Elements of general topology for students-analysts

ß. Â. àäûíî, À. ß. àäûíî, Å. Ì. àäûíî

Ýëåìåíòû àëãåáðûäëÿñòóäåíòîâ-àíàëèòèêîâÌèíñê, 2013

Â êíèãå èçëîæåíû ðàçäåëû àëãåáðû, êîòîðûå íå òîëüêî ñòàëè íåîòú-åìëåìîé ÷àñòüþ ìàòåìàòè÷åñêîé êóëüòóðû, íî è íåðåäêî ïåðåêëèêàþòñÿñ çàäà÷àìè è èäåÿìè èç àíàëèçà: òåîðèè ãðóïï, êîëåö, ïîëåé, â òîì ÷èñ-ëå òåîðèÿ ðàñøèðåíèÿ ïîëåé è òåîðèÿ àëóà. Â êà÷åñòâå ïðèëîæåíèéðàññìîòðåíû êëàññè÷åñêèå çàäà÷è î ðàçðåøåíèè óðàâíåíèÿ â ðàäèêàëàõ,êâàäðàòóðå êðóãà, òðèñåêöèè óãëà, ïðèâåäåíû äîêàçàòåëüñòâà òðàíñöåí-äåíòíîñòè óíäàìåíòàëüíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ êîíñòàíò e è π. Ìàòåðèàëñíàáæåí ïðèìåðàìè, èçëîæåíèå ñàìîäîñòàòî÷íîå.Êíèãà àäðåñóåòñÿ ñòóäåíòàì, ìàãèñòðàíòàì, àñïèðàíòàì, ïðåïîäàâàòå-ëÿì, à òàêæå âñåì èññëåäîâàòåëÿì, æåëàþùèì ïðèêîñíóòüñÿ ê îäíèì èçñàìûõ ÿðêèõ ðàçäåëîâ àëãåáðû.2

ÎãëàâëåíèåÏðåäèñëîâèå 5ë à â à 1. Ìíîæåñòâà 81.1. Ôàêòîð-ìíîæåñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2. Èíäóêòèâíûå ïðåäåëû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3. Ïðîåêòèâíûå ïðåäåëû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ë à â à 2. ðóïïû 212.1. ðóïïû, ïîäãðóïïû, êëàññû ñìåæíîñòåé . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2. Ïîðîæäåííûå, öèêëè÷åñêèå, êîíå÷íûå ãðóïïû . . . . . . . . . . . . . 232.3. Íîðìàëüíûå ïîäãðóïïû, àêòîð-ãðóïïû . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4. Òåîðåìû îá èçîìîðèçìàõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5. Öåíòð è êîììóòàíò ãðóïïû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.6. Äåéñòâèå ãðóïïû íà ìíîæåñòâå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.7. àçðåøèìûå ãðóïïû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.8. ðóïïà Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ë à â à 3. Àáåëåâû ãðóïïû 473.1. Ïðÿìûå ñóììû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2. Èíäóêòèâíûå è ïðîåêòèâíûå ïðåäåëû àáåëåâûõ ãðóïï . . . . . . . . 503.3. Ñâîáîäíûå àáåëåâû ãðóïïû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.4. Ïåðèîäè÷åñêèå è äåëèìûå ãðóïïû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.5. Êîíå÷íî ïîðîæäåííûå àáåëåâû ãðóïïû . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.6. Ïðèìåðû àáåëåâûõ ãðóïï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 ë à â à 4. Êîëüöà è èäåàëû 714.1. Êîëüöà, èäåàëû, àêòîð-êîëüöà, ïîëÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.2. Òåîðåìû îá èçîìîðèçìàõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.3. Öåëîñòíûå êîëüöà, ïîëå ÷àñòíûõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.4. Ïðîñòûå è ìàêñèìàëüíûå èäåàëû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.5. Êîëüöà ãëàâíûõ èäåàëîâ, àêòîðèàëüíûå è åâêëèäîâû êîëüöà . . . 794.6. Åâêëèäîâû êîëüöà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 ë à â à 5. Êîëüöà ìíîãî÷ëåíîâ 915.1. Êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâ, ïîëå ðàöèîíàëüíûõ óíêöèé, ãîìîìîðèçìïîäñòàíîâêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.2. Êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâ íàä ïîëåì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.3. Ôàêòîðèàëüíîñòü êîëüöà ìíîãî÷ëåíîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.4. Ïðèçíàêè íåïðèâîäèìîñòè ìíîãî÷ëåíîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023

ë à â à 6. Òåîðèÿ ïîëåé 1056.1. Ïîëå, ïîäïîëå, ðàñøèðåíèå ïîëÿ, ýëåìåíòàðíîå ïîëå,õàðàêòåðèñòèêà ïîëÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.2. Ïðèñîåäèíåíèå, êîíå÷íî ïîðîæäåííûå ðàñøèðåíèÿ, ïðîñòûåðàñøèðåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.3. Àëãåáðàè÷åñêèå è òðàíñöåíäåíòíûå ýëåìåíòû â ðàñøèðåíèè . . . . 1096.4. Êîíå÷íûå è àëãåáðàè÷åñêèå ðàñøèðåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.5. Ñóùåñòâîâàíèå ðàñøèðåíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.6. Ïðîäîëæåíèå èçîìîðèçìîâ. Åäèíñòâåííîñòü ïîëÿ ðàçëîæåíèÿ . . 1206.7. Ñóùåñòâîâàíèå àëãåáðàè÷åñêîãî çàìûêàíèÿ ïîëÿ . . . . . . . . . . . 1246.8. Ñåïàðàáåëüíûå ðàñøèðåíèÿ. Òåîðåìà î ïðèìèòèâíîì ýëåìåíòå . . . 1276.9. Íîðìàëüíûå ðàñøèðåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.10. Êîíå÷íûå ïîëÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.11. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ïîëèíîì, íîðìà è ñëåä ýëåìåíòà èçðàñøèðåíèÿ ïîëÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.12. Òðàíñöåíäåíòíûå ðàñøèðåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536.13. Ïðîñòûå òðàíñöåíäåíòíûå ðàñøèðåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . 159 ë à â à 7. Òåîðèÿ àëóà 162ë à â à 8. Ïðèëîæåíèÿ 1698.1. àçðåøèìîñòü óðàâíåíèé â ðàäèêàëàõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1698.2. Ïîñòðîåíèå öèðêóëåì è ëèíåéêîé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1738.3. Èððàöèîíàëüíîñòü e è π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1778.4. Òðàíñöåíäåíòíîñòü e è π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179Óêàçàòåëü ñèìâîëîâ 188Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü 190Áèáëèîãðàè÷åñêèé ñïèñîê 194

4

Ñâåòëîé ïàìÿòèÂàëåíòèíà ßêîâëåâè÷à èÅâãåíèè Ìèõàéëîâíû àäûíîïîñâÿùàåì.ÏðåäèñëîâèåÂ 30-å ãîäû XX âåêà áûëè ñäåëàíû äâà îòêðûòèÿ, êîòîðûå èçìåíèëèâñþ ìàòåìàòèêó.Âî-ïåðâûõ, â 1933 ãîäó À. Õààðîì áûë óñòàíîâëåí àêò ñóùåñòâîâàíèÿìåðû, èíâàðèàíòíîé îòíîñèòåëüíî ñäâèãîâ íà ëîêàëüíî êîìïàêòíîé ãðóï-ïå ñ ïåðâîé àêñèîìîé ñ÷åòíîñòè. Äæ. îí Íåéìàí â 1936 ãîäó äîêàçàëåäèíñòâåííîñòü ìåðû Õààðà äëÿ ëîêàëüíî êîìïàêòíûõ ãðóïï ñî âòîðîéàêñèîìîé ñ÷åòíîñòè. È, íàêîíåö, â 1940 ãîäó À. Âåéëü ñíÿë îãðàíè÷åíèÿñ îáåèõ òåîðåì, óñòàíîâèâ îäíîâðåìåííî òåîðåìó, îáðàòíóþ ê òåîðåìå Õà-àðà, à èìåííî: îí ïîêàçàë, ÷òî åñëè íà ïîëíîé òîïîëîãè÷åñêîé ãðóïïå ñó-ùåñòâóåò íåíóëåâàÿ ëåâîèíâàðèàíòíàÿ ìåðà (áîðåëåâñêàÿ è ðåãóëÿðíàÿ),òî ýòà ãðóïïà ëîêàëüíî êîìïàêòíàÿ.Âòîðîå îòêðûòèå ýòî óñòàíîâëåíèå â 1934 ãîäó Ë. Ñ. Ïîíòðÿãèíûìòåîðåìû äâîéñòâåííîñòè äëÿ ëîêàëüíî êîìïàêòíûõ àáåëåâûõ ãðóïï ñî âòî-ðîé àêñèîìîé ñ÷åòíîñòè. Â 1935 ãîäó Ý. âàí Êàìïåí äîêàçàë ýòîò ðåçóëü-òàò, ñíÿâ âñå îãðàíè÷åíèÿ.Îáà ýòè îòêðûòèÿ âûâåëè àíàëèòèêîâ íà íîâûå òåððèòîðèè, îòäàâ â èõðàñïîðÿæåíèå òàêèå àëãåáðî-òîïîëîãè÷åñêèå îáúåêòû, êàê òîïîëîãè÷åñêèåãðóïïû è íîðìèðîâàííûå ïîëÿ.Âñêîðå áûë ïîñòðîåí ãàðìîíè÷åñêèé àíàëèç íà ëîêàëüíî-êîìïàêòíûõãðóïïàõ, ðàçâèòà òåîðèÿ ïðåäñòàâëåíèé òîïîëîãè÷åñêèõ ãðóïï [15, 17, 34.Ìåòîäû àáñòðàêòíîãî ãàðìîíè÷åñêîãî àíàëèçà ïîçâîëèëè äîáèòüñÿ ñóùå-ñòâåííîãî ïðîãðåññà íå òîëüêî ïðè èññëåäîâàíèè êëàññè÷åñêèõ îáúåêòîâãàðìîíè÷åñêîãî àíàëèçà, íî äàæå â òàêîé ñóïåðêëàññè÷åñêîé îáëàñòè, êàêòåîðèÿ ÷èñåë [10, 27.Áûëè çàëîæåíû îñíîâû òåîðèè îáîáùåííûõ óíêöèé íà ëîêàëüíî-êîìïàêòíûõ ãðóïïàõ [39 è ëîêàëüíî-êîìïàêòíûõ íîðìèðîâàííûõ ïîëÿõ[12, 13, 56.Íà÷àëîñü ðàçâèòèå òåîðèè âåðîÿòíîñòåé íà àëãåáðî-òîïîëîãè÷åñêèõñòðóêòóðàõ [14.Ñòàëè èíòåíñèâíî ðàçâèâàòüñÿ íåàðõèìåäîâ àíàëèç [33, 55 è íåàðõè-5

ìåäîâ óíêöèîíàëüíûé àíàëèç [47, 50.Ñ ðàáîòàìè Â. Ñ. Âëàäèìèðîâà, È. Â. Âîëîâè÷à è èõ ó÷åíèêîâ ìàòåìà-òè÷åñêàÿ èçèêà ïðèíÿëà â ñâîé àðñåíàë p-àäè÷åñêèå ÷èñëà è, òåì ñàìûì,íåàðõèìåäîâî íîðìèðîâàííûå ïîëÿ [12.Íà÷àëèñü èññëåäîâàíèÿ ïî ïñåâäîäèåðåíöèàëüíûì îïåðàòîðàì íàëîêàëüíî-êîìïàêòíûõ ïîëÿõ [45.Âîïðîñû òåîðèè îáîáùåííûõ óíêöèé íà ãðóïïå àäåëåé è âåê-òîðíîçíà÷íûå èíòåãðàëüíûå îïåðàòîðû íà îáùèõ àáåëåâûõ ëîêàëüíî-êîìïàêòíûõ ãðóïïàõ, à òàêæå çàäà÷è òåîðèè àïïðîêñèìàöèè óíêöèé íàðàçëè÷íûõ ëîêàëüíî-êîìïàêòíûõ ãðóïïàõ è íåêîòîðûå âîïðîñû òåîðèèîïåðàòîðîâ â íåàðõèìåäîâûõ íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâàõ èññëåäîâà-ëèñü â ðàáîòàõ àâòîðîâ è èõ ó÷åíèêîâ [20, 23, 24, 25, 26, 28, 51, 52.Ýòèì ñàìûì ìû õîòåëè ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ñîâðåìåííûé àíàëèç íàñêâîçüïðîíèçàí àëãåáðàè÷åñêèìè è òîïîëîãè÷åñêèìè ñòðóêòóðàìè. Ñëåäîâà-òåëüíî, êàæäûé àíàëèòèê îáÿçàí çíàòü íå òîëüêî àíàëèç (òåîðèÿ óíê-öèé, óíêöèîíàëüíûé àíàëèç, äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, ìàòåìàòè-÷åñêàÿ èçèêà, òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé), íî è îñíîâû àëãåáðû è òîïîëîãèè.Äàííàÿ êíèãà ïðåäíàçíà÷åíà ñòóäåíòàì ìàòåìàòè÷åñêèõ ñïåöèàëüíî-ñòåé óíèâåðñèòåòîâ. Çäåñü ìû ïîñòàðàëèñü èçëîæèòü â ìèíèìàëüíîìîáúåìå èíîðìàöèþ ïî àëãåáðå, íåîáõîäèìóþ, íà íàø âçãëÿä, ñòóäåíòàì-ìàòåìàòèêàì, êîòîðûå ñîáèðàþòñÿ çàíèìàòüñÿ àíàëèçîì è åãî ïðèëîæå-íèÿìè.Ìû ñòàðàëèñü îòîáðàòü ìèíèìóì ìàòåðèàëà: îñíîâíûå àëãåáðàè÷åñêèåñòðóêòóðû (ãðóïïû, êîëüöà, ïîëÿ). Òåì íå ìåíåå, íàì õîòåëîñü (íàäååìñÿ,÷òî óäàëîñü) ïðèâåñòè ïîëíûå è íàèáîëåå ïðîñòûå è ïðîçðà÷íûå äîêàçà-òåëüñòâà âñåõ óòâåðæäåíèé. Êðîìå òîãî, ìíîãèå òåîðåìû áûëè ïîÿñíåíûïðèìåðàìè è çàìå÷àíèÿìè. Ìû ïîíèìàëè, ÷òî óâåëè÷åíèå êîëè÷åñòâàïðèìåðîâ áåçóñëîâíî óëó÷øèëî áû ñîäåðæàíèå êíèãè, íî, ñ äðóãîé ñòîðî-íû, óâåëè÷èëî áû åå îáúåì. À òîëñòûå êíèãè, êàê èçâåñòíî, îòïóãèâàþò÷èòàòåëåé.Èçëîæèâ îñíîâíûå àêòû èç àëãåáðû, ìû ïîñ÷èòàëè íåîáõîäèìûìïðèâåñòè îñíîâû òåîðèè àëóà è ïîêàçàòü êðàñîòó è ìîùü àëãåáðàè÷åñêèõìåòîäîâ ïðè îòâåòå íà êëàññè÷åñêèå çàäà÷è î íåðàçðåøèìîñòè â ðàäèêàëàõàëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ïÿòîé ñòåïåíè è âûøå, à òàêæå î íåâîçìîæ-íîñòè ðåøåíèÿ ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè çàäà÷ îá óäâîåíèè êóáà,òðèñåêöèè óãëà è êâàäðàòóðå êðóãà.Ýòà êíèãà ïîÿâèëàñü â ðåçóëüòàòå ðàáîòû íàó÷íîãî ñåìèíàðà ¾Íåàðõè-ìåäîâ àíàëèç è ïðèëîæåíèÿ¿, ïðîâîäèìîãî â òå÷åíèè ìíîãèõ ëåò â Áåëî-ðóññêîì ãîñóäàðñòâåííîì óíèâåðñèòåòå è â Áåëîðóññêîì ãîñóäàðñòâåííîì6

ïåäàãîãè÷åñêîì óíèâåðñèòåòå. Ìû áëàãîäàðèì âñåõ ó÷àñòíèêîâ ýòîãî ñå-ìèíàðà çà îáñóæäåíèÿ è çàìå÷àíèÿ.Íàøè êîëëåãè ïî Áåëîðóññêîìó ãîñóäàðñòâåííîìó óíèâåðñèòåòó ïðî-åññîð Â. Â. Áåíÿø-Êðèâåö è äîöåíò Â. . Ìàòâååâ âíèìàòåëüíåéøèìîáðàçîì ïðî÷ëè ðóêîïèñü è ïðåäëîæèëè áîëüøîå êîëè÷åñòâî èçìåíåíèé èóëó÷øåíèé. Ïîáëàãîäàðèòü èõ çà ïîìîùü ìû ñ÷èòàåì ñâîåé îáÿçàííîñòüþè óäîâîëüñòâèåì.Ìû òàêæå ïðèçíàòåëüíû êàåäðå àëãåáðû è ãåîìåòðèè Áåëîðóññêî-ãî ãîñóäàðñòâåííîãî ïåäàãîãè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Ì. Òàíêà (çà-âåäóþùèé êàåäðîé Â. Â. Øëûêîâ) è îñîáåííî äîöåíòó ýòîé êàåäðûÌ. Â. Ìèëîâàíîâó çà òùàòåëüíîå ðåöåíçèðîâàíèå ðóêîïèñè.Ñ÷èòàåì ïðèÿòíîé îáÿçàííîñòüþ ïîáëàãîäàðèòü ïðîåññîðàÅ. À. îâáó (ðîäíåíñêèé ãîñóäàðñòâåíííûé óíèâåðñèòåò èìåíè ßíêè Êó-ïàëû), ñïîñîáñòâîâàâøåãî âûïóñêó êíèãè â èçäàòåëüñòâå ðîäíåíñêîãîãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè ßíêè Êóïàëû.Îñîáóþ áëàãîäàðíîñòü âûðàæàåì äîöåíòó À. . ßáëîíñêîé (Áåëî-ðóññêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò), êîòîðàÿ âçÿëà íà ñåáÿ òðóä ïîíàáîðó êíèãè.Íàêîíåö, íî íå â ïîñëåäíþþ î÷åðåäü, ìû ïðèíîñèì ñâîþ áëàãîäàðíîñòüíàøèì äðóçüÿì Èñààêó Êàðàåâó (Íüþ-Éîðê) è Èâàíó Ïàñåêî (Ìîñêâà) çàèíàíñîâóþ ïîääåðæêó, áåç êîòîðîé ýòà êíèãà íå ñêîðî óâèäåëà áû ñâåò.Àâòîðû.

7

ë à â à 1ÌíîæåñòâàÝòà ãëàâà ïîñâÿùåíà ïîíÿòèÿì èç òåîðèè ìíîæåñòâ, êîòîðûå îäèíà-êîâî àêòèâíî èñïîëüçóþòñÿ êàê â àëãåáðå, òàê è â àíàëèçå: îòíîøåíèÿýêâèâàëåíòíîñòè, àêòîð-ìíîæåñòâà, ïðîåêòèâíûå è èíäóêòèâíûå ïðåäå-ëû ñèñòåì ìíîæåñòâ è ñèñòåì îòîáðàæåíèé.1.1. Ôàêòîð-ìíîæåñòâàÎïðåäåëåíèå 1.1. 1 ÏóñòüX ìíîæåñòâî, R(x, y) :=¾x ≡ y(modR)¿ îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè; [x] = [x]R := y ∈ X : x ≡ y(modR) êëàññ ýëåìåíòîâ, ýêâèâàëåíòíûõ x (êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè); XR := [x] :x ∈ X ìíîæåñòâî êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè (àêòîð-ìíîæåñòâî);

π : X ∋ x→ [x] ∈ XR êàíîíè÷åñêîå îòîáðàæåíèå.Ïóñòü X,Y ìíîæåñòâà; f : X → Y îòîáðàæåíèå. ÎòíîøåíèåRf (x, y) := ¾f(x) = f(y)¿ ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè íà X ;[x1] = x ∈ X : f(x) = f(x1) = f−1(f(x1)); πf : X → XRf êàíîíè÷å-ñêîå îòîáðàæåíèå.Òåîðåìà 1.2. Îòîáðàæåíèå hf : XRf ∋ [x]→ f(x) ∈ f(X) ÿâëÿåò-ñÿ áèåêöèåé.Äîêàçàòåëüñòâî. hf èíúåêòèâíî. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü h([x1]) =h([x2]), ò.å. f(x1) = f(x2), ò.å. [x1] = [x2].Ïóñòü y ∈ f(X). Ñëåäîâàòåëüíî, ∃x ∈ X : y = f(x) = hf ([x]). Ýòîäîêàçûâàåò ñþðúåêòèâíîñòü hf . Â ñâÿçè ñ ýòèì, èìååì êàíîíè÷åñêîå ðàçëîæåíèå (àêòîðèçàöèþ)

f : Xπf−→ XRf

hf−→ f(X)if−→ Y,ãäå if âëîæåíèå.1Äëÿ óäîáñòâà ÷èòàòåëÿ âíóòðè êàæäîé ãëàâû ïðèíÿòà ñêâîçíàÿ íóìåðàöèÿ îïðåäå-ëåíèé, òåîðåì, ëåìì, ïðèìåðîâ è ò.ï. 8

Ïóñòü A ⊂ X è R îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà X . ÒîãäàRA := R|A åñòü îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà A. Ïóñòü π : X → XR,πA : A→ ARA êàíîíè÷åñêèå îòîáðàæåíèÿ, iA : A → X èíúåêöèÿ.Òîãäà ñóùåñòâóåò îòîáðàæåíèå h : ARA → XR

h(πA(a)) := π(iA(a)), ∀a ∈ A,òàêîå, ÷òî êîììóòàòèâíà äèàãðàììàA

πA

iA // X

π

ARA

h //___ XR,è êîòîðîå äàåò áèåêöèþ ARA íà π(A).Îïðåäåëåíèå 1.3. Ìíîæåñòâî A ⊂ X íàçûâàåòñÿ íàñûùåí-íûì ïî R, åñëè ¾∀x ∈ X : x ∈ A⇒ [x] ⊂ A¿, ÷òî ýêâèâàëåíòíî¾∃B ⊂ XR : A = π−1(B)¿.Îïðåäåëåíèå 1.4. Íàñûùåíèåì ìíîæåñòâà A íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî

π−1(π(A)) =⋃x∈A[x].Îïðåäåëåíèå 1.5. Ïóñòü R îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà X è

P (x) íåêîå óòâåðæäåíèå îá ýëåìåíòàõ X . îâîðÿò, ÷òî R ñîâìåñòèìî ñ

P , åñëè ¾x1 ≡ x2(modR) è P (x1)¿⇒ P (x2).Ïðèìåð 1.6. Ïóñòü A ⊂ X è P (x) åñòü ¾x ∈ A¿. Òîãäà R ñîâìåñòèìîñ P îçíà÷àåò, ÷òî ¾x1 ∈ A è x2 ≡ x1(modR)¿ ⇒ x2 ∈ A, ò.å. A íàñûùåíîïî R.Ïðèìåð 1.7. Ïóñòü f : X → Y îòîáðàæåíèå, P (x, y) åñòü¾f(x) = y¿, ãäå x ∈ X , y ∈ Y . Òîãäà R ñîâìåñòèìî ñ P îçíà÷àåò, ÷òî¾f(x1) = y è x2 ≡ x1(modR)¿⇒ ¾f(x2) = y¿.Îïðåäåëåíèå 1.8. Ïóñòü f : X → Y îòîáðàæåíèå; R îòíîøåíèåýêâèâàëåíòíîñòè íàX , S îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà Y . îâîðÿò, ÷òî

f ñîâìåñòèìî ñ R è S, åñëè ¾x1 ≡ x2(modR)¿⇒ ¾f(x1) ≡ f(x2)(modS)¿.Åñëè π : X → XR è ϕ : Y → YS êàíîíè÷åñêèå îòîáðàæåíèÿ, òîîòîáðàæåíèå X ∋ x → ϕ(f(x)) ∈ YS ïîñòîÿííî íà êëàññàõ ýêâèâàëåíò-íîñòè è, òåì ñàìûì, îïðåäåëåíî h : XR ∋ [x]→ [f(x)] ≡ ϕ(f(x)) ∈ XS.9

Òîãäà êîììóòàòèâíà ñëåäóþùàÿ äèàãðàììà:

X

π

f // Y

ϕ

XR

h //___ YS.îâîðÿò, ÷òî h âûâåäåíî èç f àêòîðèçàöèåé.Ïóñòü R îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà X , π : X → XR êàíî-íè÷åñêîå îòîáðàæåíèå è S îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà XR.àññìîòðèì òåïåðü íà X îòíîøåíèå T (x1, x2) :=¾π(x1) ≡ π(x2)(modS)¿. Î÷åâèäíî, T îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòèíà X . Òàêèì îáðàçîì,

[x1]T = x ∈ X : x ≡ x1(modT ) = x ∈ X : π(x1) ≡ π(x2)(modS) =

= x ∈ X : [x]R ≡ [x1]R(modS).Ñëåäîâàòåëüíî, [x1]T åñòü îáúåäèíåíèå êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè ïî R,ýêâèâàëåíòíûõ ìåæäó ñîáîé ïî S. Î÷åâèäíî, ÷òî ¾x ≡ x1(modR)¿ ⇒¾x ≡ x1(mod T )¿, ò.å. T ñîâìåñòèìî ñ R.Ïóñòü ϕ : X → XT, ψ : XR → (XR)S êàíîíè÷åñêèå îòîáðà-æåíèÿ. Òîãäà

X

ϕ

π // XR

ψ

XT

h //___ (XR)S,ãäå h(ϕ(x)) := ψ(π(x)), ò.å. h([x]T ) = ψ([x]R) = [[x]R]S .Òåîðåìà 1.9. Îòîáðàæåíèå h ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé (êàíîíè÷åñêîé).Äîêàçàòåëüñòâî. h èíúåêöèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü h([x]T ) =h([x1]T ). Òîãäà [[x]R]S = [[x1]R]S , èëè [x]R ≡ [x1](modS), ò.å. [x]T = [x1]T .

h ñþðúåêöèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü y ∈ (XR)S. Ñëåäîâàòåëüíî,ñóùåñòâóåò y1 ∈ XR òàêîé, ÷òî y = ψ(y1). Íî y1 = π(x1) äëÿ íåêîòîðîãîx1 ∈ X . Ñëåäîâàòåëüíî, y = ψ(π(x1)) = h([x1]T ) Ïðèìåð 1.10. Ïóñòü X = Z, ¾x ≡ x′(modR)¿ åñòü ¾x ≡ x′(mod 6)¿,¾[x]R ≡ [x′]R(modS)¿ åñòü ¾[x]R ≡ [x′]R(mod 3)¿. Òîãäà XR = Z6Z =0, 1, 2, 3, 4, 5, (XR)S = 0, 1, 2.10

Îïðåäåëåíèå 1.11. Ïóñòü x ≡ x′(modR) íà X è y ≡ y′(modS) íà Y .Îïðåäåëèì îòíîøåíèå R × S íà X × Y ñëåäóþùèì îáðàçîì:¾(x, y) ≡ (x′, y′)(modR× S)¿ := ¾x ≡ x′(modR) è y ≡ y′(modS)¿.Òåîðåìà 1.12. Îòîáðàæåíèåf : XR× YS ∈ ([x]R, [y]S)→ [(x, y)]R×S ∈ X × YR× Sÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé.Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì ñþðúåêòèâíîñòü f . Ïóñòü [(x, y)]R×S ∈

X × YR× S. Òîãäà, ïî îïðåäåëåíèþ, f([x]R, [y]S) = [(x, y)]R×S .Òåïåðü ïðîâåðèì, ÷òî f èíúåêòèâíî. Ïóñòü f([x]R, [y]S) =f([x′]R, [y′]S), ò.å. [(x, y)]R×S = [(x′, y′)]R×S , èëè¾x ≡ x′(modR) è y ≡ y′(modS)¿. Äðóãèìè ñëîâàìè, [x]R = [x′]R è

[y]S = [y′]S . 1.2. Èíäóêòèâíûå ïðåäåëûÏóñòü (Xi)i∈I ∈ P(X). Äëÿ êàæäîãî i ∈ I ðàññìîòðèì X ′i = i ×Xi ⊂

I ×X . ÌíîæåñòâîX ′ :=

⊔

i∈IX ′iíàçûâàåòñÿ ñóììîé ñåìåéñòâà (Xi)i∈I .Î÷åâèäíî, ÷òî Xi ∋ x→ (i, x) ∈ X ′

i áèåêöèÿ.Â äàëüíåéøåì ñóììîé (Xi)i∈I áóäåì íàçûâàòü ëþáîå ìíîæåñòâî S, íà-õîäÿùååñÿ â áèåêòèâíîì ñîîòâåòñòâèè ñ X ′, à Xi áóäåì îòîæäåñòâëÿòü ññîîòâåòñòâóþùèìè ÷àñòÿìè èç S.Ïóñòü (I,6) íàïðàâëåííîå âïðàâî (ïî âîçðàñòàíèþ) ìíîæåñòâî, ò.å.òàêîå, ÷òî ëþáîå äâóõòî÷å÷íîå ìíîæåñòâî α, β èìååò ìàæîðàíòó.Îïðåäåëåíèå 1.13. Ïóñòü çàäàíî ñåìåéñòâî ìíîæåñòâ (Xi)i∈I ∈ P(E)è äëÿ êàæäîé ïàðû α, β ∈ I × I òàêîé, ÷òî α 6 β, çàäàíî îòîáðàæåíèå

fβα : Xα → Xβ . Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî äëÿ ëþáûõ α 6 β 6 γ âûïîëíÿ-åòñÿ ðàâåíñòâî fγα = fγβ fβα. Òàêóþ ñèñòåìó ìíîæåñòâ è îòîáðàæåíèéáóäåì íàçûâàòü èíäóêòèâíîé ñèñòåìîé è áóäåì îáîçíà÷àòü (Xα, fβα).Äëÿ âñåõ α ∈ I îòîáðàæåíèå fαα : Xα → Xα â îïðåäåëåíèè èíäóêòèâ-íîé ñèñòåìû òîæäåñòâåííî.Ïóñòü (Xα, fβα) èíäóêòèâíàÿ ñèñòåìà ïîäìíîæåñòâ â E, F ïðÿ-ìàÿ ñóììà ìíîæåñòâ (Xα)α∈I . Íà F îïðåäåëèì îòíîøåíèå R ñëåäóþùèì11

îáðàçîì. Äëÿ ëþáûõ x, y ∈ F íàéäóòñÿ åäèíñòâåííûå α è β òàêèå, ÷òî

x ∈ Xα, y ∈ Xβ . Ñ÷èòàåì¾x ≡ y(modR)¿ := ¾∃γ ∈ I : γ > α, γ > β è fγα(x) = fγβ(y)¿.Òåîðåìà 1.14. Îòíîøåíèå R ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíî-ñòè íà F .Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü òðàíçèòèâíîñòü. Ïóñòü x ∈Xα, y ∈ Xβ , z ∈ Xγ è ïóñòü x ≡ y(modR), y ≡ z(modR), ò.å. ∃ δ : δ > α, δ >

β è fδα(x) = fδβ(y), ∃ σ : σ > β, σ > γ è fσβ(y) = fσγ(z). Âûáåðåì ε òàêîå,÷òî ε > δ, ε > σ. Òîãäà ε > α, ε > γ è fεα(x) = fεδ(fδα(x)) = fεδ(fδβ(y)) =fεβ(y) = fεσ(fσβ(y)) = fεσ(fσγ(z)) = fεγ(z), ò.å. x ≡ z(modR). Îïðåäåëåíèå 1.15. Ïóñòü (Xα, fβα) èíäóêòèâíàÿ ñèñòåìà è F ïðÿìàÿ ñóììà. Òîãäà ìíîæåñòâî X := FR íàçûâàåòñÿ èíäóêòèâíûìïðåäåëîì ñèñòåìû è îáîçíà÷àåòñÿ lim−→(Xα, fβα), èëè lim−→Xα, à f : F →FR êàíîíè÷åñêîå îòîáðàæåíèå.Áóäåì òàêæå îáîçíà÷àòü fα := f |Xα

: Xα → X ≡ lim−→Xα.Òàêèì îáðàçîì, äëÿ α 6 β èìååì êîììóòàòèâíóþ äèàãðàììó

Xα

fα !!CCC

CCCC

C

fβα // Xβ

fβ

X.Çàìå÷àíèå 1.16. Ïîñêîëüêó ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî F =

⊔αXα, à êàíî-íè÷åñêîå îòîáðàæåíèå f : F → X ñþðúåêòèâíî, òî

X = f(F ) =⋃

α

f(Xα) =⋃

α

fα(Xα). (1.1)Òåîðåìà 1.17. Åñëè êàæäîå fβα ñþðúåêòèâíî, òî è êàæäîå fα ñþðú-åêòèâíî.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x ∈ X . Èç ðàâåíñòâà 1.1 èìååì, ÷òî x ∈fγ(Xγ) äëÿ íåêîòîðîãî γ ∈ I. Òîãäà ñóùåñòâóåò xγ ∈ Xγ òàêîé, ÷òî x =fγ(xγ).Äëÿ äàííîãî fα âûáåðåì β > α, β > γ. Òîãäà

fγ(xγ) = fβ(fβγ(xγ)). (1.2)12

Òàê êàê fβγ(xγ) ∈ Xβ è fβα ñþðúåêòèâíî, òî ñóùåñòâóåò xα ∈ Xα òàêîé,÷òî

fβα(xα) = fβγ(xγ). (1.3)Èç ñîîòíîøåíèé (1.2) è (1.3) èìååìx = fγ(xγ) = fβ(fβγ(xγ)) = fβ(fβα(xα)) = fα(xα).

Òåîðåìà 1.18. Åñëè êàæäîå fβα èíúåêòèâíî, òî êàæäîå fα èíúåê-òèâíî.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x, y ∈ Xα è fα(x) = fα(y), ò.å. f(x) = f(y),÷òî îçíà÷àåò x ≡ y(modR). Íî, ïî îïðåäåëåíèþ R, ýòî îçíà÷àåò, ÷òîíàéäåòñÿ β > α òàêîå, ÷òî fβα(x) = fβα(y). Îòñþäà, ïî óñëîâèþ òåîðåìû,

x = y. Çàìå÷àíèå 1.19. Åñëè èíäóêòèâíàÿ ñèñòåìà (Xα, fβα) òàêîâà, ÷òî âñå

fβα èíúåêòèâíû, òî â ýòîì ñëó÷àå Xα ìîãóò áûòü îòîæäåñòâëåíû ñ fα(Xα)è X ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îáúåäèíåíèå ñâîèõ ÷àñòåé Xα, ïðè÷åì α 6

β òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà Xα ⊂ Xβ .Íåìíîãî ïîçæå äîêàæåì îáðàòíîå óòâåðæäåíèå. Äëÿ ýòîãî äîêàæåìáîëåå îáùóþ òåîðåìó.Òåîðåìà 1.20. Äëÿ âñÿêîãî α ∈ I ïóñòü gα : Xα → X ′ òàêîåîòîáðàæåíèå, ÷òî α 6 β âëå÷åò gα = gβ fβα. Òîãäà:1) ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå îòîáðàæåíèå g : X → X ′ òàêîå, ÷òî

gα = g fα;2) g ñþðúåêòèâíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà X ′ =⋃α gα(Xα);3) g èíúåêòèâíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáîãî α ∈ I è ýëå-ìåíòîâ x, y ∈ Xα ðàâåíñòâî gα(x) = gα(y) âëå÷åò ñóùåñòâîâàíèå òàêîãî

β > α, ÷òî fβα(x) = fβα(y).Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Òàê êàê F =⊔αXα, òî îïðåäåëèì h : F → X ′,ïîëàãàÿ h(x) := gα(x), åñëè x ∈ Xα.Îòîáðàæåíèå h ïîñòîÿííî íà êëàññàõ ýêâèâàëåíòíîñòè ïî R. Äåé-ñòâèòåëüíî, ïóñòü x ≡ x′(modR), ò.å. x ∈ Xα, x

′ ∈ Xβ è ñóùåñòâó-åò γ > α, γ > α, fγα(x) = fγβ(x′). Òîãäà gγ(fγα(x)) = gγ(fγβ(x

′)), ò.å.

gα(x) = gβ(x′), èëè h(x) = h(x′). 13

Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå îòîáðàæåíèå g : X → X ′ òàêîå, ÷òî

h = g f , ò.å. gα = g fα.2. Òàê êàê g(X) = h(F ) = h(⊔αXα) =

⋃α h(Xα) =

⋃α gα(Xα), òîñþðúåêòèâíîñòü g ýêâèâàëåíòíà ðàâåíñòâó X ′ =

⋃α gα(Xα).3. Ïóñòü g èíúåêòèâíî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî x, y ∈ Xα è gα(x) = gα(y),ò.å. g(fα(x)) = g(fα(y)). Îòñþäà, fα(x) = fα(y) äëÿ âñåõ α ∈ I, ò.å.

f(x) = f(y), èëè x ≡ y(modR). ×òî ýêâèâàëåíòíî fβα(x) = fβα(y) äëÿíåêîòîðîãî β > α.Îáðàòíî, ïóñòü x, y ∈ F è g([x]) = g([y]), ò.å g(f(x)) = g(f(y)) è ïóñòü

x ∈ Xα, y ∈ Xβ . Òîãäà g(f(x)) = g(f(y)) ýêâèâàëåíòíî (g fα)(x) =(g fβ)(y), èëè gα(x) = gβ(y).Âîçüìåì γ òàêîå, ÷òî γ > α, γ > β è ïîëîæèì x′ := fγα(x), y′ :=fγβ(y) ∈ Xγ . Îòñþäà, gγ(x′) = gα(x) = gβ(y) = gγ(y

′). Ïî ïðåäïîëîæåíèþòåîðåìû ñóùåñòâóåò δ > γ òàêîå, ÷òî fδγ(x′) = fδγ(y′), ò.å. x′ ≡ y′(modR),èëè f(x′) = f(y′). Íî f(x′) = fγ(x

′) = fγ(fγα(x)) = fα(x) = f(x) è

f(y′) = f(y). Òàêèì îáðàçîì, f(x) = f(y). Åñëè g áèåêöèÿ, òî ìû èíîãäà áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî X ′ åñòü èíäóê-òèâíûé ïðåäåë ñåìåéñòâà Xα.Ñëåäñòâèå 1.20.1 (Óòâåðæäåíèå, îáðàòíîå òåîðåìå 1.17).Ïóñòü X =⋃αXα, ïðè÷åì α 6 β âëå÷åò Xα ⊂ Xβ, ãäå jβα : Xα → Xβ êàíîíè÷åñêîå âëîæåíèå. Òîãäà X ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ lim−→(Xα, jβα),à êàíîíè÷åñêîå îòîáðàæåíèå Xα → lim−→Xα ñ êàíîíè÷åñêèì âëîæåíèåì

Xα → X.Ïðèìåð 1.21. Ïóñòü A è B äâà íåïóñòûõ ìíîæåñòâà, (Vα)α∈I ∈P(A), ïðè÷åì α 6 β âëå÷åò Vβ ⊂ Vα. Îáîçíà÷èì

Xα := F(Vα, B) ≡ BVα ìíîæåñòâî âñåõ îòîáðàæåíèé èç Vα â B.Äëÿ α 6 β ïîëîæèì fβα : Xα → Xβ, fβα(u) = u|Vβ

. Î÷åâèäíî, ÷òî(Xα, fβα)α∈I èíäóêòèâíàÿ ñèñòåìà.

X = lim−→Xα íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì ðîñòêîâ îòîáðàæåíèé ÷àñòåéìíîæåñòâà A â ìíîæåñòâî B, ñîîòâåòñòâóþùåå ñåìåéñòâó (Vα)α∈I .Ïðèìåð 1.22. Ïóñòü â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå 1.21 A òîïîëîãè÷åñêîåïðîñòðàíñòâî, (Vα)α∈I óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà îêðåñòíîñòåé òî÷êè x,íàïðàâëåííàÿ ïî îáðàòíîìó âêëþ÷åíèþ, ò.å. α 6 β òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà Vβ ⊂ Vα. Òîãäà lim−→X íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì ðîñòêîâ óíêöèé âòî÷êå x ñî çíà÷åíèåì â B. 14

Ïðèìåð 1.23. Ïóñòü â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå 1.22 B ÿâëÿåòñÿ òàê-æå òîïîëîãè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì. àññìàòðèâàÿ â êà÷åñòâå Xα =C(Vα, B) ìíîæåñòâî âñåõ íåïðåðûâíûõ îòîáðàæåíèé èç Vα â B, ïîëó÷èìâ êà÷åñòâå X ðîñòêè íåïðåðûâíûõ óíêöèé â òî÷êå x.Ïðèìåð 1.24. Ïóñòü K ⊂ X ïîäìíîæåñòâî òîïîëîãè÷åñêîãî ïðî-ñòðàíñòâà X è (Vα)α∈I óíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà îòêðûòûõ îêðåñò-íîñòåé ìíîæåñòâà K, íàïðàâëåííàÿ ïî îáðàòíîìó âêëþ÷åíèþ; Xα =C(Vα,R) è fβα(u) = u|Vβ

. Òîãäà Xα èíäóêòèâíàÿ ñèñòåìà, à X åñòüìíîæåñòâî ðîñòêîâ íåïðåðûâíûõ âåùåñòâåííûõ óíêöèé íà K.Ïðèìåð 1.25. Îòîæäåñòâèì Rn ñ ìíîæåñòâîì Xn :=(x1, x2, . . . , xn, 0, 0 . . .) : xk ∈ R èìååì X1 ⊂ X2 ⊂ . . . ⊂ Xn ⊂ . . .Òîãäà Xn ñ êàíîíè÷åñêèì âëîæåíèåì ÿâëÿåòñÿ èíäóêòèâíîé ñèñòåìîé è

X =⋃∞n=1Xn ≡ lim−→Xn ìíîæåñòâî âñåõ èíèòíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.Ïðèìåð 1.26. Ïóñòü Xn := C[−n,n](R) := f ∈ C(R) : supp f ⊂

[−n, n]. Î÷åâèäíî èíúåêòèâíîå âëîæåíèå Xn ∋ f → f ∈ Xn+1. Òîãäà

(Xn) èíäóêòèâíàÿ ñèñòåìà è X = lim−→Xn =⋃∞n=1Xn := K(R) ìíîæå-ñòâî âñåõ íåïðåðûâíûõ èíèòíûõ óíêöèé.Ïðèìåð 1.27. Ïóñòü Xn := C∞

[−n,n](R) := f ∈ C∞(R) : supp f ⊂[−n, n]. Òîãäà X = lim−→Xn = D(R) ìíîæåñòâî âñåõ áåñêîíå÷íî äèå-ðåíöèðóåìûõ èíèòíûõ óíêöèé.Ëåììà 1.28. Ïóñòü (Aα, ϕβα) è (Bα, ψβα) äâå èíäóêòèâíûå ñèñòå-ìû îòíîñèòåëüíî îäíîãî ìíîæåñòâà èíäåêñîâ I. Ïóñòü A = lim−→Aα, B =lim−→Bα, ϕα : Aα → A,ψα : Bα → B êàíîíè÷åñêèå îòîáðàæåíèÿ.Ïóñòü äëÿ ëþáîãî α ∈ I îòîáðàæåíèÿ gα : Aα → Bα òàêîâû, ÷òî ïðè

α 6 β äèàãðàììàAα

ϕβα

gα // Bα

ψβα

Aβ

gβ // Bβêîììóòàòèâíà. Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå g : A→ B òàêîå, ÷òîäèàãðàììàAα

ϕα

gα // Bα

ψα

A

g // Bêîììóòàòèâíà. 15

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëîæèì hα := ψαgα : Aα → B. Ñîãëàñíî òåîðåìå1.20 1), äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ g äîñòàòî÷íî òîãî, ÷òî ïðè α 6 β, hα = hβϕβα.Ýòî äåéñòâèòåëüíî òàê: hβ ϕβα = (ψβ gβ) ϕβα = ψβ (gβ ϕβα) =ψβ (ψβα gα) = (ψβ ψβα) gα = ψα gα = hα. Îïðåäåëåíèå 1.29. Ñåìåéñòâî îòîáðàæåíèé gα : Aα → Bα, óäîâëå-òâîðÿþùåå ëåììå 1.28, íàçûâàåòñÿ èíäóêòèâíîé ñèñòåìîé îòîáðàæåíèéèíäóêòèâíîé ñèñòåìû (Aα, ϕβα) â èíäóêòèâíóþ ñèñòåìó (Bα, ψβα), à îòîá-ðàæåíèå g íàçûâàþò èíäóêòèâíûì ïðåäåëîì ñåìåéñòâà gα è îáîçíà÷àþò

g = lim−→ gαËåììà 1.30. Ïóñòü (Cα, θβα) òðåòüÿ èíäóêòèâíàÿ ñèñòåìà, zα :Bα → Cα èíäóêòèâíàÿ ñèñòåìà îòîáðàæåíèé è z = lim−→ zα. Òîãäà

lim−→ zα gα = z g.Îïðåäåëåíèå 1.31. Ìíîæåñòâî J ⊂ I íàçûâàåòñÿ êîíèíàëüíûì, åñ-ëè äëÿ âñÿêîãî x ∈ I ñóùåñòâóåò y ∈ J òàêîé, ÷òî y > x.Òåîðåìà 1.32. 1. Åñëè J êîíèíàëüíàÿ ÷àñòü íàïðàâëåííîãî âïðà-âî ìíîæåñòâà I, òî J íàïðàâëåíî âïðàâî.2. Ïóñòü ((Xα)α∈I , (fβα)β,α∈I) èíäóêòèâíàÿ ñèñòåìà ñ èíäóêòèâ-íûì ïðåäåëîì X. Ïóñòü ((Xα)α∈J , (fβα)β,α∈J) èíäóêòèâíàÿ ñèñòåìàñ èíäóêòèâíûì ïðåäåëîì X ′. Äëÿ êàæäîãî α ∈ J ðàññìîòðèì êàíîíè-÷åñêîå îòîáðàæåíèå f ′α : Xα → X ′. Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿáèåêöèÿ g : X ′ → X òàêàÿ, ÷òî g(f ′

α(x)) = fα(x), α ∈ J , x ∈ Xα.Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Ïóñòü α, β ∈ J . Òîãäà ñóùåñòâóåò γ ∈ I òàêîé,÷òî γ > α è γ > β. Íî íàéäåòñÿ δ ∈ J òàêîé, ÷òî δ > γ.2. Ïóñòü X = lim−→Xα ≡ FR, F =⊔α∈I Xα, f : F → X è fα :

Xα → X êàíîíè÷åñêèå îòîáðàæåíèÿ.Àíàëîãè÷íî, ïóñòü X ′ = lim−→Xα ≡ F ′R′, F ′ =⊔α∈I Xα, f ′ : F ′ →

X ′ è f ′α : Xα → X ′ êàíîíè÷åñêèå è j : F ′ → F êàíîíè÷åñêàÿ èíúåêöèÿ.Îáîçíà÷èì gα := fα äëÿ α ∈ J .Ñîãëàñíî òåîðåìå 1.18 èìååì åäèíñòâåííîå îòîáðàæåíèå g : X ′ → Xòàêîå, ÷òî ñëåäóþùàÿ äèàãðàììà êîììóòàòèâíà:

F ′

j

f ′

// X ′

g

F

f // X.16

Åñëè äëÿ α ∈ J è x, y ∈ Xα èìååì gα(x) = gα(y), ò.å. x ≡ ymodR, òîñóùåñòâóåò β ∈ I, β > α òàêîå, ÷òî fβα(x) = fβα(y). Âûáåðåì γ ∈ J, γ > β.Òîãäà gγα(x) = fγβ(gβα(x)) = fγβ(gβα(y)) = fγα(y), ÷òî ïî òåîðåìå 1.20 3)îçíà÷àåò èíúåêòèâíîñòü g.×òîáû äîêàçàòü ñþðúåêòèâíîñòü g (ñîãëàñíî òåîðåìå 1.20 2)) íàäî äî-êàçàòü ðàâåíñòâî X =⋃α∈J gα(Xα) =

⋃α∈J fα(Xα). Íî äëÿ ∀β ∈ I ∃γ ∈

J : γ > β. Ïîýòîìó fβ(Xβ) = fγ(fγβ(Xβ)) ≡ f(fγβ(Xβ)) ⊂ f(Xγ) =gγ(Xγ). Ïîýòîìó ⋃

α∈J fα(Xα) =⋃γ∈I fγ(Xγ) = X . 1.3. Ïðîåêòèâíûå ïðåäåëûÏóñòü (I,6) íàïðàâëåííîå âïðàâî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî,

(Xi)i∈I ñåìåéñòâî ìíîæåñòâ è äëÿ êàæäîé ïàðû (α, β) ∈ I×I òàêîé, ÷òî

α 6 β, çàäàíî îòîáðàæåíèå fαβ : Xβ → Xα.Îïðåäåëåíèå 1.33. Åñëè ñîîòíîøåíèÿ α 6 β 6 γ âëåêóò fαγ = fαβ fβγ , òî òàêóþ ñèñòåìó ((Xα)α∈I , fβα) áóäåì íàçûâàòü ïðîåêòèâíîé.Îáîçíà÷èì G :=

∏α∈I Xα, x = (xα) ∈ G, prα : G ∋ x→ xα ∈ Xα.Îïðåäåëåíèå 1.34. Ìíîæåñòâî

X := x = (xα) ∈ G : ∀α 6 β prα x = fαβ(prβ x)íàçûâàåòñÿ ïðîåêòèâíûì ïðåäåëîì ïðîåêòèâíîé ñèñòåìû (Xα, fαβ) è îáî-çíà÷àåòñÿ X = lim←−α∈I(Xα, fαβ), èëè lim←−α∈I Xα, èëè lim←−Xα.Îáîçíà÷èì fα := prα |X . Òîãäà èìååì êîììóòàòèâíóþ äèàãðàììó

Xα Xβfαβoo

X.

fα

aaCCCCCCCCfβ

OOÇàìå÷àíèå 1.35. Îòìåòèì, ÷òî lim←−Xα ìîæåò áûòü ïóñòûì, äàæå åñëèâñå Xα íå ïóñòû è âñå îòîáðàæåíèÿ fαβ ñþðúåêòèâíû.Òåîðåìà 1.36. Åñëè âñå îòîáðàæåíèÿ fαβ èíúåêòèâíû, òî âñå fαèíúåêòèâíû. 17

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîãî α èìååì fα(a) = fα(b). Äëÿïðîèçâîëüíîãî i ∈ I âûáåðåì β > i, β > α. Òîãäà

fαβ(fβ(a)) = fα(a) = fα(b) = fαβ(fβ(b)).Ïîñêîëüêó fαβ èíúåêòèâíî, òî èìååì fβ(a) = fβ(b). Îòñþäà fiβ(fβ(a)) =fiβ(fβ(b)), ò.å. fi(a) = fi(b), èëè ai = bi, ò.å. a = b. Òåîðåìà 1.37. Äëÿ ëþáîãî α ∈ I ïóñòü çàäàíû îòîáðàæåíèÿ gα ìíî-æåñòâà X ′ â Xα òàêèå, ÷òî fαβ gβ = gα äëÿ α 6 β. Òîãäà:1) ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå îòîáðàæåíèå g : X ′ → X òàêîå, ÷òî

gα = fα g, ∀α ∈ I;2) g èíúåêòèâíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ∀x′, y′ ∈ X,x′ 6=y′ ∃α ∈ I : gα(x′) 6= gα(y′).Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Åñëè òðåáóåìîå g : X ′ → X ñóùåñòâóåò, òî ñî-ãëàñíî ðàâåíñòâó gα = fα g, èìååì gα(x′) = prα(g(x′)). Ò.å. îòîáðàæåíèå

g′ : X ′ → X îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé g(x′) = (gα(x′)).Çàäàäèì òåïåðü ýòîé æå îðìóëîé îòîáðàæåíèå g : X ′ ∋ x′ →(gα(x′)) ∈ G.Î÷åâèäíî ðàâåíñòâî gα(x′) = prα(g(x′)). Ïðîâåðèì, ÷òî g(x′) ∈ X .Äåéñòâèòåëüíî, g(x′) ∈ X îçíà÷àåò prα(g(x′)) = fαβ(prβ(g(x

′))) ò.å.

gα(x′) = fαβ(gβ(x′)), èëè gα = fαβ gβ . Íî ýòî äàíî óñëîâèåì.2) Î÷åâèäíî, ò.ê. g : X ′ ∋ x′ → (gα(x′)) ∈ X . Ñëåäñòâèå 1.37.1. Ïóñòü (Aα, ϕαβ), (Bα, ψαβ) äâå ïðîåêòèâíûåñèñòåìû, α, β ∈ I. Ïóñòü A = lim←−Aα, B = lim←−Bα, ϕα : A → Aα,

ψα : B → Bα êàíîíè÷åñêèå îòîáðàæåíèÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿêàæäîãî α ∈ I çàäàíû îòîáðàæåíèÿ gα : Aα → Bα òàêèå, ÷òî äëÿ α 6 βäèàãðàììà

Aβ

ϕαβ

gβ // Bβ

ψαβ

Aα

gα // Bαêîììóòàòèâíà. Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå îòîáðàæåíèå g : A →B òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî α ∈ I ñëåäóþùàÿ äèàãðàììà êîììóòàòèâíà:

A

ϕα

g // B

ψα

Aα

gα // Bα.18

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëîæèì hα = gα ϕα : A → Bα è ïðèìåíèì òåî-ðåìó 1.36. Îïðåäåëåíèå 1.38. Ñåìåéñòâî îòîáðàæåíèé gα : Aα → Bα, óäî-âëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ ñëåäñòâèÿ 1.37.1, íàçûâàåòñÿ ïðîåêòèâíîé ñèñòå-ìîé îòîáðàæåíèé ïðîåêòèâíîé ñèñòåìû (Aα, ϕβα) â ïðîåêòèâíóþ ñèñòåìó(Bα, ψβα), à îòîáðàæåíèå g : A→ B íàçûâàþò ïðîåêòèâíûì ïðåäåëîì ñå-ìåéñòâà gα è îáîçíà÷àþò lim←− gα.Ïóñòü (Cα, θαβ) òðåòüÿ ïðîåêòèâíàÿ ñèñòåìà ìíîæåñòâ îòíîñèòåëüíîI, (zα) : Bα → Cα ïðîåêòèâíàÿ ñèñòåìà îòîáðàæåíèé. Òîãäà lim←−(zα gα) = (lim←− zα) (lim←− gα).Òåîðåìà 1.39. Ïóñòü J êîíèíàëüíàÿ ÷àñòü ìíîæåñòâà

I, ((Xα)α∈I , fαβ) ïðîåêòèâíàÿ ñèñòåìà ñ ïðîåêòèâíûì ïðåäåëîì X èêàíîíè÷åñêèìè ïðîåêöèÿìè fα : X → Xα. Òîãäà ((Xα)α∈J , fαβ) ïðîåê-òèâíàÿ ñèñòåìà ñ ïðîåêòèâíûì ïðåäåëîì X ′ è êàíîíè÷åñêèìè ïðîåêöè-ÿìè f ′α : X ′ → Xα, à îòîáðàæåíèå

g : X ∋ x→ (fα(x))α∈J ∈ X ′ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé.Äîêàçàòåëüñòâî. Òî, ÷òî ((Xα)α∈J , fαβ) ïðîåêòèâíàÿ ñèñòåìà, âû-òåêàåò èç òîãî, ÷òî òàêîâîé ÿâëÿåòñÿ ((Xα)α∈I , fαβ). Îòñþäà æå ñëåäóåò,÷òî g îòîáðàæåíèå X â X ′.Ïðîâåðèì, ÷òî g èíúåêòèâíî. Åñëè x, y ∈ X è x 6= y, òî ∃α ∈ I : fα(x) 6=fα(y). Òàê êàê J êîíèíàëüíî â I, òî ∃β ∈ J, β > α è fαβ(fβ(x)) = fα(x) 6=fα(y) = fαβ(fβ(y)). Îòñþäà ñëåäóåò fβ(x) 6= fβ(y) (èáî â ïðîòèâíîì ñëó÷àå

fα(x) = fα(y)), ò.å. g(x) 6= g(y).Îñòàåòñÿ óáåäèòüñÿ, ÷òî g ñþðúåêòèâíî. Ïóñòü x′ = (x′α)α∈J ∈ X ′.Äëÿ âñÿêîãî β ∈ I ñóùåñòâóåò λ ∈ J òàêîé, ÷òî β 6 λ. Ïîêàæåì, ÷òîýëåìåíò fβλ(x′λ) íå çàâèñèò îò λ. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè µ ∈ J è β 6

µ, òî ñóùåñòâóåò ν ∈ J òàêîé, ÷òî ν > λ è ν > β. Îòñþäà fβν(x′ν) =fβλ(fλν(x

′ν)) = fβλ(x

′λ). Àíàëîãè÷íî fβν(x′ν) = fβµ(fµν(x

′ν)) = fβµ(x

′µ).Ïóñòü xβ îáùåå çíà÷åíèå îòîáðàæåíèé fβλ(x′λ) äëÿ òàêèõ λ ∈ J , ÷òî

λ > β. Ïîëîæèì x := (xβ)β∈I . Ýëåìåíò x ïðèíàäëåæèò X , èáî åñëè α 6 βè åñëè λ ∈ J òàêîâî, ÷òî λ > β > α, òî fαβ(xβ) = fαβ(fβλ(x′λ)) = fαλ(x

′λ) =

xα. Íàêîíåö, x′α = fαα(x′α) äëÿ âñÿêîãî α ∈ J . Ñëåäîâàòåëüíî, fα(x) = x′α.Îòêóäà, g(x) = x′. 19

Ïðèìåð 1.40. Ïóñòü (Xλ)λ∈L ïðîèçâîëüíîå ñåìåéñòâî ìíîæåñòâ,

I ìíîæåñòâî êîíå÷íûõ ÷àñòåé èç L, óïîðÿäî÷åííîå âêëþ÷åíèåì ⊂. Òî-ãäà (I,⊂) íàïðàâëåííî âïðàâî. Äëÿ êàæäîãî J ∈ I ïóñòü EJ :=∏λ∈J Xλ.Åñëè J,K ∈ I òàêèå, ÷òî J ⊂ K, òî ïóñòü fJK : EK → EJ ïðîåêöèÿ.Òîãäà ((EJ )J∈I , fJK) ïðîåêòèâíàÿ ñèñòåìà. Ïîëîæèì E := lim←−J∈I EJ .Îïðåäåëèì áèåêöèþ g : X → E, ãäå X =

∏λ∈LXλ. Äëÿ âñÿêîãî J ∈ Iïóñòü gJ : X → EJ ïðîåêöèÿ. Î÷åâèäíî, ÷òî fJK gK = gJ ïðè J ⊂ K.Ñóùåñòâîâàíèå è èíúåêòèâíîñòü g ñëåäóåò èç òåîðåìû 1.36.Äîêàæåì ñþðúåêòèâíîñòü g. Ïóñòü y = (yJ)J∈I ∈ E. Äëÿ âñÿêîãî

λ ∈ L è J ∈ I, ò.÷. λ ∈ J ýëåìåíò prλ(yJ) íå çàâèñèò îò J (ñîäåðæàùåé

λ)! Îáîçíà÷èì ýòîò ýëåìåíò xλ è ïîëîæèì x := (xλ)λ∈L ∈ X . Äëÿ âñÿêîãî

J ∈ I, ïî îïðåäåëåíèþ, gJ(x) = (xλ)λ∈J ≡ yJ , ò.å. g(x) = y.20

ë à â à 2ðóïïûÝòà ãëàâà ïîñâÿùåíà îñíîâàì îáùåé òåîðèè ãðóïï. Çäåñü ðàññìîòðå-íû öèêëè÷åñêèå è êîíå÷íûå ãðóïïû, íîðìàëüíûå ïîäãðóïïû è àêòîð-ãðóïïû. Äîêàçàíû òåîðåìû îá èçîìîðèçìàõ è î ðàçðåøèìûõ ãðóïïàõ.àññìîòðåíî äåéñòâèå ãðóïïû íà ìíîæåñòâå. Èçó÷åíà ñèììåòðè÷åñêàÿãðóïïà Sn è óñòàíîâëåíà åå íåðàçðåøèìîñòü ïðè n > 5.2.1. ðóïïû, ïîäãðóïïû, êëàññû ñìåæíîñòåéÎïðåäåëåíèå 2.1. Íåïóñòîå ìíîæåñòâî G ñ îïåðàöèåé ¾·¿ (óìíîæå-íèå) íàçûâàåòñÿ ãðóïïîé, åñëè îíî óäîâëåòâîðÿåò àêñèîìàì:1) (x · y) · z = x · (y · z) äëÿ ∀x, y, z ∈ G (àññîöèàòèâíîñòü);2) ñóùåñòâóåò ýëåìåíò e ∈ G òàêîé, ÷òî x · e = e · x = x äëÿ ∀x ∈ G.Ýëåìåíò e íàçûâàåòñÿ åäèíè÷íûì;3) äëÿ êàæäîãî x ∈ G ñóùåñòâóåò x−1 ∈ G òàêîé, ÷òî x·x−1 = x−1·x = e.Ýëåìåíò x−1 íàçûâàåòñÿ îáðàòíûì ê x.Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî è åäèíè÷íûé è îáðàòíûé ýëåìåíòû îïðåäåëÿþòñÿîäíîçíà÷íî. Îòñþäà ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî

(x · y)−1 = y−1 · x−1.ðóïïó îáîçíà÷àåì (G, ·), èëè, åñëè îïåðàöèÿ èçâåñòíà, ïðîñòî G. Âäàëüíåéøåì âìåñòî x · x ïèøåì x2 è òàêæå xn = x · x · . . . · x︸︷︷︸n

äëÿ n ∈ N,

x0 := e, x−n := (x−1)n . Òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëåíî xn äëÿ n ∈ Z.Åñëè â ãðóïïå G äëÿ âñåõ x, y ∈ G âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî xy = yx, òîãðóïïà íàçûâåòñÿ êîììóòàòèâíîé, èëè àáåëåâîé.Òåîðèþ àáåëåâûõ ãðóïï ìû ïîäðîáíî îáñóäèì â äàëüíåéøåì.Îïðåäåëåíèå 2.2. Ïîäãðóïïîé H ãðóïïû G íàçûâàåòñÿ ïîäìíîæå-ñòâî â G, ñàìî ÿâëÿþùååñÿ ãðóïïîé îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè â G.21

Òî, ÷òî H ÿâëÿåòñÿ ïîäãðóïïîé â G áóäåì çàïèñûâàòü â âèäå H 6 G.Ñàìà ãðóïïà G è ïîäãðóïïà, ñîñòîÿùàÿ èç îäíîãî ýëåìåíòà e, íàçûâà-þòñÿ òðèâèàëüíûìè ïîäãðóïïàìè.Åñëè A,B ïðîèçâîëüíûå ïîäìíîæåñòâà â ãðóïïå G, òî ÷åðåç AB,

A−1 áóäåì îáîçíà÷àòü ìíîæåñòâà

AB := a · b ∈ G : a ∈ A, b ∈ B,A−1 := a−1 ∈ G : a ∈ A.Âìåñòî aB, áóäåì ïèñàòü aB.Åñëè H ⊂ G ïîäãðóïïà, òî äëÿ ýëåìåíòîâ x, y ∈ G çàäàäèì îò-íîøåíèå ¾x ∼ y¿ ïî ïðàâèëó x−1y ∈ H . Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî îòíîøåíèåýêâèâàëåíòíîñòè. Êëàññ [x] := y ∈ G : y ∼ x = xH íàçûâàþò ëåâûìêëàññîì ñìåæíîñòè ïî H .ðóïïà G ðàçáèâàåòñÿ íà ëåâûå êëàññû ñìåæíîñòè:

G =⊔

i

xiH.Âñå êëàññû ðàâíîìîùíû. Äåéñòâèòåëüíî, îòîáðàæåíèå xiH ∋ xix →xjx ∈ xjH ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé.Ìîùíîñòü ìíîæåñòâà ëåâûõ ñìåæíûõ êëàññîâ ãðóïïû G ïî H îáîçíà-÷àåòñÿ (G : H) è íàçûâàåòñÿ èíäåêñîì ïîäãðóïïû H â G. Èíäåêñ òðèâè-àëüíîé ïîäãðóïïû íàçûâàåòñÿ ïîðÿäêîì ãðóïïû è îáîçíà÷àåòñÿ |G|, ò.å.|G| = (G : e). Äðóãèìè ñëîâàìè, ïîðÿäîê ãðóïïû G ýòî ìîùíîñòü G.Òåîðåìà 2.3 (Ëàãðàíæà). Ïóñòü K 6 H 6 G. Òîãäà

(G : K) = (G : H) · (H : K). (2.1)àâåíñòâî ñëåäóåò ïîíèìàòü òàê: åñëè äâà èç òðåõ èíäåêñîâ, âõîäÿùèõâ îðìóëó (2.1) êîíå÷íû, òî êîíå÷åí òðåòèé è èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî(2.1).Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî

H =⊔

i

xiK è G =⊔

j

yjH.Òîãäà

yjH = yj(⊔

i

xiK) =⊔

i,j

yjxiK.22

Îòñþäà

G =⊔

j

yjH =⊔

i,j

yjxiK.

Ñëåäñòâèå 2.3.1. Ïóñòü G êîíå÷íàÿ ãðóïïà è H 6 G. Òîãäà|G| = (G : H) · |H |,ò.å. ïîðÿäîê ïîäãðóïïû äåëèò ïîðÿäîê ãðóïïû.Ñëåäñòâèå 2.3.2. Êîíå÷íàÿ ãðóïïà ïðîñòîãî ïîðÿäêà íå èìååòíåòðèâèàëüíîé ïîäãðóïïû.Çàìå÷àíèå 2.4. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ïðàâûå êëàññû ñìåæíî-ñòè Hxi, ïðè÷åì èìååòñÿ áèåêöèÿ xiH ∋ xix→ xxi ∈ Hxi. Ïîýòîìó ïðà-âûå è ëåâûå êëàññû ðàâíîìîùíû (õîòÿ íå îáÿçàòåëüíî ñîâïàäàþò). Ââèäóýòîé ðàâíîìîùíîñòè èíäåêñ ïîäãðóïïû ðàâåí ìîùíîñòè ìíîæåñòâà ïðà-âûõ ñìåæíûõ êëàññîâ.2.2. Ïîðîæäåííûå, öèêëè÷åñêèå, êîíå÷íûå ãðóïïûÅñëè (Hi)i∈I ñåìåéñòâî ïîäãðóïï â G, òî H =

⋂i∈I Hi òîæå ïîä-ãðóïïà. Ïîýòîìó, åñëè S ⊂ G ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî, òî ñóùåñòâóåòíàèìåíüøàÿ ïîäãðóïïà â G, ñîäåðæàùàÿ S (êàê ïåðåñå÷åíèå âñåõ ïîä-ãðóïï â G, ñîäåðæàùèõ S). Îíà íàçûâàåòñÿ ïîäãðóïïîé, ïîðîæäåííîéìíîæåñòâîì S è îáîçíà÷àåòñÿ gr(S), èëè 〈S〉. Ìíîæåñòâî S íàçûâàåòñÿìíîæåñòâîì îáðàçóþùèõ äëÿ 〈S〉, èëè, ÷òî S ïîðîæäàåò 〈S〉.Áåç òðóäà ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî 〈S〉 ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ âèäà

x = x1 · x2 · . . . · xn(x), ãäå ëèáî xi ∈ S, ëèáî x−1i ∈ S.ðóïïà, ïîðîæäåííàÿ êîíå÷íûì ìíîæåñòâîì S, íàçûâàåòñÿ êîíå÷íîïîðîæäåííîé.ðóïïà, ïîðîæäåííàÿ îäíèì ýëåìåíòîì a ∈ G, íàçûâàåòñÿ öèêëè÷å-ñêîé. Òàêèì îáðàçîì, 〈a〉 = an : n ∈ Z.Ñóùåñòâóþò äâå âîçìîæíîñòè:1) âñå ýëåìåíòû an ðàçëè÷íû. Òîãäà ãðóïïà 〈a〉 =

. . . , a−2, a−1, e, a, a2, . . . áåñêîíå÷íà;2) íåêîòîðûå ýëåìåíòû ïîâòîðÿþòñÿ, íàïðèìåð ah = ak, h > k. Òîãäà

ah−k = e, ãäå h− k > 0. 23

Ïóñòü n íàèìåíüøèé ïîëîæèòåëüíûé ïîêàçàòåëü, ïðè êîòîðîì an =e. Òîãäà âñå ýëåìåíòû e = a0, a, a2, . . . an−1 ðàçëè÷íû. Åñëè ïðîèçâîëüíîåöåëîå ÷èñëî m ïðåäñòàâèòü â âèäå m = qn+ r(0 6 r < n), òî áóäåì èìåòü

am = aqn+r = (an)q · ar = ar.Òàêèì îáðàçîì, ëþáàÿ ñòåïåíü ýëåìåíòà a ëåæèò â ìíîæåñòâå

e, a, . . . an−1. Â ýòîì ñëó÷àå 〈a〉 = e, a, . . . an−1 è åå ïîðÿäîê ðàâåí

n. Âîîáùå, äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà x ïðîèçâîëüíîé ãðóïïû ïåðèîä, îí æåïîðÿäîê ýòîãî ýëåìåíòà (îáîçíà÷åíèå ordx), îïðåäåëÿþò êàê íàèìåíüøååíàòóðàëüíîå n, äëÿ êîòîðîãî xn = e, åñëè òàêîå n ñóùåñòâóåò, è êàê +∞,åñëè òàêîãî n íå ñóùåñòâóåò.ðóïïà G, ó êîòîðîé êàæäûé ýëåìåíò x ∈ G èìååò êîíå÷íûé ïîðÿäîê(ïåðèîä), ò.å. ordx < +∞ äëÿ ∀x ∈ G, íàçûâàåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé, èëèãðóïïîé êðó÷åíèÿ.Òåîðåìà 2.5. Â êîíå÷íîé ãðóïïå êàæäûé ýëåìåíò èìååò êîíå÷íûéïîðÿäîê, ïðè÷åì îí äåëèò ïîðÿäîê ãðóïïû.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâàÿ ÷àñòü î÷åâèäíà, èáî â ïðîòèâíîì ñëó÷àåãðóïïà áåñêîíå÷íà. Âòîðàÿ ÷àñòü âûòåêàåò èç ñëåäñòâèÿ 2.3.1, åñëè â êà÷å-ñòâå ïîäãðóïïû âçÿòü öèêëè÷åñêóþ ãðóïïó, ïîðîæäåííóþ ýëåìåíòîì a. Ñëåäñòâèå 2.5.1. Äëÿ ëþáîé ãðóïïû èç n ýëåìåíòîâ äëÿ ïðîèçâîëü-íîãî ýëåìåíòà a èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî an = e.Ñëåäñòâèå 2.5.2. Êîíå÷íàÿ ãðóïïà èç p ýëåìåíòîâ (p ïðîñòîå)öèêëè÷åñêàÿ.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü G = e, a1, a2, . . . , ap−1. Îáðàçóåì 〈ai〉 ⊂ G.Òàê êàê ai 6= e, òî ïî ñëåäñòâèþ 2.3.2 〈ai〉 = G äëÿ âñåõ ai. Òåîðåìà 2.5, òî÷íåå åå ñëåäñòâèå 2.5.1, äàåò ïðîñòîé ñïîñîá äîêàçàòåëü-ñòâà çíàìåíèòûõ òåîðåì Ôåðìà è Ýéëåðà.Ïðèìåð 2.6. Î÷åâèäíî, ÷òî |ZnZ| = n. Ïóñòü (ZnZ)× ãðóïïà.Ïî îïðåäåëåíèþ, [a] ∈ (ZnZ)× ⇔ ∃[l] ∈ ZnZ : [a][l] ≡ [1], èëè, äðóãèìèñëîâàìè, al − 1 = mn äëÿ íåêîòîðîãî m ∈ Z. Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî k èn âçàèìíî ïðîñòû, ò.å. (a, n) = 1.Òàêèì îáðàçîì, |(ZnZ)×| = ϕ(n), ãäå ϕ óíêöèÿ Ýéëåðà, à ϕ(n)îçíà÷àåò êîëè÷åñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë a, ìåíüøèõ n è âçàèìíî ïðîñòûõñ n. 24

Ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 2.5.1 òåîðåìû 2.5, äëÿ ëþáîãî a ∈ (ZnZ)× èìååìaϕ(n) ≡ 1(modn) (òåîðåìà Ýéëåðà).Åñëè p ïðîñòîå, òî ϕ(p) = p − 1, è ïîòîìó äëÿ ëþáîãî a âçàèìíîïðîñòîãî ñ p èìååì ap−1 ≡ 1(mod p) (òåîðåìà Ôåðìà).Òåîðåìà 2.7. Ïîäãðóïïà öèêëè÷åñêîé ãðóïïû ñ îáðàçóþùåé a öèêëè÷-íà.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü H 6 G è H 6= e. Åñëè am ∈ H , òî è a−m ∈ H .Ïóñòü k íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå òàêîå, ÷òî ak ∈ H . Òåïåðü ïóñòü asïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò èç H . Òîãäà s = qk + r(0 6 r < k). Îòñþäàas · (ak)−q = as−kq = ar ∈ H . Òàê êàê r < k, òî r = 0. Çíà÷èò, as = (ak)q.Òàêèì îáðàçîì, åñëè G áåñêîíå÷íà, ò.å. G = . . . , a−2, a−1, e, a, a2, . . .,òî H = . . . , a−2k, a−k, e, ak, a2k, . . .. Åñëè æå orda = n, ò.å. an = e,òî G = e, a, a2, . . . , an−1. Ïîýòîìó n = kq. Ñëåäîâàòåëüíî, H =ak, a2k, . . . , aqk = e, ò.å. |H | = q. Ñëåäñòâèå 2.7.1. Âñÿêàÿ ïîäãðóïïà â Z èìååò âèä kZ.Ñëåäñòâèå 2.7.2. Âñÿêàÿ ïîäãðóïïà â ZnZ = 0, 1, 2, . . . , n − 1 ≡1, 2, . . . , n èìååò âèä k, 2k, . . . , qk = n = k · 1, 2, . . . , q = k ·ZqZ, ãäå

n = kq.Òåîðåìà 2.8. Ïóñòü orda = n. Òîãäàordak =

n

(n, k),ãäå (n, k) = ÍÎÄ (n, k).Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü d = (n, k). Òîãäà n = dn1, k = dk1 è

(n1, k1) = 1. Ñëåäîâàòåëüíî, èìååì öåïî÷êó ýêâèâàëåíòíûõ ñîîòíîøåíèé

(ak)m = 1⇔ n|km⇔ dn1|dk1m⇔ n1|m.Ñ äðóãîé ñòîðîíû,

(ak)n1 = akn1 = ak1dn1 = ak1n = (an)k1 = 1.Òàêèì îáðàçîì,

ordak = n1 =n

d=

orda

(orda, k).

25

Òåîðåìà 2.9. Ó öèêëè÷åñêîé ãðóïïû ïîðÿäêà n èìååòñÿ ðîâíî ϕ(n)îáðàçóþùèõ.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü a îáðàçóþùèé ýëåìåíò öèêëè÷åñêîé ãðóï-ïû G è ïóñòü orda = n. Ñîãëàñíî òåîðåìå 2.7, ëþáàÿ ïîäãðóïïà H 6 Gèìååò îáðàçóþùóþ ak. Ñëåäîâàòåëüíî, H = G òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà

ordak = orda. Ñîãëàñíî òåîðåìå 2.8, ýòî âîçìîæíî òîëüêî åñëè (k, n) = 1.Òàêèì îáðàçîì, ak áóäåò ÿâëÿòüñÿ îáðàçóþùèì ãðóïïû G òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà (k, n) = 1. 2.3. Íîðìàëüíûå ïîäãðóïïû, àêòîð-ãðóïïûÎïðåäåëåíèå 2.10. Ïîäãðóïïà H 6 G òàêàÿ, ÷òî xH = Hx äëÿ âñåõ

x ∈ G, ò.å. ëåâûå ñìåæíûå êëàññû ñîâïàäàþò ñ ïðàâûìè, íàçûâàåòñÿíîðìàëüíîé. Óñëîâèå íîðìàëüíîñòè H â G îáîçíà÷àåòñÿ H ⊳G.Ïðèìåð 2.11. 1. Â àáåëåâîé ãðóïïå ëþáàÿ ïîäãðóïïà íîðìàëüíà.2. SL(Cn) ⊳GL(Cn).3. O(Cn) íå íîðìàëüíà â GL(Cn).4. Åñëè K 6 H 6 G è K ⊳G, òî î÷åâèäíî, ÷òî K ⊳H .5. Îäíàêî, åñëè K ⊳H è H ⊳ G, òî íå îáÿçàòåëüíî K ⊳ G (ñì. ïðè-ìåð 2.27).Òåîðåìà 2.12. Ìíîæåñòâî êëàññîâ ñìåæíîñòè ïî íîðìàëüíîé ïîä-ãðóïïå H ⊳ G îáðàçóåò ãðóïïó GH (àêòîð-ãðóïïó), åñëè óìíîæåíèåââåñòè ïî ïðàâèëó (xH) · (yH) = (xy)H.Äîêàçàòåëüñòâî. Óìíîæåíèå îïðåäåëåíî êîððåêòíî, ïîñêîëüêó(xH)(yH) = x(Hy)H = x(yH)H = xyHH = (xy)H.Åäèíè÷íûì ýëåìåíòîì ñëóæèò H , à (xH)−1 = x−1H . Îïðåäåëåíèå 2.13. Ïóñòü (G, ·) è (G′, ) ãðóïïû ñ åäèíèöàìè e è

e′ ñîîòâåòñòâåííî. Îòîáðàæåíèå f : G → G′ íàçûâàåòñÿ ãîìîìîðèçìîì,åñëè äëÿ âñåõ x, y ∈ G âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâîf(x · y) = f(x) f(y).Åñëè f áèåêöèÿ, òî îáðàòíîå îòîáðàæåíèå f−1 ÿâëÿåòñÿ ãîìîìîðèç-ìîì è f â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàåòñÿ èçîìîðèçìîì ãðóïï G è G′. ðóïïû,äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóåò èçîìîðèçì, íàçûâàþòñÿ èçîìîðíûìè.26

Ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî, åñëè f ãîìîìîðèçì, òî f(e) = e′ è[f(x)]−1 = f(x−1).Îáîçíà÷èì ker f = x ∈ G : f(x) = e′ ÿäðî ãîìîìîðèçìà f èIm f = f(G) îáðàç ãîìîìîðèçìà.Òåîðåìà 2.14. Ïóñòü f : G → G′ ãîìîìîðèçì ãðóïï è ïóñòüH 6 G, H ′ 6 G′. Òîãäà:1) f(H) 6 G′ (â ÷àñòíîñòè, Im f = f(G) 6 G′);2) åñëè H ⊳G, òî f(H) ⊳ f(G);3) f−1(H ′) 6 G (â ÷àñòíîñòè, ker f 6 G);4) åñëè H ′ ⊳G′, òî f−1(H ′) ⊳G (â ÷àñòíîñòè ker f ⊳G).Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Åñëè f(x), f(y) ∈ f(H), òî f(x)−1 = f(x−1) ∈f(H) è f(x) · f(y) = f(xy) ∈ f(H).2. Ïóñòü g ∈ G. Òîãäà f(g)f(x)f(g)−1 = f(g)f(x)f(g−1) = f(gxg−1) ∈f(H) (òàê êàê gxg−1 ∈ H äëÿ ∀x ∈ H).3. Åñëè x, y ∈ f−1(H ′), òî f(x), f(y) ∈ H ′. Ñëåäîâàòåëüíî, f(x)−1 =f(x−1) ∈ H ′, ò.å. x−1 ∈ f−1(H ′). Àíàëîãè÷íî, f(x) · f(y) = f(xy) ∈ H ′, ò.å.

xy ∈ f−1(H ′).4. Ïóñòü x ∈ f−1(H ′) è g ∈ G. Òîãäà gxg−1 ∈ f−1(H ′), èáî f(gxg−1) =f(g)f(x)f(g)−1 ∈ H ′. Îïðåäåëåíèå 2.15. Åñëè H íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà â G, òî îòîáðà-æåíèå

π : G ∋ x→ xH ∈ GHÿâëÿåòñÿ ãîìîìîðèçìîì è íàçûâàåòñÿ êàíîíè÷åñêèì ãîìîìîðèçìîì.Î÷åâèäíî, ÷òî π ñþðúåêòèâåí.Òåîðåìà 2.16. Ïîäãðóïïà íîðìàëüíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàÿâëÿåòñÿ ÿäðîì íåêîòîðîãî ãîìîìîðèçìà.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f : G → G′ ïðîèçâîëüíûé ãîìîìîðèçì.Òîãäà ker f ⊳G ïî òåîðåìå 2.14 3).Îáðàòíî, åñëè H ⊳G è π : G → GH êàíîíè÷åñêèé ãîìîìîðèçì,òî kerπ = H . Òåîðåìà 2.17. Ïîäãðóïïà èíäåêñà äâà âñåãäà íîðìàëüíà.27

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü H 6 G è (G : H) = 2. Òîãäà äëÿ ëþáîãî

x ∈ G, x /∈ H èìååì ðàâåíñòâà H ⊔ (xH) = G = H ⊔ (Hx). Îòñþäà

xH = GH = Hx, ò.å. H ⊳G. 2.4. Òåîðåìû îá èçîìîðèçìàõÒåîðåìà 2.18 (Ïåðâàÿ òåîðåìà îá èçîìîðèçìå). Åñëè f : G→G′ ãîìîìîðèçì, òî ãðóïïû G ker f è Im f èçîìîðíû. (Ñðàâíèòü ñòåîðåìîé 1.2.)Äîêàçàòåëüñòâî. Èçîìîðèçì f∗ : G ker f ≡ GH → Im f îïðåäå-ëèì òàê, ÷òîáû ñëåäóþùàÿ äèàãðàììà áûëà êîììóòàòèâíà:

G

f ""DDD

DDDD

DDπ // GH

f∗

G′,ò.å. çàäàäèì f∗ ïî ïðàâèëó

f∗(π(x)) := f(x).Ýòî îïðåäåëåíèå êîððåêòíî, èáî åñëè π(x) = π(y), ò.å. e′ = [π(y)]−1 ·π(x) = π(y−1)π(x) = π(y−1x), òî y−1x ∈ H . Ïîýòîìó f(y−1x) = e′, èëè[f(y)]−1 · f(x) = e′, ò.å. f(x) = f(y).Çàìåòèì, ÷òî Im f∗ = Im f (ïî îïðåäåëåíèþ f∗).Ïðîâåðèì, ÷òî f∗ ãîìîìîèçì. Äåéñòâèòåëüíî, f∗(π(x) · π(y)) =f∗(π(xy)) = f(xy) = f(x) · f(y) = f∗(π(x)) · f∗(π(y)). Âû÷èñëèì ÿäðîãîìîìîðèçìà f∗:

ker f∗ = π(x) : f(x) = e′ = π(x) : x ∈ H = H = 1GH .Òàêèì îáðàçîì, ker f∗ òðèâèàëüíî. Ñëåäîâàòåëüíî, f∗ èíüåêòèâíî. Òåïåðü òåîðåìû 2.14 è 2.18 ìîæíî äîïîëíèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì.Òåîðåìà 2.19. Ïóñòü çàäàí ãîìîìîðèçì ãðóïï f : G→ G′, H ⊳G èH ′ ⊳G′. Òîãäà ãîìîìîðèçì f îïðåäåëÿåò êàíîíè÷åñêèå:1) ñþðúåêòèâíûé ãîìîìîðèçì

f : GH → f(G)f(H)28

îðìóëîé

f(gH) := f(g)f(H);2) èçîìîðèçì

f∗ : Gf−1(H ′)→ f(G)H ′îðìóëîé

f∗(gf−1(H ′)) := f(g)H ′.Çàìå÷àíèå 2.20. 1. Åñëè â óñëîâèè òåîðåìû 2.19 H = ker f , òî fäîñòàâëÿåò èçîìîðèçì òåîðåìû 2.18.2. Åñëè â óñëîâèè òåîðåìû 2.19 H ′ = e′, òî f∗ äàåò ñíîâà ïåðâóþòåîðåìó îá èçîìîðèçìàõ.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2.19. Èç òåîðåìû 2.14 èìååì f(H)⊳f(G)è f−1(H ′) ⊳G. Ïîýòîìó âñå àêòîð-ãðóïïû â òåîðåìå îïðåäåëåíû. Êîð-ðåêòíîñòü îïðåäåëåíèÿ îòîáðàæåíèé f è f∗ ïðîâåðÿþòñÿ àíàëîãè÷íî, êàêâ òåîðåìå 2.18. îìîìîðíîñòü f è f∗ âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî f ãîìîìîð-èçì. Íàêîíåö, âû÷èñëÿåì

ker f∗ = gf−1(H ′) ∈ Gf−1(H ′) : f(g)H ′ = H ′ =

= gf−1(H ′) ∈ Gf−1(H ′) : f(g) ∈ H ′ =

= gf−1(H ′) ∈ Gf−1(H ′) : g ∈ f−1(H ′) = f−1(H ′) = eGf−1(H′).

Ïðèìåð 2.21. 1. Îòîáðàæåíèå exp : (R,+) ∋ x → ex ∈ (R+, ·) ÿâëÿ-åòñÿ èçîìîðèçìîì ãðóïï.2. îìîìîðíûé îáðàç öèêëè÷åñêîé ãðóïïû ãðóïïà öèêëè÷åñêàÿ.Òåîðåìà 2.22 (Êýëè). Êàæäàÿ ãðóïïà èçîìîðíà ïîäãðóïïå íåêîòî-ðîé ãðóïïû ïîäñòàíîâîê.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü G ãðóïïà è S(G) ãðóïïà ïîäñòàíîâîêìíîæåñòâà G. Äëÿ êàæäîãî g ∈ G îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå

τg : G ∋ x→ gx ∈ G.Î÷åâèäíî τg ∈ S(G). Ïîýòîìó èìååì ãîìîìîðèçì ãðóïï

χ : G ∋ g → τg ∈ S(G).29

Çàìåòèì, ÷òî

kerχ = g ∈ G : τg = idG = g ∈ G : gx = x ∀x ∈ G = e.Òàêèì îáðàçîì, χ : G→ Imχ èçîìîðèçì, à Imχ ïîäãðóïïà â G. Ëåììà 2.23. Åñëè H è N ïîãðóïïû â G, òî HN ïîäãðóïïà â Gòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà HN = NH, è òîãäà HN = 〈H ∪N〉.Äîêàçàòåëüñòâî. (⇒) Åñëè HN ïîäãðóïïà â G, òî HN =(HN)−1 = N−1H−1 = NH .(⇐) Åñëè HN = NH , òî (NH)−1 = H−1N−1 = HN = NH . Òàêèìîáðàçîì, åñëè x ∈ HN , òî x−1 ∈ HN . Ïðîèçâåäåíèå äâóõ ýëåìåíòîâ èç

HN ïðèíàäëåæèò HN , èáî (HN)(HN) = H(NH)N = H(HN)N = HN .ßñíî, ÷òî H ⊂ HN , N ⊂ HN . Çíà÷èò, 〈H ∪N〉 6 HN . Ñ äðóãîéñòîðîíû, êàæäàÿ ïîãðóïïà S, ñîäåðæàùàÿH è N , ñîäåðæèò òàêæå HN . Ëåììà 2.24. Ïóñòü H è N ïîãðóïïû â G è N ⊳G. Òîãäà:1) HN = NH;2) N ⊳HN ;3) (H ∩N) ⊳H.Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Äëÿ ∀h ∈ H èìååì hN = (hNh−1)h = Nh (èáîhNh−1 = N).2. Ïî ëåììå 2.23 HN ïîäãðóïïà â G. Ïîêîëüêó N ⊳G, òî òåì áîëååN ⊳HN .3. π : G → GN ãîìîìîðèçì è kerπ = N . Ñóæåíèå πH : H →GN ãîìîìîðèçì è kerπH = N ∩H . Ïî òåîðåìå 2.16 N ∩H ⊳H . Òåîðåìà 2.25 (Âòîðàÿ òåîðåìà îá èçîìîðèçìå). Ïóñòü H èN ïîãðóïïû â G è, êðîìå òîãî, N ⊳G. Òîãäà èìååì èçîìîðèçì

H(H ∩N) ∼= HNN. (2.2)Äîêàçàòåëüñòâî. Ââèäó ëåììû 2.24 ãðóïïû H(H ∩ N) è HNNñóùåñòâóþò. àññìîòðèì êàíîíè÷åñêèé ãîìîìîðèçì π : G → GN èåãî ñóæåíèå πH : H → GN . Êàê ìû óæå âèäåëè, kerπH = H ∩ N .Äàëåå, ImπH := hN ∈ GN : h ∈ H = HNN . Ïî ïåðâîé òåîðåìå îáèçîìîðèçìå (òåîðåìà 2.18) èìååì (2.2). 30

Òåîðåìà 2.26 (Òðåòüÿ òåîðåìà îá èçîìîðèçìå. Ïðàâèëîñîêðàùåíèÿ). Ïóñòü H⊳G, N⊳G è N 6 H (ñëåäîâàòåëüíî, N⊳H⊳G).Òîãäà

GH ∼= (GN)(HN).(Ñðàâíèòü ñ òåîðåìîé 1.9.)Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî, ÷òî HN 6 GN . Òàê êàê N ⊳G, ò.å.gN = Ng äëÿ ëþáûõ g ∈ G, òî äëÿ âñåõ h ∈ H èìååì (gN)(hN)(gN)−1 =(ghg−1)N . Ïîñêîëüêó H ⊳G, òî ghg−1 ∈ H . Ïîýòîìó (HN) ⊳ (GN).àññìîòðèì îòîáðàæåíèå

ϕ : GN → GH,îïðåäåëåííîå îðìóëîéϕ(gN) := gH.Ýòî îïðåäåëåíèå êîððåêòíî, èáî g1N = g2N ⇔ g1g

−12 ∈ N 6 H ⇔

g1H = g2H .Îòîáðàæåíèå ϕ ñþðúåêòèâíî, èáî g ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò G.Îòîáðàæåíèå ϕ ÿâëÿåòñÿ ãîìîìîðèçìîì. Äåéñòâèòåëüíî,

ϕ[(g1N)(g2N)] = ϕ(g1g2N) = g1g2H = (g1H)(g2H) = ϕ(g1N) · ϕ(g2N).Ïî ïåðâîé òåîðåìå îá èçîìîðèçìåGH ∼= (GN)kerϕ.Îäíàêî,

kerϕ = gN ∈ GN : gN = H = gN ∈ GN : g ∈ H = HN.

Ïðèìåð 2.27. Îòìåòèì, ÷òî èç ñîîòíîøåíèé N⊳H⊳G âîîáùå ãîâîðÿíå ñëåäóåò N ⊳G, ò.å. îòíîøåíèå ¾⊳¿ íå òðàíçèòèâíî.Ïóñòü D4 ãðóïïà ñèììåòðèé êâàäðàòà ñ âåðøèíàìè 1,2,3,4, çà-íóìåðîâàííûìè ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. Îáîçíà÷èì ïðåîáðàçîâàíèÿ:

ρ = (1234) âðàùåíèå ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè íà 90 è τ = (12)(34) ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî ãîðèçîíòàëüíîé îñè. Òîãäà D4 := 〈ρ, τ 〉 =I, ρ, ρ2, ρ3, τ, ρτ, ρ2τ, ρ3τ. Î÷åâèäíî |D4| = 8. àññìîòðèì ïîäãðóïïû

N = I, τ èH = I, ρ2, τ, ρ2τ. ßñíî, ÷òî |N | = 2 è |H | = 4 èN 6 H 6 D4.31

Êðîìå òîãîN⊳D4 èH⊳D4, òàê êàê (H : N) = 2 è (D4 : H) = 2. ÎäíàêîNíå ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíîé ïîäãðóïïîé âD4! Äåéñòâèòåëüíî, åñëè áûN⊳D4,òî òîãäà äîëæíî áûòü ρNρ−1 ≡ ρ, ρτρ−1 ≡ I, ρτρ−1 = N = I, τ, ò.å.äîëæíî áûòü ρτρ−1 = τ , èëè ρτ = τρ. Îäíàêî, ρτ = (13), à τρ = (24).Îïðåäåëåíèå 2.28. Ïóñòü H è K ãðóïïû ñ åäèíè÷íûì ýëåìåí-òîì eH è eK ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà G = H × K ïðåâðàùàåòñÿ â ãðóïïóñ îïåðàöèåé ¾ïîêîîðäèíàòíîãî óìíîæåíèÿ¿

(h1, k1) · (h2, k2) = (h1h2, k1k2)è åäèíè÷íûì ýëåìåíòîì eG = (eH , eK).ðóïïà G íàçûâàåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì ãðóïï H è K.Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèå ∏i∈I Gi ïðîèçâîëüíîãî ñåìåé-ñòâà ãðóïï (Gi)i∈I .Òåîðåìà 2.29 (×åòâåðòàÿ òåîðåìà îá èçîìîðèçìå). Ïóñòü Gè G′ ãðóïïû è H ⊳G, H ′ ⊳G′. Òîãäà:1) (H ×H ′) ⊳ (G×G′);2) (G×G′)(H ×H ′) ∼= (GH)× (G′H ′).(Ñðàâíèòü ñ òåîðåìîé 1.12.)Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Âûòåêàåò èç ñîîòíîøåíèÿ

(g, g′)(h, h′)(g−1, g′−1) = (ghg−1, g′h′g′−1) ∈ H ×H ′.2. Íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî îòîáðàæåíèå

f : G×G′ ∋ (g, g′)→ (gH, g′H ′) ∈ GH ×G′H ′ÿâëÿåòñÿ ñþðúåêòèâíûì ãîìîìîðèçìîì ñ ÿäðîì

ker f = (g, g′) ∈ (G×G′) : gH = H, g′H ′ = H ′ = H ×H ′.Òåïåðü ïðèìåíèì ïåðâóþ òåîðåìó îá èçîìîðèçìå. Òåîðåìà 2.30 (Î ñîîòâåòñòâèè). Ïóñòü N ⊳G. Äëÿ ëþáîé ãðóïïûH òàêîé, ÷òî N 6 H 6 G, çàäàäèì îòîáðàæåíèå îðìóëîé

ϕ(H) := HN.Òîãäà îòîáðàæåíèå ϕ ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé ìåæäó ïîãðóïïàìè â G, ñîäåð-æàùèìè N , è ïîãðóïïàìè â GN .32

Äîêàçàòåëüñòâî. Îòîáðàæåíèå ϕ èíúåêòèâíî. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòüϕ(H1) = ϕ(H2), ò.å. H1N = H2N . Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ êàæäîãî h1 ∈H1 íàéäåòñÿ h2 ∈ H2 òàêîå, ÷òî h1N = h2N . Ñëåäîâàòåëüíî, h−1

2 h1 ∈ N ⊂H2 è h1 ∈ H2. Òàêèì îáðàçîì, H1 ⊂ H2. Ïî ñèììåòðèè, H1 = H2, ò.å. ϕèíúåêòèâíî.Ïóñòü π : G → GN êàíîíè÷åñêèé ãîìîìîðèçì è Q ⊂ GN ïðîèçâîëüíàÿ ïîäãðóïïà. Çíà÷èò, N ∈ Q. Ñëåäîâàòåëüíî, π−1(Q) ⊃π−1(N) = N . Òàêèì îáðàçîì, π−1(Q) ïîäãðóïïà â H , ñîäåðæàùàÿ N ,è ϕ(π−1(Q)) = Q. Çíà÷èò, ϕ ñþðúåêòèâíî, ïðè÷åì ϕ−1 : GN ⊃ Q →π−1(Q) ⊂ G. 2.5. Öåíòð è êîììóòàíò ãðóïïûÂ ýòîì ïóíêòå äàäèì âàæíûå ïðèìåðû íîðìàëüíûõ ïîäãðóïï.Îïðåäåëåíèå 2.31. Öåíòðîì ãðóïïû G íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî

Z(G) := x ∈ G : xg = gx, ∀g ∈ G.Òåîðåìà 2.32. Öåíòð ãðóïïû ÿâëÿåòñÿ åå íîðìàëüíîé ïîäãðóïïîé.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü çàäàíà ãðóïïà G è Z(G) åå öåíòð. Åñëè

x, y ∈ Z(G), òî (xy)g = x(yg) = x(gy) = (xg)y = g(xy), ò.å. xy ∈ Z(G).Êðîìå òîãî, óìíîæàÿ ðàâåíñòâî xg = gx ñíà÷àëà ñëåâà íà x−1, çàòåìñïðàâà íà x−1, ïîëó÷èì gx−1 = x−1g, ò.å. x−1 ∈ Z(G). Èç îïðåäåëåíèÿ

Z(G) òàêæå âèäíî, ÷òî gZ(G) = Z(G)g äëÿ ëþáîãî g ∈ G, ò.å. Z(G)⊳G. Îïðåäåëåíèå 2.33. Êîììóòàòîðîì äâóõ ýëåìåíòîâ x, y ∈ G íàçû-âàåòñÿ ýëåìåíò ãðóïïû G

[x, y] := xyx−1y−1.Êîììóòàíòîì ãðóïïû G íàçûâàþò åå ïîäãðóïïó [G,G], ïîðîæäåííóþâñåìè êîììóòàòîðàìè:

[G,G] := 〈[x, y] : x, y ∈ G〉.Îòìåòèì íåñêîëüêî ïîëåçíûõ ñîîòíîøåíèé, êîòîðûå ïðîâåðÿþòñÿíåïîñðåäñòâåííî.Òåîðåìà 2.34. 1) [x, y] = e òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà xy = yx. Â÷àñòíîñòè, G àáåëåâà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà [G,G] = e;33

2)

[x, y] = [y, x]−1; (2.3)3)

z[x, y]z−1 = [zx, y][y, z]. (2.4)Òåîðåìà 2.35. Ïóñòü çàäàíû ãðóïïà G è åå ïîäãðóïïà H. Òîãäà:1) [G,G] ⊳G è G[G,G] àáåëåâà;2) åñëè H ⊳G è GH àáåëåâà, òî [G,G] ⊳H.Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Ïîñêîëüêó âñÿêèé ýëåìåíò z ∈ [G,G] èìååò âèä

z = [x1, y1]ε1 . . . [xn, yn]

εn , ãäå εi = ±1, òî èç ðàâåíñòâà (2.3) ñëåäóåò, ÷òî zìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ êîììóòàòîðîâ. Òàêèì îáðàçîì,âñÿêèé ýëåìåíò z ∈ [G,G] ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

z = [x1, y1] . . . [xn, yn].Ïóñòü g ∈ G ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò. Òîãäà

gzg−1 = (g[x1, y1]g−1)(g[x2, y2]g

−1) . . . (g[xn, yn]g−1).Ïî ñâîéñòâó 3) ïðåäëîæåíèÿ 2.34 êàæäûé ñîìíîæèòåëü â ýòîì ïðîèç-âåäåíèè ìîæåò áûòü çàïèñàí êàê ïðîèçâåäåíèå êîììóòàòîðîâ. Ïîýòîìó

gzg−1 ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ïðîèçâåäåíèå êîììóòàòîðîâ, ò.å. gzg−1 ∈[G,G]. Òàêèì îáðàçîì, g[G,G]g−1 ∈ G. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî [G,G] ⊳G.×òîáû äîêàçàòü, ÷òî G[G,G] àáåëåâà, íàäî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ∀x, y ∈G áóäåò (x[G,G]) · (y[G,G]) = (y[G,G]) · (x[G,G]), ò.å. xy[G,G] = yx[G,G].×òî ýêâèâàëåíòíî x−1y−1xy[G,G] = [G,G], èëè [x−1, y−1]G = G. Ïîñëåä-íåå ðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî, èáî [x−1, y−1] ∈ G.2. Ïóñòü H ⊳ G è GH àáåëåâà, è ïóñòü x, y ∈ G. Òîãäà(x−1H)(y−1H) = (y−1H)(x−1H). Îòêóäà x−1y−1H = y−1x−1H . Óìíîæàÿîáå ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà íà xy, ïîëó÷èì [x, y]H = H . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òîâñå êîììóòàòîðû [x, y] ïðèíàäëåæàò H . Çíà÷èò, [G,G] 6 H . Ïîñêîëüêó[G,G] ⊳G, òî [G,G] ⊳H . 2.6. Äåéñòâèå ãðóïïû íà ìíîæåñòâåÎïðåäåëåíèå 2.36. îâîðÿò, ÷òî ãðóïïà G äåéñòâóåò íà ìíîæåñòâåM , èëè M åñòü G-ìíîæåñòâî, åñëè çàäàíî îòîáðàæåíèå

G×M ∋ (g, x)→ gx ∈M,34

îáëàäàþùåå ñâîéñòâàìè:1) (g1g2)x = g1(g2x), ∀g1, g2 ∈ G, ∀x ∈M ;2) ex = x, ∀x ∈M .Äðóãèìè ñëîâàìè, åñëè S(M) ãðóïïà ïîäñòàíîâîê ìíîæåñòâàM , ò.å.ãðóïïà áèåêòèâíûõ îòîáðàæåíèé ìíîæåñòâàM â ñåáÿ, òî çàäàíèå äåéñòâèÿãðóïïû G íà ìíîæåñòâå M ýòî çàäàíèå ãîìîìîðèçìàG ∋ g → Tg ∈ S(M),è òîãäà, ïî îïðåäåëåíèþ, gx := Tg(x).Îïðåäåëåíèå 2.37. Ïóñòü M G-ìíîæåñòâî, x ∈ M . Îðáèòîé ýëå-ìåíòà x íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî

Ox := Gx = gx ∈M : g ∈ G.Òåîðåìà 2.38. Îðáèòû ðàçáèâàþò ìíîæåñòâî M íà êëàññû ýêâèâà-ëåíòíîñòè.Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìî äîêàçàòü, ÷òî åñëè Ox ∩ Oy 6= ∅, òî

Ox = Oy. Ïóñòü z ∈ Ox∩Oy. Òîãäà g1x = z = g2y äëÿ íåêîòîðûõ g1, g2 ∈ G.Ïîýòîìó äëÿ ïðîèçâîëüíîãî g ∈ G èìååì gx = g(g−11 z) = g(g−1

1 g2y) =(gg−1

1 g2)y, ò.å. Ox ⊂ Oy. Ïî ñèììåòðèè Ox = Oy. Ñëåäñòâèå 2.38.1. Ìîùíîñòü G-ìíîæåñòâà ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäåñóììû ìîùíîñòåé îðáèò:|M | =

∑

O

|O|.Îïðåäåëåíèå 2.39. îâîðÿò, ÷òî G äåéñòâóåò íà M òðàíçèòèâíî,åñëè Gx = M , ò.å. M ñîñòîèò èç îäíîé îðáèòû.Îïðåäåëåíèå 2.40. Ïóñòü G äåéñòâóåò íà M è x ∈ M . Ñòàáèëèçà-òîðîì ýëåìåíòà x íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî

Gx := g ∈ G : gx = x.Òåîðåìà 2.41. 1) äëÿ ëþáîãî x ∈M ñòàáèëèçàòîð Gx ÿâëÿåòñÿ ïîä-ãðóïïîé â G;2) åñëè y = gx, òî Gy = gGxg−1.35

Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Ïóñòü g1, g2 ∈ Gx. Òîãäà g1(g2x) = g1x = x, ò.å.

g1g2 ∈ Gx. Ïóñòü g ∈ Gx, ò.å. gx = x. Äåéñòâóÿ g−1 íà ýòî ðàâåíñòâî,ïîëó÷èì x = g−1x. Òàêèì îáðàçîì, g−1 ∈ Gx.2. Ïóñòü h ∈ Gx. Ñëåäîâàòåëüíî, (ghg−1)y = (gh)x = g(hx) = gx = y,ò.å. ghg−1 ∈ Gy . Èíûìè ñëîâàìè, gGxg−1 ⊂ Gy.Ïîñêîëüêó x = g−1y, òî, ïî äîêàçàííîìó, g−1Gyg ⊂ Gx. Ñëåäîâàòåëü-íî, Gy = gGxg−1. Òåîðåìà 2.42. Ïóñòü M G-ìíîæåñòâî. Òîãäà îòîáðàæåíèå f ,îïðåäåëÿåìîå îðìóëîé

f(gx) := gGx,ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé ìeæäó îðáèòîé Ox è ìíîæåñòâîì ëåâûõ ñìåæíûõêëàññîâ G ïî Gx. Ñëåäîâàòåëüíî,

|Ox| = (G : Gx)è, åñëè G êîíå÷íà, òî

|Ox| = (G : Gx) =|G||Gx|

.Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè g1x = g2x, òî g−12 g1x = x, ò.å. g−1

2 g1 ∈ Gx.Çíà÷èò, g1 ∈ g2Gx. Ñëåäîâàòåëüíî, g1Gx ⊂ g2GxGx = g2Gx. Ïî ñèììåòðèèg1Gx = g2Gx. Òàêèì îáðàçîì, f îïðåäåëåíî êîððåêòíî.Ñþðúåêòèâíîñòü f î÷åâèäíà. Äîêàæåì, ÷òî f èíúåêòèâíî. Ïóñòüg1Gx = g2Gx. Òîãäà g−1

2 g1 ∈ Gx, ò.å. g1x = g2x. Òåîðåìà 2.43 (Ôîðìóëà îðáèò). Ïóñòü M êîíå÷íîå G-ìíîæåñòâî. Òîãäà

|M | =s∑

i=1

(G : Gxi),ãäå xi ïðåäñòàâèòåëè îðáèò, ðàçáèâàþùèõ M .Äîêàçàòåëüñòâî. Âûòåêàåò èç ñëåäñòâèÿ 2.38.1 è òåîðåìû 2.42. Ïðèìåð 2.44. Ïóñòü M ëþáîå ìíîæåñòâî, G = S(M) ãðóïïàïîäñòàíîâîê. Äëÿ ∀g ∈ G ïîëàãàåì gx = g(x), e = idM .Ïðèìåð 2.45. Ïóñòü M = G, gx := g · x, ò.å. G äåéñòâóåò íà ñåáÿëåâûì ñäâèãîì. 36

Ïðèìåð 2.46. ÏóñòüM = G, AutG ãðóïïà àâòîìîðèçìîâ ãðóïïûG. ßñíî, ÷òî AutG 6 S(G). Òîãäà ëþáîå ïðåäñòàâëåíèå

T : G ∋ g → Tg ∈ AutGçàäàåò, êàê è â ïðèìåðå 2.44, äåéñòâèå ãðóïïû G íà ñåáÿ ïî îðìóëå gx :=Tg(x), ãäå Tg = T (g).Ïðèìåð 2.47. àññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà,êîãäà Tg âíóòðåííèé àâòîìîðèçì, ò.å. Tg(x) := g−1xg. ÒîãäàImT = InnG ⊂ AutG, InnG ãðóïïà âíóòðåííèõ àâòîìîðèçìîâ ãðóïïûG. Ïðèìåð 2.48. Åñëè G äåéñòâóåò íà M , òî G äåéñòâóåò íà P(M) ïîïðàâèëó

G× P(M) ∋ (g,X)→ gX ∈ P(M),ãäå gX = gx : x ∈ X. Î÷åâèäíî, ÷òî |gX | = |X |.Ïðèìåð 2.49. Ïóñòü M = G, è G äåéñòâóåò íà ñåáå âíóòðåííèìèàâòîìîðèçìàìè. Òîãäà G äåéñòâóåò íà P(G) ïî ïðàâèëó

gX := g−1Xg ∈ P(G).Â ýòîì ñëó÷àå gX îáîçíà÷àþò ÷åðåç Xg.Ïðèìåð 2.50. Îáîçíà÷èì G(G) ⊂ P(G) âñå ïîäãðóïïû â G. Òîãäà

G äåéñòâóåò íà G(G) âíóòðåííèìè àâòîìîðèçìàìè è Tg(H) = g−1Hg ≡Hg ∈ G(G) ãðóïïà, ñîïðÿæåííàÿ ñ H .àññìîòðèì ïîäðîáíåå ïðèìåðû 2.47 è 2.50, ñâÿçàííûå ñ âíóòðåííèìèàâòîìîðèçìàìè.Ïóñòü gx = g−1xg äëÿ ∀x ∈ G, ò.å. Tg(x) = g−1xg, èëè

T : G ∋ g → Tg ∈ AutG.Òàê êàêkerT = g ∈ G : Tg = idG = g ∈ G : g−1xg = x, ∀x ∈ G =

= g ∈ G : xg = gx, ∀x ∈ G = Z(G),ãäå Z(G) öåíòð ãðóïïû, òî ïî ïåðâîé òåîðåìå îá èçîìîðèçìå

GZ(G) ∼= InnG.37

Ñ äðóãîé ñòîðîíû,

Z(G) = g ∈ G : g−1xg = x, ∀x ∈ G =

= g ∈ G : g = x−1gx, ∀x ∈ G = g ∈ G : g = Og.Òàêèì îáðàçîì, Z(G) ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ, èìåþùèõ îäíîòî÷å÷íûåîðáèòû.Ïîñêîëüêó ïî òåîðåìå 2.38

G =⊔

x∈GOx = (

⊔

x∈Z(G)

Ox)⊔

(⊔

x∈G\Z(G)

Ox),òî ïî òåîðåìå 2.42

|G| =∑

x∈Z(G)

|Ox|+∑

x∈G\Z(G)

|Ox| = |Z(G)|+∑

x∈G\Z(G)

[G : Gx].Âû÷èñëèì ñòàáèëèçàòîð Gx ýëåìåíòà x ∈ G:

Gx = g ∈ G : g−1xg = x ≡ ZG(x),

ZG(x) öåíòðàëèçàòîð ýëåìåíòà x.Ñîáèðàÿ âñå ïðåäûäóùåå âìåñòå, ïîëó÷àåì îðìóëó êëàññîâ.Òåîðåìà 2.51 (Ôîðìóëà êëàññîâ). Äëÿ ëþáîé êîíå÷íîé ãðóïïû Gñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî

|G| = |Z(G)|+∑

x/∈Z(G)

(G : ZG(x)).2.7. àçðåøèìûå ãðóïïûÏóñòü G ãðóïïà. Îáîçíà÷èì G(1) := [G,G] êîììóòàíò G. Îïðåäå-ëèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ãðóïï G(k) = [G(k−1), G(k−1)], k > 1, ïðè÷åì ñ÷è-òàåì, ÷òî G(0) = G. Ïî òåîðåìå 2.35 èìååì G(k) ⊳G(k−1), G(k−1)G(k) àáåëåâà ãðóïïà, k > 1.Îïðåäåëåíèå 2.52. ðóïïà G íàçûâàåòñÿ ðàçðåøèìîé, åñëè ñóùå-ñòâóåò m òàêîå, ÷òî G(m) = e. Äðóãèìè ñëîâàìè, ãðóïïà G ðàçðåøèìà,åñëè èìååòñÿ ñëåäóþùàÿ êîíå÷íàÿ öåïî÷êàG ≡ G(0)

⊲G(1)⊲G(2)

⊲ . . .⊲G(m) = e.38

Òåîðåìà 2.53. ðóïïà G ðàçðåøèìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàñóùåñòâóåò öåïî÷êà

G ≡ G0 ⊲G1 ⊲ . . .⊲Gm = e,â êîòîðîé âñå Gk−1Gk àáåëåâû.Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü î÷åâèäíà. Äåéñòâèòåëüíî, ïîëî-æèì Gk = G(k).Äîñòàòî÷íîñòü. Åñëè çàäàíà öåïî÷êàG ≡ G0 ⊲G1 ⊲ . . .⊲Gm = eñ àáåëåâûìè àêòîðàìè Gk−1Gk, òî ïî òåîðåìå 2.35, ïîëîæèâ G = Gk è

H = Gk+1, áóäåì èìåòü[Gk, Gk] ⊳Gk+1 äëÿ âñåõ k > 0.Îòñþäà ïîëó÷àåòñÿG(1) = [G,G] = [G0, G0] 6 G1,

G(2) = [G(1), G(1)] 6 [G1, G1] 6 G2,

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·G(m) = [G(m−1), G(m−1)] 6 [Gm−1, Gm−1] 6 Gm = e.Èòàê, G(m) = e, ò.å. G ðàçðåøèìà. Òåîðåìà 2.54. 1. Ïîäãðóïïà ðàçðåøèìîé ãðóïïû ðàçðåøèìà.2. Ïóñòü H ⊳ G. ðóïïà G ðàçðåøèìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàðàçðåøèìû H è GH.Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Ïóñòü H 6 G. Òîãäà [H,H ] 6 [G,G], ò.å. H(1) 6

G(1). Èíäóêöèåé ïî k ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî H(k) 6 G(k) è òàê êàê G(m) = e,òî H(m) = e.2. Ïóñòü G ðàçðåøèìà è H⊳G. Òîãäà ïî 1) H ðàçðåøèìà. Äîêàæåìðàçðåøèìîñòü GH . Ïóñòü π : G→ GH êàíîíè÷åñêèé ãîìîìîðèçìè π(x) = xH .Ïî òåîðåìå 2.53 ñóùåñòâóåò òàêàÿ öåïî÷êà

G ≡ G0 ⊲G1 ⊲ . . .⊲Gm = e,÷òî âñå Gk−1Gk àáåëåâû. 39

Ïîëîæèì

Gk := π(Gk).Åñëè â òåîðåìàõ 2.14 è 2.19 ïîëîæèòü G = Gk, H = Gk+1, f = π|Gk

è

G′ = π(Gk), òî áóäåì èìåòü Gk ⊲Gk+1 è êàíîíè÷åñêèé ñþðúåêòèâíûé ãî-ìîìîðèçì f : GkGk+1 → GkGk+1. Òàê êàê ãðóïïà GkGk+1 àáåëåâà,òî GkGk+1 àáåëåâà, è ìû ïîñòðîèëè öåïî÷êó

GH ≡ G0 ⊲G1 ⊲ . . .⊲Gm = eñ àáåëåâûìè àêòîðàìè. Ñëåäîâàòåëüíî, GH ðàçðåøèìà.Îáðàòíî, ïóñòü H è GH ðàçðåøèìû. Äîêàæåì ðàçðåøèìîñòü G.Èìåþòñÿ öåïî÷êè

H ≡ H0 ⊲H1 ⊲ . . .⊲Hk = e,GH ≡ G0 ⊲G1 ⊲ . . .⊲Gn = e,â êîòîðûõ âñå àêòîðû àáåëåâû. Ïóñòü π : G → GH êàíîíè÷åñêèéãîìîìîðèçì. Îáîçíà÷èì Gk := π−1(Gk).Åñëè â îáîçíà÷åíèÿõ òåîðåì 2.14 è 2.19 ïîëîæèòü G = Gk, G

′ = Gk, f =π|Gk

, òî áóäåì èìåòü

f : Gk → Gk, Gk ⊲Gk+1, GkGk+1∼= GkGk+1.Ïîýòîìó èìååì öåïî÷êó ñ àáåëåâûìè àêòîðàìè:

G ≡ G0 ⊲G1 ⊲ . . .⊲Gn = H ⊲H1 ⊲ . . .⊲Hk = e.Çíà÷èò, ãðóïïà G ðàçðåøèìà. Òåîðåìà 2.55. Åñëè ãðóïïà G êîíå÷íà, òî îíà ðàçðåøèìà òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò öåïî÷êà

G ≡ G0 ⊲G1 ⊲ . . .⊲Gm = e,â êîòîðîé âñå àêòîðû GkGk+1 öèêëè÷åñêèå.Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè òàêàÿ öåïî÷êà ñóùåñòâóåò, òîãðóïïà G ðàçðåøèìà.Îáðàòíî, ïðåäïîëîæèì, ÷òî G ðàçðåøèìà, è äîêàæåì ñóùåñòâîâàíèåòðåáóåìîé öåïî÷êè èíäóêöèåé ïî ïîðÿäêó n ãðóïïû G.40

Åñëè n = 1, òî äîêàçûâàòü íå÷åãî. Ïóñòü òåïåðü n > 1 è ïðåäïîëîæèì,÷òî òàêàÿ öåïî÷êà ñóùåñòâóåò äëÿ âñÿêîé ãðóïïû ïîðÿäêà ìåíüøåãî, ÷åìn. Åñëè G öèêëè÷åñêàÿ, òî âñå Gk è GkGk+1 öèêëè÷åñêèå. Åñëè G íåöèêëè÷íà, òî â G ìîæíî íàéòè ñîáñòâåííûé íîðìàëüíûé äåëèòåëü H .Äåéñòâèòåëüíî, åñëè G íå àáåëåâà, òî ìîæíî ïîëîæèòü H = [G,G]. ÅñëèG àáåëåâà, òî â êà÷åñòâå H ìîæíî âçÿòü ëþáóþ öèêëè÷åñêóþ ïîäãðóïïó〈g〉, ãäå g 6= e. Òîãäà ïîðÿäêè H è GH ìåíüøå n. Ïî ïðåäïîëîæåíèþèíäóêöèè ñóùåñòâóþò öåïî÷êè

H ≡ H0 ⊲H1 ⊲ . . .⊲Hk = e,GH ≡ G0 ⊲G1 ⊲ . . .⊲Gm = eñ öèêëè÷åñêèìè àêòîðàìè.àññìîòðèì êàíîíè÷åñêèé ãîìîìîðèçì π : G→ GH , ïîëîæèìGk =

π−1(Gk) è êàê â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 2.54, ïîëó÷èì, ÷òî GkGk+1èçîìîðíà GkGk+1 è ïîòîìó öèêëè÷íà. Òàêèì îáðàçîì, âñå àêòîðûöåïî÷êèG ≡ G0 ⊲G1 ⊲ . . .⊲Gm = H ⊲H1 ⊲ . . .⊲Hk = eöèêëè÷íû. 2.8. ðóïïà S

nÎïðåäåëåíèå 2.56. Ïðîèçâîëüíîå áèåêòèâíîå îòîáðàæåíèå σ : Xn →Xn, ãäå Xn ìíîæåñòâî èç n ýëåìåíòîâ, íàçûâàåòñÿ ïîäñòàíîâêîé.Ìíîæåñòâî Sn = S(Xn) âñåõ ïîäñòàíîâîê ìíîæåñòâàXn ñ îáû÷íîé îïå-ðàöèåé êîìïîçèöèè îòîáðàæåíèé îáðàçóåò ãðóïïó. Îíà íàçûâàåòñÿ ñèì-ìåòðè÷åñêîé ãðóïïîé.Îáû÷íî ïîëàãàþò Xn = 1, 2, . . . , n, ÷òî è ìû áóäåì äåëàòü â äàëüíåé-øåì.Òåîðåìà 2.57. Ïîðÿäîê ãðóïïû Sn ðàâåí n!, ò.å. |Sn| = n!. Êàæäûéýëåìåíò σ ∈ Sn çàïèñûâàåòñÿ îäíîçíà÷íî â âèäå òàáëèöû

(1, 2, . . . , n

σ(1), σ(2), . . . , σ(n)

),èëè (íåîäíîçíà÷íî) â âèäå

(a1, a2, . . . , anb1, b2, . . . , bn

).41

Îïðåäåëåíèå 2.58. Ïîäñòàíîâêà σ íàçûâàåòñÿ öèêëîì äëèíû k, åñëèñóùåñòâóþò òàêèå ðàçëè÷íûå i1, i2, . . . , ik ∈ Xn, ÷òî

σ(i1) = i2, σ(i2) = i3, . . . , σ(ik−1) = ik, σ(ik) = i1è σ(j) = j äëÿ âñåõ j 6= i1, i2, . . . , ik. Òàêîé öèêë áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ

(i1i2 . . . ik). Öèêë äëèíû 2 íàçûâàåòñÿ òðàíñïîçèöèåé.Íàïðèìåð, â ãðóïïå S5 ïîäñòàíîâêà

(1 2 3 4 55 2 1 4 3

)ÿâëÿåòñÿ öèêëîì äëèíû 3, êîòîðûé çàïèñûâàåòñÿ â âèäå (1 5 3).Òðàíñïîçèöèÿ (i j) ýòî ïîäñòàíîâêà, ìåíÿþùàÿ ìåñòàìè i è j è îñòàâ-ëÿþùàÿ íà ìåñòå îñòàëüíûå ÷èñëà.Îïðåäåëåíèå 2.59. Äâà öèêëà (i1, . . . , ik), (j1, . . . , js) íàçûâàþòñÿíåçàâèñèìûìè, åñëè i1, . . . , ik ∩ j1, . . . , js = ∅.Òåîðåìà 2.60. Êàæäàÿ ïîäñòàíîâêà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ââèäå ïðîèçâåäåíèÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà íåçàâèñèìûõ öèêëîâ.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü σ ∈ S. àññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

i1 = σ(1), i2 = σ2(1), . . . , ik = σk(1). Âîçüìåì íàèìåíüøåå k, ïðè êîòî-ðîì σk(1) = 1. Ïîëó÷èì öèêë äëèíû k.Äàëåå âîçüìåì íàèìåíüøèé ýëåìåíò α ∈ 1, 2, . . . , n \1, i1, . . . , ik−1, åñëè îí ñóùåñòâóåò, è ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòüα, σ(α), . . . , σm(α). Çäåñü m íàèìåíüøåå, ïðè êîòîðîì σm(α) = α.Ïîëó÷èì öèêë (α, σ(α), . . . , σm−1(α)) äëèíû m.Ïî ïîñòðîåíèþ ìíîæåñòâà 1, σ(1), . . . , σk−1(1) èα, σ(α), . . . , σm−1(α) ñîñòîÿò èç ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ. Äåéñòâèòåëüíî,åñëè, íàïðèìåð, σi(1) = σj(1), 0 < i < j < k, òî 1 = σj−i(1). Òàê êàêj − i < k, òî ýòî ïðîòèâîðå÷èò âûáîðó k. Äàëåå, α /∈ 1, σ(1), . . . , σk−1(1)ïî âûáîðó α. Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî σ(α) /∈ 1, σ(1), . . . , σk−1(1). Â ñàìîìäåëå, åñëè σ(α) = σi(1), 1 6 i < k, òî α = σi−1(1) ∈ 1, σ(1), . . . , σk−1(1).Ïî èíäóêöèè èìååì

1, σ(1), . . . , σk−1(1) ∩ α, σ(α), . . . , σm−1(α) = ∅.Âûáåðåì íàèìåíüøèé β ∈ 1, 2, . . . , n \ (1, σ(1), . . . , σk−1(1) ∪α, σ(α), . . . , σm−1(α)), åñëè îí ñóùåñòâóåò, ïîñòðîèì íîâûé öèêë σ3, èòàê äàëåå. 42

Ïðîöåññ ïîñòðîåíèÿ êîíå÷åí ââèäó êîíå÷íîñòè ìíîæåñòâà 1, 2, . . . , n.Â ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì öèêëû σ1, . . . , σs, êîòîðûå íåçàâèñèìû ïî ïî-ñòðîåíèþ, ïðè÷åì σ = σ1 · . . . · σs. Òåîðåìà 2.61. ðóïïà Sn ïîðîæäàåòñÿ òðàíñïîçèöèÿìè (i j).Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî(i1 i2 . . . ik) = (i1 ik) . . . (i1 i3)(i1 i2),ò.å. öèêë äëèíû k ìîæåò áûòü çàïèñàí â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ k − 1 òðàíñ-ïîçèöèè. Ñëåäñòâèå 2.61.1. ðóïïà Sn ïîðîæäàåòñÿ òðàíñïîçèöèÿìè

(1 2), (1 3), . . . , (1 n).Äîêàçàòåëüñòâî. Âûòåêàåò èç ðàâåíñòâà (i j) = (1 j)(1 i)(1 j). Îïðåäåëåíèå 2.62. Ñ êàæäîé ïîäñòàíîâêîéσ =

(a1 a2 . . . anb1 b2 . . . bn

)àññîöèèðóåì ÷èñëîsignσ =

∏

16i<j6n

ai − ajbi − bj

,êîòîðîå áóäåì íàçûâàòü çíàêîì ïîäñòàíîâêè σ.Òåîðåìà 2.63. Îòîáðàæåíèå sign : Sn ∋ σ → signσ ∈ R× ÿâëÿåòñÿãîìîìîðèçìîì ãðóïï.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü

τ =

(b1 b2 . . . bnc1 c2 . . . cn

).Òîãäà

sign τ ·signσ =∏

16i<j6n

bi − bjci − cj

∏

16i<j6n

ai − ajbi − bj

=∏

16i<j6n

ai − ajci − cj

= sign(τσ).

43

Òåîðåìà 2.64. Åñëè τ ∈ Sn òðàíñïîçèöèÿ, òî sign τ = −1.Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé

t =

(a1 a2 a3 . . . ana2 a1 a3 . . . an

).Òîãäà

sign t =a1 − a2

a2 − a1

∏

16i<j6n,(i,j) 6=(1,2)

ai − ajai − aj

= −1.

Ñîãëàñíî òåîðåìå 2.61 êàæäàÿ σ ∈ Sn ìîæåò áûòü çàïèñàíà, êàê σ =∏mi=1 ti, ãäå ti òðàíñïîçèöèè. Ââèäó òåîðåì 2.63 è 2.64 èìååì signσ =

(−1)m, ò.å. Im sign = +1,−1. Òàêèì îáðàçîì, êàæäîé ïîäñòàíîâêå σîäíîçíà÷íî ïðèïèñûâàåòñÿ åå çíàê signσ.Îïðåäåëåíèå 2.65. Ïîäñòàíîâêà σ íàçûâàåòñÿ ÷åòíîé, åñëè signσ =1 è íå÷åòíîé, åñëè signσ = −1.Îïðåäåëåíèå 2.66. ×åðåç An îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî âñåõ ÷åòíûõ ïîä-ñòàíîâîê.Òåîðåìà 2.67. 1) An ⊳ Sn, (Sn : An) = 2 è |An| = n!

2

;2) An = id ïðè n 6 2;3) An ïðè n > 3 ïîðîæäàåòñÿ òðîéíûìè öèêëàìè.Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Èç îïðåäåëåíèÿ ÷åòíîñòè ïîäñòàíîâêè ñëåäóåò,÷òî An ÿâëÿåòñÿ ÿäðîì ãîìîìîðèçìà sign : Sn → 1,−1. Ïîýòîìó An ⊳

Sn è èç ïåðâîé òåîðåìû îá èçîìîðèçìå SnAn ∼= 1,−1. Ïîýòîìó(Sn : An) = |SnAn| = 2 è |An| = n!

2

.2. S1 = id, S2 = id, (1 2). Ïîýòîìó A1 = id, A2 = id.3. Èìåþò ìåñòî òîæäåñòâà, êîòîðûå ïðîâåðÿþòñÿ íåïîñðåäñòâåííî:(i j)(k l) = (i j k)(j k l),

(i j)(i k) = (i k j).Èç íèõ ñëåäóåò, ÷òî ïðîèçâåäåíèå äâóõ òðàíñïîçèöèé ìîæíî ðàçëîæèòü âïðîèçâåäåíèå òðîéíûõ öèêëîâ. Òàê êàê êàæäàÿ ÷åòíàÿ ïîäñòàíîâêà ÿâëÿ-åòñÿ ïðîèçâåäåíèåì ÷åòíîãî ÷èñëà òðàíñïîçèöèé, òî ýòèì äîêàçàòåëüñòâîçàâåðøàåòñÿ. 44

Òåîðåìà 2.68. 1) [Sn, Sn] = An ïðè ëþáîì n;2) [An, An] = An ïðè n > 5.Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Ïóñòü σ, τ ∈ Sn. àçëîæèì èõ â ïðîèçâåäåíèåòðàíñïîçèöèé

σ = σ1 . . . σk, τ = τ1 . . . τl.Òîãäà σ−1 = σ−1k . . . σ−1

1 = σk . . . σ1 è τ−1 = τl . . . τ1. Ïîýòîìó [σ, τ ] =στσ−1τ−1 ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå 2(k + l) òðàíñïîçèöèé. Ñëåäîâàòåëüíî,[σ, τ ] ∈ An è, çíà÷èò, [Sn, Sn] ⊂ An.Íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿåòñÿ ðàâåíñòâî

[(i j), (i k)] = (i j)(i k)(i j)(i k) = (i j k).Ñëåäîâàòåëüíî, [Sn, Sn] ñîäåðæèò âñå òðîéíûå öèêëû (i j k). Ñîãëàñíîòåîðåìå 2.67, An ïðè n > 3 ïîðîæäàåòñÿ òðîéíûìè öèêëàìè. Ñëåäîâà-òåëüíî, An ⊂ [Sn, Sn] ïðè n > 3. Òàêèì îáðàçîì, [Sn, Sn] = An ïðè n > 3.Ïðè n = 1, 2 ýòî ðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ î÷åâèäíûì îáðàçîì.2. Òàê êàê [An, An] ⊂ [Sn, Sn] = An, òî äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü An ⊂[An, An].Ïóñòü (i j k) ïðîèçâîëüíûé òðîéíîé öèêë. Òàê êàê n > 5, òî íàé-äóòñÿ îòëè÷íûå îò i, j, k íàòóðàëüíûå ÷èñëà l,m ≤ n. Íåïîñðåäñòâåííûìâû÷èñëåíèåì ïðîâåðÿåòñÿ òîæäåñòâî:

(i j k) = [(i l j), (i m k)],èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî [An, An] ñîäåðæèò âñå òðîéíûå öèêëû, à çíà÷èò,

An ⊂ [An, An]. Òåîðåìà 2.69. ðóïïû An è Sn ðàçðåøèìû ïðè n 6 4 è íåðàçðåøèìûïðè n > 5.Äîêàçàòåëüñòâî. S1 = e. Ñëåäîâàòåëüíî, A1 = e.

S2 = e, (1 2) öèêëè÷åñêàÿ (àáåëåâà) è, ñëåäîâàòåëüíî, ðàçðåøèìà.

S3 ãðóïïà âñåõ ïåðåñòàíîâîê ìíîæåñòâà 1, 2, 3. Òàê êàê A3, ñî-ãëàñíî òåîðåìå 2.67, ïîðîæäàåòñÿ òðîéíûìè öèêëàìè è |A3| = 3, òî

A3 = e, (2 3 1), (3 1 2) öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà ïîðÿäêà 3. Ñëåäîâàòåëüíî,èìååì öåïî÷êó

S3 ⊲A3 ⊲ 1,àêòîðû êîòîðîé öèêëè÷åñêèå ãðóïïû ïîðÿäêîâ 2 è 3.Â ñëó÷àå S4 èìååì |S4| = 24. Cëåäîâàòåëüíî, |A4| = 12.45

Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî

B4 = e, (12)(34), (13)(24), (14)(23).Åñëè îáîçíà÷èòü a = (12)(34), b = (13)(24), c = (14)(23), òî ïðÿìûì âû-÷èñëåíèåì ïðîâåðÿåì, ÷òî a−1 = a, b−1 = b, c−1 = c, ab = ba, ac = ca, bc =cb. Òàêèì îáðàçîì B4 àáåëåâà ãðóïïà ÷åòíûõ ïåðåñòàíîâîê, ò.å. B4 6 A4è |B4| = 4.Òåïåðü ïðîâåðèì, ÷òî

A4 = e, (123), (124), (132), (134), (142), (143),

(234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23).Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî òîëüêî ïðîâåðèòü, ÷òî çàïèñàííîå âûøå ìíîæåñòâîÿâëÿåòñÿ ãðóïïîé (ýòî íå òðóäíî, íî íóäíî!). Äàëåå, ïîñêîëüêó ýòà ãðóïïàñîñòîèò èç òðîéíûõ öèêëîâ è ÷åòíîãî ÷èñëà òðàíñïîçèöèé, òî îíà ÿâëÿ-åòñÿ ãðóïïîé ÷åòíûõ ïåðåñòàíîâîê. È, íàêîíåö, ïîñêîëüêó ïîðÿäîê ýòîéãðóïïû ðàâåí 12, òî ýòî A4.Òåïåðü îñòàëîñü ïðîâåðèòü, ÷òî

[A4, A4] = B4.Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî

[(ijk), (ijl)] = (ij)(kl),

[(ijk), (ilj)] = (il)(jk),

[(ikj), (ilj)] = (ik)(jl).Ïðîâåðèì, íàïðèìåð, ïåðâîå:

[(ijk), (ijl)] = (ijk)(ijl)(ijk)−1(ijl)−1 = (ijk)(ijl)(kji)(lji) = (ij)(kl).Â èòîãå èìååì öåïî÷êó

S4 ⊲A4 ⊲ [A4, A4] = B4 ⊲ eñ àáåëåâûìè àêòîðàìè S4A4, A4B4 è B4e ïîðÿäêîâ 2, 3 è 4.Ïóñòü òåïåðü n > 5. Òîãäà [An, An] = An 6= e ïî òåîðåìå 2.68. Îòñþ-äà A(i)n = An 6= 1 äëÿ âñåõ i > 1. Ñëåäîâàòåëüíî, An íåðàçðåøèìà ïðè

n > 5. Íåðàçðåøèìîñòü Sn ïðè n > 5 ñëåäóåò èç òåîðåìû 2.54. 46

ë à â à 3Àáåëåâû ãðóïïûÂ ýòîé ãëàâå äåòàëüíî ðàçîáðàíû êîììóòàòèâíûå ãðóïïû. Óñòàíîâ-ëåíû ñòðóêòóðíûå òåîðåìû î êîíå÷íûõ è êîíå÷íî ïîðîæäåííûõ àáåëå-âûõ ãðóïïàõ. Ïðåäâàðèòåëüíî èçó÷åíû ñâîáîäíûå, ïåðèîäè÷åñêèå è äåëè-ìûå ãðóïïû. Ïðèâåäåíû ìíîãî÷èñëåííûå ïðèìåðû àáåëåâûõ (íå êîíå÷íîïîðîæäåííûõ) ãðóïï, ïðåäñòàâèìûõ â âèäå èíäóêòèâíûõ è ïðîåêòèâíûõïðåäåëîâ ïðîñòåéøèõ ãðóïï.Â ýòîé ãëàâå âñå ãðóïïû áóäóò òîëüêî àáåëåâûìè ñ îïåðàöèåé ¾+¿,íåéòðàëüíûì ýëåìåíòîì ¾0¿ è îáðàòíûì ýëåìåíòîì ¾−x¿ äëÿ êàæäîãî x.3.1. Ïðÿìûå ñóììûÅñëè G è G′ ãðóïïû, òî îòîáðàæåíèå f : G→ G′ ÿâëÿåòñÿ ãîìîìîðèç-ìîì, åñëè f(x + y) = f(x) + f(y) äëÿ âñåõ x, y ∈ G. ßäðî ãîìîìîðèçìà

f åñòü ker f := x ∈ G : f(x) = 0 ïîäãðóïïà â G, à Im f := f(G) ïîäãðóïïà â G′.Åñëè (Gi)i∈I ñåìåéñòâî ïîäãðóïï, òî G :=∏i∈I Gi ÿâëÿåòñÿ àáåëåâîéãðóïïîé ñ ïîêîîðäèíàòíîé îïåðàöèåé ñóììû è íàçûâàåòñÿ ïðîèçâåäåíèåìãðóïï Gi.Åñëè Gi = G äëÿ âñåõ i ∈ I, òî GI :=

∏i∈I Gi.Îòîáðàæåíèå pi :

∏i∈I Gi ∋ x ≡ (xi)i∈I → xi ∈ Gi ÿâëÿåòñÿ ãîìîìîð-èçìîì ãðóïï è íàçûâàåòñÿ i-é ïðîåêöèåé.Åñëè A è B ïîäìíîæåñòâà â G, òî ÷åðåç A+B îáîçíà÷àåòñÿ ïîäìíî-æåñòâî â G âèäà

A+B := a+ b ∈ G : a ∈ A, b ∈ B.Î÷åâèäíî, A+B = B+A. Ìíîæåñòâî a+B îáîçíà÷àþò ÷åðåç a+B.Åñëè A1, A2, . . . An ïîäìíîæåñòâà â G, òî àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ

A1 +A2 + . . . An ≡n∑

k=1

Ak := n∑

k=1

xk ∈ G : xk ∈ Ak, k = 1, 2, . . . n.47

Åñëè (Gi)i∈I ñåìåéñòâî ïîäãðóïï â G, òî èõ ñóììîé áóäåì íàçûâàòüïîäãðóïïó

H =∑

i∈IGi := x =

∑

i∈Sxi : ∀ i ∈ S xi ∈ Gi; S = Sx ⊂ I êîíå÷íî.Ñóììà ïîäãðóïï H =

∑i∈I Gi íàçûâàåòñÿ ïðÿìîé è îáîçíà÷àåòñÿ H =⊕

i∈I Gi, åñëè ëþáîé ýëåìåíòîâ x ∈ H îäíîçíà÷íî ïðåäñòàâëÿþòñÿ â âèäåêîíå÷íîé ñóììû x =∑

i∈S xi, ãäå xi ∈ Gi, S ⊂ I êîíå÷íî.Åñëè G =⊕

i∈I Gi, òî â ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî G ðàçëàãàåòñÿ âïðÿìóþ ñóììó ñâîèõ ïîäãðóïï Gi.Îïðåäåí èíúåêòèâíûé ãîìîìîðèçì

⊕

i∈IGi ∋ x→ x ∈

∏

i∈IGi,êîòîðûé îòîæäåñòâëÿåò ⊕

i∈I Gi ñ ïîäãðóïïîé èç ∏i∈I Gi, ñîñòîÿùåé èçîáîáùåííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé x = (xi)i∈I ïî÷òè âñþäó (ò.å. çà èñêëþ-÷åíèåì êîíå÷íîãî ÷èñëà) ðàâíûõ íóëþ, èëè èíèòíûõ ïîñëåäîâàòåëüíî-ñòåé. Êñòàòè, ýòî è äîêàçûâàåò, ÷òî H ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîé.Åñëè I = 1, 2, . . . , n, òî áóäåì ïèñàòü G1 ⊕ G2 ⊕ . . . ⊕ Gn. Â ýòîìñëó÷àå, óïîìÿíóòûé âûøå ãîìîìîðèçì

G1 ⊕G2 ⊕ . . .⊕Gn ∋ x1 + . . .+ xn → (x1, . . . , xn) ∈ G1 ×G2 × . . .×Gnÿâëÿåòñÿ èçîìîðèçìîì.Èòàê, åñëè G = G1 ⊕ G2 ⊕ . . . ⊕ Gn è Gi 6 G, òî ìû ãîâîðèì, ÷òî Gðàçëàãàåòñÿ â êîíå÷íóþ ïðÿìóþ ñóììó ñâîèõ ïîäãðóïï.Åñëè n = 2, ò.å. G = G1 ⊕ G2, òî áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ïîäãðóïïà G1äîïîëíÿåìà â G è G2 åå ïðÿìîå äîïîëíåíèå.Íàøà îñíîâíàÿ çàäà÷à ðàçëîæèòü àáåëåâó ãðóïïó â ïðÿìóþ ñóììóåå ïðîñòåéøèõ ïîäãðóïï (ñì. ïðèìåðû äàëåå). Íå êàæäàÿ àáåëåâà ãðóïïàäîïóñêàåò òàêîå ïðåäñòàâëåíèå. Èìååòñÿ ìíîãî íåðàçëîæèìûõ ãðóïï, ò.å.òàêèõ, ÷òî íèêàêàÿ ïîäãðóïïà â íèõ íå èìååò ïðÿìîãî äîïîëíåíèÿ.Òåì íå ìåíåå, íàèáîëåå èíòåðåñíûé êëàññ êîíå÷íî ïîðîæäåííûå àáå-ëåâû ãðóïïû (â ÷àñòíîñòè, êîíå÷íûå) äîïóñêàþò òàêîå ïðåäñòàâëåíèå.Ýòî è ñîñòàâëÿåò ïðåäìåò òàê íàçûâàåìîé ñòðóêòóðíîé òåîðåìû.Ñ äðóãîé ñòîðîíû, íåêîòîðûå íåðàçëîæèìûå àáåëåâû ãðóïïû ìîãóòáûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäå èíäóêòèâíûõ è ïðîåêòèâíûõ ïðåäåëîâ ïðîñòåé-øèõ ãðóïï. 48

Òåîðåìà 3.1. Åñëè G = G1 ⊕ . . . ⊕ Gn, òî pi : G ∋ x → xi ∈ G (ãäåx =

∑ni=1 xi) ñóòü ãîìîìîðèçìû, îáëàäàþùèå ñâîéñòâàìè:

p1 + p2 + . . .+ pn = I òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå â G, (3.1)pipk = pkpi =

0, i 6= k,pk, i = k.

(3.2)Â ýòîì ñëó÷àå Gi = pi(G), i = 1, . . . , n.Îáðàòíî, ïóñòü â ãðóïïå G çàäàíî n ãîìîìîðèçìîâ pi : G → G,îáëàäàþùèõ ñâîéñòâàìè (3.1) è (3.2). Òîãäà G = G1 ⊕ . . .⊕Gn, ãäå Gi =pi(G).Äîêàçàòåëüñòâî. Â îäíó ñòîðîíó óòâåðæäåíèå ïðîâåðÿåòñÿ ýëåìåí-òàðíî. Îáðàòíî, ïóñòü Gi = pi(G) è xi = pi(x). Òîãäà íà G1 × . . . × Gnîïðåäåëèì ãîìîìîðèçì

ϕ : G1 × . . .×Gn ∋ (x1, . . . , xn)→ x1 + . . .+ xn ∈ G.Ñîãëàñíî óñëîâèþ (3.1) Imϕ = G. Òàê êàê kerϕ = (x1, . . . , xn) : x1 +. . . + xn = 0, òî èç óñëîâèÿ (3.2) âûòåêàåò, ÷òî äëÿ ∀i = 1, 2, . . . , n èìååì

xi = pi(x1 + . . . + xn) = pi(0) = 0. Ò.å. kerϕ = 0. Ïî ïåðâîé òåîðåìå îáèçîìîðèçìå, ϕ èçîìîðèçì. Ñëåäñòâèå 3.1.1. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîäãðóïïà G1 â G áûëà äî-ïîëíÿåìà, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñóùåñòâîâàë ãîìîìîðèçì

p1 : G1 → G òàêîé, ÷òîIm p1 = G1, p2

1 = p1 (ïðîåêòîð G íà G1). (3.3)Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì p2 := I − p1. Èç (3.3) ñëåäóåò âûïîëíå-íèå óñëîâèé (3.1) è (3.2). Óñëîâèÿ (3.1) è (3.2) ÷àñòî óäîáíî èñïîëüçîâàòü â ãåîìåòðè÷íîé îðìå.Òåîðåìà 3.2. Ïóñòü G ãðóïïà, Gi 6 G, i = 1, 2, . . . , n, è ïóñòü

G = G1 +G2 + . . .+Gn. Òîãäà ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ýêâèâàëåíòíû:1) G = G1 ⊕ . . .⊕Gn;2) Gi ∩ (∑

16j6n,j 6=iGj) = 0;3) Gi ∩ (∑

16j6i−1Gj) = 0, i = 2, . . . , n;4) 0 = g1 + . . .+ gn, gi ∈ Gi ⇒ gi = 0, i = 1, . . . , n.49

Äîêàçàòåëüñòâî. 1) ⇒ 2). Ïóñòü x ∈ Gi ∩ (∑

16j6n,j 6=iGj). Òîãäà

x = g1 + . . . gi−1 + gi+1 + . . .+ gn. Ñëåäîâàòåëüíî, 0 = g1 + . . . gi−1 + (−x) +gi+1 + . . .+ gn = 0 + 0 + . . .+ 0. Îòñþäà x = 0.

2) ⇒ 3). Ïóñòü x = g1 + . . . + gi−1 ∈ Gi ∩ (∑

16j6i−1Gj). Òîãäà x =g1 + . . .+ gi−1 + 0 + . . .+ 0 ∈ Gi ∩ (

∑16j6n,j 6=iGj). Ñëåäîâàòåëüíî, x = 0.

3) ⇒ 4). Ïóñòü g1 + . . . + gn = 0, gi ∈ Gi. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî gj 6= 0äëÿ íåêîòîðîãî j. Âûáåðåì íàèáîëüøåå k, äëÿ êîòîðîãî gk 6= 0. Òîãäà

gk+1 = gk+2 = . . . = gn = 0 è g1 + . . . + gk = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, gk =−g1− . . .− gk−1 ∈ (G1 + . . .+Gk−1)∩Gk = 0. Ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåòèìïëèêàöèþ.

4) ⇒ 1). Ïóñòü x = g1 + . . . + gn = g′1 + . . . + g′n, ãäå gi, g′i ∈ Gi. Òîãäà

0 = (g1 − g′1) + . . .+ (gn − g′n). Ñëåäîâàòåëüíî, gi = g′i, i = 1, . . . , n. Ñëåäñòâèå 3.2.1. Äëÿ òîãî, ÷òîáû äëÿ ïîäãðóïï G1 è G2 ãðóïïû Gâûïîëíÿëîñü ðàâåíñòâî G = G1 ⊕G2 íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî âûïîëíå-íèå óñëîâèé

G1 +G2 = G, G1 ∩G2 = 0.3.2. Èíäóêòèâíûå è ïðîåêòèâíûå ïðåäåëû àáåëåâûõãðóïïÏîñêîëüêó â àáåëåâîé ãðóïïå êàæäàÿ ïîäãðóïïà íîðìàëüíà, òî âòîðàÿ,òðåòüÿ è ÷åòâåðòàÿ òåîðåìû îá èçîìîðèçìå îðìóëèðóþòñÿ ñëåäóþùèìîáðàçîìÒåîðåìà 3.3. Ïóñòü A àáåëåâà ãðóïïà.1. Åñëè C 6 B 6 A, òî èìååò ìåñòî èçîìîðèçì

AB ∼= (AC)(BC).2. Åñëè C 6 B è B 6 A, òî èìååò ìåñòî èçîìîðèçìB(B ∩ C) ∼= (B + C)C.Â ÷àñòíîñòè, B ∼= (B ⊕ C)C.3. Ïóñòü A è A′ àáåëåâû ãðóïïû, B è B′ èõ ïîäãðóïïû ñîîòâåò-ñòâåííî. Òîãäà èìååò ìåñòî èçîìîðèçì

A×A′B ×B′ ∼= (AB)× (A′B′).50

Çàìå÷àíèå 3.4. Â ñâÿçè ñ ýòîé òåîðåìîé ñìîòðèòå òàêæå òåîðåìó 1.12.Íàïîìíèì êîíñòðóêöèè èíäóêòèâíîãî è ïðîåêòèâíîãî ïðåäåëîâ äëÿàáåëåâûõ ãðóïï.Ïóñòü ((Aα)α∈I , fβα) èíäóêòèâíàÿ ñèñòåìà àáåëåâûõ ãðóïï, ãäå fβα :Aα → Aβ ãîìîìîðèçì ãðóïï ïðè α 6 β.Îáîçíà÷èì (êàê â ïàðàãðàå 1.2) ÷åðåç F =

⊔α∈I Aα ïðÿìóþ ñóì-ìó Aα (êàê ìíîæåñòâ). Èíäóêòèâíûé ïðåäåë A = lim−→Aα îïðåäåëèìêàê àêòîð-ìíîæåñòâî FR ïî èçâåñòíîìó îòíîøåíèþ ýêâèâàëåíòíî-ñòè R (ñì. ðàçäåë 1.2). Òåïåðü A ïðåâðàòèì â àáåëåâó ãðóïïó ñëåäóþ-ùèì îáðàçîì. Åñëè x, y ∈ A, òî íàéäóòñÿ òàêèå x ∈ Aα è y ∈ Aβ , ÷òî

x = fα(x), y = fβ(y). Âûáåðåì γ òàêîé, ÷òî γ > α è γ > β. Òîãäà

fγα(x), fγβ(y) ∈ Aγ . Îïðåäåëèì x + y, êàê êëàññ, ñîäåðæàùèé ýëåìåíò

fγα(x) + fγβ(y), ò.å. x + y := fγ [fγα(x) + fγβ(y)]. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëèì

−(x) ≡ −fα(x) := fα(−x).Ìîæíî ïîñòóïèòü òàêæå ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå

G =⊕

α∈I Aα ïðÿìóþ ñóììó àáåëåâûõ ãðóïï Aα, è ïóñòü jα : Aα →G êàíîíè÷åñêèå âëîæåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, Aα èçîìîðíà ïîäãðóïïå

jα(Aα) ⊂ G. Îáîçíà÷èì ÷åðåç S ïîäãðóïïó â G, ïîðîæäåííóþ âñåìèìíîæåñòâàìè Im(jα − jβ fβα) äëÿ α 6 β.àññìîòðèì àêòîð-ãðóïïó A′ := GS è êàíîíè÷åñêîå îòîáðàæåíèå

π : G → GS. Îáîçíà÷èì gα := π jα : Aα → A′. Òîãäà gα − gβ fβα =π jα− π jβ fβα = π (jα− jβ fβα), ò.å. gα = gβ fβα. Èç òåîðåìû 1.20âûòåêàåò, ÷òî àáåëåâà ãðóïïà A′ èçîìîðíà lim−→Aα.Èç îáùèõ óòâåðæäåíèé (ñì. òåîðåìû 1.17 è 1.18) èìååìÒåîðåìà 3.5. Åñëè âñå fβα èíúåêòèâíû (ñîîòâåòñòâåííî, ñþðúåê-òèâíû), òî âñå fα èíúåêòèâíû (ñîîòâåòñòâåííî, ñþðúåêòèâíû).Ïóñòü òåïåðü ((Aα)α∈I , fαβ) ïðîåêòèâíàÿ ñèñòåìà àáåëåâûõ ãðóïï,ãäå ïðè β > α îïðåäåëåíû fαβ : Aβ → Aα ãîìîìîðèçìû ãðóïï.Îáîçíà÷èì G =

∏α∈I Aα, a = (aα) ∈ G è prα : G ∋ a → aα ∈ Aα êàíîíè÷åñêàÿ ïðîåêöèÿ (ãîìîìîðèçì).Òîãäà

A ≡ lim←−Aα := a = (aα) ∈ G : prα a = fαβ(prβ a) ∀β > αÿâëÿåòñÿ àáåëåâîé ïîäãðóïïîé â G, ò.ê.

A =⋂

β>α

ker(prα−fαβ prβ),51

à îòîáðàæåíèå prα−fαβ prβ : G→ Aα åñòü ãîìîìîðèçì.Îáîçíà÷àÿ fα := prα |A, èìååì êîììóòàòèâíóþ äèàãðàììó

Afβ

~~

fα

BBB

BBBB

B

Aβfαβ // Aα.Êàê è â îáùåì ñëó÷àå ìíîæåñòâ (ñì. òåîðåìó 1.36), èìååòñÿ ñëåäóþùàÿÒåîðåìà 3.6. Åñëè âñå ãîìîìîðèçìû fαβ èíúåêòèâíû, òî èíúåê-òèâíû âñå fα.3.3. Ñâîáîäíûå àáåëåâû ãðóïïûÍàïîìíèì, ÷òî åñëè G àáåëåâà ãðóïïà è S ⊂ G íåêîòîðîå ïîäìíî-æåñòâî, òî 〈S〉 ïîäãðóïïà â G, ïîðîæäåííàÿ ìíîæåñòâîì S, ò.å. ìèíè-ìàëüíàÿ ïîäãðóïïà â G, ñîäåðæàùàÿ S. Îíà èìååò âèä

〈S〉 = x ∈ G : x =

n(x)∑

k=1

mksk, mk ∈ Z, sk ∈ S.Ìíîæåñòâî S íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì îáðàçóþùèõ. Åñëè S ïîðîæäàåòG è íèêàêîå ïîäìíîæåñòâî S0 ⊂ S íå ïîðîæäàåò G, òî S íàçûâàåòñÿíåïðèâîäèìîé ñèñòåìîé îáðàçóþùèõ. Åñëè S êîíå÷íî è G = 〈S〉, òî Gíàçûâàåòñÿ êîíå÷íî ïîðîæäåííîé àáåëåâîé ãðóïïîé.Îïðåäåëåíèå 3.7. Êîíå÷íîå ìíîæåñòâî x1, x2, . . . , xn â ãðóïïå G íà-çûâàåòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìûì, åñëè ðàâåíñòâî

m1x1 + . . .+mnxn = 0, mk ∈ Z,âûïîëíÿåòñÿ òîëüêî ïðè m1 = m2 = . . . = mn = 0.Ñåìåéñòâî S = (xi)i∈I ëèíåéíî íåçàâèñèìî, åñëè êàæäîå åãî êîíå÷íîåïîäìíîæåñòâî ëèíåéíî íåçàâèñèìî.Ëèíåéíî íåçàâèñèìîå ìíîæåñòâî S = (xi)i∈I íàçûâàåòñÿ áàçèñîì ãðóï-ïû G, åñëè S ïîðîæäàåò G, ò.å. G = 〈S〉.Äðóãèìè ñëîâàìè, ñèñòåìà (xi)i∈I ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì ãðóïïû G, åñëèêàæäûé ýëåìåíò x ∈ G îäíîçíà÷íî çàïèñûâàåòñÿ â âèäåx = m1x1 + . . .+mnxn mk ∈ Z, n = n(x). (3.4)52

Îïðåäåëåíèå 3.8. ðóïïà íàçûâàåòñÿ ñâîáîäíîé, åñëè îíà îáëàäàåòáàçèñîì.Â îòëè÷èè îò âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ íå êàæäàÿ ãðóïïà ñâîáîäíà.Ïðèìåð 3.9. Â ãðóïïå ZnZ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ n äëÿ êàæäîãî a ∈ZnZ, a 6= 0 èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî n · a = 0, ò.å. âñå ýëåìåíòû â ZnZëèíåéíî çàâèñèìû.Ïðèìåð 3.10. Î÷åâèäíî Z = 〈1〉 è 1 ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì â Z. Èìååìòàêæå Z = 〈2, 3〉, èáî 1 = n · 2 + m · 3 ïðè n = −1, m = 1. Íèêàêîåäðóãîå ïîäìíîæåñòâî S ⊂ 2, 3 íå ïîðîæäàåò Z. Òàêèì îáðàçîì, 2, 3 íåïðèâîäèìàÿ ñèñòåìà, ïîðîæäàþùàÿ Z, íî íå ÿâëÿþùàÿñÿ áàçèñîì.Îäíàêî ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Òåîðåìà 3.11. Äëÿ êàæäîãî ìíîæåñòâà S ñóùåñòâóåò ñâîáîäíàÿãðóïïà Z〈S〉, äëÿ êîòîðîé S ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì.Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì Z〈S〉 ìíîæåñòâî âñåõ îòîáðàæåíèé ϕ :S → Z òàêèõ, ÷òî ϕ(x) = 0 äëÿ ïî÷òè âñåõ (ò.å. âñåõ çà èñêëþ÷åíèåìêîíå÷íîãî ÷èñëà) x ∈ S.Åñëè ïîëîæèì

x := δx(s) =

1, s = x,

0, s 6= x,òî ëþáîé ϕ ∈ Z〈S〉 îäíîçíà÷íî çàïèøåòñÿ â âèäå

ϕ(s) = m1δx1(s) + . . .+mnδxn(s), mi ∈ Z, xi ∈ S, n = n(ϕ), èëè

ϕ = m1 · x1 + . . .+mn · xn.Âëîæèì S â Z〈S〉 ñ ïîìîùüþ èíúåêöèè

ı : S ∋ x→ 1 · x ∈ Z〈S〉. (3.5)Î÷åâèäíî, ÷òî ı(S) ïîðîæäàåò Z〈S〉, ò.å. 〈ı(S)〉 = Z〈S〉. Çàìå÷àíèå 3.12. Èç ïðåäñòàâëåíèÿ (3.4) âèäíî, ÷òîZ〈S〉 =⊕

s∈Ss · Z.53

Òåîðåìà 3.13. Ïóñòü B àáåëåâà ãðóïïà, g : S → B ïðîèç-âîëüíîå îòîáðàæåíèå. Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ãîìîìîðèçì

g∗ : Z〈S〉 → B òàêîé, ÷òî äèàãðàììà

S

i

g

>>>

>>>>

>Z〈S〉 g∗ // Bêîììóòàòèâíà.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëîæèì

g∗(∑

s∈Smx · x) :=

∑

s∈Smx · g(x). (3.6)Î÷åâèäíî, ÷òî g∗ ãîìîìîðèçì. Òàê êàê g∗(1 · x) = g(x), òî g∗ åäèí-ñòâåííûé. Çàìå÷àíèå 3.14. Èç îïðåäåëåíèÿ (3.6) âèäèì, ÷òî g∗ ñþðúåêòèâíîòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà 〈g(S)〉 = B.Òåîðåìà 3.15. Âñÿêàÿ àáåëåâà ãðóïïà B èçîìîðíà àêòîð-ãðóïïåíåêîòîðîé ñâîáîäíîé ãðóïïû.Äîêàçàòåëüñòâî. Â ïðåäûäóùåé òåîðåìå äîñòàòî÷íî âçÿòü S = B è

g = IB. Òîãäà B ∼ Z〈B〉 ker g∗. Çàìå÷àíèå 3.16. Åñëè â òåîðåìå 3.15 ãðóïïà B êîíå÷íî ïîðîæäåííàÿ,òî è Z〈S〉 êîíå÷íà ïîðîæäåíà.Äåéñòâèòåëüíî, åñëè S ⊂ B, B = 〈S〉 è g : S → B âëîæåíèå, òî, ââèäóçàìå÷àíèÿ 3.12, g∗ ñþðúåêòèâíî. Òåïåðü äîñòàòî÷íî S âçÿòü êîíå÷íûì.Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ïîçâîëÿåò äàòü äîñòàòî÷íîå óñëîâèå, ÷òîáû ïîä-ãðóïïà àáåëåâîé ãðóïïû áûëà äîïîëíÿåìà.Òåîðåìà 3.17. Ïóñòü f : A → A′ ñþðúåêòèâíûé ãîìîìîðèçìàáåëåâûõ ãðóïï è B = ker f . Åñëè A′ ñâîáîäíà, òî ñóùåñòâóåò C 6 Aòàêàÿ, ÷òî A = B ⊕ C è f |C : C → A′ èçîìîðèçì (ñëåäîâàòåëüíî, Còîæå ñâîáîäíà). 54

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü (x′i)i∈I áàçèñ â A′ è ïóñòü xi ∈ A òàêèå,÷òî x′i = f(xi). Ïîëîæèì C := 〈(xi)i∈I〉. Åñëè ∑i∈J nixi = 0, ãäå J ⊂ I êîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî, òî 0 = f(

∑i∈J nixi) =

∑i∈J nix

′i. Îòñþäà ni = 0äëÿ ∀i ∈ J . Òàêèì îáðàçîì, (xi)i∈I áàçèñ â C.Ïóñòü z ∈ B ∩ C. Òîãäà z =

∑i∈J nixi è 0 = f(z) =

∑i∈J nix

′i. Ñëåäî-âàòåëüíî, z = 0, ò.å. B ∩ C = 0.Äëÿ ∀x ∈ A èìååì îäíîçíà÷íîå ðàçëîæåíèå f(x) =

∑i∈If

nix′i. Ñëåäî-âàòåëüíî, x −∑

i∈Ifnixi ∈ B, ò.å. x ∈ B + C. Îòñþäà A = B ⊕ C ââèäóñëåäñòâèÿ 3.2.1. Çàìå÷àíèå 3.18. Ïîñêîëüêó f îïðåäåëÿåò èçîìîðèçì f : AB →

C′, òî òåîðåìà 3.17 ìîæåò áûòü ñîðìóëèðîâàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì:Òåîðåìà 3.19. Ïîäãðóïïà B àáåëåâîé ãðóïïû A òàêàÿ, ÷òî AB ñâî-áîäíà, äîïîëíÿåìà.Òåîðåìà 3.20. Ïóñòü A ñâîáîäíàÿ ãðóïïà, B íåêîòîðàÿ åå ïîä-ãðóïïà. Òîãäà B òàêæå ñâîáîäíà è ìîùíîñòü áàçèñà B íå ïðåâîñõîäèòìîùíîñòè áàçèñà A. Ëþáûå äâà áàçèñà B èìåþò îäèíàêîâóþ ìîùíîñòü,íàçûâàåìóþ ðàíãîì B è îáîçíà÷àåìóþ rankB.Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ íàøèõ öåëåé äîñòàòî÷íî ïðèâåñòè äîêàçàòåëü-ñòâî, êîãäà A = Z〈x1, . . . , xn〉 = Z〈x1〉⊕ . . .⊕Z〈xn〉, n > 1. Äîêàçàòåëüñòâîïðîâåäåì èíäóêöèåé ïî n. Ïóñòü f : A→ Z〈x1〉 ïðîåêöèÿ, ò.å.

f(m1x1 + . . .+mnxn) := m1x1.ÏóñòüfB : B → Z〈x1〉 ñóæåíèå f íà B.ðóïïà Im fB = f(B) ÿâëÿåòñÿ ïîäãðóïïîé â Z〈x1〉. Çíà÷èò, f(B) èìååòâèä Z〈c〉, ÿâëÿåòñÿ ñâîáîäíîé ãðóïïîé, rank f(B) 6 1. ðóïïà B1 := ker fBåñòü ïîäãðóïïà â B è ïîäãðóïïà â Z〈x2, . . . , xn〉. Ïî ïðåäïîëîæåíèþ èí-äóêöèè B1 ñâîáîäíà è rankB1 6 n − 1. Ïî òåîðåìå 3.17 B = B1 ⊕ C1,ãäå C1 èçîìîðíà ãðóïïå f(B) (à ïîòîìó C1 ñâîáîäíà è rankC1 6 1).Ñëåäîâàòåëüíî, B ñâîáîäíà è rankB 6 n.Ïóñòü e = (e1, . . . , en) è e′ = (e′1, . . . , e

′m) äâà áàçèñà â B è ïóñòü

m > n. Òîãäà

e′ = Ae,55

ãäå

A =

a11 . . . a1n

· · ·ai1 . . . ain

· · ·am1 . . . amn

, aij ∈ Z.Òàê êàê m > n, òî ñòðîêè ai = (ai1, . . . , ain) ∈ Qn, i = 1, . . . ,m, îáðàçó-þò â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå Qn ëèíåéíî çàâèñèìóþ ñèñòåìó, ò.å.

m∑

i=1

µiai = 0, èëè

m∑

i=1

µiaij = 0, j = 1, . . . , n.Çäåñü íå âñå µi = 0, è ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî µi ∈ Z. Ïîñêîëüêó

e′i =

n∑

j=1

aijej ,òî

m∑

i=1

µie′i =

m∑

i=1

µi(

n∑

j=1

aijej) =

n∑

j=1

(

m∑

i=1

µiaij)ej = 0,÷òî íåâîçìîæíî, èáî e′ áàçèñ.Çíà÷èò, m 6 n. Ìåíÿÿ ìåñòàìè e è e′, èìååì m = n. 3.4. Ïåðèîäè÷åñêèå è äåëèìûå ãðóïïûÏåðåîðìóëèðóåì (ïåðåâåäåì íà àääèòèâíûé ÿçûê) íåêîòîðûå ãðóï-ïîâûå ïîíÿòèÿ (òàêèå, êàê ïîðÿäîê ýëåìåíòà, ïåðèîäè÷åñêàÿ ãðóïïà) äëÿàáåëåâà ñëó÷àÿ.Îïðåäåëåíèå 3.21. Ïóñòü G àáåëåâà ãðóïïà, x ∈ G. Ïîðÿäêîì (ïå-ðèîäîì) ýëåìåíòà x (îáîçíà÷àåòñÿ ordx) íàçûâàåòñÿ íàèìåíüøåå n òàêîå,÷òî nx = 0. ðóïïà, ó êîòîðîé ëþáîé ýëåìåíò èìååò êîíå÷íûé ïîðÿäîê,íàçûâàåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé.Îïðåäåëåíèå 3.22. Äëÿ êàæäîãî n ∈ N çàäàäèì ãîìîìîðèçìfn : G → G îðìóëîé fn(x) = nx è îïðåäåëèì ïîäãðóïïû G(n) è G(n)îðìóëàìè

G(n) := Im fn, G(n) := ker fn.56

Î÷åâèäíî, ÷òî

G(1) = G, G(1) = 0,à òàêæå

G(n) ⊃ G(kn), G(n) ⊂ G(kn).Òåîðåìà 3.23. Êàæäàÿ ãðóïïà G ñîäåðæèò íàèáîëüøóþ ïåðèîäè÷å-ñêóþ ïîäãðóïïó, íàçûâàåìóþ ïîäãðóïïîé êðó÷åíèÿ ãðóïïû G, îáîçíà÷àå-ìóþ Gt, èëè TorG, òàêóþ, ÷òî GGt ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîé áåç êðó÷åíèÿ.Äîêàçàòåëüñòâî. àññìîòðèì ìíîæåñòâî Gt :=⋃∞n=1G(n).

Gt ãðóïïà, èáî åñëè x, y ∈ Gt, òî x ∈ G(n), y ∈ G(m). Òîãäà x + y ∈G(mn) ⊂ Gt. Êðîìå òîãî, Gt íàèáîëüøàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ ïîäãðóïïà â G.ðóïïà GGt åñòü ãðóïïà áåç êðó÷åíèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü

n(x+Gt) = nx+Gt = Gt. Òîãäà nx ∈ Gt. Ñëåäîâàòåëüíî, nx ∈ G(m) äëÿíåêîòîðîãî m, ò.å. (mn)x = 0 è x ∈ G(mn) ⊂ Gt. Çíà÷èò, x+Gt = Gt. Îïðåäåëåíèå 3.24. Åñëè G ãðóïïà, òî äëÿ êàæäîãî ïðîñòîãî pîáîçíà÷èìG(p) := x ∈ G : ordx = pn(x), n(x) ∈ N.Î÷åâèäíî, G(p) ïåðèîäè÷åñêàÿ ïîäãðóïïà â G. Îíà íàçûâàåòñÿ

p-ïðèìàðíîé ãðóïïîé, èëè p-ãðóïïîé.Òåîðåìà 3.25. Êàæäàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ ãðóïïà G ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîéñóììîé ñâîèõ p-ïðèìàðíûõ ïîäãðóïï G(p) ïî âñåì ïðîñòûì p.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x ∈ G è, áîëåå òîãî, x ∈ G(n). Ïðåäïîëîæèì

n = pr11 pr22 . . . prk

k , ãäå pi ðàçëè÷íûå ïðîñòûå ÷èñëà. Ïîëîæèì nj :=n/p

rj

j . Òîãäà ord(njx) = prj

j , ò.å. njx ∈ G(n)(pj) = G(n) ∩G(pj).Ïîñêîëüêó ÷èñëà n1, n2, . . . , nk âçàèìíî ïðîñòû, òî ñóùåñòâóþò

a1, a2, . . . , ak ∈ Z òàêèå, ÷òî a1n1 + . . . aknk = 1. Òîãäà x = a1(n1x) +. . .+ ak(nkx) ∈ G(n)(p1) + . . .+G(n)(pk). Òàêèì îáðàçîì, G(n) = G(n)(p1) +. . .+G(n)(pk).Ïðîâåðèì óñëîâèå 3) òåîðåìû 3.2, ò.å. G(n)(pj) ∩

∑j−1i=1 G(n)(pi) = 0,ãäå 2 ≤ j ≤ n. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü x ∈ G(n)(pj) ∩

∑j−1i=1 G(n)(pi). Òîãäà

x = x1 + . . .+xj−1, xi ∈ G(n)(pi), i = 1, . . . , j−1 è x ∈ G(n)(pj). Îòñþäà

pri

i xi = 0, i = 1, . . . , j − 1 è prj

j x = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, pr11 . . . prj−1

j−1 x = 0 è

prj

j x = 0. Ïîñêîëüêó (pr11 . . . prj−1

j−1 , prj

j ) = 1 (ò.å. 1 = kpr11 − prj−1

j−1 + lprj

j äëÿíåêîòîðûõ k, l ∈ Z), òî x = 0. Ïî òåîðåìå 3.2 G(n) =⊕k

i=1G(n)(pi).Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ãàðàíòèðóåò åäèíñòâåííîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ xâ âèäå êîíå÷íîé ñóììû x =∑

p∈S xp, ãäå xp ∈ G(p), S ⊂ P êîíå÷íîå57

ïîäìíîæåñòâî â ìíîæåñòâå âñåõ ïðîñòûõ. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè èìåþò-ñÿ äâà ïðåäñòàâëåíèÿ x â òðåáóåìîì âèäå: êàê ýëåìåíòà èç G(n′) è êàêýëåìåíòà èç G(n′′), òî ýòè ïðåäñòàâëåíèÿ ñîâïàäàþò, ïîñêîëüêó x ∈ G(n),ãäå n = n′ · n′′. Ñëåäñòâèå 3.25.1. Ïóñòü G êîíå÷íàÿ àáåëåâà ãðóïïà, |G| = n,

n = pr11 . . . prk

k . Òîãäà

G =

k⊕

i=1

G(pi),ãäå G(pi) êîíå÷íûå ïðèìàðíûå ãðóïïû.Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ïðåäïîëîæåíèÿ G = G(n) è äîêàçàòåëüñòâà òåî-ðåìû 3.25 âûòåêàåò òðåáóåìûé ðåçóëüòàò. Îïðåäåëåíèå 3.26. ðóïïà G íàçûâàåòñÿ äåëèìîé, åñëè G(n) = Gäëÿ âñåõ n = 1, 2, . . ., ò.å. óðàâíåíèå nx = a èìååò õîòÿ áû îäíî ðåøåíèå â

G äëÿ ëþáîãî a ∈ G è ëþáîãî öåëîãî n > 1.Çàìå÷àíèå 3.27. Îòìåòèì, ÷òî:1) ãîìîìîðíûé îáðàç äåëèìîé ãðóïïû äåëèì, â ÷àñòíîñòè, àêòîð-ãðóïïà äåëèìîé ãðóïïû äåëèìà;2) ãðóïïû ∏i∈I Gi è ⊕

i∈I Gi äåëèìû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äå-ëèìû âñå Gi, i ∈ I;3) Q,R,T äåëèìûå ãðóïïû, Z íå äåëèìà.Òåîðåìà 3.28. Åñëè G äåëèìà, òî è åå ïîäãðóïïà êðó÷åíèÿ Gt äåëèìà.Äîêàçàòåëüñòâî. àññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé y ∈ Gt =⋃∞n=1G(n).Òîãäà y ∈ G(k) äëÿ íåêîòîðîãî k, ò.å. ky = 0. Ïî óñëîâèþ, äëÿ

∀n ∃x ∈ G : nx = y. Ñëåäîâàòåëüíî, (nk)x = ky = 0, ò.å. x ∈ G(nk) ⊂ Gt. Äåëèìûå ãðóïïû èãðàþò âàæíóþ ðîëü èç-çà ñëåäóþùèõ äâóõ òåîðåì.Òåîðåìà 3.29 (Î ïðîäîëæåíèè ãîìîìîðèçìà). Ïóñòü G, H àáåëåâû ãðóïïû, G ⊃ H, D äåëèìàÿ ãðóïïà, ϕ : H → D ïðîèçâîëüíûéãîìîìîðèçì. Òîãäà ñóùåñòâóåò ãîìîìîðèçì Φ : G → D òàêîé, ÷òîΦ|H = ϕ.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x ∈ GH . ×òîáû èñïîëüçîâàòü ëåììó Öîð-íà (ïî àíàëîãèè ñ ïðîäîëæåíèåì ëèíåéíîãî óíêöèîíàëà â òåîðåìå Õàíà Áàíàõà) äîñòàòî÷íî óìåòü ïðîäîëæàòü ϕ íà ïîäãðóïïó Hx, ïîðîæäåííóþH è ýëåìåíòîì x:

Hx := 〈H,x〉 = nx+ h : n ∈ Z, h ∈ H.58

àññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ:1. Åñëè nx /∈ H íè ïðè êàêîì n > 2, òî ïîëîæèìΦ(nx+ h) := ϕ(h).2. Â ïðîòèâíîì ñëó÷àå âûáåðåì íàèìåíüøåå k > 2 òàêîå, ÷òî kx ∈ H .Ïîñêîëüêó D äåëèìà, çàèêñèðóåì ëþáîå ðåøåíèå z ∈ D óðàâíåíèÿ kz =

ϕ(kx). Ïîëîæèì

Φ(nx+ h) := nz + ϕ(h).Îòìåòèì, ÷òî åñëè nx /∈ H , òî n äåëèòñÿ íà k, ò.å. n = km. Ïîýòîìó Φîïðåäåëåíî êîððåêòíî, ÿâëÿåòñÿ ãîìîìîðèçìîì è ïðîäîëæàåò ϕ. Òåîðåìà 3.30 (Î äîïîëíÿåìîñòè). Äåëèìàÿ ïîäãðóïïà äîïîëíÿåìà.Äîêàçàòåëüñòâî. Â ïðåäûäóùåé òåîðåìå ïîëîæèì H = D, ϕ = ID òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå. Ïðîäîëæèì ϕ äî π : G → D. Î÷åâèäíî,

π2 = π (ïðîåêòîð), D = Imπ. Ïî ñëåäñòâèþ 3.1.1 òåîðåìû 3.1 ïîäãðóïïà

D äîïîëíÿåìà. 3.5. Êîíå÷íî ïîðîæäåííûå àáåëåâû ãðóïïûÊîíå÷íî ïîðîæäåííûå àáåëåâû ãðóïïû èãðàþò âàæíóþ ðîëü â òåîðèèãðóïï, ïîñêîëüêó ëþáàÿ àáåëåâà ãðóïïà ÿâëÿåòñÿ èíäóêòèâíûì ïðåäåëîìíåêîòîðîé íàïðàâëåííîñòè êîíå÷íî ïîðîæäåííûõ ãðóïï.Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü A ïðîèçâîëüíàÿ àáåëåâà ãðóïïà. àññìîòðèì

Γ ìíîæåñòâî âñåõ êîíå÷íûõ ïîäìíîæåñòâ I èç A. Äëÿ êàæäîãî I ∈ Γîïðåäåëèì AI = 〈I〉 ãðóïïó â A, ïîðîæäåííóþ ìíîæåñòâîì I. Ìíîæå-ñòâî Γ, óïîðÿäî÷åííîå ïî âêëþ÷åíèþ, íàïðàâëåíî. Î÷åâèäíî AI ⊂ AJ ,åñëè I ⊂ J . Â ýòîì ñëó÷àå A =⋃I∈ΓAI , èëè A = lim−→I∈Γ

AI .Ïðèìåð 3.31. Êîíå÷íûå è öèêëè÷åñêèå ãðóïïû êîíå÷íî ïîðîæäåíû.Ïðèìåð 3.32. îìîìîðíûé îáðàç êîíå÷íî ïîðîæäåííîé ãðóïïû êî-íå÷íî ïîðîæäåí. Â ÷àñòíîñòè, àêòîð-ãðóïïà êîíå÷íî ïîðîæäåííîé ãðóï-ïû êîíå÷íî ïîðîæäåíà.Òåîðåìà 3.33. Ïîäãðóïïà êîíå÷íî ïîðîæäåííîé ãðóïïû êîíå÷íî ïî-ðîæäåíà.59

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü A = 〈a1, a2, . . . , an〉, ò.å. ïîðîæäåíà ýëå-ìåíòàìè a1, a2, . . . , an, è ïóñòü F ≡ Z〈a1, a2, . . . , an〉 ñâîáîäíàÿ ãðóï-ïà ñ îáðàçóþùèìè a1, a2, . . . , an. Èç òåîðåìû 3.13 ñëåäóåò ñóùåñòâîâà-íèå ñþðúåêòèâíîãî ãîìîðèçìà ϕ : F → A. Åñëè B ⊂ A ïîä-ãðóïïà, òî ϕ−1(B) ïîäãðóïïà â F , à ïîòîìó (òåîðåìà 3.20) ñâîáîäíà è

rankϕ−1(B) 6 n, ò.å. ϕ−1(B) èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî îáðàçóþùèõ. Ñëåäî-âàòåëüíî, B = ϕ(ϕ−1(B)) êîíå÷íî ïîðîæäåíà. Òåîðåìà 3.34. ðóïïà A =∏nk=1Ak êîíå÷íî ïîðîæäåíà òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà Ak, k = 1, 2, . . . , n, êîíå÷íî ïîðîæäåíû.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó ïðîåêöèÿ prk : A → Ak ÿâëÿåòñÿ ñþðú-åêòèâíûì ãîìîìîðèçìîì, òî èç êîíå÷íîé ïîðîæäåííîñòè A ñëåäóåò êî-íå÷íàÿ ïîðîæäåííîñòü Ak.Îáðàòíî, åñëè Ak ïîðîæäåíà êîíå÷íûì ìíîæåñòâîì Sk, òî A ïîðîæ-äåíà êîíå÷íûì ìíîæåñòâîì S =

∏nk=1 Sk Òåîðåìà 3.35. Êîíå÷íî ïîðîæäåííàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ àáåëåâà ãðóïïàêîíå÷íà.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü A ïîðîæäåíà ýëåìåíòàìè a1, a2, . . . , an. Èïóñòü mk = ordak. Äëÿ ∀x ∈ A èìååì x = k1a1 + . . .+ knan, 0 6 ki < mi.Ñëåäîâàòåëüíî, êîëè÷åñòâî ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ â A íå ïðåâîñõîäèò

m1 · . . . ·mn. Òåîðåìà 3.36. Êîíå÷íî ïîðîæäåííàÿ àáåëåâà ãðóïïà áåç êðó÷åíèÿñâîáîäíà.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü A 6= 0 è ïîðîæäåíà êîíå÷íûì ìíîæåñòâîì Sè ïóñòü x1, . . . , xn ⊂ S ìàêñèìàëüíîå ëèíåéíî íåçàâèñèìîå ïîäìíî-æåñòâî â S. Ïóñòü B := 〈x1, . . . , xn〉. Òîãäà B ⊂ A è B ñâîáîäíà. Äëÿ∀y ∈ A ñóùåñòâóþò öåëûå m1, . . . ,mn, íå âñå ðàâíûå íóëþ, òàêèå, ÷òîmy+m1x1 + . . .+mnxn = 0 (â ñèëó ìàêñèìàëüíîñòè x1, . . . , xn). Ïðè ýòîìm 6= 0, èíà÷å âñå mi = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, my ∈ B. Ýòî ñïðàâåäëèâî äëÿêàæäîãî y ∈ S. Ïîñêîëüêó S êîíå÷íî è ïîðîæäàåò ãðóïïó A, òî ñóùåñòâó-åò öåëîå ÷èñëîm 6= 0, äëÿ êîòîðîãîmA ⊂ B. Çíà÷èò, ãðóïïà mA ñâîáîäíà(òåîðåìà 3.20). àññìîòðèì ãîìîìîðèçì

ϕ : A ∋ x→ mx ∈ A.Ïîñêîëüêó kerϕ = 0, èáî A ãðóïïà áåç êðó÷åíèÿ, òî ϕ : A → ϕ(A) ≡mA èçîìîðèçì. Òàê êàê ϕ(A) = mA ñâîáîäíà, òî ñâîáîäíà è A. 60

Òåîðåìà 3.37. Ïóñòü A êîíå÷íî ïîðîæäåííàÿ ãðóïïà è At ååïîäãðóïïà êðó÷åíèÿ. Òîãäà â A ñóùåñòâóåò ñâîáîäíàÿ ïîäãðóïïà B (ñêîíå÷íûì áàçèñîì) òàêàÿ, ÷òî A = At ⊕B. ðóïïà At êîíå÷íà.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî òåîðåìå 3.33 ãðóïïà At êîíå÷íî ïîðîæäåíà. Ïîòåîðåìå 3.35 ãðóïïà At êîíå÷íà. Ïî òåîðåìå 3.23 ãðóïïà AAt áåç êðó-÷åíèÿ. Êàê àêòîð-ãðóïïà êîíå÷íî ïîðîæäåííîé ãðóïïû îíà êîíå÷íî ïî-ðîæäåíà è, ïî òåîðåìå 3.36, ñâîáîäíà. Ïî òåîðåìå 3.19 ãðóïïà At äîïîëíÿ-åìà. Ââèäó èçîìîðèçìà B ∼ AAt ìîùíîñòü áàçèñà B íå ïðåâîñõîäèòìîùíîñòè ìíîæåñòâà, ïîðîæäàþùåãî A. Òåîðåìà 3.37 äàåò ïîëíóþ õàðàêòåðèñòèêó êîíå÷íî ïîðîæäåííûõãðóïï, êîòîðóþ ÷àñòî èñïîëüçóþò â ñëåäóþùåé îðìóëèðîâêå:Òåîðåìà 3.38. Êàæäàÿ êîíå÷íî ïîðîæäåííàÿ àáåëåâà ãðóïïà èçî-ìîðíà ãðóïïå âèäà Zn ×Φ, ãäå Φ íåêîòîðàÿ êîíå÷íàÿ àáåëåâà ãðóïïà.Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü A êîíå÷íî ïîðîæäåííàÿãðóïïà. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå 3.37 A = At ⊕ B. Ïî òåîðåìå 3.35

At êîíå÷íà, à òàê êàê B ñâîáîäíàÿ ãðóïïà ðàíãà n, òî B ∼= Zn. Òåîðåìó 3.38 ìîæíî óòî÷íèòü, âûÿñíèâ ñòðóêòóðó êîíå÷íîé àáåëåâîéãðóïïû. Ââèäó ñëåäñòâèÿ 3.25.1, äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî âûÿñíèòü ñòðóêòó-ðó êîíå÷íûõ ïðèìàðíûõ ãðóïï.Îòìåòèì, ÷òî åñëè G êîíå÷íàÿ ãðóïïà, òî äëÿ êàæäîãî a ∈ G öèê-ëè÷åñêàÿ ïîäãðóïïà 〈a〉 ⊂ G è orda 6 |G|.Òåîðåìà 3.39. Ïóñòü A êîíå÷íàÿ àáåëåâà p-ãðóïïà è b ∈ A ýëå-ìåíò ìàêñèìàëüíîãî ïîðÿäêà (ord b = pn). Òîãäà öèêëè÷åñêàÿ ïîäãðóïïà

B = 〈b〉 äîïîëíÿåìà â A.Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Åñëè ñàìà A öèêëè÷íà, ò.å. A = 〈a〉 è orda =pm, òî âñÿêàÿ åå ïîäãðóïïà B öèêëè÷íà. Åñëè B èìååò ìàêñèìàëüíûéïîðÿäîê, òî B = A è òåîðåìà äîêàçàíà.2. Ïóñòü A íå öèêëè÷íà. Òîãäà B 6= A è äîêàçàòåëüñòâî âåäåì èí-äóêöèåé ïî |A|, ò.å. ïðåäïîëîæèì, ÷òî óòâåðæäåíèå äîêàçàíî äëÿ âñåõêîíå÷íûõ p-ãðóïï A òàêèõ, ÷òî |A| < |A|.Âûáåðåì c ∈ A \B, ò.å. [c] ∈ AB è [c] 6= 0AB.Ïóñòü r > 1 òàêîå íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå, ÷òî

prc ∈ B ≡ 〈b〉.Ñëåäîâàòåëüíî, prc = sb, s ∈ N. Òàê êàê c ∈ A, à b ýëåìåíò â A ñíàèáîëüøèì ïîðÿäêîì pn, òî ord c 6 pn. Ïîýòîìó 0 = pnc = pn−rprc =pn−rsb. Îòñþäà pn|pn−rs. Ïîñêîëüêó r > 1, òî p|s, ò.å. s = ps′.61

Ïîëîæèì

c1 := pr−1c− s′b /∈ B (èáî pr−1c /∈ B).Ïîñêîëüêó pc1 = 0, òî ord c1 = p. Ïîëîæèì C := 〈c1〉. Òîãäà

B ∩ C = 0.Â ïðîòèâíîì ñëó÷àå B ∩ C íåòðèâèàëüíàÿ ïîäãðóïïà â C. À òàê êàê

|C| = p, òî C = B ∩ C ⊂ B. ×òî íåâîçìîæíî, òàê êàê c1 /∈ B.Ïîëîæèì A = AC, π : A → A êàíîíè÷åñêèé ãîìîìîðèçì, B :=π(B) è πB := π|B . Òîãäà πB : B → B ñþðúåêòèâíûé ãîìîìîðèçì è

kerπB = x ∈ B : x+ C = C = B ∩ C = 0.Òàêèì îáðàçîì, πB : B → B èçîìîðèçì. Ïîýòîìó B öèêëè÷åñêàÿïîäãðóïïà íàèáîëüøåãî ïîðÿäêà â p-ãðóïïå A. Ïîñêîëüêó |A| < |A|, òî ïîïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè

A = B ⊕Däëÿ íåêîòîðîé D 6 A.Ïîëîæèì D := π−1(D). Òîãäà

A = π−1(A) = π−1(D) + π−1(B) = B +D.Ïîñêîëüêó B ∩D = 0A, òî B ∩D ⊂ C. Çíà÷èò, B ∩D ⊂ B ∩C = 0.Òàêèì îáðàçîì, A = B ⊕D. Ñëåäñòâèå 3.39.1. Êàæäàÿ êîíå÷íàÿ àáåëåâà p-ãðóïïà ÿâëÿåòñÿ ïðÿ-ìîé ñóììîé öèêëè÷åñêèõ ãðóïï.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü A çàäàííàÿ êîíå÷íàÿ p-ãðóïïà è ïóñòü a1 ∈A ýëåìåíò ìàêñèìàëüíîãî ïîðÿäêà pα1 . Òîãäà ïî òåîðåìå 3.39

A = 〈a1〉 ⊕A1,ãäå A1 êîíå÷íàÿ p-ãðóïïà è |A1| < |A|. Âûáåðåì a2 ∈ A1 ýëåìåíòìàêñèìàëüíîãî ïîðÿäêà pα2(α2 6 α1) è ïîëó÷èì A1 = 〈a2〉 ⊕A2. Ñëåäîâà-òåëüíî, A = 〈a1〉⊕〈a2〉⊕A2 è |A2| < |A1|. Ïðîöåññ çàâåðøèòñÿ çà êîíå÷íîå÷èñëî øàãîâ, òàê êàê |Ak+1| < |Ak| < . . . < |A1| < |A| < +∞. Ñëåäñòâèå 3.39.2. Êàæäàÿ êîíå÷íàÿ àáåëåâà ãðóïïà åñòü ïðÿìàÿñóììà êîíå÷íûõ öèêëè÷åñêèõ ãðóïï.62

Äîêàçàòåëüñòâî. Âûòåêàåò èç ñëåäñòâèé 3.25.1 è 3.39.1. Ñëåäñòâèå 3.39.3. Êàæäàÿ êîíå÷íî ïîðîæäåííàÿ àáåëåâà ãðóïïàåñòü êîíå÷íàÿ ïðÿìàÿ ñóììà öèêëè÷åñêèõ ãðóïï (êàê êîíå÷íûõ, òàê èáåñêîíå÷íûõ).Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü A êîíå÷íî ïîðîæäåííàÿ ãðóïïà. Òîãäà ïîòåîðåìå 3.37 A = At ⊕ B, ãäå At ïîäãðóïïà êðó÷åíèÿ (êîíå÷íàÿ) èB ñâîáîäíàÿ ãðóïïà. ðóïïà B ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé ñóììîé êîíå÷íîãî÷èñëà áåñêîíå÷íûõ öèêëè÷åñêèõ ãðóïï, à At ïî ñëåäñòâèþ 3.39.2 ÿâëÿåòñÿïðÿìîé ñóììîé êîíå÷íûõ öèêëè÷åñêèõ ãðóïï. 3.6. Ïðèìåðû àáåëåâûõ ãðóïïÂ ýòîì ïàðàãðàå ìû äàäèì ìíîãî÷èñëåííûå ïðèìåðû àáåëåâûõ ãðóïï.Âûÿñíèì, êàêèå èç íèõ ïåðèîäè÷íû èëè íåïåðèîäè÷íû, ñâîáîäíû èëèíåñâîáîäíû, êîíå÷íî ïîðîæäåíû èëè íå ÿâëÿþòñÿ òàêîâûìè, ðàçëàãàþòñÿâ ïðÿìóþ ñóììó èëè íåðàçëîæèìû, äåëèìû èëè íåäåëèìû.Îòìåòèì, ÷òî çäåñü ìû èíîãäà ïîëüçóåìñÿ ýëåìåíòàðíûìè ñâåäåíèÿìèèç ãëàâû 6.1. Z. 2. Q. 3. R. 4. C àääèòèâíûå ãðóïïû.5. G = +1,−1 ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ãðóïïà.6. R+ := x ∈ R : x > 0 ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ãðóïïà. Îíà èçîìîð-íà ãðóïïå R è ϕ : R ∋ x→ ex ∈ R+ ÿâëÿåòñÿ èçîìîðèçìîì.7. R× := R\0 ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ãðóïïà. Îíà èçîìîðíà ãðóïïå

+1,−1 ×R+, èáî âñÿêèé x ∈ R× ïðåäñòàâèì â âèäå x = (signx) · |x|.8. T := z ∈ C : |z| = 1. Îòîáðàæåíèå ψ : R ∋ x→ e2πix ∈ T ÿâëÿåòñÿãîìîìîðèçìîì, ïðè÷åì kerψ = Z, Imψ = T. Ñëåäîâàòåëüíî, T ∼= RZ.9. C× := C\0 ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ãðóïïà. Îíà èçîìîðíà ãðóïïåT×R+, èáî âñÿêèé x ∈ C× ïðåäñòàâèì â âèäå x = ei arg x · |x|.10. nZ.11. ZnZ.12. Z2Z èçîìîðíà +1,−1, ϕ : Z ∋ n → (−1)n ∈ +1,−1 ãîìîìîðèçì, ïðè÷åì kerϕ = 2Z, Imϕ = +1,−1.13. ðóïïà T íå ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé. Íàïðèìåð, a = e2πi√

2 ∈ T.Îäíàêî, an 6= 1 äëÿ ∀n ∈ Z.14. Ïîäãðóïïó êðó÷åíèÿ Tt ãðóïïû T îáîçíà÷àþò Z(+∞),Z(+∞) := z ∈ T : ord z < +∞ = z ∈ C : z = e2πir, r ∈ Q ìíîæåñòâî êîðíåé èç 1 âñåõ ñòåïåíåé.63

Îòîáðàæåíèå ϕ : Q ∋ r → e2πir ∈ T ÿâëÿåòñÿ ãîìîìîðèçìîì, ïðè÷åì

kerϕ = Z, Imϕ = Z(+∞). Ñëåäîâàòåëüíî,Z(+∞) ∼= QZ.Ïî îïðåäåëåíèþ Z(+∞) 6 T, à Z(+∞) ïåðèîäè÷íà, êàê ãðóïïà êðó÷å-íèÿ.Êðîìå òîãî, èìååò ìåñòîÒåîðåìà 3.40. Äëÿ âñÿêîé ïîäãðóïïû A 6 Q ãðóïïà QA ïåðèîäè÷-íà.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü α =m

n∈ A,α > 0. Ñëåäîâàòåëüíî,m = αn ∈

A. Ïóñòü [x] = x + A =p

q+ A ∈ QA ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò. Òîãäà

mq[x] = mp+mqA ⊂ pA+ qA ⊂ A. Ñëåäîâàòåëüíî, ord[x] 6 mq.Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî QZ ïåðèîäè÷íà. 15. Ëåãêî âèäåòü, ÷òîZ ⊂ 1

2!

Z ⊂ 1

3!

Z ⊂ . . . ⊂ 1

n!

Z ⊂ . . . ⊂ Q. (3.7)Îáðàçóåì ãðóïïó

lim−→(1

n!

Z) =∞⋃

n=1

(1

n!

Z).Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî Q = lim−→(1

n!

Z). (3.8)Äåéñòâèòåëüíî, åñëè m

n∈ Q, òî m

n=m(n− 1)!

n!∈ 1

n!

Z. Âìåñòå ñ (3.7)ýòî óñòàíàâëèâàåò (3.8).Ïîñêîëüêó

0 = ZZ ⊂ (1

2!

Z)Z ⊂ . . . ⊂ (1

n!

Z)Z ⊂ . . . ⊂ QZ,òî îáðàçóåì

lim−→(1

n!

ZZ) = lim−→(1

n!

Z)Z = QZ ∼= Z(+∞).64

16. Îáîçíà÷èìZ(p∞) := z ∈ Z(+∞) : ord z = pk(z) =

= z = exp(2πim

pk) : m ∈ Z, k ∈ N ìíîæåñòâî êîðíåé èç 1 ñòåïåíåé âèäà pk.Z(p∞) ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ïîäãðóïïà â Z(+∞). Çíà÷èò, Z(p∞) ïå-ðèîäè÷íà.17. Ïóñòü Q(p) âñå ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà ñî çíàìåíàòåëåì âèäà pk.Î÷åâèäíî, Q(p) = lim−→(

1

pn

Z). (3.9)Ýòî ïîäãðóïïà â Q.àññìîòðèì ãîìîìîðèçìϕ : Q(p) ∋ m

pk→ exp(2πi

m

pk) ∈ Z(p∞).Âèäíî, ÷òî ϕ ñþðúåêòèâåí è kerϕ = Z. Ñëåäîâàòåëüíî,Q(p)Z ∼= Z(p∞). (3.10)Êðîìå òîãî, èç (3.9) è (3.10)

lim−→(1

pn

Z)Z = Q(p)Z ∼= Z(p∞).18. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Q(p) ìíîæåñòâî âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, ãäåíåò â çíàìåíàòåëÿõ p, ò.å. çíàìåíàòåëè âçàèìíî ïðîñòû ñ p. Î÷åâèäíî,÷òî Q(p) 6 Q è Q(p) ∩Q(p) = Z. (3.11)Íåñëîæíî ïðîâåðèòü, ÷òîQ = Q(p) +Q(p). (3.12)Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü x =m

n∈ Q. Çàïèøåì x =

m

n=

m

pk · r , (pk, r) =

1. Çíà÷èò, 1 = apk + br äëÿ íåêîòîðûõ a, b ∈ Z. Ñëåäîâàòåëüíî, m =

mapk +mbr è, òåì ñàìûì, mn

=mapk +mbr

pk · r =ma

r+mb

pk∈ Q(p) +Q(p).65

Èç (3.11) è (3.12), ïîëàãàÿ â òåîðåìå 3.3 B = Q(p) è C = Q(p), ïîëó÷èìQ(p)Z ∼= QQ(p).Òåì ñàìûì (3.10) è (3.12) äàþòZ(p∞) ∼= QQ(p).19. Ïóñòü P = 2, 3, 5, 7, 11, . . . ìíîæåñòâî âñåõ ïðîñòûõ ÷èñåë èPn ìíîæåñòâî ïåðâûõ n ïðîñòûõ ÷èñåë. Ïî îñíîâíîé òåîðåìå àðèìå-òèêè âñÿêèé x ∈ Q+ èìååò âèä x = pα11 . . . pαn

n , αi ∈ Z, äëÿ íåêîòîðîãî n.Ïîýòîìó äëÿ ìóëüòèïëèêàòèâíîé ãðóïïû Q+ èìååìQ+ = lim−→〈Pn〉.20. Îïðåäåëèì Zp := lim←−ZpnZ,ãäå

ϕn−1,n : ZpnZ ∋ xn + pnZ→ xn−1 + pn−1Z ∈ Zpn−1Z,xn − xn−1 ∈ pn−1Z, ò.å. xn ≡ xn−1(mod pn−1).Òàêèì îáðàçîì, ëþáîé a ∈ Zp ïðåäñòàâèì â âèäå

a =

∞∑

k=0

akpk, 0 ≤ ak ≤ p− 1. (3.13)Òåì ñàìûì Zp ñòàíîâèòñÿ ãðóïïîé ïî ñëîæåíèþ. À òàê êàê ZpnZ êîëüöî, òî è Zp êîëüöî. Íåñëîæíî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî Zp öåëîñòíîåêîëüöî. Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî îáðàçîâàòü ïîëå ÷àñòíûõ Qp = frZp. Òà-êèì îáðàçîì, Qp ñîñòîèò èç îðìàëüíûõ âûðàæåíèé

a =+∞∑

k=−Nakp

k, 0 6 ak 6 p− 1. (3.14)Åñëè îáîçíà÷èòü

ordp a := infk : ak 6= 0è ïîëîæèòü

|a|p :=

0, a = 0,p− ordp a a 6= 0,66

òî |a|p îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:1) |a|p > 0;2) |a|p = 0⇔ a = 0;3) |a+ b|p 6 max|a|p, |b|p;4) |a · b|p = |a|p · |b|p.

(3.15)Îòñþäà âèäíî, ÷òîZp = a ∈ Qp : ordp a > 0 = a ∈ Qp : |a|p 6 1.Èç (3.14) è (3.13) âèäíî, ÷òîQpZp ∼= Q(p)Z ∼= (3.13) ∼= Z(p∞).21. Îáîçíà÷èìUp := a ∈ Zp : a0 6= 0 = a ∈ Qp : ordp a = 0 = a ∈ Qp : |a|p = 1.Ñîãëàñíî ñâîéñòâó 4) èç (3.15) Up ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ãðóïïà.Òåïåðü âûÿñíèì, êàêèå èç ðàññìîòðåííûõ ãðóïï 1) íåñâîáîäíû, 2) íåÿâëÿþòñÿ êîíå÷íî ïîðîæäåííûìè, 3) äåëèìû èëè íåäåëèìû, 4) íåðàçëî-æèìû, ò.å. íèêàêàÿ ñîáñòâåííàÿ ïîäãðóïïà íå èìååò ïðÿìîãî äîïîëíåíèÿ.Ñâîáîäà è êîíå÷íàÿ ïîðîæäåííîñòü ãðóïïÌóëüòèïëèêàòèâíàÿ àáåëåâà ãðóïïà Q+ = x ∈ Q : x > 0 ïîðîæäåíàìíîæåñòâîì P = 2, 3, 5, 7, 11 . . . âñåõ ïðîñòûõ ÷èñåë. Â ñèëó îñíîâíîéòåîðåìû àðèìåòèêè P ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì äëÿ Q+, ò.å. Q+ ñâîáîäíà, íîíå êîíå÷íî ïîðîæäåíà.ðóïïà Z è âñå åé èçîìîðíûå, ò.å. âèäà Z〈α〉, ñâîáîäíû.Òåîðåìà 3.41. Â Q òîëüêî ïîäãðóïïû âèäà αZ ñâîáîäíû. Âñå äðóãèåïîäãðóïïû, âêëþ÷àÿ Q, íåñâîáîäíû.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü A 6 Q è ïóñòü x1 =p1

q1, x2 =

p2

q2∈ A. Òîãäà

q1x1 = p1 ∈ A è q2x2 = p2 ∈ A. Ñëåäîâàòåëüíî, (p2q1)x1 = p2p1 = (p1q2)x2,ò.å. x1 è x2 ëèíåéíî çàâèñèìû. Ïîýòîìó â Q ñâîáîäíûõ ïîäãðóïï ðàíãàáîëüøåãî 1 íåò. Ñëåäñòâèå 3.41.1. ðóïïû Q è Q+ íå èçîìîðíû (ñðàâíè ñ ïðèìå-ðîì 6 âûøå). 67

Ñëåäñòâèå 3.41.2. ðóïïû Q(p),Q(p),Q,R,C,Zp,Qp íåñâîáîäíû.Äîêàçàòåëüñòâî. Q(p) 6 Q,Q(p) 6 Q,Q 6 R 6 C,Q(p) 6 Zp 6Qp. Âñå ãðóïïû ñ íåòðèâèàëüíîé ïîäãðóïïîé êðó÷åíèÿ, â ÷àñòíîñòè, âñåïåðèîäè÷åñêèå ãðóïïû, íå ñâîáîäíû. Â ÷àñòíîñòè, ãðóïïûZnZ, Z(p∞) 6 Z(∞) 6 Tíåñâîáîäíû.Òåîðåìà 3.42. Àääèòèâíûå ïîäãðóïïû â ïîëÿõ íóëåâîé õàðàêòåðè-ñòèêè íå èìåþò êðó÷åíèÿ.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü K ïîëå, charK = 0, A 6 K è a ∈ A, èïóñòü n · a = 0. Òàê êàê N ⊂ Q ⊂ K è a ∈ K, òî îòñþäà a = 0. Ñëåäñòâèå 3.42.1. Òàêèì îáðàçîì, ãðóïïûQ(p),Q(p),Q,R,C,Zp,Qpíå èìåþò êðó÷åíèÿ.Ñëåäñòâèÿ 3.41.2 è 3.42.1 âìåñòå ñ òåîðåìîé 3.36 ïðèâîäÿò êÒåîðåìà 3.43. ðóïïû Q(p),Q(p),Q,R,C,Zp,Qp íå ÿâëÿþòñÿ êîíå÷-íî ïîðîæäåííûìè.Ïîñêîëüêó Z(p∞),Z(+∞) áåñêîíå÷íûå è ïåðèîäè÷åñêèå, òî â ñèëóòåîðåìû 3.35 îíè íå ÿâëÿþòñÿ êîíå÷íî ïîðîæäåííûìè. À òàê êàê T ⊃Z(+∞), òî ïî òåîðåìå 3.33 ãðóïïà T íå ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íî ïîðîæäåííîé.Íåðàçëîæèìîñòü ãðóïïÒåîðåìà 3.44. Ëþáûå äâå ïîäãðóïïû èç Q èìåþò íåòðèâèàëüíîå ïå-ðåñå÷åíèå.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü A 6 Q, B 6 Q è ïóñòü α =m

n∈ A, β =

p

q∈

B. Çíà÷èò, αn = m ∈ A, βq = p ∈ B. Ñëåäîâàòåëüíî, mp ∈ A ∩ B, ò.å.mZ ⊂ A ∩B. Ñëåäñòâèå 3.44.1. Ëþáàÿ ïîäãðóïïà H èç Q íåðàçëîæèìà.68

Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê ëþáûå A 6 H,B 6 H , òî îíè ïîäãðóïïûèç Q. Çíà÷èò, îíè ïåðåñåêàþòñÿ è íå ìîãóò èìåòü ïðÿìûõ äîïîëíåíèé. Òàêèì îáðàçîì, ãðóïïûZ, αZ, Q(p), Q(p), Qíåðàçëîæèìû.Òåîðåìà 3.45. Êàæäàÿ ïîäãðóïïà â Z(p∞) ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîé öèê-ëè÷åñêîé ïîäãðóïïîé ïîðÿäêà pk.Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàêZ(p∞) ∼= lim−→(1

pn

ZZ),ðàññìîòðèì1

pn

ZZ = 0, 1

pn,

2

pn, . . . ,

pn − 1

pn = 〈 1

pn〉.Ïóñòü A ñîáñòâåííàÿ ïîäãðóïïà â Z(p∞). Òîãäà A ñîäåðæèò íå âñå

1

pk

, ò.å. ñóùåñòâóåò n òàêîå, ÷òî 1

pn∈ A, à 1

pn+1/∈ A. Ïîêàæåì, ÷òî

A = 〈 1

pn〉.Åñëè áû 1

pm∈ A äëÿ íåêîòîðîãîm > n+1, òî òàê êàê 〈 1

pn+1〉 ⊂ 〈 1

pm〉 ⊂

A, ìû èìåëè áû, ÷òî 1

pn+1∈ A. Òàêèì îáðàçîì,

1

pk/∈ A, ∀k > n.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ∃b ∈ A è b /∈ 〈 1

pn〉. Ïîñêîëüêó b ∈ 〈 1

pm〉 äëÿ íåêîòî-ðîãî m, òî îáÿçàòåëüíî íàéäåòñÿ k > n òàêîå, ÷òî b ∈ 〈 1

pk+1〉 è b /∈ 〈 1

pk〉.Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî 〈b〉 = 〈 1

pk+1〉, ò.å. 〈 1

pk+1〉 ∈ A. Ýòî ïðîòèâîðå÷èå äîêà-çûâàåò òåîðåìó. Ñëåäñòâèå 3.45.1. ðóïïà Z(p∞) íåðàçëîæèìà.69

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ëþáûå A 6 Z(p∞), B 6 Z(p∞). Òîãäà ordA =pl, ordB = pk. Åñëè k < l, òî ord(A ∩B) = pk è A ∩B = B, ò.å. ëþáûå äâåïîäãðóïïû ïåðåñåêàþòñÿ. Äåëèìîñòü è íåäåëèìîñòü ãðóïïðóïïû Z è ZnZ íåäåëèìû, òàê êàê óðàâíåíèå nx = 1 â ýòèõ ãðóïïàõíåðàçðåøèìî.ðóïïà Zp íåäåëèìà. Äåéñòâèòåëüíî, óðàâíåíèå px = 1 èìååò â Qpåäèíñòâåííîå ðåøåíèå x =

1

p

. Îäíàêî, x /∈ Zp.Òåîðåìà 3.46. Àääèòèâíàÿ ãðóïïà ïîëÿ äåëèìà òîëüêî â òîì ñëó÷àå,åñëè ïîëå èìååò íóëåâóþ õàðàêòåðèñòèêó.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü K ïîëå è charK = 0. Òîãäà Q ⊂ K. Ïóñòü

a ∈ K ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò. Òàê êàê n−1 ∈ Q ⊂ K äëÿ ëþáîãî n ∈ N,òî óðàâíåíèå nx = a èìååò ðåøåíèå x = n−1 · a ∈ K.Îáðàòíî, åñëè charK = p > 0, òî p · x = p · (1 · x) = (p · 1) · x = 0 äëÿ

∀x ∈ K. Ïîýòîìó óðàâíåíèå px = 1 íå èìååò ðåøåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, Q,R,C,Qp äåëèìû.Ïîñêîëüêó äåëèìûìè ÿâëÿþòñÿ àêòîð-ãðóïïû äåëèìûõ (ñì. çàìå÷à-íèå 3.27), òî ãðóïïûT ∼= RZ, Z(+∞) ∼= QZ, Z(p∞) ∼= QQ(p) äåëèìû.Ëþáàÿ ïîäãðóïïà A â Q íåäåëèìà. Èáî åñëè áû A áûëà äåëèìà, òîîíà áûëà áû äîïîëíÿåìà â Q (òåîðåìà 3.30), íî Q íåðàçëîæèìà.Òàêèì îáðàçîì, àääèòèâíûå ãðóïïûQ(p) è Q(p) íåäåëèìû.Çàìå÷àíèå 3.47. 1. Îòìåòèì åùå ðàç, ÷òî ãðóïïûQ è Z(p∞) äåëèìû.Îäíàêî, ïîñêîëüêó îíè íåðàçëîæèìû, òî ëþáûå ïîäãðóïïû ýòèõ ãðóïïíåäåëèìû. Õîòÿ âñå àêòîð-ãðóïïû äåëèìû.2. Îêàçûâàåòñÿ, ýòèìè äâóìÿ ãðóïïàìè èñ÷åðïûâàþòñÿ, ïî áîëüøîìóñ÷åòó, âñå äåëèìûå ãðóïïû. Òî÷íåå, ëþáàÿ äåëèìàÿ ãðóïïà ðàñïàäàåòñÿ âïðÿìóþ ñóììó ãðóïï Q è Z(p∞).3. Íàêîíåö, Z(p∞) ∼= Q(p)Z äàåò ïðèìåð àêòîð-ãðóïïû íåäåëèìîéãðóïïû Q(p) ïî íåäåëèìîé ãðóïïå Z, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ äåëèìîé.70

ë à â à 4Êîëüöà è èäåàëûÄàííàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà ýëåìåíòàì êîììóòàòèâíîé àëãåáðû. Çäåñüââåäåíû ïîíÿòèÿ êîëüöà, èäåàëà, àêòîð-êîëüöà, ïîëÿ. àññìîòðåíû öå-ëîñòíûå êîëüöà, èõ ïîëÿ ÷àñòíûõ, êîëüöà ãëàâíûõ èäåàëîâ, àêòîðèàëü-íûå è åâêëèäîâû êîëüöà. Óñòàíîâëåíà òåîðåìà î àêòîðèàëüíîñòè êîëüöàãëàâíûõ èäåàëîâ. Ïðèâåäåíû ïðèìåðû.4.1. Êîëüöà, èäåàëû, àêòîð-êîëüöà, ïîëÿÎïðåäåëåíèå 4.1. Ìíîæåñòâî K ñ äâóìÿ îïåðàöèÿìè ¾+¿ è ¾·¿ (ñëî-æåíèå è óìíîæåíèå) íàçûâàåòñÿ êîëüöîì, åñëè îíî óäîâëåòâîðÿåò ñëåäó-þùèì àêñèîìàì:1. Ïî ñëîæåíèþ K åñòü àáåëåâà ãðóïïà ñ íóë¼ì 0 ∈ K è ïðîòèâîïî-ëîæíûì ýëåìåíòîì (−x) äëÿ êàæäîãî x ∈ K.2. Óìíîæåíèå àññîöèàòèâíî: (x · y) · z = x · (y · z), è äèñòðèáóòèâíîîòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ:x · (y + z) = x · y + x · z, (y + z) · x = y · x+ z · x.Êîëüöî íàçûâàåòñÿ êîììóòàòèâíûì, åñëè

x · y = y · x äëÿ âñåõ x, y ∈ K.Ýëåìåíò 1 ∈ K íàçûâàåòñÿ åäèíè÷íûì ýëåìåíòîì (åäèíèöåé), åñëè

x · 1 = 1 · x äëÿ âñåõ x ∈ K.Ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî òàêîé ýëåìåíò (åñëè îí åñòü) îäèí.Íà ïðîòÿæåíèè âñåé êíèãè ñëîâî ¾êîëüöî¿ áóäåò îáîçíà÷àòü êîììó-òàòèâíîå êîëüöî ñ åäèíèöåé.Îïðåäåëåíèå 4.2. Ïîäìíîæåñòâî A ⊂ K íàçûâàåòñÿ ïîäêîëüöîì âK, åñëè A ÿâëÿåòñÿ êîëüöîì îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé ¾+¿ è ¾·¿.71

Îïðåäåëåíèå 4.3. Ïîëåì íàçûâàåòñÿ êîëüöî K, â êîòîðîì 1 6= 0è âñÿêèé íåíóëåâîé ýëåìåíò x îáðàòèì, ò.å. óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ x ·y = 1 äëÿ íåêîòîðîãî y ∈ K. Òàêîé ýëåìåíò y îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî,íàçûâàåòñÿ îáðàòíûì ê x è îáîçíà÷àåòñÿ x−1. Òàêèì îáðàçîì, K ïîëå,åñëè K× := K \ 0 åñòü ãðóïïà ïî óìíîæåíèþ.Îïðåäåëåíèå 4.4. Åñëè A è B êîëüöà, òî îòîáðàæåíèå f : A→ Bíàçûâàåòñÿ ãîìîìîðèçìîì êîëåö, åñëè âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:1) f(x+ y) = f(x) + f(y) äëÿ âñåõ x, y ∈ A;2) f(x · y) = f(x) · f(y) äëÿ âñåõ x, y ∈ A.Ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî f(0) = 0, f(−x) = −f(x).Áèåêòèâíûé ãîìîìîðèçì f : A → B íàçûâàåòñÿ èçîìîðèçìîì. Âýòîì ñëó÷àå f(1) = 1, f(x−1) = f(x)−1 è f−1 : B → A ÿâëÿåòñÿ èçîìîð-èçìîì.Ïðèìåð 4.5. 1. Ïóñòü S ìíîæåñòâî, A êîëüöî è F(S;A) ìíî-æåñòâî âñåõ îòîáðàæåíèé èç S â A. Òîãäà F(S;A) êîëüöî, åñëè äëÿ

f, g ∈ F(S;A) ïîëîæèòü

(f + g)(x) = f(x) + g(x), (f · g)(x) = f(x) · g(x) ïðè âñåõ x ∈ S.Íóëåì ýòîãî êîëüöà ñëóæèò ïîñòîÿííîå îòîáðàæåíèå, çíà÷åíèå êîòî-ðîãî åñòü íîëü êîëüöà A, à åäèíèöåé ïîñòîÿííîå îòîáðàæåíèå, çíà÷åíèåêîòîðîãî åñòü åäèíèöà êîëüöà A.2. Z êîëüöî; Q è R ïîëÿ.3. C[0, 1] íåïðåðûâíûå âåùåñòâåííûå óíêöèè îáðàçóþò ïîäêîëü-öî êîëüöà F([0, 1];R).4. C∞(R) êîëüöî âåùåñòâåííûõ áåñêîíå÷íî äèåðåíöèðóåìûõóíêöèé.5. O(C) êîëüöî óíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî, ãîëîìîðíûõâ íóëå.6. Ïóñòü çàäàíî êîëüöî F(S;A) è s ∈ S. Îòîáðàæåíèåδs : F(S;A) ∋ f → f(s) ∈ Açàäàåò ãîìîìîðèçì êîëåö.Îïðåäåëåíèå 4.6. Ïîäêîëüöî α êîëüöà A íàçûâàåòñÿ èäåàëîì, åñëèîíî îáëàäàåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: èç a ∈ α ñëåäóåò ax ∈ α äëÿ âñåõ

x ∈ A. 72

Ìíîæåñòâà 0 è A ÿâëÿþòñÿ èäåàëàìè â A. Îíè íàçûâàþòñÿ òðèâè-àëüíûìè.Ìû èíòåðåñóåìñÿ íåòðèâèàëüíûìè èäåàëàìè.Òåîðåìà 4.7. Èäåàë ñîñòîèò èç íåîáðàòèìûõ ýëåìåíòîâ êîëüöà,íîëü âñåãäà ëåæèò â èäåàëå.Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè α ⊂ A èäåàë è x ∈ α èñóùåñòâóåò x−1 ∈ A, òîãäà 1 = xx−1 ∈ α. Ïîýòîìó äëÿ ∀x ∈ A èìååìx = x · 1 ∈ α, ò.å. α = A.Òàê êàê 0 ∈ A, òî 0 = α · 0 ∈ α. Åñëè (αi)i∈I ñåìåéñòâî èäåàëîâ â A, òî

α =⋂

i∈Iαiÿâëÿåòñÿ èäåàëîì.Óíèâåðñàëüíûé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ èäåëîâ òàêîâ.Îïðåäåëåíèå 4.8. Ïóñòü S ⊂ A ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî. Èäåàë

α(S), ÿâëÿþùèéñÿ ïåðåñå÷åíèåì âñåõ èäåàëîâ, ñîäåðæàùèõ S, íàçûâàåòñÿèäåàëîì, ïîðîæäåííûì S.Òåîðåìà 4.9. Èäåàë α(S) ñîñòîèò èç âñåâîçìîæíûõ ýëåìåíòîâ âèäà∑i aisi (â ñóììå òîëüêî êîíå÷íîå ÷èñëî ñëàãàåìûõ îòëè÷íî îò 0), ãäå

ai ∈ A, si ∈ S.Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èìJ :=

∑

i

aisi : ai ∈ A, si ∈ S(â ñóììå òîëüêî êîíå÷íîå ÷èñëî ñëàãàåìûõ îòëè÷íî îò 0). Î÷åâèäíî, ÷òî

J èäåàë è ñîäåðæèò S. Ñëåäîâàòåëüíî, α(S) ⊂ J .Îáðàòíî, òàê êàê si ∈ S ⊂ α(S), òî aisi ∈ α(S) è, ñëåäîâàòåëüíî,∑ni=1 aisi ∈ α(S), ò.å. J ⊂ α(S). Çàìå÷àíèå 4.10. Ââèäó òåîðåìû 4.7, ìîæåò ñëó÷èòüñÿ, ÷òî α(S) = A(åñëè S ñîäåðæèò õîòÿ áû îäèí îáðàòèìûé ýëåìåíò).Åñëè S = s1, . . . , sn, òî èäåàë α(S) îáîçíà÷àþò (s1, . . . , sn). Åñëè

S = a, òî èäåàë (a) = aA íàçûâàþò ãëàâíûì. Êîëüöî, â êîòîðîì âñÿêèéèäåàë ãëàâíûé, íàçûâàåòñÿ êîëüöîì ãëàâíûõ èäåàëîâ.73

Îïðåäåëåíèå 4.11. Ýëåìåíòû a1, a2 ∈ A íàçûâàþò ñðàâíèìûìè ïîìîäóëþ èäåàëà α, è ïèøóò a1 ≡ a2 (modα), åñëè a1 − a2 ∈ α.Îòíîøåíèå ñðàâíèìîñòè ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè è ðàç-áèâàåòA íà êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè. Ýòè êëàññû íàçûâàþòñÿ òàêæå êëàñ-ñàìè âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ α. Îáîçíà÷èì [a] êëàññ, ñîäåðæàùèé ýëåìåíò

a, ò.å. [a] = a+ α. Ìíîæåñòâî êëàññîâ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ α îáîçíà÷àåòñÿAα.Åñëè íà Aα ââåñòè îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ ïî ïðàâèëàì

[a1] + [a2] := [a1 + a2], [a1] · [a2] := [a1a2],òî ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî òàêîå îïðåäåëåíèå êîððåêòíî è ïðåâðàùàåòAα â êîëüöî ñ íóëåâûì ýëåìåíòîì α è åäèíèöåé 1 + α. Êîëüöî Aαíàçûâàåòñÿ àêòîð-êîëüöîì.Îòîáðàæåíèå

π : A ∋ x→ [x] ∈ Aαÿâëÿåòñÿ ñþðúåêòèâíûì ãîìîìîðèçìîì êîëåö è íàçûâàåòñÿ êàíîíè÷å-ñêèì ãîìîìîðèçìîì.4.2. Òåîðåìû îá èçîìîðèçìàõÒåîðåìà 4.12. Ïóñòü f : A → B ãîìîìîðèçì êîëåö, α è β èäåàëû â A è B ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà Im f = f(A) ïîäêîëüöî â B,f(α) èäåàë â Im f , f−1(β) èäåàë â A. Â ÷àñòíîñòè, ker f = f−1(0) èäåàë â A. Áîëåå òîãî, êîððåêòíî îïðåäåëåí èçîìîðèçì

f∗ : A ker f ∋ [x]→ f(x) ∈ Im f,ò.å. êîììóòàòèâíà ñëåäóþùàÿ äèàãðàììàA

π

zzuuuuuuuuuf

""DDD

DDDD

DA ker ff∗ // Im f.Äîêàçàòåëüñòâî. Òî, ÷òî Im f êîëüöî, âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî f ãîìîìîðèçì; f(α) èäåàë â Im f ïî òåì æå ñîîáðàæåíèÿì.Åñëè x1, x2 ∈ f−1(β), ò.å. f(x1), f(x2) ∈ β, òî f(x1 + x2) = f(x1) +

f(x2) ∈ β, ò.å. x1 +x2 ∈ f−1(β). Åñëè æå x ∈ A, òî f(x1 ·x) = f(x1) ·f(x) ∈β, ò.å. x1 · x ∈ f−1(β). Ýòî äîêàçûâàåò, ÷òî f−1(β) èäåàë â A.74

Îòîáðàæåíèå f∗ îïðåäåëåíî êîððåêòíî. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè [x] = [x′],ò.å. x − x′ ∈ ker f , òî f(x) = f(x′). Îòñþäà ñëåäóåò ñþðúåêòèâíîñòü f∗.Òàê æå âûòåêàåò èíúåêòèâíîñòü: åñëè f(x) = f(x′), òî x − x′ ∈ ker f , ò.å.[x] = [x′]. Èç òîãî, ÷òî f ãîìîìîðèçì, ñëåäóåò, ÷òî f∗ ãîìîìîðèçì:

f∗([x] · [x′]) = f∗([x · x′]) = f(xx′) = f(x) · f(x′) = f∗([x]) · f∗([x′]).Àíàëîãè÷íî äëÿ ñóììû. Ñëåäñòâèå 4.12.1. Âñÿêèé èäåàë â Im f èìååò âèä f(α), ãäå α èäåàëâ A.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü β ⊂ Im f èäåàë. Òîãäà α := f−1(β) èäåàë â A. Íî β = f(α). Ñëåäñòâèå 4.12.2. Ïóñòü f : A→ A′ èçîìîðèçì êîëåö, α ⊂ A èäåàë. Òîãäà α′ = f(α) èäåàë â êîëüöå A′ èf : Aα ∋ x+ α→ f(x) + α′ ∈ A′α′ èçîìîðèçì êîëåö.Äîêàçàòåëüñòâî. ßñíî, ÷òî f ñþðúåêòèâíûé ãîìîìîðèçì. Äàëåå,

ker f = x+ α : x ∈ A, f(x) + α′ = α′ = x+ α : x ∈ A, f(x) ∈ α′ = α, ò.å.

f èíúåêöèÿ. Çàìå÷àíèå 4.13. Äàííàÿ òåîðåìà è åå ñëåäñòâèÿ ÿâëÿþòñÿ àíàëîãàìèòåîðåì äëÿ ãðóïï (ñìîòðè òåîðåìó 2.18).Òåîðåìà 4.14. Ïóñòü A êîëüöî è α èäåàë â íåì, Iα(A) ìíî-æåñòâî âñåõ èäåàëîâ â A, ñîäåðæàùèõ α, à I(Aα) ìíîæåñòâî âñåõèäåàëîâ â Aα, π : A→ Aα êàíîíè÷åñêèé ãîìîìîðèçì. Òîãäà èìå-åòñÿ áèåêöèÿπ∗ : Iα(A) ∋ β → π(β) ∈ I(Aα).Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 4.12.1 âñå èäåàëû â Aα èìå-þò âèä π(β), ãäå β èäåàë â A. Ïîñêîëüêó íîëü âñåãäà ëåæèò â èäåàëå,ò.å. 0Aα ∈ π(β), èìååì α = π−1(0Aα) ⊂ β. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî β ∈ Iα(A).Òàêèì îáðàçîì, π∗ ñþðúåêòèâíî.Îòîáðàæåíèå π∗ èíúåêòèâíî. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè π(β1) = π(β2), òî

β2 = β1 +α. Íî ïîñêîëüêó β1 ⊃ α, òî β1 +α = β1. Ñëåäîâàòåëüíî, β1 = β2.Òàêèì îáðàçîì, ÿñíî, ÷òî π−1∗ (π(β)) := β åñòü îáðàòíîå ê π∗. 75

Çàìå÷àíèå 4.15. Ñðàâíèòü äàííóþ òåîðåìó ñ òåîðåìîé î ñîîòâåò-ñòâèè (òåîðåìà 2.30).4.3. Öåëîñòíûå êîëüöà, ïîëå ÷àñòíûõÎïðåäåëåíèå 4.16. Ýëåìåíòû êîëüöà x 6= 0, y 6= 0 íàçûâàþò äå-ëèòåëÿìè íóëÿ, åñëè xy = 0. Êîëüöî áåç äåëèòåëåé íóëÿ íàçûâàåòñÿöåëîñòíûì.Ïðèìåð 4.17. 1. Â ïîëÿõ íåò äåëèòåëåé íóëÿ, ò.å. ýòî öåëîñòíûåêîëüöà.2. Êîëüöî öåëûõ ÷èñåë Z öåëîñòíîå. Êàæäûé èäåàë â Z ãëàâíûé.Äåéñòâèòåëüíî, åñëè n ∈ α, òî −n ∈ α. Ïóñòü d íàèìåíüøåå öåëîå÷èñëî, áîëüøåå íóëÿ, ëåæàùåå â α. Äëÿ ∀n ∈ α ∃q, r ∈ Z òàêèå, ÷òî

0 6 r < d è

n = dq + r.Òàê êàê α èäåàë, òî n − dq = r ∈ α. Çíà÷èò, r = 0. Òàêèì îáðàçîì,

α = dZ, ò.å. Z öåëîñòíîå êîëüöî ãëàâíûõ èäåàëîâ.3. Êîëüöî ZnZ âû÷åòîâ öåëûõ ÷èñåë ïî ìîäóëþ n ñîñòîèò èç nýëåìåíòîâ [0], [1], . . . , [n − 1]. Êîãäà ïîíÿòíî, ÷òî ðå÷ü èä¼ò î âû÷åòå

[k] ∈ ZnZ, ò.å. î êëàññå ýêâèâàëåíòíîñòè, à íå ïðîñòî ýëåìåíòå k ∈ Z,ñêîáêè ÷àñòî îïóñêàþò è ïèøóò k ∈ ZnZ.Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî, íàïðèìåð, Z6Z èìååò äåëèòåëè íóëÿ 2 è 3.Âûÿñíèì: êàêèå ýëåìåíòû îáðàòèìû â ZnZ?Ýëåìåíòm ∈ 1, . . . , n−1 îáðàòèì â ZnZ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàñóùåñòâóåò k ∈ 1, . . . , n − 1 òàêîå, ÷òî mk ≡ 1(modn), ò.å. mk − 1 = nläëÿ íåêîòîðîãî l, èëè mk + nl = 1, ò.å. êîãäà m è n âçàèìíî ïðîñòû.Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî åñëè p ïðîñòîå, òî ZpZ ïîëå.Ýòî ïîëå îáîçíà÷àåòñÿ Fp.4. àññìîòðèì êîëüöî F(S;A). Ïóñòü T ⊂ S ïðîèçâîëüíîå ïîäìíî-æåñòâî. Ìíîæåñòâî FT (S;A) = f ∈ F(S;A) : f(t) = 0, ∀t ∈ T ÿâëÿåòñÿèäåàëîì â F(S;A). Åñëè S ñîäåðæèò áîëåå äâóõ ýëåìåíòîâ, òî êîëüöîF(S;A) èìååò äåëèòåëè íóëÿ.5. Êîëüöî C[0, 1] òîæå èìååò äåëèòåëè íóëÿ. Îíî íå ÿâëÿåòñÿ êîëüöîìãëàâíûõ èäåàëîâ. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü x0 ∈ [0, 1]. Ìíîæåñòâî αx0 := f ∈C[0, 1] : f(x0) = 0 ÿâëÿåòñÿ èäåàëîì â C[0, 1]. Ýòîò èäåàë íå ÿâëÿåòñÿãëàâíûì. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ò.å. ïóñòü ϕ ∈ αx0 è αx0 = (ϕ). Òîãäà√|ϕ| ∈ αx0 . Åñëè áû √

|ϕ| ïðèíàäëåæàë èäåàëó (ϕ(x)), òî ñóùåñòâîâàëàáû ψ ∈ C[0, 1], òàêàÿ ÷òî √|ϕ(x)| = ϕ(x)ψ(x), ò.å. |ϕ(x)| = ϕ2(x)ψ2(x).76

Ó óíêöèè ϕ íåò äðóãèõ íóëåé, êðîìå x0. Èáî åñëè ϕ(x1) = 0, òî äëÿ∀f ∈ αx0 = (ϕ) èìååòñÿ ðàâåíñòâî f(x1) = 0. Òî åñòü êàæäàÿ óíêöèÿ èçαx0 èìååò íóëè óíêöèè ϕ. Íî ïîñêîëüêó h(x) = x−x0 ∈ αx0 , òî ñëåäîâàëîáû, ÷òî h(x1) = 0. Ïîñêîëüêó ýòî íå òàê, òî è ó ϕ íåò äðóãèõ íóëåé, êðîìåx0. Ñëåäîâàòåëüíî, 1 = |ϕ(x)|ψ2(x) ∀x 6= x0. Èëè ïî íåïðåðûâíîñòè,1 = |ϕ(x)|ψ2(x) ∈ αx0 , ÷òî íåâîçìîæíî.Çàìåòèì, ÷òî ëþáîå êîëüöî, ñîäåðæàùååñÿ â ïîëå, ÿâëÿåòñÿ öåëîñòíûì.Íàïðèìåð, Z ⊂ Q. Îêàçûâàåòñÿ, ýòî ÿâëÿåòñÿ îáùèì àêòîì.Òåîðåìà 4.18. Äëÿ ëþáîãî öåëîñòíîãî êîëüöà A ñóùåñòâóåò íàè-ìåíüøåå ïîëå K, ïîäêîëüöîì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ A. Ýòî ïîëå íàçûâàåò-ñÿ ïîëåì ÷àñòíûõ êîëüöà A è îáîçíà÷àåòñÿ frA.Äîêàçàòåëüñòâî. Íà ìíîæåñòâå A × (A \ 0) ââåäåì îòíîøåíèå

(a, s) ∼ (b, t), åñëè at−bs = 0. Ýòî îòíîøåíèå ÿâëÿåòñÿ ýêâèâàëåíòíîñòüþ.Äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü òðàíçèòèâíîñòü. Ïóñòü (a, s) ∼ (b, t) è (b, t) ∼ (c, u).Äîêàæåì, ÷òî au = cs.Èç at = bs ñëåäóåò aut = bus = cts = cst, ò.å. (au − cs)t = 0. Òàê êàê

t 6= 0 è A öåëîñòíîå, òî èìååì au = cs.Êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè ýëåìåíòà (a, s) îáîçíà÷èì as , à ìíîæåñòâî êëàñ-ñîâ ýêâèâàëåíòíîñòè ÷åðåç K ≡ fr(A). Ñëîæåíèå è óìíîæåíèå ¾äðîáåé¿îïðåäåëèì ñòàíäàðòíî

a

s+b

t=at+ bs

st,

a

s· bt

=ab

st.Ýëåìåíòàðíî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ýòî ïîëå. Êîëüöî A âêëàäûâàåòñÿ âïîëå K ñ ïîìîùüþ îòîáðàæåíèÿA ∋ a→ a

1∈ K.Òîãäà ëþáîé a ∈ A, a 6= 0 èìååò îáðàòíûé a−1 =

1a

. Ñëåäîâàòåëüíî,ýëåìåíò a

s

ìîæíî çàïèñàòü êàê as−1.Åñëè A íàõîäèòñÿ â êàêîì-íèáóäü ïîëå K1 è åñëè a, s ∈ A, s 6= 0, òî

s−1 ∈ K1. Ïîýòîìó as−1 ∈ K1, ò.å. as ∈ K1. Çíà÷èò, K ⊂ K1. Ïîëÿ ÷àñòíûõ äàþò ýåêòèâíûé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ íîâûõ ïîëåé.

77

4.4. Ïðîñòûå è ìàêñèìàëüíûå èäåàëûÎïðåäåëåíèå 4.19. Èäåàë α ⊂ A íàçûâàåòñÿ ïðîñòûì, åñëè Aα öåëîñòíîå êîëüöî.Òàêèì îáðàçîì, èäåàë α ïðîñò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáûõ

x, y ∈ A òàêèõ, ÷òî xy ∈ α ñëåäóåò ëèáî x ∈ α, ëèáî y ∈ α.Ýëåìåíò a ∈ A íàçûâàåòñÿ ïðîñòûì, åñëè ãëàâíûé èäåàë α = (a)ïðîñò.Îïðåäåëåíèå 4.20. Èäåàë α íàçûâàåòñÿ ìàêñèìàëüíûì, åñëè îí íåñîäåðæèòñÿ íè â êàêîì äðóãîì ñîáñòâåííîì èäåàëå.Òåîðåìà 4.21. Êàæäûé èäåàë α â êîëüöå A ñîäåðæèòñÿ â ìàêñè-ìàëüíîì èäåàëå.Äîêàçàòåëüñòâî. Óòâåðæäåíèå äîêàçûâàåòñÿ ñòàíäàðòíûì ïðèìåíå-íèåì ëåììû Öîðíà. Îáîçíà÷èì Σ ìíîæåñòâî âñåõ èäåàëîâ â A, ñîäåð-æàùèõ α. Óïîðÿäî÷èì Σ ïî âêëþ÷åíèþ. Îíî íåïóñòî, èáî ñîäåðæèò α.Ïîêàæåì, ÷òî âñÿêàÿ öåïü â Σ èìååò âåðõíþþ ãðàíü â Σ. Ïóñòü (βi)i∈I íåêîòîðàÿ öåïü èç Σ. Ïîëîæèì β =⋃i∈I βi. Òîãäà α ⊂ β è β èäåàë âA. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü a ∈ A è x ∈ β. Òîãäà x ∈ βi è, ñëåäîâàòåëüíî,

xa ∈ βi ⊂ β. Òåïåðü ïóñòü x, y ∈ β. Ñëåäîâàòåëüíî, x ∈ βi, y ∈ βj .Ïîñêîëüêó (βi)i∈I öåïü, òî, íàïðèìåð, βi ⊂ βj . Çíà÷èò, x + y ∈ βj ⊂ β.Êðîìå òîãî, β 6= A, èáî 1 /∈ β (òàê êàê 1 /∈ βi äëÿ âñåõ i ∈ I).Çíà÷èò, β ∈ Σ è ÿâëÿåòñÿ âåðõíåé ãðàíüþ äëÿ (βi)i∈I . Èç ëåììû Öîðíàñëåäóåò, ÷òî â Σ åñòü ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò. Ñëåäñòâèå 4.21.1. Ëþáîé íåîáðàòèìûé ýëåìåíò a êîëüöà A ñîäåð-æèòñÿ â ìàêñèìàëüíîì èäåàëå.Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî ïðèìåíèòü òåîðåìó 4.21 ê èäåàëó α =(a). Òåîðåìà 4.22. Èäåàë α ⊂ A ìàêñèìàëåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàAα ïîëå.Äîêàçàòåëüñòâî. Íåìåäëåííî ñëåäóåò èç òåîðåìû 4.14. Çàìå÷àíèå 4.23. àññìîòðåíèå àêòîð-êîëåö ïî ìàêñèìàëüíûì èäå-àëàì ÿâëÿåòñÿ (íàðÿäó ñ ðàññìîòðåíèåì ïîëåé ÷àñòíûõ) âàæíåéøèì ìå-òîäîì ïîñòðîåíèÿ ïîëåé.Îáúåäèíåíèå âñåõ ìàêñèìàëüíûõ èäåàëîâ ñóòü âñå íåîáðàòèìûå ýëå-ìåíòû êîëüöà! 78

Ñëåäñòâèå 4.23.1. Ìàêñèìàëüíûé èäåàë ïðîñò.Ñåé÷àñ äàäèì ïðîñòóþ, íî ïîëåçíóþ õàðàêòåðèñòèêó ïðîñòûõ è ìàê-ñèìàëüíûõ èäåàëîâ.Òåîðåìà 4.24. Äëÿ òîãî, ÷òîáû èäåàë α â êîëüöå A áûë ïðîñòûì,íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû α áûë ÿäðîì íåêîòîðîãî ãîìîìîðèçìàf : A → K â íåêîòîðîå ïîëå K. Ïðè÷åì α ìàêñèìàëåí òîëüêî â ñëó÷àå,åñëè Im f ïîëå.Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü α = ker f . ÏîñêîëüêóIm f ⊂ K, òî Im f öåëîñòíîå êîëüöî è, ïî òåîðåìå 4.12, êîëüöà Aαè Im f èçîìîðíû. Òàêèì îáðàçîì, Aα öåëîñòíîå, ò.å. α ïðîñòîéýëåìåíò. Åñëè Im f = K ïîëå, òî α ìàêñèìàëåí.Íåîáõîäèìîñòü. Åñëè α ïðîñòîé, òî Aα öåëîñòíîå. Âëîæèì åãî âïîëå ÷àñòíûõ K è âîçüìåì f : A → Aα ⊂ K êàíîíè÷åñêèé ãîìîìîð-èçì. 4.5. Êîëüöà ãëàâíûõ èäåàëîâ, àêòîðèàëüíûå èåâêëèäîâû êîëüöàÎïðåäåëåíèå 4.25. Ýëåìåíò a ∈ A íàçûâàåòñÿ íåïðèâîäèìûì (íåðàç-ëîæèìûì), åñëè a íåîáðàòèì è a = b · c òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè ëèáî

b, ëèáî c îáðàòèìû. Äðóãèìè ñëîâàìè, a íå ðàçëàãàåòñÿ â ïðîèçâåäåíèåíåîáðàòèìûõ ýëåìåíòîâ.Îáîçíà÷èì ÷åðåç A× = x ∈ A : x îáðàòèì ìóëüòèïëèêàòèâíóþãðóïïó êîëüöà A. Ýëåìåíò a ∈ A áóäåò íåïðèâîäèìûì, åñëè:1) a ∈ A \A×;2) a = b · c òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ëèáî b ∈ A×, ëèáî c ∈ A×.Òåîðåìà 4.26. Ïóñòü A öåëîñòíîå êîëüöî è ãëàâíûé èäåàë I = (a)ïðîñò. Òîãäà ýëåìåíò a íåïðèâîäèì. Òàêèì îáðàçîì, ïðîñòîé ýëåìåíòâñåãäà íåïðèâîäèì.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì a = bc. Òîãäà îäèí èç ñîìíîæèòåëåé,íàïðèìåð, b ëåæèò â (a), ò.å. b = a · d, d ∈ A. Ñëåäîâàòåëüíî, a = a · dc.Òàê êàê A öåëîñòíîå è a 6= 0, òî 1 = dc, ò.å. c ∈ A×. Çàìå÷àíèå 4.27. ßñíî, ÷òî åñëè a íåïðèâîäèì, òî äëÿ ëþáîãî îáðàòè-ìîãî u ýëåìåíò b = ua òîæå íåïðèâîäèì. Òàêèå ýëåìåíòû a è b íàçûâàþòýêâèâàëåíòíûìè. Ýòî äåéñòâèòåëüíî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíî-æåñòâå PA âñåõ íåïðèâîäèìûõ ýëåìåíòîâ èç A. Âûáðàâ ïî ïðåäñòàâèòåëþ

p èç êàæäîãî êëàññà, îáðàçóåì ìíîæåñòâî PA.79

Îáðàùåíèå ïðåäëîæåíèÿ 4.26 âîçìîæíî â êîëüöàõ ñ îäíîçíà÷íûì ðàç-ëîæåíèåì íà ìíîæèòåëè, èëè àêòîðèàëüíûõ êîëüöàõ.Îïðåäåëåíèå 4.28. îâîðÿò, ÷òî ýëåìåíò a ∈ A, a 6= 0 îáëàäàåò îä-íîçíà÷íûì ðàçëîæåíèåì íà íåïðèâîäèìûå ýëåìåíòû, åñëè ñóùåñòâóþòòàêèå pi ∈ PA, i = 1, 2, . . . , r, ÷òî a = up1 . . . pr, ïðè÷åì, åñëè a = vq1 . . . qs,

qj ∈ PA, ãäå u, v ∈ A×, òî r = s è, ïîñëå ïåðåñòàíîâêè èíäåêñîâ, pi = qiäëÿ âñåõ i.Îïðåäåëåíèå 4.29. ÊîëüöîA íàçûâàåòñÿ àêòîðèàëüíûì (èëè êîëü-öîì ñ îäíîçíà÷íûì ðàçëîæåíèåì íà ìíîæèòåëè), åñëè îíî öåëîñòíîåè âñÿêèé íåíóëåâîé ýëåìåíò êîëüöà èìååò îäíîçíà÷íîå ðàçëîæåíèå íàíåïðèâîäèìûå ýëåìåíòû.Ïðåæäå ÷åì äîêàçûâàòü ñóùåñòâîâàíèå àêòîðèàëüíûõ êîëåö, ïðèâå-äåì ïðèìåð íåàêòîðèàëüíîãî.Ïðèìåð 4.30 (Íåàêòîðèàëüíîå êîëüöî). Ìíîæåñòâî âèäàA := a+ b√−3 ∈ C : a, b ∈ Z ⊂ Cñ îïåðàöèÿìè, èíäóöèðîâàííûìè èç C, ÿâëÿåòñÿ êîëüöîì. ÏîñêîëüêóC ïîëå, òî A öåëîñòíîå. Ýòî êîëüöî îáîçíà÷àþò A ≡ Z[

√−3].Âû÷èñëèì ãðóïïó A× îáðàòèìûõ ýëåìåíòîâ (åäèíèö) êîëüöà A.Ýëåìåíòàðíî âû÷èñëÿåòñÿ, ÷òî

(a+ b√−3)−1 =

a

a2 + 3b2− b

a2 + 3b2√−3è äîëæíî áûòü

a

a2 + 3b2,

b

a2 + 3b2∈ Z ïðè a, b ∈ Z.àññìîòðèì ñëó÷àè:1. a = 0, b 6= 0. Òîãäà ïðè b ∈ Z

a

a2 + 3b2= 0 ∈ Z, b

a2 + 3b2=

1

3b/∈ Z.2. a 6= 0, b = 0. Òîãäà ïðè a ∈ Z

a

a2 + 3b2=

1

a∈ Zòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà a = 1,−1.80

3. a 6= 0, b 6= 0. Òîãäà

a

a2 + 3b2/∈ Z, b

a2 + 3b2/∈ Z.Òàêèì îáðàçîì, A× = 1,−1, ò.å. â ýòîì êîëüöå ýêâèâàëåíòíûìèÿâëÿþòñÿ òîëüêî ýëåìåíòû, îòëè÷àþùèåñÿ çíàêîì.Â ýòîì êîëüöå ÷èñëî 4 ðàçëàãàåòñÿ íà íåïðèâîäèìûå ýëåìåíòû äâóìÿñóùåñòâåííî ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè

4 = 2 · 2 = (1 +√−3)(1−

√−3).Ïîñêîëüêó A× = 1,−1, òî âûáèðàåì êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè òàêèå,÷òî b > 0.ßñíî, ÷òî âñå ýëåìåíòû 2, 1 +

√−3, 1−

√−3 ïîïàðíî íåýêâèâàëåíòíû.Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî âñå îíè íåïðèâîäèìû. Äåéñòâèòåëüíî,1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî

2 = (x+ y√−3)(z + u

√−3) = (xz − 3yu) + (xu + yz)

√−3.Êàê ñêàçàíî âûøå, ñ÷èòàåì, ÷òî y > 0, u > 0. Òîãäà

xz − 3yu = 2,xu + yz = 0.Îòñþäà

y(z2 + 3u2) = −2u.Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå, èáî ëåâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà ïîëîæèòåëüíà, à ïðà-âàÿ îòðèöàòåëüíà. Åñëè u = 0, òî ëèáî z = 0 (è òîãäà z + u√−3 ≡ 0),ëèáî y = 0 (è òîãäà 2 = xz).2. Ïðåäïîëîæèì

1 +√−3 = (x+ y

√−3)(z + u

√−3).Òîãäà

xz − 3yu = 1,xu + yz = 1.a) åñëè u = 0, òî yz = 1 & xz = 1, ò.å. ëèáî y = 1 & z = 1 è x = 1, ëèáî

y = −1 & z = −1 è x = −1. Òàêèì îáðàçîì, ëèáî 1+√−3 = 1+

√−3, ëèáî

1 +√−3 = (−1)(−1−

√−3); 81

b) y > 0 & u > 0. Òîãäà

x(3u2 + z2) = z,y(3u2 + z2) = z − u.Ñëåäîâàòåëüíî,

y(3u2 + z2) + u = z > 0,(x− y)(3u2 + z2) = u > 0⇒ x− y > 0ò.å. x > y > 0. Òàêèì îáðàçîì, â ýòîì ñëó÷àå x, y, z, u ∈ N. Íî ýòîïðîòèâîðå÷èò ðàâåíñòâó xu+ yz = 1.3. Ïðåäïîëîæèì

1−√−3 = (x+ y

√−3)(z + u

√−3).Òîãäà

xz − 3yu = 1,xu+ yz = −1.Òîãäà

−y(3u2 + z2) = u+ z,x(3u2 + z2) = z − 3u.Ñëåäîâàòåëüíî, −z > 0 è

(x+ y)(3u2 + z2) = −4u⇒ x+ y < 0,ò.å. 0 < y < −x. Òàêèì îáðàçîì, â ýòîì ñëó÷àå x, u,−y,−z ∈ N. Íî ýòîïðîòèâîðå÷èò ðàâåíñòâó (−x)u+ (−y)z = 1.Âñå ýëåìåíòû 2, 1 +√−3, 1 −

√−3 íåïðèâîäèìû â êîëüöå A. Çíà÷èò,êîëüöî A íå ÿâëÿåòñÿ àêòîðèàëüíûì, èáî íàðóøàåòñÿ åäèíñòâåííîñòüðàçëîæåíèÿ.Îäíàêî 2 íå ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì, èáî 2 äåëèò 4 = (1 +

√−3)(1 −

√−3),íî 2 íå äåëèò íè 1 +

√−3, íè 1 −

√−3. (Ïîñêîëüêó ïîñëåäíèå, êàê áûëîïîêàçàíî, íåïðèâîäèìû.)Îïðåäåëåíèå 4.31. Ïóñòü A öåëîñòíîå êîëüöî, a, b ∈ A è ab 6= 0.îâîðÿò, ÷òî a äåëèò b è ïèøóò a|b, åñëè ñóùåñòâóåò c ∈ A òàêîé, ÷òî

b = c · a. Åù¼ a íàçûâàåòñÿ äåëèòåëåì b.îâîðÿò, ÷òî d ∈ A, d 6= 0 ÿâëÿåòñÿ íàèáîëüøèì îáùèì äåëèòåëåì(ÍÎÄ) ýëåìåíòîâ a è b, åñëè d|a, d|b è åñëè ëþáîé e ∈ A, e 6= 0, äåëÿùèéa è b, äåëèò òàêæå d. 82

Çàìå÷àíèå 4.32. Îòìåòèì, ÷òî d = ÍÎÄ (a, b) îïðåäåëÿåòñÿ íå îä-íîçíà÷íî, à ñ òî÷íîñòüþ äî îáðàòèìûõ ýëåìåíòîâ êîëüöà. Îäíîçíà÷íîîïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî èäåàë (d).Çàìå÷àíèå 4.33. Èìåþòñÿ öåëîñòíûå êîëüöà, ó êîòîðûõ äâà ýëåìåíòàíå èìåþò ÍÎÄ. Íàïðèìåð, êîëüöî Z[√−3] èç ïðèìåðà 4.30. Äåéñòâèòåëü-íî, âîçüìåì a = 4, b = 2(1 +

√−3). Î÷åâèäíî, ÷òî a, b ∈ Z[

√−3]. Óýëåìåíòà a èìåþòñÿ òðè äåëèòåëÿ: 2, 1+

√−3, 1−

√−3. Ó ýëåìåíòà b èìå-þòñÿ äâà äåëèòåëÿ: 2, 1+

√−3. Îáùèìè äåëèòåëÿìè ÿâëÿþòñÿ 2 è 1+

√−3.Îäíàêî ÍÎÄ (a, b) íå ñóùåñòâóåò. Ýòî íåàêòîðèàëüíîå êîëüöî. Çíà÷èò,íå êîëüöî ãëàâíûõ èäåàëîâ (ñì. òåîðåìó 4.38).Òåîðåìà 4.34. Ïóñòü A öåëîñòíîå êîëüöî ãëàâíûõ èäåàëîâ è a, b ∈A, a 6= 0, b 6= 0. Òîãäà (a, b) = (c), ãäå c = ÍÎÄ (a, b).Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê (a, b) èäåàë, ïîðîæäåííûé a è b, à A êîëüöî ãëàâíûõ èäåàëîâ, òî (a, b) = (c) äëÿ íåêîòîðîãî c.Òàê êàê a ∈ (c), òî a = xc äëÿ íåêîòîðîãî x ∈ A, ò.å. c|a. Àíàëîãè÷íî,

c|b.Ïóñòü d äåëèò a è b, ò.å. a = dy, b = dz, y, z ∈ A. Òàê êàê c ∈ (a, b), òî

c = wa+ tb, w, t ∈ A.Ñëåäîâàòåëüíî,c = wdy + tdz = d(wy + tz),ò.å. d|c. Îòìåòèì ñëåäóþùåå âàæíîå ñâîéñòâî ÍÎÄ.Òåîðåìà 4.35. Ïóñòü A è A äâà êîëüöà ãëàâíûõ èäåàëîâ òàêèõ, ÷òîA ⊂ A, è ïóñòü a, b ∈ A. Îáîçíà÷èì d = ÍÎÄA(a, b), d = ÍÎÄA(a, b) íàèáîëüøèå îáùèå äåëèòåëè ýëåìåíòîâ a è b â êîëüöàõ A è A ñîîòâåò-ñòâåííî. Òîãäà (d) = (d) â êîëüöå A, ò.å. ÍÎÄ (a, b) íå ìåíÿåòñÿ ïðèðàñøèðåíèè êîëåö.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ ÍÎÄ èìååì

d = ar + bs, (4.1)

a = gd,b = hd,

(4.2)

d = ar + bs, (4.3)

a = gd,b = hd.

(4.4)83

Ïîäñòàâëÿÿ (4.4) â (4.1) è (4.2) â (4.3), ïîëó÷èì

d = ar + bs = grd+ hsd = (gr + hs)d, (4.5)

d = (gr + hs)d. (4.6)Èç (4.5) èìååì d ∈ (d), ò.å. (d) ⊂ (d). Èç (4.6) èìååì d ∈ (d), ò.å.

(d) ⊂ (d). Îòñþäà, (d) = (d). Òåîðåìà 4.36. Â êîëüöå ãëàâíûõ èäåàëîâ A, íåò áåñêîíå÷íî âîçðàñ-òàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èäåàëîâ.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü èìååòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èäåàëîâ In:

I1 ⊂ I2 ⊂ . . . ⊂ In ⊂ . . . ⊂ A.Òîãäà I :=⋃∞n=1 In èäåàë â A. Ñëåäîâàòåëüíî, I = (a) äëÿ íåêîòîðîãî

a ∈ A. Ñ îäíîé ñòîðîíû, In ⊂ I äëÿ âñåõ n. Ñ äðóãîé, ò.ê. a ∈ (a) = I =⋃∞n=1 In, òî a ∈ Im äëÿ íåêîòîðîãî m. Çíà÷èò, (a) ⊂ Im. Òàêèì îáðàçîì,

(a) ⊂ Im ⊂ Im+1 ⊂ . . . ⊂ In ⊂ (a), ò.å. Im = Im+1 = . . . = (a). Òåîðåìà 4.37. Â öåëîñòíîì êîëüöå ãëàâíûõ èäåàëîâ A êàæäûéíåïðèâîäèìûé ýëåìåíò ïðîñò.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü p ∈ A íåïðèâîäèì è ïóñòü p|ab äëÿ çàäàí-íûõ a, b ∈ A. Íàäî ïîêàçàòü, ÷òî ëèáî p|a, ëèáî p|b.Åñëè p ∤ a, ÍÎÄ (a, p) = 1, (Çàìåòèì, ÷òî ÍÎÄ (a, p) îáÿçàòåëüíî ñó-ùåñòâóåò ïî òåîðåìå 4.34). Ïî ýòîé æå òåîðåìå 4.34 ñóùåñòâóþò x, y ∈ Aòàêèå, ÷òî

1 = ax+ py.Îòñþäà b = abx+ pby. Ýòî ðàâåíñòâî ïîêàçûâàåò, ÷òî p|b. Ïîêàæåì, ÷òî àêòîðèàëüíûõ êîëåö äîñòàòî÷íî ìíîãî.Òåîðåìà 4.38. Öåëîñòíîå êîëüöî A ãëàâíûõ èäåàëîâ àêòîðèàëüíî.Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì ñíà÷àëà ñóùåñòâîâàíèå ðàçëîæåíèÿ. Ââè-äó òåîðåìû 4.37 íàì íàäî äîêàçàòü, ÷òî êàæäûé íåíóëåâîé íåîáðàòèìûéýëåìåíò èç A ðàçëàãàåòñÿ íà ïðîñòûå ñîìíîæèòåëè.Ïðåäïîëîæèì îáðàòíîå, ò.å. ïðåäïîëîæèì, ÷òî íåêîòîðûé íåîáðàòè-ìûé 0 6= a ∈ A íå èìååò ðàçëîæåíèÿ íà ïðîñòûå. Çíà÷èò, ñàì a íå ÿâëÿåòñÿïðîñòûì (èáî òîãäà îí òðèâèàëüíî ðàçëàãàåòñÿ íà ïðîñòûå: a = a), ò.å. aïðèâîäèì. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóþò íåîáðàòèìûå a1, b1 ∈ A òàêèå, ÷òî84

a = a1b1. Êðîìå òîãî, ïî êðàéíåé ìåðå îäèí èç a1 èëè b1 (âûáèðàåì a1)íå äîïóñêàåò àêòîðèçàöèè íà ïðîñòûå ñîìíîæèòåëè. Çíà÷èò, a1 íå ïðîñò(ïðèâîäèì). Ïîýòîìó îí ðàçëàãàåòñÿ: a1 = a2b2, ãäå a2, b2 íåîáðàòè-ìû è a2 íå äîïóñêàåò àêòîðèçàöèè íà ïðîñòûå. È òàê äî áåñêîíå÷íîñòè.Òàê êàê ak+1 = ak+1bk+1 ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì (bk+1 íåîáðàòèì) äåëèòå-ëåì ak, ìû èìååì áåñêîíå÷íî âîçðàñòàþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ãëàâíûõèäåàëîâ

(a) ⊂ (a1) ⊂ (a2) ⊂ . . . ⊂ (an) ⊂ . . . ,÷òî ïðîòèâîðå÷èò òåîðåìå 4.36.Òåïåðü äîêàæåì åäèíñòâåííîñòü ðàçëîæåíèÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òîa = u · p1 · p2 · . . . · pr = v · q1 · q2 · . . . · qs.Çäåñü pi, qj ∈ PA, u, v ∈ A×. Òàê êàê p1 äåëèò ïðîèçâåäåíèå, ñòîÿùååñïðàâà, òî ñîãëàñíî òåîðåìå 4.37, p1 äåëèò îäèí èç ñîìíîæèòåëåé, ïðè÷åìïîñëå ïåðåíóìåðàöèè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ýòî q1. Òàêèì îáðàçîì, q1 =

u1 · p1. Ïîñêîëüêó p1, q1 ∈ PA, òî u1 íåîáõîäèìî îáðàòèì. Ñîêðàùàÿ îáàðàçëîæåíèÿ a íà p1, ïîëó÷èì u1p2 · . . . · pr = v1 · q2 · . . . · qs.Äàëåå èíäóêöèÿ. Çàìå÷àíèå 4.39. Êîëüöî Z[√−3] öåëîñòíîå (èáî ñîäåðæèòñÿ â C), íîíå êîëüöî ãëàâíûõ èäåàëîâ (èáî íå àêòîðèàëüíî).Òåïåðü ìîæåì ñîðìóëèðîâàòü òåîðåìó, îáðàòíóþ òåîðåìå 4.26 è óñè-ëèâàþùóþ òåîðåìó 4.37.Òåîðåìà 4.40. Â àêòîðèàëüíîì êîëüöå A âñÿêèé íåïðèâîäèìûé ýëå-ìåíò p ∈ A ïîðîæäàåò ïðîñòîé èäåàë (p), ò.å. p ïðîñò.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ab ∈ (p), ò.å. ab = pk, k ∈ A. àçëîæèì îáå÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà íà íåïðèâîäèìûå ìíîæèòåëè

ua1 · . . . · an · b1 · . . . · bm = vk1 · . . . · ks · p(ai, bi, ki íåïðèâîäèìûå, u, v ∈ A×). Ñëåäîâàòåëüíî, n+m = l + 1 è ëèáî

ai = p, ëèáî bj = p. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ëèáî a ∈ (p), ëèáî b ∈ (p). Çàìå÷àíèå 4.41. Òåîðåìû 4.40 è 4.26 îïðàâäûâàþò íàçâàíèå ïðîñòîéäëÿ íåïðèâîäèìîãî ýëåìåíòà â àêòîðèàëüíûõ êîëüöàõ.Ïðèìåð 4.42. Â êîëüöå A = Z[√−3] ýëåìåíò 2 íåïðèâîäèì, íî íåïðîñòîé! 85

Ïóñòü A àêòîðèàëüíîå êîëüöî è PA ìíîæåñòâî ïðåäñòàâèòåëåéïðîñòûõ ýëåìåíòîâ (ñì. çàìå÷àíèå 4.27) è ïóñòü a ∈ A, a 6= 0. Òîãäàñóùåñòâóåò îáðàòèìûé (åäèíèöà) u è öåëûå ÷èñëà ν(p) > 0, ðàâíûå íóëþäëÿ ïî÷òè âñåõ p ∈ PA, òàêèå, ÷òî

a = u∏

p∈PA pν(p). (4.7)Çàìå÷àíèå 4.43. Ôîðìóëà (4.7) ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì îáîáùåíèåì îñíîâ-íîé òåîðåìû àðèìåòèêè î åäèíñòâåííîñòè ðàçëîæåíèÿ íà ïðîñòûå ìíî-æèòåëè (â àêòîðèàëüíîì êîëüöå Z).Ïðè ýòîì åäèíèöà u è öåëûå ÷èñëà ν(p) îïðåäåëåíû îäíîçíà÷íî ýëå-ìåíòîì a, è òîãäà ν(p) íàçûâàåòñÿ ïîðÿäêîì ýëåìåíòà a â p è îáîçíà÷àåòñÿòàêæå ordp a.Ïóñòü A àêòîðèàëüíîå êîëüöî è a1, . . . , an ∈ A. Òîãäà èìååì îäíî-çíà÷íîå ðàçëîæåíèå ïî îðìóëå (4.7)

ak = uk∏

p∈PA pordp ak .Ïîëîæèì

cu := u∏

p∈PA pmax16k6n ordp ak ,ãäå u ïðîèçâîëüíàÿ åäèíèöà èç A.Îïðåäåëåíèå 4.44. Ýëåìåíò cu íàçûâàåòñÿ íàèìåíüøèì îáùèìêðàòíûì (ÍÎÊ) ýëåìåíòîâ a1, . . . , an.Òåîðåìà 4.45. Â öåëîñòíîì êîëüöå ãëàâíûõ èäåàëîâ êàæäûé ïðîñòîéèäåàë ìàêñèìàëåí.Çàìå÷àíèå 4.46. Îòìåòèì, ÷òî ýëåìåíò

du = u∏

p∈PA pmin16k6n ordp akÿâëÿåòñÿ ÍÎÄ (a1, . . . , an). Òàêèì îáðàçîì, ÍÎÄ (a1, . . . , an) ñóùåñòâóåòíå òîëüêî â êîëüöàõ ãëàâíûõ èäåàëîâ, íî è â àêòîðèàëüíûõ êîëüöàõ.

86

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü A öåëîñòíîå êîëüöî ãëàâíûõ èäåàëîâ èp ∈ A òàêîé, ÷òî (p) ïðîñò. Äîïóñòèì, (p) íå ìàêñèìàëåí. Òîãäà ñóùå-ñòâóåò èäåàë I = (q) (A êîëüöî ãëàâíûõ èäåàëîâ) òàêîé, ÷òî (p) $ (q).Ñëåäîâàòåëüíî, p ∈ (q), ò.å. p = kq. Îòêóäà kq ∈ (p). Ïîñêîëüêó q /∈ (p) è(p) ïðîñòîé, òî k ∈ (p). Ñëåäîâàòåëüíî, k = mp è ïîýòîì p = mp ·q. Ââèäóöåëîñòíîñòè A, èìååì mq = 1, ò.å. q îáðàòèì. Çíà÷èò, (q) = A. Çàìå÷àíèå 4.47. Èç ýòîé òåîðåìû è òåîðåì 4.38 è 4.40 ñëåäóåò, ÷òîâ öåëîñòíîì êîëüöå A ãëàâíûõ èäåàëîâ êàæäûé ïðîñòîé (ò.å. íåïðèâîäè-ìûé) ýëåìåíò p ïîðîæäàåò ìàêñèìàëüíûé èäåàë (p) = pA. Èòàê, â ýòîìñëó÷àå ñ êàæäûì p ∈ PA ñâÿçàíî ïîëå kp := ApA. Êðîìå òîãî, èìååòñÿïîëå ÷àñòíûõ k = frA.Òàêèì îáðàçîì, ñ êàæäûì öåëîñòíûì êîëüöîì ãëàâíûõ èäåàëîâ ñâÿçà-íî ìíîãî ðàçëè÷íûõ ïîëåé.4.6. Åâêëèäîâû êîëüöàÂ ñèëó âûøåñêàçàííîãî âàæíî çíàòü, êàêèå êîëüöà ÿâëÿþòñÿ êîëüöàìèãëàâíûõ èäåàëîâ. Â ñâÿçè ñ ýòèì ðàññìîòðèì öåëîñòíîå êîëüöî A, äëÿêîòîðîãî çàäàíî îòîáðàæåíèå

g : A→ Z+,îáëàäàþùåå ñâîéñòâàìè:1) ∀a 6= 0, b 6= 0, g(a) 6 g(ab);2) (Àëãîðèòì äåëåíèÿ). Äëÿ ∀a, b ∈ A, a 6= 0 òàêèõ, ÷òî g(b) > g(a)∃q, r ∈ A òàêèå, ÷òî b = qa+ r è ëèáî g(r) < g(a), ëèáî r = 0.Îïðåäåëåíèå 4.48. Êîëüöà ñ óêàçàííûì âûøå ñâîéñòâîì íàçûâàþòñÿêîëüöàìè ñ äåëåíèåì, èëè åâêëèäîâûìè êîëüöàìè.Âàæíîñòü åâêëèäîâûõ êîëåö ïîä÷åðêèâàåòñÿ ñëåäóþùåé òåîðåìîé.Òåîðåìà 4.49. Åâêëèäîâî êîëüöî ÿâëÿåòñÿ êîëüöîì ãëàâíûõ èäåàëîâ.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü A åâêëèäîâî êîëüöî, ò.å. A öåëîñòíîå è g :A→ Z+ óíêöèÿ èç îïðåäåëåíèÿ 4.48. Ïóñòü I 6= 0 ïðîèçâîëüíûéèäåàë â A. Âûáåðåì a ∈ I òàê, ÷òîáû

g(a) = minx∈I

g(x).Òîãäà äëÿ ëþáîãî b ∈ I (ïîñêîëüêó g(b) > g(a)) íàéäóòñÿ q, r ∈ A òàêèå,÷òî

b = aq + r.87

Ñëåäîâàòåëüíî, r = b − qa ∈ I. Ïîñêîëüêó ëèáî g(r) > g(a) (ñîãëàñíîâûáîðó a), òî r = 0. È òîãäà b = qa, ò.å. I = (a). Çàìå÷àíèå 4.50. Ïîñêîëüêó b = qa, òî g(b) = g(aq) > g(a) (ñîãëàñíîóñëîâèþ 1) â îïðåäåëåíèè g). Îòñþäà infb∈I g(b) > g(a). ×òî ñîãëàñóåòñÿñ âûáîðîì a.Ïîñêîëüêó åâêëèäîâû êîëüöà ÿâëÿþòñÿ êîëüöàìè ãëàâíûõ èäåàëîâ, òî,ñîãëàñíî òåîðåìå 4.34, ëþáûå äâà ýëåìåíòà a è b èìåþò ÍÎÄ (a, b). Îäíà-êî çíàíèå ñóùåñòâîâàíèÿ ÍÎÄ íå äàåò âîçìîæíîñòè åãî âû÷èñëåíèÿ. Âåâêëèäîâûõ æå êîëüöàõ (â îòëè÷èè îò êîëåö ãëàâíûõ èäåàëîâ) èìååòñÿïðîöåäóðà (àëãîðèòì Åâêëèäà), ïîçâîëÿþùàÿ âû÷èñëÿòü ÍÎÄ (a, b).Òåîðåìà 4.51 (Àëãîðèòì Åâêëèäà). Ïóñòü A åâêëèäîâî êîëüöî,

a0, a1 ∈ A, ïðè÷åì g(a1) 6 g(a0). Â ñîîòâåòñòâèè ñ àëãîðèòìîì äåëåíèÿïîëîæèì

a0 = q1a1 + a2, g(a2) < g(a1),a1 = q2a2 + a3, g(a3) < g(a2),. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .as−2 = qs−1as−1 + as, g(as) < g(as−1),as−1 = qsas.

(4.8)Òîãäà ÍÎÄ (a0, a1) = as.Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî âñå ýëåìåíòû a0, a1, . . . , as èìåþò âèäak = rka0 + tka1. Êàæäûé äåëèòåëü ýëåìåíòà as (â ÷àñòíîñòè, ñàì as),ñîãëàñíî ïîñëåäíåìó ðàâåíñòâó, ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì as−1. Ñîãëàñíî ïðåä-ïîñëåäíåìó ðàâåíñòâó, îí äåëèò as−2, è ò.ä. è, íàêîíåö, îí äåëèò ýëåìåíòûa0 è a1. Òàêèì îáðàçîì as|a0 è as|a1. Åñëè æå d|a0 è d|a1, òî ïîñêîëüêóas = rsa0 + tsa1, òî d|as. Ñëåäîâàòåëüíî, as = ÍÎÄ (a0, a1). Ïðåæäå, ÷åì ïðèâîäèòü ïðèìåðû åâêëèäîâûõ êîëåö, ïðèâåäåì òàáëèöóðàññìîòðåííûõ êîëåö è õàðàêòåðíûõ ñâîéñòâ ýòèõ êîëåö.

88

Êîëüöî∪Öåëîñòíîå (p) ïðîñòîé ⇒

p íåïðèâîäèìûé(òåîðåìà 4.26)(îïðåäåëåíèå 4.29) ∪Ôàêòîðèàëüíîå (p) ïðîñòîé ⇔p íåïðèâîäèìûé(òåîðåìà 4.40)(òåîðåìà 4.38) ∪ëàâíûõ èäåàëîâ (p) ïðîñòîé ⇒(p) ìàêñèìàëüíûé(òåîðåìà 4.45)(òåîðåìà 4.49) ∪ÅâêëèäîâîÏðèìåðû åâêëèäîâûõ êîëåö:Ïðèìåð 4.52. A = Z è g(a) := |a|.Ïðèìåð 4.53. A = Zp êîëüöî öåëûõ p-àäè÷åñêèõ ÷èñåë è g(a) :=

ordp a.Äåéñòâèòåëüíî, Zp = a ∈ Qp : ordp a > 0. Ïîýòîìó äëÿ ëþáûõ

a, b ∈ Zp, (a 6= 0, b 6= 0) g(ab) = ordp(ab) = ordp a+ ordp b > ordp a = g(a).Äàëåå, åñëè g(b) > g(a), ò.å. ordp b > ordp a, òî a = pordp au, b = pordp bv,ãäå u, v îáðàòèìûå ýëåìåíòû êîëüöà Zp. Îòñþäà

b = pordp bv = (pordp au)(pordp b−ordp au−1v) = a · q,ãäå q = pordp b−ordp au−1v ∈ Zp è r = 0.Ïðèìåð 4.54. A = Z[i] := x+ iy : x, y ∈ Z êîëüöî öåëûõ ãàóñîâûõ÷èñåë ñ îáû÷íûìè îïåðàöèÿìè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ, èíäóöèðîâàííûìèèç C. À ïîñêîëüêó C ïîëå, òî A öåëîñòíîå êîëüöî.Äëÿ α = a+ ib ∈ A îïðåäåëèì

N(α) = a2 + b2 > 1 äëÿ α 6= 0, N(α) ∈ Z+89

Îòìåòèì, ÷òî K ïîëå ÷àñòíûõ êîëüöà A ñîñòîèò èç ÷èñåë âèäà

a

n+ i

b

n(a, b, n ∈ Z),

α−1 =a− ibN(α)

.Åñëè β = c+ id, òî

N(αβ) = N(α)N(β). (4.9)Ïîýòîìó

N(α) 6 N(αβ).Ïîêàæåì, ÷òî â êîëüöå Z(i) âûïîëíåí àëãîðèòì äåëåíèÿ, ò.å. äëÿ β =c + id, α = a + ib, α 6= 0, N(β) > N(α) íàéäåòñÿ λ = u + iv ∈ Z(i) òàêîå,÷òî

β − λα := γ,ïðè÷åì

N(γ) < N(α). (4.10)Äëÿ ýòîãî ïîñòóïèì ñëåäóþùèì îáðàçîì.Ôóíêöèÿ N(α) è ðàâåíñòâî 4.9 îïðåäåëåíû è ñïðàâåäëèâû äëÿ ∀α, β ∈C. Íàéäåì λ′ =β

α:= u′ + iv′ ∈ C. Òåïåðü çàìåíèì u′ è v′ ∈ R íàáëèæàéøèå ê íèì öåëûå ÷èñëà u, v ∈ Z. Ïîëó÷èì λ = u + iv ∈ Z(i).(Îòìåòèì, ÷òî ïî α è β ÷èñëî λ ïîëó÷åíî îäíîçíà÷íî.) Äàëåå, γ = β−λα =

(β − λ′α) + (λ′ − λ)α = (λ′ − λ)α. Îòñþäà, â ñèëó ðàâåíñòâà 4.9, èìååìN(γ) = N(λ′ − λ)N(α) = N(α)[(u′ − u)2 + (v′ − v)2] 6

6 N(α)[(1

2

)2

+(1

2

)2]< N(α),ò.å. ðàâåíñòâî (4.10).Ïðèìåð 4.55. Ñëåäóþùèé î÷åíü âàæíûé ïðèìåð åâêëèäîâà êîëüöà êîëüöîK[x] ìíîãî÷ëåíîâ îò îäíîé ïåðåìåííîé x ñ êîýèöèåíòàìè â ïîëåK. È åñëè a ∈ K[x], òî g(a) := deg a ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà a(x).Çàìå÷àíèå 4.56. Êîëüöà ìíîãî÷ëåíîâ äàþò ìíîãî÷èñëåííûå ïðèìå-ðû àêòîðèàëüíûõ êîëåö, íå ÿâëÿþùèõñÿ êîëüöàìè ãëàâíûõ èäåàëîâ è,òåì áîëåå, åâêëèäîâûìè êîëüöàìè.Ââèäó îñîáîé âàæíîñòè êîëåö ìíîãî÷ëåíîâ ìû ðàññìîòðèì èõïîäðîáíî. 90

ë à â à 5Êîëüöà ìíîãî÷ëåíîâÇäåñü äîñòàòî÷íî ïîäðîáíî ðàññìîòðåíî êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâ. Óñòà-íîâëåíà åãî àêòîðèàëüíîñòü. Äîêàçàíû äâà ïðèçíàêà íåïðèâîäèìîñòèìíîãî÷ëåíîâ íàä öåëîñòíûìè êîëüöàìè.5.1. Êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâ, ïîëå ðàöèîíàëüíûõóíêöèé, ãîìîìîðèçì ïîäñòàíîâêèÎïðåäåëåíèå 5.1. Ïóñòü K êîëüöî. ×åðåç K[x] áóäåì îáîçíà÷àòüìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ îò îäíîé ïåðåìåííîé ñ êîýèöèåíòàìè â êîëüöåK, ò.å. ýëåìåíòàìè K[x] ÿâëÿþòñÿ âûðàæåíèÿ âèäà

f(x) := a0 + a1x+ . . .+ anxn, ak ∈ K.Ñòåïåíüþ ìíîãî÷ëåíà f(x) íàçûâàåòñÿ íàèáîëüøèé íîìåð n, ïðè êî-òîðîì an 6= 0 è îáîçíà÷àåòñÿ deg f , ò.å.

deg f := maxn : an 6= 0.Ìíîãî÷ëåíû íóëåâîé ñòåïåíè èìåþò âèä a0x0. Ìû îòîæäåñòâëÿåì èõñ ýëåìåíòàìè a0 êîëüöà K. Ñëåäîâàòåëüíî, K ⊂ K[x]. Ñòåïåíüþ íóëåâîãîìíîãî÷ëåíà ñ÷èòàåì, ïî îïðåäåëåíèþ, −∞. Åñëè deg f = n, òî an íàçû-âàåòñÿ ñòàðøèì êîýèöèåíòîì ìíîãî÷ëåíà f , a a0 åãî ïîñòîÿííûì÷ëåíîì.Â K[x] ââåäåì ïî îáû÷íûì ïðàâèëàì ñëîæåíèå è óìíîæåíèå, ò.å. åñëè

f, g ∈ K[x] èg(x) = b0 + b1x+ . . .+ bmx

m, deg g = m,òîf(x) + g(x) =

maxn,m∑

k=0

dkxk, dk = ak + bk. (5.1)91

f(x) · g(x) =

n+m∑

k=0

ckxk, ck =

k∑

i=0

aibk−i. (5.2)Òîãäà K[x] ÿâëÿåòñÿ êîëüöîì. Ïðè÷åì K ÿâëÿåòñÿ ïîäêîëüöîì â K[x].Ïåðåõîä îò K ê K[x] íàçûâàåòñÿ ïðèñîåäèíåíèåì ïåðåìåííîé x.Ïðèñîåäèíÿÿ ê êîëüöó K[x] ïåðåìåííóþ y, ïîëó÷èì êîëüöî K[x, y] =K[x][y] ìíîãî÷ëåíîâ îò äâóõ ïåðåìåííûõ x, y. Ïðè÷åì K[x] ⊂ K[x, y].Ïî èíäóêöèè äàåìÎïðåäåëåíèå 5.2.K[x1, . . . , xn] := K[x1][x2], . . . , [xn],K[(xi)i∈I ] :=⋃

(x1,...,xn)

K[x1, . . . , xn].Òåîðåìà 5.3. Åñëè K öåëîñòíîå êîëüöî è f, g ∈ K[x], òî ñïðàâåäëèâûñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ

deg(f + g) 6 max(deg f, deg g) (5.3)

deg(f · g) = deg f + deg g (5.4)Â ÷àñòíîñòè, K[x] öåëîñòíîå êîëüöî.Äîêàçàòåëüñòâî. Íåðàâåíñòâî (5.3) íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç (5.1).À èç (5.2) ñëåäóåò (5.4). Äåéñòâèòåëüíî, åñëè deg f = n è deg g = m, òîan 6= 0 è bm 6= 0. Òàê êàê K öåëîñòíîå, òî anbm 6= 0 è, ñëåäîâàòåëüíî,deg(f · g) = n+m. Ñëåäñòâèå 5.3.1. Åñëè K öåëîñòíîå, òî K[(xi)i∈I ] öåëîñòíîå.Îïðåäåëåíèå 5.4. Ïîä ñòåïåíüþ âûðàæåíèÿ (îäíî÷ëåíà)

aα1...αnxα1

1 . . . xαnn (5.5)ïîíèìàþò ñóììó

n∑

k=1

αk.92

Ñòåïåíüþ ìíîãî÷ëåíà (íåíóëåâîãî) îò ïåðåìåííûõ x1, . . . , xn íàçûâà-åòñÿ íàèáîëüøàÿ ñòåïåíü ñîñòàâëÿþùèõ åãî âûðàæåíèé âèäà (5.5) (îäíî-÷ëåíîâ).Òåîðåìà 5.5. Ïóñòü K öåëîñòíîå êîëüöî è f, g ∈ K[x1, . . . , xn].Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ (5.3) è (5.4).Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëíîñòüþ ïîâòîðÿåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû5.3 Îïðåäåëåíèå 5.6. Åñëè K öåëîñòíîå êîëüöî, òî ïîëå ÷àñòíûõ(äðîáåé) êîëüöà K[x1, . . . , xn] íàçûâàåòñÿ ïîëåì ðàöèîíàëüíûõ óíêöèéîò x1, . . . , xn è îáîçíà÷àåòñÿ K(x1, . . . , xn)Òåîðåìà 5.7. Ïóñòü K öåëîñòíîå êîëüöî è k := frK åãî ïî-ëå ÷àñòíûõ. Òîãäà k(x) = K(x) (ò.å. ïîëå ðàöèîíàëüíûõ óíêöèé ñ¾öåëûìè¿ êîýèöèåíòàìè ñîâïàäàåò ñ ïîëåì ðàöèîíàëüíûõ óíêöèé ñ¾ðàöèîíàëüíûìè¿ êîýèöèåíòàìè).Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê K ⊂ k, òî K(x) ⊂ k(x). Ïóñòü ϕ ∈ k[x].Òîãäà ϕ(x) =Φ(x)

b, Φ(x) ∈ K[x], b ∈ K, b ïðîèçâåäåíèå çíàìåíàòåëåéêîýèöèåíòîâ ϕ(x). Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè ϕ1(x)

ϕ2(x)∈ k(x) := fr k[x], òî

ϕ1(x)

ϕ2(x)=

Φ1(x)b2Φ2(x)b1

∈ frK[x] = K(x), ò.å. k(x) ⊂ K(x). Ñëåäñòâèå 5.7.1. Åñëè k ïîëå, òî k(x1)(x2) = k[x1](x2).Ñëåäñòâèå 5.7.2. Åñëè k ïîëå, òî k(x1, x2) = k(x1)(x2).Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì

k(x1, x2) := fr k[x1, x2] = fr k[x1][x2] := k[x1](x2) = k(x1)(x2).

Òåîðåìà 5.8. Ïóñòü K è K′ äâà êîëüöà. Ïðè÷åì K ⊂ K′ è ïóñòü

α1, α2, . . . , αn ∈ K′. Òîãäà îòîáðàæåíèå

F : K[x1, . . . , xn] ∋ f → f(α1, α2, . . . , αn) ∈ K′ÿâëÿåòñÿ ãîìîìîðèçìîì êîëåö. Ýòîò ãîìîìîðèçì íàçûâàåòñÿ ãîìî-ìîðèçìîì ïîäñòàíîâêè. 93

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâåäåì ïî èíäóêöèè. Ïóñòü n = 1 è ïóñòü f, g ∈K[x] f(x) =∑n

k=0 akxk, g(x) =

∑mk=0 bkx

k, α ∈ K′.Îáîçíà÷èì

f(x) + g(x) = h(x),

f(x) · g(x) = p(x).Òîãäà ïî îðìóëå (5.1) èìååì

h(α) =∑

k

dkαk =

∑

k

(ak + bk)αk =

∑

k

akαk +

∑

k

bkαk = f(α) + g(α).Àíàëîãè÷íî, ïî îðìóëå (5.2)

p(α) =∑

k

ckαk =

∑

k

(

k∑

i=0

aibk−i)αk =

∑

k

(

k∑

i=0

(aiαi)(bk−iα

i)) =

= (∑

i=0

aiαi)(

∑

j=0

bjαj) = f(α)g(α).Ïóñòü n = 2 è

f(x1, x2) =∑

k

ak(x1)xk2 , ak ∈ K[x1],

g(x1, x2) =∑

k

bk(x1)xk2 , bk ∈ K[x1],

p(x1, x2) = f(x1, x2) · g(x1, x2) =∑

k

ck(x1)xk2 , ck ∈ K[x1],

ck(x1) =k∑

i=0

ai(x1)bk−i(x1).Ïóñòü α = (α1, α2) ∈ K′ ×K′.Ñîãëàñíî ïåðâîé ÷àñòè òåîðåìû

ck(α1) =

k∑

i=0

ai(α1)bk−i(α1). (5.6)Äàëåå,

p(α1, α2) =∑

k

ck(α1)αk2 = [ñîãëàñíî (5.6)] =

= (∑

i

ai(α1)αi2)(

∑

j

bj(α1)αj2) = f(α1, α2)g(α1, α2).94

Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ äëÿ ïðîèçâîëüíîãî n. Îáîçíà÷åíèå: K[α1, α2, . . . , αn] := ImF.Çàìå÷àíèå 5.9. Òàêèì îáðàçîì, òåîðåìà 5.8 óòâåðæäàåò, ÷òîK[α1, α2, . . . , αn] êîëüöî, ñîäåðæàùåå êîëüöî K è ýëåìåíòûα1, α2, . . . , αn. Áîëåå òîãî, ýòî ìèíèìàëüíîå êîëüöî, îáëàäàþùååýòèì ñâîéñòâîì.Çàìå÷àíèå 5.10. Åñëè k ïîëå, òî êàæäûé ýëåìåíò f ∈ k(x1, . . . , xn)îïðåäåëÿåò óíêöèþ f : kn ∋ (α1, . . . , αn) → f(α1, . . . , αn) ∈ k, êî-òîðóþ åñòåñòâåííî íàçûâàòü ðàöèîíàëüíîé óíêöèåé. Ïîýòîìó è ïîëå

k(x1, . . . xn) òîæå íàçûâàþò ïîëåì ðàöèîíàëüíûõ óíêöèé.Çàìå÷àíèå 5.11. Ìîæåò ñëó÷èòüñÿ, ÷òî íåíóëåâîé ýëåìåíò f èç k(x)îïðåäåëÿåò íóëåâóþ óíêöèþ.Ïðèìåð 5.12. Ïóñòü k = ZpZ äëÿ ïðîñòîãî p. Åñëè a ∈ k è a 6= 0,òî a ýëåìåíò ìóëüòèïëèêàòèâíîé ãðóïïû k×, èìåþùåé ïîðÿäîê p − 1.Ïîýòîìó ap−1 = 1, èëè ap = a. Åñëè æå a = 0, òî ap = a. Òàêèì îáðàçîì,ìíîãî÷ëåí xp − x ∈ k[x] îïðåäåëÿåò íóëåâóþ óíêöèþ íà k.5.2. Êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâ íàä ïîëåìÏåðåéäåì ê èçó÷åíèþ êîëüöà k[x] ìíîãî÷ëåíîâ íàä ïîëåì k.Òåîðåìà 5.13. Åñëè k ïîëå, òî êîëüöî k[x] åâêëèäîâî, à çíà÷èò,êîëüöî ãëàâíûõ èäåàëîâ, è, â ÷àñòíîñòè, àêòîðèàëüíî.Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü a(x) = a0 + a1x + . . . +anx

n, (an 6= 0) è b(x) = b0 + b1x+ . . .+ bmxm, (bm 6= 0) ýëåìåíòû êîëü-öà k[x]. Çäåñü deg a = n, deg b = m. Ñîãëàñíî òåîðåìå 5.3 êîëüöî k[x] öåëîñòíîå. Â êà÷åñòâå óíêöèè g : k[x] → Z+, óêàçàííîé â îïðåäåëåíèè4.48, âîçüìåì g(a) := deg a. Äåéñòâèòåëüíî, ýòà óíêöèÿ óäîâëåòâîðÿåòòðåáóåìûì óñëîâèÿì:1) åñëè a 6= 0, b 6= 0, òî g(a) ≡ deg a 6 deg a+ deg b = deg(ab) = g(ab).2) (àëãîðèòì äåëåíèÿ) åñëè a, b ∈ k[x], a 6= 0 è deg b > deg a, òî ïîëî-æèì q1(x) := a−1

n bmxm−n. Òîãäà b1(x) := b(x) − a(x)q1(x) è deg b1 < m.Åñëè deg b1 > n, òî ïîâòîðèì ïðîöåäóðó, ò.å. ðàññìîòðèì b2(x) = b1(x) −

a(x)q2(x) ñ ñîîòâåòñòâóþùèì îäíî÷ëåíîì q2(x), ãäå deg b2 < m − 2. Åñëè

deg b2 < n, òî áóäåì èìåòü b = b1 + q1a = b2 + q1a + q2a = b2 + (q1 + q2)a.95

Ïîëàãàÿ r(x) = b2(x) è q = q1 + q2, áóäåì èìåòü òðåáóåìîå ðàçëîæåíèå.Â ïðîòèâíîì ñëó÷àå (ò.å. êîãäà deg b2 > n) ïðîäîëæàåì ïðîöåäóðó äîòåõ ïîð, ïîêà íå ñòàíåò deg bk < n. Â ýòîì ñëó÷àå áóäåò r(x) = bk(x)è q(x) = q1(x) + . . . + qk(x). Òî åñòü ìû áóäåì èìåòü b = aq + r, ãäå

deg r < deg a, ëèáî r = 0. Çàìå÷àíèå 5.14. Îòìåòèì, ÷òî îïèñàííàÿ âûøå ïðîöåäóðà åñòü íå÷òî èíîå, êàê äåëåíèå ìíîãî÷ëåíà b(x) íà ìíîãî÷ëåí a(x) ¾óãîëêîì¿, êî-òîðîå ïðîõîäÿò â ñðåäíåé øêîëå.Òåîðåìà 5.15. Ïóñòü k è K ïîëÿ, k ⊂ K (çíà÷èò, k[x] ⊂ K[x]) èïóñòü f, g ∈ k[x]. Òîãäà:1) äåëåíèå ñ îñòàòêîì g íà f äàåò îäèí è òîò æå ðåçóëüòàò, ÷òîâ k[x], ÷òî â K[x];2) f |g â K[x] òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà f |g â k[x];3) ÍÎÄK[x](f, g) = ÍÎÄ k[x](f, g) (ñòàðøèé êîýèöèåíò ÍÎÄðàâåí1); 4) åñëè f è g èìåþò îáùèé êîðåíü â K, òî îíè íå âçàèìíî ïðîñòû â

k[x];5) åñëè f è g íå âçàèìíî ïðîñòû â k[x], òî ñóùåñòâóåò ïîëå F ⊃ k,â êîòîðîì îíè èìåþò îáùèé êîðåíü;6) åñëè f íåïðèâîäèì â k[x] è f è g èìåþò îáùèé êîðåíü â K, òî fäåëèò g â k[x].Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Åñëè g = fq+ r â k[x], òî ýòî ðàâåíñòâî ñîõðàíÿ-åòñÿ â K[x].2. Âûòåêàåò èç 1) ïðè r = 0.3. Ñ îäíîé ñòîðîíû ýòî óòâåðæäåíèå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ïðåä-ëîæåíèÿ 4.35. Ñ äðóãîé ñòîðîíû ÍÎÄ (f, g) ïîëó÷àåòñÿ â ðåçóëüòàòå àëãî-ðèòìà Åâêëèäà, êîòîðûé îñíîâàí íà äåëåíèè ñ îñòàòêîì. Ñëåäîâàòåëüíî,3) âûòåêàåò èç òåîðåìû 5.13, òåîðåìû 4.51 è 1).4. Ïóñòü α ∈ K è f(α) = g(α) = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, (x − α) îá-ùèé äåëèòåëü f è g â K[x], ò.å. degÍÎÄK[x](f, g) > 1. Ñîãëàñíî 3)degÍÎÄ k[x](f, g) > 1.5. Ïóñòü d = degÍÎÄ k[x](f, g) è deg d > 0. Òîãäà (òåîðåìà Êðîíåêå-ðà 6.42) åñòü ðàñøèðåíèå F ⊃ k, â êîòîðîì d èìååò êîðåíü α. Ïîñêîëüêóf = d · h, g = d · r, òî f(α) = g(α) = 0.6. Òàê êàê f íåïðèâîäèì â k[x], òî åãî äåëèòåëè â k[x] òîëüêî f è 1.Òàê êàê f è g èìåþò îáùèé êîðåíü â K, òî ïî 4) èìååòñÿ d =ÍÎÄK[x](f, g) è deg d > 0. Ïî 3) d = ÍÎÄ k[x](f, g), ò.å. d äåëèòåëü f âk[x]. Íî ïîñêîëüêó f íåïðèâîäèì, òî d = f . Ñëåäîâàòåëüíî, f |g â k[x]. 96

Èòàê, åñëè K ïîëå, òî K[x] åâêëèäîâî êîëüöî, à çíà÷èò, êîëü-öî ãëàâíûõ èäåàëîâ, â ÷àñòíîñòè, àêòîðèàëüíî. Ìû çíàåì, ÷òî êîëüöîK[x1, . . . , xn] öåëîñòíîå (ñëåäñòâèå 5.3.1). Îäíàêî K[x1, . . . , xn] íå ÿâ-ëÿåòñÿ åâêëèäîâûì è äàæå êîëüöîì ãëàâíûõ èäåàëîâ (ñì. òåîðåìó 5.16),õîòÿ ìû äîêàæåì â äàëüíåéøåì, ÷òî îíî àêòîðèàëüíî.Òåîðåìà 5.16. Êîëüöî K[x, y] íå ÿâëÿåòñÿ êîëüöîì ãëàâíûõ èäåàëîâ(õîòÿ K ïîëå).Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîêàæåì, ÷òî èäåàë (x, y), ïîðîæäåííûé ýëåìåí-òàìè x è y, íå ÿâëÿåòñÿ ãëàâíûì. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ò.å. ïóñòüñóùåñòâóåò h ∈ K[x, y] òàêîå, ÷òî (x, y) = (h). Äðóãèìè ñëîâàìè,f(x, y)x+ g(x, y)y : f, g ∈ K[x, y] = h(x, y)K[x, y]. (5.7)Ïîäñòàâëÿÿ f = g ≡ 1 â (5.7), áóäåì èìåòü

x+ y = h(x, y)s(x, y) (5.8)äëÿ íåêîòîðîãî s ∈ K[x, y]. Èç (5.8), ââèäó (5.4), èìååì deg h = 1 è deg s =0, ò.å. h(x, y) = αx + βy, à s(x, y) = γ êîíñòàíòà. Ñëåäîâàòåëüíî, (5.8)äàåò x+ y = (αx + βy)γ, ò.å. αγ = βγ = 1, èëè h(x, y) = x+ y.Òàêèì îáðàçîì, (x, y) = (x+ y), ò.å.

f(x, y)x+ g(x, y)y = (x + y)K[x, y]. (5.9)Ïîëàãàÿ â (5.9) f ≡ 1 è g ≡ 0, áóäåì èìåòü ðàâåíñòâî x = (x+ y)α, èëè

y = (1

α− 1)x. ×òî íåâîçìîæíî. 5.3. Ôàêòîðèàëüíîñòü êîëüöà ìíîãî÷ëåíîâÎñòàëîñü äîêàçàòü àêòîðèàëüíîñòü êîëüöà K[x1, . . . , xn]. Äëÿ ýòîãîäîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî êîëüöî A[x] àêòîðèàëüíî, åñëè àêòîðèàëüíîêîëüöî A.Ïóñòü A àêòîðèàëüíîå êîëüöî è K åãî ïîëå ÷àñòíûõ. Åñëè

a ∈ K, a 6= 0 è p ïðîñòîé (íåïðèâîäèìûé) ýëåìåíò èç A, ââèäó àê-òîðèàëüíîñòè A

a = prb,ãäå b ∈ K, r ∈ Z è íè ÷èñëèòåëü, íè çíàìåíàòåëü b íå äåëèòñÿ íà p.Òîãäà, ââèäó îäíîçíà÷íîñòè ðàçëîæåíèÿ íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè âA, ÷èñëî97

r îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ýëåìåíòîì a, íàçûâàåòñÿ ïîðÿäêîì a â p èîáîçíà÷àåòñÿ ordp a. Ïî îïðåäåëåíèþ ïîëàãàåì

ordp 0 = +∞.Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè a, b ∈ K è ab 6= 0, òî

ordp(ab) = ordp a+ ordp b.Îïðåäåëåíèå 5.17. Ïóñòü f(x) = a0 + a1x+ . . .+ anxn ∈ K[x]. Ïîëà-ãàåì ïî îïðåäåëåíèþ

ordp f =

∞, f = 0,min06i6n ordp ai, f 6= 0.Îïðåäåëåíèå 5.18. Âñÿêèé ýëåìåíò âèäà u · pordp f ∈ K, ãäå u îáðà-òèìûé â A, íàçûâàþò p-ñîäåðæàíèåì ìíîãî÷ëåíà f . Ñîäåðæàíèåì ìíî-ãî÷ëåíà f íàçûâàþò âûðàæåíèå

∏

p∈PA pordp f ,ãäå PA ìíîæåñòâî êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè âñåõ ïðîñòûõ p èç A (ñì.çàìå÷àíèå 4.27). Ñîäåðæàíèå f îáîçíà÷àåòñÿ cont(f).Çàìå÷àíèå 5.19. Ñîäåðæàíèå cont(f) ∈ K îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íîñ òî÷íîñòüþ äî îáðàòèìûõ ýëåìåíòîâ èç A. Íàïðèìåð, åñëè a ∈ K, òîcont(a) = 1 ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî a ∈ A è îáðàòèì â A.Çàìå÷àíèå 5.20. Åñëè f ∈ A[x] (ò.å. ai ∈ A), òî ordp f ∈ Z+. Ïîýòîìócont(f) ∈ A è cont(f) = ÍÎÄ (a0, a1, . . . , an) (ñì. çàìå÷àíèå 4.46).Òåîðåìà 5.21. Åñëè b ∈ K, b 6= 0, òî

cont(bf) = b · cont(f). (5.10)Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê ordp(aib) = ordp ai + ordp b, òî ordp(fb) =ordp f + ordp b. Ñëåäîâàòåëüíî,

cont(bf) = (∏

p

pordp b)(∏

p

pordp f ) = b · cont(f).

98

Ñëåäñòâèå 5.21.1. Äëÿ âñÿêîãî f ∈ K[x] èìååì ðàçëîæåíèåf(x) = cont(f) · f1(x),ãäå f1 ∈ A[x] è cont(f1) = 1, ò.å. ÍÎÄêîýèöèåíòîâ f1 ðàâåí 1.Ïðèìåð 5.22. A = Z, K = Q, f(x) =

1

2x2+

1

3x+5 ∈ Q[x], ord2 f =

−1, ord3 f = −1, ord5 f = 0, cont(f) = 2−13−150 =1

6, f(x) =

1

6(3x2 +

2x+ 30) ≡ 1

6f1(x), ÍÎÄ (3, 2, 30) ≡ cont(f1) = 1 è f1 ∈ Z[x].Ïðèìåð 5.23. A = Z3, K = Q3, f(x) =

1

2x2 +

1

3x+ 5 ∈ Q3[x].Åäèíñòâåííûé ïðîñòîé ýëåìåíò â Z3 p = 3. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè

p ∈ Z3 ïðîñòîé, òî (p) ìàêñèìàëüíûé è, ñëåäîâàòåëüíî, (p) = 3Z3, ò.å.

pZ3 = 3Z3. Îòñþäà p = 3u, ãäå u îáðàòèìûé â Z3.Ñëåäîâàòåëüíî, ord3 f = −1 è cont(f) =1

3

. Òàêèì îáðàçîì, f(x) =

1

3(3

2x2 + x+ 15) =

1

2cont(f)(3x2 + 2x+ 30). Çäåñü 1

2∈ Z3 è îáðàòèì â Z3.Òåîðåìà 5.24 (Ëåììà àóññà). Ïóñòü f, g ∈ K[x]. Òîãäà

cont(fg) = cont(f) cont(g).Äîêàçàòåëüñòâî. Çàïèñàâ f = cf1, g = bg1, ãäå c = cont(f), b =cont(g) âèäíî, ÷òî äîñòàòî÷íî äîêàçàòü: åñëè cont(f) = cont(g) = 1, òî

cont(fg) = 1.Ïóñòü f, g ìíîãî÷ëåíû ñîäåðæàíèåì 1:

f(x) = a0 + a1x+ . . .+ anxn, ai ∈ A, an 6= 0,

g(x) = b0 + b1x+ . . .+ bmxm, bi ∈ A, bm 6= 0.Äîïóñòèì, ÷òî ÍÎÄ êîýèöèåíòîâ ìíîãî÷ëåíà f(x)g(x) ðàâåí d ∈ Aè d íåîáðàòèì â A. Åñëè p ∈ A ïðîñòîé äåëèòåëü d, òî p äîëæåí áûòüäåëèòåëåì âñåõ êîýèöèåíòîâ ìíîãî÷ëåíà f(x)g(x).Ïóñòü ar ïåðâûé êîýèöèåíò â f(x), êîòîðûé íå äåëèòñÿ íà p, è bs ïåðâûé èç êîýèöèåíòîâ â g(x), êîòîðûé äåëèòñÿ íà p. Êîýèöèåíòïðè xr+s â f(x)g(x) èìååò âèä

cr ≡ arbs + ar+1bs−1 + . . .+ ar−1bs+1 + ar−2bs+2 + . . .99

Ïîñêîëüêó bs−k è ar−k äåëÿòñÿ íà p è cr òàêæå äåëèòñÿ íà p, òî arbs äîëæåíäåëèòüñÿ íà p. Òàê êàê p ïðîñòîé, òî ëèáî ar, ëèáî bs äîëæåí äåëèòñÿíà p. ×òî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ. Òåîðåìà 5.25. Ïóñòü f ∈ A[x] è f èìååò ðàçëîæåíèå f(x) =g(x)h(x) â K[x]. Åñëè cg = cont(g) ∈ K è ch = cont(h) ∈ K, ò.å.

g(x) = cgg1(x), h(x) = chh1(x), òî

f(x) = cgchg1(x)h1(x), (5.11)ïðè÷åì cgch ∈ A. (!)Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê cont(g1) = cont(h1) = 1, òî g1, h1 ∈ A[x].Èç (5.10), (5.11) è òåîðåìû 5.24 èìååì

cont(f) = cgch cont(g1) cont(h1) = cgch.Ïîñêîëüêó f ∈ A[x], òî cont(f) ∈ A. Çàìå÷àíèå 5.26. Òàêèì îáðàçîì òåðåìà 5.25 óòâåðæäàåò, ÷òî åñëèìíîãî÷ëåí èç A[x] ðàçëîæèì â K[x], òî îí óæe ðàçëîæèì â A[x].Íàïðèìåð, åñëè ìíîãî÷ëåí ñ öåëûìè êîýèöèåíòàìè ðàçëàãàåòñÿ íàäðàöèîíàëüíûìè ÷èñëàìè, òî îí îáÿçàòåëüíî ðàçëàãàåòñÿ è íàä öåëûìè.Òåîðåìà 5.27 (Îñíîâíàÿ). Ïóñòü A àêòîðèàëüíîå êîëüöî, K ïîëå åãî ÷àñòíûõ. Òîãäà êîëüöî A[x] àêòîðèàëüíî. Åãî ïðîñòûìè(íåïðèâîäèìûìè) ýëåìåíòàìè ÿâëÿþòñÿ ëèáî ïðîñòûå ýëåìåíòû èç A,ëèáî ìíîãî÷ëåíû èç A[x] ñ ñîäåðæàíèåì 1 è íåïðèâîäèìûå â K[x].Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f ∈ A[x], f 6= 0. Èñïîëüçóÿ îäíîçíà÷íîñòüðàçëîæåíèÿ â K[x] (èáî K[x] åâêëèäîâî) è òåîðåìó 5.25, íàéäåì ðàçëîæå-íèå

f(x) = cp1(x) . . . pr(x),ãäå c = cont(f) ∈ A, cont(pi) = 1. Ýòî äàåò íàì òðåáóåìîå ðàçëîæåíèå.Åñëè ìû èìååì äðóãîå òàêîå ðàçëîæåíèå

f(x) = dq1(x) . . . qs(x),òî èç îäíîçíà÷íîñòè ðàçëîæåíèÿ íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè âK[x] çàêëþ÷àåì,÷òî r = s è ïîñëå ïåðåñòàíîâêè ìíîæèòåëåépi = aiqi,ãäå ai ∈ K. Òàê êàê cont(pi) = 1, cont(qi) = 1, à cont(aipi) = ai, òî

cont(ai) = 1, ò.å. ai îáðàòèìûé ýëåìåíò â A. 100

Ñëåäñòâèå 5.27.1. Åñëè A àêòîðèàëüíîå êîëüöî, òî êîëüöîA[x1, . . . , xn] àêòîðèàëüíî.Ïðèìåð 5.28. Êîëüöî Z, êàê èçâåñòíî, ÿâëÿåòñÿ êîëüöîì ãëàâíûõèäåàëîâ è ïîýòîìó (òåîðåìà 4.38) àêòîðèàëüíî. Ñëåäîâàòåëüíî (òåîðå-ìà 5.27), êîëüöî Z[x] àêòîðèàëüíî. Îäíàêî Z[x] íå ÿâëÿåòñÿ êîëüöîìãëàâíûõ èäåàëîâ. Äåéñòâèòåëüíî, 2, x ∈ Z[x] è ÍÎÄ (2, x) = 1 â ñìûñëåçàìå÷àíèÿ 4.46, ò.å. â ýòîì ñìûñëå 2 è x âçàèìíî ïðîñòû. Åñëè áû Z[x]áûëî êîëüöîì ãëàâíûõ èäåàëîâ, òî (òåîðåìà 4.34) (2, x) èäåàë, ïîðîæ-äåííûé ýëåìåíòàìè 2 è x, äîëæåí áû áûòü ðàâíûì (1) = Z[x]. Íî îíòàêîâûì íå ÿâëÿåòñÿ: íå ñóùåñòâóåò ìíîãî÷ëåíîâ p, q ∈ Z[x] òàêèõ, ÷òî2p(x) + xq(x) = 1.Ïðèâåäåì îäíó èíòåðåñíóþ òåîðåìó, êàñàþùóþñÿ ðàçëîæåíèÿ ìíîãî-÷ëåíîâ.Òåîðåìà 5.29. Ïóñòü K ïîëå; f, g ∈ K[x] è deg g > 1. Òîãäà ñóùå-ñòâóþò îäíîçíà÷íî îïðåäåëåííûå ìíîãî÷ëåíû

f0, f1, . . . , fα ∈ K[x]òàêèå, ÷òîdeg fi < deg g è (5.12)

f(x) = f0(x) + f1(x)g(x) + f2(x)[g(x)]2 + . . .+ fα(x)[g(x)]m.Äîêàçàòåëüñòâî. Ñíà÷àëà äîêàæåì ñóùåñòâîâàíèå.1. Åñëè deg g > deg f , òî ïîëàãàåì f0 = f è fi = 0, i > 0.2. Åñëè deg g 6 deg f , òî ìîæíî íàéòè q, r ∈ K[x] òàêèå, ÷òî

f = qg + r, deg r < deg g.Òàê êàê deg g > 1, òîdeg q < deg fÏî èíäóêöèè ñóùåñòâóþò ìíîãî÷ëåíû h0, h1, . . . , hs ∈ K[x] òàêèå, ÷òî

q = h0 + h1g + h2g2 + . . .+ hsg

s.Ñëåäîâàòåëüíî,

f = r + h0g + h1g2 + . . .+ hsg

s+1.Åäèíñòâåííîñòü. Ïóñòü

f = f0 + f1g + . . .+ fdgd = ϕ0 + ϕ1g + . . .+ ϕmg

m.101

Äîáàâëÿÿ ÷ëåíû, ðàâíûå íóëþ, ê îäíîé èç ñòîðîí, ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî

m = d. Òîãäà èìååì

0 = (f0 − ϕ0) + (f1 − ϕ1)g + . . .+ (fd − ϕd)gd. (5.13)Ñëåäîâàòåëüíî, g äåëèò f0 − ϕ0. Ñîãëàñíî (5.12) deg(f0 − ϕ0) < deg g.Ïîýòîìó f0 = ϕ0. Âîçüìåì íàèìåíüøåå i, äëÿ êîòîðîãî fi 6= ϕi (åñëè îíîñóùåñòâóåò!). àçäåëèì ðàâåíñòâî (5.13) íà gi è ïîëó÷èì, ÷òî g äåëèò

fi − ϕi. Îòñþäà fi = ϕi, è ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò òåîðåìó. 5.4. Ïðèçíàêè íåïðèâîäèìîñòè ìíîãî÷ëåíîâÎïðåäåëåíèå 5.30. Ïóñòü çàäàí ãîìîìîðèçì êîëåö σ : K → K′.Òîãäà σ ïðîäîëæàåòñÿ äî ãîìîìîðèçìà

σ : K[(xi)i∈I ]→ K′[(xi)i∈I ]ïî îðìóëå

σ(∑

aixαi

i ) :=∑

σ(ai)xαi

i ≡∑

aσi xαi

i .è íàçûâàåòñÿ ãîìîìîðèçìîì çàìåíû êîýèöèåíòîâ.Åñëè f ∈ K[(xi)i∈I ], òî îáðàç σ(f) ÷àñòî îáîçíà÷àþò fσ.Êàê óæå áûëî ñêàçàíî, î÷åíü âàæíî çíàòü ïðèâîäèì èëè íåïðèâîäèìçàäàííûé ìíîãî÷ëåí. Îäíàêî ïðàêòè÷åñêè âûÿñíèòü ýòî ñîâñåì íå ïðîñòî.Äëÿ ýòîãî èìååòñÿ ñîâñåì íåìíîãî ïðèçíàêîâ. Ïðèâåäåì äâà èç íèõ.Òåîðåìà 5.31 (¾Êðèòåðèé¿ Ýéçåíøòåéíà). Ïóñòü A àêòîðè-àëüíîå êîëüöî, K åãî ïîëå ÷àñòíûõ, f(x) = a0 +a1x+ . . .+anxn ∈ A[x],

an 6= 0 è p ïðîñòîé ýëåìåíò â A. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî

an 6≡ 0 (mod p),

ai ≡ 0 (mod p), ∀i < n, (5.14)a0 6≡ 0 (mod p2). (5.15)Òîãäà f(x) íåïðèâîäèì â K[x].Äîêàçàòåëüñòâî. Âûíîñÿ, åñëè íàäî, ÍÎÄ (a0, a1, . . . , an), ìîæíî ñ÷è-òàòü, ÷òî cont(f) = 1. Åñëè f ðàçëàãàåòñÿ â K[x], òî ïî òåîðåìå 5.25ñóùåñòâóåò åãî ðàçëîæåíèå â A[x]:

f(x) = g(x)h(x),

g(x) = b0 + b1x+ . . .+ bdxd, (5.16)

h(x) = c0 + c1x+ . . .+ cmxm, (5.17)102

ãäå d,m > 1 è bd, cm 6= 0.Ïóñòü

σ : A→ A(p) êàíîíè÷åñêèé ãîìîìîðèçì.Òîãäà

fσ(x) = gσ(x)hσ(x). (5.18)Íî, ñîãëàñíî (5.14),fσ(x) = aσnx

n.Â ñèëó îäíîçíà÷íîñòè ðàçëîæåíèÿ â êîëüöå (A(p))[x] è ââèäó (5.18)èìååì

gσ(x) = bσdxd hσ(x) = cσmx

m.Ñîïîñòàâëÿÿ (5.16), (5.17) è (5.18), èìååì bσ0 = cσ0 = 0, ò.å. b0 ≡ 0(mod p) è

c0 ≡ 0(mod p). Îòñþäà a0 = b0c0 ≡ 0(mod p2). ×òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ(5.15). Çàìå÷àíèå 5.32. Òåîðåìà 5.31 îáû÷íî íàçûâàåòñÿ êðèòåðèåì, õîòÿÿñíî, ÷òî ýòî òîëüêî ïðèçíàê.Ïðèìåð 5.33. f(x) = 3x5−20 íåïðèâîäèì íàäQ[x]. Äîñòàòî÷íî âçÿòü

p = 5.Ïðèìåð 5.34. f(x) = 2x10 − 21 òàêæå íåïðèâîäèì íàä Q[x]. Äîñòà-òî÷íî âçÿòü p = 3 èëè p = 7.Òåîðåìà 5.35 (åäóêöèîííûé ¾êðèòåðèé¿). Ïóñòü A è B öå-ëîñòíûå êîëüöà, à K è L èõ ïîëÿ ÷àñòíûõ ñîîòâåòñòâåííî,

σ : A→ B ãîìîìîðèçì.Ïóñòü f ∈ A[x] òàêîé, ÷òî fσ 6= 0 è deg fσ = deg f . Åñëè fσ íåïðèâîäèìâ L[x], òî f íå îáëàäàåò ðàçëîæåíèåì f(x) = g(x)h(x), â êîòîðîì

f, g ∈ A[x] è deg g > 1, deg h > 1.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Òîãäà fσ = gσhσ. Òàêêàê deg gσ 6 deg g è deg hσ 6 deg h, òî

deg f = deg fσ = deg gσ + deg hσ 6 deg g + deg h = deg f.Îòñþäà deg gσ = deg g è deg hσ = deg h.Ïîñêîëüêó fσ íåïðèâîäèì â L[x], òî ëèáî deg g = 0, ëèáî deg h = 0. 103

Çàìå÷àíèå 5.36. 1. Îòìåòèì, ÷òî â îòëè÷èå îò ïðèçíàêà Ýéçåíøòåé-íà, â ýòîì ïðèçíàêå êîëüöà A è B íå îáÿçàòåëüíî àêòîðèàëüíû.2. Â òåîðåìå óòâåðæäàåòñÿ òîëüêî, ÷òî íåò ðàçëîæåíèÿ f = g · h (ãäå

deg g > 1 è deg h > 1). Îäíàêî âîçìîæíî (åñëè, íàïðèìåð, deg g = 0), ÷òî

f(x) = ch(x), c ∈ A è c íåîáðàòèì â A. Â ýòîì ñëó÷àå f íåïðèâîäèì(ïðîñò) â K[x] (õîòÿ ðàçëîæèì â A[x]).3. Åñëè êîëüöî A àêòîðèàëüíî, òî ïî òåîðåìå 5.25 (ñì. çàìå÷àíèå5.26) èç íåðàçëîæèìîñòè â A[x] ñëåäóåò íåðàçëîæèìîñòü â K[x]. Ïîýòîìó,åñëè â òåîðåìå 5.35 êîëüöî A àêòîðèàëüíî, òî èç íåïðèâîäèìîñòè fσ âL[x] ñëåäóåò íåïðèâîäèìîñòü f â K[x]. (Õîòÿ åùå íå îáÿçàòåëüíî â A[x].Íàïðèìåð, f(x) = 2x íåïðèâîäèì â Q[x] è ïðèâîäèì â Z[x].)104

ë à â à 6Òåîðèÿ ïîëåéÝòà ãëàâà ïîñâÿùåíà äîñòàòî÷íî ïîäðîáíîìó èçëîæåíèþ òåîðèè ïîëåé.Âíà÷àëå ðàññìîòðåíî ïîíÿòèå ðàñøèðåíèÿ ïîëÿ. Èçó÷àþòñÿ êîíå÷íûå èáåñêîíå÷íûå, àëãåáðàè÷åñêèå è òðàíñöåíäåíòíûå, ñåïàðàáåëüíûå è íîð-ìàëüíûå ðàñøèðåíèÿ. Çàòåì óñòàíàâëèâàåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå òðåáóåìûõðàñøèðåíèé. Äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå àëãåáðàè÷åñêîãî çàìûêàíèÿ ïîëÿè ïîëÿ ðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíîâ. Äîêàçàíà òåîðåìà î ïðèìèòèâíîì ýëå-ìåíòå äëÿ ñåïàðàáåëüíîãî ðàñøèðåíèÿ. Èçëîæåíà (ñ ïðèìåðàìè) òåîðèÿêîíå÷íûõ ïîëåé. Ââåäåíî ïîíÿòèå íîðìû è ñëåäà ýëåìåíòà èç ðàñøèðå-íèÿ. ëàâà çàêàí÷èâàåòñÿ áàçèñàìè òðàíñöåäåíòíîñòè è òðàíñöåíäåíòíû-ìè ðàñøèðåíèÿìè.6.1. Ïîëå, ïîäïîëå, ðàñøèðåíèå ïîëÿ, ýëåìåíòàðíîåïîëå, õàðàêòåðèñòèêà ïîëÿÎïðåäåëåíèå 6.1. Ïóñòü K ïîëå ñ íóëåâûì ýëåìåíòîì 0 è åäè-íè÷íûì 1. È ïóñòü k ïîäìíîæåñòâî â K. Åñëè k ÿâëÿåòñÿ ïîëåì ñîïåðàöèÿìè, èíäóöèðîâàííûìè èç K, òî k íàçûâàåòñÿ ïîäïîëåì K, à Kíàäïîëåì èëè ðàñøèðåíèåì ïîëÿ k è îáîçíà÷àåòñÿ K : k.Îïðåäåëåíèå 6.2. Ïðîñòûì, èëè ýëåìåíòàðíûì, ïîëåì íàçûâàåòñÿïîëå, íå èìåþùåå ñîáñòâåííûõ ïîäïîëåé.Òåîðåìà 6.3. Â êàæäîì ïîëå K èìååòñÿ, è ïðèòîì òîëüêî îäíî,ýëåìåíòàðíîå ïîëå.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðåñå÷åíèå âñåõ ïîäïîëåé ïîëÿK ÿâëÿåòñÿ ïîëåì,íå èìåþùèì ñîáñòâåííûõ ïîäïîëåé.Åñëè áû â K ñóùåñòâîâàëè äâà ýëåìåíòàðíûõ ïîëÿ, òî èõ ïåðåñå÷åíèåáûëî áû ïîäïîëåì â êàæäîì èç íèõ, à ïîòîìó ñîâïàäàëî áû ñ êàæäûì èçíèõ. Ñëåäîâàòåëüíî, äâà ýòèõ ïîëÿ íå áûëè áû ðàçëè÷íû. Ñåé÷àñ îïèøåì âñå ýëåìåíòàðíûå ïîäïîëÿ â ïîëå K.105

Ïóñòü P ýëåìåíòàðíîå ïîäïîëå ïîëÿ K. Ïîñêîëüêó 0 è 1 ∈ P, òî

n1 = 1 + . . .+ 1︸︷︷︸n

∈ P äëÿ ∀n ∈ N. Îáîçíà÷èì −n1 := −(n1). Òàêèìîáðàçîì, n1 ∈ P äëÿ ∀n ∈ Z.Ââèäó î÷åâèäíûõ ðàâåíñòâ

n1 +m1 = (n+m)1,

n1 ·m1 = (nm)1,èìååì ãîìîìîðèçì

λ : Z ∋ n→ n1 ∈ P.Èòàê, èìååì äâà âàðèàíòà:1) kerλ = n ∈ Z : n1 = 0 6= 0. Òîãäà kerλ = pZ äëÿ íåêîòîðîãî

p ∈ N.Ââèäó òåîðåìû î ãîìîìîðèçìåZ kerλ ∼= Imλ.Ïîñêîëüêó êîëüöî Imλ ñîäåðæèòñÿ â P, òî îíî öåëîñòíîå. ÏîýòîìóZpZ öåëîñòíîå. Ñëåäîâàòåëüíî, p ïðîñòîå ÷èñëî. È, çíà÷èò, ZpZ ïîëå. Òàêèì îáðàçîì, Imλ ïîäïîëå â P, à òàê êàê P ýëåìåíòàðíîå, òî

Imλ = P. Ñëåäîâàòåëüíî, P ∼= ZpZ.2) kerλ = 0. Òîãäà Z ∼= Imλ ⊂ P. Ïîýòîìó Q èçîìîðíî ïîëþ÷àñòíûõ êîëüöà Imλ. Ýòî ïîëå ÷àñòíûõ, î÷åâèäíî, ñîäåðæèòñÿ â P. Àòàê êàê P ýëåìåíòàðíî, òî îíî ñîâïàäàåò ñ P. Ñëåäîâàòåëüíî, P ∼= Q.Òàêèì îáðàçîì óñòàíîâëåíàÒåîðåìà 6.4. Ýëåìåíòàðíûìè ïîëÿìè ÿâëÿþòñÿ ëèøü ïîëÿ Q èZpZ, p ïðîñòîå.ÍàïîìíèìÎïðåäåëåíèå 6.5. Íàèìåíüøåå p ∈ Z+ òàêîå, ÷òî p ·1 = 0 íàçûâàåòñÿõàðàêòåðèñòèêîé ïîëÿ K è îáîçíà÷àåòñÿ charK.Çàìå÷àíèå 6.6. Åñëè charK = 0, òî n · 1 6= 0 äëÿ âñåõ n ∈ N.Çàìå÷àíèå 6.7. Åñëè charK = p > 0, òî p ïðîñòîå. Èáî, åñëè p = m·n,òî p1 = (n1)(m1) = 0 âëå÷åò ëèáî n1 = 0, ëèáî m1 = 0. ×òî ïðîòèâîðå÷èòîïðåäåëåíèþ p.Ïîäûòîæèâàÿ ñêàçàííîå âûøå, èìååì106

Òåîðåìà 6.8. Ïîëå K èìååò charK = 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàîíî ÿâëÿåòñÿ ðàñøèðåíèåì ïîëÿ Q; charK = p > 0 â òîì è òîëüêî â òîìñëó÷àåì, åñëè K ÿâëÿåòñÿ ðàñøèðåíèåì ïîëÿ Fp := ZpZ.6.2. Ïðèñîåäèíåíèå, êîíå÷íî ïîðîæäåííûåðàñøèðåíèÿ, ïðîñòûå ðàñøèðåíèÿÂ ýòîì ïàðàãðàå ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî èìååòñÿ íåêîòîðîå ðàñøè-ðåíèå K îñíîâíîãî ïîëÿ k, ò.å. k ⊂ K. Ñåé÷àñ îïèøåì ïðîöåäóðó, êàêïîëó÷èòü âñåâîçìîæíûå ïðîìåæóòî÷íûå ïîëÿ L, ò.å òàêèå, ÷òî k ⊂ L ⊂ K.Îïðåäåëåíèå 6.9. Ïóñòü k ⊂ K è S ⊂ K ïðîèçâîëüíîå ïîäìíîæå-ñòâî. Ïåðåñå÷åíèå âñåõ ïîäïîëåé èç K, ñîäåðæàùèõ S è k, ÿâëÿåòñÿ ïîëåìè îáîçíà÷àåòñÿ k(S) è íàçûâàåòñÿ ïîëåì, ïîðîæäåííûì ìíîæåñòâîì S.Ñàìà ïðîöåäóðà îáðàçîâàíèÿ k(S) íàçûâàåòñÿ ïðèñîåäèíåíèåì S ê ïîëþk. Çàìå÷àíèå 6.10. Åñëè S = α1, α2, . . . , αn êîíå÷íîå ìíîæåñòâî, òîk(S) ≡ k(α1, α2, . . . , αn) íàçûâàåòñÿ êîíå÷íî ïîðîæäåííûì ïîëåì. Åñëèæå S = α, òî k(α) íàçûâàåòñÿ ïðîñòûì ðàñøèðåíèåì.Çàìå÷àíèå 6.11. Ïîëå k(S) åñòü íàèìåíüøåå ïîäïîëå â K, ñîäåðæà-ùåå S è k.Çàìå÷àíèå 6.12. Âûáèðàÿ â êà÷åñòâå S = Kk, ïîëó÷èì, ÷òî k(S) =K. Òåîðåìà 6.13. Ïóñòü k ⊂ K è α1, α2, . . . , αn ∈ K. Òîãäàk(α1, α2, . . . , αn) ñîñòîèò èç âñåõ âîçìîæíûõ ðàöèîíàëüíûõ êîìáèíàöèéýëåìåíòîâ α1, α2, . . . , αn, ò.å.k(α1, α2, . . . , αn) = f(α1, α2, . . . , αn)

g(α1, α2, . . . , αn):

g(α1, α2, . . . , αn) 6= 0, f, g ∈ k[x1, x2, . . . , xn]. (6.1)Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî, ÷òî ìíîæåñòâî, íàïèñàííîå â ïðàâîé÷àñòè ðàâåíñòâà (6.1), ñîäåðæèò k è âñå α1, α2, . . . , αn è ñîäåðæèòñÿ âk(α1, α2, . . . , αn).×òîáû äîêàçàòü âêëþ÷åíèå â îáðàòíóþ ñòîðîíó, çàìåòèì, ÷òî îòîáðà-æåíèå 107

F : k[x1, . . . , xn] ∋ f → f(α1, α2, . . . , αn) ∈ K (6.2)ÿâëÿåòñÿ ãîìîìîðèçìîì êîëåö (ãîìîìîðèçì ïîäñòàíîâêè, ñì. òåî-ðåìó 5.8). Ñëåäîâàòåëüíî, Im F öåëîñòíîå êîëüöî, ñîäåðæàùåå k è

α1, α2, . . . , αn. Ïîýòîìó ïîëå ÷àñòíûõ ýòîãî êîëüöà, ò.å. â òî÷íî-ñòè ïðàâàÿ ÷àñòü (6.1), ñîäåðæèò è k, è α1, α2, . . . , αn è, òåì ñàìûì,k(α1, α2, . . . , αn) (èáî îíî è åñòü íàèìåíüøåå ïîëå, ñîäåðæàùåå k è âñå

α1, α2, . . . , αn). Ñëåäñòâèå 6.13.1. Ïóñòü k ⊂ K è S ⊂ K. Òîãäà k(S) ñîñòîèò èçâñåâîçìîæíûõ ðàöèîíàëüíûõ êîìáèíàöèé ýëåìåíòîâ èç S .Äîêàçàòåëüñòâî. Âûòåêàåò èç òåîðåìû 6.1 è òîãî àêòà, ÷òî âñÿêèéìíîãî÷ëåí (à çíà÷èò, è ðàöèîíàëüíàÿ óíêöèÿ) îò áåñêîíå÷íîãî ÷èñëàïåðåìåííûõ çàâèñèò, íà ñàìîì äåëå, òîëüêî îò êîíå÷íîãî ÷èñëà ïåðåìåí-íûõ. Çàìå÷àíèå 6.14. Ïîñêîëüêó ëþáîå ìíîæåñòâî S ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíå-íèåì âñåâîçìîæíûõ êîíå÷íûõ ïîäìíîæåñòâ Si, êîòîðûå îáðàçóþò íàïðàâ-ëåííóþ ñèñòåìó ïî âêëþ÷åíèþ, òî k(S) =⋃i k(Si), ò.å. âñÿêîå ïîëå k(S)ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì íàïðàâëåííîé ñèñòåìû êîíå÷íî ïîðîæäåííûõ ïî-ëåé k(Si).Ââèäó òîãî, ÷òî k(S) ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøèì ïîäïîëåì âK, ñîäåðæàùèìk è S, ñïðàâåäëèâà ñëåäóùàÿÒåîðåìà 6.15. Ïóñòü K : k è α1, α2, . . . , αn ∈ K. Òîãäàk(α1, α2, . . . , αn) = k(α1)(α2) . . . (αn).Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî ñäåëàòü äîêàçàòåëüñòâî äëÿ ñëó÷àÿ n =

2. Ïîñêîëüêó ïîëå k(α1)(α2) ñîäåðæèò ïîëå k(α1) è α2, òî îíî ñîäåðæèòk è ýëåìåíòû α1 è α2. Ñëåäîâàòåëüíî, îíî ñîäåðæèò ïîëå k(α1, α2).Îáðàòíî, ïîëå k(α1, α2) ñîäåðæèò k, α1 (ñëåäîâàòåëüíî, k(α1)) è α2.Òåì ñàìûì k(α1, α2) ⊃ k(α1)(α2). Äàííàÿ òåîðåìà è çàìå÷àíèå 6.12 ïîêàçûâàþò, ÷òî âñÿêîå ðàñøèðåíèåñâîäèòñÿ ê ïðîñòîìó ðàñøèðåíèþ. Â äàëüíåéøåì âûÿñíèì: êàêèå ðàñøè-ðåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè. Äëÿ ýòîãî äàäèì ñëåäóùååÎïðåäåëåíèå 6.16. Äâà ðàñøèðåíèÿ K : k è L : k îäíîãî ïîëÿ káóäåì íàçûâàòü ýêâèâàëåíòíûìè èëè k-èçîìîðíûìè, åñëè ñóùåñòâóåòèçîìîðèçì h : K→ L òàêîé, ÷òî h|k = Ik.108

Ñåé÷àñ ïðîèçâåäåì êëàññèèêàöèþ ýëåìåíòîâ ïîëÿ K ïî îòíîøåíèþê ïîëþ k.6.3. Àëãåáðàè÷åñêèå è òðàíñöåíäåíòíûå ýëåìåíòû âðàñøèðåíèèÎïðåäåëåíèå 6.17. Ïóñòü çàäàíû K : k è α1, . . . αn ∈ K. Áóäåì ãîâî-ðèòü, ÷òî ýëåìåíòû α1, . . . , αn àëãåáðàè÷åñêè çàâèñèìû, åñëè kerF 6= 0,ãäå F ãîìîìîðèçì ïîäñòàíîâêè (6.2). Åñëè æå kerF = 0, òî ýëåìåíòûα1, . . . , αn íàçûâàåì àëãåáðàè÷åñêè íåçàâèñèìûìè. Òî åñòü àëãåáðàè÷åñêèçàâèñèìûå ýëåìåíòû α1, . . . , αn ∈ K ýòî òå, ÷òî f(α1, . . . , αn) = 0 äëÿíåêîòîðîãî f ∈ k[x1, . . . , xn].Ïîñêîëüêó k[x1, . . . , xn−1] ⊂ k[x1, . . . , xn] è kerF = 0, à

F1 : k[x1, . . . , xn−1] ∋ f(x1, . . . , xn−1)→ f(α1, . . . , αn−1) ∈ K,òî kerF1 = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, α1, . . . , αn−1 òîæå àëãåáðàè÷åñêè íåçàâèñè-ìû. Çíà÷èò, ëþáîå ïîäìíîæåñòâî àëãåáðàè÷åñêè íåçàâèñèìîãî ìíîæåñòâààëãåáðàè÷åñêè íåçàâèñèìî. Â ÷àñòíîñòè, êàæäûé ýëåìåíò αi àëãåáðàè÷å-ñêè íåçàâèñèì (ò.å. òðàíñöåíäåíòåí).Â ÷àñòíîñòè, àëãåáðàè÷åñêè çàâèñèìûé ýëåìåíò α ∈ K íàçûâàåòñÿ ïðî-ñòî àëãåáðàè÷åñêèì, à àëãåáðàè÷åñêè íåçàâèñèìûé òðàíñöåíäåíòíûì.Òî åñòü α ∈ K ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì ïî îòíîøåíèþ ê ïîëþ k, åñëèñóùåñòâóåò ìíîãî÷ëåí g ∈ k[x] òàêîé, ÷òî g(α) = 0Îïðåäåëåíèå 6.18. Ïóñòü K : k è α ∈ K àëãåáðàè÷åí íàä k. Âìíîæåñòâåg ∈ k[x] : g(α) = 0âûáåðåì ìíîãî÷ëåí f íàèìåíüøåé ñòåïåíè è ñî ñòàðøèì êîýèöèåí-òîì, ðàâíûì åäèíèöå. Òàêîé ìíîãî÷ëåí íàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíûì ìíî-ãî÷ëåíîì ýëåìåíòà α.Òåîðåìà 6.19. Ïóñòü çàäàíû K : k, α ∈ K àëãåáðàè÷åñêèé ýëåìåíòíàä k è f ∈ k[x] ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí ýëåìåíòà a. Òîãäà:1) êàæäûé ìíîãî÷ëåí g ∈ k[x], äëÿ êîòîðîãî g(α) = 0, äåëèòñÿ íà f ;2) ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí f ýëåìåíòà α îïðåäåëåí îäíîçíà÷íî;3) îí íåïðèâîäèì íàä ïîëåì k. 109

Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Åñëè g ∈ k[x] è g(α) = 0, òî g ìîæíî ïðåäñòàâèòüâ âèäå

g(x) = f(x)q(x) + r(x), deg r(x) < deg f(x). (6.3)Ïîäñòàâëÿÿ α â ðàâåíñòâî (6.3), ïîëó÷èì r(α) = 0. Ïîñêîëüêó deg r <deg f , òî r(x) = 0 è 1) äîêàçàíî.2. Ïóñòü f è f1 äâà ìèíèìàëüíûõ ìíîãî÷ëåíà ýëåìåíòà α. Èçîïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî deg f = deg f1 Ñîãëàñíî äîêàçàííîìó âûøå,

f1(x) = f(x) · q(x). Îòñþäà deg q(x) = 0, ò.å. q(x) ≡ const. Ïîñêîëü-êó ñòàðøèå êîýèöèåíòû f1(x) è f(x) ðàâíû åäèíèöå, òî q òîæå ðàâíîåäèíèöå, òî åñòü f = f1.3. Åñëè áû f áûë ïðèâîäèì, òî α áûë áû êîðíåì îäíîãî èç åãî äåëè-òåëåé, ÷òî ïðîòèâîðå÷èëî áû ìèíèìàëüíîñòè deg f . Îïðåäåëåíèå 6.20. Ñòåïåíü ìèíèìàëüíîãî ìíîãî÷ëåíà àëãåáðàè÷å-ñêîãî ýëåìåíòà α íàçûâàåòñÿ ñòåïåíüþ ýëåìåíòà α è îáîçíà÷àåòñÿ degα.Îïðåäåëåíèå 6.21. Ëþáîé äðóãîé êîðåíü α′ ìèíèìàëüíîãî ìíîãî-÷ëåíà ýëåìåíòà α íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåííûì ê α.6.4. Êîíå÷íûå è àëãåáðàè÷åñêèå ðàñøèðåíèÿÏóñòü K : k. Òîãäà K ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê âåêòîðíîå ïðîñòðàí-ñòâî íàä k. àçìåðíîñòü ýòîãî ïðîñòðàíñòâà áóäåì îáîçíà÷àòü [K : k] èíàçûâàòü ñòåïåíüþ K íàä k, ëèáî ñòåïåíüþ ðàñøèðåíèÿ.Îïðåäåëåíèå 6.22. Åñëè ñòåïåíü [K : k] êîíå÷íà, òî ðàñøèðåíèå íà-çûâàþò êîíå÷íûì. Â ïðîòèâíîì ñëó÷àå áåñêîíå÷íûì.Òåîðåìà 6.23. Ïóñòü k,K,L òðè òàêèõ ïîëÿ, ÷òî k ⊂ K ⊂ L.Òîãäà

[L : k] = [L : K] · [K : k]. (6.4)Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü (ei)i∈I ∈ K áàçèñK íàä k è ïóñòü (fj)j∈J ∈L áàçèñ L íàä K. Ïðîâåðèì, ÷òî ñåìåéñòâî(eifj)(i,j)∈I×J (6.5)îáðàçóåò áàçèñ âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà L íàä k. Äîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òîñåìåéñòâî (6.5) ëèíåéíî íåçàâèñèìî. Ïóñòü

∑

i,j

aijeifj = 0, aij ∈ k.110

Òîãäà ∑

j

(∑

i

aijei)fj = 0. (6.6)Òàê êàê êîýèöèåíòû (∑

i aijei)j∈J ∈ K è (fi)j∈J ëèíåéíî íåçàâè-ñèìàÿ ñèñòåìà â L íàä K, òî (6.6) âëå÷åò ðàâåíñòâî∑

i

aijei = 0 äëÿ ∀j ∈ J.×òî â ñâîþ î÷åðåäü ïî òåì æå ïðè÷èíàì âëå÷åòaij = 0 ∀i ∈ I, j ∈ J.Ïóñòü x ∈ L ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò. Òîãäà x îäíîçíà÷íî âûðàæàåòñÿ÷åðåç fj ñ êîýèöèåíòàìè xj ∈ K:

x =∑

j

xjfj. (6.7)Òåïåðü âûðàçèì xj ÷åðåç ei è ïîëó÷èìxj =

∑

i

aijei. (6.8)Ïîäñòàâëÿÿ (6.8) â (6.7), áóäåì èìåòüx =

∑

i

aijeifj.Òàêèì îáðàçîì, ñåìåéñòâî (6.5) ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì L íàä k, ò.å. åãîìîùíîñòü card(I×J) = (card I)(card J). ×òî ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì (6.4). Îïðåäåëåíèå 6.24. Ïóñòü K : k. Åñëè êàæäûé ýëåìåíò ïîëÿ K àë-ãåáðàè÷åí íàä k, òî òàêîå ðàñøèðåíèå íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì.Çàìå÷àíèå 6.25. Îòìåòèì, ÷òî âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè àëãåáðàè÷å-ñêèõ, êîíå÷íûõ èëè äðóãèõ ðàñøèðåíèé ïîëåé ïîêà íå îáñóæäàëñÿ.Òåîðåìà 6.26. Êàæäîå êîíå÷íîå ðàñøèðåíèÿ ïîëÿ àëãåáðàè÷íî.Äîêàçàòåëüñòâî. ÏóñòüK êîíå÷íîå ðàñøèðåíèå ïîëÿ k è ïóñòü åãîñòåïåíü [K : k] = n. Åñëè α ∈ K ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò, òî ìíîæåñòâî

α0, α1, α2, . . . , αn ëèíåéíî çàâèñèìî, ïîñêîëüêó ñîñòîèò èç n+ 1 ýëåìåí-òîâ. Òàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâóþò òàêèå a0, a1, . . . , an ∈ k, íå âñå ðàâíûåíóëþ, ÷òî a0 + a1α+ . . .+ anαn = 0, ò.å. ýëåìåíò α àëãåáðàè÷åí. 111

Çàìå÷àíèå 6.27. Ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí ëþáîãî ýëåìåíòà èç Kèìååò ñòåïåíü ≤ n, åñëè [K : k] = n.Ñëåäñòâèå 6.27.1. Êàæäîå ðàñøèðåíèå K ïîëÿ k, ñîäåðæàùååòðàíñöåíäåíòíûå ýëåìåíòû íàä k, áåñêîíå÷íî íàä k.Çàìå÷àíèå 6.28. Â äàëüíåéøåì ìû óâèäèì, ÷òî óòâåðæäåíèå, îáðàò-íîå òåîðåìå 6.26, íåâåðíî, ò.å. ñóùåñòâóþò áåñêîíå÷íûå àëãåáðàè÷åñêèåðàñøèðåíèÿ.Îäíàêî ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèåÒåîðåìà 6.29. Ïóñòü K : k, α ∈ K, α àëãåáðàè÷åí íàä k è p ∈ k[x] ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí äëÿ α. Òîãäà ðàñøèðåíèå k(α) êîíå÷íî íàä k,ïðè÷åì

[k(α) : k] = deg p.Áîëåå òîãî, k(α) = k[α].Çäåñü k[α] îáðàç ãîìîìîðèçìà ïîäñòàíîâêè (ñì. çàìå÷àíèå 5.10).Äîêàçàòåëüñòâî. àññìîòðèì ãîìîìîðèçì ïîäñòàíîâêè

F : k[x] ∋ f(x)→ f(α) ∈ K. (6.9)Ïîñêîëüêó α àëãåáðàè÷åí, òî kerF 6= 0 ãëàâíûé èäåàë â k[x] (èáîk[x] êîëüöî ãëàâíûõ èäåàëîâ). Òàêèì îáðàçîì,

kerF = (q(x)) = q(x)k[x] (6.10)äëÿ íåêîòîðîãî q ∈ k[x]. Èç (6.10) èìååì q(α) = 0. Îòñþäà è èç òåîðåìû6.23 âûòåêàåò, ÷òî q äåëèòñÿ íà p. Ñëåäîâàòåëüíî,kerF = (p(x)). (6.11)Èç (6.9) è (6.11) èìååì èçîìîðèçìk[x]/(p(x)) ∼= Im F := k[α].Ïîñêîëüêó p(x) íåïðèâîäèì (òåîðåìà 6.19), òî k[x]/(p(x)), à òåì ñàìûìk[α] ïîëå. Ïîñêîëüêó k ⊂ k[α] è α ∈ k[α], òî k[α] = k(α).112

Ïóñòü deg p = n. Òîãäà ýëåìåíòû 1, α, . . . , αn−1 ∈ k[α] ëèíåéíî íåçà-âèñèìû. Èáî, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå, íàéäóòñÿ òàêèå a0, a1, . . . , an−1 ∈ k, íåâñå ðàâíûå 0, ÷òî a0 + a1α+ . . .+ an−1αn−1 = 0. Ïîëàãàÿ

g(x) = a0 + a1x+ . . .+ an−1xn−1,èìååì g ∈ k[x], g(x) 6= 0, g(α) = 0 è deg g < n. Ýòî ïðîòèâîðå÷èò ìèíè-ìàëüíîñòè p.Ïîêàæåì, ÷òî 1, α, α2, . . . , αn−1 îáðàçóåò áàçèñ â k[α]. Äåéñòâèòåëüíî,äëÿ ∀f(α) ∈ k[α], ãäå f ∈ k[x], íàéäóòñÿ q(x), r(x) ∈ k[x] òàêèå, ÷òî

f(x) = q(x)p(x) + r(x), deg r < n.Ñëåäîâàòåëüíî, f(α) = r(α), ò.å. 1, α, α2, . . . , αn−1 ïîðîæäàþò k[α]. Çàìå÷àíèå 6.30. Òàêèì îáðàçîì, åñëè k ⊂ K, òî ïðèñîåäèíèâ ê ïîëþk ëþáîé àëãåáðàè÷åñêèé ýëåìåíò èç K, ïîëó÷èì ïîëå k(α) òàêîå, ÷òî k ⊂k(α) ⊂ K, ïðè÷åì âñå ýëåìåíòû èç k(α) áóäóò àëãåáðàè÷íû ïî îòíîøåíèþê ïîëþ k (òåîðåìû 6.26, 6.29).Çàìå÷àíèå 6.31. Îòìåòèì, ÷òî òåîðåìà 6.29 êîíñòðóêòèâíà. Äåé-ñòâèòåëüíî, äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïîëÿ k(α) íàäî:1) íàéòè ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí p(x) äëÿ α;2) îïðåäåëèòü åãî ñòåïåíü deg p = n;3) òîãäà k(α) ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ èç K âèäà β = c0 + c1α + . . . +cn−1α

n−1, ck ∈ k, ïðè÷åì âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå p(α) = 0.Ýòîé ïðîöåäóðîé ìû âîñïîëüçóåìñÿ â äàëüíåéøåì.Òåîðåìà 6.32. Ïóñòü K : k, α1, . . . , αn ∈ K àëãåáðàè÷íû íàä k. Òî-ãäà êîíå÷íî ïîðîæäåííîå ïîëå k(α1, . . . , αn) êîíå÷íîìåðíî (è òåì ñàìûìàëãåáðàè÷íî) íàä k.Äîêàçàòåëüñòâî. Êàæäûé αi, áóäó÷è àëãåáðàè÷íûì íàä k, àë-ãåáðàè÷åí íàä k(α1, . . . , αi−1). Ñëåäîâàòåëüíî, k(α1, . . . , αn) =k(α1, . . . , αn−1)(αn) êîíå÷íî íàä k(α1, . . . , αn−1) (òåîðåìà 6.29). Ïóñòü

[k(α1, . . . , αn) : k(α1, . . . , αn−1)] = mi < +∞.Òîãäà k ⊂ k(α1) ⊂ k(α1, α2) ⊂ . . . ⊂ k(α1, . . . , αn). (6.12)Ïî òåîðåìå 6.23 èç (6.12) ñëåäóåò

[k(α1, . . . αn) : k] = m1m2 . . . .mn < +∞.113

Òåîðåìà 6.33. Âñÿêîå êîíå÷íîå ðàñøèðåíèå ïîëÿ ïîëó÷àåòñÿ òîëüêîïðèñîåäèíåíèå êîíå÷íîãî ÷èñëà àëãåáðàè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü K : k è [K : k] = n. Âûáèðàåì α1, . . . , αn ⊂ K áàçèñ K íàä k.Âñå αi àãåáðàè÷íû íàä k è k(α1, . . . , αn) = K. Çàìå÷àíèå 6.34. Ïîñêîëüêó êàæäîå ðàñøèðåíèå K ïîëÿ k ÿâëÿåòñÿîáúåäèíåíèåì íàïðàâëåííîãî ñåìåéñòâà êîíå÷íî ïîðîæäåííûõ ðàñøèðå-íèé k(α1, . . . , αn) ⊂ K (ñì. çàìå÷àíèå 6.14), òî êàæäîå àëãåáðàè÷åñêîåðàñøèðåíèåK ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì íàïðàâëåííîãî ñåìåéñòâà êîíå÷íûõ(à çíà÷èò, àëãåáðàè÷åñêèõ) ðàñøèðåíèé.Òåîðåìà 6.35. Àëãåáðàè÷åñêîå ðàñøèðåíèå àëãåáðàè÷åñêîãî ðàñøèðå-íèÿ ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì ðàñøèðåíèåì.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü k ⊂ K ⊂ L ïîëÿ, ïðè÷åì K àëãåáðàè÷íîíàä k, à L àëãåáðàè÷íî íàä K. Ïîêàæåì, ÷òî L àëãåáðàè÷íî íàä k.1. Ïðåäïîëîæèì âíà÷àëå, ÷òî [K : k] = n. Ïóñòü α ∈ L. Òàê êàê

α àëãåáðàè÷åí íàä K, òî [K(α) : K] = m (òåîðåìà 6.29). Ñëåäîâàòåëüíî,

[K(α) : k] = mn. Òàê êàê k(α) ⊂ K(α), òî [k(α) : k] 6 mn. Ñëåäîâàòåëüíî,

α àëãåáðàè÷åí íàä k.2. Ïóñòü α ∈ L. Òîãäà ñóùåñòâóåò p(x) = xn + a1xn−1 + . . .+ an ∈ K[x]òàêîé, ÷òî p(α) = 0.Ïóñòü K′ := k(a1, . . . , an), ak ∈ K.Ïîñêîëüêó ak àëãåáðàè÷íû íàä k, òî ïî òåîðåìå 6.32 [K′ : k] < +∞ è

p(x) ∈ K′[x]. Çíà÷èò, α àëãåáðàè÷íî íàä K′. Òàêèì îáðàçîì, k ⊂ K′ ⊂ L.Ñëåäîâàòåëüíî, ïî ÷àñòè à), α àëãåáðàè÷åí íàä k. Òåîðåìà 6.36. Åñëè â çàäàííîì ðàñøèðåíèè K ïîëÿ k âûáðàòü âñåàëãåáðàè÷åñêèå íàä k ýëåìåíòû, òî ýòî ìíîæåñòâî k0 îáðàçóåò ïîëåk ⊂ k0 ⊂ K. Ïðè÷åì âñå àëãåáðàè÷åñêèå ýëåìåíòû èç K îòíîñèòåëüíîk0 ñîâïàäàþò k0.Äîêàçàòåëüñòâî. Èòàê, ïóñòük0 := α ∈ K : α àëãåáðàè÷åí íàä k.Ïîêàæåì, ÷òî k0 ïîëå. Ïóñòü α, β ∈ k0. Ïî òåîðåìå 6.32 , [k(α, β) :k] < +∞. Ïîýòîìó, ïî òåîðåìå 6.26, k(α, β) ⊂ k0. Òàê êàê k(α, β) 114

ïîëå è α, β ∈ k(α, β), òî α ± β, α − β, α−1, β−1 ∈ k0. Òàêèì îáðàçîì,k0 ïîëå, àëãåáðàè÷íîå íàä k. Åñëè k00 ñîñòîèò èç âñåõ ýëåìåíòîâ èç Kàëãåáðàè÷åñêèõ íàä k0, òî ïî ïðåæíåìó k00 àëãåáðàè÷åñêîå ðàñøèðåíèåk0. Ïî òåîðåìå 6.35, k00 áóäåò àëãåáðàè÷åñêèì ðàñøèðåíèåì k, ò.å. k00ñîñòîèò èç àëãåáðàè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ îòíîñèòåëüíî k. Íî ïîñêîëüêó k0ñîñòîèò èç âñåõ (!) òàêèõ ýëåìåíòîâ, òî k00 ⊂ k0. À ïîýòîìó k00 = k0. Îïðåäåëåíèå 6.37. Ïîëå k0, ïîëó÷åííîå â òåîðåìå 6.36, íàçûâàåòñÿàãåáðàè÷åñêèì çàìûêàíèåì ïîëÿ k â ïîëå K, ò.å. ýòî íàèáîëüøåå àëãåá-ðàè÷åñêîå ðàñøèðåíèå ïîëÿ k, ñîäåðæàùååñÿ â K.Çàìå÷àíèå 6.38. Â ñâÿçè ñ çàìå÷àíèåì 6.34 îòìåòèì, ÷òî åñëè K ïðîèçâîëüíîå ðàñøèðåíèå ïîëÿ k, òî àëãåáðàè÷åñêîå çàìûêàíèå k â Kÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì íàïðàâëåííîãî ñåìåéñòâà âñåâîçìîæíûõ êîíå÷íûõðàñøèðåíèé k(α1, . . . , αn).Îïðåäåëåíèå 6.39. Ïóñòü K : k è α ∈ K òðàíñöåíäåíòíûé íàä kýëåìåíò. Òîãäà ïîëå k(α) íàçûâàåòñÿ ïðîñòûì òðàñöåíäåíòíûì ðàñøè-ðåíèåì k.Òåîðåìà 6.40. Âñÿêîå ïðîñòîå òðàñöåíäåíòíîå ðàñøèðåíèå ïîëÿ kèçîìîðíî ïîëþ k(x).Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó ãîìîìîðèçì ïîäñòàíîâêè (6.9)

F : k[x] ∋ f → f(α) ∈ Im F ≡ k[α] ⊂ Kÿâëÿåòñÿ èçîìîðèçìîì, òî îí îäíîçíà÷íî ïðîäîëæàåòñÿ äî èçîìîðèçìà

F : k(x)→ f(x)

g(x)→ f(α)

g(α)∈ k(α) ⊂ K.

Ñëåäñòâèå 6.40.1. Âñå ïðîñòûå òðàíñöåíäåíòíûå ðàñøèðåíèÿ èçî-ìîðíû ìåæäó ñîáîé.Ïðèìåð 6.41. Ïîëÿ Q(e) è Q(π) èçîìîðíû.115

6.5. Ñóùåñòâîâàíèå ðàñøèðåíèéÄî ñèõ ïîð ìû ñ÷èòàëè, ÷òî çàäàííîå ïîëå k ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîìðàñøèðåíèè K è ïîñëå ýòîãî, â çàâèñèìîñòè îò ýëåìåíòà α ∈ K (òðàíñöåí-äåíòíîãî èëè àëãåáðàè÷åñêîãî ïî îòíîøåíèþ ê ïîëþ k), ñòðîèëè ïðîñòîåðàñøèðåíèå k(α).Ñåé÷àñ çàäà÷ó ïîñòàâèì ñëåäóþùèì îáðàçîì: ïóñòü çàäàíî ïîëå k; òðå-áóåòñÿ íàéòè (äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå) ïîëå K : k ëèáî òðàíñöåíäåíòíîå,ëèáî àëãåáðàè÷åñêîå.Â ïåðâîì ñëó÷àå çàäà÷à ðåøàåòñÿ ïðîñòî. Â êà÷åñòâå K äîñòàòî÷íîâçÿòü ïîëå k(x) (ñì. òàêæå ñëåäñòâèå 6.40.1) Âî âòîðîì ñëó÷àå çàäà÷àñëîæíåå è åå ðåøåíèå äàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùåãî óòâåæäåíèÿ.Òåîðåìà 6.42 (Êðîíåêåðà). Ïóñòü k ïîëå, f(x) ∈ k[x], deg f > 1.Òîãäà ñóùåñòâóåò ðàñøèðåíèå K : k, â êîòîðîì f èìååò êîðåíü.Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè p(x) ∈ k[x] äåëèò f , òî ëþáîé êîðåíü ìíîãî-÷ëåíà p ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà f . Ïîýòîìó áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî

f(x) = p(x) = a0 + a1x+ . . .+ an−1xn−1 + xn íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí.Òîãäà ââèäó òîãî, ÷òî êîëüöî k[x] åâêëèäîâî, êîëüöî E := k[x](p(x))ÿâëÿåòñÿ ïîëåì.Ïóñòü

σ1 : k[x]→ E = k[x](p(x)) êàíîíè÷åñêèé ãîìîìîðèçì.Ïîëîæèì

σ := σ1|k : k→ E.Î÷åâèäíî, ÷òî σ : k → E ãîìîìîðèçì. Ïîýòîìó kerσ èäåàë â k.Íî k ïîëå (â ïîëå íåò íåòðèâèàëüíûõ èäåàëîâ), ñëåäîâàòåëüíî, kerσ =0. Ïîýòîìó σ : k → E âëîæåíèå. Îáîçíà÷èì σ(k) := kσ ïîëå,èçîìîðíîå k. Ïóñòü

ξ := σ1(x) ∈ E.Òîãäà

pσ(ξ) = aσ0 + aσ1 ξ + . . .+ aσn−1ξn−1 + ξn =

aσ10 + aσ1

1 (σ1(x)) + . . .+ aσ1n−1(σ1(x))

n−1 + (σ1(x))n = σ1(p(x)) = 0E.Òàêèì îáðàçîì, σ : k → E âëîæåíèå è pσ ∈ kσ[x] èìååò êîðåíü ξ ∈ E.Ôàêòè÷åñêè, òåîðåìà äîêàçàíà, èáî çàäàííîå ïîëå k ïåðåõîäèò â èçîìîð-íîå ïîëå kσ ïîä äåéñòâèåì èçîìîðèçìà σ. Ýòîò æå èçîìîðèçì ïåðåâî-äèò êîëüöî k[x] â èçîìîðíîå êîëüöî kσ[x], à íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí116

p(x) ∈ k[x] ïåðåõîäèò â íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí pσ(x) ∈ kσ[x]. È äëÿïàðû (kσ, pσ) ïîñòðîåíî ðàñøèðåíèå E ⊃ kσ òàêîå, ÷òî pσ èìååò êîðåíüâ E. Ñëåäñòâèå 6.42.1. Â óñëîâèÿõ òåîðåìû 6.42 ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òîïîëå K àëãåáðàè÷íî íàä k.Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî âçÿòü àëãåáðàè÷åñêîå çàìûêàíèå k âK.Èëè, åùå ïðîùå, äîñòàòî÷íî âçÿòü k(α) ⊂ K. Îòìåòèì, ÷òî ïðèâåäåííàÿ òåîðåìà íå ÿâëÿåòñÿ êîíñòðóêòèâíîé. Îä-íàêî ñóùåñòâîâàíèå òàêîãî ïîëÿ K ïîçâîëÿåò, èñïîëüçóÿ òåîðåìó 6.29,äàòü êîíñòðóêòèâíîå îïèñàíèå ìèíèìàëüíîãî ðàñøèðåíèÿ k(α) (ñì. çà-ìå÷àíèå 6.31). Äëÿ ýòîãî ïîñòóïèì ñëåäóþùèì îáðàçîì:1) Ìíîãî÷ëåí f(x) ðàçëîæèì íà íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû (÷òî âîç-ìîæíî ïî òåîðåìå 5.27, õîòÿ ñîâñåì íå ïðîñòî!): f(x) = p1(x) . . . pn(x).2) Âûáåðåì îäèí èç ýòèõ ìíîãî÷ëåíîâ-äåëèòåëåé p(x). Ïóñòü deg p = nè ñòàðøèé êîýèöèåíò ðàâåí 1, ò.å. p(x) = a0 +a1x+ . . .+an−1xn−1 +xn.3) Ââåäåì ñèìâîë α è ÷åðåç kα îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâkα := g(α) : g(α) = c0 + c1α + . . . + cn−1α

n−1, ck ∈ k, ñòåïåíü êîòî-ðûõ ìåíüøå n. Ýòî ìíîæåñòâî îáðàçóåò àáåëåâó ãðóïïó ïî ñëîæåíèþ.Ïðîèçâåäåíèå â kα îïðåäåëèì ñëåäóþùèì îáðàçîì. Åñëè g(α), h(α) ∈ kα,ïîëîæèì g(α) × h(α) := r(α), ãäå r(α) îñòàòîê îò îáû÷íîãî óìíîæåíèÿ

g(α)h(α) ïðè äåëåíèè íà p(α), ò.å.g(α)h(α) = q(α)p(α) + r(α), deg r < deg p.Íåñëîæíî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî íîâîå óìíîæåíèå êîììóòàòèâíî, àññîöèàòèâ-íî è ÷òî íîâîå ïðîèçâåäåíèå g1(α) × . . . × gm(α) ñîâïàäàåò ñî ñòàðûì

g1(α) . . . gm(α), åñëè ñòåïåíü ïîñëåäíåãî íå ïðåâîñõîäèò n. Òàêèì îáðàçîì,kα êîììóòàòèâíîå êîëüöî ñ åäèíèöåé, ñîäåðæàùåå ïîëå k è ýëåìåíò α.Óìíîæàÿ ýòîò ýëåìåíò ñàì íà ñåáÿ k ðàç, ìû áóäåì ïîëó÷àòü αk ïîêà

k < n. Åñëè îáîçíà÷àòü n-þ ñòåïåíü α â íîâîì óìíîæåíèè ÷åðåç α×n, òî

α×n = αn− p(α) = −a0− a1α− a2α2− . . .− an−1α

n−1 = −a0− a1α×− . . .−

an−1α×(n−1). Òàêèì îáðàçîì, a0 + a1α + . . . + anα

×(n−1) + α×n = 0, ò.å.

α ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ïîëèíîìà p(x) â íîâîì óìíîæåíèè. Íàêîíåö, îñòàëîñüäîêàçàòü, ÷òî kα ÿâëÿåòñÿ ïîëåì. Íî ýòî äåéñòâèòåëüíî òàê, ïîñêîëüêó,kα èçîìîðíî ïîëþ k[α]/(p(α)). Èáî ýëåìåíòû èç kα ÿâëÿþòñÿ â òî÷-íîñòè ïðåäñòàâèòåëÿìè êëàññîâ èç k[α]/(p(α)). Òàêèì îáðàçîì, ïîëå kαñîâïàäàåò ñ ïîëåì k(α).Âûøåèçëîæåííîå ìîæíî ïîäûòîæèòü â âèäå ñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ.117

Òåîðåìà 6.43. Ïóñòü k ïðîèçâîëüíîå çàäàííîå ïîëå. Äëÿ ëþáîãîíåïðèâîäèìîãî ìíîãî÷ëåíà p ∈ k[x] ñóùåñòâóåò ìèíèìàëüíîå ðàñøèðå-íèå k(α), ñîäåðæàùåå êîðåíü α ýòîãî ìíîãî÷ëåíà.Çàìå÷àíèå 6.44. Ïðèâåäåííîå ïîñòðîåíèå â ýòîé òåîðåìå ïîëÿ k(α)åñòü êîíñòðóêòèâíîå îïèñàíèå ïîëÿ k(α), ñîðìóëèðîâàííîå â ñëåäñòâèè6.42.1.Ïðèìåð 6.45. Ïóñòü k = Q ïîëå ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, ìíîãî÷ëåí

p(x) = x2 − 2 íåïðèâîäèì íàä Q[x]. Òàê êàê deg p(x) = 2, òî ïîëå Q(√

2)èìååò âèä Q(√

2) := α+ β√

2 : α, β ∈ Q,ãäå (√

2)2 − 2 = 0, ò.å. (√

2)2 = 2.Òåîðåìà 6.46. Ïóñòü k ïîëå. Äëÿ ëþáîãî êîíå÷íîãî íàáîðà ìíî-ãî÷ëåíîâ f1, f2, . . . , fn ∈ k[x], deg fi > 1, ñóùåñòâóåò ðàñøèðåíèå K : k, âêîòîðîì êàæäûé ìíîãî÷ëåí fi èìååò êîðåíü.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü K1 ðàñøèðåíèå k, â êîòîðîì f1 èìååò êî-ðåíü (òåîðåìà 6.42). Òàê êàê f2 ∈ K1[x], òî ïî òåì æå îòîáðàæåíèÿìñóùåñòâóåò ðàñøèðåíèå K2 : K1, â êîòîðîì f2 èìååò êîðåíü. Ïðîäîëæàÿïðîöåññ, ïîëó÷èì òðåáóåìîå ðàñøèðåíèå K = Kn. Ñëåäñòâèå 6.46.1. Ïðè óñëîâèÿõ òåîðåìû 6.46 ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òîK àëãåáðàè÷íî íàä k.Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî âçÿòü àãåáðàè÷åñêîå çàìûêàíèå k â K(ñì. îïðåäåëåíèå 6.37). Äàëåå íàñ áóäóò èíòåðåñîâàòü ñëåäóþùèå âîïðîñû: âî-ïåðâûõ, ñóùå-ñòâîâàíèå òàêîãî ðàñøèðåíèÿ K ïîëÿ k, â êîòîðîì ìíîãî÷ëåíû èç ëþáîéíàïåðåä çàäàííîé ñèñòåìû (fi)i∈I ⊂ k[x] (â ÷àñòíîñòè, âñå ìíîãî÷ëåíûèç k[x]) èìåþò ïî êðàéíåé ìåðå ïî îäíîìó êîðíþ â K; âî-âòîðûõ, ÷òîáûëþáîé ìíîãî÷ëåí f ∈ K[x] èìåë â K êîðåíü.Îïðåäåëåíèå 6.47. Ïîëå K íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòûì,åñëè ëþáîé ìíîãî÷ëåí f ∈ K[x] èìååò â K êîðåíü, ò.å. ñóùåñòâóåò α ∈ Kòàêîé, ÷òî f(α) = 0.Â äàëüíåéøåì ìû äàäèì ïîëîæèòåëüíûå îòâåòû íà ýòè âîïðîñû, èñ-ïîëüçóÿ äâà âàðèàíòà òðàíñèíèòíîé èíäóêöèè.118

Òåîðåìà 6.48. Ïîëå K àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòî òîãäà è òîëüêî òî-ãäà, êîãäà ëþáîé ìíîãî÷ëåí f ∈ K[x] ðàçëàãàåòñÿ â êîëüöå K[x] íà ëèíåé-íûå ìíîæèòåëè.Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü f ∈ K[x], deg f = n è α1 ∈K êîðåíü ýòîãî ìíîãî÷ëåíà. Òîãäà ïî òåîðåìå î äåëåíèè ìíîãî÷ëåíîââ êîëüöå K[x] èìååì f(x) = (f − α1)f1(x), ãäå f1 ∈ K[x] (deg f1 = n− 1) èïîòîìó f1 èìååò êîðåíü α2 ∈ K. Ïðîäîëæàÿ ïðîöåññ, ïîëó÷èì ðàçëîæåíèåf(x) = a(x− α1) . . . (x− αn).Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü f ∈ K[x] èìååò âèä f(x) = a(x − α1) . . . a(x −αn), ãäå a, α1, . . . , αn ∈ K. Òîãäà, î÷åâèäíî, α1, . . . , αn ∈ K êîðíè ìíî-ãî÷ëåíà f . Ïðåæäå, ÷åì óñòàíàâëèâàòü ñóùåñòâîâàíèå àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòîãîðàñøèðåíèÿ, íà÷íåì ñ ïåðâîãî øàãà.Îïðåäåëåíèå 6.49. Åñëè k,K,L òðè òàêèõ ïîëÿ, ÷òî k ⊂ K ⊂ L,òî ïîëå K áóäåì íàçûâàòü ïðîìåæóòî÷íûì ïîëåì.Îïðåäåëåíèå 6.50. Åñëè K ðàñøèðåíèå ïîëÿ k, â êîòîðîì ìíî-ãî÷ëåí f ∈ k[x] ìîæíî ðàçëîæèòü íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè, è åñëè íè âêàêîì ïðîìåæóòî÷íîì ïîëå ìíîãî÷ëåí f(x) íå ðàñêëàäûâàåòñÿ íà òàêèåìíîæèòåëè, òî ïîëå K íàçûâàåòñÿ ïîëåì ðàçëîæåíèÿ äëÿ f(x).Òàêèì îáðàçîì, åñëè K ïîëå ðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíà f(x) ∈ k[x]è α1, . . . , αn ∈ K êîðíè ýòîãî ìíîãî÷ëåíà (deg f = n), òî K =k(α1, . . . , αn). Òåì ñàìûì, ïîëå ðàçëîæåíèÿ èìååò êîíå÷íóþ ñòåïåíü.Çàìå÷àíèå 6.51. Îñîáåííî îòìåòèì, ÷òî ïîëå K ðàçëîæåíèÿ ìíîãî-÷ëåíà f ∈ k[x] çàâèñèò êàê îò ìíîãî÷ëåíà f , òàê è îò ïîëÿ k, ò.å. ýòîíàèìåíüøåå èç ïîëåé, ñîäåðæàùèõ k, â êîòîðûõ f ðàçëàãàåòñÿ íà ëèíåé-íûå ìíîæèòåëè.Ïðèìåð 6.52. Ïóñòü f(x) = x2 − 2 ∈ Q[x]. Òîãäà Q(

√2) ïîëåðàçëîæåíèÿ f ∈ Q[x]. Êðîìå òîãî, f(x) = x2 − 2 ∈ Q(

√3)[x]. Â ýòîìñëó÷àå ïîëåì ðàçëîæåíèÿ f(x) = x2 − 2 áóäåò Q(

√3)(√

2) = Q(√

2,√

3).Èòàê, ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.Òåîðåìà 6.53. Äëÿ êàæäîãî f(x) ∈ k[x] ñóùåñòâóåò K : k ïîëåðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíà f(x). 119

Äîêàçàòåëüñòâî. Èíäóêöèåé ïî n = deg f . Ñîãëàñíî òåîðåìå 6.42ïðèñîåäèíèì ê ïîëþ k êàêîé-íèáóäü êîðåíü α1 ìíîãî÷ëåíà p1. Ïðè ýòîìïîëó÷èì ïîëå k1 = k(α1), â êîòîðîì f(x) èìååò ëèíåéíûé ìíîæèòåëü

x − α1. Îòùåïèì ýòîò ìíîæèòåëü îò f(x) = (x − α1)f1(x). Òàê êàê f1 ∈k1[x], òî ïðèñîåäåíèâ ê ïîëþ k1 êàêîé-íèáóäü êîðåíü α2 ìíîãî÷ëåíà f1.Ïðè ýòîì ïîëó÷èì ïîëå k2 = k1(α2) = k(α1, α2). Ïîâòîðÿÿ ïðîöåäóðó, ìûïðèäåì ê ïîëþ K = k(α1, α2, . . . , αn) ðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíà f . Ñëåäñòâèå 6.53.1. Äëÿ ëþáîãî êîíå÷íîãî íàáîðà ìíîãî÷ëåíîâ

f0(x), . . . , fr(x) ∈ k[x] ñóùåñòâóåò íàèìåíüøåå ïîëå K = k(α1, . . . , αr) :k, ïîðîæäåííîå âñåìè êîðíÿìè âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ è òàêîå, ÷òî â êîëü-öå K[x] âñå çàäàííûå ìíîãî÷ëåíû ðàçëàãàþòñÿ íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè.Òàêîå ïîëå áóäåì íàçûâàòü ïîëåì ðàçëîæåíèÿ ñèñòåìû f1, . . . , fr.Äîêàçàòåëüñòâî. Â êà÷åñòâå òðåáóåìîãî ïîëÿ ñëåäóåò âçÿòü ïîëå ðàç-ëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíà f(x) = f1(x)f2(x) . . . fr(x). Ñåé÷àñ ðàññìîòðèì âîïðîñ î åäèíñòâåííîñòè ïîëÿ ðàçëîæåíèÿ ìíîãî-÷ëåíà.6.6. Ïðîäîëæåíèå èçîìîðèçìîâ. Åäèíñòâåííîñòüïîëÿ ðàçëîæåíèÿÏóñòü çàäàíû äâå ïàðû ïîëåé: K : k, K′ : k′ è èçîìîðèçì σ : k→ k′.Òîãäà σ îïðåäåëÿåò èçîìîðèçì êîëåö k[x] è k′[x] ïî îðìóëå

σ : k[x] ∋ f(x) =

n∑

k=0

akxk → fσ(x) =

n∑

k=0

aσkxk ∈ k′[x]. (6.13)Ïðè÷åì, åñëè f íåïðèâîäèì, òî fσ íåïðèâîäèì (èáî, åñëè fσ = g1g2, òî f =

gσ−1

1 gσ−1

2 ). Îòñþäà, ââèäó àêòîðèàëüíîñòè êîëåö k[x] è k′[x], ñëåäóåò,÷òî åñëè f = f1 . . . fr åñòü ðàçëîæåíèå íà íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû, òîfσ ðàçëàãàåòñÿ íà íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû åäèíñòâåííûì ñïîñîáîì, àèìåííî, fσ = fσ1 . . . f

σr . Äàëåå, ââèäó ýòîãî æå èçîìîðèçìà (6.13), èìååìèçîìîðèçì ïîëåé k[x]/(f(x))→ k′[x]/(fσ(x)).Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî çàäàí α ∈ K àëãåáðàè÷åñêèé ýëåìåíò íàä kè p ∈ k[x] åãî ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí. Ïîñêîëüêó k ⊂ k(α) ⊂ K, òîâîçíèêàþò ñëåäóùèå âîïðîñû:1. Èìååòñÿ ëè òàêîé ãîìîìîðèçìσ : k(α)→ K′, ÷òî σ |k= σ,120

ò.å. ìîæíî ëè èçîìîðèçì σ : k→ k′ ïðîäîëæèòü íà ïîëå k(α)?2. Ñêîëüêî òàêèõ ïðîäîëæåíèé èìååòñÿ?Îòâåòîì íà ýòè âîïðîñû ñëóæèò ñëåäóþùàÿÒåîðåìà 6.54. Òðåáóåìûé ãîìîìîðèçì σ : k(α) → K′ ñóùåñòâóåòòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ó ìíîãî÷ëåíà pσ èìåþòñÿ êîðíè, ëåæàùèåâ K′, è ýòèõ ïðîäîëæåíèé ñòîëüêî, ñêîëüêî êîðíåé ìíîãî÷ëåíà pσ èìå-åòñÿ â K′.Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü σ : k(α)→ K′ òðåáóåìûéãîìîìîðèçì. Ïîñêîëüêó k(α) = k[α], òîσ : k[α] ∋ f(α) =

r∑

k=0

akαk → fσ(β) =

r∑

k=0

aσkβk ∈ k′[β] ⊂ K′, (6.14)ãäå β = σ(α). Òàê êàê p(α) = 0, òî pσ(ασ) = pσ(β) = 0, ò.å. β ∈ K′ ÿâëÿåòñÿàëãåáðàè÷åñêèì ýëåìåíòîì íàä k′ ñ ìèíèìàëüíûì ìíîãî÷ëåíîì pσ. Èòàê,åñëè σ ñóùåñòâóåò, òî îí èìååò âèä (6.14) è óñòàíàâëèâàåò êàíîíè÷åñêèéèçîìîðèçì k[x]/(p) ⋍ k(α)→σ k′(ασ) ⋍ k′[x]/(pσ).Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü β ∈ K′ òàêîé, ÷òî pσ(β) = 0. Ïîêàæåì, ÷òîñîîòâåòñòâèå (6.14) ÿâëÿåòñÿ òðåáóåìûì èçîìîðèçìîì. Äëÿ ýòîãî äî-ñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî îíî çàäàåò îòîáðàæåíèå. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè

f, g ∈ k[x] è f(α) = g(α), ò.å. (f − g)(α) = 0, òî f − g = pq. Îòñþ-äà fσ − gσ = pσqσ Ñëåäîâàòåëüíî, fσ(β) − gσ(β) = pσ(β)qσ(β) = 0, ò.å.

fσ(β) = gσ(β). Ñëåäñòâèå 6.54.1. Ïóñòü p ∈ k[x] íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí, k ⊂K, α, β ∈ K è p(α) = p(β) = 0. Òîãäà ïîëÿ k(α) è k(β) ýêâèâàëåíòíû,èëè k-èçîìîðíû (ñì. îïðåäåëåíèå 6.16).Äîêàçàòåëüñòâî. Â ïðåäûäóùåé òåîðåìå äîñòàòî÷íî ïîëîæèòü k′ =k è σ(x) = x. Çàìå÷àíèå 6.55. Èçîìîðèçì (6.14) ÿâëÿåòñÿ êàíîíè÷åñêèì â ñëåäó-þùåì ñìûñëå: k[α] ∼= k[x]/(p)←→ kσ[x]/(pσ) ∼= k[β].121

Çàìå÷àíèå 6.56. Åñëè â óñëîâèè òåîðåìû 6.54 ïîòðåáîâàòü, ÷òîáûïîëå K′ áûëî àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòî, òî ìíîãî÷ëåí pσ ∈ k′[x] ⊂ K′[x]ðàçëàãàåòñÿ â K′ è ïîýòîìó òðåáóåìûå ïðîäîëæåíèÿ ñóùåñòâóþò!Òåîðåìà 6.54 îáîáùàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.Òåîðåìà 6.57. Ïóñòü çàäàíû äâå ïàðû ïîëåé K : k, K′ : k′ è èçîìîð-èçì σ : k→ k′. Òîãäà:1. Åñëè K àëãåáðàè÷íî íàä k, à K′ àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòî, òî ñóùå-ñòâóåò ìîíîìîðíîå ïðîäîëæåíèå σσ : K→ K′.2. Åñëè, êðîìå òîãî, K àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòî, à K′ àëãåáðàè÷íî íàäk′, òî óêàçàííîå âûøå ïðîäîëæåíèå σ : K→ K′ ÿâëÿåòñÿ èçîìîðèçìîì.Äîêàçàòåëüñòâî. 1. àññìîòðèì ìíîæåñòâî

S := (E, τ) : k ⊂ E ⊂ K, τ : E→ K′,ìîíîìîðèçì τ |k = σÎ÷åâèäíî, ÷òî ìíîæåñòâî S èíäóêòèâíî óïîðÿäî÷åíî îòíîñèòåëüíî åñòå-ñòâåííîãî ïîðÿäêà è (k, σ) ∈ S. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò ìàêñèìàëüíûéýëåìåíò (˜E, σ) ∈ S. ßñíî, ÷òî ˜E = K. Â ïðîòèâíîì ñëó÷àå (åñëè ˜E ⊂ K)ïðèìåíÿåì òåîðåìó 6.54 è ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå ñ ìàêñèìàëüíîñòüþ ˜E.2. Èòàê, σ : K→ σ(K) èçîìîðèçì. Ñëåäîâàòåëüíî, σ−1 : σ(K)→ K èçîìîðèçì. Ïðè÷åì k′ ⊂ σ(K) ⊂ K′ è σ−1|′k = σ−1. Òàê êàê K′àëãåáðàè÷íî íàä σ(K), à K àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòî, òî ïî ïåðâîé ÷àñòèòåîðåìû σ−1 ïðîäîëæàåòñÿ äî èçîìîðèçìà K′ íà K. Ñëåäñòâèå 6.57.1. Âñå àëãåáðàè÷åñêèå è àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòûåðàñøèðåíèÿ ïîëÿ k ýêâèâàëåíòíû ìåæäó ñîáîé è íàçûâàþòñÿ àëãåáðàè-÷åñêèì çûìûêàíèåì ïîëÿ k.Òåîðåìà 6.58. Ïóñòü σ : k → k′ èçîìîðèçì ïîëåé, f ∈ k[x] èfσ ∈ k′[x]. Ïóñòü K ïîëå ðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíà f , à K′ ïîëåðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíà fσ. Òîãäà ñóùåñòâóåò èçîìîðèçì σ : K → K′òàêîé, ÷òî σ|k = σ.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü

f(x) = a(x− α1) . . . (x − αs), a ∈ k, αi ∈ K. (6.15)122

Åñëè âñå êîðíè f ëåæàò â k, ò.å. âñå αi ∈ k, òî K = k è fσ(x) =aσ(x−ασ1 ) . . . (x−ασs ) ðàçëàãàåòñÿ â k′. Íî ïîñêîëüêóK′ ïîëå ðàçëîæåíèÿfσ (ò.å. íàèìåíüøåå, ñîäåðæàùåå k′, â êîòîðîì fσ ðàçëàãàåòñÿ), òîK′ = k′è σ := σ.Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî íå âñå αi ëåæàò â k, ò.å. áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òîn > 1 êîðíåé f ëåæèò âíå k. Òåîðåìó áóäåì äîêàçûâàòü èíäóêöèåé ïîn, ò.å. ñ÷èòàåì, ÷òî îíà äîêàçàíà äëÿ âñåõ ñëó÷àåâ, êîãäà ÷èñëî êîðíåéìíîãî÷ëåíà f , ëåæàùèõ âíå k, ìåíüøå n.àçëîæèì f(x) = p1(x) . . . pm(x), pi ∈ k[x] íåïðèâîäèìû. Â ýòîì ðàç-ëîæåíèè íàéäåòñÿ pi òàêîå, ÷òî deg pi > 1. Íàïðèìåð, deg p1 = r > 1(â ïðîòèâíîì ñëó÷àå f ðàçëàãàëîñü áû â k[x]). Ìíîãî÷ëåí p1 èìååò ïîêðàéíåé ìåðå îäíèì èç êîðíåé αi. Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê â K[x] èìååìðàâåíñòâî

p1(x) . . . pm(x) = f(x) = a(x− α1) . . . (x− αs),òî, ââèäó îäíîçíà÷íîñòè ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè â K[x], íàéäåòñÿ αiòàêîå, ÷òî (x− αi) äåëèò p1(x), ò.å.p1(αi) = 0.Ñîãëàñíî òåîðåìå 6.54, èçîìîðèçì σ ìîæíî ïðîäîëæèòü äî èçîìîðèçìà

σ1 : k(αi)→ k′(βi) ⊂ K′,ãäå βi ∈ K′ ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà pσ1 ∈ k′[x]. Òåïåðü íàä íîâûìïîëåì k(αi) ÷èñëî êîðíåé ìíîãî÷ëåíà f ∈ k(αi)[x] ìåíüøå n. Ñëåäîâà-òåëüíî, ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè, èçîìîðèçì σ1 ìîæíî ïðîäîëæèòüäî èçîìîðèçìà σ : K→ K′. Ñëåäñòâèå 6.58.1. Åñëè f ∈ k[x], òî ëþáûå äâà ïîëÿ ðàçëîæåíèÿäëÿ f ýêâèâàëåíòíû.Äîêàçàòåëüñòâî. Â ïðåäûäóùåé òåîðåìå äîñòàòî÷íî ïîëîæèòü k′ =k è σ(x) = x. Ñëåäñòâèå 6.58.2. Ïóñòü f1, . . . fn ∈ k[x]. Òîãäà ëþáûå äâà ïîëÿðàçëîæåíèÿ äëÿ f1, . . . , fn ýêâèâàëåíòíû.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó ïîëå ðàçëîæåíèÿ äëÿ f1, . . . , fn ñîâïàäà-åò ñ ïîëåì ðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíà f = f1 . . . fn, òî äîêàçàòåëüñòâî âûòå-êàåò èç ñëåäñòâèÿ 6.58.1. 123

6.7. Ñóùåñòâîâàíèå àëãåáðàè÷åñêîãî çàìûêàíèÿïîëÿÂ ýòîì ïàðàãðàå äîêàæåì ñóùåñòâîâàíèå àëãåáðàè÷åñêîãî è àëãåá-ðàè÷åñêè çàìêíóòîãî ðàñøèðåíèÿ ïðîèçâîëüíîãî ïîëÿ. Åäèíñòâåííîñòüòàêîãî ðàñøèðåíèÿ óñòàíîâëåíà ñëåäñòâèåì 6.57.1.Ïðèâåäåì ýëåãàíòíîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìûØòåéíèöà, ïðèíàäëåæà-ùåå Ý. Àðòèíó. Ýòî äîêàçàòåëüñòâî íå òðåáóåò çíàíèÿ ïîëÿ ðàçëîæåíèÿìíîãî÷ëåíà. Íàîáîðîò, èç íåå òðèâèàëüíûì îáðàçîì ïîëó÷àåòñÿ òåîðåìàî ñóùåñòâîâàíèè ïîëÿ ðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíà.Òåîðåìà 6.59 (Àðòèíà). Äëÿ ëþáîãî k ñóùåñòâóåò ïîëå K ⊃ k, âêîòîðîì êàæäûé f ∈ k[x] èìååò êîðåíü.Äîêàçàòåëüñòâî. Êàæäîìó f ∈ k[x], f(x) 6= const, ïîñòàâèì â ñîîò-âåòñòâèå ñèìâîë xf . Ïóñòü S = (xf )f∈k[x] ìíîæåñòâî ñèìâîëîâ. Îáðà-çóåì êîëüöî k[S] ≡ k[(xf )f∈k[x]]ìíîãî÷ëåíîâ îò áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ïåðåìåííûõ ñ êîýèöèåíòàìè èç k.Íà ñàìîì äåëå êàæäûé ýëåìåíò èç k[S] çàâèñèò òîëüêî îò êîíå÷íîãî ÷èñëàïåðåìåííûõ (êàæäûé îò ñâîåãî ÷èñëà ïåðåìåííûõ). Âîçüìåì ìíîæåñòâî

A = f(xf ) : f ∈ k[x] ⊂ k[S]è îáðàçóåì èäåàë I(A) â êîëüöå k[S], ïîðîæäåííûé ìíîæåñòâîì A.1. Èäåàë I(A) íå òðèâèàëåí, ò.å. I(A) 6= k[S]. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè áûýòî áûëî íå òàê, òî íàøëèñü áû g1, . . . , gn ∈ k[S] è f1, . . . , fn ∈ k[x] òàêèå,÷òî

g1f1(xf1 ) + . . .+ gnfn(xfn) = 1. (6.16)Ìíîãî÷ëåíû gi âêëþ÷àþò òîëüêî êîíå÷íîå ÷èñëî ïåðåìåííûõ xf1 , . . . , xfN

.Ïðè÷åì ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âñå gi(xf1 , . . . , xfN) çàâèñÿò îò âñåõN ïåðåìåí-íûõ, à N > n. Ïîñêîëüêó âñÿêèé ìíîãî÷ëåí îò îäíîé ïåðåìåííîé ìîæíîñ÷èòàòü ìíîãî÷ëåíîì îò ìíîãèõ ïåðåìåííûõ. Òàêèì îáðàçîì, ñîîòíîøå-íèå (6.16) èìååò âèä

n∑

i=1

gi(xf1 , . . . , xfN)fi(xfi

) = 1. (6.17)Ïóñòü F êîíå÷íîå (àëãåáðàè÷åñêîå) ðàñøèðåíèå k, â êîòîðîì ñóùåñòâó-þò α1, . . . , αn ∈ F òàêèå, ÷òî

fi(αi) = 0, i = 1, . . . , n (òåîðåìà 6.46).124

Ïîëàãàÿ αi = 0 ïðè i > n è ïîäñòàâëÿÿ αi â (6.17), ïîëó÷èì 0 = 1.2. Ïóñòü m ìàêñèìàëüíûé èäåàë, ñîäåðæàùèé I(A). ÒîãäàK := k[S]/m òðåáóåìîå ïîëå.Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü

σ : k[S]→ k[S]/m ≡ K êàíîíè÷åñêèé ãîìîìîðèçì.Òîãäà

τ := σ|k : k→ K âëîæåíèå.Îòîæäåñòâëÿÿ k è τ(K), ïîëó÷àåì òðåáóåìîå ðàñøèðåíèå. Èáî äëÿ âñÿ-êîãî f(x) = a0 + a1x+ . . .+ anxn ∈ k[x] ïîëîæèì

ξf := σ(xf ) ∈ K.Òîãäà fσ(ξf ) = aσ0 + aσ1 ξf + . . .+ aσnξnf = aσ0 + aσ1σ(xf ) + . . .+ aσn[σ(xf )]

n =σ(f(xf )) = 0K, òàê êàê f(xf ) ∈ m. Òåîðåìà 6.60 (Øòåéíèöà). Êàæäîå ïîëå k èìååò åäèíñòâåííîåàëãåáðàè÷åñêîå çàìûêàíèå k.Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî òåîðåìå 6.59, ïîñòðîèì K1 ïîëå, â êî-òîðîì êàæäûé ìíîãî÷ëåí èç k[x] èìååò êîðåíü. Ïîòîì ïîñòðîèì K2 ïîëå ðàçëîæåíèÿ âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ èç K1[x]. Ïî èíäóêöèè ñòðîèì ïîñëå-äîâàòåëüíîñòü ïîëåé k ⊂ K1 ⊂ K2 ⊂ . . . ⊂ Kn ⊂ . . .òàê, ÷òî âñÿêèé f ∈ Kn−1[x] ñòåïåíè deg f > 1 èìååò êîðåíü â Kn. Òîãäàïîëîæèì K :=

∞⋃

n=1

Kn.ßñíî, ÷òî K ïîëå. Åñëè f ∈ K[x], òî f ∈ Kn−1[x] äëÿ íåêîòîðîãî n.Ñëåäîâàòåëüíî, êîðíè f ëåæàò âKn ⊂ K. Âçÿâ àëãåáðàè÷åñêîå çàìûêàíèåk â K, ïîëó÷èì òðåáóåìîå ïîëå k. ßñíî, ÷òî k àëãåáðàè÷íî íàä k, èáî îíîñîñòîèò èç âñåõ àëãåáðàè÷åñêèõ íàä k ýëåìåíòîâ èç K. Åñëè f ∈ k[x], òî

f ∈ K[x]. Ñëåäîâàòåëüíî, âñå êîðíè α1, . . . , αn ìíîãî÷ëåíà f ëåæàò â K.Ïîñêîëüêó îíè êîðíè ìíîãî÷ëåíà f ∈ k[x], òî îíè àëãåáðàè÷íû íàä k,à çíà÷èò, è íàä k. Ñëåäîâàòåëüíî, îíè ëåæàò â k, ò.å. k àëãåáðàè÷åñêèçàìêíóòî. Åäèíñòâåííîñòü óñòàíîâëåíà â ñëåäñòâèè 6.57.1. Èìåÿ àëãåáðàè÷åñêîå çàìûêàíèå k ïîëÿ k, ëåãêî ïîñòðîèòü ïîëå ðàç-ëîæåíèÿ ëþáîãî ìíîãî÷ëåíà f ∈ k[x] è äîêàçàòü åãî åäèíñòâåííîñòü.125

Òåîðåìà 6.61 (Ñì. òåîðåìó 6.53). Äëÿ êàæäîãî f ∈ k[x] ñóùå-ñòâóåò K : k ïîëå ðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíà f .Äîêàçàòåëüñòâî. Íàäî âçÿòü âñå êîðíè α1, . . . , αn ∈ k ýòîãî ìíîãî-÷ëåíà f , à ïîòîì îáðàçîâàòü ïîëå K := k(α1, . . . , αn) ⊂ k. Òåîðåìà 6.62 (Ñì. ñëåäñòâèå 6.58.1). Ëþáûå äâà ïîëÿ ðàçëîæåíèÿäëÿ ìíîãî÷ëåíà f ∈ k[x] ýêâèâàëåíòíû.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü K ⊃ k è E ⊃ k äâà ïîëÿ ðàçëîæåíèÿ ìíî-ãî÷ëåíà f ∈ k[x]. Òàê êàê K àëãåáðàè÷íî íàä k, òî K àëãåáðàè÷íî íàä k.Ïîñêîëüêó K àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòî, òî K = k. Âîçì¼ì σ ≡ I : k → kòîæäåñòâåííûé èçîìîðèçì. Ñîãëàñíî òåîðåìå 6.57 1) ñóùåñòâóåò åãî ìî-íîìîðíîå ïðîäîëæåíèå σ : E → K. Òàê êàê E ïîëå ðàçëîæåíèÿ f ,òî

f(x) = c(x− β1) . . . (x − βn), c ∈ k, βi ∈ E.Ñëåäîâàòåëüíî,

f(x) = f σ(x) = c(x− σβ1) . . . (x− σβn), c ∈ k, σβi ∈ K.Òàê êàê K ïîëå ðàçëîæåíèÿ f , òî

f(x) = c(x− α1) . . . (x− αn), c ∈ k, αi ∈ K.Ïîñêîëüêó â K[x] ðàçëîæåíèå îäíîçíà÷íî, òî σβ1 = α1, . . . , σβn = αn, ò.å.σβi ∈ K. Çíà÷èò,

σk(β1, . . . , βn) ⊂ K.Ïî îïðåäåëåíèþ, E = k(β1, . . . , βn). Ïîñêîëüêó K = k(α1, . . . , αn) =k(σβ1, . . . , σβn) = σk(β1, . . . , βn), òî K = σ(E). Ïîýòîìó σ : E → K åñòük-èçîìîðèçì. Ïîäûòîæèì íàøè ðàññóæäåíèÿ.Êàæäîå ïîëå k ìîæíî âëîæèòü â åãî åäèíñòâåííîå àëãåáðàè÷åñêîå çà-ìûêàíèå k (òåîðåìà Øòåéíèöà). Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî âëîæèòü k â àë-ãåáðàè÷åñêè çàìêíóòîå ïîëå K. À äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî âëîæèòü k â ïîëåK1, â êîòîðîì âñå f ∈ k[x] èìåþò êîðíè. À äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü,÷òî äëÿ êàæäîãî f ∈ k[x] èìåòñÿ ïîëå kf ⊃ k, â êîòîðîì f èìååò êîðåíü(òåîðåìà Êðîíåêåðà). Òàêèì îáðàçîì, åñëè îáîçíà÷èòü S ìíîæåñòâîâñåõ êîðíåé âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ èç k[x], ò.å.S := α ∈ k : f(α) = 0, f ∈ k[x],òî èìååò ìåñòî 126

Òåîðåìà 6.63. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîk = k(S).Ïðè÷åì, åñëè |k| > N (ïîëå k áåñêîíå÷íî), òî |k| = |k| (ïîëå k èìååò òóæå ìîùíîñòü, ÷òî è k).Äîêàçàòåëüñòâî. Íàïîìíèì, ÷òî k(S) =⋃i∈I k(Si) (ñì. çàìå÷àíèå6.14), ãäå Si ⊂ S êîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî, I ìíîæåñòâî âñåõ êîíå÷íûõïîäìíîæåñòâ èç S. Î÷åâèäíî, ÷òî k(S) ⊂ k. Îáðàòíî, åñëè α ∈ k, òî αàëãåáðàè÷íî íàä k è α ∈ k(α) ⊂ k(S).Âû÷èñëèì ìîùíîñòü k.Ïóñòü kn[x] := p ∈ k[x] : deg p = n − 1. Òîãäà |kn[x]| = |kn| = |k|(òàê êàê |k| > N). Ó êàæäîãî ìíîãî÷ëåíà ñòåïåíè n èìååòñÿ n êîðíåé â k.Ñëåäîâàòåëüíî, ìîùíîñòü âñåõ êîðíåé Sn âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ èç kn[x] ðàâíà

|Sn| = |kn[x]|n = |k|n = |k|. Òàê êàê k[x] =⋃∞n=1 kn[x], òî S =

⋃∞n=1 Sn.Ïîýòîìó |S| = N|Sn| = N|k| = |k|.Òàê êàê I ìíîæåñòâî âñåõ êîíå÷íûõ ïîäìíîæåñòâ èç S, òî I ∼⋃∞

m=1 Sn, ò.å. |I| = ∑n

n=1 |Sn| = N|k| = |k|. Ïîñêîëüêó k(S) =⋃i∈I k(Si)è [k(Si) : k] = nSi

< +∞, òî |k(Si)| = |knSi | = |k|. Ñëåäîâàòåëüíî,

|k| = |k(S)| = N|k(Si)| = N|k| = |k|. Òåîðåìà 6.64. Åñëè k êîíå÷íî, òî k ñ÷åòíî.Äîêàçàòåëüñòâî. Â îáîçíà÷åíèÿõ ïðåäûäóùåé òåîðåìû kn[x] êîíå÷-íî, Sn òîæå êîíå÷íî. Ñëåäîâàòåëüíî, S ñ÷åòíî. Çíà÷èò, I ñ÷åòíî è k(Si)êîíå÷íî. Ñëåäîâàòåëüíî, k ñ÷åòíî. Çàìå÷àíèå 6.65. Åñëè k ïîëå è k åãî çàìûêàíèå, òî [k : k] ìîæåòáûòü êàê áåñêîíå÷íûì (ñòàíäàðòíûé ñëó÷àé), òàê è êîíå÷íûì (èñêëþ÷è-òåëüíûé ñëó÷àé). Íàïðèìåð, R = C è [R : R] = 2. Ñ äðóãîé ñòîðîíû

xn − 2 ∈ Q[x] íåïðèâîäèì äëÿ ∀n (êðèòåðèé Ýéçåíøòåéíà). Ïîýòîìó ∀n[Q : Q] > deg(xn − 2) = n, ò.å. [Q : Q] =∞.6.8. Ñåïàðàáåëüíûå ðàñøèðåíèÿ. Òåîðåìàî ïðèìèòèâíîì ýëåìåíòåÂ ýòîì ïàðàãðàå îáúåêòîì èçó÷åíèÿ áóäóò ìíîãî÷ëåíû èç k[x]. Íàøàçàäà÷à âûÿñíèòü êðàòíîñòü êîðíåé ýòèõ ìíîãî÷ëåíîâ â àëãåáðàè÷åñêèõðàñøèðåíèÿõ K : k. 127

Ïîñêîëüêó âñå êîðíè α1, . . . , αn ∈ k èêñèðîâàííîãî ìíîãî÷ëåíà p ∈k[x] ëåæàò â ïîëå K = k(α1, . . . , αn) è ýòî ðàñøèðåíèå êîíå÷íî (âñå êî-íå÷íûå ðàñøèðåíèÿ ïîëó÷àþòñÿ òàêèì îáðàçîì ñì. òåîðåìó 6.35), òîâîçíèêàåò âîïðîñ: ìîæíî ëè ïîëå k(α1, . . . , αn) ïîðîäèòü îäíèì ýëåìåí-òîì u ∈ K? Òî÷íåå, êîãäà êîíå÷íîå ðàñøèðåíèå K : k ìîæíî ïîðîäèòüîäíèì ýëåìåíòîì u ∈ K, ò.å. êîãäà K = k(u)?Îêàçûâàåòñÿ, îáå ýòè çàäà÷è òåñíî ñâÿçàíû. È çäåñü áóäóò äàíû îòâåòûíà ïîñòàâëåííûå âîïðîñû.Îïðåäåëåíèå 6.66. Ïóñòü k ïîëå, f ∈ k[x] è α ∈ k êîðåíü ýòîãîìíîãî÷ëåíà. Òîãäà (x − α) äåëèò f(x) â k[x]. Íàèáîëüøåå íàòóðàëüíîå

m òàêîå, ÷òî (x − α)m äåëèò f(x) â k[x] íàçûâàåòñÿ êðàòíîñòüþ êîðíÿ

α. Êîðåíü êðàòíîñòè 1 íàçûâàåòñÿ ïðîñòûì, Òàêèì îáðàçîì, α ÿâëÿåòñÿêîðíåì êðàòíîñòè m, åñëè f(x) èìååò âèä

f(x) = (x− α)mf1(x) èf1(α) 6= 0.Îïðåäåëåíèå 6.67. Ïóñòü f(x) = a0 + a1x + . . . + anxn ∈ k[x]. Ôîð-ìàëüíîé ïðîèçâîäíîé ìíîãî÷ëåíà f íàçîâåì âûðàæåíèå

(∂f)(x) = a1 + 2a2x+ . . .+ nanxn−1 ∈ k[x].Òåîðåìà 6.68. Ôîðìàëüíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ∂ ÿâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèåì

∂ : k[x]→ k[x], îáëàäàþùèì ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:1) ∂ ëèíåéíî;2) ∂ äèåðåíöèðîâàíèå, ò.å. äëÿ ëþáûõ f, g ∈ k[x]

∂(fg) = (∂f)g + f(∂g); (6.18)3) åñëè chark = 0, òî ker ∂ = k, Im ∂ = k[x];4) åñëè chark = p > 0, òî

ker ∂ = h(xp) : h ∈ k[x], (6.19)Im ∂ ïîðîæäàåòñÿ ìîíîìàìè xk, ãäå p ∤ (k + 1).Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Ýëåìåíòàðíî.2. Ââèäó ëèíåéíîñòè ∂, ñâîéñòâî (6.18) äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü äëÿ

f(x) = xr, g(x) = xs, r, s > 0. Òîãäà ∂(f(x)g(x)) = ∂(xr+s) = (r +s)xr+s−1 = rxr−1xs + sxrxs−1 = (∂f)(x)g(x) + f(x)(∂g)(x) = [(∂f)g +f(∂g)](x). 128

3. Åñëè f(x) = a0 + a1x+ . . .+ anxn, òî

(∂f)(x) = 0⇔ a1 = 2a2 = . . . = nan = 0Îòñþäà a1 = a2 = . . . = an = 0, ò.å. f(x) = a0, ò.å. kerσ = k. Äëÿ ∀f ∈ k[x]íàäî âçÿòü g(x) = a0x+ xa1

2x2 + . . .+

ann+ 1

xn+1 ∈ k[x]. Òîãäà ∂g = f .4. Äëÿ ìîíîìà xm, ∂(xm) = mxm−1 = 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàp|m. Èñïîëüçóÿ ýòî, ìû âèäèì, ÷òî ∂(a0 + a1x + . . . + anx

n) = 0 òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà am = 0 äëÿ m òàêèõ, ÷òî p | m, ò.å. (6.19) èìååò ìåñòî.Îáðàç Im ∂ ïîðîæäàåòñÿ ìîíîìàìè xm òàêèìè, ÷òî ∂(xm+1) 6= 0, ò.å.òàêèìè, ÷òî p ∤ m+ 1. Òåîðåìà 6.69. Ïóñòü k ïîëå, f ∈ k[x], α ∈ k. Ñëåäóþùèå óñëîâèÿýêâèâàëåíòíû:1) α êðàòíûé êîðåíü f(x);2) f(α) = f ′(α) = 0.Äîêàçàòåëüñòâî. 1) ⇒ 2). f(x) = (x− α)mf1(x) (m > 2). Äèåðåí-öèðóÿ ýòî âûðàæåíèå, èìååìf ′(x) = m(x− α)m−1f1(x) + (x− α)mf ′

1(x).Îòñþäà f ′(α) = 0.2) ⇒ 1). Òàê êàê α êîðåíü f , òî f(x) = (x− α)g(x). Ñëåäîâàòåëüíî,

f ′(x) = g(x) + (x − α)g′(x). Îòñþäà f ′(α) = g(α) = 0. Çíà÷èò, g(x) =(x − α)g1(x). Ïîýòîìó f(x) = (x− α)2g1(x). Òåîðåìà 6.70. Ïóñòü f ∈ k[x], d(x) = ÍÎÄ k[x](f, f

′). Ñëåäóþùèåóñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû:1) f èìååò êðàòíûé êîðåíü â k;2) deg d > 0.Äîêàçàòåëüñòâî. 1) ⇒ 2). Ïóñòü α ∈ k êîðåíü f . Òîãäà ïîòåðåìå 6.69 α êîðåíü f ′. Çíà÷èò, degÍÎÄk[x](f, f′) > 1. Òàê êàêÍÎÄ k[x](f, f

′) = ÍÎÄk[x](f, f′) (òåîðåìà 5.15), òî deg d > 1.2)⇒ 1). Òàê êàê f(x) = d(x)g(x), f ′(x) = d(x)h(x) è deg d > 0, òî â kåñòü β ∈ k, òàêîé, ÷òî d(β) = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, f(β) = f ′(β) = 0. Ïîòåîðåìå 6.69 β êðàòíûé êîðåíü f . 129

Ñëåäñòâèå 6.70.1. Ïóñòü f ∈ k[x] íåïðèâîäèì. Òîãäà ñëåäóùèå óñëî-âèÿ ýêâèâàëåíòíû:1) f èìååò êðàòíûå êîðíè â k;2) f ′ = 0.Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê f íåïðèâîäèì, òî äåëèòåëè ó íåãî ëèáî f ,ëèáî 1. Ïîýòîìó d(x) = ÍÎÄ (f, f ′) ëèáî f , ëèáî 1.Åñëè d(x) = 1 = f(x)g(x)+f ′(x)h(x), òî f è f ′ íå èìåþò îáùèõ êîðíåé,ò.å. ó f êîðíè ïðîñòûå.àâåíñòâî d(x) = f(x) ìîæåò áûòü òîëüêî â îäíîì ñëó÷àå: åñëè

f ′(x) = 0. Òåîðåìà 6.71. Åñëè chark = 0 è f ∈ k[x] íåïðèâîäèì, òî f èìååòòîëüêî ïðîñòûå êîðíè.Äîêàçàòåëüñòâî. Èòàê, ïóñòü chark = 0, f(x) = a0 + a1x+ . . .+ anxn.Ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 6.70.1 è òåîðåìå 6.68 3), ìíîãî÷ëåí f èìååò êðàòíûåêîðíè òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè f ≡ 0. Òåïåðü óñòàíîâèì íåñêîëüêî ïðåäâàðèòåëüíûõ àêòîâ äëÿ ïîëÿ íåíó-ëåâîé õàðàêòåðèñòèêè.Òåîðåìà 6.72 (¾Áèíîìèíàëüíàÿ òåîðåìà äëÿ èäèîòîâ¿). Ïóñòü

chark = p > 0. Òîãäà äëÿ ∀a, b ∈ k

(a± b)p = ap ± bp.Äîêàçàòåëüñòâî. (a+ b)p = ap +C1pa

p−1b+ . . .+Ckpap−kbk + . . .+ bp =

ap + bp, òàê êàê Ckp äåëèòñÿ íà p. Ñëåäñòâèå 6.72.1. Åñëè chark = p, òî äëÿ ∀a, b ∈ k è ëþáîãî n ∈ Nèìååì

(a+ b)pn

= apn

+ bpn

.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâîäèì èíäóêöèåé ïî n. Äåéñòâèòåëüíî (a ±b)p

n

= [(a± b)pn−1

]p = (apn−1 ± bpn−1

)p = apn

+ bpn . Ñëåäñòâèå 6.72.2. Ïóñòü chark = p > 0 è a1, . . . , an ∈ k. Òîãäà

(a1 + a2 + . . .+ an)p = ap1 + ap2 + . . .+ apn. (6.20)Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâîäèì èíäóêöèåé ïî n. Äåéñòâèòåëüíî, (a1 +

a2 + . . . + an)p = [(a1 + . . . + an−1) + an]

p = (a1 + . . . + an−1)p + apn =

ap1 + . . .+ apn−1 + apn. 130

Ñëåäñòâèå 6.72.3 (Ìîíîìîðèçì Ôðîáåíèóñà). Ïóñòü chark =p > 0. Òîãäà îòîáðàæåíèå

ϕ : k ∋ a→ ap ∈ kÿâëÿåòñÿ ìîíîìîðèçìîì (èíüåêòèâíûì ãîìîìîðèçìîì) è íàçûâàåòñÿìîíîìîðèçìîì Ôðîáåíèóñà.Äîêàçàòåëüñòâî. Òî, ÷òî ϕ ãîìîìîðèçì, âûòåêàåò èç òåîðåìû6.72. Èíüåêòèâíîñòü ϕ ñëåäóåò òîæå îòòóäà. Äåéñòâèòåëüíî, ϕ(a) =ϕ(b)⇔ ap − bp = (a− b)p = 0, ò.å. a = b. Îïðåäåëåíèå 6.73. Ïîëå k ñ õàðàêòåðèñòèêîé chark = p > 0 íàçû-âàåòñÿ ñîâåðøåííûì, åñëè ìîíîìîðèçì Ôðîáåíèóñà ϕ ÿâëÿåòñÿ ñþðúåê-öèåé, ò.å. ϕ àâòîìîðèçì.Ëåììà 6.74. Êàæäîå êîíå÷íîå ïîëå k ñîâåðøåííî.Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê k êîíå÷íî, òî chark = p > 0. Ïîñêîëüêó

ϕ : k ∋ a → ap ∈ k èíüåêòèâíî, òî k ðàâíîìîùíî ϕ(k) ⊂ k, ò.å. ϕ(k)ñîäåðæèò ñòîëüêî æå ýëåìåíòîâ, ÷òî è k. Çíà÷èò, ϕ(k) = k. Òåîðåìà 6.75. Ïóñòü k ñîâåðøåííîå ïîëå, chark = p > 0 è f(x) ∈k[x], íåïðèâîäèì. Òîãäà f èìååò òîëüêî ïðîñòûå êîðíè.Äîêàçàòåëüñòâî. Èòàê, ïóñòü f(x) ∈ k[x] íåïðèâîäèì. Èç ñëåäñòâèÿ6.70.1 è òåîðåìû 6.68 (ñì. îðìóëó (6.19)) âûòåêàåò, ÷òî f èìååò êðàòíûåêîðíè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà f èìååò âèä

f(x) = a0 + a1xp + . . .+ amx

p·m. (6.21)Òàê êàê ïîëå k ñîâåðøåííî, òî äëÿ êàæäîãî i ñóùåñòâóåò bi ∈ k òàêîå,÷òî bpi = ai, i = 1, 2, . . . ,m. Òîãäà èç (6.21) èìååì, ÷òî f(x) = bp0 + (b1x)p +

. . . + (bmxm)p = [(6.20)] = (b0 + b1x + . . . + bmx

m)p, ÷òî ïðîòèâîðå÷èòíåïðèâîäèìîñòè f . Òåïåðü äàäèì ñëåäóþùååÎïðåäåëåíèå 6.76. Ïóñòü çàäàíî ðàñøèðåíèå K : k ïîëÿ k. Àëãåá-ðàè÷åñêèé íàä k ýëåìåíò α ∈ K íàçûâàåòñÿ ñåïàðàáåëüíûì íàä k, åñëèåãî ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí p(x) ∈ k[x] èìååò òîëüêî ïðîñòûå êîðíè. Àë-ãåáðàè÷åñêîå ðàñøèðåíèå K ïîëÿ k íàçûâàåòñÿ ñåïàðàáåëüíûì, åñëè îíîñîñòîèò èç ñåïàðàáåëüíûõ íàä k ýëåìåíòîâ.Íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí, âñå êîðíè êîòîðîãî ñåïàðàáåëüíû, íàçûâà-åòñÿ ñåïàðàáåëüíûì ìíîãî÷ëåíîì. 131

Òåîðåìû 6.71 è 6.75 ìîæíî ïåðåîðìóëèðîâàòü â ñëåäóþùåì âèäå.Òåîðåìà 6.77. Ïóñòü k ëèáî ïðîèçâîëüíîå ïîëå õàðàêòåðèñòèêè

chark = 0, ëèáî ñîâåðøåííîå ïîëå õàðàêòåðèñòèêè chark = p > 0. Òîãäàëþáîå åãî àëãåáðàè÷åñêîå ðàñøèðåíèå K ñåïàðàáåëüíî íàä k. Â ÷àñòíî-ñòè, ëþáîå àëãåáðàè÷åñêîå ðàñøèðåíèå êîíå÷íîãî ïîëÿ ñåïàðàáåëüíî. Íà-ïðèìåð, Fp : Fp ñåïàðàáåëüíî.Ïóñòü k ïîëå è chark = p > 0. Òîãäà îáðàç ϕ(k) ìîíîìîðèçìàÔðîáåíèóñà îáîçíà÷èì kp (íå íàäî ïóòàòü kp è k× k× . . .× k︸︷︷︸p

). Òàêèìîáðàçîì, kp ïîäïîëå k, èçîìîðíîå k è, çíà÷èò, k ñîâåðøåííî (ïî îïðå-äåëåíèþ 6.73), åñëè k = kp.Èòàê, ñîãëàñíî òåîðåìå 6.77 ëþáîå àëãåáðàè÷åñêîå ðàñøèðåíèå K : kñîâåðøåííîãî ïîëÿ k (chark = p > 0) ñåïàðàáåëüíî. Îêàçûâàåòñÿ ñïðà-âåäëèâî îáðàòíîå óòâåðæäåíèå.Òåîðåìà 6.78. Åñëè êàæäîå àëãåáðàè÷åñêîå ðàñøèðåíèå K : k ïîëÿ k

(chark = p > 0) ñåïàðàáåëüíî, òî k ñîâåðøåííî, ò.å. k = kp.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî k 6= kp. Âûáåðåì a ∈ kkp.Ïîëîæèì f(x) := xp − a ∈ k[x].Ìíîãî÷ëåí f íåïðèâîäèì. Äåéñòâèòåëüíî, ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå,ò.å. ïóñòü f(x) = g(x)h(x), g, h ∈ k[x] è 0 < deg g, deg h < p. Ïóñòü b ∈ k êîðåíü f , ò.å. 0 = f(b) = bp − a. Çíà÷èò, a = bp è f(x) = xp − a = (x − b)p.Ñëåäîâàòåëüíî, g(x) = (x − b)i, h(x) = (x − b)j , 0 < i, j < p, i + j = p.Ïîñêîëüêó (i, p) = 1, òî 1 = iu + pv, u, v ∈ Z. Çíà÷èò, b = (bi)u(bp)v =(bi)uav. Òàê êàê g(x) = (x− b)i ∈ k[x], òî bi ∈ k. Ïîýòîìó b = (bi)uav ∈ k.Çíà÷èò, a = bp ∈ kp. Ýòî ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò, ÷òî f(x) = xp − aíåïðèâîäèì.

f(x) = (x− b)p íå ñåïàðàáåëåí, ò.å. k( p√a) : k íå ñåïàðàáåëüíî. Çàìå÷àíèå 6.79. Îòìåòèì, ÷òî åñëè k ⊂ K, chark = p > 0, |k| = +∞,òî kp ⊂ k, kp ⊂ Kp ⊂ K. Îäíàêî íå îáÿçàòåëüíî k ⊂ Kp. Íàïðèìåð,ïóñòü k = Fp(x3), K = Fp(x). Òîãäà [K : k] = 3, Kp = Fpp(xp) = Fp(xp),kp = Fpp(x3p) = Fp(x3p) (Fpp = Fp, èáî Fp ñîâåðøåííî). Íî k = Fp(x3) *Fp(xp) = Kp, åñëè p 6= 3.Ïîñêîëüêó, êàê áûëî ñêàçàíî âûøå, âîîáùå ãîâîðÿ k * Kp ⊂ K, òîìû âïðàâå îáðàçîâàòü ïîëå k(Kp). Ïî åãî îïðåäåëåíèþ, k ⊂ k(Kp) ⊂ K èKp ⊂ k(Kp) ⊂ K. 132

Îòìåòèì, ÷òî åñëè [K : k] < +∞, òî è [k(Kp) : k] < +∞ è â ýòîì ñëó÷àåk(Kp) = k[Kp] (òåîðåìà 6.29). Îáîçíà÷èì ÷åðåç k ·Kp ëèíåéíóþ îáîëî÷êóìíîæåñòâà Kp ñ êîýèöèåíòàìè èç k. Î÷åâèäíî, ÷òî k ·Kp ⊂ k[Kp]. Íîïîñêîëüêó Kp ïîëå, òî k ·Kp = k[Kp]. Ïîýòîìó âñåãäà k ·Kp = k(Kp).Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîëÿ òîëüêî òàêîãî âèäà ìîãóòáûòü ñåïàðàáåëüíûìè ðàñøèðåíèÿìè ïîëÿ k.Òåîðåìà 6.80. Ïóñòü k ïîëå, chark = p > 0 è [K : k] < +∞. Òîãäàñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû:1) K : k ñåïàðàáåëüíî;2) K = k(Kp).Ëåììà 6.81. Ïóñòü [K : k] = n, k(Kp) = K è ω1, . . . , ωh ∈ K ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ íàä k ñèñòåìà. Òîãäà ωp1 , . . . , ωph ∈ K ëèíåéíîíåçàâèñèìàÿ íàä k ñèñòåìà.Äîêàçàòåëüñòâî. Äîïîëíèì ñèñòåìó ω1, . . . , ωh äî áàçèñà

ω1, . . . , ωh, . . . , ωn. Òîãäà K =∑n

i=1 kωi. Ïî òåîðåìå 6.72 èìååìKp =∑ni=1 kpωpi . Îòñþäà K = k(Kp) = k ·Kp =

∑ni=1 kkpωpi =

∑ni=1 kωpi ,ò.å. ωp1 , . . . , ω

pn áàçèñ K íàä k. Çíà÷èò, ñåìåéñòâî ωp1 , . . . , ωph ëèíåéíîíåçàâèñèìî. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 6.80. 1) ⇒ 2). Ïóñòü a ∈ K. Òîãäà ap ∈Kp. Ñëåäîâàòåëüíî, k ⊂ k(ap) ⊂ k(Kp) ⊂ K. Ïóñòü f(x) ∈ k(ap)[x] ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí äëÿ a, ò.å. f(a) = 0 è f íåïðèâîäèì â k(ap)[x].Ïóñòü g(x) = xp − ap ∈ k(ap)[x]. Òàê êàê g(a) = 0, òî f |g, íî g(x) =

(x − a)p. Ïîýòîìó f(x) = (x − a)i, 0 < i < p. Òàê êàê f ñåïàðàáåëåí,òî f(x) = x − a ∈ k(ap)[x]. Çíà÷èò, a ∈ k(ap) ⊂ k(Kp). Òàêèì îáðàçîì,K ⊂ k(Kp). Òåì ñàìûì K = k(Kp).

2) ⇒ 1). Ïóñòü α ∈ K è f(x) ∈ k[x] ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí äëÿ

α. Äîêàæåì, ÷òî f ñåïàðàáåëåí. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâîïîëîæíîå, ò.å.

f(x) = g(xp) äëÿ íåêîòîðîãî g(x) =∑ni=0 aix

i ∈ k[x], an = 1. Òàê êàê 0 =f(α) = g(αp) = a0+a1α

p+a2α2p+. . .+αnp, òî ñèñòåìà 1, αp, . . . , αnp ëèíåéíîçàâèñèìà íàä k. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, n < np = deg f = [k(α) : k]. Òàê÷òî 1, α, . . . , αn äîëæíû áûòü ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Òîãäà ïî ëåììå 6.81ñèñòåìà 1, αp, . . . , αnp ëèíåéíî íåçàâèñèìà. Ýòî ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò,÷òî f ñåïàðàáåëåí. Òåîðåìà 6.82. Êàæäîå êîíå÷íîå ðàñøèðåíèå ñîâåðøåííîãî ïîëÿ ñî-âåðøåííî. 133

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü k = kp è [K : k] < +∞. Òîãäà K ⊃ Kp ⊃kp = k. Ïîýòîìó k(Kp) = Kp. Ïî òåîðåìå 6.77 K : k ñåïàðàáåëüíî. Íî ïîòåîðåìå 6.80 K = k(Kp) = Kp. Òåîðåìà 6.83. Ïóñòü k ïîëå, chark = p > 0, α ∈ k. Òîãäà ñëåäóþ-ùèå óòâåðæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû:1) α ñåïàðàáåëåí íàä k;2) k(α) : k ñåïàðàáåëüíî;3) k(α) = k(αp).Äîêàçàòåëüñòâî. 1)⇒ 3). Èç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 6.80 âûòåêàåò,÷òî α ∈ k(αp). Îòñþäà k(α) ⊂ k(αp), ò.å. k(α) = k(αp).

3) ⇔ 2). k(α) = k(αp) ≡ k(kp(αp)) = k[k(α)]p = k((k(α))p). Ïîòåîðåìå 6.80 ýòî ðàâåíñòâî ýêâèâàëåíòíî ñåïàðàáåëüíîñòè k(α) : k.

2)⇒ 1). Ýëåìåíòàðíî. Çàìå÷àíèå 6.84. Òàêèì îáðàçîì, ïðèñîåäèíèâ ê ïîëþ k îäèí ñåïà-ðàáåëüíûé ýëåìåíò α ∈ k, ìû ïîëó÷èì öåëîå ïîëå k(α), ñîñòîÿùåå èçñåïàðàáåëüíûõ íàä k ýëåìåíòîâ.Çàìå÷àíèå 6.85. Ïîñêîëüêó (ñì. çàìå÷àíèå 6.34) êàæäîå àëãåáðàè-÷åñêîå ðàñøèðåíèå ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì êîíå÷íûõ ðàñøèðåíèé, òî âû-ÿñíèì, êîãäà êîíå÷íûå ðàñøèðåíèÿ ñåïàðàáåëüíû.Îòâåòîì ÿâëÿåòñÿ ñëåäóùàÿ òåîðåìà.Òåîðåìà 6.86. Ëþáîå êîíå÷íîå ðàñøèðåíèå êîíå÷íîãî ïîëÿ k (â ÷àñò-íîñòè, Fp) ëèáî ïîëÿ íóëåâîé õàðàêòåðèñòèêè ñåïàðàáåëüíî.Äîêàçàòåëüñòâî. Íåìåäëåííî âûòåêàåò èç òåîðåìû 6.75 è ëåììû6.74. Òåîðåìà 6.87. Åñëè k ⊂ F ⊂ K ðàñøèðåíèå ïîëåé è K : k ñåïàðà-áåëüíî, òî F : k è K : F òîæå ñåïàðàáåëüíû.Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê K : k àëãåáðàè÷íî, òî F : k è K : F àë-ãåáðàè÷íû. Ïîñêîëüêó F ïîäïîëå â K, òî F : k ñåïàðàáåëüíî. Åñëèα ∈ K, p(x) ∈ F[x] ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí äëÿ α è q(x) ∈ k[x] òîæå ìèíèìàëüíûé äëÿ α, òî ïîñêîëüêó q(x) ∈ F[x] è q(α) = 0 èç òåîðåìû6.19 èìååì q(x) = p(x)r(x). Ïî ïðåäïîëîæåíèþ (èáî K : k ñåïàðàáåëüíî)q(x) èìååò òîëüêî ïðîñòûå êîðíè. Ñëåäîâàòåëüíî, p(x) íå ìîæåò èìåòüêðàòíûõ êîðíåé. Âàæíîñòü ïîíÿòèÿ ñåïàðàáåëüíîãî ðàñøèðåíèÿ ïîä÷åðêèâàåò ñëåäóþ-ùàÿ òåîðåìà. 134

Òåîðåìà 6.88 (Î ïðèìèòèâíîì ýëåìåíòå). Ïóñòü K : k êîíå÷-íîå ñåïàðàáåëüíîå ðàñøèðåíèå. Òîãäà K èìååò ïðèìèòèâíûé ýëåìåíòu ∈ K, ò.å. K = k(u).Äîêàçàòåëüñòâî. 1. àññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé áåñêîíå÷íîãî ïîëÿk. Òàê êàê ðàñøèðåíèå K : k êîíå÷íî, òî K = k(s1, . . . , sm) è ïóñòü[K : k] = n. Òîãäà k ⊂ k(s1) ⊂ k(s1, s2) ⊂ . . . ⊂ k(s1, . . . , sm) = K. Ïðîìå-æóòî÷íûå ïîëÿ ñåïàðàáåëüíû îäíî íàä äðóãèì ïî òåîðåìå 6.87. Äîêàçà-òåëüñòâî áóäåì âåñòè èíäóêöèåé ïî n.Ïðè n = 1 èìååì K = k, è òîãäà u ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò K.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òåîðåìà äîêàçàíà äëÿ âñåõ K : k òàêèõ, ÷òî [K :k] 6 n− 1. Òîãäà k(s1, . . . , sm−1) = k(u), ãäå u ∈ k(s1, . . . , sm−1). ÏîýòîìóK = k(sm, u). Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî k(sm, u) = k(ω) äëÿ íåêîòîðîãî

ω ∈ k(sm, u).Èòàê, ïðåäïîëîæèì, ÷òî K = k(u, υ), ãäå u, υ ∈ K. Ïóñòü p, q ∈ k[x] ìèíèìàëüíûå ìíîãî÷ëåíû u è υ ñîîòâåòñòâåííî è u1 ≡ u, u2, . . . , ur ∈ k âñå ðàçëè÷íûå êîðíè ìíîãî÷ëåíà p(x), à υ1 ≡ υ, υ2, . . . , υs ∈ k âñåðàçëè÷íûå êîðíè ìíîãî÷ëåíà q(x). Ââèäó ñåïàðàáåëüíîñòè K : k èìå-åì r = deg p, s = deg q. Òàê êàê k áåñêîíå÷íî, òî ìîæíî âûáðàòü t ∈ kòàêèì, ÷òîáût 6= u− ui

vj − v

(6.22)äëÿ âñåõ i è âñåõ j, çà èñêëþ÷åíèåì j = 1 (èáî υ1 = v). Ïîëîæèì

ω := u+ tυ. (6.23)Ñîîòíîøåíèå (6.23) îçíà÷àåò ω 6= ui + tυj äëÿ âñåõ i è âñåõ j 6= 1. Îïðåäå-ëèì ïîëèíîì (ñòåïåíè r)h(x) := p(ω − tx) ∈ k(ω)[x].ßñíî, ÷òîh(υ) = p(ω − tυ) = p(u) = 0èh(υj) = p((ω − tυj)) 6= 0, j 6= 1èáî ui : i = 1, . . . , r âñå êîðíè ìíîãî÷ëåíà p(x), à ω − tυj 6= ui.Òàêèì îáðàçîì, ìíîãî÷ëåíû h, q ∈ k(ω)[x] èìåþò â k òîëüêî îäèí îá-ùèé êîðåíü υ. Ñëåäîâàòåëüíî, ÍÎÄk(ω)[x](h, q) = ÍÎÄk[x](h, q) = (x−υ).Ïîýòîìó υ ∈ k(ω) è, çíà÷èò, u = ω − tυ ∈ k(ω).135

Òàêèì îáðàçîì, k(u, υ) ⊂ k(ω). Òàê êàê ω = u + tυ, òî k(ω) ⊂ k(u, υ).Òàêèì îáðàçîì, k(u, υ) = k(ω).2. Ñëó÷àé êîíå÷íîãî ïîëÿ k ìû ðàññìîòðèì â ïàðàãðàå 6.10 (ñì.òåîðåìó 6.104). Òàêèì îáðàçîì, ñîãëàñíî òåîðåìàì 6.86 è 6.88 ëþáûå êîíå÷íûå ðàñ-øèðåíèÿ êîíå÷íûõ ïîëåé è ïîëåé õàðàêòåðèñòèêè íîëü ìîæíî ïîëó÷èòü,ïðèñîåäèíèâ ê èñõîäíîìó ïîëþ îäèí åäèíñòâåííûé ýëåìåíò. Êàê ýòî ñäå-ëàòü, ïîêàæåì íà ïðèìåðå.Ïðèìåð 6.89. Ïóñòü k = Q è K = Q(i, 3√

2). Òàê êàê charQ = 0, òîïî òåîðåìå 6.77 ðàñøèðåíèå Q(i, 3√

2) : Q ñåïàðàáåëüíî. Íàéäåì ñíà÷àëàñòåïåíü ýòîãî ðàñøèðåíèÿ. àññìîòðèì ðàñøèðåíèÿQ ⊂ Q(3√

2) ⊂ Q(i,3√

2),

[Q( 3√

2) : Q] = deg(x3 − 2) = 3. Ìíîãî÷ëåí q(x) = x3 − 2 íåïðèâîäèì íàäQ, èáî âñå åãî êîðíè â C ñóòü 3√

2, ω 3√

2, ω2 3√

2, ãäå ω = e2πi/3, íå ëåæàò âQ. Íåïðèâîäèìîñòü ìíîãî÷ëåíà x3−2 íàä Q òàêæå âûòåêàåò èç ïðèçíàêàÝéçåíøòåéíà. Òàêèì îáðàçîì, Q( 3√

2) = a+ b 3√

2 + c( 3√

2)2 : a, b, c ∈ Q ⊂R. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî i /∈ Q( 3√

2). Ïîýòîìó ìíîãî÷ëåí p(x) = x2 + 1íåïðèâîäèì íàä Q( 3√

2) è, ñëåäîâàòåëüíî,

[Q(i,3√

2) : Q(3√

2)] = deg(x2 + 1) = 2.Òàêèì îáðàçîì, èìååì [Q(i, 3√

2) : Q] = 6. Èñïîëüçóÿ ðàññóæäåíèå â òåî-ðåìå 6.88, íàéäåì ïðèìèòèâíûé ýëåìåíò ðàñøèðåíèÿ Q(i, 3√

2) : Q.Èòàê, äëÿ p(x) = x2 + 1 âñå êîðíè ñóòü u1 = u = i, u2 = −i.Äëÿ q(x) = x3 − 2 âñå êîðíè ñóòü υ1 = υ = 3√

2, υ2 = ω 3√

2, υ3 = ω2 3√

2.Óñëîâèå (6.22)

t 6= u− uiυj − υ

=i∓ i

ωk 3√

2− 3√

2, k = 1, 2,âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåõ t ∈ Q0.Ïîëîæèì ω = i + t 3

√2. Íàïðèìåð, ω = i + 3

√2. Òîãäà Q(i, 3

√2) =Q(i + 3

√2) è [Q(i+ 3

√2) : Q] = 6 Áûëî áû èíòåðåñíî íàéòè ìèíèìàëüíûéìíîãî÷ëåí p(x) ∈ Q[x] ýëåìåíòà i+ 3

√2 ∈ Q(i+ 3

√2). Êàê ýòî ñäåëàòü ìûïîêàæåì íåìíîãî ïîçæå. À ïîêà òîëüêî ÿñíî, ÷òî deg p(x) = 6.136

Ïðèìåð 6.90 (Êîíå÷íîå íåñåïàðàáåëüíîå ðàñøèðåíèå). Ñîãëàñ-íî òåîðåìå 6.86 ýòî äîëæíî áûòü êîíå÷íîå ðàñøèðåíèå áåñêîíå÷íîãî ïî-ëÿ íåíóëåâîé õàðàêòåðèñòèêè. Âîçüìåì ïîëå k = Fp(x). Ýòî áåñêî-íå÷íîå ïîëå chark = p. ßñíî, ÷òî k = Fr(A) ïîëå äðîáåé êîëüöàA = Fp[x]. Ìíîãî÷ëåí f(z) = zp − x ∈ A[z] íåïðèâîäèì. Äåéñòâèòåëü-íî, ïðèìåíèì êðèòåðèé Ýéçåíøòåéíà. Êîëüöî A = Fp[x] àêòîðèàëü-íî, à ïîýòîìó ïðîñòûå ýëåìåíòû ñîâïàäàþò ñ íåïðèâîäèìûìè. Ýëåìåíòx ∈ A íåïðèâîäèì. Â ñàìîì äåëå, åñëè áû x = h(x)g(x), (ãäå deg h > 1,deg g > 1), òî deg h · g > 2. Ïðîòèâîðå÷èå ïîêàçûâàåò, ÷òî x ïðî-ñòîé ýëåìåíò êîëüöà A = Fp[x]. Òàê êàê 1 6= 0(modx) è x 6= 0(modx2),òî ïî ïðèçíàêó Ýéçåíøòåéíà ìíîãî÷ëåí f(z) = zp − x ∈ A[z] íåïðèâî-äèì è ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíûì ìíîãî÷ëåíîì ýëåìåíòà p

√x ∈ k. Âîçü-ìåì ðàñøèðåíèå K := k( p

√x). Òîãäà [K : k] = deg f = p. Îäíàêî

f(z) = zp − x = zp − ( p√x)p = (z − p

√x)p ∈ K = k( p

√x), ò.å. êîðåíü

p√x ∈ K ìíîãî÷ëåíà f ∈ k[z] èìååò êðàòíîñòü p. Òàêèì îáðàçîì, ðàñøè-ðåíèå k( p

√x) : k êîíå÷íî, íî íå ñåïàðàáåëüíî.6.9. Íîðìàëüíûå ðàñøèðåíèÿÎïðåäåëåíèå 6.91. àñøèðåíèå K : k íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíûì, åñ-ëè: 1) îíî àëãåáðàè÷íî; 2) ëþáîé íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí p(x) ∈ k[x],èìåþùèé îäèí êîðåíü â K, ðàçëàãàåòñÿ â K.Äðóãèìè ñëîâàìè, â K âìåñòå ñ îäíèì êîðíåì α íåïðèâîäèìîãî ìíî-ãî÷ëåíà p(x) ëåæàò âñå ñîïðÿæåííûå. Èëè åùå, äëÿ ëþáîãî α ∈ K åãîìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí p(x) ðàçëàãàåòñÿ â K.Ïðèìåð 6.92. Ïóñòü k = Q, p(x) = x3 − 2 ∈ Q[x] íåïðèâîäèì. àñ-øèðåíèå K = Q( 3

√2) : Q íå ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíûì, èáî äâà äðóãèõ êîðíÿ

ω 3√

2 è ω2 3√

2, ãäå ω = exp2πi

3= −1

2+i√

3

2

, ω2 = exp4πi

3= −1

2− i√

3

2

íåëåæàò K.Ïðèìåð 6.93. Äëÿ ëþáîãî ïîëÿ k, ðàñøèðåíèå k : k íîðìàëüíî. Çäåñük àëãåáðàè÷åñêîå çàìûêàíèå k.Ïðèìåð 6.94. Ïóñòü K : k ïðîèçâîëüíîå àëãåáðàè÷åñêîå, íî íåíîðìàëüíîå ðàñøèðåíèå. Ïîñêîëüêó âñåãäà k ⊂ K ⊂ k, òî âìåñòå ñ ïðè-ìåðîì 6.93 èìååì, ÷òî ïðîìåæóòî÷íîå ïîëå íîðìàëüíîãî ðàñøèðåíèÿ íåîáÿçàòåëüíî íîðìàëüíî. Õîòÿ ñïðàâåäëèâàÒåîðåìà 6.95. Ïóñòü çàäàíû ðàñøèðåíèÿ ïîëåé k ⊂ E ⊂ K. Åñëèðàñøèðåíèå K : k íîðìàëüíî, òî è K : E íîðìàëüíî.137

Äîêàçàòåëüñòâî. ßñíî, ÷òî K : E àëãåáðàè÷íî. Èáî â ïðîòèâíîìñëó÷àå K : k áûëî áû òðàñöåíäåíòíûì. Ïóñòü α ∈ K è pk(x) ∈ k[x] ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí äëÿ α, à pE(x) ∈ E[x] òîæå ìèíèìàëüíûé ìíîãî-÷ëåí äëÿ α. Ïîñêîëüêó pk ∈ k[x] ⊂ E[x] è pk(α) = pE(α) = 0, òî pE äåëèò

pk â E[x]. Ïîýòîìó êàæäûé êîðåíü ìíîãî÷ëåíà pE ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíî-ãî÷ëåíà pk. Íî âñå êîðíè ìíîãî÷ëåíà pk ëåæàò â K ïî óñëîâèþ. Çíà÷èò,âñå êîðíè ìíîãî÷ëåíà pE ëåæàò â K, ò.å. K : E íîðìàëüíî. Ïðèìåð 6.96. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ñâîéñòâî íîðìàëüíîñòè ðàñøè-ðåíèÿ íå ÿâëÿåòñÿ òðàíçèòèâíûì (ñðàâíèòå ñî ñâîéñòâîì òðàíçèòèâíîñòèíîðìàëüíûõ ïîäãðóïï, ñì. ïðèìåð 2.44). Äðóãèìè ñëîâàìè, åñëè èìååìòðè ïîëÿ k ⊂ L ⊂ K òàêèå, ÷òî L : k è K : L íîðìàëüíû, òî K : k íåîáÿçàòåëüíî íîðìàëüíî. Íàïðèìåð, åñëè k = Q, L = Q(√

2), K = Q( 4√

2),òî L : k è K : L íîðìàëüíû, ïîñêîëüêó [L : k] = 2 è [K : L] = 2. Îäíàêî,ðàñøèðåíèå K : k íå ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíûì.Òåîðåìà 6.97. Äëÿ êîíå÷íîãî ðàñøèðåíèÿ K : k ñëåäóþùèå ñâîéñòâàýêâèâàëåíòíû:1) K : k íîðìàëüíî;2) êàæäûé k-ìîíîìîðèçì τ : K→ k ÿâëÿåòñÿ k-àâòîìîðèçìîì K.Äîêàçàòåëüñòâî. 1) ⇒ 2). Åñëè α ∈ K, p(x) ∈ k[x] ìèíèìàëü-íûé ìíîãî÷ëåí äëÿ α è τ : K → k åñòü k-ìîíîìîðèçì, òî τ(α) ñî-ïðÿæåííûé ê α êîðåíü ìíîãî÷ëåíà p(x). Òàêèì îáðàçîì, τ(K) ⊂ K èτ : K→ τ(K) k-èçîìîðèçì. Ïîñêîëüêó [K : k] < +∞, òî äâà êîíå÷íî-ìåðíûõ ïðîñòðàíñòâà τ(K) è K ÿâëÿþòñÿ k-èçîìîðíûìè òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà τ(K) = K.

2) ⇒ 1). Ïóñòü α ∈ K è p(x) ∈ k[x] ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí äëÿα. Ïóñòü β ∈ k ñîïðÿæåííûé ê α êîðåíü ìíîãî÷ëåíà p(x). Òîãäàβ îïðåäåëåò k-ìîíîìîðèçì (ñì. òåîðåìû 6.54, 6.57 è çàìå÷àíèå 6.56)τ : K→ k òàêîé, ÷òî τ(α) = β. Ïî óñëîâèþ τ ÿâëÿåòñÿ k-àâòîìîðèçìîì.Çíà÷èò, β ∈ K, ò.å. K : k íîðìàëüíî. Òåîðåìà 6.98. Äëÿ ðàñøèðåíèÿK : k ñëåäóùèå ñâîéñòâà ýêâèâàëåíò-íû:1) K : k êîíå÷íî è íîðìàëüíî;2) K ïîëå ðàçëîæåíèÿ íåêîòîðîãî ìíîãî÷ëåíà f ∈ k[x].Äîêàçàòåëüñòâî. 1) ⇒ 2). Ïóñòü [K : k] = n è α1, . . . , αn ∈ K áàçèñ K íàä k. Ïóñòü mi ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí äëÿ αi, i = 1, . . . , n.Ñëåäîâàòåëüíî, mi(αi) = 0 è, ïî ïðåäïîëîæåíèþ, mi ðàçëàãàåòñÿ â K.138

Òîãäà f = m1 · · ·mn ∈ k[x] ðàçëàãàåòñÿ â K. Åñëè áû f ∈ k[x] ðàçëàãàëñÿâ êàêîì-íèáóäü ïðîìåæóòî÷íîì ïîëå F, k ⊂ F ⊂ K, òî êîðíè α1, . . . , αnëåæàëè áû â F. Çíà÷èò, áûëî áû [F : k] = dimkF > n. À òàê êàê F ⊂ K,òî dimkF 6 dimkK = [K : k] = n. Ñëåäîâàòåëüíî, dimkF = dimkK è,çíà÷èò, F = K, ò.å. K ïîëå ðàçëîæåíèÿ äëÿ f .2)⇒ 1). Ïóñòü K ïîëå ðàçëîæåíèÿ äëÿ f ∈ k[x] è K = k(α1, . . . , αn)

αi ∈ K êîðíè f . Òîãäà, âî-ïåðâûõ, [K : k] < +∞. Äàëåå, ïóñòü τ : K→k ïðîèçâîëüíûé k-ìîíîìîðèçì. Òîãäà τ òîëüêî ïåðåìåøèâàåò êîðíèf , íå ìåíÿÿ k. Òàê êàê K = k(α1, . . . , αn), òî k ⊂ τ(K) ⊂ K. Ïîñêîëüêó[K : k] < +∞, à K è τ(K) ÿâëÿþòñÿ k-èçîìîðíûìè, òî τ(K) = K. Òàêèìîáðàçîì, τ : K→ K ÿâëÿåòñÿ k-àâòîìîðèçìîì. Ïî ïðåäûäóùåé òåîðåìå6.95 çàêëþ÷àåì, ÷òî K : k íîðìàëüíî. 6.10. Êîíå÷íûå ïîëÿÅñëè K êîíå÷íîå ïîëå, òî charK = p > 0. Ñëåäîâàòåëüíî, Fp ⊂ K è,î÷åâèäíî, ðàñøèðåíèå K : Fp êîíå÷íî. Ïîýòîìó |K| = |F[K:Fp]

p | = p[K:Fp].Òàêèì îáðàçîì, èìååìÒåîðåìà 6.99. Âñÿêîå êîíå÷íîå ïîëå K, charK = p > 0, ñîñòîèò èç

pd ýëåìåíòîâ, ãäå d = [K : Fp].Íàøåé ñëåäóþùåé çàäà÷åé áóäåò äîêàçàòü, ÷òî äëÿ êàæäîãî pd ñóùå-ñòâóåò êîíå÷íîå ïîëå èç pd ýëåìåíòîâ.Ëåììà 6.100. Ïóñòü K ïîëå. Ìíîæåñòâî

G = a ∈ K : an = 1âñåõ êîðíåé n-é ñòåïåíè èç 1 îáðàçóåò êîíå÷íóþ ïîäãðóïïó â K×.Äîêàçàòåëüñòâî. |G| 6 n (èáî êîðíåé xn − 1 = 0 â K íå áîëüøå n).Åñëè an = 1, bn = 1, òî (ab)n = 1, (a−1)n = 1. Òåîðåìà 6.101. Ëþáàÿ êîíå÷íàÿ ïîäãðóïïà Γ ìóëüòèïëèêàòèâíîéãðóïïû K× ïðîèçâîëüíîãî ïîëÿ K öèêëè÷íà.Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê Γ ⊂ K× êîíå÷íà, òî äëÿ ∀β ∈ Γ èìååì

βord β = 1. Âûáåðåì α ∈ Γ, òàêîé, ÷òî αN = 1, è N = maxβ∈Γ ordβ.Òîãäà äëÿ ëþáîãî β ∈ Γ èìååì n 6 N , ãäå n = ordβ. Çàïèøåì n =pm11 . . . pmr

r . Åñëè n íå äåëèò N , òî ñóùåñòâóåò ïðîñòîå p (ñðåäè p1, . . . , pr)òàêîå, ÷òî q ≡ pν |n è q ∤ N . Òîãäà αβn/q ∈ Γ, ordβn/q = q è ord(αβn/q) =139

ÍÎÊ (N, q) > N). ×òî ïðîòèâîðå÷èò âûáîðó N . Çíà÷èò, n|N . Ïîýòîìó

αkN/n ∈ Γ, 0 6 k < n), ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè óðàâíåíèÿ xn − 1 = 0. Ýòèõêîðíåé n è âñå îíè ðàçëè÷íû. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè αkN/n = αlN/n, 0 6

l < k < n, òî α(k−l)N/n = 1. Îòñþäà (k − l)N/n = N , ò.å. k − l = n.Íî k − l 6 n − 1. Òàêèì îáðàçîì, 1, αN/n, . . . , α(n−1)N/n ñóòü âñå êîðíèóðàâíåíèÿ xn − 1 = 0. Ïîñêîëüêó βn = 1, òî β = αkN/n äëÿ íåêîòîðîãî k.Òåì ñàìûì ìû äîêàçàëè, ÷òî Γ öèêëè÷íà è ïîðîæäàåòñÿ ýëåìåíòîì α. Ñëåäñòâèå 6.101.1. ðóïïà G ⊂ K âñåõ êîðíåé n-é ñòåïåíè èç 1öèêëè÷íà, à åå îáðàçóþùàÿ íàçûâàåòñÿ ïðèìèòèâíûì êîðíåì èç 1.Ñëåäñòâèå 6.101.2. Åñëè K êîíå÷íîå ïîëå, ñîñòîÿùåå èç q = pdýëåìåíòîâ, òî åãî ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ãðóïïà K× = a ∈ K : aq = 1öèêëè÷íà: K× = 1, ξ, ξq, . . . , ξq−1, (6.24)ãäå ξ ïðèìèòèâíûé êîðåíü èç 1.Òåîðåìà 6.102. Âñå ïîëÿ èç pd ýëåìåíòîâ Fp èçîìîðíû (ýêâèâà-ëåíòíû).Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü K êîíå÷íîå ïîëå, ñîñòîÿùåå èç q = pd ýëå-ìåíòîâ. Òîãäà |K×| = pd − 1, K× = a ∈ K : apd − 1 = 0 è, òåì ñàìûì,K = a ∈ K : ap

d − a = 0. Òàêèì îáðàçîì, K ÿâëÿåòñÿ ïîëåì ðàçëîæåíèÿìíîãî÷ëåíà xpd−x ∈ Fp[x]. À âñå òàêèå ïîëÿ ýêâèâàëåíòíû (ñì. ñëåäñòâèå6.58.1). Äî ñèõ ïîð ìû ãîâîðèëè ëèøü î ñâîéñòâàõ êîíå÷íûõ ïîëåé è íè÷åãî îáèõ ñóùåñòâîâàíèè. Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ãàðàíòèðóåò ñóùåñòâîâàíèå òàêèõïîëåé.Òåîðåìà 6.103. Äëÿ çàäàííûõ p è d ñóùåñòâóåò ïîëå èç pd ýëåìåí-òîâ. Åãî áóäåì îáîçíà÷àòü GF(pd), èëè Fpd .Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüìåì ìíîãî÷ëåí f(x) = xpd − x ∈ Fp[x]. Ïî-ñêîëüêó f ′(x) = −1 6= 0, òî óðàâíåíèå f(x) = 0 èìååò â Fp ðîâíî pdðàçëè÷íûõ êîðíåé. Ìíîæåñòâî ýòèõ êîðíåé îáîçíà÷èìK := a ∈ Fp : ap

d − a = 0,K ÿâëÿåòñÿ ïîäïîëåì â Fp. Äåéñòâèòåëüíî, 0, 1 ∈ K. Åñëè a, b ∈ K, òîap

d

= a, bpd

= b. Ñëåäîâàòåëüíî, (ab)pd

= ab, (a−1)pd

= (apd

)−1 = a−1,(a ± b)p

d

= apd ± bpd

= a ± b. Òàêèì îáðàçîì, K ïîëå ñ òðåáóåìûìèñâîéñòâàìè. 140

Òåîðåìà 6.104. Ëþáîå êîíå÷íîå ïîëå K = GF(pn) ïîëó÷àåòñÿ èç ïî-ëÿ Fp ïðèñîåäèíåíèåì ïðèìèòèâíîãî ýëåìåíòà ξ, ò.å. GF(pn) = Fp(ξ).Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 6.101.2 çàïèøåì K× â âèäå(6.24). Òîãäà ξ ∈ K× ⊂ K è Fp ⊂ K. Ñëåäîâàòåëüíî, K ⊂ Fp(ξ) ⊂ K. Çàìå÷àíèå 6.105. Ñîãëàñíî òåîðåìå 6.78, ðàñøèðåíèå GF(pn) : Fpñåïàðàáåëüíî, è òåîðåìà 6.104 ÿâëÿåòñÿ íå ÷åì èíûì, êàê âòîðûì ïóíêòîìòåîðåìû 6.88 (î ïðèìèòèâíîì ýëåìåíòå) äëÿ ñåïàðàáåëüíûõ ðàñøèðåíèé.Òåîðåìà 6.106. Âêëþ÷åíèå Fpm ⊂ Fpn èìååò ìåñòî òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà m|n.Äîêàçàòåëüñòâî. (⇒). Åñëè Fpm ⊂ Fpn , òî |Fpn | = |Fpm |[Fpn :Fpm ],ò.å. pn = pm[Fpn :Fpm ], èëè m|n.(⇐). Åñëè m|n, ò.å. n = km, òî äëÿ ëþáîãî u ∈ Fpm èìååì upm

= u.Îòñþäà upn

= upkm

= (upm

)p(k−1)m

= up(k−1)m

= . . . = u, ò.å. u ∈ Fpn . Òåîðåìà 6.107. Èìååò ìåñòî ðàâåíñòâîFp =

∞⋃

n=1

Fpn ,ïðè÷åì Fp : F ñåïàðàáåëüíî.Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê Fpn ⊂ Fp äëÿ ëþáîãî n, òî ⋃n>1Fpn ⊂ Fp.Îáðàòíî, ïóñòü u ∈ Fp. Çíà÷èò, u àëãåáðàè÷íî íàä Fp è [Fp(u) : Fp] = d <

+∞. Íî (ñì. òåîðåìó 6.104) Fp(u) = Fpd . Çíà÷èò, u ∈ Fpd ⊂ ⋃n>1Fpn .Òàêèì îáðàçîì, Fp =

⋃n>1Fpn . ßâíûå ïîñòðîåíèÿ. Äî ñèõ ïîð ìû èìåëè â íàëè÷èè ëèøü êîíå÷íîåïîëå Fp = ZpZ. Âñå äðóãèå ðàññóæäåíèÿ ýòîãî ïàðàãðàà áûëè òåîðå-òè÷åñêèìè. Òåì íå ìåíåå èç íèõ ìîæíî èçâëå÷ü ìíîãî ïîëüçû äëÿ êîí-ñòðóêöèè êîíå÷íûõ ïîëåé. Èòàê:1. Âñÿêîå êîíå÷íîå ïîëå K èìååò íåíóëåâóþ õàðàêòåðèñòèêó, charK =

p. Ñëåäîâàòåëüíî, K : Fp è [K : Fp] = n < +∞.2. Òîãäà |K| = pn, è ïîòîìó K îáîçíà÷àåòñÿ Fpn , èëè GF(pn).3. Âñå êîíå÷íûå ïîëÿ èç pn ýëåìåíòîâ ñóùåñòâóþò è ýêâèâàëåíòíûìåæäó ñîáîé. 141

4. ×òîáû ïîñòðîèòü Fpn , äîñòàòî÷íî íàéòè íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí

f ∈ Fp[x] òàêîé, ÷òî deg f = n, âçÿòü åãî êîðåíü ξ ∈ Fp è îáðàçîâàòü ïîëåFp(ξ). Ýòî è áóäåò Fpn .5. Âûáèðàÿ ðàçíûå íåïðèâîäèìûå ìíîãî÷ëåíû g ∈ Fp[x], deg g = n, èâûáèðàÿ ðàçíûå êîðíè η ∈ Fp ìíîãî÷ëåíà g, òåì íå ìåíåå áóäåì ïîëó÷àòüîäíî è òî æå ïîëå Fpn .6. Âñå íåíóëåâûå êîðíè ξ ìíîãî÷ëåíà f áóäóò óäîâëåòâîðÿòü óðàâíå-íèþ xpn−1 = 1, ò.å. ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè èç åäèíèöû.7. Íåêîòîðûå èç ýòèõ êîðíåé áóäóò ÿâëÿòüñÿ îáðàçóþùèìè ìóëüòè-ïëèêàòèâíîé ãðóïïû F×

pn .Ïðèìåð 6.108. Ïîñòðîèì ïîëåF4 = F22 ≡ GF(4) ⊃ F2 = Z/2Z.F4 ÿâëÿåòñÿ ïîëåì ðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíà x4 − x ∈ F2[x]. 0, 1 ∈ F2ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè x4 − x. Ïîýòîìó x4 − x = x(x − 1)p(x), ãäå p(x) ∈F2[x], deg p = 2 è p íåïðèâîäèì. Î÷åâèäíî, ÷òî â êîëüöå F2[x] èìååòñÿ 4ìíîãî÷ëåíà ñòåïåíè 2:

x2, x2 + 1, x2 + x, x2 + x+ 1.Òîëüêî îäèí èç íèõ íåïðèâîäèì. Ýòî p(x) = x2 +x+1. Ïóñòü ω ∈ F2 îäèíêîðåíü p(x). Íàéäåì âòîðîé êîðåíü u. Â F2[x] èìååì:

p(x) = x2 + x+ 1 = (x− ω)(x− u) = x2 − (u+ ω)x+ uω.Îòñþäà u+ ω = −1 (mod2), ò.å. u = −1− ω = 1− ω = 1 + ω,F4 = F2(ω) = α+ βω : α, β ∈ F2, ω2 = ω + 1 =

= 0, 1, ω, ω+ 1 = 0, 1, ω, ω2.Òàê êàê |F×4 | = 3, òî ϕ(3) = 2. Ïîýòîìó ó ãðóïïû F×

4 êðîìå ω äîëæåíâòîðîé êîðåíü u áûòü ïðèìèòèâíûì êîðíåì. Äåéñòâèòåëüíî, u0 = 1, u1 =1 + ω, u2 = (1 + ω)2 = 1 + 2ω + ω2 = 1 + ω2 = 1 + ω + 1 = ω.Ïðèìåð 6.109. Ïîñòðîèì ïîëå F9 = F32 . Îíî ÿâëÿåòñÿ ïîëåì ðàçëî-æåíèÿ ìíîãî÷ëåíà x9− x ∈ F3[x], èëè ïîëåì F3(u), ãäå u ∈ F3 êîðåíü ëþ-áîãî ïðèâåäåííîãî íåïðèâîäèìîãî ìíîãî÷ëåíà ñòåïåíè 2. Â êîëüöå F3[x]èìåþòñÿ 9 ïðèâåäåííûõ ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè 2: x2, x2 + 1, x2 − 1, x2 + x,x2−x, x2+x+1, x2+x−1, x2−x+1, x2−x−1. Ñðåäè íèõ òîëüêî 3 ÿâëÿþòñÿ142

íåïðèâîäèìûìè: f1(x) = x2+1, f2(x) = x2+x−1, f3(x) = x2−x−1. Ëåãêîâèäåòü, ÷òî x4 +1 = f2(x)f3(x). Òàêèì îáðàçîì, èìååì x9−x = x(x8−1) =x(x4−1)(x4+1) = x(x2−1)(x2+1)f2(x)f3(x) = x(x+1)(x−1)f1(x)f2(x)f3(x).Ïóñòü u êîðåíü ìíîãî÷ëåíà f1(x), ò.å. u2 + 1 = 0⇔ u2 = −1 = 2. Òîãäà(−u) ñîïðÿæåííûé êîðåíü.F9 = F3(u) = α+ βu : α, β ∈ F3, u

2 = −1 = 2 =

= 0, 1,−1, u,−u, 1 + u, 1− u,−1 + u,−1− u. (6.25)Òàê êàê (±u)4 = 1, òî ordu = ord(−u) = 4, ord(−1) = 2. Ïîýòîìó 1,−1, uè (−u) íå ÿâëÿþòñÿ îáðàçóþùèìè (ïðèìèòèâíûìè êîðíÿìè) ãðóïïû F×9 .Òàê êàê |F×

9 | = 8, òî ó ãðóïïû F×9 èìååòñÿ ðîâíî ϕ(8) = 4 îáðàçóþùèõ.Çíà÷èò, èìè áóäóò 1 + u, 1 − u, −1 + u, −1 − u. Ýòè ýëåìåíòû ÿâëÿþòñÿêîðíÿìè ìíîãî÷ëåíîâ f1(x) è f2(x). Ìîæíî ïðîâåðèòü íåïîñðåäñòâåííî,÷òî 1± u êîðíè ìíîãî÷ëåíà f2, à −1± u êîðíè ìíîãî÷ëåíà f1(x).Çàìå÷àíèå 6.110. Êîðíè êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ f1(x) = 0 è f2(x) =

0 ìîæíî íàéòè îáû÷íûì øêîëüíûì ñïîñîáîì. Íàïðèìåð, ðåøèì óðàâíå-íèå x2 +x−1 = 0. Åãî êîðíè îáîçíà÷èì ϑ1,2 =−1±

√1 + 4

2=−1±

√5

−1=

(−1)(−1±√

2) = (−1)(−1±√u2) = 1±u. Ïðîâåðèì, íàïðèìåð, ÷òî ϑ = 1+uÿâëÿåòñÿ îáðàçóþùåé ãðóïïû F×

9 :ϑ0 = 1,

ϑ1 = 1 + u,

ϑ2 = 1 + 2u+ u2 = 2u = −u,ϑ3 = (−u)(1 + u) = −u− u2 = 1− u,ϑ4 = (ϑ2)2 = u2 = −1,

ϑ5 = −ϑ = −1− u,ϑ6 = ϑ4 ∗ ϑ2 = −(−u) = u,

ϑ7 = ϑ ∗ ϑ6 = (1 + u)u = −u+ u2 = −1− u.

(6.26)

Ñðàâíèâàÿ (6.25) è (6.26), ïîëó÷àåìF×9 = ϑ0, ϑ1, ϑ2, ϑ3, ϑ4, ϑ5, ϑ6, ϑ7.Äëÿ ëþáîãî ïîëÿ K ìû îáîçíà÷èì AutK ãðóïïó àâòîìîðèçìîâïîëÿ K îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè êîìïîçèöèè. Íàøà áëèæàéøàÿ çàäà÷à 143

âûÿñíèòü ñòðóêòóðó ãðóïïû AutGF(pn). Òàê êàê GF(pn) êîíå÷íîåïîëå è charGF(pn) = p, òî, ñîãëàñíî ëåììå 6.74, îòîáðàæåíèå Ôðîáåíèóñà

ϕ : GF(pn) ∋ x→ xp ∈ GF(pn) ÿâëÿåòñÿ àâòîìîðèçìîì, ò.å. AutGF(pn)íåòðèâèàëüíà è ϕ ∈ AutGF(pn). Îêàçûâàåòñÿ ñïðàâåäëèâàÒåîðåìà 6.111. ðóïïà AutGF(pn) öèêëè÷íà ïîðÿäêà n ñ îáðàçóþ-ùåé ϕ, ò.å.

AutGF(pn) = 1, ϕ, ϕ2, . . . , ϕn−1.Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê GF(pn) = Fp(ξ) è f(x) ∈ Fp[x] ìèíè-ìàëüíûé ìíîãî÷ëåí äëÿ ξ, òî

deg f = [GF(pn) : Fp] = n.×èñëî àâòîìîðèçìîâ Fp(ξ)→ Fp(ξ)ðàâíî ÷èñëó ðàçëè÷íûõ êîðíåé ìíîãî÷ëåíà f(x) ëåæàùèõ â Fp(ξ) (òåîðåìà6.54). Íî ÷èñëî âñåõ êîðíåé ìíîãî÷ëåíà f íå ïðåâîñõîäèò n = deg f . Òàêèìîáðàçîì,

|AutGF(pn)| 6 n. (6.27)Òàê êàê äëÿ âñåõ x ∈ GF(pn) èìååì xpn

= x, ò.å. ϕn = I, òî ìîæíîîáðàçîâàòü öèêëè÷åñêóþ ãðóïïó Gϕ ñ îáðàçóþùåé ϕ:

Gϕ := 1, ϕ, ϕ2, . . . , ϕd−1, d ïîðÿäîê ãðóïïû Gϕ.Òàê êàê ϕn = 1, òî

d 6 n.Íî

ϕd = 1⇔ ϕd(x) = x, ∀x ∈ GF(pn)⇔ xpd

= x, ∀x ∈ GF(pn) (6.28)Òàêèì îáðàçîì, âñå ýëåìåíòû èç GF(pn) ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè óðàâíåíèÿxp

d − x = 0, ò.å. GF(pn) ⊂ x ∈ Fp : xpd − x = 0.Çíà÷èò,

pn 6 deg(xpd − x) = pd, ò.å. n 6 d. (6.29)Èç (6.28) è (6.29) èìååì d = n, ò.å. Gϕ = 1, ϕ, . . . , ϕn−1. Çíà÷èò, |Gϕ| = n.Îòñþäà è èç (6.27)

|Gϕ| > |AutGF(pn)|.144

Íî, òàê êàê Gϕ ⊂ AutGF(pn), òî Gϕ = AutGF(pn). 6.11. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ïîëèíîì, íîðìà è ñëåäýëåìåíòà èç ðàñøèðåíèÿ ïîëÿÏóñòü èìååòñÿ ðàñøèðåíèåK : k, ïðè÷åì [K : k] = n, è a ∈ K. Âûáåðåìe1, e2, . . . , en ∈ K áàçèñ K íàä k. Ýëåìåíò a ∈ K îïðåäåëÿåò k-ëèíåéíîåîòîáðàæåíèå

Ma : K ∋ x→ ax ∈ K.Ýòî îòîáðàæåíèå â áàçèñå e = (e1, e2, . . . , en) çàäàåòñÿ ìàòðèöåé A = (aij),ãäå aij ∈ k,aek = Maek =

n∑

i=1

akiei,èëè â ìàòðè÷íîì îáîçíà÷åíèèae = Ae, (6.30)ãäå

e =

e1e2...en

∈ Kn.àâåíñòâî (6.30) îçíà÷àåò

(aI −A)e = 0. (6.31)Òàê êàê e 6= 0, òî èç (6.31) ñëåäóåò

det(aI −A) = 0, (6.32)(èáî â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ñóùåñòâóåò (aI −A)−1, è, çíà÷èò, e = 0). àâåí-ñòâî (6.32) îçíà÷àåò, ÷òî a ∈ K ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà

det(zI −A) ∈ k[z].Îïðåäåëåíèå 6.112. Ìíîãî÷ëåí det(zI − A) ÿâëÿåòñÿ ïðèâåäåííûì,èìååò ñòåïåíü n, åãî êîýèöèåíòû ïðèíàäëåæàò k. Îí íàçûâàåòñÿ õà-ðàêòåðèñòè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì ýëåìåíòà a îòíîñèòåëüíî k, èëè íàä k.145

Ïîä÷åðêíåì, ÷òî õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ýëåìåíòà a íàä k çà-âèñèò íå òîëüêî îò a è k, íî òàêæå è îò ïîëÿ K. Ýòà çàâèñèìîñòü âèäíàóæå èç òîãî, ÷òî åãî ñòåïåíü ðàâíà n = [K : k] ñòåïåíè ðàñøèðåíèÿK : k. Îäíàêî ñïðàâåäëèâàÒåîðåìà 6.113. Ìíîãî÷ëåí det(zI −A) íå çàâèñèò îò âûáîðà áàçèñà

e1, . . . , en.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü e′1, e′2, . . . , e′n äðóãîé áàçèñ ïîëÿ K : k. Òî-ãäà

e′i =

n∑

j=1

bijej è ei =

n∑

j=1

b′ije′j, bij , b

′ij ∈ k,èëè â ìàòðè÷íîì âèäå

e′ = Be, e = B′e′. (6.33)Îòêóäà

e = B′Be, e′ = BB′e′.Ïîñêîëüêó âåêòîðû e è e′ áàçèñíûå, òî (6.33) âëå÷åò

B′B = BB′ = Ikn , ò.å. B′ = B−1.Àíàëîãè÷íî ðàâåíñòâó (6.30) ïîëó÷èì

ae′ = A′e′. (6.34)Èç (6.34) è (6.33) èìååì

aBe = A′Be.Ïðÿìîå âû÷èñëåíèå äàåò

aBe = Bae.Ñëåäîâàòåëüíî, Bae = aBe = A′Be. Íî ae = Ae, ïîýòîìóBAe = A′Be. (6.35)Ïîñêîëüêó e áàçèñíûå âåêòîðû â K, òî (6.35) îçíà÷àåò, ÷òî BA = A′B,ò.å.

A′ = BAB−1.Òåïåðü èìååì zI−A′ = zI−BAB−1 = B(zI−A)B−1. Îòñþäà det(zI−A′) =det(zI −A). 146

Îïðåäåëåíèå 6.114. Íîðìîé ýëåìåíòà a â ðàñøèðåíèè K : k íàçû-âàþò

NK:k(a) := detA,à ñëåäîì ýëåìåíòà a â ðàñøèðåíèè K : k íàçûâàþòtrK:k(a) := trA =

n∑

k=1

ak.Çàìå÷àíèå 6.115. Íåçàâèñèìîñòü NK:k(a) îò âûáîðà áàçèñà(e1, . . . , en) âûòåêàåò èç òåîðåìû 6.113 ïðè z = 0. Íåçàâèñèìîñòü æåtrK:k(a) îò áàçèñà âûòåêàåò èç ñëåäóþùåé ëåììû.Ëåììà 6.116. Äëÿ ëþáûõ äâóõ ìàòðèö A,B ðàçìåðà m× n ñïðàâåä-ëèâî ðàâåíñòâî

trAB = trBA.Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè A = (aij), B = (bij), òî trAB =∑mi=1

∑nj=1 aijbij = trBA. Îòñþäà (ñì. îáîçíà÷åíèå òåîðåìû 6.113) trA′ = tr(BAB−1) =

tr(ABB−1) = trA.Òåîðåìà 6.117. Ïóñòüdet(zI −A) = zn + b1z

n−1 + . . .+ bn−1z + bn, (6.36)òîãäàNK:k(a) = (−1)nbn, (6.37)

trK:k(a) = −b1, (6.38)÷òî åùå ðàç äîêàçûâàåò íåçàâèñèìîñòü íîðìû è ñëåäà îò âûáîðà áàçèñà.Äîêàçàòåëüñòâî. àâåíñòâî (6.37) ïîëó÷àåòñÿ ïîäñòàíîâêîé z = 0 âðàâåíñòâî (6.36). àâåíñòâî (6.38) ïîëó÷àåòñÿ ðàñêðûòèåì îïðåäåëèòåëÿ

det(zI−A). Äåéñòâèòåëüíî, ðàñêðûâàÿ det(zI−A) ïî ïåðâîé ñòðîêå, áóäåìèìåòü:det(zI −A) = (z − a11)M11(z) + a12M12(z)−

− a13M13 + . . .+ (−1)na1nM1n(z). (6.39)147

Çäåñü M1j(z) îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû, êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ èç ìàòðèöû

zI −A âû÷åðêèâàíèåì ïåðâîé ñòðîêè è j-ãî ñòîëáöà, ïîýòîìó

degM11 = n− 1, degM1j = n− 2, j = 2, . . . , n.Ó÷èòûâàÿ ýòî, (6.39) ïåðåïèøåì â âèäå

det(zI −A) = (z − a11)M11(z) + f1(z), deg f1 6 n− 2.àçëàãàÿ îïðåäåëèòåëü M11(z) ïî ïåðâîé ñòðîêå, ïîëó÷èì

M11(z) = (z − a22)M111(z) + f2(z), deg f2 6 n− 3.ÇäåñüM1

11(z) îïðåäåëèòåëü ãëàâíîãî ìèíîðà ìàòðèöû M11. Ïðîäîëæàÿïðîöåññ, ïîëó÷èì

det(zI −A) =

m∏

k=1

(z − akk) + f(z), deg f 6 n− 2. (6.40)Èç (6.40) âûòåêàåò b1 = −∑nk=1 akk, ò.å. (6.38). Òåîðåìà 6.118. Íîðìû è ñëåäû îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:1) N(a · b) = N(a)N(b);2) N(a) = an, åñëè a ∈ k;3) tr(a+ b) = tr(a) + tr(b);4) tr(λa) = λ tr(a), λ ∈ k;5) tr a = na, a ∈ k.Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè äëÿ âûáðàííîãî áàçèñà e = (e1, . . . , en) èìååì

ae = Ae è be = Be, òî abe = ABe è (a+ b)e = (A+B)e. Îòñþäà ñëåäóåò 1)è 3). Åñëè a ∈ k, òî A åñòü äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà aI ðàçìåðíîñòè n× n.Îòñþäà èç îïðåäåëåíèé íîðìû è ñëåäà èìååì 2) è 5); 4) òàêæå âûòåêàåòèç îïðåäåëåíèÿ. Çàìå÷àíèå 6.119. Òàêèì îáðàçîì, íîðìà NK:k ÿâëÿåòñÿ ìóëüòèïëè-êàòèâíûì ãîìîìîðèçìîì K× â k×NK:k : K× → k×,à ñëåä trK:k k-ëèíåéíûì óíêöèîíàëîì

trK:k : K→ k.Òàêæå êàê è õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí, íîðìà è ñëåä ýëåìåíòà a ∈ Kçàâèñÿò íå òîëüêî îò a è k, íî è îò K. Âûÿñíèì ýòó çàâèñèìîñòü.148

Òåîðåìà 6.120. Ïóñòü èìååòñÿ åùå îäíî ðàñøèðåíèå L : K, ïðè÷åì[L : K] = m è a ∈ K. Òîãäà

NL:k(a) = [NK:k(a)]m, trL:k(a) = m trK:k(a). (6.41)Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ω1, ω2, . . . , ωm ∈ L áàçèñ L íàä K. Êàê ìûçíàåì (òåîðåìà 6.23), ýëåìåíòû (ekωj), 1 6 k 6 n, 1 6 j 6 m îáðàçóþòáàçèñ L íàä k. àñïîëîæèì åãî ñëåäóþùèì îáðàçîì:Ω ≡ e1ω1, e2ω1, . . . , enω1; e1ω2, . . . , enω2; . . . , e1ωm, e2ωm, . . . , enωm.Òîãäà èìååì

ae1ω1

ae2ω1...aenω1...ae1ωmae2ωm...aenωm

=

a11a12 . . . a1n

. . .an1an2 . . . a1n

0. . .0

a11a12 . . . a1n

. . .an1an2 . . . a1n

e1ω1

e2ω1...

enω1...

e1ωme2ωm...

enωm

,

ò.å. aΩ = AΩ. Îòñþäà ïîëó÷àåì (6.41). Ýòèìè æå ðàññóæäåíèÿìè ïîëó÷àåìÒåîðåìà 6.121. Åñëè óíêöèÿ f(x) õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåíýëåìåíòà a íàä k êàê ýëåìåíòà K, à F (x) õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî-÷ëåí ýëåìåíòà a, êàê ýëåìåíòà L, [L : K] = m, òî

F (x) = f(x)m.Êàê ñëåäñòâèå ïîëó÷àåìÒåîðåìà 6.122. Åñëè p(x) ∈ k[x] ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí ýëåìåí-òà a ∈ K, à f(x) = det(xI − A) õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ýòîãîýëåìåíòà, òî f(x) áóäåò ñòåïåíüþ ìíîãî÷ëåíà p(x) è f(x) = p(x) òî-ãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà a ïðèìèòèâíûé ýëåìåíò ïîëÿ K íà k, ò.å.êîãäà K = k(a). 149

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü deg p = s è g(x) õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíî-ãî÷ëåí a, êàê ýëåìåíòà k(a) ⊂ K. Òàê êàê [k(a) : k] = deg p = s, òî

deg g = s. Ïîñêîëüêó g(a) = 0, p(x) ìèíèìàëüíûé äëÿ a, òî (òåî-ðåìà 6.19) p(x) = g(x) (èáî p è g îáà óíèòàðíûå ïðèâåäåííûå). Ñî-ãëàñíî òåîðåìå 6.121, f(x) = [g(x)][K:k(a)] = p(x)[K:k(a)]. Îòñþäà ñëåäóåò,÷òî f(x) = p(x) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà [K : k(a)] = 1, ò.å. êîãäàK = k(a). Åñëè âûáðàòü L : K, â êîòîðîì õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí f(x)ðàçëàãàåòñÿ íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè (íàïðèìåð, ïîëå ðàçëîæåíèÿ f èëèL = k àëãåáðàè÷åñêîå çàìûêàíèå k)

f(x) = (x − a1) · . . . · (x− an),ãäå a1 = a è ak (k = 2, . . . , n) ñîïðÿæåííûå ê a êîðíè (ñ ó÷åòîì êðàò-íîñòåé), òî ñîãëàñíî (6.36), (6.37), (6.38), áóäåì èìåòü

Nk(a):k(a) = a1a2 . . . an, (6.42)

trk(a):k(a) =

n∑

k=1

ak. (6.43)Ñîãëàñíî òåîðåìå 6.54, êàæäîìó êîðíþ ai, i = 1, . . . , n, ñîîòâåòñòâóåòðîâíî îäèí k-èçîìîðèçì

σi : k(a)→ k(ai) ⊂ k,ïðè êîòîðîì ai = σi(a). Åñëè îáîçíà÷èòü ÷åðåç G ìíîæåñòâî âñåõ ðàçëè÷-íûõ k-èçîìîðèçìîâ èç k(α) â k è ïðåäïîëîæèòü, ÷òî a ñåïàðàáåëüíûéýëåìåíò (òîãäà è ðàñøèðåíèå k(a) : k ñåïàðàáåëüíî, òåîðåìà 6.83), òî îð-ìóëû (6.42) è (6.43) çàïèøóòñÿ â âèäå

Nk(a):k(a) =∏

σ∈Gσ(a),

trk(a):k(a) =∑

σ∈Gσ(a).àññìîòðèì ïðèìåðû.Ïðèìåð 6.123. àññìîòðèì ðàñøèðåíèå Q(

√2) : Q. Ïîñêîëüêó x2 −

2 ∈ Q[x] ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíûì ìíîãî÷ëåíîì äëÿ √2 è deg(x2 − 2) = 2,òî [Q(√

2) : Q] = 2. 150

Î÷åâèäíî, x2 − 3 ∈ Q[x] ⊂ Q(√

2)[x].Ìíîãî÷ëåí x2− 3 íåïðèâîäèì íàä Q(√

2). Ýòî ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî√3 /∈ Q(

√2). Â ñàìîì äåëå, åñëè √3 ∈ Q(

√2), òî ýòî îçíà÷àåò √3 =

a+ b√

2 (a, b ∈ Q), èëè

3 = a2 + 2b2 + 2ab√

2.Îòñþäà ñëåäóåò:1) åñëè ab 6= 0, òî √2 =3− a2 − 2b2

2a∈ Q;2) åñëè a = 0, òî 3 = 2b2, èëè √6 = 2b ∈ Q;3) åñëè b = 0, òî √3 = a ∈ Q.Òàêèì îáðàçîì, ìíîãî÷ëåí x2 − 3 ∈ Q(√

2)[x] ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíûìäëÿ √3. Ïîýòîìó [Q(√

2,√

3) : Q(√

2)] = 2. Ïî òåîðåìå 6.23, [Q(√

2,√

3) :Q] = 4 è 1,√2,√

3,√

6 áàçèñ Q(√

2,√

3) íàä Q. Ïî òåîðåìå 6.88,ñóùåñòâóåò α ∈ Q(√

2,√

3) òàêîé, ÷òî Q(√

2,√

3) = Q(α).àññóæäàÿ êàê â òåîðåìå 6.88 (èëè ïðèìåðå 6.89), íàõîäèì, ÷òî â êà-÷åñòâå α ìîæíî âçÿòü √2 + t√

3, ãäå t ëþáîå èç Q \ 0.Âïðî÷åì, ýòî ìîæíî ïîêàçàòü ýëåìåíòàðíûìè ñðåäñòâàìè. Äåéñòâè-òåëüíî, òàê êàê √2 + t√

3 ∈ Q(√

2,√

3), òî Q(√

2 + t√

3) ⊂ Q(√

2,√

3).Ïîñêîëüêó (√

2 + t√

3)(√

2 − t√

3) = 2 − 3t2 ∈ Q[x] ⊂ Q(√

2 + t√

3)[x],òî √2 − t√

3 = (√

2 + t√

3)−1(2 − 3t2) ∈ Q(√

2 + t√

3). Çíà÷èò, √2,√

3 ∈Q(√

2 + t√

3). Ïîýòîìó Q(√

2,√

3) = Q(√

2 + t√

3).Íàéäåì ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí pt(x) ∈ Q[x] ïðèìèòèâíîãî ýëåìåíòà

αt =√

2 + t√

3, t ∈ Q, t 6= 0.Äëÿ ýòîãî, ñîãëàñíî òåîðåìå 6.122, íåîáõîäèìî íàéòè ìàòðèöó At :Q(√

2,√

3) → Q(√

2,√

3), îïðåäåëÿåìóþ ýëåìåíòîì αt. Âû÷èñëèì õàðàê-òåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí det(xI − At). Ñîãëàñíî òåîðåìå 6.122, îí è áó-äåò ìèíèìàëüíûì ìíîãî÷ëåíîì äëÿ αt. Äëÿ ýòîãî ïðèìåíèì αt ê áàçèñó

1,√

2,√

3,√

6 è ïîëó÷èì

αt = (√

2 + t√

3)

1√2√3√6

=

At

1√2√3√6

.Îòñþäà

At =

0 1 t 02 0 0 t3t 0 0 10 3t 2 0

, xI −At =

x −1 −t 0−2 x 0 −t−3t 0 x −10 −3t −2 x

.151

Ïîýòîìó

pt(x) = det(xI −At) = x4 − 2(2 + 3t2)x2 + (9t4 − 12t+ 4).Ïîñêîëüêó

α2t = (

√2 + t

√3)2 = 2 + 3t2 + 2t

√6,

α4t = (2 + 3t2)2 + 24t2 + 4t(2 + 3t2)

√6,òî pt(αt) = 0.Íàïðèìåð,

t = 1, α1 =√

2 +√

3, p1(x) = x4 − 10x+ 1;

t = −1, α1 =√

2−√

3, p−1(x) = x4 − 10x+ 25.Ñëåäîâàòåëüíî,Q(√

2 +√

3) = Q(√

2,√

3) = Q(√

2−√

3).Ïðèìåð 6.124. Â ïðèìåðå 6.89 ìû ðàññìîòðåëè ðàñøèðåíèåQ(i, 3√

2) : Q è ïîêàçàëè, ÷òî [Q(i, 3√

2) : Q] = 6 è (1, 3√

2, 3√

4, i, i 3√

2, i 3√

4)îáðàçóþò áàçèñ Q(i, 3√

2) íàä Q, à òàêæå , ÷òî α = i+ 3√

2 ÿâëÿåòñÿ ïðèìè-òèâíûì ýëåìåíòîì ýòîãî ðàñøèðåíèÿ, ò.å. Q(i, 3√

2) = Q(i+ 3√

2).×òîáû âû÷èñëèòü ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí p(x) ýëåìåíòà i + 3√

2, ïî-ñòóïàåì, êàê â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå:

(i+3√

2)

13√

23√

4i

i 3√

2

i 3√

4

=

0 1 0 1 0 00 0 1 0 1 02 0 0 0 0 1−1 0 0 0 1 00 −1 0 0 0 10 0 −1 2 0 0

13√

23√

4i

i 3√

2

i 3√

4

.Îòñþäà

xI −At =

x −1 0 −1 0 00 x −1 0 −1 0−2 0 x 0 0 −11 0 0 x −1 00 1 0 0 x −10 0 1 −2 0 x

.

152

Òîãäà p(x) ≡ det(xI−A) = x6+3x4−4x3+3x2+12x+5 ìèíèìàëüíûéìíîãî÷ëåí äëÿ λ = 3√

2 + i. Äåéñòâèòåëüíî,λ =

3√

2 + i;

λ2 = (3√

4− 1) + i · 2 3√

2;

λ3 = (−33√

2 + 2) + i(33√

4− 1);

λ4 = (−63√

4 + 23√

2 + 1) + i(−43√

2 + 8);

λ6 = (153√

4− 303√

2 + 3) + i(123√

4 + 63√

2− 40).Òåïåðü ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî p(λ) = 0.6.12. Òðàíñöåíäåíòíûå ðàñøèðåíèÿÎïðåäåëåíèå 6.125. Ïóñòü äàíî ðàñøèðåíèå K : k. Íàïîìíèì, ÷òîýëåìåíòû (ñì. îïðåäåëåíèå 6.17) α1, . . . , αn ∈ K íàçûâàþòñÿ àëãåáðàè÷å-ñêè íåçàâèñèìûìè íàä k, åñëè îíè íå ñâÿçàíû íèêàêèìè àëãåáðàè÷åñêèìèñîîòíîøåíèÿìè, ò.å. íå ñóùåñòâóåò íèêàêîãî ìíîãî÷ëåíà f ∈ k[x1, . . . , xn]òàêîãî, ÷òî f(α1, . . . , αn) = 0.Áåñêîíå÷íîå ñåìåéñòâî S ⊂ K íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêè íåçàâèñèìûì,åñëè êàæäîå åãî êîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî àëãåáðàè÷åñêè íåçàâèñèìî.Ñåìåéñòâî, êîòîðîå íå ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêè íåçàâèñèìûì, íàçûâà-åòñÿ àëãåáðàè÷åñêè çàâèñèìûì.Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèé âûòåêàåò, ÷òî ëþáîå ïîäìíîæåñòâîàëãåáðàè÷åñêè íåçàâèñèìîãî ìíîæåñòâà àëãåáðàè÷åñêè íåçàâèñèìî. Â÷àñòíîñòè, àëãåáðàè÷åñêè íåçàâèñèìîå ìíîæåñòâî ñîñòîèò èç òðàíñöåí-äåíòíûõ ýëåìåíòîâ.Çàìå÷àíèå 6.126. Íàîáîðîò íå âåðíî, ò.å. ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èçòðàíñöåíäåíòíûõ ýëåìåíòîâ, ìîæåò áûòü àëãåáðàè÷åñêè çàâèñèìûì. Íà-ïðèìåð, e è 1− e òðàíñöåíäåíòíû íàä Q, îäíàêî îíè äàæå ëèíåéíî çàâè-ñèìû (äîñòàòî÷íî âçÿòü f(x1, x2) = x1 + x2 − 1).Çàìå÷àíèå 6.127. ×èñëà π è e òðàíñöåíäåíòíû íàä Q. Åñòü ïîäî-çðåíèå, ÷òî îíè àëãåáðàè÷åñêè íåçàâèñèìû, îäíàêî íà ñåãîäíÿ (01.02.2013)ýòî íå äîêàçàíî.Òàêæå ìû âèäèì, ÷òî ëþáîå ìíîæåñòâî B, ñîäåðæàùåå àëãåáðàè÷åñêèçàâèñèìîå ìíîæåñòâî A, àëãåáðàè÷åñêè çàâèñèìî (èáî â ïðîòèâíîì ñëó÷àå

A áûëî áû òîæå àëãåáðàè÷åñêè íåçàâèñèìûì).153

Òåîðåìà 6.128. Ýëåìåíòû t, s ∈ K àëãåáðàè÷åñêè çàâèñèìû òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà t àëãåáðàè÷íî íàä k(s) (à çíà÷èò, s àëãåáðàè÷íî íàäk(t)).Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî åñëè t àëãåáðàè÷íî íàä k(s),òî s àëãåáðàè÷íî íàä k(t). Äåéñòâèòåëüíî, åñëè t àëãåáðàè÷íî íàä k(s),òî ñóùåñòâóåò p ∈ k(s)[x], òàêîé, ÷òî p(t) = 0, ãäå

p(x) = a0(s) + a1(s)x + . . .+ an(s)xn, ak(s) ∈ k(s). (6.44)Òàê êàê ak(s) =

αk(s)

βk(s)

, ãäå αk, βk ∈ k[s]. Óìíîæèâ (6.44) íà ∏mk=1 βk(s),ïîëó÷èì ìíîãî÷ëåí q(x) ∈ k[s][x] è q(t) = 0. Òàêèì îáðàçîì, â (6.44) ìîæ-íî ñ÷èòàòü, ÷òî âñå ak(s) ïðèíàäëåæàò k[s]. Çàïèøåì (6.44) ïî ñòåïåíÿì

s è, ïîäñòàâèâ x = t, ïîëó÷èì

0 = p(t) = b0(t) + b1(t)s+ . . .+ bm(t)sm, bk(x) ∈ k[x],ò.å. s àëãåáðàè÷åí íàä k(t).Òåïåðü äîêàæåì äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü t àëãåáðàè÷åí íàä k(s), ò.å.

p(t) = 0 äëÿ ìíîãî÷ëåíà (6.44), ãäå ak ∈ k[s]. Çàïèñûâàÿ ìíîãî÷ëåíû

ak(s), âèäèì, ÷òî

0 = p(t) ≡ f(t, s), ãäå f ∈ k[x, y].Îáðàòíî, åñëè t, s àëãåáðàè÷åñêè çàâèñèìû, òî ñóùåñòâóåò f ∈ k[x, y]òàêîé, ÷òî f(t, s) = 0. Íî ïîñêîëüêó k[x, y] = k[x][y], òî f(x, y) = a0(x) +a1(x)y + . . .+ an(x)y

n. Ïîýòîìó t àëãåáðàè÷íî íàä k(s). Â ñâÿçè ñ ýòîé òåîðåìîé äàäèìÎïðåäåëåíèå 6.129. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ýëåìåíò t ∈ K àëãåáðàè÷å-ñêè çàâèñèò îò ìíîæåñòâà S ⊂ K, åñëè t àëãåáðàè÷íî íàä k(S).Ìíîæåñòâî T ⊂ K àëãåáðàè÷åñêè çàâèñèò îò S ⊂ K, åñëè êàæäûéýëåìåíò t ∈ T àëãåáðàè÷åí íàä k(S).Òàêèì îáðàçîì, t íå çàâèñèò àëãåáðàè÷åñêè îò ìíîæåñòâà S ⊂ K, åñëèt òðàíñöåíäåíòíî íàä k(S).Â äàëüíåéøåì íàì ïîíàäîáèòñÿ ñëåäóþùàÿÒåîðåìà 6.130. Ïóñòü K : k ðàñøèðåíèå è a, b, c ∈ K. Åñëè càëãåáðàè÷åñêè çàâèñèò îò b, à b îò a, òî c àëãåáðàè÷åñêè çàâèñèòîò a. 154

Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì áàøíþ àëãåáðàè÷åñêèõ ðàñøèðåíèék(a) ⊂ k(a, b) ⊂ k(a, b, c).Ïîýòîìó c àëãåáðàè÷åí íàä k(a). Òåîðåìà 6.131. Ìíîæåñòâî s1, s2, . . . , sn àëãåáðàè÷åñêè íåçàâèñè-ìî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäûé si íå çàâèñèò àëãåáðàè÷åñêè îòîñòàëüíûõ.Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Îò îáðàòíîãî. Ïóñòü

s1, s2, . . . , sn àëãåáðàè÷åñêè íåçàâèñèìî, íî, íàïðèìåð, sn çàâèñèòîò s1, s2, . . . , sn−1, ò.å. sn àëãåáðàè÷íî íàä k(s1, s2, . . . , sn−1). Ýòîçíà÷èò, ÷òîa0 + a1sn + . . .+ ams

mn = 0, ai ∈ k(s1, s2, . . . , sn−1). (6.45)Óìíîæàÿ (6.45) íà ïðîèçâåäåíèå âñåõ çíàìåíàòåëåé ak, ïîëó÷àåì, ÷òî

f(s) = 0 äëÿ íåêîòîðîãî f ∈ k[x1, x2, . . . , xn] (ãäå íå âñå êîýèöèåíòûðàâíû íóëþ) , ò.å. s1, s2, . . . , sn àëãåáðàè÷åñêè çàâèñèìî.Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü f(s1, s2, . . . , sn) = 0 è ïóñòü f ðàñïîëîæåíîïî ñòåïåíÿì sn. Òîãäà âñå êîýèöèåíòû fi(s1, s2, . . . , sn−1) ýòîãî ìíî-ãî÷ëåíà f äîëæíû áûòü ðàâíû íóëþ. Ïðîäîëæàÿ ïî èíäóêöèè, â êîíöåêîíöîâ óñòàíîâèì, ÷òî êîýèöèåíòû ìíîãî÷ëåíà f(x1, x2, . . . , xn) = 0ðàâíû íóëþ. Ñëåäñòâèå 6.131.1. Ìíîæåñòâî S ⊂ K àëãåáðàè÷åñêè íåçàâèñèìîòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäûé s ∈ S íå çàâèñèò àëãåáðàè÷åñêè îòîñòàëüíûõ ýëåìåíòîâ S \ s.Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Îò îáðàòíîãî. Ïóñòü S àëãåá-ðàè÷åñêè íåçàâèñèìî, íî êàêîé-òî s0 ∈ S àëãåáðàè÷åñêè çàâèñèò îò

S \ s0, ò.å. s0 àëãåáðàè÷åñêè çàâèñèò îò íåêîòîðîãî êîíå÷íîãî ìíî-æåñòâà s1, . . . , sn ⊂ S \ s0. Òîãäà, ïî òåîðåìå 6.131, ìíîæåñòâî

s0, s1, . . . , sn ⊂ S àëãåáðàè÷åñêè çàâèñèìî, à çíà÷èò, àëãåáðàè÷åñêè çà-âèñèìî S.Äîñòàòî÷íîñòü. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå êîíå÷íîå ìíîæåñòâî

s1, s2, . . . , sn ⊂ S è ïîêàæåì, ÷òî îíî àëãåáðàè÷åñêè íåçàâèñèìî. Ñî-ãëàñíî òåîðåìå 6.131 äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî êàæäîå si íå çàâèñèò îò

s1, . . . , si−1, si+1, . . . , sn. Íî ýòî ñïðàâåäëèâî ïî ïðåäïîëîæåíèþ, èáî åñ-ëè áû si çàâèñåëî àëãåáðàè÷åñêè îò s1, . . . , si−1, si+1, . . . , sn, òî îíî çà-âèñåëî áû îò S \ si. 155

Îïðåäåëåíèå 6.132. Ïîäìíîæåñòâî B ∈ K íàçûâàåòñÿ áàçèñîìòðàíñöåíäåíòíîñòè K íàä k, åñëè îíî àëãåáðàè÷åñêè íåçàâèñèìî è ìàê-ñèìàëüíî îòíîñèòåëüíî óïîðÿäî÷åíèÿ ïî âêëþ÷åíèþ.Òåîðåìà 6.133. Ïóñòü K : k, K = k(Γ) (Γ ìíîæåñòâî îáðàçóþ-ùèõ), S ⊂ Γ àëãåáðàè÷åñêè íåçàâèñèìîå ìíîæåñòâî íàä k. Òîãäà ñóùå-ñòâóåò B áàçèñ òðàíñöåíäåíòíîñòè K íàä k òàêîé, ÷òî S ⊂ B ⊂ Γ.Äîêàçàòåëüñòâî. Ìíîæåñòâî âñåõ àëãåáðàè÷åñêè íåçàâèñèìûõ ïîä-ìíîæåñòâ â Γ, ñîäåðæàùèõ S, íå ïóñòî (îíî ñîäåðæèò S) è èíäóêòèâ-íî îòíîñèòåëüíî óïîðÿäî÷åíèÿ ïî âêëþ÷åíèþ. Äåéñòâèòåëüíî, äîñòàòî÷-íî ïîêàçàòü, ÷òî îáúåäèíåíèå âñåõ àëãåáðàè÷åñêè íåçàâèñèìûõ ìíîæåñòâ,âõîäÿùèõ â ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî, àëãåáðàè÷åñêè íåçàâèñè-ìî. Äëÿ ýòîãî íàäî ïðîâåðèòü, ÷òî ëþáîå êîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî ïîñëåä-íåãî àëãåáðàè÷åñêè íåçàâèñèìî. Íî ïîñëåäíèé àêò âûòåêàåò èç ëèíåéíîéóïîðÿäî÷åííîñòè. Îïðåäåëåíèå 6.134. Ïóñòü K : k. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ìíîæåñòâî

S ⊂ K àëãåáðàè÷åñêè ïîðîæäàåò K, åñëè K : k(S) àëãåáðàè÷íî. Â ýòîìñëó÷àå áóäåì ïèñàòü K = spanS è ãîâîðèòü, ÷òî K ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷å-ñêîé îáîëî÷êîé S.Òåîðåìà 6.135. Äëÿ ìíîæåñòâà S ⊂ K : k ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿýêâèâàëåíòíû:1) S àëãåáðàè÷åñêè íåçàâèñèìî è àëãåáðàè÷åñêè ïîðîæäàåò K;2) S ìàêñèìàëüíîå ñðåäè àëãåáðàè÷åñêè íåçàâèñèìûõ (ò.å. òðàíñ-öåíäåíòíûé áàçèñ);3) S ìèíèìàëüíîå ñðåäè àëãåáðàè÷åñêè ïîðîæäàþùèõ (ò.å. àëãåá-ðàè÷åñêèõ îáîëî÷åê).Äîêàçàòåëüñòâî. 1) ⇒ 2). Ïóñòü S íå ìàêñèìàëüíî, ò.å. ñóùåñòâóåòT ⊃ S è T àëãåáðàè÷åñêè íåçàâèñèìî. Âîçüìåì t ∈ T \S. Òîãäà t∪S ⊂T è ïîýòîìó t íå çàâèñèò àëãåáðàè÷åñêè îò S (ñëåäñòâèå 6.131.1), ò.å. tòðàíñöåíäåíòíî íàä k(S), ò.å. K : k(S) íå àëãåáðàè÷íî.2) ⇒ 1). Î÷åâèäíî.1) ⇒ 3). Îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü åñòü T ⊂ S è spanT = K, ò.å. K : k(T )àëãåáðàè÷íî. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíûé s ∈ S \ T . Òàê êàê s ∪ T ⊂ Sè S àëãåáðàè÷åñêè íåçàâèñèìî, òî s òðàíñöåíäåíòíî íàä k(T ). Çíà÷èò,K : k(T ) íå àëãåáðàè÷íî.3)⇒ 1). Òàê êàê K : k(S) àëãåáðàè÷íî, òî îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî S àëãåáðàè÷åñêè íåçàâèñèìî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî S àëãåáðàè÷åñêè çàâèñè-ìî. Òîãäà íåêîòîðîå u ∈ S àëãåáðàè÷åñêè çàâèñèò îò T = S \u (èáî åñëè156

áû êàæäûé ýëåìåíò èç S àëãåáðàè÷åñêè íå çàâèñåë îò îñòàëüíûõ, òî, ñî-ãëàñíî ñëåäñòâèþ 6.131.1, S áûëî áû àëãåáðàè÷åñêè íåçàâèñèìûì). Òàêèìîáðàçîì, S àëãåáðàè÷åñêè çàâèñèò îò T . Íî K àëãåáðàè÷åñêè çàâèñèò îòS. Çíà÷èò, K àëãåáðàè÷åñêè çàâèñèò îò T , ò.å. K : k(T ) àëãåáðàè÷íî, ÷òîíåâîçìîæíî, èáî S ìèíèìàëüíîå, ïðè êîòîðîì K : k(S) àëãåáðàè÷íî. Òåîðåìà 6.136. Åñëè èìååòñÿ ðàñøèðåíèå K : k è S ⊂ K àëãåáðàè-÷åñêè íåçàâèñèìîå ìíîæåñòâî, òî ïîëå k(S) ýêâèâàëåíòíî ïîëþ k(X),ãäå X ðàâíîìîùíî S.Òàêîå ðàñøèðåíèå íàçûâàåòñÿ ÷èñòî òðàíñöåíäåíòíûì.Äîêàçàòåëüñòâî. Àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó äëÿ ïðîñòîãî òðàíñöåí-äåíòíîãî ðàñøèðåíèÿ (ñì. òåîðåìó 6.40). À èìåííî, ìîíîìîðèçì ïîä-ñòàíîâêè k[X ] ∋ f → f(s1, . . . , sn) ∈ k(S)ïðîäîëæàåòñÿ äî èçîìîðèçìà k(X) íà k(S). Èòàê, ïóñòü K : k ïðîèçâîëüíîå ðàñøèðåíèå è K = k(Γ). Ïî òåî-ðåìå 6.133 ñóùåñòâóåò B ⊂ Γ áàçèñ òðàíñöåíäåíòíîñòè. Îáðàçóåì ïîëåk(B) ⊂ K. Ïî òåîðåìå 6.136 ðàñøèðåíèå k(B) : k ÷èñòî òðàíñöåíäåíòíîå,à ïî òåîðåìå 6.135 ðàñøèðåíèå K : k(B) àëãåáðàè÷íî è k(Γ) = k(B)(Γ\B).Åñëè Γ êîíå÷íî, ò.å. K êîíå÷íîïîðîæäåííîå ðàñøèðåíèå k, òî B è Γ\Bêîíå÷íû è [K : k(B)] < +∞.Âñå âûøåñêàçàííîå ïîäûòîæèì â âèäå òåîðåìû.Òåîðåìà 6.137. Âñÿêîå ðàñøèðåíèå K : k ïîëÿ k ÿâëÿåòñÿ àëãåá-ðàè÷åñêèì (à åñëè K êîíå÷íîïîðîæäåííîå, òî êîíå÷íûì) ðàñøèðåíèåìíåêîòîðîãî ÷èñòî òðàíñöåíäåíòíîãî ðàñøèðåíèÿ.Êàê âèäèì, ýòî ÷èñòî òðàíñöåíäåíòíîå ðàñøèðåíèå k(B) çàâèñèò îòáàçèñà òðàíñöåíäåíòíîñòè B. Îäíàêî îíî, íà ñàìîì äåëå, îò ýòîãî áàçèñà¾íå çàâèñèò¿ ââèäó ñëåäóþùåé òåîðåìû Øòåéíèöà.Òåîðåìà 6.138 (Øòåéíèöà). Âñå áàçèñû òðàíñöåíäåíòíîñòè ðàñ-øèðåíèÿ K : k ðàâíîìîùíû.Ìû ñíà÷àëà ïðèâåäåì äîêàçàòåëüñòâî â ñëó÷àå êîíå÷íîãî áàçèñà. Äëÿýòîãî óñòàíîâèì ñëåäóþùèé àêò.Ëåììà 6.139. Ïóñòü çàäàíî K : k. Åñëè x1, x2, . . . , xm àëãåáðà-è÷åñêàÿ îáîëî÷êà K è S ⊂ K àëãåáðàè÷åñêè íåçàâèñèìîå ìíîæåñòâî,òî cardS 6 m. 157

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî S ñîäåðæèò m + 1 ýëåìåíòîâ

y1, . . . , ym+1. Òàê êàê spanx1, x2, . . . , xm = K, ò.å. K : k(x1, x2, . . . , xm)àëãåáðàè÷íî, òî y1 àëãåáðàè÷åñêè çàâèñèò îò x1, x2, . . . , xm. Òåì ñàìûì

y1 ¾çàöåïëÿåò¿ ïî êðàéíåé ìåðå îäèí xi (íàçîâåì åãî x1). Â ïðîòèâíîìñëó÷àå y1 àëãåáðàè÷åñêèé, ÷òî íåâîçìîæíî, èáî S ñîñòîèò èç òðàíñöåí-äåíòíûõ. Çíà÷èò, x1 àëãåáðàè÷åñêè çàâèñèò îò y1, x2, . . . , xm (òåîðåìà6.128).Ïîêàæåì, ÷òî K = spany1, x2, . . . , xm. Äëÿ ýòîãî íàäî ïîêàçàòü, ÷òî

∀z ∈ K àëãåáðàè÷åñêè çàâèñèò îò y1, x2, . . . , xm. Íî ïî óñëîâèþ z àë-ãåáðàè÷åñêè çàâèñèò îò x1, x, ãäå x = x2, . . . , xm, è x1 àëãåáðàè÷åñêèçàâèñèò îò y1, x. Òî åñòü z àëãåáðàè÷íî íàä k(x)(x1), à x1 àëãåáðàè÷íîíàä k(x)(y1). Ïî òåîðåìå 6.130 z àëãåáðàè÷íî íàä k(x)(y1).Òàê êàê K = spany1, x2, . . . , xm, òî y2 àëãåáðàè÷åñêè çàâèñèò îò

y1, x2, . . . , xm. Çíà÷èò, y2 ¾çàöåïëÿåò¿ íåêîòîðûé x2. Â ïðîòèâíîì ñëó-÷àå y1 è y2 àëãåáðàè÷åñêè çàâèñèìû. Òàêèì îáðàçîì, x2 àëãåáðàè÷åñêèçàâèñèò (òåîðåìà 6.128) îò y1, y2, x3, . . . , xm. Ïî òåîðåìå 6.130 ñëåäóåò,÷òî K = spany1, y2, x3, . . . , xm.Ïðîäîëæàÿ òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èì, ÷òî:1) xi àëãåáðàè÷íî íàä k(y1, . . . , yi, xi+1, . . . , xm);2) K = spany1, . . . , yi, xi+1, . . . , xm.Â èòîãå áóäåì èìåòü, ÷òî xm àëãåáðàè÷åí íàä k(y1, . . . , ym) èK = spany1, . . . , ym. Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî ym+1 àëãåáðàè÷åííàä k(y1, . . . , ym), â ïðîòèâîðå÷èå ñ àëãåáðàè÷åñêîé íåçàâèñèìîñòüþy1, y2, . . . , ym+1. Ñëåäñòâèå 6.139.1 (Êîíå÷íàÿ òåîðåìà Øòåéíèöà). Äâà êîíå÷-íûõ áàçèñà òðàíñöåíäåíòíîñòè ðàñøèðåíèÿK : k èìåþò îäèíàêîâîå ÷èñ-ëî ýëåìåíòîâ.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 6.138. Ïóñòü S è T áàçèñû òðàíñöåí-äåíòíîñòè ðàñøèðåíèÿ K : k. Ââèäó ïðåäûäóùåãî ñëåäñòâèÿ ìû ïðåäïî-ëîæèì, ÷òî S è T áåñêîíå÷íû.Åñëè x ∈ S, òî x àëãåáðàè÷åñêè çàâèñèò îò êîíå÷íîãî ìíîæåñòâàyi1 , . . . , yim ⊂ T ≡ (yi)i∈I . Îáîçíà÷èì

I(x) := i1, . . . , im ⊂ I.Òîãäà

I :=⋃

x∈SI(x). (6.46)158

Äåéñòâèòåëüíî, åñëè áû íàøåëñÿ j ∈ I, íå ïðèíàäëåæàùèé íè îäíîìóI(x), òî ýòî îçíà÷àëî áû, ÷òî yj ∈ T íå çàâèñèò àëãåáðàè÷åñêè íè îòîäíîãî x ∈ S, ò.å. yj òðàíñöåíäåíòíî íàä k(S). Íî ýòî ïðîòèâîðå÷èòàëãåáðàè÷íîñòè ðàñøèðåíèÿ K : k(S).Ïîñêîëüêó I(x) êîíå÷íî, òî

|I(x)| 6 N. (6.47)Èç (6.46) è (6.47) èìååì|I| 6 |I(x)| · |S| 6 N · |S| = |S|, (6.48)èáî |S| áåñêîíå÷íî. Òàêèì îáðàçîì, (6.48) îçíà÷àåò, ÷òî |T | 6 |S|. Ïîñèììåòðèè èìååì |S| = |T |. 6.13. Ïðîñòûå òðàíñöåíäåíòíûå ðàñøèðåíèÿÊàæäîå ïðîñòîå òðàíñöåíäåíòíîå ðàñøèðåíèå ïîëÿ k, êàê íàì èçâåñò-íî (ñì. òåîðåìà 6.40), èçîìîðíî ïîëþ ÷àñòíûõ k(x) êîëüöà ìíîãî÷ëåíîâk[x]. Íàøåé çàäà÷åé áóäåò âûÿñíèòü, ÷òî ñîáîé ïðåäñòàâëÿþò ïðîìåæó-òî÷íûå ïîëÿ E, k ⊂ E ⊂ k(x)?Íà÷íåì ñî ñëåäóþùåãî ïðèìåðà.Ïðèìåð 6.140. Ïóñòü k ïîëå, K = k(x) è E := k(x3). Î÷åâèäíî,÷òî k ⊂ E ⊂ K, x ∈ K \E è K = E(x), òàê êàê K = k(x).1. x àëãåáðàè÷íî íàä E. Äåéñòâèòåëüíî, âîçüìåì

p(y) := y3 − x3 ∈ E[y].Î÷åâèäíî, ÷òî p(x) = 0, ò.å. x àëãåáðàè÷åí íàä E.2. Ïîêàæåì, ÷òî p íåïðèâîäèì â E[y] äâóìÿ ñïîñîáàìè.1-é ñïîñîá. Åñëè áû p(y) áûë ïðèâîäèì âE[y], òî îí èìåë áû ïî êðàéíåéìåðå îäèí ëèíåéíûé ìíîæèòåëü (y − β), ãäå β ∈ E. Òî åñòü β ÿâëÿëñÿ áûêîðíåì ìíîãî÷ëåíà p(y). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî

β =u(x3)

v(x3), u, v ∈ k[x], p(β) = 0,ò.å. [

u(x3)]3 − x3

[v(x3)

]3= 0. (6.49)Íî ýòî íåâîçìîæíî, ïîñêîëüêó åñëè deg u = n, deg v = m, òî ðàâåíñòâî(6.49) äàåò ðàâåíñòâî 9n = 9m+ 3, ò.å. 3n = 3m+ 1. ×òî, äåéñòâèòåëüíî,íåâîçìîæíî. 159

Òàêèì îáðàçîì, p(y) = y3 − x3 ∈ E[y] ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí äëÿ

x ∈ K. Ñëåäîâàòåëüíî, [K : E] = 3 èK = E(x) = E[x] = f(x3) + xg(x3) + x2h(x3) : f, g, h ∈ k[x].2-é ñïîñîá. Îáîçíà÷èì

η := x3.Òîãäà p(y) = y3 − η ∈ E[y],E = k(η). Òî÷íåå, p(y) ∈ k[η][y] = k[η, y]. Åñëèáû p(y) ðàçëàãàëñÿ â E[y], òî îí áû ðàçëàãàëñÿ â k[η, y] = k[η][y]. Íî âêîëüöå k[η][y] ìíîãî÷ëåí p íåïðèâîäèì ïîòîìó, ÷òî îí ëèíååí ïî η.Ýòî ðàññóæäåíèå ÿâëÿåòñÿ îáùèì, ñì. òåîðåìó 6.142.Îïðåäåëåíèå 6.141. Ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò η èç K = k(x) èìååò âèä

η =f(x)

g(x)

, ãäå f, g ∈ k[x] è ÍÎÄ (f, g) = 1. Òîãäà îáîçíà÷èì

deg η := maxdeg f, deg g.Òåîðåìà 6.142. Äëÿ ëþáîãî η ∈ K = k(x), deg η = n > 0 âåðíî, ÷òî

[k(x) : k(η)] = n è η òðàíñöåíäåíòíî íàä k.Òàêèì îáðàçîì, k ⊂ k(η) ⊂ k(x) è [k(η) : k] = +∞, [k(x) : k(η)] < +∞.Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê η =f(x)

g(x)

, òî

g(x)η − f(x) = 0. (6.50)Åñëè f(x) = a0 + a1x+ . . .+ anxn, g(x) = b0 + b1x+ . . .+ bnx

n, òî (6.50)çàïèøåòñÿ â âèäå

(b0η − a0) + (b1η − a1)x+ . . .+ (bnη − an)xn = 0. (6.51)Åñëè áû bkη − ak = 0 äëÿ âñåõ k = 0, 1, . . . , n, òî ìû èìåëè áû, ÷òîη =

akbk

è deg η = 0. Ïðîòèâîðå÷èå ñ óñëîâèåì.Òàêèì îáðàçîì, â ðàâåíñòâå (6.51) íå âñå êîýèöèåíòû ðàâíû íóëþ,ò.å. x àëãåáðàè÷íî íàä k(η). Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî η òðàíñöåíäåíòíî íàäk. Èáî â ïðîòèâíîì ñëó÷àå x áûëî áû àëãåáðàè÷íî íàä k.Íàéäåì ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí p(y) ∈ k(η)[y] äëÿ x ∈ k(x). Ïîêà-æåì, ÷òî òàêîâûì ÿâëÿåòñÿ

p(y) := g(y)η − f(y) ∈ k(η)[y]. (6.52)160

Èç (6.50) è (6.52) âèäèì, ÷òî p(x) = 0. Òàêèì îáðàçîì, îñòàëîñü ïîêà-çàòü, ÷òî p íåïðèâîäèì â êîëüöå k(η)[y]. Íî ïîñêîëüêó p ëåæèò, íà ñàìîìäåëå, â êîëüöå k[η][y] = k[η, y], òî íàäî ïîêàçàòü, ÷òî p(y) = g(y)η − f(y)íåïðèâîäèì â k[η, y]. Íî ýòî äåéñòâèòåëüíî òàê, ïîòîìó ÷òî p(y) ëèíååí ïîη, è â ñëó÷àå ïðèâîäèìîñòè p (p = q ·r, q, r ∈ k(η, y)) îäèí èç åãî ñîìíîæè-òåëåé, íàïðèìåð, r äîëæåí áûë áû çàâèñåòü òîëüêî îò y, ò.å. g(y)η−f(y) =q(y, η) ·r(y). Ýòî îçíà÷àëî áû, ÷òî r|g è r|f . Íî ýòî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþÍÎÄ (f, g) = 1. Òàêèì îáðàçîì, p(y) = g(y)η − f(y) ìèíèìàëüíûé ìíî-ãî÷ëåí ýëåìåíòà x îòíîñèòåëüíî k(η) è [k(x) : k(η)] = deg p = deg η = n. Ñëåäñòâèå 6.142.1. k(x) = k(η) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà η =ax+ b

cx+ d

, ad− bc 6= 0.Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî, ÷òî k(x) = k(η) òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà [k(x) : k(η)] = 1, ò.å. êîãäà η =ax+ b

cx+ d

. Ñëåäñòâèå 6.142.2. Âñå k-àâòîìîðèçìû ïîëÿ k(x) ÿâëÿþòñÿäðîáíî-ëèíåéíûìè ïîäñòàíîâêàìè.Äîêàçàòåëüñòâî. Ëþáîé k-àâòîìîðèçì ϕ : k(x)→ k(x) = k(η) äîë-æåí ïåðåâîäèòü x â η =ax+ b

cx+ d

. Òàêèì îáðàçîì, â ðàñøèðåíèè k(x) : k èìååòñÿ ìíîãî ïðîìåæóòî÷íûõïîëåé E = k(η), îïðåäåëÿåìûõ ýëåìåíòàìè η ∈ k(x). Îêàçûâàåòñÿ, ýòèìèïîëÿìè èñ÷åðïûâàþòñÿ âñå ïðîìåæóòî÷íûå ïîëÿ E, k ⊂ E ⊂ k(x). Â ýòîìñîñòîèò òåîðåìà Ëþðîòà, êîòîðóþ ìû îñòàâëÿåì áåç äîêàçàòåëüñòâà.

161

ë à â à 7Òåîðèÿ àëóàÂ ýòîé ãëàâå ââåäåíû âñå íåîáõîäèìûå ïîíÿòèÿ: ðàñøèðåíèå àëóàçàäàííîãî ïîëÿ, ãðóïïà àëóà ðàñøèðåíèÿ, íåïîäâèæíîå ïîëå ãðóïïû àâ-òîìîðèçìîâ. Äîêàçàíà îñíîâíàÿ òåîðåìà òåîðèè àëóà î ñîîòâåòñòâèè.Íàïîìíèì, ÷òî åñëè K ïîëå, òî ÷åðåç AutK îáîçíà÷àåòñÿ ãðóïïààâòîìîðèçìîâ ïîëÿ K.Îïðåäåëåíèå 7.1. Ïóñòü çàäàíî ðàñøèðåíèå K : k. Ìíîæåñòâî

G(K : k) := σ ∈ AutK : σ(x) = x, ∀x ∈ kâñåõ k-àâòîìîðèçìîâ ïîëÿ K, î÷åâèäíî, îáðàçóåò ïîäãðóïïó â AutK èåå íàçûâàþò ãðóïïîé àëóà ðàñøèðåíèÿ K : k.Òåîðåìà 7.2. Ïóñòü K : k êîíå÷íîå ñåïàðàáåëüíîå ðàñøèðåíèå.Òîãäà G(K : k) êîíå÷íà è

|G(K : k)| 6 [K : k]. (7.1)Åñëè, êðîìå òîãî, K : k íîðìàëüíî, òî ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî|G(K : k)| = [K : k]. (7.2)Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê K : k êîíå÷íîå è ñåïàðàáåëüíîå, òî ïîòåîðåìå î ïðèìèòèâíîì ýëåìåíòå (òåîðåìà 6.88) K = k(u), u ∈ K è

p(x) ∈ k[x] ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí ýëåìåíòà u. Òîãäà [K : k] = [k(u) :k] = deg p = n. Ñîãëàñíî òåîðåìå 6.54 âñåõ ðàçëè÷íûõ k-àâòîìîðèçìîâïîëÿ K ðîâíî ñòîëüêî, ñêîëüêî ðàçëè÷íûõ êîðíåé ìíîãî÷ëåíà p(x) ëåæèòâ K. Òàê êàê ìíîãî÷ëåí p(x) ñåïàðàáåëåí, òî âñå êîðíè ðàçëè÷íû è èõn = [K : k] øòóê. Îòñþäà íåìåäëåííî ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî (7.1).Åñëè æå âäîáàâîê, ðàñøèðåíèå K : k íîðìàëüíî, òî âñå ýòè n ðàçëè÷-íûõ êîðíåé ëåæàò â K. Îòñþäà ðàâåíñòâî (7.2). 162

Îïðåäåëåíèå 7.3. àñøèðåíèå K : k êîíå÷íîå, íîðìàëüíîå è ñåïà-ðàáåëüíîå íàçûâàåòñÿ ðàñøèðåíèåì àëóà.Òåîðåìà 7.4. ðóïïà àëóà êîíå÷íîãî ðàñøèðåíèÿ êîíå÷íîãî ïîëÿöèêëè÷íà.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü k ïîëå, |k| < +∞ è K : k ðàñøèðåíèåòàêîå, ÷òî [K : k] < +∞. Òîãäà |K| < +∞. Ïî òåîðåìå 6.111 ãðóïïàAutK öèêëè÷íà. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîäãðóïïà G(K : k) 6 AutK òîæå öèê-ëè÷íà. Òåîðåìà 7.5. Ïóñòü K ïîëå è G 6 AutK. Òîãäà ìíîæåñòâîKG := x ∈ K : σ(x) = x, ∀σ ∈ Gÿâëÿåòñÿ ïîäïîëåì â K è íàçûâàåòñÿ íåïîäâèæíûì ïîëåì ãðóïïû G.Äîêàçàòåëüñòâî. Òðèâèàëüíî. Òåîðåìà 7.6. Ïóñòü K : k ðàñøèðåíèå àëóà. ÒîãäàKG(K:k) = k.Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì G := G(K : k). Ïî îïðåäåëåíèþ,k ⊂ KG ⊂ K. (7.3)Òàê êàê K ÿâëÿåòñÿ ïîëåì ðàçëîæåíèÿ ñåïàðàáåëüíîãî ìíîãî÷ëåíà p(x) ∈k[x], òî K = k(α1, . . . , αn), ãäå α1, . . . , αn ∈ K êîðíè ìíîãî÷ëåíà p(x) è

n = deg p. Èç (7.3) èìååìK = k(α1, . . . , αn) ⊂ KG(α1, . . . , αn) ⊂ K,ò.å. K ÿâëÿåòñÿ ïîëåì ðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíà p ∈ KG[x]. Ïîýòîìó K :KG ðàñøèðåíèå àëóà. Åñëè σ ∈ G(K : k) = G, òî σ|k = I. Èçîïðåäåëåíèÿ KG ñëåäóåò, ÷òî σ|KG= I, ò.å. σ ∈ G(K : KG). Çíà÷èò,

G(K : k) ⊂ G(K : KG). Îáðàòíîå âêëþ÷åíèå î÷åâèäíî. Ïîýòîìó

G(K : k) = G(K : KG).Èç òåîðåìû 7.2 èìååì

[K : KG] = |G(K : KG)| = |G(K : k)| = [K : k].Îòñþäà [KG : k] = 1, ò.å. KG = k. 163

Ëåììà 7.7 (Ý. Àðòèíà). Ïóñòü G 6 AutK, |G| < +∞ è k := KG ⊂K. Òîãäà [K : k] 6 |G|.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü G = σ1 ≡ I, σ2, . . . , σn. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî

[K : k] > |G| = n. Çíà÷èò, ñóùåñòâóþò α1, α2, . . . , αn+1 ∈ K, ëèíåéíîíåçàâèñèìûå íàä k. àññìîòðèì ñèñòåìó

σ1(α1)x1 + σ1(α2)x2 + . . .+ σ1(αn+1)xn+1 = 0,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .σn(α1)x1 + σn(α2)x2 + . . .+ σn(αn+1)xn+1 = 0.

(7.4)Òàê êàê íåèçâåñòíûõ áîëüøå, ÷åì óðàâíåíèé, òî ñóùåñòâóåò

(a1, a2, . . . , an+1) ∈ Kn+1 íåíóëåâîå ðåøåíèå ñèñòåìû (7.4).1. Îòìåòèì, ÷òî (a1, a2, . . . , an+1) /∈ kn+1, òàê êàê σ1 ≡ I, è â ïðîòèâ-íîì ñëó÷àå èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ (7.4) âûòåêàëà áû ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü

α1, . . . , αn+1.2. Ñðåäè âñåõ íåòðèâèàëüíûõ ðåøåíèé (a1, a2, . . . , an+1) ñèñòåìû(7.4) âûáåðåì òî, äëÿ êîòîðîãî íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî ai 6= 0. Ïå-ðåñòàâèâ ýëåìåíòû â ðåøåíèè, ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî ðåøåíèå èìååò âèä

(a1, a2, . . . , ar, 0, . . . , 0), ãäå ai 6= 0, 1 6 i 6 r. Áîëåå òîãî, r 6= 1. Èáîåñëè r = 1, òî èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (7.4) èìååì σ1(α1)a1 = 0, ò.å.

α1a1 = 0 (òàê êàê σ1 = I). Íî α1 6= 0, çíà÷èò, a1 = 0. Ïðîòèâîðå÷èå.Êðîìå òîãî, ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî ar = 1, òàê êàê åñëè óìíîæèòü ðåøå-íèå (a1, a2, . . . , ar, 0, . . . , 0) íà a−1r , òî ïîëó÷èì íîâîå ðåøåíèå ñ ar = 1.Òàêèì îáðàçîì, èìååì

a1σ1(α1) + . . .+ ar−1σ1(αr−1) + σ1(αr) = 0,a1σ2(α1) + . . .+ ar−1σ2(αr−1) + σ2(αr) = 0,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a1σn(α1) + . . .+ ar−1σn(αr−1) + σn(αr) = 0.

(7.5)Òàê êàê (a1, a2, . . . , ar−1, 1) /∈ kr (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå èç ïåðâîãî óðàâ-íåíèÿ â (7.5) ñèñòåìà α1, . . . , αr ëèíåéíî çàâèñèìà), òî ∃ai /∈ k, 1 6 i 6

r−1. Ñ÷èòàåì (ñäåëàâ ïåðåñòàíîâêó), ÷òî a1 /∈ k. Ïîýòîìó ∃σk ∈ G òàêîé,÷òî σk(a1) 6= a1.Òàê êàê G = σ1, . . . , σn ãðóïïà, òî σkσ1, . . . , σkσn ïåðåñòàíîâêàk ýëåìåíòîâ σ1, . . . , σn.Ïðèìåíÿåì σk ê (7.5) è ïîëó÷àåì

σk(a1)σkσ1(α1) + . . .+ σk(ar−1)σkσ1(αr−1) + σkσ1(αr) = 0,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .σk(a1)σkσn(α1) + . . .+ σk(ar−1)σkσn(αr−1) + σkσn(αr) = 0.

(7.6)164

Ïîëàãàÿ σkσj = σi, ïåðåïèøåì ñèñòåìó (7.6) â âèäå

σk(a1)σ1(α1) + . . .+ σk(ar−1)σ1(αr−1) + σ1(αr) = 0,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .σk(a1)σn(α1) + . . .+ σk(ar−1)σn(αr−1) + σn(αr) = 0.

(7.7)Èç (7.5) âû÷òåì (7.7) è ïîëó÷èì

[a1 − σk(a1)]σ1(α1) + . . .+ [ar−1 − σk(ar−1)]σ1(αr−1) = 0,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[a1 − σk(a1)]σn(α1) + . . .+ [ar−1 − σk(ar−1)]σn(αr−1) = 0.×òî äàåò íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå ([a1 − σk(a1)], . . . , [ar−1 −

σk(ar−1)], 0, . . . , 0) ñèñòåìû (7.5). Îíî íåòðèâèàëüíî, èáî a1 − σk(a1) 6= 0.Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ýòî ïðîòèâîðå÷èò âûáîðó r. Òåîðåìà 7.8. Ïóñòü K : k. Òîãäà ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû:1) K : k ðàñøèðåíèå àëóà;2) K ïîëå ðàçëîæåíèÿ íåêîòîðîãî ñåïàðàáåëüíîãî ìíîãî÷ëåíà f ∈k[x];3) k = KG äëÿ íåêîòîðîé G 6 AutK, |G| < +∞.Äîêàçàòåëüñòâî. 1)⇔ 2) (òåîðåìà 6.98).1)⇒ 3). Ïî òåîðåìå 7.6, k = KG(K:k).3) ⇒ 1). Ïóñòü çàäàíû K è G 6 AutK, |G| < +∞. È ïóñòü k := KG.Ïî ëåììå Ý. Àðòèíà [K : k] 6 |G| < +∞.àññìîòðèì ïðèçâîëüíûé α ∈ K è f ∈ k[x] ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåíäëÿ α. Ëþáîé σ ∈ G ïåðåñòàâëÿåò êîðíè ìíîãî÷ëåíà f . Òàê êàê G =

σ1 = I, σ2, . . . , σn, òî ïîëó÷èì ðàçëè÷íûå êîðíè f , ò.å. α1 = σ1(α) =α, α2 = σ2(α), . . . , αn = σn(α).Ïîëîæèì g(x) :=

∏nk=1(x − αk). Î÷åâèäíî, g(α) = 0 è σg = g äëÿëþáîãî σ ∈ G, ò.å. êîýèöèåíòû g ëåæàò â k. Äðóãèìè ñëîâàìè, g ∈k[x]. Êðîìå òîãî, g ñåïàðàáåëüíûé ïî ïîñòðîåíèþ. Òàê êàê deg g = n ≤

deg f (èáî α1 = α, α2, . . . , αn ðàçëè÷íûå êîðíè f) è f ìèíèìàëüíûéìíîãî÷ëåí äëÿ α, òî g(x) = f(x). Ñëåäîâàòåëüíî, α ñåïàðàáåëüíûé. Òåîðåìà 7.9. Ïóñòü çàäàíû K, G 6 AutK, |G| < +∞ è k = KG.Òîãäà G(K : k) = G.Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê k = KG, òî G 6 G(K : k). Ïî ëåììåÝ. Àðòèíà [K : k] 6 |G| 6 |G(K : k)|. Ïî òåîðåìå 7.8 K : k êîíå÷íî,íîðìàëüíî è ñåïàðàáåëüíî. Òîãäà ïî òåîðåìå 7.2 |G(K : k)| = [K : k].Ñëåäîâàòåëüíî, |G| = [K : k]. Îòñþäà G = G(K : k). 165

Òåîðåìà 7.10 (Îñíîâíàÿ). Ïóñòü k ïîëå, chark = 0, ëèáî kñîâåðøåííî, char k = p > 0 (íàïðèìåð, k êîíå÷íî) è ïóñòü K : k êîíå÷íîå íîðìàëüíîå ðàñøèðåíèå. Òîãäà ñïðàâåäëèâû óòâåðæäåíèÿ:1. Äëÿ ëþáîãî ïðîìåæóòî÷íîãî ïîëÿ L, k ⊂ L ⊂ K, îòîáðàæåíèå

g : K ⊃ L→ g(L) := G(K : L) 6 G(K : k)ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé.2. Åñëè k ⊂ L ⊂ K, òî

[K : L] = |G(K : L)|è

[L : k] = (G(K : k) : G(K : L)). (7.8)3.k ⊂ L ⊂M ⊂ K⇔⇔ 1 = G(K : K) 6 G(K :M) 6 G(K : L) 6 G(K : k).4. L : k íîðìàëüíî ⇔ G(K : L) ⊳G(K : k), è â ýòîì ñëó÷àå

G(L : k) ∼= G(K : k)G(K : L). (7.9)Äîêàçàòåëüñòâî. Âíà÷àëå îòìåòèì, ÷òî ðàñøèðåíèå K : k ñåïàðà-áåëüíî ââèäó òåîðåìû 6.86. Ïî òåîðåìå 6.87 ðàñøèðåíèÿ L : k è K : Lêîíå÷íû è ñåïàðàáåëüíû, à K : L åùå è íîðìàëüíî. Îòìåòèì òàêæå, ÷òîïî òåîðåìå 7.2 ãðóïïà G(K : k) êîíå÷íà.1. Ïóñòü g(L1) = g(L2) (ãäå k ⊂ L1 ⊂ K, k ⊂ L2 ⊂ K), ò.å. G(K :L1) = G(K : L2) ≡ G. Òàê êàê ðàñøèðåíèÿ K : L1 è K : L2 óäîâëåòâîðÿþòòåîðåìå 7.2, òî L1 = KG = L2. Òåì ñàìûì îòîáðàæåíèå g èíúåêòèâíî.Òåïåðü äîêàæåì ñþðúåêòèâíîñòü. Ïóñòü G 6 G(K : k). ÏîëîæèìL := KG. Òîãäà k ⊂ L ⊂ K è ïî òåîðåìå 7.9 G(K : L) = G, ò.å. gñþðúåêòèâíî.2. Ïî ñëåäñòâèþ èç òåîðåìû Ëàãðàíæà (ñëåäñòâèå 2.3.1)|G(K : k)| = (G(K : k) : G(K : L)) · |G(K : L)|. (7.10)Ïî òåîðåìå 7.2

|G(K : k)| = [K : k], |G(K : L)| = [K : L]. (7.11)166

Ïî òåîðåìå 6.23

[K : L] · [L : k] = [K : k]. (7.12)Èç ñîîòíîøåíèé (7.10), (7.11), (7.12) ïîëó÷àåì òðåáóåìîå.3. Ïóñòü k ⊂ L ⊂ M ⊂ K. Íàäî ïîêàçàòü, ÷òî âêëþ÷åíèå L ⊂ Mýêâèâàëåíòíî âêëþ÷åíèþ G(K :M) 6 G(K : L).Î÷åâèäíî, ÷òî èç L ⊂M ñëåäóåò G(K :M) 6 G(K : L). Äàëåå çàìåòèì,÷òî åñëè G1 6 G2 6 AutK, òî KG2 ⊂ KG1 . Ïîñêîëüêó K : M è K : Lóäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ òåîðåìû 7.6, òî L = KG(K:L) ⊂ KG(K:M) =M.4. Ïóñòü L : k íîðìàëüíîå è ïóñòü σ ∈ G(K : k), τ ∈ G(K : L). Íàäîäîêàçàòü, ÷òî σ−1τσ ∈ G(K : L), ò.å.(σ−1τσ)(α) = α, ∀α ∈ L.Ïóñòü f(x) ∈ k[x] ìèíèìàëüíûé äëÿ α. Ñëåäîâàòåëüíî, σ(α) êîðåíü f(x). Íî òàê êàê L : k íîðìàëüíî, òî σ(α) ∈ L (èáî α ∈ L).Ïîýòîìó τ(σ(α)) = σ(α), ò.å. (σ−1τσ)(α) = α.Îáðàòíî, ïóñòü G(K : L) ⊳G(K : k). Ïîñêîëüêó |G(L : k)| 6 [L : k] <

+∞ (ñì. òåîðåìó 7.2), òî, ñîãëàñíî òåîðåìå 7.8, äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü,÷òî k = LG(L:k). (7.13)Äëÿ êàæäîãî σ ∈ G(K : k) îïðåäåëèì σL êàê ñóæåíèå σ íà L. Apriorièìååì, ÷òî σL : L → K è σL(x) = x äëÿ âñåõ x ∈ k. Ïîêàæåì, ÷òî

σL ∈ AutL. Òîãäà áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî σL ∈ G(L : k).Òàê êàê G(K : L) ⊳ G(K : k), ò.å. σ−1G(K : L)σ ⊂ G(K : L) äëÿ âñåõ

σ ∈ G(K : k), òîG(K : L)σ ⊂ σG(K : L), ∀σ ∈ G(K : k). (7.14)Âêëþ÷åíèå (7.14) îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ∀τ ∈ G(K : L) ∃τ ∈ G(K : L) òàêîå,÷òî τσ = στ . Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ∀α ∈ L

τ(σ(α)) = σ(τ (α)) = σ(α).Òàêèì îáðàçîì, σ(α) ∈ KG(K:L). Íî ðàñøèðåíèå K : L óäîâëåòâîðÿåòóñëîâèþ òåîðåìû 7.6, çíà÷èò, KG(K:L) = L. Òàêèì îáðàçîì, σL ∈ G(L : k).Èòàê, èìååì îòîáðàæåíèå

ϕ : G(K : k) ∋ σ → σL ∈ G(L : k).167

Îòîáðàæåíèå ϕ ÿâëÿåòñÿ ãîìîìîðèçìîì ãðóïï. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ

∀σ ∈ G(K : k) èìååì ϕ(σ · σ′) = (σ · σ′)L = σL · σ′L = ϕ(σ)ϕ(σ′). Êðîìåòîãî,

kerϕ = σ ∈ G(K : k) : σL = IL = G(K : L).Ïî ïåðâîé òåðåìå îá èçîìîðèçìå (òåîðåìà 2.18) èìååì èçîìîðèçì

G(K : k)G(K : L) ∼= Imϕ ≤ G(L : k). (7.15)Ñåé÷àñ äîêàæåì ðàâåíñòâî (7.13). Òàê êàê k ⊂ LG(K:k) ïî îïðåäåëå-íèþ, òî äîñòàòî÷íî äîêàçàòü âêëþ÷åíèå LG(K:k) ⊂ k.Ïóñòü β ∈ LG(L:k), ò.å. β ∈ L è íåïîäâèæåí îòíîñèòåëüíî âñåõ àâòî-ìîðèçìîâ èç G(L : k). Â ÷àñòíîñòè, σL(β) = β äëÿ âñåõ σ ∈ G(K : k).Ïîñêîëüêó β ∈ L, òî σ(β) = β äëÿ âñåõ σ ∈ G(K : k). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî

β ∈ KG(K:k) = k (ñì. òåîðåìó 7.6). Èòàê, ðàâåíñòâî (7.13) óñòàíîâëåíî.Äëÿ óñòàíîâëåíèÿ èçîìîðèçìà (7.9), ñîãëàñíî èçîìîðèçìó (7.15),íåîáõîäèìî ïîêàçàòü, ÷òî Imϕ = G(L : k). Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïîêà-çàòü, ÷òî

| Imϕ| = |G(L : k)|.Îäíàêî, ñîãëàñíî (7.15), òåîðåìå 7.2 è ðàâåíñòâó (7.8) èìååì

|G(L : k)| = [L : k] = (G(K : k) : G(K : L)) =

= |G(K : k)G(K : L)| = | Imϕ|.

168

ë à â à 8ÏðèëîæåíèÿÂ ïåðâîì ïàðàãðàå ãëàâû ðàññìàòðèâàþòñÿ ðàäèêàëüíûå ðàñøèðå-íèÿ ïîëÿ ðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíà è, èñïîëüçóÿ òåîðèþ àëóà è íåðàçðå-øèìîñòü ñèììåòðè÷åñêîé ãðóïïû, äîêàçûâàåòñÿ íåðàçðåøèìîñòü â ðàäè-êàëàõ àëãåáðàè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ïÿòîé ñòåïåíè. Ïðèâåäåí êîíêðåòíûéïðèìåð òàêîãî óðàâíåíèÿ.Âî âòîðîì ïàðàãðàå, íà îñíîâàíèè òåîðèè êâàäðàòè÷íûõ ðàñøèðåíèéïîëåé, äîêàçàíà òåîðåìà î íåâîçìîæíîñòè ðåøåíèÿ ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ èëèíåéêè êëàññè÷åñêèõ çàäà÷: 1) îá óäâîåíèè êóáà, 2) òðèñåêöèè óãëà è 3)î êâàäðàòóðå êðóãà.Â òðåòüåì ïàðàãðàå äîêàçûâàåòñÿ èððàöèîíàëüíîñòü ÷èñåë e è π.×åòâåðòûé ïàðàãðà ñîäåðæèò äîêàçàòåëüñòâà çíàìåíèòûõ òåîðåìØ. Ýðìèòà è Ê. Ëèíäåìàíà î òðàíñöåíäåíòíîñòè ÷èñåë e è π.8.1. àçðåøèìîñòü óðàâíåíèé â ðàäèêàëàõÎïðåäåëåíèå 8.1. àñøèðåíèå K : k íàçûâàåòñÿ ïðîñòûì ðàäè-êàëüíûì, åñëè K = k(a), an ∈ k (ò.å. a ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà

p(x) = xn − b ∈ k[x]).Òàêèì îáðàçîì, ïîñêîëüêó a = n√b, òî K = k( n

√b), ò.å. ê ïîëþ kïðèñîåäèíÿåòñÿ n

√b ¾ðàäèêàë¿. Îòñþäà íàçâàíèå.Îïðåäåëåíèå 8.2. àäèêàëüíîé áàøíåé ïîëÿ k íàçûâàåòñÿ êîíå÷íàÿïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîëåé Ki, òàêàÿ, ÷òîk = K0 ⊂ K1 ⊂ K2 ⊂ . . . ⊂ Km,Ki = Ki−1(ai), a

ni

i ∈ Ki−1,èëè k ⊂ k(a1) ⊂ k(a1, a2) ⊂ . . . ⊂ k(a1, . . . , am), ani

i ∈ k(a1, . . . , ai).àñøèðåíèå K : k íàçûâàåòñÿ ðàäèêàëüíûì, åñëè íàéäåòñÿ òàêîå m,÷òî K = Km, ò.å. K ÿâëÿåòñÿ êîíöîì ðàäèêàëüíîé áàøíè.169

Îïðåäåëåíèå 8.3. Ïóñòü çàäàíû ïîëå k è ìíîãî÷ëåí f ∈ k[x]. Îáî-çíà÷èì Kf ïîëå ðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíà f . îâîðÿò, ÷òî óðàâíåíèå

f(x) = 0 ðàçðåøèìî â ðàäèêàëàõ, åñëè íàéäåòñÿ ðàäèêàëüíîå ðàñøèðåíèåK : k òàêîå, ÷òî Kf ⊂ K. ðóïïà àëóà G(Kf : k) ðàñøèðåíèÿ Kf : kíàçûâàåòñÿ ãðóïïîé àëóà ìíîãî÷ëåíà f è îáîçíà÷àåòñÿ Gf (k).Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿÒåîðåìà 8.4. Ïóñòü chark = 0, f ∈ k[x]. Åñëè óðàâíåíèå f(x) = 0ðàçðåøèìî â ðàäèêàëàõ, òî åãî ãðóïïà àëóà ðàçðåøèìà.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü E ïîëå ðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíà f . Òîãäàñóùåñòâóåò ïîëå R òàêîå, ÷òî R ⊃ E è ðàñøèðåíèå R : k ðàäèêàëüíîå,ò.å. k = R0 ⊂ R1 ⊂ . . . ⊂ Rm = R,Ri+1 = Ri[ai+1], ai+1 êîðåíü ìíîãî÷ëåíà xni+1 − bi ∈ Ri[x]. (8.1)Ñëåäîâàòåëüíî, [Ri+1 : Ri] = ni. Ïîëîæèì

n := [R : k] = n1 · . . . · nm.Ïóñòü p(x) = xn − 1 ∈ k[x] ⊂ R[x] è ïóñòüK ïîëå ðàçëîæåíèÿ xn − 1, êàê ìíîãî÷ëåíà èç k[x],L ïîëå ðàçëîæåíèÿ xn − 1, êàê ìíîãî÷ëåíà èç R[x].

(8.2)Î÷åâèäíî, K ⊂ L è R ⊂ L.Îáðàçóåì ïîëÿ Li = K(Ri). (8.3)Òîãäà â ñèëó (8.3) è (8.1)K ≡ L0 ⊂ L1 ⊂ . . . ⊂ Lm ≡ K(R) = L, ai+1 ∈ Ri+1 ⊂ Li+1.Îòìåòèì, ÷òî K ñîäåðæèò âñå êîðíè óðàâíåíèÿ xni+1 − 1, èáî ni+1| n.Èòàê, bi ∈ Ri ⊂ Li+1, ai+1 ∈ Li+1, ai+1 êîðåíü ìíîãî÷ëåíà xni+1 − bi ∈Li[x]. Òàê êàê âñå êîðíè ìíîãî÷ëåíà xni+1 − 1 ëåæàò â K ⊂ Li+1, òîâñå êîðíè ìíîãî÷ëåíà xni+1 − bi (îíè èìåþò âèä ai+1, ωai+1, . . . , ωni+1ai+1,çäåñü è äàëåå ω ïðèìèòèâíûé êîðåíü ìíîãî÷ëåíà xni+1 − 1) ëåæàò âLi+1. Ñëåäîâàòåëüíî,Li+1 ïîëå ðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíà xni+1 − bi ∈ Li[x].170

Çíà÷èò, Li+1 : Li íîðìàëüíî. Òàê êàê char k = 0, òî Li+1 : Li ñåïàðà-áåëüíî è [Li+1 : Li] = ni+1. Òàêèì îáðàçîì,Li+1 : Li ðàñøèðåíèå àëóà.Ïî îñíîâíîé òåîðåìå òåîðèè àëóà1 = G(L : Lm) ⊳ . . .⊳G(L : Li+1) ⊳G(L : Li) ⊳ . . .⊳G(L : K), (8.4)

G(L : Li)G(L : Li+1) ∼= G(Li+1 : Li). (8.5)Êðîìå òîãî, ãðóïïà G(Li+1 : Li) àáåëåâà. (8.6)Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê chark = 0, òî ìíîãî÷ëåí xni+1 − bi ∈ Li[x] ñåïàðà-áåëåí, è åñëè ξ îäèí êîðåíü ýòîãî ìíîãî÷ëåíà, òî ξ, ωξ, . . . , ωni+1ξ âñå êîðíè ýòîãî ìíîãî÷ëåíà. À òàê êàê G(Li+1 : Li) ïåðåñòàâëÿåò ýòèêîðíè, òî G(Li+1 : Li) èìè (êîðíÿìè) îïðåäåëÿåòñÿ.Ïóñòü σ, τ ∈ G(Li+1 : Li) è σ(ξ) = ωiξ, τ(ξ) = ωjξ. Òîãäà

σ(τ(ξ)) = σ(ωjξ) = σ(ωj)σ(ξ) = ωj · ωi = ωi · ωj = τ(σ(ξ)),ò.å. G(Li+1 : Li) àáåëåâà.Òàêèì îáðàçîì, (8.4), (8.5), (8.6) ïîêàçûâàþò, ÷òî ãðóïïà

G(L : K) ðàçðåøèìà. (8.7)Ââèäó (8.2) è chark = 0K : k ðàñøèðåíèå àëóà, (8.8)Ïî òåì æå ñîîáðàæåíèÿì, ÷òî è äëÿ ãðóïïû G(Li+1 : Li),

G(K : k) àáåëåâà. (8.9)Èç âêëþ÷åíèé k ⊂ K ⊂ L, (8.8) è îñíîâíîé òåîðåìû àëóà ñëåäóåò, ÷òî

G(L : K) ⊳G(L : k), (8.10)

G(L : k)G(L : K) ∼= G(K : k). (8.11)Ñîáèðàÿ âìåñòå (8.4) è (8.10) è ó÷èòûâàÿ (8.7), (8.11) è (8.9), çàêëþ÷à-åì, ÷òî

G(L : k) ðàçðåøèìà. (8.12)171

Äàëåå, k ⊂ E ⊂ R ⊂ L è E : k íîðìàëüíî ïî óñëîâèþ òåîðåìû. Òîãäàïî îñíîâíîé òåîðåìå òåîðèè àëóà

G(L : E) ⊳G(L : k), (8.13)

G(L : k)G(L : E) ∼= G(E : k) ≡ Gf (k). (8.14)Èòàê, G(L : k) ðàçðåøèìà ïî (8.12), G(L : E) ðàçðåøèìà êàê íîðìàëü-íàÿ ïîäãðóïïà ðàçðåøèìîé ãðóïïû (ñì. òåîðåìó 2.54 è (8.13)). Íàêîíåö,ñîãëàñíî (8.14) è òåîðåìå 2.54, Gf (k) ðàçðåøèìà êàê àêòîð-ãðóïïà ðàç-ðåøèìîé ãðóïïû. Òåîðåìà 8.5. Ïóñòü f(s) ∈ Q[x] íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí ïðîñòîéñòåïåíè p è f èìååò ðîâíî äâà êîìïëåêñíûõ êîðíÿ. Òîãäà Gf (Q) ∼= Sp è,ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå f(x) = 0 íåðàçðåøèìî â ðàäèêàëàõ ïðè p > 5.Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû îïèðàåòñÿ íà ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå èçòåîðèè ãðóïï, èíòåðåñíîå ñàìî ïî ñåáå.Òåîðåìà 8.6 (Êîøè). Ïóñòü G êîíå÷íàÿ ãðóïïà è åå ïîðÿäîê äå-ëèòñÿ íà ïðîñòîå ÷èñëî p, ò.å. p | |G|. Òîãäà G ñîäåðæèò ýëåìåíòïîðÿäêà p.Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóåì èíäóêöèþ ïî ïîðÿäêó ãðóïïûG. Ïðåä-ïîëîæèì, ÷òî êàæäàÿ êîíå÷íàÿ ãðóïïà, ïîðÿäîê êîòîðîé ìåíüøå |G| èäåëèòñÿ íà p, ñîäåðæèò ýëåìåíò ïîðÿäêà p.Åñëè p | |H | äëÿ íåêîòîðîé ñîáñòâåííîé ïîäãðóïïûH ⊂ G (ò.å. H < G),òî, ââèäó ïðåäïîëîæåíèÿ, òåîðåìà äîêàçàíà.Åñëè æå p íå äåëèò ïîðÿäêà íèêàêîé ñîáñòâåííîé ïîäãðóïïû èç G,íî p | |G|, òî ïî òåîðåìå 2.51 p äåëèò |Z(G)|. Çäåñü Z(G) öåíòð G.Çíà÷èò, Z(G) íå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîé ïîäãðóïïîé â G. Òàêèì îáðàçîì,Z(G) = G, ò.å. G àáåëåâà êîíå÷íàÿ ãðóïïà. Ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 3.39.1,êàæäàÿ êîíå÷íàÿ àáåëåâà ãðóïïà ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîé ïðÿìîé ñóììîé êî-íå÷íûõ öèêëè÷åñêèõ ïîäãðóïï. Ñëåäîâàòåëüíî, â G åñòü öèêëè÷åñêàÿïîäãðóïïà A 6 G ïîðÿäêà pk. Ïî òåì æå ñîîáðàæåíèÿì, ÷òî è âûøå,A = G. Ïóñòü G = 〈a〉, ò.å. a îáðàçóþùàÿ ãðóïïû G. Òîãäà ïîëîæèìg := ap

k−1 . Ñëåäîâàòåëüíî, gp := (apk−1

)p = apk

= e. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 8.5. Ïóñòü K ïîëå ðàçëîæåíèÿ ìíîãî-÷ëåíà f è ïóñòü a1, a2, . . . , ap ∈ K âñå êîðíè f . Îíè ðàçëè÷íû, òàê êàêf íåïðèâîäèì è ñåïàðàáåëåí (charK = 0). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî a1 = a2 172

êîìïëåêñíûå êîðíè, à a3, a4, . . . , ap ∈ R. Åñëè α îäèí èç êîðíåé f , òî[Q(α) : Q] = p. Ñëåäîâàòåëüíî,

[K : Q] = [K : Q(α)][Q(α) : Q] = p · [K : Q(α)].Òàê êàê Gf (Q) := G(K : Q), òî ïî òåîðåìå 7.2|Gf (Q)| = [K : Q] = p · [K : Q(α)], ò.å. p | |Gf (Q)|.Ïî òåîðåìå 8.6 (Êîøè) â Gf (Q) èìååòñÿ ýëåìåíò π ïîðÿäêà p, ò.å. â Gf (Q)åñòü öèêë π äëèíû p, à èìåííî, π = (a1, ai2 , ai3 , . . . , aip). Çàìåíÿÿ π ñî-îòâåòñòâóþùåé ñòåïåíüþ π ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ai2 = a2. Ïîòîì, ïåðå-îáîçíà÷èâ êîðíè a3, a4, . . . , ap, ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî π = (a1, a2, a3, . . . , ap).Êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå åñòü ýëåìåíò σ = (a1 a2) â Gf (Q) ïîðÿäêà 2(π = (a1, a2, a3, . . . , ap) = (a1, a2, a3, . . . , ap) = σ ∈ Gf (Q)). Ïîñêîëüêó

σj := (aj−1, aj) = π1−j · σπj−1, 2 6 j ≤ p, òî âñå σj ∈ Gf (Q), 1 6 j 6 p. Ïîòåîðåìå 2.61 Gf (Q) ∼= Sp. Òàê êàê Sp, p > 5, íåðàçðåøèìà (òåîðåìà 2.69),òî f(x) = 0 íåðàçðåøèìî â ðàäèêàëàõ ïî òåîðåìå 8.4. Ïðèìåð 8.7. Óðàâíåíèå x5 − 6x + 3 = 0 íåðàçðåøèìî â ðàäèêàëàõ.Äåéñòâèòåëüíî, ìíîãî÷ëåí f(x) = x5−6x+3 ∈ Q[x] íåïðèâîäèì ïî ïðèçíà-êó Ýéçåíøòåéíà. Òàê êàê f(−2) = −17, f(−1) = 8, f(1) = −2, f(2) = 23,òî ìû èìååì óæå òðè äåéñòâèòåëüíûõ êîðíÿ. Åñëè áû f(x) èìåë ÷åò-âåðòûé äåéñòâèòåëüíûé êîðåíü (à çíà÷èò, è ïÿòûé), òî ïî òåîðåìå îë-ëÿ f ′(x) èìåë áû 4, à f ′′(x) èìåë áû 3 äåéñòâèòåëüíûõ êîðíÿ. Íî

f ′′(x) = 20x3 èìååò îäèí äåéñòâèòåëüíûé êîðåíü. Òàêèì îáðàçîì, ìíî-ãî÷ëåí f(x) = x5 − 6x+ 3 óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ òåîðåìû 8.5.8.2. Ïîñòðîåíèå öèðêóëåì è ëèíåéêîéÂ ýòîì ïàðàãðàå ìû ïîêàæåì, ñ êàêîé ýåêòèâíîñòüþ àëãåáðàè÷å-ñêèå ìåòîäû ïîêàçûâàþò íåâîçìîæíîñòü ðåøåíèÿ ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ èëèíåéêè äðåâíèõ êëàññè÷åñêèõ çàäà÷ îá óäâîåíèè êóáà, òðèñåêöèè óãëàè êâàäðàòóðû êðóãà. Äëÿ ýòîãî ãåîìåòðè÷åñêèå ïîñòðîåíèÿ ñ ïîìîùüþöèðêóëÿ è ëèíåéêè ñîðìóëèðóåì íà àëãåáðàè÷åñêîì ÿçûêå.Äëÿ íà÷àëà îòìåòèì, ÷òî èç ýëåìåíòàðíîé ãåîìåòðèè èçâåñòíî, ÷òîñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè ìû óìååì:1) ÷åðåç äâå çàäàííûå òî÷êè ïðîâîäèòü ïðÿìóþ;2) ïðè çàäàííîé òî÷êå O è çàäàííîé äëèíå r > 0 ïðîâîäèòü îêðóæíîñòüñ öåíòðîì â òî÷êå O è ðàäèóñà r > 0;173

3) íàõîäèòü òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ïðÿìûõ;4) íàõîäèòü òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé è îêðóæíîñòè;5) íàõîäèòü òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ îêðóæíîñòåé;6) èç çàäàííîé òî÷êè íà çàäàííîé ïðÿìîé âîññòàíàâëèâàòü ïåðïåíäè-êóëÿð ê ýòîé ïðÿìîé;7) èç çàäàííîé òî÷êè âíå çàäàííîé ïðÿìîé îïóñêàòü ïåðïåíäèêóëÿð íàýòó ïðÿìóþ;8) ÷åðåç òî÷êó âíå ïðÿìîé ïðîâîäèòü ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ çàäàííîé.Êðîìå öèðêóëÿ è ëèíåéêè â íàøåì ðàñïîðÿæåíèè, áåçóñëîâíî, èìååòñÿäåêàðòîâà ïëîñêîñòü R2 (ëèñò áóìàãè).Òåïåðü çàäà÷à îðìàëèçóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü 1 îáîçíà÷à-åò íåêîòîðûé îòðåçîê íà ïðÿìîé R ìàñøòàá. Äàëåå ìû èíòåðåñóåìñÿ,êàêèå ÷èñëà a ∈ R, ò.å. îòðåçêè [0, a], ìîæíî ïîñòðîèòü ñ ïîìîùüþ öèð-êóëÿ è ëèíåéêè. Òàêèå ÷èñëà íàçîâåì ïîñòðîèìûìè. Òî÷êó (x, y) ∈ R2íàçûâàþò ïîñòðîèìîé, åñëè ïîñòðîèìû x è y ∈ R.Î÷åâèäíî, ÷òî èìåÿ 1, ìû ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ ìîæåì îòëîæèòü íàïðÿìîé âñå öåëûå ÷èñëà, ò.å. ÷èñëà èç Z ïîñòðîèìû.Èç ýëåìåíòàðíîé ãåîìåòðèè ñëåäóåò, ÷òî åñëè b è a ïîñòðîèìû, òî ïî-ñòðîèìû b± a, ba è b/a.

1a

b

ba

1a

b/a

b

Òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî ïîñòðîèìûå ÷èñëà îáðàçóþò â R ïîä-ïîëå K, ñîäåðæàùåå Q, ò.å. Q ⊂ K ⊂ R.Òàêæå äëÿ çàäàííîãî a ìîæíî ïîñòðîèòü √a, ò.å. êîðåíü ìíîãî÷ëåíàp(x) = x2 − a.

174

a 1

√a

Ñëåäîâàòåëüíî, K ⊃ Q(√α) äëÿ ëþáîãî α ∈ Q. À çíà÷èò, è K ⊃Q(

√α)(√β) äëÿ ëþáîãî β ∈ Q(

√α). Òàêèì îáðàçîì, åñëè a ∈ R ïîñòðîè-ìî, òî a ∈ Q(

√α1) . . . (

√αn), ãäå Q(

√α1) . . . (

√αi) : Q(

√α1) . . . (

√αi−1) êâàäðàòè÷íîå ðàñøèðåíèå.Îáðàòíî, ïóñòü çàäàíî ïîëå F ⊂ R è ïóñòü çàäàíû äâå òî÷êè A =

(a1, a2), B = (b1, b2) ∈ F2. Òîãäà:1. Ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç ýòè òî÷êè, èìååò âèäx− a1

b1 − a1=

y − a2

b2 − a2,ò.å. ax+ by + c = 0; a, b, c ∈ F.Òî÷êà C = (c1, c2) ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ òàêèõ ïðÿìûõ óäîâëåòâîðÿåò ñè-ñòåìå

ax+ by + c = 0,a1x+ b1y + c1 = 0,è ïîýòîìó C = (c1, c2) ∈ F2.2. Ïóñòü C = (x, y) òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ îêðóæíîñòè

(x− h)2 + (y − k)2 = r2, h, k, r ∈ Fè ïðÿìîéax+ by + c = 0, a, b, c,∈ F.Òîãäà x è y ïðèíàäëåæàò êâàäðàòè÷íîìó ðàñøèðåíèþ F.3. Åñëè C = (x, y) òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ îêðóæíîñòåé, òî îíàóäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå

(x − h)2 + (y − k)2 = r2,(x − h′)2 + (y − k′)2 = r′2,

h, h′, k, k′, r, r′ ∈ F.175

Âû÷èòàÿ èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ âòîðîå, ïîëó÷èì ñèñòåìó

(x− h)2 + (y − k)2 = r2,2(h′ − h)x+ 2(k′ − k)y = r′2 − h2 − k2 − r′2 + h′2 + k′2,îïèñûâàþùóþ òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ îêðóæíîñòè ñ ïðÿìîé. Ïî 2) x è y ïðè-íàäëåæàò ðàñøèðåíèþ F.Ëþáîìó ñåìåéñòâó ïîñòðîèìûõ ÷èñåë S ⊂ R ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèåïîëå F := Q(S), ïîðîæäåííîå ýòèìè ýëåìåíòàìè. Êàæäîå ïîñòðîåíèåñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè äîáàâëÿåò ýëåìåíò, â õóäøåì ñëó÷àå, èçêâàäðàòè÷íîãî ðàñøèðåíèÿ, èìåþùåãî íàä F ñòåïåíü 2. Åñëè α ∈ R ïîëó-÷àåòñÿ èç S êîíå÷íûì ÷èñëîì ïîñòðîåíèé ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè,òî α ∈ K, ãäå [K : F] = 2m äëÿ íåêîòîðîãîm. Òàê êàê [F(α) : F] äåëèò 2m,òî [F(α) : F] = 2k. Òàêèì îáðàçîì, èìååìÒåîðåìà 8.8. Åñëè ýëåìåíò α ∈ R ïîëó÷åí èç ïîëÿ F ⊂ R ñ ïî-ìîùüþ êîíå÷íîé ñåðèè ïîñòðîåíèé ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè, òî

[F(α) : F] = 2k äëÿ íåêîòîðîãî k ∈ Z+.Íàêîíåö, ìû ìîæåì äîêàçàòü ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Òåîðåìà 8.9. Êëàññè÷åñêèå ïðîáëåìû îá:1) óäâîåíèè êóáà;2) òðèñåêöèè óãëà;3) êâàäðàòóðå êðóãàíåðàçðåøèìû ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè.Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Óäâîåíèå êóáà òðåáóåò ïîñòðîåíèÿ 3√

2, èñõîäÿèç ÷èñëà 1. Òàê êàê [Q( 3√

2) : Q] = 3 íå äåëèòñÿ íà 2, òî ýòà çàäà÷àíåðàçðåøèìà.2. Åñëè óãîë θ ìîæåò áûòü ïîñòðîåí, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìîæåò áûòüïîñòðîåíà òî÷êà (x, y) ≡ (cos θ, sin θ), è îáðàòíî. Òàêèì îáðàçîì, ïðîáëåìàòðèñåêöèè óãëà ñîñòîèò â ïîñòðîåíèè cos θ3 ïî çàäàííîìó cos θ.àññìîòðèì ñëó÷àé θ = 60. Òîãäà cos 60 = 12 . Îáîçíà÷èì β = cos 20.Òàê êàê cos θ = 4 cos3 θ

3 −3 cos θ3 , òî èìååì 12 = 4β3−3β, èëè 8β3−6β−1 =

0, ò.å. (2β)3 − 3(2β) − 1 = 0. Îáîçíà÷èâ α = 2β, ïîëó÷àåì α3 − 3α −1 = 0, 0 ≤ α 6 2. Ìíîãî÷ëåí p(x) = x3 − 3x − 1 ∈ Q[x] íåïðèâîäèì,ïîòîìó ÷òî ìíîãî÷ëåí p(x+ 1) = x3 + 3x− 3 íåïðèâîäèì ïî Ýéçåíøòåéíó.Ñëåäîâàòåëüíî, [Q(α) : Q] = deg p = 3. Ïîýòîìó ðàçäåëèòü óãîë 60 íàòðè ðàâíûõ ÷àñòè ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè íåâîçìîæíî.176

3. Çàäà÷à î êâàäðóòóðå êðóãà ñîñòîèò â óñòàíîâëåíèè ðàâåíñòâà[Q(π) : Q] = 2k. Îäíàêî, ïîñêîëüêó π òðàíñöåíäåíòíî (ýòî çíàìåíèòûéðåçóëüòàò Ëèíäåìàíà, ñì. òåîðåìó 8.17), òî [Q(π) : Q] = +∞. Ñëåäîâà-òåëüíî, êâàäðàòóðà êðóãà íåâîçìîæíà. 8.3. Èððàöèîíàëüíîñòü e è πÂ ýòîì ïàðàãðàå ìû ïðèâåäåì ýëåìåíòàðíûå äîêàçàòåëüñòâà èððàöè-îíàëüíîñòè ÷èñåë e è π.Ïðåæäå âñåãî ñîðìóëèðóåì ýëåìåíòàðíîå, íî ïîëåçíîå óòâåðæäåíèå.Ëåììà 8.10. Åñëè g(x) ∈ Z[x], òî âñå êîýèöèåíòû k-é ïðîèçâîäíîég(k)(x) ∈ Z[x] äåëÿòñÿ íà k!.Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî ýòî ïîêàçàòü äëÿ g(x) = xn:

g(k)(x) =

0, k > n,

n(n− 1) . . . (n− k + 1)xn−k = k!Cknxn−1, 1 ≤ k ≤ n.

Òåîðåìà 8.11. ×èñëî e èððàöèîíàëüíî.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó e =+∞∑k=0

1

k!

, òî

n!e = An +rn

n+ 1, ãäå An = n!

n∑

k=0

1

k!, rn = (n+ 1)!

+∞∑

k=n+1

1

k!.Ýëåìåíòàðíàÿ îöåíêà äàåò

rn = 1 +1

n+ 2+

1

(n+ 2)(n+ 3)+ . . . < 1 +

1

2+

1

22+ . . . = 2.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî e ðàöèîíàëüíî, ò.å. e =

m

n

, ãäå m,n ∈ N. Òîãäà

n!e öåëîå. Êðîìå òîãî, An öåëîå. Òàêèì îáðàçîì, rnn+ 1

= n!e − An öåëîå. Îäíàêî, 0 <rn

n+ 1<

2

n+ 1≤ 1. Ïðîòèâîðå÷èå. Òåîðåìà 8.12. ×èñëî π èððàöèîíàëüíî.177

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f ∈ R[x]. Ïîëîæèì

F (x) := f(x)− f (2)(x) + f (4)(x) − f (6)(x) + . . . ∈ R[x].Òîãäà

F ′′(x) = f (2)(x) − f (4)(x) + f (6)(x)− . . . .Ñëåäîâàòåëüíî,

F (x) + F ′′(x) = f(x).Îòñþäà

d

dx[F ′(x) sin x− F (x) cosx] = f(x) sinx.Èíòåãðèðóÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî, ïîëó÷èì

∫ π

0

f(x) sinxdx = F (π) + F (0). (8.15)Ïðåäïîëîæèì, ÷òî π ðàöèîíàëüíî, ò.å. π =a

b

, ãäå a, b ∈ N. Ïîëîæèìâ ðàâåíñòâå (8.15)

f(x) :=bn

n!xn(π − x)n =

1

n!xn(a− bx)n.×èñëî 0 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì êðàòíîñòè n ýòîãî ìíîãî÷ëåíà. Ñëåäîâàòåëüíî,

f(0) = f ′(0) = . . . = f (n−1)(0) = 0.Ñîãëàñíî ëåììå 8.10, âñå êîýèöèåíòû ìíîãî÷ëåíà f (l)(x) ïðè l ≥ nÿâëÿþòñÿ öåëûìè. Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëà f (k)(0) öåëûå äëÿ âñåõ k =0, 1, 2, . . ..Ïîñêîëüêó f(x) = f(π − x), òî

f (k)(x) = (−1)kf (k)(π − x), k = 0, 1, 2, . . . .Ïîëàãàÿ x = π, èìååì

f (k)(π) = (−1)kf (k)(0) ∈ Z, k = 0, 1, 2, . . . .Îòñþäà çàêëþ÷àåì, ÷òî

F (π) + F (0) ∈ Z. (8.16)178

Ïîêàæåì, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì n

0 <

∫ π

0

f(x) sinxdx < 1. (8.17)Äåéñòâèòåëüíî, f(x) sinx > 0 íà èíòåðâàëå (0, π). Ïîñêîëüêó óíêöèÿf(x) sin x íåïðåðûâíà íà (0, π), òî

0 <

∫ π

0

f(x) sinxdx.Ñ äðóãîé ñòîðîíû, xn(π − x)n ≤ π2n íà èíòåðâàëå (0, π), è ïðè äîñòà-òî÷íî áîëüøîì n∫ π

0

f(x) sinxdx ≤∫ π

0

f(x)dx =bn

n!

∫ π

0

xn(π − x)ndx ≤ bnπ2n

n!

∫ π

0

dx < 1.àâåíñòâî (8.15) è ñîîòíîøåíèÿ (8.16), (8.17) âåäóò ê ïðîòèâîðå÷èþ. 8.4. Òðàíñöåíäåíòíîñòü e è πÂ ýòîì ïàðàãðàå áóäóò ïðèâåäåíû äîêàçàòåëüñòâà çíàìåíèòûõ òåîðåìØ. Ýðìèòà è Ê. Ëèíäåìàíà î òðàíñöåíäåíòíîñòè ÷èñåë e è π.Âíà÷àëå íàïîìíèì íåîáõîäèìûå ïîíÿòèÿ è àêòû îá àëãåáðàè÷åñêèõ÷èñëàõ â óäîáíûõ íàì îðìóëèðîâêàõ, à òàêæå íåêîòîðûå àêòû î ñèì-ìåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíàõ.Íàïîìíèì, ÷òî êîìïëåêñíîå ÷èñëî α íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì, åñëèîíî ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì ýëåìåíòîì íàä ïîëåì Q (ñì. ïàðàãðà 6.3),ò.å. α ÿâëÿåòñÿ êîðíåì íåêîòîðîãî p(x) ∈ Q[x]. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî p(x) ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí äëÿ α. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 6.18, ýòî ìíîãî-÷ëåí èç Q[x] íàèìåíüøåé ñòåïåíè ñî ñòàðøèì êîýèöèåíòîì, ðàâíûì 1,èìåþùèé α ñâîèì êîðíåì. Ïî òåîðåìå 6.19 p(x) íåïðèâîäèì íàä Q. Ñòå-ïåíü ìèíèìàëüíîãî ìíîãî÷ëåíà p(x), êàê èçâåñòíî, íàçûâàåòñÿ ñòåïåíüþàëãåáðàè÷åñêîãî ÷èñëà α è îáîçíà÷àåòñÿ degα = deg p = n. Îñòàëüíûåêîìïëåêñíûå êîðíè α2, α3, . . . , αn ìíîãî÷ëåíà p(x) íàçûâàþòñÿ ñîïðÿæåí-íûìè ê ÷èñëó α1 = α è, ðàçóìååòñÿ, òàêæå ÿâëÿþòñÿ àëãåáðàè÷åñêèìè÷èñëàìè (ñì. îïðåäåëåíèå 6.21). Âñå îíè ðàçëè÷íû (òåîðåìà 6.71).Óìíîæàÿ p(x) íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî C, ðàâíîå ÍÎÊâñåõ çíàìåíàòåëåéêîýèöèåíòîâ p(x), ïîëó÷èì ìíîãî÷ëåí q(x) = Cp(x) ñ öåëûìè êîýè-öèåíòàìè, ó êîòîðîãî α ÿâëÿåòñÿ êîðíåì. Ìíîãî÷ëåí q(x) íåïðèâîäèìâ Z[x]. 179

Òàêèì îáðàçîì, êîìïëåêñíîå ÷èñëî α àëãåáðàè÷íî, åñëè îíî ÿâëÿåòñÿêîðíåì íåêîòîðîãî ìíîãî÷ëåíà ñ öåëûìè êîýèöèåíòàìè. Åñëè æå αÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà ñ öåëûìè êîýèöèåíòàìè è ñòàðøèì êîý-èöèåíòîì 1, òî îíî íàçûâàåòñÿ öåëûì àëãåáðàè÷åñêèì, ò.å. α öåëîåàëãåáðàè÷åñêîå, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîé íåïðèâîäèìûé íàä Q ìíîãî÷ëåí

p(x) = xn + an−1xn−1 + . . .+ a0 ∈ Z[x],÷òî p(α) = 0.Î÷åâèäíî, ÷òî êàæäîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî α =

m

n

, m ∈ Z, n ∈ N, ìîæ-íî óìíîæèòü íà íàòóðàëüíîå n, ÷òîáû ïîëó÷èòü öåëîå m. Àíàëîãè÷íîåóòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë.Ëåììà 8.13. Êàæäîå àëãåáðàè÷åñêîå ÷èñëî α ìîæíî óìíîæèòü íàíàòóðàëüíîå, ÷òîáû ïîëó÷èòü öåëîå àëãåáðàè÷åñêîå.Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü α àëãåáðàè÷åñêîå ÷èñëî è

ϕ(x) = axn + an−1xn−1 + . . .+ a1x+ a0 ∈ Z[x], ãäå a ∈ N åãî ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí, ò.å. ϕ íåïðèâîäèì è ϕ(α) = 0. àññìîòðèììíîãî÷ëåí

an−1ϕ(x) = (ax)n + an−1(ax)n−1 + . . .+ a1a

n−2(ax) + a0an−1.Òîãäà

F (y) := yn + an−1yn−1 + . . .+ a1a

n−1y + a0an−1 ∈ Z[y]è

F (aα) = an−1ϕ(α) = 0,ò.å. aα öåëîå àëãåáðàè÷åñêîå. F íåïðèâîäèì, èáî â ïðîòèâíîì ñëó÷àåïðèâîäèì áûë áû è ϕ.Òàê êàê ϕ(x) = a(x− α1) . . . (x− αn), òîan−1ϕ(x) = an(x− α1) . . . (x − αn) = (ax− aα1) . . . (ax− aαn).Ñëåäîâàòåëüíî, F (y) = (y − aα1) . . . (y − aαn), ò.å. aαi ñîïðÿæåííûåê aα. 180

Îïðåäåëåíèå 8.14. Ïóñòü K êîììóòàòèâíîå êîëüöî ñ åäèíèöåé.Ìíîãî÷ëåí p(x1, x2, . . . , xn) ∈ K[x1, x2, . . . , xn] íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷å-ñêèì, åñëè îí ïåðåõîäèò â ñåáÿ ïðè ëþáîé ïåðåñòàíîâêå ïåðåìåííûõx1, x2, . . . , xn.Ìíîãî÷ëåíû âèäà

σ1 = x1 + x2 + . . .+ xn,

σ2 = x1x2 + x1x3 + . . .+ x2x3 + . . .+ xn−1xn,

σ3 = x1x2x3 + x1x2x4 + . . .+ xn−2xn−1xn,

. . .

σn = x1x2 . . . xnñèììåòðè÷íû è íàçûâàþòñÿ ýëåìåíòàðíûìè ñèììåòðè÷åñêèìè ìíîãî-÷ëåíàìè.Äëÿ êàæäîãî ψ(y1, . . . , yn) ∈ K[y1, . . . , yn] ìíîãî÷ëåí ψ(σ1, . . . , σn) ∈K[x1, . . . , xn] ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íûì ìíîãî÷ëåíîì îò x1, . . . , xn.Îñíîâíàÿ òåîðåìà î ñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíàõ ãëàñèò:Êàæäûé ñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí èç K[x1, . . . , xn] ìîæåò áûòüåäèíñòâåííûì îáðàçîì çàïèñàí â âèäå ψ(σ1, . . . , σn).Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè â ïðîèçâîëüíûé ìíîãî÷ëåí p(x1, . . . , xn) ∈Z[x1, . . . , xn] âìåñòî xk ïîäñòàâèòü n öåëûõ ÷èñåë αk, òî ïîëó÷èì

p(α1, . . . , αn) öåëîå ÷èñëî.Íå÷òî àíàëîãè÷íîå èìååò ìåñòî äëÿ öåëûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë è ñèì-ìåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ. Òî÷íåå, ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿËåììà 8.15. Ïóñòü α öåëîå àëãåáðàè÷åñêîå ÷èñëî, ϕ(x) = xn +an−1x

n−1 + . . . + a0 ∈ Z[x] åãî ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí, α =α1, α2, . . . , αn ñîïðÿæåííûå êîðíè. Ïóñòü F (x1, . . . , xk; y1, . . . , yn) ∈Z[x1, . . . , xk; y1, . . . , yn] = Z[x1, . . . , xk][y1, . . . , yn] ñèììåòðè÷åí, êàê ìíî-ãî÷ëåí îò ïåðåìåííûõ y1, . . . , yn ñ êîýèöèåíòàìè â êîëüöå K =Z[x1, . . . , xk]. Òîãäà F (x1, . . . , xk;α1, . . . , αn) ∈ Z[x1, . . . , xk].Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó F (x1, . . . , xk; y1, . . . , yn) ñèììåòðè÷å-ñêèé ìíîãî÷ëåí îò y1, . . . , yn ñ êîýèöèåíòàìè èç êîëüöà Z[x1, . . . , xk],òî ïî îñíîâíîé òåîðåìå îí ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê ìíîãî÷ëåí îò σ1, . . . , σn ñêîýèöèåíòàìè èç Z[x1, . . . , xk], ò.å.

F (x1, . . . , xk; y1, . . . , yn) = ψ(x1, . . . , xk;σ1, . . . , σn) ∈∈ Z[x1, . . . , xk][σ1, . . . , σn].181

Ïîäñòàâëÿÿ âìåñòî yj ÷èñëà αj , ïîëó÷èì âìåñòî σ1, . . . , σn ýëåìåíòàð-íûå ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû îò α1, . . . , αn. Íî îíè ñ òî÷íîñòüþ äîçíàêîâ ñîâïàäàþò ñ êîýèöèåíòàìè an−1, . . . , a0 ∈ Z ìíîãî÷ëåíà ϕ(x).Ïîýòîìó F (x1, . . . , xk;α1, . . . , αn) ∈ Z[x1, . . . , xk]. Ïðåîáðàçîâàíèå Ýðìèòà óíêöèè f(t) îïðåäåëèì îðìóëîé

(If)(t) :=

∫ t

0

et−τf(τ)dτ . (8.18)Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, èìååì

∫ t

0

e−τf(τ)dτ = [f(0)− e−tf(t)] +

∫ t

0

e−τf ′(τ)dτ .Ñëåäîâàòåëüíî,

(If)(t) = [etf(0)− f(t)] + (If ′)(t).Ïîâòîðÿÿ ïðîöåäóðó (åñëè f ãëàäêàÿ), ïîëó÷èì

(If)(t) = etm∑

j=0

f (j)(0)−m∑

j=0

f (j)(t) + (If (m+1))(t).Åñëè f(x) ∈ R[x] è deg f = m, òî ìû èìååì òîæäåñòâî Ýðìèòà

(If)(t) = etm∑

j=0

f (j)(0)−m∑

j=0

f (j)(t).Â äàëüíåéøåì ÷åðåç f(x) áóäåì îáîçíà÷àòü ìíîãî÷ëåí, ïîëó÷åííûé èçf(x) çàìåíîé âñåõ êîýèöèåíòîâ íà èõ àáñîëþòíûå çíà÷åíèÿ.Ïðåîáðàçîâàíèå Ýðìèòà ìíîãî÷ëåíà, êàê è ëþáîé äðóãîé öåëîé àíàëè-òè÷åñêîé óíêöèè, ìîæíî îïðåäåëèòü äëÿ êîìïëåêñíûõ t, âûáðàâ â (8.18)ïðîèçâîëüíûé ïóòü èíòåãðèðîâàíèÿ, ñîåäèíÿþùèé 0 è t. Âçÿâ â êà÷åñòâåïóòè îòðåçîê τ = tλ, λ ∈ [0, 1], íåìåäëåííî ïîëó÷àåì îöåíêó

|(If)(t)| ≤∫ t

0

|et−τf(τ)| |dτ | ≤ |t| e|t|f(|t|). (8.19)Òåîðåìà 8.16 (Ø. Ýðìèòà). ×èñëî e òðàíñöåíäåíòíî.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî e àëãåáðàè÷åñêîå, ò.å.q0 + q1e+ . . .+ qne

n = 0, qk ∈ Z, q0 > 0.182

àññìîòðèì âûðàæåíèå

J = q0(If)(0) + q1(If)(1) + . . .+ qn(If)(n) =

= (q0 + q1e+ qnen)

m∑

j=0

f (j)(0)−n∑

k=0

m∑

j=0

qkf(j)(k) =

= −m∑

j=0

n∑

k=0

qkf(j)(k). (8.20)Îöåíèì J äëÿ ìíîãî÷ëåíà

f(x) = xp−1(x− 1)p(x2)p . . . (x− n)p, (8.21)ãäå p äîñòàòî÷íî áîëüøîå ïðîñòîå ÷èñëî, à ñòåïåíü m = (n+ 1)p− 1.Èç (8.19) èìååì

|(If)(k)| ≤ kekf(k).Ñëåäîâàòåëüíî,|J | = |

n∑

k=0

qk(If)(k)| ≤ |q1|ef(1) + . . .+ |qn|nenf(n). (8.22)Ïîñêîëüêó èç (8.21)f(|x|) ≤ |x|p−1(|x|+ 1)p . . . (|x|+ n)p ≤

≤ |x|p−1(|x| + n)np ≤ (|x|+ n)np+p−1 = (|x|+ n)m,òîf(k) ≤ f(n) ≤ (2n)m äëÿ âñåõ k = 0, 1, . . . , n. (8.23)Íåðàâåíñòâà (8.22) è (8.23) äàþò îöåíêó

|J | ≤ (2n)m(|q1|e+ . . .+ |qn|nen) ≤ (2n)m · 2n · en · |q1|+ . . .+ |qn|2

=

= C1(2n)m+1en = C1(2n)(n+1)pen = Cap, (8.24)ãäå C =|q1|+ . . .+ |qn|

2en, a = (2n)n+1, ò.å. C è a íå çàâèñÿò îò p.Ñ äðóãîé ñòîðîíû, òàê êàê x = 0 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà (8.21)êðàòíîñòè p− 1, òî

f (j)(0) = 0 ïðè j < p− 1,

f (p−1)(0) = (p− 1)!(−1)np(n!)p.

(8.25)183

Ïîñêîëüêó x = 1, 2, . . . , n ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè ýòîãî æå ìíîãî÷ëåíà êðàòíî-ñòè p, òî

f (j)(k) = 0 ïðè j < p, k = 1, 2, . . . , n. (8.26)Ñîãëàñíî (8.20), ñ ó÷åòîì (8.25), (8.26), èìååì

J = −[q0

m∑

j=p−1

f (j)(0) + q1

m∑

j=p

f (j)(1) + . . .+ qn

m∑

j=p

f (j)(n)] =

= −q0(p− 1)!(−1)np(n!)p −n∑

k=0

qk(

m∑

j=p

f (j)(k)).Ñîãëàñíî ëåììå 8.10, âñå f (j)(k) äëÿ j ≥ p, k = 0, 1, . . . , n, äåëÿòñÿíà p!. Ïîýòîìó J äåëèòñÿ íà (p − 1)!. Îäíàêî, åñëè p > maxq0, n!, òî Jíå äåëèòñÿ íà p!. Çíà÷èò, J 6= 0. Ñëåäîâàòåëüíî,

|J | ≥ (p− 1)! (8.27)Èç íåðàâåíñòâ (8.24) è (8.27) èìååì (p− 1)! ≤ Cap, îòêóäà

1 ≤ Ca ap−1

(p− 1)!→ 0 ïðè p→∞.Ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò òåîðåìó. Òåîðåìà 8.17 (Ê. Ëèíäåìàíà). ×èñëî π òðàíñöåíäåíòíî.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî π àëãåáðàè÷åñêîå. Ïîñêîëüêóàëãåáðàè÷åñêèå ÷èñëà îáðàçóþò ïîëå (àëãåáðàè÷åñêîå çàìûêàíèå Q ⊂ C),òî α = iπ òîæå àëãåáðàè÷íî. àññìîòðèì ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí äëÿ α:

ϕ(x) = lxs + as−1xs−1 + . . .+ a0 ∈ Z[x], ãäå l > 0.Ïóñòü α = α1, α2, . . . , αs ñîïðÿæåííûå êîðíè. Òîãäà

ϕ(x) = l(x− α1) . . . (x− αs).Òàê êàê eiπ = −1, òî

(1 + eα1)(1 + eα2) . . . (1 + eαs) = 0. (8.28)184

Ïåðåìíîæèâ ñêîáêè â ëåâîé ÷àñòè (8.28), ïîëó÷èì ñóììó 2s ñëàãàåìûõ:1 + (eα1 + . . .+ eαs) + (eα1+α2 + eα1+α3 + . . .+

+ eαs−1+αs) + . . .+ eα1+α2+...+αs = eβ1 + eβ2 + . . .+ eβ2s = 0, (8.29)ãäå ïîêàçàòåëè βk èìåþò âèäβk = εk1α1 + εk2α2 + . . .+ εksαs, εki ∈ 0, 1. (8.30)Áóäåì ñ÷èòàòü ïîêàçàòåëè óïîðÿäî÷åííûìè òàê, ÷òî

βk 6= 0 ïðè 1 ≤ k ≤ n, βk = 0 ïðè n+ 1 ≤ k ≤ 2s. (8.31)Îáîçíà÷èì êîëè÷åñòâî íóëåâûõ ïîêàçàòåëåé ÷åðåç q := 2s − n, q ≥ 1.Èñïîëüçóÿ ïðåîáðàçîâàíèå Ýðìèòà (8.18), çàïèøåì âûðàæåíèå

J = (If)(β1) + . . .+ (If)(βn) =

= (eβ1 + . . .+ eβn)

m∑

j=0

f (j)(0)−n∑

k=1

m∑

j=0

f (j)(βk) =

= −qm∑

j=0

f (j)(0)−m∑

j=0

n∑

k=1

f (j)(βk) (8.32)äëÿ ìíîãî÷ëåíàf(x) = lnpxp−1(x − β1)

p . . . (x− βn)p. (8.33)Îòìåòèì, ÷òî f ∈ Z[x; lβ1, . . . , lβn]. àññìîòðèì f êàê ñèììåòðè÷åñêèéìíîãî÷ëåí îò ïåðåìåííûõ lβ1, . . . , lβn ñ êîýèöèåíòàìè â êîëüöå Z[x].Âûðàçèì f ÷åðåç ýëåìåíòàðíûå ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû σ1, . . . , σn îò

lβ1, . . . , lβn. Ïðè ïîäñòàíîâêå βk èç (8.29) çíà÷åíèÿ ýëåìåíòàðíûõ ìíîãî-÷ëåíîâ σ1, . . . , σn îò lβ1, . . . , lβn ñîâïàäóò â ñèëó (8.31) ñî çíà÷åíèÿìè ñîîò-âåòñòâóþùèõ ýëåìåíòàðíûõ ñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ îò lβ1, . . . , lβ2s .Òàêèì îáðàçîì, ìû ìîæåì ïåðåéòè ê F ∈ Z[x; lβ1, . . . , lβ2s ], êîòîðûé ÿâëÿ-åòñÿ ñèììåòðè÷íûì îòíîñèòåëüíî lβ1, . . . , lβ2s è ñîâïàäàåò ñ f , åñëè βk = 0,

n+ 1 ≤ k ≤ 2s.Â ñèëó (8.30) ïðè ïåðåñòàíîâêå lαj ïåðåìåííûå lβu ïåðåéäóò â íåêîòî-ðûå lβv èç òîãî æå íàáîðà. Ïîýòîìó F ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷åñêèì ìíîãî-÷ëåíîì îò lα1, . . . , lαs ñ êîýèöèåíòàìè â Z[x].185

Ïî ëåììå 8.13 ÷èñëà lα1, . . . , lαs öåëûå àëãåáðàè÷åñêèå. Ïî ëåì-ìå 8.15

f(x; lβ1, . . . , lβn) = F (x; lα1, . . . , lαs) ∈ Z[x].Àíàëîãè÷íî,

ln(β1 . . . βn) ∈ Z ⊂ Z[x].Òàê êàê 0 êîðåíü ìíîãî÷ëåíà f(x) êðàòíîñòè p − 1, à βk êîðåíüêðàòíîñòè p, òî

f (j)(0) = 0 ïðè j < p− 1,

f (p−1)(0) = (p− 1)!(−l)np(β1 . . . βn)p ∈ Z,

f (j)(βk) = 0 ïðè j < p.Òàêèì îáðàçîì, èç (8.32) èìååì

J = −q(p− 1)!(−l)np(β1 . . . βn)p − q

m∑

j=p

f (j)(0)−m∑

j=p

n∑

k=1

f (j)(βk). (8.34)Òàê êàê f(x) ∈ Z[x], òî f (j)(x) ∈ Z[x]. Ïî ëåììå 8.10

m∑

j=p

f (j)(0) öåëîå ÷èñëî, äåëÿùååñÿ íà p!.Î÷åâèäíî, ÷òî

n∑

k=1

f (j)(βk) ∈ Z[lβ1, . . . , lβn]ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì îòíîñèòåëüíî lβ1, . . . , lβn. Äåé-ñòâóÿ êàê è â ñëó÷àå ñ f , óñòàíàâëèâàåì, ÷òî

n∑

k=1

f (j)(βk) öåëîå ÷èñëî,êîòîðîå ïðè j ≥ p äåëèòñÿ íà p! ââèäó ëåììû 8.10.Èç (8.34) çàêëþ÷àåì, ÷òî J äåëèòñÿ íà (p − 1)!. Îäíàêî, åñëè p >|qln(β1 . . . βn)|, òî J íå äåëèòñÿ íà p!. Ñëåäîâàòåëüíî, J 6= 0 è

|J | ≥ (p− 1)! (8.35)186

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç (8.32) è (8.19) èìååì|J | ≤

n∑

k=1

|(If)(βk)| ≤n∑

k=1

|βk|e|βk|f(|βk|).Èç (8.33) ïîëó÷àåì

f(|βk|) ≤ lnp|βk|p−1(|βk|+ |β1|)p . . . (|βk|+ |βn|)p ≤ C1ap,ãäå êîíñòàíòû C1 è a íå çàâèñÿò îò p. Òîãäà

|J | ≤ Cap, ãäå C íå çàâèñèò îò p. (8.36)Íåðàâåíñòâà (8.35) è (8.36) ïðèâîäÿò ê ïðîòèâîðå÷èþ. 187

Óêàçàòåëü ñèìâîëîâ

(a), 73Aα, 74A×, 79

A ·B, 22

A + B, 47

((Aα)α∈I , fβα), 51

((Aα)α∈I , fαβ), 51

An, 44

[a], 74

a + B, 47

aα1...αnxα11 . . . xαn

n , 92

a|b, 82

α(S), 73

AutK, 143

C[0, 1], 72C, 63C×, 63

C∞(R), 72

charK, 106

cont(f), 98

deg α, 110

deg f , 91

∂f , 128Fp, 107Fpd , 140

F(S;A), 72

frA, 77

|G|, 22

G1 ⊕G2 ⊕ . . .⊕Gn, 48GF(pd), 140

[G, G], 33

(G : H), 22

GH , 26

G(K : k), 162

(G : e), 22

G(n), G(n), 56

G(p), 57

Gt, 57

Gx, 35

H 6 G, 22

H ⊳ G, 26

Hx, 23

(i1, i2, . . . , ik), 42

Iα(A), 75

I(Aα), 75

If , 182

(i, j), 42

Im f , 27KG, 163K[α1, α2, . . . , αn], 95K : k, 105KG(K:k), 163

[K : k], 110K×, 72K[x], 91K(x), 93K[x1, . . . , xn], 92K(x1, . . . , xn), 93K[(xi)i∈I ], 92

ker f , 27k, 125k(S), 107k(α),k(α1, α2, . . . , αn), 107kp, 132

lim−→Aα, 51

lim−→(Xα, fβα), lim−→Xα, 12lim−→ gα, 16

lim←−Aα, 51lim←−α∈I

(Xα, fαβ), lim←−α∈IXα, 17

lim←− gα, 19NK:k(a), 147ÍÎÄ (a, b), 82ÍÎÊ, 86N(α), 89⊕

i∈IGi, 48

O(C), 72188

Ox, 35

ordpa, 86

ordp f , 98

ord x, 24P,Pn, 66PA, PA, 79

ϕ(n), 24Q, 63Q(√

2), 118Q(p), 65Qp, 66Q+, 66Q(p), 65R, 63R+, 63R×, 63rank B, 55(s1, . . . , sn), 73〈S〉, 23Sn, 41sign σ, 43∑n

k=1 Ak, 47T, 63Tor G, 57trK:k(a), 147Up, 67x−1, 21X/R, 8xH , 22[x]R, 8[x, y], 33Z(G), 33Z, 63Z[i], 89Z(+∞), 63Zp, 66Z(p∞), 64Z[√−3], 80

189

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

G-ìíîæåñòâî, 34

p-ïðèìàðíàÿ ãðóïïà, 57

p-ñîäåðæàíèå ìíîãî÷ëåíà, 98Ïðåîáðàçîâàíèå Ýðìèòà, 182àëãåáðàè÷åñêàÿ îáîëî÷êà, 156àëãåáðàè÷åñêè çàâèñèìûå ýëå-ìåíòû, 109àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòîå ïîëå, 118àëãåáðàè÷åñêè íåçàâèñèìûå ýëå-ìåíòû, 109àëãåáðàè÷åñêèé ýëåìåíò, 109àëãåáðàè÷åñêîå çàìûêàíèå ïîëÿ,122àëãåáðàè÷åñêîå çàìûêàíèå ïîëÿ âåãî ðàñøèðåíèè, 115àëãåáðàè÷åñêîå ðàñøèðåíèå ïîëÿ,111àëãîðèòì Åâêëèäà, 88áàçèñ àáåëåâîé ãðóïïû, 52áàçèñ òðàíñöåíäåíòíîñòè, 156áåñêîíå÷íî äèåðåíöèðóåìûå è-íèòíûå óíêöèè, 15áèíîìèàëüíàÿ òåîðåìà äëÿ èäèîòîâ,130âíóòðåííèé àâòîìîðèçì, 37âòîðàÿ òåîðåìà îá èçîìîðèçìå, 30ãëàâíûé èäåàë, 73ãîìîìîðèçì ãðóïï, 26ãîìîìîðèçì çàìåíû êîýèöè-åíòîâ, 102ãîìîìîðèçì êàíîíè÷åñêèé, 27ãîìîìîðèçì êîëåö, 72ãîìîìîðèçì ïîäñòàíîâêè, 93ãðóïïà, 21ãðóïïà àëóà ìíîãî÷ëåíà, 170ãðóïïà àëóà ðàñøèðåíèÿ, 162ãðóïïà àáåëåâà, 21ãðóïïà àâòîìîðèçìîâ ïîëÿ, 143ãðóïïà äåéñòâóåò íà ìíîæåñòâå, 34ãðóïïà äåéñòâóåò òðàíçèòèâíî, 35ãðóïïà êîììóòàòèâíàÿ, 21ãðóïïà êîíå÷íî ïîðîæäåííàÿ, 23ãðóïïà êðó÷åíèÿ, 24ãðóïïà ïåðèîäè÷åñêàÿ, 24ãðóïïà ðàçðåøèìàÿ, 38ãðóïïà öèêëè÷åñêàÿ, 23äåëèìàÿ ãðóïïà, 58äåëèòåëü, 82äåëèòåëü íóëÿ, 76äîïîëíÿåìàÿ ãðóïïà, 48åäèíè÷íûé ýëåìåíò êîëüöà, 71çíàê ïîäñòàíîâêè, 43èäåàë, 72èäåàë, ïîðîæäåííûé ìíîæåñòâîì,73èçîìîðèçì ãðóïï, 26èçîìîðèçì êîëåö, 72èíäåê ïîäãðóïïû, 22èíäóêòèâíàÿ ñèñòåìà àáåëåâûõãðóïï, 51èíäóêòèâíàÿ ñèñòåìà ìíîæåñòâ, 11èíäóêòèâíàÿ ñèñòåìà îòîáðàæåíèé,16èíäóêòèâíûé ïðåäåë àáåëåâûõãðóïï, 51èíäóêòèâíûé ïðåäåë ìíîæåñòâ, 12êàíîíè÷åñêèé ãîìîìîðèçì êîëåö,74190

êëàññ ñìåæíîñòè ëåâûé, 22êëàññ ñìåæíîñòè ïðàâûé, 23êîëüöî, 71êîëüöî ãëàâíûõ èäåàëîâ, 73êîëüöî åâêëèäîâî, 87êîëüöî êîììóòàòèâíîå, 71êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâ, 91êîëüöî ñ äåëåíèåì, 87êîëüöî ñ îäíîçíà÷íûì ðàçëîæå-íèåì, 80êîììóòàíò ãðóïïû, 33êîììóòàòîð ýëåìåíòîâ, 33êîíå÷íàÿ òåîðåìà Øòåéíèöà, 158êîíå÷íî ïîðîæäåííàÿ àáåëåâàãðóïïà, 52êðàòíîñòü êîðíÿ, 128êðèòåðèé Ýéçåíøòåéíà, 102ëåììà àóññà, 99ëèíåéíî íåçàâèñèìîå ìíîæåñòâî,52ìàêñèìàëüíûé èäåàë, 78ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí ýëåìåíòà,109ìíîæåñòâî àëãåáðàè÷åñêè ïîðîæ-äàåò ïîëå, 156ìíîæåñòâî êîèíàëüíîå, 16ìíîæåñòâî îáðàçóþùèõ, 23ìíîæåñòâî îáðàçóþùèõ, 52ìîíîìîðèçì Ôðîáåíèóñà, 131íàäïîëå, 105íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü, 82íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå, 86íàñûùåíèå ìíîæåñòâà, 9íàñûùåííîå ìíîæåñòâî, 9íåïðåðûâíûå èíèòíûå óíêöèè,15íåïðèâîäèìàÿ ñèñòåìà îáðàçóþùèõ,52íåïðèâîäèìûé ýëåìåíò êîëüöà, 79íåðàçëîæèìûé ýëåìåíò êîëüöà, 79íîðìà ýëåìåíòà â ðàñøèðåíèè, 147íîðìàëüíîå ðàñøèðåíèå, 137îáðàç ãîìîìîðèçìà, 27îáðàçóþùàÿ öèêëè÷åñêîé ãðóïïû,25îäíîçíà÷íîå ðàçëîæåíèå íà íåïðè-âîäèìûå ýëåìåíòû, 80îðáèòà ýëåìåíòà, 35îòîáðàæåíèå âûâåäåíî àêòîðèçà-öèåé, 10îòîáðàæåíèå ñîâìåñòèìîå ñ îòíîøå-íèåì, 9ïåðâàÿ òåîðåìà îá èçîìîðèçìå, 28ïåðèîä ýëåìåíòà, 24ïåðèîä ýëåìåíòà àáåëåâîé ãðóïïû,56ïåðèîäè÷åñêàÿ àáåëåâà ãðóïïà, 56ïîäãðóïïà, 21ïîäãðóïïà êðó÷åíèÿ àáåëåâîéãðóïïû, 57ïîäãðóïïà íîðìàëüíàÿ, 26ïîäãðóïïà òðèâèàëüíàÿ, 22ïîäãðóïïà, ïîðîæäåííàÿ ìíîæå-ñòâîì, 23ïîäêîëüöî, 71ïîäïîëå, 105ïîäñòàíîâêà, 41ïîäñòàíîâêà íå÷åòíàÿ, 44ïîäñòàíîâêà ÷åòíàÿ, 44ïîëå, 72ïîëå êîíå÷íî ïîðîæäåííîå, 107ïîëå ïðîñòîå, 105ïîëå ðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíà, 119ïîëå ðàöèîíàëüíûõ óíêöèé, 93ïîëå ÷àñòíûõ, 77ïîëå ýëåìåíòàðíîå, 105ïîëå, ïîðîæäåííîå ìíîæåñòâîì,107ïîðÿäîê ãðóïïû, 22ïîðÿäîê ïðîñòîãî ýëåìåíòà â ìíîãî-÷ëåíå, 98191

ïîðÿäîê ýëåìåíòà, 24ïîðÿäîê ýëåìåíòà àáåëåâîé ãðóïïû,56ïîðÿäîê ýëåìåíòà â àêòîðèàëüíîìêîëüöå, 86ïîñòðîèìàÿ òî÷êà, 174ïîñòðîèìîå ÷èñëî, 174ïðèìèòèâíûé êîðåíü, 140ïðèñîåäèíåíèå ìíîæåñòâà ê ïîëþ,107ïðèñîåäèíåíèå ýëåìåíòà, 92ïðîåêòèâíàÿ ñèñòåìà, 17ïðîåêòèâíàÿ ñèñòåìà àáåëåâûõãðóïï, 51ïðîåêòèâíàÿ ñèñòåìà îòîáðàæåíèé,19ïðîåêòèâíûé ïðåäåë àáåëåâûõãðóïï, 51ïðîåêòèâíûé ïðåäåë ìíîæåñòâ, 17ïðîåêòèâíûé ïðåäåë ñèñòåìû îòîá-ðàæåíèé, 19ïðîåêöèÿ, 47ïðîèçâåäåíèå ãðóïï, 32ïðîìåæóòî÷íîå ïîëå, 119ïðîñòîå ðàñøèðåíèå, 107ïðîñòîå òðàíñöåíäåíòíîå ðàñøè-ðåíèå, 115ïðîñòîé èäåàë, 78ïðîñòîé êîðåíü, 128ïðîñòîé ýëåìåíò, 78ïðÿìàÿ ñóììà ïîäãðóïï, 48ïðÿìîå äîïîëíåíèå, 48ðàäèêàëüíàÿ áàøíÿ, 169ðàçëîæåíèå â ïðÿìóþ ñóììó, 48ðàíã àáåëåâîé ãðóïïû, 55ðàñøèðåíèå ïîëÿ, 105ðàñøèðåíèå ïîëÿ áåñêîíå÷íîå, 110ðàñøèðåíèå ïîëÿ êîíå÷íîå, 110ðàñøèðåíèå ðàäèêàëüíîå, 169ðàñøèðåíèÿ ïîëÿ k-èçîìîðíûå,108ðàñøèðåíèÿ ïîëÿ ýêâèâàëåíòíûå,108ðåäóêöèîííûé êðèòåðèé, 103ðîñòêè îòîáðàæåíèé, 14ðîñòêè óíêöèé â òî÷êå, 15ñâîáîäàÿ àáåëåâà ãðóïïà, 53ñåïàðàáåëüíîå ðàñøèðåíèå, 134ñåïàðàáåëüíûé ìíîãî÷ëåí, 131ñåïàðàáåëüíûé ýëåìåíò, 131ñèììåòðè÷åñêàÿ ãðóïïà, 41ñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí, 181ñëåä ýëåìåíòà â ðàñøèðåíèè, 147ñîâåðøåííîå ïîëå, 131ñîäåðæàíèå ìíîãî÷ëåíà, 98ñòàáèëèçàòîð ýëåìåíòà, 35ñòàðøèé êîýèöèåíò, 91ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà, 91ñòåïåíü ðàñøèðåíèÿ ïîëÿ, 110ñòåïåíü ðàöèîíàëüíîé óíêöèè,160ñòåïåíü ýëåìåíòà, 110ñóììà ñåìåéñòâà ìíîæåñòâ, 11òåîðåìà Àðòèíà, 124òåîðåìà Êðîíåêåðà, 116òåîðåìà Êýëè, 29òåîðåìà Ëàãðàíæà, 22òåîðåìà Øòåéíèöà, 125òåîðåìà Øòåéíèöà, 157òåîðåìà î ïðèìèòèâíîì ýëåìåíòå,135òåîðåìà î ïðîäîëæåíèè ãîìîìîð-èçìà, 58òåîðåìà î ñîîòâåòñòâèè, 32òðàíñïîçèöèÿ, 42òðàíñöåíäåíòíûé ýëåìåíò, 109òðåòüÿ òåîðåìà îá èçîìîðèçìå, 31óïîðÿäî÷åíèå íàïðàâëåííîå âïðàâî,11óïîðÿäî÷åíèå íàïðàâëåííîå ïî âîç-ðàñòàíèþ, 11192

àêòîð-ãðóïïà, 26àêòîð-êîëüöî, 74àêòîð-ìíîæåñòâî, 8àêòîðèàëüíîå êîëüöî, 80îðìàëüíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ìíîãî-÷ëåíà, 128îðìóëà êëàññîâ, 38îðìóëà îðáèò, 36õàðàêòåðèñòèêà ïîëÿ, 106õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìîíîãî÷ëåíýëåìåíòà, 145öåëîå àëãåáðàè÷åñêîå ÷èñëî, 180öåëîñòíîå êîëüöî, 76öåíòð ãðóïïû, 33öåíòðàëèçàòîð ýëåìåíòà, 38öèêë äëèíû k, 42÷åòâåðòàÿ òåîðåìà î ãîìîìîðèçìå,32÷èñòî òðàíñöåíäåíòíîå ðàñøèðåíèå,157ýêâèâàëåíòíûé ýëåìåíò êîëüöà, 79ýëåìåíò åäèíè÷íûé, 21ýëåìåíò îáðàòíûé, 21ýëåìåíò ñîïðÿæåííûé, 110ÿäðî ãîìîìîðèçìà, 27193

Áèáëèîãðàè÷åñêèé ñïèñîê1. Àëãåáðàè÷åñêàÿ òåîðèÿ ÷èñåë / ðåä.: Äæ. Êàññåëñ, À. Ôð¼ëèõ. Ì.:Ìèð, 1969. 485 ñ.2. Àðòèí, Ý. Òåîðèÿ àëóà / Ý. Àðòèí. Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2004. 66 ñ.3. Àòüÿ, Ì. Ââåäåíèå â êîììóòàòèâíóþ àëãåáðó / Ì. Àòüÿ, È. Ìàêäî-íàëüä. Ì.: Ìèð, 1972. 160 ñ.4. Áåíóà, Ä.. Ââåäåíèå â òåîðèþ ïîëåé / Ä.. Áåíóà. ÑÏá: Ëàáîðàòîðèÿíåïðåðûâíîãî ìàòîáðàçîâàíèÿ, 1998. 71 ñ.5. Áåíÿø-Êðèâåö, Â.Â. Ëåêöèè ïî àëãåáðå. ðóïïû, êîëüöà, ïîëÿ /Â.Â. Áåíÿø-Êðèâåö, Î.Â. Ìåëüíèêîâ. Ìèíñê: ÁÓ, 2009. 116 ñ.6. Áîññ, Â. Òåîðèÿ ãðóïï / Â. Áîññ. Ì.: ÓÑÑ, 2009. 216 ñ.7. Áóðáàêè, Í. Àëãåáðà. Àëãåáðàè÷åñêèå ñòðóêòóðû. Ëèíåéíàÿ è ïîëèëè-íåéíàÿ àëãåáðà / Í. Áóðáàêè. Ì.: Ôèçìàòëèò, 1962. 515 ñ.8. Áóðáàêè, Í. Àëãåáðà. Ìíîãî÷ëåíû è ïîëÿ. Óïîðÿäî÷åííûå ãðóïïû /Í. Áóðáàêè. Ì.: Íàóêà, 1965. 299 ñ.9. Âàí äåð Âàðäåí, Á.Ë. Àëãåáðà / Á.Ë. Âàí äåð Âàðäåí. Ì.: Íàóêà,1976. 648 ñ.10. Âåéëü, À. Îñíîâû òåîðèè ÷èñåë / À. Âåéëü. Ì.: Ìèð, 1972. 410 ñ.11. Âèíáåðã, Ý.Á. Êóðñ àëãåáðû / Ý.Á. Âèíáåðã. 2-å èçä. Ì.: Ôàêòîðèàë-ïðåññ, 2001. 544 ñ.12. Âëàäèìèðîâ, Â.Ñ. p-Àäè÷åñêèé àíàëèç è ìàòåìàòè÷åñêàÿ èçèêà /Â.Ñ. Âëàäèìèðîâ, È.Â. Âîëîâè÷, Å.È. Çåëåíîâ. Ì.: Íàóêà, 1994. 352 ñ.13. åëüàíä, È.Ì. Îáîáùåííûå óíêöèè. T. 6: Òåîðèÿ ïðåäñòàâëåíèé èàâòîìîðíûå óíêöèè / È.Ì. åëüàíä, Ì.È. ðàåâ, È.È. Ïÿòåöêèé-Øàïèðî. Ì.: Íàóêà, 1966. 512 ñ.14. ðåíàíäåð, Ó. Âåðîÿòíîñòè íà àëãåáðàè÷åñêèõ ñòðóêòóðàõ / Ó. ðåíàí-äåð. Ì.: Ìèð, 1965. 274 ñ.15. óðàðèé, Â.Ï. ðóïïîâûå ìåòîäû êîììóòàòèâíîãî ãàðìîíè÷åñêîãî àíà-ëèçà. Èòîãè íàóêè è òåõíèêè. Ñîâðåìåííûå ïðîáëåìû ìàòåìàòèêè / Â.Ï. óðà-ðèé. Ì.: ÂÈÍÈÒÈ, 1988. Ò. 25. 313 ñ.16. Çàðèññêèé, Î. Êîììóòàòèâíàÿ àëãåáðà / Î. Çàðèññêèé, Ï. Ñàìþýëü. Ì.: Èíîñòðàííàÿ ëèòåðàòóðà, 1963. Ò. 1. 379 ñ.17. Êèðèëëîâ, À.À. Ýëåìåíòû òåîðèè ïðåäñòàâëåíèé / À.À. Êèðèëëîâ. Ì.:Íàóêà, 1972. 336 ñ.18. Ìèëîâàíîâ, Ì.Â.Àëãåáðà è àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ / Ì.Â. Ìèëîâàíîâ,.È. Òûøêåâè÷, À.Ñ. Ôåäåíêî. Ìèíñê: Âûøýéøàÿ øêîëà, 1984. ×. 1. 305 ñ.19. Ëåíã, Ñ. Àëãåáðà / Ñ. Ëåíã. Ì.: Ìèð, 1969. 485 ñ.20. Îëåøêåâè÷, Ä.Í. Ïðîñòðàíñòâà óíêöèé ýêñïîíåíöèàëüíîãî òèïà è ñî-áîëåâñêèå ïðîñòðàíñòâà. Ôóíêöèè ð-àäè÷åñêîãî àðãóìåíòà / Ä.Í. Îëåøêåâè÷,ß.Â. àäûíî. Lambert A ademi Publishing, 2012. 100 ñ.194

21. Ïîíòðÿãèí, Ë.Ñ. Íåïðåðûâíûå ãðóïïû / Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèí. Ì.: Íàóêà,1973. 527 ñ.22. Ïîñòíèêîâ, Ì.Ì. Òåîðèÿ àëóà / Ì.Ì. Ïîñòíèêîâ. 2-å èçä. Ì.:Ôàêòîðèàë-Ïðåññ, 2003. 304 ñ.23. àäûíà, À.ß. Ïà÷àòêi íåàðõiìåäàâàãà àíàëiçó: äàïàì. äëÿ ñòóäýíòà²ìåõ.-ìàò. àê. / À.ß. àäûíà, ß.Ì. àäûíà, ß.Â. àäûíà. Ìiíñê: ÁÄÓ, 2010. 111 ñ.24. àäûíî, À.ß. p-Àäè÷åñêîå èñ÷èñëåíèå Ìèêóñèíñêîãî / À.ß. àäûíî,Å.Ì. àäûíî, ß.Â. àäûíî // Àêòóàëüíûå ïðîáëåìû ñîâðåìåííîãî àíàëèçà: ñá.íàó÷. òð.. ðîäíî: ðÓ, 2009. Ñ. 131143.25. àäûíî, À.ß. P -àäè÷åñêèå ñïëàéíû êàê àïïàðàò ïðèáëèæåíèÿ Qp-çíà÷íûõ óíêöèé / À.ß. àäûíî, À.Í. Ñåíäåð // Äîêëàäû ÍÀÍ Áåëàðóñè. 2007. Ò. 51. Ñ. 2125.26. àäûíî, Å.Ì. àñïðåäåëåíèÿ è ìíåìîóíêöèè íà àäåëÿõ. Ïðåîáðàçîâà-íèå Ôóðüå / Å.Ì. àäûíî, ß.Â. àäûíî // Òðóäû ìàòåì. èíñ-òà èì. Â.À. Ñòåê-ëîâà: Èçáðàííûå âîïðîñû p-àäè÷åñêîé èçèêè è àíàëèçà, ñá. ñòàòåé. 2004. Ò. 245. Ñ. 228240.27. Ñåðð, Æ.-Ï. Êóðñ àðèìåòèêè / Æ.-Ï. Ñåðð. Ì.: Ìèð, 1972. 184 ñ.28. Ñèäîðèê, À.. Ýëåìåíòû ãàðìîíè÷åñêîãî àíàëèçà âåêòîðíîçíà÷íûõóíêöèé. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå è èëüáåðòà / À.. Ñèäîðèê, ß.Â. àäûíî. Lambert A ademi Publishing, 2012. 77 ñ.29. Ôóêñ, Ë. Áåñêîíå÷íûå àáåëåâû ãðóïïû / Ë. Ôóêñ. Ì.: Ìèð, 1974. Ò. 1. 336 ñ.30. Õàðèí, Þ.Ñ. Ìàòåìàòè÷åñêèå îñíîâû êðèïòîëîãèè. Ó÷åáíîå ïîñîáèå /Þ.Ñ. Õàðèí, Â.È. Áåðíèê, .Â. Ìàòâååâ. Ìèíñê: ÁÓ, 1999. 319 ñ.31. Õåéåð, Õ. Âåðîÿòíîñòíûå ìåðû íà ëîêàëüíî êîìïàêòíûõ ãðóïïàõ /Õ. Õåéåð. Ì.: Ìèð, 1987. Ò. 1. 704 ñ.32. Õåííàí, Ý. Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï è ïðèêëàäíàÿ òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé /Ý. Õåííàí. Ì.: Ìèð, 1970. 115 ñ.33. Õðåííèêîâ, À.Þ. Íåàðõèìåäîâ àíàëèç è åãî ïðèëîæåíèÿ / À.Þ. Õðåí-íèêîâ. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2003. 213 ñ.34. Õüþèò, Ý. Àáñòðàêòíûé ãàðìîíè÷åñêèé àíàëèç / Ý. Õüþèò, Ê. îññ. 1975. Ò. 1. 656 ñ.35. Artin, M. Algebra / M. Artin. – Prentice-Hall, 1991. – 633 p.36. Ash, R. Abstract Algebra: The Basic Graduate Year [Electronic resource] /

R. Ash. – Mode of access: http://www.math.uiuc.edu/∼r-ash/Algebra.html. – Dateof access: 15.09.2012.

37. Baker, A. Galois Theory / A. Baker. – University of Glasgow, 2003. – 88 p.38. Birkhoff, G. Algebra / G. Birkhoff, S. MacLane. – 3d ed. – AMS-Chelsea,

1999. – 650 p.39. Bruhat, F. Distributions sur un groupe localement compact et applications

a l’etude des representations des groupes p-adiques / F. Bruhat // Bulletin de laSociete Mathematique de France. – 1961. – Vol. 89. – P. 43–75.

195

40. Cohn, P. Algebra / P. Cohn. – 2nd ed. – JW&S, 1982. – Vol. 1. – 419 p.41. Dummit, D.S. Abstract Algebra / D.S. Dummit, R.M. Foote. – 3d ed. –

JW&S, 2004. – 945 p.42. Grove, L.S. Algebra / L.S. Grove. – Academic Press, 1983. – 315 p.43. Howie, J.M. Fields and Galois Theory / J.M. Howie. – Springer-Verlag,

2006. – 234 p.44. Jacobson, N. Lectures in Abstract Algebra / N. Jacobson. – Springer-Verlag,

1975. – Vol. 3. – 333 p.45. Kochubei, A.N. Pseudo-differential Equations and Stochastics over Non-

Archimedean Fields / A.N. Kochubei. – Marcel Dekker, 2001. – 324 p.46. Lorenz, F. Algebra / F. Lorenz. – Academic Press, 1983. – 315 p.47. Monna, A.F. Analyse non-archimedienne / A.F. Monna. – New-York:

Springer, 1970. – 122 p.48. Papantonapoulou, A. Algebra. Pure and Applied / A. Papantonapoulou. –

Prentice Hall, 2002. – 571 p.49. Reid, M. Galois Theory [Electronic resource] / M. Reid. – Mode of ac-

cess: http://homepages.warwick.ac.uk/∼masda/MA3D5/Galois.pdf. – Date of access:15.09.2012.

50. Rooij Van, A.C.M. Non-archimedean functional analysis /A.C.M. Rooij Van. – New-York: Marcel Dekker, 1978. – 404 p.

51. Radyna, A.Ya. Unbounded transforms and approximation of functions overp-adic fields / A.Ya. Radyna, Ya.M Radyna, Ya.V. Radyno // Proceedings of theSteklov Institute of Mathematics. – 2009. – Vol. 265. – P. 208–216.

52. Radyno, Ya.V. Generalized function on adeles. Linear and nonlinear theory /Ya.V. Radyno, Ya.M. Radyna // Banach Center Publications. – 2010. – Vol. 88. –P. 243–250.

53. Roman, S. Field Theory, GTM158 / S. Roman. – 2nd ed. – Springer-Verlag,2005. – 330 p.

54. Rotman, J. Galois Theory / J. Rotman. – 2nd ed. – Springer-Verlag, 1998. –172 p.

55. Schikhof, W.H. Ultrametric calculus. An introduction to p-adic analysis /W.H. Schikhof. – Cambrige University Press, 1984. – 306 p.

56. Taibleson, M.H. Fourier Analysis on Local Fields / M.H. Taibleson. – Prince-ton University Press, 1975. – 306 p.

57. Wilkins, D. Abstract Algebra [Electronic resource] / D. Wilkins. – Modeof access: http://www.maths.tcd.ie/∼dwilkins/Courses/311/. – Date of access:15.09.2012.

196

Documents

Elements of general topology for students-analysts