RELACIONES Y FUNCIONES

RELACIONES Y FUNCIONES

Variables

Independiente: Aquella que puede tomar cualquier valor. Dependiente: Depende del valor que tome la variable independiente.

Pares ordenados

Se representan (a,b) donde: a: Es el valor de la variable independiente. b: Es el valor de la variable dependiente.

Dominio

Es el conjunto de valores que una variable independiente puede tomar.

Contradominio

También se conoce como imagen, recorrido o rango. Es el conjunto de valores que una variable dependiente puede tomar.

Relaciones y funciones.

Las expresiones algebraicas llamadas ecuaciones o igualdades, pueden clasificarse como relaciones o como funciones, dependiendo del tipo de correspondencia que exista entre los elementos de su dominio y contradominio.

Relación

Es cualquier conjunto de pares ordenados. En una relación, a cada elemento del dominio le corresponde más de un elemento del

recorrido o contradominio. Puede identificarse gráficamente, porque al trazar una línea vertical sobre la grafica de la

relación, la corta en más de un punto.

Función

En una función, a cada elemento del dominio le corresponde solo un elemento del rango o

contradominio. Puede identificarse gráficamente, porque al trazar una línea vertical sobre la grafica de una

función, la corta solo en un punto.

Funciones inversas

Al intercambiar el dominio y el contradominio de cualquier relación para formar una nueva, se obtiene la llamada función inversa. Si ambas relaciones son funciones, reciben el nombre de funciones inversas.

La función inversa se representa por el símbolo 1f .

Dos relaciones son funciones inversas si se cumplen las condiciones:

xff )x( 1

y xff )x( 1

Para hallar la inversa de una función debe observarse el siguiente procedimiento:

1) En la relación dada, se sustituye el símbolo )x(f por y .

2) En la expresión obtenida en 1), se despeja la variable x .

3) En la expresión obtenida en 2), se intercambian las x y las y .

4) En la expresión obtenida en 3), se sustituye la y por el símbolo 1

)x(f .

5) Se hace la verificación señalada antes de 1).

1

Si xx

f )x( 3

2

y t

tg )t(

3

42

, obtenga:

1) )3()7( gf

2) 12

3

)(

)(

g

f

2

Si )x()x()x( gpq , siendo 3

72

x

p )x( y 2

7

xg )x( , obtenga )(q 2

.

3

Si 2

3

xh )x( y 12

1 )x(q )x( , determine )x(hq

4

Si y

)y( eh y 42 xq )x( , encuentre )y(hq

5

Si 633 xxh )x( y

y

yg )y(

1, determine )(hg 2

6

Si 3

8

xf )x( ,

2xg )x( y 103 xq )x( , halle )()( gfq 22

7

Si 32 tg )t( y

1 tq )t( , determine )t(gq

8

Si atf )t( 3 y

3 xg )x( , obtenga )t(fg

9

Si at

)t( ef , tb

)t( eh2

y 2b

)y( yg , encuentre

)t(

)t(

h

fg

10

Si xlnh )x(5

4 y

x

)x( eg 2 , obtenga )(gh 10

11

Sí 1x

x4f

2)x(

, 3xg )x( y 2

)x( )2x(h , obtener:

a) )3(

)6(

)5(f

g

h

b) )6()1()2( hgf

c) )1(h fg)4(

d)

2

33)2( hgf

11

Para cada una de las siguientes expresiones, determine si es una relación o una función. En cada caso exprese el dominio y el contradominio:

1) xy 2

2) xy 3

3) xy 4

4) 12 yx

5) 12 yx

6) 122 yx

7) 42 xy

8) 1xy

9) 2

42

x

xy

10) 6

12

x

y

11) 2

12

yy

x

12) xy

2

12

13) x

xy

42

14) xy x 2

15) 4

162

x

xy

16) 4232 yx

17) 369422 yx

18) 1622 yx

19) 273322 yx

20) 14416922 yx

12

Determine la función inversa para cada una de las siguientes funciones:

1) 5x2f )x(

2) 1x4

x3f )x(

3) 2x

3x2f )x(

4) 5x22f )x(

5)

1x

6f )x(

6) 3

)x( )x5(f

7) 332xx12f 2

)x(

8) 821xx102

3f 2

)x(

LIMITES

Cuando la variable “x” tiende a tomar un valor, la función a la que define, también, como consecuencia tiende a tomar un valor como límite. En ocasiones, dicho límite de la función es una expresión indeterminada que carece de sentido, y es necesario eliminar la indeterminación haciendo uso de algunos procesos bien definidos.

Si la indeterminación es del tipo: 0/0, ésta regularmente puede evitarse factorizando el numerador, el denominador o ambos, simplificando posteriormente la fracción y finalmente sustituyendo en el cociente obtenido el valor de la variable.

Sí la indeterminación es del tipo: ∞/∞, ésta regularmente puede evitarse dividiendo tanto el numerador como el denominador de la fracción, entre la variable elevada al máximo exponente que tenga en la función, simplificando posteriormente la fracción y finalmente sustituyendo en el cociente obtenido el valor de la variable.

Muchas veces, cuando el límite de la variable tiende a cualquier número real, puede obtenerse el límite de la función por una simple transformación algebraica diferente a las señaladas en los dos puntos anteriores.

Evaluar los siguientes límites:

1)

10x3x

8x2x2

2

2xlim

2)

5xx2

8x5x32

2

xlim

3)

1x

1x4x7x84

23

xlim

4)

7x2

3x5x 2

2xlim

5)

25x

30xx2

2

5xlim

6)

5x2

1x6x2

xlim

7)

3

a47lim

2

2x

8)

27x3

54x22

3

3xlim

9)

)x4x23(2

)9x8x3(52

2

xlim

10)

3

2

0x x43x27

1x4x25lim

11)

9x

18x6lim

9x

12)

4x5

x4x1662

24

xlim

13)

5b

1alim

0x

14)

1x

1xlim

1x

15)

6x

x2x34

23

1xlim

16)

81x

27x4

3

3xlim

17)

2x

4

2x

x2

2xlim

18)

1x

)1x(4

4

1xlim

19)

5x

25x4 2

5xlim

20)

6x

)6/1()x/1(lim

6x

21)

1m2

1m33

2

1xlim

22) 3

4

23

27x x5

x2lim

23)

3

3

2x )2x(

8xlim

24)

5 2

3x 9x

3xlim

25)

24x5x

9x6x3

2

3xlim

26)

3

2

x x21x65

2x7x94lim

27)

)5/1()x/1(

5xlim

5x

28)

3x

9

3x

x2

3xlim

29)

15log

7 2

6xlim

30)

4x

8xlim

2

3

2x

31)

5x

25xlim25x

32)

1x

1x3

4

1xlim

33)

42

234

x x6x5x9

x7x2x3lim

34)

2345

432

x xxxx

xxxxlim

35)

22

32

x 2x

3xl im

36) 8x

2limx

DERIVACIÓN (1)

Función

Derivada

1

Cy

0dx

dy

2

nxy

1nnxdx

dy

3

CVy

dx

dVC

dx

dy

4

VUy

dx

dV

dx

dU

dx

dy

Derive cada una de las siguientes funciones:

1

3

74 )x(y

9

33 8126 )x(xy

2

73

3 8xy

10

1

2223

x

xxxy

3

2586

5 64

3

)x(xy

11

25

1427241023

x

xxxy

4

234 )x(xy

12

4

345 )x(xy

5

79

6

x8

x3y

13

62

61962

23

xx

xxxy

6

)x)(x(y 354 2

14

)x)(x)(x(xy 185223622

7

33 3x4xy

15

24 2x5x4

3y

8

2)3x(x2y

16

3

3

x)1x3(2y

DERIVACIÓN (2)

Función

Derivada

5

nVy

dx

dVnV

dx

dy n 1

6

UVy

dx

dUV

dx

dVU

dx

dy

7

V

Uy

2V

dx

dVU

dx

dUV

dx

dy


1

124

97 )x(y

8

63

85

127

23

)x(x

)x(y

2

14

6

2

xy

9

2

2

42

583

xx

xxy

3

1834

53 )x(xy

10

74

6

27

35

)x(

xy

4

1512

2773 )x()x(y

11

42

1

98

x

xy

5

38512754 x)x(y

12

2x3x9y 46

6

x

xy

6

14

13

3

2

x8

x7x4y

7

252

133

xx

xy

14

3

74

16

839

x

)x(xy

MAR

Resaltado

a traves de la siguiente derivada: #6. y= UV dy/dx=u(dv/dx)+v(du/dx)

MAR

Resaltado

DERIVACIÓN (3)

Función

Derivada

8

Ulny

dx

dU

Udx

dy 1

9

Ulogy a

dx

dU

U

elog

dx

dy a

10

uey

dx

due

dx

dy u

11

uay

dx

dualna

dx

dy u

12

vuy

dx

dvulnu

dx

duvu

dx

dy vv 1


1

x

xlny

61

61

8

2

79 xay

2

xexy 263

9

xxy

34

3

xxy 3

4

10

18 xey

4

5 46xlogy

11

62554 xey x

5

Xexy

3

12

2

65 xlnxy

6

ex xey

13

2

4

x6

x3

e5

ay

7

1

13

3

x

x

e

ey

14

x22 1x3y

DERIVACIÓN (4)

Función

Derivada

13

senUy

dx

dUUcos

dx

dy

14

Ucosy

dx

dUsenU

dx

dy

15

Utany

dx

dUUsec

dx

dy 2

16

Ucoty

dx

dUUcsc

dx

dy 2

17

Usecy

dx

dUUtanUsec

dx

dy

18

Ucscy

dx

dUUcotUcsc

dx

dy


1

24

36 )x(seny

8

53447 xcosxtany

2

1

12

2

x

xcosy

9

senx

senxlny

1

1

3

254 xtany

10

236xsecey x

4

)e(ctgy x1

4

5

62

98 xcscxsecy

6

3 361 )xtan(y

7

xcosey 8

FORMULARIO BASICO DE DERIVACIÓN

Función

Derivada

1

Cy 0dx

dy

2

nxy

1 nnxdx

dy

3

CVy

dx

dVC

dx

dy

4

VUy dx

dV

dx

dU

dx

dy

5

nVy

dx

dVnV

dx

dy n 1

6

UVy

dx

dUV

dx

dVU

dx

dy

7

V

Uy

2V

dx

dVU

dx

dUV

dx

dy

8

Ulny

dx

dU

Udx

dy 1

9

Ulogy a

dx

dU

U

elog

dx

dy a

10

uey dx

due

dx

dy u

11

uay

dx

dualna

dx

dy u

12

vuy

dx

dvulnu

dx

duvu

dx

dy vv 1

13

senUy dx

dUUcos

dx

dy

14

Ucosy dx

dUsenU

dx

dy

15

Utany dx

dUUsec

dx

dy 2

16

Ucoty dx

dUUcsc

dx

dy 2

17

Usecy dx

dUUtanUsec

dx

dy

18

Ucscy dx

dUUcotUcsc

dx

dy

PRINCIPALES IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

1

csc

1sen

2

sec

1cos

3

cot

1tan

4

cos

sentan

5

1cossen 22

6

1cotcsc 22

7

1tansec 22

8

sen

coscot

MAXIMOS Y MINIMOS (5)

La tangente a la grafica de una función en un punto máximo o mínimo es horizontal, y por lo tanto, la derivada de la función en ese punto tiene un valor de cero. En base a ello, el procedimiento general para calcular los máximos y o mínimos de una función (si es que ellos existen) es el siguiente:

1) Se deriva la función en estudio. 2) Se iguala a cero la derivada obtenida en el punto 1) y se despejan los valores de la variable “x” llamados

valores críticos. 3) Para saber si en un valor critico hay un máximo o un mínimo, se puede usar cualquiera de los siguientes

criterios:

Criterio de la Primera Derivada. Se sustituye en la ecuación de la derivada un valor de “x” primero un poco menor al crítico, y luego uno un poco mayor. Si el signo de la derivada cambia de positivo a negativo, en ese valor crítico hay un máximo; si cambia de negativo a positivo entonces hay un mínimo en ese valor crítico.

Criterio de la Segunda Derivada. Se halla la segunda derivada de la función, y en la función obtenida se sustituye el valor critico; si la segunda derivada es positiva, indica que hay un mínimo en ese valor critico; pero si es negativa, entonces hay un máximo para ese valor critico. El punto de inflexión indica donde cambia el sentido de la concavidad de la curva, y se obtiene igualando la segunda derivada a cero y despejando el valor de “x”

4) Se sustituye en la función original el valor crítico, para calcular la magnitud del máximo o mínimo.

Obtenga los máximos y/o mínimos (si es que estos existen) de cada una de las siguientes funciones:

1

xxxy 9623

2

xxxy 108081223

3

1824 xxy

4

221 xy

5

42

28 xxy

6

43

34 xxy

7

64334 xxy

8

10434 xxy

9

15335 xxy

10

510635 xxy

11

72

142

x

y

12

2

42

x

xy

13

x5x3x5x3y 234

14

x20x8x5x2y 234

15

x2xx6y 23

16

x2xx2xy 234

17

x64x20xy 35

18

4x5xy 24

19

20

CALCULO INTEGRAL (6)

La operación matemática denominada integral, puede concebirse desde dos puntos de vista diferentes pero complementarios entre sí:

1. Como la operación inversa de la derivación; es decir, si tenemos una función Y y la derivamos, obtendremos la función Y’. El procedimiento matemático para que a partir de la función Y’ regresemos a Y, recibe el nombre de Integración Indefinida. Se le da dicho nombre porque durante el proceso de derivación “desaparecen” los términos constantes, y por lo tanto durante la Integración deberán “aparecer” términos constantes, los cuales son desconocidos. En este tipo de integración, el resultado es una función.

2. Como un procedimiento para calcular en forma exacta el área de una superficie limitada por líneas curvas, lo cual se logra dividiendo toda la superficie en un número infinito de franjas infinitesimalmente delgadas, de tal manera que la suma de las superficies de todas ellas sea igual al área total de la superficie en cuestión. A este procedimiento se le conoce como Integración Definida, consiste en la suma de un número infinito de elementos infinitamente pequeños, y el resultado es un número real.

LA INTEGRAL INDEFINIDA

Sea la siguiente expresión:

CFdxf )x()x(

En ella:

Representa el signo de integración y nos da la orden de integrar.

)x(f Es la función a integrar.

dx Es la diferencial que nos indica cual de las literales es la variable independiente (En éste caso ex “x”).

)x(F Es la función ya integrada.

C Es la constante de integración. Las formulas de integración se obtienen de la inversión de las correspondientes de derivación, y las básicas son las siguientes:

1) cXdX

2) c1n

XdxX

1nn

3) VdccdV

4) dVdUdVdU

Donde: dX = Diferencial de “X”. Indica cual es la variable del caso. c = Constante de integración. n = Numero real. dV = Diferencial de “V”, siendo “V” una función derivable de “X”. dU = Diferencial de “U”, siendo “U” una función derivable de “X”.

1

dx)16x8x10x3x5( 234

2

dx)9x4( 2

3

dx)2x9( 3

4

dx)1x3x2( 22

5

dx)7x2(x 3

6

dx)9x4)(2x3(

7

dx)x91)(2x5(x3

8

dx)7x6()x2)(1x5(

9

dx)8x9x5(x 2

10

dx)9x4(x3

11

dxx7

x45 3

6

12

dx

x5

xx6

2

9

3 47

13

dx

x9

xx2

5

2

57

14

dxx

6xx4 2

15

dx5x4

30x40x9x32x122

234

16

dx8x4

48x96x60x12 23

Resuelva cada uno de los siguientes problemas:

1

Si 3x4dx

dy , y se sabe que cuando “X” vale 5 entonces “Y” vale 28, calcule el valor de “Y” cuando “X”

valga 3.

2

Se sabe qué 8x5x3dx

dy 2 , y que Y = 45 cuando X = 3. En base a dicha información, ¿Cuánto vale

“Y” cuando “X” vale 4?

3

Si 9x6x3xdx

dy 23 , y se sabe que cuando “X” vale 2 entonces “Y” vale 36, calcule el valor de “Y”

cuando “X” valga 5.

4

Si 4x3dx

dy , y se sabe que cuando “X” vale 4 entonces “Y” vale 10, calcule el valor de “Y” cuando

“X” valga 9.


INTEGRACIÓN COMPLETANDO LA DIFERENCIAL

5) cxlnx

dx

6) culnu

du , donde u es una función derivable de x.

1

dx1x

82x

2

dxx

4

x

36x8

2

3

dx1x

42

4

dxx

1

x

1xxx

2

23

5

dx9x4x10

2

6

dx3x48

7

dx1x9x3832

8

dx6x75 3

5

9

2x9

dx

10

1x

xdx82

11

5x6

xdx32

12

1x8x

dx4x2

13

8x

xdx52

14

82 9x4

xdx6

15

dx1x2

5xx10 2

16

dx8x

12x47x6 2

17

dx3x2

20x2x8 2

18

dx6x5

24x2x15 2

19

dx1x4x9932

20

4 4

3

5x6

dxx5


INTEGRACIÓN DE FUNCIONES EXPONENCIALES y TRIGONOMÉTRICAS

7) cedue uu

8) caln

adua

uu

9) cucosdusenu

10) csenuduucos

11) c)ul n(secduutan

12) c)senul n(duucot

13) c)utanul n(secduusec

14) c)ucotul n(cscduucsc

15) ccutanduusec2

16) cucotuducsc2

17) cusecduutanusec

18) cucscduucotucsc

Integrar cada una de las siguientes funciones:

1) dxa5 x8

2) dxxe42x7

3) dxx8cot

4) dxx9secx6 22

5) dx6

x9sen5

6) dxx4cotx4csc

7) dx3

x9cosx 2

8) dx2x3cos

9) dx4xxsen 2

10)

dx

4x

4xxsen2

2

11) dx5xcos5xsenx 3932

12) dxx2senx2cos

13) dx

xcos1

senx

14) dxxcos

senx3

15) dxe

x33x4

2

16) dx3

xa72x9

INTEGRAL DEFINIDA (9)

También se conoce como integral entre límites, y emplea las mismas formulas que la integral indefinida.

Al aplicar los limites, se eliminan las constantes de integración, por lo que se acostumbra no agregarlas.

En la función obtenida al integrar, la variable se sustituye primero por el límite superior y se obtiene el valor de la función; después se sustituye la variable por el límite inferior y se halla el nuevo valor de la función. La diferencia entre dichos valores de la función es el resultado de la integral definida.

Sí los límites son valores numéricos, el resultado es una cantidad numérica.

1.

3

2

dx)3x(

2. dx)8x2(3

1

2

3.

4

0

dx)2x5()3x2(

4. dx)4x3(1

4

32

5. dx)x8(x273

3

2

6. dxx3x

1x3

13

2

7. dx)xa( 331

a8

a

31

8. dx)x2x( 31

1

0

34

9. dxx

8x4

1

2

2

10. dxx2

x11

3

2

4

11.

5

2

2)2x(

dx2

12. dx4

1x310

2

13. dxx

1xx9

1

2

14. dx9

)2x6x(1

1

22

15. dx5x4

12x43x282

1

2

16. dx1x5

3x23x401

1

2

17. dx1x2x2

1

2

18. dx1xx2 3 3

3

1

2

19.

dx1x3x5

x2x21

14 23

2

20.

dxx

2x2

13 2

431

AREAS PLANAS POR INTEGRACION DEFINIDA (10)

Esta técnica supone que toda área plana está formada por un número infinito de franjas verticales infinitesimalmente delgadas de ancho “dx” (o por un número infinito de franjas horizontales infinitesimalmente delgadas de ancho “dy”). El área total puede calcularse sumando las aéreas de todas esas franjas, mediante el planteo y solución correcta de una integral definida. Para ello, primero deben trazarse las gráficas de las curvas que limiten al área en cuestión, de tal manera que logremos ubicar los puntos de intersección entre ellas. Posteriormente, por una correcta observación del área plana a calcular, definir qué tipo de franja es más conveniente usar: la horizontal o la vertical. Finalmente se plantea la integral definida que describa perfectamente el área que se pretende evaluar.

Calcule el área de cada una de las siguientes superficies planas:

1

La parábola 2xy , la recta xy , entre

las rectas X = 2 y X = 4.

2

Las parábolas 2xy y

2x16y , entre

las rectas X = - 2 y X = 2.

3

La parábola 2xy y las rectas X = 0, X = 3 y

Y = 12x.

4

La parábola 2yx , y las rectas X = 0, Y = ¾ y

X = Y.

5

La curva 1xY y las rectas X = 0, X = 3

y 2/xy .

6

La curva 2x4xy 2 y la recta

05yx2 .

7

La curva 4xy2 y las rectas Y = 1 y X = Y.

8

Las curvas 2xy y xy2 .

9

Las curvas 2yx y

2y18x .

10

Las curvas 2x2y y x2y .

11

Las curvas yyx 2 y 2yyx .

12

Las curvas x4y2 y x5y2 .

13

Las curvas 2xy y y18x2 .

14

Las curvas 2yx 2 y 2y6x .

15

Bajo la curva 1xy y las rectas yx y

2x .

16

La curva xy2 y las rectas 5xy ,

1y y 2y .

17

Las curvas 2x4y y 3xy 2 .

18

La curva 3x4xy 2 y el eje X.

19

Las curvas 2xy y

2xx2y .

20

La curva x2xy 2 y el eje X.

INTEGRACION POR PARTES (11)

vduuvudv

Efectúe cada una de las siguientes Integrales:

1

xdxcosx

2

xdxl n

3

dxxex

4

dxxe x3

5

xdx3xsen

6

xdx4l n

7

dx1xx

8

dxxa x5

9

xdxl nx

10

dxex x2

11

dxxe x

12

dxxe 2x

13

dxxe 5x

14

dxe)x1( x

15

dx)4x(x3 8

16

dx3x1x6

17

4x

x dx

18

1x2

xdx5

19

dxxe42

1

x2

20

dx1x2x3

2

21

2

01x

xdx2

22

dx2

)2x(x3

1

3

DERIVADAS PARCIALES (12)

Funciones de dos variables

Una función de dos variables indica que existe una correspondencia entre cada par ordenado de números reales (x, y) y un número real z. Al conjunto de pares ordenados se llama dominio de la función, y el conjunto de valores z correspondiente a dichos pares ordenados se llama imagen o contradominio. Toda función de dos variables se representa: Z = f (x, y), donde las variables “x” y “y” se llaman variables independientes, y la variable “Z” se llama variable dependiente. La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de todos los puntos con coordenadas (x, y, Z), y éste conjunto de puntos forma una superficie en el espacio tridimensional.

Derivadas parciales

Se entiende como derivada parcial de Z respecto de una de sus dos variables, a la expresión obtenida al derivar dicha función respecto de la variable considerada, suponiendo constantes las demás. Sí la derivada es con respecto a la variable “x”, se representa con el símbolo: ∂Z / ∂x. Sí la derivada es con respecto a la variable “y”, se representa con el símbolo: ∂Z / ∂y. Su interpretación geométrica, es un plano tangente a la curva en el punto P donde se evalúe la derivada parcial, formado por las rectas tangentes a la superficie en ese punto

Por analogía, estos razonamientos pueden extenderse a funciones que contengan más de tres variables.

Obtenga las derivadas parciales de las siguientes funciones:

1

7y3x4Z 22

2

xy3x2Z 2

3

1y2Z

4

2l nZ

5

y9x8xy5xy2x3Z 24

6

2xy5)3y()1x(Z 332

7

xyZ

8

3 22 yxZ

9

3y

4xZ

2

10

22

2

yx

xy8Z

11

5yl n3

12xl n

2

1Z

12

22

22

yx

yxy3xZ

13

xyyx

9xZ

22

14

xy5eZ

15

1y3x222 eyxZ

16

)yxln(x5Z 2

17

4423 y2yx5lnZ

18

23 yxy2xy2xZ

Además, el gradiente de la función en ese punto (es un vector formado por las derivadas parciales) representa la dirección de máximo crecimiento de la función y siempre es un vector normal a las curvas de nivel.

MAXIMOS Y MINIMOS PARA FUNCIONES DE DOS VARIABLES (13)

Definición

Se dice que una función Z = f (x, y) tiene un valor máximo relativo en el punto (a,b) (es decir cuando x = a y y = b) si, para todos los puntos (x,y) en el plano que están inmediatos a él se tiene qué: f (a,b) > f (x,y).

Se dice que una función Z = f (x, y) tiene un valor mínimo relativo en el punto (a,b) (es decir cuando x = a y y = b) si, para todos los puntos (x,y) en el plano que están inmediatos a él se tiene qué: f (a,b) < f (x,y).

Procedimiento para hallar los máximos y/o

mínimos relativos de

una función de dos variables:

Dada una función Z = f (x,y):

1. Se hallan: Zx (Primera derivada de Z con respecto a “x”) Zxx (Segunda derivada de Z con respecto a “x”) Zy (Primera derivada de Z con respecto a “y”) Zyy (Segunda derivada de Z con respecto a “y”) Zxy = Zyx

2. Se resuelve el sistema formado para las ecuaciones Zx = 0 y Zy = 0, conociendo los valores críticos (a,b). 3. Sea Dxy = (Zxx)(Zyy) – (Zxy ó Zyx)

2 . Sí en el valor critico (a,b):

Sí D > 0 y Zxx < 0, la función Z tiene un máximo relativo en el punto crítico (a,b). Sí D > 0 y Zxx > 0, la función Z tiene un mínimo relativo en el punto crítico (a,b). Sí D < 0, la función Z tiene un punto de silla en el punto crítico (a,b). Sí D = 0, no hay conclusión con respecto al punto crítico (a,b) y se requiere de análisis adicionales.

Encuentre los puntos críticos de cada una de las siguientes funciones, y para cada uno de ellos, determine por medio de la prueba

de la segunda derivada, si corresponde a un máximo relativo, a un mínimo relativo, a ninguno de los dos (existe un punto de silla), o sí la prueba no da información y se requieren análisis adicionales:

1. xyyxz 33

2. 1y9x10xy12y6x3z 22

3. 2y9x10xy3y2

3x2z 22

4. 17y164x69y3xy22

xz 2

2

5. 7y24y3x8x2z 22

6. 3xyxy3xz 22

7. 22 x6x3yyz

8. 322 xxyyxz

9. 1yx2y8x3

1z 2233

10. x y2y2x2y3

xz 2

3

11. y21yxz 22

12. 7xy6y2x2z 33

13. 3yx3y3xz

14. 3y4xy2y2xz 22

15. 2y4x3xy6yxz 22

16. 1y6x5xy10y5x3z 22

17. 3y2x3xy2y10x6z 22

18. xy3yxz 22

INTEGRAL MULTIPLE (14)

Las funciones de dos variables se integran por un procedimiento llamado doble integral o integración doble.

La expresión: b

a

d

c

dydx)y,x(f

comúnmente llamada integral doble, doble integración o integral iterada, es una abreviación de la expresión:

dxdy)y,x(fb

a

d

c

.

Para efectuar dicha operación, primero debe resolverse la integral interna, tomando a “y” como variable y a “x” como constante. El resultado obtenido se integrará nuevamente, pero ahora “x” será la variable y “y” permanecerá como constante. La interpretación geométrica de la doble diferencial, es de qué se trata de un elemento infinitesimalmente pequeño de área, con largo “dx” y altura “dy” situado en el plano o espacio bidimensional XY. Por razonamientos y procedimientos análogos se maneja la integral triple. La interpretación geométrica de la triple diferencial, es de qué se trata de un elemento infinitesimalmente pequeño de volumen, con largo “dx”, altura “dy” y profundidad “dz” situado en el espacio tridimensional XYZ.

Calcule las siguientes integrales:

1.

dydxxy1

0

2

1

2

2. ydxdyx1

0

2

1

2

3. 2

1

3

2

xydydx

4.

3

2

1

1

dydx)y2x(

5. dydxyx3 2

0

2

4

3

2

6. dxdy)yxy2x( 32

4

1

3

2

2

7.

dydxyx1

1

2

0

2

8.

dydx)y3x2(1

2

2

1

2

9.

dydx2y31x24

3

0

1

10. dxdyxy5

3

2

1

11.

dydx5

xy41

2

3

1

3

12.

dydxy3x41

0

2

1

3

13. dzdydxz4yx65

0

4

1

3

2

14.

dzdydxzyx81

1

3

2

4

2

32

15. dxdydzz3y2x56

0

4

0

2

0

342

16.

dxdydz3

xyz1

2

4

0

2

1

17.

dxdydzzyx50

3

1

2

2

0

3

18.

dzdydxzy2xy34

2

2

0

0

1

24

19. dydxdzzxy2

1

4

1

3

1

4 32

20. ( ) =dxdydzz2+y4x3∫∫∫5

4

4

2

2

0

2

ECUACIONES DIFERENCIALES SIMPLES (15)

Las ecuaciones diferenciales son aquellas que contienen derivadas en sus términos, y que para resolver dichas ecuaciones se requiere de la integración. Se aplican en muchas situaciones prácticas, especialmente las relacionadas con razones de cambio.

Son de la forma: )x(fdx

dy que se pueden transformar en: dxfdy )x( y posteriormente en dxfdy )x( .

Cuando la función resultante se expresa en términos de la constante de integración C, la solución es general; pero cuando se determina el valor de C, el resultado es particular.

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales simples:

1. dx

dy3+x5=x3+

dx

dy4 2

Se sabe que sí x = 3, entonces y = 15.

2. dx

dyx4x12x7

dx

dyx5 32

Sí x = 2, entonces y = 24

3. 22 x4

dx

dy28

dx

dyx

Sí x = 1, y = 12

4. dx

dyx12x515

dx

dyx4 2

Sí x = 2, y = 30

5. 432 x9x9

dx

dyx

Sí x = 1, y = 18

6. dx

dyxx147

dx

dyx2 23

Sí x = 4, y = 28

7. 1x2dx

dy

Sí se sabe que cuando x = 4, entonces y = 20.

8. 653 x2x6

dx

dyx3

Se sabe que la grafica de Y pasa por el punto (1,15).

9. dx

dy424xx10

dx

dyx 2


10. x7x2dx

dy515

dx

dyx 2


ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES

Son de la forma:

)y(

)x(

g

f

dx

dy que pueden transformarse en: dxfdyg )x()y( y finalmente: dxfdyg )x()y(

Cuando la función resultante se expresa en términos de la constante de integración C, la solución es general; pero cuando se determina el valor de C, el resultado es particular.

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales separables:

1) 2y

x2=

dx

dy Sí x = 2, y = 6.

2) 23yx4=

dx

dy Sí x = 2, y = 0.01

3) )y8(5dx

dy Sí x = 0, y = 0

4) y3e

1x2

dx

dy Sí x = 5, y = 2.

5)

1y3

x2x9

dx

dy 3

Sí x = 4, y = 25

6)

2y

3x4

dx

dy 3

Sí x = 3, y = 12

7) 1x4

2y9

dx

dy

Sí x = 1, y = 9

8) 2

3

x3

y5

dx

dy Sí x = 6, y = 20

9) dx

dy3

3y

1x8

dx

dy8

2

Sí x = 3, y = 18

10) dx

dy9

1y5

2x3

dx

dy12

2

Sí x = 1, y = 45

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RELACIONES Y FUNCIONES