Matemáticas Financieras Avanzadas

MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS

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Sesión No. 3

Nombre: Interés compuesto. Tasas de interés

Objetivo Al término de la sesión el estudiante aplicará los conceptos de tasas de interés

nominal, efectiva y equivalente, con el cálculo y conversión de tasas de interés,

en la resolución de las actividades de aprendizaje de ejercicios prácticos.

Contextualización En esta sesión se plantearán y resolverán ejemplos de cálculos de tasas de

interés nominal, efectiva y equivalentes. Así como la conversión de tasas y el

cálculo de tasas de interés.

Fuente: http://www.dinero.com/upload/images/2010/1/18/90166_125920_1.jpg

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Introducción al Tema ¿Qué es una tasa de interés?

¿Qué tipo de tasa de interés usan las tarjetas de crédito?

¿Qué tipo de interés se aplica a créditos bancarios?

Se ha hecho referencia que la tasa que rige una transacción generalmente se

refiere a un período de un año, aun cuando la operación sea menor.

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Explicación Cuando se realiza una operación financiera, se pacta una tasa de interés anual

que rige durante el lapso que dure la operación, a esta tasa se le llama tasa

nominal.

Sin embargo, si el interés se capitaliza en forma semestral, trimestral o mensual,

la cantidad efectivamente pagada o ganada es mayor que si se compone en

forma anual. Cuando esto sucede, se puede determinar una tasa efectiva anual.

Dos tasas de interés anuales con diferentes períodos de capitalización serán

equivalentes si al cabo de un año producen el mismo interés compuesto.

Ejemplo 1: ¿Cuál es la tasa efectiva de interés que se recibe de un depósito bancario de $1000 pactado a 18% de interés anual convertible mensualmente?

Solución: 𝑀 = 1000 �1 + 0.1812�12

Recuerde que 𝑖 = tasa de interes anualfrecuencia de conversion

= 0.181 año

= 0.1812 meses

= 0.1812

M = 1195.62

I = M – C Interés = Monto - Capital

I = 1195.62 – 1000 = 195.62

𝑖 = 𝐼𝐶

= 195.621000

= 0.1956 La tasa efectiva es de 19.56%

La tasa equivalente a una tasa anual del 18% convertible mensualmente es de

19.56% convertible anualmente.

La relación entre ambas tasas es: Sea i la tasa anual efectiva de interés, j la tasa

de interés anual nominal y m el número de períodos de capitalización al año.

Como se estableció que ambas tasas son equivalentes, por lo tanto:

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𝐶(1 + 𝑖) = 𝐶 �1 + 𝑗𝑚�𝑚

, dividiendo ambos lados de la ecuación entre C

(1 + 𝑖) = �1 + 𝑗𝑚�𝑚

Despejando i nos queda: 𝑖 = �1 + 𝑗𝑚�𝑚− 1

Retomando el problema anterior:

𝑖 = �1 +0.1812 �

12

− 1 = 19.56%

Ejemplo 2: ¿Cuál es la tasa efectiva que se paga por un préstamo bancario de $250 000 que se pactó a 16% de interés anual convertible trimestralmente?

Solución: Aplicando directamente la fórmula:

𝑖 = �1 + 𝑗𝑚�𝑚− 1

𝑖 = �1 + 0.164�4− 1 Recuerde que un año tiene 4 trimestres, m = 4

𝑖 = 16.98%.

Ejemplo 3: ¿A qué tasa nominal convertible trimestralmente un capital de $30 000 crecerá hasta $100,000 en 5 años?

Solución: M = C (1+i)n

100,000 = 30,000(1+i)5

100,00030,000

= (1 + 𝑖)𝑛

Pero (1 + 𝑖)𝑛 = �1 + 𝑗𝑚�𝑚𝑛

donde n = 5 años y m = 4 (4 trimestres tiene un año)

Así, �1 + 𝑗4�20

= 100,00030,000

Se saca raíz 20 va a los dos lados de la igualdad, teniendo:

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�1 +𝑗4�

= (3.3333)120

Por lo tanto, despejando j nos queda: 𝑗 = 4 �(3.3333)120 − 1� = 0.24819

Se requiere una tasa nominal de 24.82% convertible trimestralmente para que un

capital de $30,000 se convierta en un monto de $100,000 en un plazo de 5 años.

Calculo de Tasa de interés

Para determinar la tasa de interés conociendo las otras variables, se despeja de

la fórmula M = C (1+i)n

Ejemplo 4: ¿A qué tasa de interés se deben depositar $15,000 para disponer de $50,000 en un plazo de 5 años? Considere que los intereses se capitalizan:

a) Semestralmente

b) Trimestralmente

Solución: Despejando i de la formula nos queda: 𝑖 = �𝑀𝐶

𝑛 − 1

a) n = 5 años x 2 (2 semestres tiene un año) = 10 semestres, entonces

𝑖 = �50,00015,000

10− 1

Por lo tanto i = 0.1279, i = 12.79% semestral, 25.58% anual nominal

(12.79 x 2 semestres).

b) Si el interés se capitaliza trimestralmente, se tiene n = 5 años x 4 (4

trimestres tiene un año) = 20 trimestres.

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𝑖 = �50,00015,000

20− 1

Por lo tanto i = 0.06204, i = 6.20% esto significa que si la frecuencia de

conversión se incrementa, la tasa anual nominal requerida disminuye a

24.8% (0.06204 x 4 trimestres = 0.24818).

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Conclusión

En esta sesión se practicó con las tasas de interés nominal, efectiva y

equivalente, su conversión y el cálculo de tasa de interés.

Las tasas de interés se expresan comúnmente en forma anual que indica,

cuando es necesario, sus periodos de capitalización.

En la siguiente sesión seguiremos trabajando con el interés compuesto aplicado

al concepto del Cálculo del Monto y Valor actual.

Fuente: http://inversionario.com/wp-content/uploads/2011/04/Money-Bag-icon4.png

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Para aprender más

En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer

tu aprendizaje.

Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.

• Ramírez, M. (2012). Tasas nominales, efectivas y equivalentes

EJERCICIOS parte 1. Consultado el 3 de junio de

2013: http://www.youtube.com/watch?v=Ye8uEqNWMNI

• Ramírez, M. (2012). Tasas nominales, efectivas y equivalentes

EJERCICIOS parte 2. Consultado el 3 de junio de

2013: http://www.youtube.com/watch?v=LVMy3bATZxM

• Ramírez, M. (2012). Interés compuesto: cálculo de la tasa de interés.

Consultado el 3 de junio de

2013: http://www.youtube.com/watch?v=RlP6dyUHpig

Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá

desarrollar los ejercicios con más éxito.

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Actividad de Aprendizaje Con lo aprendido en esta sesión sobre los conceptors de las tasas de interés

nominal, efectiva y equivalente, su conversión y sobre el cálculo de tasa de

interés, aplica dichos conceptos para solucionar los siguientes problemas:

1) Determine la tasa de interés efectiva que se recibe de un depósito

bancario si la tasa nominal es de 6% y se convierte:

a) Anualmente

b) Semestralmente

c) Trimestralmente

d) Mensualmente

e) Diariamente

2) Un capital de $155,000.00 se invierte durante tres años a la tasa del 36%

anual capitalizable trimestralmente. Calcular:

a) La tasa efectiva trimestral.

b) La tasa efectiva anual equivalente.

3) ¿Qué tasa de interés anual resulta equivalente a una tasa de 4%

trimestral?

4) ¿Qué tasa de interés nominal ha ganado un capital de $20,000 que se ha

incrementado a $50,000 en 3 años?, si dicho interés se capitaliza:

a) ¿Mensualmente?

b) ¿Trimestralmente?

c) ¿Semestralmente?

d) ¿Actualmente?

Entregar esta actividad en formato de Práctica de Ejercicios y súbelo a la

plataforma.

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Bibliografía

1. Cantú, Jesús. (2005). Matemáticas financieras. México: Banca y Comercio.

2. Díaz, A. y Aguilera, V. (2007). Matemáticas financieras. México: McGraw Hill.

3. Villalobos, José L. (2007). Matemáticas financieras. México: Pearson Educación.