Upload
noel-deleon
View
70
Download
4
Embed Size (px)
DESCRIPTION
По-видимому невозможно дать точное определение того, что подразумевается под словом «случайный». Смысл этого слова лучше всего разъяснить на примерах. Гаральд Крамер. Элементы комбинаторики, теории вероятностей и статистики. Докладчик Кулабухов С. Ю. Основные правила комбинаторики. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Элементы комбинаторики, теории вероятностей и
статистики
Докладчик Кулабухов С. Ю.
По-видимому невозможно дать точное определение того, что подразумевается под словом «случайный». Смысл этого слова лучше всего разъяснить на примерах. Гаральд Крамер
Основные правила комбинаторики
2
Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из множества объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m + n способами.
Правило произведения. Если некоторый объект А может быть выбран из множества объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке можно выбрать mn способами.
1. Сочетания без повторений
Определение 1.1. Число всех выборов k элементов из n данных элементов без учета их порядка называют числом сочетаний из n элементов по k.
Определение 1.2. Сочетанием из n элементов n-элементного множества по k элементов называется всякое k-элементное подмножество этого множества.
Определение 1.3. Числом сочетаний из n элементов по k называется количество строго монотонных функций из k-элементного множества в n-элементное.
Функция, действующая на упорядоченных множествах называется строго монотонной, если выполняется условие: )()(, nfmfnmnm
Определение 1.4. Число размещений k неразличимых предметов по n ящикам, не более, чем по одному в ящик, то есть число способов выбрать из n ящиков k ящиков с предметами, называется числом сочетаний (без повторений).
)!(!
!
knk
nC kn
3
2. Размещения без повторений
Определение 2.1. Число всех выборов k элементов из n данных элементов с учетом их порядка называют числом размещений из n элементов по k.
Определение 2.2. Размещением из n элементов n-элементного множества по k элементов называется всякая последовательность длины k, составленная из неповторяющихся элементов этого множества.
Определение 2.3. Числом размещений из n элементов по k называется количество инъективных функций из k-элементного множества в n-элементное.
Определение 2.4. Число всех возможных способов разместить k предметов по n ящикам, не более чем по одному в ящик, называется числом размещений (без повторений).
)!(
!
kn
nAkn
4
3. Перестановки
Определение 3.1. Число различных способов упорядочить n различных элементов называют числом перестановок n элементов.
Определение 3.2. Перестановкой из n элементов n-элементного множества называется всякое размещение этого множества по n элементов.
Определение 3.3. Числом перестановок из n элементов называется количество преобразований n-элементного множества.
Преобразование – это биекция множества на себя.
Определение 3.4. Аналогично определению 3.1.
!nРn
5
4. Размещения с повторениями
Определение 4.2. Число всех последовательностей длины k, составленных из элементов n-элементного множества называется числом размещений (с повто-рениями) из n по k.
kkn nA
Определение 4.3. Число всевозможных функций из k-элементного множества в n-элементное называется числом размещений (с повторениями) из n по k.
Определение 4.4. Число всех возможных способов разместить k предметов по n ящикам называется числом размещений (с повторениями) из n по k.
Определение 4.1. Аналогично определению 4.2.
6
5. Сочетания с повторениями
)()(, yfxfyxyx
Определение 5.2. Нет.
Определение 5.3. Число монотонных функций из k-элементного множества в n-элементное называется числом сочетаний (с повторениями) из n по k.
Определение 5.4. Число всех возможных способов разместить k неразличимых предметов по n ящикам называется числом сочетаний (с повторениями) из n по k.
Функция, заданная на упорядоченных множествах называется монотонной, если выполняется условие:
Определение 5.1. Пусть имеются предметы n видов и из них составляется набор, содержащий k элементов. Два таких набора считаются одинаковыми, если они имеют одинаковый состав. Такие наборы называются сочетаниями (с повторе-ниями) из n по k.
knk
kn CC 1
7
Задачи на классическое определение вероятности
1. На 5 одинаковых карточках написаны буквы Л, М, О, О, Т. Эти карточки наудачу разложены в ряд. Какова вероятность того, что получится слово МОЛОТ? Ответ: 1/60.
2. В ящике 4 голубых и 5 красных шаров. Из ящика наугад вынимают 2 шара. Найдите вероятность того, что они разного цвета.
Ответ: 5/9.
3. В бригаде 4 женщины и 3 мужчины. Среди членов бригады разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчины?
Ответ: 18/35.
4. Найдите вероятность выиграть в лотерею 6 из 49, то есть вероятность угадать не менее 3 выигрышных билетов. (Ответ округлите до тысячных).
Ответ: 0,019.
Задачи на классическое определение вероятности
Ответ: 0,019.
Решение задачи 4
649C -- количество всех способов выбрать 6 билетов из 49
143
56 СC -- количество всех способов выбрать 5 выигрышных билетов и
1 «проигрышный»
243
46 СC -- количество всех способов выбрать 4 выигрышных билетов и
2 «проигрышных»
343
36 СC -- количество всех способов выбрать 3 выигрышных билетов и
3 «проигрышных»
019,01
649
343
36
243
46
143
56
С
СCСCСCpИскомая вероятность:
10
Вариант 8
Алгебра 9 класс. Тематические тесты
для подготовки к ГИА-2012
11
Вариант 8
Алгебра 9 класс. Тематические тесты
для подготовки к ГИА-2012
продолжение
Ответы
Задачи по ТВМС из книги: Алгебра 9 класс. Подготовка к ГИА-2012. Учебно-тренировочные тесты
12
Вариант 1
Задачи по ТВМС из книги: Алгебра 9 класс. Подготовка к ГИА-2012. Учебно-тренировочные тесты
13
Вариант 7
Задачи по ТВМС из книги: Алгебра 9 класс. Подготовка к ГИА-2012. Учебно-тренировочные тесты
14
Вариант 13
Задачи по ТВМС из книги: Алгебра 9 класс. Подготовка к ГИА-2012. Учебно-тренировочные тесты
15
Вариант 16