16

Simulated Annealing for Optimal Pivot Selection in Jacobian Accumulation

Embed Size (px)

Citation preview

�������� �������� �� ������� ����� ���������

�� �������� �����������

��� �������� �� ���� �����������

� ���������� �� � ������ ������ ����� � ��� � ���� �� ��� ��� ��������������������

� ��������� � � ������ ������� �������� � ����� ������� � ����� ������������ �

������������������������

��������� !� ��� �� �" ����� � � ��������� �������� ������������� � ��� ������ #�� ��� ���������� �� ����$ %�� � � � ��&���� � " �' ���� "� ������� �� ��� ��(�)*+ � ������ � ,�����(����� -+./$ !� ���� ��� ������ ���� �������� �� ���� � ���&���0�� � ������� �� ����� -+1/ � ��� � ��2� � ����� �������$ !���� ���� � " �� � ��� ��� ��� ��� �2����� #�� ��� � ��� �� �� � �� ���' ���� �������� � ������0�� � ������� �� �����$������ �� � ������ � � �������� ������ ��� ����� � ����&����� ���� � ������� �� � ��� � ������� �� �����$ ��� �����3����� � �� ��������� �������� ������ ��� �������� � � ������ ��� ���� "����� �3������� � �����2 �������� � ������0�� � ������� �� �����-4/$ 5 � � " �� � ��� ��� ��� "� �� � ��� ���� � �� � ���� ���� ���� ��� �������� �3���� ��� � �� ���� � �0�$ 6 ���������� "����� ��� ��'���� � � � � �2� ����� �������� �3���� � �&��� � ���������$ ��������� ����� ��� ������� � � ��� ����� ���� � �� � � ��� � �� �� � ��� � ���' � ���� � � ��� ��� &��� �����3��$ %�� ����� ���� � � " �� � ��� ��� ��� ��� ��������� ��� �� �� ������ "�� ������� ���� �����3�� � 7 �) �&������� 8�2 -+4/$

�������� �������� ��������� ���� ��������� ��� �� ������ ��������� �������������� �������� ���������

� ��������

����������� �� ������ ��������� ���� ��������� ������������ ����� �� ������� �������������� �� �������� �������� ���� �� ������������ ��������� ���� �� �������������� ���������! "��� ��� �� ������ �� ��� �������� #�� ������ ����������� � ���������� ���� ��� ���� ���������� �� ��� ���� ���� ������� �� ��� �������$����� �� ���� ����� � ��%������ ���� ������� �� � ��� �� ���� ����������!&�� � ����� �������� ������� ���� ���������� �� ��������� ��������� ������������� �'����������� �(�� )*+,- ������� � ��� �� ������.��� ��� ������������� ��� ������� ���� ��� ���� �������� ��� ���� ��� �������� ����� ��� � ��� �������� ��� ���� ��� ������������ ��� �� ������ ����������!

9 �"� ����� �� :���� ( �������

( ����� ������� �� ��� ������� �������� �� ���� �� �� ���� ������ �������������� �� ��� ������� �� ��� ��������� ��� ���� �� ��������! /���������� ������ ��� ����� ����� �� � ����������� �� ��������� �������� ������������ ��� �0���������� �� ������������ ���������� �� ��� ���! 1� ���� ����� ��������� ��� ������� �� ������$��� ��� ������ �� 2������ ����� ���������� ��������� �� ����� ����� �� ��� ��������� ��� ���� � ��� ���� �� ��� 2�� ���������� ��� �0������ ����� ������ )3-! (����0����� ��������� �� ��� ������������������������� ������$����� ������� ��� ������� �� �0�������� ��� ��������������� ��� ��� ��� ! 4����� ������� ��� ������� �������� �� �� ����������� ������� � ������ �� ������ �.������� �� ������� � ����� ����������� �� ��� ������������ (�! 5� ������ ���#����� ����������� ���� �� ������� ��������� ��� ���������� ����������� �� ��� �������� ������ �� �����.���� ��������!

6������ ��� ��������� &������ ����������7

��������� �� ��

����� �� �

��� ����������� ������������ �� �

�� ��� ���

��������������������������

������������������

��������������

�� ��

�� ���������

"�� ��� ����� �� 8 ������ � � � � ������ �� ������� ���� ��� ����� ����� ����� �0�������� �� ��� ���������� ���� ���� ��� ��� �� ��� ����! "�� ������������� � ������ �������� � 7 ��� � ��� �� ��� ���� � 8 � ��� (���� ���������� �0����� ��� ��� ������ �� � ������ �� �� ����� �� �� ��� ����! (� �0������������ �� ��� ��� �� ��� ���� ��� ��� �� )3,- �� �������� �����0 �����������������.��� �� �������$� ������������� ������ �� ��� ��������� �������������������$����� �������!

/������ ���� ��� �� ��������� �� ��� �������� �����0 � � �� �� ���� �� ��������0 �� ��� ������� ���������� �� ��� ������� ���� ������� �� ��� ������! 1� ��� �� ��

� � 8 � ��� 8

����

���

������������

����� �� ������ ��� ����� ����� �� ���� �� �� ��� ������������ ������ �����!"�� ������� ��� �� (� ),-)6������ *- ���������� ��� ��� ������������ �������� �� ������ �� ��� �������� ����� ��� ������ �� ��� �������� ���� ������������ 9 �� ��� ����� ����� �� �������! "�� ������ �� ���� �������������� ���� �������������� �� ��� ��������

��� 9�� 8 9� �� 9� � �� ��� � ��� � 9� �

���� ���� � ������� ��� �������� ������ ��� �� ������� �� ������� ��� ���������� 9 ����� ���� ��� 6�������� ����� ������� �� ��� ������ ���������� � � 8 � � ����

��������� ������ � � ;������ :�� � ������� � #�� ��� ���������� <

����� �� ������ ��� ������� �����0 �� ���� :�� �� ���� �������������� ���������;"�� ���������� �� ��� ���� ��� ��� �� �������� ���� � ��.����� �� ����������������� �� ��� ������� �� ��� ��������� ���������� ��������� �� ������������������ �� ������� ���.�� ����������� ��������� �� � �!! "��� ��� ������� �� �������� �� ���������� ���� ������� ��� ��� ��������� �������������� ����� ������� ���������� "� � � � � # �� ��� �������� ��� ���� ������� �� ������������ �� ��� ��������� ���! �

�� ��� ���

"�������$ %�����

��������������

���������

� ��������

&�� $ '�����

�!�������

(�������$ )��!

��������!�������

#�������!�

����������!�

�� ��

"�� ��������� ��� �� ����� ������� �� �� ��� �� ���� � ��� ����! "�� ��0� ��������������� ���� ���������� ���������� ��������� ���������� ���� ��� ������ ������������� �� ������ ���������� �� �� �������� ��� �����#��� �'���������������� ���� ��� ����� ���� �� �������� � ��� ���� �� ������� �� ��� ���!

��������� �* �� � + &*��

����� �� � +

��� ����������� ������������ �� �

��� ���������� +� ������������ �� &*�

��� �� �� � �! " % � & ' ( ) #

��� ���������+� �� &*�� &*� &*�!

�� ��� ���

"�������$ %�����

&*���"�&*��� ���%�&*����� ��

��������������

���������

&*� ���&*��

� ��������

&�� $ '�����

&*�!�&�&*��� ���'�&*�

� � ��"��� � � � � �� ������ �� �� ��� ������� � ������� ������ � ��� � ����������$ !� ������� � ����� ���� � ��� � �� � ���������� � ����� ��������� � ��� � ���� ���� � �"��� � �� �� � ����� $

= �"� ����� �� :���� ( �������

�!�������

(�������$ )��!

&*����� ���(�&*�!�)�&*����� ��

��������!�������

#�������!�

&*��� ���#�&*�!

����������!�

�� ��

�� ��������� �*

"�� ���������� ��������� ���������� ��� ����� �� ��� & ��� 0! "��� ���������� �� ��� �� �� ��� ������� � ���� ��� �� (� ),-)6������ *-! (�� �������������������� ���������� ���� �� ���������� �� ������ ���������� �� ��� ����9� 8 � 9< � 9� ����� 9�� 9� 9� � ��� �� � � ��� "�� ����� ��� ���� &����������� ��������� �����0! =�� ������� �� ������0��� �� ��� �������������� ��� ����� ������ �� ������ 2������������ ��������������� �������� �� ������ �� ������������� ���������� ���� ��� ��.���� �� ����� ��� �������$� ��� ����! :������� ����� ���� ��������������� ���� ��� �������� ����� ��� ����������� �� ������������� ����������! 1� �� ��������������� �� ������ ���� ��� ����������������� ��� ��� �0����� �� �.��� �� >��� � 3�� "�� ��������� ����������� ������ � ������ �0������� �� ��� ���� ��� �������� >� ���������������� � ��� ������������ ��������� "� � � � � #! "�� ������ �� ���������� �� �� 3!

�������������� ������.��� ��� ���� �� ��� ����������� ���� ��� ����� �������� ���������� ��� �� ������� �������� �� ��� ����� ���� )?- ����� ��� �������� � ������� ������ �� ��������� ������� �� ��� ���������� ��������� ������������ ���� �� ��� ������������ �������������� ���! "��� �������������� �� �.��������� �� � �������������� �� ��� �������$� ������������� ����� ���� � ������������� �� ������ ��� �0������ �� )3,-! &�� ��� �0����� ��� ��������������� �� �������� �������� ������ ��� ������ �� ��������������� �� ��� ���������� �������������������� �� ����! �

��������� �**�� �� � + &*��

����� �� � +

��� ����������� ������������ �� �

��� ���������� +� ������������ �� &*�

��� �� �� � �! " % � & ' ( ) # '� '�" '�% ,�� ,� , � ,

��� ���������+� �� &*-./

�� ��� ���

"�������$ %�����

��������������

� %���� ��� �" ���� �� �" ������ �� ��� � ��� #�� ��� � ���$ ,� ������ �"� ' " ���� ���� �� ������ ��� ��"�� ������$ 6 ������� ��� �� ����� ���� �� �� ����� �� ���� > ����� ���� ����� -+/$

��������� ������ � � ;������ :�� � ������� � #�� ��� ���������� 1

���������

� ��������

&�� $ '�����

�!�������

(�������$ )��!

��������!�������

#�������!�

����������!�

'��'��

'�"�&�'��"$ '�%�'��%

,���#�'�"

,� �#�'�%

, ��(�'�"

, �)�(�'�%

&*-./�,���&*��� ���,� �&*����� ��

&*����� ���, ��&*��� ���, �&*����� ��

&*��� ���&*-./

�� ��

�� ��������� �**��

"�� ��������������� �� ��� �������� ������� ,��� ,� � , �� , ��� �� ������������� �����0 ����������� ������.��� �� � ���� �� ����� ��������������� �� ������� )3,-! "�� ������������ ��� �������� ����������� ����� ������� ����������'� '�" �� '�%! "�� ��������� ��������� ����������� ��.����� @� ����������������! � 6����.������� ��� ������ �� ��������������� �������� �� ��� �������������� ��� ���� ���� ��������������� �� �?<@�����3�� &�� ����� � ���� ������������ ����������� �� � ������ ���� �� ����� �� ���! A�������� ��� ��������������������� ��� �� ��� �� �'����� ���� �� �0�������� ��� ������������� �� ��� ���������! "�� ������������ ��� ��� ���� ����� ��� ����� ����! :������� ���� ��������� ���� ���������� �� ����� ����� �� ��� ������� ��� ���%��� �� ����������������! (� �0����� �� ������� �� /������ B!C!

"�� ����� �� ��������� �� �������7 1� /������ C �� ����� ��� ���������������������� �� � ������������� ������$����� ������� �� ��� �������������� �������� �.�������! "�� ����������� ������.��� ���� ��� ��� �� ����� ���� ������ ����������� �� /������ * �������� ���� �� �0�����! "�� ����������� ������� ��������� �� ��� �����0� �� �������� ��������� �� /������ @! ��������� ���� ����������� �� /������ B! "�� ����� ������� ���� ����������� ���� �� /������ ,!

� ������ ����������

"�� ������� ��������������� �� ����� ��������� �� ����� ����#� �� ���������������� �%���� ����� �� ��������� ���������� �������� �� � ������ �������� �������

� %�� ������ � � ��� � ��3����� � ���� � ������ � ��� ���������� � ��$%�� � ��� � � ���� � �� ���� �� ����� � ��� ���� �� �' ���� ������� ���� � � ��$

. �"� ����� �� :���� ( �������

�� ����� �������� ����� ��� ��������� �'����������� ),-! :�� �������������������$����� �������� ���� �� ����� �� �������� ������������ ����������� ���.������ �� ��� ��������� �������$� ������������� ������ )3@- ��� �.������������� ��� �0���� �������� �����0 ���� ������! D���� ���������� ���� ���� �������� �� ������ ��� �����0�������� �� ��� ��������� �� ����� �������� )C�?� 3C-! 1� ��� ��������� ��������� ��� �� �� �� ��� �0��������� ���� � ���� ������ �� ����� ���� ���� �0������� ������.���� ���� �� �������� ���������� ����� ������� ��� ��������� ������� ������� ������������ ��� ������� ����� �� ��������������� ��� �0������ ��� 6&��#������ )3?-!

5� ������� ��������� ���������� �������� ���� ��������� ���������� ���������������

� 7 ��� � � � ��� 7 �� � 8 � �� �

"�� �������� �����0 �� � �� ����� ��

� � 8 � ���� 8

����

������

����������

���������

(� ������� � ��� �� ������.��� ��� ���������� ��������� ��� ��� �� ���� �������� �0������ � � ��� �� ������� ���� ������� ��������!

"�� ��� ���� �� � ������� ���� ���� ���������� ������� � �'����� ������������! ( ����� ����� ��������� ��� 2�� �� ������� ���.���� �� ��� ������������� ��� ���� ������� � ��.������ ��� �� �������� ���������� �����������

� 8 ��� ����� �

����� � 8 3� � � � � � �� � 8 � < �� "�� ������ �� ����������� ��������� ������� �� �� &�������� ��� �������� �� ),-� ��� ��� �� ��������� �� �� �� ������� � � 7 � �� ���� �� � � �� � �� �� �������� �� �� � 1� (� ��� ������������������ �� ��� ������ �� �� ��� ���������� ���������� ��������� �� ������������������ ������ �� ��� ����������� �������� ���� �� ��� �� ����������� &����������� �� ��� �� � ���� � 8 3� � � � � �� �� � �� � 8 3� � � � � �� ���� � �� � � 8 3� � � � ��! &�� ������� �� ��� ��������� �������� �� ������ ������� ������� ��������� ��� �������� ���������! =��������� ���� ���� �� ������� ��� ��� ��������� ��������� ���!

/����� �������������� ����� ��� (� ��� �� ��� �� �������� ���������������� �%���� ����� ������������� ��� � ����� ������� ��� �� (� ������� � ������������� �� � ��������� ��� 2�� �� ������� ���.����! "������������� �������������� ���������� ���������� 9 � ���� ����� ��� ���� �������� ��� � 8 3��� � � � � ��� ���� �������

9 � 8����

���� � 9 � �

��� � 8 3� � � � � � �� �����

���� ����� �����

� ��

��������� ������ � � ;������ :�� � ������� � #�� ��� ���������� 4

&�� ��� ������� �� ���� ����� �� �� ������� �� �������� ��� ��������� ����������������� �����! (�������� ������� ��� ��� �%���� �����! 4��� �������������� �� �%���� ����� ���� �� ��� �0������� �� %������ ���������� ����������������� ��� ��� ��������� ��������� �� � � 8 3� � � � � �� �� ���� �������������� � ����������� �� ����� ���������� ������!

( �������������� ���� ���������� � ������ �� ������ �.������� ���� ��� ��������� �� �����0 ���� �� �������!�

9�9�

�8 � �

�99�

�� �3�

����� � � ������ �� ��� �0���� �������� ���� �� � �� ��

� 8 ������������������������ �C�

���� ����� ������� ���������� ����! "�� ����������� �� 9� 8 � � � 9 ��� �� ����������� �� ��� �������� �� E.������ �3� ��� 9� �� ����� �� 9� "� � �� �� ������������������ ������.��� �� �� &�������� ��� �������� �� ),- ��� �0���� ��������� ��� �� ���������� �� �������!

� 8

�� �

� �

�� �*�

����� � � ����� � � ���� � � ������ �� � � ����� /���� ��� ��������� ��� �� ����� �� � ��� ���� ��� �����0 � 8 ���������������� ���� �� �������� ������������� ���� �� ���� 8 F �� � �� /������ E.������ �3� ��� 9� �� ����� �� 9 �������� �� ��� ����������� �� ��� ����$��� �������� �� ���� �� ��

� ��������� ��������

� ������ ��������

����� �������� ��� �� �.�������� �� �����0 ����������� �� �������$� �������������� ������ �� �������� �� )?-! 1� � ���� � � �3� � � � � � �� ���#� ����� ����� ������ �� ��� ��� ��� ���� ��� ��� ������ �� �� �� ��� ������������� ��������0 �� � ���� �� ������ �� ��� �� < 3���� � � � � ��� ���� �� ����� �3 � ����� � � � � �� � 3��� �������! (�� �������� �� ���� ��� ��� ��� �� ������ ������ ��� ��� �� $���! "��� ������������ ��� �� ������ ����������� ���0������ �� ��� ��������� �.������!

�� 8 � < ������� � � ��

�� � ��

�� � �@�

����� �� �� ��� ��� 6�������� ����� ������ �� �� �� ��� �� ��� ��<���� 6��������

����� ������ �� ����� "�� ����� ��� ��� ����������� �� E.������ �@� ��� �� ������ )?-! 1� ����� �� �� �������� �����.����� �� ��� ����� ����!

"�� ������� �� ���� �� ���� �� ��� ������ ���� ������$�� ��� ����� ������� ����� �� �� ���������� �� )G-! "�� ������� ������ ������� ��������

? �"� ����� �� :���� ( �������

������������ ������� �=�(� ��� �����0 ����������� �� �������$� ������������������� �� ���� ���%������ �� �� �����������! 1� ���� ���%������ �� ����� ���� ������� ������� �� ��� ���� �������� ������� �� �0���� ���������!"�� ��� ������� �������� ���� ���# � �������� �� � 8 3� � � � � � �� � 8 �� � � � � 3��� ����������� �.�������� �� ��� ������ ������ �� ������� ��� �� (�� �������������� �� ������ ��� �� ),-!

D���������� �������� ��������� ��� ���� ������ ������������ �� ��� �����0����������� ������� �� �������$� ������������� ������ �� )3,-! "�� ��� ��������� ������.��� �� �� �������� ��0� ��������� �� ������� �� ���� ��������!"���� ��� �� �������� ��������� ���������� �� ��� � ������ �� ���������������������� ��������� ��� ������� �� /������ @!

�� ��� ��������

H�� �������� �� �.�������� �� ����� ��� ����������� �� �������$� ������������������� �� �������� �� )3@-! "�� ���� �� �������� �� ��� ������ �� � ����������������� ����� � ����� ���! 1� � � ���� �� ������ ��� ��� ���� ���� � � �3� � � � � ��� � �3� �� � � � � �� � � �� �� ���#�� ���� �� ��� ��� ������� �� ��� ��� ��� �� ���� ��� ������ �� ���� �� ��� ��� ������ �� �� �� ��� ��� ������ �� �� "������� ���� �� ��� �� $���! 1� ��� ����������� �� ���� ������� �� ��� ��� ��� ���������.��� �� ��� $��� ������ �� ����� ���� ��� ������ ��� ������ �� ���� ��� �� $���!"��� �������� �� �0������ �� ��� ��������� �.������!

����� 8 � < ��� ������

�� � �

�� ��

�� � �B�

1� ������������ 8 ����� � ������

�� �� ��� ����� 8 � �

"�� ������ �� ��.���� �� ���� ����������� 2������������ ���������� ����� �������������� ��������! =��������� ��� �������� �� E.������ �3� ��� 9� ���� �������� � �������� ��� 9� �� ����� �� 9� (������� ���� ����� �� ������ ��������� ������������ �� ���� ����� �� ��� ��� ��������� �� ��� ����������� �� ��� ������������0�! "�� ����� ��� ��� ����������� �� E.������ �B� �� �� �������� ������.����� �� � ����� ��� ����������� ��.����� ����� � ������� ��� ����������.����� �� ������� �� ����� �� )3B-! "�� ����� �� ���� �� ��� ���� ���������� )?-!

�� ������ ��������

1� ������ �������� �� ������ �� ������� ����� � ����� ������! "��� ������.���� �.�������� �� ���# ��� ����������� �� �������$� ������������� ������ )3@-!1� � � ���� �� ������ ��� �� ���� ���� � � �3� � � � � �� � � �3� � � � � �� �� � � �� �����#�� ���� �� ��� ��� ������� �� ��� ��� ������ �� �� �� ��� ������ �� ������ ��� ��� ��� �� �� �� ��� ��� ��� �� �� "�� ����� ���� �� ��� �� $���! 1� �������������� �� ���� ������� �� ��� ��� ������ �������� �.��� �� ��� $��� ������ ����� ���� ��� ������ ��� ��� �� ���� ��� �� $���! &��������

����� 8 � < ��� �����

�� � � �

�� ��

�� � �,�

��������� ������ � � ;������ :�� � ������� � #�� ��� ���������� @

����� ��� �������� �� ��� ���� �� �� /������ *!C! (�����

����� 8 ����� � ��� ����� �� ������

�� 8 � �

������ ������ ������� �� � �� ���� ��� �� ��� ��� �� ����� �������������� � �� � ������ ����� �� ������ � �� ������ ��� ������ ��� �� ��� ���� 8 3��� � � � � �� 3� ���������� � �������� � ������ ���� ����� � � ������� � � ����� � �� ������ ����� ������ ��� �� ��� ��� � 8 � < 3� � � � � ��

�������� �� � � �� � � �� ��� �� ����� ������ �� � �� � �� !"�� # � � � $������ ��� �� ����� � �� ������� ��� !"� )���� ���� � � � � ���� ���-�� � �� � �� � �� �������������������� % !"������ ��� �� �� � ��� ����� �� � � ��

�� �� �� � ����� ����� �� � � �� # ���������� �� ��� ������ ����� � �� � &��' )��� � � � � ��- �� � �� � �� � �� ���� � � � � ��-� !"�(� �� ��(� �� � �� ��)�� ���� � ��������� � � � � � �� � � � � $������ ��� �� � ��� � ����� �� ������ ��� �� �� � ����� ����� ������ � �� � �������� � ������ ��������� � � ������ ������

������ � # � � ��� ����� ��� �� ������ � *������ &+',&-' �� ��� ��������� ���� &���' �� � ���� ���� 8 ����< ��������� .�� ��/ ���� �� �� ������ � � �� � �� ������ ��� ������ � � ��� � �� ���(� � ���� � �� ������ � $������ ������� ���� � ��� � � � $������� )�� ��(� ��� ����� � �� ������ � �� � ������� � �� �������� ����� � � �� ���� � ����������������� 012� 3 ����� ��� !"�(� � �� ������ � ������� �� ������������� � � �� ���� � ������������ ����� 04+2�

� !��"��

5� ������� ��� �0���� �������� � �� ��� ���� ����� )3@- ������������ ����������$� ������������� ����� �� � ������ �������� � 7 ��� � ���� � �� ����� ��

� 8

��������

����� ���� F FF F ���� FF F F ����F F F ����F F F � ��F F ���� ����

�������

"�� �������� � � ��� �� ���������� ���� �� ��� ���� ����� ��.����� )3� C-�� �������� E.������ �@� �� ���

����� 8

��������

F F F F����� ���� F F

��������� �������� F F��������� �������� F F� ������� � ������ F F

����� < ��������� ���� < �������� F F

��������

+* �"� ����� �� :���� ( �������

����� ����� 8 ���������� ���� 8 ��������� ����� 8 ���������� �� ���� 8 ��������� "���������� � � ������� �� ��� �@ � C�������0 �� ��� ����� ���� ������ �� ������ 1�������������� ���� �� ��� ����� ���� ����� ��.����� ��.����� ������ (."I�!(������������� � � ��� �� ������� �� ����� �� �0����� ��� ���� ����!�

6������� ��� �� 8 �3� F� �� � ��� ����� �� ���������� ��� ����������������������� ���������� � ����

������ 8

��������

����� F F FF �������� ���� FF F F ����F F F ����F F F � ��F �������� ���� ����

�������

�� ��� ���� �� ��� (."I�! 5��� ��� �� 8 �C� ,� �� � ������ ����� �� ���

������ 8

��������

����� ���� F FF F ���� FF F F ����F F F ����F F F � ��F F ���� < �������� F

�������

�� ���������� ��� (."! 5���� ��� �� ��� ��� �������� ���� �������� ��.������������� �� �� ������� ���� �� ������ (."I� ��� ������������ �� � � �� ���������� ���.����� ���� ������ (."I�! "��� �0����� ��� ��� �� )3@- �� ����� ��� ������������� ��0� ��� �� ������ �������� ���� ���� ��������! D����� �� #���� �������� ����������� ���������� ���� ��� ������ ���� � ���������� �� ��� �������H6 ��.����� ���� ��� ������� � ��.�����! �������� ����� ������� ���� �������������� �� ��#��� �� �� �����! =�� �� ��� ����������� ��� ��� �������� ��������� �� ���� ����� �� ��� ����� ������� �� ������� H6 �� � ���������� ���������� ���� ��������!

� �������� ������

/������� ��������� ��� ���� ������ �� ��� ����������� �� ������� ���� �������.������ ��� �� )3*-! 1� )3,- �� ������� ��� ���� �� ��� �� ��#� ������������������ �������� ��� ������������� A��#�� ������ ���# �� ���� �������!

� � �� ���� ��� ����� � &0�� ����� � � �� � �� � ������ � �3��� � �����$%�� ������������� � ��� � ��� #�� ��� " ��� ������ �� � ���� � � �������� ��� ����� � ���) ���� ���� �� ��� ������� �� ���������� �� ������ $ � &�3������ ������������� " ��� � �� � � � ���� �� ��� �� ����� ��������� �� ���� �� �' � � ������ �� ����$ %�� ���������� � ��� � ��� #�� ��� ������� � ����� ������� "�� ��� �������� �����3��$ ������� �� ��3���� ������ +. ���) � � ����� � � � � �

� �� � � �"��� � ��$ %�� �������� � ������&�� �����3�� ����� �� � ��� �������� �2�� ����� � ��� ��������� ������ � ����2����� #�� ��� �� ��� ������� � �2�� �� ��� � ��������� � ��� ���� ����$

��������� ������ � � ;������ :�� � ������� � #�� ��� ���������� ++

(� �� )3,- ����������� ��������� �� ��� ��� �������� ����� � ��� � ���� �������������� ������������ � ��.����� �� ������ � � � ���� �� � �� � �������� ������ ��� ����������� �� �� "���� ��������� ��� ����� �� )�� ��-(��������� ������������� ��� ��������� ���� ��� �������� ����������� )�� ��-� "������ � �� ��

)�� ��- 8

3� �� ����� � �����

������������

� � �����������?�

����� ���� ������ ��� ����� ���� �� ��� ������ �� (."I�� ��������� ���� �����.����� �� ������ �� "�� ������� ��������� � ��� �� ���������� �� ��� � �� ������ �� ��� ��������� ������� )3F� 33-!

5� ������� ��� ������������� ��� ��� � �� H6� ������������!

����#$��#��� 5 � )��� � � � � ��- � � ��� �� � �� � �������� ��� ������������ F�B 7

4� "��� � � ����� ��� �� � ��� �� ���� � � �� � � ) ��������� �� ��� ���� �� �� �� ��� ���#��� ���� �� ������ � �� )������ � � � � ��- �� � ����� � ����������������

6� � � �� � � ������ ����� ���� � ���������� � �� ����� ������� ������

)��������

)��� � � � � ��- ��

)��� � � � � ������ ������ � � � � ��-

)��� � � � � ��� ����-�

"�� ����������� ��� H6 �� � �� ���������!

����#$��#��� �

)���� ���� � � � � ���� ���- ��

)���� ���� � � � � ������� ������� ������� ������� � � � � ���� ���-

)���� ���� � � � � ���� ���� ������ �����-�

"�� ������� ������� �� � �� ��

� 8 � ��� 8!

���� < C�� ��� � 8 F� 3� � � � � J� �

�� E.������ �?� ��� � ��0���� ������ �� J� ������� �����! "�� ������ �� ! ������ �� �0���������� �������! 1� �� ������� �� /������ B!C!

&�� ����������� 3 ��� ��������� ��� ���������� ����������� �� ��� ������������ �������� ��������� ��������� )>- ��� �� ������ �� ��#��� �� ��������������� �� ��� ��� �� )3,-! &�� H6 ��� ��������� ������������� �� ��� ������������ �� ��� ��%������ �������� ���� ��� �� ���� � �� ���! H����������� �� �������������� �� H6������ ������� ���� �������� ������� ���������� ��� ��� ���%��� ��������� ��������! 1� ��������� ��� ����� �� ��� �������� ��������� ������������� �� ��� ����������� ������� ������� ��#�� ��� ���������� �� �0�����������.������ �� ������ ������ ����#���!

+9 �"� ����� �� :���� ( �������

10

11

12

13

14

15

16

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

Elim

inat

ion

cost

s

Iterations

LSA for edge eliminationArbitrary vertex elimination

�� �� A� ���� � � � ����� � � �� (����

� ���������� �!��������

"�� ����� ������� �������� �� ���� ������� ���� ������� ����� ��� ��������������� (� ED �"�)'++�%0��12�'(�2)'0�'-�! 1� ������� ������� ���������� ������������ �I� �� H6I�� �������� ���������� �� ������� �������� �������������������!

% &���

"�� ���� ����� �� ��� �� )3@- �� ����� ��� ����������� �� H6��������� ���� ������������! (� ����� �� /������ *!@ ���� ��.������ �� ���� ������ ������ �� ��������� ���� �� ������ (."I�! "�� ��� �� H6I� ��� ����� ���� ���� �� ������ (."I�!(������� ����� �� ������� �0������ ��� ���� ����� �� ��� �0���� ����������������� �� ������� ���� ���� ��� ������ ���� ����� �� ������� ��������� ���� ������� �� ������������ ����!

/� ���� �� ������.��� ������ �0�������� ������� �� #���� ���� ������������� �� �� ������� H6������ ��.�����! A�������� ����� �� ��� � ��� �� �0���������� ���������� ��� ��������� ������������ H6������ ��.������! "�� �0��������� A��#����$����� ���������� ��� � �� H6 �� )C- ������� �� �� ��������������������� �� H6 ���� � �� ���� � ��� �0������!

"� � �� ������� ����� ��.������ �������� ��������� ������� ���� ������������ ������� ������� �! 8 B� �� ������! &����� 3 ����� ��� ������������ ��� ��%������ ��������! =������ H6I� ��� ���� ��������� ���� �� ��� ��������������� �����! =��������� ��������������� ����� ������ ���� ������������ ���� ��� ������� ���! ������������� ��� ����� ��� ������$��� H6��.������ ���� �� ���� �� ����� ��� ���� ������� �� � ����� ����������� ����!

%� ���'� (��

1� ���� ����������� ���� ������������� 2�� ������� 2�0�� ������� ��� ������� � ����������� 2�� ������ ��� ��������� ����� H��I� 2�0 �'������ ������

��������� ������ � � ;������ :�� � ������� � #�� ��� ���������� +<

)3?-! "�� �0���� �������� �� ����� ���� ��� ������������� ����� ���� ����������� �� ��� �������� ���� E��(� )3>-! "�� ���� #���� ��.����� �� ������ ����� ������� �� �� ������� ���� �� G,C (."I� ��� ������������ ��� �3F�B����������!

5% ���>� �: 7�: �: 7�:

*$+ @*= ??1 ?@@ ??+*$9 @*= ??4 @*= ??4*$1 @*? ??4 @*? ??4+ ?@= ??. ?4@ ??19 ?@4 @?= ??* ?4?1 @<. +9*= ??? ??9+* +*<@ +91? ??4 @*99* ++=? +9?. @+9 @@<

���� �� B���� � ��� �C������ ����� � � ��D���� � E�������� ������ F ��G�� � E�2�� ����������� ���� � �� F 5%G

850

900

950

1000

1050

1100

1150

1200

1250

1300

1350

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000

Elim

inat

ion

cost

s

Iterations

FT for dyadic pivoting

850

900

950

1000

1050

1100

1150

1200

1250

1300

1350

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000

Elim

inat

ion

cost

s

Iterations

LSA for dyadic pivoting

850

900

950

1000

1050

1100

1150

1200

1250

1300

1350

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000

Elim

inat

ion

cost

s

Iterations

FT for RC-pivoting

850

900

950

1000

1050

1100

1150

1200

1250

1300

1350

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000

Elim

inat

ion

cost

s

Iterations

LSA for RC-pivoting

�� �� A� ���� � � � 5���� � � 7 �) 8�2

+= �"� ����� �� :���� ( �������

"���� 3 �������� ��� ������ �� ��� ��%������ �������� ��� � A��������� ������������� 0� ����������� ������ �� ���� ������ ����� �� ���������� �� � � ���������� ��������� ������ �� ���� ������ ����� �� ���������� �� ! �! 4������������� ���� ������ �� � �� H6� �� 3F�FFF ���������� ���� ��������!4��� ���������� ��� �������� ��2����� �� ��� ������ �� !K� ! D�� ������ �������� ������� �� ������ ���� ����� ������! :��� ������ ��� �� � ���������������#���������! L����� ��� !K� �� ��� ����� ������� 3 �� C ���� ��� ������ �����!

"�� ��������� �� ��� ��%������ �������� ���� CF�FFF ���������� �� ��������� &����� C! &������ ���������� ������������ ��� �� ������� ��� ��� ������������ ������� �������! �I� �������� ������ ��������� �� ����� ���� ������ ������������� ��� ������� �� ��� ���������! "��� �� ��� ������ �� ��� ���� ����� ������������� �������� ��� �� ������ ������! (���� 3�FFF�FFF ���������� �� ��� ����������������� ��������� ���� ����������� ������� �! 8 B� ��� ���� H6 ��� ���� ��������� ��� �������� �� ����� >,3 (."I� ����� ���������� �� ����������� ������ ��� ��� ����!

" ������

"�� ��� �� H6 �� �������� ��������� ������� �� � ����������� ����� ����������� ������� �� �! :����� ���� ��� ������ ����� ��� ������� H6 ��� ������ ���� ���� ��� ������� � �� �� ��� ����� ������� ��� ������ �� ������� ��������� ��������� ��������� ��� H6 ������� �� �� ����������� �� ��� ��������������� ��.����� #��� �� ���! &����������� ��������� ���� � �� H6 ����������� ��� ������� �� ��� �������� ��������� ��������� ����� ������! ������������� ��� ��� �� ���� ���������� �� %���� � �� ��� ������������ �������� ����� ��#��� �� ������� ��� � ����� ������� �� ��� ������������� �'��� �� � �������������� ���������! A�������� ��� ���������� �� ������� �������� ��� �� �0������ �� �� � ������' ������� � ��� ������ �� ���������� ���������� �� ���������� �� ��� ������������ ������ ������ �������! &������ ����������������� ��.���� �� ����� ��� ������� �������� ��� �� �������!

&��� ��� ����������� ����� �� ����� ��� ������ �� ����� ������������ ������� ��������� ���� � �� H6 ��� �� ���������� �� �� ��������� ��� ��� �������������� ������� ������� � �� ������� H6 ��� ����� ���� �����! "������%������ �� �������� �� ��� ��������� �������!

����#��������

"��� ���# ��� �������� �� �!M! E���������� �� ������� /������� H�������6������ ���� ���� HKH*>3F3KF3!

"��� ���# ��� ���� �������� �� ��� A������������ 1����������� �� 6������������� /������� �������� ���������� �� ��� =�� �� (����� /������ �6�������� H�������� =�� �� /������� �!/! ���������� �� E������ ���� 6�������� 5�*3�3FG�E� �*>!

��������� ������ � � ;������ :�� � ������� � #�� ��� ���������� +1

$�%������

+$ �$ �� � 7$ ������ �� #$ �����$ �������� ���� ����� �� ������� ��� ����$���� &!����� 7������ ��� +@?.$

9$ �$ ��������� :$ ( �������� �� �$ �����$ ���' "��0&���� �������� � � � �&����� #�� ��� ������� �������$ 6 ��� ������ �� ������������� �������� � ��������������� � ��� �$ �������� ����� 9**<$ % ������$

<$ �$ ,��0� �$ ,��� �� ($ � ���� �� �$ (���"�'� ���� �$ ������������� ���������������� �� ������� ����� ������ ��� ����� :� ������ ������ :������������+@@.$ �6��$

=$ ($ � ���� �$ 5����� �$ (���"�'� �$ ��� ��� �� �$ ������ ���� �$ ��������� �������������� �� ��������� � ��� ���������� �� !�����"������ ��" H �'�9**9$ �������$

1$ ($ � ��� �� �$ (���"�'� ���� �$ �������� ��������������� �����#� ���������������� ��� ����� ������ :� ������ ������ :������������ +@@+$ �6��$

.$ �$ (���"�'$ $%�������� ����%���%� ���� ���� ��� �� ������ �� ���������� ��������������$ ������ +@ � 5� ���� � ������� ����������$ �6��� :�������&����� 9***$

4$ �$ (���"�' �� �$ 7���$ ; ��� ��������� � #�� ��� ������� �� ������' ���0 ����$ 6 &'(� ���� +9.F+<1� +@@+$

?$ ,$ ��C�'$ � ��� ������� � � ������ ������$ )����� �� !�������� *����� �� +<I<++F<9@� +@??$

@$ $ ������$ � �� ��� �:&� ������� � ������ #�� ��� ���������� �������2 �������� $ :������� ��I %�� �� 6������ � ����� ���� ��������� � ������� �� ��D�������� � +@@<$

+*$ :$ B� ����� �� �� A$ ����$ ��������� ���������� �����# ��� ����� �����$7������ +@??$

++$ �$ ���� � ��� �$ 7 ������� �$ 7 ������� �$ %������ �� A$ %�����$ A3���� ����� ��������� �� ��� � ������ ������$ + ���� ��#� 9+I+*?4F@9� +@1<$

+9$ �$ �����$ � ������ ���' "��0 ���� � � ����������� #�� ��� �������$6 $ ��'���� ���� �� �,-!*��.)/01222 �������� � �� � �����3 �������������� <9*F<9@$ �� ��' �������� � %��� � ��� ,��������� �� ��'��� ���������9***$

+<$ �$ �����$ ������� #�� ��� �� ��������� ������$ ���) + !���+<E<GI..*F.4=� 9**9$

+=$ �$ �����$ A������� �����3�� � � ����� #�� ���$ 6 &4(� ���� 9=4F91<�9**9$

+1$ �$ �����$ ;������ ���������� � #�� ��� ������� �� �������� ���� � ��� ���� � ������� �� �����$ )�������� �� ������������ 9**<$ % ������$

+.$ �$ ����� �� :$ ( �������$ :� ���� � � ��������� ������ � ��� �������D�������� $ 6 $ �����J ���� ���� �� ��-� 1221 � ��� ���� ���������� ���������� ��� ����� ������ � ���� 99.= � ,5��$ �������� ,����� 9**+$

+4$ :$�$ 7 �$ ���� 2����� 7���� ����� ��������� ���� �� �� ��D����������$ +������� �� ������������� ��#� � =<I<14F<49� +@?+$

+?$ �$ %��C ������ �$ 5 ���� #$ :����� �� #$ 7���$ :��� ����� ��� � � �����2�������� ���� � � � ������ #�� ��� ��� ��� ����� ��D�������� $ 6��� ������ �� ��� ���� 1222 �������� �� � ���� 9<<* � �������� ,5��� ����+*44F+*?.� 9**9$

+. �"� ����� �� :���� ( �������

��� ��������� ���������� ��� ���� ������� ����� ��� ������ !" #����$! �� %�����!� !" &�$!���'���!��( )��!���!�� �*&�$!���* ����� #!������'!+ ,-��-��.-/'0-�1 2��� ��� �+3+ 4���������!" /���$�+ ��� �+3+ 0! ������� ������� "!� ����("5��� !����� �����$ !� ��� ����("5 � ����-��5 �!��6-�(��� �5 ���� !���(� 2!�(�2��� (������ �� ���� ��-���(� �! ����!����5 ������� ���� ��� � 2!�7�5 ���-������� �!���� �! ��� ���(��5 ��� ���"!�� ���(��(���� ����(�� ���(��(�5 �� !� !� ����(" !" ��� 0! -�������+