Program Linier, Metode Pivot

PEMBAHASAN

A. Prinsip-Prinsip Mengganti Variabel Persamaan Linier

1. Perhatikan system persamaan beikut ini

x=a+bz….. (1 ) dengan a, b, c, dan d

adalah konstanta

y=c+dz…..(2)

Jika y bebas menggantikan z maka diperoleh: yd=cd

+z

z=yd−cd…..(3)

Substitusikan (3) ke (1), maka dipeoleh:

x=a+bz

x=a+b(yd−cd )

x=a+bdy−

b.cd

x=ad−bc

d+bdy…..(4)

1

Dari penurunan rumusan di atas dapat disusun

sebagai berikut:

x=ad−bc

d+bdy

z=−cd

+1dy

Dalam table dapat disusun seperti berikut ini

Tabel 1

zx a by c d*

Table 1 y bebas menggantikan z, maka d adalah

pivot. Sehingga diperoleh nilai baru sepeti pada

table 2 berilut ini.

Tabel 2

YX ad−bc

dbd

2

Z −cd

1d

2. Perhatikan system persamaan berikut ini,

x=a+bz….. (1 )

y=c+dz…..(2)

Jika x bebas menggantikan z maka diperoleh:

xb=ab

+z

z=xb−ab…..(3)

Substitusikan (3) ke (1), maka dipeoleh

y=c+dz

y=c+d(xb−ab )

y=c+dbx−

d.ab

y=bc−da

b+ddx…..(4)

Dari penurunan di atas dapat disusun sebagai

berikut:

3

y=bc−ad

b+dbx

z=−ab

+1bx

Dalam tabel dapat disusun seperti berikut ini

Tabel 1

zX a b*Y c d

Tabel 1 x bebas menggantikan z, maka b adalah pivot,

sehingga diperoleh:

Tabel 2

xZ −a

b1b

Y bc−adb

db

4

Dari kedua pembahasan tersebut, baik y bebas

menggantikan z maupun x bebas menggantikan z, pada kedua

tabel dapat ditarik kesimpulan bahwa:

1. Elemen pivot pada tabel 1 menjadi 1pivot pada

tabel 2

2. Elemen yang sekolom dengan pivot pada tabel 1

menjadi elemenpivot pada tabel 2

3. Elemen yang sebaris dengan pivot pada tabel 1

menjadi −elemenpivot , pada tabel 2

4. Elemen yang tidak sebaris atau sekolom dengan

pivot pada tabel 1 menjadi hasil kali diagonal

pivot dikurangi hasil kali diagonal lainnya

dibagi pivot pada tabel 2.

Contoh Soal:

Tentukanlah nilai koefisien masing-masing

variabel sehingga semua variabel bebas menggantikan

variabel lainnya dari sistem persamaan linier

berikut ini:

x=3+2w+4zy=5+w−3z

5

Penyelesaian:

a. Untuk x bebas menggantikan z, maka pivot pada 4*

Tabel 1

w zx 3 2 4*y 5 1 -3

Maka tabel 2 diperoleh:

1. Untuk nilai pivot menjadi 1pivot

=14


menjadi elemenpivot , yaitu −34


menjadi –elemenpivot , yaitu −34 dan −2

4




dibagi pivot, yaitu:

(5×4 )−(3× (−3))4

=294

(1×4 )−(2× (−3))4

=104

6

Dari perhitungan di atas, dapat ditulis dalam

tabel 2, yaitu

Tabel 2

w xZ −3

4−12

14

Y 294

52

−34

b. Untuk y bebas menggantikan w, maka pivot pada tabel

1 berada pada 1*

Tabel 1

w Zx 3 2 4y 5 1* -3



=11=¿ 1


menjadi elemenpivot , yaitu 21=¿2

7


menjadi –elemenpivot , yaitu −51

=¿ -5 dan 31 = 3





(3×1 )−(2×5)

1=

−71 = -7

(4×1 )−(2× (−3))1

=101= 10


tabel 2, yaitu:

Tabel 2

y zX -7 2 10W -5 1 3

c. Untuk y bebas menggantikan z, maka pivot pada

tabel 1 berada pada -3*

Tabel 1

w z

8

x 3 2 4y 5 1 -

3*



=1

−3


menjadi elemenpivot , yaitu −43


menjadi –elemenpivot , yaitu 53 dan 13





(3×(−3))−(4×5)

−3=293

(2×(−3))−(4×1)

−3=103


tabel 2, yaitu:

Tabel 2

9

w yX 29

3103

−43

Z 53

13

−13

d. Untuk x bebas menggantikan w, maka pivot pada

tabel 1 berada pada 2*

Tabel 1

w zx 3 2* 4y 5 1 -3



=12


menjadi elemenpivot , yaitu 12


menjadi –elemenpivot , yaitu −32 dan −4

2 = -2





10

((−3)×2 )−(4×1)

2=

−102

= -5

(5×2 )− (3×1 )2 =

72


tabel 2, yaitu:

Tabel 2

x zW −3

212

-2

Y −72

12

-5

B. Definisi Metode Pivot

Ada beberapa definisi pivot, yaitu:

1. Kolom pivot adalah kolom variabel terikat dimana

tedapat angka positif terbesar pada baris fungsi

tujuan.

2. Baris pivot adalah baris dimana terdapat hasil bagi

yang mempunyai harga mutlak terkecil antara

konstanta dengan kolom pivot.

3. Pivot adalah perpotongan kolom pivot dengan baris

pivot.

11

4. Variabel optimal, jika semua elemen pada baris

fungsi tujuan di bawah variabel terikat harganya

negative atau bernilai nol (0).

C. Penggunaan Pivot

Untuk lebih jelasnya definisi metode pivot, ikuti

contoh berikut ini.

Contoh soal:

Dengan menggunakan metode pivot, tentukanlah solusi

dari program linear berikut ini!

Carilah nilai x dan y

Sedemikian rupa sehingga

(s.r.p) F = 2x + 3y bernilai maksimum.

Dengan pembatas sebagai berikut:

x + 3y ≤ 10d.p. 2x + y ≤ 6x ≥ 0, y ≥ 0

Penyelesaian:

1. Ubah persoalan ke dalam bentuk program linear

standar.

Cari x dan y

s.r.s F = 2x + 3y + 0r + 0s menjadi maksimum

12

x + 3y + r = 10

d.p. 2x + y + s = 6

x ≥ 0, y ≥ 0, r ≥ 0, s ≥ 0

2. Ubah bentuk persamaan dalam bentuk baru

F = 0 + 2x + 3y

r = 10 – x – 3y

s = 6 – 2x – y

3. Buat tabel 1 pivot, dan tentukan nilai pivotnya

Tabel 1

x yF 0 2 3

r 10 -1 -3s 6 -2 -1

Untuk menentukan nilai pivot:

Tentukan kolom pivot, yaitu pada kolom y, karena

angka positif terbesar pada baris fungsi tujuan

adalah 3.

Tentukan baris pivot, yaitu |−103 |, |−61 | maka harga

mutlak terrkecil |−103 |. Jadi baris pivot pada barisr.

13

Pivot adalah perpotongan antara baris dan kolom

pivot, yaitu pada -3.

4. Lanjutkan pada tabel berikutnya sehingga nilai

variabel bernilai optimum

Karena pivot sudah diketahui, maka untuk tabel 2

lakukan prinsip yang sama pada contoh sebelumnya.

a. Untuk nilai pivot menjadi 1pivot = -

13

b. Elemen yang sekolom dengan pivot pada tabel 1

menjadi elemenpivot , yaitu −3−3 dan

−1−3

c. Elemen yang sebaris dengan pivot pada tabel 1

menjadi - elemenpivot , yaitu −10−3 dan −1

−3

d. Elemen yang tidak sebaris atau sekolom dengan


pivot dikurangi hasil kali diagonal lainnya di bagi

pivot, yaitu:

Pada baris F

(0x (−3 ))−(10x (3))−3

= −303

(2x (−3))−(−1 )x3¿ ¿−3 =

−3−3

Pada baris s

14

(6x (−3 ))−(10x (−1 ))−3

= −8−3

(−2x (−3 ))−((−1)x (−1))−3

= 5−3

Dalam perhitungan di atas, dapat dituliskan dalam

tabel 2, yaitu:

Tabel 2

X RF 10 1 −1

y 103

−13

−13

s 83

−53

13

5. Karena elemen-elemen pada baris tujuan belum semua

bernilai negatif atau nol di bawah variabel terikat,

maka nilai tujuan belum optimal.

Dengan demikian harus dilanjutkan pada tabel 3.

Dengan cara yang sama, maka dilakukan proses sebagai

berikut:

Tentukan kolom pivot, yaitu pada kolom x karena angka

positif terbesar pada baris fungsi tujuan adalah 1.

15

Tentukan baris pivot, yaitu | 103−13

|, | 83

−53

|, maka hargamutlak terkecil | 8

3−53

|. Jadi baris pivot pada baris s.Pivot adalah perpotongan antara baris dan kolom

pivot, yaitu - 53. Karena pivot sudah diketahui, maka

untuk tabel 3, lakukan prinsip yang sama pada contoh

sebelumnya.

a. Untuk nilai pivot menjadi 1pivot = -

35

b. Elemen yang sekolom dengan pivot pada tabel 2

menjadi elemenpivot , yaitu - 35 dan 15

c. Elemen yang sebaris dengan pivot pada tabel 2

menjadi −elemenpivot , yaitu 35 dan -

15

d. Elemen yang tidak sebaris atau sekolom dengan


pivot dikurangi hasil kali diagonal lainnya dibagi

pivot, yaitu:

Pada baris F

16

(10x(−53 ))−(83x1)

−53

= 585

((−1)x(−53 ))−(1x 13

)

−53

= - 45

Pada baris y

(103 x(−53 ))−(83x−

13

)¿ ¿−53 = 145

(−13 x(−53 ))−((−13

)x 13

)

−3 = −6

15

Dari perhitungan di atas, dapat dituliskan dalam

tabel 3, yaitu:

Tabel 3

17

S rF 58

5-35

−45

y 145

15

−615

x 85

-35

15

6. Karena nilai elemen baris tujuan (di bawah variabel

terikat), sudah bernilai negatif, maka perhitungan

dihentikan. Artinya nilai variabel sudah optimum.

Fungsi tujuan bernilai optimum sebesar 585 pada nilai

x = 85 dan y = 145

7. Sebagai bukti: masukkan nilai x dan y ke fungsi

tujuan, yaitu:

F = 2x + 3y

F = 2 (85 ) + 3 (145 )F = 165 + 425

F = 585

18

D. Latihan terbimbing


dari persoalan program linear berikut ini!

A. Petunjuk: Isilah titik-titik dan kotak yang

disediakan, perhatikan contoh diatas!

Pemilik perusahaan mempunyai 2 macam bahan mentah,

katakanlah bahan mentah l dan ll yang masing-masing

tersedia 60 dan 48 satuan. Dari 2 vbahan mentah

tersebut akan diproduksi 2 macam barang yaitu barang

A dan B. Baik barang A maupun B memerlukan bahan

mentah l dan ll sebagai inputmya.

Penggunnaan bahan mentah sebagai berikut:

l satuan barang A memerlukan 4 satuan bahan 1 dan 2

satuan bahan ll.

l satuan barang B memerlukan 2 satuan bahan 1 dan 4

satuan bahan ll.

Apabila barang A dijual, l satuannya laku Rp.

8.000,-. Sedangkan l satuan barang B laku Rp.

6.000,-. Berapa besarnya produksi barang A dan B

agar permintaan seluruh hasil penjualan maksimum

dengan memperhatikan pembatasan bahwa penggunaan

bahan l dan ll tidak boleh melebihi 60 satuan dan 48

satuan.

Penyelesaian:

19

1. Ubah terlebih dahulu persoalan tersebut kedalam

bahasa matematika.

Misalkan: bahan mentah l = x

bahan mentah ll = y

Cari x dan y

s.r.s. F = 8x + 6y (max)

d.p. 4x + 2y ≤ 60

2x + 4y ≤ 48

x ≥ 0, y ≥ 0

2. Ubah persoalan dalam bentuk program linear standar,

yaitu:

Cari x dan y

s.r.s F = 8x + 6y + 0r + 0s

d.p. 4x + 2y + r = 60

2x + 4y + s = 48

x ≥ 0, y ≥ 0, r ≥ 0, s ≥ 0

3. Sehingga dapat diperoleh:

F = 0 + 8x + 6y

r = 60 – 4x – 2y

s = 48 – 2x – 4y

Tabel 1

k x yF

20

rs

Untuk menentukan nilai pivot:

Tentukan kolom pivot, yaitu pada kolom y, karena

angka positif terbesar pada baris fungsi tujuan

adalah 3.

Tentukan baris pivot, yaitu, |❑❑| , |❑❑|, maka hargamutlak terkecil |❑❑| ,jadi baris baris pivot pada

baris ...


pivot, yaitu pada ...

4. Lanjutkan pada tabel berikutnya sehingga nilai

variabel bernilai optimum.

Karena pivot sudah diketahui, maka untuk tabel 2,

lakukan prinsip yang sama pada contoh sebelumnya.

Untuk nilai pivot menjadi 1pivot = -

1……….

Elemen yang sekolom dengan pivot pada tabel1

menjadi elemenpivot , yaitu …….…….., dan -

…….……..

Elemen yang sebaris dengan pivot pada tabel 1

menjadi - elemenpivot , yaitu - …….…….. dan -

…….……..

21

Elemen yang tidak sebaris atau sekolom dengan


pivot dikurangi hasil kali diagonal lainnya dan

dibagi dengan pivot, yaitu:

Pada baris F

(…x…)−(…x…)…….. = …….

……..

(…x…)−(…x…)…….. = …….

……..Pada baris...

(…x…)−(…x…)…….. = …….

……..

(…x…)−(…x…)…….. = …….

……..

Dari perhitungan diatas, dapat dituliskan dalam

tabel 2, yaitu

Tabel 2

F

5. Apakah sudah optimum?

22

Karena elemen-elemen pada baris tujuan belum semua

bernilai negatif atau nol dibawah variabel terikat,

maka nilai tujuan belum optimal. Dengan demikian

harus dilanjutkan pada tabel 3.

Dengan cara yang sama, maka dilakukan proses sebagai

berikut:

Tentukanlah kolom pivot, yaitu pada kolom ...,

karena angka positif terbesar pada baris fungsi

tujuan adalah ....

Tentukan baris pivot, yaitu, |❑❑|, maka harga mutlakterkecil |❑❑| .Jadi baris pivot pada baris...


pivot, yaitu pada ....

Karena pivot sudah diketahui, maka untuk tabel 3,

lakkanlah prinsip yang sama pada contoh sebelumnya.

Untuk nilai pivot menjadi 1pivot =

……….……….

Elemen yang sekolom dengan pivot pada tabel 2

menjadi elemenpivot , yaitu …….…….., dan -

…….……..

23

Elemen yang sebaris dengan pivot pada tabel 2

menjadi - elemenpivot , yaitu - …….…….. dan -

…….……..

Elemen yang tidak sebaris atau seklom dengan


pivot dikurangi hasil kali diagonal lainnya dan

dibagi dengan pivot, yaitu:

Pada baris F

(…x…)−(…x…)…….. = …….

……..

(…x…)−(…x…)…….. = …….

……..Pada baris...

(…x…)−(…x…)…….. = …….

……..

(…x…)−(…x…)…….. = …….

……..

Dari perhitungan diatas, dapat dituliskan dalam

tabel 3, yaitu:

Tabel 3

24

F

6. Apakah sudah optimal?

Karena nilai elemen baris tujuan (dibawah variabel

terikat) sudah bernilai negatif, maka perhitungan

dihentikan. Artinya nilai variabel sudah optimum.

Fungsi tujuan bernilai optimum sebesar ..... pada

nilai x = ..... dan y = .....

Sebagai bukti: Masukkan nilai x dan y ke fungsi

tujuan, yaitu:

F = 8x+6y

F = 8(...) + 6(...)

F = .....

Latihan:


dari persoalan program linear berikut ini!

1. Cari x dan y

s.r.s. F = 2.5x+2y (max)

d.p. x+2y ≤ 8000

3x+2y ≤ 9000

x ≥ 0, y ≥ 0

2. Cari x dan y

25

s.r.s. F = x+y (max)

d.p. 5x+10y ≤ 50

x+y ≤ 1

x ≥ 0, y ≥ 0

3. Cari x dan y

s.r.s. F = 20x+15y (max)

d.p. 5x+15y ≤ 60

3x+4y ≤ 24

x ≥ 0, y ≥ 0

4. Sebuah perusahaan sepatumembuat 2 macam sepatu,

jenis 1 dinamakan S1 dan jenis ll dinamakan S2. SI

solnya terbuat dari karet, S2 solnya terbuat dari

plastik. Untuk membuat sepatu-sepatu itu perusahaan

menggunakan tiga mesin. Mesin 1 khusus membuat sol

dari karet, mesin 2 khusus membuat sol dari plastik,

dan mesin 3 membuat bagian atas sepatu. Setiap lusin

sepatu jenis S1 mula-mula digunakan 2 jam mesin 1

tanpa melalui mesin2 dan langsung digunakan mesin 3

selama 6 jam.

Sepatu jenis S2 tidak diproses dimesin1 tetapi

dikerjakan dimesin 2 selama 3 jam, kemudian dimesin

3 selama 5 jam. Jam kerja maksimum setiap mesin

perminggu mesin 1 adalah 8 jam dan dan mesin 2

adalah 15 jam serta mesin 3 adalah 30 jam.

26

Keuntungan yang diperoleh untuk setiap lusin S1 Rp.

300.00,- dan S2 Rp. 500.000,-.

Carilah banyak lusin sepatu S1 dan S2 agar

keuntungan maksimum!

5. Pemilik perusahaan mempunyai 3 macam bahan menta,

katakan bahan mentah l.ll. dan lll, Masing-masing

tersedia 50 satuan, 80 satuan dan 140 satuan. Dari

ketiga bahan mentah tersebut akan dibuat 2 macam

barang produksi yaitu barang A dan B. l satuan

barang A memerlukan bahan mentah l,ll,lll masing-

masing sebesar 1,1 dan 3 satuan. I satuan barang B

memerlukan bahan mentah l,ll,lll masing-masing

sebesar 1,2, dan 2 satuan. Apabila barang A dan B

dijual dan masing-masing laku Rp. 4.000, dan Rp.

3.000,- persatuan. Berapakah besarnya jumlah

produksi barang A dan B agar supaya jumlah hasil

penjualan maksimal dan jumlah bahan mentah yang

digunakan tidak boleh melebihi persediaan yang ada!

Kunci Jawaban

1. Z maksimum dengan nilai 8750 dengan x=500 dan y=3750


3. Z maksimum dengan nilai 264,4 dengan x=56/9 dan

y=84/5

27

4. Z maksimum dengan nilai 2.750.000 dengan x=5/6 dan

y=5


DAFTAR PUSTAKA

Amir, Zubaidah. 2009. Buku Kerja Program Linier. Suska Pers.

Pekanbaru

28

Documents

Program Linier, Metode Pivot