Diapositivas sobre Integrales Impropias

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD FERMÍN TORO

FACULTAD DE INGENIERÍAESCUELA DE INGENIERÍA

Integrales Impropias

AUTORA: VARGAS, ANDREA

Cabudare, Marzo 2016.

INTEGRALES IMPROPIAS Llamaremos integrales impropias a las integrales de funciones sobre intervalos ilimitados, o a las integrales de funciones que no están acotadas en un intervalo.

Una breve explicación: Si la función f al ser integrada de a a c tiene una discontinuidad en c, especialmente en la forma de una asíntota vertical, o si c = ∞, entonces la integral es más conveniente redefinirla de la siguiente forma:

En algunos casos, la integral de a a c ni siquiera está definida, puesto que las integrales de la parte positiva y negativa de f(x) dx entre a y c son ambas infinitas, sin embargo el límite puede existir. Estos casos son llamadas "integrales impropias", cuyos valores no pueden definirse excepto como límites.

La integral se puede interpretar como: pero

desde el punto de vista del análisis matemático, no es obligatorio interpretarla de tal manera, ya que puede interpretarse como una integral de Lebesgue sobre el intervalo (0, ∞).

En contraste al caso anterior, no puede ser interpretada como una integral de

Lebesgue, ya que Ésta es una "verdadera" integral impropia, cuyo valor está dado por

Tales integrales son frecuentemente escritas en forma simbólica de igual forma que una integral definida, utilizando un infinito como límite de integración.

ASÍNTOTAS VERTICALES EN LOS LIMITES DE INTEGRACIÓN

Considera Esto involucra una función con una asíntota vertical en x = 0.

Se puede obtener el valor de esta integral evaluándola desde b a 1, y entonces tomando el límite como b tendiendo a 0. Nótese que la anti-derivativa de la anterior función es la cual puede ser evaluada por sustitución directa para dar el valor El límite cuando b → 0 es 3 − 0 = 3.

LÍMITES INFINITOS DE INTEGRACIÓN

Las integrales impropias más básicas son integrales como:

No necesitan ser definidas como una integral impropia, ya que son construidas como una integral de Lebesgue. Sin embargo, para calcular esta integral, es conveniente tratarla como un integral impropia, i.e., evaluarla cuando el límite superior de integración es finito y entonces coger el límite ya que este límite se acerca a ∞. La primitiva de  la  función  que  está siendo integrada es arctan x. La integral es:

VALORES PRINCIPALES DE CAUCHYConsidera la diferencia en los valores de dos límites:

La primera es el valor principal de Cauchy

Similarmente, tenemos peroLa primera es el valor principal

Todos los límites anteriores son casos de la forma indeterminada ∞ − ∞.

Integrales Impropias de Primera Especie:

Son del tipo : o Presentan una asíntota horizontal.

Son del tipo:   y que    no está definida en el intervalo de integración o en cualquier punto del dominio o los extremos de integración.Presentan una asíntota vertical.

CÁRACTER Y VALOR DE LAS INTEGRALES IMPROPIASó 

Integrales Impropias de Segunda Especie:

Son mezclas de los dos tipos anteriores, es decir, que presentan un infinito en los extremos de integración y la función se hace infinito en uno o más puntos del intervalo de integración.

Integrales Impropias de Tercera Especie:

EJERCICIOS DE INTEGRALES IMPROPIAS

Grisolía

(2007)

Solución:

PRIMER EJERCICIO

Piaget (2007)

Serrano citado por Santana

(2007)

SEGUNDO EJERCICIO

Solución:

TERCER EJERCICIO

Solución:

CONTINUACION DEL EJERCICIO

CUARTO EJERCICIO

Solución:

CONTINUACION DEL EJERCICIO

Solución:

QUINTO EJERCICIO