第十一章 人工神经网络建模（ Artificial Neuron Nets ）

• 一、引例 • 1981 年生物学家格若根（ W ． Grogan ）和维什（ W ． Wirth ）发

现了两类蚊子 ( 或飞蠓 midges) ．他们测量了这两类蚊子每个个体的翼长和触角长，数据如下：

• 翼长 触角长 类别• 1.64 1.38 Af

• 1.82 1.38 Af

• 1.90 1.38 Af

• 1.70 1.40 Af

• 1.82 1.48 Af

• 1.82 1.54 Af

• 2.08 1.56 Af

• 翼长 触角长 类别• 1.78 1.14 Apf

• 1.96 1.18 Apf

• 1.86 1.20 Apf

• 1.72 1.24 Af

• 2.00 1.26 Apf

• 2.00 1.28 Apf

• 1.96 1.30 Apf

• 1.74 1.36 Af

• 问：如果抓到三只新的蚊子，它们的触角长和翼长分别为 (l.24,1.80); (l.28 ， 1.84) ；（ 1.40 ， 2.04 ）．问它们应分别属于哪一个种类？

• 解法一：

• 把翼长作纵坐标，触角长作横坐标；那么每个蚊子的翼长和触角决定了坐标平面的一个点 .其中 6 个蚊子属于 APf 类；用黑点“ ·” 表示； 9 个蚊子属 Af 类；用小圆圈“。”表示．

• 得到的结果见图 1

• 图 1 飞蠓的触角长和翼长

• 思路：作一直线将两类飞蠓分开

• 例如；取 A ＝（ 1.44 ， 2.10 ）和 B ＝ (1.10 ，1.16) ，过 A B 两点作一条直线：

• y ＝ 1.47x - 0.017 ，• 其中 X 表示触角长； y 表示翼长．

• 分类规则：设一个蚊子的数据为（ x, y ） ,• 如果 y≥1.47x - 0.017 ，则判断蚊子属 Apf 类；• 如果 y ＜ 1.47x - 0.017 ；则判断蚊子属 Af 类．

• 分类结果： (1.24 ， 1.80) ， (1.28 ， 1.84)属于 Af 类； (1.40 ， 2.04 ）属于 Apf 类．

图 2 分类直线图

• · 缺陷：根据什么原则确定分类直线？

• 若取 A=(1.46,2.10), B=(1.1,1.6) 不变，则分类直线变为 　 y=1.39x+0.071

分类结果变为： (1.24,1.80) ， (1.40,2.04) 属于 Apf类； (1.28,1.84) 属于 Af 类

• 哪一分类直线才是正确的呢？

• 因此如何来确定这个判别直线是一个值得研究的问题．一般地讲，应该充分利用已知的数据信息来确定判别直线．

• 再如，如下的情形已经不能用分类直线的办法：

• 新思路：将问题看作一个系统，飞蠓的数据作为输入，飞蠓的类型作为输出，研究输入与输出的关系。

二、神经元与神经网络

• 大脑可视作为 1000 多亿神经元组成的神经网络• 神经元的解剖图

• 图 3 神经元的解剖图

• 神经元的信息传递和处理是一种电化学活动．树突由于电化学作用接受外界的刺激；通过胞体内的活动体现为轴突电位，当轴突电位达到一定的值则形成神经脉冲或动作电位；再通过轴突末梢传递给其它的神经元．从控制论的观点来看；这一过程可以看作一个多输入单输出非线性系统的动态过程

• 神经网络研究的两个方面• 从生理上、解剖学上进行研究• 从工程技术上、算法上进行研究

三、人工神经网络（ Artificial Neuron Nets, 简称 ANN ）

• 神经元的数学模型

• 图 4 神经元的数学模型

• 其中 x ＝（ x1 ，… xm ） T 输入向量， y 为输出，wi 是权系数；输入与输出具有如下关系：

m

iii xwfy

1

)(

• θ 为阈值， f （ X ）是激发函数；它可以是线性函数，也可以是非线性函数．

例如，若记

• 取激发函数为符号函数

m

iiixwz

1

.0,0

,0,1)sgn(

x

xx

则

• S 型激发函数：

m

iii

m

iii

xw

xwzfy

1

1

,,0

,,1)(

,1

1)(

xexf

;1)(0 xf

或

• 注：若将阈值看作是一个权系数， -1 是一个固定的输入，另有 m-1 个正常的输入，则（ 1 ）式也可表示为： （ 1 ）‘

,)(xx

xx

ee

eexf

.1)(1 xf

m

iii xwfy

1

)( • （ 1 ）‘

• 参数识别：假设函数形式已知，则可以从已有的输入输出数据确定出权系数及阈值。

2 、神经网络的数学模型

• 众多神经元之间组合形成神经网络，例如下图的含有中间层（隐层）的 B-P 网络

• 图 5 带中间层的 B-P 网络

3、量变引起质变 ------ 神经网络的作用

• （ 1 ）蚂蚁群

• 一个蚂蚁有 50个神经元，单独的一个蚂蚁不能做太多的事；甚至于不能很好活下去．但是一窝蚂蚁；设有 10 万个体，那么这个群体相当于 500 万个神经元（当然不是简单相加，这里只为说明方便而言）；那么它们可以觅食、搬家、围攻敌人等等．

（ 2 ）网络说话

• 人们把一本教科书用网络把它读出来（当然需要通过光电，电声的信号转换）；开始网络说的话像婴儿学语那样发出“巴、巴、巴”的声响；但经过 B－ P 算法长时间的训练竟能正确读出英语课本中 90％的词汇．

• 从此用神经网络来识别语言和图象形成一个新的热潮．

4 、人工神经网络的基本特点

• （ 1 ）可处理非线性

• （ 2 ）并行结构．对神经网络中的每一个神经元来说；其运算都是同样的．这样的结构最便于计算机并行处理．

• （ 3 ）具有学习和记忆能力．一个神经网络可以通过训练学习判别事物；学习某一种规律或规则．神经网络可以用于联想记忆．

• （ 4 ）对数据的可容性大．在神经网络中可以同时使用量化数据和质量数据（如好、中、差、及格、不及格等）．

• （ 5 ）神经网络可以用大规模集成电路来实现．如美国用 256 个神经元组成的神经网络组成硬件用于识别手写体的邮政编码．

四、反向传播算法（ B-P 算法） • Back propagation algorithm

• 算法的目的：根据实际的输入与输出数据，计算模型的参数（权系数）

• 1 ．简单网络的 B-P 算法

• 图 6 简单网络

• 假设有 P 个训练样本，即有 P 个输入输出对• （ Ip, Tp ） ,p=1,…,P, •

• 其中输入向量为 ,

• 目标 输 出 向 量 为 （实际上的）

Tpmpp iiI ),...,( 1

Tpnpp ttT ),...,( 1

• 网络输出向量为 （理论上的）

Tpnpp ooO ),...,( 1

• 记 wij 为从输入向量的第 j (j=1,…,m) 个分量到输出向量的第 i (i=1,…,n) 个分量的权重。通常理论值与实际值有一误差，网络学习则是指不断地把与比较，并根据极小原则修改参数 wij ，使误差平方和达最小：

n

ipipi ot

1

2)(min • （ p=1,…,P ） • （ 2）

• 记• Delta 学习规则 :

ijijij www

P

ppjpipj

P

ppipiij iiotw

11

)(

pi pipi ot

（ 4）

（ 3 ）

ijw 表示递推一次的修改量，则有

称为学习的速率

• ipm= -1 , wim= ( 第 i 个 神 经 元 的 阈 值 )

（ 5 ）

• 注：由（ 1 ）‘ 式，第 i 个神经元的输出可表示为

m

jpjijpi iwfo

1

)(

• 特别当 f 是线性函数时

biwaom

jpjijpi

1

)( （ 6 ）

• 图 7 多层前馈网络

• 2 ．多层前馈网络

假设： • （ l ）输入层不计在层数之内，它有 N0 个神经元．设网

络共有 L 层；输出层为第 L 层；第 k 层有 Nk 个神经元．

• (2) 设 )(iuk 表示第 k 层第 i 神经元所接收的信息

wk(i,j) 表示从第 k-1 层第 j 个元到第 k 层第 i 个元的权重，

)(iak 表第 k 层第 i 个元的输出

• （ 3 ）设层与层间的神经元都有信息交换（否则，可设它们之间的权重为零）；但同一层的神经元之间无信息传输．

• (4) 设信息传输的方向是从输入层到输出层方向；因此称为前向网络．没有反向传播信息．

• （ 5 ） 表示输入的第 j 个分量．

)(0 ja

• 在上述假定下网络的输入输出关系可以表示为：

,1)),(()(

),()(),()(

.......................................

,1)),(()(

),()(),()(

,1)),(()(

),()(),()(

1

1

0

111

222

12122

111

11011

LLL

N

jLLLL

N

j

N

j

Niiufia

ijajiwiu

Niiufia

ijajiwiu

Niiufia

ijajiwiu

L

（ 7 ）

• 其中表示第 k 层第 i 个元的阈值 .

（ 9 ）

P

ppEE

1

LN

i

pL

pp iaitE

1

2)()( ))()((2

1

• 定理 2 对于具有多个隐层的前馈神经网络；设激发函数为 S 函数；且指标函数取

（ 8）

（ 10 ）

• 则每个训练循环中按梯度下降时；其权重迭代公式为

),(),(),( )(1

)()1()( jajiwjiw pl

pl

pl

pl

,,...,1 Ll

表示第 -1 层第个元对第层第个元输入的第次迭代时的权重

),()( jiw pl

其中

))(())()(()( )(')()()( iufiaiti pL

pL

ppL

（ 12 ）

（ 11 ）

1

1

)1(1

)(1

)(')( ),()())(()(lN

j

pl

pl

pl

pl ijwjiufi

.11 Ll

BP 算法 • Step1 • 选定学习的数据 ,p=1,…,P, 随机确定初

始权矩阵 W （ 0 ）• Step2

• 用（ 10 ）式反向修正 , 直到用完所有学习数据 .

用学习数据计算网络输出• Step3

),(),(),( )(1

)()1()( jajiwjiw pl

pl

pl

pl

,,...,1 Ll

•五．应用之例：蚊子的分类

• 已知的两类蚊子的数据如表 1 ：

• 翼长 触角长 类别• 1.78 1.14 Apf• 1.96 1.18 Apf• 1.86 1.20 Apf• 1.72 1.24 Af• 2.00 1.26 Apf• 2.00 1.28 Apf• 1.96 1.30 Apf• 1.74 1.36 Af

目标值0.90.90.90.10.90.90.90.1

• 翼长 触角长 类别• 1.64 1.38 Af• 1.82 1.38 Af• 1.90 1.38 Af• 1.70 1.40 Af• 1.82 1.48 Af• 1.82 1.54 Af• 2.08 1.56 Af

目标 t0.10.10.10.10.10.10.1

• 输入数据有 15 个，即 , p=1,…,15; j=1, 2; 对应 15个输出。

• 建模：（输入层，中间层，输出层，每层的元素应取多少个？）

• 建立神经网络

• 规定目标为： 当 t(1)=0.9 时表示属于 Apf 类， t(2)=0.1 表示属于 Af 类。

• 设两个权重系数矩阵为：

)3,2()2,2()1,2(

)3,1()2,1()1,1(

111

1111 www

wwwW

)3,1()2,1()1,1( 2222 wwwW

• 其中 )()3,( jjw ii

（分析如下：

为第一层的输出，同时作为第二层的输入。

为阈值

)2()2()2,2()1()1,2()2(

)1()2()2,1()1()1,1()1(

101011

101011

awawu

awawu

))1(()1( 11 ufa ))2(()2( 11 ufa

• 其中， 为阈值， 为激励函数

1)3(0 a若令

（阈值作为固定输入神经元相应的权系数）

则有：

（作为一固定输入）

i f

jjw )3,(1 2,1j

• 取激励函数为

3

1010101011

3

1010101011

)(),2()3()3,2()2()2,2()1()1,2()2(

)(),1()3()3,1()2()2,1()1()1,1()1(

j

j

jajwawawawu

jajwawawawu

xexf

1

1)(

• 则 ))(()( 11 iufia =

•则

• 同样，取

))(exp(1

1

1 iu 2,1i

,1)3(1 a )3,1(2w

))1(exp(1

1)1(

)(),1()1(

22

3

1122

ua

jajwuj

令 p=0• 具体算法如下：

（ 1 ）随机给出两个权矩阵的初值；例如用 MATLAB软件时可以用以下语句：

)0(1W

)0(2W

=rand(2,3);

=rand(1,3);

(2) 根据输入数据利用公式算出网络的输出

取

3

1010101011

3

1010101011

)(),2()3()3,2()2()2,2()1()1,2()2(

)(),1()3()3,1()2()2,1()1()1,1()1(

j

j

jajwawawawu

jajwawawawu

))(()( 11 iufia ))(exp(1

1

1 iu= 2,1i

,1)3(1 a

))1(exp(1

1)1(

)(),1()1(

22

3

1122

ua

jajwuj

（ 3）计算

xexf

1

1)(因为 所以

（ 4 ）取

（或其他正数，可调整大小）

计算

2'

)1()(

x

x

e

exf

))1(())1()1(()1( 2'

22 ufat 2

222 )))1(exp(1/())1(exp())1()1(( uuat

1.0

),1()1(2 jW P j=1,2,3

• j=1,2,3 )()1(),1(),1( )1(1

)1(2

)(2

)1(2 jajWjW pppp

)()1(1 ip(5) 计算 和 :),()1(

1 jiW p

)()1(1 ip 2

22)1(

2)1(

2 )))1(exp(1/())1(exp()),1()1(( uuiW pp

)()(),(),( )1(0

)1(1

)(1

)1(1 jaijiWjiW pppp

j=1,2,3, i=1,2,3,

• (6) p=p+1 ，转（ 2 ） • 注：仅计算一圈（ p=1 ， 2 ，…， 15 ）是不够的，

直到当各权重变化很小时停止，本例中，共计算了147 圈，迭代了 2205次。

• 最后结果是：

2764.02875.05787.0

5765.05976.75921.51W

9829.34838.04075.82 W

•即网络模型的解为：

2764.0)2(2875.0)1(5787.0)2(

5765.0)2(5976.7)1(5921.5)1(

001

001

aau

aau

))(()( 11 iufia ))(exp(1

1

1 iu2,1i=

))1(exp(1

1)1(

9829.3)2(4838.0)1(4075.8)1(

22

112

ua

aau