Содржина:

Вовед................................................................................................ .....3

1. Вектори....................................................................................... ......5

2. Операции со вектори.....................................................................6

Заклучок......................................................................................... ......11

Користена литература.......................................................................12

1

Вовед

Сите вектори во математиката се разгледуваат во рамките на теоријата

на векторски простори, која пак сама по себе е дел од линеарната алгебра.

Постојат величини кои се определуваат само со бројна вредност, додека други,

освен со бројна вредност се определуваат уште и со правец и насока.

Дефиниција. Величините кои се определуваат само со бројна

вредност се нарекуваат скалари.

Дефиниција. Величините кои се определуваат со бројна вредност,

правец и насока се нарекуваат вектори.

1. Вектори

2

Математичката апстракција дозволува елементите на векторскиот

простор да се наречат вектори иако директно од нив не се очитуваат

количественоста и качественоста. Така, на пример, множеството од

сите полиноми со реални коефициенти со степен не поголем од некој природен

број n претставува векторски простор, па следствено секој полином

претставува вектор.

При ваквото сфаќање на векторите се јавува потребата за

нивно претставување, слично како кај скаларите. Но претставувањето на

полиномот, на пример, како вектор е невозможно со „геометрискиот модел на

вектор“, т.е. со насочена отсечка. Затоа се применуваат други, поапстрактни,

методи кои важат за сите вектори подеднакво.

Во математиката, под вектор се подразбира секоја величина која во себе

носи информација за количество (квантитет) и квалитет.

Наспроти векторите, во математиката стојат скаларите кои носат

информација само за количество. 

Најчестото толкување на векторите е геометриското - векторот е

насочена отсечка одрамнината или просторот. Ова толкување има многу

практична примена во математиката и особено во физиката.

За разлика од скаларите, кај векторите важат поинакви правила за

извршување на операциите.

Сите вектори во математиката се разгледуваат во рамките на теоријата

на векторски простори, која пак сама по себе е дел од линеарната алгебра.

Векторот геометриски се претставува со ориентирана отсечка т.е. дел од

права ограничена со две точки од кои едната е почетна а другата е крајна.

Векторот меѓу точките А и B, од кои А е почетна а B крајна точка се означува

со AB . Освен ова означување, за векторите се користат и малите букви

одозгора означени со стрелка на пр. a,b... или пак со мали задебелени букви на

пр. а,b.

Значи, секој вектор се дефинира со:

3

 интензитет (должина или модул) на вектор е растојанието помеѓу

почетната и крајната точка на векторот и се означува со ∣AB∣,AB,∣a∣; правец на векторот е правецот кој го определува правата на која лежи

векторот и правата се нарекува носач на векторот;

насока на векторот е ориентацијата од неговата почетна кон крајната

точка.

Векторите може да бидат:

Вектори врзани за точка;

Вектори врзани за права (носач);

Слободни вектори.

Слободните вектори не се врзани ниту за почетната точка ниту за

правата на која лежат и тие може слободно да се транслатираат во просторот.

При транслација векторите си ја запазуваат должината и насоката, а

носачите им се паралелни прави.

Понатаму, под поимот вектор ќе се подразбира слободен вектор.

Слободните вектори се еднакви ако имаат еднакви интензитети, лежат

на иста или на паралелни прави и имаат исти насоки.

Нула вектор е вектор на кој му се поклопуваат почетната и крајната

точка.

Нула векторот нема определен правец и насока и се означува со o.

Секоја точка може да се смета за нула вектор со нула интензитет и со

произволен правец и насока.

2. Операции со вектори

4

Собирање на вектори

Собирањето на геометриските вектори (насочените отсечки) се врши на

следниов начин:

Треба да се пресмета збирот на векторите   и  . За таа цел

постапуваме вака: го нанесуваме векторот   со почеток во некоја

избрана точка (при ова ги запазуваме насоката и должината на

векторот!), а потоа во крајната точка на векторот   (при врвот) го

нанесуваме векторот   (исто така запазувајќи ги неговите насока и

должина).

Векторот   кој има почеток во почетната точка (почетокот на  ) и крај во

последната точка (врвот на  ) се вика збир на векторите   и   и се

бележи исто како и кај скаларите:

Ако векторите се зададени аналитички т.е. координатно, тогаш

собирањето се врши „по координати“.

Собирање на векторите

(Сл.1)

Нека се дадени векторите (во општ случај со n-координати):

тогаш за збирот  имаме:

За собирањето на вектори важат:

5

комутативност :

асоцијативност :

а) Збир на вектори по правило на триаголник;

б) Збир по правило на паралелограм;

в) Разлика на вектори........................................................................ (Сл.2)

Одземање на вектори

Одземањето на вектори се извршува на ист начин како и собирањето,

така што разликата на векторите  и е всушност збир на векторот и

векторот - .

6

Одземање на вектор

(Сл.3)

Истото важи и за векторите зададени во координатна форма:

ако се зададени векторите:

и

Ако на векторот   му го додадеме неговиот спротивен вектор: -  , тогаш

се добива:

Вака добиениот вектор (кој е збир на било кои два спротивни

вектори) се нарекува нулти вектор, нула-вектор или само нула (кога не

води до забуна со скаларната нула!).

Овој вектор во однос на сите операции со вектори се однесува како и

нулата во однос на сите операции со скалари, па може да кажеме дека нултиот

вектор во векторскиот простор и соодветствува на нулата во скаларното поле.

За да не се меша (во ознаката) со скаларната нула, се бележи со големо о .

Множење на вектор

Кога се множат вектори често настанува следнава забуна:

множењето вектори се меша со множењето на вектор со број (т.е. скалар).

Множењето на вектор   со скалар k се врши на следниов начин:

7

Множење на вектор со скалар

(Сл.4)

Ова геометриски може да го толкуваме на следниот начин:

векторот   ја има истата насока како и векторот  , со таа разлика што има

должина (модул) за k пати поголема (или помала, ако k<1) од него.

“Вистинското“ множење на вектори во математиката се

нарекува векторски производ на вектори и се бележи со симболот Х.

(Сл.5)

Околу дефиницијата и оперирањето со векторските производи, видете

на соодветната статија.

Векторскиот производ на два вектори:

8

  и  е вектор кој е нормален на обата

вектора и истовремено има модул каде со α е

означен аголот меѓу почетните вектори, а со и се означени

нивните модули, додека неговиот координатен облик е:

Векторскиот производ на два вектори

(Сл.6)

Постои и друг начин на множење вектори, т.н. скаларно множење на

вектори (скаларен производ), но при скаларно множење на два вектори се

добива резултат скалар (од таму и името) што, математички значи

дека операцијата не е затворена во однос на векторскиот простор, т.е., на некој

начин, не е добро дефинирана.

Скаларниот производ се бележи со точка:  . Скаларниот производ

на истите два вектора изнесува:

И

Заклучок

9

Во математиката, под вектор се подразбира секоја величина која во себе

носи информација за количество (квантитет) и квалитет.

Наспроти векторите, во математиката стојат скаларите кои носат

информација само за количество. 

Најчестото толкување на векторите е геометриското - векторот е

насочена отсечка одрамнината или просторот. Ова толкување има многу

практична примена во математиката и особено во физиката.

За разлика од скаларите, кај векторите важат поинакви правила за

извршување на операциите.

Сите вектори во математиката се разгледуваат во рамките на теоријата

на векторски простори, која пак сама по себе е дел од линеарната алгебра.

Векторот геометриски се претставува со ориентирана отсечка т.е. дел од права

ограничена со две точки од кои едната е почетна а другата е крајна.

Користена литература:

10

1. Костадин Тренчевски, Дончо Димовски, Глигор Тренчевски, Билјана

Крстевска, Лидија Кондинска; “Математика“- Скопје (2002);

2. Јадранка Митева, Иван Трајков, Лилјана Грибовска – Поповиќ;

“Математика“ – Скопје (2003);

3. Интернет референци:

http://cnx.org/content

http://docs.google.com/viewer

11