Embed Size (px)
Citation preview
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Kalkulus merupakan alat untuk melakukan analisis matematis terhadap perubahan
atau gerakan. Kita ketahui bahwa di dunia ini tidak ada yang tidak berubah, segala sesuatu
bisa mengalami perubahan atau dengan kata lain satu-satunya yang tidak berubah di dunia ini
adalah perubahan itu sendiri. Oleh sebab itu, kalkulus memiliki peran dalam seluruh bidang
penelitian ilmiah. Kalkulus dikembangkan pada abad ke-17 oleh Sir Isaac Newton dan
Gottfried Leibniz dengan bidang yang berbeda. Newton pertama kali menemukan kalkulus
dalam usahanya memecahkan masalah-masalah tertentu pada bidang fisika dan anatomi,
yakni temuannya tentang kecepatan benda bergerak, gaya yang ada ketika melakukan suatu
pekerjaan, serta pusat massa dari bnda. Sementara Leibniz pertama kali menemukan kalkulus
dalam usahanya memecahkan masalah-masalah tertentu pada bidang ilmu ukur (geometri),
yaitu menemukan tangen (garis singgung) suatu kurva, panjangnya bagian dari suatu kurva,
luas bidang yang dibatasi satu kurva atau lebih, dan volume suatu benda padat. Operasi dasar
dari kalkulus adalah diferensial dan integral yang berlawanan satu dengan yang lain.
Diferensial terkait dengan penentuan tingkat perubahan dari suatu fungsi tertentu, atau
dikatakan juga sebagai pecahan suatu fungsi ke dalam banyak bagian kecil (yang statis)
secara tak terbatas sehingga ia mengurai fungsi tersebut pada titik waktu tertentu atau pada
suatu nilai variabel bebas tertentu. Sementara integral terkait dengan pencarian suatu fungsi
apabila diketahui tingkat perubahannya atau dikatakan juga sebagai penjumlahan secara tak
terbatas dari bagian-bagian kecil untuk memperoleh fungsi awal.
Kalkulus sangat penting dalam memecahkan masalah-masalah pada bidang ekonomi
sebab analisis dalam bidang ini sering terkait dengan perubahan. Misalnya analisis marginal
berupa tingkat perubahan marginal atau variasi atas margin dianalisis sebagai turunan
pertama dari fungsi penad (relevan fungction), maksimisasi keuntungan atau minimisasi
biaya, programasi matematis terkait maksimisasi dan minimisasi suatu fungsi dalam
ekonomi, dan sebagainya. Untuk itu, sebelum masuk lebih dalam tentang penerapan kalkulus
dalam bidang ekonomi maka terlebih dahulu akan dibahas konsep matematis khususnya yang
terkait dengan kalkulus differensial.
1.2 Tujuan Penulisan
Adapun tujuan dari penulisan makalah ini adalah untuk mengetahui konsep diferensial
fungsi dari satu variabel.
2
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Limit
2.1.1 Definisi Limit
Suatu fungsi f(x) dikatakan mendekati L untuk x mendekati a dan ditulis lim�→� �� = � berarti bahwa untuk setiap ε > 0 (betapa pun kecilnya) terdapat δ >
0 yang berpadanan sedemikian sehingga |�� − �| < � dengan syarat bahwa 0 < | − �| < �.
Perhatikan nilai fungsi f(x) = 2x + 3 untuk x mendekati 5 pada tabel berikut:
X … 4,97 4,98 4,99 5 5,01 5,02 5,03 …
f(x) … 12,94 12,96 12,98 … 13,02 13,04 13,06 …
Dari tabel di atas, untuk x mendekati 5 dari arah kanan dan arah kiri nilai f(x) mendekati 13.
Selain itu, jika selisih antara suatu fungsi f(x) dengan suatu konstanta L dalam nilai
absolut lebih kecil daripada suatu angka positif kecil untuk semua nilai positif x yang cukup
besar atau nilai negatif x yang cukup kecil , maka f(x) yang merupakan pendekatan L adalah
limit pada saat x mendekati positif atau negatif tak terhingga.
Contoh 1:
Untuk �� = 1 − ���� maka lim�→�~ �� = 1 dan lim�→�~ �� = 1
X 1 50 100 150 200 1000 10000 … +∞
f(x) 0,000 0,980 0,990 0,993 0,995 0,999 0,9999 … …
X -1 -50 -100 -150 -200 -1000 -10000 … -∞
f(x) 2,000 1,020 1,010 1,0067 1,0050 1,0010 1,0001 … …
Selanjutnya, lim�→�� �� = � disebut dengan limit kanan dan lim�→�� �� = � disebut
limit kiri. Sehingga dapat disimpukan bahwa limit suatu fungsi ada (terdefinisi) jika dan
hanya jika limit kiri dan limit kanan ada serta keduanya sama.
lim�→�� �� = lim�→�� �� = �
3
2.1.2 Sifat-sifat Limit
Berikut ini beberapa sifat-sifat limit yang bermanfaat dalam mencari limit dari suatu fungsi.
1. lim�→� � = �
2. lim�→���� ± ��� = lim�→� �� ± lim�→� �� lim�→��∑ � �! "� � = ∑ lim�→� � �! "�
3. lim�→����. ��� = lim�→� �� . lim�→� �� 4. lim�→� $��%�� = &'()→* $��&'()→* %�� 5. lim�→�����! = �lim�→� ���!
6. lim�→�+ ,��- . = /lim�→���-
2.1.3 Limit Fungsi Aljabar
a). Limit fungsi berbentuk lim�→� �� Jika variabel x mendektai a dimana a ∈ R, maka cara penyelesaiannya adalah langsung
disubstitusikan. Jika hasilnya adalah bentuk tak tentu, maka terlebih dahulu difaktorkan,
disederhanakan lalu disubstitusikan.
Contoh :
lim�→� �0�1��2��� = lim�→� ���2������� = lim�→�� + 5 = 6
b). Limit fungsi berbentuk lim�→∞ �� Cara penyelesaiannya adalah pembilang dan penyebut dibagi dengan variabel pangkat
tertinggi. Untuk lim�→� $��%��, nilai limit ditentukan sebagai berikut:
1) Jika pangkat tertinggi f(x) = pangkat tertinggi g(x) maka
lim�→� $��%�� = 678$ 9 8!;�!%6�<<8=< !%% $��678$ 9 8!;�!%6�<<8=< !%% %��
4
2). Jika pangkat tertinggi f(x) > pangkat tertinggi g(x), maka
lim�→� $��%�� = ±∞
3). Jika pangkat tertinggi f(x) < pangkat tertinggi g(x), maka
Lim�→� $��%�� = 0
4). Untuk lim�→���� − ���, kalikan dengan sekawannya yaitu f(x) + g(x)
Contoh :
1). lim�→∞
0)0)? �@))?� 0)?)?)?�@)0)? � A)? = lim�→∞ 0)0� @)0� 0)?�� @)0� A)? = B�B�B��B�B = 0
2). lim�→∞C√ + 2 − √ − 1F = lim�→∞C√ + 2 − √ − 1F. C√��G�√���FC√��G�√���F = lim�→∞ ���G�����√��G�√���
= lim�→∞ H√��G�√���
= lim�→∞ @)/��0)�/��I)
= B√��B�√��B
= BG
= 0
2.1.4 Limit Fungsi Trigonometri
a). Jika variabel mendekati sudut tertentu (x → α)
Diselesaikan dengan mensubstitusikan langsung besar sudutnya (x). Jika hasilnya bentuk
tak tentu, maka harus disederhanakan, difaktorkan, lalu disubstitusikan.
Contoh :
LimJ→12K L'M J�NOLJ��PQMJ = limJ→12K L'M J�NOLJ��RST UVWRU
= limJ→12K L'M J�NOLJVWRUXRST UVWRU
= limJ→12K −cos\
= −cos 45B
= − �G √2
5
b). Jika variabel mendekati nol
Diselesaikan dengan mengubah ke dalam bentuk umum sebagai berikut:
1). Lim�→B L'M �� = 1
2). Lim�→B �L'M � = 1
3). Lim�→B PQM �� = 1
4). Lim�→B �PQM � = 1
Contoh :
1. Lim�→B L'M H�G� = Lim�→B L'M H�H� . HG
= HG . Lim�→B L'M H�H�
= HG �1 = HG
2. Lim�→B ��NOL G��0 = Lim�→B �����GL'M0 ��0
= Lim�→B G L'M0 ��0
= 2 (1)(1)
= 2
2.1.5 Limit Bentuk Tak Tentu
Bentuk tak tentu antara lain adalah BB,
∞
∞ ∞ - ∞, 0
0. Untuk menyelesaikan limit bentuk tak
tentu maka terlebih dahulu harus melakukan manipulasi, penyederhanaan, pemfaktoran
fungsi aljabar atau fungsi trigonometri dari limit yang ditanyakan.
Contoh :
lim�→� �0����� = lim�→� �������� = lim�→� = 1
2.2 Kontinuitas dan Diskontinuitas
Suatu fungsi dikatakan kontinu pada x = a jika:
1. f(a) ada (terdefinisi)
2. lim�→� �� ada
3. lim�→� �� = ���
6
Berdasarkan definisi kontinuitas di atas maka berarti bahwa grafik dari suatu fungsi yang
kontinu pada suatu interval merupakan kurva yang tidak terputus-putus.
Contoh:
Kita akan buktikan bahwa f(x) = 5x2 – 3 kontinu pada x = -1
1. f(-1) = 5(-1)2 – 3 = 2 (ada)
2. lim�→��X �� = lim�→��XC5G– 3F = 5�−1G– 3 = 2
lim�→��` �� = lim�→��`C5G– 3F = 5�−1G– 3 = 2
lim�→��X �� = lim�→��` �� = lim�→�� �� = 2 (ada)
3. lim�→�� �� = ��� = 2
Jadi, karena memenuhi ketiga syarat kontinuitas maka terbukti bahwa f(x) = 5x2 – 3 kontinu
pada x = -1. Kurvanya adalah sebagai berikut ini:
Jika salah satu dari ketiga syarat di atas tidak terpenuhi maka f(x) dikatakan diskontinu di x =
a. Umumnya ada tiga bentuk ketidaksinambungan yang terjadi yaitu:
1. Suatu fungsi f(x) dikatakan mempunyai ketidaksinambungan tak terbatas pada x = a jika
f(x) menjadi tak terbatas (secara positif maupun negatif) apabila x → a, sekalipun jika
f(a) ada dan lim�→� �� tidak ada.
7
2. Suatu fungsi f(x) dikatakan mempunyai ketidaksinambungan terbatas atau bertahap pada
x = a jika f(x) tetap terbatas tapi berubah dengan tiba-tiba pada x = a, yaitu f(a)
terdefinisi tetapi lim�→� �� tidak ada (walaupun pada umumnya limit kanan dan limit
kiri ada dan f(a) sama dengan salah satu dari mereka).
3. Suatu fungsi f(x) dikatakan memiliki ketidaksinambungan titik yang hilang pada x = a
jika f(a) tidak terdefinisi tetapi lim�→� �� ada.
Contoh:
1. Fungsi f(x) = 4x/(4 – x2) memiliki ketidaksinambungan tak terbatas pada x = ± 2, karena
f(x) →∞ pada x→2- , f(x) →-∞ pada x→2
+, f(x) →∞ pada x→-2
-, f(x) →-∞ pada x→-2
+,
dan f(+2) serta f(-2) tidak terdefinisi. Fungsi ini sinambung pada semua nilai x kecuali
pada x = ± 2.
2. Fungsi f(x) = 1/(1+21/x
) memiliki ketidaksinambungan terbatas (yaitu adanya loncatan)
pada x = 0 karena lim�→B �� tidak terdefinisi. Fungsi ini sinambung pada semua
nilai x kecuali x = 0.
8
3. Fungsi f(x) = (x3 – 2x
2 - 3x + 6)/(x - 2) tidak terdefinisi dan oleh karena itu tidak
sinambung pada x = 2. Tetapi untuk x ≠ 2,
�� = �@�G�0�H��a��G = C�0�HF���G��G = G − 3
Dan lim�→G �� = 1. Jadi dengan demikian
��2 = lim�→G �� = 1
Sehingga f(x) sinambung untuk semua nilai x dan grafiknya berupa parabola y = x2 – 3
2.3 Turunan Pertama dari Suatu Fungsi
Misalkan I interval terbuka yang memuat x1 dan x2 serta f(x) terdefinisi di I sehingga
terdapat setidaknya dua titik yang terdefinisi di I yaitu P(x1, f(x1)) dan Q(x2, f(x2)). Kita
kan mendefinisikan kemiringan garis singgung pada grafik f(x) di titik P(x1, f(x1)).
9
Kita tarik garis yang melalui P dan Q sehingga didapat tali busur yang melalui kedua titik
tersebut. Kita nyatakan selisih antara absis Q dan P dengan ∆x = x2 – x1, dimana ∆x ini
menyatakan perubahan nilai x dari x1 menuju x2. Kemiringan tali busur PQ adalah:
bcd = ��G − ���∆
Atau
bcd = ��∆ + � − ���∆
Jika kita anggap P tetap, dan Q bergerak sepanjang kurva menuju P, maka Q mendekati P.
Dengan demikian, x2 mendekati x1 dan ∆x mendekati 0 sehingga kemiringan tali busur
mendekati nilai limit dimana nilai limit inilah yang disebut sebagai kemiringan garis
singgung pada grafik f(x) di titik P.
lim∆�→B bcd = lim∆�→B ��∆ + � − ���∆
Kemiringan suatu fungsi pada suatu titik tertentu disebut sebagai turunan pertama dari fungsi
tersebut pada titik itu, dan dinotasikan sebagai berikut:
�f�= lim∆�→B �� + ∆ − ��∆
Contoh :
Kita akan cari turunan pertama dari f(x) = 5x2 – 2.
�f�= lim∆�→B �� + ∆ − ��∆
= lim∆�→B +2���∆�0�G.��2�0�G∆�
= lim∆�→B 2���∆�0�G�2�0�G∆�
= lim∆�→B 2��0�G�∆��∆�0�G�2�0�G∆�
= lim∆�→B �B�∆��2∆�0∆�
10
= lim∆�→B ��B��2∆�∆�∆�
= lim∆�→B 10 + 5∆
=10 + 5�0 =10
2.4 Pengertian Diferensial
Derivatif atau turunan ghg� tidak dianggap sebagai suatu hasil bagi atau pecahan dengan ij sebagai pembilang dan dx sebagai penyebut, melainkan sebagai lambang yang
menyertakan limit dari khk�, sewaktu ∆ mendekati nilai nol sebagai limit. Akan tetapi untuk
dapat memahami masalah – masalah tertentu kadang – kadang bermanfaat juga untuk
menafsirkan dx dan dy secara terpisah. Dalam hubungan ini dx menyatakan diferensial x dan
dy diferensial y. pengertian diferensial berguna sekali, misalnya dalam aplikasinya pada
kalkulus integral dan pada pendekatan perubahan dalam variabel gayut yang berkaitan
dengan perubahan – perubahan kecil dalam variabel bebas.
Jika f(x) merupakan derivative dari fungsi y = f(x) untuk nilai x tertentu dan ∆
merupakan kenaikan dalam x, maka diferensial dari f(x), yang dalam hal ini ditulis df(x) atau
dy, terdefinisikan oleh persamaan.
dy = df (x) = �′(x)∆ = ghg� ∆
dideferensial x ang ditunjukkan dengan i adalah i = ∆
Dengan demikian, diferensial suatu fungsi didefinisikan sebagai derivatif fungsi tersebut
dikalikan dengan tambahan peubah bebas. Perhatikan bahwa, jika fungsi f(x) = x, maka �′� > lebih besar, dan dengan demikian i = ∆. Jadi jika x merupakan variabel bebas,
maka diferensial dx dari x sama dengan ∆.
Secara geometrical perhatikanlah kurva y = f(x) (lihat gambar 9 dibawah ini), dan
misalkan turunannya pada titik P = �′�. Maka
dx = PQ dan dy = �′� dx = (tanq)(PQ) = drcd . st = tu
11
Oleh karena itu dy adalah tambahan ordinat (sama dengan QT) dari garis singgung
yang sesuai dengan i atau df (x) adalah kenaikan ordinat dari tangens yang berpadanan
dengan dx.
Argumentasi geometrical ini membawa kita kepada penfsiran derivative sebagai suatu
hasil bagi atau pecahan, jika sembarang kenaikan dari variabel bebas x pada suatu titik P
(x,y) pada kurva y = f(x) dinyatakan dengan dx, maka dalam rumusan turunannya.
ghg� = �′� = (tan q)
dy menyatakan kenaikan yang bersesuaian dari koordinat tangens pada P atau tambahan
ordinat garis singgung pada titik P yang sesuai.
Perhatikan, bahwa diferensial dy dan kenaikan ∆j dari
fungsi yang berpadan dengan nilai dx = ∆ yang sama,
pada umumnya tidaklah sama, yaitu ≠ ∆j . Dalam
gambar.9 disamping dy = QT sedang ∆j = Qs′ Dari gambar itu dapat dilihat dengan jelas, bahwa ∆j
= QP', dan dy = QT kurang lebih sama, jika ∆ = PQ
sangatlah kecil. Dalam kenyataaan, jika variabel bebas
kecil sekali perubahannya, maka diferensial fungsi itu
hampir sama dengan kenaikan fungsi. Jika diferensial
fungsi dapat dipakai untuk mendekati perubahannya,
apabila perubahan variabel bebas keci sekali.
Contoh :
Untuk fungsi permintaan = �ah? dimana jumlah unit yang diminta dan j harga dalam
dollar. Jika j = 200 dengan kesalahan maksimum 10, tentukan berapa kira-kira kesalahan
relatif maksimum dari .
Penyelesaian :
ln = ln 16 − 4 ln j i = −4ijj
12
Untuk j = 200 dengan ij = 10, kesalahan relatif adalah i = − 40200 = −15
Sehingga prosentase kesalahan adalah -20. Tanda kesalahan yang negatif ini menunjukkan
bahwa dalam estimasi dan j, kemungkinan kesalahan dari dan j berlawanan tanda.
2.5 Rumus turunan pertama suatu fungsi :
1. Fungsi aljabar:
Aturan 1: turunan dari suatu konstanta adalah nol. Bila j = w; maka: iji = 0
Aturan 2: turunan dari suatu peubah yang berpangkat n adalah hasil kali n dengan
peubah tersebut yang berpangkat �x − 1, jika j = ! , maka iji = x!��
Aturan 3: turunan dari hasil kali suatu konstanta dan suatu fungsi yang dapat
dideferensiasi adalah hasil kali kontanta tersebut dengan turunan fungsi itu: jika j = w. z, di mana z = �� merupkan fungsi yang dapat didiferensiasi dari x, maka iji = w izi
Aturan 4: turunan dari jumlah fungsi-fungsi yang bisa didiferensiasi adalah jumlah
dari turunan mereka masing-masing: jika j = z + { di mana z = �� dan { = ��
adalah fungsi- fungsi didiferensiasi terhadap x, iji = izi + i{i
Aturan 5:j = z. {, di mana z = �� dan { = ��, iji = z izi + { i{i
Aturan 6: j = |}, di mana z = �� dan { = ��,
iji = z izi + { i{i{G
13
2. Fungsi –fungsi gabungan
Aturan 7. Jika j = ��z dan z = ℎ�, iji = ijiz + izi
Aturan 8. Jika j = z!, di mana z = �� iji = xz!�� izi
3. Fungsi-fungsi Logaritma
Aturan 9. Jika j = lQ ogz, di mana z = ��, iji = lQ ogzz izi
4. Fungsi-fungsi eksponensial
Aturan 10. Jika j = �|, dimana z = ��), maka z = ��, maka iji = �! ln � izi
Aturan 11. Jika j = z}, di mana z = ��) dan { = ��, maka iji = {z!�� izi + z} lnz izi
5. Fungsi-fungsi Trigonometri
Aturan 12. Jika j = sin z, dimana z = ��, iji = cosz izi
Aturan 13. Jika j = cos z, dimana z = ��, iji = −sin z izi
Aturan 14. Jika j = tan z, dimana z = ��, iji = secG z izi
6. Fungsi-fungsi inversi
Aturan 15. Jika = ��, dan = ��j adalah fungsi inversi, maka iji = 1iij
14
2.6 Diferensiasi Implisit
Fungsi- fungsi dalam bentuk j = �� yang menyatakan j secara eksplisit dalam
satuan dapat didiferensiasikan menurut kaidah-kaidah tipe fungsi yang sesuai. Akan tetapi,
sebagaimana nampak pada bagian di muka, beberapa persamaan meliputi dan j dalam
bentuk ��, j = 0, yang tidak menyatakan j secara eksplisit dalam satuan dan bentuk ini
tidak dengan mudah dapat dituliskan dalam bentuk diatas. Persamaan- persamaan yang
menyatakan j sebagai fungsi dari seperti mempunyai arti bahwa untuk setiap nilai ada
nilai j yang sesuai yang memenuhi persamaan itu, dan persamaan ini menyatakan j sebagai
fungsi implisit dari . Dengan menggunakan metode diferensiasi implisit kita dapat
menghitung ghg� dari persamaan seperti ini. Dalam metode ini, j diperlakukan sebagai sesuatu
yang tak diketahui tapi merupakan fungsi yang dapat didiferensiasikan terhadap , dan
dengan demikian kaidah-kaidah untuk mencari derivatif dapat digunakan. Pada umumnya,
metode ini memberikan pernyataan yang sama, yaitu ghg� baik untuk maupun j. Derivatif-
derivatif orde lebih tinggi dapat juga diproleh dengan diferensiasi implisit.
Prosedur Diferensiasi Implisit
Apabila j dinyatakan sebagai fungsi implisit dari oleh persamaan ��, j = 0,
derivatif j terhadap dapat diperoleh dengan mendiferensiasikan persamaan ��, j = 0
unsur demi unsur dengan menganggap j sebagai fungsi dari , dan kemudian memecahkan
persamaan hasil untuk mendapatkan derivatif ghg� .
Contoh :
Carilah ghg� untuk persamaan jG − G + j = 0. Diferensiasikan terhadap
Penyelesaian :
2j iji + jG − 2 + iji = 0
�2j + 1 iji = 2 − jG
iji = 2 − jG2j + 1
Catatan : Dalam contoh ini, jG adalah hasil kali dari dua fungsi , yaitu dan jG, dan
karena itu didiferensiasikan dengan menggunakan kaidah hasil kali. ii �z{ = z i{i + { izi
Dimana = , { = jG, g|g� = g�g� = 1, dan
g}g� = 2j ghg�. Sehingga gg� �jG = 2j ghg� + jG.
Derivatif dari −G adalah −2 sebagaimana dalam diferensiasi fungsi eksplisit (perhatikan
lagi bahwa ghg� = 1). Derivatif dari j adalah
ghg�, sebagaimana juga dalam diferensiasi fungsi
eksplisit.
15
2.7 Maksimum dan Minimum Relatif
Suatu fungsi j = �� dikatakan mempunyai maksimum relatif atau maksimum lokal
pada = �, jika ��� lebih besar daripada nilai �� yang lain, untuk yang berada pada
interval di sekitar �, suatu fungsi j = �� dikatakan mempunyai minimum relatif atau
minimum lokal pada = �. Jika ��� lebih kecil dari setiap nilai �� yang lain untuk
yang berada dalam interval di sekitar �. Perhatikan bahwa sebuah maksimum atau minimum
relatif dari suatu fungsi adalah maksimum atau minimum fungsi tersebut dalam suatu interval
tertentu; maksimum atau minimum absolut dari suatu fungsi dalam suatu interval yang lebih
besar dapat terjadi pada titik ujung interval tersebut, dan biasanya bukan pada maksimum
atau minimum relatif yang lainnya. Perlu diperhatikan juga bahwa nilai maksimum relatif
dari suatu fungsi bisa saja lebih kecil dari nilai minimum relatif dari fungsi yang
bersangkutan.
Jika suatu fungsi �� memiliki satu nilai maksimum atau nilai minimum relatif pada nilai = �, dimana derivatif pertama fungsi tersebuut sinambung, maka �f�� = 0. Nilai-nilai
untuk �f� tidak sinambung akan dijelaskan secara tersendiri dibagian belakang.
Catatan :
1. Sebuah maksimum atau minimum relatif pada = � menyatakan �f�� = 0 jika dan
hanya jika �� dan �f� sinambung pada = �.
2. �f�� = 0 tidak secara langsung menyatakan adanya titik maksimum atau minimum
relative pada = � sekalipun �� dan �f� sinambung pada = �, yaitu jika ��
dan �f� sinambung pada = �, �f�� = 0 merupakan syarat perlu, tapi bukan
syarat cukup untuk maksimum atau minimum relatif pada = �.
Perhatikan fungsi �� pada nilai = � dimana �� dan �f� sinambung. Secara
geometris jelas bahwa pada waktu ��� adalah sebuah maksimum relatif dari ��, maka
kemiringan �f� dari �� berubah dari positif menjadi negatif apabila melewati titik = �. Sama halnya, jika ��� adalah minimum relatif dari ��, maka kemiringan �f�
dari �� berubah dari negatif menjadi positif apabila melewati titik = �. Penjelasan
16
secara aljabar mengenai hal ini didasarkan pada kenyataan bahwa suatu fungsi menaik
memiliki kemiringan positif dan fungsi menurun memiliki kemiringan negatif.
Dengan demikian untuk menentukan nilai maksimum atau minimum relatif dari suatu
fungsi j = ��, jika memang ada adalah,
1. Selesaikan persamaan �f� = 0 untuk memperoleh akar-akarnya
2. Untuk masing-masing akar �, tentukan apakah �f� berubah tanda apabila
bertambah melewati �: �f� berubah dari (+) ke (-) pada = � ⟹ maksimum relatif pada = � �f� berubah dari (-) ke (+) pada = � ⟹ minimum relatif pada = � �f� tidak berubah tanda pada = � ⟹ tidak ada maksimum atau minimum
relatif pada = �
Contoh :
Carilah maksimum dan minimum relatif (jika ada) dari fungsi j = 2H − 3G − 12 + 13. Penyelesaian : iji = 6G − 6 − 12
ghg� = 0 jika G − − 2 = 0 � − 2� + 1 = 0 = 2, = −1
�jika − 1 < < 2, ghg� < 0Jika > 2, ghg� > 0 � Jadi minimum pada = 2
17
� jika < −1, ghg� > 0Jika − 1 < < 2, ghg� < 0� Jadi maksimum pada = −1
Dalam setiap contoh diatas, derivatif pertama sinambung pada semua nilai . Jadi
maksimun dan minimum relatif hanya dapat terjadi untuk nilai-nilai = � dimana �f�� =0. Sebagaimana dinyatakan diatas, maksimum dan minimum relatif hanya dapat terjadi pada
nilai-nilai = � dimana �f�� tidak sinambung. Jadi jika �� sinambung pada = � tetapi
derivatif pertamanya tidak sinambung pada = �, maka dapat saja ��� merupakan
maksimum atau minimum relatif, sekalipun �f�� ≠ 0. Lagipula, perubahan tanda dari
derivatif pertama apabila melewati � juga diperlukan bagi adanya maksimum atau
minimum relaif pada = �.
Dengan demikian untuk menentukan nilai maksimum atau minimum relatif (jika ada)
dari suatu fungsi j = �� pada titik-titik dimana �� sinambung tapi �f� tidak
sinambung.
1. Tentukan nilai-nilai dimana �f� tidak sinambung dan �� sinambung.
2. Untuk masing-masing nilai � dimana �� sinambung pada = � dan �f� tidak
sinambung pada = �, tentukan apakah �f� berubah tanda apabila bertambah
melewati �: �f� berubah dari (+) ke (-) pada = � ⟹ maksimum relatif pada = � �f� berubah dari (-) ke (+) pada = � ⟹ minimum relatif pada = � �f� tidak berubah tanda pada = � ⟹ tidak ada maksimum atau minimum
relatif pada = �
Contoh :
Carilah maksimum dan minimum relatif (jika ada) dari fungsi j = G/H.
Penyelesaian :
18
iji = 23��/H
ghg� ≠ 0 untuk semua nilai
ghg� → −∞ apabila → 0� dan ghg� → ∞ apabila → 0�
Dengan demikian ghg� mempunyai ketidaksinambungan tak terhingga pada = 0.
�jika < 0, ghg� < 0Jika > 0, ghg� > 0� Jadi minimum pada = 0
Sebagaimana dijelaskan sebelumnya, nilai terkecil (atau terbesar) dari suatu fungsi
dalam suatu interval, yaitu nilai minimum atau maksimum fungsi tersebut dalam suatu
interval dapat terdapat pada titik ujung dari interval tersebut dan bukan pada titik minimum
atau maksimum relatif.
Contoh :
Carilah nilai maksimum dan minimum dari fungsi j = G − 2 dalam interval 2 ≤ ≤ 4. Penyelesaian : j = G − 2 iji = 2 − 2 iji = 0jika = 1
� iji < 0jika < 1iji > 0jika > 1� jadiminimumpada = 1
Akan tetapi = 1 berada diluar interval 2 ≤ ≤ 4.
19
Jika = 2, j = 0
Jika = 4,j = 8
Jadi dalam interval 2 ≤ ≤ 4, nilai terkecil j terjadi pad titik = 2 dan nilai terbesar pada
titik akhir = 4 ; pada titik ini ghg� tidak sama dengan nol.
20
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
1. Suatu fungsi f(x) dikatakan mendekati L untuk x mendekati a dan ditulis lim�→� �� = �
berarti bahwa untuk setiap ε > 0 (betapa pun kecilnya) terdapat δ > 0 yang berpadanan
sedemikian sehingga |�� − �| < � dengan syarat bahwa 0 < | − �| < �.
2. Suatu fungsi dikatakan kontinu pada x = a jika:
1. f(a) ada (terdefinisi)
2. lim�→� �� ada
3. lim�→� �� = ��� Jika salah satu dari ketiga syarat di atas tidak terpenuhi maka f(x) dikatakan diskontinu di
x = a.
3. Kemiringan suatu fungsi pada suatu titik tertentu disebut sebagai turunan pertama dari
fungsi tersebut pada titik itu, dan dinotasikan sebagai berikut:
�f�= lim∆�→B �� + ∆ − ��∆
4. Persamaan- persamaan yang menyatakan j sebagai fungsi dari seperti mempunyai arti
bahwa untuk setiap nilai ada nilai j yang sesuai yang memenuhi persamaan itu, dan
persamaan ini menyatakan j sebagai fungsi implisit dari
5. Suatu fungsi j = �� dikatakan mempunyai maksimum relatif pada = �, jika ���
lebih besar daripada nilai �� yang lain, untuk yang berada pada interval di sekitar �,
suatu fungsi j = �� dikatakan mempunyai minimum relatif atau minimum lokal pada = �. Jika ��� lebih kecil dari setiap nilai �� yang lain untuk yang berada dalam
interval di sekitar �.
B. Saran
Diharapkan agar pembaca mencari referensi lain yang mendukung sehingga dapat
menambah wawasan lebih lagi mengenai konsep Differensial Fungsi Dari Satu Variabel serta
aplikasinya dalam bidang ekonomi.
21
DAFTAR PUSTAKA
Purcell, Edwin J. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis. Jakarta: Penerbit Erlangga
Weber, Jean E. 1999. Analisis Matematik : Penerapan Bisnis dan Ekonomi Edisi Keempat–
Jilid 1. Jakarta: Penerbit Erlangga.
