3. PREKIDAČKA ALGEBRA. Logičke funkcije1

3.1. Osnovni pojmovi

• Zasniva se na tehničkoj primeni Bulove algebre odnosno ALGEBRI LOGIKE.

• Odnosi se na matematičko opisivanje kola u kojima se posredstvom posebnih elemenata, prekidaju ili uspostavljaju strujni tokovi različitih medijuma (struja, voda, vazduh, svetlost...).

• Teorijske osnove algebre logike postavio je matematičar George Bool, 1847. god. (Slika 3.1).

Slika 3.1. George Boole [3]

Džordž Bul (engl. George Boole; 1815 —1864)

Džordž Bul je jedan od o najznačajnijih engleskih matematičara 19. Veka.

Slika 3.2. Claude Elwood Shannon (1916-2001)[4]

Klod Elvud Šenon bio je američki naučnik i inženjer. Među najznačajnije doprinose ovog naučnika

spadaju postavljanje temelja teorije informacija i dizajn digitalnih računara i kola.

08.05.17 1 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице

3. PREKIDAČKA ALGEBRA. Logičke funkcije 1

Slaj

dovi

su

gene

raln

o ba

ziran

i na

refe

renc

i [2]

2 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице

3. PREKIDAČKA ALGEBRA. Logičke funkcije

• Na bazi Bulove algebre su naučnici C.E.Shannon (Slika 2 ), V.I. Šestakov i A. Nakašima postavili i razvili matematički aparat za analizu relejno-kontaktnih mreža i istraživanje zavisnosti između binarnih veličina karakterističnih za rad ovih sistema.

• Kod binarnih sistema ulazno/izlazni signali (bulove varijable, logičke varijable) imaju vrednosti iz skupa {0,1} .

• Logičke funkcije izražavaju zavisinost logičkih promenljivih i takođe mogu imati jednu od dve vrednosti iz skupa {0,1} .

1 2( , ,..., ), 1, 2,...,j ny f x x x j m= =

• Prema broju nezavisnih varijabli logičke funkcije se dele na LF sa: o jednom varijablom o dve varijable o više varijabli.

08.05.17

3 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице

3. PREKIDAČKA ALGEBRA. Logičke funkcije

• Ako je broj ulaznih kanala n onda se na ulazu Automata može kreirati 2n slogova (mogućih stanja).

• Funkcija koja je definisana za svaki od 2n slogova i koja ima vrednosti 0 ili 1, je logička funkcija.

• Svaka logička funkcija može se prikazati tabelom sa 2n vrsta. Takva tabela se naziva KOMBINACIONOM TABLICOM.

• Primer: Logička funkcija sa 3 varijable

Tabela 3.1. Logička funkcija sa tri varijable Decimalni ekvivalent Binarni broj fi f1 ... f2^(2

n)

0 0 0 0 f0 1 ... 0 1 0 0 1 f1 1 ... 1 2 0 1 0 f2 0 ... 0 3 0 1 1 f3 1 ... 1 4 1 0 0 f4 0 ... 1 5 0 0 1 f5 1 ... 0 6 1 1 0 f6 1 ... 0 7 1 1 1 f7 1 ... 1

težina: 22 21 20 vrednost: 4 2 1

08.05.17

4 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице

3. PREKIDAČKA ALGEBRA. Logičke funkcije

• Logička funkcija je potpuna ako je određena za sve moguće vrednosti slogova. Ukupan broj logičkih funkcija je 2^(2n).

• Za pozicione brojne sisteme, ulazni slog se može zadavati i preko decimalnog ekvivalenta.

• Logička funkcija može se zadavati i u decimalnom obliku.

• Primer: 3 7 6 5 4 3 2 1 0213 1 2 1 2 0 2 1 2 0 2 1 2 0 2 1 2 213y = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

Tabela 3.2. Primer logičke funkcije Dec. Ekv. Binarni broj fi ...

0 0 0 0 1

↑

20 1 0 0 1 0 21 2 0 1 0 1 22 3 0 1 1 0 23 4 1 0 0 1 24 5 0 0 1 0 25 6 1 1 0 1 26 7 1 1 1 1 27

08.05.17

5 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице

3. PREKIDAČKA ALGEBRA. Logičke funkcije

08.05.17

• Elektromagnetni relej prikazan je na Slici 3.4 [5].

Princip rada

Elektromagnet se obično sastoji od mnogobrojnih namotaja izolovane bakarne žice na gvozdenom jezgru. Kada struja teče kroz žicu (primarno strujno kolo), oko elektromagneta se stvara magnetsko polјe koje privlači gvozdenu kotvu. Kotva nosi na sebi električne kontakte, koji onda otvaraju ili zatvaraju sekundarno strujno kolo (strujni krug).

Kada se prekine struja kroz elektromagnet, on više ne privlači gvozdenu kotvu, i ona sa vraća u polazni položaj, obično uz pomoć opruge. Time električni kontakti prekidaju ili uspostavlјaju strujno kolo.

Harry Porter's Relay Computer [6]

Slika 3.4. Elektromagnetni relej – princip rada

6 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице

3. PREKIDAČKA ALGEBRA. Logičke funkcije

08.05.17

7 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице

3. PREKIDAČKA ALGEBRA. Logičke funkcije

3.2. Logičke funkcije sa JEDNOM promenljivom: n=1

Moguće je kreirati 1(2 ) (2 ) 22 2 2 4

n

= = = funkcije

Tabela 3.3. Logičke funkcije sa jednom promenljivom

Ponavljanje / DA Negacija/NE Konstanta 0 Konstanta 1 x y x y x y x y 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 y x= y x= 0y = 1y =

08.05.17

08.05.17 8 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице

3. PREKIDAČKA ALGEBRA. Logičke funkcije

Tabela 3.4. Logičke funkcije sa dve promenljive

x1 0 1 0 1 Oznake Nazivi x2 0 0 1 1 funkcija Funkcija y0 0 0 0 0 0 Konstanta 0

Osnovna y1 0 0 0 1 1 2x x∧ ; 1 2x x⋅ ; 1 2x x Množenje; konjukcija; I - funkcija y2 0 0 1 0 2 1x x← Zabrana po x1; inhibicija y3 0 0 1 1 2x Ponavljanje x2 y4 0 1 0 0 1 2x x← Zabrana po x2; inhibicija y5 0 1 0 1 1x Ponavljanje x1 Y6 0 1 1 0 1 2x x⊕ Ekskluzivna disjunkcija; Sabiranje po

modulu 2 Osnovna y7 0 1 1 1 1 2x x∨ ; 1 2x x+ Sabiranje; disjunkcija; ILI; OR

y8 1 0 0 0 1 2x x↓ Pirsova (Pierce) funkcija; NILI; NOR y9 1 0 0 1 1 2x x≡ ; 1 2x x Ekvivalencija

Osnovna y10 1 0 1 0 1x Negacija x1 y11 1 0 1 1 1 2x x→ Implikacija od x1 prema x2

Osnovna y12 1 1 0 0 2x Negacija x2 y13 1 1 0 1 2 1x x→ Implikacija od x2 prema x1 y14 1 1 1 0 1 2/x x Šeferova funkcija(Sheffer);NAND; NotI;

Ni y15 1 1 1 1 1 Konstanta 1

3.3.

Logi

čke

funk

cije

sa D

VE p

rom

enlji

ve: n

=2

Mog

uće

je k

reira

ti 2

(2)

(2)

42

22

16n

==

= fu

nkci

ja. O

ve fu

nkci

je n

aziv

aju

se

elem

enta

rnim

.

9 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице

3. PREKIDAČKA ALGEBRA. Logičke funkcije

• Osobine elementarnih funkcija:

A. Neke funkcije se javljaju u parovima

B. Sve funkcije se mogu podeliti u dva dela. Funkcije jedne polovine mogu se dobiti inverzijom funkcija druge polovine:

15 , 1, 2,3, 4,5,6,7i iy y i− = =

Primeri:

o 14 1y y= 1 2 1 2/x x x x=

Šeferova(NAND) funkcija je inverzija funkcije I (Konjukcije, AND)

o 9 6y y= 1 2 1 2x x x x≡ = ⊕

Ekvivalencija je inverzija funkcije Ekskluzivne disjunkcije

o 8 7y y= 1 2 1 2x x x x↓ = +

Pirsova funkcija (NOR) je inverzija funkcije ILI (Disjunkcija, OR)

08.05.17

10 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице

3. PREKIDAČKA ALGEBRA. Logičke funkcije

08.05.17

• Simboli elementarnih funkcija (Slika 3.5)

Slika 3.5.a Simboli elementarnih funkcija [7]

11 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице

3. PREKIDAČKA ALGEBRA. Logičke funkcije

08.05.17

Slika 3.5.b Simboli elementarnih funkcija [8]

12 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице

3. PREKIDAČKA ALGEBRA. Logičke funkcije

08.05.17

Slika 3.5.c Simboli elementarnih funkcija

13 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице

3. P

REKI

DAČK

A AL

GEB

RA. L

ogič

ke fu

nkci

je

08.05.17

14 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице

3. PREKIDAČKA ALGEBRA. Logičke funkcije

• Neke korisne web adrese

https://www.slideshare.net/kolibrica/logika-kola-seminarski-rad-osnove-mehatronike

http://www.informatika.buzdo.com/s080-logicki-sklopovi.htm

https://logic.ly/demo/

• Primeri logičkih kola ...

• Primeri gotovih rešenja ...

• Animacije ...

08.05.17

Reference

[1] Drndarevic D., Upravljanje procesima – priručnik, Visoka poslovno-tehnička škola, Užice 2015.

[2] Zarić S., Automatizacija proizvodnje, Mašinski fakultet, Beograd, 1987.

[3] https://en.wikipedia.org/wiki/George_Boole

[4] http://history-computer.com/ModernComputer/thinkers/Shannon.html

[5] https://www.automatika.rs/baza-znanja/teorija-upravljanja/releji.html

[6] http://web.cecs.pdx.edu/~harry/Relay/index-Pages/Image0.html

[7]http://www.informatika.buzdo.com/s080-logicki-sklopovi.htm

[8] http://razno.sveznadar.info/3_RS_digit/02_Bul/20-Operacije.htm

[9] https://logic.ly/demo/

08.05.17 15 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице

3. PREKIDAČKA ALGEBRA. Logičke funkcije

08.05.17 16 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице

3. PREKIDAČKA ALGEBRA. Logičke funkcije

Hvala na PAŽNJI!!!