Производна на функция

c = const

Основни правила за диференциране

1.

2.

3. c = const

( ) 0c ′ =

( )u v u v′ ′ ′± = ±

( ) .cu c u′ ′=

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x u x v x′ ′ ′= +

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )2

u x u x v x u x v xv x v x

′ ′ ′−=

4.

5.

6. ( )( )( ) ( )( ) ( )u v x u v x v x′ ′ ′=

Производна на произведение:

Производна на частно:

Производна на сложна функция:

Таблица на основните производни

( ) 12

xx

′ =1.

2.

3.

4.

5.

( )1,1x∈ −

( )1,1x∈ −

( ) 1p px px −′ =

( )sin cosx x′ =

( )cos sinx x′ = −

( )2

1arcsin1

xx

′ =−

( )2

1arccos1

xx

′ = −−

( ) 1loglna x

x a′ =

7.

6.

8.

11.

12.

( ) 2

1arccotg1

xx

′ = −+

0 1a< ≠

( ) 22

1tg 1 tgcos

x xx

′ = = +

( ) 22

1cotg 1 cotgsin

x xx

′ = − = − −

( ) 2

1arctg1

xx

′ =+

9.

10.

( )e ex x′ =

( ) lnx xa a a′ =

( ) 1ln xx

′ =

5y =Да се намери производната на функцията:

Задача 1 0y′ =5y x=Задача 2 45y x′ =3

3xy =Задача 3

Намиране на първата производна:

Намиране на втората производна:

Намиране на третата производна:

( )3

3 2 21 1. .33 3 3xy x x x

′ ′′ = = = =

2( ) 2y x x′′ ′= =

(2 ) 2y x′′′ ′= =

от (1) ( ) 1'p px px −=

от (1) ( ) 1'p px px −=

Задача 4 Производна на сбор от функции

( )u v u v′ ′ ′± = ±

Задача 5

2 1y x= +2y′ =0y′′ =

4 57

xy −=

( ) ( )1 1 54 5 57 7 7

y x ′′ = − = − = −

Задача 6

Задача 7

Задача 8

( )2 23y x x= − −

( )2 3 2y x x′ = − −

25 3 8y x x= − −

( ) ( ) ( )25 3 8y x x′ ′ ′′ = + − + −

10 3y x′ = −

5 32 1y x x= − −4 25 6y x x′ = −

320 12y x x′′ = −260 12y x′′′ = −

Задача 9

Задача 10

Задача 11

6 3

5 26 3y x xy x x= −

′ = −

( ) ( )2 24 3 5 2 1

2 4 10 28 2

y x x x x

y x xy x

= − + + − − + −

′ = − + + −′ = +

4 2

3

14

2

y x x

y x x

= −

′ = −

( )( )2 22 6y x x x x= − − +

Задача 12 Производна на произведение от функции

( ) ( ) ( )( )2 2 2 22 6 2 6y x x x x x x x x′ ′′ = − − + + − − + =

( )( ) ( )( )2 24 1 6 2 2 6x x x x x x= − − + + − − + =3 28 39 12x x x= − + −

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x u x v x′ ′ ′= +

( )( )( )( ) ( )( )( )( )

2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 6

2 2 6 4 1 6

2 2 6

y x x x x x

y x x x x x x x x x

x x x x

= − − +

′ = − − + + − − + +

− − +

Задача 13

( )( )( )( ) ( )( )

2

2

2 6

1 6 2 2 6

y x x x

y x x x x

= − + − +

′ = − − + + − + − +

Задача 14

( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )

3 5 2

3 5 2

2 5 2 3 5 2

3 4

5 3 8

0 3 8

5 3 1 3 8 5 8

5 3 8 5 2

y x x x x x

y x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x

= − + +

′ = − + + +

− + + + − + +

− + +

Задача 15

23 27 2x xy

x+

=+

Задача 16 Производна на частно от степен на функция

( ) ( ) ( )( )( )

2 2

2

3 2 7 2 3 2 7 2

7 2

x x x x x xy

x

′ ′+ + − + +′ = =

+

( )( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2

6 2 7 2 3 2 7 21 12 47 2 7 2

x x x x x xx x

+ + − + + += =

+ +

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )2

u x u x v x u x v xv x v x

′ ′ ′−=

2

2

5 2 12x xy

x x− + −

=−

Задача 17

( ) ( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( )( )

( )

2 2 2 2

22

2 2

22

2

22

5 2 1 2 5 2 1 2

2

1 02 2 5 2 1 4 1

2

3 4 1

2

x x x x x x x xy

x x

x x x x x x

x x

x x

x x

′ ′− + − − − − + − −′ = =

−

− + − − − + − −= =

−

+ −=

−

Задача 18 Производна на функция от функция

( )sin 3 4y x= +

( )( ) ( ) ( )sin 3 4 3 4 co s3 4 . 3y x x x′ ′′ = + + = +

( )( )( ) ( )( ) ( )u v x u v x v x′ ′ ′=

Задача 19

( ) ( )

1 5sin 2 cos 62 61 5cos 2 2 sin 6 62 6

cos 2 5cos 6

y x x

y x x

x x

= −

′ = − −

= +

( )

3 3

23 23

32 3

tg 11 1 3

3cos 1

y x

y x xx

−

= +

′ = ++

Задача 20

( ) 1. .n ny u n u u−′′ ′= =

Задача 21 Производна на степен на функция със степенен показател естествено число

( )523 2y x= +

( ) ( ) ( )4 42 2 25 3 2 . 3 2 5 3 2 . 6y x x x x′′ = + + = +

( )

( ) ( )( )

3

2

2

5 2

3 5 2 5 2

15 5 2

y x

y x x

y x

= +

′′ = + +

′ = +

Задача 22

Задача 23 ( )

( ) ( ) ( )

( )

253

2 2 15 5 53 3

1 45 43

3 5

7 5

27 5 7 5 7 53

2 707 5 353 3 7 5

y x

y x x x

xx xx

−

−

= −

′ ′′ = − = − − =

= − =−

Задача 24 ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

34 2

3 3 14 4 42 2

5 34 32

54

1 13

1 3 11 1 13 2 3

1 21 42 1

y x

y x x x

xx xx

−

− − −

−

= −

′ ′′ = − = − − − =

−= − − =

−

26 siny x x=

Задача 25 Производна на тригонометрична функция

( ) ( )2 26 sin siny x x x x ′ ′′ = + =

( )26 2 sin cosx x x x= +

( )sin cosx x′ =от (2) и производна на сложна функция

( )ln 1y x x= −

Задача 26

( ) ( ) ( ) ( )( )ln 1 .ln 1 . ln 1y x x x x x x ′′′ = − = − + − =

( ) ( ) ( ) ( )1 1ln 1 . 1 ln 1 . 11 1

x x x x xx x

′= − + − = − + − =− −

( )ln 11

xxx

= − −−

Производна на логаритмична функция

от (12) и производна на сложна функция( ) 1ln xx

′ =

Задача 27 Производна на показателна функция

3 xy −=

3 ln 3xy −′ = −

( ) lnx xa a a′ =от (10)

2 357 logy x x x= − −Задача 28

2 114 3ln 5

y x xx

′ = − −

2

114 6ln 5.

y xx

′′ = − +

3

26ln 5.

yx

′′′ = − −

3 23y x=Задача 29233y x=Представяме функцията във вида

1 13 323 2

3y x x

− −′ = =

4 43 31 22

3 3y x x

− − ′′ = − = −

7 73 32 4 8

3 3 9y x x

− − ′′′ = − − =

от (1) ( ) 1p px px −′ =

3 4

3yx

=Задача 30433y x

−=

4 3 73 3 343 4

3y x x

− − − ′ = − = −

от (1)

52 2y x x=Задача 312 12

2 5 5y x x x= =

12 5 75 5 512 12

5 5y x x

−′ = = от (1)

Представяме функцията във вида

Представяме функцията във вида

( ) 1p px px −′ =

( ) 1p px px −′ =

2

41

xyx

=−Задача 32

( ) ( ) ( )( )

2 2

22 2

1 14 4

1 1

x x x xxyx x

′′′ − − − ′ = = = − −

( ) ( )( ) ( )

( )( )

2 22 2

2 2 22 2 2

1 1 2 4 11 24 41 1 1

x x x xx x

x x x

− − − +− + = = = − − −

Имаме производна на частно.

22 1y x= −Задача 33

( )1

2 22 1y x= −

( ) ( ) ( )1

2 222

1 12 1 1 22 1

y x x xx

− ′′ = − − = − = −

2

21

xx

= −−

Имаме производна на сложна функция.

Представяме функцията във вида

( ) ( )1

2 2 2

22

11 1 1 222 211

x x x xxyxx

− − − − −

′′ = − = − = −−

( )

22

22

32 22 2

12 212

1 11

xxxx

x xx

− +

− = − = − − − −−

Намираме втората производна.

( )2ln 1y x x= + −Задача 34

( )2

2 2 2

1 11 11 1 1

xy x xx x x x x

′ −′ = + − = + = + − + − −

( )2 2

2 2 2 2

1 1 11 1 1 1

x x x xx x x x x x

− − − −= = + − − + − −

От таблицата на основните производни използваме 12, като същевременно имаме производна на сложна функция.

3e arcsin 5xy x=Задача 35

( ) ( )3 3e arcsin 5 e arcsin 5x xy x x′ ′′ = + =

( )( )

( )3 3

2

1e 3 arcsin 5 e 51 5

x xx x xx

′ ′= + =−

Търсим производна на произведение от сложни функции, като същевременно използваме 10 и 4 от таблицата на основните производни.

( )

33

2

5e3e arcsin 51 5

xx x

x= +

−

2

ln 4xy

x=Задача 36

( )

( ) ( )

22

2 2

1 42 ln 4 4 2 ln 44 4

ln 4 ln 4

xx x x x x xx xy

x x

′− −′ = = =

Търсим производна на частно, като същевременно използваме 1 и 12 от таблицата на основните производни.

( )( )2

2 ln 4 1ln 4

x xx−

=

( )3 3cos cosy x x= +Задача 37

( ) ( )( ) ( ) ( )3 3 2 3 2cos cos 3cos cos sin 3y x x x x x x′′ ′′ = + = − =

( )2 2 33sin cos 3 sinx x x x= − −

( )3 2arctg 6 arcsiny x x= −Задача 38

( )2 22 4

1 1 1 16 3arcsin 22 1 36arctg 6 1

y x xxx x

′ = − =+ −

( )( )2 2

2 4

6 arcsin31 36 arctg 6 1

x x

x x x= −

+ −

2 arccos75еx xy = +Задача 39

( ) ( )2 2 arccos75 .ln 5.е . arccos7x xy x x′ ′′ = + =

Използваме:( )( ) ( ) ( ).ln .u x u xa a a u x′ ′=

( )( ) ( ) ( )e eu x u x u x′ ′=

2 arccos7

2

15 .ln 5.2е . .71 49

x xxx

= + −

−

( )3 6 2tg 3 8 7y x x x= − +Задача 40

( ) ( ) ( )2 6 2 52 6 2

13 tg 3 8 7 18 16 7cos 3 8 7

y x x x x xx x x

′ = − + − +− +

4

sin 5cos 3

xyx

=Задача 41

( ) ( )( )

4 4

24

sin 5 cos 3 sin 5 cos 3

cos 3

x x x xy

x

′′ −′ = =

( )4 3

8

5cos5 cos 3 sin 5 4cos 3 sin 3 3cos 3

x x x x xx

− − = =

4 3

8

5cos5 cos 3 12sin 5 cos 3 sin 3cos 3

x x x x xx

+=

( )4 2sin 2 4 1y x x= − +Задача 42

( ) ( )( )3 2 24sin 2 4 1 co s2 4 1 4 4y x x x x x′ = − + − + −

2sin 1y x= +Задача 43

( ) ( )2 2 2 2

2

22

2 2

1cos 1 1 cos 1 12 1

1 cos 1cos 1 22 1 2 1

y x x x xx

x xx xx x

′ ′′ = + + = + + =+

+= + =

+ +

Изчисление с MathematicaЧрез функцията или символично се определя частната производна на f относно x.

[ ],D f x x f∂

Чрез функцията или символично се определя частната производна на f относно x, производна на резултата относно y и т.н.

[ ], , ...D f x y ,x y f∂

Чрез функцията или се определя n-та производна на f относно x (тук n=2).

[ ],{ , }D f x n ,x x f∂

3

3xy =

Задача: Да се намерят първа, втора и трета производна на функцията