=ϕ

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0 0,3989 3989 3989 3988 3986 3984 3982 3980 3977 3973

0,1 3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 3918

0,2 3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 3825

0,3 3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3712 3697

0,4 3683 3668 3652 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538

0,5 3521 3503 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 3352

0,6 3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3144

0,7 3123 3101 3079 3056 3034 3011 2989 2966 2943 2920

0,8 2897 2874 2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709 2685

0,9 2661 2637 2613 2589 2565 2541 2516 2492 2468 2444

1,0 0,2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203

1,1 2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965

1,2 1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1736

1,3 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518

1,4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315

1,5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127

1,6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 0957

1,7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804

1,8 0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669

1,9 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551

2,0 0,0540 0529 0519 0508 0498 0488 0478 0468 0459 0449

2,1 0440 0431 0422 0413 0404 0396 0387 0379 0371 0363

2,2 0355 0347 0339 0332 0325 0317 0310 0303 0297 0290

2,3 0283 0277 0270 0264 0258 0252 0246 0241 0235 0229

2,4 0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 0180

2,5 0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 0139

2,6 0136 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 0110 0107

2,7 0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 0081

2,8 0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 0061

2,9 0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0045



Продолжение табл.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

3,0 0,0044 0043 0042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 0034

3,1 0033 0032 0031 0030 0029 0028 0027 0026 0025 0025

3,2 0024 0023 0022 0022 0021 0020 0020 0019 0018 0018

3,3 0017 0017 0016 0016 0015 0015 0014 0014 0013 0013

3,4 0012 0012 0012 0011 0011 0010 0010 0010 0009 0009

3,5 0009 0008 0008 0008 0008 0007 0007 0007 0007 0006

3,6 0006 0006 0006 0005 0005 0005 0005 0005 0005 0004

3,7 0004 0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 0003

3,8 0003 0003 0003 0003 0003 0002 0002 0002 0002 0002

3,9 0002 0002 0002 0002 0002 002 0002 0002 0001 0001



Приложение 2

Таблица значений функции ∫ −

π=

x

0

2/2e

21)(Ф dzx z

x Ф(x) x Ф(x) x Ф(x) x Ф(x)

0,00 0,0000 0,32 0,1255 0,64 02389 0,96 0,3315

0,01 0,0040 0,33 0,1293 0,65 0,2422 0,97 0,3340

0,02 0,0080 0,34 0,1331 0,66 0,2454 0,98 0,3365

0,03 0,0120 0,35 0,1368 0,67 0,2486 0,99 0,3389

0,04 0,0160 0,36 0,1406 0,68 0,2517 1,00 0,3413

0,05 0,0199 0,37 0,1443 0,69 0,2549 1,01 0,3438

0,06 0,0239 0,38 0,1480 0,70 0,2580 1,02 0,3461

0,07 0,0279 0,39 0,1517 0,71 0,2611 1,03 0,3485

0,08 0,0319 0,40 0,1554 0,72 0,2642 1,04 0,3508

0,09 0,0359 0,41 0,1591 0,73 0,2673 1,05 0,3531

0,10 0,0398 0,42 0,1628 0,74 0,2703 1,06 0,3554

0,11 0,0438 0,43 0,1664 0,75 0,2734 1,07 0,3577

0,12 0,0478 0,44 0,1700 0,76 0,2764 1,08 0,3599

0,13 0,0517 0,45 0,1736 0,77 0,2794 1,09 0,3621

0,14 0,0557 0,46 0,1772 0,78 0,2823 1,10 0,3643

0,15 0,0596 0,47 0,1808 0,79 0,2852 1,11 0,3665

0,16 0,0636 0,48 0,1844 0,80 0,2881 1,12 0,3686

0,17 0,0675 0,49 0,1879 0,81 0,2910 1,13 0,3708

0,18 0,0714 0,50 0,1915 0,82 0,2939 1,14 0,3729

0,19 0,0753 0,51 0,1950 0,83 0,2967 1,15 0,3749

0,20 0,0793 0,52 0,1985 0,84 0,2995 1,16 0,3770

0,21 0,0832 0,53 0,2019 0,85 0,3023 1,17 0,3790

0,22 0,0871 0,54 0,2054 0,86 0,3051 1,18 0,3810

0,23 0,0910 0,55 0,2088 0,87 0,3078 1,19 0,3830

0,24 0,0948 0,56 0,2123 0,88 0,3106 1,20 0,3849

0,25 0,0987 0,57 0,2157 0,89 0,3133 1,21 0,3869

0,26 0,1026 0,58 0,2190 0,90 0,3159 1,22 0,3883

0,27 0,1064 0,59 0,2224 0,91 0,3186 1,23 0,3907

0,28 0,1103 0,60 0,2257 0,92 0,3212 1,24 0,3925

0,29 0,1141 0,61 0,2291 0,93 0,3238 1,25 0,3944

0,30 0,1179 0,62 0,2324 0,94 0,3264

0,31 0,1217 0,63 0,2357 0,95 0,3289



Продолжение табл.

x Ф(x) x Ф(x) x Ф(x) x Ф(x)

1,26 0,3962 1,59 0,4441 1,92 0,4726 2,50 0,4938

1,27 0,3980 1,60 0,4452 1,93 0,4732 2,52 0,4941

1,28 0,3997 1,61 0,4463 1,94 0,4738 2,54 0,4945

1,29 0,4015 1,62 0,4474 1,95 0,4744 2,56 0,4948

1,30 0,4032 1,63 0,4484 1,96 0,4750 2,58 0,4951

1,31 0,4049 1,64 0,4495 1,97 0,4756 2,60 0,4953

1,32 0,4066 1,65 0,4505 1,98 0,4761 2,62 0,4956

1,33 0,4082 1,66 0,4515 1,99 0,4767 2,64 0,4959

1,34 0,4099 1,67 0,4525 2,00 0,4772 2,66 0,4961

1,35 0,4115 1,68 0,4535 2,02 0,4783 2,68 0,4963

1,36 0,4131 1,69 0,4545 2,04 0,4793 2,70 0,4965

1,37 0,4147 1,70 0,4554 2,06 0,4803 2,72 0,4967

1,38 0,4162 1,71 0,4564 2,08 0,4812 2,74 0,4969

1,39 0,4177 1,72 0,4573 2,10 0,4821 2,76 0,4971

1,40 0,4192 1,73 0,4582 2,12 0,4830 2,78 0,4973

1,41 0,4207 1,74 0,4591 2,14 0,4838 2,80 0,4974

1,42 0,4222 1,75 0,4599 2,16 0,4846 2,82 0,4976

1,43 0,4236 1,76 0,4608 2,18 0,4854 2,84 0,4977

1,44 0,4251 1,77 0,4616 2,20 0,4861 2,86 0,4979

1,45 0,4265 1,78 0,4625 2,22 0,4868 2,88 0,4980

1,46 0,4279 1,79 0,4633 2,24 0,4875 2,90 0,4981

1,47 0,4292 1,80 0,4641 2,26 0,4881 2,92 0,4982

1,48 0,4306 1,81 0,4649 2,28 0,4887 2,94 0,4984

1,49 0,4319 1,82 0,4656 2,30 0,4893 2,96 0,4985

1,50 0,4332 1,83 0,4664 2,32 0,4898 2,98 0,4986

1,51 0,4345 1,84 0,4671 2,34 0,4904 3,00 0,49865

1,52 0,4357 1,85 0,4678 2,36 0,4909 3,20 0,49931

1,53 0,4370 1,86 0,4686 2,38 0,4913 3,40 0,49966

1,54 0,4382 1,87 0,4693 2,40 0,4918 3,60 0,499841

1,55 0,4394 1,88 0,4699 2,42 0,4922 3,80 0,499928

1,56 0,4406 1,89 0,4706 2,44 0,4927 4,00 0,499968

1,57 0,4418 1,90 0,4713 2,46 0,4931 4,50 0,499997

1,58 0,4429 1,91 0,4719 2,48 0,4934 5,00 0,499997



Приложение 3 Значения функции e-x

x e-x x e-x x e-x x e-x

0,00 1,000 0,40 0,670 0,80 0,449 3,00 0,050

0,02 0,980 0,42 0,657 0,82 0,440 3,20 0,041

0,04 0,961 0,44 0,644 0,84 0,432 3,40 0,033

0,06 0,942 0,46 0,631 0,86 0,423 3,60 0,027

0,08 0,923 0,48 0,619 0,88 0,415 3,80 0,022

0,10 0,905 0,50 0,606 0,90 0,407 4,00 0,0183

0,12 0,887 0,52 0,595 0,92 0,399 4,20 0,0150

0,14 0,869 0,54 0,583 0,94 0,391 4,40 0,0123

0,16 0,852 0,56 0,571 0,96 0,383 4,60 0,0101

0,18 0,835 0,58 0,560 0,98 0,375 4,80 0,0082

0,20 0,819 0,60 0,549 1,00 0,368 5,00 0,0067

0,22 0,803 0,62 0,538 1,20 0,302 5,20 0,0055

0,24 0,787 0,64 0,527 1,40 0,247 5,40 0,0045

0,26 0,771 0,66 0,517 1,60 0,202 5,60 0,0037

0,28 0,756 0,68 0,507 1,80 0,165 5,80 0,0030

0,30 0,741 0,70 0,497 2,00 0,135 6,00 0,0025

0,32 0,726 0,72 0,487 2,20 0,111 6,20 0,0020

0,34 0,712 0,74 0,477 2,40 0,091 6,40 0,0017

0,36 0,698 0,76 0,468 2,60 0,074 6,60 0,0014

0,38 0,684 0,78 0,458 2,80 0,061 6,80 0,0011

0,40 0,670 0,80 0,449 3,00 0,050 7,00 0,0009



Documents

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙvenec.ulstu.ru/lib/disk/2015/Polenischenko_4.pdfТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Р АСЧЕТНО - ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА 2-