Matematika

Muh. Prasetyo Nugroho

FAKULTAS PETERNAKAN

Korelasi Linear

Adalah: suatu teknik matematika yang digunakan untuk mengetahui tingkat keeratan hubungan antara dua variabel.Rumus menurut Pearson:

rxy = n∑ XY – (∑X)(∑Y) √[n∑X2 – (∑X)2 ][n∑Y2 – (∑Y)2]

Data di bawah ini menunjukkan hubungan antara tingkat bunga (x) dengan pinjaman (y) dari beberapa bank

No Bank Tingkat Bunga (%) Pinjaman (juta)

1 A 8 1.450

2 B 9 1.300

3 C 10 1.200

4 D 12 1.150

5 E 15 1.120

6 F 16 1.100

7 G 17 850

8 H 18 700

Pertanyaannya?

a. Koefisien korelasi dan penafsirannyab. Koefisien determinasi dan penafsirannya

Tingkat Bunga (X)

Pinjaman (Y) X2 Y2 XY

8 1.450 64 2.102.500 11.600

9 1.300 81 1.690.000 11.700

10 1.200 100 1.440.000 12.000

12 1.150 144 1.322.500 13.800

15 1.120 225 1.254.440 16.800

16 1.100 256 1.210.000 17.920

17 850 289 722.500 14.450

18 700 324 490.000 12.600

105 8.870 1.483 10.231.900 110.550

Koefisien korelasirxy = n∑ XY – (∑X)(∑Y) √[n∑X2 – (∑X)2 ][n∑Y2 – (∑Y)2]rxy = 8(110.550)-(105)(8.870) √[8(1.483)-(105)2][8(10.231.900)-(8.870)2] = 884.400-931.350 √ [11.864-11.025][81.855.200-78.676.900]

= -46.950 = -09,09 √ [839][3.178.300]

a. Koefisien korelasi = 0,909

b. Koefisien determinasi R = 0,8266 82,66%

Pengertian: Regresi merupakan suatu alat ukur yang juga digunakan untuk mengukur ada atau tidaknya korelasi antar variabelnya. Istilah regresi itu sendiri berarti ramalan atau taksiran.Persamaan yang digunakan untuk mendapatkan garis regresi pada data diagram pencar disebut persamaan regresi. Untuk menempatkan garis regresi pada data yang diperoleh maka digunakan metode kuadrat terkecil, sehingga bentuk persamaan regresi adalah sebagai berikut: Y’ = a + b X

Y = a + bX Keterangan:Y = Variabel dependen (nilai yang diprediksikan) X = Variabel independena = Konstanta/intersept: besarnya unit variabel dependent yang diharapkan pada saat x = 0b = Koefisien regresi (nilai peningkatan ataupun penurunan)

Menggunaan Notasi

b = n∑XY - (∑X)(∑Y) n∑X² - (∑X)² a = ∑Y – b ∑X n

Regresi linier menggunakan Least Square Methods

∑ Y = an + b ∑ X ∑ XY = a ∑ X + b ∑ X²

Contoh Soal

Hubungan antara Tenaga Kerja (X) dengan Hasil Produksi Barang

Jumlah Tenaga Kerja (X)

2 3 5 6 8 10

Jumlah Hasil Produksi (Y)

20 26 30 36 40 50

Ditanyakana. Persamaan garis regresib. Gambar garis regresic. Bila menggunakan tenaga sebanyak 20 dan

30 orang, berapakah jumah hasil produksinyad. Jumlah tenaga kerja bila jumlah pproduksi

yang diharapkan 80 dan 100

Jawaban:

a. Persamaan regresi

∑ Tenaga Kerja (orang X)

Jumlah Produksi (Y)

X² Y² XY

2 20 4 400 40

3 26 9 676 78

5 30 25 900 150

6 36 36 1296 216

8 40 64 1600 320

10 50 100 2500 500

∑X = 34 ∑Y = 202 ∑X²=238 ∑Y²=7372 ∑XY=1304

∑ Y = an + b ∑ X : 202 = 6a + b(34)…..(1)x7 1414 = 42a + 238b∑ XY = a ∑ X + b ∑ X² :1304 = 34a + b(238) .….(2) 1304 = 34a + 238b _

110 = 8a a = 13,75

202 - 6 (13,75) + 34b b = 119,5/34202-82,5 = 34b b = 3,51Persamaan regresinya Y =13,75+3,51X

b. Persamaan garis regresinya- Titik potong dengan sumbu –Y = X = 0 - Y= 13,75- Titik potong dengan sumbu –X = Y = 0 - X = -3,92 Y Y = 13,75 + 3,51X

13,75

0 X

c. Garis regresi Y = 13,75 + 3,51X bila Y tenaga kerja sebesarX= 20 Y = 13,75 + 3,5 (20) Y = 84,04X= 30 Y = 13,75 + 3,51(30) Y = 119,19d. Bila jumlah yang diharapkan sebesarY = 80 80 = 13,75 + 3,51 (X) = 19 orangY = 100 100 = 13,75 + 3,51 (X) = 25 orang

Data dibawah ini adalah hubungan antara tingkat bunga (X) dan jumlah investasi (Y)

Hitunglah :a. Persamaan garis regresib. Gambar garis regresic. Bila menggunakan tingkat bunga 20 dan 22 , berapakah jumah

investasinya?d. Bila jumlah investasi yg diharapkan 400 dan 350, berapakah

tingkat bunganya?

Tingkat Bunga (X) 4 7 6 8 10 12 15 16

Investasi/milyar (Y) 625 600 580 550 520 500 475 450

a. Persamaan regresi

Tingkat Bunga Investasi X² Y² XY

4 625 16 390.625 2.500

7 600 49 360.400 4.200

6 580 36 336.400 3.480

8 550 64 302.500 4.400

10 520 100 270.400 5.200

12 500 144 250.000 6.000

15 475 225 225.625 7.125

16 450 256 202.500 7.200

∑X = 78 ∑Y= 4.300 ∑X² = 890 ∑Y² = 2.338.050 ∑XY= 40.105

b = n∑XY - (∑X)(∑Y) = 8 x 40105 - (78)(4300) n∑X² - (∑X)² 8 x 890 - (78)² = 320840 – 335400 = -14560 7120 – 6084 1036 = -14,05a = ∑Y – b ∑X = 4300 + 1096,22 = 5396,22 n 8 8 = 674,53Sehingga persamaan regresinya : Y = 674,53 – 14,05X

b. Gambar garis regresinya Y= 674,53 – 14,05XTitik potong dengan smbu Y = 674,53Titik potong dengan sumbu X = 48Y 674,5

0 48

X

c. Bila tingkat bunga X = 20 674,53 – 14,05X Y =393,53X = 22 674,53 – 14,05X Y =364,9

d. Bila investasi yang diharapkanY = 400 = 674,53 – 14,05X X = 19,5Y = 350 = 674,53 – 14,05X X = 23

Regresi BergandaAnalisis Regresi Linear Berganda digunakan untuk mengukur pengaruh antara lebih dari satuvariabel prediktor (variabel bebas) terhadap variabel terikat.Rumus:Y = a + b1X1+b2X2+…+bnXnY = variabel terikata = konstantab1,b2 = koefisien regresiX1, X2 = variabel bebas

Contoh:Seorang Manajer Pemasaran sebuah produk “X” ingin mengetahui apakah promosi dan harga berpengaruh terhadap keputusan konsumen membeli produk tersebut?

Hipotesis:Ho : ß1 = ß2 = 0, Promosi dan Harga tidak berpengaruh signifikan terhadap keputusankonsumen membeli produk merek “X”.Ha : ß1 ≠ ß2 ≠0, Promosi dan Harga berpengaruh signifikan terhadap keputusan konsumenmembeli produk merek “X”.

No. Promosi(X1)

Harga(X2)

Keputusan Konsumen(Y)

1 10 7 23

2 2 3 7

3 4 2 15

4 6 4 17

5 8 6 23

6 7 5 22

7 4 3 10

8 6 3 14

9 7 4 20

10 6 3 19

Jumlah 60 40 170

No. X1 X2 Y X1Y X2Y X1X2 X1² X2²

1 10 7 23 230 161 70 100 49

2 2 3 7 14 21 6 4 9

3 4 2 15 60 30 8 16 4

4 6 4 17 102 68 24 36 16

5 8 6 23 184 138 48 64 36

6 7 5 22 154 110 35 49 25

7 4 3 10 40 30 12 16 9

8 6 3 14 84 42 18 36 9

9 7 4 20 140 80 28 49 16

10 6 3 19 114 57 18 36 9

Jumlah 60 40 170 1.122 737 267 406 182

∑Y = an + b1∑X1 + b2∑X2∑X1Y = a∑X1 + b1∑X²1 + b2∑X1X2∑X2Y = a∑X2 + b1∑X1X2 + b2∑X2²

170 = 10 a + 60 b1 + 40 b2……………………. (1)1122 = 60 a + 406 b1 + 267 b2……………... (2)737 = 40 a +267 b1 + 182 b2…………….….. (3)

Persamaan (1) dikalikan 6, persamaan (2) dikalikan 1:1020 = 60 a + 360 b1 + 240 b21122 = 60 a + 406 b1 + 267 b2 _-102 = 0 a + -46 b1 + -27 b2-102 = -46 b1 - 27 b2……………………………………. (4)Persamaan (1) dikalikan 4, persamaan (3) dikalikan 1:680 = 40 a + 240 b1 + 160 b2737 = 40 a + 267 b1 + 182 b2 _-57 = 0 a + -27 b1 + - 22 b2-57 = -27 b1 - 22 b2………………………………….. (5)

Persamaan (4) dikalikan 27, persamaan (5) dikalikan 46:-2754 = -1242 b1 - 729 b2-2622 = -1242 b1 - 1012 b2 _-132 = 0 b1 + 283 b2b2 = -132:283 = -0,466Harga b2 dimasukkan ke dalam salah satu persamaan (4) atau (5):-102 = -46 b1- 27 (-0,466)-102 = -46 b1+ 12,58246 b1 = 114,582b1 = 2,4909

Harga b1 dan b2 dimasukkan ke dalam persamaan 1:170 = 10 a + 60 (2,4909) + 40 (-0,466)170 = 10 a + 149,454 – 18,64010 a = 170 – 149,454 + 18,640a = 39,186 : 10 = 3,9186Maka :a = 3,9186b1 = 2,4909b2 = -0,466Persamaan regresi:Y = 3,9186 + 2,4909 X1 – 0,466 X2a = konstantab1 = koefisien regresi X1b2 = koefisien regresi X2

Matriks

Matriks merupakan susunan bilangan-bilangan berbentuk persegi atau persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom tertentu. Matriks dinotasikan dengan huruf kapital. Jika m adalah banyaknya baris dari matriks , dan n adalah banyaknya kolom dari matriks , maka matriks mempunyai ordo mxn, atau

A = 2 5 7 matrik A terdiri dari 2 baris dan 3 kolom

3 7 9Ordo sebuah matrik ditentukan oleh banyaknya baris dan diikuti oleh banyaknya kolom (mxn), dan banyak elemen sebuah matrik sama dengan hasil kali banyaknya baris dan banyaknya kolom.Sebuah matrik dikatakan sama apabila kedua matriks itu mempunyai ordo yang sama dan elemen yg seletak sama.

Transpos dari matrik A adalah sebuah matriks baru yang disusun dengan cara menuliskan baris pertama matriks A menjadi kolom pertama matriks baru, baris kedua A menjadi kolom kedua:

A = 2 6 4 8Jadi tranposnya A = 2 4 6 8

Contoh:Jika C = x+y x D = 1 -1/2x y x-y -2y 3 Jika C’ menyatakan matriks transpos dari C, maka persamaan C’ = D, dipenuhi apabila x =C’ = x+y y = 1 -1/2x x x-y -2y 3 X+y = 1…...(1) y = -1/2x…….(3)X = -2y…….(2) x-y = 3…………..(4)

x+y = 1-2y+y =1-y = 1 y =-1 x = -2y x = -2(-1) x = 2

4 x+2y 0 = 8 0 2 3x-2 2 7 maka x+y = ?

4 x+2y = 82 2(x+2y) = 23

2(x+2y) = 32x + 4y = 3 ….(1)3x-2 =73x= 9X= 3 2x + 4y =3 2(3) + 4y = 34y = 3-6Y = -3/4Jadi x+y = 3+ (-3/4) = 12-3/4 = 9/4

Penjumlahan matriks = ordonya samaSifat-sifatnya:1. Ordo sama2. Komutatif = A+B = B+A3. Asosiatif = (A+B) + C = A + (B+C)4. Ada unsur identitas, yaitu matriks 0 sehingga

0+A = A5. Setiap matrik mempunyai lawan yg negatif,

mk matrik A mempunyai lawan –A, sehingga A + (-A) = 0

Contoh:

Pengurangan matriks bisa dilakukan apabila matriks berordo sama.A-B = A+(-B)

Perkalian matriksJika A adalah sebuah matriks dan k adalah bil. Real,maka hasilnya adalah kASifat-sifatnya:1. (p+q)A = pA+qA2. p(A+B) = pA+pB3. p(qA) = (pq) A4. 1A = A5. (-1) A = -A

Berapa nilai x?

Berarti :X -2 = y….(1)Y + 2x = 10 ….(2) subtitusikan(X-2)+ 2x = 103x – 2 = 10X = 12/3X= 4

DMaka perkalian matriks D dan E yang ordonya sama-sama 2x2 adalahD=DxE = F=

ContohA dan B Maka hubungan yang benar antara kedua matriks adalah:a. BA=3B c. AB=3B e. 3AB = Bb. BA=3A d. AB= 3AJawabannya adalah:

3[ ] = 3B jadi jawabannya adalah c.

1. Hasil kali [][] adalah?

2. A=

Invers matriksI = matriks identitas, yg memiliki sifat khusus, bahwa untuk tiap matriks persegi berordo 2 bila dikalikan dengan matriks satuan I maka hasil perkaliannya adalah matriks itu sendiri.A

I.A = A.I = A

Invers matriks berordo 2 yang determinannya sama dengan 1

A dan B Nilai determinan matriks A adalah :Det. A= = {(7.3)-(-4).(-5)} = 1

A= determinannya A= (ad-bc) maka invers dari matriks A :A-1 = 1 ( ad-bc)

Det A≠0 matrik tak singular = ada inversDeterminan A= 0 matriks singular = tdk ada invers

Invers dari 2 –1 = 6 2 maka carilah nilai x? 2-5x 3 4x+5 4

A = -1 a B = 4 -5 C = 2 -1 D = 2c 1 -b 3 -3 b -4 3 c a+1

Apabila A+B = C.D, maka carilah nilai dari determinan D

Matriks berordo tiga (3x3)

[

…..

Mencari invers matriks ordo 3x3

X= []Berapa nilai : determinan X, adjoint X, invers X?

Program Linear

Y x+y ≤5, 2x+y ≤8, x ≤0 dan y ≤0

A (0,5) B(3,2) 0 C (4,0) X

Contoh :Permen A yang harganya Rp 200 per buah, dijual dengan laba Rp 40/buah, sedangkan permen B harganya Rp 100 dijual dgn laba Rp 30/buah. Seorang pedagang mempunyai modal Rp. 80.000 dan tokonya dapat menampung 500 buah produk permen, dgn itu semua maka pedagang akan mendapatkan untung yang sebesar-besarnya bila dia membeli…..? Permen Harga per biji Laba banyak

A 200 40 X

B 100 30 y

80.000 500

Model matematika dari persoalan tersebut adalah:Memaksimumkan f(x,y) = 40x + 30ykendala :200x + 100y ≤ 80.000 x + y ≤ 500 x ≥ 0 ; y ≥ 0Untuk persamaan 200x + 100y = 80.000 2x + y = 800 Titik potong (0,800 dan 400 ,0)X y titik potong0 800 (0, 800)400 0 (400,0)Untuk persamaan x + y = 500

Titik potong (0,500 dan 500,0)

Titik potong antara garis 200x + 100y = 80.000 dan garis x+y = 500 dengan cara eliminasi.200x + 100y = 80000 x 1 … 200x + 100y = 80.000 X + y = 500 x200 … 200x+200y = 100.000 - -100y= -20000 y = 200

Nilai y 200 disubtitusikan ke persamaan x+y=500X+ 200 = 500Jadi titik temunya (300,200)

Titik kritisnya yaitu titik P (0,500), Q(300,200) dan R(400,0) disubtitusikan ke persamaan f(x)= 40x+30y:P (0,500)f(P)= 0 + 15000= 15000Q (300,200) f(Q) = 12000+6000=18000R (400,0)f(R)= 16000+ 0 =16000

Persamaan Linear

Bentuk umum persamaan linear dgn 2 peubah x dan y adalah: a1x+b1y+c1=0 a2x+ b2y+c2=0Dgn a1,a2,b1,b2,c1 dan c2 merupakan bilangan real.

contohJika x dan y memenuhi sistem persamaan 2x+y=53x-2y=-32x+y = 5 y = 5-2x…(1) subtitusikan ke Jadi 3x – 2(5-2x)=-3 3x-10 +4x=-3 y= 5-2x 3x+4x= -3+10 = 5-2.1 = 3 7x = 7 jadi x+y =4

x=1 subtitusikan ke persamaan 1

Di sebuah ruko, Dedi membeli 4 barang A dan 2 barang B dengan harga Rp 4000,-. Hasan membeli 10 barang A dan 4 barang B dengan harga Rp 9500,-. Maka Nilam akan membeli 1 barang A dan 1 barang B - berapa dia harus mengeluarkan uang untuk A + B?Barang A ABarang B BMaka Dedi 4A + 2B = 4000…(1) Hasan 10 A+ 4B = 9500…(2)Ditanyakan A+B???

4A +2B = 4000…x2 = 8A + 4B = 800010A + 4B = 9500…x1 = 10A + 4B = 9500 - -2A = -1500 A = 750Subtitusikan ke persamaan 1 4(750) + 2B = 40003000 + 2B =4000 2B = 1000 B = 500Maka A + B = 1250 maka Nilam harus mengeluarkan uang Rp 1250,-

Soal Ujian Semester Pendek1.

Hitunglah :a. Persamaan garis regresib. Gambar garis regresic. Bila menggunakan tingkat bunga 20 dan 25, berapakah jumlah investasinya?d. Bila jumlah investasi yg diharapkan 165 dan 200, berapakah tingkat

bunganya?

Jumlah Tenaga Kerja (X)

2 3 5 6 8 10

Jumlah Hasil Produksi (Y)

20 26 30 36 40 50

2. K L Jika K = L, maka coba saudara cari niai c!

3. Di sebuah ruko, Asep membeli 4 barang A dan 2 barang B dengan harga Rp 4000,-. Ryan membeli 10 barang A dan 4 barang B dengan harga Rp 9500,-. Maka jika Faridah harus membeli sebuah barang A dan sebuah barang B, berapa rupiahkah uang yang harus dia keluarkan? (Ditanyakan A+B)

4. Diketahui matriks AI , apabila ada sebuah persamaan A-xI yang merupakan determinan dari A-xI, maka carilah bilangan x yang diperoleh dari persamaan A-xI =0!