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z. S 1. S 2. C. o. y. x. 二、空间曲线及其方程. 1. 空间曲线的一般方程. 设有两块曲面 S 1 , S 2 , 它们的方程依次为:. S 1 : F ( x , y , z ) = 0 S 2 : G ( x , y , z ) = 0. S 1 , S 2 的交线 C 上的点一定同时满足这两个方程,而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程.因此. (2). 即为交线 C 的方程, 称为 空间曲线 C 的一般方程. x 2 + y 2 =1. x + y + z =2. z. y. x. 0. - PowerPoint PPT Presentation
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设有两块曲面 S1, S2, 它们的方程依次为 :
S1: F (x, y, z) = 0
S2: G (x, y, z) = 0
S1 , S2 的交线 C 上的点一定同时满足这两个方程 , 而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程 . 因此
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
即为交线 C 的方程 , 称为空间曲线 C 的一般方程 .
(2)
x y
z
o
S1 S2
C
二、空间曲线及其方程1. 空间曲线的一般方程
x2+y2=1
x+y+z=2.
yx
z
0
例 5: 柱面 x 2 + y 2 = 1 与平面 x+y+z=2
的交线是一个圆 , 它的一般方程是
2. 空间曲线的参数方程将曲线 C 上动点的坐标 x, y, z 都表示成一
个参数 t 的函数 .
x = x (t)
y = y (t) (3)
z = z (t)
当给定 t = t1 时 , 就得到 C 上一个点 (x, y, z),
随着 t 的变动便可得曲线 C 上的全部点 . 方程组 (2) 叫做空间曲线的参数方程 .
例 6: 如果空间一点 M 在圆柱面 x2 + y2 = a2 上以角速度 绕 z 轴旋转 , 同时又以线速度 v
沿平行于 z 轴的正方向上升 ( 其中 ,v 都是常数 ), 那末点 M 构成的图形叫做螺旋线 ,
试建立其参数方程 .
解 : 取时间 t 为参数 , 设当 t =
0 时 , 动点位于 x 轴上的一点 A(a, 0, 0) 处 , 经过时间 t, 由 A 运动到 M(x, y, z),
M 在 xOy 面上的投影为 M
(x, y, 0).x y
z
hA
OMt
M
(1) 动点在圆柱面上以角速度 绕 z 轴旋转 ,
所以经过时间 t, AOM = t. 从而x = |OM | ·cosAOM = acos t
y = |OM | ·sinAOM = asin t
(2) 动点同时以线速度 v 沿 z 轴向上升 . 因而 z = MM = vt
得螺旋线的参数方程
x = acos ty = asin tz = vt
注 : 还可以用其它变量作参数 . x y
z
A
OMtM
yx
z
A
OMt
M
例如 : 令 = t. 为参数 ;
螺旋线的参数方程为 :
x = acos y = asin z = b
.vb 这里
当从 0 变到 0 + 是 , z 由 b 0 变到 b 0+ b ,即 M 点上升的高度与 OM 转过的角度成正比 .特别 , 当 = 2 时 , M 点上升高度 h = 2 b,
h
在工程上称 h = 2 b 为螺距 .
3. 空间曲线在坐标面上投影
设空间曲线 C 的一般方程 F (x, y, z) = 0
G (x, y, z) = 0 (4)
由方程组 (4) 消去 z 后得方程H (x, y) = 0 (5)
方程 (5) 表示一个母线平行于 z 轴的柱面 ,
曲线 C 一定在柱面上 .
x
y
z
ooC
空间曲线 C 在 x O y 面上的曲线必定包含于 :投影
H (x, y) = 0z = 0
注 : 同理可得曲线在 yOz 面或 xOz 面上
的投影曲线方程 .
例 7: 已知两个球面的方程分别为 :
x2 + y2 + z2 = 1
和 x2 + (y 1)2 + (z1)2 = 1 求它们的交线 C 在 xOy 面上的投影曲线的方
程 .
解 : 联立两个方程消去 z ,得
0
1)21(42 22
z
yx
1)21(42 22 yx
两球面的交线 C 在 x O y 面上的投影曲线方程为
椭圆柱面
设一个立体由上半球面 和锥面224 yxz )(3 22 yxz 所围成 , 求它在 xoy 面上的投
影 .解 : 半球面与锥面的交线为
)(3
4:
22
22
yxz
yxzC
由方程消去 z , 得 x2 + y2 =
1
y
x
z
O
x2 + y2 1
于是交线 C 在 xoy 面上的投影曲线为x2 + y2 = 1z = 0
这是 xoy 面上的一个圆 .
所以 , 所求立体在 xoy 面上的投影为 : x2 + y2 1
例 8:
圆柱面 )(
研究方法是采用平面截痕法 .
§6 二次曲面的标准方程
1. 定义 由 x, y, z 的二次方程 :
ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0
所表示的曲面 , 称为二次曲面 .
其中 a, b, …, i, j 为常数且 a, b, 不全为零 .c, d,e, f
z
o
x
y
O
2 用平面 z = k 去截割 ( 要求 |k | c), 得椭圆
kzc
k
b
y
a
x2
2
2
2
2
2
1
当 |k | c 时 , |k | 越大 , 椭圆越小 ;
当 |k | = c 时 , 椭圆退缩成点 .
2. 几种常见二次曲面 .
(1) 椭球面
1 用平面 z = 0 去截割 , 得椭圆
0
12
2
2
2
zb
y
a
x
12
2
2
2
2
2
C
z
b
y
a
x
3 类似地 , 依次用平面 x = 0, 平面 y =
0 截割 , 得椭圆 :
,
0
12
2
2
2
xc
z
b
y.
0
12
2
2
2
yc
z
a
x
特别 : 当 a=b=c 时 , 方程 x2 + y2 + z2 = a2 ,
表示球心在原点 o, 半径为 a 的球面 .
(2) 椭圆抛物面 : zb
y
a
x 2
2
2
2
1 平面 z = k ,(k 0) 截割 , 截线是平面 z = k 上的椭圆 .
kz
kb
y
a
x2
2
2
2
k = 0 时 , 为一点 O(0,0,0); 随着 k 增大 , 椭圆也增大 .
z
y
xo
2 用平面 y = k 去截割 , 截线是抛物线
,2
2
2
2
ky
zb
k
a
x. ,0
2
2
a
xzk 为时当
3 类似地,用平面 x = k 去截割 , 截线是抛物线 .
kx
zb
y
a
k2
2
2
2
. ,02
2
b
yzk 为时当
一、二阶行列式的概念
设有数表a11
称数 a11 a22 - a12 a21 为对应于数表 (1) 的二阶行列式,记为:
(1)(1)
2221
1211
aa
aa
副对角线主对角线
1. 定义 1a12
a21 a22
21122211 aaaa
( + )( - )
§1 n 阶行列式的定义
当 a11 a22 - a12 a21 0 时,
,21122211
1222211 aaaa
ababx
21122211
2111122 aaaa
ababx
得唯一解
对于a11 x1+ a12 x2 = b1
a21 x1+ a22 x2 = b2
(1)(1)
2 、二元一次 方程组的求解公式
记
1D
2D
D
方程组 (1) 的解可以表示为:
,D
Dx 1
1 D
Dx 2
2
—— 克莱姆 (Gramer) 法则
(2)(2)
,122221 abab
,211112 abab
2221
1211
aa
aa时0
22
12
a
a
2
1
b
b
21
11
a
a
2
1
b
b
,21122211
1222211 aaaa
ababx
21122211
2111122 aaaa
ababx
a11 x1+ a12 x2 = b1
a21 x1+ a22 x2 = b2
引进记号:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
(+)
(+)
(+)( - )( - )
( - )
312312 aaa
322113 aaa 312213 aaa
332112 aaa 322311 aaa
称为对应于数表 (3) 的三阶行列式
D 332211 aaa
二、三阶行列式
1. 定义 2 设有数表
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
(3)(3)
主对角线 副对角线
例 如:
315
214
132
511
75
312 5)2()3( 141
34)3( 1)2(2 -
易证: 对于线性方程组
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
(4)
当
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D 时0
方程组有唯一解,记
则方程组 (4) 的解为:,
D
Dx 1
1 ,D
Dx 2
2 D
Dx 3
3
,
3332
2322
1312
1
aa
aa
aa
D
3
2
1
b
b
b
,
3331
2321
1311
2
aa
aa
aa
D
3
2
1
b
b
b
3231
2221
1211
3
aa
aa
aa
D
3
2
1
b
b
b
—— 克莱姆法则
三、排列与逆序数
<1> 由自然数 1, 2, …, n 组成的一个有序数组 i1, i2, …, in 称为一个 n 级排列。
例如,由 1 , 2 , 3 可组成的三级排列共有 3!
= 6 个,它们是
n 级排列的总数为 n! 个。
定义 3
3 2 1;1 2 3; 1 3 2; 2 1 3; 2 3 1; 3 1 2;
<2> 一个排列中,若较大的数 is 排在较小的数 i
t 的前面 ( is > it ) 时,称这一对数 is it 构成一个逆序。一个排列中逆序的总数,称为它的逆序数。
记为 (i1, i2, … in) ,简记为 。 1 3 2
(1 2 3)=0,
(3 1 2)=2,
(4 5 2 1 3)=7,
例如:2 1 3
3 1 2
(3) 逆序数为偶数的排列称为偶排列逆序数为奇数的排列称为奇排列
(4) 将一个排列中两个位置上的数互换,而其余不动,则称对该排列作了一次对换。
6 5 3 1 2 4 6 2 3 1 5 4( =11) ( = 8)
1 2 3 4 1 4 3 2
例如:
( =0) ( = 3)
定理 1 每一个对换改变排列的奇偶性
结论:在 n ( 2) 级排列中,奇偶排列各有 个。2!n
四、 n 阶行列式的定义
分析:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D 312312322113332211 aaaaaaaaa
332112322311312213 aaaaaaaaa =0 =2 =2
=3 =1 =1
)( 321)1( jjj 321 321 jjj aaa
类似地:
2221
1211
aa
aaD 21122211 aaaa
21
21211 jj
)j(jτ aa)(
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
21
22221
11211
n
nnjjj
jjj aaa 21
2121
)()1(
n 阶行列式定义 4
例 1 计算下列 n 阶行列式
nna
a
a
D
22
11
1 0
0nnaaa 2211
nnnn aaa
aa
a
D
21
2221
11
2 0nnaaa 2211
nnnnn
nn
n
aaa
aa
a
D
11
212
1
3
0)1(
)1 21 ( nn
1121 nnn aaa
12)2()1( nn
)1(2
)11( nn
nnnnn
nn
n
aaa
aa
a
D
11
212
1
3
0)1(
)1 21 ( nn
1121 nnn aaa
11212
)1(
)1( nnn
nn
aaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
332211 aaa 322113 aaa 312312 aaa
312213 aaa 322311 aaa 332112 aaa
行排列
列排列
2 1 3
( =1)
1 3 2
( =1)
( = 0)
1 2 3
( = 2)
3 1 2
考察: 2113 aa 1321 aa 3232 aa
定理 2 n 阶行列式的定义也可写成
D )( 21)1( niii niii naaa 21 21
nn jijiji aaa 2211
)1()( 21 niii )( 21 njjj
推论:
D
例 2 : 选择 i 和 k ,使53254321 aaaaa ki
成为 5 阶行列式中一个带负号的项解 :
其列标所构成的排列为: i 5 2 k 3
若取 i = 1 , k = 4 ,
故 i = 4 , k = 1 时该项带负号。
可将给定的项改为行标按自然顺序,即53432251 aaaaa ki
则 (1 5 2 4 3) = 4 ,是偶排列,该项则带正号,对换 1 , 4 的位置,则 4 5 2 1 3 是奇排列。
一、行列式的性质
性质 1 :将行列式的行、列互换,行列式的值不变即:
,D
D = DT
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式。
§2 行列式的性质
则
naaa 11211
naaa 22221
nnnn aaa 21 na
a
a
1
12
11
TD
na
a
a
2
22
21
nn
n
n
a
a
a
2
1
证:
显然有 bij = aji (i, j=1, 2, …; n)
则n
nnjjj
jjjT bbbD 21
2121
)()1(
njjjjjj
n
n aaa 21
)(
21
21)1(
D
设行列式 DT 中位于第 i 行,第 j 列的元素为 bij
性质 2 互换行列式的两行 ( 列 ) ,行列式仅改变符号
,
21
11211
nnnn
n
aaa
aaa
M
qnqq aaa 21
pnpp aaa 21
则 D= - M
,
21
11211
nnnn
n
aaa
aaa
D
qnqq aaa 21
pnpp aaa 21
证:在 M 中第 p 行元素 ,aa jqjp
第 q 行元素 ,jpjq aa n.,,,j 21
n
nnjj
jj aaM 1
11
)()1( pj qj
ppjaqjqa
n
nnjj
jj aa 1
11
)()1( pj qj
qpjapjqa
n
nnjj
jj aa 1
11
)()1( pj qj
qpjapjqa
n
nnjj
jj aa 1
11
)()1( pjqj
qpjapjqa—
= – D
推论 1 :若行列式中有两行 ( 列 ) 对应元素相同,则行列式为零。
证明 :交换行列式这两行,有 D = - D ,故 D = 0
性质 3 若行列式某一行 ( 列 ) 的所有元素都乘以数 k ,等于该行列式乘以数 k ,即:
kD
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
21
21
11211
k
nnnn
n
aaa
aaa
21
11211
inii kakaka 211D
证明:
推论 2 :若行列式中的某行 ( 列 ) 全为零,则行列式为零。 推论 3 :若行列式中有两行 ( 列 ) 的对应元素成比例,则该行列式为零。
ni
nnjijj
jjj akaaD )()1(1
211
)(1 k
ni
nnjijj
jjj aaak 1
211
)()1( k
kDk
性质 4 若行列式中某一行 ( 列 ) 的各元素都是两个数的和,则该行列式等于两个行列式的和。
21 DD
即 :
nnnn
n
aaa
aaa
21
11211
nnnn
n
aaa
aaa
21
11211
inii aaa 21 inii aaa 21
nnnn
n
aaa
aaa
21
11211
ininiiii aaaaaa 2211D
证明:
21 DD
n
nnjj
jjj aaD 1
211
)()1( )(ii jiji aa
n
nnjj
jjj aa 1
211
)()1(
n
nnjj
jjj aa 1
211
)()1( ijia
+ ijia
性质 5 把行列式的某一行 ( 列 ) 的各元素乘以数k 后加到另一行 ( 列 ) 的对应元素上去,行列式的值不变。即:
nnnn
n
aaa
aaa
21
11211
inii aaa 21
jnjj aaa 21
nnnn
n
aaa
aaa
21
11211
inii aaa 21
inii kakaka 211ja 2jajna
用 ri 表示 D 的第 i 行
cj 表示 D 的第 j 列
ri rj 表示交换 i 、 j 两行
ri × k 表示第 i 行乘以 k
ri + k rj 表示第 j 行乘以 k 加到第 i 行
ri k 表示第 i 行提出公因子 k
记号:
例 1 计算行列式20322
29734
30231
D
解:320022
330034
230031
D
322
334
231
20022
30034
30031
50 5
例 2 计算行列式
3351
1102
4315
2113
D
解:
Dc1 c2
3315
1120
4351
2131
3315
1120
6480
2131
r2 - r1
72160
1120
6480
2131
r4 + 5r1 r2 r3
72160
6480
1120
2131
r3 + 4 r2
151000
10800
1120
2131
r4 - 8 r2
25
000
10800
1120
2131
34 4
5rr
4025
821
例 3 :计算 .
321
321
321
321
nx
nx
nx
nx
D
解:
xx
xx
xx
nx
D
00
00
00
321
x
x
x
n
00
00
00
32
nx 21
x+ xx+ x
x+ x
).2
)1((1
nnxxn
x
x
x
nnn
x
000
000
000
322
)1(
在 n 阶行列式
余下的元素按原来顺序构成的一个 n - 1 阶行列式,
称为元素 aij 的余子式,记作 Mij ,
中,划去元素 aij 所在的行和列,
nnnjn
ini
nj
aaa
aa
aaa
D
1
1
1111
ija
ijji
ij MA )1(( - 1)i+j 称为 aij 的代数余子式,记作
余子式带上符号
§3 行列式按行 ( 列 ) 的展开 与克莱姆法则
1. 定义 1
一 . 拉普拉斯展开定理
例如: 在四阶行列式
2014
3651
0310
7223
D 中, a23 的余子式 M23
和代数余子式 A23 ,
,
214
351
723
23
M
2332
23 )1( MA 214
351
723
分别为:
考察三阶行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D 332211 aaa 312312 aaa 322113 aaa
312213 aaa 332112 aaa322311 aaa
3332
232211 aa
aaa )(
3331
232112 aa
aaa
3231
222113 aa
aaa
,131312121111 AaAaAa
其中: A11, A12, A13 分别为 a11, a12, a13 的代数余子式 .
三阶行列式可用其二级子式的线性组合表示。
考察三阶行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D 332211 aaa 312312 aaa 322113 aaa
312213 aaa 332112 aaa322311 aaa
3332
232211 aa
aaa )(
3331
232112 aa
aaa
3231
222113 aa
aaa
,131312121111 AaAaAa
其中: A11, A12, A13 分别为 a11, a12, a13 的代数余子式 .
11A 12A 13A
三阶行列式可用其二级子式的线性组合表示。
再考察二阶行列式
211212112221
1211 aaaaaa
aa 12121111 AaAa
二阶行列式也可由其子式的组合表示 .
例 3. 计算三阶行列式
542
303
241
D
解:54
301
)4(
52
33
242
03
12 36 24 .72
D =
还可看出
232322222121 AaAaAa
354
240
52
21
)3(
42
41
+ 0= 84 12 =72 =D,
333332323131 AaAaAa
230
24
433
21
5
03
41
+36= 24 +60 =72 =D,
542
303
241
D
313121211111 AaAaAa
154
30 3
54
242
30
24
+84= 12 24 =72 =D .
以及542
303
241
D
定理 1 (Laplace展开定理 ) 行列式等于它的任一行 ( 列 ) 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。
),,2,1( 1
niAan
kkiki
或
),,2,1( 1
njAan
kjkjk
即: ininiiii AaAaAaD 2211
njnjjjjj AaAaAaD 2211
证明步骤:<1> 证
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
11211
22221
11211
nnnn
nn
Aa
a
00
<2> 证
nnnjnjnjn
njjj
aaaaa
aaaaa
111
11111111
ijijij Aaa 0000
<3>
ininiiii AaAaAa 2211
n
kikik Aa
1
nnnn
n
aaa
aaa
D
21
11211
inii aaa 0000000 21
nnnn
n
nnnn
n
nnnn
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
21
11211
21
11211
21
11211
00 2 ia ina00001 ia
解:
3351
1102
4315
2113
r2 - r1
r4 + 5 r1
72016
1102
6408
2113
按 c2 展开
7216
112
648
)1(1 21
r1 + 4 r2
r3 - 8 r2 15100
112
1080
例 4 用 Laplace展开定理求 例2
§2
按 c1 展开
1510
108)1()2( 12
)100120(2
40
15100
112
1080
例 5 证明四阶范德蒙行列式
34
33
32
31
24
23
22
21
43214
1111
xxxx
xxxx
xxxxD
))()()()()(( 342414231312 xxxxxxxxxxxx
)(41
jiij
xx
证:
D4
r4 - x1r3
r3 - x1r2
r2 - x1r11
24
341
23
331
22
32
142413
2312
22
141312
0
0
0
1111
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxx
按 c1展开
)()()(
)()()(
142413
2312
22
144133122
141312
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxx
24
23
22
432141312
111
))()((
xxx
xxxxxxxxx
r3 - x2r2
r2 - x2r124
2423
23
2423141312
0
0
111
))()((
xxxxxx
xxxxxxxxxx
按 c1展开
)()())()((
244233
2423141312 xxxxxx
xxxxxxxxxx
432423141312
11))()()()((
xxxxxxxxxxxx
)())()()()(( 342414231312 xxxxxxxxxxxx
)(41
jiij
xx
推论: n 阶范德蒙 (Vandermonde) 行列式
112
11
222
21
21
111
nn
nn
n
n
n
xxx
xxx
xxx
D
)(1
jinij
xx
定理 2 行列式的任一行 ( 列 ) 的各元素与另一
行 ( 列 ) 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。
n
kkjki jiAa
1
)( 0
或
n
kjkik jiAa
1
)( 0
即:
综合定理 1 和定理 2 ,得:
ji
,0
n
kkjki Aa
1
n
kjkik Aa
1
或
,D
ji
ji
,0
,D
ji
定理 3 ( 克莱姆法则 )
11212111 bxaxaxa nn
22222121 bxaxaxa nn
nnnnnn bxaxaxa 2211
(1)(1)
的系数行列式
0
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
设线性方程组二 . 克莱姆法则
其中 Di(i=1, 2, …, n) 是用常数项 b1, b2…;bn代替 D 中第 i 列各元素而得到的 n 阶行列式,即:
,11 D
Dx ,2
2 DD
x ,D
Dx n
n (2)
则方程组 (1) 有唯一解,且解可表示为:
,
111
2121221
1111111
nnninin
nii
nii
aaaa
aaaa
aaaa
(i=1, 2,…,n)
iD
nb
b
b
2
1
例 3 解线性方程组
82 32 421 xxx
225 4321 xxxx
73 4321 xxxx
12224 4321 xxxx解:
2214
1113
1251
2032
D 06
方程组的系数行列式
所以方程组有唯一解。
又:
,18
22112
1117
1252
2038
1
D ,0
22124
1173
1221
2082
2
D
8 2 3 24 2 1 x x x
2 2 54 3 2 1 x x x x
7 34 3 2 1 x x x x
12 2 2 44 3 2 1 x x x x
,6
21214
1713
1251
2832
3
D6
12214
7113
2251
8082
4
D
所以: ,311
DD
x ,022
DD
x
,133
DD
x 144
DD
x
D= - 6, D1 =- 18, D2= 0, D3= 6, D4= - 6
注:在方程组 (4.1) 中,若所有的常数项 b1= b
2 = … = bn = 0 ,则方程组称为 n 元齐次线性方程组。
01212111 nn xaxaxa
02222121 nn xaxaxa
02211 nnnnn xaxaxa
(3)
显然有零解 x1 = x2 = … = xn = 0
结论 1 :若齐次线性方程组 (3) 的系数行列
式 D 0 ,则方程组只有零解。平凡解
结论 2 :若齐次线性方程组 (3) 有非零解,
则系数行列式 D = 0 。非平凡解