of 202 /202

Penulis Dr. Marsigit, M.A. Dra. Mathilda Susanti, M.Si. Drs. Ali Mahmudi, M.Pd. Dra. Atmini Dhoruri, M.S. Editor Trija Fayeldi, S.Si. Desain Isi Riyono Desain sampul

  • Author
    others

  • View
    7

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Penulis Dr. Marsigit, M.A. Dra. Mathilda Susanti, M.Si. Drs. Ali Mahmudi, M.Pd. Dra. Atmini Dhoruri,...

  • Matematika 3untuk SMP/MTs Kelas IX

    MarsigitMathilda Susanti

    Ali Mahmudi Atmini Dhoruri

    PUSAT KURIKULUM DAN PERBUKUANKementerian Pendidikan Nasional

  • Penulis Dr. Marsigit, M.A.Dra. Mathilda Susanti, M.Si.Drs. Ali Mahmudi, M.Pd.Dra. Atmini Dhoruri, M.S.

    Editor Trija Fayeldi, S.Si.

    Desain Isi Riyono

    Desain sampul M. NurhadiUkuran buku 17,6 x 25 cm

    Matematika 3untuk SMP/MTs Kelas IX

    Hak Cipta buku ini dialihkan hak ciptanya kepada Kementerian Pendidikan Nasional dari Penerbit PT. Quadra Inti Solusi

    Diterbitkan oleh Pusat K u r i k u l u m d a n Perbukuan Kementerian Pendidikan Nasional 2011

    Bebas digandakan sejak November 2010 s.d. November 2025

    Diperbanyak oleh ....

    Hak Cipta pada Kementerian Pendidikan Nasional Dilindungi Undang-Undang

    Marsigit Matematika 3 / penulis, Marsigit...[et al] ; editor, Trija Fayeldi. -- Jakarta : Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Kementerian Pendidikan Nasional, 2011. 2 jil.: ilus.; foto ; 25 cm.

    untuk SMP/MTs Kelas IX Termasuk bibliografi Indeks ISBN 978-979-095-661-2 (no.jil.lengkap) ISBN 978-979-095-666-7 (jil.3.2)

    1.Matematika--Studi dan Pengajaran I. Judul II. Marsigit III. Trija Fayeldi 510.07

  • Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IXiviv

    Daftar IsiKata Sambutan ... iiiDaftar Isi ... ivSajian Isi Buku ... vi

    Kesebangunan ... 1Peta Konsep ... 2Kata Kunci ... 2A. Dua Bangun Datar yang Kongruen ... 4B. Dua Bangun Datar yang Sebangun ... 25C. Memecahkan Masalah yang Melibatkan

    Konsep Kesebangunan ... 39Info Matematika: Thales ... 41Rangkuman ... 42Soal Akhir Bab I ... 43

    BAB I

    Statistika dan Peluang ... 69Peta Konsep ... 70Kata Kunci ... 70A. Statistika ... 72B. Peluang ... 93Info Matematika: Gregor Johann Mendel ... 105Rangkuman ... 106Tugas Proyek 1 ... 106Soal Akhir Bab III ... 107Evaluasi 1 ... 110

    BAB IIISemester 1

    BAB IV

    Pangkat dan Akar ... 115Peta Konsep ... 116Kata Kunci ... 116A. Pangkat ... 117B. Akar ... 124Info Matematika: Jejak Kaki Berumur

    6.000 Tahun ... 133Rangkuman ... 134Soal Akhir Bab IV ... 135

    Bangun RuangSisi Lengkung ... 47Peta Konsep ... 48Kata Kunci ... 48A. Tabung ... 49B. Kerucut ... 55C. Bola ... 60Info Matematika: Erastothenes ... 65Rangkuman ... 66Soal Akhir Bab II ... 67

    BAB IISemester 2

  • Daftar Isi v

    Barisan dan DeretBilangan ... 137Peta Konsep ... 138Kata Kunci ... 138A. Pola Bilangan ... 139B. Barisan Bilangan ... 155C. Deret Bilangan ... 161Info Matematika: Deret Fibonacci di

    Alam ... 168Rangkuman ... 169

    BAB V

    Tugas Proyek 2 ... 169Soal Akhir Bab V ... 170Evaluasi 2 ... 172Evaluasi Akhir ... 176Soal-Soal Ujian Nasional ... 181Daftar Pustaka ... 188

    Daftar Simbol ... 189

    Kunci Jawaban ... 190

    Glosarium ... 192

    Indeks ... 193

  • Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IXvi

    Buku ini merupakan buku matematika dengannuansa baru, namun tetap sesuai dengan kurikulumyang berlaku. Paparan pada buku ini terbagisebagai berikut.

    Sajian Isi Buku

    1. Apersepsi Awal BabBagian ini berisi gambaran mengenaimateri yang akan dibahas melalui wacanakontekstual yang dilengkapi dengan gambarpenunjang. Selain itu, terdapat pula tujuanpembelajaran yang harus dicapai oleh pesertadidik pada bab tersebut.

    2. Peta Konsep dan Kata KunciPada bagian ini, peserta didik akan diberikangambaran pembagian bab secara sistematisdalam bentuk diagram. Setelah itu, pesertadidik akan dikenalkan pada istilah-istilahmatematika yang akan ditemukan pada babtersebut. Penjelasan setiap istilah dapatdilihat pada Glosarium di akhir buku.

    3. Uji Prasyarat MatematikaSebelum mempelajari suatu bab, ada baiknyapeserta didik mengerjakan beberapa soal yangmerupakan prasyarat untuk mempelajari babtersebut.

    4. Paparan MateriMateri pada buku ini dipaparkan secara jelas,runtut, dan komunikatif sehingga memudah-kan peserta didik untuk mencapai tujuanpembelajaran yang diinginkan.

    5. Ingat KembaliBerisi hal-hal penting pada materi-materisebelumnya yang akan digunakan kembalipada pembahasan saat ini.

    5. Contoh SoalBagian ini berisi contoh-contoh soalberkaitan dengan materi yang telah dipelajarisebelumnya.

    6. LatihanBagian ini merupakan sarana bagi pesertadidik untuk menguji kemampuannya setelah

    mempelajari suatu bahasan pada babtersebut. Soal-soal diberikan secara bertahapdengan tingkat kesulitan yang semakinbesar.

    7. EksplorasiPada bagian ini, peserta didik diajak untukmemahami suatu materi melalui kegiatanterbimbing.

    8. Info MatematikaBagian ini berisi artikel matematika yangberhubungan dengan materi yang telahdipelajari.

    9. RangkumanBagian ini berisi uraian singkat tentangmateri yang telah dipelajari oleh peserta didikpada bab tersebut.

    10. Evaluasi dan Tugas ProyekEvaluasi merupakan media bagi peserta didikuntuk menguji kemampuannya setelahmempelajari satu atau beberapa materi.Evaluasi terdiri atas soal akhir bab, evaluasi 1dan 2, tugas proyek 1 dan 2, serta evaluasiakhir.

    11. Daftar Simbol dan GlosariumApabila mengalami kesulitan untuk mengenalisimbol ataupun istilah matematika yangdigunakan pada suatu bab, peserta didikdapat mencari pengertian simbol atau istilahtersebut melalui daftar simbol dan glosariumyang ada di akhir buku.

    12. IndeksBagian ini berisi kata-kata penting yangterdapat pada buku ini beserta halamankemunculannya.

  • B a b I

    Kesebangunan

    Apa yang akan dipelajari pada bab ini?A. Dua Bangun Datar yang KongruenB Dua Bangun Datar yang SebangunC. Memecahkan Masalah yang Melibatkan Konsep Kesebangunan

    Setelah mempelajari bab ini, kamuakan mampu untuk:a. mengenal berbagai bangun datar

    yang sebangun dan kongruen,b. memahami sifat-sifat dua segitiga

    yang sebangun dan kongruen,serta

    c. memecahkan berbagai masalahyang melibatkan kesebangunan.

    Sumber: www.maxskywatcher.deSumber: www.mi.astro.it

    Apabila sebagian sinarmatahari terhalang oleh

    sebuah benda maka akanterbentuk bayangan dari

    benda tersebut. Coba kamubandingkan antara

    bayanganmu dan bayanganmenara di sampingmu.Adakah perbedaannya?

    Dengan membandingkanantara bayanganmu dan

    bayangan sebuah menara,kamu dapat mengukur tinggi

    menara tersebut. Konsepyang kamu gunakan untukmelakukan pengukuran ini

    adalah konsep kesebangunan.Apakah kesebangunan itu?

    Simaklah uraian berikut.

    T u j u a n P e m b e l a j a r a n :

  • Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX2

    Kata KunciPada bab ini, kamu akan menemukan istilah-istilah berikut.• bangun datar • kongruen• segitiga • maket• sebangun

    Peta Konsep

    Kesebangunan

    Kongruen Sebangun

    Segitiga-segitigayang kongruen

    1. Ketiga sisi yang ber-sesuaian sama panjang.

    2. Dua sisi yang bersesuaiansama panjang dan sudutapitnya sama besar.

    3. Dua sudut yang berse-suaian sama besar dan sisipersekutuan kedua suduttersebut sama besar.

    4. Satu sisinya sama panjangdan dua sudut yangbersesuaian sama besar.

    5. Satu sudut sama besar dandua sisi yang bersesuaiansama panjang.

    Pengertian Segitiga-segitigayang sebangun

    MenghitungPanjangsisi padasegitigayangsebangun

    Syarat-syarat

    Menentukan tinggi sebuah menara

    membahas

    sifat-sifat

    manfaat

    Syarat-syaratPengertian Syarat-syarat

    Syarat-syarat

  • Kesebangunan 3

    Uji PrasyaratU j i P r a s y a r a t M a t e m a t i k a

    Sebelum membahas materi kesebangunan, perhatikan bangun-bangun geometri padagambar berikut. Kemudian, jawablah pertanyaan-pertanyaan yang diberikan.

    1. Apakah kamu menemukan bangun-bangun yang sama?2. Adakah bangun-bangun yang ukurannya tidak sama, tetapi bentuknya sama?3. Adakah bangun-bangun yang ukurannya sama dan bentuknya juga sama?

    Kamu tentu dapat menemukan benda-benda di sekitarmu yang mempunyai bentukdan ukuran yang sama. Jika kamu pernahmelihat dua gedung yang kembar maka gedung-gedung tersebut merupakan contoh-contohbenda yang mempunyai bentuk dan ukuranyang sama. Dapatkah kamu menemukanbenda-benda yang mempunyai bentuk sama,tetapi ukurannya berbeda? Ketika kamumemperhatikan produk alas kaki dari produsentertentu dengan model dan tipe yang sama,kamu pasti akan dapat melihat alas kaki yangbentuknya sama, namun mempunyai ukuranyang bermacam-macam. Benda-benda yangmempunyai bentuk dan ukuran yang samadinamakan benda-benda yang kongruen . Adapunbenda-benda yang mempunyai bentuk sama,tetapi ukurannya berbeda dengan syarattertentu, dinamakan benda-benda yang sebangun .

    Gambar 1.1Dua gedung kembar merupakan contoh benda-benda kongruen.

    sumber: www.topleftpixel.com

    Sum

    ber:

    eci

    viln

    et.c

    om

  • Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX4

    A. Dua Bangun Datar yang KongruenMasihkah kamu ingat materi bangun datar di Kelas VII? Kamu tentu dapat

    menyebutkan contoh-contoh bangun datar di sekitarmu. Bentuk ubin (persegi), bentukpapan tulis (persegi panjang), bentuk penggaris segitiga, bentuk kartu ucapan untuktemanmu, bahkan bentuk kartu pelajarmu merupakan contoh-contoh bangun datar. Cobakamu ambil kartu pelajarmu, kemudian bandingkan dengan kartu pelajar temanmu.Bagaimanakah bentuk dan ukuran kartu pelajarmu dan kartu pelajar temanmu? Tentu sama.Dalam hal ini, kartu pelajarmu dan kartu pelajar temanmu dinamakan dua bangun dataryang kongruen . Coba kamu sebutkan contoh lain dari pasangan bangun datar yangkongruen. Bilakah dua bangun datar dikatakan kongruen? Berikut akan diuraikan syaratdua bangun datar kongruen.

    1. Syarat Dua Bangun Datar KongruenCoba kamu perhatikan gambar berikut.

    Jika gambar mobil di sebelah kiri digeser searah dan sejauh ruas garis putus-putusmaka gambar mobil tersebut akan menutupi dengan tepat gambar mobil di sebelah kanan.Dengan kata lain, hasil pergeseran suatu benda mempunyai bentuk dan ukuran samadengan benda aslinya.

    Untuk mengetahui syarat dua bangun datar kongruen, coba kamu lakukan kegiatanberikut.

    Sumber: seriouswheels.com

    Gambar 1.2Dua gambar mobil yang mempunyai bentuk dan ukuran sama akan saling menutupidengan tepat jika diimpitkan.

    Tujuan:Menemukan syarat dua bangun datar kongruen.

    Kegiatan:1. Gambarlah bangun-bangun datar berikut pada buku latihanmu.

    D C

    A B

    G

    E F

    K J

    IH

    Eksplorasi 1.1

  • Kesebangunan 5

    2. Guntinglah gambar bangun-bangun tersebut.Kemudian, pilihlah pasangan gambar-gambar yangtepat saling menutupi ketika diimpitkan.Ternyata, diperoleh hasil sebagai berikut.a. Trapesium ABCD menutupi dengan tepat

    trapesium LMNO.AB menempati LM.BC menempati MN.CD menempati NO.DA menempati OL.∠DAB menempati ∠OLM.∠ABC menempati ∠LMN.∠BCD menempati ∠MNO.∠CDA menempati ∠NOL.

    b. Segitiga EFG menutupi dengan tepat segitiga XYZ.EF menempati XY.FG menempati ....GE menempati ZX.∠GEF menempati ∠ZXY.∠ ... menempati ∠XYZ.∠FGE menempati ∠ ....

    c. Persegi panjang HIJK menutupi dengan tepat persegi panjang PQRS.HI menempati PQ.IJ menempati ....JK menempati ....... menempati SP.∠KHI menempati ∠ ....∠ ... menempati ∠PQR.∠IJK menempati ∠QRS.∠JKH menempati ∠ ....

    O N

    Z

    X Y

    S R

    P Q L M

    Dalam penulisan, sudutdinotasikan dengan lambang ∠.Misalnya, sudut DAB ditulis∠DAB.

    Ingat Kembali

    F/YE/X

    G/Z

    D/O

    A/L

    C/N

    B/M

    K/S J/R

    H/P I/Q

    Setelah melakukan kegiatan tersebut, kamu dapat memahami bahwa jika dua bangundatar yang mempunyai bentuk dan ukuran sama saling diimpitkan maka kedua banguntersebut akan saling menutupi dengan tepat.

    Dua bangun datar yang tepat saling menutupi atau saling berimpit disebut dua bangundatar yang kongr uen . Dengan demikian, dari hasil kegiatan tadi diperoleh bahwa:

  • Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX6

    Contoh Soal 1.1Tentukan pasangan-pasangan bangun datar berikut kongr uen atau tidak kongr uen .

    a. Persegi panjang ABCD dan persegi panjang EFGH

    b. Persegi PQRS dan persegi panjang TUVW

    D

    A

    C

    B

    H

    E

    G

    F

    3 cm

    2 cm 2 cm

    3 cm

    S W V

    T UP Q

    R

    a. Trapesium ABCD dan trapesium LMNO kongruen,ditulis trapesium ABCD ≅ trapesium LMNO .

    b. ΔEFG dan ΔXYZ kongruen, ditulis ΔEFG ≅ ΔXYZ.c. Persegi panjang HIJK dan persegi panjang PQRS

    kongruen, ditulis persegi panjang HIJK ≅ persegipanjang PQRS .

    2 cm

    2 cm

    2 cm

    3 cm

    Dalam penulisan, segitigadinotasikan dengan lambang Δ.Misalnya, segitiga EFG ditulisΔEFG.

    Ingat Kembali

    Dari hasil kegiatan yang sudah kamu lakukan, kamu telah dapat menemukan syaratdua bangun datar kongruen sebagaimana pernyataan berikut.

    a. Dua bangun datar dikatakan kongruen jika kedua bangun datar tersebut mempunyai sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

    b. Jika dua bangun datar kongruen maka:1. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang, dan2. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

    Untuk menentukan sisi-sisi dan sudut-sudut yang bersesuaian dari dua bangun datar,biasanya dapat dilakukan dengan memperhatikan urutan dalam penamaan dua bangundatar tersebut. Coba kamu perhatikan ΔEFG dan ΔXYZ pada kegiatan tadi. Sisi-sisi yangbersesuaian dari kedua segitiga tersebut adalah EF bersesuaian dengan XY, FG bersesuaiandengan YZ, dan GE bersesuaian dengan ZX. Adapun sudut-sudut yang bersesuaian darikedua segitiga tersebut adalah ∠GEF bersesuaian dengan ∠ZXY, ∠EFG bersesuaiandengan ∠XYZ, dan ∠FGE bersesuaian dengan ∠YZX. Coba kamu sebutkan sisi-sisi dansudut-sudut yang bersesuaian pada pasangan bangun datar yang lain pada kegiatan tadi.

  • Kesebangunan 7

    c. Persegi IJKL dan segi empat MNOP

    Penyelesaian :a. Diketahui persegi panjang ABCD dan persegi panjang EFGH . Sudut-sudut yang

    bersesuaian adalah ∠DAB bersesuaian dengan ∠HEF , ∠ABC bersesuaian dengan∠EFG, ∠BCD bersesuaian dengan ∠FGH, dan ∠CDA bersesuaian dengan ∠GHE.Berikut adalah besar sudut dari sudut-sudut yang bersesuaian.∠DAB = ∠HEF = 90° (sudut siku-siku),∠ABC = ∠EFG = 90° (sudut siku-siku),∠BCD = ∠FGH = 90° (sudut siku-siku), dan∠CDA = ∠GHE = 90° (sudut siku-siku).Ternyata, diperoleh sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Sisi-sisi yangbersesuaian adalah AB bersesuaian dengan EF, BC bersesuaian dengan FG, CDbersesuaian dengan GH, dan DA bersesuaian dengan HE. Berikut adalah panjangsisi-sisi yang bersesuaian.AB = EF = 3 cm,BC = FG = 2 cm,CD = GH = 3 cm, danDA = HE = 2 cm.Ternyata, diperoleh panjang sisi-sisi yang bersesuaian adalah sama. Oleh karenasudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaian samapanjang maka persegi panjang ABCD dan persegi panjang EFGH kongruen.

    b. Coba kamu perhatikan sisi-sisi yang bersesuaian dari persegi PQRS dan persegipanjang TUVW . PQ bersesuaian dengan TU, QR bersesuaian dengan UV, RSbersesuaian dengan VW , dan SP bersesuaian dengan WT . Berikut adalah panjangsisi-sisi yang bersesuaian.PQ = 2 cm, sedangkan TU = 3 cm sehingga PQ ≠ TU,QR = UV = 2 cm,RS = 2 cm, sedangkan VW = 3 cm sehingga RS ≠ VW , danSP = WT = 2 cm.Oleh karena salah satu syarat dari dua bangun datar yang kongruen tidak dipenuhi,yaitu sisi-sisi yang bersesuaian tidak sama panjang maka persegi PQRS dan persegipanjang TUVW tidak kongruen.

    c. Coba kamu perhatikan sudut-sudut yang bersesuaian dari persegi IJKL dan segiempat MNOP . ∠LIJ bersesuaian dengan ∠PMN , ∠IJK bersesuaian dengan ∠MNO ,∠JKL bersesuaian dengan ∠NOP , dan ∠KLI bersesuaian dengan ∠OPM . Berikutadalah besar sudut-sudut yang bersesuaian.

    135°

    L

    I

    K

    J

    P

    M

    O

    N45°

    2 cm

    2 cm 2 cm

    2 cm

  • Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX8

    ∠LIJ = 90°, sedangkan ∠PMN = 45° sehingga ∠LIJ ≠ ∠PMN ,∠IJK = 90°, sedangkan ∠MNO = 135° sehingga ∠IJK ≠ ∠MNO ,∠JKL = 90°, sedangkan ∠NOP = 45° sehingga ∠JKL ≠ ∠NOP , dan∠KLI = 90°, sedangkan ∠OPM = 135° sehingga ∠KLI ≠ ∠OPM .Oleh karena salah satu syarat dari dua bangun datar yang kongruen tidak dipenuhi,yaitu sudut-sudut yang bersesuaian tidak sama besar maka persegi IJKL dan segiempat MNOP tidak kongruen.

    Tunjukkan pasangan bangun-bangun datar yang kongr uen pada gambar berikut. Jelaskanjawabanmu .

    1.

    2.

    3.

    Latihan 1.1

    123°

    57°

    57°

    123°

    123°

    123°57°

    57° 57°

    57°

    123°

    123°

    (a) (b) (c)

    (b) (c)

    (a) (b) (c)

    xx

    (a)

    xy

    y

    √ √

  • Kesebangunan 9

    4. Dengan menggunakan syarat dua bangun datar kongruen, carilah pasangan-pasanganbangun berikut yang kongruen.

    5. Diberikan pasangan bangun datar yang kongruen sebagai berikut.

    Sebutkan sisi-sisi yang bersesuaian dan sudut-sudut yang bersesuaian dari pasanganbangun datar yang kongruen tersebut.

    (a) (b) (c) (d)

    √ √120° √

    √ √

    √√108° 108°

    108° 108°

    108°

    60°

    120°60°

    ( (

    ( (

    () ()

    110°125°

    125° 125°110°

    125°

    (e) (f) (g) (h)

    √√

    √√√

    108°

    108°

    108° 108°

    108°

    120°

    60°

    120°

    60°()

    110°

    125°

    125° 125°

    110°

    125°()

    (

    (

    (

    (

    45°

    1 cm

    3 cm

    45°3 cm

    2 cm

    1 cm

    D

    A

    C

    B

    Q P

    R S

    2 2 cm

    (a) (b)

    2 2 cm2 cm

    B

    CD

    A

    24

    3

    6

    51

    2. Menentukan Panjang Sisi pada Dua Bangun yang KongruenSetelah kamu memahami syarat dua bangun datar kongruen pada subbab sebelumnya,

    kali ini kamu akan mempelajari penerapannya.

    Ketika kamu sudah mengetahui ukuran kartu pelajarmu, kamu tentu dapat mengetahuiukuran kartu pelajar temanmu tanpa harus mengukurnya kembali, karena kartu pelajarmudan kartu pelajar temanmu adalah dua bangun datar yang kongruen. Dengan demikian, syaratdua bangun datar kongruen dapat digunakan untuk menentukan panjang sisi pada duabangun datar yang kongruen sebagaimana contoh berikut.

  • Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX10

    Contoh Soal 1.2Pada gambar berikut, trapesium ABCD dan trapesium EFGH kongruen. PanjangAB = 6 cm, CD = 10 cm, dan EH = 8 cm. Tentukan panjang GH, EF, dan AD.

    Penyelesaian :

    Sisi-sisi yang bersesuaian adalah AB bersesuaian dengan EF, BC bersesuaian denganFG, CD bersesuaian dengan GH, dan AD bersesuaian dengan EH. Oleh karena trapesiumABCD dan trapesium EFGH kongruen maka:Panjang GH = CD = 10 cm,Panjang EF = AB = 6 cm, danPanjang AD = EH = 8 cm.

    G

    H

    E

    F

    D C

    BA

    Latihan 1.2

    1.

    Pada gambar di atas, trapesium PQRS dan trapesium KLMN kongruen. Jika panjangPQ = 4 cm, QR = 4 cm, dan RS = 7 cm, tentukan panjang NK.

    P Q

    N

    K

    LMRS

  • Kesebangunan 11

    2. Diberikan jajargenjang ABCD dan jajargenjang EFGH yang kongruen. Jika kelilingjajargenjang ABCD adalah 10 cm, hitunglah nilai x, panjang sisi EF, FG, GH,dan HE.

    3. Diberikan segi lima ABCDE dan segi lima FGHIJ yang kongruen. Jika EA = 2 cm,hitunglah panjang sisi FG, GH, HI, IJ, dan keliling segi lima FGHIJ .

    (3x – 3) cmD

    A B

    C H

    E

    G

    F

    x cm

    (3x – 1) cm

    J

    F

    I

    H

    G(2x + 1) cm

    (2x – 1) cm

    2 cm

    B

    C

    DE

    A x cm

    4. Diberikan trapesium ABCD dan trapesium EFGH yang kongruen. Jika AB = 3 cm,hitunglah panjang sisi EF, FG, GH, dan HE.

    5. Diberikan jajargenjang ABCD dan jajargenjang EFGH yang kongruen. Jika besar∠DAB = 45°, tentukan besar ∠HEF, ∠EFG, ∠FGH , dan ∠GHE.

    3 cm

    D C

    AB

    H

    E

    G

    F

    D C

    B

    45°A

    (2x + 1) cm

    3x cm

    G

    H

    F

    E

    x cm

  • Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX12

    3. Segitiga-Segitiga yang KongruenKamu telah mempelajari materi dua bangun datar yang kongruen. Kali ini, kamu akan

    mempelajari kekongruenan dalam salah satu bangun datar, yaitu kekongruenan dalamsegitiga. Oleh karena segitiga merupakan salah satu bentuk bangun datar, maka syarat duabangun datar kongruen juga berlaku untuk syarat dua segitiga kongruen. Kamu dapat lebihmemahaminya dengan mempelajari uraian berikut.

    Jika suatu benda digeser maka bentuk maupun ukuran benda tersebut akan tetap sama.Demikian juga bentuk dan ukuran dari benda dan bayangannya pada cermin datar adalahsama. Untuk memahami syarat dua segitiga kongruen, kamu juga dapat melakukanpergeseran atau pencerminan dari bangun datar segitiga tersebut. Coba kamu perhatikanGambar 1.3 untuk kasus pergeseran segitiga.

    C

    BA

    G

    E F

    Gambar 1.3Kekongruenan dalam segitigadengan pergeseran.

    Jika ΔABC digeser ke samping sejauh AE maka ΔABC akan berimpit atau menutupidengan tepat ΔEFG. Jadi, ΔABC kongruen dengan ΔEFG, ditulis ΔABC ≅ ΔEFG.Karena ΔABC ≅ ΔEFG maka:

    ∠CAB = ∠GEF,∠ABC = ∠EFG,∠BCA = ∠FGE,

    AB = EF,BC = FG, danAC = EG.

    Perhatikan juga Gambar 1.4 untuk kasus pencerminan segitiga.

    Gambar 1.4Kekongruenan dalam segitiga denganpencerminan.

    K

    LM Q R

    P

    X

    Y

    Jika ΔKLM dicerminkan terhadap garis XY makabayangan ΔKLM adalah ΔPQR . Bentuk dan ukurankedua segitiga sama.Jadi, ΔKLM dan ΔPQR kongruen.Karena ΔKLM ≅ ΔPQR maka:

    ∠MKL = ∠RPQ ,∠KLM = ∠PQR ,∠LMK = ∠QRP ,

    KL = PQ,

    LM = QR , dan

    KM = PR.

    a. Syarat Dua Segitiga Kongruen

  • Kesebangunan 13

    Contoh Soal 1.3Diberikan ΔABC ≅ ΔDEC seperti pada gambar. Tentukan sudut-sudut dan sisi-sisi yangkongruen dari kedua segitiga tersebut.

    Penyelesaian :

    Coba kamu perhatikan sudut-sudut dan sisi-sisi yang bersesuaian dari ΔABC dan ΔDEC .Sudut-sudut yang bersesuaian adalah ∠CAB bersesuaian dengan ∠CDE , ∠ABCbersesuaian dengan ∠DEC, dan ∠ACB bersesuaian dengan ∠DCE. Oleh karena diketahuiΔABC ≅ ΔDEC maka berlaku:∠CAB = ∠CDE (sudut siku-siku),∠ABC = ∠DEC (sudut dalam berseberangan), dan∠ACB = ∠DCE (sudut bertolak belakang).Jadi, sudut-sudut yang kongruen adalah ∠CAB kongruen dengan ∠CDE,∠ABC kongruen dengan ∠DEC, dan ∠ACB kongruen dengan ∠DCE.Adapun sisi-sisi yang bersesuaian adalah AB bersesuaian dengan DE, BC bersesuaiandengan EC, dan CA bersesuaian dengan CD. Oleh karena diketahui ΔABC ≅ ΔDEC makaberlaku:AB = DE,BC = EC, danCA = CD.Jadi, sisi-sisi yang kongruen adalah AB kongruen dengan DE, BC kongruen dengan EC,dan CA kongruen dengan CD.

    D

    C

    BA

    E

    Berdasarkan hasil dari pergeseran maupun pencerminan bangun datar segitiga padauraian tadi maka dapat disimpulkan syarat dua segitiga kongruen sebagai berikut.

    Jika dua segitiga kongruen maka:• Sisi-sisi yang bersesuaian (seletak) sama panjang, dan• Sudut-sudut yang bersesuaian (seletak) sama besar.

  • Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX14

    b. Sifat-Sifat Dua Segitiga KongruenKamu telah memahami bahwa dua bangun datar yang saling menutupi (menempati)

    ketika diimpitkan maka kedua bangun datar tersebut kongruen. Pernyataan tersebut jugaberlaku pada segitiga. Pada pembahasan sebelumnya, telah diperoleh kesimpulan bahwajika dua segitiga kongruen maka sisi-sisi yang bersesuaian (seletak) sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian (seletak) sama besar. Apakah pernyataan sebaliknya juga berlaku,yaitu jika dua segitiga yang mempunyai sisi-sisi yang bersesuaian (seletak) sama panjangdan sudut-sudut yang bersesuaian (seletak) sama besar maka kedua segitiga tersebutkongruen? Untuk membuktikannya, coba kamu perhatikan Gambar 1.5.

    Diberikan ΔABC dan ΔKLM yang mempunyai sisi-sisi yang bersesuaian (seletak) samapanjang dan sudut-sudut yang bersesuaian (seletak) sama besar. Jika ΔABC diimpitkandengan ΔKLM maka:

    ∠CAB dan ∠MKL saling menempati karena ∠CAB = ∠MKL,∠ABC dan ∠KLM saling menempati karena ∠ABC = ∠KLM,∠BCA dan ∠LMK saling menempati karena ∠BCA = ∠LMK,AB dan KL saling menempati karena AB = KL,BC dan LM saling menempati karena BC = LM, danAC dan KM saling menempati karena AC = KM.

    Ternyata, jika ΔABC dan ΔKLM yang mempunyai sisi-sisi yang bersesuaian samapanjang dan sudut-sudut yang bersesuaian (seletak) sama besar ketika diimpitkan akansaling menutupi. Jadi, ΔABC ≅ ΔKLM.

    Berdasarkan sifat dua segitiga kongruen tersebut, kamu dapat menurunkan syarat-syarat lain untuk menentukan dua segitiga kongruen. Berikut akan dijelaskan tentangkondisi dari unsur-unsur segitiga (sisi dan sudut) yang dapat menentukan dua segitigakongruen.

    1) Menentukan Dua Segitiga Kongruen Dilihat dari Ketiga Sisinya (sisi, sisi, sisi)

    Perhatikan gambar berikut.

    C

    BA

    M

    K L

    Gambar 1.5Dua segitiga yang mempunyai sudut-sudut yang bersesuaian sama besardan sisi-sisi yang bersesuaian samapanjang adalah kongruen.

    x

    o o

    x

    W

    VU

    R

    P Q

    Gambar 1.6Kekongruenan dalam segitiga dilihatdari ketiga sisinya (sisi, sisi, sisi).

  • Kesebangunan 15

    Jika ΔPQR diimpitkan pada ΔUVW maka:PQ dan UV saling menempati karena PQ = UV,QR dan VW saling menempati karena QR = VW , danPR dan UW saling menempati karena PR = UW.

    Jadi, ΔPQR dan ΔUVW saling menempati sehingga ΔPQR ≅ ΔUVW .Sekarang, kamu dapat menyimpulkan bahwa jika dua segitiga yang mempunyai sisi-

    sisi bersesuaian yang sama panjang diimpitkan maka akan saling menutupi dengan tepat.Dengan kata lain, kedua segitiga tersebut kongruen.

    Jika pada dua segitiga ketiga sisi (sisi, sisi, sisi) yang bersesuaian sama panjang maka keduasegitiga tersebut kongruen.

    Contoh Soal 1.4Tunjukkan bahwa ΔPQY ≅ ΔRQY .Penyelesaian :

    Perhatikan ΔPQY dan ΔRQY . Sisi-sisi yang bersesuaianadalah PQ bersesuaian dengan RQ, QY bersesuaian denganQY , dan PY bersesuaian dengan RY. Di samping itu,diperoleh:PQ = RQ (diketahui),QY = QY (berimpit), danPY = RY (diketahui).Oleh karena ketiga sisi yang bersesuaian dari ΔPQY danΔRQY sama panjang maka ΔPQY ≅ ΔRQY (memenuhi syarat (sisi, sisi, sisi)).

    Q

    R

    P

    Y

    2) Menentukan Dua Segitiga Kongruen Dilihat dari Dua Sisi dan Sudut Apitnya (sisi,sudut, sisi)

    Perhatikan gambar Berikut.

    Jika ΔABC diimpitkan pada ΔDEF maka:AB dan DE saling menempati karena AB = DE,∠CAB dan ∠FDE saling menempati karena ∠CAB =∠FDE, danAC dan DF saling menempati karena AC = DF.

    Jadi, ΔABC dan ΔDEF saling menempati, sehingga ΔABC ≅ ΔDEF.

    x xBA

    F

    ED

    C

    Gambar 1.7Kekongruenan dalamsegitiga dilihat dari dua sisidan sudut apitnya (sisi,sudut, sisi).

  • Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX16

    Contoh Soal 1.5

    Kamu telah membuktikan bahwa jika dua segitiga yang mempunyai dua sisi bersesuaianyang sama panjang dan sudut apit kedua sisi tersebut yang sama besar diimpitkan makaakan saling menutupi dengan tepat. Dengan kata lain, kedua segitiga tersebut kongruen.

    Jika dua segitiga dua sisinya yang bersesuaian sama panjang dan sudut apit kedua sisi tersebutsama besar (sisi, sudut, sisi) maka kedua segitiga tersebut kongruen.

    Tunjukkan bahwa ΔPQR ≅ ΔSTU

    Penyelesaian:Perhatikan ΔPQR dan ΔSTU. Sisi-sisi yang bersesuaian adalah PQ bersesuaian denganST, QR bersesuaian dengan TU, dan PR bersesuaian dengan SU. Oleh karena diketahui:PQ = ST = 5 cm,∠PQR = ∠STU = 100°, danQR = TU = 4 cm.

    Maka diperoleh dua sisi yang besesuaian dari ΔPQR dan ΔSTU sama panjang dan sudutapit kedua sisi tersebut sama besar. Akibatnya, ΔPQR ≅ ΔSTU (memenuhi syarat (sisi,sudut, sisi)).

    100°

    R

    QP

    4 cm

    5 cm Q

    100°

    S

    U

    4 cm

    5 cm T

    3) Menentukan Dua Segitiga Kongruen Dilihat dari Dua Sudut dan Sisi yang MerupakanPersekutuan Dua Sudut (sudut, sisi, sudut)

    Perhatikan gambar berikut.

    Jika ΔPQR diimpitkan pada ΔUVW maka:∠RPQ dan ∠WUV saling menempati karena ∠RPQ = ∠WUV ,PQ dan UV saling menempati karena PQ = UV, dan

    ∠PQR dan ∠UVW saling menempati karena ∠PQR = ∠UVW .Jadi, ΔPQR dan ΔUVW saling menempati sehingga ΔPQR ≅ ΔUVW .

    R

    QP

    W

    VUx x

    Gambar 1.8Kekongruenan dalamsegitiga dilihat daridua sudut dan sisipersekutuan dua sudut(sudut, sisi, sudut).o

    o

  • Kesebangunan 17

    Contoh Soal 1.6

    Dari persoalan di atas, diperoleh bahwa jika dua segitiga yang mempunyai dua sudutyang bersesuaian sama besar dan sisi yang merupakan persekutuan kedua sudut tersebutsama panjang diimpitkan maka kedua segitiga tersebut saling menutupi dengan tepat.

    Dengan kata lain, kedua segitiga tersebut kongruen.

    Jika dua segitiga mempunyai dua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang merupakanpersekutuan kedua sudut tersebut sama panjang (sudut, sisi, sudut) maka kedua segitiga tersebutkongruen.

    Tunjukkan bahwa ΔJKL ≅ ΔMNO .

    Penyelesaian :

    Perhatikan ΔJKL dan ΔMNO . Sudut-sudut yang bersesuaian adalah ∠LJK bersesuaiandengan ∠OMN , ∠JKL bersesuaian dengan ∠MNO , dan ∠KLJ bersesuaian dengan∠NOM . Oleh karena diketahui:∠LJK = ∠OMN (sudut siku-siku),JK = MN = 3 cm, dan

    ∠JKL = ∠MNO = 35°.Maka diperoleh dua sudut yang bersesuaian dari ΔJKL dan ΔMNO sama besar dansisi yang merupakan persekutuan kedua sudut tersebut sama panjang. Akibatnya,ΔJKL ≅ ΔMNO (memenuhi syarat (sudut, sisi, sudut)).

    KJ

    O

    M N3 cm35° 35°

    L

    3 cm

    4) Menentukan Dua Segitiga Kongruen Dilihat dari Satu Sisi dan Dua Sudut (sisi, sudut,sudut)

    Pada subbab kali ini, kamu akan belajar menentukan dua segitiga kongruen dilihatdari satu sisi dan dua sudut (sisi, sudut, sudut), yaitu satu sudut terletak di sisi tersebutdan sudut yang lain terletak di depan sisi tersebut.

  • Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX18

    F

    E

    x

    o

    D

    C

    B

    x

    o

    A

    Perhatikan gambar berikut.

    Karena jumlah sudut-sudut dalam segitiga adalah 180° maka berlaku:∠ABC + ∠BCA + ∠CAB = 180°⇔∠ABC = 180° – ∠BCA – ∠CABKarena diketahui ∠BCA = ∠EFD dan ∠CAB = ∠FDE maka berakibat,∠ABC = 180° – ∠BCA – ∠CAB⇔∠ABC = 180° – ∠EFD – ∠FDE⇔∠ABC = ∠DEFSampai di sini, kamu telah memperoleh:1. ∠ABC = ∠DEF,2. AB = DE, dan3. ∠CAB = ∠FDE.

    Kamu dapat mengamati bahwa ketiga keadaan tersebut memenuhi syarat (sudut, sisi,sudut). Jadi, ΔABC ≅ ΔDEF.

    Apa yang dapat kamu simpulkan? Ternyata, syarat (sisi, sudut, sudut) dapat dibawake bentuk syarat (sudut, sisi, sudut) sehingga diperoleh kekongruenan dalam segitiga.

    Jika dua segitiga satu sisinya yang bersesuaian sama panjang dan dua sudut yang bersesuaian,yaitu satu sudut terletak di sisi tersebut dan sudut yang lain terletak di depan sisi tersebutadalah sama besar (sisi, sudut, sudut) maka kedua segitiga tersebut kongruen.

    Gambar 1.9Kekongruenan dalam segitigadilihat dari satu sisi dan duasudut (sisi, sudut, sudut).

    Contoh Soal 1.7Tunjukkan bahwa ΔABC ≅ ΔBAD.

    C

    B

    D

    A

  • Kesebangunan 19

    Penyelesaian :Sisi-sisi yang bersesuaian adalah AB bersesuaian dengan BA, BC bersesuaian denganAD, dan CA bersesuaian dengan DB. Sudut-sudut yang bersesuaian adalah ∠CABbersesuaian dengan ∠DBA, ∠ABC bersesuaian dengan ∠BAD, dan ∠BCA bersesuaiandengan ∠ADB. Oleh karena AB berimpit dengan BA maka AB = BA. DiketahuiBC // AD, akibatnya ∠ABC = ∠BAD (sudut dalam berseberangan). Diketahui jugabahwa ∠BCA = ∠ADB (sudut siku-siku) maka sampai di sini kamu telah memperoleh:1. AB = BA,2. ∠ABC = ∠BAD, dan3. ∠BCA = ∠ADB.Ketiga keadaan tersebut memenuhi syarat (sisi, sudut, sudut) sehingga ΔABC ≅ ΔBAD.

    5) Menentukan Segitiga Kongruen Dilihat dari Satu Sudut dan Dua Sisi (sudut, sisi, sisi)

    Kali ini, kamu akan memahami cara menentukan dua segitiga kongruen dilihat darisatu sudut dan dua sisi (sudut, sisi, sisi), yaitu satu sisi tempat terletaknya sudut tersebutdan sisi yang lain terletak di depan sudut tersebut.

    Perhatikan Gambar 1.10.

    Karena RP dan US merupakan sisi-sisi yang bersesuaian dari ΔPQR dan ΔSTU makasudut-sudut di depan kedua sisi tersebut merupakan sudut-sudut yang bersesuaian juga,yaitu ∠PQR dan ∠STU, dengan catatan ∠PQR dan ∠STU merupakan sudut sejenis (sudutyang sama lancip atau sudut yang sama tumpul). Diketahui bahwa RP = US (sama panjang)maka diperoleh ∠PQR = ∠STU (sama besar). Oleh karena jumlah sudut-sudut dalam segitigaadalah 180° maka berlaku:∠QRP + ∠RPQ + ∠PQR = 180° ⇔∠QRP = 180° – ∠RPQ – ∠PQRKarena diketahui ∠RPQ = ∠UST dan telah diperoleh bahwa ∠PQR = ∠STU maka berakibat, ∠QRP = 180° – ∠RPQ – ∠PQR ⇔∠QRP = 180° – ∠UST – ∠STU ⇔∠QRP = ∠TUSSehingga diperoleh:1. QR = TU,2. ∠QRP = ∠TUS, dan3. RP = US.

    Gambar 1.10Kekongruenan dalam segitiga dilihat darisatu sudut dan dua sisi (sudut, sisi, sisi).

    T

    S

    U

    o

    Q

    P

    R

    o

  • Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX20

    Contoh Soal 1.8

    Kamu dapat mengamati bahwa ketiga keadaan tersebut memenuhi syarat (sisi, sudut,sisi). Jadi, ΔPQR ≅ ΔSTU.

    Apa yang dapat kamu simpulkan? Ternyata, syarat (sudut, sisi, sisi) dapat dibawake bentuk syarat (sisi, sudut, sisi) sehingga diperoleh kekongruenan dalam segitiga.

    Jika dua segitiga satu sudutnya yang bersesuaian sama besar dan dua sisi yang bersesuaian,yaitu satu sisi tempat terletaknya sudut tersebut dan sisi yang lain terletak di depan suduttersebut adalah sama panjang (sudut, sisi, sisi) maka kedua segitiga tersebut kongruen.

    Tunjukkan bahwa ΔPQR ≅ ΔQPS.

    Penyelesaian :

    Perhatikan ΔPQR dan ΔQPS.Sisi-sisi yang bersesuaian adalah PQ bersesuaian dengan QP, QR bersesuaian dengan PS,dan RP bersesuaian dengan SQ. Sudut-sudut yang bersesuaian adalah ∠RPQ bersesuaiandengan ∠SQP, ∠PQR bersesuaian dengan ∠QPS, dan ∠QRP bersesuaian dengan ∠PSQ.Oleh karena diketahui PR // SQ, akibatnya ∠RPQ = ∠SQP (sudut dalam berseberangan).Kamu juga dapat memahami bahwa PQ = QP (berimpit). Oleh karena diketahui QR = PSmaka sampai di sini kamu peroleh:

    1. ∠RPQ = ∠SQP,2. PQ = QP, dan

    3. QR = PS.

    Dari ketiga keadaan tersebut maka berdasarkan syarat (sudut, sisi, sisi) didapatkan bahwaΔPQR ≅ ΔQPS.

    R

    P S

    Q

  • Kesebangunan 21

    1. Berikut diberikan pasangan-pasangan segitiga yang kongruen. Tentukan sisi-sisi dansudut-sudut yang kongruen dari setiap pasangan segitiga tersebut.

    a. ΔABC ≅ ΔDEC d. ΔVWX ≅ ΔXYZ

    b. ΔKLM ≅ ΔNOP

    e. ΔABC ≅ ΔDEF

    c. ΔPQR ≅ ΔSQT

    2. Tunjukkan bahwa pasangan-pasangan segitiga berikut kongruen.

    a. ΔABC dan ΔEDC b. ΔPQR dan ΔSTR

    E D

    C

    A B

    Latihan 1.3

    O

    L

    P

    M

    N

    K

    T

    S

    QR

    P

    Z

    X

    V

    A D B E

    C F

    Y

    W

    E

    DC

    B

    A

    PR

    T

    Q

    S

  • Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX22

    D C

    BA

    c. ΔABD dan ΔCDB

    3. Tentukan pasangan segitiga yang kongruen padagambar di samping.

    4. Tunjukkan bahwa pasangan segitiga di sampingadalah kongruen. Kemudian, tentukan pasangansegitiga tersebut.

    5. Tunjukkan bahwa pasangan-pasangan segitiga berikut kongruen.

    a. ΔPQR dan ΔSTU

    c. ΔKLM dan ΔLKN

    b. ΔABC dan ΔDEF

    B

    DA

    C

    D B

    A

    C

    55°

    R

    P Q U

    T S

    C

    E

    B

    D

    A

    F

    55°

    M N

    135°135°

    LK

  • Kesebangunan 23

    6. Tentukan pasangan segitiga berikut yang kongruen.

    7. Tunjukkan bahwa pasangan segitiga disamping kongruen. Kemudian, tentukanpasangan segitiga tersebut.

    8. Tunjukkan bahwa pasangan-pasangan segitiga berikut kongruen.

    a. ΔAPB dan ΔDPC c. ΔABD dan ΔCBD

    b. ΔAED dan ΔCEB

    9. Tunjukkan bahwa pasangan-pasangan segitiga berikut kongruen.

    a. ΔABC dan ΔEFD b. ΔSRT dan ΔQRP

    DC

    BA

    E

    A

    D

    C

    B

    60°

    60°

    2 cm 55°

    55°

    D

    A

    C

    B

    E2 cm

    B

    P

    AD

    C

    2,5 cm

    2,5 cm 23°

    C

    23°

    A

    BD

    Q

    P

    R

    T

    S

    F

    C

    A

    B

    D

    E

  • Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX24

    c. ΔJKL dan ΔGHI e. ΔAFD dan ΔCEB

    d. ΔUVW dan ΔYXW

    10. Tunjukkan bahwa pasangan-pasangan segitiga berikut kongruen.

    a. ΔACD dan ΔACB c. ΔOSR dan ΔQTP

    b. ΔEFG dan ΔIHG

    I

    L

    H

    KJ

    G

    D C

    BA

    E

    F

    E

    G

    F

    H

    I

    A

    C

    D B95°95°

    O

    S

    P

    QR

    T

    W

    V

    XU

    X

  • Kesebangunan 25

    B. Dua Bangun Datar yang SebangunKamu telah memahami bahwa dua bangun datar kongruen mempunyai bentuk dan

    ukuran sama. Kali ini, kamu akan mempelajari dua bangun datar sebangun yang mempunyaibentuk sama, tetapi ukurannya berbeda dengan syarat tertentu.

    Sebelum membahas dua bangun datar yangsebangun, masihkah kamu ingat materiPerbandingan di Kelas VII? Coba kamuperhatikan Gambar 1.11. Maket stasiun keretatersebut mempunyai bentuk yang sama denganstasiun kereta aslinya, tetapi ukuran aslinyadiperkecil dengan perbandingan yang samasehingga bagian-bagian yang bersesuaianmempunyai perbandingan yang sama. Bagian-bagian yang bersesuaian tersebut di antaranyaadalah panjang stasiun kereta dengan panjangmaket, lebar stasiun kereta dengan lebar maket,dan tinggi stasiun kereta dengan tinggi maket. Olehkarena itu, dapat dibuat perbandingan sebagaiberikut.

    Dengan menggunakan perbandingan tersebut maka kamu dapat menentukan lebarstasiun kereta. Misalnya, tinggi stasiun kereta 3 m (300 cm), tinggi maket 3 cm, dan lebarmaket 8 cm. Dalam kasus ini, kamu dapat memisalkan lebar stasiun adalah x cm. Akibatnya,dengan memilih sepasang perbandingan tadi diperoleh:

    Jadi, lebar stasiun kereta adalah 800 cm (8 m). Oleh karena itu, diperoleh perbandinganbagian-bagian yang bersesuaian sebagai berikut.

    Gambar 1.11Maket stasiun kereta dirancang sama bentuknyadengan stasiun sebenarnya, tetapi ukurannya lebihkecil.

    Sum

    ber:

    ww

    w.m

    etro

    mod

    els.

    net

    = =Tinggi maket

    Tinggi sebenarnyaLebar maket

    Lebar sebenarnya

    Panjang maket

    Panjang sebenarnya

    ⇔ =

    ⇔ = ×⇔ =⇔ =

    3

    300

    8

    3 8 300

    3 2 400

    800

    xx

    x

    x

    .

    Tinggi maket

    Tinggi sebenarnya

    Lebar maket

    Lebar sebenarnya=

    = =8

    800

    1

    100.

    Tinggi maket

    Tinggi sebenarnya

    Lebar maket

    Lebar sebenarnya

    = =3

    300

    1

    100.

  • Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX26

    Karena stasiun kereta dan maketnya mempunyai bentuk sama dan perbandingan bagian-bagian yang bersesuaian sama maka dikatakan stasiun kereta dan maketnya merupakan duabangun yang sebangun .

    Seperti yang telah kamu pahami bahwa persegi panjang, segitiga, dan belah ketupatmerupakan contoh-contoh bangun datar. Dalam subbab ini, kamu akan mempelajari duabangun datar yang sebangun. Bagaimanakah dua bangun datar dikatakan sebangun? Berikutadalah paparan selengkapnya.

    1. Syarat Dua Bangun Datar SebangunUntuk mengetahui syarat dua bangun datar sebangun, coba kamu lakukan kegiatan

    berikut.

    Eksplorasi 1.2Tujuan:Menemukan syarat dua bangun datar sebangun.

    Kegiatan:1. Gunakan penggaris dan busur.

    2. Pada buku latihanmu gambarlah sembarang satu titik dan segi empat. Misalnya, titik E dan segiempat ABCD dengan DE = 2 cm, AE = 2,5 cm, CE = 5 cm, BE = 4,25 cm, ∠CDA = ∠BCD = 60° , dan∠DAB = ∠ABC = 120° seperti pada gambar berikut.

    3. Gambarlah titik E di luar segi empat ABCD.

    4. Pada sinar EA, EB, EC, dan ED tentukan titik-titik A', B', C', dan D' sehingga EA’ = 2 EA,EB’ = 2 EB, EC’ = 2 EC, dan ED’ = 2 ED.

    5. Lukislah segi empat A’B’C’D’.

    Pertanyaan:1. Ukurlah ∠D’A’B’. Apakah ∠DAB = ∠D’A’B’?2. Ukurlah ∠A’B’C’. Apakah ∠ABC = ∠A’B’C’?3. Ukurlah ∠B’C’D’. Apakah ∠BCD = ∠B’C’D’?4. Ukurlah ∠C’D’A’. Apakah ∠CDA = ∠C’D’A’?5. Bandingkan sisi-sisi yang bersesuaian (seletak), apakah

    D’

    C

    E

    A B

    C’

    B’A’

    D

    ABA' B'

    BCB' C'

    CDC' D'

    ADA' D'

    = = = ?

  • Kesebangunan 27

    Setelah kamu melakukan kegiatan tersebut, ternyata suatu bangun datar jika diperbesardengan skala perbesaran tertentu maka akan diperoleh dua bangun datar yang mempunyaibentuk sama dan sudut-sudut yang bersesuaian (seletak) sama besar, tetapi ukuran panjangsisinya berbeda. Namun demikian, perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian (seletak) tetapsama. Bagaimanakah jika bangun datar tersebut diperkecil? Coba kamu diskusikan denganteman-temanmu.

    Jadi, jika dua bangun datar mempunyai sudut-sudut yang bersesuaian (seletak) samabesar dan perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian (seletak) sama maka dua bangundatar tersebut disebut dua bangun datar yang sebangun.

    Dua bangun datar dikatakan sebangun jika:1. sudut-sudut yang bersesuaian (seletak) pada kedua bangun datar sama besar, dan2. perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian (seletak) pada kedua bangun datar sama.

    Oleh karena pada dua bangun datar yang kongruen berlaku perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian adalah sama dan nilai perbandingannya 1 : 1 maka pada dua bangundatar yang sebangun berlaku perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian adalah samadan nilai perbandingannya tidak hanya 1 : 1.

    Contoh Soal 1.9

    D

    2 2

    1 cm

    45°

    A B

    C

    3 cm

    2 cm

    H

    45°E F

    G

    1,5 cm

    1 cm 20,5 cmcm cm

    Diberikan dua bangun datar trapesium ABCD dan trapesium EFGH sebagai berikut.

    1. Sebutkan sudut-sudut yang bersesuaian pada kedua trapesium tersebut.2. Sebutkan sisi-sisi yang bersesuaian pada kedua trapesium tersebut.3. Tentukan besar setiap sudut yang bersesuaian tersebut.4. Tentukan perbandingan panjang sisi dari setiap sisi yang bersesuaian tersebut.5. Apakah kedua bangun datar tersebut sebangun?

    Penyelesaian :1. Pada dua bangun datar di atas, diberikan trapesium ABCD dan trapesium EFGH

    maka sudut-sudut yang bersesuaian adalah ∠DAB bersesuaian dengan ∠HEF,∠ABC bersesuaian dengan ∠EFG, ∠BCD bersesuaian dengan ∠FGH, dan ∠CDAbersesuaian dengan ∠GHE.

    2. Sisi-sisi yang bersesuaian dari trapesium ABCD dan trapesium EFGH adalah ABbersesuaian dengan EF, BC bersesuaian dengan FG, CD bersesuaian dengan GH,dan DA bersesuaian dengan HE.

  • Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX28

    Dengan memper hatikan syarat dua bangun datar sebangun, coba kamu tentukan pasangan-pasangan bangun datar berikut sebangun atau tidak sebangun .a. Persegi panjang ABCD dan d. Persegi panjang ABCD dan persegi

    persegi panjang EFGH panjang EFGH

    b. Segi empat ABCD dan segi empat EFCG

    e. ΔPQR dan ΔSTU

    c. Segi empat ABCD dan segi empat EFCG

    G

    3 cm

    H

    FE

    D

    A

    C

    B

    1 cm

    2 cm

    2 cm

    3. Besar sudut-sudut yang bersesuaian adalah sebagai berikut.∠DAB = ∠HEF = 90° (sudut siku-siku),∠ABC = ∠EFG = 45°,∠BCD = ∠FGH = 135°, dan∠CDA = ∠GHE = 90° (sudut siku-siku).

    4. Berikut adalah perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian.

    AB

    EF

    BC

    FG

    CD

    GH

    DA

    HE= = = = = = =3

    1 5

    2

    1

    2 2

    2

    2

    1

    1

    0 5

    2

    1

    2

    1,, ,

    ,,dan .

    Jadi,

    AB

    EF

    BC

    FG

    CD

    GH

    DA

    HE= = = = 2

    1.

    5. Oleh karena sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan perbandingan panjangsisi-sisi yang bersesuaian sama maka trapesium ABCD dan trapesium EFGH sebangun.

    Latihan 1.4

    2 cmG

    E

    A

    D C

    B

    F

    2 cm1 cm

    2 cm

    4 cm

    F

    1 cm

    H

    E

    G

    C

    B

    D

    A 1,5 cm3 cm

    2 cm

    1 cm

    G

    3 cm

    E

    C

    F

    D

    AB

    2,5 cm

    2 cm

    2,5 cm

    U5 cm

    S TQP

    R

    4 cm

    3 cm

    2 cm

    1,5 cm

    2,5 cm

    x

    oo

    x

  • Kesebangunan 29

    2. Menentukan Panjang Sisi pada Dua Bangun yang SebangunPada pembahasan sebelumnya, kamu telah mempelajari bahwa dua bangun dikatakan

    sebangun jika kedua bangun tersebut mempunyai bentuk sama dan perbandingan bagian-bagian yang bersesuaian sama. Demikian juga dua bangun datar dikatakan sebangun jikaukuran sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan perbandingan panjang sisi-sisi yangbersesuaian sama. Dari pengertian tersebut, kamu dapat menggunakannya untuk menentukanpanjang sisi pada dua bangun yang sebangun.

    Contoh Soal 1.101. Sebuah gudang mempunyai lebar bagian depan

    12 m dan tinggi 8 m. Jika maket gudangtersebut dibuat dengan lebar 6 cm, berapakahtinggi maket gudang tersebut?

    Penyelesaian:Diketahui lebar bagian depan gudang adalah12 m (1.200 cm), tinggi gudang adalah 8 m(800 cm), dan lebar maket adalah 6 cm.Misalnya, tinggi maket adalah x cm. Denganmenggunakan pengertian perbandingan pada

    Sumber: www.coloradomodel.com

    dua bangun yang sebangun diperoleh:

    ⇔ =

    ⇔ = ×⇔ =⇔ =

    x

    x

    x

    x

    800

    6

    1 2001 200 6 800

    1 200 4 800

    4

    ..

    . .

    Jadi, tinggi maket gudang tersebut adalah 4 cm.

    2. Diberikan trapesium ABCD dan trapesium PQRS sebangun seperti gambar berikut.Tentukan panjang CD dan PQ .

    Tinggi maket

    Tinggi sebenarnya

    Lebar maket

    Lebar sebenarnya=

    D C

    A B12 cm

    10 cm

    Q P

    15 cm

    S9 cmR

  • Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX30

    Penyelesaian :Diketahui trapesium ABCD sebangun dengan trapesium PQRS sehingga berlaku:

    Jadi, panjang CD adalah 6 cm dan panjang PQ adalah 18 cm.

    1. Sebuah pigura berbentuk persegipanjang dengan ukuran tepi luar30 cm × 20 cm. Jika tepi piguradiberi bingkai dengan lebar 5 cm,apakah persegi panjang tepi luarpigura sebangun dengan persegipanjang tepi dalamnya? Jelaskanjawabanmu.

    20 cm

    30 cm

    5 cm

    5 cm

    5 cm 5 cm

    Sumber: www.ppsnf.org

    Latihan 1.5

    2. Sebuah kapal berukuran panjang 150 m dan lebar 30 m akan dibuat modelnya. Panjangmodel 30 cm.a. Berapakah lebar model kapal?b. Jika tinggi model kapal adalah 3 cm, berapakah tinggi kapal sesungguhnya?

    B

    8 cm

    12 cm

    6 cm

    LK

    MNCD

    A

    3. Persegi panjang ABCD dan KLMNsebangun. Jika panjang AB = 12 cm,AD = 8 cm, dan LM = 6 cm, hitunglahkeliling persegi panjang KLMN .

    AD

    PS

    CD

    RS

    AB

    PQAD

    PS

    CD

    RSCD

    CD

    CD

    CD

    CD

    = =

    =

    ⇔ =

    ⇔ = ×⇔ =

    ⇔ =

    ⇔ =

    10

    15 915 10 9

    15 90

    90

    156

    AD

    PS

    CD

    RS

    AB

    PQAD

    PS

    AB

    PQ

    PQPQ

    PQ

    PQ

    PQ

    = =

    =

    ⇔ =

    ⇔ = ×⇔ =

    ⇔ =

    ⇔ =

    10

    15

    12

    10 15 12

    10 180

    180

    1018

  • Kesebangunan 31

    4. Dua bangun berikut adalah sebangun. Tentukan a dan b.

    5. Sebuah monumen tampak pada layar TV dengan tinggi 10 cm dan lebar 4 cm. Jikalebar monumen sebenarnya 10 m, berapakah tinggi monumen sesungguhnya?

    3. Segitiga-Segitiga yang SebangunKamu sudah mengetahui syarat dua bangun datar sebangun. Oleh karena salah satu

    bentuk dari bangun datar adalah segitiga, maka syarat dua bangun datar sebangun jugaberlaku pada dua segitiga sebangun. Namun demikian, adakah syarat lain yangmenunjukkan dua segitiga sebangun? Kamu dapat mengikuti uraian berikut untukmengetahui jawabannya.

    a. Syarat Dua Segitiga SebangunSyarat dua segitiga sebangun dapat kamu peroleh dengan melakukan kegiatan berikut.

    a

    b

    9 cm

    15 cm

    12 cm

    20 cm

    Eksplorasi 1.3Tujuan:Menemukan syarat dua segitiga sebangun.

    Kegiatan:Lengkapi langkah-langkah berikut.1. Gunakan penggaris, busur, dan pensil.2. Gambarlah sembarang segitiga pada buku latihanmu, misalnya ΔABC dengan AB = 2 cm,

    CA = 1,5 cm, dan ∠BAC = 30° seperti pada gambar berikut.

    3. Perpanjang AB sampai titik D sehingga AD = 2 AB, dan perpanjang juga AC sampai titik Esehingga AE = 2 AC.

    A B

    C

    E

    D

    C

    BA

  • Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX32

    4. Perhatikan ΔABC dan ΔADE.∠ABC = ∠ADE (sudut sehadap)∠BCA = ∠DEA (sudut sehadap)∠CAB = ∠EAD (sudut berimpit)

    Jadi, sudut-sudut yang bersesuaian pada ΔABC danΔADE sama besar.AB : AD = 1 : 2 (diketahui AD = 2 AB)

    AC : AE = 1 : 2 (diketahui AE = 2 AC)

    BC : DE = 1 : 2 (ukurlah)

    Jadi, perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada ΔABC dan ΔADE sama.

    5. Perpanjang AB sampai F sehingga AF = 3 AB, dan perpanjang AC sampai G sehingga AG = 3 AC.

    6. Perhatikan ΔABC dan ΔAFG.AB : AF = 1 : 3

    AC : AG = … : …

    BC : FG = … : …

    Jadi, perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada ΔABC dan ΔAFG ….∠ABC = ∠AFG (sudut sehadap)∠BCA = ……… (……………...)∠CAB = ∠GAF (……………...)

    Jadi, sudut-sudut yang bersesuaian pada ΔABC dan ΔAFG sama besar.

    7. Perhatikan ΔADE dan ΔAFG. ∠EAD = ∠GAF (sudut berimpit)AD : AF = 2 : 3AE : AG = 2 : 3

    Terlihat bahwa pada ΔADE dan ΔAFG mempunyai satu sudut yang sama besar danperbandingan panjang sisi-sisi yang mengapit sudut tersebut sama.

    Pertanyaan:Tentukan besar sudut-sudut yang lain serta perbandingan panjang DE dengan FG.

    A B D F

    G

    E

    C

    • Sudut sehadap mempunyaibesar yang sama.

    • Sudut dalam berseberanganmempunyai besar yang sama.

    • Sudut berimpit mempunyaibesar yang sama.

    • Sudut bertolak belakangmempunyai besar yang sama.

    Ingat Kembali

  • Kesebangunan 33

    Setelah kamu melakukan kegiatan tersebut, kamu tentu dapat memahami pernyataan-pernyataan berikut.• Jika sudut-sudut yang bersesuaian pada dua segitiga sama besar maka perbandingan

    panjang sisi-sisi yang bersesuaian sama.• Jika perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada dua segitiga sama maka

    sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.• Jika dua segitiga mempunyai satu sudut yang sama besar dan perbandingan panjang

    sisi-sisi yang bersesuaian yang mengapit sudut tersebut sama maka dua sudut yanglain sama besar.

    Jadi, dari pernyataan-pernyataan tersebut diperoleh hasil sebagai berikut.

    Syarat dua segitiga sebangun:

    1. Jika sudut-sudut yang bersesuaian pada dua segitiga sama besar maka kedua segitigatersebut sebangun.

    2. Jika perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada dua segitiga sama maka keduasegitiga tersebut sebangun.

    3. Jika dua segitiga mempunyai satu sudut yang sama besar serta perbandingan panjangsisi-sisi yang bersesuaian yang mengapit sudut tersebut sama maka kedua segitiga tersebutsebangun.

    Jika dua segitiga sebangun maka:1. sudut-sudut yang bersesuaian pada kedua segitiga tersebut sama besar,2. perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada kedua segitiga tersebut sama, dan3. perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian yang mengapit satu sudut yang sama

    besar pada kedua segitiga tersebut adalah sama.

    Contoh Soal 1.11Diberikan ΔABC dan ΔDEF . Tentukanpasangan segitiga berikut sebangun atau tidaksebangun.

    C

    A B

    F

    D E1,5 cm

    1,5 cm

    2 cm

    2 cm

    45°

    45°

    Penyelesaian :Kamu telah memahami syarat dua segitiga sebangun maka untuk menentukansepasang segitiga sebangun atau tidak sebangun dapat dibuktikan dengan tiga cara.

    Cara 1: Menentukan besar sudut-sudut yang bersesuaianSudut-sudut yang bersesuaian pada ΔABC dan ΔDEF adalah ∠CAB bersesuaian

    dengan ∠FDE , ∠ABC bersesuaian dengan ∠DEF, dan ∠BCA bersesuaian dengan∠EFD . Adapun besarnya sudut-sudut yang bersesuaian tersebut adalah sebagaiberikut. • ∠CAB = ∠FDE = 90° (sudut siku-siku). • ∠ABC = 45° (diketahui); ∠DEF = 180° – ∠FDE – ∠EFD = 180° – 90° – 45° = 45°.

    Jadi, ∠ABC = ∠DEF.

  • Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX34

    • ∠BCA = 180° – ∠CAB – ∠ABC = 180° – 90° – 45° = 45°; ∠EFD = 45° (diketahui).Jadi, ∠BCA = ∠EFD.

    Karena sudut-sudut yang bersesuaian sama besar maka ΔABC dan ΔDEF sebangun.

    Cara 2: Menentukan perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaianSisi-sisi yang bersesuaian pada ΔABC dan ΔDEF adalah AB bersesuaian dengan DE,

    BC bersesuaian dengan EF, dan CA bersesuaian dengan FD. Adapun perbandinganpanjang sisi-sisi yang bersesuaian tersebut adalah sebagai berikut.

    AB

    DE

    BC

    EF

    CA

    FD

    = =

    = = =

    = =

    2

    1 5

    4

    3

    2 23

    22

    2

    1 5

    4

    3

    2

    1 5

    4

    3

    ,,

    ,,

    ,.

    dan

    Oleh karena itu, diperoleh perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian sebagaiberikut.

    AB

    DE

    BC

    EF

    CA

    FD= = = 4

    3.

    Oleh karena perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian sama maka ΔABC danΔDEF sebangun.

    Cara 3: Mengambil satu sudut yang sama besar, kemudian menentukan perbandinganpanjang sisi-sisi yang bersesuaian yang mengapit sudut tersebut

    Pada ΔABC dan ΔDEF, ambillah ∠CAB = ∠FDE = 90°. Berarti, sisi-sisi yangbersesuaian yang mengapit sudut tersebut adalah AB bersesuaian dengan DE dan ACbersesuaian dengan DF. Berikut adalah perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaiantersebut.

    AB

    DEAC

    DF

    = =

    = =

    2

    1 5

    4

    32

    1 5

    4

    3

    ,,

    ,.

    dan

    Oleh karena itu, diperoleh perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian yang mengapitsudut yang sama besar (∠CAB = ∠FDE = 90°) sebagai berikut.

    AB

    DE

    AC

    DF= = 4

    3.

    Oleh karena perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian yang mengapit sudutyang sama besar (∠CAB = ∠FDE = 90°) adalah sama maka ΔABC dan ΔDEF sebangun.

  • Kesebangunan 35

    1. Diberikan ΔPQR dan ΔXYZ sebagai berikut.

    a. Apakah ΔPQR dan ΔXYZ sebangun?b. Tentukan panjang YZ.

    Penyelesaian:

    a. Perhatikan ΔPQR dan ΔXYZ.∠RPQ = ∠ZXY = α,∠PQR = ∠XYZ = β.Karena dua sudut pada ΔPQR dan ΔXYZ sama besar maka sudut yang lain juga samabesar.

    Jadi, ∠QRP = ∠YZX. Karena ketiga sudut yang bersesuaian pada ΔPQR dan ΔXYZsama besar maka ΔPQR dan ΔXYZ sebangun.

    b. Ambillah pasangan perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian mengandungYZ.

    QR

    YZ

    PQ

    XY

    YZYZ

    YZ

    YZ

    YZ

    =

    ⇔ =

    ⇔ = ×⇔ =

    ⇔ =

    ⇔ =

    12 6

    86 12 8

    6 96

    96

    616

    Jadi, panjang YZ adalah 16 cm.

    αα β

    Z

    12 cm

    X Y8 cm

    R

    12 cm

    6 cm QP

    β

    Contoh Soal 1.12

    b. Menghitung Panjang Sisi pada Segitiga yang SebangunKamu telah memahami syarat dua segitiga sebangun. Hal tersebut dapat kamu gunakan

    untuk menentukan panjang sisi-sisi yang belum diketahui pada salah satu segitiga daridua segitiga yang sebangun. Pahami contoh berikut dengan baik.

  • Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX36

    Tentukan pasangan-pasangan segitiga berikut sebangun atau tidak sebangun.1. ΔABC dan ΔDEF

    a. b.

    2. Pada gambar berikut, AD // CB, panjang AD = 6 cm, CB = 4 cm, dan BE = 6 cm.Tentukan panjang AE dengan terlebih dahulu membuktikan bahwa ΔAED dan ΔBECsebangun.

    Penyelesaian :

    Perhatikan ΔAED dan ΔBEC. ∠DAE = ∠CBE (sudut dalam berseberangan), ∠AED = ∠CEB (sudut bertolakbelakang), dan ∠EDA = ∠ECB (sudut dalam berseberangan).Karena sudut-sudut yang bersesuaian sama besar maka ΔAED dan ΔBEC sebangun.Jadi, dengan mengambil perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian yangmengandung AE diperoleh:

    AD

    BC

    AE

    BEAE

    AE

    AE

    AE

    AE

    =

    ⇔ =

    ⇔ = ×⇔ =

    ⇔ =

    ⇔ =

    6

    4 64 6 6

    4 36

    36

    49

    Jadi, panjang AE adalah 9 cm.

    A

    E

    B

    C

    D

    4 cm

    6 cm

    6 cm

    C

    A B D

    F

    E

    1,5 cm2 cm

    3 cm

    3 cm 1,5 cm

    1 cm

    Latihan 1.6

    B

    A

    4 cm 5 cm

    8 cm C

    E

    D

    7 cm 10 cm

    14 cm F

  • Kesebangunan 37

    2. ΔABC dan ΔDECa. b.

    3. ΔABC dan ΔDEFa. b.

    4. ΔABC dan ΔDBEa. b.

    5. ΔABC dan ΔEDCa. b.

    C

    D

    A

    E

    B

    C

    60° 60°BA D

    F

    E

    2,5 cm

    2 cm

    3 cm

    2,5 cm

    C

    B

    A

    D

    E

    A B

    E

    C

    55°

    55°

    B

    D

    A

    BC

    D

    E

    A

    B C E F

    D

    50°50°

    7 cm 4 cm 21 cm 12 cm

    AC

    B

    DE

    A B

    C

    E D

  • Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX38

    C

    B

    A

    Z

    Y60°

    50°

    70°

    50°

    X

    6. Pada ΔABC dan ΔXYZ, diketahui besar ∠CAB = 50°,∠BCA = 70°, ∠ZXY = 50°, dan ∠XYZ = 60°.a. Apakah ΔABC dan ΔXYZ sebangun?

    Jelaskan jawabanmu.b. Tuliskan pasangan sisi bersesuaian yang

    sebanding.

    7. Panjang sisi-sisi sebuah segitiga secara berturut-turut adalah 3 cm, 6 cm, dan 8 cm.Apakah segitiga tersebut sebangun dengan segitiga-segitiga yang mempunyai sisi-sisisebagai berikut?

    a. 5 cm, 8 cm, 11 cm.

    b.

    3

    2 cm, 3 cm, 4 cm.

    c. 1 cm, 2 cm, 8

    3 cm.

    d. 12 cm, 24 cm, 32 cm.

    8. Pada gambar di samping, besar∠CAB = 30°, panjang AB = 4 cm,AC = 6 cm, besar ∠RPQ = 30°,panjang PQ = 6 cm, dan PR = 9 cm.Apakah ΔABC dan ΔPQR sebangun?Jelaskan jawabanmu.

    9. Pada gambar berikut, panjang PT = 3 cm, TS = 5 cm, PR = 4,5 cm, dan PR // QS.

    a. Buktikan bahwa ΔPTR dan ΔSTQ sebangun.b. Tentukan panjang QS.

    10. Pada gambar berikut, KL // NM , panjang KM = 6 cm, LN = 9 cm, NM = 3 cm, danKL = 6 cm.

    a. Apakah ΔKLO dan ΔMNO sebangun? Jelaskanjawabanmu.

    b. Sebutkan pasangan sisi bersesuaian yangsebanding.

    c. Tentukan panjang KO dan panjang NO .

    S Q

    R

    T

    P4,5 cm

    5 cm

    3 cm

    N M

    K L

    O

    3 cm

    6 cm

    C

    BA

    6 cm

    4 cm30° 30°

    R

    P Q

    9 cm

    6 cm

  • Kesebangunan 39

    C. Memecahkan Masalah yang Melibatkan Konsep KesebangunanBanyak masalah dalam kehidupan sehari-hari

    yang dapat diselesaikan dengan menggunakankonsep kesebangunan. Misalnya, kamu inginmengetahui tinggi suatu benda, tetapi sulit untukmengukur benda tersebut secara langsung.Masalah tersebut identik dengan kasus ketika padasuatu waktu di siang hari, panjang bayangan anakyang tingginya 150 cm adalah 50 cm. Kemudian,pada waktu yang sama panjang bayangan menaraadalah 10 m, berapakah tinggi menara tersebut?Kasus ini dapat kamu selesaikan dengan konsepkesebangunan pada bangun datar segitiga. Kamuakan mempelajarinya pada subbab ini.

    Dalam pemecahan masalah yang menggunakan konsep kesebangunan akan lebih mudahjika masalah tersebut kamu buat sketsa gambarnya sebagaimana contoh berikut.

    Gambar 1.12Tinggi menara dapat ditentukan denganmenggunakan konsep kesebangunan.

    Sum

    ber:

    upl

    oad.

    wik

    imed

    ia.o

    rg

    Contoh Soal 1.131. Pada suatu siang, seorang siswa yang tingginya 160 cm berdiri di samping

    menara. Jika pada saat yang sama panjang bayangan siswa tersebut adalah 2 m,sedangkan panjang bayangan menara adalah 8 m, berapakah tinggi menara?

    Penyelesaian :Sketsa masalah tersebut tergambar seperti disamping. Tinggi siswa adalah 160 cm, panjangbayangan siswa adalah 2 m (200 cm), danpanjang bayangan menara adalah 8 m(800 cm). Coba kamu perhatikan bahwa sisi-sisi yang bersesuaian pada sketsa gambartersebut di antaranya adalah tinggi siswabersesuaian dengan tinggi menara, panjangbayangan siswa bersesuaian dengan panjangbayangan menara sehingga perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian di antaranya adalah

    Misalnya, tinggi menara adalah t cm maka dengan menggunakan perbandingandalam kesebangunan diperoleh:

    t

    160=

    800

    200⇔ 200t = 160 × 800

    8 m

    2 m

    160 cm

    siswa

    menara

    Tinggi menara

    Tinggi siswa

    Panjang bayangan menara

    Panjang bayangan siswa=

  • Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX40

    ⇔ 200t = 128.00

    ⇔ t = 128.000200

    ⇔ t = 640

    Jadi, tinggi menara adalah 640 cm (6,4 m).

    2. Ada suatu kolam yang airnya dingin sekali. Kolam tersebut berbentuk segitiga.Di dasar kolam, ditanami rangkaian tanaman air yang membentang. Ani inginmengetahui panjang bentangan tanaman air di kolam, tetapi karena airnya dinginsekali dia tidak berani masuk kolam untuk mengukur panjang bentangan tanamanair tersebut. Sketsa gambar kolam dan tanaman air tersebut tampak seperti padagambar berikut. Dapatkah kamu membantu Ani menentukan panjang bentangantanaman air tersebut?

    Penyelesaian :Sketsa kolam ABC tersebut tergambarseperti di samping. Coba kamuperhatikan ΔABC dan ΔDBE . DEmerupakan sketsa panjang bentangantanaman air. Sisi-sisi yang bersesuaianpada sketsa gambar tersebut adalah DEbersesuaian dengan AC, DB bersesuaiandengan AB, dan BE bersesuaian dengan BC sehingga perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian adalah

    DE

    AC,DB

    AB

    BE

    BC, dan . Oleh karena ΔABC dan ΔDBE sebangun maka berlaku

    DE

    AC

    DB

    AB

    BE

    BC= =

    Untuk menentukan panjang DE maka diambil persamaan perbandingan panjangsisi-sisi yang bersesuaian yang mengandung DE sebagai berikut.

    Jadi, panjang bentangan tanaman air di dalam kolam tersebut adalah 20 m.

    40 m20 m

    30 m

    C

    E

    BD

    A

    40

    40 20 30

    40

    60 30 60 40 30

    60 1.200

    1.200

    60 20

    DB

    AB

    DE

    ACDE

    DE

    DE

    DE

    DE

    DE

    =

    ⇔+

    =

    ⇔ =

    ⇔ = ×⇔ =

    ⇔ =

    ⇔ =

  • Kesebangunan 41

    1. Pada suatu siang, panjang bayangan seorang siswa yang tingginya 150 cm adalah50 cm. Jika pada waktu yang sama panjang bayangan menara adalah 10 m, berapakahtinggi menara tersebut?

    2. Sebatang pohon mempunyai bayangan sepanjang 1 m di atas tanah mendatar. Jikatiang yang tingginya 20 m mempunyai bayangan 10 m, hitunglah tinggi pohontersebut.

    3. Dua tiang bendera mempunyai bayangan yang panjangnya berturut-turut x m dan

    (x + 12) m. Jika panjang tiang yang pendek adalah 13

    panjang tiang yang panjang,

    hitunglah x.

    4. Perbandingan dua sisi yang bersesuaian pada dua segitiga yang sebangun adalah 2 : 3.Jika panjang dua sisi yang bersesuaian mempunyai selisih 6 cm, hitunglah panjangkedua sisi tersebut.

    5. Seorang laki-laki yang tingginya 175 cm berdiri pada jarak 12 m dari tiang telepon.Jika panjang bayangan laki-laki tersebut adalah 3 m, tentukan tinggi tiang telepontersebut.

    Latihan 1.7

    Info MatematikaThalesTHALES adalah salah seorang matematikawan yang lahirdi Miletus, Turki sekitar tahun 624 SM, dan wafat di tempatyang sama sekitar tahun 546 SM. Selain sebagai matematika-wan, Thales dikenal sebagai seorang filsuf dan ilmuwan. Andilnyasebagai matematikawan di antaranya adalah dalam bidanggeometri. Thales memperkenalkan metode untuk mengukur jaraksebuah kapal di laut dari pantai dengan menggunakan konsepkesebangunan. Caranya adalah dengan membuat garis di pantaisebagaimana ilustrasi berikut.

    Sumber: www.satimagingcorp.com

    B’

    A’

    CBA

    AB : Garis di pantaiA’ : Tempat pengamatC : Titik potong antara garis pengamatan dengan garis AB

    di pantaiB’ : Tempat kapal yang diamati

    Jarak sebuah kapal yang sedang berada di laut dari pantai (BB’)dapat ditentukan cukup dengan mengukur jarak AC, BC, dan AA’di pantai. Hal tersebut dilakukan dengan menggunakanperbandingan yang berlaku dalam konsep kesebangunan sebagaiberikut.

    Sumber: www.math.tamu.edu

    Sumber: www.phil.pku.edu.cn

    AA'

    BB'AC

    BC=

  • Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX42

    R a n g k u m a n1. Dua bangun datar dikatakan kongruen jika kedua bangun datar tersebut mempunyai

    sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian samabesar.

    2. Jika pada dua segitiga ketiga sisi yang bersesuaian sama panjang maka keduasegitiga tersebut kongruen.

    3. Jika pada dua segitiga dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut apitkedua sisi tersebut sama besar maka kedua segitiga tersebut kongruen.

    4. Jika dua segitiga mempunyai dua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisiyang merupakan persekutuan kedua sudut tersebut sama panjang maka keduasegitiga tersebut kongruen.

    5. Jika dua segitiga satu sisinya yang bersesuaian sama panjang dan dua sudut yangbersesuaian, yaitu satu sudut terletak di sisi tersebut dan sudut yang lain terletakdi depan sisi tersebut adalah sama besar maka kedua segitiga tersebut kongruen.

    6. Jika dua segitiga satu sudutnya yang bersesuaian sama besar dan dua sisi yangbersesuaian, yaitu satu sisi tempat terletaknya sudut tersebut dan sisi yang lainterletak di depan sudut tersebut adalah sama panjang maka kedua segitiga tersebutkongruen.

    7. Dua bangun datar dikatakan kongruen jika sudut-sudut yang bersesuaian padakedua bangun datar tersebut sama besar dan perbandingan panjang sisi-sisi yangbersesuaian pada kedua bangun sama.

    8. Jika sudut-sudut yang bersesuaian pada dua segitiga sama besar maka keduasegitiga tersebut sebangun.

    9. Jika perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada dua segitiga samamaka kedua segitiga tersebut sebangun.

    10. Jika dua segitiga mempunyai satu sudut yang sama besar serta perbandinganpanjang sisi-sisi yang bersesuaian yang mengapit sudut tersebut sama maka keduasegitiga tersebut sebangun.

  • Kesebangunan 43

    1.

    Pada gambar di atas, ΔABC dan ΔCDAkongruen. Syarat yang dipenuhi adalah ....a. sudut, sisi, sudutb. sisi, sudut, sisic. sisi, sisi, sisid. sudut, sudut, sudut

    2. Perhatikan gambar berikut.

    Diketahui, ∠CAE = ∠DBE. ΔAEC dan ΔBEDkongruen karena memenuhi syarat ....a. sudut, sisi, sudutb. sisi, sudut, sisic. sisi, sisi, sisid. sudut, sudut, sudut

    3.

    Pada gambar di atas, ΔKLO dan ΔKMNkongruen karena memenuhi syarat ....a. sudut, sisi, sudutb. sisi, sudut, sisic. sisi, sisi, sisid. sudut, sudut, sudut

    D C

    BA

    K

    M

    L

    100°

    4.

    Pada gambar di atas, ΔGHI dan ΔXYZkongruen. Nilai m adalah ....a. 60°b. 45°c. 35°d. 25°

    5.

    Pada gambar di atas, ΔDEF dan ΔXYZkongruen. Panjang YZ adalah ....a. 8 cmb. 6 cmc. 10 cmd. 12 cm

    6. Perhatikan gambar berikut. AB // CD.Panjang AB adalah ....a. 18 cmb. 16 cmc. 14 cmd. 12 cm

    100°

    C

    E

    B

    DA

    45°

    45°

    O

    N

    mI

    6 cm

    60°

    95°G

    H

    Z

    XY

    3 cm6 cm

    C D

    E

    BA

    12 cm

    8 cm 8 cm

    12 cm12 cm

    1234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678912345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567891234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678912345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567891234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678912345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567891234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678912345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567891234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678912345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567891234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678912345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567891234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678912345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567891234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678912345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789

    Soal Akhir Bab I

    A. Pilihlah jawaban yang tepat pada soal-soal berikut.

    F

    ZD E

    Y X70°40°

    40°70°8 cm

  • Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX44

    10. Pada gambar berikut diketahui panjangCD = 9 cm, CE = 6 cm, dan BC = 12 cm.

    Panjang AC adalah ....a. 8 cm c. 18 cmb. 12 cm d. 24 cm

    11. Perbandingan panjang sisi dua persegipanjang yang sebangun adalah 2 : 3. Jikapanjang diagonal persegi panjang yangkecil adalah 30 cm maka panjang diagonalpersegi panjang yang besar adalah ....a. 20 cm c. 50 cmb. 45 cm d. 55 cm

    12. Sebuah tiang bendera yang tingginya 5 mberada pada jarak 12 m dari suatu menaradan segaris dengan bayangan menaratersebut. Panjang bayangan tiang benderatersebut oleh sinar matahari adalah 3 m.Tinggi menara tersebut adalah ....a. 15 m c. 25 mb. 20 m d. 30 m

    13. Sebuah lukisan diletakkan pada selembartripleks. Ukuran tripleks tersebut adalah30 cm × 50 cm. Ternyata, di sebelah atas,kiri, dan kanan lukisan tersebut masihterdapat sisa tripleks yang tidak tertutup olehlukisan selebar 3,5 cm. Jika lukisan tersebutsebangun dengan tripleks maka luas tripleksyang tidak tertutup lukisan adalah ....a. 390,6 cm2

    b. 726 cm2

    c. 1.109,4 cm2

    d. 1.500 cm2

    7. Perhatikan gambar berikut.

    Panjang AC adalah ....a. 4 cmb. 7 cmc. 9 cmd. 14 cm

    8. Perhatikan gambar berikut.

    Panjang KL adalah ....a. 6 cmb. 15 cmc. 8 cmd. 14 cm

    9. Pada gambar berikut diketahui AB = 18 cm,PQ = 6 cm, PR = 5 cm, ∠ABC = ∠PQR, dan∠BCA = ∠QRP. Panjang BC adalah ....a. 15 cmb. 12 cmc. 6 cmd. 5 cm

    4 cm

    70°KL

    M

    G

    FE

    6 cm9 cm

    40°

    70°70°

    A75°

    B

    C

    60° 75° 60°D E

    F

    6 cm

    8 cm

    16 cm14 cm

    R

    P

    C

    x

    o

    Q A B6 cm

    5 cm

    18 cm

    x

    o

    A

    E

    C

    D

    B

    6 cm

    9 cm

    3 cm

  • Kesebangunan 45

    14. Perhatikan gambar berikut. ΔABC dan ΔDBEsebangun. Pernyataan yang benar adalah ....

    a. ACDE

    CBEB

    =

    b. DBAB

    EBAC

    =

    c. BEBC

    DEAB

    =

    d. DEAC

    ABDB

    =

    15. Perhatikan gambar berikut. Diberikan ΔABCdan ΔADE sebangun. Diketahui AB = 7 cm,AD = 5 cm, dan DE = 6 cm. Panjang BCadalah ....a. 4,28 cmb. 5,80 cmc. 6,40 cmd. 8,40 cm

    16. Jika ΔABC dan ΔDEF kongruen maka panjangsisi-sisi ΔDEF adalah ....

    a. DE = 2,5 cm, EF = 3 cm, dan FD = 2 cmb. DE = 2 cm, EF = 2,5 cm, dan FD = 3 cmc. DE = 3 cm, EF = 2,5 cm, dan FD = 2 cmd. DE = 3 cm, EF = 2 cm, dan FD = 2,5 cm

    17. Perhatikan gambar berikut.

    Jika ΔABC dan ΔBAD kongruenmaka nilai x dan y adalah ....a. 45° dan 2 cmb. 45° dan 1 cmc. 15° dan 1 cmd. 15° dan 2 cm

    18. Pada gambar di bawah, ΔABC dan ΔPQRkongruen. Panjang PQ adalah ....

    a. 7 cmb. 6 cmc. 5 cmd. 4 cm

    19. Perhatikan gambar di bawah. DiketahuiAC = 2 cm, BC = 4,5 cm. Jika DE = 1 cmmaka panjang BE adalah ....a. 2,25 cmb. 2,50 cmc. 3,25 cmd. 9,00 cm

    20. Diberikan jajargenjang PQRS, jika luasjajargenjang adalah 8 cm2 maka panjangQR adalah ....

    a. 10 cmb. 8 cmc. 6 cmd. 3 cm

    B

    C E

    DA

    B

    A

    C

    E

    D

    A

    (2x – 2) cm

    C

    B

    3 cm

    (3x – 2) cm

    C

    A B

    E

    D

    SR

    QP

    2 cm(8x – 5) cm

    (2x + 2) cm

    o

    x

    A

    FC

    B

    E

    2 cm

    2,5 cm

    3 cm

    D

    x

    o

    A

    C

    B

    D

    2 cm

    (y + 1) cm

    (3x – 90)°45°

    Q

    P

    R2 cm

  • Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX46

    1. Tunjukkan bahwa ΔQRS ≅ ΔXYZ.

    2. Diketahui ΔABC, AB = AC dan besar ∠CAB = 90° .Gambarlah titik P pada sisi AB. Kemudian, buatlah titikQ pada perpanjangan sisi AC sehingga AP = AQ.Gambarlah titik S sebagai titik potong antaraCP dan BQ. Buktikan bahwa ΔCAP ≅ ΔBAQ.

    3. Pada gambar berikut.

    Diketahui BC = BD dan DF = CF.Buktikan bahwa:a. ΔABC ≅ ΔEBD, danb. ΔADF ≅ ΔECF.

    4. Perhatikan gambar di samping.a. Buktikan bahwa ΔKLN dan ΔMLK sebangun.b. Sebutkan pasangan sisi yang sebanding.

    5. Sebuah kapal diamati dari pantai. Jikadi pantai dibuat garis lurus AB danpengamat di titik C sedemikian sehinggatampak seperti pada sketsa gambar disamping.E : Tempat kapal yang diamatiAB : Garis lurus yang dibuat di pantaiC : Tempat pengamat beradaD : Titik potong garis pengamatan

    dengan garis ABAE : Jarak kapal dari pantaiAD = 10 m, BD = 0,5 m, dan BC = 5 m.Tentukan jarak kapal dari pantai (AE).

    S

    Q R

    Z

    X Y

    Q

    C

    A

    B

    S P

    B. Kerjakanlah soal-soal berikut dengan benar.

    C

    F

    D A B

    E

    LK

    M

    N

    Sumber: www.lifeisgrand.com

    C

    BDA

    E

    5 m

    0,5 m

    10 m

  • B a b II

    Bangun RuangSisi Lengkung

    Apa yang akan dipelajari pada bab ini?A. TabungB KerucutC. Bola

    Setelah mempelajari bab ini, kamuakan mampu untuk:a. menyebutkan unsur-unsur tabung,

    kerucut, dan bola,b. menemukan rumus luas selimut

    serta volume bangun ruangtabung, kerucut, dan bola, serta

    c. menyelesaikan berbagai masalahtabung, kerucut, dan bola.

    Sumber: www.glasgowarchitecture.co.ukSumber: www.golftodaymagazine.com

    Kamu tentu seringmemperhatikan bentuk-bentuk

    gedung yang ada di kotamu.

    Pernahkah terpikir olehmu cara

    untuk merancang bentuk

    gedung-gedung tersebut?

    Misalnya, agar suatu gedung

    mempunyai bentuk lingkaran

    berdiameter sama di setiap

    lantainya maka sisi-sisi

    samping gedung tersebut

    haruslah berbentuk lengkung.

    Jika di sepanjang sisi lengkung

    gedung tersebut akan dilapisi

    kaca maka berapakah luas kaca

    yang diperlukan? Kamu akan

    dapat menjawabnya setelah

    mempelajari bab berikut.

    T u j u a n P e m b e l a j a r a n :

  • Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX48

    Kata KunciPada bab ini, kamu akan menemukan istilah-istilah berikut.• tabung • jaring-jaring• kerucut • luas permukaan• bola • volume

    Peta Konsep

    Bangun Ruang Sisi Lengkung

    terdiri atas

    membahas

    Unsur-unsur Jaring-jaring Unsur-unsur Jaring-jaring Unsur-unsur

    manfaat

    Jaring-jaring

    1. Menghitung volume drum2. Menentukan panjang bahan

    pembungkus3. Menentukan volume makanan

    kaleng

    Tabung BolaKerucut

    • Luas permukaan:L = 2πr(t + r)

    • Volume:V = πr2t

    • Luas permukaan:L = πr(s + r)

    • Volume:

    V = 13

    πr2t

    • Luas permukaan:L = 4πr2

    • Volume:

    V =

    43

    πr3

    membahas membahas

    digunakan untukmenemukan

    digunakan untukmenemukan

    digunakan untukmenemukan

    Volume kerucutdapat digunakanuntuk menemukanvolume bola

  • Bangun Ruang Sisi Lengkung 49

    Uji PrasyaratU j i P r a s y a r a t M a t e m a t i k a

    A. TabungPernahkah kamu melihat drum di agen minyak

    tanah atau oli? Drum adalah salah satu contoh bangunruang yang berbentuk tabung. Kamu tentu dapatmenyebutkan benda-benda lain yang berbentuktabung. Dapatkah kamu menyebutkan bagian-bagiandari sebuah drum? Drum terdiri atas sisi atas (tutup)dan sisi bawah (alas) yang berbentuk lingkaran. Selainitu, drum mempunyai sisi samping (sisi lengkung) disepanjang tingginya. Secara umum, tabung jugamempunyai unsur-unsur seperti drum sebagaimanauraian berikut.

    1. Unsur-Unsur TabungCoba kamu perhatikan bangun ruang tabung

    pada Gambar 2.2. Bangun ruang tersebut mempunyaisisi atas (tutup) dan sisi bawah (alas) berbentuklingkaran yang kongruen (sama bentuk danukurannya). Garis AB dinamakan diameter alastabung . Garis PE, PA, dan PB dinamakan jari-jari alastabung . Garis BC dan AD dinamakan tinggi tabung .Adapun sisi samping (sisi lengkung) dinamakanselimut tabung . Bidang yang meliputi sisi atas (tutup),sisi bawah (alas), dan selimut tabung dinamakanpermukaan tabung .

    Setelah kamu memahami unsur-unsur tabung,dapatkah kamu menghitung luas selimut tabung danluas permukaan tabung? Sebelum kamu menjawabpertanyaan tersebut, berikut akan diperkenalkanterlebih dahulu jaring-jaring tabung.

    Kerjakan soal-soal berikut sebelum mempelajari materi bangun ruang sisi lengkung.1. Suatu persegi panjang mempunyai lebar 10 cm dan panjang 15 cm. Tentukan luas

    persegi panjang tersebut.

    2. Jari-jari suatu lingkaran adalah 14 cm. Hitunglah:a. keliling lingkaran tersebut, danb. luas lingkaran tersebut.

    3. Suatu balok mempunyai panjang 12 cm, lebar 7 cm, dan tinggi 5 cm. Hitunglahvolume balok tersebut.

    Gambar 2.1Drum di agen minyak tanah atau olimerupakan salah satu contoh bangunruang yang berbentuk tabung.

    Sum

    ber:

    ww

    w.d

    siflu

    ids.

    com

    A B

    E

    D C

    •P

    Gambar 2.2Unsur-unsur tabung.

  • Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX50

    t

    (a) (b)

    2. Jaring-Jaring TabungPerhatikan Gambar 2.3. Gambar 2.3(a) merupakan tabung yang mempunyai jari-

    jari r dan tinggi t. Apabila tabung seperti pada Gambar 2.3(a) diiris sepanjang garistinggi (sepanjang AD atau BC) dan sepanjang rusuk lengkung (sepanjang keliling lingkaranalas dan atau sepanjang keliling lingkaran tutup) seperti pada Gambar 2.3(b) maka akandiperoleh jaring-jaring tabung seperti pada Gambar 2.3(c).

    Coba kamu perhatikan kembali gambar jaring-jaring tabung tersebut. Sisi atas (tutup)dan sisi bawah (alas) merupakan lingkaran yang mempunyai jari-jari r. Adapun sisilengkung (selimut tabung) merupakan persegi panjang ABCD.

    D C

    A B

    rD C

    A B

    Gambar 2.3(a) Tabung yang mempunyai jari-jari r dan tinggi t.(b) Tabung diiris sepanjang sisi lengkung tabung pada alas, tutup, dan sepanjang tinggi tabung.(c) Jaring-jaring tabung.

    D

    A

    C

    B

    t

    r

    r

    (c)

    Gambar 2.4Luas kertas yang dibutuhkan untuk membuatmainan pesawat dapat dihitung dari luasjaring-jaring mainan pesawat tersebut.

    Sum

    ber:

    ww

    w.e

    pica

    –aw

    ard.

    org

    3. Luas Permukaan TabungKamu tentu masih ingat cara membuat

    mainan pesawat dari selembar kertas. Dapatkahkamu menghitung luas kertas yang digunakanuntuk membuat mainan pesawat ketika mainantersebut sudah jadi? Kamu tentu dapatmenghitung luas kertas yang digunakan denganlebih mudah jika kamu menguraikan mainanpesawat tersebut menjadi selembar kertas kembali,kemudian menghitung luasnya. Demikian jugadengan tabung, kamu dapat menghitung luaspermukaan tabung dengan cara menguraikannyamenjadi bangun datar atau jaring-jaringtabung terlebih dahulu, kemudian menghitungluasnya.

  • Bangun Ruang Sisi Lengkung 51

    Perhatikan Gambar 2.5. Pada Gambar 2.5 (b), dapat diamati bahwa jaring-jaring tabungterdiri atas satu bangun datar persegi panjang dan dua bangun datar lingkaran.

    Gambar 2.5(a) Tabung yang mempunyai

    jari-jari r dan tinggi t.(b) Jaring-jaring tabung.

    t

    (a)

    •D C

    A B

    r

    D

    A

    C

    B

    t

    r

    r (b)

    Selimut tabung (sisi lengkung) setelah diuraikan, ternyata diperoleh bangun datarpersegi panjang ABCD dengan ukuran:

    Panjang selimut tabung (AB = DC) = keliling lingkaran sisi atas (tutup)

    = keliling lingkaran sisi bawah (alas), dan

    Lebar selimut tabung (AD = BC) = tinggi tabung (t).

    Sehingga diperoleh:

    Luas selimut tabung = luas persegi panjang ABCD

    = panjang selimut tabung × lebar selimut tabung= keliling lingkaran sisi atas (sisi bawah) × tinggi tabung= 2πr × t.

    Oleh karena permukaan tabung terdiri atas selimuttabung, sisi atas (tutup), dan sisi bawah (alas) maka:

    Luas permukaan tabung = luas selimut tabung + luassisi atas (tutup) + luas sisibawah (alas)

    = (2πr × t) + πr2 + πr2

    = (2πr × t) + 2πr2

    = 2πr(t + r).

    Keliling lingkaran = 2πr,

    dengan π = 3,14 atau π = 227

    dan r = jari-jari lingkaran.

    Ingat Kembali

    Luas selimut tabung = 2πr × tLuas permukaan tabung = 2πr (t + r)

    dengan π = 3,14 atau π = 227

    , r = jari-jari tabung, dan t = tinggi tabung.

  • Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX52

    10 cm

    Sum

    ber:

    ww

    w.e

    skim

    o.ic

    e.co1. Sebuah tabung kaca tanpa tutup mempunyai diameter 7 cm

    dan tinggi 20 cm. Tentukan:

    a. luas selimut tabung, dan

    b. luas permukaan tabung.

    2. Sebuah pipa air berbentuk tabung dengan jari-jari 2,1 cmdan panjang 28 cm. Jika pipa air tersebut berlubang padakedua ujungnya, tentukan luas permukaan pipa tersebut.

    3. Sebuah pot bunga yang terbuat dari tanah liat berbentuk tabung.Jari-jari alas pot tersebut adalah 10 cm dan tingginya 20 cm. Jika

    7 cm

    Contoh Soal 2.1Panjang jari-jari alas sebuah tabung adalah 7 cm dantingginya adalah 10 cm. Tentukan:a. panjang selimut tabung,b. luas selimut tabung, danc. luas permukaan tabung.

    Penyelesaian :

    Tinggi tabung (t) adalah 10 cm dan jari-jari alas tabung(r) adalah 7 cm.

    a. Panjang selimut tabung = keliling lingkaran alas tabung= 2πr

    = 2 ×

    22

    7 × 7

    = 44Jadi, panjang selimut tabung adalah 44 cm.

    b. Luas selimut tabung = 2πr × t= 44 × 10= 440

    Jadi, luas selimut tabung adalah 440 cm2.

    c. Luas permukaan tabung = 2πr(t + r)= 44 × (10 + 7)= 44 × 17= 748

    Jadi, luas permukaan tabung adalah 748 cm2.

    Latihan 2.1

    pot bunga tanpa tutup tersebut akan dicat pada sisi samping dan alasnya, tentukan luaspermukaan pot bunga yang akan dicat.

  • Bangun Ruang Sisi Lengkung 53

    ••• t

    r

    4. Sebuah kue tart untuk merayakan ulang tahunberbentuk tabung dengan diameter 28 cm dan tinggi8 cm. Jika di seluruh sisi atas dan sisi samping kuetart tersebut dilapisi coklat, tentukan luas permukaankue tart yang dilapisi coklat tersebut.

    5. Sebuah kaleng susu berbentuk tabung yangmempunyai diameter 7 cm dan tinggi 8 cm.Sepanjang sisi samping kaleng tempat susu tersebutditempel kertas yang berisi informasi tentang produksusu tersebut. Tentukan luas kertas tersebut.

    4. Volume TabungKetika sebuah drum terisi penuh oleh minyak atau oli, dapatkah kamu menentukan

    banyaknya minyak atau oli dalam drum tersebut tanpa mengeluarkan minyak atau oli kedalam penakar? Kamu dapat menentukannya dengan cara menghitung daya tampung(volume) drum tersebut. Sebelum mencari volume tabung, kamu tentu masih ingat volumeprisma pada materi bangun ruang sisi datar. Cara mencari volume tabung identik dengancara mencari volume prisma pada bangun ruang sisi datar.

    Coba kamu perhatikan Gambar 2.6.

    Gambar 2.6Tabung adalah suatu prisma beraturan dengan segi yang sangat banyak.

    Seperti yang sudah kamu pahami bahwavolume prisma beraturan = luas alas prisma × tinggi prismaApabila alas prisma (tutup prisma) segi beraturan seperti pada Gambar 2.6 mempunyai

    segi yang sangat banyak maka bentuk alas prisma (tutup prisma) akan mendekati bentuklingkaran. Prisma yang mempunyai bentuk alas (tutup) berupa lingkaran disebut tabung.Oleh karena itu, diperoleh volume tabung sebagai berikut.Volume tabung = luas alas tabung × tinggi tabung

    = luas lingkaran × tinggi tabung= (πr2) × t= πr2t.

    Jadi, volume tabung adalah πr2t, dengan r adalah jari-jari tabung dan t adalah tinggitabung.

    Sumber: www.keluargabroto.com

    Volume tabung = πr2tdengan π = 3,14 atau π =

    227

    , r = jari-jari tabung, dan t = tinggi tabung.

  • Matematika 3 untuk SMP/MTs Kelas IX54

    Contoh Soal 2.21. Hitunglah volume tabung yang mempunyai jari-jari

    alas 7 cm dan tinggi 20 cm.

    Penyelesaian :

    Jari-jari alas tabung (r) adalah 7 cm dan tinggi tabung(t) adalah 20 cm. Oleh karena itu berlaku,

    volume tabung = πr2t

    =

    22

    77 7 20× × ×

    = 22 × 7 × 20= 3.080

    Jadi, volume tabung adalah 3.080 cm3.

    2. Sebuah tabung terisi penuh oleh 5.024 cm3 air. Jari-jari alas tabung adalah 10 cm.Hitunglah tinggi air tersebut.

    Penyelesaian :

    Volume tabung adalah 5.024 cm3 dan jari-jari alas tabung (r) adalah 10 cm. Misalnya,tinggi air adalah t cm maka berlaku,

    volume tabung = πr2t⇔ 5.024 = 3,14 × 102 × t⇔ 5.024 = 3,14 × 100 × t⇔ 5.024 = 314 × t

    ⇔ t = 5 024314

    .

    ⇔ t = 16Jadi, tinggi tabung adalah 16 cm.

    20 cm

    7 cm

    10 cm

    Latihan 2.2

    1. Sebuah kaleng makanan yang berbentuk tabung mempunyai t