Rapporti e proporzioni 2013

A cosa servono?Mi viene voglia di

scappare!

Prodotto da Prof.ssa Maria Raschello

IlIl rapporto rapporto tra due numeri a e b, con tra due numeri a e b, con b diverso da zero è il quoziente b diverso da zero è il quoziente ottenuto dividendo il primo per il ottenuto dividendo il primo per il

secondosecondo

a : b oppure a/ba : b oppure a/b

a si chiama a si chiama antecedenteantecedente

b si chiama b si chiama conseguenteconseguente

IL RAPPORTO

RAPPORTO TRA GRANDEZZE RAPPORTO TRA GRANDEZZE OMOGENEEOMOGENEE

Il rapporto fra due grandezze omogenee (cioè con la stessa unità di misura) è il quoziente tra le loro misure.

Esempio:Gina pesa 60 kg mentre Tina 40 kg. Il

rapporto tra il peso di Gina e il peso di Tina è 60:40 ovvero 3:2 o 3/2

E’ un numero puro (non ha l’unità di misura) appartenente all’insieme dei numeri reali.

Rapporto tra grandezze non Rapporto tra grandezze non omogeneeomogenee

Il rapporto fra due grandezze non omogenee (cioè con unità di misura diverse) è il quoziente fra le loro misure e indica una nuova grandezza chiamata grandezza derivata.

Esempio:Un aereo percorre 1000 m in 2 secondi. Qual è il rapporto tra lo spazio e il tempo?

1000 m : 2 s = 500 m/sSi è generata una grandezza derivata “la velocità” con unità di misura m/s.

Una proporzione è l’uguaglianza di due rapporti.

Si scrive cosìa : b = c : d

Si legge:“ a sta a b come c sta a d”

Esempio:20 : 5 = 4 : 1

a : b = c : d“a sta a b come c sta a d”

a e c antecedenti b e d conseguenti a e d estremi b e c medi

I numeri che formano una proporzione si chiamano anche

termini

56 : 8 = 14 : 2

56 : 8 = 14 : 2

Estremi:56 e 2 Medi: 8 e 14

conseguentiantecedenti

E EM M

Prodotto da Prof.ssa Maria Raschello

PROPRIETA’ DELLE PROPRIETA’ DELLE PROPORZIONIPROPORZIONI

Proprietà fondamentale

Proprietà dell’invertire

Proprietà del permutare

Proprietà del comporre

Proprietà dello scomporre

Tutte queste????

?YES!!!

In ogni proporzione il prodotto degli estremi è uguale al prodotto

dei medi

a : b = c : d a x d = b x c

PROPRIETA’ PROPRIETA’ DELL’INVERTIREDELL’INVERTIRE

Se in una proporzione si scambia ogni antecedente con il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione

a : b = c : d b : a = d : c

Se in una proporzione si scambiano tra loro gli estremi o i medi o entrambi, si

ottengono ancora altre proporzioni.

SCAMBIAMO GLI ESTREMISCAMBIAMO GLI ESTREMI a : b = c : d

d : b = c : a

SCAMBIAMO I MEDISCAMBIAMO I MEDI

a : b = c : d

a : c = b : d

SCAMBIAMO SCAMBIAMO GLI ESTREMI E I MEDIGLI ESTREMI E I MEDI

a : b = c : d d : c = b : a

PROPRIETA’ DEL COMPORREPROPRIETA’ DEL COMPORRE

In ogni proporzione la somma del 1° e del 2° termine sta al 1° o al

2°termine come la somma del 3° e 4° termine sta al 3° o al 4° termine

a : b = c : d (a + b) : a = (c + d) : c (a + b) : b = (c + d) : d

ESEMPIO NUMERICOESEMPIO NUMERICO

9 : 2 = 36 : 8(9 + 2) : 9 = (36 + 8) : 36

11:9=44:36

Oppure 11:2=44:8

PROPRIETA’ DELLO PROPRIETA’ DELLO SCOMPORRESCOMPORRE

In ogni proporzione la differenza tra il 1° e il 2° termine ( con il 1°maggiore del 2°) sta al 1° o al 2° termine come la differenza tra il 3° e 4°

termine ( con il 3° maggiore del 4°) sta al terzo o al

4°termine.

a : b = c : d (a-b) : a = (c-d) : b

oppure (a-b) : b = (c-d) : d

ESEMPIO NUMERICOESEMPIO NUMERICO

9 : 2 = 36 : 8(9 - 2) : 9 = (36 - 8) : 36

7:9=28:36

Oppure 7:2=28:8

CALCOLO DEL TERMINE CALCOLO DEL TERMINE INCOGNITO……se è un estremoINCOGNITO……se è un estremo Il termine incognito in unaproporzione si indica con la lettera x

In una proporzione il valore di un estremo incognito è dato dal prodotto dei medi diviso l’estremo noto.

Esempio: 35 : 7= 40 : X X = (7x40) : 35 = 8

CALCOLO DEL TERMINE CALCOLO DEL TERMINE INCOGNITO 2…..se è un medioINCOGNITO 2…..se è un medio

In una proporzione il valore di un medio incognito è dato dal

prodotto degli estremi diviso il medio noto.

Esempio 35 : 7= X: 8 X = (35 x 8) : 7= 40

Una proporzione si dice continua se ha i medi uguali.

Il medio uguale si chiama medioproporzionale e il quarto numero

prende il nome di terzo proporzionale.

a : b = b : d medio proporzionale

terzo proporzionale

Calcolo del medio proporzionale Calcolo del medio proporzionale in una proporzione in una proporzione continuacontinua

Il medio proporzionale in una proporzione continua è dato dalla radice quadrata del prodotto degli estremi.

Esempio:

8: X = X: 50 20400508 ==⋅=X

Applicazione della proprietà del Applicazione della proprietà del comporrecomporre,in una proporzione con ,in una proporzione con

due incognitedue incognite

x : y = 5 : 2 con x + y = 49 ( x + y) : x = ( 5 + 2 ) : 5 49 : x = 7 : 5 x = ( 49 x 5 ) : 7 = 35Y = 49- 35= 14

Applicazione della proprietà dello Applicazione della proprietà dello scomporrescomporre in una proporzione con in una proporzione con

due incognitedue incogniteX : Y = 24 : 6 X – Y = 48 (X-Y) : X = (24 - 6) : 24 48 : X = 18 : 24 X = (48 x 24) : 18 = 64Y = 64 - 48= 16

ORA FAI TANTI ESERCIZI!!!!!!!