View
215
Download
0
Category
Preview:
DESCRIPTION
Tema N° 01 matemática CEPRE
Citation preview
Matemática
1
Figura Nº 01: La gráfica muestra la dependencia natural que existe entre los conjuntos numéricos.
Fuente:http://4.bp.blogspot.com/_e6ns2w7oOIs/Ss3tZGZkqkI/AAAAAAAAC8Q/Wg15m0kmVMc/s400/Conjuntos+Num%C3%A9ricos.JPG
Tema: 1
FUNDAMENTOS DE NÚMEROS REALES
Los números naturales tienen origen en una necesidad tan antigua como las primeras
civilizaciones: La necesidad de contar.
El hombre primitivo identificaba objetos con características iguales y podía distinguir entre
unos y otro; pero no le era posible captar la cantidad a simple vista. Por ello, empezó a
representar las cantidades haciendo marcas en huesos, trozos de madera o piedra; éstas
representaban cada objeto observado, y así pudo concebir la idea de número.
Para el siglo X después de Cristo, el matemático y poeta Omar Khayyam estableció una
teoría general de número y añadió algunos elementos a los números racionales, como son los
números irracionales, para que puedan ser medidas todas las magnitudes.
Sólo a finales del siglo XIX pudo formalizarse la idea de continuidad y se dio una definición
satisfactoria de conjunto de los números reales, con los trabajos de grandes matemáticos como
Cantor, Dedekind, Weierstrass, Heine y Meray, entre otros.
1.1. Situación problemática
“Su corazón y los símbolos de agrupación”
El gasto cardiaco ideal durante el ejercicio físico se encuentra restando su edad “A” de 205,
el resultado se multiplica por siete y la respuesta se divide entre diez.
a). Represente simbólicamente lo expresado anteriormente.
Los números reales resultan de la unión de los
números racionales e irracionales y se denota por
. El origen del número irracional esta siempre
en la intuición geométrica y Pitágoras fue el
primero en señalarlo en su teorema. Los
matemáticos griegos se limitaron a trabajar con
números irracionales que se derivan de su
aplicación repetida de la extracción de raíces
cuadradas sin llegar nunca a tener la idea de
número irracional.
Éste apareció hasta el final del siglo XVI al
introducirse los números decimales, cuyo uso se
generalizó con el uso de la tabla de logaritmos.
Históricamente el cálculo obligó así a que se
introdujeran nuevos conceptos y que se
consideraran tan importantes, pues no tardaron en
reconocer su extraordinaria utilidad.
Matemática
2
b). En el supuesto que su edad es de 25 años, ¿cuál es el gasto cardiaco ideal?
1.2. Fundamentos teóricos
1.2.1. Conjuntos numéricos
Nuestro mundo numérico se fue generando a lo largo de los siglos según los hombres
iban necesitando de diversos modos de comunicación y de acuerdo con los
requerimientos de otras áreas de acción como el comercio, la astronomía, la
agricultura, etc. La matemática y la infinidad de actividades en que el hombre se ha
interesado ha permitido crear los conjuntos numéricos.
Los conjuntos numéricos se clasifican de la siguiente manera:
A). Números naturales
= 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 ,...........+
= 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 ,...........+
B). Números enteros
= - ..... -6 , -5 , -4 , -3 , - 2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 ,.....+
= = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 ,...........+
0 = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 ,...........+
= - .......... , -10 , -9 , -8 , -7 , -6 , -5 , -4 , -3 , - 2 , -1
0 = - .......... , -10 , - 9 , - 8 , -7 , -6 , - 5 , - 4 , - 3 , - 2 , -1 , 0
C). Números racionales
14 1 2 14= - ....., - 5.5 , - 3 ,- , - 2 , -1 , -0.05 , - , 0 , 0.01 , , , 5 ,.....+
5 2 5 3
p= / p y q son enteros y q 0
q
D). Números irracionales
105 7 9πI = - ..... - 6 , - 5 , - 3 , - 2 , - , 2 , 3 , 4 , 5e , .....+
2
E). Números reales
I (Es la unión de los números racionales con los irracionales)
F). Números complejos
, = z = a+bi / a , b i = -1
Observación: En el presente curso sólo estudiaremos y realizaremos operaciones en el
conjunto de los números reales por el orden que presentan.
Matemática
3
1.2.2. Regla de signos
Adición
1) +a + +b = + a + b
2) -a + -b = - a + b
3) +a + -b = + a - b ; si a > b
4) +a + -b = - b - a ; si b > a
Sustracción
a - b = a + -b
Multiplicación
1) +a +b = + ab
2) +a -b = - ab
3) -a +b = - ab
4) -a -b =+ ab
División
1)
+a a = +
+b b
2)
-a a = +
-b b
3)
+a a = -
-b b
4)
-a a = -
+b b
Potenciación
1) Par
+ =+ Positivo
2) Impar
+ =+ Positivo
3) Par
=+ Positivo
4) Impar
= Negativo
Radicación
1) Par + = + Positivo
2) Impar
+ = + Positivo
3) Impar= Negativo
4) Par = Cantidad imaginaria
1.2.3. Orden en las operaciones elementales
Dada una expresión que involucre las diferentes operaciones, éstas se realizan en el
siguiente orden:
Primero: Potencias y raíces. (Si se tiene la potencia o raíz de una suma o resta, estas
operaciones se resuelven primero).
Segundo: Multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.
Tercero: Sumas y restas de izquierda a derecha.
Matemática
4
1.2.4. Jerarquía en los signos de agrupación
Dada una expresión que involucre diferentes signos de agrupación, existe una
jerarquía y orden que debemos respetar para obtener resultados correctos. Así primero
se deben desarrollar las operaciones que están agrupadas por paréntesis, luego los
corchetes, a continuación las llaves y finalmente las barras-
Ejemplos:
A). Determina el resultado de la siguiente operación combinada:
A= -8 - 2 - 3 5 - 2 1- 3 +4 8 -10 +3 2 - 5 1- 3 -10
Solución:
Tomando en cuenta lo expuesto en la teoría anterior tenemos que:
A= -8 - 2 - 3 5 - 2 1- 3 +4 8 -10 +3 2 - 5 1- 3 -10
A= -8 - 2 - 3 5 - 2 -2 +4 -2 +3 2 - 5 -2 -10
A= -8 - 2 - 3 5+4 - 8 +3 2+10
-10
A= -8 - 2 - 3 1 +3 2
A= -8 - 2 - 3 +6 = -8 - -1 +6
A= -8+1+6 = -1
B). Calcula: B -3 - 9 - 8+7 - -11 - -5 8 - 25 - 8+5 + 13+11
Solución:
Procedemos en forma similar al ejemplo anterior y obtenemos:
B = -3 - 9 - 8+7 - -11 - -5 8 - 25 - 8+5 + 13+11
B = -12 - +15 - -11 - -5 -17 - +13 + +24
B = -12 -15+11 - -5 -17 -13 +24
B = -16 - -5 -30 +24
B = -16 - +150+24 = -16 - +174
B = -16 -174 = -190
EJERCICIOS DE REFUERZO
Ahora tú, resuelve los siguientes ejercicios:
1) 935243142395 xxx Rpta: 49
2) 6910315073872 xx Rpta: 70
3) 36148657 Rpta: 8
Matemática
5
4) 3461123583711 Rpta: -7
5) 398245638 Rpta: 2
1.2.5. Radicación
Operación que permite hallar un valor que multiplicando tantas veces como lo indica
el índice, dé el valor que se encuentra dentro del radical, el cual recibe el nombre de
radicando.
Definición:
mn na = r a= r ; n n >1
Donde: m
a : Es la base
n : Es el índice de la raíz
m : Es el exponente de la base
a : Es el radicando
: Signo radical
Observaciones importantes
Al resolver radicales se debe tener en cuenta los siguientes criterios:
Si "n" es par y a 0 Existe "r " r 0
Si "n" es par y a < 0 No existe "r", es decir "r "
Si "n" es impar y a 0 Existe "r " r 0
Si "n" es par y a < 0 Existe "r " r
< 0
Propiedades:
a). n n n na.b.c = a . b . c
b). ; n
nn
a a= b 0
b b
c). n m mna = a
d). n 1 = 1
e). n 0 = 0
f). n na = a
Matemática
6
Ejemplos:
A). ¿Cuál es el resultado de 3N = 729 ?
Solución:
6
3 2 6 6 13 6N = 729 = 729 = 3 = 3 = 3 = 3
B). ¿Cuál es el resultado de 4-3 -1 -5 54M = 2 3 5 2 3 125 ?
Solución:
1 53 1 5 1-- -
4-3 -1 -5 54 4 42 2 2 2
1 5 1 53 1 5 3 1 5 31- -- - - -
34 4 4 42 2 2 2 2 2 22
1 5 43 5 1 3 2 2- -- + - +
-14 4 42 2 2 2 2 2
M = 2 3 5 2 3 125 = 2 .3 .5 2 .3 .125
M = 2 .3 .5 2 .3 . 5 = 2 .3 .5 2 .3 .5
1M = 2 .3 .5 = 2 .3 .5 = 2 .3.5 = .15
2
15=
2
C). ¿Cuál es el resultado de
3
4
2.2P = 2
32
?
Solución:
71 1 7 1+3
1 1 13 3 42 2 2 22 2 2
5 5 54 4 54 4 4
1 7+
1 7 5 22 4 + -12 4 4 2
5
4
2.2 2 .2 2 2 2 .2P = 2 = 2 = 2 = 2 =
32 22 2 2
2P = = 2 = 2 = 2 = 2
2
D). ¿Cuál es el resultado de la operación: T = 20 45 80 ?
Solución:
T = 20 + 45 - 80 = 4 5 + 9 5 - 16 5
T = 4 5 + 9 5 - 16 5
T = 2 5 +3 5 - 4 5
T = 5 5 - 4 5
T = 5
Matemática
7
E). ¿Cuál es el resultado de la operación:
12 6 3 12 18
12Q =
6 6 . 2. 3
?
Solución:
1 12 6 3 12 18 2 6 3 2 3 3 2
12 12Q = =
6 6 . 2. 3 6 6 . 2. 3
3 362 6 6 3 2 6 3 212 12Q = Q =
6 6 . 2. 3
6 6 . 2. 3 3 1
= =6 2
1.2.6. Racionalización
El proceso de racionalización consiste en expresar una fracción, cuyo
denominador es un término irracional, es decir tiene raíz irreductible, en otra
fracción equivalente cuyo denominador es un término racional, es decir, no
contiene raíz. Los casos son:
Caso 1: Para racionalizar el denominador de una expresión de la forma: n m
c
a
, se procede de la siguiente manera:
n n n nn-m n-m n-m n-mc c a c a c a c a= = = =
n n n nm m n-m nn m+n-m aa a a aa
Ejemplos:
A). Racionalice la expresión 1
3
Solución:
Se multiplica por 3 al numerador y al denominador, y se obtiene:
2
1 1 3 3 3= = =
33 3 3 3
B). Racionalice la expresión 5 2
a
b
Solución:
Matemática
8
Se multiplica por 5-2 35 5
b b al numerador y al denominador:
3 3 3 35 5 5 5
52 2 3 2 3 55 5 5 5
a a b a b a b a b
bbb b b b b
C). Racionalice la expresión 2
5
Solución:
2
2 2 2 5 10 10= = = =
5 55 5 5 5
Caso 2: Para racionalizar el denominador de la forma: A
a ± b, se presentan
dos casos y el factor de racionalización está dado por la conjugada de cada caso.
a)
2 2
A a - b A a - b A a - bA a - b= = =
a - ba + b a - b a + b a - b a - b
b)
2 2
A a b A a bA a b A a A b. = = =
a - ba b a b a b a b a - b
Ejemplos:
A). Racionalice la expresión 3
T1+ 2
Solución:
22
3 1- 23 1- 2 3 - 3 2T = = =
1+ 2 1- 2 1+ 2 1- 2 1 - 2
3 - 3 2 3 - 3 2T = = = 3 2 - 3
1- 2 -1
B). Racionalice la expresión 7
5 - 2
Solución:
7 5 + 27 5 + 2 7 5 +7 2 7 5 +7 2= = =
5 - 2 35 - 2 5 + 2 5 - 2 5 + 2
Matemática
9
EJERCICIOS DE REFUERZO
Ahora tú, resuelve los siguientes ejercicios:
1) Resuelve: 272454803123 A Rpta: 0
2) Resuelve: 2451252045 Rpta: 57
3) Racionaliza: 14
7 Rpta:
2
14
4) Racionaliza: 32
8
Rpta:
)32(8
5) Racionaliza: 23
23
Rpta: 734
1.2.7. Fracciones
Se llama fracción a la expresión a
b, donde “a” y “b” son números enteros y
b 0 . Además “a” se llama numerador y “b” se llama denominador.
En una fracción común el denominador indica el número de partes iguales en
que se divide la unidad y el numerador indica el número de partes que se
toma de la unidad.
Las fracciones se clasifican de la siguiente forma:
A). Fracciones propias
Son aquellas que tienen el numerador menor que el denominador.
Ejemplos: 3 5 8 1
- ; ; ; -5 6 21 10
B). Fracciones impropias
Son aquellas que tienen el numerador mayor que el denominador.
Ejemplos: 8 50 3 100
; - ; ; -3 7 2 9
C). Fracciones mixtas
Son aquellas que están formadas por una parte entera y una parte
fraccionaria.
Ejemplos: 3 5 8 1 2
2 ; 7 ; - 3 ; - 5 ; 35 6 21 10 3
D). Fracciones homogéneas
Matemática
10
Son aquellas que tienen el mismo denominador.
Ejemplos: ; 3 7 8 1 12
; ; - ; -5 5 5 5 5
E). Fracciones heterogéneas
Son aquellas que tienen denominador diferente.
Ejemplos: ; 13 4 80 100 2
; - ; ; -3 7 21 1001 5
1.2.8. Operaciones combinadas con fracciones
Es la combinación de los casos estudiados anteriormente.
Ejemplo:
Reduce: 5 1 1 1 7 1 1 5 1 5
A= 2 - +3 - - - + 1 - 1 -4 2 2 3 3 3 3 6 6 6
Solución:
5 1 1 1 7 1 1 5 1 5A= 2 - +3 - - - + 1 - 1 -
4 2 2 3 3 3 3 6 6 6
5 - 2 3 - 2 7 -1 4 5 7 5A= 2 +3 - + - -
4 6 3 3 6 6 6
3 1 6 8 - 5 7 - 5 6A= 2 +3 - + =
4 6 3 6 6
4
3+
6
3 - 2+
6
2 6
3 1 1 1 3+1 1 4 1A= + - 2+ = - 2+ = - 2+
2 2 2 3 2 6 2 6
1 1A= 2 - 2+ =
6 6
EJERCICIOS DE REFUERZO
Ahora tú, resuelve los siguientes ejercicios:
1) Resuelve: 7
2
2
1
5
3A Rpta:
70
57
2) Resuelve: 4
1
3
1
2
1
5
2
B Rpta:
60
1
3) Resuelve: 25
2
8
1
2
3
4
5
5
3 Rpta:
200
79
4) Resuelve: 5
22
15
4
3
21
9
83 D Rpta:
45
4
Matemática
11
5) Resuelve:
2
4
1
5
1
5
41
2
1 Rpta:
4
1
1.2.9. Conversión de fracciones a decimales
Dada una fracción común, para convertirla en número decimal se divide el
numerador entre el denominador.
Ejemplos:
3
= 0,75 Decimal exacto4
2 5
1 = = 1,66666....= 1,6 Decimal inexacto periódico puro3 3
601
= 0,121414....= 0,1214 Decimal inexacto periódico mixto4950
1.2.10. Conversión de decimales a fracciones
Se presentan los siguientes casos:
A). Conversión de decimal exacto a fracción
Regla: “Como numerador se coloca la parte decimal y en el denominador se
coloca la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga dicha parte
decimal”.
Ejemplos:
50,5 =
10
1=
2 ;
30,003=
1000 ;
751,75 = 1
100
3 7= 1 =
4 4
B). Conversión de decimal inexacto periódico puro a fracción
Regla: “Como numerador se coloca la parte periódica y como denominador
se coloca tantos nueves como cifras tenga dicha parte periódica”.
Ejemplos:
30,3333.....= 0,3=
9
1=
3
80,88888.....= 0,8 =
9
5 414,555555.....= 4,5= 4 =
9 9
Matemática
12
C). Conversión de decimal inexacto periódico mixto a fracción
Regla: “Como numerador, se coloca la diferencia de la parte decimal mixta
con la parte no periódica; y como denominador se coloca tantos nueves
como cifras tenga la parte periódica seguida de tantos ceros como cifras
tenga la parte no periódica”.
Ejemplos:
4732 - 473 42590,47322222....= 0,4732= =
9000 9000
352 - 3 349 52995,3525252....= 5,352= 5 = 5 =
990 990 990
EJERCICIOS DE REFUERZO
Ahora tú, convierte a fracción común los siguientes números decimales:
a) 15,3 Rpta: 20
63
b) 0,454545…. Rpta: 11
5
c) ....181818,2 Rpta: 11
24
d) 7,03333….. Rpta: 30
211
e) 1,12333…. Rpta: 300
337
1.2.11. Valor absoluto de números reales
Es la distancia que existe de cero hasta el punto que representa a dicha
cantidad en la recta numérica. El valor absoluto de un número real se
representa por: a ; donde “a” es un número real.
El valor absoluto de un número real se define de la siguiente manera:
a ; Si a 0 "a" es positivo o nuloa =
-a ; Si a <0 "a" es negativo
Matemática
13
Ejemplos:
10 = 10
-55 = - -55 = 55
0= 0 = 0
130
5 5 5- = - - =
3 3 3
- 2 = - - 2 = 2
0,52 = 0,52
-0,6 = - -0,6 = 0,6
4 -15 = -11 = - -11 = 11
4 5 9 9+ = =
7 7 7 7
-5,30+4 = -1,30 = - -1,30 = 1,30
Resuelve la siguiente expresión con valor absoluto:
-1
A= 8 - -2 + -6 - -4 - + 2 - -12-1
Solución:
-1
A= 8 - -2 + -6 - -4 - + 2 - -12 -1
-1A= 8+2 + 6 - 4 - + 2 - 12
1
A= 10 + 2 +1 + - 10 = 10+2 +1 + 10
A= 23
EJERCICIOS DE REFUERZO
Ahora tú, resuelve los siguientes ejercicios con valor absoluto:
1) -1
A= 8 - -2 + -6 - -4 - + 2 - -12-1
Rpta: 23
2) 0
759452435 xB Rpta: 53
3) 4865
2844
C Rpta: 10
4) 2)4(.8.5
5.216.16
D Rpta: 27
5)
- -2 -11 1
E = -4+ + -20 + - - 5 - -9 +12 2 3
Rpta: 21
Matemática
14
Recommended