Funciones Matemáticas

0

x

y

x1 x2

)( 1xf

)( 2xf

x3

0

x

y

x1 x2

)( 1xf

)( 2xf

0

x

y

x1 x2

)( 1xf

)( 2xf

x4x3 0

x

y

x1 x2

)( 1xf

)( 2xf

Funciones

1 Funciones Monótonas

Sea f una función real definida sobre un subconjunto A de los números reales:

1. f se dice creciente si ∀ x1 , x2 ∈ A , x1<x2⇒ f ( x1 )≤ f ( x2)

2. f se dice estrictamente creciente si ∀ x1 , x2 ∈ A , x1<x2⇒ f ( x1 )< f ( x2 )

3. f se dice decreciente si: ∀ x1 , x2 ∈ A , x1<x2⇒ f ( x1 )≥ f ( x2 )

4. f se dice estrictamente decreciente si ∀ x1 , x2 ∈ A , x1<x2⇒ f ( x1 )> f ( x2 )

Una función que es creciente o decreciente en A se denomina función monótona en A.

Sea f una función real definida sobre A⊂R

; f se dice monótona a trozos si existen subcon-juntos de A en cada uno de los cuales f es monótona.

Función creciente Función estrictamente creciente

Función decreciente Función estrictamente decreciente

María Gabriela Ruiz HinojosaIngeniería Química

0

x

y

a b

c d

0

x

y

y = kk

P(x,y)

r

O

y

x

y

x

Función monótona a trozos Función Constante

En el intervalo [a,b] f es estrictamente creciente En el intervalo ]b,c] f es estrictamente decreciente En el intervalo ]c,d] f es estrictamente creciente

2 Funciones Trigonométricos2.1 Círculo Trigonométrico

r=1

sinα= yr

= y1

⇒ sinα= y

cos α=xr

=x1

⇒ cosα=x

sin 0 ° 0 cos 0° 1sin 90° 1 cos 90° 0sin 180

° 0cos 180

° -1

sin 270° -1

cos 270° 0

2.2 Gráficas De Funciones

sen :¿

Función impar: sin(−x )=−sin( x )

Periodicidad: 2π⇒ sin( x+2πk )=sin( x ) k∈Ζ


sin (x)

No es lo mismo la monotonía y el signo de la función.

cos :¿

Función par: cos ( x )=cos (−x )

Periodicidad: 2π⇒ cos( x+2πk )=cos ( x ) k∈Ζ

cos (x)

tan: R−{π2 +kπ , kϵZ}→ R

x→ ¿ ¿

Periodicidad: π⇒ tan (x+πk )=tan (x ) k∈Ζ

tan crece si

x∈ ]− π2

+πk , π2

+πk [ , k∈Z

tan (x)


cotan : R−{kπ , kϵZ }→ Rx→ ¿ ¿

Periodicidad: π⇒ cot ( x+πk )=cot ( x ) k∈Ζ

cot (x)

sec : R−{π2 +kπ , kϵZ}→ ¿

Función par: sec ( x )=sec(−x )

Periodicidad: 2π ⇒ sec( x+2πk )=sec( x ) k∈Ζ

sec (x)


csc : R− {kπ , kϵZ }→ ¿

Función impar: csc (−x )=−csc ( x )

Periodicidad: 2π⇒ csc( x+2πk )=csc ( x ) k∈Ζ

csc (x)

2.3 Función Inversa

Primero es importante aclarar que:

1sin x

≠sin−1 x

Para que exista una función inversa es necesario que la función sea biyectiva. Para esto, redefini-mos el dominio.

2.3.1 Arco Seno

sin:[−π2, π2 ]→ [−1,1 ]

x→ y=sin( x )

sin−1 : ⌊−1,1 ⌋→[−π2, π2 ]

x→ y=sin−1 ( x )


sin [sin−1 ( x )]=x , CVA :−1≤x≤1

sin−1 [sin ( x )]=x , CVA : x∈[−π2, π2 ]

2.3.2 Arco Coseno

cos: [0 , π ] → [−1,1 ]x→ y=cos( x )

cos−1 : [−1,1 ]→ [0 , π ]x→ y=cos−1( x )

cos [ cos−1 (x )]=x , CVA :−1≤x≤1

cos−1 [cos( x ) ]=x , CVA : x∈ [0 , π ]

2.3.3 Arco Tangente

tan:]−π2, π2

[→R

x→ y=tan ( x )

tan−1 :R→]−π2, π2

[

x→ y= tan−1 (x )


Es un intervalo abierto porque la tangente no está definida

para

π2

+kπ

Para que exista la inversa de una fun-ción, ésta debe ser biyectiva. Para esto

REDEFINIMOS el dominio.

tan−1 [ tan( x )]=x , CVA : ]−π2,− π2

[

tan [ tan−1(x )]=x , CVA :R

2.3.4 Arco Cotangente

cot: ]0 , π [→Rx→ y=cot ( x )

cot−1 :R→]0 , π [x→ y=cot−1( x )

2.3.5 Arco Secante

sec:[ 0 , π2

[∪]π2, π ]→R−]−1,1[

x→ y=sec (x )

sec−1 :R−]−1,1[→[0 , π2

[∪] π2, π ]

x→ y=sec−1 ( x )


La cotangente no está definida

para valores kπ

2.3.6 Arco Cosecante

csc:[−π2,0[∪]0 , π

2]→R−]−1,1[

x→ y=csc( x )

csc−1 :R−]−1,1[→[−π2,0 [∪]0 , π

2]

x→ y=csc−1 ( x )


2.3.7 Fórmulas

sin(cos−1 x )=√1−x2 ; CVA : x∈ [−1,1 ]cos (sin−1 x )=√1−x2 ; CVA : x∈ [−1,1 ]

sin( tan−1 x )=x√1+x2

; CVA : x∈R

cot( tan−1 x )=1x; CVA : x≠0

tan(cot−1 x )=1x; CVA : x≠0

cos ( tan−1 x )=1√1+ x2

; CVA : x∈R

ctg−1 x= π2

−tg−1 x

sec−1 x=cos−1 1x; CVA :−1≤1

x≤1

csc−1 x=sin−1 1x; CVA :−1≤1

x≤1

2.4 Identidades Trigonométricas

Las identidades más importantes son:

cos (a±b)=cosacos b∓sina sinb

sin( a±b )=sin acosb∓sinb cosa

En cuanto a la identidad pitagórica sin2 a+cos2a=1 , tener muy presente que:

|sin a|=√1−cos2a⇒ sina=±√1−cos2 a

|cos a|=√1−sin2a⇒ cosa=±√1−sin2 aPoner atención, sobre todo cuanto tenemos identidades cuadradas. Para poder escoger el signo, veo en que cuadrante se ubica el ángulo.

Por ejemplo sin α2

=±√1−cos2 α2 . En este caso, no escogemos el signo de acuerdo al cuadran-

te al que pertenece , sino al cuadrante al que pertenece

α2 .


Recordar que las fun-ciones deben ser biyec-tivas, por lo que el do-

minio debe estar redefi-nido.

π≤α≤32π

π2

≤α2

≤34π

sin 2 x= 2 tan x

1+ tan2 x

cos2 x=1−tan

2 x1+tan2x

2.5 Solución De Ecuaciones Trigonométricas

A las ecuaciones trigonométricas lo primero es transformarlas. Los pasos a seguir para resolver una ecuación trigonométrica es:

1. Determinar el CVA.2. Transformar las ecuaciones o inecuaciones dadas. La prioridad es buscar un solo tipo de

función o igualar o desigualar la ecuación o inecuación a cero respectivamente y factorar.

Cuando tenemos un solo tipo de función podemos hacer un cambio de variable.

3. Aplicamos las propiedades de la igualdad o de la desigualdad.4. Llegamos a ecuaciones básicas para despejar la variable.

Es importante tener en cuenta la gráfica de la función trigonométrica al despejar la variable. Debemos tener en cuenta que una función trigonométrica NO ES INYECTIVA, y por una misma función va a tener el mismo valor para distintos ángulos, por lo tanto las soluciones a las ecua-ciones e inecuaciones trigonométricas van a ser infinitas. No confiarnos de la respuesta de la calculadora, pues ésta nos da uno de infinitos valores.

Las funciones trigonométricas no son inyectivas, y por lo tanto hay infinitas soluciones. Éstas dependen de la paridad y la periodicidad de la función.


No olvidar el CVA.

2

2

21

6

65

613

6

17

MASSIN

TAN COS

Al trazar por el valor de la función una paralela al eje x podemos hallar algunas de las respuestas cuya función trigonométrica satisface dicho valor de la función. Por ejemplo, en la gráfica de la función seno notamos que para cierto valor no solo hay puntos de corte en las subidas sino tam-bién en las bajadas.

Lo que hacemos para poder hallar una solución completa a una ecuación trigonométrica es:

a. Solución 1(α 1 ): La que viene de la calculadora.

b. Solución 2(α 2 ): En el caso de la función seno viene dada por el ángulo suplementario. En el caso de la función coseno, viene dada por el negativo de la solución 1. En el caso de la tangente, es igual a la solución 1.

La forma más segura de obtener éstos ángulos que corresponden a las soluciones 1 y 2 es ubicar-nos en el plano cartesiano y buscar los DOS ángulos que cumplen con el valor de la función en número y signo.

Es importante tomar en cuenta las indicaciones dadas en la solución dos.

Luego, para la solución total (ST) tomamos en cuenta la periodicidad y expresamos las solucio-nes 1 y 2 de la forma:

ST:

x1=α1+kTx2=α2+kT , k∈Z donde T es el período de la función trigonométrica, cuyo valor es:

T=2π para el seno, el coseno, la secante y la cosecante.

T=π para la tangente y la cotangente.


2.6 Ecuaciones Básicas de Funciones Trigonométricas con Ángulos Com-puestos

Cuando tenemos una función trigonométrica básica con ángulos compuestos no es recomenda-ble descomponer al ángulo, pues para despejar una ecuación debemos llegar a una mínima ex-presión, y al descomponer al ángulo, lo que hacemos es complicar la función.

Lo que hacemos es despejar normalmente el ángulo compuesto, y LUEGO DE AUMENTAR EL PERÍODO despejamos a la variable. Pero hay que resaltar que despejamos la variable luego de aumentar el período, es decir, en la solución total, no antes, en las soluciones 1 o 2.

sin 5 x=12

a.5 x=π

6

b.5 x=5

6π

ST:

5 x1=π6

+2 πk

5 x2=56π+2 πk

Sólo después de aumentar el período despejamos x.

ST:

x1=π30

+25πk

x2=16π+25πk

Es importante resaltar que los ángulos deben estar en radianes, pues es más lógico dividir núme-ros para números que ángulos para números.

Cuando encuentre la solución de la función trigonométrica coseno, en la solución total no olvidarme del ±.

x1=±α1+2πk , k∈Z

sin x≠√1−cos2 x ,sin x=±√1−cos2 x

sin x−cos x+2=0(sin x+2)2=(cos x )2

Cuando elevamos ambos lados de una desigualdad al cuadrado, lo puedo hacer sin problemas (al contrario de las desigualdades). Sin embargo, siempre que levamos al cuadrado, aunque sea en


NO!!!

a.5 x=π

6⇒ x= π

30

b.5 x=5

6π⇒ x=π

6

ST:

x=π30

+2πk

x=π6

+2 πk

En las funciones de ángulos compuestos lo que se altera

es el período.

21

6

65

2

23

igualdades, estamos introduciendo soluciones que al final no satisfacen la ecuación. Para evitar este problema, las soluciones que obtengamos al final las comprobamos en la ecuación, y así eliminamos las que no son correctas.

2.7 Resolución De Desigualdades

La única forma de resolver desigualdades es la forma gráfica. No nos podemos confiar de la cal-culadora. La calculadora únicamente trabaja en una zona donde la función trigonométrica es biyectiva.

En la función seno el intervalo de biyectividad es [−π2, π2 ]

, en el coseno es [0 , π ] , en la tangente

es ]−π2, π2

[, en la cotangente ]0 , π [ , en la secante

[ 0 , π2

[∪] π2, π ]

y en la cosecante

[−π2,0[∪]0 , π

2].

Para resolver una desigualdad lo que hacemos es ir al gráfico y seleccionar un intervalo donde se complete una vuelta.

2.7.1 Función Seno


21

3

3

21

2

23

2.7.2 Función Coseno

Después de esta paso previo, entonces:

1. En el gráfico, en un período completo señalamos la parte de la curva que cumple con la

función. Por ejemplo, en la desigualdad sin x≤1

2 :

En cuanto a la elección del período es preferible tomarlo [−π2, 32π ]

.

2. Buscamos los puntos de intersección (es decir, las soluciones 1 y 2 de la resolución de igualdades trigonométricas).

x1=π6

⇒Calculadora

x2=5 π6

⇒Suplementario (seno) o negativo (coseno)


Recordar que esta no es la solución

Recordar que −1≤sin x≤1 , por lo

tanto se sobreentiende

que−1≤sin x≤ 1

2

NO!!!

sin x≤12

x≤π6

x≤56π

21

6

65

2

23

21

b ca d

Intervalo que tomo

3. Leer los intervalos para x.

x∈[−π2, π6 ]∪[ 56 π , 32 π ]

4. Completemos para todos los reales con el período.

∀ x∈R : x∈[−π2

+2πk , π6

+2πk ]∪[ 56 π+2 πk , 32π+2 πk ] , k∈Z

2.7.2.1 Cosas que debo saber…

sin2 x≤1

2⇒

A todo cuadrado puedo sacarle la raíz cuadrada sin problemas.

− √22

≤sin x≤ √22

⇒Cuando tengamos valores negativos es mejor tomar el período de

[−π2, 32π ]

a) Lo sacamos directamente de la calculadora con el menor valor de la desigualdad.


21

3

3

b) La sacamos de la calculadora con el mayor valor de la desigualdad.c) Ángulo suplementario.d) Simetría.

Existen algunas desigualdades básicas:

sin x=0 x=0+2πk

x=π+2πk

sin x<0 x∈ ]π+2πk ,2π+2πk [

sin x>0 x∈ ]0+2πk , π+2πk [

sin x=1x=π2

+2 πk

sin x>1 φ

sin x≥1x=π2

+2 πk

sin x<1x∈ R−{π2 +2πk }

sin x≤1 x∈ R

sin x=−1x= 3π

2+2πk

sin x≥−1 ∀ x∈R

sin x>−1∀ x∈R−{3π2 +2 πk }

sin x<−1 φ

sin x≤−1x= 3π

2+2πk

Cuando tenemos una función trigonométrica para ángulos compuestos aplico un cambio de va-riable y al ÚLTIMO, ÚLTIMO DE LOS ÚLTIMOS, después de poner el período, despejamos la va-

riable.

En la función trigonométrica coseno, para aprovechar la paridad y las respuestas directas en cuanto a nú-

meros negativos tomamos el período de [−π2, π2 ]

.

Es importante poner atención en la desigualdad, para en la respuesta final poner intervalos abiertos o ce-rrados según corresponda. En las funciones seno y coseno todo depende de la desigualdad, pero en las

demás funciones hay tener muy en cuenta EL CVA.


e⃗quivale a x=πk

No!!!

3π2

2.8 Despeje De Funciones Trigonométricas

Lo primero es el CVA. Comenzamos a despejar. NO poner la periodicidad al final del despeje de la variable simple sino la debemos poner al

final del despeje de la variable compuesta, es decir, antes de despejar la variable simple. Siempre intersecar la solución obtenida y el CVA.

En este de funciones no sólo se trabaja con el dominio, sino también hay que tomar en cuenta el recorrido.

Dominio Recorrido

Seno x∈ R −1≤sin x≤1Coseno x∈ R −1≤cos x≤1

Tangente x∈ R−{π2 +πk } tan x∈R

Cotangente x∈ R− {πk } cot x∈ R

Secante x∈ R−{π2 +πk } sec x∈R−]−1,1[

Cosecante x∈ R− {πk } csc x∈R−]−1,1[x∈ R x2≥0x∈ R |x|≥0x∈ R ax>0

x∈ R+∪{0 } √ x≥0x∈ R+ log a x∈R

−1≤x≤1 0≤cos−1x≤π

−1≤x≤1 −π2

≤sin−1 x≤ π2

x∈ R −π2

< tan−1 x< π2

x∈ R 0<cot−1 x<π

x∈ R−]−1,1[ 0≤sec−1 x< π2

∨ π2

<sec−1 x≤π

x∈ R−]−1,1[ − π2

≤csc−1 x<0 ∨ 0<csc−1 x≤ π2

Para tratar de simplificar las desigualdad encontrando verdaderos (R ) o falsos (φ ) es impor-tante conocer el recorrido de la función.

La función trigonométrica es una función especial, pues está acotada.

2.8.1 Nota

Muchas veces, para facilitar la resolución de una desigualdad puedo valerme de lo siguiente:


Recordar que las funciones inversas

sólo existen si la función es biyecti-

va.

Notar que no es +2 πk , sino +πk . No confundir con

periodicidad

|sin x−2|<3

Conocemos el procedimiento de dividir en dos intervalos y resolver cada uno, pero también po-demos:

−1≤sin x≤1⇒ Una verdad absoluta

−3≤sin x−2≤−1

Así conocemos el signo del valor absoluto, pues el signo de la función va a ser siempre negativo.

Es decir, podemos analizar el signo con el rango de la función.

Cuando, después de factorar, llegamos a una expresión así: sin x>sin xcos x , no simplificar sin x pues existe la posibilidad de que sea diferente de cero, y no sabemos su signo tampoco.

Cuando llega una expresión así:sin x tan 2x>0 tengo que resolver dos sistemas:

osin x>0

i∧ tan 2x>0

ii

osin x<0

iii∨ tan 2x<0

iv

La solución final será:[(S i∩Sii )∪(S iii∩Siv )]∩CVA

2.8.2 En resumen

La prioridad es:

Unificar funciones Disminuir funciones Factorar igualando o desigualando a cero

En el despeje de las funciones inversas, considerar la zona de inyectividad. Las respuestas no se ponen con períodos.

Nunca olvidarme del CVA.


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